Página 1 GUIA DO PROFESSOR Caro professor, caso tenha algum questionamento de qualquer natureza, não hesite em nos contactar pelo e-mail: conteudosdigitais@im.uff.br DESCRIÇÃO No início do século XX, uma das questões que confrontavam os cientistas da época era sobre a possibilidade de se construir aparatos voadores grandes e estáveis o suficiente para levar um homem aos céus e trazê-lo de volta em segurança. Alexander Graham Bell propôs um aparato voador (uma pipa) que, de fato, conseguiu transportar um homem. A ideia de Bell: usar tetraedros regulares como células das estruturas de suas pipas. Nesta atividade apresentamos um roteiro detalhado para a construção das pipas tetraédricas de Alexander Graham Bell com material de baixo custo. A atividade é complementada por modelos virtuais tridimensionais no computador. O assunto é muito apropriado para se explorar questões de contagem, semelhança, proporcionalidade, áreas e volumes. OBJETIVOS Explorar questões de contagem, semelhança, proporcionalidade, áreas e volumes relacionadas com a justaposição de tetraedros; explorar o princípio da similitude de Galileu Galilei. QUANDO USAR? Sugerimos que a atividade seja usada quando da apresentação da teoria dos sólidos platônicos em geometria espacial. COMO USAR? A atividade pode ser usada em sala de aula, como um projeto de feira de ciências ou ainda como uma atividade de recreação. Recomendamos fortemente que o aluno preencha algum tipo de questionário de acompanhamento, para avaliação posterior. Sugerimos o seguinte modelo (sinta-se livre para modificá-lo de acordo com suas necessidades): pgb-aluno.rtf. Este formulário de acompanhamento do aluno também estará acessível na página principal da atividade através do seguinte ícone:.
Página 2 As respostas dos questionamentos propostos neste formulário não estão incluídas com a atividade, mas elas podem ser solicitadas através do e-mail conteudosdigitais@im.uff.br. OBSERVAÇÕES METODOLÓGICAS Relatos de experiências (comprovados em nossos testes) mostram que os alunos têm forte resistência em preencher o formulário de acompanhamento. Mais ainda: estes relatos mostram que, frequentemente, os alunos conseguem argumentar corretamente de forma verbal, mas enfrentam dificuldades ao fazer o registro escrito de suas ideias. Mesmo com as reclamações e resistência dos alunos, nossa sugestão é que você, professor, insista no preenchimento do formulário. Afinal, por vários motivos, é muito importante que o aluno adquira a habilidade de redigir corretamente um texto matemático que possa ser compreendido por outras pessoas. OBSERVAÇÕES TÉCNICAS A atividade pode ser acessada usando a internet, através do link http://www.uff.br/cdme/pgb/ (endereço alternativo: http://www.cdme.im-uff.mat.br/pgb/). Se você preferir, solicite que o responsável pelo laboratório da escola instale a atividade para acesso offline, isto é, sem a necessidade de conexão com a internet. O jogo pode ser executado em qualquer sistema operacional: Windows, Linux e Mac OS. Porém, para executá-lo, é preciso que o computador tenha a linguagem JAVA instalada. A instalação da linguagem JAVA pode ser feita seguindo as orientações disponíveis no seguinte link http://www.java.com/pt_br/. Atenção: se você estiver usando a atividade offline através de uma cópia local em seu computador, é importante que os arquivos não estejam em um diretório cujo nome contenha acentos ou espaços. Importante: algumas distribuições Linux vêm com o interpretador JAVA GCJ Web Plugin que não é compatível com o applet da atividade. Neste caso, recomendamos que você solicite ao responsável pelo laboratório da escola que instale o interpretador nativo da Sun, disponível no link http://www.java.com /pt_br/. Acessibilidade: a partir da Versão 2 do Firefox e da Versão 8 do Internet Explorer, é possível usar as combinações de teclas indicadas na tabela abaixo para ampliar ou reduzir uma página da internet, o que permite configurar estes navegadores para uma leitura mais agradável. Combinação de Teclas Efeito Ampliar Reduzir Voltar para a configuração inicial Vantagens deste esquema: (1) além de áreas de texto, este sistema de teclas amplia também figuras e aplicativos FLASH e (2) o sistema funciona para qualquer página da internet, mesmo para aquelas sem uma programação nativa de acessibilidade. DICAS
Página 3 Na sala de aula, sugerimos que se formem pequenos grupos com quatro ou cinco alunos. Cada grupo pode montar uma pipa com 4 estruturas tetraédricas, seguindo os passos descritos na atividade. Esta pipa, por si só, já pode alçar voo. Depois, os alunos podem combinar estas pipas para construir pipas maiores, com 16 ou até mesmo 64 células tetraédricas. QUESTÕES PARA DISCUSSÃO APÓS A REALIZAÇÃO DA ATIVIDADE Sugerimos fortemente que seja feita uma discussão com os alunos após a realização da tarefa. Se você optou por levá-los ao laboratório, isto pode ser feito no próprio laboratório, logo após o término da atividade. Se você optou por um exercício extraclasse, a discussão pode ser feita quando da devolução do questionário. Esta discussão pode incluir as diferentes estratégias de solução dos exercícios adotada por cada aluno, a comparação das respostas dos alunos, as dificuldades encontradas na realização dos exercícios, a ênfase em propriedades e resultados importantes, as informações suplementares, etc. AVALIAÇÃO Como instrumento de avaliação, sugerimos que você peça para os alunos elaborarem um relatório descrevendo as perguntas e respostas apresentadas na discussão em sala de aula. Nesse relatório, o professor poderá avaliar as capacidades de compreensão, argumentação e organização do aluno. Recomendamos que o questionário preenchido durante a realização da atividade seja anexado ao relatório. REFERÊNCIAS Bell, A. G. The Tetrahedral Principle in Kite Structure. National Geographic Magazine, vol. 14, pp. 219-251, 1903. Bender, E. A. An Introduction to Mathematical Modeling. John Wiley & Sons, Inc., 1978. de Bock, D.; van Dooren, W.; Janssens, D.; Verschaffel, L. The Illusion of Linearity from Analysis to Improvement. Mathematics Education Library, Springer-Verlag, 2007. Newcomb, S. Is The Airship Coming? McClure s Magazine, vol. 17, pp. 432-435, 1901. Niklas, K. J. Plant Allometry The Scaling of Form and Process. University Of Chicago Press, 1994. Schmidt-Nielsen, K. Scaling: Why is Animal Size so Important?. Cambridge University Press, 1984. Schultz, S. A.; Schultz, M. J. The Tarantula Keeper's Guide Comprehensive Information on Care, Housing, and Feeding. Barron's Educational Series, 1998. Thompson, D. W. On Growth and Form. Cambridge at the University Press, 1942. Vogel, S. Cats' Paws and Catapults Mechanical Worlds of Nature and People. W. W. Norton & Company, 1998. [Clique aqui para voltar para a página principal!] Dúvidas? Sugestões? Nós damos suporte! Contacte-nos pelo e-mail: conteudosdigitais@im.uff.br.
Anexo Formulário de Acompanhamento do Aluno
Atividade: a pipa tetraédrica de Alexander Graham Bell Aluno(a): Turma: Professor(a): Parte 1 A figura abaixo apresenta duas estruturas usadas no processo de construção da pipa tetraédrica de Alexander Graham Bell, sendo que a estrutura da direita é constituída por 4 réplicas da estrutura ilustrada à esquerda. (a) Qual é a razão entre as medidas dos segmentos AB e A B? (b) Qual é a razão entre as áreas dos triângulos DBC e D B C? (c) Qual é a razão entre os volumes dos tetraedros ABCD e A B C D? Parte 2 Seja L o comprimento do canudo usado na construção das pipas tetraédricas. (a) Quantos canudos são necessários para se construir a estrutura tetraédrica ABCD na figura da Parte 1? (b) A estrutura tetraédrica A B C D na figura da Parte 1 é construída usando-se 4 cópias da estrutura tetraédrica ABCD. Note, portanto, que o tetraedro A B C D tem arestas com tamanho 2 L. Quantos canudos são necessários para se construir esta estrutura tetraédrica de arestas com tamanho 2 L? (c) Se usarmos agora 4 cópias da pipa A B C D, podemos construir uma estrutura tetraédrica com arestas de tamanho 4 L. Quantos canudos serão necessários para construí-la? (d) Mais geralmente, quantos canudos são necessários para se construir uma estrutura tetraédrica com arestas de tamanho 2 n L, usando-se o método dos itens anteriores? Dica: você pode usar os esquemas 3D interativos no link Informações Suplementares da página da atividade para ajudar na visualização das estruturas tetraédricas. Parte 3 Seja L o comprimento do canudo usado na construção das pipas tetraédricas. (a) Qual é a área total das asas (faces coloridas) da estrutura tetraédrica ABCD na figura da Parte 1? (b) Qual é a área total das asas (faces coloridas) da estrutura tetraédrica A B C D na figura da Parte 1? (c) Qual é a área total das asas (faces coloridas) da estrutura tetraédrica construída no item (c) da Parte 2? (d) Mais geralmente, qual é a área da estrutura tetraédrica com arestas de tamanho 2 n L, construída no item (d) da Parte 2? Dica: você pode usar os esquemas 3D interativos no link Informações Suplementares da página da atividade para ajudar na visualização das estruturas tetraédricas. 1
Parte 4 Seja L o comprimento do canudo usado na construção das pipas tetraédricas. Suponha que cada canudo tenha peso P e que os pesos das asas e das linhas são desprezíveis em comparação com o peso do canudo. (a) Calcule a razão entre o peso e a área total das asas da estrutura tetraédrica ABCD na figura da Parte 1. (b) Calcule a razão entre o peso e a área total das asas da estrutura tetraédrica A B C D na figura da Parte 1. (c) Calcule a razão entre o peso e a área total das asas da estrutura tetraédrica construída no item (c) da Parte 2. (d) Mais geralmente, calcule a razão entre o peso e a área total das asas da estrutura tetraédrica com arestas de tamanho 2 n L, construída no item (d) da Parte 2. O que você observa? Dica: você pode usar os esquemas 3D interativos no link Informações Suplementares da página da atividade para ajudar na visualização das estruturas tetraédricas. Parte 5 (a) Considere dois canudos de mesma espessura, um com comprimento L e o outro com comprimento 2 L. Estes canudos são semelhantes? (b) Considere dois tetraedros regulares T 1 e T 2 formados por canudos de mesma espessura. O comprimento dos canudos usados em T 2 é o dobro do comprimento dos canudos usados em T 1. Os tetraedros T 1 e T 2 são semelhantes? (c) Por que a construção das pipas tetraédricas de vários tamanhos seguindo a receita dada por Alexander Graham Bell não é uma violação do argumento dado por Simon Newcomb? Parte 6 Na figura abaixo, as pipas tetraédricas ABCD e A B C D são tais que AB = A B, AC = A C, AD = A B, BC = B C, BD = B D e CD = C D. Mais ainda: todas as arestas da pipa tetraédrica A B C D são congruentes. Qual pipa tem asas com superfície de maior área? Parte 7 A altura e peso de uma tarântula dependem, entre outros fatores, da espécie, do gênero e de sua alimentação. Uma altura de 2 cm e uma massa de 100 g são medidas plausíveis para uma tarântula. Supondo que a tarântula do filme Tarantula! é semelhante a uma tarântula de 2 cm de altura e 100 g de massa e supondo que ela tem 100 pés (30,48 m) de altura, calcule a massa desta tarântula gigante (que não existe)! O cartaz do filme Tarantula! está disponível no seguinte endereço: http://en.wikipedia.org/wiki/file:tarantula_1955.jpg 2