REC 21 Microeconomia II exercícios sobre monopólio Prof. Dr. Roberto Guena de Oliveira 24 de novembro de 2011 1. A função de custo de uma empresa monopolista é dada por C T(q)=0,5q 2, sendo C T o custo total da empresa e q a quantidade por ela produzida. A função de demanda dessa empresa é p=120 2q na qual p é o preço de demanda. (a) Determine a produção e o preço que maximizam o lucro da empresa. (b) Caso uma agência reguladora queira fazer com que essa empresa produza a quantidade eficiente, qual é o preço máximo que ela (agência) deve impor à empresa? (a) Sabemos que a empresa monopolista maximiza seu lucro ao igualar o custo marginal à receita marginal. O custo marginal é CMg(q)= d dq C T(q)=q. Como a receita total da empresa é RT(q)=q p(q)=120q q 2, a receita marginal é Logo, o monopolista maximiza seu lucro fazendo RMg= d dq RT(q)=120 2q. q=120 2q q=40. O preço que ele irá cobrar é o preço de demanda para esse nível de produção: p=120 40=80. (b) De modo a garantir que o monopolista oferte a quantidade eficiente, a agência reguladora deve estabelecer o preço máximo igual ao preço correspondente ao ponto de cruzamento entre as curvas de demanda e de custo marginal: CMg= p(q) q=120 q q=60. Calculando o preço de demanda para essa quantidade, obtemos o preço a ser fixado pelo regulador: p = 120 60=60. Note que o custo médio do monopolista ao produzir 60 unidades é CM(60)= CT(60) 60 = 0,5 602 60 = 30. Esse valor é inferior ao preço máximo fixado pelo regulador, o que garante que a atividade do monopolista continue viável após a introdução do preço máximo p = 60.
2. Com relação à questão anterior, imagine que o preço do monopolista não seja regulado e que o governo imponha um imposto de R$20,00 por unidade de produto vendida pela empresa. O que ocorrerá com a quantidade vendida pelo monopolista? E com o preço ao consumidor? A introdução desse imposto equivale a reduzir a receita marginal do monopolista em R$ 20,00, isto é, com o imposto, sua receita marginal líquida fica igual à receita marginal bruta, calculada no exercício anterior, menos o imposto: RMg(q)=120 2q 20=0 2q. Obtemos a quantidade a ser produzida pelo monopolista igualando seu custo marginal a essa nova receita marginal: q=0 2q q= 0 3. O preço do monopolista subirá para p=120= 0 3 = 200 3. 2
3. Um monopolista tem uma função de custo de produção dada por c(y)= y 2 na qual c(y) é o custo total associado a produção de y unidades do produto. A função de demanda pelo produto desse monopolista é dada pela expressão p=a b y. Quanto esse monopolista deverá produzir? Qual será o preço por ele praticado? Novamente, tudo o que precisamos fazer é igualar o custo marginal do monopolista à sua receita marginal. O custo marginal é CMg(y)= d d y c(y)=2y. Como a receita total é RT(y)= p y= a y b y 2, a receita marginal será: RMg= d RT=a 2b y. d y Desse modo, a condiçõa de lucro máximo do monopolista é CMg(y)=RMg(y) 2y= a 2b y. Resolvendo para y, obtemos a quatidade a ser produzida pelo monopolista: y m = a 2+2b. Para encontrarmos o preço, substituímos essa quantidade na função de demanda: a p m = a b y m = a b 2+2b = a 1 b 2+2b b 2+ b = a = a 2+2b 2+2b 2+2b 3
4. Um monopolista tem uma função de custo de produção dada por c(y)= y 2 na qual c(y) é o custo total associado a produção de y unidades do produto. A função de demanda pelo produto desse monopolista é dada pela expressão y= ap α. Quanto esse monopolista deverá produzir? Qual será o preço por ele praticado? Para resolver esse exercício, poderíamos igualar, como fizemos no exercício anterior, receita e custo marginais. Todavia, há um caminho um pouco menos árduo. Note que a curva de demanda apresenta elasticidade preço constante igual a ε = α. Lembre-se também que, ao maximizar seu lucro, o monopólio estabelece a seguinte relação entre preço e custo marginal, conhecida como regra do markup: p=cmg 1 1 1 ε Como, ε=α e, conforme vimos no exercício anterior para a mesma função de custo do presente exercício, CMg=2y, obtemos que o preço do monopolista deve ser:. p=2y 1 1 1 α = y 2α α 1 Substituindo nessa equação a condição y= ap α, dada pela função de demanda, obtemos, enfim o preço de equilíbrio do monopolista: 2α α p=ap α 1 p1+α = 2aα 1 2aα α 1 p α+1 m= α 1 A quantidade a ser produzida é obtida substituindo esse preço na função de demanda: α 2aα 1 α 1 y m = a = a 1+α α 1 α 1 2α α 1+α 4
5. Em sala de aula, vimos que, quando há a introdução de um imposto sobre a venda do produto de um monopolista,o resultado sobre o preço praticada por esse monopolista depende do formato da curva de demanda. Se a demanda for linear e o custo marginal constante, por exemplo, vimos que, com a adoção do imposto, o preço cresce 50% do valor desse imposto. Se a demanda apresentar elasticidade-preço constante, por outro lado, vimos que o preço sobe acima do valor do imposto cobrado. O formato da curva de custo marginal também altera a forma pela qual o preço de monopólio é afetado pela introdução de um imposto sobre a venda do produto. Para ver isso, considere novamente o caso de uma demanda linear com fórmula p=a b y. Suponha que a função de custo do monopolista seja dada por c(y)= y 2 na qual c(y) é o custo total associado a produção de y unidades do produto. Quanto o monopolista deve produzir caso seja introduzida uma cobrança de um imposto t sobre a venda de cada unidade do produto? Compare sua resposta com a resposta dada ao exercício 3. De quanto cresce o preço praticado pelo monopolista em consequência da introdução do imposto? Vimos no exercício 3 que, para um monopolista com essa função de custo e essa função de demanda, a receita marginal é RMg=a 2b y e o custo marginal é CMg=2y. Do ponto de vista do monopolista a introdução do imposto gera uma aumento de t em seu custo marginal ou, equivalentemente, uma redução de t em sua receita marginal. Assim, a nova condição de equilíbrio passa a ser CMg+ t = RMg, ou, equivalentemente, RMg t = Cmg. Assim, após a introdução do imposto, o monopolista deve escolher y de modo a fazer CMg+ t= RMg 2y+t= a 2b y y m = a t 2+2b. Substituindo essa quantidade na função de demanda, encontramos o preço a ser praticado com o imposto: p m = a b a t 2+2b a(2+ b)+ bt =. 2+2b A diferença entre o preço com imposto e o preço sem imposto (quando t= 0) é a(2+ b)+ bt 2+2b a(2+ b) 2+2b = bt 2+2b. 5
6. Um monopolista se depara com uma curva de demanda de mercado dada por Q=70 p (a) Se o monopolista pode produzir a custos médio e marginal constantes de CMe=CMg=6, qual o nível de produção que o monopolista escolherá a fim de maximizar os lucros? Qual o preço neste nível de produção? Quais os lucros do monopolista? (b) Assuma, por outro lado, que o monopolista tem uma estrutura de custos em que os custos totais são dados por C(Q)=0,25Q 2 5Q+300. Se o monopolista se depara com a mesma demanda de mercado e receita marginal, qual a combinação preço-quantidade que escolherá agora para maximizar os lucros? Quais serão os lucros? (c) Assuma agora que uma terceira estrutura de custos explique a posição do monopolista, com custos totais dados por C(Q)=0,0133Q 3 5Q+250 Novamente, calcule a combinação preço-quantidade do monopolista que maximiza os lucros. Qual será o lucro? (Dica: faça CMg = RMg como normalmente se faz e use a fórmula quadrática para resolver a equação de segunda ordem para Q.) (d) Faça os gráficos da curva de demanda do mercado, da curva de receita marginal, e das três curvas de custo marginal dos itens (a), (b) e (c). Note que a habilidade de obter lucros do monopolista é restringida por (1) a curva de demanda do mercado (com a qual está associada a curva de receita marginal) e (2) a estrutura de custos subjacente à produção. Para todos os itens, a curva de demanda é a mesma: Q=70 p ou, na forma inversa, p=70 Q. A receita total será, portanto, RT(Q)= pq=70q Q 2 e a receita marginal será a derivada da receita total, isto é, RMg = 70 2Q. Nos itens (a) a (c), para encontrarmos a quantidade produzida, iremos igualar essa receita marginal ao custo marginal. (a) Como o custo marginal é constante igual a 6, o monopolista deverá fazer Substituindo na função de demanda,encontramos O lucro do monopolista será (b) O custo marginal de nosso monopolista será 70 2Q=6 Q=32. P= 70 32=38 π=38 32 6 32=24. CMg= dc(q) dq = 0,5Q 5. 1 Para encontrar a quantidade produzida igualamos esse custo marginal à receita marginal: 0,5Q 5=70 2Q Q=30. O preço cobrado será e o lucro do monopolista será p=70 30=40 π=40 30 C(30)=40 30 0,25 30 2 5 30+300 = 825 1 Observe que se trata de uma função de custo esquisita, pois há valores de Q para os quais o custo marginal é negativo. 6
(c) Para não nos perdermos com números, assumamos que o número 0,0133 que aparece na função de custo seja um arredondamento de 0,0133...=1/75. O custo marginal da empresa é CMg=0,04Q 2 5. 2 Igualando-o à receita marginal, encontramos a quantidade de equilíbrio de nosso monopolista: 0,04Q 2 5=70 2Q 0,04Q 2 + 2Q 75=0 Q=25. O preço será então E o lucro será p=70 2 25=20. 1 π=20 25 75 253 5 25+250 = 00 3. (d) 70 70 CM 60 60 50 RMg 50 40 30 20 0 p(q) π CM=CMg 0 5 15 20 25 30 35 40 (a) Q 40 30 20 0 p(q) π CMg RMg 0 5 15 20 25 30 35 40 (b) Q 70 60 CMg 50 40 30 20 0 p(q) CM π RMg 0 5 15 20 25 30 35 40 (c) Q 2 Essa função de custo marginal também é estranha, pois, para Q pequeno, o custo marginal fica negativo. 7
7. Uma empresa é a única compradora do único insumo que emprega em seu processo de produção. Sua função de produção é y= 5x na qual x é a quantidade empregada desse insumo e y é o produto obtido. O preço de por unidade de seu produto é R$ 50,00 e o preço do insumo é determinado pela função de oferta inversa w = 5x. Determine: (a) A quantidade que a empresa emprega do insumo (b) O preço desse insumo. (c) A quantidade que a empresa deveria empregar do insumo, caso produzisse em condições de eficiência. (d) O peso morto do monopsônio. (a) Encontramos a quantidade empregada do insumo pelo monopsônio ao igualar o custo marginal da contratação desse insumo ao valor de seu produto marginal. Como y= 5x, o produto marginal de x é PMg=5, e, sendo p=50, o valor do produto marginal é 5 50=250. O custo de contratação do insumo é C x = 5x x= 5x 2. Logo, o custo marginal de contratação é CMg x = x. Desse modo, para maximizar seu lucro, o monopsônico deve fazer x= 250 x m = 25. (b) Substituindo x= 25 na função de oferta do insumo, encontramos a que preço ele será contratado: w m = 5 25=125. (c) O nível eficiente (x ) de contratação do insumo é aquele que iguala o preço desse insumo ao valor de seu produto marginal: 5x= 250 x= 50. (d) A perda de peso morto do monopsônio PPM<++> é a área abaixo da curva do valor do produto marginal do insumo (250) e acima da curva de oferta desse insumo (w=5x) calculada entre a contratação do monopsônio, x m, e a contratação ótima, x : PPM= 50 25 (250 5x)d x= 250x 2,5x 2 50 25 = 1562,5 8
8. Refaça o exercício anterior supondo agora que a função de oferta do insumo de produção seja x= w. (a) Como não mudaram os dados referentes à função de produção e ao preço do protuo, o valor do produto marginal segue sendo p PMg=250. Para determinarmos o custo de contratação do insumo em função de x, invertemos a curva de oferta, obtendo w=x 2 e, portano C x = x 2 x=x 3. Logo, o custo marginal de contratação é CMg x = 3x 2. Desse modo, para maximizar seu lucro, o monopsônico deve fazer 3x 2 = 250 x m = 5 3. (b) Substituindo x= 25 na função de oferta do insumo, encontramos a que preço ele será contratado: 2 w m = 5 = 250 3 3. (c) O nível eficiente (x ) de contratação do insumo é aquele que iguala o preço desse insumo ao valor de seu produto marginal: x 2 = 250 x= 5. (d) A perda de peso morto do monopsônio PPM<++> é a área abaixo da curva do valor do produto marginal do insumo (250) e acima da curva de oferta desse insumo (w=5x) calculada entre a contratação do monopsônio, x m, e a contratação ótima, x : PPM= 5 (250 x 2 )d x= 5 3 250x x3 3 = 2500 5 3 3. 3 5 9
9. As empresas Gargantuan possuem o monopólio na produção de antimacassares. Sua fábrica está localizada na cidade de Pantagruel. Não há outra empresa em Pantagruel e a oferta de trabalho lá é dada por W= +0,1L na qual W é o salário diário e L é o número de pessoas-dia de trabalho. Antimacassares são produzidos com uma função de produção Q=L na qual L é a provisão diária de trabalho e Q é o produto diário. A demanda por antimacassares é P= 41 Q na qual P é o preço e Q a quantidade 1.000 vendida diariamente. Econtre: (a) O produto que maximiza o lucro da empresa e o preço a ser cobrado pelo antimacassar. (b) A quantidade contratada de trabalho e o salário diário. Este é um caso diferente do analisado em sala de aula, pois temos uma empresa que é, ao mesmo tempo, monopolista no mercado de seu produto e monopsonista no mercado de seu insumo. Sejam RT(Q) a função que descreve a relação entre a receita dessa empresa com a quantidade produzida, f(l), a função de produção e C L (L) a função que relaciona o custo de contratação do fator à quantidade contratada do mesmo. A empresa deseja maximizar RT(Q) C L (L), sabendo que Q= f(l). Assim o problema dela é encontra L que maximize RT f(l) C L (L). A condição de primeiro ordem requer que f (L) d dq RT= d d L C L isto é, o produto marginal vezes a receita marginal (a receita do produto marginal) deve igualar-se ao custo marginal de contratação do fator de produção L: Vamos usar esse resultado para resolver o exercício. (a) A receita total da empresa é. Então sua receita marginal é O produto marginal do fator L é portanto, a receita do produto marginal é PMg L RMg=CMg L. RT(Q)= P Q=41Q Q2 RMg=41 Q 500. PMg L = d L= d L 00 RMg PMg=4 Q 50. O custo total de contratação do insumo de produção é C L =(+0,1L)L= L+ 0,1L 2
e, portanto, o custo marginal de contratação desse insumo é CMg L = + L 5. Assim, a condição de lucro máximo do monopsonista é 4 Q 50 = + L 5. Para encontrarmos Q, substituímos L= Q/ (função de produção inversa) obtendo 4 Q 50 = + Q 50 Q=.000 Substituindo essa quantidade na função de demanda, obtemos o preço a ser cobrado pelo antimassacar: P= 41 000 00 = 31. (b) Em equilíbrio Q =.000 e, sendo que Q = L, L =.000/ = 1.000. Substituindo na função de oferta de trabalho, ficamos com W= +0,1 1.000=1. 11