Capítulo 8. O campo magnético

Capítulo 8 O campo magnético A figura é uma representação artística do campo magnético terrestre e do vento solar (a escala da figura foi exagerada por motivos artísticos). O campo magnético impede a entrada das partículas carregadas do vento solar; o campo magnético da Terra é comprimido no lado onde é dia e estendido no lado onde é noite. Algumas partículas entram na magnetosfera e acumulam-se numa região toroidal (em amarelo) conhecida como *cinturão de Van Allen. As partículas nesse cinturão acumulam-se no norte e sul, dando origem às aurora boreais e austrais. Fonte: Wikipédia. 82

8 O campo magnético 2007-11-21 83 8.1 Actividade prática Usando uma bússola identifique o pólo norte e o pólo sul do íman: o pólo norte da bússola é o que aponta na direcção do norte; o pólo sul do íman atrai o pólo norte da bússola, e o pólo norte do íman atrai o pólo sul da bússola. Acerque o íman às barras metálicas e a outros objectos e observe em quais casos existe força magnética. Coloque o íman perto da bobina de cobre, sem ligar a pilha. Observa alguma força magnética sobre a bobina? Ligue a pilha à bobina, e observe a força magnética entre o íman e a bobina; não deixe muito tempo a bobina ligada, porque a corrente é elevada e descarrega a pilha. 8.2 Força magnética A força magnética é outro tipo de força entre alguns objectos, que actua a distância sem existir contacto entre os objectos, tal como a força gravítica e a força eléctrica. Pode ser atractiva ou repulsiva, o que fez com que antigamente (antes de 1600) fosse confundida com a força eléctrica. Os objectos que produzem forças magnéticas, os ímanes, podem ser orientados de forma a produzir forças atractivas ou repulsivas entre si. Nomeadamente, em cada íman pode ser identificado um pólo norte e um pólo sul. Entre pólos diferentes a força é atractiva, e entre pólos semelhantes a força é repulsiva. A diferença principal com as cargas eléctricas, é que se cortamos um íman em vários pedaços menores, cada pedaço será um íman com pólo norte e pólo sul. Não é possível isolar um dos pólos magnéticos, enquanto que num objecto podemos isolar as cargas eléctricas positivas e negativas. Para distinguir entre os pólos norte e sul, usamos como referência a própria Terra que é também um íman gigante. Uma bússola é um pequeno íman com dois pólos; um desses pólos é atraído para o norte geográfico e o outro para o sul. O pólo da bússola que é atraído para o norte geográfico é o pólo norte magnético da bússola. Com essa definição, temos que o pólo norte magnético da Terra se encontra no seu pólo sul geográfico que é a região que atrai o pólo sul magnético da bússola. Existem ímanes naturais que se encontram na natureza; na Grécia antiga, as rochas extraídas nas minas da região da Magnesia eram ímanes naturais que deram origem ao termo magnetismo. Os materiais que podem ser magnetizados, formando um íman, são chamados ferromagnéticos; a maior parte das substâncias são diamagnéticas, nomeadamente, não podem ser magnetizadas e não interagem com o campo magnético em forma apreciável, excepto num campo magnético muito forte, onde sentem uma força repulsiva. Finalmente, existem também substâncias paramagnéticas que são atraídas ligeiramente pelos ímanes (os materiais ferromagnéticos são atraídos com maior força).

8 O campo magnético 2007-11-21 84 8.3 Campo magnético Tal como no caso da força eléctrica, é conveniente definir um campo magnético e calcular a força magnética a partir do campo. Se usarmos um pequeno íman de prova, poderemos descobrir a presença de um campo magnético num ponto, porque o íman terá uma tendência a orientar-se numa direcção específica. A direcção e o sentido em que se orienta a bússola usa-se para definir a direcção do campo magnético, B, que é um campo vectorial. A bússola roda, apontando na direcção do campo magnético devido a que, como qualquer íman, a bússola tém um momento magnético, m que é um vector orientado desde o seu pólo sul até o seu pólo norte; um campo magnético B produz um binário, T, igual ao produto vectorial entre o momento magnético e o campo: T = m B Os electrões também têm um momento magnético chamado spin. Dois electrões têm uma tendência a se juntar, com os seus spins em sentidos opostos (pólo sul com pólo norte e pólo norte com pólo sul). 8.4 Linhas de campo magnético As linhas contínuas que em todos os pontos seguem a direcção do campo magnético são as linhas de campo magnético. As linhas de campo magnético de um imán são todas linhas fechadas que saem do pólo norte e entram no pólo sul: N S Contrariamente às linhas de campo eléctrico, as linhas de campo magnético sim podem ser fechadas. De facto, quase todas as linhas de campo magnético são fechadas; as que não forem fechadas, deverão vir desde o infinito e afastarem-se até o infinito, pois não podem

8 O campo magnético 2007-11-21 85 existir pontos onde nascem ou desaparecem linhas, já que não existem pólos norte ou sul isolados. Nos pontos onde as linhas de campo magnético se cruzam, o campo magnético é nulo. 8.5 Momento magnético dos condutores com corrente Uma bobina é um fio condutor enrolado. Cada volta completa do fio na bobina designa-se de espira. Quando o fio é percorrido por uma corrente, cada espira adquire um momento magnético: m = A e n sendo A a área da espira e e n o versor perpendicular à espira, no sentido definido pela regra da mão direita: o polegar da mão direita define o sentido de m, quando os outros quatro dedos apontarem no sentido da corrente na espira. e n e n O momento magnético da bobina é a soma dos momentos das espiras. Se a bobina tiver N espiras, comporta-se como um íman com momento magnético m = NA e n. Se existir um campo magnético B uniforme, o binário sobre a bobina é dado pelo produto vectorial m B. Se o campo não for uniforme, a área da bobina deverá ser dividida em pequenos pedaços para calcular o binário total por meio de um integral de superfície. O binário produzido sobre uma bobina com corrente num campo magnético é o princípio usado nos motores eléctricos. Os dois terminais da bobina ligam-se a um comutador, que

8 O campo magnético 2007-11-21 86 pode rodar juntamente com a bobina; o comutador faz com que a ligação dos terminais a uma diferença de potencial externa seja invertida cada vez que a perpendicular à bobina esteja orientada na direcção de um campo magnético externo de um íman. A corrente na bobina faz com que rode, até quando o seu momento magnítico aponte no sentido do campo externo. Nesse momento, a inversão na polaridade da bobina muda o sentido da corrente e, portanto, do momento magnético, que passa a formar um ângulo de 180 com o campo. A bobina roda novamente, porque o binário magnético tende a alinhar o momento magnético no sentido do campo. 8.6 Força magnética sobre condutores com corrente O binário produzido pelo campo magnético sobre uma espira com corrente pode ser explicado pelo facto de que em cada segmento do fio actua uma força magnética. Se o vector representar a intensidade, direcção e sentido da corrente, num segmento de fio com comprimento s, a força magnética que actua nesse segmento é: F = B s Em geral será preciso integrar a expressão anterior para obter a força total sobre um fio. No caso particular em que o fio for rectilíneo, com comprimento L, e o campo magnético for uniforme, a força resultante é: F = L B 8.7 Unidades do campo magnético As equações para calcular o binário produzido por um campo magnético sobre uma espira e a força sobre um fio com corrente, permitem-nos concluir que, no sistema internacional de unidades, as unidades do campo magnético são N m A essa unidade é o tesla, identificado pela letra T. Um campo magnético de um tesla é um campo bastante elevado, capaz de apagar a informação nos cartões de crédito. Uma unidade menor, usada com frequência, é o gauss, identificado com a letra G: 1G = 10 4 T o módulo do campo magnético terrestre, na superfície da Terra, encontra-se entre 0.3 G e 0.6 G em diferentes locais.

8 O campo magnético 2007-11-21 87 8.8 Força magnética sobre partículas com carga A força produzida pelo campo magnético sobre um fio com corrente pode ser explicada como a força resultante das forças que actuam sobre cada uma das cargas de condução, devido ao seu movimento. B F F F Quando não há corrente, a velocidade média das cargas de condução é nula e não existe força magnética. Quando a corrente aumenta no condutor, a velocidade média das cargas de condução aumenta em proporção directa à corrente, e a força sobre cada carga de condução também aumenta em proporção directa. A força magnética sobre cada carga de condução e, em forma geral, a força magnética sobre qualquer partícula com carga q é dada pela equação: F = q v B em que v é a velocidade da partícula e B é o campo magnético no ponto onde se encontra a partícula. Assim, a força magnética é directamente proporcional ao módulo da velocidade da partícula e à sua carga. Se a velocidade for paralela ao campo, a força será nula, e se a velocidade for perpendicular ao campo, a força é máxima. A força magnética é perpendicular à velocidade da partícula e perpendicular ao campo. Se a carga da partícula for positiva, o sentido da força encontra-se usando a regra da mão direita, desde v até B: F B F B v v ou no sentido oposto, se a carga da partícula for negativa.

8 O campo magnético 2007-11-21 88 8.9 Movimento de cargas dentro dos campos eléctricos e magnético Numa região onde existem campos eléctrico, E, e magnético, B, a força sobre uma partícula com carga q e velocidade v é ( ) F = q E + v B Em geral, a força resultante tem componentes tangencial e normal. A força magnética é sempre no plano perpendicular ao versor tangencial. Qualquer mudança de energia cinética é devida ao campo eléctrico já que o campo magnético não realiza nenhum trabalho, por produzir força sempre perpendicular ao deslocamento. e b e n e t 8.10 Movimento num campo magnético uniforme As linhas de campo magnético de um campo magnético uniforme são rectas paralelas e costumam desenhar-se equidistantes entre sim, para indicar a uniformidade do campo. Num plano perpendicular ao campo uniforme, as linhas são desenhadas como pontos, se o campo apontar para fora do desenho, ou por meio de x, se o campo apontar para dentro do desenho, como no caso seguinte: r F q v Se a velocidade inicial de uma partícula com carga q for perpendicular ao campo, o módulo da força magnética será qvb. Como em cada instante a força é perpendicular à velocidade, e o

8 O campo magnético 2007-11-21 89 modulo da velocidade permanece constante (a força magnética não altera a energia cinética), o resultado será um movimento circular uniforme em que a força centrípeta, mv 2 /r é a força magnética qvb; consequentemente, o raio da trajectória será: e a velocidade angular: r = mv qb ω = qb m as partículas com cargas negativas rodarão em sentido oposto às partículas com carga positiva. Se a velocidade inicial não for perpendicular ao campo, a componente da velocidade no sentido do campo permanecerá constante, enquanto que a velocidade perpendicular roda, com a velocidade angular dada pela equação anterior. A sobreposição do deslocamento uniforme, na direcção do campo, e movimento circular uniforme no plano perpendicular, produz um movimento helicoidal que segue as linhas de campo magnético. O raio da hélice será menor nas regiões onde o campo for mais forte, e as linhas de campo estiverem mais perto umas das outras. 8.11 Filtro de velocidades Um par de campos eléctrico e magnético, uniformes e perpendiculares entre si podem ser usados para filtrar partículas com uma determinada velocidade. Na figura a seguir, o campo eléctrico uniforme aponta para cima, e o campo magnético uniforme aponta para fora do papel. F e v < E B q v E v = E B F m B v > E B Uma partícula com carga positiva q e velocidade para a direita sentirá uma força eléctrica q E para cima, e uma força magnética de módulo qvb, para baixo. Consequentemente, a força resultante será nula se o módulo da velocidade for exactamente igual a

8 O campo magnético 2007-11-21 90 v = E B Coloca-se uma barreira no filtro, de maneira que unicamente as partículas que se deslocam em linha recta (com velocidade E/B) logrem ultrapassar a barreira. 8.12 Campo magnético de um fio com corrente Como vimos, uma espira com corrente tem um momento magnético que interage com o campo magnético como se fosse um íman. A espira também produz um campo magnético à sua volta. A figura seguinte mostra as linhas de campo magnético de uma espira circular com corrente, no plano perpendicular que corta a espira ao meio: De salientar que o sentido das linhas de campo segue a regra da mão direita: se o polegar da mão direita apontar no sentido da corrente, os outros quatro dedos apontarão no sentido das linhas de campo perto do fio. O campo produzido num ponto P, por um pequeno pedaço de fio com comprimento s, é dado pela lei de Biot-Savart: B = k m s e r 2 onde k m é uma constante magnetostática, r é a distância entre o pedaço de fio e o ponto P, e e é um versor que aponta desde o pedaço de fio até o ponto P: B s e r P A

8 O campo magnético 2007-11-21 91 No vácuo, o valor da constante magnetostática é k m = 10 7 N A 2 Num meio diamagnético, k m deverá ser substituída por µ/(4π), onde µ é a permeabilidade magnética do meio. Um caso importante é o campo produzido por um fio rectilíneo, muito comprido. Usando a lei de Biot-Savart e integrando ao longo do fio, obtém se o campo magnético, que em cada ponto é perpendicular ao plano que passa pelo ponto e pelo fio, e tem módulo igual a: B = 2k m r A figura mostra as linhas de campo magnético do fio rectilíneo, vistas de lado (lado esquerdo da figura) e vistas de cima (lado direito da figura): B B 8.13 Força entre condutores com corrente Cada condutor com corrente cria um campo magnético que produz forças magnéticas sobre outros condutores com corrente. Assim, entre dois condutores com corrente existem forças magnéticas. Calculando o sentido do campo produzido por cada condutor, e o sentido da força que esse campo exerce sobre o segundo condutor, é fácil concluir que a força entre dois fios com correntes no mesmo sentido é atractiva, e a força entre dois fios com correntes em sentidos opostos é repulsiva. (a) (b) 1 2 1 2 F 21 F 12 F 21 F 12

8 O campo magnético 2007-11-21 92 Se os dois fios condutores forem rectilíneos e paralelos, com comprimento L muito maior que a distância r entre eles, o campo de cada um pode ser calculado pela equação obtida no fim da secção anterior; por exemplo, o campo do fio 1 nos pontos onde se encontra o fio 2 tem módulo: B 1 = 2k m 1 r e a força que esse campo exerce sobre o fio 2 obtém-se a partir do produto vectorial L 2 B 1. Assim, o módulo da força que o fio 1 exerce sobre o fio 2 é: F 12 = 2k m L 1 2 r 8.14 Perguntas e problemas 1. Um segmento de fio condutor rectilíneo, que transporta uma corrente, encontra-se numa região onde existe um campo magnético uniforme. Se a força magnética sobre o fio for nula, o que é que podemos concluir acerca do campo magnético? (a) O campo magnético é paralelo ao fio. (b) O campo magnético é perpendicular ao fio. (c) O campo magnético é nulo. (d) Trata-se de uma situação impossível. 2. Em cada caso diga se existem forças electrostática ou magnética e se são atractivas ou repulsivas: (a) Dois feixes de electrões paralelos e com a mesma velocidade? (b) Dois fios paralelos percorridos por correntes com o mesmo sentido? (c) Dois fios paralelos percorridos por correntes de sentido contrário? (d) Dois feixes de electrões paralelos, mas de sentido contrário? (e) Um fio percorrido por uma corrente e um feixe de electrões paralelo com o mesmo sentido da corrente? (f) Um fio percorrido por uma corrente em feixe de electrões paralelo de sentido contrário? 3. Um protão "navega"na atmosfera solar, a uma velocidade de 0.15c, onde c é a velocidade da luz no vazio (2.998 10 8 m/s). O protão atravessa um campo magnético uniforme de 0,12 T, formando um ângulo de 25. Calcule o raio do cilindro que envolve a órbita helicoidal do protão (a massa do protão é 1.67 10 27 kg).

8 O campo magnético 2007-11-21 93 4. Um feixe de protões desloca-se com uma velocidade constante v, segundo o eixo dos x. As partículas atravessam, sucessivamente, duas regiões, e, caracterizadas do seguinte modo: em, existe um campo magnético, B 1 e em, coexistem um campo magnético, B 2, e um campo eléctrico, E = E j. Todos os campos são uniformes nas regiões em que foram definidos e anulam-se fora delas. A interacção gravítica não é significativa. Quais as condições a que devem obedecer os campos B 1 e B 2 para que o feixe não sofra qualquer perturbação no seu movimento, enquanto atravessa as regiões e? Se em vez de um feixe de protões, fosse um feixe de electrões, as condições estabelecidas manter-se-iam? z y x 5. Num filtro de velocidades os módulos dos campos magnético e eléctrico são 0.1 T e 0.2 MV/m, respectivamente. (a) Qual deve ser a velocidade de uma partícula para que não seja desviada ao passar pelos campos? (b) Qual é a energia que deve ter um protão para passar através do filtro? (c) E qual a energia de um electrão que sai do filtro? (a massa do electrão é 9.11 10 31 kg e a do protão 1.67 10 27 kg), 6. Considere uma bobina circular de 400 espiras e raio 0.1 cm, num campo magnético uniforme de 0.3 T. Calcule o binário máximo sobre a bobina quando a corrente for 92 ma. 7. Na figura está representado esquematicamente um corte transversal de dois fios compridos e paralelos, perpendiculares ao plano xy, cada um com uma corrente, em sentidos opostos. (a) Represente os vectores do magnético de cada fio e o campo resultante no ponto P. (b) Deduza a expressão para o módulo do campo de magnético em qualquer ponto sobre o eixo x, em função de x. y a a x P x 8. A figura mostra as linhas de campo magnético de um fio com corrente, dentro de um campo magnético uniforme B ext ; o fio é perpendicular à folha e os eixos y e z foram

8 O campo magnético 2007-11-21 94 escolhidos sobre o plano da folha. (a) Escreva o versor na direcção do campo externo, usando o sistema de eixos dado. (b) Escreva o vector unitário na direcção da corrente no fio. (c) Calcule e represente o vector unitário na direcção da força sobre o fio. (d) Considerando que = 0.5 A e se a força sobre o fio, por unidade de comprimento, for de 2 10 5 N/m, calcule a distância até ao ponto P. z y 30 P 9. Considere dois fios de cobre, rectilíneos e paralelos, de 60 cm de comprimento, distanciados de 9 cm e com raios de 2 mm e 3 mm. Calcule o valor da força magnética entre os fios quando cada um deles for ligado a uma fem de 1.5 V. (Use o valor da resistividade do cobre à temperatura ambiente: 17 nω m.) 10. Os dois fios representados na figura são muito compridos e cada um transporta uma corrente de 3 A. Um dos fios e o ponto P encontram-se sobre o plano xy, enquanto que o outro fio se encontra num plano paralelo a xy mas 5 cm acima deste (z = 5). Calcule o valor do campo vectorial B no ponto P com coordenadas x = 1 m, y = z = 0. y 3 A 1 m 30 x P 30 3 A 8.15 Respostas 1. a. 2. Resposta:

8 O campo magnético 2007-11-21 95 (a) Força magnética atractiva e força electrostática repulsiva. (b) Unicamente força magnética, atractiva. (c) Unicamente força magnética, repulsiva. (d) Forças magnética e electrostática repulsivas. (e) Unicamente força magnética, repulsiva. (f) Unicamente força magnética, atractiva. 3. 1.66 m 4. B 1 = B 1 i, B 2 = B 2x i + (E/v) k, onde B 1, B 2x e E podem ser quaisquer funções, não necessariamente constantes. As condições obtidas são válidas para qualquer tipo de partículas 5. (a) 2 10 6 m/s. (b) 3.34 10 15 J. (c) 1.82 10 18 J 6. 3.47 10 5 N m 7. (b) B = 4k m,a x 2 + a 2 8. (a) 3/2 j + 1/2 k. (b) i. (c) 1/2 j 3/2 k. (d) 2.5 mm 9. 10,25 N 10. 59.4 i 102.9 j + 2388.1 k nt