Aluno (a): Série: 3ª Turma: TUTORIAL 1B Ensino Médio Equipe de Matemática Data: Matemática Divisibilidade Divisores de um número natural são todos os números naturais que ao dividirem tal número, resultarão em uma divisão exata, isto é, com resto igual a zero. Antes de começar a fazer os exercícios, vamos fazer uma pequena revisão dos critérios de divisibilidade: 1. Um número é divisível por 2 quando ele é par, isto é, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplo: 24, 542, 100008. 2. Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3. Exemplo: 72 é divisível por 3 pois 7 + 2 = 9, que é divisível por 3. 3. Um número é divisível por 4 quando terminar em 00 ou seus dois últimos algarismos formarem um número divisível por 4. Exemplo: 1500 é divisível por 4 pois termina em 00 : 2624 também é divisível por 4 pois 24 é divisível por 4. 4. Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades for 0 ou 5. Exemplo: 125 é divisível por 5 pois termina em 5 ; 120 é divisível por 5 pois termina em 0. 5. Um número é divisível por 6 quando for divisível simultaneamente por 2 e por 3. Exemplo: 420 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3. 6. Um número é divisível por 8 quando terminar em 000 ou seus 3 últimos algarismos formarem um número divisível por 8. Exemplo: 2000 é divisível por 8 pois termina em 000 ; 3184 também é divisível por 8, pois 184 é divisível por 8. 7. Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 9. Exemplo: 423 é divisível por 9, pois 4 + 2 + 3 = 9, que é divisível por 9. 8. Um número é divisível por 10 quando termina em 0. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 1 - NANDA/MARÇO/2014-172
Exemplo: 10, 100, 1000, 150, 200 são números divisíveis por 10 pois terminam em zero. Números Primos Os números que admitem apenas dois divisores (ele próprio e 1 ) são chamados de números primos. Exemplos : a) 2 é um número primo, pois D(2) = { 1,2} b) 3 é um número primo, pois D(3) = { 1,3} c) 5 é um número primo, pois D(5) = { 1,5} d) 7 é um número primo, pois D(7) = { 1,7} e) 11 é um número primo, pois D(11) = { 1, 11} Obs. : O conjunto dos números primos é infinito. P = { 2,3,5,7,11,13,17,19,...} Como reconhecer se um número é primo? O matemático e astrônomo grego Eratóstenes, que viveu há cerca de 2.200 anos, inventou um método que permite obter os números primos naturais. Esse método é conhecido, hoje como Crivo de Eratóstenes. Dispomos os números numa tabela e eliminamos os números que não são primos : inicialmente eliminamos o 1, que não é primo. 2 é primo, mas os outros múltiplos de 2 não são primos e devem ser eliminados. 3 é primo,mas os outros múltiplos de 3 não são primos por isso devem ser eliminados. seguindo-se o mesmo raciocínio para 5, 7 e 11 eliminamos os múltiplos de cada um deles. Os números que restaram e estão circulados são os primos. Modo prático de reconhecer se um número é primo a) O número é par: O único número par que é primo é o 2. Os outros não são primos. b) O número é ímpar: Dado um número ímpar, verificamos se esse número é primo dividindo-o, sucessivamente pelos números primos (3,5,7,11,17...), até o quociente seja menor ou igual ao divisor. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 2 - NANDA/MARÇO/2014-172
Exemplo: Verificar se o número 43 é primo: 43: 3 = 14 resto 1 (14 é maior que 3) 43 : 5 = 8 resto 3 ( 8 é maior que 5) 43 : 7 = 6 resto 1 ( 6 é menor que 7) - nenhuma das divisões é exata ; - o quociente 6 é menor que o divisor 7 ; - logo, 43 é primo. Números Compostos Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. Exemplos : a) 4 é um número composto, pois D(4) = { 1,2,4} b) 6 é um número composto, pois D(6) = { 1,2,3,6} c) 8 é um número composto, pois D(8) = { 1,2,4,8} DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS Um número composto pode ser indicado como um produto de fatores primos, ou melhor, um número pode ser fatorado Exemplo : 140 I 2 070 I 2 035 I 5 007 I 7 001 Procedimentos Escrevemos o número à esquerda de uma barra vertical. Dividimos o número (140) pelo menor número primo possível. Neste caso, é o 2. Voltamos a dividir o quociente, que é 70, pelo menor número primo possível, sendo novamente 2. O processo é repetindo até que o quociente seja 1. Outros exemplos : a) decompor em fatores primos o número 72 72 I 2 36 I 2 18 I 2 09 I 3 03 I 3 01 Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 3 - NANDA/MARÇO/2014-172
b) Decompor em fatores primos o número 525 525 I 3 175 I 5 035 I 5 007 I 7 001 Quantidade de Divisores de um Número Natural O conjunto formado por todos os divisores de um número natural é finito. Veremos agora como calcular a quantidade de divisores. Primeiramente, iremos fatorar o número. Usaremos, como exemplo, o número 72, cuja fatoração foi feita acima e quantidade de divisores iremos calcular. Vimos que 72 = 2 3. 3 2. Assim, 72 será dividido por potências de base 2 e por potências de base 3. As potências de base 2 que o dividem são 2 0, 2 1, 2 2 e 2 3. Portanto, 72 pode ser dividido por 4 potências de base 2. As potências de base 3 que o dividem são 3 0, 3 1 e 3 2. Portanto, 72 pode ser dividido por 3 potências de base 2. Então, seu número de divisores será igual a 4 x 3, ou seja, 72 possui 12 divisores. Os divisores de 72 são : D(72) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}. Regra Prática: Fatora-se o número cuja quantidade de divisores se deseja calcular. Adiciona-se 1 ao valor do expoente de cada fator primo e multiplica-se. Exercícios 1. Dados os números 39, 140, 245, 384, 720 e 2600, assinale a FALSA : a) 140, 384, 720 e 2600 são divisíveis por 4. b) 39, 384 e 720 são divisíveis por 3. c) 140, 245, 720 e 2600 são divisíveis por 5. d) 245 e 720 são divisíveis por 9. e) 384, 720 e 2600 são divisíveis por 8. 2. Qual é o maior número de dois algarismos divisível por 5? a) 90 b) 95 c) 995 d) 85 e) 100 3. Qual é o menor número de três algarismos divisível por 3? a) 123 b) 101 c) 102 d) 111 e) 321 Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 4 - NANDA/MARÇO/2014-172
4. Um número é composto de três algarismos. O algarismo das unidades é 2 e o das centenas é 5. Determine os possíveis valores do algarismo das dezenas para que esse número seja divisível por 3. a) 0 e 3 b) 2, 5 e 8 c) Apenas o algarismo 8 d) 3, 6 e 9 e) 2, 3 e 9 5. Este é um jogo de números cruzados, parecido com as palavras cruzadas. Você deverá substituir os espaços por um algarismo, de modo que os números formados estejam de acordo com as seguintes instruções : Horizontais : A Um número em que cada algarismo é o sucessor do algarismo anterior. B O maior número de três algarismos que seja divisível por 2. C Um número menor que 300. Verticais : A Um número que não é divisível por 2. B Um número divisível por 3, mas não por 2. C Um número de três algarismos iguais. A B C A B C Após preencher totalmente o jogo das cruzadinhas, verifica-se que o algarismo que mais aparece nas quadrículas é o a) 9 b) 8 c) 7 d) 5 e) 1 6. Verifique as afirmativas abaixo : a) O número 127 é primo. b) O número 143 é primo. c) O número 5124 é primo. d) O número 161 é divisível por 7. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 5 - NANDA/MARÇO/2014-172
São verdadeiras : a) As afirmativas a e d b) Apenas a afirmativa d c) Apenas a afirmativa a d) Todas as afirmativas e) As afirmativas b e d 7. Pedro mora no prédio de número 2168, tem 61 anos e 315 reais em sua conta bancária. Ele mora no apartamento 203 e sua sogra mora no mesmo prédio, no apartamento 103. Ele tem 427 amigos virtuais e sua meta é chegar a 1111. Casou-se no ano de 2001 com o grande amor de sua vida. Dos números que aparecem no texto acima, podemos afirmar que são primos a) os números 61, 203 e 2168. b) os números 61 e 203. c) os números 61, 315 e 1111. d) os números 1111, 203 e 427. e) os números 203, 2001 e 1111. 8. Quatro amigos, após conversarem a respeito de suas idades, chegaram à conclusão de que as mesmas eram representadas por números inteiros compostos. Assim, a opção que pode representar as idades dos quatro será: a) 20, 21, 22 e 23 anos b) 16, 18, 19 e 22 anos c) 15, 16, 21 e 27 anos d) 18, 22, 24 e 29 anos e) 15, 21, 27 e 31 anos 9. Quantos divisores naturais possui o número 200? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 18 10. Ao calcularmos a quantidade de divisores naturais de cada um dos seguintes números : 12, 120, 150 e 1.000.000, verificaremos que (A) o número de divisores naturais de 120 é 10 vezes o número de divisores naturais de 12 (B) a soma da quantidade de divisores naturais de 12, 120 e 150 será maior do que a quantidade de divisores naturais de 1.000.000 (C) dos quatro números, quem tem mais divisores naturais é o 150 (D) o número de divisores naturais de 150 é o dobro do número de divisores naturais de 12 (E) o número 1.000.000 possui mais de 50 divisores naturais a) 12 b) 150 c) 1.000.000 d) 120 Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 6 - NANDA/MARÇO/2014-172
Respostas: 1) (D) Observe : Divisíveis por 2 : 140, 384, 720 e 2600. 3 : 39, 384 e 720. 4 : 140, 384, 720 e 2600. 5 : 140, 245, 720 e 2600. 6 : 384 e 720. 8 : 384, 720 e 2600. 9 : 720. 10 : 140, 720 e 2600. 2) (B)95 ; 3) (C)102 ; 4) 2, 5 e 8, que formariam os respectivos números 522, 552 e 582. 5) (B) 8 A B C A B C 6 7 8 9 9 8 1 5 8 6) (A) a) O número 127 é primo? (R: sim) b) O número 143 é primo? (R: não) c) O número 5124 é primo (R: não) (é par) d) O número 161 é divisível por 7 (R: sim) 7) (B) Os números que são primos: 61 e 103 8) (C) 15, 16, 21 e 27 anos 9) (D)12 divisores. 10) (D) 12 possui 6 divisores ; 150 possui 12 ; 1.000.000 tem 49 ; 120 tem 16 divisores. Colégio A. LIESSIN Scholem Aleichem - 7 - NANDA/MARÇO/2014-172