Curso: Introdução à Física Atômica Molecular Professor: Phillipe Wilhelm Courteille Autor: Tiago Gualberto Bezerra de Souza Aspectos Quânticos da Óptica Não Linear Introdução Óptica não linear é o ramo da fotônica, que estuda a interação entre luz e matéria. Mais especificamente, a óptica não linear estuda fenômenos que ocorrem como consequência das modificações das propriedades ópticas dos materiais pela presença de luz, de forma que esta introduza uma perturbação no sistema Tais modificações são apreciáveis apenas quando a luz interagente é suficientemente intensa, aproximadamente da ordem do campo elétrico interatômico ( ) de forma que esses fenômenos só foram propriamente estudados após o advento do laser. Geralmente, a interação luz-matéria é expressa através da relação entre a polarização induzida no meio ( ) com o campo óptico da luz ( ). No caso das propriedades ópticas lineares, essa relação pode ser expressa de forma linear: (1) Porém, no regime perturbativo da óptica não linear essa expressão é generalizada a uma série de potências do campo elétrico [ ] (2) De forma que termos de polarização de ordens mais elevadas ( ) são considerados. Logo, os fenômenos são não lineares no sentido de que o seu efeito óptico depende não linearmente com o campo óptico aplicado ao material. Em um tratamento mais completo, em termo de propriedades ópticas dos materiais, e são campos vetoriais e a susceptibilidade elétrica é uma grandeza tensorial. Contudo, para simplificar o tratamento e torna-lo mais didático considerar-seos campos como escalares e como constantes independentes da frequência. Exemplos de fenômenos ópticos não lineares são: os processos paramétricos de soma e diferença de frequências (Figura 1), oscilação paramétrica óptica e a dependência do índice de refração com a intensidade óptica.
Figura 1 Processos paramétricos de a) soma de frequência, b) diferença de fequência e c) geração de terceiro harmônico. E como exemplo de um processo não paramétrico tem-se: a absorção multifotônica, espalhamento Raman estimulado e a absorção saturada. Nesse ultimo, o coeficiente de absorção do material diminui com o aumento da intensidade de luz: (3) A absorção saturada é um exemplo em que a teoria perturbativa não é capas de prover bons resultados, e a sua descrição mais fidedigna se dá pela aproximação de um sistema quântico com dois níveis. Se faz importante também ressaltar que processos paramétricos são aqueles em que os estados quânticos iniciais e finais de um sistema são idênticos e que, consequentemente, a população de um estado quântico só pode ser removida por um breve lapso temporal limitado pelo princípio de incerteza de Heisenberg ( ) quando ela reside em um estado virtual, diferente em energia do estado inicial. Já os processos não paramétricos são aqueles que envolvem transferência de população entre níveis de energia reais, auto estados do hamiltoniano do sistema. Em termos da susceptibilidade elétrica do meio, é uma grandeza real em processos paramétricos e imaginária em não paramétricos. Descrições da susceptibilidade óptica não linear A descrição dos fenômenos ópticos não lineares podem ser abordados por diversas perspectivas, sendo a maioria delas semi-clássicas no sentido que a matéria é tratada quanticamente, enquanto que a radiação eletromagnética é vista classicamente. Uma delas é a descrição que explora a natureza ondulatória da radiação, que utiliza as equações de Maxwell para descrever a geração de novas componentes espectrais pelos termos de polarização não linear, e mais geralmente ela explica como diferentes frequências podem se acoplar através da sua interação não linear com o material. Pode ser demonstrado que a equação de onda eletromagnética no regime não linear é descrita por: (4)
tal que. Nessa visão, age como termo fonte de frequências, diversas daquela incidente. Muito embora a teoria eletromagnética seja capaz de explicar diversos aspectos da óptica não linear, é a descrição quântica que fornece expressões explícitas para a susceptibilidade óptica não linear. Há três motivações principais para obter expressões quânticas: i. Elas revelam uma forma funcional do termos da susceptibilidade óptica não linear e mostram como estas dependem de parâmetros microscópicos dos materiais, tais como os momentos de dipolo de transição e os níveis de energia atômicos. ii. Elas mostram as simetrias internas da susceptibilidade não linear. iii. Podem ser usadas para calcular numericamente os valores das susceptibilidades não lineares. As previsões numéricas da teoria quântica para a susceptibilidades ópticas não lineares são precisas, particularmente, para o caso de vapores atômicos, pois os parâmetros atômicos destes são conhecidos com precisão suficiente para que a teoria forneça resultados confiáveis. Ainda dentro da mecânica quântica, dois formalismos podem ser empregados para o calculo das susceptibilidades ópticas não lineares. A teoria quântica de perturbação da função de onda é usada para fazer predições sobre sistemas não ressonantes, ou seja, aqueles em que a energia no fóton é bem menor do que a separação entre dois auto-estados do material. Entretanto, quando as interações são próximas da ressonância, e é necessário incluir processos de relaxação, utiliza-se o formalismo da matriz de densidade de estados que, embora seja mais complexo, provê resultados mais geralmente válidos. Óptica não linear em uma aproximação de um sistema de dois níveis Finalmente, tendo se estabelecido os conceitos gerais da óptica não linear e introduzido como a mecânica quântica se relaciona com ela, podemos fazer um estudo de caso para compreender melhor a abordagem quântica da óptica não linear. Para tanto, será apresentado um exemplo em a expansão em série de potências não converge, ou seja, o tratamento em que a luz entra como uma perturbação do sistema não é conveniente. Então, como já foi citado no início do texto, esse é o caso dos absorvedores saturados. Lembrando que neles o coeficiente de absorção depende da intensidade ( ) do campo óptico aplicado. Nessas condições a complexidade de descrever o sistema de uma maneira não perturbativa pode ser compensada pela aproximação de dois níveis de energia,
pois ela elimina a soma sobre todos os estados que aparecem na expressão geral de. Embora a aproximação de dois níveis ignore muitas das características dos sistemas atômicos reais, ela é muito rica quando trata de efeitos como absorção saturada, oscilação de Rabi e Stark óptico. Solução estacionária para um campo monocromático e um sistema de dois níveis Em um sistema de dois níveis ( e ), abstendo efeitos de amortecimento, a interação de um sistema de dois níveis com um campo óptico é descrito pelo hamiltoniano, onde representa a energia dos estados puros ( e ) e a interação com a luz. Assumindo que a interação possa ser seja descrita pela aproximação de dipolo elétrico ( ) e que os estados do sistema tenham paridade bem definida, tem-se que, pois. Dessa forma, os únicos elementos não nulos da interação são e, relacionados por. A evolução do operador de densidade ( ) do sistema de dois níveis é dada pela seguinte expressão: [ ] (5) tal que é a frequência de transição. Desenvolvendo essa equação de movimento para os níveis e demosntra-se que é uma quantidade conservada, e como os elementos diagonais de representam probabilidades de ocupação dos estados, temos que para um sistema fechado. Neste ponto a equação do movimento pode ser generalizada para incluir processos de relaxação (Figura 2), como o decaimento do nível para o à taxa e a largura de linha de transissão Figura 2 Processo de relaxamento de em um sistema de dois níveis No geral, os processos de relaxação são introduzidos fenomenologicamente nas equações do movimento, sem que haja prejuízos para o desenvolvimento destas. Assim, incluindo os termos citados tem-se:
( ) (6) (7) onde é enfatizada a diferença de população entre os estados, que relaxam da condição inicial ( ) até o equilíbrio (, supondo que no equilíbrio térmico este termo possa ser diferente do que ) em um tempo da ordem de. Como as equações de movimento não podem ser resolvidas analiticamente para, usa-se uma aproximação chamada de onda girante 1. Nessa aproximação, na ausência de fontes externas, evolui como e, portanto, é aproximadamente igual a, logo, a parte de que oscila com atua de forma mais efetiva do que na evolução de : ( ) (8) Além da aproximação de onda girante, também é interessante eliminar a solução transiente das equações de movimento, determinando a solução estacionária do problema. Para isso, introduz-se um termo que varia lentamente com o tempo ( ) e despreza-se as taxas de variação ( ). Resolvendo algebricamente as equações, obtem-se: [ ] ( ) (9) (10) Finalmente, determina-se a polarização do material ( ), e consequentemente sua susceptibilidade ( ), através do formalismo da matriz de densidade, em função de parâmetros microscópicos do meio. (11) [ ] (12) onde é a frequência de Rabi, e, é a dessintonização do campo óptico. Com esse formalismo quântico, a susceptibilidade expressa é total, estando incluso os efeitos lineares e não lineares, para exemplificar basta considerar o coeficiente de absorção ( ), que é uma quantidade diretamente observável. 1 Tradução livre do autor para rotating wave approximation.
(13) [ ] (14) Vê-se que a equação para a absorção tem a mesma forma funcional que a equação 3, e que relaciona o coeficiente de absorção linear com as grandezas quânticas do sistema com dois níveis. A tendência da absorção decrescer quando medida com campos ópticos intensos é conhecida como saturação. A situação é ilustrada na figura 3 a seguir: Figura 3 Parte real e imaginária da susceptibilidade (em unidades de ) Por fim, a expressão quântica para a susceptibilidade pode ser desenvolvida em uma série de potências e comparada com os termos de primeira e terceira ordem: [ ] (15) (16) Como foi enfatizado anteriormente, a formulação quântica da óptica não linear fornece valores diretos para os termos não lineares e é mais adequada para regimes próximos da ressonância. Por exemplo, considerando valores típicos para a transição do sódio atômico:,,,, e. Obtém-se o valore de, que é um valor mais alto do que o determinado para sistemas não ressonantes, porém condizente para sistemas próximos da ressonância. REFERENCIA Robert Boyd Nonlinear Optics, 3º Edição.