MANUAL DE TÍTULOS PÚBLICOS DE RENDA FIXA

São Paulo, 2014 MANUAL DE TÍTULOS PÚBLICOS DE RENDA FIXA Autores: Carlos Leite Guilherme Sola Maria Luiza Nassim Ghosn Pedro Fischer Tatiana Ikeda Condo Wenderson Oliveira Carloshls@al.insper.edu.br Guilhermess3@al.insper.edu.br Marialf@al.insper.edu.br Nassimaebg@al.insper.edu.br Pedrohcf@al.insper.edu.br Tatianaic@al.insper.edu.br Wendersonmmo@al.insper.edu.br

Estrutura do Manual 1 Breve explicação de títulos públicos e de seus objetivos Introduz ao leitor a definição de títulos públicos de renda fixa e suas utilidades. 2 Breve explicação dos tipos de títulos públicos Explica os tipos de títulos públicos nos quais o comprador tem a possibilidade de investir seu dinheiro. 3 Aplicação Explica para o leitor como utilizar as planilhas automatizadas. 4 Apêndice Aprofundamento dos conceitos apresentados. Manual de aplicação Títulos Públicos Página 2

1 Breve explicação de títulos públicos e de seus objetivos Título Público Federal é um tipo de investimento no qual se compra títulos da dívida do governo emitidos pela Secretaria do Tesouro Nacional e tem-se um rendimento garantido no final de determinado período, podendo este rendimento ser definido no momento da compra ou não. Além disso, a venda desses títulos é uma importante alternativa de captação de recursos para o Governo Federal, ou seja, este basicamente capta dinheiro emprestado de agentes de mercado (pessoas, empresas, bancos, etc.) para se financiar. O prazo de vencimento dos títulos estudados aqui é definido na emissão dos mesmos, e o investidor pode optar por vender o título apenas nessa data ou negociá-los com terceiros (mercado secundário). Esses tipos de títulos são considerados um dos investimentos mais seguros da economia, os quais os riscos são baixíssimos, uma vez que são garantidos pelo próprio governo. Eles são subdivididos em dois grupos: pré-fixados, onde no momento da compra é possível saber exatamente o valor a ser recebido na venda do título em sua data de vencimento; e pós-fixado, onde o valor a ser recebido na data do vencimento depende de uma taxa a qual o título está sujeito. Além disso, os títulos também se diferenciam pela forma de remuneração que oferecem, alguns pagam parcelas semestrais do valor investido, essas são chamadas de cupons de juros e os demais a remuneração é integralmente recebida da data de vencimento. A compra desses títulos, por pessoas físicas, pode ser efetuada por meio do Tesouro Direto. O investidor realiza a compra pela internet e administra suas aplicações, com um valor mínimo de investimento de R$30,00. Há também a opção de comprar os títulos públicos federais no mercado secundário, ou seja, negociar a compra de títulos de terceiros. Uma diferença básica entre esses dois meios de compra é a instantaneidade da liquidação, ou seja, efetivação da compra. Além dessas possibilidades, o investidor também pode ter seu dinheiro aplicado em títulos públicos federais por meio de instituições financeiras, todavia essa maneira de investimento se restringe a pessoas que tem muitos recursos para investir. Esses títulos são importantes na condução da política monetária do país, sendo um mecanismo para o controle da inflação. Quando um país se compromete a pagar juros mais altos pelos títulos, significa que investir neles se torna mais rentável. Dessa forma, mais pessoas optariam por comprar títulos ao invés de deixar seu dinheiro em moeda ou depositado em bancos. Assim, basicamente, a quantidade de moeda livre na economia reduz, fazendo com que o nível dos preços diminua. Da mesma maneira, ao abaixar os juros, diminuindo a rentabilidade dos títulos, estimula-se o consumo e outras formas de investimento, como empreendedorismo ou mercado de ações, analogamente à situação anterior, aumentando o nível dos preços. Manual de aplicação Títulos Públicos Página 3

Os títulos ofertados pela Secretaria Nacional do Tesouro são: Letra do Tesouro Nacional (LTN), Nota do Tesouro Nacional F (NTN-F), Nota do Tesouro Nacional B (NTN-B), Nota do Tesouro Nacional B Principal (NTN-B principal), Nota do Tesouro Nacional C (NTN-C) e Letra Financeira do Tesouro (LFT), que serão explicados nos tópicos a seguir. LTN LTF NTN-B Títulos públicos NTN-B Principal NTN-C Títulos de Renda fixa NTN-F outros CDB Títulos privados debêntures outros Tabela 1: Principais características dos títulos públicos federais Título Valor Nominal 1 Rendimento Taxa de Juros Pagamento dos Juros LTN - Múltiplo de R$ 1.000,00 -Não há atualização Desconto 2 - Não há LFT - Múltiplo de R$ 1.000,00 - Taxa SELIC 3 Pós-Fixado - Não há NTN B - Múltiplo de R$ 1.000,00 Pós-Fixado Definida na - Taxa IPC-A 3 emissão do título NTN B principal - Múltiplo de R$ 1.000,00 Pós-Fixado Definida na - Taxa IPC-A 3 emissão do título NTN C - Múltiplo de R$ 1.000,00 Pós-Fixado Definida na - Taxa IGP-M 3 emissão do título Semestral Não há Semestral NTN F - Múltiplo de R$ 1.000,00 -Não há atualização Desconto 2 Definida na emissão do título Semestral Fonte: Neto, Alexandre Assaf Matemática financeira e suas aplicações, cap. 15 pág. 254. Manual de aplicação Títulos Públicos Página 4

2 Breve explicação dos tipos de títulos públicos 2.1 - LTN (Letras do Tesouro Nacional) A LTN (Letra do Tesouro Nacional) é um título que não faz pagamentos semestrais, e é pré-fixado onde o valor de venda é definido no momento da compra. A partir da diferença entre o preço de compra e o de venda, é possível determinar a taxa de rendimento. Essa taxa pode ser dada como Taxa Efetiva Anual no Período (Eq. 2.1.1) ou Taxa Efetiva Anual Over (Eq. 2.1.2) que tem como base um ano com 252 dias úteis. [ ] (Eq. 2.1.1) [ ] (Eq. 2.1.2) Imagem 1: Exemplo: João quer investir em um título do governo (LTN), em que o valor a receber será de R$1.000,00. A taxa de juros do título no momento da compra é de 15,36% a.a e o tempo para o vencimento do título é de 598 dias úteis, ou 880 dias corridos. Logo, a taxa efetiva no período será de 40,37% e o preço pago pelo título será de R$712,42. Manual de aplicação Títulos Públicos Página 5

2.2 - LFT (Letras Financeiras do Tesouro) A LFT (Letra Financeira do Tesouro) é um título pós-fixado pela variação da taxa SELIC 1, que é um índice econômico básico determinado pelo Banco Central. Este não possui pagamentos de parcelas semestrais e seu valor de venda é obtido apenas na data do vencimento. A LFT também é reajustada conforme o ágio e o deságio, negociado no ato da compra, sendo o primeiro uma taxa para compensar que seu título possa valer menos que a taxa SELIC 1 e o segundo para que possa valer mais. Há também a possibilidade de não se ter nenhuma expectativa, nesse caso, é dito que o título é vendido a par. O valor projetado a ser pago pelo título, também chamado de Valor Nominal Atualizado (VNA), é o valor na data base (1 o de Julho de 2000) corrigido pela taxa acumulada da SELIC 1 (esse valor pode ser consultado em http://www.bcb.gov.br/?selicacumul) até o dia de compra (VNA na data da compra) mais uma correção da taxa SELIC meta para dia da liquidação do título. Essa fórmula é exemplificada na Eq. 2.2.1. Todavia, o preço do título ainda pode ser influenciado por um ágio ou deságio (taxa para compensação da demanda por LFT no mercado) e com o número de dias úteis no período, de acordo com a Eq. 2.2.2 e Eq. 2.2.3: (Eq. 2.2.1) (Eq. 2.2.2) (Eq. 2.2.3) Imagem 2: Exemplo: Paulo sabe que a taxa Selic acumulada é de 20,06% (taxa acumulada equivale ao fator de ajuste da LFT), no período de 505 dias úteis e que o valor nominal é de R$1200,60, logo o preço de cada título será de R$1.189,91. Manual de aplicação Títulos Públicos Página 6

2.3 - NTN-B (Notas do Tesouro Nacional - série B) A NTN-B (Notas do Tesouro Nacional série B) é um título pós-fixado que rende uma taxa definida mais uma variação de taxa do IPC-A (Índice Nacional de Preço ao Consumidor Amplo) em um determinado período. Esse tipo de título paga semestralmente juros sobre o valor investido de acordo com a taxa indexada, sendo que os valores desses pagamentos só são divulgados no dia de recebê-los. A NTN-B também é uma forma em que o investidor pode ganhar, ou se proteger com o aumento da inflação. Com o intuito de se proteger d inflação, o investidor garante seu poder de compra, que não é afetado pela mudança de preços da economia. O VNA (Valor Nominal Atualizado) pode ser calculado a partir do VNA da data de compra e da projeção do IPC-A para a data de liquidação, segundo a Eq. 2.4.1. O preço de compra do título, representado pela Eq. 2.4.3, é definido através da cotação Eq. 2.4.2, que reflete se o peso de um ágio ou deságio (taxa para compensação da demanda por NTN-B no mercado) sobre o título e do VNA. (Eq. 2.3.1) (Eq. 2.3.2) (Eq. 2.3.3) Imagem 3: Exemplo: José comprou um título emitido pelo governo pelo valor nominal de R$ 1.010,00, com rendimento semestral de 6% ao ano com vencimento daqui a um ano. Decorrido esse ano que seu dinheiro ficou aplicado nesse titulo, o valor do IPCA acumulado desde a data de liquidação até a data de recebimento do cupom em 6,51%. Dessa forma o valor que José irá recuperar com o investimento, sem considerar a cotação, será de 1010 x (1+0,0651) = 1075,75. Além disso, ele também recebeu dois cupons, que são o rendimento semestral que o titulo oferece no valor de 1075,75x taxa semestral equivalente = R$ 64,55. Manual de aplicação Títulos Públicos Página 7

2.4 - NTN-B (Notas do Tesouro Nacional - série B - Principal) A NTN-B Principal (Notas do Tesouro Nacional série B - Principal) é um título pósfixado que rende uma taxa definida mais uma variação taxa IPC-A (Índice Nacional de Preço ao Consumidor Amplo) em um determinado período. Entretanto, diferentemente da NTN-B, a NTN-B Principal não paga juros semestrais, ou seja, o investidor recebe o valor investido mais o que o título o rendeu apenas na venda do mesmo e esse montante também só é divulgado nessa data. Tal tipo de título também é uma forma em que o investidor pode ganhar com o aumento da inflação, ou manter seu poder de compra se protegendo da inflação. O VNA (Valor Nominal Atualizado) pode ser calculado a partir do VNA da data de compra e da projeção do IPC-A para a data de liquidação, segundo a Eq. 2.4.1. O preço de compra do título, representado pela Eq. 2.4.3, é definido através da cotação Eq. 2.4.2, que reflete se o peso de um ágio ou deságio (taxa para compensação da demanda por NTN-B Principal no mercado) sobre o título e do VNA. (Eq. 2.4.1) (Eq. 2.4.2) Imagem 4: (Eq. 2.4.3) Exemplo: Eduarda comprou um título, há um ano, emitido pelo Tesouro Direto a um valor nominal de R$1.010,00. Nesse ano em que o seu dinheiro ficou investido non NTN-B Principal o IPCA acumulado foi de 6,51% i. O título de Eduarda, hoje, tem, assim, um valor nominal de 1010 x (1+0,0651) = R$ 1.075,75. Ela conseguiu vender esse titulo com uma cotação de 105%, dessa maneira Eduarda teve uma rentabilidade de 1.075,75 x 1,05 = R$1.129,54. Manual de aplicação Títulos Públicos Página 8

2.5 - NTN-C (Notas do Tesouro Nacional - série C) A NTN-C (Notas do Tesouro Nacional série C) é um título pós-fixado que rende uma taxa definida mais uma variação taxa IGP-M (Índice Geral de Preços do Mercado, calculado pela Fundação Getúlio Vargas). Esse tipo de título paga semestralmente juros sobre o valor investido de acordo com a taxa indexada, sendo que os valores desses pagamentos só são divulgados no dia de recebê-los. O VNA (Valor Nominal Atualizado) pode ser calculado a partir do VNA da data de compra e da projeção do IGP-M para a data de liquidação, segundo a Eq. 2.5.2. O preço de compra do título, representado pela Eq. 2.5.4, é definido através da cotação Eq. 2.5.3.1 e Eq. 2.5.3.2. (Eq.2.5.1) (Eq. 2.5.2) (Eq. 2.5.3.1). Para o caso do título ser uma NTN-C 010131, a cotação é dada pela seguinte fórmula: (Eq. 2.5.3.2), (Eq. 2.5.4) Onde: TIR: rentabilidade anual do título n: número de semestres que terão juros DUi: número de dias com exceção de feriados, sábados e domingos até o recebimento da i- ésima parcela de juros. N1: número dias corridos entre a data de liquidação e primeiro do mês atual. N2: número de dias corridos entre o dia primeiro do mês seguinte e primeiro do mês atual. Manual de aplicação Títulos Públicos Página 9

Imagem 5: Exemplo: Tiago comprou, em 25/11/2003 5 unidades do título NTN-C com vencimento em 01/07/2008. O preço de cada unidade era R$1.460,97, então ele desembolsou R$7.304,85. A taxa do título na data da compra era 9%, e a variação do IGP-M no período foi de aproximadamente 7,1%, o que fez com que a retabilidade anual dos títulos de Tiago fosse superior a 16,7%. Ele recebeu pagamentos de cupons todos os dias 1º de Janeiro e 1º de Julho entre a data da compra até o vencimento do título, quando ele recebeu o montante principal de sua aplicação. Manual de aplicação Títulos Públicos Página 10

2.6 - NTN-F (Notas do Tesouro Nacional - série F) A NTN-F (Notas do Tesouro Nacional série F) é um título pré-fixado onde o valor de venda é definido no momento da compra, adicional a isso um rendimento de 10% é pago semestralmente. Assim, o investidor recebe 10% semestralmente do valor investido por título comprado até a data de vencimento, e nesta além desses juros ele recebe também o valor investido. A rentabilidade da NTN-F pode ser calculada de acordo com a Eq. 2.6.1, na qual por meio do preço do título e seu prazo se tem a rentabilidade. [ ] [ ] (Eq. 2.6.1) Onde: PREÇO: é o valor no qual o investidor reembolsou na compra de cada NTN-F; DUi: dias úteis entre a data de efetivação da compra (próximo dia útil após a compra) e a data de recebimento da i-ésima parcela de 10% do valor investido. TIR: Rentabilidade Anual do título. Manual de aplicação Títulos Públicos Página 11

Imagem 6: Exemplo: Maria recebeu seu décimo terceiro salário em dezembro de 2013, no valor de R$2.774,43. Como ela é uma mulher economicamente consciente tem suas despesas previamente planejadas, e assim ela nunca gasta mais do que recebe. Desse modo Maria não teve necessidade de utilizar esse valor adicional para pagar nenhuma despesa. Então, pensando no seu futuro e no desejo de comprar a casa própria, ela decidiu aplicar integralmente esse dinheiro adicional em uma carteira de títulos públicos, para obter rentabilidade futura. Ela decidiu comprar todo esse valor em NTN-F, o que resultou em três títulos desse tipo, pois cada um foi comprado a um valor de R$ 903,63 (3*903,63=2710,89). Essa compra foi efetuada em 05/01/2014, mas só foi liquidada em 08/01/2014 (próximo dia útil após o dia da compra). Nessa data, também foi acordado o vencimento, que seria em 01/01/2025 (título NTN-F 010125). Durante esses 11 anos, Maria recebeu cupons nas seguintes datas: 01/01/2025, 01/07/2024, 01/01/2024, 01/07/2023, 01/01/2023 e assim por diante até se aproximar da data de liquidação. Perceba que essas datas foram colocadas de forma decrescente com a data do vencimento, pois é assim que funciona o esquema de datas dos cupons. Esses cupons de juros foram todos no valor de R$48,81. E o rendimento final foi estimado em 336,33% segundo uma taxa de interna de retorno (TIR) anual de 11,72%. Manual de aplicação Títulos Públicos Página 12

3 Aplicação A planilha referente a esse manual tem como objetivo a precificação dos títulos públicos federais até então trabalhados (LTN, LFT, NTN-F, NTN-C, NTN-B e NTN-B Principal). Agora que já se sabe o que são títulos públicos federais, como eles funcionam e para quê serve cada um deles, a planilha começará a ser utilizada. A Imagem 6 mostra a planilha completa preenchida com dados para exemplificar. As linhas brancas são os dados que você deve fornecer para poder obter o cálculo das informações que a planilha oferece que são os dados das linhas cinza claro. Imagem 6: Exemplo da Planilha Completa Manual de aplicação Títulos Públicos Página 13

Com a teoria desenvolvida ao longo do manual, o uso da planilha se torna mais simples e prático. Para auxiliar o usuário, há duas opções de planilhas de precificação: 1ª - Planilha Completa: É a planilha do documento com as informações na íntegra do processo de precificação de títulos públicos. 2ª - Planilha Simplificada: É a planilha do documento que contém apenas os dados de maior interesse para o investidor. A descrição de como preencher a planilha esta a seguir, antes disso explicaremos os termos usados na planilha. Breve explicação do uso de termos da planilha: Taxa Básica de Juros Verdadeira : Neste campo você deve inserir a taxa de juros básica da economia, ou seja, a cotação da taxa SELIC anual. (Você pode conferir esse dado no site do Banco Central: http://www.bcb.gov.br/pt-br/paginas/default.aspx) Taxa Básica de Juros Hipotética : Neste campo você deve inserir uma taxa de juros básica da economia (SELIC) simulada, ou seja, o quanto o usuário acredita que será o valor da taxa no futuro. Valor Investido na Compra de Títulos: Neste campo você deve inserir o quanto você deseja investir nesse tipo de título público. Por exemplo, se está disposto a investir R$20.000,00 em LFT, preencha esse valor na coluna LFT. Taxa do Título na Data da Compra: É a taxa a qual o título está sendo negociado,. Nos títulos pré-fixados ela representa o rendimento do título e nos pós-fixados representa o ágio ou deságio sobre o índice ao qual ele está atrelado. Pode ser encontrado no site do Tesouro Direto: http://www3.tesouro.gov.br/tesouro_direto/consulta_titulos_novosite/consultatitulos.asp. Data de Liquidação da Compra e Data de Vencimento dos Títulos: Nestes dois campos inserem-se as datas da compra do título (a não ser que ele seja comprado no mercado primário, neste caso deve-se entrar com o dia útil seguinte à compra) e a data do vencimento do título, respectivamente. Exemplo: é comprado um título de NTN-F em um sábado dia 06/09/2014, a data que deve ser inserida no primeiro campo é da próxima segunda-feira dia 08/09/2014, no segundo campo é a data do vencimento do título. Data de Vencimento dos Títulos: Insira a data que o título irá expirar neste campo, ou seja, a data de vencimento acordada no momento da compra. É também a data que você irá receber o valor de face do título, que é o valor investido menos a rentabilidade que foi definida do título. Taxa de Juros Anual do Cupom: Caso o título público que está sendo investido emita cupom de juros, ou seja, pague remunerações semestrais do valor investido, insira neste campo a taxa de juros dos cupons. Manual de aplicação Títulos Públicos Página 14

Fator Acumulado da Selic até a Data da Compra: Neste campo você deve inserir a variação da taxa selic até a data que a compra foi efetuada. Acesse www.bcb.gov.br/?selicacumul para obter o fator acumulado da taxa Selic. Caso as datas de compra ou venda desejadas sejam futuras, entre com o fator da data mais recente que o site disponibilizar. Fator Acumulado da Selic até a Data da Venda : Neste campo você deve inserir a variação da taxa selic de 01/07/2000 até a data que a venda foi ou vai ser feita. Acesse www.bcb.gov.br/?selicacumul para obter o fator acumulado da taxa Selic. Caso as datas de compra ou venda desejadas sejam futuras, entre com o fator da data mais recente que o site disponibilizar. Preço do Título na Data da Compra: Este campo irá mostrar o valor unitário do título no dia que você fez a compra. Por exemplo, se comprou títulos de LTN por R$750,00 cada, esse valor será mostrado neste campo. Quantidade de Títulos Adquiridos: A partir do preço do título na data da compra e do valor investido na compra de títulos, este campo é informa ao usuário quantos títulos ele adquiriu. Número de Cupons que serão pagos por Unidade: Se o título no qual você investiu emite cupons, este campo irá informar a quantidade de cupons que você irá receber ao longo do investimento (da data da compra do título até a data de vencimento), por cada título público que você investiu. Por exemplo, se você investiu em 3 títulos do tipo NTN-F, este campo irá informar quantos cupons que você irá ganhar por cada um desses 3 títulos comprados, no decorrer do investimento. Valor Nominal do Principal por Unidade: é o valor pago na forma de principal por cada unidade do título na data do vencimento. Principal é a parcela de pagamento referente ao valor investido na compra, ele é pago no dia do vencimento do título. Títulos que não pagam cupons pagam apenas o principal (na data de vencimento), já os que pagam cupons remuneram o investidor a cada semestre e na data do vencimento pagam o principal e o último cupon. Convexidade: Termo explicado em mais detalhes no Apêndice. Prazo Médio (Duration Macaulay): Termo explicado em mais detalhes no Apêndice Dias Úteis desde a Compra: Número de dias úteis desde a compra, ou seja, desconsiderando sábado, domingo e feriados. Rentabilidade Bruta Total: Rentabilidade nominal calculada, ou seja, não considera a perda de poder de compra (taxa de inflação). Rentabilidade Bruta Anual: rendimento anual do investimento. Valor Nominal do Total pago em Cupons: soma dos valores pagos em cupons. Valor Nominal do Principal: valor pago por todos os títulos na data do vencimento. Manual de aplicação Títulos Públicos Página 15

Preço do Título na Data da Venda: quanto o título está valendo no dia que você vender o mesmo. Número de Cupons Recebidos: número de cupons recebidos até a data da venda. Instruções para precificar os títulos: 1º- Com o documento aberto, vá para a planilha de interesse, dependendo do grau de informação que se precisa. 2º- Escolha qual(is) título(s) deseja precificar. 3º- Agora basta inserir todos os dados requeridos (nos campos em branco). Caso queira precificar mais de um título público, preencha esses espaços de todas as colunas dos títulos desejados. Assim, de modo automatizado, a planilha o fornecerá todas as informações descritas em cada linha e o preço a ser pago pelo título. Manual de aplicação Títulos Públicos Página 16

4- Apêndice Referente à tabela1: 1. Valor pago na data do vencimento por título. 2. Desconto sobre o valor de venda do título. 3. Significa que o valor nominal do título é R$ 1.000,00 vezes um fator que depende da variação da taxa em questão em cada título desde uma data base até a data do vencimento. Referente a explicação de títulos públicos: 1- Taxa SELIC: é a taxa básica da economia, a taxa SELIC diária é obtida pela média de todas as transações lastreadas em títulos públicos do dia anterior. A taxa SELIC meta é definida pelo COPOM (Comitê de Políticas Monetárias). 2- IPCA: Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo: principal índice de inflação do mercado, calculado pelo IBGE. 3- Ágio e deságio: Quando existe um ágio significa que o título valorizou no mercado e apresenta taxa negativa, quando deságio o título desvalorizou e a taxa é positiva. Quando a taxa é igual à zero siginifica que o título não valorizou nem desvalorizou. 4- Liquidez: reflete a velocidade a qual o ativo virou dinheiro, ou seja, quanto maior a liquidez mais rapido aquele ativo vira dinheiro (ou seja, pode ser vendido e comprado com facilidade). 5- Cupom de juros: é o pagamento feito semestralmente por alguns títulos públicos federais (NTN-F, NTN-B, NTN-C), de acordo com uma determinada taxa de juros. 6- Duration e Convexidade: devido à de juros, o dinheiro que alguém recebe no futuro não valerá o mesmo que vale no momento atual. Através desses parâmetros (taxa de juros e período de tempo) faz-se a conversão de todo o dinheiro que vamos receber até a data da venda para uma determinada quantia. O prazo médio, também chamada duration, diz quanto tempo seria necessário para o indivíduo, com a mesma taxa de juros, receber de uma só vez um valor que valeria hoje a mesma quantia anteriormente calculado. Assim, a duration mede a sensibilidade do título em relação à taxa de juros. Porém, a mesma assume que essa relação é linear, como pode ser representada pelo seguinte gráfico: Manual de aplicação Títulos Públicos Página 17

Fonte: elaboração dos autores Na realidade, a relação não é linear. Caso a taxa de juros aumente, o preço do título se reduz a uma taxa decrescente, e caso a taxa de juros diminua, a valorização do título é mais alta do que a desvalorização. Portanto, para calcularmos uma relação mais realista, extraindo a derivada segunda da fórmula do Valor Presente, chegando no conceito de Convexidade: Em que, C : Convexidade FCt : Valor do fluxo de caixa em t Dt : prazo do fluxo de caixa em t PV: é o preço a mercado (valor presente ou atual) do título it : é a taxa de juros de mercado para o prazo t Nesse caso, a Convexidade será a taxa de variação da inclinação da curva preçorentabilidade, expressa como fração do preço do título. Para calcular especificamente a sensibilidade do título com os juros, usamos a seguinte fórmula: Em que, P: Valor atual inicial do título (ou PV0) ΔP: variação no valor atual do título (ou variação no PV) Δi: variação na taxa de juros de mercado i: taxa de juros de mercado atual ou YTM atual Dm: Duration modificada D: Duration C: Convexidade Manual de aplicação Títulos Públicos Página 18

Portanto, as relações entre o título e a taxa de juros são: Fonte: elaboração dos autores Manual de aplicação Títulos Públicos Página 19