UM ESTUDO SOBRE O ENSINO E A APRENDIZAGEM DAS TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS G1 - Formação de professores Cleusiane Vieira Silva - cleusianesilva@gmail.com Saddo Ag Almouloud - saddoag@gmail.com Pontifícia Universidade Católica de São Paulo Programa de Estudos pós-graduados em Educação Matemática DO Resumo Neste trabalho apresentamos um recorte de nossa pesquisa de doutorado na qual pretendemos fazer um estudo sobre como uma mudança na prática docente pode facilitar o ensino e a aprendizagem das transformações geométricas. Para tanto apoiamo-nos na teoria das situações didáticas. Nosso objetivo é fazer um estudo das concepções dos professores sobre o conteúdo transformações geométricas no plano e criar um ambiente de reflexão e ação, na qual possíveis mudanças nestas concepções possam ocorrer e por fim analisar como essas mudanças influenciam na prática de ensino de professores da Educação Básica. A pesquisa encontra-se em fase inicial e terá como metodologia de pesquisa a engenharia didática. Propõe-se um estudo de caso com um grupo de no máximo 10 professores. A proposta deste artigo é fazer uma análise de alguns trabalhos já realizados sobre o ensino e a aprendizagem das transformações geométricas no plano, com o objetivo de conhecer e estudar as dificuldades de aprendizagem já identificadas por outros autores, apresentar brevemente nossa fundamentação teórica e a metodologia a ser utilizada. Palavras Chaves: Formação de professores. Prática docente. Transformações geométricas. Introdução A pesquisa aqui apresentada esta inserida no grupo de pesquisa PEAMAT (Processo de ensino e aprendizagem em Matemática) e desenvolve-se na linha de pesquisa: A Matemática curricular e formação de professores. O estudo do tema é justificado principalmente pelo fato do conteúdo transformações geométricas ser recomendado nos parâmetros curriculares nacionais e pela importância que lhe é conferido. No 1º e 2º ciclos do Ensino Fundamental, ele já se configura entre os conteúdos conceituais e procedimentais do bloco espaço e forma como citamos a seguir: Descrição, interpretação e representação da posição de uma pessoa ou objeto no espaço, de diferentes pontos de vista. Utilização de malhas ou redes para representar, no plano, a posição de uma pessoa ou objeto. Descrição, interpretação e representação da movimentação de uma pessoa ou objeto no 1
espaço e construção de itinerários. Identificação da simetria em figuras tridimensionais. Identificação de semelhanças e diferenças entre polígonos, usando critérios como número de lados, número de ângulos, eixos de simetria, etc. Ampliação e redução de figuras planas pelo uso de malhas. Percepção de elementos geométricos nas formas da natureza e nas criações artísticas. (BRASIL, p. 61, 1997) Com relação à seleção de conteúdos para os 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, deve destacar-se também nesse trabalho a importância das transformações geométricas (isometrias, homotetias) de modo que permita o desenvolvimento de habilidades de percepção espacial e como recurso para induzir de forma experimental a descoberta [...]. (BRASIL, p.51, 1998). Problema a ser pesquisado Durante participação em uma pesquisa na Bahia, cujo foco era centrado na análise de erros e, em que os sujeitos foram alunos de cursos de licenciatura em Matemática, percebemos que estes ingressam na universidade com dificuldades relacionadas à aprendizagem dos conteúdos ensinados na Educação Básica, principalmente quando o conteúdo era geometria. Acreditando que uma das dificuldades nos processos de ensino e de aprendizagem esteja relacionada com as práticas de ensino adotadas pelos professores, tem-se como pretensão buscar respostas para a seguinte pergunta: Como uma mudança na prática do professor pode facilitar o ensino e a aprendizagem de transformações geométricas? Esta questão geral nos levou, a partir dos estudos realizados, a formular as seguintes sub-questões: Quais são as concepções dos professores com relação ao conteúdo de transformações geométricas? Como estas concepções 1 influenciam no ensino e na aprendizagem dos alunos? Levantamos como hipóteses que uma modificação na prática docente pode facilitar a compreensão de conceitos geométricos por parte dos alunos e que o processo de aquisição de conhecimento das transformações geométricas está relacionado a fatores como: o repertório que os alunos possuem com relação às transformações geométricas; 1 O termo concepção aqui é entendido como cada forma organizada, mas particular de tratar um conceito matemático. Nesse sentido a passagem de um conhecimento a outro dentro da mesma concepção não é difícil (assimilação). Porém, a transição de uma concepção a outra é mais difícil, porque exige um repertório de mudança significativa. Seu aprendizado requer uma reorganização do conhecimento antigo (acomodação). (BROUSSEAU, 1997, p.17, tradução nossa) 2
ao tipo de situações de aprendizagem propostas aos alunos, à forma como o conteúdo é introduzido na sala de aula. Objetivos: Nosso objetivo é fazer um estudo das concepções dos professores sobre o conteúdo transformações geométricas no plano e criar um ambiente de reflexão e ação, na qual possíveis mudanças nestas concepções possam ocorrer e por fim observar como essas mudanças influenciam na prática de ensino de professores da Educação Básica. Para tanto, temos a pretensão de: Identificar quais são as concepções dos alunos da Educação Básica referentes ao conteúdo transformações geométricas no plano; Levantar as principais dificuldades encontradas pelos professores, envolvidos na pesquisa, no ensino de geometria plana; referente às transformações geométricas no plano; Analisar a correlação entre a concepção dos estudantes e as práticas de ensino utilizadas pelos professores; Identificar e propor, dentro de um trabalho formativo, estratégias para lidar com as dificuldades levantadas pelos professores, no ensino do conteúdo de geometria plana acima citado; Propiciar a reflexão dos professores sobre sua própria prática pedagógica, de tal forma que os próprios professores procurem e encontrem alternativas metodológicas para o ensino de transformações geométrica no plano; Investigar os processos de ensino e aprendizagem com a intenção de avaliar no final deste, como uma mudança na prática do professor reflete na aprendizagem dos alunos. Metodologia O foco da pesquisa é estudar o processo de ensino e aprendizagem do conteúdo transformações geométricas. Para entender o que ocorre durante o processo, acredita-se que nossos objetivos e o problema proposto nos aproximaram de uma pesquisa do tipo qualitativa. Segundo D Ambrósio (2006, p. 10), a pesquisa qualitativa [...] tem como foco entender e interpretar dados e discursos, mesmo quando envolve grupos de participantes. Nesse sentido tem-se como pretensão construir um trabalho de formação 3
de professores em uma escola da rede pública de ensino da cidade de Jequié na Bahia. Para tanto, identificamos como metodologia de pesquisa para este estudo a engenharia didática. Sobre ela falaremos a seguir. A engenharia didática é uma metodologia de pesquisa qualitativa que surgiu com a Teoria das Situações Didáticas, cujo objetivo é produzir conhecimento na área de Educação Matemática e verificar se os métodos criados são eficientes. Segundo Almouloud (2010), ela é processada a partir das seguintes fases: Primeira fase: estudos preliminares em que se procura fazer uma revisão bibliográfica de pesquisas relacionadas com nosso tema, um estudo do objeto matemático (como é definido, qual aplicação, etc); análise de propostas curriculares e livros didáticos; estudos histórico e epistemológico do objeto (como se deu a construção do objeto); Segunda fase: Definição da questão de pesquisa; estudo do referencial teórico; definição da metodologia da pesquisa. Terceira fase (Análise a priori): Análise das situações didáticas; variáveis globais; variáveis locais; construção dos instrumentos de coleta de dados (que no nosso caso será por meio de entrevistas). Quarta fase (Experimentação): esse é o momento que acontecerá o trabalho de formação propriamente dito. Quinta fase (Análise a posteriori): O que pode ou deve ser ajustado, avaliação do processo dentro do mesmo grupo; validação do que foi proposto. Revisão de literatura Analisando três pesquisas sobre o ensino e a aprendizagem das transformações geométricas, destacamos alguns para apresentarmos os principais resultados obtidos. Grenier (1988), em seu estudo, realiza a construção e estudo do funcionamento de um processo de ensino sobre a simetria ortogonal no sexto ano. O quadro teórico apresentado se ateve a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud e a Teoria das Situações Didáticas dentro de uma perspectiva construtivista de elaboração do conhecimento. Esta autora fez um levantamento de pesquisas em didática sobre a simetria ortogonal, onde ela verificou que muitas dessas pesquisas correspondiam a um estudo diagnóstico das concepções dos alunos sobre o conceito antes e após o ensino na classe. 4
Esta autora ainda afirma que, para elaborar as situações susceptíveis de provocar uma evolução nessas concepções, é necessário conhecer de maneira precisa as variáveis e avaliar seu desempenho em uma tarefa dentro da situação (GRENIER 1988, p.10, tradução nossa). Grenier (1988) realiza um estudo sistemático dos valores de certas variáveis (a interseção da figura inicial com o eixo de simetria, as direções do eixo e dos elementos que compõem a figura objeto, a posição da figura em relação aos limites da folha, o tipo de papel (branco ou quadriculado)) e sua influência sobre os procedimentos e respostas dos alunos. Sobre tal estudo ela declara que foi possível verificar com relação aos alunos: a não equivalência das tarefas de traçado simétrico de uma figura quando esta é composta unicamente de pontos separados ou quando é composta de segmentos; a existência de certa competência anterior ao ensino da noção para o traço da simetria de um ou mais pontos; que os êxitos dependem em todos os níveis dos valores das variáveis ligadas à figura e seu suporte; a interseção da figura com o eixo continua a provocar os erros após o ensino; uma variável que parece desempenhar também um papel nestas tarefas é o ângulo que o segmento faz com o eixo. Jahn (1998) apresenta um estudo sobre a passagem das transformações de figuras às transformações pontuais através de uma sequência de ensino com o Cabri géometrè. Neste estudo a autora que procurou relacionar os aspectos geométricos e funcionais numa classe do 1º ano do Ensino Médio. A autora supracitada tinha como objetivos: analisar alguns critérios ou condições a integrar às situações didáticas que podem favorecer a instalação de um aspecto dual global/pontual das transformações, mostrar ao longo do trabalho que o software cabrigéomètre II pode contribuir para renovar a didática global/pontual e deverá igualmente permitir colocar em evidência a relação entre as concepções estática e dinâmica nos problemas de construção de figuras. Segundo essa autora, seu trabalho mostrou as dificuldades na noção de transformação geométrica como aplicação pontual. E que esta reside no centro de um conjunto complexo de conhecimentos em diferentes quadros, de diferentes aspectos, em diferentes apreensões de um ponto de vista epistemológico. A autora ainda declara que sua pesquisa permitiu mostrar as dificuldades dos estudantes em se separar do nível espaço-gráfico para poder teorizar sua compreensão do conceito de transformação, na medida em que isto implique para eles resolver numerosos problemas, que permanecem implícitos no ambiente papel lápis. De acordo com Jahn (1998) foi observada a 5
importância da presença do software que minimiza algumas das dificuldades enfrentadas em situação papel-lápis. Mabuchi (2000) em sua pesquisa fez um estudo sobre transformações geométricas no qual aborda a trajetória de um conteúdo ainda não incorporado às práticas escolares nem à formação de professores. Essa pesquisa teve como foco um estudo de caso desenvolvido com professores que tinham formação em ciências e complementavam sua formação em um curso na Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Essa autora afirma que mesmo com experiência no ensino de matemática, estes professores apresentavam procedimentos observados por pesquisas feitas com alunos do ensino fundamental. Ainda segundo Mabuchi (2000, p.192), foi observado que as escolhas de diferentes variáveis como posição do eixo de simetria, complexidade da figura, tipo de papel e percepção relativa do eixo-objeto favoreceu ou dificultou a resolução dos problemas fazendo surgir concepções e erros semelhantes aos dos alunos de outras pesquisas. Fundamentação Teórica Pretende-se utilizar a teoria das situações didáticas no momento da formação de professores, uma vez que acreditamos que ao longo dos encontros, os professores vivenciarão as quatro fases no processo de aprendizagem apresentadas por Brousseau (2007), isto é, as fases de ação, formulação, validação e institucionalização. Nos momentos destinados a uma reflexão sobre a prática acredita-se que as discussões se voltarão a um aspecto essencial do contrato didático 2, isto é, a devolução, que segundo Brousseau (1997, p.41, tradução nossa) é o ato pelo qual o professor faz o aluno aceitar a responsabilidade por uma situação de aprendizagem ou de um problema e aceita ele próprio as consequências dessa transferência. Perspectivas A pesquisa apresentada encontra-se em andamento e apesar de apresentarmos algumas pesquisas relacionadas ao nosso tema, a revisão de literatura ainda está em construção. Sobre o quadro teórico, outros estudos serão necessários para entendermos 2 O contrato didático aqui é entendido no sentido de Brousseau, isto é, como conjunto de comportamentos específicos do professor esperado pelos alunos, e o conjunto de comportamentos dos alunos esperado pelo professor. (ALMOULOUD, 2010, p.89) 6
melhor as aplicações do mesmo na pesquisa proposta, cujo foco é a formação continuada de professores em exercício. Referências ALMOULOUD, S. Ag. Fundamentos da didática da matemática. Editora UFPR, Curitiba. 2010. 218p. BRASIL, Ministério da Educação, Secretaria da Educação Média e Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática- 1ª a 4ª série do Ensino Fundamental. Brasília, 1997. BRASIL, Ministério da Educação, Secretaria da Educação Média e Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática-5ª a 8ª série do Ensino Fundamental. Brasília, 1998. BROUSSEAU, G.. La théorie des situations didactiques Le cours de Montréal 1997. Disponível em <www.guy-brousseau.com>, acesso em 12 jun 2012.. Introdução ao estudo da teoria das situações didáticas: conteúdos e métodos de ensino. Editora Ática. São Paulo. 2008. 128 p. D AMBROSIO, U. A Matemática nas escolas. A Educação Matemática em Revista - Sociedade Brasileira de Educação Matemática - SBM, ano 9, edição especial, p. 29-33, março de 2002. GRENIER, D. Construção e estudo do funcionamento de um processo de ensino sobre a simetria ortogonal no sexto ano. 1988. 420f. Tese (doutorado em Didática da Matemática) Universidade Joseph Fourier Grenoble I. França, 1988. JAHN, A. P.. Das transformações de figuras ás transformações pontuais: estudo de uma sequência de ensino com o cabri-géomètre. 1998. Tese (doutorado em Didática da Matemática). Universidade Joseph Fourier Grenoble I. França. 1998. MABUCHI, S. T. Transformações geométricas: a trajetória de um conteúdo ainda não incorporado às práticas escolares nem à formação de professores. 2000. 259 f. Dissertação (mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo. 7