Emerson Marcos Furtado

Emerson Marcos Furtado Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde 1992. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996. Professor da Universidade Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de matemática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a 2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Joinville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teorema Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 2005. Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Professor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocínio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result Consultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000. Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômica, qualidade, educacional, industrial e eleições desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde 2008. Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003.

Introdução A Aritmética é um dos mais antigos ramos da Matemática e trata dos números e das operações entre esses números. Apenas para termos uma ideia, quando efetuamos uma compra no supermercado, por exemplo, e adicionamos os preços dos produtos adquiridos para obter o custo total da compra, estamos utilizando a Aritmética em sua forma mais elementar. Apesar de os primeiros registros escritos indicarem que os egípcios e babilônios já utilizavam operações aritméticas elementares há mais de 2 000 anos, sua presença atual não se restringe às operações mais simples. A Matemática presente na Aritmética é utilizada também nos Sistemas de Informação, nos quais a privacidade no uso de senhas e dados sigilosos de países e grandes corporações é revestida por algoritmos cada vez mais complexos. Existe, nesses casos, uma benéfica corrida entre os que tentam ultrapassar as barreiras dos sigilos bancários, por exemplo, e as instituições, que cada vez mais aprimoram os sistemas de segurança. O universo da Aritmética é basicamente relacionado aos números naturais. Vamos iniciar nossa aula explicando conceitos sobre múltiplos e divisores. Múltiplos e divisores Observe este conceito: O múltiplo de um número natural n é o produto de n por outro número natural. O conjunto dos números naturais, representado por IN, é dado por: IN = {0; 1; 2; 3; 4;...} Logo, o conjunto dos números naturais múltiplos de 5, por exemplo, representado por M(5), é dado por: 3

5. 0 = 0 5. 1 = 5 5. 2 = 10 5. 3 = 15 5. 4 = 20... E assim sucessivamente. M(5) = {0; 5; 10; 15; 20;...} Critérios de divisibilidade É possível estabelecer algumas regras que permitam verificar se um número natural qualquer é divisível por outro. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade. Exemplo: O número 87 é divisível por 3? Podemos responder a essa pergunta de diferentes maneiras. Uma delas é verificar se 87 pertence ao conjunto dos múltiplos de 3. Outra é dividir 87 por 3 e verificar se o resto da divisão é igual a zero. A terceira maneira é utilizar os critérios de divisibilidade. Divisibilidade por 2 Um número natural é divisível por 2 quando o algarismo das unidades for igual a 0, 2, 4, 6 ou 8. Os números que são divisíveis por 2 são denominados pares e aqueles que não são divisíveis por 2 são denominados ímpares. Exemplo: O número 754 é par, logo, é divisível por 2. O número 863 é ímpar, ou seja, não é divisível por 2. 4

Divisibilidade por 3 (ou por 9) Um número natural é divisível por 3 (ou por 9) quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3 (ou por 9). Exemplo: O número 756 é divisível por 3, pois a soma dos algarismos de 756 resulta em um número divisível por 3, observe: 7 + 5 + 6 = 18 Como 18 é divisível por 3, 756 também é divisível por 3. O mesmo vale para a divisibilidade por 9. Divisibilidade por 4 Um número natural é divisível por 4 se o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplo: O número 75 916 é divisível por 4, pois a dezena final, 16, é divisível por 4. Divisibilidade por 5 Um número natural é divisível por 5 se o algarismo das unidades for 0 ou 5. Exemplo: O número 930 é divisível por 5, pois termina com 0. O número 345 é divisível por 5, pois termina com 5. Divisibilidade por 6 Um número natural é divisível por 6 se for divisível simultaneamente por 2 e por 3. Exemplo: O número 54 é divisível por 2, pois é par. Além disso, a soma dos algarismos de 54 resulta em um número divisível por 3, ou seja, 54 também é divisível por 3. Logo, por ser divisível por 2 e por 3, conclui-se que 54 também é divisível por 6. 5

Divisibilidade por 10 Um número natural é divisível por 10 se o algarismo das unidades for zero. Exemplo: O número 540 é divisível por 10, pois termina em 0. Números primos Qualquer número natural não nulo é divisível pelo número 1 (unidade) e por si próprio. Quando um número natural admitir exatamente dois divisores distintos (ele próprio e a unidade), será então denominado número primo. A seguir, a tabela dos números naturais primos menores que 100: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 Os números naturais que não são primos, com exceção do 0 e do 1, são denominados números compostos. Decomposição em fatores primos Um número composto pode ser escrito como produto de dois ou mais números primos. A decomposição de um número natural em fatores primos pode ser realizada por meio de sucessivas divisões por números primos. Exemplo: 90 90 2 45 3 15 3 5 5 1 6 Portanto, 90 = 2. 3 2. 5

Divisores de um número Por meio da decomposição de um número natural em fatores primos, é possível determinar todos os seus divisores. Exemplo: 90 90 2 45 3 15 3 5 5 1 Escreve-se o número natural 1 e, em seguida, multiplica-se cada fator primo por todos os números que estão à direita e acima desse fator primo. Os produtos constituem-se nos divisores de 90. 1 90 2 2 45 3 3; 6 15 3 9; 18 5 5 5; 10; 15; 30; 45; 60 1 Logo, o conjunto dos divisores naturais de 90 é dado por: d(90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} Números primos entre si Dois números são primos entre si se o único divisor natural comum for a unidade. Exemplo: Os números 8 e 9 são primos entre si, pois: d(8) = {1, 2, 4, 8} d(9) = {1, 3, 9} d(8) d(9) = {1} 7

MDC e MMC Máximo Divisor Comum (MDC) O máximo divisor comum entre dois números naturais pode ser obtido a partir dos divisores comuns aos dois números. Exemplo: Obter o máximo divisor comum entre os números 36 e 24. A partir da decomposição desses números em fatores primos, podemos obter os divisores naturais de cada um deles. d(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} d(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} O máximo divisor comum entre 24 e 36 é o maior número natural que é divisor de 24 e de 36: MDC{24, 26} = máximo {d(24) d(36)} MDC{24, 26} = máximo {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} MDC{24, 26} = máximo {1, 2, 3, 4, 6, 12} MDC{24, 26} = 12 Portanto, o máximo divisor comum entre os números 24 e 36 é igual a 12. Observação: É possível obter-se o máximo divisor comum entre dois números pela decomposição em fatores primos. No caso dos números 24 e 36, o MDC é obtido multiplicando-se os fatores primos comuns de menores expoentes: 36 = 2 2. 3 2 24 = 2 3. 3 MDC{24, 26} = 2 2. 3 = 12 8

Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Obter o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números naturais consiste em determinar, a partir da interseção entre os conjuntos dos múltiplos, o menor elemento. Exemplo: 12 e 18 M(12) = {12; 24; 36; 48; 60;...} M(18) = {18; 36; 54; 72; 90;...} MMC{12; 18} = mínimo {M(12) M(18)} MMC{12; 18} = mínimo {12; 24; 36; 48; 60;...} {18; 36; 54; 72; 90;...} MMC{12; 18} = mínimo {36; 72; 108;...} MMC{12; 18} = 36 Observação: É possível obter-se o mínimo múltiplo comum entre dois números pela decomposição em fatores primos. No caso dos números 12 e 18, o MMC é obtido multiplicando-se os fatores primos de maiores expoentes: 12 = 2 2. 3 18 = 2. 3² MMC{12, 18} = 2 2. 3 2 = 36 Dica de estudo No estudo da Aritmética é necessário compreender os conceitos de divisor, múltiplo, números primos, MDC e MMC, além do domínio dos critérios de divisibilidade. Uma vez absorvidos esses conhecimentos, pratique resolvendo muitos exercícios. Os testes selecionados neste capítulo são uma boa escolha para começar. Além desses, procure outras fontes e diversifique. 9

Resolução de questões 1. (FCC) Um auxiliar judiciário foi incumbido de arquivar 360 documentos: 192 unidades de um tipo e 168 unidades de outro. Para a execução dessa tarefa recebeu as seguintes instruções: todos os documentos arquivados deverão ser acomodados em caixas, de modo que todas fiquem com a mesma quantidade de documentos; cada caixa deverá conter apenas documentos de um único tipo. Nessas condições, se a tarefa for cumprida de acordo com as instruções, a maior quantidade de documentos que poderá ser colocada em cada caixa é: a) 8 b) 12 c) 24 d) 36 e) 48 2. (Cesgranrio) O MMC entre os números inteiros 2 m. 15 e 4. 3 n é 360, então: a) m = n b) m. n é múltiplo de 4. c) m + n é ímpar. d) m. n é múltiplo de 15. e) m = 2n 3. (FCC) Seja o número inteiro 5X7Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. O total de pares de valores (X,Y) que tornam tal número divisível por 18 é: a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 10

4. (FCC) Seja N o menor número inteiro positivo que multiplicado por 33 dá um produto cujos algarismos são todos iguais a 7. É correto afirmar que a) N é par. b) o algarismo das unidades de N é 7. c) o algarismo das dezenas de N é menor que 4. d) o algarismo das centenas de N é maior que 5. e) a soma dos algarismos de N é igual a 25. 5. (Esaf) Ana e Júlia, ambas filhas de Márcia, fazem aniversário no mesmo dia. Ana, a mais velha, tem olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos castanhos. Tanto o produto como a soma das idades de Ana e Júlia, consideradas as idades em número de anos completados, são iguais a números primos. Segue-se que a idade de Ana a filha de olhos azuis, em número de anos completados, é igual a) à idade de Júlia mais 7 anos. b) ao triplo da idade de Júlia. c) à idade de Júlia mais 5 anos. d) ao dobro da idade de Júlia. e) à idade de Júlia mais 11 anos. 6. (Esaf) Sabe-se que todo número inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator) primo. Se n é primo, então tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primo p, ou seja, é da forma p s, então 1, p 1, p 2,..., p s são os divisores positivos de n. Segue-se então que a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, é igual a a) 25 b) 87 c) 112 d) 121 e) 169 11

7. (FCC) No vestiário de um hospital há exatamente 30 armários que são usados por exatamente 30 enfermeiros. Curiosamente, certo dia em que todos os armários estavam fechados, tais enfermeiros entraram no vestiário um após o outro, adotando o seguinte procedimento: o primeiro a entrar abriu todos os armários; o segundo fechou todos os armários de números pares (2, 4, 6,..., 30) e manteve a situação dos demais; o terceiro inverteu a situação a cada três armários (3.º, 6.º, 9.º,..., 30.º), ou seja, abriu os que estavam fechados e fechou os que estavam abertos, mantendo a situação dos demais; o quarto inverteu a situação a cada quatro armários (4.º, 8.º, 12.º,..., 28.º) mantendo a situação dos demais; e, da mesma forma, ocorreu sucessivamente o procedimento dos demais enfermeiros. Com certeza, após a passagem de todos os enfermeiros pelo vestiário, os armários de números 9, 16 e 28 ficaram, respectivamente, a) aberto, aberto e fechado. b) aberto, fechado e aberto. c) fechado, aberto e aberto. d) aberto, aberto e aberto. e) fechado, fechado e fechado. 8. (Cesgranrio) Em um site de compras coletivas foi anunciada uma oferta para um jantar em um restaurante de luxo. As regras para utilização dos cupons eram as seguintes: limite de uso de um cupom por pessoa, gasto em uma única visita; não é válido para entrega ou viagem; validade: de segunda a sexta-feira, dentro de uma determinada semana. Sabendo-se que foram vendidos N cupons e que, na semana destinada à utilização da oferta, metade dos compradores compareceu ao restaurante 12

na segunda-feira; um terço do restante foi na terça-feira; na quarta-feira, a quarta parte do que faltava; na quinta-feira, a quinta parte do restante; e que, na sexta-feira, último dia da oferta, restavam menos de 20 clientes para utilizar o cupom. Se todos os compradores utilizaram o cupom, o número de compradores que foram atendidos na sexta-feira foi: a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 9. (FCC) Todo ano bissexto é um número múltiplo de 4. Com base nessa afirmação, é correto afirmar que, se 23/01/2012 ocorreu em uma segunda- -feira, então, no ano de 2019, o 23 de janeiro ocorrerá em a) um domingo. b) um sábado. c) uma sexta-feira. d) uma quinta-feira. e) uma quarta-feira. 10. (Fepese) Em uma empresa de segurança há duas turmas: uma com 42 vigias e a outra com 30. Para fazer a segurança de um evento, todos esses vigias serão organizados em grupos com o mesmo número de elementos, sem misturar vigias de turmas diferentes. Qual é o número máximo de vigias que pode haver em cada grupo? a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 12 13

11. (FGV) Uma escola possui 2 600 alunos que nasceram em anos de 365 dias. O número mínimo desses alunos da escola que faz aniversário no mesmo dia (e mês) e que nasceu no mesmo dia da semana é: a) 36 b) 38 c) 42 d) 46 e) 54 Referências BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 1996. LIMA, Elon L. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.) LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. v. 1, 2 e 3. LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1. TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995. Gabarito 1. Se todos os documentos arquivados deverão ser acomodados em caixas, de modo que todas fiquem com a mesma quantidade de documentos e, além disso, se cada caixa deve conter apenas documentos de um único tipo, então a quantidade de documentos em cada caixa deve ser um divisor comum de 168 e 192. Essa condição é obrigatória, pois se o número de documentos em cada caixa não for um divisor comum de 168 e 192, certamente haverá pastas com diferentes quantidades de documentos, o que não é possível acontecer. Se as instruções indicam ainda que a quantidade de documentos seja a maior possível, então a quantidade de documentos em cada pasta, além 14

de ser um divisor comum de 168 e 192, também deve ser o maior de todos. O maior divisor comum de dois números dados chama-se Máximo Divisor Comum (MDC). Assim, a quantidade de documentos em cada pasta deve ser o MDC de 168 e 192. Vamos encontrá-lo. 168 192 2 84 96 2 42 48 2 21 24 3 7 8 Os números 7 e 8 são primos entre si, pois o único divisor natural comum é a unidade. Assim, não há mais necessidade de decompor em fatores primos. Pela decomposição simultânea, o MDC é dado por: MDC {168; 192} = 2. 2. 2. 3 MDC {168; 192} = 24 Resposta: C 2. Decompondo o número 360 em fatores primos, temos: 360 = 2 3. 3 2. 5 Os números dados podem ser assim escritos como produto de números primos: 2 m. 15 = 2 m. 3. 5 4. 3 n = 2 2. 3 n Quando os números são decompostos separadamente, o produto dos fatores primos de maior expoente resulta no MMC. Assim, m = 3 e n = 2. Logo, m + n = 3 + 2 = 5 e 5 é ímpar. Resposta: C 15

3. Para que um número seja divisível por 18, deve ser divisível separadamente por 2 e por 9. Para ser divisível por 2, deve ser par, ou seja, o algarismo das unidades deve ser 0, 2, 4, 6 ou 8. Vamos, então, analisar cinco casos, cada um levando em consideração um valor de Y possível. Y = 0 5X70 é par Para que um número seja divisível por 9, a soma dos algarismos deve ser divisível por 9, ou seja: 5X70 = 5 + X + 7 + 0 = 12 + X Se 12 + X deve ser divisível por 9, então X deve ser igual a 6, pois 12 + 6 = 18 e 18 é divisível por 9. Logo, o par (X, Y) = (6, 0) é solução. Esse raciocínio serve para os demais casos possíveis para Y. Vejamos o próximo. Y = 2 5X72 é par O número 5X72 deve ser divisível por 9, então a soma dos algarismos deve ser divisível por 9. 5X72 = 5 + X + 7 + 2 = 14 + X Nesse caso, temos X = 4, pois 14 + 4 = 18 e 18 é divisível por 9. Portanto, o par (4, 2) é solução. Y = 4 5X74 é par O número 5X74 deve ser divisível por 9, então a soma dos algarismos deve ser divisível por 9. 5X74 = 5 + X + 7 + 4 = 16 + X Assim, X = 2, porque 16 + 2 = 18 e 18 é divisível por 9. O par (2, 4) é solução. 16

Y = 6 5X76 é par A soma dos algarismos é dada por: 5X76 = 5 + X + 7 + 6 = 18 + X Nesse caso, existem dois valores possíveis para X. Se X = 0, então 18 + 0 = 18 e 18 é divisível por 9. Se X = 9, então 18 + 9 = 27 e 27 é divisível por 9. Os pares podem ser então (0, 6) e (9, 6). Y = 8 5X78 é par A soma dos algarismos é igual a: 5X78 = 5 + X + 7 + 8 = 20 + X Para que 20 + X seja divisível por 9, deve-se ter X = 7, pois 20 + 7 = 27 e 27 é divisível por 9. O par é (7, 8). Logo, os pares podem ser: (6, 0); (4, 2); (2, 4); (0, 6); (9, 6) e (7, 8). Resposta: C 4. Se N é o menor número inteiro positivo que, multiplicado por 33, dá um produto cujos algarismos são todos iguais a 7, então o menor N deve satisfazer a seguinte equação: N. 33 = 77... 7 Se N deve ser o menor inteiro positivo possível a satisfazer essa equação, então o número formado exclusivamente por algarismos iguais a 7 também deve ser o menor possível. Além disso, como o produto de N por 33 deve ser igual ao número formado exclusivamente por algarismos iguais a 7, então esse número deve ser divisível por 33. E, como 33 é o produto dos números primos 3 e 11, então o número formado apenas pelo algarismo 7 deve ser divisível separadamente por 3 e por 11. Vamos testar a divisibilidade iniciando com os números que possuem as menores quantidades de algarismos iguais a 7: 17

7 não é divisível por 3, nem por 11; 77 é divisível por 11, mas não é divisível por 3; 777 é divisível por 3, mas não é divisível por 11; 7 777 é divisível por 11, mas não é divisível por 3; 77 777 não é divisível por 3, nem por 11; 777 777 é divisível por 3 e por 11. Assim, N. 33 = 777 777 e, portanto, N = A soma dos algarismos de N é dada por: 777 777 33 = 23 569. 2 + 3 + 5 + 6 + 9 = 25 Resposta: E 5. Vamos considerar que A e J representam as idades atuais de Ana e Júlia, respectivamente. Se o produto das idades de Ana e Júlia é representado por número primo, então: A. J = P Em que P é um número primo. Entretanto, o produto de números naturais resulta em um primo somente quando um dos números é primo e o outro é o número 1. Logo, necessariamente, entre as idades de Ana e Júlia, uma delas é representada por um número primo e a outra é o número 1. Como Ana é a mais velha, então Júlia tem 1 ano de idade. Se a soma das idades de Ana e Júlia é representada por um número primo, então: A + J = P A + 1 = P Em que P é um número primo. 18

Se P é primo, então não pode ser igual a 2, pois, nesse caso, as idades de Ana e Júlia seriam ambas iguais a 1: 1 + 1 = 2 Assim, observamos que P é um primo ímpar, já que o único número par, natural e primo é o número 2. Se P é ímpar, então A deve ser par. Se A é também um número primo, então necessariamente A = 2. Portanto, Ana tem 2 anos e Júlia tem 1 ano de idade e, assim, a idade de Ana é igual ao dobro da de Júlia. Resposta: D 6. Um número da forma p 2, em que p é um número natural primo, possui exatamente três divisores naturais: 1, p 1 e p 2. Assim, com exceção do número 1, o número que possui exatamente três divisores naturais deve ser quadrado de um primo. E, se esse número é positivo e menor do que 100, então as opções são 4, 9, 25 e 49. A soma desses números é dada por: 4 + 9 + 25 + 49 = 87 Resposta: B 7. Aparentemente o problema apresenta grande complexidade, mas com um pouco de análise podemos responder sem tanta dificuldade. Vamos começar pensando no seguinte: enfermeiros de quais números abrem ou fecham a porta de número 9? Os enfermeiros de números 1, 3 e 9 são os únicos que mudam a situação do armário 9, pois estes são os únicos números naturais que possuem 9 como um de seus múltiplos. Outra forma de analisar é observar que 1, 3 e 9 são os únicos divisores naturais de 9. De uma forma geral, podemos concluir que o armário de número X será aberto ou fechado pelos enfermeiros cujos números são divisores de X. 19

Assim, a situação do armário de número 9 será mudada apenas pelos enfermeiros de números 1, 3 e 9. Como os armários estavam inicialmente fechados, então: Enfermeiro 1 abriu o armário 9 Enfermeiro 3 fechou o armário 9 Enfermeiro 9 abriu o armário 9 Logo, após a passagem dos 30 enfermeiros, o armário 9 estará aberto. O raciocínio vale também para o armário de número 16, que será aberto ou fechado somente pelos enfermeiros de números 1, 2, 4, 8 e 16, uma vez que estes são os únicos divisores naturais de 16. Portanto: Enfermeiro 1 abriu o armário 16 Enfermeiro 2 fechou o armário 16 Enfermeiro 4 abriu o armário 16 Enfermeiro 8 fechou o armário 16 Enfermeiro 16 abriu o armário 16 O armário 16 ficará aberto. O armário de número 28 será aberto ou fechado apenas pelos enfermeiros de números 1, 2, 4, 7, 14 e 28, pois estes são os únicos divisores naturais de 28. Logo: Enfermeiro 1 abriu o armário 28 Enfermeiro 2 fechou o armário 28 Enfermeiro 4 abriu o armário 28 Enfermeiro 7 fechou o armário 28 Enfermeiro 14 abriu o armário 28 Enfermeiro 28 fechou o armário 28 Dessa forma, o armário 28 ficará fechado. Portanto, após a passagem dos 30 enfermeiros, os armários de números 9, 16 e 28 ficarão, respectivamente, aberto, aberto e fechado. 20 Resposta: A

8. Vamos equacionar o problema. Se metade dos compradores compareceu ao restaurante na segunda-feira, então N/2 foram os que compareceram. Logo, a metade restante, N/2, não compareceu na segunda-feira. Se um terço do restante foi na terça-feira, então (1/3). (N/2) = N/6 De segunda a terça, a quantidade de compradores que compareceu é dada por: N/2 + N/6 = 3N/6 + N/6 = 4N/6 = 2N/3 Logo, se dois terços de N compareceram até terça, então um terço de N compareceu após terça. Se na quarta-feira compareceu a quarta parte dos que faltavam, então (1/4). (N/3) = N/12 compareceu na quarta. Observe que, até quarta, havia comparecido 2N/3 + N/12 = 8N/12 + + N/12 = 9N/12 = 3N/4. Logo, após quarta, compareceu N/4. Se na quinta-feira, a quinta parte do restante compareceu, então compareceram na quinta: (1/5). (N/4) = N/20 Até quinta compareceram 3N/4 + N/20 = 15N/20 + N/20 = 16N/20 = 4N/5 Seja X a quantidade de pessoas que compareceu na sexta-feira. Então: X + (4N/5) = N X = N (4N/5) X = (5N/5) (4N/5) X = N/5 Observe que, se a quantidade de pessoas presentes deve ser necessariamente um número natural, os números N/2, N/6, N/12, N/20 e N/5 indicam que N deve ser simultaneamente múltiplo comum de 2, 5, 6, 12 e de 20. Logo, vamos encontrar o conjunto dos múltiplos comuns de 2, 5, 6, 12 e de 20 a partir do menor deles. Esse número é o mínimo múltiplo comum. 21

2 5 6 12 20 2 1 5 3 6 10 2 1 5 3 3 5 3 1 5 1 1 5 5 1 1 1 1 1 A decomposição simultânea dos números 2, 5, 6, 12 e 20 indicou que o MMC desses números é igual a: 2. 2. 3. 5 = 60 Assim, os múltiplos comuns de 2, 5, 6, 12 e 20 são os múltiplos de 60, ou seja: M(60) = {0; 60, 120, 180,...} Como a quantidade de pessoas presentes na sexta é igual a N/5 e deve ser menor que 20, o valor de N deve ser necessariamente 60, pois: N/5 = 60/5 = 12 < 20 Assim, 12 compradores compareceram na sexta-feira. Resposta: B 9. Os anos bissextos são os que apresentam 366 dias, em função da existência do dia 29 de fevereiro. A afirmação todo ano bissexto é um número múltiplo de 4 é verdadeira para o intervalo que vai de 2012 a 2019, mas não é verdadeira, por exemplo, de 2090 a 2110. Se 23/01/2012 foi segunda-feira e 2012 é um número múltiplo de 4, então 2012 é um ano bissexto. O mesmo ocorrerá com 2016. Os demais anos, 2013, 2014, 2015, 2017, 2018 não serão bissextos, portanto, cada um deles terá 365 dias. Logo, de 2012 a 2019, teremos dois anos bissextos e cinco anos não bissextos. Logo, a quantidade de dias de 23/01/2012 a 23/01/2019 será: 2. 366 + 5. 365 = 2 557 A cada sete dias, o dia da semana se repete. Assim, vamos dividir a quantidade total de dias por 7: 2 557 7 2 555 365 2 22

A partir da divisão, pode-se escrever: 2 557 = 7. 365 + 2 Assim, em 2 557 dias, teremos 365 semanas (sete dias) e ainda mais dois dias. As 365 semanas não alterarão o dia da semana, apenas os dois dias excedentes. Se 23/01/2012 foi uma segunda-feira, então 23/01/2019 será um dia da semana que se encontra dois dias após a segunda-feira, ou seja, será quarta-feira. Resposta: E 10. Se todos os vigias serão organizados em grupos com o mesmo número de elementos, sem misturar vigias de turmas diferentes, então o número máximo de vigias é igual ao MDC entre os números 42 e 30. Efetuando a decomposição simultânea dos números 42 e 30, temos: 42 30 2 21 15 3 7 5 Logo, MDC {42; 30} = 2. 3 = 6. Assim, 6 é o número máximo de vigias em cada turma. Resposta: C 11. Observe inicialmente que 2 600 = 7. 365 + 45. Ou seja, se a escola tivesse 2 555 alunos poderia ocorrer de não haver qualquer coincidência de nascimento no mesmo dia do ano, mês e da semana. Entretanto, existem 45 alunos a mais do que 2 555. Assim, se cada um desses 45 alunos fizer aniversário em um dia diferente do ano, mês ou da semana, na pior das hipóteses, haveria outro aluno com a mesma data do ano, mês e da semana. Nesse caso, duplicaríamos a quantidade de alunos com a mesma data do ano, mês e da semana, ou seja, seriam 45. 2 = 90 os alunos com mesmas datas. Em vez disso, todos os 45 alunos restantes poderiam ter a mesma data de nascimento (ano, mês, dia da semana). Se isso ocorresse, haveria, na pior das hipóteses, mais um aluno com a mesma data de nascimento, o que aumentaria em apenas uma unidade a quantidade de alunos com as mesmas datas. Portanto, pode-se garantir que, no mínimo, 46 (45 + 1) alunos fazem aniversário no mesmo dia (e mês), e que nasceram no mesmo dia da semana. Resposta: D 23