ESTUDO ANALÍTICO DE CONTROLADORES PID E PID SUPERVISÓRIO FUZZY EM SISTEMAS NÃO-LINEARES

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO - UFOP ESCOLA DE MINAS - EM COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO - CECAU GUILHERME MAGALHÃES JÚNIOR ESTUDO ANALÍTICO DE CONTROLADORES PID E PID SUPERVISÓRIO FUZZY EM SISTEMAS NÃO-LINEARES MONOGRAFGIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO Ouro Preto, 2009

GUILHERME MAGALHÃES JÚNIOR MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO Monografia apresentada ao Curso de Engenharia de Controle e Automação da Universidade Federal de Ouro Preto como parte dos requisitos para obtenção de Grau em Engenharia de Controle e Automação. Orientador: Prof. Dr. Agnaldo José da Rocha Reis Ouro Preto Escola de Minas UFOP Outubro/2009

O tempo faz os verdadeiros amigos (Whisky Buchanas)

AGRADECIMENTOS Agradeço, primeiramente, a Deus por tudo! Aos meus pais Guilherme e Tereza por terem me guiado sempre em direção á luz, aos meus irmãos Pablo e Rafael por existirem em minha vida, a minha avó Beatriz e a todos os familiares que de alguma forma contribuíram para que eu me tornasse a pessoa que sou. A Escola de Minas e ao meu orientador Professor Agnaldo José da Rocha Reis pelos ensinamentos. Aos meus grandes e verdadeiros amigos de Ubá e Ouro Preto. A todas as repúblicas amigas de Ouro Preto e ao estilo republicano de ser e viver. Por fim, a todos os ex-alunos e atuais moradores da gloriosa república TABU pelos melhores anos da minha vida! Uma vez Tabu, Tabu até morrer... VIVA AS MOÇAS!

SUMÁRIO 1 - INTRODUÇÃO... 14 1.1 Objetivo... 14 1.2 Justificativa... 14 1.3 Metodologia... 14 2 CONTROLADOR PID... 15 2.1 Controlador Proporcional (P)... 16 2.2 Controlador Proporcional Integral (PI)... 17 2.3 Controlador Proporcional Derivativo (PD)... 18 2.4 Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID)... 20 3 LÓGICA FUZZY... 21 3.1 Controlador Fuzzy... 22 3.1.1 Tipos de Controladores Fuzzy... 23 3.1.1.1 Controlador Fuzzy: Controle Direto... 23 3.1.1.2 Controlador Fuzzy: Controle de Supervisão... 24 3.1.1.3 Controlador Fuzzy: Adaptação PID... 24 3.1.1.4 Controlador Fuzzy: Intervenção Fuzzy... 25 3.2 Fuzzificação... 25 3.3 Base de Conhecimento... 25 3.4 Inferência... 26 3.41 Sistema Fuzzy Clássico... 26 3.42 Sistema Fuzzy Por Interpolação... 28 3.5 Defuzzificação... 29 3.6 Função de Pertinência... 31 3.61 Função de Pertinência Triangular... 32 3.62 Função de Pertinência Trapezoidal... 33 3.63 Função de Pertinência Gaussiana... 33 3.64 Função de Pertinência Cauchy... 34 3.65 Função de Pertinência Sigmóide... 34 4 CONTROLE ADAPTATIVO... 35 4.1 Controlador PID Supervisório Fuzzy... 35 5 SISTEMAS... 37 5.1 Sistemas Lineares... 37

5.2 Sistemas Não-Lineares... 38 6 SIMULAÇÃO E ANÁLISE DE RESULTADOS... 40 6.1 Planta 1... 40 6.1.1 Esquematização da planta... 40 6.1.2 Formulação Matemática... 41 6.1.3 Modelagem do Controlador PID com parâmetros fixos... 43 6.1.4 Modelagem do Controlador PID Supervisório Fuzzy... 44 6.1.5 Simulação... 48 6.2 Planta 2... 54 6.2.1 Esquematização da planta... 54 6.2.2 Modelagem do Controlador PID com parâmetros fixos... 55 6.2.3 Modelagem do Controlador PID Supervisório Fuzzy... 55 6.2.4 Simulação... 56 6.3 Planta 3... 62 6.3.1 Esquematização da planta... 62 6.3.2 Modelagem do Controlador PID com parâmetros fixos... 63 6.3.3 Modelagem do Controlador PID Supervisório Fuzzy... 63 6.3.4 Simulação... 64 7 CONCLUSÃO... 70 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 71

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2.1 Efeito da redução de Pb... 16 Figura 2.2 Efeito da inserção da ação integral... 17 Figura 2.3 Efeito da inserção da ação integral... 19 Figura 3.1 Sistema Fuzzy... 23 Figura 3.2 Controlador fuzzy com controle direto... 23 Figura 3.3 Controlador PID com controle de supervisão fuzzy... 24 Figura 3.4 Controlador PID com controle adaptativo fuzzy... 24 Figura 3.5 Controlador PID com controle de intervenção fuzzy... 25 Figura 3.6 Modelo Clássico de Mamdani... 27 Figura 3.7 Modelo Clássico de Larsen... 27 Figura 3.8 Modelo por interpolação de Takagi - Sugemo... 28 Figura 3.9 Modelo por interpolação de Tsukamoto... 29 Figura 3.10 Condição da função de pertinência... 32 Figura 3.11 Função de pertinência triangular... 32 Figura 3.12 Função de pertinência trapezoidal... 33 Figura 3.13 Função de pertinência gaussiana... 33 Figura 3.14 Função de pertinência cauchyana... 34 Figura 3.15 Função de pertinência sigmoidal... 34 Figura 4.1 Sistema de controle PID com ganho escalonado fuzzy... 36 Figura 5.1 Representação geral de um Sistema... 37 Figura 5.2 Outro modo de se representar um sistema... 37 Figura 5.3 Sistema Linear... 38 Figura 6.1 Planta não-linear... 40 Figura 6.2 Diagrama de blocos da planta 1... 42 Figura 6.3 Curvas respostas dos tanques 1 e 2 para entrada degrau... 42 Figura 6.4 Parâmetros do controlador PID... 43 Figura 6.5 Sistema de controle PID da planta 1... 43 Figura 6.6 Parâmetros do controlador PID supervisório fuzzy da planta 1... 44 Figura 6.7 Funções de pertinências utilizadas no cálculo de gama e beta... 45 Figura 6.8 Funções de pertinências utilizadas no cálculo de alfa... 46 Figura 6.9 Sistema de controle PID supervisório fuzzy da planta 1... 48 Figura 6.10 Curvas respostas da planta 1 para entrada degrau e sem perturbação... 49

Figura 6.11 Ampliação das curvas da figura 49... 49 Figura 6.12 Curvas respostas da planta 1 para entrada degrau e com perturbação... 50 Figura 6.13 Ampliação das curvas da figura 51... 50 Figura 6.14 Curvas respostas da planta 1 para entrada variada e sem perturbação... 51 Figura 6.15 Ampliação das curvas da figura 53 na primeira metade do tempo decorrido... 51 Figura 6.16 Ampliação das curvas da figura 53 na segunda metade do tempo decorrido... 52 Figura 6.17 Curvas respostas da planta 1 para entrada variada e com perturbação... 52 Figura 6.18 Ampliação das curvas da figura 56 na primeira metade do tempo decorrido... 53 Figura 6.19 Ampliação das curvas da figura 56 na segunda metade do tempo decorrido... 53 Figura 6.20 Diagrama de blocos da planta 2... 54 Figura 6.21 Curva resposta para entrada degrau na função de transferência da planta 2... 54 Figura 6.22 Sistema de controle PID da planta 2... 55 Figura 6.23 Parâmetros do controlador PID supervisório fuzzy da planta 2... 55 Figura 6.24 Sistema de controle PID supervisório fuzzy da planta 2... 56 Figura 6.25 Curvas respostas da planta 2 para entrada degrau e sem perturbação... 57 Figura 6.26 Ampliação das curvas da figura 64... 57 Figura 6.27 Curvas respostas da planta 2 com entrada degrau e com perturbação... 58 Figura 6.28 Ampliação das curvas da figura 66... 58 Figura 6.29 Curvas respostas da planta 2 com entrada variada e sem perturbação... 59 Figura 6.30 Ampliação das curvas da figura 68 na primeira metade do tempo decorrido... 59 Figura 6.31 Ampliação das curvas da figura 68 na segunda metade do tempo decorrido... 60 Figura 6.32 Curvas respostas da planta 2 com entrada variada e com perturbação... 60 Figura 6.33 Ampliação das curvas da figura 71 na primeira metade do tempo decorrido... 61 Figura 6.34 Ampliação das curvas da figura 71 na segunda metade do tempo decorrido... 61 Figura 6.35 Diagrama de blocos da planta 3... 62 Figura 6.36 Curva resposta da planta 3 á função degrau... 62 Figura 6.37 Sistema de controle PID da planta 3... 63 Figura 6.38 Parâmetros do controlador PID supervisório fuzzy da planta 3... 63 Figura 6.39 Sistema de controle PID supervisório fuzzy da planta 3... 64 Figura 6.40 Curvas respostas da planta 3 com entrada degrau e sem perturbação... 65 Figura 6.41 Ampliação das curvas da figura 79... 65 Figura 6.42 Curvas respostas da planta 3 com entrada degrau e com perturbação... 66 Figura 6.43 Ampliação das curvas da figura 81... 66 Figura 6.44 Curvas respostas da planta 3 com entrada variada e sem perturbação... 67

Figura 6.45 Ampliação das curvas da figura 81 na primeira metade do tempo decorrido... 67 Figura 6.46 Ampliação das curvas da figura 81 na segunda metade do tempo decorrido... 68 Figura 6.47 Curvas respostas da planta 3 com entrada variada e com perturbação... 68 Figura 6.48 Ampliação das curvas da figura 86 na primeira metade do tempo decorrido... 69 Figura 6.49 Ampliação das curvas da figura 86 na segunda metade do tempo decorrido... 69

ÍNDICE DE TABELAS Tabela 1 Tabela explicativa dos parâmetros P, I e D... 15 Tabela 2 Tabela comparativa das influências dos parâmetros no processo... 20 Tabela 3 - Vantagens e desvantagens dos métodos de defuzzificação... 31 Tabela 4 Tabela de Inferência do beta... 47 Tabela 5 Tabela de Inferência do gama... 47 Tabela 6 Tabela de Inferência de alfa... 47

RESUMO A globalização e a competitividade em todos os níveis industriais fizeram com que a qualidade final do produto ganhasse importância de tamanho igual ou superior ao custo. Caminhando junto a essa competitividade e dando suporte para tal temos os sistemas de controle, responsáveis pelos controles automáticos dos processos. Este é preterido ao controle humano, pela sua maior confiabilidade, menor custo e melhor otimização dos sistemas. Este trabalho apresenta o desenvolvimento de um controlador PID supervisório fuzzy bem como sua comparação a um controlador PID com parâmetros fixos para controle de sistemas nãolineares. Ao contrário deste, no controlador PID supervisório fuzzy, regras fuzzy são utilizadas para determinação e alteração dos parâmetros (Kp, Ki, e Kd). Para análise e comparação, estes foram postos á prova em sistemas reais simulados. Desenvolveu-se toda parte de programação e simulação no ambiente de controle MATLAB e SIMULINK. Os modelos matemáticos dos sistemas utilizados foram retirados de outros trabalhos de temas correlatos. Baseado nas análises gráficas das curvas respostas dos controladores pôde-se concluir que há superioridade do controlador PID supervisório fuzzy sobre o PID com parâmetros fixos quando estes são empregados em sistemas não-lineares. Palavras-chave: Controlador PID, Lógica Fuzzy, Controle Adaptativo

ABSTRACT Globalization and competivity present among all industrial levels made the product s final quality of equal, or even higher, importance than its final cost. Giving support along with this competivity is the control systems, responsible for the automatic control of the general processes. It s preferred than human control, for its confiablility, lower costs and best optimization of the operational systems. In this works one presents the development of a supervisory PID fuzzy controller as well its comparison to a PID controller with fixed parameters to non-linear control systems. In the supervisory PID fuzzy controller, fuzzy rules are used to determine and alter the controller s PID parameters (KP, Ki, and Kd). For analysis and comparison, they were put to test on real systems simulation. MATLAB and SIMULINK were used in programming and developing the control environment. The mathematic models of the used systems were taken from other related works. Based on the graphic analysis of the controller s answer curves, one can conclude the superiority of the supervisory PID fuzzy controller over the PID controller with fixed parameters, when they are used on non-linear control systems. Keywords: PID controller, Fuzzy Logic, Gain Scheduling Controller

1 - INTRODUÇÃO A indústria do século XXI, cada dia mais necessita do controle autônomo em seu parque industrial. Este, como o próprio nome diz, é responsável não só pelo controle como por sua otimização, garantindo cada vez mais confiabilidade e qualidade ao produto final com um custo menor. Existem vários sistemas de controle empregados hoje nas indústrias e estudados em meios acadêmicos. Dentre os mais comuns podemos ressaltar: controle ON/OFF, controle proporcional (P), controle proporcional derivativo (PD), controle proporcional integrativo (PI) e o largamente mais utilizado hoje em dia, que é a junção dos três anteriores, o controle proporcional integrativo e derivativo (PID). No entanto estes controladores, ditos convencionais, têm seu emprego quase que limitado ao controle de sistemas SISO (Single Input Single Output) e lineares. Para sistemas não-lineares, que são amplamente encontrados na indústria hoje, uma das soluções seria utilizar o controle adaptativo. O controlador adaptativo permite a variação dos parâmetros PID, no decorrer do tempo, fazendo com que este se adeqüe ás variações do sistema, sejam elas causadas por ruídos ou por não linearidade natural do mesmo. Este tipo de controle é uma das técnicas que apresenta melhores resultados quando é necessária uma resposta rápida em sistemas, onde as condições de operação variam. Existem diversos tipos de controladores adaptativos. Neste trabalho utilizou-se o Fuzzy Gain Scheduling of PID Controllers(Controlador PID Supervisório Fuzzy), que consiste em um controlador PID (que controlará a planta) e um controlador fuzzy que será responsável pelo agendamento (alteração) dos ganhos (Kp, Ki, Kd). Este trabalho foi dividido em oito capítulos. O capítulo II explora os diversos tipos de controladores convencionais relacionados acima, qualificando individualmente cada um deles bem como apresentando suas vantagens e desvantagens. No capítulo III encontra-se toda parte de lógica fuzzy: introdução, interface de fuzzificação, base de conhecimento, procedimento de inferência e interface de defuzzificação. O capítulo IV conceitua o controle adaptativo apresentando especificamente o Fuzzy Gain Scheduling of PID Controllers. O capítulo V explana sobre sistemas lineares e não-lineares. O capítulo VI trata de todo o desenvolvimento da simulação em ambiente MATLAB e SIMULINK, bem como analisa os resultados dos controladores testados. O capítulo VII trata das considerações finais do trabalho, apresentando a conclusão e propondo trabalhos futuros. A última parte relaciona todo o material utilizado como base para o desenvolvimento deste trabalho.

14 1.1 Objetivo Estudar e analisar o controle de sistemas não-lineares utilizando controladores adaptativos, bem como comparar se este é e o quão é superior ao controlador com parâmetros fixos. 1.2 Justificativa Cada vez mais há necessidade de um controle autônomo nos processos. Não é demais insistir em dizer da grande vantagem destes sobre os operadores humanos. Vantagens como: eliminação de trabalhos monótonos ou exigindo atenção concentrada, eliminação do erro humano, melhoria da qualidade dos produtos e melhor aproveitamento de matéria-prima. Os controladores convencionais, por sua vez, estão cada vez mais perdendo espaço devido suas limitações. Por isso da necessidade de se estar buscando novas soluções em controladores, tendo em vista que nas indústrias cada vez mais há plantas MIMO s e não-lineares para serem automatizadas. 1.3 Metodologia Neste trabalho é estudado o controle de três sistemas não-lineares através do controlador fuzzy supervisório PID. Neste, o controlador fuzzy monitora o controle realizado pelo PID na planta através do erro (diferença entre o valor real da variável de processo e o valor desejado) e da derivada do erro retornado pelo sistema. Em cima da variação destes e baseado em um conjunto de regras implementadas no controlador fuzzy, este consegue definir os novos valores para Kp, Ki e Kd. Como isso é feito de forma on-line, qualquer variação que ocorra no sistema, seja de forma natural (devida a não-linearidade do mesmo) ou caso haja uma perturbação, o controle se adapta de modo a garantir a melhor performance deste. Em seguida compara-se este controle ao de um controlador PID com parâmetros fixos. Tais valores fixos bem como o intervalo de variação destes no primeiro controlador são obtidos via tentativa e erro, visto que as regras conhecidas para sistemas lineares não são bem aplicadas para sistemas não-lineares. Todo o estudo foi desenvolvido em caráter de simulação dentro dos softwares MATLAB e SIMULINK. As três plantas utilizadas para controle, bem como as equações que as representa foram tiradas de exemplos de outros trabalhos.

2 CONTROLADOR PID A técnica de controle PID consiste em calcular um valor de atuação sobre o processo a partir das informações do valor desejado e do valor atual da variável do processo. Este valor de atuação sobre o processo é transformado em um sinal adequado ao atuador utilizado (válvula, motor, relé), e deve garantir um controle estável e preciso. De uma maneira bem simples, o PID é a composição de três ações quase intuitivas, conforme resume o quadro a seguir: Tabela 1 Tabela explicativa dos parâmetros P, I e D P CORREÇÃO PROPORCIONAL AO ERRO I CORREÇÃO PROPORCIONAL AO PRODUTO ERRO x TEMPO D CORREÇÃO PROPORCIONAL À TAXA DE VARIAÇÃO DO ERRO A correção a ser aplicada ao processo deve crescer na proporção que cresce o erro entre o valor real e o desejado Erros pequenos, mas que existem há muito tempo, requerem correção mais intensa. Se o erro está variando muito rápido, esta taxa de variação deve ser reduzida para evitar oscilações. A equação que representa o controle PID é: de( t) MV ( t) Kp E( t) Ki E( t) dt Kd (2.1) dt Onde Kp, Ki e Kd representam respectivamente os ganhos do controle proporcional, integral e derivativo e como tal definem a intensidade de atuação de cada um dentro do sistema; e onde MV(t) representa o sinal de atuação e E(t) o erro entre a saída e a referência. È usual também a adoção do conceito de Banda Proporcional em substituição ao Kp, Tempo Derivativo em substituição a Kd e Taxa Integral ou Reset em substituição a Ki. Desta forma a equação do PID ficaria assim: 100 de( t) MV ( t) E( t) Ir E( t) dt Dt (2.2) Pb dt

16 2.1 Controlador Proporcional (P) No controlador proporcional, o valor da variável de controle é proporcional ao erro, de modo que para erro zero, temos MV=0. À medida que cresce o desvio entre o setpoint e o valor real da saída, ou seja, o erro, o controlador tende a aumentar o MV até o seu máximo (100%). Este valor que faz com que MV seja 100% é definido como Banda Proporcional (Pb). 100 MV ( t) E( t) (2.3) Pb Para altos valores de Pb, a saída MV só irá assumir um valor alto para corrigir o processo se o desvio for alto; já para valores baixos de Pb, MV assume valores altos para correção do processo. Resumindo, quanto menor o valor de Pb, mais forte é a resposta deste controlador, junto ao processo, em função do desvio do setpoint. A figura 2.1 ilustra os efeitos de variação de Pb no controle de um processo. a) b) c) Figura 2.1 Efeito da redução de Pb Fonte: Controladores PID..., 2009 Na figura 2.1(a), temos o exemplo do controlador P com alto valor da banda proporcional (Pb). Percebe-se que o processo se estabilizou, porém e de certa forma, muito abaixo do que se determinou no setpoint. De modo progressivo, podemos ver que na figura 2.1(b), com um valor de Pb menor, a estabilização ocorreu mais próximo do setpoint, levando a crer que uma nova redução no valor de Pb resultará novamente numa melhoria do controle. No entanto ao reduzir novamente o valor, percebe-se que o processo se tornou instável. Isso nos leva a concluir que nem sempre o menor valor de Pb será o ideal para uma determinada planta. Para sabermos o valor ideal desta para cada planta a ser controlada é necessário que façamos um processo chamado sintonia de controle.

17 Vale ressaltar que um controlador proporcional puro nunca consegue estabilizar com erro zero. Por isso a maioria dos sistemas de controle onde se utiliza somente o controlador P, é adicionado um valor constante à saída do MV para garantir que na condição ideal (setpoint = valor real do processo), alguma energia seja entregue ao sistema. Tal valor constante, denominado bias (polarização), evita que nesta condição ideal o valor de MV seja zero (SP = SV MV = 0). Pois nestas condições, com nenhuma energia sendo entregue ao processo, surgirá novamente um desvio. 2.2 Controlador Proporcional Integral (PI) O controle integral por si só não pode ser empregado como uma técnica de controle. Este necessita de uma ação proporcional para que possa atuar no sistema. 100 MV ( t) E( t) Ir E( t) dt (2.4) Pb A ação integral consiste em uma resposta, na saída do controlador (MV), que é proporcional á amplitude e duração do desvio. A ação integral tem o efeito de eliminar o erro característico de um controle puramente proporcional (erro estacionário). A ação deste em um sistema anteriormente controlado por um controlador P, pode ser melhor visto na figura 2.2: a) b) Figura 2.2 Efeito da inserção da ação integral Fonte: Controladores PID..., 2009 Na figura 2.2(a) podemos ver a ação de um controlador unicamente proporcional. Nesta PV e MV se estabilizam em um ponto em que a quantidade de energia entregue ao

18 sistema(mv), é a necessária para manter PV no valor em que está. Este processo irá permanecer desta forma até que ocorra uma perturbação, ou seja, apesar do sistema estar estável o controle não foi eficiente, pois não se atingiu o setpoint, deixando claramente um erro em regime permanente. Na figura 2.2(b) há de se ver a ação de um controlador proporcional-integral. Note, que no instante assinalado, no dado momento onde o sistema se estabilizaria com um erro em regime permanente, foi incluída uma ação integral. Esta ação foi responsável pela elevação do MV e conseqüentemente do PV fazendo com este atingisse o valor ideal (fixado pelo setpoint) e eliminasse o erro. Desta forma este controlador foi capaz de estabilizar o sistema, mas sem o erro apresentado pelo controlador anterior. A ação integral, em intervalos regulares, consegue corrigir o valor de MV, pois soma a este, o valor do erro (SV - PV). Este intervalo de atuação recebe o nome de tempo integral que também pode ser expresso por seu inverso, chamado taxa integral(ir). O aumento de Ir acarreta no aumento da ação do integrador no controle do processo, tendo como objetivo eliminar o erro em regime permanente. No entanto, aumentar demasiadamente o termo integral atuante, pode levar o processo à instabilidade. Em contra partida, trabalhar com esse com valores baixos, pode levar ao retardo, a estabilização do sistema. 2.3 Controlador Proporcional Derivativo (PD) Tal como o controle integral, o derivativo por si só também não é uma técnica de controle. Este também precisa da ação proporcional. 100 de( t) MV ( t) E( t) Dt (2.5) Pb dt A ação derivativa consiste em uma resposta, na saída do controlador (MV), que é proporcional à velocidade de variação do desvio. Tal ação reduz a velocidade das variações de PV, evitando que este se eleve ou se reduza rapidamente. Contudo, este só tem valia quando há variação no erro. Se o processo a ser controlado estiver estabilizado e/ou em regime permanente, este tem seu efeito anulado. Havendo perturbações durante o processo ou no instante inicial do mesmo, quando há variação do erro, o derivativo aparece atuando no sistema de modo a amortecer as suas

19 variações, sendo, portanto, sua principal função melhorar o desempenho do controle durante o regime transitório. A figura 2.3 mostra a ação deste em comparação a ação do controlador proporcional. a) b) Figura 2.3 Efeito da inserção da ação integral Fonte: Controladores PID..., 2009 A figura 2.3(a) mostra o efeito do controlador P sobre o sistema. Por este apresentar um baixo valor de banda proporcional(pb), vê-se que ocorreu overshoot, onde PV ultrapassa o setpoint antes de estabilizar. Durante este momento, nota-se que o MV permaneceu em seu valor máximo. Percebe-se também que o PV começou a desacelerar muito próximo do valor de SV, quando já é tarde para impedir que ocorra um overshoot. Tal problema pode ser evitado de duas maneiras: aumentar o Pb ou inserir o derivativo no controle. A primeira solução, certamente acarretaria em um erro em regime permanente, logo o que nos resta é a segunda solução. Ao introduzir o efeito derivativo no controlador proporcional, ou seja, ao torná-lo um controlador PD, vê-se claramente na figura 2.3(b), a melhora da resposta do sistema de controle. Ao antecipar a variação de PV, esta nova ação introduzida, elimina o overshoot e as oscilações em regime transitório do processo. A contribuição da ação derivativa, que se baseia no diferenciador, executa a operação matemática derivada em cima do erro, que pode ser entendida como o cálculo da taxa(ou velocidade) de variação deste em relação ao tempo. Esta variação é somada á MV. Logo se PV está aumentando, o erro está diminuindo, resultando em uma variação negativa, que reduz o valor de MV e conseqüentemente retarda o processo de elevação de PV.

20 A intensidade desta ação pode ser regulada através do tempo derivativo (Td), que corresponde ao período de tempo antecipado pela ação derivativa relativamente à ação proporcional. O aumento de Td aumenta a ação derivativa que reduz a taxa de variação de PV. 2.4 Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID) Ao unir as três ações descritas nos controladores acima, conseguimos o melhor individual de cada controlador: o controle básico do P, a eliminação do erro em regime permanente do I e a redução das oscilações e eliminação do erro em regime transitório do D. No entanto ao trabalhar com estas três ações de modo simultâneo cria-se a dificuldade de ajustar a intensidade de cada um dos parâmetros, processo esse chamado de sintonia PID. A bibliografia de controle referenciada no final deste trabalho, apresenta diversas técnicas para sintonia, tanto em malha fechada quanto em malha aberta. No entanto, foge ao objetivo deste trabalho explicitá-las, por se tratar de um desenvolvimento em cima de sistemas não-lineares. O caminho utilizado para encontrar os parâmetros PID, foi pelo método de tentativa e erro. Para tal, foi utilizado como suporte a tabela abaixo: Tabela 2 Tabela comparativa das influências dos parâmetros no processo Parâmetro Ao aumentar, o processo... Ao diminuir, o processo Torna-se mais lento. Torna-se mais rápido. Pb Geralmente se torna mais estável ou menos oscilante. Tem menos Fica mais instável ou mais oscilante. Tem mais overshoot. overshoot. Ir Torna-se mais rápido, atingindo rapidamente o setpoint. Fica mais instável ou mais oscilante. Tem Torna-se mais lento, demorando a atingir o setpoint. Fica mais estável ou mais oscilante. Tem menos overshoot. mais overshoot. td Torna-se mais lento. Tem menos overshoot. Tem mais overshoot.

3 LÓGICA FUZZY Diversas tecnologias são desenvolvidas em busca de soluções dos problemas específicos para cada área. Com o advento da lógica fuzzy, ou lógica nebulosa, foi possível o desenvolvimento de um método capaz de trabalhar com as imperfeições e não-linearidades do mundo real (de LIMA, 2004). O mundo em que vivemos pode ser interpretado como um sistema analógico e altamente não-linear. Desta forma podemos dizer que a maioria dos processos presentes nele necessita mais do que uma simples resposta de certo ou errado (0 ou 1), tal como é expresso pela lógica clássica. Estes necessitam de uma gama maior de possibilidades, chegando então ao conceito de multivalência de valores. Vale dizer também que a lógica fuzzy é baseada em termos (palavras) e não em números, ou seja, ao invés de dizermos que uma pessoa tem x metros de altura, ou que a temperatura está a tantos graus celsius, nós simplesmente classificamos com expressões tais como: baixo, alto, muito baixo, muito quente, frio, aberto, pouco aberto. Esta compactua também com a adição de termos para melhor classificar e dividir suas variáveis lingüísticas, denominados modificadores de predicado, que nada mais são do que expressões do tipo muito, médio, pouco, positivo, zero, negativo. Somado a estes temos um vasto número de quantificadores e possibilidades lingüísticas que nos leva a chegar à conclusão, de que a lógica fuzzy não trabalha com valores 1 (para verdadeiro) e 0 (para falso), e sim com todos os valores compreendidos entre eles, tomando estes como os limites mínimo e máximo. A lógica fuzzy pode ser utilizada para a implementação de controladores, aplicados nos mais variados tipos de processos (de LIMA, 2004). Sua forma de raciocínio e controle é semelhante ao de um operador humano, pois trabalha, tal como este, de forma dedutiva. Suas ações sobre um atuador em um processo industrial, com características lineares ou não, se dão através de um banco de regras que pode ser comparado ao banco de experiências do homem. A utilização destas regras (regras fuzzy ou regras nebulosas), contempla o sistema com uma série de vantagens, tais como: - Possibilidade de simplificação do modelo do processo; - Melhor tratamento das imprecisões inerentes aos sensores utilizados; - Facilidade na especificação das regras de controle, em linguagem próxima á natural; - Satisfação de múltiplos objetivos de controle; - Facilidade de incorporação do conhecimento de especialistas humanos. (de LIMA, 2004)

22 Entretanto esta lógica não consegue se entender numa comunicação de forma direta com os sensores nem com os atuadores, pois estes trabalham na lógica aritmética. Logo é necessária uma conversão desta lógica para lógica fuzzy e vice-versa. Para tal conversão, existe neste controlador, especificamente duas etapas, a qual chamamos de fuzzificação e defuzzificação, que estão posicionados respectivamente na entrada e saída do sistema de controle. Elas são responsáveis por transformar as leituras numéricas dos sensores em um conjunto fuzzy (etapa de fuzzificação) e de traduzir este posteriormente em valores analógicos ou numéricos (etapa de defuzzificação) para que possam ser entendidos pelo atuador para agir no processo. 3.1 Controlador Fuzzy As técnicas de sistemas fuzzy ganharam um grande espaço em diversas áreas de pesquisa e desenvolvimento no mundo por se tratarem de sistemas bastante versáteis, incorporando conhecimento que outros sistemas nem sempre conseguem obter, principalmente se tratando de modelos físicos de representação complexa e de difícil representação matemática. (de LIMA, 2004) O uso destes não se restringe a sistemas lineares, pelo contrário, pois é capaz de superar qualquer não-linearidade, sendo esta natural da função de controle do processo, ou devido a perturbações externas e ruídos. Com isso mostra grande robustez a sistemas que se caracterizam por imprecisões intrínsecas. O projeto dos controladores fuzzy não segue o mesmo procedimento padrão abordado pelos controladores clássicos. Ele não necessita do conhecimento do modelo matemático que descreve o processo ou planta a ser controlada, pois sua forma de controle é baseada no conhecimento (base de regras) que é formado por regras lingüísticas obtidas de forma heurística e não por equações. A figura 3.1 mostra a estrutura de um sistema fuzzy:

23 Figura 3.1 Sistema Fuzzy 3.1.1 Tipos de Controladores Fuzzy 3.1.1.1 Controlador Fuzzy: Controle Direto O controlador fuzzy com estilo de controle direto, utiliza-se das saídas do sistema de lógica fuzzy como sendo as variáveis de comando para a planta. Este está melhor representado na figura 3.2: Figura 3.2 Controlador fuzzy com controle direto Fonte: APLICACÃO..., 2009

24 3.1.1.2 Controlador Fuzzy: Controle de Supervisão O controlador fuzzy utilizado no modo de controle de supervisão, utiliza as próprias saídas para definir os valores para os controladores PID. Deste modo esse supervisiona de forma similar a um operador humano, os controladores PID. Este tipo de controle está representado na figura 3.3: Figura 3.3 Controlador PID com controle de supervisão fuzzy Fonte: APLICACÃO..., 2009 3.1.1.3 Controlador Fuzzy: Adaptação PID O controlador fuzzy com adaptação PID, como próprio nome diz, adapta (define) os parâmetros de um controlador PID convencional. Com isto, esse consegue analisar o desempenho deste e otimizá-lo. Este pode ser visto na figura 3.4: Figura 3.4 Controlador PID com controle adaptativo fuzzy Fonte: APLICACÃO..., 2009

25 3.1.1.4 Controlador Fuzzy: Intervenção Fuzzy O controlador com intervenção fuzzy, nada mais é do que um controlador fuzzy que trabalha em paralelo com um controlador PID. A intervenção do controlador fuzzy acontece sempre que houver distúrbios bruscos na planta a ser controlada. A forma de controle deste, está representado na figura 3.5: Figura 3.5 Controlador PID com controle de intervenção fuzzy Fonte: APLICACÃO..., 2009 3.2 Fuzzificação A primeira etapa que uma variável de entrada enfrenta em um sistema fuzzy é a fuzzificação. É neste procedimento que ocorre a identificação e, por conseguinte a transformação dos valores numéricos fornecidos pelos sensores em valores lingüísticos (valores fuzzificados) para serem inferidos pelo bloco seguinte. 3.3 Base de Conhecimento A base de conhecimento consiste de uma base de dados e uma base de regras, de maneira a caracterizar a estratégia de controle e suas metas. Em um sistema fuzzy é importante que existam uma quantidade de regras pré-definidas necessárias para mapear totalmente as diversas combinações possíveis, garantindo que haverá uma regra específica para qualquer entrada do sistema (de LIMA, 2004).

26 3.4 Inferência O verbo inferir significa concluir a partir de evidências, deduzir ou ter uma conseqüência lógica. É isso que ocorre no bloco de inferência. Este, através da base de conhecimento, é responsável pela verificação do grau de compatibilidade entre fatos e regras. Para isso, utiliza-se um mecanismo baseado em uma coleção de regras se-então para produzir uma saída (a ação de controle) a partir da agregação dos valores obtidos em função do grau de compatibilidade da regra com os dados. Nesta parte do sistema é empregado o que chamamos de modelo de sistema fuzzy. São encontrados na literatura, dois tipos: sistema fuzzy clássico e sistema fuzzy por interpolação. 3.41 Sistema Fuzzy Clássico Nos modelos clássicos a conclusão de cada regra especifica um termo fuzzy dentre um conjunto fixo de termos (geralmente um número menor que o número de regras). Estes termos são conjuntos fuzzy convexos representados graficamente por funções como triângulos, funções em forma de sino e trapézios. Com as variáveis de estado fuzzificadas, o sistema obtém um conjunto fuzzy com o valor da variável de controle. Este conjunto nada mais é que uma representação ordenada das ações de controle que são aceitáveis naquele momento para um devido valor de entrada. Em seguida, através da defuzzificação, é selecionada uma ação de controle global dentre aquelas aceitáveis apresentadas. Os modelos clássicos mais conhecidos e praticados são: modelo de Mamdani (figura 3.6) e o modelo de Larsen (figura 3.7). Abaixo encontram-nos representados graficamente:

27 Figura 3.6 Modelo Clássico de Mamdani Fonte: CORREA; SANDRI, 1999 Figura 3.7 Modelo Clássico de Larsen Fonte: CORREA; SANDRI, 1999

28 3.42 Sistema Fuzzy Por Interpolação Nos modelos por interpolação, cada conclusão é dada através de uma função estritamente monotônica, usualmente diferente para cada regra. No modelo de Takagi- Sugemo (figura 3.8), a função é uma combinação linear das entradas, tendo como parâmetros um conjunto de constantes. No esquema de Tsukamoto (figura 3.9), a função é geralmente não-linear, tendo como domínio os possíveis graus de compatibilidade entre cada premissa e as entradas (CORREA; SANDRI, 1999). Em ambos os esquemas, obtêm-se para cada regra, um único valor para a variável de controle. Finalmente, uma ação de controle global é obtida, fazendo-se uma média ponderada dos valores individuais obtidos, onde cada peso é o próprio grau de compatibilidade entre a premissa da regra e as entradas, normalizado (CORREA; SANDRI, 1999). Abaixo encontram-se as representações gráficas dos dois esquemas descritos. Figura 3.8 Modelo por interpolação de Takagi - Sugemo Fonte: CORREA; SANDRI, 1999

29 Figura 3.9 Modelo por interpolação de Tsukamoto Fonte: CORREA; SANDRI, 1999 3.5 Defuzzificação Esta é a ultima etapa de um sistema fuzzy. Ela é responsável por obter um valor único para a ação de controle a partir do conjunto fuzzy obtido nas etapas anteriores. Ela é responsável também por traduzir para a lógica aritmética o valor da variável de controle, para que o atuador possa entender e efetuar seu papel no processo. Existem diversos métodos de defuzzificação, sendo que cada um está relacionado a um determinado tipo de processo e ao comportamento de controle necessário. Para selecionar o método apropriado de defuzzificação, pode-se utilizar um enfoque baseado no centróide ou nos valores máximos que ocorrem da função de pertinência resultante. As estratégias de defuzzificação são: - Média dos Máximos(MDM): esta estratégia consiste em pegar o valor médio dentre todos os pontos máximos(vide que no universo de trabalho existe mais de um ponto com grau de pertinência máxima). Ele utiliza a equação abaixo para efetuar este cálculo: MDM vk: valor máximo da abscissa de cada regra disparada; N: número total de regras disparadas. k N 1 vk N (3.1)

30 - Método do Centro de Área(CDA): esta estratégia, também é conhecida como método do centróide ou centro de gravidade ou de massa. Como próprio nome diz, esta estratégia consiste em achar o valor que corresponde ao centro da área do gráfico da função de pertinência. O cálculo para tal, é feito utilizando a seguinte equação: N CDA i 1 N i y i (3.2) i 1 i N: número total de regras disparadas; i : grau de ativação na ação conseqüente yi; o valor de i logo i [0,1]. corresponde a pertinência da ação, - Critério do Máximo (MAX): esta estratégia, escolhe os pontos onde a função de pertinência tem seus máximos (funções singleton), ignorando as áreas das funções de pertinência. O cálculo deste é feito segundo a equação abaixo: N n i i 1 K 1 N n 0 (3.3) i 1 K 1 0 µi: posição do centro do máximo; µo: pontos em que ocorrem os máximos (alturas) das funções de pertinência.

31 Tabela 3 - Vantagens e desvantagens dos métodos de defuzzificação Métodos Vantagens Desvantagens Média dos Máximos (MDM) - Em controladores fuzzy-pi, coloca-se um integrador para garantir a continuidade; - Decisões qualitativas em malhas fechadas; - Descontínuos (causam instabilidades e oscilações). Centro de Área (CDA) Centro do Máximo (MAX) - Reconhece padrões. - Contínuos em Malha fechada - Contínuos em malha fechada; - Decisões quantitativas. - As funções de pertinência não possuem sobreposição onde o centro geométrico da figura na realidade não deveria ter significado físico; - Se mais de uma regra tiver a mesma saída há uma sobreposição de áreas que é devidamente contabilizada; - A necessidade de integração numérica, toma esforço computacional para cálculo. - Se a função de pertinência possuir mais de um máximo, qual máximo utilizar. 3.6 Função de Pertinência Cada conjunto fuzzy é caracterizado pela sua função de pertinência, geralmente representados por µ(x). É através delas que serão determinados, o quanto um determinado elemento pertence ao conjunto (ZIMMERMAN, 1991). Há diferentes tipos de função de pertinência, vai depender da aplicação e/ou a maneira que se deseja representar um determinado contexto. Apesar das diferenças gráficas todas devem respeitar duas condições: ser normal e convexa. Um conjunto fuzzy dita como normal é quando sua função de pertinência permite classificar um determinado dado em pertencer totalmente ao conjunto. Quanto ao conjunto fuzzy convexo é quando sua função de pertinência não tenha mais o crescimento e

decrescimento dos valores resultantes ao longo do universo dado (TSOUKALAS, 1997). Na figura 3.10, um exemplo gráfico que melhor explica as condições da função de pertinência: 32 Figura 3.10 Condição da função de pertinência Fonte: KOHAGURA, 2007 3.61 Função de Pertinência Triangular A função de pertinência triangular é representada pela função: x a c x tri ( x; a, b, c) max(min(, ),0), para a < b < c. b a c b Figura 3.11 Função de pertinência triangular

33 3.62 Função de Pertinência Trapezoidal A função de pertinência trapezoidal é representada pela função: x a d x trap ( x; a, b, c, d) max(min(,1, ),0), para a < b < c < d. b a d c Figura 3.12 Função de pertinência trapezoidal 3.63 Função de Pertinência Gaussiana A função de pertinência gaussiana é representada pela função: gauss x b 2 2c ( x; a, b, c) a e 2 Figura 3.13 Função de pertinência gaussiana

34 3.64 Função de Pertinência Cauchy A função de pertinência cauchiana é representada pela função: 1 cauchy ( x; a, b, c), para b > 0. ( x c) 2b ((1 [ ]) ) a Figura 3.14 Função de pertinência cauchyana 3.65 Função de Pertinência Sigmóide A função de pertinência sigmoidal é representada pela função: sigmóide ( x;[ a, b]) (1 exp( 1 a ( x b))) Figura 3.15 Função de pertinência sigmoidal

4 CONTROLE ADAPTATIVO Para alguns processos não-lineares complexos, os requisitos de projeto não podem ser satisfeitos quando métodos de controle convencionais baseados em modelos lineares do processo são utilizados. Neste contexto, muita atenção deve ser dada ao desenvolvimento de técnicas de identificação e controle não-lineares (Babuška et al., 1996). Adicionalmente, diversas técnicas de controle moderno vêm sendo desenvolvidas nos últimos anos com o objetivo de melhorar o desempenho dos controladores PID (Proporcional, Integral e Derivativo). Diferentes esquemas de adaptação foram propostos, tais como, auto-ajustável, modelo de referência e ganho escalonado (Åström e Wittenmark, 1995). 4.1 Controlador PID Supervisório Fuzzy Na maioria dos processos conhecidos hoje, é sabido como a dinâmica destes modificam-se conforme mudam as suas condições de operação. Com isso é necessário e possível variar os parâmetros do controlador através do monitoramento das condições de operação do processo. Esta técnica é conhecida como Gain Scheduling (ganho escalonado). Trata-se de um tipo de realimentação não linear baseada em um controlador linear, cujos parâmetros são modificados em função das condições de operação do sistema, de forma préprogramada. Foi implementado neste projeto um controlador PID supervisório fuzzy, cujos parâmetros Kp, Ki e Kd do controlador PID foram ajustados a cada instante de amostragem pelo sistema fuzzy, responsável por gerar os novos valores dos parâmetros. Estes valores são calculados, baseados nos valores atualizados do erro (diferença entre o setpoint e saída do processo) e da derivada do erro (de(k) = e(k) - e(k-1)). O controlador supervisório do tipo gain scheduling utiliza o sistema fuzzy para determinar os valores de beta, gama e alfa. Com base nestes valores é possível calcular os novos valores de Kp, Ki e Kd, segundo as equações abaixo: Kp = (Kpmax Kpmin)beta + Kpmin Kd = (Kdmax Kdmin)gama + Kdmin (4.1) Ki = (alfa/10) + Kimin

36 As variáveis, beta, gama e alfa são normalizadas entre os valores 0 e 1 e são utilizadas para se obter o ganho proporcional Kp, o ganho derivativo Kd e o ganho integral Ki. São determinados também os intervalos (Kpmax, Kpmin), (Kdmax, Kdmin) e (Kimax, Kimin). Figura 4.1 Sistema de controle PID com ganho escalonado fuzzy Fonte: ZHAO, TOMIZUKA, 1993

5 SISTEMAS Sistema por si só pode ser definido como a entidade que manipula uma ou mais entradas, ou sinais de entrada, para a realização de determinada função, que gerará uma saída, ou novos sinais. O que vem a ser os sinais de entrada e de saída vai depender da aplicação. No caso de um sistema empregado para reconhecimento de voz, por exemplo, o sinal de entrada seria a voz do interlocutor e a saída, a resposta de reconhecimento da mesma. Este ainda pode ser definido como sendo linear ou não-linear. Figura 5.1 Representação geral de um Sistema Figura 5.2 Outro modo de se representar um sistema 5.1 Sistemas Lineares Um sistema linear pode ser definido, como sendo o sistema que respeita, ou atende, ao que denominamos de Princípio da Sobreposição, ou matematicamente falando, um sistema linear é aquele que pode ser modelado por meio de equações lineares: algébricas e diferenciais. O princípio da sobreposição, por sua vez, afirma que se várias entradas atuam no sistema (figura 5.3), o efeito pode ser determinado considerando cada entrada separadamente. Logo a resposta total será, e deverá ser sempre, a soma de todas as componentes de efeito.

38 Figura 5.3 Sistema Linear FONTE: ZUBEN O princípio da sobreposição pode ser melhor explicado, baseado na associação de dois outros princípios: o princípio da adição e o princípio da homogeneidade. Adição: Se T{X1(t)} = Y1(t) e T{X2(t)} = Y2(t) => T{X1(t) + X2(t)} = Y1(t) + Y2(t) Homogeneidade: Se T{X(t)} = Y(t) => T{αX(t)} = αt{x(t)} = αy(t) A associação destes dois princípios resulta no princípio da sobreposição: Se T{X1(t)} = Y1(t) e T{X2(t)} = Y2(t) => T{αX1(t) + βx2(t)} = αy1(t) + βy2(t). 5.2 Sistemas Não-Lineares Fielmente ao que se parece, os sistemas não-lineares são aqueles que não atendem o princípio da sobreposição. Matematicamente explicando, estes sistemas são os que não podem ser modelados por meio de equações lineares. Com isso, sistemas não-lineares criam novas freqüências em regime permanente, ou seja, o sinal de saída pode apresentar freqüências que não estão presentes no sinal de entrada (ZUBEN).

39 Os sistemas não-lineares são os que representam quase todos os sistemas reais. Apesar disso, sua análise é muito mais difícil e por isso quase sempre é preferível aproximar estes aos sistemas lineares, para facilitar a sua manipulação. Neste trabalho foram propostos três sistemas não-lineares para controle. Os três exemplos foram retirados de outros trabalhos.

6 SIMULAÇÃO E ANÁLISE DE RESULTADOS O objetivo deste trabalho é conseguir controlar de forma excelente um sistema com características não-lineares, utilizando um controlador fuzzy para calcular e implementar novos valores de parâmetros em um controlador PID. Para simulação e comprovação ótima do controlador, foram utilizadas três plantas implementadas no programa MATLAB/SIMULINK. A primeira foi retirada de uma apresentação da professora Ofélia de Q. F. Araújo. O segundo e o terceiro exemplos são sistemas não-lineares utilizados em diversos trabalhos. 6.1 Planta 1 6.1.1 Esquematização da planta O problema escolhido para simulação é um controle de nível de dois tanques em série, com volumes V1 e V2, vazão volumétrica F e concentração C como mostrado na figura 6.1: Figura 6.1 Planta não-linear Fonte: ARAÚJO

41 6.1.2 Formulação Matemática dc1 V 1 FC 0 FC 2 ( 1 ) FC1 (6.1) dt V dc dt ( 1 ) F( C1( t) C2 ( )) 2 2 t Definindo-se: 1 (1 V1 ) F 2 (1 V 2 ) F K (1 F ) F (6.2) Tem-se: dc dt 1 1 C1 t ( t) KC 0 KC 2 ( ) dc 2 ( 2 C2 t) C1( t) dt (6.3) Para serem consistentes com o modelo, as condições iniciais devem cumprir as seguintes relações: C 1( 0) KC0 (0) KC2 (0) C 0) (0) (6.4) 2( C1 Aplicando a transformada de Laplace ao modelo anterior tem-se: K K C ( s) C0 ( s) C2 ( ) 1 ( s 1) ( s 1) s 1 1 K C ( s) C1( ) 2 ( s 1) s 2 (6.5) G( s) C2( s) C ( s) 0 ( 1 s 1)( K s 2 1) K (6.6)

42 Figura 6.2 Diagrama de blocos da planta 1 Figura 6.3 Curvas respostas dos tanques 1 e 2 para entrada degrau

43 6.1.3 Modelagem do Controlador PID com parâmetros fixos O primeiro passo para poder efetuar a simulação, após a modelagem matemática da planta, foi implementar um controlador PID para efetuar o controle desta. Por ser um sistema não-linear, o método usado para achar os melhores parâmetros para o controlador, foi o método de tentativa e erro. Os valores dos parâmetros estabelecidos, bem como o modelo final usado na simulação no MATLAB/SIMULINK são mostrados nas figuras 6.4 e 6.5 respectivamente: Figura 6.4 Parâmetros do controlador PID Figura 6.5 Sistema de controle PID da planta 1

44 6.1.4 Modelagem do Controlador PID Supervisório Fuzzy O primeiro passo, após a modelar o controlador PID (com parâmetros fixos) para ser usado na simulação, é a modificação do mesmo para deixá-lo apto a trabalhar com o controlador fuzzy. No lugar dos valores fixos dos parâmetros deste controlador, colocaremos as seguintes equações: Kp = (Kpmax Kpmin)beta + Kpmin; Kd = (Kdmax Kdmin)gama + Kdmin; Ki = (alfa/10) + Kimin. Os valores máximos e mínimos dos parâmetros são definidos de acordo com cada planta. Neste caso foram: Kpmin = 50 Kpmax = 150; Kdmin = 50 Kdmax = 120; Kimin = 0.25 Kimax = 0.75. Substituindo os valores nas equações, estas ficarão como mostra a figura 6.6: Figura 6.6 Parâmetros do controlador PID supervisório fuzzy da planta 1 Em seguida, foram inseridos três controladores fuzzy do tipo mamdani(o mesmo utilizado nas três simulações), para calcular respectivamente os valores de beta, gama e alfa. O método de defuzzificação utilizado foi o de média dos máximos(mdm ou MOM), o mesmo utilizado nas outras duas simulações. Diferente do controlador anterior, este pode ser empregado em sistemas com várias entradas e saídas(mimo). Neste caso este possui duas entradas e uma saída, ou seja, é um sistema MISO (Multiple Input Single Output). As entradas nos três controladores usados são: o erro atual e a derivada do erro. E suas saídas são as variáveis beta, alfa e gama.

45 Após a determinação das entradas, a próxima etapa a se fazer é determinar as funções de pertinência. Geralmente o número de funções varia de duas á sete. Quanto maior o número de funções, mais preciso se torna o controlador, no entanto isto acarretará em uma maior demanda computacional. Experiências práticas mostraram que uma mudança de cinco conjuntos triangulares para sete aumenta a precisão em torno de 15%, sendo que a partir deste valor não há melhorias significativas. Neste trabalho utilizaram-se sete conjuntos triangulares para cada uma das entradas, o que culminou em quarenta e nove regras. Para saída foram utilizadas duas funções triangulares para o cálculo de beta e gama e quatro para o cálculo de alfa. As funções de pertinência dos controladores fuzzy responsáveis pelo cálculo de beta e gama são iguais e mostradas na figura 6.7. Figura 6.7 Funções de pertinências utilizadas no cálculo de gama e beta A função de pertinência utilizada no controlador fuzzy responsável por calcular alfa é mostrada na figura 6.8:

46 Figura 6.8 Funções de pertinências utilizadas no cálculo de alfa O passo seguinte é a construção da tabela de inferência e, por conseqüência, da base de regras. Estes são elaborados especificamente para cada controlador utilizado. Os valores de entrada são divididos em sete regiões: Gn (grande negativo), Mn (médio negativo), Pn (pequeno negativo), ZR (zero), Pp (pequeno positivo), Mp (médio positivo) e Gp (grande positivo). Já os valores das saídas, em duas regiões para o cálculo de beta e gama, que são: P (pequeno) e G (grande) e em quatro para o cálculo de alfa ( alfa1, alfa2, alfa3 e alfa4).

47 Tabela 4 Tabela de Inferência do beta Derivada do erro Gn Mn Pn ZR Pp Mp Gp Gn G G G G G G G Mn P G G G G G P Erro Pn P P G G G P P Zr P P P G P P P Pp P P G G G P P Mp P G G G G G P Gp G G G G G G G Tabela 5 Tabela de Inferência do gama Derivada do erro Gn Mn Pn ZR Pp Mp Gp Gn P P P P P P P Mn G G P P P G G Erro Pn G G G P G G G Zr G G G G G G G Pp G G G P G G G Mp G G P P P G G Gp P P P P P P P Tabela 6 Tabela de Inferência de alfa Derivada do erro Gn Mn Pn ZR Pp Mp Gp Gn alfa4 alfa4 alfa4 alfa4 alfa4 alfa4 alfa4 Mn alfa3 alfa3 alfa4 alfa4 alfa4 alfa3 alfa3 Erro Pn alfa2 alfa3 alfa3 alfa4 alfa3 alfa3 alfa2 Zr alfa1 alfa2 alfa3 alfa3 alfa3 alfa2 alfa1 Pp alfa2 alfa3 alfa3 alfa4 alfa3 alfa3 alfa2 Mp alfa3 alfa3 alfa4 alfa4 alfa4 alfa3 alfa3 Gp alfa4 alfa4 alfa4 alfa4 alfa4 alfa4 alfa4

Após a inserção dos controladores PID e fuzzy e da planta no ambiente de simulação do MATLAB/SIMULINK, o sistema ficou como o mostrado na figura 6.9: 48 Figura 6.9 Sistema de controle PID supervisório fuzzy da planta 1 6.1.5 Simulação Para melhor visualização e comparação entre os dois controladores, os mesmos foram unidos no mesmo workspace para ser simulado. A primeira simulação foi feita sem introdução de interferência e com valor de entrada fixa (função degrau) igual a 100 e tempo de simulação igual a 10 segundos. Os resultados estão a seguir. Em todos os gráficos da simulação, a linha de cor amarela representa o setpoint, a linha de cor azul representa a saída do controlador PID com parâmetros fixos e a linha de cor rosa representa a resposta do controlador PID supervisório fuzzy.

49 Figura 6.10 Curvas respostas da planta 1 para entrada degrau e sem perturbação Figura 6.11 Ampliação das curvas da figura 49

50 Repete-se a simulação com introdução de uma interferência na entrada. Esta foi feita por um gerador de sinais com amplitude igual a 1 e freqüência igual a 0.4 rad/s. O tempo de simulação foi modificado para 40 segundos. Figura 6.12 Curvas respostas da planta 1 para entrada degrau e com perturbação Figura 6.13 Ampliação das curvas da figura 51

51 A terceira simulação foi feita sem introdução de interferência e com valor de entrada variável, utilizando o bloco Uniform Random Number variando de 0 á 100 e com Sample Time igual a 20. O tempo de simulação foi de 60 segundos. Os resultados estão a seguir: Figura 6.14 Curvas respostas da planta 1 para entrada variada e sem perturbação Figura 6.15 Ampliação das curvas da figura 53 na primeira metade do tempo decorrido

52 Figura 6.16 Ampliação das curvas da figura 53 na segunda metade do tempo decorrido Repete-se a simulação com introdução de uma interferência na entrada. Esta foi feita por um gerador de sinais com amplitude igual a 1 e freqüência igual a 0.4 rad/s. Figura 6.17 Curvas respostas da planta 1 para entrada variada e com perturbação

53 Figura 6.18 Ampliação das curvas da figura 56 na primeira metade do tempo decorrido Figura 6.19 Ampliação das curvas da figura 56 na segunda metade do tempo decorrido

54 6.2 Planta 2 6.2.1 Esquematização da planta O segundo exemplo utilizado na planta é um sistema não-linear de quarta ordem. Seu diagrama de blocos, bem como sua resposta á uma função degrau são mostrados nas figuras 6.20 e 6.21: Figura 6.20 Diagrama de blocos da planta 2 Figura 6.21 Curva resposta para entrada degrau na função de transferência da planta 2

55 6.2.2 Modelagem do Controlador PID com parâmetros fixos Nesta nova planta alterou-se os valores dos parâmetros PID para: Kp = 1, Ki = 0.5 e Kd = 1. O sistema de controle ficou como mostra a figura 6.22: Figura 6.22 Sistema de controle PID da planta 2 6.2.3 Modelagem do Controlador PID Supervisório Fuzzy Novamente alteramos os valores das fórmulas dos parâmetros PID deste controlador para a simulação. Os valores máximos e mínimos dos parâmetros, neste caso foram, ficaram da seguinte forma: Kpmin = 0.5 Kpmax = 1.5; Kdmin = 0.5 Kdmax = 1.5; Kimin = 0.5 Kimax = 1. Substituindo os valores nas equações, estas ficarão da seguinte maneira (figura 6.23): Figura 6.23 Parâmetros do controlador PID supervisório fuzzy da planta 2

56 O sistema utilizado para este controlador pode ser visualizado na figura 6.24: Figura 6.24 Sistema de controle PID supervisório fuzzy da planta 2 6.2.4 Simulação Da mesma forma que na primeira simulação, os dois sistemas de controle foram unidos no mesmo workspace. A primeira simulação desta planta, foi feita sem introdução de interferência e com valor de entrada fixo (função degrau) igual a 100 e tempo de simulação igual a 60 segundos. Resultados abaixo:

57 Figura 6.25 Curvas respostas da planta 2 para entrada degrau e sem perturbação Figura 6.26 Ampliação das curvas da figura 64

Repete-se a simulação com introdução de uma interferência na entrada. Esta foi feita por um gerador de sinais com amplitude igual a 1 e freqüência igual a 0.4 rad/s. 58 Figura 6.27 Curvas respostas da planta 2 com entrada degrau e com perturbação Figura 6.28 Ampliação das curvas da figura 66

59 A terceira simulação desta planta foi feita sem introdução de interferência e com valor de entrada variável, utilizando o bloco Uniform Random Number variando de 0 a 100 e com Sample Time igual a 20. O tempo de simulação foi de 60 segundos. Os resultados estão a seguir: Figura 6.29 Curvas respostas da planta 2 com entrada variada e sem perturbação Figura 6.30 Ampliação das curvas da figura 68 na primeira metade do tempo decorrido

60 Figura 6.31 Ampliação das curvas da figura 68 na segunda metade do tempo decorrido Repete-se a simulação com introdução de uma interferência na entrada. Esta foi feita por um gerador de sinais com amplitude igual a 1 e freqüência igual a 0.4 rad/s. Figura 6.32 Curvas respostas da planta 2 com entrada variada e com perturbação

61 Figura 6.33 Ampliação das curvas da figura 71 na primeira metade do tempo decorrido Figura 6.34 Ampliação das curvas da figura 71 na segunda metade do tempo decorrido

62 6.3 Planta 3 6.3.1 Esquematização da planta O terceiro e último exemplo utilizado é um sistema não-linear de primeira ordem. Seu diagrama de blocos, bem como sua resposta á uma função degrau são mostrados nas figuras 6.35 e 6.36: Figura 6.35 Diagrama de blocos da planta 3 Figura 6.36 Curva resposta da planta 3 á função degrau

63 6.3.2 Modelagem do Controlador PID com parâmetros fixos Nesta última planta alterou-se os valores dos parâmetros PID para: Kp = 10, Ki = 0.2 e Kd = 1. O sistema de controle ficou como mostrado nas figuras 6.37 e 6.38: Figura 6.37 Sistema de controle PID da planta 3 6.3.3 Modelagem do Controlador PID Supervisório Fuzzy Tal como nas duas plantas anteriores, alteramos os valores das fórmulas dos parâmetros PID deste. Os valores máximos e mínimos, ficaram da seguinte forma: Kpmin = 5 Kpmax = 15; Kdmin = 0.5 Kdmax = 1.5; Kimin = 0.2 Kimax = 0.7. Substituindo os valores nas equações, estas ficarão da seguinte maneira: Figura 6.38 Parâmetros do controlador PID supervisório fuzzy da planta 3