INTRODUÇÃO À DINÂMICA E AO CONTROLE DE MANIPULADORES ROBÓTICOS

INTRODUÇÃO À DINÂMICA E AO CONTROLE DE MANIPULADORES ROBÓTICOS APOSTILA COMPILADA PELO PROF. RENATO MOLINA DA SILVA, PARA USO DOS ALUNOS DO CURSO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO DA PUCRS, COM BASE NOS LIVROS: ROBOTICS: CONTROL, SENSING, VISION AND INTELLIGENCE, K. S. FU, R. C. GONZALEZ E C. S. G. LEE, McGRAW-HILL, NEW YORK, 1987 ROBOT DYNAMICS AND CONTROL, M. W. SPONG E M. VIDYASAGAR, JOHN WILEY & SONS, NEW YORK, 1989 "FUNDAMENTALS FOR CONTROL OF ROBOTIC MANIPULATORS", A. J. KOIVO, JOHN WILEY & SONS, NEW YORK, 1989 "MODELING AND CONTROL OF ROBOT MANIPULATORS", L. SCIAVIACCO E B. SICILIANO, McGRAW-HILL, NEW YORK, 1996

Capítulo 1 - Conceitos Básicos 2 CAPÍTULO 1 CONCEITOS BÁSICOS 1.1 INTRODUÇÃO Neste texto serão tratados exclusivamente conceitos básicos de Cinemática, Dinâmica e Controle de manipuladores robóticos industriais. O entendimento de tais assuntos é essencial para a compreensão de outros tópicos relacionados com Robótica que não serão explorados neste texto, tais como locomoção, visão, programação, sensoreamento, manipulação, etc. 1.2 COMPONENTES DE ROBÔS. GRAUS DE LIBERDADE Os manipuladores robóticos são compostos por membros conectados por juntas em uma cadeia cinemática aberta. As juntas podem ser rotativas (permitem apenas rotação relativa entre dois membros) ou prismáticas (permitem apenas translação linear relativa entre dois membros). A figura 1.1 mostra várias maneiras de representar tais tipos de juntas. Fig. 1.1 Representação simbólica de juntas de robôs

Capítulo 1 - Conceitos Básicos 3 Cada junta interconecta dois membros l 1 e l 2. O eixo de rotação ou de translação de uma junta é sempre denotado como eixo da junta z i, se a junta i interconectar os membros i e i + 1. As variáveis das juntas são denotadas por θ i, se a junta for rotativa, ou por d i, se a junta for prismática. O número de juntas determina a quantidade de graus de liberdade do manipulador. Tipicamente, um manipulador industrial possui 6 graus de liberdade, 3 para posicionar o órgão terminal (garra, aparelho de soldagem, de pintura, etc.) e 3 para orientar o órgão terminal, conforme ilustra a fig. 1.2: Fig. 1.2 Robô industrial típico Pode-se ter, também, manipuladores com menor ou maior número de graus de liberdade, conforme a função a ser executada. Quanto maior a quantidade de graus de liberdade, mais complicadas são a cinemática, a dinâmica e o controle do manipulador. O volume espacial varrido pelo órgão terminal do manipulador é conhecido como volume de trabalho ou espaço de trabalho. O volume de trabalho depende da configuração geométrica do manipulador e das restrições físicas das juntas (limites mecânicos). As juntas robóticas são normalmente acionadas por atuadores elétricos, hidráulicos ou pneumáticos. Os atuadores elétricos são os mais utilizados industrialmente, principalmente pela disponibilidade de energia elétrica e pela facilidade de controle. Já os atuadores hidráulicos são indicados quando grandes esforços são necessários. Os atuadores pneumáticos só têm plicação em operações de manipulação em que não são obrigatórias grandes precisões, devido à compressibilidade do ar.

Capítulo 1 - Conceitos Básicos 4 1.3 PRECISÃO E REPETIBILIDADE A precisão de um manipulador é uma medida de quão próximo o órgão terminal pode atingir um determinado ponto programado, dentro do volume de trabalho. Já a repetibilidade diz respeito à capacidade do manipulador retornar várias vezes ao ponto programado, ou seja, é uma medida da distribuição desses vários posicionamentos em torno do dito ponto. A precisão e a repetibilidade são afetadas por erros de computação, imprecisões mecânicas de fabricação, efeitos de flexibilidade das peças sob cargas gravitacionais e de inércia (sobretudo em altas velocidades), folgas de engrenagens, etc. Por este motivo, têm sido os manipuladores projetados com grandes rigidezes. Modernamente, entretanto, devido à tendência a manipuladores cada vez mais rápidos e precisos, tem sido dada grande ênfase, para o projeto do controlador, na consideração dos efeitos da flexibilidade. Um outro fator que influencia grandemente a precisão e a repetibilidade é a resolução de controle do controlador. Entende-se por resolução de controle o menor incremento de movimento que o controlador pode "sentir". Matematicamente, é dada pela expressão Res. de controle = distância total percorrida pela junta n 2 (1.3.1) onde n é o número de bits do encoder (sensor de posição existente na junta). Obviamente, se a junta for prismática, o numerador da eq. (1.3.1) é um deslocamento linear, enquanto que se a junta for rotativa, será um deslocamento angular. Nesse contexto, juntas prismáticas proporcionam maior resolução que juntas rotativas, pois a distância linear entre dois pontos é menor do que o arco de circunferência que passa pelos mesmos dois pontos. 1.4 CONFIGURAÇÕES GEOMÉTRICAS Os manipuladores podem apresentar diferentes configurações geométricas, isto é, diferentes arranjos entre os membros e os tipos de juntas utilizadas. A maioria dos robôs industriais tem 6 ou menos graus de liberdade. No caso de um manipulador com seis graus de liberdade, os três primeiros graus (a contar da base) são usados para posicionar o órgão terminal no espaço 3D, enquanto que os três últimos servem para orientar o órgão terminal no espaço 3D. Com base nos três primeiros graus de liberdade, pode-se classificar os robôs industriais em cinco configurações geométricas: Articulado (RRR) Esférico (RRP) SCARA (RRP) Cilíndrico (RPP) Cartesiano (PPP) onde R significa junta rotativa e P significa junta prismática.

Capítulo 1 - Conceitos Básicos 5 1.4.1 Robô articulado (RRR) Também denominado antropomórfico, por ser o que mais se assemelha ao braço humano, é o mais usado industrialmente. A fig. 1.3 esquematiza um manipulador articulado: Fig. 1.3 Manipulador articulado O manipulador articulado assegura liberdade de movimentos relativamente grande em um volume de trabalho compacto, tornando-o o mais versátil dos manipuladores industriais. O seu volume de trabalho está mostrado na fig. 1.4. Fig. 1.4 Volume de trabalho do manipulador articulado 1.4.2 Robô esférico (RRP)

Capítulo 1 - Conceitos Básicos 6 Esta configuração é obtida simplesmente substituindo a junta rotativa do cotovelo do manipulador articulado por uma junta prismática, conforme ilustra a fig. 1.5: Fig. 1.5 Manipulador esférico A denominação dessa configuração vem do fato de que as coordenadas que definem a posição do órgão terminal são esféricas (θ 1, θ 2, d 3 ). A fig. 1.6 mostra o volume de trabalho do manipulador esférico. Fig. 1.6 Volume de trabalho do manipulador esférico 1.4.3 Robô SCARA (RRP) O chamado robô SCARA (Selective Compliant Articulated Robot for Assembly) é uma configuração recente que rapidamente se tornou popular, sendo adequada para montagens. Embora tenha uma configuração RRP, é bastante diferente da configuração esférica, tanto na aparência como na faixa de aplicações. O robô SCARA caracteriza-se por ter os três eixos z 0, z 1 e z 2 todos verticais e paralelos, conforme mostra a fig. 1.7. A fig. 1.8 ilustra o seu volume de trabalho.

Capítulo 1 - Conceitos Básicos 7 Fig. 1.7 Manipulador SCARA 1.4.4 Robô cilíndrico (RPP) Fig. 1.8 Volume de trabalho do manipulador SCARA Na configuração cilíndrica, mostrada na fig. 1.9, a primeira junta é rotativa enquanto a segunda e terceira juntas são prismáticas. Como o próprio nome sugere, as variáveis das juntas são as coordenadas cilíndricas (θ 1, d 2, d 3 ) do órgão terminal, com relação à base. O volume de trabalho está ilustrado na fig. 1.10. Fig. 1.9 Manipulador cilíndrico

Capítulo 1 - Conceitos Básicos 8 Fig. 1.10Volume de trabalho do manipulador cilíndrico 1.4.5 Robô cartesiano (PPP) Trata-se de um manipulador cujas três primeiras juntas são prismáticas. É o manipulador de configuração mais simples, sendo muito empregado para armazenamento de peças. As figs. 1.11 e 1.12 ilustram a configuração e o volume de trabalho, respectivamente. Fig. 1.11 Manipulador cartesiano Fig. 1.12 Volume de trabalho do manipulador cartesiano

Capítulo 1 - Conceitos Básicos 9 1.5 MÉTODOS DE CONTROLE Além da classificação dos manipuladores conforme os tipos e disposição das juntas utilizadas, apresentada no item 1.4, pode-se também classificar os robôs de acordo com o método de controle utilizado. Desse modo, pode-se ter robôs com controle em malha aberta, que são os mais antigos, cujos movimentos são limitados por batentes mecânicos. Assim, por exemplo, quando o braço mecânico encontra um batente que limita o seu movimento, esse batente pode acionar um interruptor que desligará o motor da junta e ligará o motor de uma outra junta e assim por diante, até completar o ciclo desejado. Já os robôs modernos são robôs com controle em malha fechada, ou servorobôs, os quais usam um controle computadorizado com realimentação para monitorar o seu movimento. Os servorobôs, por sua vez, são classificados de acordo com o método que o controlador utiliza para guiar o órgão terminal em robôs ponto a ponto (ou robôs PTP, do inglês "point-to-point") e robôs de trajetória contínua (ou robôs CP, do inglês "continuous path"). Ao robô PTP é ensinado um conjunto de pontos discretos (normalmente através de um TP, o "Teach Pendant"), porém não há controle sobre a trajetória que o órgão terminal deve seguir entre dois pontos consecutivos. As coordenadas dos pontos são armazenadas e o órgão terminal passa por eles sem controle sobre a trajetória. Tais robôs são muito limitados em suas aplicações. Já no robô CP toda a trajetória pode ser controlada. Por exemplo, pode ser ensinado ao robô que o seu órgão terminal deve seguir uma linha reta entre dois pontos ou mesmo uma trajetória mais complicada como numa operação de soldagem a arco. Pode-se, também, controlar a velocidade e/ou a aceleração do órgão terminal. Obviamente, os robôs CP requerem controladores e programas mais sofisticados do que os robôs PTP. 1.6 PUNHO E ÓRGÃO TERMINAL Por punho de um manipulador entende-se o conjunto de juntas que são colocadas entre o antebraço e o órgão terminal, de modo a prover este último com uma dada orientação. Em geral, os punhos robóticos são dotados de 2 ou 3 juntas rotativas. A maioria dos robôs são projetados com punho esférico, isto é, punhos cujos eixos das juntas (todas rotativas) interceptam-se em um mesmo ponto. Tal punho simplifica bastante a cinemática de orientação, conforme será visto mais adiante. Um punho esférico com três graus de liberdade aparece ilustrado na fig. 1.13. Os movimentos de rotação do punho esférico são denominados, respectivamente, guiagem, arfagem e rolamento, porém estão consagrados na literatura os correspondentes termos em inglês: Yaw, Pitch e Roll.

Capítulo 1 - Conceitos Básicos 10 Fig. 1.13 Estrutura de um punho esférico É comum encontrar-se manipuladores industriais com 2 ou três graus de liberdade no punho, de modo que o robô, no total, tenha 5 ou 6 graus de liberdade. Assim, um robô denotado como RRR-RRR é um robô articulado com um punho esférico com 3 juntas rotativas RPY (de Roll, Pitch e Yaw), com um total de 6 graus de liberdade. Já um robô RPP-RR é um robô cilíndrico com um punho com 2 junras rotativas RP (de Roll e Pitch), com um total de 5 graus de liberdade. A garra, que é o órgão terminal mais comum, possui um movimento de abre (open) e fecha (close). Tal grau de liberdade, no entanto, não é computado quando se especifica a quantidade total de graus de liberdade do robô. 1.7 O PROBLEMA DA ROBÓTICA O problema fundamental da Robótica, consiste em achar respostas à pergunta: O que deve ser feito para programar um robô com o objetivo de executar uma determinada tarefa? Por exemplo, considere-se um robô articulado com seis graus de liberdade (6 GDL), portando um rebolo para uma operação de retífica plana, conforme mostra a figura 1.14: Fig. 1.14 Robô com 6 graus de liberdade portando um rebolo Note-se que são os seguintes os 6 GDL do manipulador robótico:

Capítulo 1 - Conceitos Básicos 11 1) rotação do tronco 2) rotação do ombro 3) rotação do cotovelo 4) rotação do punho ( pitch = arfagem) 5) rotação do punho ( yaw = guiagem) 6) rotação do punho ( roll = rolamento) Os três primeiros GDL posicionam o órgão terminal do manipulador, ao passo que os três últimos orientam o mesmo. Tal tipo de manipulador é muito utilizado em robótica industrial e é bastante complexo, conforme será estudado em capítulo posterior. Assim, a fim de apresentar o problema fundamental da robótica de uma maneira mais simplificada, considere-se um manipulador planar com apenas dois membros: Fig. 1.15 Robô planar Suponha-se que se queira mover o manipulador de sua posição de espera A ( Home ) para a posição B, a partir da qual o robô deverá seguir o contorno da superfície S até a posição C, com velocidade constante e mantendo uma certa força prescrita F, normal à superfície. Surgem, naturalmente, os seguintes problemas: Problema 1: Cinemática Direta O primeiro problema que aparece consiste na descrição das posições da ferramenta (rebolo), dos pontos A e B e da superfície S, todas em relação a um mesmo sistema de coordenadas inercial (fixo). Mais tarde, serão estudados em detalhes os sistemas de coordenadas fixos e móveis e as transformações entre os mesmos. O robô deve estar apto a sentir sua posição em cada instante, por meio de sensores internos (codificadores óticos, potenciômetros, etc.) localizados nas juntas, os quais podem medir os ângulos θ 1 e θ 2. Portanto, é necessário expressar as posições da ferramenta em termos desses ângulos, isto é, expressar x e y em função de θ 1 e θ 2. Isso constitui o problema da cinemática direta, ou seja, dadas as coordenadas das juntas θ 1 e θ 2, determinar x e y, as coordenadas do órgão terminal. Considere-se um sistema fixo de coordenadas O 0 x 0 y 0 com origem na base do robô: é o chamado sistema da base, ilustrado a seguir:

Capítulo 1 - Conceitos Básicos 12 Fig. 1.16 Sistemas de coordenadas para o manipulador planar Ao sistema da base serão referidos todos os objetos, inclusive o manipulador. Nesse exemplo simples, a posição (x, y) da ferramenta (também conhecida como Tool Center Point = TCP), em relação ao sistema da base, pode ser obtida através de conhecimentos simples de Trigonometria: x = a 1 cosθ 1 + a 2 cos(θ 1 + θ 2 ) y = a 1 senθ 1 + a 2 sen(θ 1 + θ 2 ) (1.7.1) Considere-se, também, o sistema da ferramenta O 2 x 2 y 2, com origem no TCP e com o eixo x 2 colocado no prolongamento do membro anterior (o antebraço ), apontando para fora. A orientação da ferramenta com relação ao sistema da base é dada pelos cossenos diretores dos eixos x 2 e y 2 com respeito aos eixos x 0 e y 0 : ou, sob forma matricial: (1.7.2) onde a matriz do membro direito é denominada matriz de orientação ou matriz de rotação. (1.7.3) As eqs. (1.7.1), que fornece a posição do TCP, e (1.7.2), que fornece a orientação da garra, são denominadas equações da cinemática direta de posição. Obviamente, para um robô com 6 GDL não é tão simples escrever as eqs. (1.7.1) e (1.7.2) como o foi para um robô com apenas 2 GDL. Existe um procedimento geral para a obtenção das equações da cinemática direta que será explicado mais tarde, o qual se baseia na chamada notação de Denavit-Hartenberg. Problema 2: Cinemática Inversa Vê-se, pelas eqs. (1.7.1) e (1.7.2), que é possível determinar as coordenadas x e y do TCP, assim como sua orientação, uma vez conhecidas as coordenadas das juntas θ 1 e θ 2. Entretanto, para comandar o robô, é necessário o inverso: dadas x e y, que ângulos θ 1 e θ 2 devem ser adotados pelas

Capítulo 1 - Conceitos Básicos 13 juntas, de modo a posicionar o TCP na posição (x, y)? Esse é o chamado problema da cinemática inversa. Tendo em vista que as eq. (1.7.1) e (1.7.2) são não-lineares, a solução pode não ser simples. Além disso, pode não haver solução (posição (x,y) fora do volume de trabalho), como pode também não haver uma solução única para o problema, conforme mostra a fig. 1.17, onde se verifica que existem as chamadas configurações cotovelo acima e cotovelo abaixo: Fig. 1.17 Duas soluções para a cinemática inversa: cotovelo acima e cotovelo abaixo Considere-se, agora, o diagrama da fig. 1.18: Fig. 1.18 Solução do problema da cinemática inversa do manipulador planar Usando a lei dos cossenos, o ângulo θ 2 é dado por Por outro lado, da trigonometria: (1.7.4) (1.7.5)

Capítulo 1 - Conceitos Básicos 14 Dividindo (1.7.5) por (1.7.4): A eq. (1.7.6) fornece ambas as soluções, conforme o sinal usado: + cotovelo acima - cotovelo abaixo (1.7.6) Usando relações trigonométricas simples, pode-se mostrar (fazer como exercício) que o ângulo θ 1 é dado por (1.7.7) Portanto, para esse robô muito simples, as eqs. (1.7.4), (1.7.6) e (1.7.7) permitem calcular as coordenadas das juntas θ 1 e θ 2, uma vez conhecida a posição (x, y) do TCP. Problema 3: Cinemática da Velocidade Para seguir o contorno S com uma velocidade especificada, é preciso conhecer a relação entre a velocidade do TCP e as velocidades das juntas. Isso pode ser obtido derivando as eqs. (1.7.1) em relação ao tempo, obtendo-se a cinemática direta de velocidade: Usando notação vetorial: (1.7.8) pode-se escrever as eq. (1.7.8) como (1.7.9) onde a matriz J, definida na eq. (1.7.9), é denominada Jacobiano do manipulador, o qual é um parâmetro importante que deve sempre ser determinado para um manipulador em estudo. Para determinar as velocidades das juntas a partir das velocidades do TCP, usa-se a operação inversa, obtendo-se a cinemática inversa de velocidade: (1.7.10)

Capítulo 1 - Conceitos Básicos 15 ou (1.7.11) O determinante do Jacobiano dado vale a 1 a 2 sinθ 2, logo, quando θ 2 = 0 ou quando θ 2 = π, o Jacobiano J não tem inversa, o que caracteriza uma configuração singular, tal como a ilustrada na fig. 1.19: Fig. 1.19 Uma configuração singular A determinação de configurações singulares é importante, por duas razões: 1) nessas configurações o TCP não pode mover-se em certas direções, como, no caso da fig. 1.19, na direção paralela a a 1 ; 2) essas configurações separam as duas soluções possíveis para o problema inverso; em muitas aplicações é importante planejar movimentos que evitem passar por configurações singulares. Problema 4: Dinâmica Para controlar a posição do manipulador é preciso conhecer as suas propriedades dinâmicas, de modo a saber a quantidade de força (ou torque) que deve ser aplicada às juntas para que ele se mova. Pouca força, por exemplo, fará com que o manipulador reaja vagarosamente, enquanto que força demais pode fazer com que o manipulador esbarre em objetos ou vibre em torno da posição desejada. A dedução das equações dinâmicas de movimento não é uma tarefa fácil, devido à grande quantidade de graus de liberdade e também às não-linearidades presentes. Em geral, são usadas técnicas baseadas na Dinâmica Lagrangiana ou na Dinâmica Newtoniana, para a dedução sistemática de tais equações. Além da dinâmica das peças (membros) que compõem o manipulador, a descrição completa deve também envolver a dinâmica dos atuadores e da transmissão, os quais produzem e transmitem as forças e torques necessários ao movimento.

Capítulo 1 - Conceitos Básicos 16 Problema 5: Controle da Posição O problema do controle da posição consiste em determinar as excitações necessárias a serem dadas aos atuadores das juntas para que o Órgão Terminal siga uma determinada trajetória e, simultaneamente, rejeitar distúrbios originários de efeitos dinâmicos não modelados, tais como atrito e ruídos. O enfoque padrão utiliza estratégias de controle baseadas no domínio da freqüência. Outras estratégias, tais como o controle avante, o torque calculado, a dinâmica inversa, o controle robusto e o controle não-linear, são também utilizadas no controle de posição do manipulador. Problema 6: Controle da Força de retífica Uma vez alcançada a posição B, o manipulador deve seguir o contorno S (ver fig. 1.15), mantendo uma certa força normal constante contra a superfície a ser retificada. O valor dessa força não pode ser muito pequeno, de modo a tornar a operação de retífica ineficiente, nem muito grande, pois poderia danificar tanto a obra como a ferramenta. Daí, então, a necessidade de se exercer um controle preciso sobre a força. Os enfoques mais comuns são o controle híbrido e o controle de impedância.

Capítulo 1 - Conceitos Básicos 17 PROBLEMAS 1.1 Sejam dois pontos A e B no espaço, distantes entre si de d, em linha reta. Esses dois pontos são subentendidos por um ângulo central θ, cujo vértice dista l dos dois pontos, isto é, pelos dois pntos passa também um arco circular de comprimento lθ. Pede-se: (a) mostrar, usando a lei dos cossenos, que a distância d é dada por d = l 2 ( 1 cosθ) ; (b) Para l = 1 m, θ = 90 0 e dispondo de um codificador de 10 bits, calcular a resolução para as seguintes trajetórias: (b.1) linha reta entre A e B; (b.2) Arco circular entre A e B. 1.2 Deduzir a eq. (1.7.7). 1.3 Para o manipulador planar da fig. 1.15, achar as coordenadas x e y do rebolo, quando θ 1 = π/6 e θ 2 = π/2, para a 1 = a 2 = 1 m. 1.4 Para o manipulador planar da fig. 1.15, achar os ângulos das juntas θ 1 e θ 2, quando o rebolo estiver localizado na posição (0,5 0,5). 1.5 Se as velocidades das juntas do manipulador planar da fig. 1.15 são constantes e iguais a θ. = 1 rad / s e θ. = 2 rad / s, qual é a velocidade (componentes em x 0 e em y 0 ) quando θ 1 = θ 2 = π/4? 1 2