IMPLEMENTAÇÃO DE CIRCUITOS LÓGICOS FUNDAMENTADOS EM UMA CLASSE DE LÓGICAS PARACONSISTENTES ANOTADAS

JOÃO INÁCIO DA SILVA FILHO IMPLEMENTAÇÃO DE CIRCUITOS LÓGICOS FUNDAMENTADOS EM UMA CLASSE DE LÓGICAS PARACONSISTENTES ANOTADAS Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Engenharia. São Paulo 1997

JOÃO INÁCIO DA SILVA FILHO IMPLEMENTAÇÃO DE CIRCUITOS LÓGICOS FUNDAMENTADOS EM UMA CLASSE DE LÓGICAS PARACONSISTENTES ANOTADAS Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Engenharia. Área de Concentração : Microeletrônica Orientador : Prof. Dr. Pedro Luís Próspero Sanchez São Paulo 1997 2

da Silva Filho, João Inácio Implementação de Circuitos lógicos Fundamentados em uma classe de Lógicas Paraconsistentes Anotadas. São Paulo, 1997. 131 p. Dissertação (Mestrado) - Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Departamento de Engenharia Eletrônica. 1.Circuitos Lógicos 2.Lógica não-clássica 3.Lógica Paraconsistente 4. Lógica Paraconsistente Anotada 5.Circuitos CMOS I. Universidade de São Paulo. Escola Politécnica. Departamento de Engenharia Eletrônica II.t 3

À minha esposa Maristela e aos meus filhos Mônica e Marcelo pelo apoio, dedicação e incentivo necessários à elaboração deste trabalho. 4

AGRADECIMENTOS Ao Prof. Doutor Pedro Luís Próspero Sanchez, pelo apoio constante e orientação valiosa no desenvolvimento deste trabalho. Ao Prof. Doutor Jair Minoro Abe, pela ajuda, comentários e sugestões na elaboração deste trabalho. Ao Prof. Doutor Wilhelmus A. M. Van Noije pelo incentivo e colaboração. Ao Professor Luiz Carlos Moreira pela dedicação e amizade demonstrada ao longo destes anos. Aos amigos do Laboratório de Sistemas Integráveis : Soraya Rita Mont Alegre, José Henrique P. Andrade, Marcio Toma, João Navarro Fábio Luís Romão Rogério A. Neves Tenório pela ajuda e sugestões técnicas de grande valia. 5

SUMÁRIO CAPÍTULO 1 - APRESENTAÇÃO 1.1 Introdução...11 1.2 Objetivos do trabalho... 12 1.3 Justificativa da elaboração da pesquisa...13 1.4 Organização do trabalho...14 CAPÍTULO 2 - INTRODUÇÃO E NOTA HISTÓRICA 2.1 Introdução...16 2.2 Nota Histórica...18 CAPÍTULO 3 - APRESENTAÇÃO DA LÓGICA PARACONSISTENTE 3.1 A lógica Paraconsistente...22 3.2 A Lógica Paraconsistente Anotada Pτ...24 CAPÍTULO 4 - ELABORAÇÃO DAS TABELAS-VERDADES À PARTIR DA LÓGICA PARACONSISTENTE ANOTADA 4.1- Elaboração das tabelas-verdades...30 4.2- Tabelas-verdades dos Operadores Unários n...42 4.3- Tabela-verdade do Operador COMPLEMENTO...44 4.4- Tabela-verdade da Conjunção- Conectivo AND...44 4.5- Tabela-verdade da Disjunção - Conectivo OR...45 CAPÍTULO 5 - IMPLEMENTAÇÃO DOS CIRCUITOS DAS PORTAS LÓGICAS PARACONSISTENTES 5.1 - Implementação dos circuitos lógicos...47 5.1.1 - Introdução...47 6

5.2 - Circuito detetor de nível de tensão...49 5.3 - Circuitos dos Operadores n...52 5.3.1- Operador i...52 5.3.2- Operador j...53 5.3.3- Operador k...54 5.3.4 - Operador L...55 5.3.5- Operador m...55 5.3.6- Operador T...56 5.4-Circuito do Operador COMPLEMENTO...57 5.5-Circuito do Conectivo AND Paraconsistente...60 5.6-Circuito do Conectivo OR Paraconsistente...63 5.7-Conclusão...65 CAPÍTULO 6 - EXEMPLO DE APLICAÇÕES DAS PORTAS LÓGICAS PARACONSISTENTES 6.1 - Introdução...66 6.2 - Implementação do circuito MAP ( Módulo Analisador Paraconsistente)...69 6.3 - Implementação do circuito MFP ( Módulo Finalizador Paraconsistente)...81 6.4 - Conclusões...82 CAPÍTULO 7 - PROJETO E CONSTRUÇÃO DAS PORTAS LÓGICAS PARACONSISTENTES 7.1 -introdução...84 7.2 - Características Construtivas...85 7

7.3 - Diagramas dos circuitos definitivos das portas lógicas paraconsistentes... 88 7.4- Layouts dos circuitos das portas lógicas paraconsistentes...98 7.4.1- Circuito do detetor de nível de tensão...98 7.4.2- Circuito dos Operadores Unários n...99 7.4.3-Circuito do Operador COMPLEMENTO...107 7.4.4- Circuito da porta lógica AND paraconsistente...109 7.4.5- Circuito da porta lógica OR paraconsistente...110 CAPÍTULO 8 - RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES DOS CIRCUITOS DAS PORTAS LÓGICAS PARACONSISTENTES 8.1 -Introdução...114 8.2 - Resultados das simulações...115 8.2.1 - Operadores unários n...117 8.2.2 - Operador COMPLEMENTO...125 8.2.3 - Porta lógica AND paraconsistente...126 8.2.4 - Porta lógica OR paraconsistente...130 8.3 - Conclusões...135 8.4 - Referências bibliográficas...137 8

RESUMO Neste trabalho é apresentada uma nova família de portas lógicas digitais projetadas para receber e responder a sinais lógicos interpretados a partir da semântica das lógicas Paraconsistentes Anotadas. As Lógicas Paraconsistentes pertencem ao grupo das chamadas lógicas não-clássicas e diferem das lógicas convencionais por aceitarem a existência de sinais contraditórios ou inconsistentes de um modo não trivial. Nas lógicas paraconsistentes estas contradições ou inconsistências são convenientemente tratadas, produzindo como resultante o sinal que mais se aproxima do verdadeiro, dando a este, um certo grau de crença ou valoração. As portas lógicas e os circuitos aqui apresentados, foram projetados especialmente para que traduzam em sinais lógicos eletrônicos, os estudos desenvolvidos das lógicas paraconsistentes: a Lógica Paraconsistente Anotada e a Lógica Paraconsistente C n. Demonstra-se que os circuitos das portas lógicas paraconsistentes que foram projetados são plenamente compatíveis a qualquer circuito que utilize a lógica convencional binária. Portanto, os circuitos implementados com a Lógica Paraconsistente não têm a pretensão de substituir os circuitos eletrônicos digitais convencionais, mas, a sua principal aplicabilidade é nos casos em que a lógica binária se torna ineficiente, ou até mesmo impossível de ser aplicada. A compatibilidade da Lógica Paraconsistente com a lógica convencional binária possibilita o funcionamento em harmonia dos dois sistemas digitais: o binário e o paraconsistente. Com base na interpretação teórica da Lógica Paraconsistente Anotada foram extraídas as tabelas-verdades, possibilitando que fossem implementados os circuitos das portas lógicas paraconsistentes básicas. Estas portas lógicas primitivas foram denominadas de: Operadores n, Operador COMPLEMENTO Paraconsistente, Conectivo AND Paraconsistente e Conectivo OR Paraconsistente. Utilizando-se as portas lógicas primitivas aqui implementadas é apresentado um circuito, denominado Módulo Analisador Paraconsistente (MAP), que trata os sinais paraconsistentes, conforme a proposta teórica básica das Lógicas Paraconsistentes Anotadas. Este circuito é projetado utilizando-se principalmente das portas lógicas primitivas. Com a aplicação dos circuitos das portas lógicas paraconsistentes abrem-se possibilidades de se projetar circuitos mais complexos, tratando convenientemente as inconsistências que sempre aparecem em sistemas lógicos digitais. Todos os circuitos aqui apresentados foram projetados utilizando-se a técnica full custom para um processo digital CMOS de 1,2µm, e as simulações foram feitas para o funcionamento numa freqüência típica de 50 Mhz. 9

ABSTRACT In this work a new family of digital logic gate circuits designed to receive and to answer logic signals based on the Paraconsistent Annotated Logic semantics is presented. The Paraconsistent logic belongs to the group of the so-called non-classical logic, which is different from classical logic, because it allows in its structure inconsistent signals in a non trivial manner. In Paraconsistent logics the contradiction or inconsistency is treated and results in one signal very close to the true signal, together with a measurement of the degree of belief on the result. The logic gate and circuits presented were especially designed to translate into electronic logic signals the studies of a the Paraconsistent Annotated Logic and Paraconsistent Logic Cn. The logic gate circuits here presented were quite compatible with any circuit that uses the usual logic. Therefore, these designed circuits with Paraconsistent logic, do not intend to substitute the digital electronic circuits, on the contrary, the main application is where the binary logic is not adequate or even impossible to apply. By using Annotated Paraconsistent Logic the true-tables were extracted for the implementation of the circuits of the Paraconsistent logic gates. The primitive Paraconsistent logic gates were named: Operator n, Operator COMPLEMENT, Paraconsistent Connective OR and Paraconsistent Connective AND. One circuit named Paraconsistent Analyzer Module (PAM), was designed with these basic Paraconsistent logic gates. This module (PAM) deals the signals in agreement with the proposal of the Annotated Paraconsistent Logic. Paraconsistent logic circuits have great possibility of use in complex systems to process inconsistent signals, which are very common in everyday applications. Every circuit presented was designed with a CMOS 1,2µm digital process and the simulations were made for a typical frequency of 50 MHz. 10

CAPÍTULO 1 - APRESENTAÇÃO 1.1 - INTRODUÇÃO Nos grandes centros industriais é grande a necessidade dos constantes aumentos da produção e melhora na qualidade dos produtos manufaturados. As metas de bom desempenho só são alcançadas através do avanço tecnológico, o que se traduz por meio de uma crescente automação das máquinas. Os bons resultados obtidos, face a esta demanda, devem-se em grande parte aos avanços nas pesquisas e na aplicação da tecnologia que abrange as áreas de Robótica e Inteligência Artificial. Portanto, é clara a necessidade cada vez maior que o Brasil entre rapidamente no processo de incrementar pesquisas nesta área, ou corre o risco de ficar definitivamente fora desta nova revolução industrial. 11

É de extrema importância direcionar os esforços as pesquisas, tanto nas formas de aplicação e implementação dos circuitos eletrônicos, como no intuito de se encontrar novos processos tecnológicos. A partir destas considerações definiu-se o objetivo deste trabalho, que é justamente direcionado para pesquisa na área de eletrônica digital. Os trabalhos prévios para a elaboração desta dissertação foram iniciados a partir do curso Introdução às Lógicas não-clássicas. Este curso faz parte do currículo para obtenção dos créditos no programa de Pós-graduação Poli-USP, e como o próprio título esclarece, aborda os estudos das lógicas não convencionais. Entre os vários tipos de lógicas não-clássicas estudadas, encontram-se as Lógicas Paraconsistentes. A pesquisa das lógicas Paraconsistentes teve até o momento um carácter estritamente acadêmico, exceções feitas aos estudos da sua aplicabilidade demonstrada na área de computação pela implementação dos sistemas computacional Paralog [18] e Paralog_e [ 33 ]. Sendo assim, o trabalho desta dissertação, ao que se sabe, é o primeiro que orienta as pesquisas para a sua aplicabilidade em têrmos de hardware. 1.2- OBJETIVOS DO TRABALHO Estudar a Lógica Paraconsistente e sua aplicabilidade em circuitos eletrônicos digitais. Implementar blocos primitivos de Portas lógicas baseadas Paraconsistente Anotada. na Lógica Analisar o desempenho e funcionamento das portas lógicas paraconsistentes utilizando programas computacionais simuladores de circuitos digitais. Iniciar o desenvolvimento de circuitos eletrônicos e dispositivos específicos que 12

utilizem lógica paraconsistente, permitindo que pesquisas posteriores venham a resultar em projetos de dispositivos mais complexos. 1.3 - JUSTIFICATIVA DA ELABORAÇÃO DA PESQUISA Este trabalho se justifica, principalmente, por ser o pioneiro nesta área de lógicas paraconsistentes. De uma maneira geral se propõe a : I - Obtenção de significativo avanço nas pesquisas da aplicabilidade das lógicas paraconsistentes em circuitos digitais, como complemento da lógica binária. II -Obter blocos lógicos primitivos que respondam as tabelas-verdades fundamentadas na lógica paraconsistente, abrindo possibilidades de aplicações futuras em circuitos digitais que requeiram maior complexidade. III - Expandir a aplicação da lógica paraconsistente em circuitos eletrônicos digitais demonstrando a vantagem desta aplicação em partes do sistema onde a lógica binária é inoperante. IV -Comprovar a aplicabilidade da lógica Paraconsistente em sistemas lógicos digitais, abrindo caminho para investigações mais amplas, o que concorrerá para um avanço na tecnologia que trata de Sistemas Lógicos, Robótica e Inteligência Artificial. 13

1.4 - ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO O texto desta dissertação é organizado da seguinte forma: CAPÍTULO 2 - INTRODUÇÃO E NOTA HISTÓRICA Este capítulo apresenta uma introdução onde é exposta a origem dos estudos das lógicas paraconsistentes. Neste capítulo também se descreve históricamente, de modo resumido, como foi desenvolvida a teoria da Lógica Paraconsistente, bem como uma breve menção aos cientistas que a idealizaram. CAPÍTULO 3 -APRESENTAÇÃO DA LÓGICA PARACONSISTENTE. Neste capítulo é apresentado um resumo das principais equações que moldam a Lógica Paraconsistente Anotada. É dada uma idéia parcial dos estudos matemáticos que estruturam a Lógica Paraconsistente Anotada. As equações e a semântica apresentadas sucintamente neste capítulo são suficientes para se fazer a extração das tabelas-verdades para implementação das portas lógicas paraconsistentes. CAPÍTULO 4 - EXTRAÇÃO DAS TABELAS-VERDADES A PARTIR DA LÓGICA PARACONSISTENTE ANOTADA. Este capítulo apresenta o método para a obtenção das tabelas-verdades dos blocos primitivos da Lógica Paraconsistente, utilizando-se das equações e do raciocínio matemático intuitivo apresentado no capítulo 2. Todas as tabelas-verdades dos principais blocos lógicos estão expostas neste capítulo. 14

CAPÍTULO 5 - IMPLEMENTAÇÃO DOS CIRCUITOS DAS PORTAS LÓGICAS PARACONSISTENTES. Neste capítulo são apresentados todos os diagramas dos circuitos das portas lógicas primitivas. As portas lógicas: Operadores n, Operador COMPLEMENTO Paraconsistente, Conectivo AND Paraconsistente e Conectivo OR Paraconsistente têm os seus funcionamentos descritos. CAPÍTULO 6 - EXEMPLO DE APLICAÇÕES DAS PORTAS LÓGICAS PARACONSISTENTES. Neste capítulo é apresentado um circuito composto por blocos lógicos primitivos Paraconsistentes implementados no capítulo 5. O circuito projetado é denominado Módulo Analisador Paraconsistente (MAP), cujo funcionamento obedece a teoria básica da Lógica Paraconsistente Anotada. CAPÍTULO 7 - PROJETO E CONSTRUÇÃO DAS PORTAS LÓGICAS PARACONSISTENTES. Este capítulo apresenta os principais aspectos do projeto das portas lógicas paraconsistentes, mostrando as características construtivas e os layouts obtidos a partir do detalhamento dos circuitos mostrados no capítulo 5. CAPÍTULO 8 - RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES DOS CIRCUITOS DAS PORTAS LÓGICAS PARACONSISTENTES Os resultados obtidos através de simulações e os layouts das portas lógicas são apresentados neste capítulo. Os gráficos provenientes das simulações foram obtidos utilizando o software AIM-SPICE 1.5a. No final deste capítulo são apresentadas as conclusões finais, onde se discute as limitações e projeções para futuras pesquisas originadas por este trabalho. 15

CAPÍTULO 2 - INTRODUÇÃO E NÓTA HISTÓRICA 2.1- INTRODUÇÃO Os circuitos eletrônicos utilizados em sistemas digitais, funcionam baseados na lógica binária, desde a época em que foram primeiramente projetados. As primeiras máquinas eletromecânicas construídas na década de 40, precursoras dos atuais computadores eletrônicos, já utilizavam o sistema binário porque com apenas dois símbolos podiam efetuar seus cálculos. Esta particularidade da lógica binária facilita a sua representação por sinais elétricos. Com o aparecimento dos dispositivos semicondutores, por volta de 1950, ocorreu um aumento significativo de projetos de circuitos digitais que utilizam a lógica binária. Este aumento deve-se principalmente ao fato dos dispositivos semicondutores, utilizados nos 16

circuitos digitais serem facilmente polarizados e transformados em chaves do tipo On-Off. Estas chaves em determinado momento deixam passar corrente elétrica, e no instante seguinte podem impedir a passagem da corrente. Nos sistemas digitais encontramos sinais variáveis que são especiais, porque só podem assumir dois valores possíveis. Idealmente considera-se que as transições que ocorrem entre estes dois valores, são tão abruptas, que não existe nenhum outro valor intermediário. Portanto, as palavras Falso (F) e Verdadeiro (V) são usadas para definir estes dois valores. O sinal verdadeiro é em geral representado por um certo nível de tensão (V1) de polaridade positiva, e o sinal falso é representado por um nível de tensão (V2) de polaridade negativa. A lógica que adota esta convenção é chamada de lógica binária positiva. A lógica clássica ou lógica convencional elabora o cálculo proposicional utilizandose de valores binários que permitem obter com facilidade as tabelas-verdades do Conectivo da Negação e dos Conectivos AND e OR das sentenças lógicas [30]. A lógica clássica foi convenientemente tratada e formulada algebricamente, apresentando resultados satisfatórios, e como é plenamente sabido, isto permitiu a implementação e elaboração de projetos de sistemas lógicos binários de grande porte e alto desempenho. No entanto, há algumas situações onde a lógica clássica não é capaz de tratar adequadamente os sinais lógicos envolvidos. Uma destas situações relevantes é quando aparecem sinais conflitantes nas entradas de um circuito lógico. Nestes casos, os circuitos lógicos que utilizam a lógica binária, ficam impossibilitados de qualquer ação e não podem ser aplicados. Um caso muito comum é quando um sinal que é esperado como verdadeiro se apresenta como falso, criando uma situação de inconsistência nas entradas do circuito. O circuito binário, que trabalha com apenas dois estados de saída não tem condições de apresentar uma resposta satisfatória, optando quase sempre por um desligamento do sistema, ou travando-o, para em seguida acionar um alarme. 17

Por conseguinte, necessitamos buscar sistemas lógicos em que se permitam manipular diretamente o conceito de contradição. A lógica paraconsistente, que admite proposição com valores lógicos contraditórios como válidos, apresentada nos estudos da Lógica Paraconsistente Anotada [14] e na Lógica Paraconsistente C n [16] é aplicável nestes casos, além de ser plenamente compatível com a lógica convencional ou binária. O objetivo central deste trabalho é estudar a aplicabilidade da Lógica Paraconsistente Anotada e da Lógica Paraconsistente C n, em questões de teoria dos circuitos eletrônicos onde justamente ocorram inconsistências em circuitos. Como resultado, foram obtidos circuitos que tratam das situações de inconsistências. Estes circuitos funcionam com sinais lógicos que respondem as sinais inconsistentes, conforme estabelecidos pelas Lógicas Paraconsistentes, mais especificamente as Lógicas Paraconsistentes Anotadas. 2.2- NOTA HISTÓRICA Conforme a classificação dada em [4 ], o estudo geral da Lógica se divide em dois grandes campos, a saber: a Lógica Dedutiva e a Indutiva. O campo da Lógica Dedutiva inclui dois tipos de lógicas: as Lógicas Clássicas e as não-clássicas. O ramo das Lógicas não-clássicas por sua vez se divide no grupo das lógicas complementares da Clássica e no grupo das lógicas rivais ou heterodoxas. 18

As Lógicas Polivalentes (multivaloradas), as Lógicas Difusas (Fuzzy) e as Lógicas Paraconsistentes, pertencem ao grupo das lógicas rivais ou heterodoxas, e estão atualmente sendo objetos de grande interesse nos principais centros de pesquisas [ 27 ]. O principal objetivo nestas pesquisas é a aplicação de uma lógica que difere em muitos aspectos da lógica convencional. Em alguns casos, procura-se uma lógica que seja aplicável naquelas áreas onde a lógica clássica não se apresenta de modo eficiente, e até mesmo em áreas onde a lógica convencional seja impossibilitada de ser aplicada por ser uma lógica binária. As Lógicas Paraconsistentes têm atraído a atenção de um número crescente de pesquisadores com o objetivo de equacionar suas sintaxes e semânticas. Como resultado, vários trabalhos de carácter teóricos sobre as lógicas paraconsistentes foram publicados conforme atesta as referências bibliográficas no final deste trabalho. As Lógicas Paraconsistentes têm como característica principal a aceitação de proposições conflitantes ou contraditórios. Portanto, um sinal lógico pode ser admitido como verdadeiro apesar de se apresentar como falso. Quando o circuito receber dois sinais logicamente diferentes, onde deveriam ser iguais, deve-se analisar suas anotações e tomar uma decisão, estabelecendo-se qual é o valor lógico do sinal verdadeiro evitando a paralização do sistema. Esta análise é feita basicamente através de consultas a outras fontes, para que se verifique a veracidade das informações, apresentando como resultado um sinal que expresse a situação verdadeira acompanhado com um certo grau de crença simbolizado por anotações. A aplicabilidade prática da lógica paraconsistente resulta numa análise profunda no ponto de vista da engenharia eletrônica no que tange a vários fatores, como: potência dissipada do circuito, área útil e dimensões do circuito integrado (CI), juntamente com a potenciabilidade de aplicações em sistemas eletrônicos digitais. Dentro da família das Lógicas Paraconsistentes temos dois importantes estudos. São os Sistemas C n, 1 n < ω, introduzidos por da Costa [15] e as Lógicas Anotadas Paraconsistentes [ 6 ], estudadas principalmente por da Costa, Subrahmanian, Abe, Vago 19

e outros. Os projetos dos circuitos das portas lógicas paraconsistentes, são originados dos resultados apresentados principalmente nestes dois trabalhos. Os precursores do estudo da Lógica Paraconsistente foram : Nikolaj A. Vasil év, nascido na Rússia em 1860 e Jan Lukasiewics, nascido na Polônia em 1878. Independentemente, os dois publicaram em 1910 trabalhos aos quais tratavam da possibilidade de uma lógica que não eliminasse, ab initio, as contradições. No entanto estes estudos, no que se refere à paraconsistência, se restringiram à lógica aristotélica tradicional. Em 1948 e 1954 o lógico polonês S.Jàskowski (1906-1963) e o brasileiro Newton C.A.da Costa (1929- ), respectivamente, embora independentemente, edificaram a Lógica Paraconsistente. S.Jàskowski formalizou um cálculo proposicional paraconsistente denominado Cálculo Proposicional Discursivo. O lógico brasileiro Newton C. A. da Costa desenvolveu vários sistemas paraconsistentes contendo todos os níveis lógicos usuais: cálculo proposicional, cálculo de predicados, cálculo de predicados com igualdade, cálculo de descrições e linguagem de ordem superior ( na forma de teoria dos conjuntos). Referências para esta parte são [16 ] e [17 ]. Em 1976 o filósofo peruano Francisco Miró Quesada introduziu o nome Paraconsistente a estes estudos, sendo rapidamente adotado pela comunidade científica mundial. Em 1992 o lógico brasileiro J. M. Abe apresentou na Universidade de São Paulo um estudo aprofundado com resultados relevantes da lógica paraconsistente anotada Qτ, com a tese Fundamentos da Lógica Anotada [1 ]. Em 1996 é apresentado por B. C. Ávila uma aplicação da Lógica Paraconsistente em sistemas de Frames com a implementação de um raciocinador de herança denominado Paralog_e [8]. Também em 1996, J.P.Almeida Prado implementou uma arquitetura para Inteligência Artificial Distribuída baseada em Lógica Paraconsistente Anotada [33]. 20

Como pode ser verificado nas referências bibliográficas no final deste trabalho, existem inúmeras publicações de âmbito internacional envolvendo resultados de pesquisas em Lógica Paraconsistente, demonstrando que hoje em dia este é um tema de pesquisa corrente entre muitos investigadores de renome mundial. Devido ao significativo crescimento da importância desses estudos, em meados de 1997 vai acontecer o primeiro congresso mundial sobre Lógica Paraconsistente na Universidade de Ghent, na Bélgica. Neste congresso serão apresentados os mais recentes resultados de diversas pesquisas desenvolvidas na área da Lógica Paraconsistente, inclusive os resultados do presente trabalho [21] e [22]. 21

CAPÍTULO 3 - APRESENTAÇÃO DA LÓGICA PARACONSISTENTE 3.1- A LÓGICA PARACONSISTENTE Neste capítulo apresenta-se um resumo da linguagem formal que compõe a Lógica Proposicional Paraconsistente Anotada (Pτ ). A teoria aqui apresentada, de forma sucinta contém as principais definições, e é suficiente para a elaboração das tabelas-verdades dos blocos lógicos primitivos paraconsistentes. Em [1] é feito um amplo estudo destas lógicas onde o autor demonstrou teoremas de correção e completeza para os cálculos Qτ (lógicamente de primeira ordem), e é utilizado como principal referência para as notações e convenções utilizadas neste trabalho. Como o trabalho está fortemente baseado no conceito de paraconsistência é conveniente a apresentação de algumas considerações sobre estas lógicas. Comecemos com as seguintes definições: seja T uma teoria fundada sobre uma lógica L, e suponha-se que a linguagem de L e T contenha um símbolo para a negação (se houver mais de uma negação, uma delas deve ser escolhida, pelas suas características 22

matemáticas ). A teoria T diz-se inconsistente se ela possuir teoremas contraditórios, i.e., tais, que uma é a negação da outra; caso contrário, T diz-se consistente. A teoria T diz-se trivial se todas as fórmulas de L ( ou todas as fórmulas fechadas de L ) forem teoremas de T; em hipótese contrária, T chama-se não trivial. As seguintes definições são importantes para o entendimento da proposta apresentada neste trabalho. São elas : Uma lógica L chama-se Paraconsistente se puder servir de base para teorias inconsistentes mas não-triviais [16]. Uma lógica L é chamada de Paracompleta se ela puder ser a lógica subjacente a teorias nas quais se infringe a lei do terceiro excluído na seguinte forma: de duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira. De modo preciso, uma lógica se diz paracompleta se nela existirem teorias nãotriviais maximais às quais não pertencem uma dada fórmula e sua negação. Finalmente, uma lógica L denomina-se Não-Alética se L for Paraconsistente e Paracompleta. Verifica-se que, a não adequação da Lógica Clássica ao tratamento das inconsistências deve-se ao fato de que na Lógica Clássica, se T é uma axiomatização de uma teoria inconsistente, então toda a fórmula F da linguagem subjacente a tal teoria é uma consequência lógica de T. É facilmente demonstrável que a presença de uma contradição na Lógica Clássica, trivializa qualquer teoria baseada na lógica clássica. Por conseguinte, a Lógica Clássica é impotente para manipular diretamente o conceito de inconsistência, não podendo fazer um tratamento não trivial na presença de contradições No entanto, a inconsistência, que se pode apresentar como a discordância entre duas propostas, é de extrema importância, porque pode trazer informações que não podem ser desprezadas [33]. A existência da inconsistência é que induz ao sistema buscar novas informações ou evidências, por exemplo, consultar outros informantes, resultando numa conclusão mais adequada. A busca de novas evidências até que as dúvidas causadas pela inconsistência sejam diluídas transforma o sinal resultante em um sinal extremamente confiável. 23

Baseados nos conceitos das definições apresentadas, fica claro que os circuitos eletrônicos digitais, funcionando com base na Lógica Paraconsistente Anotada, melhoram a precisão nas respostas, evitando por exemplo erros ou paralisação de suas atividades, causados pelo aparecimento de sinais inconsistentes ou contraditórios. Portanto, a aplicação da lógica paraconsistente tem como objetivo principal, a melhora no desempenho de circuitos lógicos utilizados em várias áreas da engenharia eletrônica, principalmente sistemas digitais de Inteligência Artificial, onde é comum se deparar em situações em que dois sinais de valores lógicos distintos são verdadeiros, mas não se tem certeza no que se refere às conclusões que deverão ser tomadas pelo circuito. Em [ 11 ] são apresentados vários exemplos de aparecimento de sinais contraditórios nesta área. 3.2- A LÓGICA PARACONSISTENTE ANOTADA Pτ Em [ 1 ] é feito um estudo aprofundado com demonstrações exaustivas, onde se tem um apanhado geral sobre a Lógica Paraconsistente Anotada, inclusive com muitos exemplos ilustrativos de inconsistências em vários campos, principalmente na área da Ciência da Computação. Nesta seção é apresentado um resumo da linguagem e o vocabulário que compõem a Lógica Proposicional Paraconsistente Anotada (Pτ ) com base na referência acima. Esta apresentação de forma sucinta, com as principais definições é suficiente para ser utilizada na elaboração das tabelas-verdades dos blocos lógicos primitivos. Para um estudo mais completo, ver referência [1] já citada. Inicialmente, fixamos um reticulado finito denominado de reticulado de valoresverdade, τ = < τ, >. Como se sabe, τ é um reticulado se : 1. x, x x (reflexividade). 2. Se x y e y x x = y ( anti-simetria). 24

3. Se x y e y z x z ( transitividade ). 4. x, y τ, existe o supremo de x e y que denotamos por x y. 5. x, y τ, existe o ínfimo de x e y que denotamos por x y. Associamos a este reticulado os seguintes símbolos :, que indica o mínimo de τ ;, que indica o máximo de τ. A representação de um reticulado finito se faz usualmente através do diagrama de Hasse [ 2 ]; por exemplo : = inconsistente 1= verdadeiro 0 = Falso = desconhecido Figura 3.1 - Reticulado finito quatro. Fixamos, também, um operador : ~ : τ τ que terá, intuitivamente o significado da negação da lógica Pτ. No exemplo anterior ele define-se como : 25

~ ( 1 ) = 0 ~ ( 0 ) = 1 ~ ( T ) = T ~ ( ) = A linguagem de Pτ é composta do seguinte vocabulário : 1) Variáveis proposicionais: p 1, p 2, p 3,..., p n,... 2) Conectivos lógicos: ( Negação) ( Conjunção ou E ) ( disjunção ou OU ) ( Implicação ) 3) Constantes anotacionais: θ, λ, µ,... (elementos do reticulado τ ). 4) Símbolos auxiliares : (, ). As fórmulas de Pτ são definidas pela seguinte definição indutiva generalizada: 1- Se p é uma variável proposicional e λ é uma constante anotacional, então pλ 26

é uma fórmula (atômica). 2- Se A é uma fórmula então A é uma fórmula. 3- Se A e B são fórmulas, então A B, A B e A B são fórmulas. 4 - Uma expressão é uma fórmula se e somente se for obtida pela aplicação de uma das cláusulas 1, 2, ou 3 acima. A fómula A é lida como A negação de A. A fómula A B é lida como A conjunção de A e B. A fómula A B é lida como A disjunção de A e B. A fómula A B é lida como A implicação de B por A. Intuitivamente uma fórmula atômica pµ é lida como: creio na proposição p com grau de Crença de no máximoµ, ou até µ ( µ ). Se p é uma letra proposicional e µ τ, então uma fórmula atômica do tipo k pµ onde, k 0, denomina-se hiper-literal ( ou simplesmente literal ). As demais fórmulas denominam-se fórmulas complexas. O estudo da semântica das lógicas Pτ é apresentado de modo resumido da seguinte forma: Interpretação Uma interpretação relativa às lógicas Anotadas Pτ é uma função I: P τ (onde P é o conjunto das variáveis proposicionais). 27

A cada interpretação I, associamos uma valoração, V I : F conjunto de todas as fórmulas. A valoração V I é definida indutivamente por: { 0,1 }, onde F é o 1) Se p é uma letra proposicional, então: V I ( pµ) = 1 I (p) µ V I ( pµ) = 0 I (p ) µ V I ( k pµ ) = V I ( k -1 p ~µ ) onde, k 1 2) Se A e B são fórmulas quaisquer, então: VI (A B) = 1 se e somente se VI (A) = 0 ou VI (B) = 1 VI (A B ) = 1 se e somente se VI (A) = 1 e VI (B) = 1 VI (A B ) = 1 se e somente se VI (A) = 1 ou VI (B) = 1 Definições Uma interpretação relativa a Pτ, I : P τ se diz inconsistente se existir p P e µ τ tal que: VI (pµ) = 1 = VI ( pµ) Uma interpretação relativa a Pτ, I : P τ : se diz p P e µ τ tal que: não-trivial se existir VI (pµ) = 0 28

Uma interpretação relativa a Pτ, I : inconsistente e não-trivial. P τ : se diz paraconsistente se for A lógica Pτ se diz Paraconsistente se ela admitir uma interpretação paraconsistente. A Lógica Paraconsistente apresenta nas suas valorações as características de uma Lógica de Multivalores. Portanto, de acordo com os estudos apresentados por Rosser &Turquette[38], fica demonstrado que uma lógica multivalorada é funcionalmente completa se existirem as funções unárias definidas como: J k (x) = R se x = k 0 se x = k Onde: R é o valor distinguido. 29

CAPÍTULO 4 -ELABORAÇÃO DAS TABELAS-VERDADES A PARTIR DA LÓGICA PARACONSISTENTE ANOTADA 4.1- ELABORAÇÃO DAS TABELAS-VERDADES As Lógicas Anotadas são lógicas paraconsistentes, e em geral paracompletas e nãoaléticas. A partir da teoria das Lógicas Paraconsistentes Anotadas apresentada de modo sucinto no capítulo 3, é feita a extração das tabelas-verdades, possibilitando assim, a elaboração dos circuitos das principais funções lógicas paraconsistentes. Um reticulado de Hasse como o proposto por Anand, Subrahmanian e Flog [6] é apresentado conforme se segue: Seja um reticulado finito τ= < τ, >, onde : τ = {,t, f, lt, lf,t}. As constantes anotacionais do reticulado representam : Indefinido t Verdadeiro f Falso 30

lt Quase - verdadeiro lf Quase - falso T Sobre-definido Em uma lógica de 6 anotações, pode ser visto de forma intuitiva como inconsistente. A ordem subjacente é representada pelo diagrama de Hasse [6] conforme figura a seguir: Figura 4.1 - Diagrama de Hasse - reticulado seis. Considera-se, também, um operador unitário ~ : τ τ ; a exposição que se segue pode ser imediatamente adaptada a um reticulado finito arbitrário. O operador ~ : τ τ define-se como: ~ ( t ) = f ; ~ ( f ) = t ; ~ ( lf ) = lt ; ~ ( lt ) = lf ; 31

~ ( ) = ; ~ (T) = T ; onde o símbolo ~ tem o significado de negação, como já se observou. Em [ 43 ] as anotações são interpretadas como evidências. As evidências possuem um papel importante na tomada de decisão quando o circuito recebe informações contraditórias. Em um circuito de Inteligência Artificial, por exemplo, deve-se levar em conta todas as possibilidades ou evidências antes de se tomar uma decisão. No raciocínio evidêncial dois valores são associados a uma anotação do reticulado. O primeiro valor representa a evidência favorável à proposição p, e o outro a evidência contrária à proposição p. A definição para as anotações e para o operador ~ é apresentada a seguir. Se p é uma fórmula básica e o operador ~ : τ τ é definido como: ~ [(µ 1, µ 2 )] = (µ 2, µ 1 ) onde, uma anotação de p. µ 1, µ 2 { x R 0 x 1}, considera-se [µ 1, µ 2 ] como As coordenadas µ 1 e µ 2 podem ser lidas como o grau de crença atribuído a p e o grau de descrença atribuído a p, respectivamente. Neste trabalho, para melhor facilidade de manipulação dos sinais lógicos, envolvidos nos circuitos eletrônicos, optou-se pela utilização de anotação de uma coordenada. Portanto, a anotação atribuída à proposição é composta por um único elemento µ. Este elemento representará o grau de crença que será atribuído à proposição. Com isto, o grau de descrença ficará subentendido como sendo o complemento do grau de crença. O circuito eletrônico reconhecerá o sinal da valoração da fórmula proposicional como verdadeiro ou falso pela análise do sinal lógico do grau de crença, da seguinte forma : p (0) O sinal da valoração da fórmula proposicional é Falso. 32

p(1/4) O sinal da valoração da fórmula proposicional é Quase-falso. p(1/2) O sinal da valoração da fórmula proposicional é Indeterminado. p(3/4) O sinal da valoração da fórmula proposicional é Quase-verdadeiro. p(1) O sinal da valoração da fórmula proposicional é Verdadeiro. p ( ) O sinal da valoração da fórmula proposicional é Inconsistente Nos limites, a valoração da fórmula proposicional é verdadeira, se o grau de crença atribuída à proposição p for de valor 1. Por outro lado, a valoração da fórmula proposicional é falsa, se o grau de crença atribuída à proposição p for de valor 0. Contudo, na prática, pode-se considerar o caso em que o circuito eletrônico analisa apenas a anotação, e como resultado atribui-se um valor lógico à fórmula proposicional, da seguinte forma : Anotação valoração da fórmula proposicional 0 sinal lógico 0 1/4 sinal lógico 1/4 1/2 sinal lógico indeterminado 3/4 sinal lógico 3/4 1 sinal lógico 1 sinal lógico inconsistente A anotação ou grau de crença apresenta valores entre 0 e 1, portanto, aos valores lógicos maiores que 1/2, se atribuirá uma conotação de verdade à valoração da fórmula proposicional, e aos valores lógicos menores que 1/2 se atribuirá uma conotação de falsidade. Para que seja efetuada uma negação no sinal da valoração da fórmula proposicional, basta fazer o complemento usual da anotação, ou seja, subtraído de 1. 33

Considerando-se o que foi exposto até agora, trataremos o valor lógico paraconsistente sendo modelado por ( p, v ), onde : p v proposição atômica anotação ou grau de crença Denominamos de valor lógico paraconsistente o sinal constituído do par ( p, v ), que será interpretado pelo circuito eletrônico conforme determinadas características elétricas. Para elaboração das tabelas-verdades vamos utilizar semânticas paraconsistentes denominadas de semânticas de maximização. Nestas semânticas de maximização, a proposição p será verdadeira se o valor máximo que o grau de crença v confere a p é 1. A negação de p será verdadeira se o valor mínimo de p em v for 0. Tratando a proposição e os graus de credibilidade que lhe são atribuídos como sinais lógicos teremos a seguinte equivalência: Proposição p verdadeiro = 1 p falso = 0 anotação v 0 grau de crença 1 grau de descrença = 1 - grau de crença A utilização de uma única anotação facilita a manipulação dos sinais lógicos pelo circuito. Sendo assim, considera-se neste projeto a anotação atribuída à proposição composta de um único elemento µ 1. O reticulado finito, proposto na figura 4.1, pode ser agora representado da seguinte forma : 34

Figura 4.2 - Diagrama de Hasse - reticulado seis com valores lógicos paraconsistentes. O reticulado com os valores lógicos paraconsistentes obedece a definição do diagrama de Hasse, porque: 1 0 - O valor paraconsistente sobredefinido ( ) representado como anotação máxima, é um valor inconsistente, e intuitivamente é equivalente a um valor maior que 1. 2 0 - O valor paraconsistente indefinido ( p, 1/2 ), representado como anotação mínima, pode ser considerado ( 0, 0 ). Estas duas observações satisfazem plenamente a definição do diagrama de Hasse. Os valores paraconsistentes do reticulado, também, satisfazem a negação porque: ~ ( t ) = f A negação de verdadeiro é falso. Do reticulado com os valores lógicos paraconsistentes teremos: ~ (p,1) = (p,0) 35

Considerando-se uma identificação da valoração da fórmula proposicional com a proposição, pode-se afirmar que: uma proposição de valor p com uma anotação de valor 1, é a negação de uma proposição de valor p com uma anotação de valor 0. Podemos afirmar que: ~ (1,1) = (1,0) uma proposição de valor 1 com 100% de crença (Verdade), é a negação de uma proposição de valor 1 com 0% de crença (Falso). A negação de falso é verdadeiro. Podemos afirmar que: ~ (1,0) = (1,1) uma proposição de valor 1 com 0% de crença (falso), é a negação de uma proposição de valor 1 com 100% de crença (verdadeiro). ~ ( lf ) = lt A negação de quase-falso é quase-verdadeiro. Do reticulado, com os valores lógicos paraconsistentes teremos: uma proposição de valor 1 com valor 1 com crença. ~ (p,1/4) = (p,3/4) 25% de crença, é a negação de uma proposição de 75% de crença, porque equivale a uma proposição 0 com 25% de ~ ( lt ) = lf A negação de quase-verdadeiro é quase-falso. Do reticulado, com os valores lógicos paraconsistentes teremos: uma proposição de valor 1 com ~ (p,3/4) = (p,1/4) 75% de crença, é a negação de uma proposição de valor 1 com 25% de crença, porque esta equivale a uma proposição 0 com 75% de crença. A negação de indefinido é indefinido. ~ ( ) = Do reticulado, com os valores lógicos paraconsistentes teremos: 36

~ (p,1/2) = (p,1/2) Utilizando-se o mesmo processo de inversão das anotações pode-se afirmar que: uma proposição de valor 0 com 50% de crença, é a negação de uma proposição de valor 0 com 50% de crença. ~ (0,1/2) = (0,1/2) Neste caso, não se verifica mudanças no sinal lógico paraconsistente, tanto o valor da proposição como o valores das anotações permanecem inalterados. Como a suas anotações valem 1/2, tratam-se de sinais indefinidos, portanto, pode-se concluir que: uma proposição de valor 0 com 50% de crença, equivale a uma proposição de valor 1 com 50% de crença, satisfazendo a definição. ~ ( T) =T A negação de sobre-definido é sobre-definido: Como tratam-se de valores inconsistentes, as duas afirmações são verdadeiras. Isto é: um valor 1 com grau de crença sobre-definido, é a negação de um valor 1 com grau de crença sobre-definido. Com isso é satisfeita a definição. Neste modelo de reticulado pode-se acrescentar infinitas anotações. O acréscimo destas anotações será limitado por condições físicas de projetos. Como exemplo, são acrescentadas mais duas constantes anotacionais ao diagrama de Hasse as quais denominamos: llf quase-quase falso llt quase-quase verdadeiro Com a inclusão destas duas novas constantes anotacionais ao reticulado, o conjunto passa a ser: τ = {,t, f, lt, lf, llt, llf, }. Cada constante anotacional tem agora as seguintes denominações : Indefinido t Verdadeiro f Falso 37

lt lf llt llf Quase-verdadeiro Quase-falso Quase-quase verdadeiro Quase-quase falso T Sobre-definido ou inconsistente O diagrama de Hasse com as novas contantes anotacionais fica da seguinte forma: Figura 4.3 - Diagrama de Hasse - reticulado 8. O diagrama de Hasse da figura 4.3, com os respectivos valores paraconsistentes que representam as constantes anotacionais, é apresentado na figura a seguir: 38

Figura 4.4 - Diagrama de Hasse - reticulado 8 -com valores lógicos paraconsistentes. No diagrama de Hasse da figura 4.4, pelo lado direito temos os valores paraconsistentes de proposição falso, portanto, representado pelo valor 0. Pelo lado esquerdo temos os valores paraconsistentes de proposição verdadeiro, representado pelo valor 1. Verifica-se que o valor da anotação ou grau de crença, varia de um valor máximo de 1 até um valor mínimo de 1/2, pelo lado esquerdo (verdade), e pelo lado direito (falso) os valores são o complemento. Podem-se incluir N (infinitos) valores anotacionais diminuindo-se os intervalos entre as valorações. O número N somente é limitado por características construtivas das portas lógicas paraconsistentes. No reticulado da figura 4.4 são definidos os valores paraconsistentes que expressam equivalências como : ( 0, 0 ) ( 1, 0 ) ( 0, 1/4 ) ( 1, 3/4 ) ( 0, 1/2 ) ( 1, 1/2 ) 39

( 0, 3/4 ) ( 1, 1/4 ) ( 1, 0 ) ( 0, 0 ) ( 1, 1/4 ) ( 0, 3/4 ) ( 1, 1/2 ) ( 0, 1/2 ) ( 1, 3/4 ) ( 0, 1/4 ) Com base no que foi proposto até agora e relacionando os valores das constantes anotacionais com os valores paraconsistentes modelo ( p, v ), representados no reticulado do diagrama de Hasse, podem-se enunciar as seguintes afirmativas : binário. 1 - A valoração da fórmula proposicional representa-se por um valor real fechado [ 0, 1 ]. 2 - A anotação ou grau de crença é um valor contido no intervalo da fórmula proposicional. 3 - A indeterminação na anotação (1/2) não define qual é o valor lógico 4 - Dois valores iguais de fórmula proposicional que tem anotações complementares são contraditórios (inconsistentes). 5 - Todas as vêzes que ocorrer inconsistência a anotação ou grau de crença, atribui um valor resultante sobredefinido à fórmula proposicional. 6 - Uma complementação no sinal da anotação acarretará uma inversão no sinal lógico da fórmula proposicional. Outro meio de representar os valores lógicos paraconsistentes é através de um diagrama, conforme a figura a seguir : 40

Figura 4.5 - Diagrama com valores lógicos paraconsistentes de anotação unitária. Comparando-se dois sinais paraconsistentes originados de fontes distintas, teremos 4 situações de inconsistência. Este conflito de informação aparece quando os sinais se apresentarem como : 1) Sinal 1 = (p, 0) Sinal 2 = (p, 1) 2) Sinal 1 = (p, 1/4) Sinal 2 = (p, 3/4) 3) Sinal 1 = (p, 1) Sinal 2 = (p, 0) 4) Sinal 1 = (p, 3/4) Sinal 2 = (p, 1/4) 41

A relação das constantes anotacionais da Lógica Paraconsistente Anotada com os valores lógicos paraconsistentes obtidos através do modelo ( p,v ), nos permite a elaboração das tabelas-verdades necessárias à implementação dos circuitos das portas lógicas paraconsistentes. A partir das propostas apresentadas, foram construídas as tabelas-verdades dos Operadores n, Operador COMPLEMENTO e dos Conectivos AND ( ) e OR ( ). 4.2 -TABELAS-VERDADES DOS OPERADORES UNÁRIOS n Para os Operadores n as tabelas-verdades podem ser elaboradas a partir das equações de Rosser-Turquette, apresentadas no capítulo 3, onde fica demonstrado que uma lógica multivalorada subjacente é funcionalmente completa se satisfizer às funções unárias definidas como: J k (x) = R se x = k 0 se x = k Onde: R é o valor distinguido. A saída será o valor destinguido 1 para um único valor paraconsistente aplicado na entrada do circuito. Para todos os outros valores paraconsistentes aplicados na entrada a saída do circuito será zero. Quando uma entrada de valor lógico 0 apresenta na saída o valor distinguido 1, o circuito é denominado de Operador i. Quando uma entrada de valor lógico 1/4 apresenta na saída o valor distinguido 1, o circuito é denominado de Operador j. Quando uma entrada de valor lógico 1/2 apresenta na saída o valor distinguido 1, o circuito é denominado de Operador K. Quando uma entrada de valor lógico 3/4 apresenta na saída o valor distinguido 1, o circuito é denominado de Operador L. Quando uma entrada de valor lógico 1 apresenta na saída o valor distinguido 1 o circuito é denominado de Operador m. 42

Quando uma entrada de valor lógico T apresenta na saída o valor distinguido 1, o circuito é denominado de Operador T. Na figura 4.6 são apresentadas 6 tabelas-verdades relativas aos Operadores n relacionados com o reticulado da figura 4.3. Os circuitos dos Operadores n são implementados a partir destas tabelas. Operador i Operador j Operador k Entrada Saída Entrada Saída Entrada Saída 0 1 0 0 0 0 1/4 0 1/4 1 1/4 0 1/2 0 1/2 0 1/2 0 3/4 0 3/4 0 3/4 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 Operador L Operador m Operador T Entrada Saída Entrada 1/4 0 1/4 Saída 0 0 0 0 0 Entrada Saída 0 0 1/4 0 1/2 1 1/2 0 3/4 0 3/4 0 1/2 3/4 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 Figura 4.6 - Tabelas-verdades dos Operadores unários n. 4.3 - TABELA-VERDADE DO OPERADOR COMPLEMENTO Na figura 4.7 é apresentada a tabela-verdade do Operador COMPLEMENTO. Como foi visto, quando se faz o complemento das anotações, se obtém uma inversão no valor lógico da proposição. 43

O circuito do Operador COMPLEMENTO é implementado a partir desta tabela. Entrada Saída 0 1 1/4 3/4 1/2 1/2 3/4 1/4 1 0 Figura 4.7 - Tabela-verdade do Operador COMPLEMENTO. 4.4 -TABELA-VERDADE DA CONJUNÇÃO - CONECTIVO AND No capítulo 3, onde é apresentado um resumo do estudo da Lógica Paraconsistente Anotada de primeira ordem, o Conectivo AND se apresenta conforme a condição : VI (A B) = 1 se e somente se VI (A) = 1 e VI (B) = 1 A partir desta condição (que é clássica), elaborada-se a tabela-verdade do Conectivo AND. Verifica-se que o sinal lógico de saída é sempre o menor sinal entre os que estão nas entradas. A tabela-verdade do Conectivo AND é apresentada na figura 4.8. 44

Figura 4.8 - Tabela-verdade do Conectivo AND. 4.5 -TABELA-VERDADE DA DISJUNÇÃO - CONECTIVO OR O Conectivo OR é caracterizado pela condição: VI (A B) = 1 se e somente se VI (A) = 1 ou VI (B) = 1 45

Estas equação possibilita a elaboração da tabela-verdade do Conectivo OR, onde verifica-se que o sinal lógico da saída é sempre o maior sinal entre os que estão aplicados nas entradas. A tabela-verdade do Conectivo OR é apresentada na figura 4.9. Figura 4.9 - Tabela-verdade do Conectivo OR. 46

CAPÍTULO 5 - IMPLEMENTAÇÃO DOS CIRCUITOS DAS PORTAS LÓGICAS PARACONSISTENTES 5.1 - IMPLEMENTAÇÃO DOS CIRCUITOS LÓGICOS 5.1.1- INTRODUÇÃO Com as tabelas-verdades elaboradas no capítulo 4 é feita a implementação dos circuitos das portas lógicas paraconsistentes utilizando-se transistores CMOS. Os circuitos das portas lógicas paraconsistente primitivas aqui apresentados foram implementados a partir do circuito inversor de Kaniel [37 ] e [34] sugerido para aplicação em lógicas multivaloradas ternárias. Nos circuitos implementados é utilizada uma classe de Lógica Paraconsistente Anotada onde cada variável proposicional é acompanhada por um único componente 47

anotacional. A constante anotacional sobredefinida, correspondente ao valor lógico inconsistente pode aparecer como sinal de entrada ou ainda como sinal resultante. O nível de tensão definido como inconsistente é de valor sobre-definido, portanto maior que o nível lógico 1 (maior que +4V). Por esse motivo, o valor lógico para o sinal inconsistente escolhido para o projeto das portas lógicas paraconsistentes é de amplitude de tensão igual a +5V. Nas simulações dos circuitos das portas lógicas utilizando-se o software Aim-Spice 1.5a, este nível de tensão é considerado como valor inconsistente. Cada sinal lógico paraconsistente tem um nível de tensão definido. Estes valores foram escolhidos por serem de amplitudes próximas as utilizadas nos circuitos convencionais comumente usados. Todos os circuitos projetados neste trabalho utilizam a técnica de implementação dos transistores CMOS (Complementary Metal Oxide Silicon). Esta tecnologia torna possível uma grande variedade de técnicas de projeto envolvendo circuito digitais e se adequam perfeitamente a construção dos circuitos das portas lógicas paraconsistentes desenvolvidos neste trabalho. Isto se deve ao fato que estes transistores podem ser utilizados como chaves, tanto em sinais digitais como em sinais analógicos, possibilitando projetos de circuitos para detetar níveis de tensão de qualquer polaridade e transformá-los em sinais digitais de níveis diferentes. No projeto dos circuitos das portas lógicas paraconsistentes a alimentação é feita com uma fonte de tensão contínua simétrica de ± 6 Volts. A fonte de alimentação simétrica com estas amplitudes é compatível com a faixa de valores dos sinais lógicos envolvidos no funcionamento dos circuitos das portas lógicas paraconsistentes. As amplitudes de ±6V permitem também que os transistores CMOS sejam convenientemente polarizados com uma boa margem de segurança. Isto assegura ao projeto um bom desempenho e funcionamento dos circuitos. Os níveis de tensão do circuito relacionados com os valores lógicos paraconsistentes estão apresentados nas tabelas da figura 5.1 : 48