Olá, amigos! AULA 02 Tudo bem com vocês? E aí, revisaram a aula passada? Espero que sim. Bem como espero que tenham resolvido as questões que ficaram pendentes! A propósito, vamos iniciar nossa aula de hoje comentando-as. Vamos a elas. Dever de Casa Identificar a coluna de freqüência fornecida na Distribuição e, se for o caso, fazer o trabalho necessário para chegar aos valores da freqüência absoluta simples fi. 01. (AFRF 200) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Freqüências Acumuladas (%) 2.000 4.000 5 4.000.000 1.000 8.000 42 8.000 10.000 77 10.000 12.000 89 12.000 14.000 100 Sol.: Esta Distribuição de Freqüências fornecida pela prova acima apresentou-nos duas colunas: a das classes e uma outra, a qual chamou de freqüências acumuladas, seguido de um sinal de porcentagem. Ora, aprendemos que este sinal de porcentagem é um indicativo de que estamos diante de uma freqüência relativa. Uma vez que foi revelado, expressamente, que se trata de freqüências acumuladas, restaram-nos duas alternativas: Freqüência relativa acumulada crescente (Fac); ou Freqüência relativa acumulada decrescente (Fad). Para saber se é uma ou outra, basta examinarmos os valores da coluna: eles estão crescendo ou decrescendo? Crescendo! Daí, matamos a charada: a freqüência fornecida na tabela foi a Fac Freqüência Relativa Acumulada Crescente. Esse será sempre o primeiro passo: identificar a freqüência trazida pela prova. O segundo passo é fazer o trabalho preliminar, que consiste em migrar da freqüência apresentada na tabela para a coluna da freqüência absoluta simples fi. Relembrando o desenho das transformações que criamos na aula passada, teremos:
4 fi De simples para acumulada: somar com a diagonal fac (iguais na primeira classe) fad (iguais na última classe) (comparam-se os dois somatórios) Fac (iguais na primeira classe) Fi Fad (iguais na última classe) De acumulada para simples: próxima acumulada acumulada anterior Nosso trabalho preliminar se fará, neste caso, em dois passos: 1º) Passaremos da Fac para a Fi (freqüência relativa simples); 2º) Passaremos da Fi para a fi. Fazendo isso, teremos: Fac Fi 2.000 4.000 5% 5% 4.000.000 1% 11%.000 8.000 42% 2% 8.000 10.000 77% 5% 10.000 12.000 89% 12% 12.000 14.000 100% 11% Sabemos que nesta transformação que fizemos acima, as duas freqüências (Fac e Fi) são iguais na primeira classe, e o restante da coluna da Fi se constrói subtraindo: próxima acumulada menos a acumulada anterior. Ficou claro para todos? (Isso aprendemos na aula passada!). Agora vamos aos finalmentes: partindo da Fi construiremos a coluna da fi. Aprendemos que, de simples para simples, teremos apenas que nos concentrar no somatório destas duas colunas! Lembrados? Sabemos que o somatório da coluna da freqüência relativa simples (Fi) será sempre igual a 100%. E que o somatório da freqüência absoluta simples (fi) é sempre igual a n (número de elementos do conjunto).
5 É nesse instante que nos cabe reler o enunciado, para ver o que foi dito acerca deste n. Foi dito alguma coisa no enunciado? Não! A questão não revelou quantos elementos há neste conjunto! O que fazer agora? Neste caso, adotaremos n=100. Essa foi a pergunta de uma colega do Fórum. Embora talvez sem o destaque necessário, essa informação foi apresentada na aula 1. Ok? Para frisar mais adequadamente este fato, ei-lo novamente: Sempre que estivermos trabalhando com as duas colunas freqüências simples, construindo a fi a partir da Fi, precisaremos conhecer o n (número de elementos do conjunto). Caso este n não tenha sido fornecido pelo enunciado, adotaremos apenas que n=100. Certo agora? Daí, facilmente verificamos que os valores da fi (freqüência absoluta simples) serão iguais aos da Fi (freqüência relativa simples), apenas tirando o sinal de porcentagem! Teremos: Fac Fi fi 2.000 4.000 5% 5% 5 4.000.000 1% 11% 11.000 8.000 42% 2% 2 8.000 10.000 77% 5% 5 10.000 12.000 89% 12% 12 12.000 14.000 100% 11% 11 100% n=100 É isso! Está feito. Próxima questão. 02. (IRB-Brasil Resseguros S.A. 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classe Freqüência Acumulada 129,5-19,5 4 19,5-149,5 12 149,5-159,5 2 159,5-19,5 4 19,5-179,5 72 179,5-189,5 90 189,5-199,5 100 Sol.: Este enunciado apresentou-nos, além da coluna das classes, uma outra que foi dita freqüência acumulada. Pergunta: houve algum sinal indicativo de freqüência relativa? O enunciado falou expressamente que é relativa? Não! Existe sinal de porcentagem no cabeçalho da coluna? Não! Existe sinal de porcentagem ao longo dos valores da coluna? Não! Conclusão inicial: não se trata de uma freqüência relativa, mas absoluta!
Foi dito expressamente que é uma freqüência acumulada. Assim, sabendo que é absoluta e que é acumulada, restam-nos duas alternativas: ou será freqüência absoluta acumulada crescente (fac); ou freqüência absoluta acumulada decrescente (fad). Para saber qual das duas, basta vermos os valores da coluna, se estão aumentando ou diminuindo. E aí? Estão aumentando! Conclusão final: estamos diante de uma coluna de freqüência absoluta acumulada crescente (fac). Uma perguntinha: de antemão, apenas olhando para os valores desta nossa fac, já é possível afirmar quem é o n (número de elementos do conjunto)? O que você responde? SIM. Pois a fac termina sempre com o n. Daí, já sabemos que n=100 elementos. Ok? Pois bem! Precisaremos agora realizar o trabalho preliminar, no sentido de transformarmos a fac na fi (freqüência absoluta simples). Fazendo isso, teremos: Classe fac fi 129,5-19,5 4 4 19,5-149,5 12 8 149,5-159,5 2 14 159,5-19,5 4 20 19,5-179,5 72 2 179,5-189,5 90 18 189,5-199,5 100 10 Qual o indicativo de que acertamos nos valores da fi? Ora, somando os seus valores, o resultado da soma terá que ser igual a n. E n, conforme vimos acima, é igual a 100. Vamos conferir? Classe fac fi 129,5-19,5 4 4 19,5-149,5 12 8 149,5-159,5 2 14 159,5-19,5 4 20 19,5-179,5 72 2 179,5-189,5 90 18 189,5-199,5 100 10 n=100 Está feito! Próxima! 0. (AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte: Freqüência (f) 29,5-9,5 4 9,5-49,5 8
49,5-59,5 14 59,5-9,5 20 9,5-79,5 2 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10 7 Sol.: Nossa análise começará sempre no sentido de sabermos se a coluna fornecida na tabela da prova é de freqüências absolutas ou relativas. Certo? No caso acima, não está presente nenhum sinal indicativo de freqüências relativas. Daí, concluímos que se trata de uma freqüência absoluta! Ora, diante disso, temos ainda três possibilidades: ou será freqüência absoluta simples (fi); ou freqüência absoluta acumulada crescente (fac); ou freqüência absoluta acumulada decrescente (fad). Foi dito em algum lugar do enunciado que esta coluna é de freqüências acumuladas? Não! Logo, por via de exceção, estamos diante de uma freqüência absoluta simples (fi). Assim sendo, não há qualquer trabalho preliminar exigido para esta tabela. Já poderíamos começar a resolver a prova! Ok? Curiosamente, esta coluna de freqüência absoluta simples fornecida nesta Distribuição de Freqüências é exatamente a mesma a qual chegamos no exemplo anterior. Perceberam? Uma mera coincidência! Pois bem. Está feito! O quarto exercício que eu havia deixado para casa, por displicência minha (peço desculpas!) foi o repeteco da questão 2. Não tem problema. Creio que frisei convenientemente a importância disso tudo o que aprendemos na aula passada! Saber reconhecer a necessidade de realizar o trabalho preliminar e saber fazê-lo é algo que se tornou a alma da prova! Bem. O fato é que já conhecemos a alma da prova, mas ainda não sabemos resolver nenhuma questão dela sequer...! Não seja por isso. Vamos aprender agora! Suponhamos que estamos diante de uma Distribuição de Freqüências, que representa os pesos de um grupo de crianças. Ok? Teremos: (pesos, em Kg) 0!--- 10 10!--- 20 20!--- 0 0!--- 40 fi 7 4 n=20 É o mesmo exemplo que usamos na aula anterior. Se eu lhes perguntar quantas crianças deste conjunto apresentam peso abaixo de vinte quilos, o que você me responderia? Ora, você iria analisar a tabela, e concluiria que as duas primeiras classes participam desta resposta. Concordam?
8 A primeira classe contempla crianças com peso de zero a dez quilos. (Abaixo, portanto, de vinte quilos). A segunda classe contempla crianças com peso de dez a vinte quilos (vinte exclusive!). São pesos abaixo de vinte quilos. Certo? Da terceira classe em diante, os pesos contemplados já superam aquele valor (20kg). Assim, ficou fácil verificar que são nove as crianças do conjunto com peso inferior a vinte quilos! (Três crianças na primeira classe, e seis na segunda). Até aqui tudo bem? Essa não será a pergunta da prova! Vou propor outra questão: quantas crianças neste conjunto apresentam peso acima de vinte quilos? Ora, uma rápida olhada na tabela já nos fará concluir que participarão desta resposta os elementos contidos na terceira e na quarta classe! Todos viram isso? Daí, responderemos que há onze crianças com peso superior a vinte quilos: sete na terceira classe, e quatro na última. Esta também não será a pergunta da prova! Professor, deixe de suspense e diga logo como virá na prova! Na prova virá assim: Quantos elementos (crianças) desse conjunto apresentam peso abaixo de doze quilos? Vamos ver mais de perto nossa Distribuição de Freqüências: (pesos, em Kg) 0!--- 10 10!--- 20 20!--- 0 0!--- 40 fi 7 4 n=20 Esta é uma pergunta típica de prova! Para respondê-la, faremos a seguinte análise: Abaixo de doze quilos: a primeira classe participa da resposta? O que você diz? Sim! Mas participa de forma integral ou apenas parcialmente? Vemos que a primeira classe participa integralmente do resultado! Concordam? Claro! Se ela contempla pesos que vão de zero a dez quilos, significa que seus elementos todos apresentam pesos abaixo de doze quilos. Certo? Adiante. Abaixo de doze quilos: a segunda classe participa da resposta? Olhe, analise e responda! Diremos que sim, que a segunda classe participa da resposta! Parcialmente ou integralmente? Parcialmente, uma vez que esta classe contempla pesos que vão de 10 a 20 quilos. Daí, abaixo de 12 quilos, teremos apenas uma parte desta classe! Até aqui, tudo bem? Pois bem! Descoberta qual é a classe que entra apenas parcialmente no resultado, trabalharemos com ela para descobrir justamente qual é esta participação! Façamos um desenho desta classe. Teremos: 10!-------- 20
9 O que faremos agora é uma regra de três: amplitude da classe (h) está para freqüência absoluta simples (fi). Teremos: 10!-------- 20 h ---------- fi Na primeira linha da regra de três, trabalharemos com a classe inteira! Qual é a amplitude (h) desta classe inteira? É h=10. Concordam? E nesta classe inteira, há quantos elementos? Temos que fi=. Daí, já dispomos dos valores da primeira linha. Teremos: 10!-------- 20 h ---------- fi 10 -------- Já na segunda linha da regra de três, trabalharemos com a classe quebrada! O que é a classe quebrada? É só o pedaço da classe que nos interessa! E qual é a parte que nos interessa nesta classe? Apenas os pesos abaixo de 12 quilos. Assim, teremos: 10!--12---- 20 Qual é a amplitude desta classe quebrada? Ora, de 10 até 12, teremos amplitude igual a 2. E neste pedaço menor (que nos interessa), quantos elementos há? Não sabemos! Vamos chamar de x. Assim, nossa regra de três completa será a seguinte: h ---------- fi 10 -------- 2 --------- x Agora basta multiplicarmos cruzando, para descobrirmos o valor do x. Este será exatamente a participação da segunda classe no resultado. Teremos: 10x=12 x=12/10 x=1,2 Ou seja, nesta segunda classe, o número de crianças com peso abaixo de doze quilos é apenas de 1,2. Resta-nos ainda compor o resultado. Teremos: (pesos, em Kg) 0!--- 10 10!--- 20 20!--- 0 0!--- 40 fi 7 4 n=20 entra integralmente no resultado: elementos entra parcialmente no resultado: 1,2 elementos Total: 4,2 elementos
10 Chegamos à resposta: estima-se que 4,2 crianças desse conjunto apresentam peso abaixo de doze quilos! Duas observações a se fazer. Primeiro: este cálculo que fizemos acima é uma mera estimativa! Claro! Quem pode garantir que as seis crianças que participam da segunda classe não pesam, todas elas, 18 quilos, por exemplo? Ninguém pode garantir nada! Assim, estaremos trabalhando com valores estimados! Ok? A segunda observação surge de uma pergunta que sempre alguém faz em sala de aula. (Geralmente, é pergunta de alguma garota, que se vê muito penalizada com a situação!). Professor, pode partir a criança no meio? Claro! Não só ao meio, como em vários pedacinhos pequenos! E ninguém vai chamar você de Herodes por isso! São apenas cálculos estatísticos! Ok? O que eu ainda não disse a vocês é o título que se dá a este assunto! A rigor, esta questão de prova iria lhes perguntar da seguinte maneira: Calcule a estimativa do número de elementos (crianças) desse conjunto que apresentam peso abaixo de doze quilos, usando a interpolação linear da ogiva! É isso mesmo! Ora, fazer a interpolação linear da ogiva é, nada mais, que fazer a regra de três que aprendemos acima! O nome do assunto é muito mais difícil que a própria resolução da questão! Mas, professor, o que é esse negócio de ogiva? A ogiva é um tipo de gráfico estatístico. Na hora certa e no momento oportuno eu a apresentarei a vocês. Ok? Por hora, não precisamos deste conceito. Ficou demonstrado que você pode (e vai!) acertar essa questão, mesmo sem conhecer a tal da ogiva. Passemos a outro exemplo, trabalhando com a mesma tabela que acabamos de usar. Ok? Vamos lá. Exemplo: Considerando a Distribuição de Freqüências abaixo, determine qual a estimativa da porcentagem de elementos (crianças) do conjunto que apresentam peso acima de 28 quilos, usando a interpolação linear da ogiva? Eis novamente a nossa Distribuição de Freqüências: (pesos, em Kg) 0!--- 10 10!--- 20 20!--- 0 0!--- 40 fi 7 4 n=20 Vocês perceberam que está em destaque no enunciado a palavra porcentagem. A questão não quer saber um número de elementos, e sim um valor percentual! Assim, teremos que trabalhar com a coluna da Freqüência Relativa Simples (Fi). Já sabemos como construir a Fi, partindo da freqüência absoluta simples (fi). Basta compararmos os dois somatórios. Teremos: (pesos, em Kg) 0!--- 10 10!--- 20 fi Fi 15% 0%
20!--- 0 7 5% 0!--- 40 4 20% n=20 100% x5 11 Pois bem! Esse trabalho já era nosso conhecido. Agora vamos analisar aquilo que a questão quer saber: pesos acima de 28 quilos. Acima de 28 quilos: a primeira classe participa da resposta? Não! Nem integralmente, nem parcialmente; Acima de 28 quilos: a segunda classe participa da resposta? Também não! Nem integralmente, nem parcialmente; Acima de 28 quilos: a terceira classe participa da resposta? Sim! Só que de uma forma parcial. Concordam? Já que essa classe contempla pesos que vão de 20 a 0 quilos, teremos que só uma parte dela estará acima de 28 quilos. Acima de 28 quilos: a quarta classe participa da resposta? Sim, integralmente, com 20% das crianças! Daí, o que nos resta fazer é trabalhar com a classe que entra só parcialmente no resultado (a terceira classe), a fim de descobrirmos qual é esta participação! Novamente, faremos uma regra de três. A única diferença deste exemplo para o anterior, é que aqui estamos interessados em um valor percentual. Destarte, em vez de usar a freqüência absoluta simples (fi) na regra de três, usaremos a Freqüência Relativa Simples (Fi). Somente isso! Teremos: 20!-------- 0 h ---------- Fi A primeira linha da regra de três será formada levando-se em consideração a classe inteira! Teremos, na classe inteira, uma amplitude de h=10 e 5% dos elementos do conjunto. Daí: 20!-------- 0 h ---------- Fi 10 -------- 5% A segunda linha da regra de três levará em conta apenas a classe quebrada, ou seja, aquele pedaço da classe que nos interessa! E o que nos interessa aqui? Elementos com peso acima de 28 quilos. Teremos: 20!----28--0 Nesta classe quebrada, a amplitude é 2 e o percentual de elementos nesta amplitude é desconhecido, de sorte que o chamaremos de x. Assim, nossa regra de três completa será a seguinte: h ---------- Fi
10 -------- 5% 2 --------- x% 12 Multiplicando em cruz, teremos que: X=(70/10) X=7% Este X é a própria participação (em termos percentuais) da terceira classe no resultado que procuramos! Compondo o resultado inteiro, teremos: (pesos, em Kg) 0!--- 10 10!--- 20 20!--- 0 0!--- 40 fi 7 4 Fi 15% 0% 5% 20% entra parcialmente no resultado: 7% dos elementos entra integralmente no resultado: 20% dos elementos n=20 100% Total: 27% dos elementos Chegamos à resposta: estima-se que 27% das crianças desse conjunto apresentam peso acima de vinte e oito quilos. Ficou claro? Passemos a mais um exemplo! Exemplo: Considerando a Distribuição de Freqüências abaixo, determine qual o valor da variável X (qual o peso) que não é superado por cerca de 70% das observações? Mais uma vez aqui está a Distribuição de Freqüências: (pesos, em Kg) 0!--- 10 10!--- 20 20!--- 0 0!--- 40 fi 7 4 n=20 Este tipo de enunciado é diferente dos que vimos até aqui! Nos anteriores, a questão fornecia um limite qualquer dentro de uma das classes, e perguntava ou pelo número de elementos ou pelo percentual de elementos que havia acima ou abaixo daquele limite. Agora o raciocínio é inverso: a questão fornece um valor percentual qualquer, e quer saber, em outras palavras, qual é o valor dentro das classes que corresponde àquele percentual. Precisamos agora aprender a fazer a tradução da pergunta desta questão. É fácil: sempre que o enunciado perguntar Qual é o valor da variável X que não é superado por tanto por cento...?, nós traduziremos esta pergunta da seguinte forma:
1 Qual é o valor, inserido numa das classes, que corresponde a um acumulado de tanto por cento? Entendido? Vamos devagarzinho, para que todos entendam. Nossa questão pergunta: qual o valor do peso não superado por 70% das observações? Nossa tradução é esta: qual o valor, inserido numa das classes, que corresponde a um acúmulo de 70%? Uma vez compreendido como se faz a tradução, vamos construir agora em nossa tabela as colunas da Fi e da Fac. Teremos: (pesos, em Kg) 0!--- 10 10!--- 20 20!--- 0 0!--- 40 fi Fi Fac 7 4 15% 0% 5% 20% n=20 100% 15% 45% 80% 100% Vamos pensar! Começando pela primeira classe, se avançarmos até o seu limite superior (10), já teremos acumulado quantos por cento dos elementos do conjunto? Ora, teremos acumulado até aí 15% dos elementos. Confere? Daí, se a questão estivesse perguntando: qual o valor dentro das classes que não é superado por 15% das observações?, nossa resposta seria: 10. Mas não é esta a pergunta da questão! Adiante! Se avançarmos agora toda a segunda classe, chegando até seu limite superior (20), já teremos acumulado quantos por cento dos elementos? Ora, esta segunda classe sozinha possui 0% dos elementos. Confere? Daí, atingindo seu limite superior, já passamos a acumular 45% dos elementos do conjunto! Daí, se a questão estivesse perguntando: qual o valor dentro das classes que não é superado por 45% das observações?, nossa resposta seria: 20. Mas esta também não foi a pergunta da questão! Adiante! Avançando agora toda a terceira classe, até chegarmos ao seu limite superior (0), já teremos acumulado que percentual dos elementos do conjunto? 80%. Confere? Ora, mas eu não quero acumular 80%. Quero acumular apenas 70%. Daí, você conclui: o peso que corresponde a um acúmulo de 70% dos elementos do conjunto é um valor inserido na terceira classe! Claro! Analisemos os limites desta classe: Limite inferior: 20 corresponde a um acumulado de 45% dos elementos; Limite superior: 0 corresponde a um acúmulo de 80% dos elementos. Logo, correspondendo a um acumulado de 70% (que é o que a questão está pedindo), haverá um valor qualquer inserido nesta classe! Ufa...! Todos entenderam por que a resposta que procuramos mora na terceira classe? Pois bem! Sabendo disso, tomaremos a classe descoberta e faremos uma regra de três simples. A seguinte: 20!-------- 0
h ---------- Fi 14 A primeira linha desta regra de três já é nossa conhecida. Será preenchida considerando-se a classe inteira. Teremos: 20!-------- 0 h ---------- Fi 10 -------- 5% A segunda linha é que será novidade. Teremos agora que fazer a linha do avanço! Como é isso? Ora, já havíamos acumulado, até chegarmos ao limite inferior desta classe (20), um total de 45% dos elementos do conjunto. Certo? Assim, de 45%, teremos que avançar mais quantos por cento até atingirmos um acúmulo de 70%? Ora, de 45% para 70%, teremos que avançar mais 25%, dentro daquela classe! Daí, um avanço de 25% na terceira classe corresponderá Ea um avanço de x. A regra de três completa será, pois, a seguinte: h ---------- Fi 10 -------- 5% x --------- 25% Multiplicando em cruz, teremos que: X=(250/5) X=7,14 Esse x que obtivemos é o valor que terá que ser somado ao limite inferior da terceira classe! É o valor do avanço! Assim, teremos que: Linf + 7,14 = 20 + 7,14 = 27,14 Eis a nossa resposta! Esse peso 27,14 quilos corresponde a um acúmulo de 70% dos elementos do conjunto! É o peso não superado por 70% dos elementos! É isso! Por meio do entendimento dos três exemplos comentados acima, você já está apto a resolver qualquer questão que trate deste assunto a interpolação linear da ogiva. São todos enunciados repetitivos! Recaem todos eles nestes três modelos que apresentamos nos exercícios anteriores. Ok? Então, convém que você revise com carinho esta aula de hoje e, em seguida, que você tente resolver as questões que deixarei propostas para esta semana! Ok?
Na seqüência, apresento-lhes o nosso Dever de Casa. Um forte abraço a todos, bons estudos e até semana que vem! 15 Dever de Casa 0. (AFRF-2000) Utilize a tabela que se segue. Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa de Salário Freqüências Acumuladas ( ; ] 12 ( ; 9] 0 (9 ; 12] 50 (12 ; 15] 0 (15 ; 18] 5 (18 ; 21] 8 Suponha que a tabela de freqüências acumuladas tenha sido construída a partir de uma amostra de 10% dos empregados da Cia. Alfa. Deseja-se estimar, utilizando interpolação linear da ogiva, a freqüência populacional de salários anuais iguais ou inferiores a R$ 7.000,00 na Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde a este número. a) 150 b) 120 c) 10 d) 10 e) 180 04. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. P (%) 70-90 5 90-110 15 110-10 40 10-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100 Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de X menores ou iguais a 145. a) 2,5% d) 45,0% b) 70,0% e) 5,4% c) 50,0% 05. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte: Freqüência
(f) 29,5-9,5 4 9,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-9,5 20 9,5-79,5 2 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10 1 Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na população com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5. a) 700 d) 995 b) 8 e) 900 c) 82 0. (AFRF 200) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Freqüências Acumuladas (%) 2.000 4.000 5 4.000.000 1.000 8.000 42 8.000 10.000 77 10.000 12.000 89 12.000 14.000 100 Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x da distribuição amostral de X que não é superado por cerca de 80% das observações. a) 10.000 d) 11.000 b) 12.000 e) 10.500 c) 12.500 07. (IRB-Brasil Resseguros S.A. 2004 ESAF) Na distribuição de freqüências abaixo, não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Classe Freqüência Acumulada 129,5-19,5 4 19,5-149,5 12 149,5-159,5 2 159,5-19,5 4 19,5-179,5 72 179,5-189,5 90 189,5-199,5 100 Assinale a opção que corresponde à estimativa, via interpolação da ogiva, do número de observações menores ou iguais ao Valor 14. a) 4 b) 2 c) 72 d) 5 e) 20 08. (FTE-PA-2002/ESAF) A tabela de freqüências abaixo apresenta as freqüências acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuição dos salários anuais de economistas (Y) em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalização da Cia. X. Não existem realizações de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais. F 29,5-9,5 2 9,5-49,5
49,5-59,5 1 59,5-9,5 2 9,5-79,5 79,5-89,5 45 89,5-99,5 50 17 Assinale a opção que corresponde ao valor q, obtido por interpolação da ogiva, que, estima-se, não é superado por 80% das realizações de Y. a) 82,0 b) 80,0 c) 8,9 d) 74,5 e) 84,5 09. (FTE-Piauí-2001/ESAF) A Tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência obtida de uma amostra aleatória dos salários anuais em reais de uma firma. As freqüências são acumuladas. de Salário Freqüências (5.000-.500) 12 (.500-8.000) 28 (8.000-9.500) 52 (9.500-11.000) 74 (11.000-12.500) 89 (12.500-14.000) 97 (14.000-15.500) 100 Deseja-se estimar, via interpolação da ogiva, o nível salarial populacional que não é ultrapassado por 79% da população. Assinale a opção que corresponde a essa estimativa. a) R$ 10.000,00 d) R$ 11.000,00 b) R$ 9.500,00 e) R$ 11.500,00 c) R$ 12.500,00 10. (Oficial de Justiça Avaliador TJ CE 2002 / ESAF) A tabela abaixo apresenta a distribuição de freqüências do atributo salário mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 200 funcionários da empresa X. Note que a coluna refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da freqüência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. P 4 8 20 8 12 0 12 1 80 1 20 98 20 24 100 Assinale a opção que corresponde à aproximação de freqüência relativa de observações de indivíduos com salários menores ou iguais a 14 salários mínimos. a) 5% d) 0% b) 50% e) 70% c) 80% 11. (Auditor do Tesouro Municipal - Recife 200/ ESAF) O quadro seguinte apresenta a distribuição de freqüências da variável valor do aluguel (X) para uma amostra de 200 apartamentos de uma região metropolitana de certo município. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. Assinale a opção que corresponde à estimativa do valor x tal que a freqüência relativa de observações de X menores ou iguais a x seja 80%. R$ Freqüências 50 80 80 410 8
410 440 10 440 470 1 470 500 500 50 40 50 50 5 50 590 0 590 20 1 20 50 12 18 a) 50 b) 50 c) 590 d) 578 e) 575