FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS FAFIUV LICENCIATURA EM MATEMÁTICA FERNANDA MARSZAUKOWSKI

FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS FAFIUV LICENCIATURA EM MATEMÁTICA FERNANDA MARSZAUKOWSKI O ESTUDO DE PROGRESSÃO GEOMÉTRICA: UMA PROPOSTA DE ENSINO ENVOLVENDO GEOMETRIA FRACTAL UNIÃO DA VITÓRIA 2011

FERNANDA MARSZAUKOWSKI O ESTUDO DE PROGRESSÃO GEOMÉTRICA: UMA PROPOSTA DE ENSINO ENVOLVENDO GEOMETRIA FRACTAL Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do título de licenciada em Matemática pela Faculdade Estadual de Filosofia, Ciências e Letras de União da Vitória FAFIUV. Orientadora: Profª Celine Maria Paulek. UNIÃO DA VITÓRIA 2011

Dedico à minha família, especialmente a meus pais Nilo e Maria Terezinha, e ao meu namorado Gabriel.

AGRADECIMENTOS A Deus, que esteve sempre ao meu lado, me dando forças para prosseguir, sem Ele jamais teria chegado até aqui. A meus pais, Nilo e Maria Terezinha, por seu amor e dedicação, que me incentivaram a estudar e a persistir perante as dificuldades. A minhas irmãs, Flávia e Fabíola, que apesar de todas as brigas, me estimularam a seguir em frente. A meu namorado Gabriel, por seu amor, dedicação e paciência, estando ao meu lado nos momentos mais difíceis nestes quatro anos. A toda minha família, que soube compreender minha ausência nas reuniões para comemorar alguma ocasião. A todos os meus amigos do grupo de oração, principalmente Juliana e Elis, que estiveram ao meu lado em todos os momentos. Obrigado por sua amizade, carinho e amor. A professora Celine pela paciência e contribuições dadas durante a orientação deste trabalho. A todos os professores do Colegiado de Matemática que compartilharam seu conhecimento conosco durante estes quatro anos. Aos meus colegas, principalmente Aline, Juliana, Gabriel, Diogo, Keiti, Kelin e Leila, que estiveram comigo nesta batalha, obrigado por todos os momentos que passamos juntos, por seu apoio e amizade.

A Geometria dos Fractais não é apenas um capítulo da Matemática, mas também uma forma de ajudar os Homens a verem o mesmo velho Mundo diferentemente. (Benoît Mandelbrot)

RESUMO Durante muito tempo acreditava-se que a única geometria existente era a euclidiana, mas ela não permitia representar alguns objetos do mundo real, como árvores e nuvens. Com o surgimento das geometrias não-euclidianas isso começou a ser possível, sendo que uma destas geometrias é a fractal. Descoberta por Benoît Mandelbrot, essa geometria ganhou cada vez mais espaço tanto na Matemática como em seu ensino. Dessa forma, o presente trabalho tem por objetivo estudar a geometria fractal, o que é, suas características e sua inserção na educação básica, através de uma proposta de ensino. Para isto foi preciso entender o surgimento das geometrias não-euclidianas e a necessidade de estudá-las ainda na escola básica, bem como as especificidades dos fractais, e assim ter um embasamento para desenvolver tal proposta. Esta foi realizada pensando em abranger não somente fractais, mas também outro conteúdo matemático, neste caso progressão geométrica, com o intuito de evidenciar a interligação entre os conteúdos em Matemática. Palavras-chave: geometrias não-euclidianas, geometria fractal, progressão geométrica.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1 Couve- flor romanesca... 18 Figura 2 Auto semelhança na curva de Koch... 18 Figura 3 Comparação entre a dimensão Euclidiana e a dimensão fractal... 19 Figura 4 Triângulo de Sierpinski... 19 Figura 5 Conjunto de Cantor... 21 Figura 6 Curva de Koch... 21 Figura 7 Floco de neve de Koch... 22 Figura 8 Triângulo de Sierpinski... 22 Figura 9 Tapete de Sierpinski... 23 Figura 10 Esponja de Menger... 23 Figura 11 Fractal de Mandelbrot... 25 Figura 12 Curva de Peano... 25 Figura 13 Curva de Hilbert... 26 Figura 14 Construção da curva de Koch... 29 Figura 15 Cinco primeiras iterações da curva de Koch... 30 Figura 16 Primeira iteração do triângulo de Sierpinski (I)... 33 Figura 17 Primeira iteração do triângulo de Sierpinski (II)... 33 Figura 18 Cinco primeiras iterações do triângulo de Sierpinski... 34 Figura 19 Primeira iteração do floco de neve de Koch... 37 Figura 20 Quatro primeiras iterações do floco de neve de Koch... 37 Figura 21 Triângulo equilátero com lado de uma unidade... 39 Figura 22 Triângulo equilátero com lado igual a 1/3... 40 Quadro 1 Análise da curva de Koch... 30 Quadro 2 Quadro 3 Quantidade de triângulos em relação ao número de iterações no triângulo de Sierpinski... 34 Número de triângulos acrescentados a cada iteração do floco de neve de Koch... 38 Quadro 4 Área acrescentada a cada iteração... 40

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO... 8 2 GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS... 10 2.1 O SURGIMENTO DAS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS... 11 2.2 AS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS NA EDUCAÇÃO BÁSICA... 14 3 A GEOMETRIA FRACTAL... 16 3.1 NOÇÕES DE GEOMETRIA FRACTAL... 16 3.1.1 Auto-similaridade nos fractais... 17 3.1.2 Dimensão fractal... 18 3.2 ALGUNS DOS FRACTAIS MAIS FAMOSOS... 20 3.2.1 Poeira de Cantor... 20 3.2.2 Curva e Floco de Koch... 21 3.2.3 Triângulo e Tapete de Sierpinski... 22 3.2.4 Esponja de Menger... 23 3.2.5 Fractal de Mandelbrot... 24 3.2.6 Curva de Peano... 25 3.2.7 Curva de Hilbert... 25 3.3 O ENSINO DE GEOMETRIA FRACTAL... 26 4 UMA PROPOSTA DE ENSINO VIA GEOMETRIA FRACTAL... 28 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS... 47 REFERÊNCIAS... 48

8 1 INTRODUÇÃO Durante muito tempo acreditava-se que a única geometria existente era a euclidiana, que surgiu no Egito antigo e se expandiu pela Grécia, local em que foram obtidos avanços significativos, muitos deles realizados por Euclides. A teoria desenvolvida por ele em Os Elementos é de grande importância na história da Matemática, através dela são organizados de uma nova forma os conhecimentos geométricos da época, utilizando um aspecto dedutivo, anteriormente defendido por Tales e Pitágoras, onde são apresentados postulados (evidentes por si mesmos) e proposições, de maneira que umas dão justificativas para as outras. No entanto um dos postulados enunciados por Euclides, o das paralelas, gerou grande discussão entre os matemáticos de diferentes épocas, os quais acreditavam que o postulado em questão não era tão evidente como os outros e que poderia ser demonstrado. Foi a partir da tentativa de demonstrar o quinto postulado que se desenvolveu uma geometria tão consistente quanto a euclidiana, a chamada geometria não-euclidiana. A partir desse surgimento foram desenvolvidas diferentes teorias que se encaixavam dentro dos conceitos da geometria não-euclidiana, e estas novas geometrias ganharam espaço no cenário matemático com o passar dos anos. Dentre elas se encontra a Geometria Fractal, criada por Benoît Mandelbrot, que será objeto de estudo deste trabalho. Levando em conta que as Diretrizes Curriculares para a Educação Básica do Paraná (2008) sugerem o ensino das geometrias não-euclidianas e que os cursos de licenciatura em Matemática, em sua maioria, não abordam estes conceitos em sua grade curricular, escolhi este tema, mais especificamente a geometria fractal, pelo interesse em descobrir e entender melhor os fractais e também pela preocupação futura de ter que ensinar sobre uma área pouco conhecida pelos alunos e deixada de lado por muitos professores. No primeiro capítulo apresento o surgimento das geometrias nãoeuclidianas, com o intuito de esclarecer a origem das ideias que levaram à sua descoberta e suas conseqüências para a Matemática. Neste mesmo capítulo abordo a inserção destas geometrias na educação básica, onde apresento as orientações para esta inserção. No capítulo seguinte abordo a geometria fractal, sua definição, características, como a auto-semelhança e a dimensão e, também alguns fractais

9 mais conhecidos e as etapas de sua construção. Além disso, apresento um subitem sobre o ensino da geometria fractal, onde consta a importância deste fato bem como as razões para incluí-la na educação básica. Por fim apresento uma proposta de ensino para o ensino médio que articula geometria fractal e progressão geométrica, o que evidencia uma interligação entre os conteúdos matemáticos.

2 GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS A geometria teve origem no Egito Antigo e na Babilônia, onde era composta por algumas regras práticas obtidas através de experimentações. No entanto, o caráter dedutivo que conhecemos hoje só surgiu séculos depois na Grécia Antiga, através de Tales de Mileto e Pitágoras, os quais afirmavam, segundo Ávila (2006), que a geometria não poderia ser somente baseada em experimentos, e sim em proposições logicamente ordenadas, onde cada proposição é demonstrada a partir de anteriores, sendo algumas delas admitidas como evidentes por si mesmas: os postulados. Este aspecto dedutivo foi adotado por Euclides de Alexandria, outro geômetra grego, na obra mais famosa e citada até os tempos atuais na área da Matemática: Os Elementos 1. Euclides foi autor de vários trabalhos, embora tenha ficado conhecido por sua obra chamada Os Elementos, uma coletânea de 13 livros que reúne quase todo o conhecimento matemático da época. Tal obra foi muito respeitada, tanto que desde os seguidores de Euclides até hoje, a maioria dos livros sobre Geometria baseiamse nela. Podemos verificar a importância e relevância da obra de Euclides nas palavras de Eves: Nenhum trabalho, exceto a Bíblia, foi tão largamente usado ou estudado e, provavelmente, nenhum exerceu influência maior no pensamento científico. (EVES, 2004, p.167). Engana-se quem acredita que a obra Os Elementos trata apenas de geometria, esta coletânea contém muito a respeito da teoria dos números e também da álgebra elementar. Além da importância do conteúdo da obra, composto por definições, postulados, axiomas, teoremas, entre outros, o que chama a atenção é a maneira formal com que estes são apresentados. No livro I da obra Os Elementos encontramos os seguintes postulados: 1. Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto. 2. Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta. 3. E, com todo centro e distância, descrever um círculo. 4. E serem iguais entre si todos os ângulos retos. 5. E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça os ângulos interiores e do mesmo lado menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas retas, ilimitadamente, encontrarem-se no lado no qual estão os menores do que dois retos. (EUCLIDES, 2009, p.98). 1 Esta obra também é citada na literatura como Elementos de Euclides, ou ainda Elementos. No presente trabalho, me referirei a ela como Os Elementos.

11 Os dois primeiros postulados garantem a existência de uma reta determinada por dois pontos, o terceiro estabelece a existência de um círculo, dados o centro e o raio e, o quarto afirma que todos os ângulos de 90º (retos) são congruentes entre si. No entanto aquele que merece maior atenção é o quinto postulado, conhecido como postulado das paralelas, que se diferencia dos outros por não ser evidente por si mesmo e nem facilmente compreensível. A negação e a tentativa de provar o quinto postulado de Euclides, na forma de um teorema ou de uma proposição, levaram à várias descobertas realizadas por diversos matemáticos ao longo dos anos, através das quais chegamos ao conceito de geometrias não-euclidianas. 2.1 O SURGIMENTO DAS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS Euclides enfrentou algumas dificuldades ao definir retas paralelas como retas coplanares que não se interceptam por mais que sejam prolongadas infinitamente, e admitindo como verdade o postulado das paralelas. Para os gregos antigos o postulado das paralelas parecia mais uma proposição do que um postulado verdadeiramente e, já nessa época, vários matemáticos acreditavam que este pudesse ser demonstrado a partir dos anteriores. A tentativa de provar o postulado das paralelas ocupou os geômetras por mais de 2000 anos. Foram dadas várias demonstrações deste postulado, mas sempre acabavam descobrindo que cada uma baseava-se em uma suposição equivalente a ele. Essa tentativa de demonstração foi retomada nos tempos modernos pelo matemático italiano Girolamo Saccheri (1667 1733), e foi considerada a primeira investigação verdadeiramente científica do postulado das paralelas. Saccheri leu Os Elementos e se encantou com o método de redução ao absurdo, e mais tarde teve a idéia de aplicá-lo no estudo do quinto postulado de Euclides. Neste trabalho Saccheri aceita as vinte e oito proposições iniciais de Os Elementos, as quais não necessitam do postulado das paralelas em sua demonstração, e a partir daí desenvolveu uma série de teoremas nos quais utiliza os quatro primeiros postulados e os resultados anteriores para prová-los. Segundo Eves (2004), com a ajuda desses teoremas Saccheri dá início ao estudo de um quadrilátero ABCD, no qual os ângulos e são retos e os lados AD

e BC são congruentes. Traçando as diagonais AC e BD e utilizando o teorema de congruência, Saccheri constatou que os ângulos e também são congruentes, o que nos leva a três possibilidades: estes ângulos são agudos, retos ou obtusos. Seu plano de trabalho consistia em mostrar que a hipótese do ângulo agudo e a do ângulo obtuso levam a uma contradição, chegando assim, pelo método de redução ao absurdo, que estes ângulos são retos, o que, segundo Saccheri implica no postulado das paralelas. No decorrer de sua teoria Saccheri encontrou consideráveis dificuldades e, após desenvolver uma série de teoremas, agora habituais da geometria não- euclidiana, forçou uma contradição de suas ideias através de elementos infinitos. Se Saccheri não tivesse forçado este resultado sem dúvida, os méritos da descoberta da geometria não-euclidiana caberiam a ele. (EVES, 2004, p.540). A descoberta da não existência desta contradição só aconteceu anos após a publicação de Saccheri, quando seu conterrâneo Eugênio Beltrami descobriu o trabalho. O trabalho de Saccheri teve pouca consideração em sua época, e ele mesmo não se deu conta do significado de sua obra, nem de longe percebeu que ela se constituiria no germe de uma das mais fecundas descobertas de todo o pensamento humano e, em particular, no campo restrito da geometria. (BRITO; MORAES, 1998, p.114). De maneira bem semelhante à de Saccheri, Johann Heinrich Lambert (1728 1777) tentou provar o postulado das paralelas. Assumindo um quadrilátero com três ângulos retos, chegou a conclusão de que havia três possibilidades para o quarto ângulo: agudo, reto ou obtuso. No entanto, ao contrário de Saccheri, Lambert parece ter consciência de não ter conseguido a demonstração, pois afirmou que 12 provas do postulado de Euclides podem ser levadas até um ponto tal que aparentemente só falta uma bagatela. Mas a análise cuidadosa mostra que nessa aparente bagatela está o cerne da questão; usualmente ela contém ou a proposição que se quer provar ou um postulado equivalente a ele. (BOYER, 1996, p.320). A não existência de uma contradição nos estudos de Saccheri e de Lambert, quando se trata da hipótese do ângulo agudo, que levaria à demonstração do 5 postulado está ligada ao fato de que a geometria desenvolvida a partir de uma coleção de axiomas compreendendo um conjunto básico acrescido da hipótese do ângulo agudo é tão consistente quanto a geometria euclidiana desenvolvida a partir do mesmo conjunto básico acrescido da hipótese do ângulo reto, isto é, o postulado das paralelas é independente dos demais postulados e devido a isso não pode ser deduzido dos demais. (EVES, 2004, p. 541).

13 Os primeiros matemáticos que se deram conta deste fato foram o alemão Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), o húngaro Janos Bolyai (1802-1860) e o russo Nicolai Ivanovitch Lobachevsky (1793-1856); os quais abordaram o postulado das paralelas sob três aspectos: por um ponto dado pode se traçar uma, mais de uma ou nenhuma reta paralela a uma reta dada, o que é equivalente às hipóteses do ângulo agudo, reto e obtuso. Independentemente, cada um deles desenvolveu uma série de termos geométricos levando em consideração a hipótese do ângulo agudo. Acredita-se que Gauss foi o primeiro a obter conclusões a partir da hipótese do ângulo agudo, mas como nunca publicou nada a respeito é difícil afirmar com certeza, deixando assim os méritos da descoberta da geometria não-euclidiana à Lobachevsky e Bolyai. No Kazan Messenger de 1829, Lobachevsky publicou o artigo Sobre os Princípios da Geometria, que marca o nascimento oficial da geometria nãoeuclidiana. (BOYER, 1996, p. 360). Já nesta época convenceu-se de que o postulado das paralelas não pode ser demonstrado a partir dos outros, e assim foi o primeiro matemático a publicar uma geometria que confronta diretamente o postulado em questão. Fonkar Bolyai (1775 1856), professor de Matemática, amigo particular de Gauss, passou parte de sua vida tentando demonstrar o quinto postulado de Euclides, transmitindo sua sina ao filho, Janos Bolyai (1802 1860). Este, após muitos esforços chegou às mesmas conclusões que Lobachevsky chegara pouco antes. Ao invés de tentar provar o postulado desenvolveu o que chamou de Ciência Absoluta do Espaço, partindo da hipótese de que por um ponto não sobre uma reta, não uma, mas infinitas retas podem ser traçadas no plano, cada uma paralela à reta dada (BOYER, 1996, p.361), o que foi publicado na forma de um apêndice do trabalho de seu pai. Durante muito tempo a geometria não-euclidiana foi uma parte da Matemática não totalmente aceita pelos matemáticos, esta aceitação só veio com os estudos de Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), que propunha uma geometria que vai além de saber quantas paralelas é possível traçar por um ponto. Riemann viu que a geometria nem sequer deveria necessariamente tratar de pontos ou retas ou do espaço no sentido ordinário, mas de coleções de n-uplas que são combinadas segundo certas regras. (BOYER, 1996, p.377). Seus estudos são

14 caracterizados como uma importante vertente no desenvolvimento das geometrias não-euclidianas. Uma das consequências da consolidação da geometria não-euclidiana foi o término do problema do postulado das paralelas, ficou caracterizado que ele é independente dos outros postulados, logo não pode ser deduzido ou provado como um teorema. A criação das geometrias não-euclidianas, puncionando uma crença tradicional e rompendo com um hábito de pensamento secular, desferiu um golpe duro no ponto de vista da verdade absoluta em matemática. (EVES, 2004, p.545). 2.2 AS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS NA EDUCAÇÃO BÁSICA No âmbito escolar Os Elementos também estão presentes de maneira significativa. Tradicionalmente o ensino de Geometria em sala de aula baseia-se quase que em sua totalidade nesta obra de Euclides. No entanto, com a propagação das geometrias não-euclidianas, sua abordagem na educação básica vem sendo discutida pelos educadores. De acordo com as Orientações Curriculares para o Ensino Médio Matemática (Brasil, 2006), o estudo da geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas do cotidiano, o que, segundo as Diretrizes Curriculares Estaduais do Paraná (DCE) de Matemática, é possibilitado pela geometria não-euclidiana. De fato, muitos problemas do cotidiano e do mundo científico só são resolvidos pelas geometrias não-euclidianas. (PARANÁ, 2008, p.56). Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN's) de Matemática, documento que têm por objetivo unificar o processo educativo no país, afirmam, em relação às geometrias não-euclidianas, que uma instância importante de mudança de paradigma ocorreu quando se superou a visão de uma única geometria do real, a geometria euclidiana, para aceitação de uma pluralidade de modelos geométricos, logicamente consistentes, que podem modelar a realidade do espaço físico. (BRASIL, 1998, p.25). Apesar da inserção das geometrias não-euclidianas ser defendida nos documentos citados anteriormente, ainda é difícil encontrar professores que trabalhem com elas em sala de aula. Uma das possíveis causas desta ausência

15 pode estar ligada ao fato destas nem sempre estarem inclusas nas estruturas curriculares dos cursos de graduação, ficando a cargo da formação continuada de cada professor. Essa ausência tem levado os alunos (também uma grande parte dos professores) a crer que a Geometria Euclidiana é a única geometria possível e presente em nosso mundo (VEJAN; FRANCO, 2008, p.3), e isto nos conduz a outro aspecto positivo em relação à inserção das geometrias não-euclidianas em sala de aula: levar os alunos a conhecer, interpretar e refletir acerca de outras geometrias. As geometrias não-euclidianas que, segundo as DCE de Matemática do Paraná (2008), devem ser trabalhadas no Ensino Fundamental são: topológica, onde deverão ser abordados conceitos de interior, exterior, fronteira, vizinhança, conexidade, curvas e conjuntos abertos e fechados; projetiva, através da qual deverão ser trabalhados conceitos de pontos de fuga e linhas do horizonte; fractais, onde serão trabalhados algumas noções básicas. Já no Ensino Médio, o mesmo documento propõe que sejam abordadas as seguintes geometrias não-euclidianas: projetiva, onde serão aprofundados os estudos feitos no ensino fundamental; fractais, onde poderão ser explorados o floco de neve e a curva de Koch, triângulo e tapete de Sierpinski; hiperbólica, fundamentando-se no postulado de Lobachevsky, e partindo do conceito de pseudo-esfera, pontos ideais, triângulo hiperbólico e a soma de seus ângulos internos; elíptica, onde serão trabalhados o postulado de Riemann, curva na superfície esférica e discutir o conceito de geodésia; círculos máximos e círculos menores; distância na superfície esférica; ângulo esférico; triângulo esférico e a soma das medidas de seus ângulos internos; classificação dos triângulos esféricos quanto à medida dos lados e dos ângulos; os conceitos referentes à superfície da Terra: pólos, equador, meridianos, paralelos e as direções de movimento. No presente trabalho nos aprofundaremos apenas no estudo da Geometria Fractal.

3 A GEOMETRIA FRACTAL No decorrer do tempo a busca por descrever os fenômenos da natureza tornou-se objeto de estudo de vários matemáticos, sendo que alguns destes recorreram à ajuda de entes geométricos. Porém, ao tentar realizar estes estudos encontraram um grande problema, dado que nuvens não são esferas, montanhas não são cones, linhas costeiras não são círculos, e uma casca de árvore não é lisa, tampouco um feixe de luz viaja em linha reta. (MANDELBROT, 1977, p.1 apud EBERSON, 2004, p.15). Em seu trabalho, Benoît Mandelbrot (1924 2010) dá início ao estudo de objetos antes considerados inúteis, os quais pela sua simplicidade, diversidade e extraordinária extensão das suas novas aplicações, merecem ser rapidamente integrados na geometria elementar. (MANDELBROT, 1998, p.13). Pela necessidade de uma denominação para estes objetos, Mandelbrot os chama de objetos fractais, ou simplesmente fractais, derivando do adjetivo latino fractus, que significa irregular ou quebrado. Assim consideramos a Geometria Fractal 2 como o estudo dos fractais. 3.1 NOÇÕES DE GEOMETRIA FRACTAL Em Objectos Fractais (1998), Mandelbrot questiona a necessidade de uma definição matemática para fractais. Nesta obra leva em consideração a caracterização destes objetos de forma intuitiva, evitando defini-los matematicamente de forma compacta. Sua justificativa é que se assim procedi, foi por receio de me envolver nos pormenores sem obter contrapartida concreta. (MANDELBROT, 1998, p.175). Mandelbrot, citado por Barbosa (2005, p.18) propõe uma primeira definição: um fractal é, por definição, um conjunto para o qual a dimensão Hausdorff- Besicovitch 3 excede estritamente a dimensão topológica. No entanto esta definição 2 Esta geometria é não-euclidiana, mas não nega o quinto postulado de Euclides. Sua principal diferença em relação à geometria euclidiana é a dimensão. 3 dimensão que pode tomar valores não inteiros, é igual à dimensão topológica para alguns conjuntos, por exemplo o. Já para os fractais essa dimensão é diferente da sua dimensão topológica.

recebeu várias críticas, além de que é preciso um estudo aprofundado de conceitos de Topologia para a sua compreensão. Seguindo seu questionamento, Mandelbrot (1998, p.176) acaba por definir um conjunto fractal de dimensão D como sendo um conjunto para o qual D é um real não inteiro, ou um conjunto para o qual D é um inteiro, mas o todo é <<irregular>> No léxico de Objectos Fractais aparece uma possível definição para fractal: 17 Diz-se de uma figura geométrica ou de um obcjeto natural que combine as seguintes características: a) As suas partes têm a mesma forma ou estrutura que o todo, estando porém a uma escala diferente e podendo estar um pouco deformadas. b) A sua forma é ou extremamente irregular ou extremamente interrompida ou fragmentada, assim como todo o resto, qualquer que seja a escala de observação. c) Contém <<elementos distintos>> cujas escalas são muito variadas e cobrem uma vasta gama. (MANDELBROT, 1998, p.171). K. J. Falconer, autor de dois importantes livros sobre fractais, sugeriu então o entendimento de fractal por caracterizações. Citado por Barbosa (2005, p. 18-19), afirma que um conjunto F é fractal se: - F possui alguma forma de auto-similaridade ainda que aproximada ou estatística; - A dimensão fractal, definida de alguma forma, é maior que a sua dimensão topológica; - O conjunto F pode ser expresso através de um procedimento recursivo ou iterativo. Como podemos observar pelas citações acima, não há uma definição formal bem estruturada para fractal, no entanto essa dificuldade não deve ser obstáculo na Educação, à qual pode simplesmente convir uma conceituação simples e de fácil entendimento. Bastará considerarmos a auto-similaridade. (BARBOSA, 2005, p. 19). 3.1.1 Auto-similaridade nos fractais Uma das principais características dos fractais é a auto-similaridade, também chamada de auto-semelhança, ou seja, estes objetos constituem uma imagem de si, própria em cada uma de suas partes. (BARBOSA, 2005, p.9). Embora o termo auto-semelhante seja intuitivamente claro, uma definição matemática precisa para ele não é escrita facilmente. Podemos justificar esta afirmação analisando um objeto auto-semelhante da natureza como a couve-flor (Figura 1), sua auto-semelhança se dá até certo grau de redução no fator de escala. Além disso, a couve-flor pode se decompor em sua estrutura molecular, composta

de átomos e partículas elementares, que, obviamente, não são auto-semelhantes ao todo. (JANOS, 2008, p.41). 18 Figura 1 Couve-flor romanesca Disponível em: <http://bdasartes.blogspot.com/2011/01/couve-romanesca-fractal-natural.html>. Acesso em: 15 ago. 2011. Para exemplificar a auto-semelhança em fractais clássicos tomemos a curva de Koch (Figura 2). Observando esta curva podemos concluir que cada uma de suas partes é a própria curva, indicadas na figura pelas setas azuis. O mesmo ocorre com os outros fractais. Figura 2 Auto semelhança na Curva de Koch Disponível em: <http://www.di.ufpe.br/~if114/monografias/l-systems/gramaticas/node22.html>. Acesso em: 15 ago. 2011. 3.1.2 Dimensão fractal A dimensão fractal é uma característica fundamental destes objetos. Para entendermos melhor o conceito de dimensão, relembremos a dos objetos euclidianos: [...] o espaço em que vivemos é de dimensão 3, [...]; já as figuras planas, como o quadrado, são de dimensão 2; enquanto os segmentos de reta são de dimensão 1; e os pontos, de dimensão zero. (BARBOSA, 2005, p.66). Ao contrário do que ocorre na Geometria Euclidiana, na Geometria Fractal a

19 dimensão é a medida do grau de irregularidade e de fragmentação dos fractais, e ainda, segundo Mandelbrot (1998), a dimensão fractal pode ser um número fracionário ou um número irracional, o que leva os fractais a serem chamados de objetos de dimensão fracionária. Os fractais têm dimensões diferentes e próprias de cada imagem. Uma curva irregular tem dimensão entre um e dois, enquanto uma superfície irregular tem dimensões entre dois e três. (ALMEIDA, 2006, p. 45). Na Figura 3 encontra-se uma comparação entre as dimensões euclidiana e fractal. Figura 3 Comparação entre a dimensão Euclidiana e a dimensão fractal Fonte: FERNANDES, J. A. Fractais: Uma nova visão da Matemática. 2007. 45f. Monografia (Graduação em Matemática) UNILAVRAS, Lavras, 2007. A fórmula utilizada para descobrir a dimensão de um objeto fractal, segundo Barbosa (2005, p.68), é: ou Se quisermos calcular a dimensão de um fractal como o triângulo de Sierpinski, por exemplo, temos que observar o número de peças que ele contém: Figura 4 Triângulo de Sierpinski Disponível em: <http://en.wikipedia.org/wiki/file:sierpinskitriangle.png>. Acesso em: 18 ago. 2011.

20 Observando a Figura 4 podemos perceber que o número de triângulos triplica a cada iteração e o comprimento de cada lado é reduzido à metade. Assim concluímos que o número de peças é e o fator de aumento é, substituindo estes valores na fórmula temos Logo concluímos que a dimensão do triângulo de Sierpinski está entre um e dois. Da mesma forma podemos calcular a dimensão de outros fractais. 3.2 ALGUNS DOS FRACTAIS MAIS FAMOSOS Sabemos que o primeiro a utilizar a palavra fractal foi Mandelbrot, no entanto objetos com características semelhantes a estes já haviam sido estudadas anteriormente, os quais deram contribuição aos estudos deste matemático. Alguns deles permanecem como belas exemplificações do conceito, não só pela posição precursora, mas sobretudo, talvez, pelas extensões ou generalizações possíveis. (BARBOSA, 2005, p.23). Estas figuras criadas por matemáticos anteriormente à Mandelbrot eram consideradas estranhas que desafiavam o enquadramento nas definições convencionais da geometria euclidiana e, por isso, foram chamados de monstros matemáticos. (JANOS, 2008, p.1). Abaixo apresento alguns dos fractais mais conhecidos. 3.2.1 Conjunto de Cantor O conjunto de Cantor é talvez o primeiro objeto reconhecido como fractal. (JANOS, 2008, p.1). Seu criador é o famoso matemático Georg Cantor (1845 1918), considerado por Mandelbrot (1998) o precursor quando se trata de geometria fractal. Tal conjunto é construído em um trabalho publicado por Cantor em 1883 e também é conhecido como Poeira de Cantor. Para construir o Conjunto de Cantor consideramos um segmento de reta unitário e o dividimos em três partes iguais, removendo a parte central. Em seguida repetimos este mesmo processo sucessivamente. Ao realizar o processo infinitas vezes chamamos de Conjunto de Cantor o conjunto dos pontos que sobraram após

21 remover infinitos segmentos (JANOS, 2008, p.2). Figura 5 Conjunto de Cantor Disponível em: <http://www.orfeuspam.com.br/apostilas/7_upe/fractais_natureza.htm>. Acesso em: 15 ago. 2011. 3.2.2 Curva e Floco de Koch A Curva de Koch foi introduzida por volta de 1904 pelo matemático polonês Helge Von Koch (1870 1924). Este fractal foi o primeiro utilizado por Mandelbrot numa tentativa de responder uma de suas famosas indagações: quanto mede a costa da Grã-Bretanha?, logo depois encontrou outros tipos de fractais que se adaptaram melhor à situação. O processo de obtenção da curva de Koch é bem simples: primeiramente consideramos um segmento de reta e o dividimos em três partes iguais, retirando a parte central. Na parte central construímos um triângulo equilátero e retiramos a base. Em seguida repetimos este processo nos quatro segmentos restantes, e assim sucessivamente. A figura abaixo apresenta algumas iterações realizadas da curva de Koch. Figura 6 Curva de Koch Disponível em: <http://www.natcomp.com.br/lvcon/tema?tema=6>. Acesso em: 15 ago. 2011. Uma versão da curva de Koch é o que conhecemos por floco de neve de Koch ou ainda ilhas de Koch, onde, ao invés de começarmos as iterações com um segmento de reta, iniciamos com um triângulo equilátero e construímos uma curva

22 de Koch em seus lados. Figura 7 Floco de Neve de Koch Disponível em: <http://www.orfeuspam.com.br/apostilas/7_upe/fractais_natureza.htm>. Acesso em: 15 ago. 2011. Uma característica fractal claramente presente na curva de Koch é a autosemelhança, pois escolhendo um segmento qualquer em alguma iteração, este gerará uma curva semelhante a curva completa de Koch. A mesma coisa ocorre para o floco de neve, já que em cada lado do triângulo inicial constrói-se uma curva de Koch. 3.2.3 Triângulo e tapete de Sierpinski O triângulo de Sierpinski foi criado por Waclaw Sierpinski (1882 1969), matemático polonês que em 1916 publicou um dos famosos monstros matemáticos. Para a construção do triângulo de Sierpinski começamos com um triângulo equilátero, sobre o qual marcamos o ponto médio de cada um dos três lados. Unindo estes pontos obtemos quatro triângulos iguais, dos quais eliminamos o central. Em seguida repetimos as mesmas instruções nos três triângulos restantes, obtendo assim nove triângulos iguais, e assim sucessivamente, como na figura abaixo: Figura 8 Triângulo de Sierpinski Disponível em: <http://docentes.educacion.navarra.es/cmartine/fractales1.htm>. Acesso em: 15 ago. 2011.

23 Podemos utilizar a mesma técnica da construção do triângulo de Sierpinski partindo de um quadrado ao invés de um triângulo, onde o dividimos em nove quadrados menores iguais, eliminando o central. Aplicando este processo nos oito quadrados restantes e assim indefinidamente obtemos o tapete de Sierpinski, como na Figura 9. Figura 9 Tapete de Sierpinski Disponível em: <http://www.orfeuspam.com.br/apostilas/7_upe/fractais_natureza.htm>. Acesso em: 15 ago. 2011. Como nos fractais anteriores, a cada nova iteração, obtemos figuras indistinguíveis das anteriores numa escala menor, o que caracteriza uma autosemelhança. (JANOS, 2008, p.31). 3.2.4 Esponja de Menger A esponja de Menger recebe este nome em homenagem ao matemático austríaco Karl Menger (1902 1985). A construção deste fractal é feita da seguinte forma: consideramos um cubo, dividimos cada um de seus lados em nove quadrados, os quais formarão 27 cubinhos. Destes, retiramos a peça central do cubo e cada um dos seis centrais de cada face. Em seguida repetimos este processo para cada um dos cubos restantes. Figura 10 Esponja de Menger Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/esponja_de_menger>. Acesso em: 15 ago. 2011.

Ao observar a esponja de Menger podemos concluir que cada uma de suas faces é um tapete de Sierpinski. 24 3.2.5 Fractal de Mandelbrot Como podemos perceber pela Figura 11, o fractal de Mandelbrot não é uma forma encontrada facilmente na natureza como outros fractais. Sua construção é diferenciada das demais: só pode ser feita com o auxílio de uma máquina. Obtemos o fractal de Mandelbrot através de uma função iterativa com um sistema de duas equações: onde cada ponto é obtido a partir do anterior. Como em todos os fractais, a última imagem gerada é composta pelos pontos da última interação. (JANOS, 2008, p.82). Abaixo se encontram os passos da construção deste fractal, segundo Janos (2008), onde o autor considera uma máquina em que cada nova imagem que entra é a última cópia que saiu: i. desenha-se um círculo de raio 2, com centro na origem do plano (x, y); ii. escolhe-se um valor para a e um para b; iii. utilizando estes valores de a e b, calcula-se os pontos x n e y n, e faz-se um número de interações n = 100, por exemplo; iv. acionar a máquina de transportar pontos nas equações dadas acima até chegar em n = 100; v. seleciona-se novos valores para a e b, voltando ao passo iii. À medida que aumentamos o número de iterações a imagem vai aparecendo claramente, o que ocorre por volta de 50 iterações. O fractal de Mandelbrot já foi chamado de o mais complexo objeto da matemática. Em seu interior, infinitas regiões podem ser observadas. (JANOS, 2008, p.87).

25 Figura 11 Fractal de Mandelbrot Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/fractal>. Acesso em: 15 ago. 2011. 3.2.6 Curva de Peano Este fractal recebe o nome curva de Peano em tributo ao seu criador Giusepe Peano (1858 1932). Sua construção parte de um segmento de reta, o qual é substituído por uma curva com nove segmentos, como na Figura 12 (passo 1). Em seguida substituímos cada segmento pela curva de nove segmentos (passo 2), e assim sucessivamente. Figura 12 Curva de Peano Disponível em: <http://www.natcomp.com.br/lvcon/tema?tema=6>. Acesso em: 15 ago. 2011. 3.2.7 Curva de Hilbert A curva de Hilbert foi criada pelo matemático David Hilbert (1862 1943) levada ao público em 1891 num encontro em Bremen (Alemanha). Para construir esta curva partimos de um quadrado e o dividimos em quatro quadrados, onde marcamos os pontos centrais de cada um destes. Damos início à

26 curva com três segmentos consecutivos, onde seus extremos são os pontos anteriormente citados. Em seguida substituímos cada quadrado por quatro novos quadrados e procedemos da mesma maneira do passo anterior, ligando cada curva parcial com um segmento na mesma ordem das anteriores, e assim sucessivamente, como na figura. Figura 13 Curva de Hilbert Disponível em: <http://www.dainf.ct.utfpr.edu.br/~ionildo/wavelet/cap3.htm>. Acesso em: 15 ago. 2011. 3.3 O ENSINO DE GEOMETRIA FRACTAL Em seus primeiros estudos Benoît Mandelbrot, o pai dos fractais, faz uma afirmação sobre a inserção destes objetos na educação: Estas figuras geométricas nunca tiveram quaisquer hipóteses de entrar no campo de ensino, mal passando do estado de espantalho <<moderno>> que, mesmo a título de exemplo, era demasiado específico para merecer qualquer atenção. [...] Demonstro que a carapaça formalista que as isolou impediu a revelação de seu verdadeiro significado: do facto de estas figuras terem algo de extremamente simples, concreto e intuitivo. (MANDELBROT, 1998, p.19). Com o passar dos anos a geometria fractal foi se tornando objeto de estudo de vários matemáticos, ganhou espaço no cenário educacional, e sua inclusão é defendida por vários estudiosos da área. na educação: Nos PCN s de Matemática encontramos um breve comentário sobre fractais O advento posterior de uma multiplicidade de sistemas matemáticos teorias matemáticas evidenciou, por outro lado, que não há uma via única ligando a Matemática e o mundo físico. [...] Além disso, essa multiplicidade amplia-se, nos tempos presentes, com o tratamento cada vez mais importante dos fenômenos que envolvem o acaso [...] e daqueles relacionados com noções matemáticas de caos e de conjuntos fractais. (BRASIL, 1998, p.25). Já nas Diretrizes Curriculares Estaduais do Paraná, a inserção desta nova área de estudo da Matemática encontra-se claramente defendida, anteriormente citada no item 2.2 do presente trabalho.

Barbosa (2005, p.19-20) apresenta algumas razões para a inclusão dos fractais em sala de aula: 27 - conexões com várias ciências; - deficiências da Geometria Euclidiana para o estudo das formas da natureza [...] os objetos naturais são com freqüência mais complicados e exigem uma geometria mais rica que os modela com fractais [...]; - difusão e acesso aos computadores e a tecnologia da informática nos vários níveis de escolarização; - existência do belo nos fractais e possibilidade de despertar o senso estético com o estudo e arte aplicada à construção de fractais, [...]; - sensação de surpresa diante da ordem na desordem. Especificamente para o Ensino Médio, Sallum (2005, p.1) comenta sobre a interação dos fractais com os demais conteúdos a serem estudados nesta etapa educacional: A introdução de fractais no ensino médio, além de satisfazer a curiosidade de quantos já ouviram falar neles, propicia a oportunidade de trabalhar com processos iterativos, escrever fórmulas gerais, criar algoritmos, calcular áreas e perímetros de figuras com complexidade crescente, introduzir uma idéia intuitiva do conceito de limite e é um excelente tópico para aplicação de progressões geométricas e estímulo ao uso de tabelas. Com base nas afirmações acima é que partimos para uma proposta de ensino via Geometria Fractal articulada com o conteúdo Progressão Geométrica.

28 4 UMA PROPOSTA DE ENSINO VIA GEOMETRIA FRACTAL A presente proposta para o ensino de progressão geométrica foi desenvolvida para ser trabalhada com alunos do Ensino Médio, pois segundo as Diretrizes Curriculares Estaduais de Matemática (2008), é nesta etapa que se ensina esse conteúdo. Para chegarmos a este conceito utilizaremos a Geometria Fractal, que também deve ser abordada no Ensino Médio. Considero aqui que a atividade será proposta a estudantes do 1º ano. Os teoremas apresentados no decorrer desta proposta de ensino não foram elencados com o intuito de demonstrá-los aos alunos, mas sim para que se faça uma discussão acerca de seus enunciados. Para aplicar esta proposta é necessário que os alunos já tenham conhecimento sobre fractais, caso contrário o professor deve fazer uma introdução, conceituando e exemplificando os mesmos, e quando os alunos já tiverem certa familiaridade com o assunto, pode-se dar início às atividades propostas. Salientamos também que os alunos devem conhecer o software matemático GeoGebra, encontrado nos laboratórios de informática das escolas públicas estaduais do Paraná, e que saibam mexer com suas ferramentas. Caso essa não seja a realidade da turma é preciso que o professor disponha de um tempo para que possam tomar conhecimento do funcionamento deste software. Para dar início o professor irá propor aos alunos a construção da curva de Koch utilizando o GeoGebra, e para fazer esta construção os alunos deverão seguir os passos que lhes forem passados. Aqui é possível que, ao invés do professor explicar os passos da construção, entregue aos alunos um manual que contenha estas orientações para que eles as sigam, deixando um determinado tempo para que as realizem. A construção se inicia selecionando a ferramenta Novo ponto, através da qual marcamos dois pontos, A e B, na área de construção do software. A primeira iteração é feita selecionando a ferramenta Segmento definido por Dois Pontos e unindo o ponto A ao B. Para a segunda iteração digita-se no campo de entrada e 4 assim dividimos o segmento AB em três segmentos congruentes. Agora, seleciona-se a ferramenta Círculo definido pelo 4 Podemos verificar que estes pontos dividem o segmento em três partes iguais calculando as distâncias, onde percebemos que estas são iguais.

29 centro e um de seus pontos e clica-se primeiro no ponto C e depois no ponto D, originando a circunferência c; em seguida repete-se o processo, mas agora considerando D como centro e C o outro ponto, obtendo a circunferência d. Depois selecionamos a ferramenta Interseção de dois objetos, e clicamos primeiro na circunferência c e depois na d, obtendo os pontos E e F (Figura 14). Figura 14 Construção da Curva de Koch Fonte: a autora Para uma melhor visualização podemos ocultar os objetos que não serão mais utilizados, assim clica-se com o botão secundário do mouse sobre o objeto que se deseja ocultar e depois em Exibir objeto. Fazemos este processo para as circunferências c e d, para o ponto F e para o segmento a. Para obter o estágio final da segunda iteração basta selecionar a ferramenta Segmento definido por dois pontos, e traçar os segmentos AC, CE, ED e DB. Agora vamos criar uma nova ferramenta para fazer as próximas iterações, para isto clicamos na aba Ferramentas >> Criar uma nova ferramenta, aparecerá uma janela onde teremos de informar os objetos iniciais, os finais e um nome para a nova ferramenta. Os objetos finais são os pontos C, D e E, e os segmentos AC, CE, ED e DB, os objetos iniciais são os pontos A e B, e o nome pode ser dado como Curva de Koch. Da maneira que construímos a curva, antes de partir para a próxima iteração é preciso ocultar os segmentos da iteração anterior (clica-se sobre eles com o botão secundário do mouse e depois em Exibir objeto). Por exemplo, antes de fazer a terceira iteração precisamos ocultar os segmentos AC, CE, ED e DB. Com a ferramenta pronta podemos utilizá-la para construir outras iterações da curva de Koch. Para a terceira iteração selecionamos a ferramenta Curva de Koch e clicamos sobre os pontos A e C, nesta ordem, sobre os pontos C e E, depois em E e D, e para terminar clica-se em D e em B. A ordem que se deve clicar é a

escrita acima, se a invertermos também inverteremos a posição da curva. Abaixo apresentamos algumas iterações da curva de Koch. 30 Figura 15 Cinco primeiras iterações da curva de Koch Fonte: a autora É importante que durante a construção feita pelos alunos o professor observe o trabalho deles e os auxilie, caso seja necessário. Após o término desta etapa, o professor pede que os alunos sentem-se em duplas para fazer a análise das quatro primeiras iterações da curva de Koch, orientando os mesmos a fazerem uma tabela que contenha para cada iteração a quantidade de segmentos, o comprimento de cada segmento (considerando o inicial de medida uma unidade) e o comprimento total da curva, como no quadro abaixo. Iteração Nº de segmentos Comprimento cada segmento de Comprimento curva da Quadro 1 Análise da Curva de Koch Fonte: Adaptado de: FUZZO, R. A.; SANTOS, T. S. dos.; REZENDE, V. Geometria fractal para sala de aula: como calcular a costa marítima do Brasil. In: ENCONTRO GAÚCHO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 10, 2009, Ijuí. Anais eletrônicos... Ijuí: Unijuí, 2009. Disponível em: <http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cd_egem/fscommand/cc/cc_34.pdf>. Acesso em: 21 ago. 2011. Os alunos podem apresentar dificuldades quando forem calcular o comprimento de cada segmento nas iterações 3 e 4, assim o professor deve orientálos a analisar como construíram a curva, para que a partir daí possam chegar às conclusões. Outro fato que pode ocorrer é o de os alunos quererem utilizar a ferramenta Distância, Comprimento ou Perímetro para descobrir o comprimento de

31 cada segmento, e neste caso o professor deve orientá-los a descobrir sem usar tal ferramenta, pensando no comprimento inicial como uma unidade. Após o término desta atividade o professor deve propor questionamentos tais como: o que acontece com o número de segmentos a cada iteração realizada?, e com o comprimento de cada segmento?, de que forma está aumentando o comprimento da curva?, para que as duplas olhem os números obtidos na tabela e tentem enxergar relações entre eles. Dessa maneira espera-se que os alunos concluam que o número de segmentos, o comprimento de cada um deles e o comprimento da curva em cada iteração aumenta numa certa proporção, e que esta proporção não é a mesma nas três situações. Assim poderão concluir que: a) o número de segmentos na iteração 2 é quatro vezes o número de segmentos na iteração 1, o da iteração 3 é quatro vezes o número de segmentos da iteração 2, e assim sucessivamente; b) o comprimento de cada segmento na iteração 2 é, pois dividimos o segmento inicial em três partes iguais, o da iteração 3 será, pois dividimos o segmento que media em três partes iguais, e assim sucessivamente; c) o comprimento da curva é o número de segmentos vezes o comprimento de cada segmento, assim na iteração 2 temos que o comprimento da curva é, na iteração 3 temos. Para descobrir a relação entre os dois basta dividirmos o segundo pelo primeiro, o que resulta em. Da mesma forma podemos verificar que o resultado das outras iterações será o mesmo. Neste momento é interessante que o professor peça aos alunos que completem a tabela para outras iterações (cinco e seis, por exemplo) sem desenhálas no software, pois isso fará com que busquem um padrão entre os resultados já obtidos, para que assim consigam descobrir o que acontece com próximas iterações. É muito importante que ocorra um momento em que cada dupla irá expor aos colegas suas conclusões e questionamentos acerca da atividade, podendo assim encontrar diferentes maneiras de resolução, o que enriquece o debate e a atividade.

Depois de os alunos terem entendido o comportamento de cada item anterior o professor faz a ligação destes fatos com a progressão geométrica, expondo aos alunos sua definição: Chama-se progressão geométrica (P.G.) uma seqüência dada pela seguinte fórmula de recorrência: 32 em que a e q são números reais dados. (IEZZI; HAZZAN, 2004, p.24). Agora, conhecendo a definição de progressão geométrica, o professor pode pedir aos alunos que escrevam cada situação acima nos termos da definição de P.G. Assim teremos que a P.G. do número de segmentos será dada por: A P.G. do comprimento de cada segmento será: E a progressão geométrica do tamanho da curva é: Para encerrar esta atividade o professor deve explicar aos alunos os termos de uma progressão geométrica em cada caso. Em relação ao número de segmentos, por exemplo, a razão da P.G. é 4 e podemos obter esta quantidade em cada iteração, a partir do número de segmentos da iteração anterior. O mesmo pode ser feito para os outros casos: o comprimento de cada segmento e o comprimento da curva. Na segunda atividade desta proposta partimos para a obtenção da fórmula do termo geral de uma P.G., onde utilizaremos o triângulo de Sierpinski, também construído com o auxílio do software matemático GeoGebra. A construção aqui utilizada foi baseada na que se encontra no artigo Uma proposta para o ensino de geometria fractal por meio do software GeoGebra, de Fuzzo, Santos e Rezende (2010), seus passos podem ser entregues aos alunos na forma de um manual, e o professor deverá instruí-los e acompanhar o desenvolvimento. Inicialmente construiremos um triângulo equilátero, para isto utilizaremos a ferramenta polígono regular e criamos dois pontos A e B na área de construção do

33 software, aparecerá uma janela que pedirá quantos lados terá o polígono, aqui basta colocar 3 no campo destinado e daí clicar em OK, obtendo assim o polígono 1. Agora, para obter a segunda iteração do triângulo de Sierpinski marcamos os pontos médios dos segmentos AB, BC e AC, utilizando a ferramenta ponto médio ou centro, para isto basta clicar nos pontos A e B onde obteremos o ponto D; da mesma forma obtemos os pontos E e F, respectivamente. Utilizando a ferramenta polígono unimos os pontos D, E e F, obtendo o polígono 2 (Figura 16). Figura 16 Primeira iteração do triângulo de Sierpinski (I) Fonte: a autora Para remover o triângulo central basta mudar sua cor para branco, o que podemos fazer clicando com o botão direito do mouse no polígono 2 e depois em propriedades, aí selecionamos a aba cor e mudamos para a desejada, e em seguida clica-se na aba estilo em preenchimento, alterando-o para 100. Pode-se também explicar aos alunos como faz para mudar a cor de outros polígonos, o que pode ser feito utilizando o mesmo recurso. Assim nosso triângulo de Sierpinski ficará como na Figura 17. Figura 17 Primeira iteração do triângulo de Sierpinski (II) Fonte: a autora Para construir as outras iterações do triângulo de Sierpinski vamos criar uma nova ferramenta que as fará, clicamos em ferramentas >> Criar uma nova ferramenta, aparecerá na tela uma janela que pedirá os objetos iniciais, objetos

34 finais e um nome para ela. Os objetos iniciais são os pontos A, B e C, nessa ordem, e os objetos finais os pontos médios D, E e F, e o polígono 2. O nome para esta ferramenta pode ser dado como triângulo de Sierpinski. Assim clica-se em concluído, e aparecerá um ícone na barra de ferramentas do GeoGebra. Agora podemos criar um triângulo de Sierpinski utilizando esta ferramenta, com o número de iterações que for necessário. Na figura abaixo apresentamos algumas iterações deste fractal realizadas no GeoGebra. Figura 18 - Cinco primeiras iterações do triângulo de Sierpinski Fonte: a autora Neste momento, quando os alunos já aprenderam a construir o triângulo de Sierpinski, o professor deve pedir que construam cinco iterações deste fractal, onde é considerada como primeira iteração o triângulo equilátero construído inicialmente. Logo após esta construção pede-se que os alunos analisem as iterações feitas e anotem as conclusões acerca do número de triângulos restantes em cada iteração. É importante que troquem informações com os colegas, pois assim podem discutir e chegar a novas descobertas. Acredita-se que por já terem realizado a atividade anterior os alunos busquem encontrar padrões entre as iterações realizadas. Para salientar esta ideia, depois de deixar o tempo necessário para que a classe obtenha suas conclusões iniciais, o professor pode pedir que escrevam uma relação entre o número de triângulos que sobram a cada iteração comparando com a anterior. Para que os alunos possam entender o que acontece a cada iteração podem ser orientados a construir um quadro, e assim analisar esses números (Quadro 2). Nº de iterações Nº de triângulos Quadro 2 Quantidade de triângulos em relação ao número de iterações no triângulo de Sierpinski Fonte: a autora A partir daí espera-se que os alunos observem os padrões de uma iteração a outra e que possam escrever cada iteração de forma que se possa observar este

35 padrão. Chamando a iteração n de teremos o seguinte: a) Na iteração 1 temos somente um triângulo, logo ; b) na iteração 2 temos três triângulos restantes, assim ; c) na terceira iteração temos ; d) na quarta ; e) e na quinta iteração. Neste momento o professor pode questionar se a situação encontrada é uma progressão geométrica, esperando que os alunos confirmem e consigam justificar o porquê disto, dizendo, por exemplo, que o número de triângulos de uma iteração é três vezes o número de triângulos da iteração anterior. Prosseguindo com a atividade o professor deve orientar os alunos a escreverem os resultados obtidos para de maneira diferente, onde se possa enxergar a razão desta P.G. se relacionando com o número da iteração. Para isto acredita-se que os alunos concluirão que o número de triângulos nas iterações realizadas podem ser escritos na forma de potência de 3, mas nesta relação ainda não aparece o número da iteração, que pode ser obtida observando os expoentes da razão três. Na iteração 1, por exemplo, o expoente do 3 é zero, que podemos escrever como 1-1; na segunda iteração o expoente é 1, que é 2-1; o mesmo ocorre para as outras iterações. Assim podemos reescrever a expressão das iterações como:..... Os alunos podem ter algumas dificuldades em expressar o que foi colocado acima, assim a postura do professor deve ser a de auxiliador, onde fará questionamentos, dará dicas que possam ajudar na visualização do que acontece na situação. Para concluir esta parte da atividade é imprescindível que o professor incentive os alunos a discutirem sobre os métodos e estratégias para buscar a solução e as dificuldades encontradas durante suas resoluções. Neste momento o professor introduz a definição de termo geral de uma progressão geométrica, partindo dos resultados obtidos pelos alunos. Assim,

36 segundo Iezzi e Hazzan (2004) o termo geral de uma P.G., onde o primeiro termo e a razão são diferentes de zero ( e ), é. (1) Para encerrar esta atividade o professor pede aos alunos que escrevam o termo geral da P.G. que representa o número de triângulos restantes em cada iteração. Como na primeira iteração temos um triângulo e a razão é, agora substituindo estes valores na fórmula (1) temos:. Teorema: Na P.G., em que o primeiro termo é e a razão é, o n-ésimo termo é:. Demonstração: Sejam o primeiro termo e a razão de uma progressão geométrica. Vamos provar pelo princípio de indução. Para isto mostraremos primeiro que a expressão é válida para, logo:. Com isso concluímos que expressão é válida para 1. Agora suponhamos que seja válida para, vamos provar que vale também para. De fato, pela definição de P.G. temos que e como a expressão é válida para podemos substituí-la em seu lugar. Assim: O que prova que a expressão é válida para.. Para dar início a terceira atividade, onde introduziremos a soma dos n primeiros termos de uma P.G., novamente utilizaremos o GeoGebra, construindo agora o floco de neve de Koch. A primeira iteração deste fractal é um triângulo equilátero, e para construí-lo selecionamos a ferramenta polígono regular, criando dois pontos, A e B, na área de construção do software. Aparecerá na tela uma janela onde temos de colocar o número de pontos de tal polígono (três) e em seguida clicase em OK, obtendo o triângulo equilátero (polígono 1). Aqui, podemos tirar o preenchimento do polígono e aumentar a espessura da linha, para isto clicamos com o botão direito do mouse sobre o polígono 1 e em Propriedades, em seguida na aba Estilo alterando o preenchimento para zero e a espessura da linha para quatro, por

exemplo. Podemos também mudar a cor da linha, basta-se clicar na aba Cor e seleciona-se a cor desejada (Figura 19). 37 Figura 19 Primeira iteração do floco de neve de Koch Fonte: a autora Na próxima iteração precisamos construir uma curva de Koch em cada lado do triângulo equilátero, para isto utilizaremos a ferramenta criada na construção daquele fractal. Primeiramente ocultamos os segmentos AB, AC e BC, e depois selecionamos a ferramenta curva de Koch, clicamos nos pontos A e B, depois em A e C e para finalizar em B e C. Dessa maneira obtemos a segunda iteração do floco de neve. Na construção do floco de neve, assim como na da curva de Koch, é preciso que ocultemos os segmentos que aparecem antes de partir para a próxima iteração, pois caso contrário os segmentos que deveriam ser retirados continuarão aparecendo. Podemos ocultar estes segmentos clicando no ícone Mover, em seguida selecionamos a figura e clicamos com o botão direito do mouse sobre a seleção, na sequência em Propriedades, aparecerá uma janela na qual selecionamos a aba Básico. No lado esquerdo da tela aparecem os objetos selecionados: pontos, segmentos e triângulo, clicamos em segmento, o que selecionará todos os segmentos, assim desmarcamos o item Exibir objeto para ocultá-los. Na figura abaixo apresentamos as quatro primeiras iterações do floco de neve de Koch. Figura 20 Quatro primeiras iterações do floco de neve de Koch Fonte: a autora.

38 É suficiente que os alunos façam quatro iterações deste fractal, e como nas outras atividades o professor deve percorrer a sala orientando e auxiliando-os no decorrer da construção. Com as iterações do floco de neve prontas, o professor deve deixar um tempo para que os alunos as observem e também deve incentivá-los a olhar para cada iteração e tirar suas próprias conclusões. Devido à forma que construímos o floco, uma das possíveis conclusões pode ser a de que cada lado do triângulo é uma curva de Koch, o que leva os alunos a relembrarem a primeira atividade e consequentemente os resultados que nela obtiveram. Aqui, o professor pode optar por trabalhar com as características já estudadas na curva de Koch, com a diferença de que, para o floco de neve, teremos que multiplicar por três os resultados do Quadro 1. Nesta proposta analisaremos outras características presentes no floco de neve de Koch. Sendo assim, o professor deve propor a turma que observem o número de triângulos 5 que são acrescentados a cada iteração, e que para isto podem construir um quadro que represente esta situação (Quadro 3). Iteração Número de triângulos acrescentados Quadro 3 Número de triângulos acrescentados a cada iteração do floco de neve de Koch. Fonte: a autora. Com o quadro pronto, o professor deve orientar os alunos a verificarem se o número de triângulos acrescentados se comporta como uma progressão geométrica, e caso for escrever seu termo geral. Espera-se que os alunos observem a definição do termo geral de uma P.G. e cheguem à conclusão de que, como na primeira iteração não acrescentamos nenhum triângulo ( ) e zero multiplicado por qualquer número é zero, neste caso não se comportará como P.G. Neste momento o professor deve pedir que a turma desconsidere a primeira iteração e verifique se esta situação muda. Aqui, acredita-se que os alunos possam observar que será uma progressão geométrica onde o primeiro termo será e razão será, assim o termo geral será. Neste momento o professor deve pedir que os alunos observem o que 5 O triângulo aqui considerado não possui base, pois esta foi oculta na construção do floco de neve.

39 acontece com a área do floco de neve a cada iteração, considerando que o triângulo equilátero da primeira iteração possua lados iguais a uma unidade. Acredita-se que os alunos concluam que para descobrir a área do floco de neve é preciso calcular a área acrescentada a cada iteração. Assim é preciso calcular inicialmente a área do triângulo equilátero da primeira iteração, para isto é preciso relembrar como calcular a área de um triângulo,, onde b é a base e h é a altura, e também como encontrar a altura do triângulo utilizando o teorema de Pitágoras. Para isto consideremos o triângulo da figura abaixo, e calculemos sua altura: Figura 21 Triângulo equilátero com lado de uma unidade Fonte: a autora. Agora, podemos calcular a área deste triângulo: Chamando de a área acrescentada na iteração, para calcular precisamos lembrar que os triângulos desta iteração possuem lado igual a, pois dividimos o lado do triângulo inicial em três segmentos congruentes. Este triângulo está representado na figura abaixo:

40 Figura 22 Triângulo equilátero com lado igual a Fonte: a autora. A altura deste triângulo será e a área será. Como são acrescentados três triângulos, a área acrescentada será, ou seja: Seguindo o mesmo raciocínio o professor pode pedir que os alunos construam um quadro que represente a área acrescentada a cada iteração. Iteração Área acrescentada Quadro 4 Área acrescentada a cada iteração. Fonte: a autora. Neste momento o professor deve orientar os alunos a encontrar um padrão observando a área acrescentada em cada iteração comparando com a anterior, e novamente deve instruí-los a desconsiderar a primeira iteração. Espera-se que os alunos concluam que se trata de uma progressão geométrica onde o primeiro termo é e a razão é, e que assim possam escrever seu termo geral:. Agora, o professor deve pedir aos alunos que calculem a área total do floco de neve na quarta iteração, acredita-se que para isto somem a área inicial com as acrescentadas a cada iteração. Dessa forma teremos: