CAP4: Controle Estatístico do Processo (CEP) O principal objetivo do CEP é detectar rapidamente a ocorrência de causas evitáveis que produzam defeitos nas unidades produzidas pelo processo, de modo que a investigação e a ação corretiva possam ser realizadas antes que muitas unidades não-conformes sejam fabricadas. De uma forma geral, o que se busca com o CEP é a eliminação da variabilidade no processo, mesmo que isso seja teoricamente impossível. O que é um processo sob controle estatístico? Montgomery (2004, p. 96) diz que em qualquer processo de produção certa quantidade de variabilidade sempre existirá. Essa variabilidade natural ou ruído de fundo é o efeito cumulativo de muitas causas pequenas, essencialmente inevitáveis. Diz-se que um processo que opera apenas com as causas aleatórias de variação está sob controle estatístico. O que é um processo fora de controle? As variabilidades devidas a fontes como matéria prima defeituosa, máquinas desajustadas e erros de operadores são, geralmente, muito maiores do que o ruído de fundo e são conhecidas como causas atribuíveis. Um processo que opera na presença de causas atribuíveis está fora de controle. Os processos de produção podem operar longo tempo sob controle, produzindo itens aceitáveis, entretanto, quase que certamente, causas atribuíveis ocorrerão de maneira aparentemente aleatória, resultando em um deslocamento para um estado fora de controle. Exemplo 4.1: Consulte o artigo Causas_ Comuns_no_CEP.pdf Este artigo mostra como a exploração dos dados pode produzir melhoras contínuas no processo, mesmo que aparentemente figure como sob controle. Veja na figura 4.1 a dinâmica do CEP: Gráfico de controle Figura 4.1: Melhoria contínua do processo. É uma representação gráfica de uma característica da qualidade que foi medida ou calculada a partir de uma amostra. Contém uma linha central, representando o valor médio da característica da qualidade no estado de controle; duas linhas horizontais, chamadas limite superior de controle (LSC) e limite inferior de controle (LIC). Pontos que representam medidas da característica em questão, obtidas a partir de uma amostra (em geral de tamanho pequeno) em intervalo de tempo regular. Veja um exemplo típico na figura 4.2.
Limite Superior de controle Linha Central Limite Inferior de controle Figura 4.2: Um típico gráfico de controle A escolha dos limites de controle Devem ser definidas no planejamento dos gráficos de controle. Ao afastarmos os limites de controle da linha central, diminuímos o risco de erro tipo I, mas aumentamos a probabilidade de erro tipoii. No controle de processos, a cada amostra é realizado um teste da hipótese H 0 de que o processo está em controle estatístico para a variável considerada. H 0 : μ=μ 0 Região de aceitação = [LIC;LSC] Erro tipo I (alarme falso): Dizer que está fora de controle, quando está controlado (probabilidade α) Erro tipo II: Dizer que está sob controle, quando não está (probabilidade β) Os gráficos de controle, sejam de que tipo for, são estruturados a partir da linha central e dos limites inferior e superior de controle em geral utilizando o limite 3-sigma. Há também os limites de probabilidade 0.001, que corresponde a adotar como 0.001 a probabilidade do erro tipo I. Neste caso, há uma estimativa de alarme falso de 1 para cada 1000 amostras retiradas do processo. Atente para o fato de que se o processo segue uma distribuição normal, o limite de probabilidade 0.001 produziria um fator de multiplicação para os limites de controle de 3.09 (considerando apenas uma direção; P(Z>3.09)=0.001!) Exemplo 4.2 Obtenha os Limites de controle de probabilidade 0.001 e 3-sigma considerando que a medida da característica de qualidade tem distribuição normal com μ=74 e σ=0.01 com e que são extraídas amostras de tamanho n=5. Erro padrão é Limites de probabilidade 0.001: LSC = 74 + 3.09*0.0045 = 74.0139 LIC = 74 3.09*0.0045 = 73.9861 Limites 3-sigma: LSC = 74 + 3.00*0.0045 = 74.0135 LIC = 74 3.00*0.0045 = 73.9865 Tamanho da amostra e frequência de amostragem Para determinar o tamanho da amostra deve-se ter em mente a magnitude da mudança que se deseja detectar. As amostras devem ser formadas pelos subgrupos racionais: observações que são agrupadas temporalmente com o propósito de monitorar o processo; são amostras que representem subgrupos de itens que sejam os mais homogêneos possíveis, visando exaltar diferenças entre grupos. Considerações gerais sobre o tamanho da amostra: Os subgrupos devem ter o menor tamanho possível de forma que as suas médias não mascarem as mudanças.
Subgrupos de tamanho 4 ou 5 detectam mudanças no processo mais rapidamente que subgrupos maiores. Subgrupos de 4 ou 5 ítens são ótimos (ou quase) se as causas especiais produzem mudanças de 2σ (2 sigma) ou mais no nível geral do processo. Caso as mudanças sejam pequenas (1σ ou menos) será necessário, para detectá-las, escolher subgrupos maiores (de 15 ou 20 itens). Aplicação de ferramentas como CUSUM propiciam uma análise de pequenas variações. Na frequência da amostragem ou tomamos pequenas amostras a intervalos bem curtos, ou amostras maiores a intervalos mais longos. Uma medida que auxilia a decisão quanto ao tamanho da amostra e a frequência de amostragem é o comprimento médio da sequencia (CMS) do gráfico de controle. Comprimento médio da sequencia (CMS) é o número médio de pontos que devem ser marcados antes que um ponto indique uma condição de fora de controle., sendo p a probabilidade de um ponto exceder os limites de controle. é o CMS quando o processo está sob controle, ou seja, é o número médio de pontos até que ocorra um falso alarme. O desempenho do gráfico é avaliado pelo TMA, tempo médio para alerta. Se as amostras são tomadas a intervalos fixos de tempo, de h horas, então Exemplo 4.3 Para um gráfico de controle 3 sigma temos: Significa que mesmo que o processo esteja sob controle, haverá um alarme falso a cada 370 amostras, em média. Agora, suponha que quando a média do processo se desloque de μ 0 (sob controle) para μ 1 (fora de controle), com Neste caso, Significa que mesmo quando o processo estiver fora de controle, haverá um alarme a cada 2 amostras, em média. Agora, considere dois planejamentos de frequência de amostragem: Planejamento 1: frequência amostral a cada meia hora. Planejamento 2: frequência amostral a cada hora., uma hora se passará entre a mudança e a detecção., duas horas se passarão entre a mudança e a detecção Exemplo 4.4 Qual o impacto no tempo médio para alerta em um gráfico 3 sigma, quando se modifica o tamanho da amostra, supondo um processo com distribuição normal? Planejamento 1: frequência amostral a cada meia hora com n=5. Planejamento 2: frequência amostral a cada hora com n=10. Considere um deslocamento na média de para sendo. Assim, com o deslocamento na média, temos Entretanto, os limites de controle foram estabelecidos sob a hipótese: Assim temos
Agora considere um deslocamento de 1σ no exemplo 4.2. Assim. Para Se h=0.5 teremos detecção., aproximadamente 2h e 15min se passará entre a mudança e a Para Se h=0.5 teremos, aproximadamente cinquenta e três minutos se passará entre a mudança e a detecção. Desse modo, se a mudança tiver que ser detectada na primeira hora, teríamos que optar pelo planejamento 2 ou no caso de amostras de tamanho 5, teríamos que ter uma frequência de amostragem a cada 13 minutos. Detecção de Padrões em Gráficos de Controle Um gráfico de controle deve apresentar sequencia de pontos com padrão aleatório, ou seja, pontos acima e abaixo da linha central distribuídos de forma equilibrada, sem um comportamento específico. Por exemplo, uma sequencia crescente ou decrescente de 8 pontos tem probabilidade muito pequena de ocorrer em uma amostra aleatória de pontos. Assim, há indicações de que o processo esteja fora de controle tanto na situação em que o ponto esteja fora dos limites de controle como na situação em que os pontos apresentem um padrão não aleatório. Existe uma regra de decisão elaborada pela Western Eletric, conhecida como regras de zonas que sugerem que um processo está fora de controle quando: 1. Um ponto se localiza fora dos limites de controle 3-sigma; 2. Dois, em três pontos consecutivos se localizam além dos limites de alerta 2-sigma (zona A); 3. Quatro em cinco pontos consecutivos se localizam a uma distância de um sigma ou mais em relação à linha central (zona A e B); 4. Oito pontos consecutivos se localizam de um mesmo lado da linha central (zona A, B e C). Exemplo 4.5 Na figura 4.3 observa-se um processo fora de controle, pois há 4 pontos consecutivos além da zona B acima da linha central. Figura 4.3: Ilustração das Regras de Zona com os quatro últimos pontos violando a regra 3.
summary statistics 29.6 29.8 30.0 30.2 30.4 summary statistics 29.8 30.0 30.2 30.4 30.6 summary statistics 30.0 30.2 30.4 30.6 Exercícios: 1. Considere um processo cuja variável medida tenha distribuição normal com. Amostras de tamanho são retiradas a cada 15 minutos para inspeção. a. Obtenha os limites superior e inferior de um gráfico de controle 3-sigma b. Suponha que em dado momento o processo saiu de controle acarretando em um deslocamento na média agora com. Avalie a probabilidade de se detectar tal mudança. c. Para a situação descrita em b, avalie o CMS. d. Para a situação descrita em b, qual o tempo médio para se detectar a mudança, ou seja, o TMA? e. Qual a frequência amostral (amostras de tamanho 5) para se ter TMA = 0.20h ou 12 min? 2. Considere um processo cuja variável medida tenha distribuição normal com. Se os limites de controle utilizados são e são retiradas amostras de tamanho, qual a probabilidade de concluir que o processo está fora de controle para esta situação? 3. Considere um processo cuja variável medida tenha distribuição normal com. Amostras de tamanho são retiradas a cada 15 minutos para inspeção. Utilize a regra de zona para avaliar se o processo está sob controle ou não, identificando em caso de fora de controle qual a regra que se aplicou. Amostras de tamanho 5 a cada 15min tempo(min) x1 x2 x3 x4 x5 15 30.4 30.5 30.2 30.1 30.4 30 30.5 30.4 30.9 30.5 30.1 45 30.4 30.4 30.1 30.5 30.3 60 30.1 29.7 30.5 30.1 30.4 75 29.5 29.7 30.0 29.8 30.7 OBS: Os pontos são o valor da média da amostra em cada intervalo de tempo! A primeira amostra (15min) apresentou média igual a 30.32, ou seja, média dentro dos limites de controle do gráfico. 4. Observe os gráficos abaixo e identifique em que momento o gráfico emitiu alarme de que o processo está fora de controle, utilizando a regra de zona. for A1 for A1 U U x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 Number of groups = 10 Center = 30.1 = 29.69751 U = 30.50249 Number beyond limits = 1 Number violating runs = 4 Number of groups = 10 Center = 30.3 a) B) = 29.89751 U = 30.70249 Number beyond limits = 0 Number violating runs = 0 Gabarito 1) a)lsc=30+3*0.3/sqrt(5)= 30.40249 LIC=30-3*0.3/sqrt(5)= 29.59751 b) O que precisa ser calculado: R=0.5 c) d) e) ; logo 2) 3)Zona A superior: de 30.26833 à 30.40249 (de 2sigma até 3sigma) Zona B superior: de 30.13416 à 30.26833 (de 1sigma até 2sigma) Zona C superior: de 30 à 30.13416 (da LC até 1sigma) Pontos do gráfico: Média da amostra em cada intervalo de tempo: 30.32; 30.48; 30.34; 30.16; 29.94 Análise: Um ponto fora dos limites de controle do gráfico (de 29.59751 a 30.40249) Há 3 pontos consecutivos além da zona A superior o que indica fora de controle por ferir o padrão aleatório do gráfico; Há 4 pontos consecutivos além da zona A e B, dentre os 5 pontos observados. for A 1 2 3 4 5 Number of groups = 5 Center = 30 = 29.59751 U = 30.40249 Number beyond limits = 1 Number violating runs = 0 U 4) a) Na oitava amostra já se observa uma sequencia de 8 pontos todos acima da LC b) Padrão aleatório, pontos dentro dos limites de controle.