DISTRIBUIÇÕES CONTINUAS COM APLICAÇÃO NO R Valneli da Silva MELO 1, Arielly Arethuza Galdino ARAÚJO 1, Nathielly Lima do Rêgo 1, Edwirde Luiz SILVA 1 1 Departamento de Estatística, Universidade Estadual da Paraíba-UEPB, Campus I, Campina Grande-PB. E- mail: valnelismello@hotmail.com, ariellyy@hotmail.com, nathielly lima@hotmail.com, edwirde@uepb.edu.br RESUMO A estatística eerce um papel fundamental no método científico, a qual se preocupa em organizar, descrever, analisar e interpretar as distribuiões a partir de uma observaão ou de um eperimento. Conhecer muitas das densidades distribuiões é de etrema importância, pois as mesmas contribuem para toda teoria estatística. Foram analisados as densidades das principais funões de probabilidades contínuas no software estatístico R.2.12.1. Fazer consideraões sobre a seleão das aplicaões e eplanar sobre as possíveis interpretaões dos resultados. PALAVRAS CHAVE: probabilidade, gráficas, densidades. 1 INTRODUÇÃO Os estudos apresentados até o momento incidiram sobre a finalidade de mostra a importância das distribuiões continuas aplicadas no software estatístico R, visando com isso facilitar o entendimento dessas distribuiões e observar o comportamento gráficos, nesse sentido, o cálculo das distribuiões continuas é de fundamental interesse para estudos estatísticos. Faremos estudos sobre as principais distribuiões, como: a distribuião normal que é uma das mais importantes para análises de fenômenos reais, e também de grande importância para a Inferência Estatística e a Amostragem. Trataremos também das distribuiões eponencial que é bastante utilizada na teoria da confiabilidade para modelar os tempos de espera entre ocorrências de eventos em um Processo de Poisson, da
distribuião gama densidade que também é do tipo assimétrico positive, da distribuião t-student que é uma distribuião de probabilidade teórica, da distribuião de qui-quadrado que nos diz em que medida é que os valores observados se desviam do valor esperado, caso as duas variáveis não estivessem correlacionadas, da distribuião de Fisher que surge frequentemente como a distribuião nula de uma estatística de teste, particularmente na análise da variância e por ultimo da distribuião logística que descreve a chance que uma variável pode assumir ao longo de um espao de valores. 2 METODOLOGIA Usando o Software Estatístico R.2.12.1, aplica-se as distribuiões contínuas mais conhecidas pela comunidade estatística, visando desenvolver o comportamento dessas funões quer alterando os parâmetros quer alterando os graus de liberdades. 3 RESULTADOS E DISCUSSÃO A Figura 1, mostra o desempenho da distribuião normal, a média refere-se ao centro da distribuião e o desvio padrão ao espalhamento (ou achatamento) da curva. Essa também é uma das mais importantes dentro da estatística, e segue o seguinte modelo matemático: f () = 1 ì ( - m) ep í- (2ps 2 ) î 2s 2 2 ü ý þ
Gaussiana 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 m<-0 s<-1 <-seq(-5,5,by=0.01) f<-(1/sqrt(2*pi)*s^2)*ep((-0.05/s^2)*(-m)^2) plot(,f) plot(,f,lab="",ylab="gaussiana",main="normal com média 0 e variância 1") Normal com média 0 e variância 1-4 -2 0 2 4 Figura 1 Gráfico da distribuião normal A distribuião eponencial representado na Figura 2, se caracteriza por ter uma funão de taa de falha constante, é a única com esta característica. Sendo esta considerada uma das mais simples: ìï f (,l) = í îï le -l, ³ 0 0, < 0 y<-1 <-seq(0,4,by=0.01) f<-y*ep(-y*) plot(,f) plot(,f, lab="",ylab="eponencial", main="funão Eponencial")
Eponencial 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Funão Eponencial 0 1 2 3 4 Figura 2 Distribuião Eponencial A distribuião t-student, mostrada na Figura 3, é simétrica, campaniforme e semelhante a curva normal padrão, porém com caudas mais largas. Onde o grau de liberdade caracteriza a sua forma. f (t) = æ G v+1 ö è 2 ø æ æ vpg v 1+ t 2 ö ö è v ø è 2ø æ - v+1 ö è 2 ø k<-1 <-seq(-3,3,by=0.01) f<-((gamma((k=1)/2)/gamma(k/2))*((k*pi)^(-1/2))*(1+(^2)/k)^(-k-1)/2) plot(,f) plot(,f, lab="",ylab="student", main="funão Student")
Student 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 Funão Student -3-2 -1 0 1 2 3 Figura 3 Distribuião t-student A distribuião qui-quadrado, Figura 4, mostra uma curva positiva e não simétrica, seu gráfico depende do parâmetro n. Esta possui numerosas aplicaões importantes em inferência estatística. 1 f () = (v 2)-1 æ ep - ö 2 v 2 G(v 2) è 2ø k<-3 <-seq(0,11,by=0.01) f<-((2^(-k/2))/(gamma(k/2)))*(^(k-2)/2)*(ep(-/2)) plot(,f) plot(,f, lab="",ylab="qui-quadrado", main="funão Qui-quadrado")
Qui-quadrado 0.00 0.05 0.10 0.15 Funão Qui-quadrado 0 2 4 6 8 10 Figura 4 Distribuião Qui-quadrado Na Figura 5, temos a distribuião de Fisher, que possui curva positiva e não simétrica. O seu aspecto gráfico depende dos parâmetros m e n (número de graus de liberdade). f () = é G m ëê 2 é G m+ n ùæ mö ëê 2 ûú è n ø m 2 m n -1 ù ûú G é n ù éæ mö ù ëê 2 ûú êè n ø +1ú ë û n1<-5 n2<-7 <-seq(0.4,by=0.01) f<-(gamma(n1+n2)/2)/(gamma(n1/2)*gamma(n2/2))*(n1/n2)^(n1/2)*^(n1- n2)/2*(1+(n1/n2)*)^(-(n1+n2)/2) plot(,f) plot(,f,lab='', ylab='fisher',main='funão Fisher') m+n 2
Fisher 0 200000 400000 600000 800000 1200000 Funão Fisher 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Figura 5 Distribuião de Fisher Na distribuião gama, representado na Figura 6, essa é apropriada para modelar o tempo requerido para o acontecimento de eatamente a eventos independentes que ocorrem a uma taa constante l. f () = a G( r ) ( a )r-1 e -a l<-4 the<-0.25 <-seq(0,4,by=0.01) f<-((l^the)/gamma(the))*^(the-1)*ep(-l*) plot(,f) plot(,f, lab='', ylab='gamma',main='funão Gama')
Gamma 0 2 4 6 8 10 12 Funão Gama 0 1 2 3 4 Figura 6 Distribuião Gama A distribuião logística, representada na Figura 7, tem uma curva sigmóidal simétrica e é usada principalmente em estudo de crescimento populacional. f (;m,s) = e -(-m)/s s(1+ e -(-m)/s ) 2 y<-0.8 o<-0.9 <-seq(0,3,by=0.01) f<-((1/o)*ep((-o)/y)*(1+ep((-o)/y))^(-2)) plot(,f) plot(,f, lab="",ylab="logística", main="funão Logística")
Logística 0.10 0.15 0.20 0.25 Funão Logística 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Figura 7 Distribuião Logística 4 CONCLUSÃO Foi possível concluir a partir desse estudo o quanto o software estatístico R.2.12.1 proporciona uma maior facilidade nos cálculos das funões de distribuiões continuas, além disso, também é possível ver o comportamento gráfico das mesmas, com isso, pode-se observar alguma semelhana entre as distribuiões normal e t-student, onde na distribuião t-studente verificou-se uma caldas suave, enquanto a distribuião normal se diferencia, também observou-se semelhana entre as distribuiões eponencial, qui-quadrado e logística que apresentam curvas positivas em seus gráficos, e por últimos visualiza-se a semelhana entre as distribuiões de gama e Fisher, que apresentam uma curva não simétrica e positiva.
REFERÊNCIAS BUSSAB, Wilton O; MORETTIN, Pedro A.. Estatística Básica, Sao Paulo: Saraiva, 2012 MEYER, Paul L.. Probabilidades. Aplicaões à Estatística. WALPOLE, RONALD MYERS; RAYMUND H. MEYERS; SHARON, L. MYERS, KEYING YE. Probalidade & Estatistica, 8.ed, Sao Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.