Ministério da Educação - MEC Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica (SETEC) Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará Eletricista Instalador Predial de Baixa Tensão Eletricidade Básica Jones Clécio Otaviano Dias Júnior Curso FIC Aluna:
SUMÁRIO APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA... Introdução... Princípios da Eletrostática... Carga Elétrica... Campo Elétrico... Lei de Coulomb... Princípios da Eletrodinâmica... Corrente Elétrica... Tensão Elétrica... Potência... Instrumentos de Medidas Elétricas... Voltímetro... Amperímetro... Multímetro... Introdução a Noções de Análise de Circuitos... Conceitos de Resistência Elétrica... Lei de Ohm... Noções de Análise de Circuitos... Elementos de um Circuito... Leis de Kirchhoff... Associação de Resistores... Configurações e Conversões Estrela - Triângulo e Triangulo - Estrela... Capacitores e Conceitos de Capacitância... Capacitor... Capacitância... Associação de Capacitores em Série e Paralelo... REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 03 04 04 04 05 06 07 07 07 08 10 10 10 11 12 12 13 15 15 15 17 19 21 21 21 21 23 2
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA Cara aluna, na disciplina ELETRICIDADE BÁSICA, com carga horária de 40 h/a, você vai iniciar um estudo voltado à Eletricidade, que servirá como base para um melhor entendimento das demais disciplinas durante seu curso. O principal objetivo desse curso é a sua qualificação profissional como ELETRISISTA INSTALADOR PREDIAL DE BAIXA TENSÃO. Para isso teremos outros objetivos a serem conquistado para sua formação, tais como: apresentar os conhecimentos básicos de eletricidade, evidenciando assim conceitos e definições de Eletrostática, Eletrodinâmica e Noções de Análise de Circuito. Dentre os conteúdos a serem estudados, estão: Princípios da Eletrostática: Carga Elétrica, Campo Elétrico e Lei de Coulomb; Princípios da Eletrodinâmica: Corrente Elétrica, Tensão Elétrica e Potência; Instrumentos de Medidas Elétricas: Voltímetro, Amperímetro e Multímetro; Introdução a Noções de Análise de Circuitos: Conceitos de Resistência Elétrica, Lei de Ohm; Noções de Análise de Circuitos: Elementos de um Circuito, Leis de Kirchhoff, Associação de Resistores em circuitos em Série, Paralelo e Misto, Configurações e Conversões Estrela-Triângulo e Triângulo-Estrela; Circuitos Capacitivos: Capacitor, Capacitância - Circuitos Capacitivos em Série e Paralelo. Estes conteúdos serão apresentados durante o decorrer do curso através de aulas expositivas, explicativas e dialogadas, bem como aulas práticas de laboratório. Neste material, além dos conteúdos já descritos, existem algumas páginas com espaço para anotações extras durante as aulas. Todos os exercícios serão apresentados e trabalhados no decorrer da disciplina. Por fim, espero que você aproveite essa oportunidade para aprender mais e assim se tornar uma boa profissional na área de Eletricidade. Bons Estudos! Prof. Esp. Jones Clécio Otaviano Dias Júnior. 3
Introdução Eletricidade é uma forma de energia associada aos fenômenos causados por cargas elétricas em repouso (eletrostática) e em movimento (eletrodinâmica). Alguns conceitos já foram apresentados na disciplina de Segurança do Trabalho em Eletricidade. Aqui iremos entender como os circuitos elétricos se comportam, compreendendo, portanto fundamentos teóricos acerca de componentes e grandezas elétricas. Para isso, iremos proceder nossos estudos em diferentes sessões, ou capítulos, evidenciando assim informações e conceitos básicos no estudo da eletricidade. Princípios da Eletrostática CARGA ELÉTRICA A eletrostática estuda os fenômenos relacionados às cargas elétricas em repouso. Os átomos presentes em qualquer material são formados por elétrons, que giram em órbitas bem determinadas em torno do núcleo que, por sua vez, é constituído por prótons e nêutrons. A diferença básica entre esses elementos que forma o átomo está na característica de suas cargas elétricas. O próton tem carga elétrica positiva, o elétron tem carga elétrica negativa e o nêutron não tem carga elétrica. Os átomos são, em princípio, eletricamente neutros, pois o número de prótons é igual ao número de elétrons, fazendo com que a carga total positiva anule a carga total negativa. Na figura 1, ilustra abaixo, é apresentada a estrutura de um átomo. Figura 1: Estrutura do Átomo. O princípio fundamental da eletrostática é chamado de principio da atração e repulso, cujo enunciado é: Cargas elétricas de sinais contrários se atraem e as de mesmos sinais se repelem. A carga elétrica fundamental é simbolizada pela letra q e sua unidade de medida é o Coulomb (C). O módulo da carga elétrica de um próton e de um elétron vale: q = 1,6 x 10-19 C Na figura 2 são ilustrados os comportamentos das cargas elétricas de sinais contrários e de mesmos sinais quando aproximadas uma da outra. 4
CAMPO ELÉTRICO Figura 2: Comportamento das cargas elétricas. Princípio da atração e repulsão. Uma carga cria ao seu redor um campo elétrico que pode ser representado por linhas de campo radiais orientadas, uma vez que é uma grandeza vetorial, sendo que a sua unidade de medida é newton/coulomb (N/C). Se a carga é positiva, o campo é divergente, isto é, as linhas de campo saem da carga. Já se a carga é negativa, o campo é convergente, isso é, as linhas de campo chegam à carga, conforme ilustrado na figura 3. Para calcular a intensidade E do campo elétrico criado por uma carga Q deve ser utilizada a seguinte equação: Onde: K = 9 x 10 9 N.m 2 / C 2 (no vácuo e no ar); Q = módulo da carga elétrica, em coulomb [C]; d = distância, em metros [m]. Consideremos uma região submetida a um campo elétrico uniforme. Colocando uma carga Q num ponto dessa região, essa carga ficará sujeito a uma força, cuja unidade de medida é newton [N]. Isso pode ser ilustrado na figura 3. O módulo pode ser calculado pela seguinte equação: Onde: Q = módulo da carga elétrica, em coulomb [C]; E = módulo do campo elétrico, em newton/coulomb [N/C]. Figura 3: Campo elétrico com adição de cargas elétricas em sua região. 5
Se a carga é positiva, a força age no mesmo sentido da linha de campo, e se a carga é negativa, a fora age no sentido contrário ao da linha de campo. LEI DE COULOMB Como decorrência do estudo do campo elétrico gerado por uma carga e da força que surge em outra carga colocada nesse campo, pode-se deduzir a expressão que nos dá o módulo da força de atração ou de repulsão entre duas cargas elétricas, devido à interação dos seus compôs elétricos. Para determinarmos o valor da força, pela lei de Coulomb, temos a seguinte equação: Onde: K = 9 x 10 9 N.m 2 / C 2 (no vácuo e no ar); e = módulos da carga elétrica, em coulomb [C]; d = distância, em metros [m]. MINHAS ANOTAÇÕES: 6
Princípios da Eletrodinâmica CORRENTE ELÉTRICA A corrente elétrica é o resultado do movimento de cargas elétricas. A unidade de medida da corrente, de acordo com o Sistema Internacional de Unidades, é o Ampéres [A]. Se um fluxo constante de 1C de carga passa por um dado ponto em um condutor durante 1s, a corrente resultante é 1A. Logo, para calcularmos o valor de corrente, utilizamos a seguinte equação: Onde: Q = módulo da carga elétrica, em Coulomb [C]. t = tempo, em segundos [s]; A direção da corrente elétrica é em direção ao movimento de cargas positivas e oposta ao movimento de cargas negativas. Como ilustrado ao lado, em um diagrama de circuito, cada corrente I vem associada a uma seta para indicar a sua direção. A corrente que flui em apenas uma direção por todo o tempo de uma corrente constante (CC), enquanto que uma corrente que alterna a direção do fluxo é uma corrente alternada (CA). Uma fonte de corrente é um elemento de circuito que fornece uma dada corrente. Ao lado é ilustrada a simbologia de uma fonte de corrente para diagrama de circuitos elétrico, onde esta estar fornecendo ao circuito uma corrente de 6A. TENSÃO ELÉTRICA O conceito de tensão envolve trabalho, que por sua vez envolve fora e distância. A unidade de medida do trabalho, de acordo com o Sistema Internacional de Unidades, é p Joule [J]. A unidade da força e distância, como já mencionadas nos tópicos anteriores, é o Newton [N] e Metros [m], respectivamente. De forma genérica, o trabalho requerido, em Joules, é calculado pela seguinte equação: Onde: F = Força, em Newton [N]; S = distância, em metros [m]. Energia é a capacidade de realizar trabalho. Uma de suas formas é a energia potencial, que é a energia que m corpo possui devido a sua posição. 7
A diferença de potencial, como também chamada DDP, entre dois pontos é o trabalho necessário em joules para mover 1C de carga de um poro a outro. A unidade de medida da tensão é o Volt [V]. Logo para calcular o valor da tensão, considera-se a seguinte equação: Onde: W = trabalho, em joule [J]; Q = módulo da carga elétrica, em Coulomb [C]. Polarização das tensões Por definição, se o deslocamento de uma carga positiva de um ponto b para um ponto a, ou de uma carga negativa de a para b, necessita de trabalho, o ponto a é positivo em relação ao ponto b. O símbolo ao lado mostra uma elevação de tensão ou de potencial de b para a ou queda de tensão ou de potencial de a para b. Uma tensão constante é chamada de tensão CC (Corrente Contínua), e uma tensão que varia senoidal mente com o tempo é chamada de tensão CA (Corrente Alternada). Uma fonte de tensão, como uma bateria ou um gerador, fornece uma tensão que, para uma fonte ideal, não depende da corrente que circula através da fonte. Simbologias para as fontes de tensão POTÊNCIA As três simbologias ilustradas ao lago fornecem um tensão de 12V ao circuito. No caso do símbolo (I) nem sempre é necessário indicar os sinais (+) e (-), pois por conversão, o traço maior representa o terminal negativo e o traço menor, o terminal negativo. O símbolo I e II trata-se de fonte de tensão CC, e o símbolo III tensão CA. A razão na qual algum corpo absorve ou produz energia é a potência absorvida ou produzida por esse corpo. A unidade no sistema internacional de unidade para a potência é o Walt [W]. Calcula-se a potência pela seguinte equação: Onde: W = trabalho, em joule [J]; t = tempo, em segundos [s]. 8
Em componentes elétricos, a potência é dada por: Onde: V = tensão elétrica, em volts [V]; I = corrente elétrica, em ampères [A]. MINHAS ANOTAÇÕES: 9
Instrumentos de Medidas Elétricas Os instrumentos de medidas no geral servem para mensurar grandezas físicas. Os valores podem ser obtidos de forma analógica ou digita, sendo esta última mais comum hoje em dia. No instrumento analógico, o resultado é mostrado por meio de ponteiro que defletem sobre uma escala graduada, sendo que a leitura feita por meio da analogia entre o valor indicado e o valor de fundo de escala selecionado. No instrumento digital, o resultado é mostrado diretamente num display, conforme o valor de fundo de escala selecionado. Aqui serão apresentados os principais instrumentos para medidas elétricas, tais como: voltímetro, amperímetro e multímetro. VOLTÍMETRO Trata-se de um instrumento utilizado para medir a tensão elétrica (diferença de potencial) entre dois pontos de um circuito elétrico. Para medir uma tensão em certo circuito, é necessário que os terminais do instrumento fiquem ligados aos dois pontos do circuito em que se deseja conhecer a diferença de potencial, ou seja, é feita uma ligação em paralelo com o elemento, ou elementos, que necessita medir o valor da tensão. AMPERÍMETRO Figura 4: Medição de tensão sobre o resistor R com um Voltímetro. O amperímetro é o instrumento utilizado para medir a corrente elétrica que atravessa um condutor ou um dispositivo. Para medir uma corrente, o circuito deve ser aberto no ponto desejado, ligando o amperímetro em série, para que a corrente passa por ele. A corrente que passa por um dispositivo pode ser medida antes ou depois dele, já que a corrente que entra num bi polo é a mesma que sai. Se a corrente a ser medida for contínua (CC), o polo positivo do amperímetro deve ser ligado ao ponto pelo qual a corrente convencional entra, e o polo negativo, ao ponto pelo qual ela sai. Figura 5: Medição de corrente sobre o resistor R com um Amperímetro. 10
MULTÍMETRO São vários instrumentos utilizados em laboratórios e oficinas de eletrônica que medem grandezas elétricas. Através de deste único instrumento de medidas elétricas, é possível medir várias grandezas, tais como: tensão, corrente e resistência. O multímetro, seja analógico ou digital, possui dois terminais nos quais são ligados as pontas de prova ou pontas de teste. A ponta de prova vermelha deve ser ligada ao terminado positivo do multímetro (vermelho ou marcado com sinal +) e a ponta de prova preta deve ser ligada ao terminal negativo do multímetro (preto o marcado com sinal -). Para medir as grandezas já descritas, como por exemplo, corrente e tensão, basta efetuar as mesmas medidas utilizadas com os instrumentos próprios para cada uma delas. A única diferença neste instrumento, é que existe a presença de alguns controles, sendo que o principal é a chave rotativa ou conjunto de teclas para a seleção da grandeza a ser medida. Na figura 6 é ilustrada a imagem de um multímetro digital. MINHAS ANOTAÇÕES: Figura 6: Multímetro digital e suas pontas de prova. 11
Introdução a Noções de Análise de Circuitos CONCEITOS DE RESISTÊNCIA ELÉTRICA A resistência é a característica elétrica dos materiais, que representa a oposição à passagem da corrente elétrica. A resistência elétrica é representada pela letra R e sua unidade de medida é o ohm [Ω]. Ao lado estão ilustrados os símbolos mais usuais para representar um resistor em um circuito elétrico. Antes de iniciarmos os estudos voltados a circuitos elétricos, é importante que seja apresentado alguns conceitos sobre circuito elétrico. Isso será feito a seguir. Circuito elétrico nada mais é do que a interligação de dois ou mais elementos bipolares, tais como: resistores e geradores ou baterias. Estes quando considerados individualmente, são apenas elementos bipolares, ou elementos com dois terminais, e a partir do momento que é feita a ligação entre eles, estamos montando um circuito elétrico. Abaixo, na figura 7, é ilustrado um exemplo de circuito elétrico contendo sete elementos, sendo duas fontes de corrente e cinco resistores. Figura 7: Exemplo de um circuito elétrico com sete elementos bipolares. Outro fator importante no estudo de eletricidade é são os dispostos da tabela 1 ilustrada a seguir, onde neste são apresentados os prefixos que muitas das vezes utilizamos no nosso dia-a-dia, porém não sabemos a dimensão dos mesmos. Muitos dos nossos afazeres diários nos trazem medidas como Quilograma, para alimentos, Mega ou Giga Byte, para componentes de alta tecnologia, como por exemplo, computadores, celulares e outros. MÚLTIPLOS PREFIXOS SÍMBOLOS 10 12 Tera T 10 9 Giga G 10 6 Mega M 10 3 Quilo K 10-3 Mili M 10-6 Micro µ 10-9 Nano n 10-12 Pico p Tabela 1: Prefixos mais utilizados em eletricidade. 12
LEI DE OHM Esta lei estabelece que a tensão sobre um resistor é diretamente proporcional à corrente que o atravessa. A lei de ohm é dada pela seguinte equação: Onde: V = tensão elétrica, em volts [V]; R = resistência, em ohms [Ω]; I = corrente elétrica, em ampères [A]. Para determinar os valores de resistência e corrente a partir dessa equação, utilizase das seguintes equações: Uma fórmula prática de chegar às três fórmulas da lei de Ohm seria utilizando o triângulo ilustrado abaixo na figura 8. Figura 8: Triângulo para determinar os valores a partir da Lei de Ohm. Para determinarmos os valores das resistências, existe o multímetro e a tabela que traz o Código de Cores para resistores (apresentada na figura 9). Figura 9: Tabela do Código de Cores para leitura de resistores. 13
A figura ao lado ilustra um resistor. Para saber o valor de sua resistência, basta observar as cores nele disposta. Neste caso a primeira cor representa o primeiro algarismo, a segunda o sendo algarismo, a terceira o multiplicador e a quarta a tolerância. O valor desse resistor é: 160KΩ ±5% de tolerância. Circuito Durante as aulas serão trabalhados mais alguns exemplos para uma melhor fixação deste conteúdo. MINHAS ANOTAÇÕES: 14
Noções de Análise de Circuitos ELEMENTOS DE UM CIRCUITO As Leis de Kirchhoff envolvem conceitos básicos para a resolução e análise de circuitos elétricos, tanto em corrente contínua como em alternada. Antes de iniciarmos os estudos dessas Leis, vamos iniciar os estudos entendendo o que um Ramo, um Nó e uma Malha em circuitos elétricos. Ramo trata-se de qualquer parte de um circuito elétrico composto por um ou mais dispositivos ligados em série. Nó trata-se de qualquer ponto de um circuito elétrico no qual há a conexão de três ou mais ramos. Malha trata-se de qualquer parte de um circuito elétrico cujos ramos formam um caminho fechado para a corrente. A seguir será apresentado e indicado cada um deles na figura 10 ilustrada abaixo. Figura 10: Representação de nó, malha e ramo em um circuito elétrico com sete elementos bipolares. LEIS DE KIRCHHOFF As Leis de Kirchhoff são conhecidas como Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) e Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT). Estudaremos cada uma delas a seguir. A LEI DE KIRCHHOFF DAS CORRENTES (LKC) diz que: A soma algébrica das correntes em um nó é igual à zero ou A soma das correntes que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem deste nó. Isso significa dizer que independentemente do valor de corrente que entra em um nó, esta sairá com o mesmo valor, mesmo que seja fracionada nos diversos ramos do circuito. 15
A figura ao lado ilustra parte de um circuito elétrico composto por sete elementos. Neste caso existe a presença de quatro correntes elétrica: i 1, i 2, i 3 e i 4. Pela LKC, podemos dizer que: I 1 + i 2 - i 3 - i 4 = 0 ou I 1 + i 2 = i 3 + i 4 A LEI DE KIRCHHOFF DAS TENSÕES (LKT) diz que: A soma algébrica das tensões em uma malha é zero ou A soma das tensões que elevam o potencial do circuito é igual à soma das tensões que causam a queda de potencial. Isso significa dizer que, considerando as polaridades de cada componente em relação à queda ou elevação de tensão (ou ddp), serão somadas as tensões de modo que o resultado seja igual à zero. A figura ao lado ilustra um circuito elétrico composto por seis elementos. Neste caso existe a presença de seis diferenças de potencial, ou seja, cada uma para cada elemento do circuito. Portanto, obedecendo a LKT, temos: +V 2 + V 3 - VR 3 - VR 2 - V 1 + VR 1 = 0 ou +V 2 + V 3 + VR 1 = VR 3 + VR 2 + V 1 MINHAS ANOTAÇÕES: 16
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES Em um circuito elétrico os resistores podem estar ligados em série e/ou paralelo, em função das características dos dispositivos envolvidos no circuito, de necessidade de dividir uma tensão ou uma corrente, ou de obter uma resistência com valor diferente dos valores encontrados comercialmente. A seguir iremos estudar em entender as características de resistores associados em série e em paralelo. Associação em Série Como já visto, os resistores são componentes que possuem dois terminais. Feita a ligação, ou associação, destes em série irá existir uma ligação entre eles através de um único terminal, sendo este o único ponto em comum com o outro componente. Observe a ilustração abaixo, bem como a explicação. Figura 11: Associação de resistores em série com a resistência equivalente. Feita a associação dos resistores em série, a partir do circuito ilustrado na figura 11, percebe algumas características deste circuito, sendo elas: A corrente i que sai do ponto a percorre todo o circuito, passando, portanto, por todos os resistores, e indo até o ponto b. Isso significa que: A corrente que circula em uma associação de resistores em série e a mesma. A partir da passagem da corrente sobre os resistores, é provocada uma queda de tensão ou de potencial sobre cada um dos resistores (ddp), sendo esta calcula a partir da Lei de Ohm. Isso significa que: As tensões sobre cada um dos resistores são diferentes, pois o cálculo é feito em função da corrente e do resistor. Outra característica da associação de resistores é o cálculo da Resistência Equivalente R eq. Logo, para calcular o R eq em uma associação de resistores em série efetuamos a soma de todas as resistências no circuito. No caso do exemplo apresentado na figura 11, a R eq é: R eq = R 1 + R 2 + R 3 +... + R N. Associação em Paralelo Feita a ligação, ou associação, de resistores em paralelo irá existir uma ligação entre eles através dos seus dois terminais, portanto, os resistores apresentam dois pontos em comum. Observe a ilustração abaixo, bem como a explicação. 17
Figura 12: Associação de resistores em paralelo com a resistência equivalente. Feita a associação dos resistores em paralelo, a partir do circuito ilustrado na figura 12, percebe algumas características deste circuito, sendo elas: A tensão V que estar entre os pontos a e b é a mesma para todo o circuito. Isso significa que: A tensão que passa em uma associação de resistores em paralelo e a mesma para todos os componentes. Diferentemente da associação em série, as corrente que passam sobre cada um dos reitores são diferentes, pois como há a existência da divisão das correntes em virtude da presença de nós no circuito a corrente é dividida, portanto, são diferentes. Para calcular o R eq em uma associação de resistores em paralelo, é necessário considerar pares de resistores e efetuarmos a operação de multiplicação das resistências, tendo o resultado dividido pela soma destas resistências. No caso do exemplo apresentado na figura 12, a R eq é: A observação é que, sempre devemos considerar pares de resistores. Associação de resistores em circuito Misto Uma vez entendida a associação de resistores em série e paralelo individualmente, podemos nos deparar com circuitos que apresentam associação de resistores das duas formas. São os chamados circuitos mistos. Quando isso ocorrer, basta aplicar os métodos já apresentados nos tópicos anteriores para solucionar o circuito. MINHAS ANOTAÇÕES: 18
CONFIGURAÇÕES E CONVERSÕES ESTRELA - TRIÂNGULO E TRIANGULO - ESTRELA Num circuito, é comum os resistores estarem ligados conforme as configurações estrela triângulo apresentadas na figura 13 ilustrada abaixo. Figura 13: Configurações Estrela e Triângulo da associação de resistores. Estas configurações não se caracterizam nem como série, nem como paralelo, dificultando o cálculo da resistência equivalente do circuito e, portanto, a sua análise. Para resolver este problema, é possível converter uma configuração na outra, fazendo com que os resistores mudem de posição sem, no entanto, mudarem as características elétricas do circuito. A seguir serão apresentadas estas conversões, bem como as equações necessárias para determinarmos os valores para cada um dos resistores contidos nas duas configurações. Figura 14: Configurações Estrela - Triângulo e Triângulo - Estrela. ESTRELA - TRIÂNGULO TRIÂNGULO - ESTRELA Tabela 2: Equações para cálculos das conversões Estrela - Triângulo e Triângulo - Estrela. 19
MINHAS ANOTAÇÕES: 20
Capacitores e Conceitos de Capacitância CAPACITOR Trata-se de um dispositivo elétrico formado por duas placas condutoras de metal separas por um material isolante chamado dielétrico. Capacitância Capacidade de armazenamento de carga elétrica; A capacitância é igual à quantidade de carga que pode ser armazenada num capacitor dividido pela tensão a ela aplicada. Logo, calcula-se pela seguinte equação: Onde: C = capacitância em Farad [F]; = quantidade de carga, em Coulomb [C]; V = tensão aplicada, em Volts [V]. A unidade de medida da capacitância é o FARAD que é a capacitância que armazena um Coulomb de carga no dielétrico quando a tensão aplicada nos terminais for 1 volt; Pode-se ainda calcular o valor da capacitância a partir da seguinte equação: Onde: C = capacitância em Farad [F]; = constante dielétrica do material isolante; A = área da placa, em metros quadrado [m 2 ]; d = distância entre as placas, em metros [m]. Isso porque a capacitância depende da área das placas condutoras, da separação entre as placas e da constante dielétrica do material isolante. Associação de Capacitores em Série e Paralelo Calcula-se a capacitância equivalente em um circuito capacitivo pelas seguintes equações: CAPACITORES EM SÉRIE 21
CAPACITORES EM PARALELO Quando os capacitores em série tiverem a mesma capacitância, o CR é igual ao valor da capacitância dividido por dois. MINHAS ANOTAÇÕES: 22
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS MALLEY, J. O. Análise de Circuitos. Editora Pearson, 2ª Edição, 1994. MARKUS, O. Circuitos Elétricos - Corrente Contínua e Corrente Alternada: Teoria e Exercícios. Editora Érica Ltda, 9ª Edição, 2004. MENDONÇA, R. G. de & SILVA, R. V. R. da. Eletricidade Básica. Editora Livro Técnico, 1ª Edição, 2012. 23