Exercícios das Aulas Práticas

Física I Exercícios das Aulas Práticas Escola Superior de Tecnologia de Tomar Ano lectivo 2005/2006-1º Semestre

Conteúdo 1 Fichas de Cinemática do ponto material 3 1.1 Exercícios de cinemática escalar - movimentos gerais................. 3 1.1.1 Movimentos gerais................................ 3 1.1.2 Exercícios de movimento rectilíneo....................... 6 1.2 Exercícios de cinemática vectorial............................ 7 1.2.1 Exercícios de movimento de projécteis..................... 7 1.2.2 Exercícios de movimento curvilíneo e circular................. 9 1.2.3 Exercícios de movimento relativo........................ 12 2 Fichas de dinâmica do ponto material 14 3 Fichas de trabalho e energia do ponto material 19 4 Fichas de movimento harmónico simples 24 5 Fichas de mecânica de muitos corpos 27 2

Capítulo 1 Fichas de Cinemática do ponto material 1.1 Exercícios de cinemática escalar - movimentos gerais 1.1.1 Movimentos gerais 1. (Alonso, pg 46, 3.1) O que significa a afirmação o movimento é relativo. 2. (Alonso, pg 46, 3.2) Porque é que um observador deve definir um sistema de referência para analisar o movimento dos corpos? 3. (Alonso, pg 46, 3.11) Os meteoritos atingem o cimo da atmosfera terrestre com velocidade escalar da ordem de 10000 m/s. Qual a sua velocidade escalar em km/h? 4. (Alonso, pg 32) A quilometragem e tempos realizados por um automóvel num determinado percurso são dados na tabela: Instante (h:min) 03:02 03:06 03:12 03:15 03:20 03:24 Conta quilómetros (km) 1582,6 1586,8 1593,4 1598,2 1606,4 1613,1 Calcule a velocidade escalar média 1 do automóvel para o intervalo de tempo entre: (a) (03:02; 03:06), (b) (03:06; 03:12), (c) (03:12; 03:15), (d) (03:15; 03:20), (e) (03:20; 03:24), (f) (03:02; 03:24). 5. (Alonso, pg 32) A velocidade escalar instantânea e tempos realizados por um automóvel num determinado percurso são dados na tabela: Instante (h:min) 09:06 09:10 09:13 09:18 09:20 09:24 velocidade escalar (km/h) 38 44 48 50 42 24 1 v m(t 1 ; t 2 ) = s(t 2) s(t 1 ) t 2 t 1 = s t = d(t 1; t 2 ) deslocamento escalar = t intervalo de tempo (1.1) 3

Supondo que a velocidade escalar instantânea do carro se mantém constante entre cada intervalo de tempo calcule o deslocamento escalar 2 do automóvel para o intervalo de tempo entre: (a) (09:06; 09:10), (b) (09:10; 09:13), (c) (09:13; 09:18), (d) (09:18; 09:20), (e) (09:20; 09:24), (f) (09:06; 09:24). Como resolveria o problema se a velocidade escalar instantânea 3 do carro variasse linearmente entre quaisquer instantes sucessivos? 6. O gráfico da figura representa a posição escalar de um carro em função do tempo sobre a estrada nacional 1, dada pelos sucessivos marcos físicos (situados no limite direito da estrada). O conta quilómetros do carro no instante t = 2 min é reiniciado para o valor 0 km. 106 104 posição em função do instante s(t) = 100 + 50/21t 5/21t 2 102 posição (km) 100 98 96 94 92 90 3 4 5 6 7 8 instante (min) 9 10 11 12 (a) Calcule: i. o deslocamento escalar e a velocidade escalar média do carro entre os instantes: A. (2;3) min, B. (3;4) min, C. (4;5) min, D. (5;6) min, 2 deslocamento escalar = velocidade escalar média intervalo de tempo e v m(t 1 ; t 2 ) = v(t 1) t 1 + v(t 2 ) t 2 + t 1 + t 2 + (1.2) 3 v m(t 1 ; t 2 ) = v(t 1) dt 1 + v(t 2 ) dt 2 + dt 1 + dt 2 + = R t2 t 1 v(t)dt R t2 t dt 1 = área sob o gráfico da velocidade escalar, entre t 1 e t 2 t 2 t 1 (1.3) 4

E. (6;7) min, F. (2;8) min; ii. o valor indicado pelo conta quilómetros e a velocidade escalar instantânea 4 nos instantes: A. 2 min, B. 3 min, C. 5 min, D. 8 min. Sugestão: Calcule a velocidade escalar instantânea usando o método gráfico e o método analítico. (b) Obtenha o gráfico da velocidade escalar instantânea em função do tempo. (c) Obtenha a expressão geral para o deslocamento escalar do corpo entre o instante t = 0 s e qualquer outro instante t entre [2; 13] min. 7. Uma atleta Olímpico descreve uma trajectória circular de raio 100 m e passa no instante t = 0s em A, deslocando-se no sentido horário (ver figura). Supondo que a velocidade escalar do atleta é constante e igual a 10 m/s Determine: (a) o deslocamento escalar do atleta entre os instantes t = 0s e t = 10s; (b) o tempo que o atleta demora a dar uma volta à pista; B A + Figura 1.1: Trajectória do atleta (c) a expressão da posição escalar do atleta na pista em função do tempo, admitindo como origem das posições o ponto de partida (ponto A) e como sentido positivo para a medida das posições o sentido horário. (d) Volte a resolver a alínea anterior tomando como origem das posições o ponto B e como sentido positivo o sentido anti-horário. (e) Calcule os primeiros dois instantes, a partir do instante t = 10 s, em que o atleta se encontra na posição escalar s = 5 m. Tome o ponto A como origem das posições e como sentido positivo o sentido horário. Solução: a) 100 m; b) 20π s; c) s(t) = 10t (S.I.) d)150π 10t (S.I.) 4 v(t 1 ) = lim v m(t 1 ; t 2 ) = ds(t) = declive da recta tangente no instante t 1 (1.4) t 2 t 1 dt t=t 1 5

8. (Alonso, pg 46, 3.5) Como variam a velocidade escalar e a aceleração tangencial escalar de um corpo quando este se move livremente: (a) para cima; (b) para baixo. 9. (Alonso, pg 46, 3.6) Como se pode distinguir experimentalmente o movimento uniforme do movimento acelerado? 10. (Alonso, pg 62, 4.1) De que forma varia a velocidade escalar no (a) movimento rectilíneo e uniforme, (b) movimento rectilíneo uniformemente acelerado, (c) movimento rectilíneo uniformemente retardado? Explique cada caso. 11. Obtenha as expressões para o deslocamento escalar de um corpo entre os instantes t e t o, supondo que a sua velocidade escalar inicial é v o (v o = v(t = t o ) e que ao longo do tempo: (a) a velocidade escalar instantânea v(t) se mantém constante (movimento uniforme), (b) a aceleração tangencial escalar se mantém constante e igual a a (movimento uniformemente variado), (c) a aceleração tangencial escalar varia segundo a expressão a(t) = 5t 4 (movimento variado); Solução:s(t) s(t o ) = v o (t t o ); s(t) s(t o ) = v o (t t o + 1 2 a(t t o) 2 ); s(t) s(t o ) = v o (t t o ) + 1 6 (t t o) 2 (5t + 10t o 12); 1.1.2 Exercícios de movimento rectilíneo 1. A velocidade escalar de um ponto que se desloca numa recta é dada por : v(t) = 1 + 6t 2, com v em m/s e t em segundos. Sabendo que quando t = 2s, x = 20m, determine: (a) as expressões da aceleração tangencial escalar e da posição escalar em qualquer instante; (b) a posição escalar,a velocidade escalar e aceleração tangencial escalar iniciais (no instante t=0s). Solução: a)12t; 2t 3 +t+2; b)2 m; 1 m/s; 0 m/s 2 2. O gráfico da figura representa a velocidade escalar de um ponto material, em função do tempo. A trajectória é uma linha recta e inicialmente o ponto desloca-se de Sul para Norte. 6

(a) Indique em qual dos três intervalos de tempo, 2-3s, 4-5s e 6-7s: i. é mínimo o espaço percorrido. ii. é máximo o módulo da velocidade média; (b) Determine a aceleração tangencial escalar do ponto material no instante t=3s. (c) Para o intervalo de tempo de [2,5] s indique: i. o espaço percorrido pelo ponto material; ii. o deslocamento escalar do ponto material. (d) Em que instante esteve o ponto material a maior distância do ponto de partida? Construir o gráfico a(t) para o movimento deste ponto material no intervalo de 0 a 7s, admitindo que entre os instantes t=6s e t =7s a aceleração tangencial escalar varia linearmente com o tempo. Solução: ai)[6;7] s; aii)[2;3] s; b)-5 m/s 2 ; ci)12,5 m; cii)7,5 m; d)4 s 3. Uma partícula move-se em linha recta com velocidade escalar inicial v o tendo uma aceleração constante igual a a. Quando a velocidade escalar aumenta para 5v o, a aceleração muda de sentido ficando a sua grandeza inalterável. Determine a velocidade escalar da partícula no instante em que volta a passar pelo ponto de partida. Solução: -7v o 4. Uma bola é atirada verticalmente para cima partindo do chão, com uma velocidade escalar de 25 m/s. Calcule: (a) o tempo que a bola leva a atingir o ponto mais alto da trajectória; (b) a altura máxima que a bola atinge; (c) o instante em que a bola está a 30 metros do chão; (d) a velocidade escalar da bola nos instantes t = 1,9 s e t = 3,2 s. Solução: (a)2,55 s; (b)31,9 m; (c)t = 1,9 s e t = 3,2 s; (d) 6,38 m/s 5. (Alonso, pg 46, 3.3) Um corpo é lançado na vertical para cima com uma velocidade escalar v o. Determine a velocidade escalar e a aceleração tangencial escalar quando: (a) o corpo atinge o ponto mais elevado da trajectória; (b) o corpo regressa à superfície terrestre. 6. (Alonso, pg 46, 3.4) Trace os vectores que representam a velocidade e a aceleração de: (a) um corpo em queda livre; (b) um corpo lançado verticalmente para cima. 7. (Alonso, pg 46, 3.7) Um corpo é lançado verticalmente para cima; depois de alcançar uma certa altura começa a cair. Trace um diagrama que mostre a velocidade escalar e a aceleração tangencial escalar quando o corpo passa pelo mesmo ponto, na subida e na descida. 8. (Alonso, pg 46, 3.8) Por que motivo são a velocidade e a aceleração grandezas vectoriais? 1.2 Exercícios de cinemática vectorial 1.2.1 Exercícios de movimento de projécteis 9. (Alonso, pg 62, 4.8) Mostre que o alcance de um projéctil é o mesmo para os ângulos α e 90 -α. O tempo de vôo é o mesmo em ambos os casos. 10. (Alonso, pg 62, 4.10) Dois projécteis são lançados em A com a mesma velocidade escalar inicial, mas com direcções diferentes, como mostra a figura. Compare a sua velocidade e aceleração quando passam pelo ponto P. 7

11. (Alonso, pg 62, 4.11) Compare a velocidade e a aceleração de um projéctil quando passa pelos pontos A e B, que se encontram à mesma altura, como mostra a figura. 12. (Alonso, pg 76, 5.6) Explique por que motivo a aceleração efectiva da gravidade aumenta com a latitude. 13. Um corpo é lançado horizontalmente do cimo de uma mesa e atinge o solo no ponto B com uma velocidade de 1, 2 u x 4, 0 u y (SI). Desprezando a resistência do ar, determine: (a) velocidade com que o corpo foi lançado; (b) a altura da mesa; (c) a distância AB; (d) a aceleração do corpo no instante t=0,1 s. Solução: a)1,2 u x m/s; b)0,8 m; c)0,48 m: d)-10 u y m/s 2. 14. Lança-se uma bola com velocidade escalar inicial v o = 20 m/s segundo um ângulo α com a horizontal, tal que sin α = 0, 6 e cos α =0,8. (a) Escreva as expressões cartesianas do vector posição e do vector velocidade para t=1s. 8

(b) Determine o raio da trajectória para o instante t=1s. (c) Calcule a altura máxima atingida pela bola e a velocidade nesse ponto. (d) Calcule o alcance horizontal da bola. Solução: a) v(1) = 16 u x + 2 u y m/s; r(1) = 16 u x + 7 u y m; b)27,4 m; c)7,2 m; v(1, 2) = 16 u x m/s; d)38,4 m. 15. Um projéctil é lançado por cima de um plano inclinado, ver figura, com uma velocidade escalar de 30 m/s, fazendo um ângulo de 60 com a direcção horizontal. d 60 30 (a) Mostre que o projéctil percorre uma distância d = 60 m. (b) Calcular o ângulo de lançamento ao qual corresponde uma distância d máxima. Solução: 60 o 16. Um motociclista acrobata pretende saltar o desfiladeiro de 10 m de largura representado na figura, indo de A para B. As duas margens do desfiladeiro têm um desnível de 3 m. A margem mais baixa tem uma inclinação de 30. A velocidade escalar máxima conseguida na subida, pela motocicleta utilizada, é de 60 km/h. (a) Por meio de cálculos, justifique que o salto poderá ser tentado com segurança. (b) Determine a posição do ponto mais alto atingido pelo motociclista na sua trajectória. (c) Calcule a que distância de B o motociclista voltará a tocar o solo Solução: b) r(0, 85) = 12, 3 u x + 3, 6 u y m; c)7,4 m. 17. Calcule o raio de curvatura no ponto mais alto da trajectória de um projéctil cuja velocidade de disparo forma um ângulo α com a horizontal. Solução: v o 2 cos 2 α g 1 1.2.2 Exercícios de movimento curvilíneo e circular 18. (Alonso, pg 62, 4.2) Que aspecto da velocidade permanece constante e que aspecto varia no movimento curvilíneo uniforme? 9

19. (Alonso, pg 62, 4.3) Por que motivo no movimento curvilíneo a velocidade é sempre um vector tangente à trajectória? 20. (Alonso, pg 62, 4.4) Por que motivo no movimento curvilíneo o vector aceleração tem o sentido dirigido para o lado côncavo da trajectória? 21. (Alonso, pg 62, 4.5) Verifique que as unidades da aceleração tangencial e da aceleração normal correspondem às da aceleração, isto é, m/s 2. 22. (Alonso, pg 62, 4.6) De que movimento se trata quando: (a) a aceleração centrípeta é zero? (b) a aceleração tangencial é zero? 23. (Alonso, pg 62, 4.7) Como se explica que o movimento curvilíneo com aceleração constante deva estar num plano? Que vectores determinam o referido plano? 24. (Alonso, pg 76, 5.3) É possível que um corpo tenha aceleração centrípeta e não tenha aceleração tangencial, ou que tenha aceleração tangencial e não tenha aceleração centrípeta? 25. (Alonso, pg 76, 5.1) O que é um processo periódico? Dê exemplos. 26. (Alonso, pg 76, 5.2) Por que motivo a aceleração do movimento circular uniforme se designa por centrípeta? (Procure num dicionário o significado da palavra) 27. (Alonso, pg 76, 5.4) Por que razão a velocidade angular é representada por um vector perpendicular ao plano do movimento circular? 28. (Alonso, pg 76, 5.5) Demonstre que no movimento circular acelerado a aceleração pode ser escrita como a = α r + w ( w r), onde α = d w dt é o vector da aceleração angular. 29. O vector posição de uma partícula no instante t é : Determinar : (a) a velocidade em cada instante t ; (b) o plano do movimento da partícula; r(t) = cos(πt) u x + sin(πt) u y + 3 u z (S.I) (1.5) (c) o módulo da velocidade em qualquer instante t; (d) o tipo de movimento, atendendo à variação do módulo da velocidade; (e) a velocidade no instante t=0s; (f) a aceleração e o módulo da aceleração num instante t; (g) os módulos das componentes normal e tangencial da aceleração num instante t; (h) o raio de curvatura para t=1s; (i) a trajectória do movimento. Solução: a) π sin(πt) u x + π cos(πt) u y m/s; b) plano z = 3 m; c) π m/s; d) movimento uniforme; e)π u y (m/s); f) π 2 cos (πt) u x π 2 sin(πt) u y m/s 2 ; π 2 m/s 2 ; g) π 2 m/s 2 ; 0 m/s 2 ; h)1 m; i) movimento circular 30. Um móvel percorre um arco de circunferência de raio 0.4 m com um velocidade escalar que varia segundo a lei V = 4-30 t (S.I).Determine a aceleração no instante t = 0s. Determine o ângulo que a aceleração e a velocidade fazem entre si nesse instante. Solução: 30 u T + 40 u N m/s 2 ; α = arctan ( 4 3 ) 127 10

31. Uma partícula descreve uma trajectória circular segundo a lei s(t) = t 2 + 4t + 3 (S.I.) e passa no instante t=0s em A, deslocando-se no sentido anti-horário (ver figura). O raio da trajectória é tal que o sentido do movimento se inverte em B. Determinar: (a) o raio da trajectória; (b) a aceleração do movimento da primeira vez que a partícula passa em B; (c) os instantes em que a partícula passa pelo ponto A; (d) a aceleração do movimento nas sucessivas passagens em A. Solução: a) 8/πm; b) 2 u T m/s 2 ; c) t 1 = 0 s; t 2 = 4 s; t n = 2 + 2 1 + 4n, n = 0, 1, 2,...; d) 2 u T + 2(1 + 4n)π u N m/s 2, n = 0, 1,... 32. Uma partícula de massa m desloca-se sobre a calha ABCD da figura, em que AB tem a direcção horizontal e BCD é circular de raio igual a 4 m. Sabendo que a partícula parte do ponto B em direcção a A e que a sua velocidade escalar é dada por v(t)= 2t-4 (S.I.), calcular: (a) Os vectores velocidade e aceleração para t=0s e t=2s. (b) A distância AB, sabendo que em A a partícula inverte o sentido do movimento. (c) O instante em que a partícula atinge o ponto D. (d) Supondo que a partir do ponto D a partícula fica sujeita apenas ao seu peso, calcular: i. O tempo que a partícula demora a atingir a superfície horizontal ii. Os vectores velocidade e aceleração da partícula nesse ponto. Solução: a) v(0) = 4 u T m/s; a(0) = 2 u T m/s 2 ; v(2) = 0m/s; a(2) = 2 u T m/s 2 ; b)4 m; c)5,52 s; d) 1,26 s; e) 6, 09 u x 16, 07 u y m/s 2. 11

33. Uma partícula descreve um movimento cuja trajectória é circular, de raio 6 m, e centrado no ponto A de coordenadas (3,5,2) m. O vector ω tem a forma ω = ω x u x com ω x = constante > 0. No instante t=0s a partícula encontra-se no ponto B de coordenadas (3;5+3 3;5) m e executa 150 voltas em 30s. (a) Indique em que plano se movimenta a partícula e qual o sentido do movimento circular. (b) Calcular o período do movimento. (c) Obter o vector posicional, r(t), que caracteriza o movimento. (d) Determinar em que instantes a partícula se encontra no plano y=0, e no plano z=0. (e) Obter os vectores velocidade, v(t), e aceleração, a(t). (f) Escrever a expressão s(t), considerando a origem dos arcos no ponto B, e calcular o espaço percorrido pela partícula até ao instante t=0.15 s. Solução: b)0,2 s; c) r(t) = 3 u x + (5 + 6 cos(10πt + π/4) u y + (2 + 6 sin(10πt + π/4) u z m; e)plano y = 0: instantes impares 2nπ+1,77 10π, instantes pares 2nπ+2,94 10π ; plano z = 0: instantes impares 2nπ+2,70 10π, instantes pares 2nπ+5,16 10π d) v(t) = 60π sin(10πt+π/4) u y +60π cos(10πt+ π/4) u z m/s; a(t) = 600π 2 cos(10πt+π/4) u y +600π 2 sin(10πt+π/4) u z m/s 2 ; e) 60πt; 9πΓ 28, 3m. 1.2.3 Exercícios de movimento relativo 34. (Alonso, pg 62, 4.9) Que resultado físico se deduz da afirmação de que a aceleração de um corpo permanece constante sob acão da transformação de Galileu? 35. (Alonso, pg 46, 3.9) Um pássaro voa horizontalmente e em linha recta, com velocidade constante em relação ao solo. Em que condições parece o pássaro estar parado em relação a um observador que se desloca de carro? E em que condições parece o pássaro voar para trás? 36. (Alonso, pg 46, 3.10) Explique por que a velocidade de A em relação a B e a velocidade de B em relação a A têm o mesmo módulo, mas sentidos opostos. 37. (Alonso, pg 76, 5.7) Discuta o efeito da aceleração de Coriolis sobre um corpo que se move num plano horizontal no Hemisfério Sul. 38. (Alonso, pg 76, 5.8) Verifique que, no caso de um corpo que cai no Hemisfério Norte, a aceleração de Coriolis aponta para Leste e tem a magnitude de 2wV cos λ, onde λ é a latitude. Verifique que, se o corpo se mover verticalmente para cima, a aceleração de Coriolis aponta para Oeste e tem mesma magnitude. 39. (Alonso, pg 76, 5.9) Verifique que, no caso de um corpo que se move no Hemisfério Norte para Norte, a aceleração de Coriolis aponta para Leste e tem a magnitude de 2wV sin λ. Verifique que, se o corpo se mover para Sul, a aceleração de Coriolis aponta para Oeste e tem a mesma grandeza acima dada. 40. (Alonso, pg 76, 5.10) Discuta o efeito da aceleração de Coriolis sobre um corpo que cai no Hemisfério Sul. 41. O piloto de um avião deseja alcançar um ponto 200 km a leste do lugar que ocupa. Sopra vento de Noroeste com velocidade escalar de módulo 30km/h. Calcule a velocidade do avião em relação ao ar se o avião demorar 40min a chegar ao seu destino com velocidade constante. Solução: 279,6 km/h; 4.35º a norte da direcção Oeste-Este. 42. Um motorista de um automóvel que se desloca a 80 km/h observa que a chuva deixa nas janelas laterais, marcas inclinadas de 80 com a vertical. Ao parar o carro ele nota que a chuva cai verticalmente. Calcule a velocidade da chuva relativa ao carro 12

(a) quando este está parado; (b) quando este se move a 80 km/h. Solução: a) 14, 11 u y km/h; b)81,23 km/h; 190. 43. Um rio tem 1 km de largura. O módulo da velocidade da corrente é de 2km/h. Determine o tempo que um homem leva num barco a remos, para ir e voltar directamente de uma margem à outra. Compare esse tempo com o tempo que leva o homem para remar 1km, rio acima, e voltar ao local de partida. O barco a remos tem velocidade de módulo constante igual a 4km/h relativamente à água. Solução: 34 min 38,5 s; 40 min. 44. Um transatlântico navega a 18 km/h. Um passageiro desloca-se em linha recta de A até B, sobre a coberta, em sentido contrário ao do deslocamento do barco, com velocidade de módulo 4 m/s (ver figura). Em seguida desloca-se com igual rapidez de B até C. Sabendo que AB=30m e BC=12m: (a) calcule a velocidade do passageiro em relação à água i. no percurso AB; ii. no percurso BC. (b) Determine o deslocamento total do passageiro em relação à água. Solução: 1 u x m/s; 5 u x + 4 u y m/s) 25, 5 m. 13

Capítulo 2 Fichas de dinâmica do ponto material 1. (Alonso, pg 97, 6.1) O que é uma partícula livre? Como se reconhece (experimentalmente) uma partícula livre? 2. (Alonso, pg 97, 6.2) Discuta o conceito de observador inercial. Como se pode distinguir um observador inercial de um não inercial? 3. (Alonso, pg 97, 6.3) Enuncie o princípio de conservação do momento aplicado: (a) a uma molécula de hidrogénio isolada; (b) ao sistema solar. 4. (Alonso, pg 97, 6.4) Por que razão podemos dizer que a massa é uma propriedade de cada partícula, independentemente das forças que actuam sobre ela? 5. (Alonso, pg 97, 6.5) Enuncie a lei da acção e reacção aplicada: (a) ao sistema Terra-Lua; (b) ao sistema protâo-electrão de um átomo de hidrogénio. 6. (Alonso, pg 97, 6.6) Qual é a relação entre o sentido de uma força e: (a) a variação do momento; (b) a aceleração de uma partícula? 7. (Alonso, pg 97, 6.7) Num dado instante, a intensidade da força que actua sobre uma partícula é F. Algum tempo depois, a intensidade da força duplica. Qual é a relação entre as taxas de variação do momento da partícula nos dois instantes? 8. (Alonso, pg 97, 6.8) Como é que se reconhece que a Terra exerce uma força sobre todos os corpos próximos da sua superfície? Como se mede e como se designa esta força? 9. (Alonso, pg 97, 6.9) Que quantidades físicas são invariantes por meio da transformação de Galileu? 10. (Alonso, pg 97, 6.10) O impulso de uma força F que actua sobre uma partícula durante o tempo t o até ao tempo t é definido por I = t t o F dt. Mostre que o impulso é igual à variação do momento p = I. Prove que quando a força é constante, I = F t, onde t = t t o. 11. (Alonso, pg 97, 6.11) Represente graficamente a intensidade da força F que actua sobre um corpo, em função do tempo. Verifique que a área abaixo da curva correspondente ao intervalo t t o é igual ao impulso. 12. (Alonso, pg 97, 6.12) Em que condições é que uma força muito intensa, que actua durante um período de tempo muito curto, produz a mesma variação de momento que uma força fraca que actua durante um longo período de tempo? Faça o diagrama das forças em função do tempo, para justificar a resposta. 14

13. (Alonso, pg 97, 6.13) Discuta a relação entre os conceitos de interacção e força. 14. (Alonso, pg 97, 6.14) Seja F a força exercida pela Terra sobre um corpo situado na sua superfície e R o raio da Terra. Represente graficamente os pontos que correspondem à força sobre o corpo quando a sua distância ao centro da Terra é 2R, 3R e 4R, se a força variar na proporção inversa do quadrado da distância. Una os pontos com uma linha curva. Sendo a aceleração da queda livre junto à superfície da Terra 9,8 m/s2, determine a aceleração para as distâncias 2R, 3R e 4R. 15. (Alonso, pg 97, 6.15) Que relação (ou relações) é (são) a(s) mesma(s) para todos os observadores inerciais, de acordo com o princípio clássico da relatividade? 16. (Alonso, pg 97, 6.16) Explique a origem das forças inerciais e dê alguns exemplos. 17. (Alonso, pg 97, 6.17) Um objecto que se move com velocidade V em relação a um observador inercial O bate numa parede que se move em direcção oposta com velocidade v em relação a O. Qual é a velocidade do objecto em relação ao muro antes e depois do choque? Qual a velocidade do objecto em relação a O depois do choque. (Nota: consulte o exercício 6.4) 18. (Alonso, pg 113, 7.1) Explique por que quando a força é constante, o movimento ocorre num plano determinado pela força e pela velocidade inicial. 19. (Alonso, pg 113, 7.2) Na figura trace as forças que actuam sobre m 1 devidas às outras massas. Suponha que as forças são de atracção. 20. (Alonso, pg 113, 7.3) Um corpo está suspenso numa das extermidades de uma corda. Puxase para cima a outra extremidade da corda. A força do puxão é maior, igual ou menor que o peso do corpo quando o movimento para cima é (a) uniforme, (b) acelerado, (c) retardado? 21. (Alonso, pg 113, 7.4) Explique o que se pretende significar quando se diz que as forças de atrito e de viscosidade são estatísticas. 22. (Alonso, pg 113, 7.5) Existe uma relação específica entre o sentido da força de atrito e o sentido da velocidade de um corpo? O sentido da força de atrito está relacionado com o sentido da aceleração? 23. (Alonso, pg 113, 7.6) Um corpo move-se sobre uma superfície horizontal sob a acção de uma força aplicada. Que tipo de movimento resulta quando a força aplicada é (a) maior, (b) igual e (c) menor do que a força de atrito? Que tipo de movimento resulta se a força for igual a zero? 24. (Alonso, pg 113, 7.7) Explique por que um corpo que cai num fluido viscoso atinge uma velocidade constante ou limite. Qual é a relação entre o peso do corpo e a força de viscosidade quando o corpo atinge a velocidade limite? A forma do corpo afecta a velocidade limite? 15

25. (Alonso, pg 113, 7.8) Pode um corpo estar em equilíbrio e em movimento? Que tipo de movimento? Pode um corpo estar em repouso mas não em equilíbrio? 26. (Alonso, pg 113, 7.9) Existe uma relação específica entre o sentido da força resultante sobre uma partícula e os sentidos da aceleração da partícula e da sua velocidade? 27. (Alonso, pg 113, 7.10) Aristóteles afirmou que os corpos diferentes caem com diferentes velocidades. Galileu demonstrou que todos os corpos caem com a mesma aceleração. Em que condições ambas as afirmações são correctas? 28. (Alonso, pg 113, 7.11) A equação m a = F κη v do movimento num fluido viscoso pode ser escrita como m d v dt = F κη v. Se F for o peso, m g, do corpo, esta equação reduz-se a d v κη dt = g m v (a) verifique por substituição directa que a solução desta equação é v = m g κηt κη (1 exp m ) + v o exp κηt m, onde v o é a velocidade para o instante inicial (t=0 s). (b) Mostre que a velocidade limite (t ) é dada pela equação v L = m g κη. 29. (Alonso, pg 127, 8.1) Um corpo move-se ao longo de uma trajectória curva. A força é tangente à trajectória para o lado côncavo ou convexo? 30. (Alonso, pg 127, 8.2) Se o módulo da velocidade permanece constante no movimento circular uniforme, por que é que é necessária uma força centrípeta? 31. (Alonso, pg 127, 8.3) Que acontece à velocidade angular e ao raio se a força tangencial é zero e a força centrípeta aumenta constantemente? 32. (Alonso, pg 127, 8.4) Responda à pergunta anterior considerando que a força tangencial aumenta constantemente, enquanto a força centrípeta permanece constante. 33. (Alonso, pg 127, 8.5) Por que é necessária uma inclinação nas vias férreas e nas estradas? 34. (Alonso, pg 127, 8.6) Qual é o efeito sobre a velocidade de (a) uma força centrípeta? e (b) uma tangencial? 35. (Alonso, pg 127, 8.7) Que acontece ao módulo da velocidade sob a acção de uma força axial F = A v? Que acontece à direcção? 36. (Alonso, pg 127, 8.8) Mostre que o momento de uma força também pode ser definido como produto do comprimento do vector de posição r e a componente da força f perpendicular a r. 37. (Alonso, pg 127, 8.9) Qual a relação entre a direcção do momento angular de um corpo e a sua velocidade? 38. (Alonso, pg 127, 8.10) Existe uma relação entre a direcção do momento de uma força e a da (a) força, (b) momento angular, (c) a taxa de variação do momento angular? 39. (Alonso, pg 127, 8.11) Que equação é mais fundamental: F = d p dt ou M = d L dt? Porquê? 40. (Alonso, pg 127, 8.12) Que quantidade é uma constante do movimento quando a força é central? Que quantidade permanece constante quando a força é axial? 41. Os blocos A e B de massas respectivamente iguais a 2 kg e 8 kg, estão assentes numa superfície horizontal, ligados por um fio inextensível de massa desprezável, existindo atrito entre os blocos e a superfície horizontal, sendo o coeficiente de atrito µ para ambos os corpos. Aplica-se, no bloco B, uma força horizontal de módulo 40 N. 16

A B F (a) Efectue a representação de todas as forças que actuam nos dois blocos. (b) Determine o valor mínimo de µ para que os blocos não se movimentem. (c) Trocando os blocos, passando a força a estar aplicada no bloco A, a tensão no fio inextensível será a mesma? Justifique, apresentando os cálculos. Solução: b) 0,4; c) 8N a 32 N 42. Considere a figura ma=mb=4 Kg A B 30º Os corpos A e B estão ligados por um fio inextensível e deslizam, respectivamente, num plano horizontal e num plano inclinado, sendo a força aplicada horizontalmente no corpo A com a intensidade de 40 N. O coeficiente de atrito entre os corpos (A e B) e as superfícies sobre as quais deslizam é o mesmo (µ = 0, 2). A massa da roldana e o atrito no fio inextensível são desprezáveis. (a) Faça um esquema marcando todas as forças que actuam nos corpos A e B. Determine: i. a aceleração dos corpos. ii. a tensão no fio. iii. O maior e o menor valor que pode ter a força sem que os corpos se movam. Considere o coeficiente de atrito estático 0,2. Solução: b1) 0, 634 m/s 2 ; b2) 29,5 N; c) 5,07 N e 34,9 N 43. (Alonso pg.164) Calcule a velocidade limite de uma gota de chuva de diâmetro 10 3 m. A densidade do ar relativamente à água é 1, 3 10 3. 44. Um bloco de 10 kg repousa, sustentado por uma corda sobre um plano inclinado que pode girar em torno do eixo AB. 17

A 30º B (a) Sendo 2 m o comprimento da corda determinar a tensão na corda quando a velocidade de rotação do conjunto constituído pelo plano inclinado e bloco for igual a 10r.p.m. (b) Determinar a velocidade angular a partir da qual o bloco começa a elevar-se e abandona o plano. Solução: a) 66,4N; b) 10 rad/s 45. (Alonso pg.87) Uma arma cuja massa é 0,8 kg dispara um projéctil com massa de 0,016 kg com a velocidade de 700 m/s. Calcule a velocidade de recuo da arma. 46. (Alonso pg.92) A intensidade da força de atracção gravitacional entre a Terra e a Lua é F = 1, 985 10 17 N. A massa da Terra é de 5, 97 10 22 kg. Calcule para cada corpo o módulo da aceleração devida a essa força. 47. (Alonso pg.97) O que é uma partícula livre? Como se reconhece (experimentalmente) uma partícula livre? 48. (Alonso pg.97) Enuncie a lei da acção-reacção aplicada (a) ao sistema Terra-Lua. (b) ao sistema protão-electrão num átomo de hidrogénio. 49. (Alonso pg.107) Um corpo cuja massa é 0,80 kg é colocado sobre um plano com 30 de inclinação. O coeficiente de atrito de deslizamento com o plano é 0,3. Que força deve ser aplicada ao corpo para que ele se movimente: (a) para cima; (b) para baixo; em ambos os casos suponha que o corpo se move i. com movimento uniforme; ii. com aceleração 0, 10 m/s 2. 18

Capítulo 3 Fichas de trabalho e energia do ponto material 1. (Alonso, pg.132) Calcule o trabalho realizado por uma força variável F aplicada num corpo, quando este se desloca de A para B, numa trajectória curvilínea (figura 1). Solução: Em geral, à medida que um corpo se move, varia a componente tangencial da força, FT, que actua sobre o corpo. Na figura representamos FT como função da distância s medida ao longo da trajectória. O trabalho dw = FT ds realizado durante um pequeno deslocamento ds corresponde à área da estreita faixa rectangular da figura 2. Assim, podemos determinar o trabalho total realizado sobre a partícula da figura 1 para a mover de A até B, primeiro dividindo toda a área sombreada da figura 2 em rectângulos estreitos e depois somando essas áreas. Isto é, o trabalho total é dado pela área sombreada da figura 2. Este resultado é importante do ponto de vista prático para o cálculo do trabalho de diversas máquinas. Ft dr1 dr2 F1 dr3 F2 F3 dr4 F4 B Ft dw=ftds wab=área sob a curva Ft entre A e B A A ds B s 2. (Alonso, pg 150, 9.1) Enuncie as condições em que o trabalho realizado por uma força é (a) zero, (b) positivo e (c) negativo. 3. (Alonso, pg 150, 9.2) Como mede a potência média de uma máquina durante um certo intervalo de tempo? 4. (Alonso, pg 155, 9.4) Que acontece à energia cinética de uma partícula quando o trabalho da força aplicada é positivo? E quando é negativo? 5. (Alonso, pg 155, 9.5) Que acontece à energia potencial de uma partícula quando o trabalho da força aplicada é positivo? E quando é negativo? 6. (Alonso, pg 155, 9.6) Qual a relação entre a variação de energia cinética e de energia potencial de uma partícula com o trabalho realizado pelo seu peso? 19

7. (Alonso, pg 155, 9.3) Observe a figura em baixo e suponha que o carro se move para cima. Indique as forças que realizam trabalho positivo, as que realizam trabalho negativo e as que não realizam trabalho nenhum. Repita o exercício supondo que o automóvel se move para baixo. 8. (Alonso, pg.135) A mola representada nas figuras abaixo tem uma das extremidades fixa a uma parede vertical e a outra ligada a uma massa m. Desloca-se a massa para a direita a uma distância a, e depois solta-se. Calcule a sua energia cinética quando ela se encontra a uma distância x da posição de equilíbrio. posição de equilíbrio (a) F=0 x=a (b) F= kz<0 x>0 (c) F= kx<0 (d) x<0 F= kx>0 (e) x= a F= k( a)>0 Solução: 1 2 k(a2 x 2 ) 20

9. (Alonso, pg 155, 9.7) Uma partícula de massa m cai verticalmente de uma altura h. Escreva uma equação que relacione a variação de energia cinética da partícula com o trabalho realizado pelo seu peso. 10. (Alonso, pg.133) Calcule o trabalho necessário para produzir numa mola a elongação de x, sem aceleração. Solução: 1/2kx 2 11. (Alonso, pg 155, 9.8) Considere a solução do problema 8. Que significado físico se pode associar ao facto de a energia cinética depender do negativo do quadrado do deslocamento, x, da partícula? Existe limite para os possíveis valores de x? 12. (Alonso, pg 155, 9.9) Uma partícula de massa m está ligada a uma mola de constante elástica k. Distende-se a mola a uma distância a e solta-se. Relacione a energia potencial da partícula em x=a com a sua energia cinética em x=0. Qual é a velocidade da partícula em x=0? Recorde o problema 8 deste capítulo. 13. (Alonso, pg 155, 9.10) Considere a figura em baixo. Por que podemos ignorar a força F ao escrever a conservação da energia? 14. (Alonso, pg 155, 9.11) O que a força conservativa conserva? 15. (Alonso, pg 155, 9.12) Qual o significado físico das forças dissipativas? 16. (Alonso, pg 155, 9.13) A partir da representação gráfica de Ep(r) em função de r, explique como podemos determinar se uma força central é repulsiva ou atractiva. Trace o gráfico de Ep(r) correspondente a uma força central de repulsão a curtas distâncias e de atracção a grandes distâncias. Repita o exercício para o caso oposto. 17. (Alonso, pg 155, 9.14) Uma partícula move-se para baixo sob a influência de uma força cuja energia potencial se pode descrever como poço de potencial, com profundidade E0 e largura b. Trace a curva de energia potencial, com uma margem do poço em x=0 e outra em x=b. Quando é que o movimento é ligado? E não ligado? 18. (Alonso, pg 155, 9.15) Quais são os três pares de conceitos relacionados, até agora enunciados, para estudar o movimento de uma partícula? 19. (Alonso, pg.133) Um automóvel de massa igual a 1200 kg sobe uma colina com inclinação de 5 com a velocidade de 36 kmh 1. Calcule: (a) o trabalho que o motor realiza em 5 minutos; (b) a potência desenvolvida. 21

Despreze todos os efeitos do atrito. Solução: (a) 3, 069 10 6 J ; (b) 1, 023 10 4 W 20. (Alonso, pg.137) Um electrão acelerado num tubo de televisão chega à tela com uma energia cinética de 10000 ev. Calcule a velocidade do electrão. Solução: v = 5, 931 10 7 ms 1 21. (Alonso, pg.140) Calcule a energia potencial de uma partícula associada às seguintes forças centrais: (a) F = kr; (b) F = k r 2, onde r é a distância do centro à partícula. O sinal negativo em ambos os casos significa que a força é atractiva em relação ao centro. Se o sinal for positivo, a força é repulsiva. Solução: a) 1 2 kr2 + C; b) k r + C. 22. (Alonso, pg.146) Calcule a energia potencial de um pêndulo gravítico de comprimento l que faz um ângulo θ com a direcção vertical. Tome, como nível zero do potencial, o ponto mais baixo atingido pela pêndulo. Solução: mgl(1 cos θ) 23. (Alonso, pg.150) Um corpo, inicialmente em repouso, cai através de um fluído viscoso a partir de uma altura y o. Calcule a razão da dissipação da sua energia cinética e potencial gravitacional depois de atingir a velocidade limite. d Solução: dt (E c + E p ) = m2 g 2 kη 24. Sobre uma partícula de massa 2 kg actua, durante 2 s, uma força dada por F = 16t u x + 21t 2 u y (N). Sabendo que quando a força começa a actuar a partícula já está animada da velocidade v = 3 u x + 4 u y (m/s), determine: (a) o impulso comunicado pela força durante os 2 s; (b) o trabalho realizado pela força durante o mesmo intervalo de tempo. Solução:(a) 32 u x + 56 u y kgms 1 ; (b)1, 36kJ 25. Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F = x 2 u x + y 2 u y ( F em N; x e y em m) sobre uma partícula que se move de A(0; 0) para B(2; 4) por cada um dos seguintes caminhos: (a)ao longo da parábola y = x 2 ; (b)de (0; 0) a (2; 0) ao longo do eixo dos xx e depois ao longo da recta x = 2 até ao ponto (2; 4); (c)ao longo da recta y = 2x. Solução: a) 24 J; b) 24 J; c) 24 J 26. Um corpo com massa 1 kg é lançado da superfície da Terra com velocidade de módulo 100 m/s na direcção vertical. À altitude de 500 m a velocidade tem módulo 10 m/s. Sabendo que o trabalho da resistência do ar foi -40 J, calcule a aceleração da gravidade supondo que é constante durante o movimento. Solução: 9, 98ms 2 27. Uma partícula com 1 kg de massa encontra-se em repouso encostada a uma mola de constante elástica k = 100 N/m, comprimida de 10 cm como mostra a figura. Larga-se a partícula e a mola impele-a para a direita. Sabe-se que a partícula se move sem atrito. (a) Calcule a energia mecânica da partícula. (b) Com que velocidade a partícula passa no ponto A? 22

(c) Quanto tempo a partícula demora a atingir o ponto A? (d) Se houver atrito e µ = 0, 2 calcule a distância que a partícula percorre desde que é largada até parar. A Solução: 0, 51 J; 1 m/s; 0, 66 s 60 cm 28. Um corpo de massa m desce, sem atrito, um plano inclinado, e penetra num looping de raio R. Qual deve ser a altura do plano inclinado para que a partícula dê a volta completa no loop? h R a Solução: h 1, 5R 29. Um projéctil de massa 30 g atinge horizontalmente um corpo de massa M de massa 30 kg, suspenso por uma corda de 1m de comprimento. O projéctil penetra no corpo que oscila elevando-se de 3 cm. Com que velocidade incidiu o projéctil sobre M? A B 3 cm Solução: 774 m/s 30. A energia potencial de uma partícula é da forma U = a/r 2 b/r em que a e b são constantes positivas e r a distância da partícula a um ponto fixo. Determine: (a) a posição de equilíbrio da partícula (verifique que o equilíbrio é estável), (b) na região em que a força é atractiva, onde é máxima a sua intensidade. Solução: (a) 2a/b; (b) 3a/b. 23

Capítulo 4 Fichas de movimento harmónico simples 1. (Alonso, pg 185, 10.1) Dê uma definição cinemática do MHS. Dê uma definição dinâmica do MHS. São completamente equivalentes a duas definições? 2. (Alonso, pg 185, 10.2) Como varia o período do MHS quando (a) a massa da partícula aumenta sem variar a constante elástica; (b) a constante elástica aumenta sem variar a massa; (c) a massa e a constante elástica variam na mesma proporção? 3. (Alonso, pg 185, 10.3) Uma partícula move-se de acordo a equação x(t) = A sin(ωt + α). Escreva as equações para a velocidade e aceleração da partícula. Move-se com MHS? Qual é a diferença de fase em relação a x(t) = A cos(ωt + α)? 4. (Alonso, pg 185, 10.4) Dado um deslocamento x(t) = A sin(ωt + α), represente graficamente o vector rotação para o deslocamento, velocidade e aceleração; indique como se pode medir o ângulo de fase (ωt + α). 5. (Alonso, pg 185, 10.5) Repita a figura abaixo para várias posições do pêndulo em qualquer lado de C e determine F t para cada posição. A que conclusão chega sobre a intensidade e direcção de F t? 6. (Alonso, pg 185, 10.6) Em que condições se move um pêndulo com (a) movimento oscilatório, (b) MHS, (c) movimento circular modular? 24

7. (Alonso, pg 185, 10.7) O comprimento do pêndulo de um relógio ajusta-se para que dê a hora correcta quando a amplitude das oscilações é muito pequena. Se, inadvertidamente, se dão ao pêndulo oscilações com uma grande amplitude, andará o relógio demasiado rápido ou demasiado devagar? 8. (Alonso, pg 185, 10.8) O pêndulo de um relógio é ajustado para que dê a hora correcta à latitude de 40. Que acontecerá ao relógio se for levado para o equador e para um lugar de 80 de latitude? Que ajuste se deve efectuar em cada caso? 9. (Alonso, pg 185, 10.9) Expresse a conservação da energia no MHS em termos de x e de v. A partir desta expressão, obtenha v em termos de x e compare o resultado com o do problema 8. 10. (Alonso, pg 185, 10.10) Dois MHS com a mesma frequência e direcção estão sobrepostos. Que tipo de movimento resulta? Quais as propriedades do movimento resultante que dependem da diferença de fase e quais as que não dependem? Qua aconteceria se os movimentos oscilatórios fossem não harmónicos? 11. (Alonso, pg 185, 10.11) Dois MHS com a mesma frequência e direcções perpendiculares estão sobrepostos. Em que condições o movimento resultante é (a) MHS, (b) movimento circular uniforme? É sempre periódico o movimento resultante? 12. (Alonso, pg 186, 10.12) Em que condições se produzem os batimentos? 13. (Alonso, pg 186, 10.13) Quais são as características principais dos modos normais dos osciladores acoplados? 14. (Alonso, pg 186, 10.14) Quando é que um movimento oscilatório é não harmónico? Os osciladores não harmónicos são simétricos em relação à posição de equilibrio? 15. (Alonso, pg 186, 10.15) Por que a adição de uma força λ v a uma força elástica -kx produz um movimento oscilatório amortecido? 16. (Alonso, pg 186, 10.16) Que trocas de energia se dão no movimento oscilatório amortecido? 17. (Alonso, pg 186, 10.17) Por que não são amortecidas as oscilações forçadas de um oscilador amortecido? 18. (Alonso, pg 186, 10.18) Por que razão devem a força e a velocidade estar em fase na ressonância de energia? 19. (Alonso, pg 186, 10.19) Represente a relação P med /P med res Alonso e Finn, pg 175, nota 10.1) para vários valores de Q (ver 25

20. (Alonso, pg 186, 10.20) Analize o significado físico do teorema de Fourrier. Em termos deste teorema, explique a diferença de qualidade da mesma nota musical produzida por diferentes instrumentos (ver nota 10.2) 21. (Alonso, pg 186, 10.21)Uma partícula move-se sob a acção de uma força F=-kr. Escreva a equação do movimento. O movimento ocorre num plano? O que determina o plano do movimento? Decomponha a equação nas componentes X e Y. Procure as soluções correspondentes. Que tipo de movimento resulta? Quais devem ser as condições iniciais para que o movimento resultante seja rectilíneo? O momento angular é constante? 22. (Alonso, pg 186, 10.22) Substitua a equação x = A exp γt cos(ωt + α) para o deslocamento de um oscilador amortecido na equação m d2 x dt + λ dx 2 dt + kx = 0 e prove que é uma solução satisfatória para A e α arbitrários, se ω for dado pela equação ω = (ω0 2 γ 2 ) 1/2. 23. (Alonso, pg 186, 10.23) Prove que a tensão T da corda de um pêndulo é dada por T = mg(3 cos θ 2 cos θ o ). 26

Capítulo 5 Fichas de mecânica de muitos corpos 1. (Alonso, pg 269, 13.1) Estabeleça as propriedades do sistema de referência centro de massa (C). Em que condições C é um sistema de referência inercial? 2. (Alonso, pg 269, 13.2) Qual é a trajectória do centro de massa de um sólido (a) sujeito a forças que não são exteriores, (b) sujeito apenas ao seu peso quando é lançado próximo da superfície terreste e (c) quando é lançado horizontalmente a uma grande altitude? 3. (Alonso, pg 269, 13.3) Qual é a trajectória do centro de massa de um mergulhador depois de ter saltado de um trampolim? Faça um diagrama que mostre a trajectória. 4. (Alonso, pg 269, 13.4) Estabeleça a lei de Newton da acção e reacção referente a dois sistemas de partículas em interação. Aplique-a a dois átomos e a duas galáxias em interação. 5. (Alonso, pg 269, 13.6) Qual é a utilidade do conceito de massa reduzida? 6. (Alonso, pg 269, 13.7) A massa reduzida de um sistema de duas partículas é superior, inferior ou igual à massa de cada partícula? 7. (Alonso, pg 269, 13.8) Em que condições a massa reduzida é praticamente igual à massa de um dos corpos? Dê exemplos de tal situação. Em que condições a massa reduzida é metade da massa de um dos corpos? 8. (Alonso, pg 269, 13.9) Ilustre, com alguns exemplos, o princípio de conservação (i) do momento, (ii) do momento angular para (a) um sistema isolado e (b) dois sistemas em interação. 9. (Alonso, pg 269, 13.10) Você espera encontrar verdadeiros sólidos rígidos na natureza, ou são apenas uma aproximação conveniente, válida em certas circunstâncias? 10. (Alonso, pg 269, 13.11) O momento angular é sempre paralelo à velocidade angular de um sólido rígido? A variação do momento angular de um sólido rígido é sempre paralela ao momento externo? 11. (Alonso, pg 269, 13.12) Discuta o conceito de eixo principal de um sólido rígido. Justifique o facto de eixo de simetria poder ser um eixo principal. 12. (Alonso, pg 269, 13.13) Em que condições são válidas as relações L z = Iω e L = I ω? 13. (Alonso, pg 269, 13.14) Explique porque o único movimento possível de um sólido rígido em relação ao seu CM é uma rotação. Em razão de sua resposta, justifique a possibilidade de se decompor o momento angular de um sólido rígido em dois termos. 27

14. (Alonso, pg 269, 13.15) Qual é a origem do movimento de precessão? 15. (Alonso, pg 269, 13.16) Considere uma mola de constante elástica k. Quando ela está fixa por uma extremidade e na outra se prende um corpo de massa m, o corpo oscila com uma certa frequência. Depois, a mesma mola, com a massa m numa das extermidades, tem a outra extremidade livre e unida a uma massa M (M > m). Esticando a mola e soltando-a em seguida, a sua frequência de oscilação será superior, inferior ou igual à frequência do primeiro caso? 16. (Alonso, pg 269, 13.17) Considere uma barra uniforme de comprimento L. Escreva a equação do movimento para o centro de massa da barra quando é lançada ao ar. A barra é lançada de modo que a extremidade inferior esteja em repouso no sistema L e uma altura Y o do solo. A sua posição é vertical e à extremidade superior é comunicada uma velocidade de 2v o na horizontal. Trace a curva seguida pelo CM. 17. (Alonso, pg 269, 13.18) Escreva a equação do movimento para a extremidade inferior da barra, dadas as condições iniciais da questão anterior. Trace a curva seguida pela extremidade inferior da barra. 18. (Alonso, pg 270, 13.19) Analise os momentos angulares orbital e interno do sistema solar no seu movimento em torno do centro da Via Láctea (ver Fig. em baixo). 19. (Alonso, pg 270, 13.20) Analise os momentos angulares orbital e interno de um electrão em torno do núcleo de um átomo. 20. (Alonso, pg 270, 13.21) Através do teorema de Steiner (Eq. 13.21), verifique que o momento de inércia de um sólido rígido em relação a um eixo que passa pelo seu CM é sempre inferior ao momento de inércia em relação a qualquer outro eixo paralelo. 21. (Alonso, pg 270, 13.22) Em relação a que pontos devem ser calculados o momento angular e o momento de modo que seja válida a equação d L dt = M? 22. (Alonso, pg 270, 13.23) Em que condições são equivalentes as relações I dω dt = M z e I d ω dt = M? 23. (Alonso, pg 270, 13.24) Um sólido rígido pode oscilar em torno de um eixo horizontal que passa por ele. O período depende (a) da massa do sólido, (b) da sua forma (c) do seu tamanho, (d) da posição do eixo em relação ao seu centro de massa? Qual seria o período, se o eixo passasse pelo centro de massa do sólido? 24. (Alonso, pg 270, 13.25) Em que condições as forças internas de um sistema de partículas não contribuem para a variação do momento angular? 25. (Alonso, pg 270, 13.26) Por que o equílibrio de um sólido rígido requer mais condições do que o equilíbrio de uma partícula? 28

26. (Alonso, pg276) Duas massas ligadas por uma haste leve, conforme a figura, estão em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Uma terceira partícula com 0,5 kg de massa aproxima-se do sistema com velocidade e colide com a massa de 2 kg. Qual será o movimento resultante do CM das duas partículas se a massa de 0,5 kg afasta-se, após a colisão, com uma velocidade v f = 1m/s? SOLUÇÃO: 0, 167 u x 0, 083 u y m/s 27. (Fundamentos, pg308) Uma escada de comprimento l e massa m está encostada a uma parede como mostra a figura. O atrito entre a escada e a parede pode considerar-se desprezável. Determinar qual deve ser o coeficiente de atrito estático mínimo entre a escada e o chão para que um homem de massa M possa subir a escada sem perigo de ela escorregar. SOLUÇÃO: µ = cotgα 1 2 m+m m+m 28. (Alonso, pg305) Uma roda girante está submetida a um momento de 10 N.m devido ao atrito em seu eixo. O raio da roda é 0,6 m, sua massa é 100 kg e ela está girando a 175 rad.s-1. Quanto tempo leva a roda a parar? Quantas voltas ela dará antes de parar? SOLUÇÃO: 325 s: 452 rev 29. (Alonso, pg306) O volante de uma máquina a vapor tem 200 kg de massa e um raio de 2 m. Quando ele gira à razão de 120 rpm, a válvula de injecção de vapor é fechada. Supondo que o volante pára em 5 min, qual é o momento devido ao atrito aplicado ao eixo do volante? Qual é o trabalho realizado pelo momento durante esse tempo? SOLUÇÃO: 3, 34 104 N m; 6, 31 10 7 J 30. (Fundamentos, pg320) (a) Determinar a aceleração dos corpos representados na figura, bem como as tensões no fio inextensível e de massa desprezável. (b) Mostre que as tensões no fio, de um lado e de outro da roldana, seriam iguais caso se pudesse desprezar a massa da roldana. (c) Mostre que as tensões no fio, em A e junto oo bloco de massa 10 Kg só podem ser consideradas iguais se se desprezar a massa do fio entre A e o bloco referido. 29

SOLUÇÃO: 1, 96ms 2 ; 78, 4 N; 58, 8N 30