UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO - INSTITUTO DE FÍSICA P de Física I - EQN - 015- Prof.: Gabriel Bié Alves Versão: A Nas questões em que for necessário, considere que: todos os fios e molas são ideais; os fios permanecem esticados durante todo o tempo; a gravidade tem módulo g conhecido. Múltipla escolha [0,5 cada]: 1. Um pêndulo cônico é formado por um fio ideal de comprimento l e um objeto de massa m oscilando em um movimento circular uniforme com velocidade angular ω em um dado plano, como representado na figura. A respeito dos torques da força resultante ( τ) e dos momentos angulares ( L) com relação aos pontos A e B, marque a opção correta: τ A = 0 ; L B possui módulo constante. B (b) τ B = l sin α ; L A possui direção variável e módulo constante. α (c) τ B = 0 ; L B possui direção variável e módulo constante. (d) L A possui direção constante ; τ B é constante. A (e) Não há conservação do momento angular para nenhum dos pontos A ou B.. Dois carros A e B trafegam em estradas perpendiculares e colidem inelasticamente no cruzamento das vias, saindo juntos. O carro A, que estava na direção horizontal indo para leste, estava com metade da velocidade do carro B. Por outro lado, o carro B, que vinha na direção vertical no sentido norte, tem o dobro da massa do carro A. Sendo o ângulo com relação à horizontal com que os carros saem após a colisão, pode-se afirmar que tan é igual a: (b) 1/ (c) 4 (d) 1/4 (e) 1 ω 3. Uma lâmina leve de massa m (uniformemente distribuída) e comprimento 10 cm encontra-se apoiada em uma superfície sem atrito. Sobre a extremidade esquerda da lâmina está uma formiga de massa m/4 (de dimensões desprezíveis). O conjunto encontra-se inicialmente em repouso com relação a um observador inercial externo. A formiga começa então a caminhar sobre a lâmina. Qual terá sido o deslocamento da formiga com relação ao observador externo após ela ter atingido a outra extermidade? 9 cm (b) 5 cm (c) 10 cm (d) 8 cm (e) 6 cm 4. Um bloco de massa m está pendurado verticalmente através de um fio que está enrolado em uma roldana em forma de disco circular uniforme de massa M e raio R, inicialmente com seu movimento travado. O eixo que passa pelo centro da roldana foi fixado ao teto, permitindo que ela possa girar livremente sobre este eixo, com momento de inércia I = MR /. Determine a aceleração do bloco após a roldana ser destravada: (m + M) (b) g (c) (d) (e) (m + M) (m + M) (m + M/) 1
5. Uma aranha de massa m desce verticalmente pela sua teia, e, em determinado instante, cai e gruda sobre um disco uniforme fino de masa M, raio R e momento de inércia I = MR / que estava girando a uma velocidade angular ω. Sabendo-se que a aranha cai a uma distância de R/ do centro do disco, determine qual será a nova velocidade angular do conjunto: Mω M + m (b) Mω M + m (c) (d) Mω M + m 4Mω 4M + m Mω (e) 4M + m 6. O esquema de marcha de uma bicicleta pode ser esquematizado pela engrenagem da figura, no qual as rodas e 3 possuem o mesmo eixo de rotação, estando rigidamente unidas. Os raios das rodas são dados por r 1, r e r 3. Determine a velocidade angular que o ciclista deve imprimir no pedal (vinculado à r 1 ) para que a bicicleta adquira uma velocidade de translação v (supondo um rolamento sem deslizamento de r 3 no solo): vr 1 r r 3 (b) vr r 1 r 3 (c) vr 3 r 1 r (d) v r 3 (e) v r 1. Um objeto de massa M é posto para girar em torno de um eixo que passa pelo centro de massa (CM) de três maneiras distintas, como representado na figura. Para um dado torque aplicado na direção do eixo, em quais das situações o objeto adquirá maior e menor aceleração angular, respectivamente. III e I. (b) I e II. (c) I e III. (d) II e III. (e) II e I. I II III 8. Considere a colisão de uma esfera de dimensões desprezíveis contra uma parede em uma superfície horizontal sem atrito. As velocidades antes e depois da colisão são dadas por v e v, formando ângulos e com a parede, como representadas na figura. Suponha que a interação da esfera com a parede seja apenas na direção perpendicular à superfície. Analise as proposições e marque quais são verdadeiras: I. Se, a esfera terá sofrido impulso na direção paralela à superfície. II. Por se tratar de uma colisão, devemos ter a conservação do momento linear da esfera. III. A relação entre e deve ser v cos = v cos, apenas para uma colisão elástica. IV. Se, então necessariamente v v. Apenas IV. (b) I, III e IV. (c) I e III. (d) III e IV. (e) I, II, III e IV. v ' v'
Questões Discursivas: 1. [3,0 pontos] Duas partículas de massas iguais a m e m colidem sobre uma superfície horizontal sem atrito. O corpo de massa m encontra-se inicialmente em repouso, e a outra partícula se desloca retilineamente com velocidade de módulo 4v. Após a colisão, os corpos m e m saem com velocidades de módulo v e u, respectivamente, seguindo as trajetórias descritas na figura. Dados: sin 60 = 3 e cos 60 = 1. 4v j i m v 60 m m m u a) Calcule a velocidade u (em função de v) e o ângulo de espalhamento da partícula de massa m. Justifique seus cálculos com os princípios físicos utilizados. b) Calcule as energias cinéticas inicial (T i ) e final (T f ) em função de m e v. Essa é uma colisão elática ou inelástica? Justifique. c) Calcule o vetor impulso recebido por cada partícula na colisão em função dos unitários î e ĵ representados na figura. Gabarito: a) Como a superfície na qual os corpos estão apoiados não oferece atrito, não existirão forças externas atuando no sistema (massa m + massa m). Isso significa que haverá a conservação do momento linear total do sistema nas direções î e ĵ. Temos então que: ou seja, 4mv = mv cos 60 + mu cos (eixo î) (1) 0 = mv sin 60 mu sin (eixo ĵ), () u cos = 3v (3) u sin = 3v. (4) Usando a relação trigonométrica sin + cos = 1, pode-se resolver o sistema de equações acima: u = 3v sin = 1, cos = 3 = 30. (5) b) Calculando as energias cinéticas: T i = m(4v) T f = (m)v = 8mv (6) + mu = mv. () Vemos então que houve perda da energia cinética após a colisão, portanto, essa é uma colisão inelástica. c) Basta utilizar a relação do impulso I = p para cada partícula. Teremos então que: I m = p m = m v f m =0 {}}{ v i ( ) = m v cos 60î + v sin 60ĵ = mv(î + 3ĵ) (8) I m = I m = mv(î + 3ĵ). (9) 3
. [3,0 pontos] Uma esfera de raio R e massa M rola sem deslizar por uma superfície indicada na figura. O trecho A-B é um plano inclinado de um ângulo com a horizontal, B-C é uma superfície plana horizontal, e C-D é uma elevação de altura h. A esfera é largada a partir do repouso de uma altura H entre o centro da esfera e a base horizontal B-C. Dado: I CM = 5 MR. A H z y x h B C D a) Esquematize as forças que atuam na esfera durante a descida pelo trecho A-B, identificando-as. b) Determine (em função de ) a força de atrito e a aceleração do centro de massa da esfera no trecho A-B. c) Determine qual deve ser a altura h (em função de H e R) para que a esfera passe pelo ponto D com metade da velocidade que possui no trecho B-C. Gabarito: a) As forças estão esquematizadas na figura. Identificando-as: f força de atrito estático (rolamento sem deslizamento) P força peso N força normal com o plano b) Equações para o movimento do CM: Equação de rotação (em torno do CM) do corpo rígido: N = Mg cos (eixo y) (10) Mg sin f = Ma cm (eixo x) (11) De acordo com o referencial adotado, o vínculo de rolamento sem deslizamento será: As equações (11), (13) e (14) resolvem a questão. Encontra-se então que: τ (ext) cm,z = I cm α z (1) fr = 5 MR α z. (13) a cm = α z R. (14) a cm = 5 g sin (15) f = Mg sin (16) 4
c) Como não há forças dissipativas (W f = 0, W N = 0), pode-se conservar a energia mecânica da esfera ao longo de todo o percurso. Além disso, como é um rolamento sem deslizamento, teremos que V cm = ωr: Como E A = E B MV E A = MgH ; E B = MgR + 1 MV cm,b + 1 I cmω = MgR + 10 MV E D = Mg(h + R) + 10 M cm,b = 10 Mg(H R). ( Vcm,B Como E A = E D MgH = Mg(h + R) + 40 MV cm,b. Do sistema de equações acima, tem-se finalmente que a altura (1) cm,b ; (18) ) = Mg(h + R) + 40 MV cm,b (19) h = 3 (H R). (0) 4 5