Figura 11.1: Solenóides concatenados

Capítulo 11 Lei da Indução Com as experiências de Oersted, viu-se que correntes elétricas geram campos magnéticos. Ficou então a seguinte dúvida: Pode o campo magnético gerar corrente? Michael Faraday (1791-1867), um dos maiores físicos experimentais, interessou-se em descobrir e estudar essa relação. Em 1831, Faraday montou dois solenóides, com 70 metros de fio de cobre em cada. Os dois foram concatenados, mas um foi ligado à um gerador, enquanto o outro foi conectado a um galvanômetro, como mostrado na Figura 11.1. Figura 11.1: Solenóides concatenados 195

196 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Notou-se quando uma corrente contínua passava pelo solenóide 1, o galvanômetro não acusava passagem de corrente. No entanto, sempre que a chave era ligada ou desligada, surgia uma corrente no circuito 2. Isso levou Faraday a supor que a força eletromotriz no circuito 2 resultava de uma variação do campo magnético no interior dos solenóides. Continuando seus experimentos, ele construiu o circuito apresentado na Figura 11.2. Figura 11.2: Experimento de Faraday Quando um ímã era aproximado ou afastado do solenóide, observava-se uma deflexão do galvanômetro. Se o ímã permanecesse imóvel em relação ao circuito, a deflexão era nula. Ainda nesse experimento, Faraday notou que a área dos solenóides também influenciava na força eletromotriz induzida. Suas descobertas podem ser sintetizadas em termos matemáticos da seguinte maneira: ind db ind A Para melhor compreender esse fenômeno, precisamos definir o que é fluxo magnético. 11.1 O Fluxo Magnético Vimos que a força eletromotriz depende tanto da variação do campo magnético quanto da área dos solenóides. A grandeza que relaciona o vetor B e a área

11.2. A LEI DE LENZ 197 S permeada por esse campo é denominada de fluxo magnético, e é definida como: φ B = B S = BS cos θ (11.1) Até agora, tendo em vista as constatações de Faraday, podemos dizer que: Substituíndo 11.1 em 11.2 : ind = dφ B (11.2) ind = db da dθ A cos θ + B BA sen θ (11.3) Percebe-se então que é possível induzir corrente em uma espira imersa em um campo magnético por meio dos seguintes métodos: variando a intensidade do campo. variando a área como tempo variando o ângulo entre os vetores A e B com o tempo Ainda podemos analisar o fenômeno da indução levando em conta a corrente induzida. Sabe-se que ind = RI ind, logo: 11.2 A Lei de Lenz I ind = 1 R dφ B Vimos que a variação do fluxo magnético gera corrente elétrica em condutores. Mas o que determina o sentido da corrente induzida? Isso é explicado pela Lei de Lenz: A corrente induzida produz um campo magnético que tende se opôr à variação do fluxo magnético que a gerou

198 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Considere o exemplo da Figura 11.3. Se o ímã aproxima-se da espira, o fluxo magnético no interior desta aumentará, então deve surgir uma corrente no sentido anti-horário para reduzir o fluxo. Caso o íma afaste-se da espira, o fluxo no interior desta diminuirá, logo, pela Lei de Lenz, surge uma corrente no sentido horário. Figura 11.3: Deflexão do galvanômetro Se aplicarmos a Lei de Lenz na 11.2, teremos a Lei de Faraday: ind = dφ B (11.4) O sinal negativo representa a resistência que o circuito apresenta à variação do fluxo magnético É interessante notar que se fizermos a integral de linha do campo elétrico na espira, teremos: Γ E d l = ind (11.5) Ora, vimos na eletrostática que essa integral de linha deveria ser nula sempre! Qual será a inconsistência? Na verdade, não há inconsistência. Ocorre que o campo elétrico estudado na eletrostática tem natureza diferente do campo elétrico induzido. O campo elétrico oriundo de cargas elétricas sempre é conservativo, por isso a integral de linha em um circuito fachado é nula. Mas, devido à equação 11.5, nota-se que o campo elétrico induzido pela variação de fluxo magnético

11.2. A LEI DE LENZ 199 não é conservativo. Por isso, é importante distinguir os dois tipos campos elétricos. Seguem alguns exemplos da aplicação da Lei de Lenz: Exercício 11.1. Suponha uma barra condutora, deslizando sem atrito sobre um trilho condutor, em meio a um campo magnético perpendicular ao plano dos trilhos, conforme mostrado na Figura 11.4. Calcule: a força eletromotriz induzida, a corrente induzida a força magnética e a velocidade da barra em função do tempo. Figura 11.4: Trilho magnético Força eletromotriz Temos que o fluxo magnético na barra é dado por: φ B = BA = Blx portanto a força eletromotriz é: ind = dφ B = Bl dx = Blv Corrente induzida: I ind = ind R = Blv R Força magnética: Temos que a força em fios é dada por:

200 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO F = I l B = I ind Bl = B2 l 2 v R î (11.6) Velocidade do fio: Aplicando a segunda lei de Newton ao reultado da equação 11.6 : m dv = B2 l 2 v R Resolvendo essa equação diferencial separável: v(t) v 0 dv v = t 0 B 2 l 2 ln Rm v(t) v 0 v(t) = v 0 e B2 l 2 t / Rm Vemos então que a força tende à frear à barra. = B2 l 2 Rm t Exercício 11.2. Considere um campo magnético uniforme que aponta pra dentro da folha e está confinado numa região circular de raio R. Suponha que a magnitude de B aumenta com o tempo. Calcule o campo elétrico induzido em todo o espaço: Figura 11.5: Campo magnético Vimos que o campo elétrico induzido pode ser calculado por: Γ E ind d l = ind = dφ B

11.2. A LEI DE LENZ 201 Então precisaremos descrever curvas fechadas para calcular o campo elétrico induzido. Pela simetria do problema, fazermos circunferências de raio r. Para r < R : Figura 11.6: Curva para cálculo do campo induzido Como a circunferência aborda apenas uma porção do campo, a variação fluxo no seu interior será: φ B = Bπr 2 dφ B = db πr2 Logo: Γ E ind d l = db πr2 E ind 2πr = db πr2 E ind = db r 2 Para r > R : Como a circunferência aborda todo o campo, a variação fluxo no seu interior será: φ B = BπR 2 dφ B = db πr2 Logo:

202 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.7: Curva para cálculo do campo induzido Γ E ind d l = db πr2 E ind 2πr = db πr2 E ind = db R 2 2r Sintetizando os resultados na forma de um gráfico; Figura 11.8: Campo induzido vs distância 11.3 Geradores As experiências de Faraday lançaram os princípios de funcionamento de motores elétricos e geradores de eletricidade. Considere uma espira imersa em um campo magnético B rotacionando com uma velocidade angular constante ω = θ t. Substiuíndo θ na equação 11.3, temos que:

11.4. EFEITOS MECÂNICOS 203 Em termos de corrente induzida: ind = ωba sen ωt I ind = ωba R sen ωt Calculando a potência gerada para N espiras: P = I ε ind = (NBAω sin(ωt))2 R Observa-se que a bobina gerará corrente alternada. empregam-se comutadores no circuito. Para evitar isso, Isso que foi visto é o princípio de funcionamento de vários tipos de usinas de geração de energia, como as hidrelétricas, termoelétricas, eólicas e nucleares. Todas elas envolvem a transferência de energia mecânica de um fluido (água, vento) para a bobina, fazendo-a girar. 11.4 Efeitos Mecânicos A indução magnética, quando aliada a outros fenômenos físicos, pode resultar em efeitos interessantes. Vejamos alguns exemplos 11.4.1 As correntes de Foucault Considere uma chapa metálica e um pente metálico, inicialmente em movimento uniforme, entrando em cum campo magnético, conforme esquematizado na Figura 11.9. Experimentalmente, observa-se que o chapa metálica sobre uma redução de velocidade mais acentuada que o pente. Por quê? Isso ocorre pois, durante a imersão no campo magnético, a variação do fluxo magnético no interior da chapa é maior do que no pente. Logo a corrente

204 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.9: Objetos aproximando-se de um campo magnético induzida, a corrente de Foucault nesse caso, na chapa é superior. Mas a ação do campo magnético sobre a corrente induzida gera uma força que tende a frear o objeto, portanto a chapa sofre uma maior redução de velocidade. Figura 11.10: Correntes de Foucault Pode-se dizer também que as correntes de Foucault resultam em uma maior dissipação por efeito Joule, aquecendo o material que imerge em um campo magnético. 11.4.2 Atrito Magnético Se uma espira condutora é solta em queda livre sobre um imã permanente, a corrente induzida criará um dipolo magnético que tende a ser repelido pelo imã, produzindo uma força de freamento da espira análoga a uma força de atrito viscoso (ver Figura 11.11).

11.5. INDUTÂNCIA MÚTUA 205 Figura 11.11: Comportamento da espira em queda 11.4.3 Canhão Magnético Considere um solenóide enrolado em um eixo isolante e, acoplado nesse mesmo eixo, uma espira. Quando uma corrente passar pela espira, o fluxo do campo magnético no interior da espira será alterado. A corrente induzida fará com que a espira seja lançada no sentido oposto ao do solenóide. Figura 11.12: Canhào Magnético 11.5 Indutância Mútua Induntância mútua refere-se ao surgimento de uma corrente induzida em um circuito em função da passagem de corrente elétrica em um outro circuito. Considere duas espiras em repouso. Se aplicarmos uma corrente I 1 na espira 1, ocorrerá uma variação do fluxo de campo magnético dφ 21 na espira 2, surgindo então uma força eletromotriz induzida 2 dada por:

206 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.13: Exemplo de indutância mútua 2 = dφ 21 Mas a variação do fluxo do campo magnético depende de uma variação de corrente na espira 1: dφ 21 di 1 Então podemos substituir essa proporcionalidade por uma igualdade por meio da definição da constante de indução mútua M 21 1 : dφ 21 = M 21 di 1 (11.7) M 21 = dφ 21 di 1 (11.8) Experimentalmente, observa-se que a constante de indução mútua depende apenas da geometria das espiras e também da distância entre elas. Neumann deduziu uma fórmula que permite determinar essa constante. Temos que o fluxo do campo magnético pode ser calculado por: 1 [M 21 ] = H(henry) = T m2 A

11.5. INDUTÂNCIA MÚTUA 207 φ 21 = B ds 2 = A1 ds 2 S 2 S 2 Aplicando o Teorema de Stokes: φ 21 = Pela equação 10.45 : S 2 A1 ds 2 = A1 d l 2 Γ 2 φ 21 = µ 0 d 4π I l1 d l 2 1 r φ 21 = µ 0 d l1 d l 2 4π r di 1 (11.9) Comparando as equações 11.9 e 11.7 encontramos a Fórmula de Neumann: M 21 = µ 0 d l1 d l 2 4π r Como podemos comutar os fatores da fórmula, conclui-se que: (11.10) M 12 = M 21 = M Isso indica que, independentemente das formas e posições das espiras, o fluxo através de 2 quando uma corrente I passa em 1 é idêntico ao fluxo através de 1 quando a passamos a corrente I ao redor de 2. No entanto, ainda é mais interessante calcular M por meio da equação 11.8 do que pela Fórmula de Neumann, como veremos nos exemplos a seguir. Exercício 11.3. Calcule a indutância mútua entre duas espirar coplanares e concêntricas de raios R 1 e R 2, com R 1 >> R 2. Para calcular a indutância mútua, precisamos calcular uma relação entre a variação de corrente em uma espira e a variação do fluxo magnético na

208 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.14: Espiras coplanares e concêntricas outra espira. Sabemos que a campo magnético no centro de uma espira circular é B = µ 0 I 2R 1. Como R 1 >> R 2, pode-se considerar que o campo no interior da espira 2 é constante, logo o fluxo no seu interior será: Então temos que: φ 21 = BA = µ 0I 2R 1 πr 2 2 Logo a indutância mútua é: dφ 21 di = µ 0 2R 1 πr 2 2 M = µ 0 2R 1 πr 2 2 Exercício 11.4. Calcule a indutância mútua entre dois solenóides concêntricos de desnsidades de espiras n 1 e n 2. Para calcular a indutância mútua, precisamos calcular uma relação entre a variação de corrente em um solenóide e a variação do fluxo magnético no outro. Sabemos que a campo magnético no interior do solenóide 1 é B = µ 0 In 1. Como o campo no interior do solenóide 2 é constante, o fluxo no seu interior será:

11.5. INDUTÂNCIA MÚTUA 209 Figura 11.15: Solenóides concêntricos Então temos que: φ 21 = BAn 2 l = µ 0 In 1 n 2 lπr 2 2 dφ 21 di Logo a indutância mútua é: = µ 0 n 1 n 2 lπr 2 2 M = µ 0 n 1 n 2 lπr 2 2 Exercício 11.5. Calcule a indutância mútua entre dois toróides concatenados com N 1 e N 2 enrolamentos. Figura 11.16: Toróides concatenados Para calcular a indutância mútua, precisamos calcular uma relação entre a variação de corrente em um toróide e a variação do fluxo magnético no outro.

210 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Sabemos que a campo magnético no interior do toróide 1 é B = µ 0N 1 I 2πr. Considerando que o campo no interior do toróide apresenta simetria cilíndrica, o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral: Figura 11.17: Elemento de área na seção do toróide b φ 21 = N B1 2 ds 2 = N 2 φ 21 = µ 0N 1 N 2 I 1 h ln( b 2π a )I Então temos que: a µ 0 N 1 I 1 2πr hdr dφ 21 di Logo a indutância mútua é: = µ 0N 1 N 2 h ln( b 2π a ) 11.6 Auto-Indutância M = µ 0N 1 N 2 h ln( b 2π a ) Considere novamente uma espira de N voltas pela qual passa uma corrente I. Se ocorre alguma alteração na corrente, o fluxo através da espira varia

11.6. AUTO-INDUTÂNCIA 211 com o tempo, então, de acordo com a lei de Faraday, uma força eletromotriz induzida surgirá para gerar um campo no sentido oposto à variação do fluxo de B inicial. Então podemos dizer que o próprio campo opõe-se a qualquer mudança da corrente, e assim temos o fenômeno da auto-indutância. Figura 11.18: Efeitos da auto-indutância Definimos matematicamente a auto-indutância L 2 da seguinte maneira: dφ B = dφ B di di = L di L = dφ B di (11.11) Do mesmo modo que a indutância mútua, a auto indutância depende apenas de fatores geométricos da espira em questão. Exercício 11.6. Calcule a auto-indutância de um solenóide. Figura 11.19: Solenóide Para calcular a auto-indutância, precisamos calcular como uma variação 2 [L] = H(henry)

212 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO de corrente no solenóide varia o fluxo magnético no interior do próprio solenóide. Sabemos que a campo magnético no interior desse objeto é B = µ 0 In. Como o campo no interior do solenóide é constante, o fluxo no seu interior será: Então temos que: φ B = BAnl = µ 0 In 2 lπr 2 Logo a auto-indutância é: dφ B di = µ 0n 2 lπr 2 L = µ 0 n 2 lπr 2 Exercício 11.7. Calcule a auto-indutância de um toróide de seção retangular. Figura 11.20: Toróide Para calcular a auto-indutância, precisamos calcular como uma variação de corrente no toróide varia o fluxo magnético no interior do próprio toróide. Sabemos que a campo magnético no interior desse objeto é B = µ 0NI 2πr. Considerando que o campo no interior do toróide apresenta simetria cilíndrica, o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral:

11.7. ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES 213 Figura 11.21: Elemento de área na seção do toróide φ B = N Então temos que: B ds = b a µ 0 N 2 I 2πr hdr = µ 0N 2 I 2π h ln( b a ) Logo a auto-indutância é: dφ 21 di = µ 0N 2 2π h ln( b a ) L = µ 0N 2 2π h ln( b a ) 11.7 Associação de Indutores Indutores são componentes eletrônicos que apresentam elevada indutância. Devido à Lei de Lenz, tais elementos evitam variações bruscas de corrente, sendo essa uma das principais funções desempenhadas pelos indutores em circuitos eletrônicos. Sabe-se que a diferença de potencial nos terminais de um indutor tem a mesma magnitude da força eletromotriz induzida nele, ou

214 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO seja: V = L di (11.12) Quando um circuito apresenta mais de um indutor associado, é possível substituí-los por um indutor equivalente, a fim de simplificar os futuros cálculos relativos ao circuito. Mas para calcular a indutância equivalente, devemos levar em conta tanto os efeitos de auto-indução quanto de indutância mútua entre os componentes da associação. Faremos, como exemplo, a associação de dois indutores em série e dois indutores em paralelo. 11.7.1 Dois indutores em série Figura 11.22: Exemplo de indutância mútua Em uma associação em série, a corrente é a mesma em todos os indutores. L di = L 1 di + M di + L 2 di + M di = (L 1 + L 2 + 2M) di

11.7. ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES 215 Observe que o primeiro e o terceiro termo referem-se às auto-indutâncias de 1 e 2, respectivamente, já o segundo e o quarto termo referem-se às indutâncias mútuas. Segue então que: L = L 1 + L 2 + 2M (11.13) 11.7.2 Dois indutores em paralelo Figura 11.23: Exemplo de indutância mútua Em uma associação em paralelo, a diferença de potencial é a mesma para todos os indutores. Calculando a ddp para cada ramo: di 1 V 1 = L 1 + M di 2 (11.14) di 2 V 2 = L 2 + M di 1 Multiplicando as duas equações pela constante de indutância mútua: (11.15) V 1 M = L 1 M di 1 + M 2 di 2 V 2 M = L 2 M di 2 + M 2 di 1 Multiplicando agora a equação 11.14 por L 2 e a 11.15 por L 1 : (11.16) (11.17)

216 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO di 1 V 1 L 2 = L 1 L 2 + ML di 2 2 di 2 V 2 L 1 = L 2 L 1 + ML di 1 1 (11.18) (11.19) Mas, da associação em paralelo, temos que: V = V 1 = V 2 I = I 1 + I 2 Logo, subtraíndo 11.16 de 11.19 e 11.17 de 11.18, encontramos que: di 2 V (L 1 M) = L 1 L 2 M 2 di 2 di 1 V (L 2 M) = L 1 L 2 M 2 di 1 (11.20) (11.21) Somando as equações 11.20 e 11.21: V (L 1 + L 2 2M) = L 1 L 2 M 2 di L = L 1L 2 M 2 L 1 + L 2 2M (11.22) Nota-se que, se desconsiderarmos os efeitos da indutância mútua, a associação de indutores é idêntica à associação de resistores. 11.8 Circuito R-L Considere o circuito da Figura 11.24, com as condições iniciais:

11.8. CIRCUITO R-L 217 Figura 11.24: Circuito R-L t = 0, I(t) = 0 t =, I(t) = V R A equação do circuito é: V RI L di = 0 (11.23) V R I = L di R t R I(t) L = di I V R 0 0 ln I V I(t) = R R L t 0 I(t) V R = V R R L t

218 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO I(t) = V R 1 e R L t (11.24) Quanto maior for a indutância L do indutor no circuito, maior será o tempo para a corrente se aproximar da máxima I max = V/R. Figura 11.25: Gráfico de corrente de um circuito R-L 11.9 Circuito L-C Considere o circuito da Figura 11.26, com o capacitor inicialmente carregado com uma carga Q 0, ou seja, as condições iniciais: t = 0, Q(t = 0) = Q 0 t = 0, I(t = 0) = 0 A equação do circuito é: Q C L di = 0 (11.25) Como o capacitor está descarregando, I = dq/, e portanto:

11.9. CIRCUITO L-C 219 Figura 11.26: Circuito L-C d 2 Q 2 + 1 LC Q = 0 (11.26) Que é a equação de um oscilador harmônico, cuja solução é: Onde: Q(t) = Q 0 cos(ωt) (11.27) ω 2 = 1 LC I(t) = dq = ωq 0 sen(ωt) I 0 = Q 0 ω Análise de energia:

220 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.27: Gráfico de corrente e carga no capacitor em um circuito L-C U E = U capacitor = 1 2 CV 2 = Q2 2C U E = Q2 2C cos2 (ωt) U B = U indutor = 1 2 LI2 = L 2 I2 0 sin 2 (ωt) = LQ2 0ω 2 U = U E + U C = Q2 2C 2 sen 2 (ωt) = Q2 0 2C sen2 (ωt) Figura 11.28: Energia em um circuito L-C

11.10. ANALOGIA COM SISTEMA MECÂNICO 221 11.10 Analogia com sistema mecânico Analogia com sistema mecânico massa-mola: d 2 x + K 2 M x = 0 d 2 Q + 1 2 LC Q = 0 U = 1 2 mv2 + K 2 x2 U = 1 2 LI2 + 1 2C Q2 Figura 11.29: Analogia do circuito LC com sistema mecânico. m L 1/k C x v = ẋ Q I = Q mv 2 /2 LI 2 /2 kx 2 2 Q 2 2C

222 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO m d2 x = kx + mg 2 LdI + Q C = V x(t) = h + A cos(ω 0 t) q(t) = q 1 + (q 0 q 1 ) cos(ω 0 t) x(0) = h + A q(0) = q 0 ẋ(0) = 0 q(0) = 0 Molas em série Capacitores em paralelo 1 x = x 1 + x 2 = F K 1 + 1 K 2 Molas em paralelo q = ε(c 1 + C 2 ) Capacitores em série 11.11 Circuito R-L-C Considere o circuito da Figura 11.30, com o capacitor inicialmente com carga Q 0. A equação do circuito é: Q C RI LdI = 0

11.11. CIRCUITO R-L-C 223 Figura 11.30: Circuito R-L-C Fazendo I = dq : d 2 Q 2 + R L Com a condição inicial: Q(0) = Q 0 dq + Q LC = 0 (11.28) O análogo mecânico à este circuito é o oscilador amortecido: Cuja solução é dada por: d 2 x dx + 2β 2 + ω2 0x = 0 (11.29) x(t) = e A βt 1 exp( β 2 ω0t) 2 + A 2 exp( β 2 ω0t) 2 (11.30) A análise deve ser dividida em três casos: ω 2 0 > β: subcrítico ω 2 0 = β: crítico ω 2 0 < β: supercrítico

224 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.31: Comportamentos do oscilador amortecido. 11.11.1 Subcrítico ω 2 1 = ω 2 0 β 2, ω 2 1 > 0 Q(t) = e βt [A 1 exp(iω 1 t) + A 2 exp( iω 1 t)] A solução pode ser reescrita como: Q(t) = Ae βt cos(ω 1 t δ) Que corresponde a uma oscilação de freqüência angular ω 1, com uma amplitude decrescente com o tempo de um fator e βt. 11.11.2 Crítico Q(t) = (A + Bt)e βt 11.11.3 Supercrítico Q(t) = e βt [A 1 exp(ω 2 t) + A 2 exp( ω 2 t)]

11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS 225 Figura 11.32: Oscilador amortecido subcrítico. 11.12 Energia em Campos Magnéticos Vimos anteriormente que a energia elétrica podia ser escrita em termos do campo elétrico, o que nos fornecia a interpretação da energia armazenada no campo. Agora vejamos como seria a energia magnética em termos do campo. Sabemos que: φ B = LI Por outro lado: φ B = S B ds = S ( A) ds Aplicando o Teorema de Stokes:

226 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO ( A) ds = A d l S φ B = Γ A d l = LI Γ A energia magnética é dada por: U = 1 2 LI2 = I 2 A d l Γ Sabendo que Id l = Jdv: U = I 2 ( A J)dv V Mas B = µ 0 J, então: U = 1 2µ 0 V A ( B)dv Utilizando a identidade: ( A B) = B ( A) A ( B) A ( B) = B ( A) ( A B) = B B ( A B) Temos: U = 1 2µ 0 V B B V ( A B)dv

11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS 227 Aplicando o teorema da divergência: U = 1 2µ 0 V B B 1 2µ 0 S ( A B)ds Fazendo V todo espaço, o segundo termo tende a zero, portanto: U B = 1 2µ 0 B 2 dv (11.31) R 3 A densidade de energia do campo magnético é dado por: u B = B2 2µ 0 (11.32) Note a similaridade das energias dos campos elétrico e magnético: 1 U E = 2 U B = 1 2 Exemplo 11.1. Cabo coaxial. V V ρv dv = ε 2 A J dv = 1 2µ 0 3 E 2 dv 3 B 2 dv Calcular a energia armazenada em uma seção de comprimento l. Resolução. Pela lei de Ampère, o campo magnético no cabo é dado por:

228 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO B d l = µ 0 I B2πr = µ 0 I B = µ 0I 2πr µ 0 I B = 2πr ˆθ, a < r < b 0, r < a ou r > b A densidade de energia é dada por: u = B2 2µ 0 = µ2 0I 2 2µ 0 4π 2 r 2 = µ 0I 2 8π 2 r 2 A energia armazenada em um trecho será: U = U = µ 0I 2 b 8π 2πl 2 0 θ 2π µ 0 I 2 8µ 0 π 2 r rdθdrdz, a r b 2 0 z l a 1 r dr = µ 0I 2 4π l ln b a Pelo método anterior, teríamos que, primeiro, calcular a auto-indutância:

11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS 229 φ = φ = µ 0I 2π l ln µ0 I a r b B ds = 2πr drdz, o z l b a L = dφ di = µ 0l 2π ln A energia armazenada será então: b a U = LI2 2 U = µ 0I 2 b 4π l ln a

230 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO