Universidade Federal do ABC. Pós-graduação em Engenharia Elétrica. Germán Andrés López Vargas

i Universidade Federal do ABC Pós-graduação em Engenharia Elétrica Germán Andrés López Vargas ANÁLISES DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA COM AEROGERADORES UTILIZANDO FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO Dissertação Santo André São Paulo 2015

ii Germán Andrés López Vargas ANÁLISES DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA COM AEROGERADORES UTILIZANDO FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO Dissertação de Mestrado apresentada à Coordenação do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal do ABC, para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica. Orientador: Prof. Dr. Edmarcio Antonio Belati Co-orientador: Prof. Dr. Alfeu Joãozinho Sguarezi Filho Santo André São Paulo 2015

iii Dedico este trabalho aos meus Pais Amparo e José Omar, à minha linda Irmã Daniela, e aos meus irmãos Edwin e Juan Pablo.

iv AGRADECIMENTOS Aos Professores Drs. Edmarcio Antonio Belati e Alfeu Joãozinho Sguarezi Filho, pela excelente orientação na elaboração deste trabalho, pela amizade, compreensão, paciência e bom humor ao longo destes dois anos. Aos professores Drs. Thales Sousa e Álvaro Batista Dietrich, por suas valiosas sugestões no exame de qualificação. Ao amigo Flávio Santos de Souza pelo auxilio na leitura do documento final. À Universidade Federal do ABC pelo suporte técnico e pelo apoio financeiro na realização do Mestrado. À todos aqueles que, de uma ou outra forma incentivaram e apoiaram a continuação dos meus estudos profissionais. Muito Obrigado

v LISTA DE FIGURAS Figura 1. Representação de uma barra de um SEP... 19 Figura 2. Representação gráfica dos fluxos de potência... 20 Figura 3. Opções de solução do pacote Knitro... 28 Figura 4. Sintaxe básica de programação no AMPL... 31 Figura 5. Estrutura básica de programação no AMPL... 32 Figura 6. Topologia do sistema de 3 barras para a solução de FPO... 34 Figura 7. Programa no AMPL para a solução do Sistema de 3 barras... 36 Figura 8. Procedimento de execução no AMPL para a solução com knitro... 36 Figura 9. Procedimento de execução no AMPL para mostrar a solução do problema... 37 Figura 10. Relatório de saída - Informações gerais do problema... 38 Figura 11. Arquivo de saída gerado no AMPL Solução do problema... 40 Figura 12. Diagrama de fluxo geral do problema... 46 Figura 13. Funções da potência ativa geradas pela máquina DFIG... 48 Figura 14. Barras Candidatas para a ligação do Parque Eólico Sistema IEEE 14 Barras Modificado... 55 Figura 15. Barras Candidatas para a ligação do Parque Eólico Sistema IEEE 30 Barras Modificado... 55 Figura 16. Barras Candidatas para a ligação do Parque Eólico Sistema IEEE 57 Barras Modificado... 56

vi Figura 17. Barras Candidatas para a ligação do Parque Eólico Sistema IEEE 118 Barras Modificado... 57 Figura 18. Geração líquida de potência ativa para o sistema IEEE de 14 barras modificado... 58 Figura 19. Geração líquida de potência ativa para o sistema IEEE de 30 barras modificado... 58 Figura 20. Geração líquida de potência ativa para o sistema IEEE de 57 barras modificado... 59 Figura 21. Geração líquida de potência ativa para o sistema IEEE de 118 barras modificado com 1 Gerador... 59 Figura 22. Geração líquida de potência ativa para o sistema IEEE de 118 barras modificado com 2 Geradores e V1 = V2... 60 Figura 23. Geração líquida de potência ativa para o sistema IEEE de 118 barras modificado com 2 Geradores e V1 V2... 60 Figura 24. Comparação Perdas de Potência Ativa FC Vs FPO MO Sistema IEEE 14 Barras Modificado... 61 Figura 25. Comparação Perdas de Potência Ativa FC Vs FPO MO Sistema IEEE 30 Barras Modificado... 61 Figura 26. Comparação Perdas de Potência Ativa FC Vs FPO MO Sistema IEEE 57 Barras Modificado... 62 Figura 27. Comparação Perdas de Potência Ativa FC Vs FPO MO Sistema IEEE 118 Barras Modificado com 1 Gerador... 62 Figura 28. Comparação Perdas de Potência Ativa FC Vs FPO MO Sistema IEEE 118 Barras Modificado com 2 Gerador e V1 = V2 63 Figura 29. Comparação Perdas de Potência Ativa FC Vs FPO MO Sistema IEEE 118 Barras Modificado com 2 Gerador e V1 V2 63 Figura 30. Comparação de Perfis de Tensão FC Vs FPO MO sistema IEEE 14 barras Modificado... 67 Figura 31. Comparação de Perfis de Tensão FC Vs FPO MO sistema IEEE 30 barras Modificado... 67

vii Figura 32. Comparação de Perfis de Tensão FC Vs FPO MO sistema IEEE 57 barras Modificado... 68 Figura 33. Comparação de Perfis de Tensão FC Vs FPO MO sistema IEEE 118 barras Modificado 1 Gerador... 68 Figura 34. Comparação de Perfis de Tensão FC Vs FPO MO sistema IEEE 118 barras Modificado 2 Geradores - V1 = V2.. 68 Figura 35. Comparação de Perfis de Tensão FC Vs FPO MO sistema IEEE 118 barras Modificado 2 Geradores - V1 V2.. 69

viii LISTA DE TABELAS Tabela 1. Estado inicial do sistema de 3 barras.... 34 Tabela 2. Limite das variáveis do sistema de 3 barras.... 34 Tabela 3. Disponibilidade de geração para a máquina DFIG... 49 Tabela 4. Disponibilidade de geração para a máquina DFIG aplicando a função de aproximação.... 51 Tabela 5. Redução de Perdas Ativas para o sistema IEEE 14 Barras... 64 Tabela 6. Redução de Perdas Ativas para o sistema IEEE 30 Barras... 64 Tabela 7. Redução de Perdas Ativas para o sistema IEEE 57 Barras... 65 Tabela 8. Redução de Perdas Ativas para o sistema IEEE 118 Barras 1 Gerador... 65 Tabela 9. Redução de Perdas Ativas para o sistema IEEE 118 Barras 2 Gerador V1 V2... 66 Tabela 10. Redução de Perdas Ativas para o sistema IEEE 118 Barras 2 Gerador V1 = V2... 66 Tabela 11. Dados das linhas - Sistema IEEE 14 Barras... 79 Tabela 12. Dados das barras - Sistema IEEE 14 Barras... 79 Tabela 13. Dados das linhas - Sistema IEEE 30 Barras... 80 Tabela 14. Dados das barras - Sistema IEEE 30 Barras... 81 Tabela 15. Dados das linhas - Sistema IEEE 57 Barras - 1... 82 Tabela 16. Dados das linhas - Sistema IEEE 57 Barras - 2... 83 Tabela 17. Dados das barras - Sistema IEEE 57 Barras - 1... 84 Tabela 18. Dados das barras - Sistema IEEE 57 Barras - 2... 85

ix Tabela 19. Dados das linhas - Sistema IEEE 118 Barras - 1... 86 Tabela 20. Dados das linhas - Sistema IEEE 118 Barras - 2... 87 Tabela 21. Dados das linhas - Sistema IEEE 118 Barras - 3... 88 Tabela 22. Dados das linhas - Sistema IEEE 118 Barras - 4... 89 Tabela 23. Dados das linhas - Sistema IEEE 118 Barras - 5... 90 Tabela 24. Dados das barras - Sistema IEEE 118 Barras - 1... 91 Tabela 25. Dados das barras - Sistema IEEE 118 Barras - 2... 92 Tabela 26. Dados das barras - Sistema IEEE 118 Barras 3... 93

x LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS FPO - Fluxo de Potência Ótimo SEP - Sistemas Elétricos de Potência AMPL - Modeling Language for Mathematical Programming DFIG - Doubly-Fed Induction Generator GIRB - Gerador de indução de Rotor Bobinado PNL - Programação Não Linear GE Geração Eólica FPO MO Fluxo de Potência Ótimo Multiobjetivo Vs - Versus KKT - Karush Kuhn Tucker

xi LISTA DE SIMBOLOS Potência ativa [W] Potência reativa [VAr] Tensão [V] Corrente [A] Velocidad do vento [m/s] - Fluxo de potência ativa no ramo [W] - Fluxo de potência ativa no ramo - [W] - Condutância série entre as barras [S] - Magnitude da tensão nodal na barra [V] - Magnitude da tensão nodal na barra [V] - Ângulos das tensões nas barras terminais do ramo - Fluxo de potência reativa no ramo [VAr] - Fluxo de potência reativa no ramo [VAr] - Susceptância shunt entre as barras [S] - Susceptância série entre as barras [S] Injeção de potência ativa na barra [W] Injeção de potência reativa na barra [VAr] Geração de potência ativa na barra [W] Geração de potência reativa na barra [VAr] Carga ativa da barra [W] Carga reativa da barra [VAr] - Injeção reativa pelo elemento shunt da barra

xii Parte real do elemento da matriz de admitância [S] Parte imaginária elemento da matriz de admitância [S] Potência ativa gerada mínima [W] Potência ativa gerada máxima [W] Potência reativa gerada mínima [VAr] Potência reativa gerada máxima [VAr] Fluxo máximo de potência permitido no ramo - [W] Nivel mínimo permitido de tensão na barra [V] Nivel máximo permitido de tensão na barra [V] Multiplicador da função de perdas de potência ativa Multiplicador da função de desvio de tensão Injeção de potência ativa na barra com GE [W] Injeção de potência reativa na barra com GE [VAr] Geração de potência ativa na barra com GE [W] Geração de potência reativa na barra com GE [VAr] - Potência ativa gerada mínima na barra com GE [W] Potência reativa gerada mínima na barra com GE [VAr]

xiii G. A. L. Vargas (2015). Análises de sistemas elétricos de potência com aerogeradores utilizando fluxo de potência ótimo. São Paulo, 2015. Dissertação de Mestrado - Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências Sociais Aplicadas CECS, Universidade Federal do ABC UFABC. RESUMO Este trabalho visa à operação ótima de um sistema de energia elétrica com a presença de aerogeradores. Considerando as injeções de potência ativa e reativa para a geração eólica, será analisado o comportamento da rede por meio de um Fluxo de Potência Ótimo Multiobjetivo (FPO - MO). A metodologia consiste na modelagem da rede elétrica, inserindo as características do gerador eólico na formulação do FPO - MO, objetivando minimizar as perdas ativas em conjunto com o perfil de tensão por meio do despacho ótimo de potência ativa e reativa. O problema modelado como um FPO - MO reativo é resolvido com auxilio do AMPL (Modeling Language for Mathematical Programming) e do solver Knitro. Estudos realizados com os sistemas IEEE de 14, 30, 57 e 118 barras evidenciam os benefícios da utilização da geração eólica aliada ao FPO - MO. Palavras-chave: Aerogeradores, Fluxo de Potência Ótimo, Sistema de Energia Elétrica.

xiv G. A. L. Vargas (2015). Analysis of electric power systems with wind turbines using optimal power flow. São Paulo, 2015. - Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências Sociais Aplicadas CECS, Universidade Federal de ABC UFABC. ABSTRACT This approach aims optimal operation of power system with wind turbines. Considering the active and reactive power injections for wind generation, network behavior is analyzed using a multi-objective Optimal Power Flow (OPF - MO). The methodology consists in modeling the electrical network by entering characteristics of wind generator in the formulation of the FPO - MO, aiming to minimize active power losses in conjunction with the voltage profile through the optimal dispatch of active and reactive power. The problem modeled as a FPO - MO reactive is solved with the aid of AMPL (Modeling Language for Mathematical Programming) and Knitro solver. Studies with the IEEE 14, 30, 57 and 118 modified system show the benefits of using wind power combined with the FPO - MO. Keywords: Wind Turbines, Optimal Power Flow, Electric Power Systems.

xv Sumário LISTA DE FIGURAS... v LISTA DE TABELAS... viii LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS... x LISTA DE SIMBOLOS... xi RESUMO... xiii ABSTRACT... xiv CAPÍTULO 1... 1 1. INTRODUÇÃO... 1 1.1 Objetivo Geral... 3 1.2 Objetivos Específicos... 4 CAPÍTULO 2... 7 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA... 7 2.1 Estado da arte do problema de fluxo de potência ótimo... 7 2.2 Otimização multi objetivo... 15 CAPÍTULO 3... 17 3. VISÃO GERAL DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO. 17 3.1 Formulação matemática do problema de Fluxo de Potência Ótimo... 17 3.2 Função objetivo... 20 3.3 Restrições Associadas ao Problema de Fluxo de Potência Ótimo... 22 CAPÍTULO 4... 26 4. FERRAMENTA DA ANÁLISE E EXEMPLO BÁSICO DE FPO... 26 4.1 Ferramentas de análises (AMPL e Knitro)... 27 4.1.1 Métodos de otimização do Knitro... 28 4.1.1.1 Método de Pontos Interiores - Direto... 29 4.1.1.2 Algoritmo Pontos Interiores - CG... 29

xvi 4.1.1.3 Algoritmo Conjunto Ativo... 30 4.2 Exemplo básico de otimização no AMPL... 30 4.3 Solução do sistema de potência de 3 barras com AMPL e o solver Knitro... 33 CAPÍTULO 5... 42 5. FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO COM AEROGERADORES... 42 5.1 Considerações iniciais.... 42 5.2 Modelo de fluxo de potência ótimo multiobjetivo. 43 5.3 Metodologia... 45 5.3.1 Aproximação da função de injeção de potência ativa... 48 CAPÍTULO 6... 52 6. Resultados das Simulações... 52 6.1 Características gerais dos sistemas IEEE em estudo... 52 6.1.1 Sistema IEEE de 14 barras... 52 6.1.2 Sistema IEEE de 30 barras.... 53 6.1.3 Sistema IEEE de 57 barras.... 53 6.1.4 Sistema IEEE de 118 barras.... 54 6.2 Escolha da barra candidata... 54 6.2.1 Sistema de 14 barras.... 55 6.2.2 Sistema de 30 barras.... 55 6.2.3 Sistema de 57 barras.... 56 6.2.4 Sistema de 118 barras.... 56 6.3 Resultados das simulações.... 57 CAPITULO 7... 70 7. CONCLUSÕES... 70 7.1 Sugestões para trabalhos futuros.... 71 7.2 Artigos publicados e aceitos em revistas e anais de enventos.... 72 7.2.1 Revistas... 72 7.2.2 Anais de eventos... 72

xvii REFÊRENCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 74 APÊNDICE A... 78 BANCOS DE DADOS DOS SISTEMAS SIMULADOS... 78

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 1 CAPÍTULO 1 1. INTRODUÇÃO Ao longo dos anos o planejamento e a operação econômica dos sistemas elétricos de potência foram objetos de estudo obrigatório e de ampla abordagem, não apenas para as empresas que trabalham no setor, mas também para as entidades pesquisadoras. Atender os requisitos técnicos para prestar um serviço com um alto grau de confiabilidade, qualidade e segurança de forma econômica é de fundamental importância para um sistema de transmissão de energia elétrica. Os Sistemas Elétricos de Potência (SEP) vêm operando cada vez mais perto dos limites máximos de carregamento e essa situação deve permanecer inalterada nos próximos anos. O consumo mundial de energia elétrica aumentará em 84% no período correspondente entre 2008 e 2035 [1]. No Brasil, o Plano Decenal de Expansão de Energia para 2020 prevê um aumento do consumo de energia elétrica de 4,6% ao ano para o período de 2010 a 2020 [2]. Sendo assim, a busca por alternativas energéticas com o uso de fontes renováveis também tem aumentado. Uma das formas de energias renováveis mais importantes é a energia eólica (energia cinética contida nas massas de ar em movimento). Seu aproveitamento ocorre por meio da conversão da energia cinética de translação em energia cinética de rotação, com o emprego de turbinas eólicas (aerogeradores), para a produção de eletricidade.

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 2 Uma unidade de geração eólica moderna tipicamente tem a capacidade para produzir entre 1 e 3 MW de potência ativa, empregando uma turbina eólica com eixo horizontal [3]. Diversas dessas unidades operando de forma conjunta formam um parque eólico, cuja capacidade de geração pode alcançar mais de 100 MW, sobretudo nos parques eólicos instalados em alto mar. Inicialmente os aerogeradores foram projetados para operarem com fator de potência unitário, entretanto alguns estudos como [4] e [5] apresentam técnicas de controle de potência ativa e reativa para o Gerador de Indução de Rotor Bobinado (GIRB), comumente conhecido na língua inglesa como DFIG (Doubly Fed Induction Generator) que possibilita a operação com fator de potência diferente de 1. A importância e o impacto da presença dos aerogeradores no funcionamento dos SEP atuais levam a considerar novas abordagens na sua análise, visando ter sistemas que operem com um alto grau de qualidade, confiabilidade e segurança. A complexidade da operação do SEP é crescente devido a consideração de cada vez mais variáveis, novos objetivos, novas fontes de energia e novas restrições. Desta forma, é essencial ter ferramentas que forneçam a possibilidade de analisar de forma rápida e eficiente o comportamento da rede, para que essa operação seja maximizada, algumas ferramentas podem ser utilizadas, dentre elas o Fluxo de Potência Ótimo (FPO), que busca a melhor condição de operação de uma rede elétrica.

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 3 O FPO é um termo genérico para detalhar uma série de problemas de otimização na área de SEP, e os estudos relacionados procuram encontrar o ponto ótimo de operação nas condições indicadas na sua modelagem, o que visa melhorar o desempenho do sistema ao qual são aplicadas as análises. O FPO é um problema de programação não linear estático, utilizado para otimizar um conjunto de variáveis de estado da rede, à partir dos dados de carga, geração e dos parâmetros do sistema. O FPO otimiza uma função mono objetivo ou multiobjetivo como por exemplo, custo de geração, perdas ativas na transmissão, desvio do perfil de tensão ou outros critérios quaisquer, sujeitos às restrições de igualdade e desigualdade pertencentes ao sistema. Assim como a redução das perdas impacta diretamente os custos da operação, a otimização do perfil de tensão garante que a rede opere de forma adequada, evitando penalidades caso a empresa de energia não satisfaça os limites estabelecidos pelo órgão regulador. Esses dois objetivos foram considerados na modelagem proposta. 1.1 Objetivo Geral Implementar um FPO multiobjetivo que minimize o desvio de tensão e as perdas de potência ativa, sujeito às restrições de balanço das potências, capacidade de geração dos aerogeradores em função do vento, limites operacionais das outras gerações

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 4 da rede, limites de injeção de potência reativa e limites das variáveis de estado. 1.2 Objetivos Específicos Com base na característica do aerogerador, extrair o polinômio da curva de potência ativa em função do vento, encontrar a potência reativa em função da potência ativa, e incorporar na modelagem do FPO juntamente com os limites de injeção de potência reativa. Analisar a rede com um e com dois parques eólicos, considerando as diferentes velocidades do vento para cada parque. Alocar através de uma heurística simples os aerogeradores. Analisar a combinação da função multiobjetivo que considera desvio de tensão e perdas de potência ativa. Para implementação e solução do problema foi utilizada a linguagem AMPL (Modeling Language for Mathematical Programming) e o solver Knitro respectivamente. O AMPL, fornece um ambiente com linguagem de programação simples para configurar e solucionar problemas de programação matemática. A interface flexível e amigável permite a utilização dos mais diversos solvers, para que o usuário possa alternar entre eles e selecionar as opções que podem melhorar o desempenho do programa [6].

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 5 O Knitro é uma biblioteca de programas de otimização utilizada para encontrar soluções tanto para modelos de otimização contínua com ou sem restrições, bem como modelos de otimização discreta com inteiros ou variáveis binárias [7]. Serão apresentados os resultados obtidos para sistemas didáticos em diferentes condições de operação, buscando demonstrar as vantagens em operar a rede utilizando os aerogeradores associados ao FPO - MO. O presente trabalho está dividido em 7 capítulos: Cap.1 - Introdução - Apresenta uma visão geral do problema, o objetivo do trabalho e sua organização. Cap.2 - Revisão Bibliográfica - A fim de posicionar cronologicamente esta dissertação, apresenta-se um histórico de alguns trabalhos referentes ao problema de fluxo de potência ótimo desde o início dos anos 60 até o presente. Cap.3 - Visão geral do problema de Fluxo de Potência Ótimo - Com o objetivo de contextualizar o estudo é apresentada a formulação básica do problema, mostrando as características gerais que o compõem e as diferentes restrições às quais está sujeito. Cap.4 - Ferramenta de análise e exemplo básico de Fluxo de Potência Ótimo - Apresenta as características gerais do pacote computacional AMPL e o solver Knitro para a solução de um

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 6 problema básico de otimização e sua aplicação para resolver um SEP de 3 barras. Cap.5 - Fluxo de Potência Ótimo com aerogeradores Apresenta as considerações inicias para a solução do problema proposto, a formulação do modelo e a metodologia utilizada no estudo. Cap.6 Simulações Apresenta as características gerais dos sistemas simulados, o estudo feito com a ajuda do pacote computacional AMPL e o solver Knitro, para os sistemas IEEE de 14, 30, 57, e 118 barras. Cap.7 - Conclusões - São apresentadas as conclusões do trabalho realizado, as sugestões para trabalhos futuros e uma relação dos artigos publicados e aceitos no período do mestrado.

CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 7 CAPÍTULO 2 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1 Estado da arte do problema de fluxo de potência ótimo A operação econômica dos sistemas de transmissão tem sido prioridade para as empresas do setor elétrico. Cada ano uma empresa geradora de energia gasta consideráveis somas em combustíveis para a sua produção. Inicialmente o problema foi abordado a partir da perspectiva de despacho econômico de geração, posteriormente, foi adotada uma nova formulação para este problema, conhecido como FPO, proposto por Carpentier [8] no início dos anos 60. Este problema suscita uma série de abordagens e soluções propostas que levam à otimização do planejamento e operação de sistemas elétricos de potência. A seguir são apresentados os resumos de alguns trabalhos que mostram diferentes abordagens desde a década de 60, consideradas por vários autores para resolver o problema [9]. 1961, R. B. Squires, [10]. Apresentaram um método para resolver o problema de Despacho Econômico, utilizando técnicas de minimização com multiplicadores de Lagrange. O método descarta as limitações associadas aos limites da magnitude da tensão e ao ângulo de fase, mostrando resultados favoráveis na minimização dos custos de geração.

CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 8 1962, Carpentier, [8]. Apresentou as condições de otimização para o FPO a partir do problema de despacho econômico, incluindo limites baseado nas condições de KKT. A literatura considera sua proposta como sendo o primeiro aporte na solução do problema de FPO. 1968, Dommel & Tinney, [11]. Apresentaram uma nova abordagem para solucionar o problema do FPO com base no método convencional de Newton. A solução mostra que o método convencional pode ser ajustado para encontrar um ponto ótimo de operação em diferentes condições de estudo. 1973, Sasson, [12]. A principal característica de sua proposta é o uso do FPO levando em conta na solução a matriz Hessiana para acelerar a convergência com referência ao método convencional de Newton. O problema de FPO, que é um problema restrito, é formulado como irrestrito por meio de uma penalização exterior para todas as restrições de desigualdade. 1982, Burchett, - et al., [13]. Sua abordagem consiste em decompor o problema original do FPO em problemas individuais linearmente restritos, usando uma função objetivo do tipo Lagrangiana aumentada. A solução dos subproblemas é assumida pelo método do gradiente reduzido com direção de busca. O método demonstrou eficácia na otimização de sistemas elétricos de grande porte. 1984, Sun, - et al., [14]. Apresentaram uma solução do FPO baseado em uma formulação explícita de Newton. Utilizando multiplicadores de Lagrange, as restrições de igualdade são incorporadas na função objetivo, e o valor ótimo da função

CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 9 ocorre quando são satisfeitas todas as condições de otimização de KKT. O maior desafio da proposta é identificar o conjunto de restrições de desigualdade que atuam na solução. 1988, Santos, - et al., [15]. Usaram estratégias de função Lagragiana aumentada e penalidade para propor um novo método baseado em técnicas de programação não linear para solucionar o problema de FPO. Utilizando fatores de penalidade em todas as restrições, a função objetivo é aumentada, utilizando para a minimização, o método de Newton. Este método pode ser visto como uma melhoria da abordagem apresentada por Sasson. 1991, Hunealult & Galiana, [16]. Apresentaram uma revisão dos estudos mais relevantes realizados sobre o problema do FPO. Mostraram uma classificação dos métodos de acordo com as técnicas utilizadas descrevendo as relações funcionais e cronológicas entre cada uma delas. 1992, Monticelli & Liu, [17]. Propuseram um método baseado na abordagem de Newton para a atualização dos fatores de penalidade. A principal vantagem do método, é que ele garante caráter positivo para a matriz Hessiana, sem afetar negativamente as características da convergência. O método foi testado em sistemas de 100 e 1650 barras. 1994, Granville, [18]. Apresentou uma implementação do método de pontos interiores para resolver o problema do despacho econômico de potência reativa. O método é interessante por causa da sua eficiência computacional. O algoritmo apresentado, foi baseado no método da barreira logarítmica primal-dual. Utiliza multiplicadores de Lagrange

CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 10 para as restrições de igualdade e transforma as desigualdades em igualdades utilizando variáveis de folga. 1997, Costa - et al., [19]. Apresentaram uma nova abordagem para resolver o problema de FPO reativo baseados no método de Newton, ao qual adapta uma função objetivo do tipo Langragiana aumentada, incorporando as restrições de igualdade e desigualdade. Com a introdução de variáveis duais e termos de penalização quadrática na função Lagrangiana, é eliminado o problema em identificar o conjunto de restrições de desigualdade apresentado em estudos prévios. 1999, Momoh, [20, 21]. Apresentaram uma revisão da literatura em relação aos métodos de resolução do FPO dividida em duas publicações que mostraram os trabalhos mais relevantes desenvolvidos até o momento, destacando seis categorias: programação não linear, programação quadrática, soluções baseadas no método de Newton, programação linear, programação inteira mista e por último, o método de pontos interiores. 2003, V. de Sousa - et al., [22]. Apresentaram uma nova abordagem para a solução do problema de FPO reativo, onde aproveitam as melhores características dos métodos de Newton e de pontos interiores. As condições iniciais de otimização são atingidas com o método de Newton. Este método tem a vantagem de não precisar identificar o conjunto inicial de restrições. 2004, Souza - et al., [23]. O método proposto apresenta uma nova abordagem para a solução do problema de FPO baseado no método de barreira logarítmica primal-dual e na função de barreira modificada. A abordagem apresentada é uma combinação

CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 11 das melhores propriedades das funções clássicas de Lagrange e barreira. Um ganho importante dessa abordagem é sua rápida convergência [24]. 2006, Jiageng Qiao et al.,[25] Apresentaram três tipos de modelos para resolver o FPO reativo incluindo geração eólica. No modelo, o barramento com geração eólica é considerado como um nó PQ de tensão constante (CVPQ), com o objetivo de isolar o parque eólico da influência do sistema simplificando assim o processo de otimização. Para testar a resposta dos diferentes modelos, foram realizadas simulações no sistema IEEE de 14 barras. Os resultados mostram uma ótima solução do problema, mas pôde ser evidenciado um aumento nas perdas do sistema com referência ao modelo PQ convencional. 2007, Souza - et al., [26]. Na sua abordagem as restrições de desigualdade são tratadas pelo método da barreira logarítmica primal-dual e barreira modificada. As restrições de desigualdade são transformadas em restrições de igualdade com a introdução de variáveis auxiliares. Os autores afirmam que é possível iniciar o processo de otimização por fora do conjunto viável de valores iniciais e satisfazer sem nenhum problema o conjunto de restrições de desigualdade. 2008, R.A. jabr & B.C. Pal, [27] É apresentado um modelo estocástico de geração eólica para a solução do problema de FPO. O modelo inclui o erro para a previsão da energia eólica utilizando um histograma de frequência relativa. O modelo tem a vantagem de permitir a realização da coordenação de energia eólica com energia térmica, considerando em sua função objetivo o custo de geração da energia térmica e os diferentes

CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 12 custos de operação da energia eólica. Neste modelo, os aerogerados são representados como máquinas de indução. 2009, Lage & Sousa, [28]. Apresentaram a solução do problema de FPO através do método de barreira modificada/penalidade considerando as vantagens do método de pontos interiores. Neste método, as restrições de desigualdade são transformadas em igualdades pela introdução de variáveis de folga, que são tratadas pela função de barreira modificada. A fim de validar o método proposto foi testado em sistemas elétricos de potência de 3, 14, 30, 118, 162 e 300 barras. 2010, L.B. Shin - et al., [29] Apresentaram uma abordagem baseada no método de programação evolutiva adaptativa para a solução do problema de FPO levando em conta geração eólica. O modelo apresentado é baseado na distribuição de probabilidade de potência na saída do parque eólico. Na função objetivo são levadas em conta duas componentes do custo da geração eólica: o custo da capacidade de reserva e o custo do benefício ambiental, atribuindo às duas componentes o fato da intermitência do vento. 2011, Sousa & Cañizares, [30]. Apresentaram um algoritmo de otimização globalmente convergente para a solução de FPO não lineares. A convergência global significa que o algoritmo de otimização vai convergir ao ponto ótimo para qualquer escolha de ponto inicial. O desempenho do algoritmo proposto é testado em sistemas IEEE de 30, 57, 118 e 300 barras e num sistema real de 1211 barras.

CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 13 2011, Liang Xie - et al., [31]. Apresentaram um trabalho onde foi feita uma formulação do problema de FPO para um sistema que contem geração eólica, incluindo um modelo estável do gerador; com o fim de fazer mais razoável a abordagem, os autores incluem na função objetivo o custo de geração de energia eólica; e a geração de potência ativa do gerador foi relacionada com as variáveis de controle. Além da função objetivo que os autores apresentaram no seu estudo, é interessante ressaltar a dependência das variáveis de controle com a velocidade do vento tendo uma influência direta na saída de potência ativa do aerogedor como esta mostrada na formulação apresentada. 2012, Sousa - et al., [32]. Apresentaram uma nova abordagem para resolver o problema de FPO reativo. Nesta abordagem, as restrições de desigualdade são tratadas com a função de barreira modificada que tem uma propriedade de convergência finita. A viabilidade da abordagem proposta é demonstrada por testes comparativos com o método de ponto interior (MPI), utilizando diversos sistemas padrão IEEE e duas redes derivadas do Sistema Elétrico Brasileiro. Os resultados do método são computacionalmente mais atraentes do que os de MPI em termos de velocidade, número de iterações e condições numéricas. 2014, A. dos Santos Junior - et al., [33]. Apresentam um método de penalidade via reescalonamento não linear para resolver o problema de FPO. Dado um problema de otimização não linear, o método proposto relaxa e reescalona suas restrições de desigualdade resultando-o em um problema equivalente. As restrições de desigualdade são reescalonadas através da função barreira logarítmica Modificada. A eficiência deste método

CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 14 quanto e sua precisão foi comprovada através de testes para sistemas elétricos do IEEE. A aplicação de técnicas de otimização no campo dos sistemas elétricos de potência para seu planejamento e operação, foi uma área de constante investigação no passado e continua ainda no presente. O FPO que busca otimizar uma função objetivo sujeito a uma série de restrições próprias dos sistemas, é uma das ferramentas de análise mais versátil na procura de pontos de operação ótimos nas redes elétricas. Como foi apresentada na revisão das diferentes abordagens neste capítulo, a o longo dos anos, uma ampla variedade de técnicas têm sido utilizadas na solução deste problema, as quais podemse resumir nas seguintes categorias [28]: Técnicas de programação não linear. Técnicas de programação quadrática. Soluções baseadas no método de Newton. Técnicas de programação linear. Versões híbridas de programação linear e programação inteira. Métodos de pontos interiores. Algumas das técnicas mencionadas e utilizadas para a solução do problema de FPO têm sido aplicadas no desenvolvimento de ferramentas computacionais, os quais visam otimizar parâmetros próprios da solução, como tempo de resposta, nível de confiabilidade e número de iterações. Além disso, o uso de ferramentas computacionais desempenha um papel importante na prática da engenharia elétrica. Inicialmente essas ferramentas foram utilizados para a solução de problemas simples, e com o passar do tempo suas aplicações foram

CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 15 considerando problemas mais complexos, tais como o cálculo de correntes de curto circuito, a estabilidade de sistemas de potência e a coordenação de proteções, até chegar às aplicações de fluxo de potência ótimo [34]. 2.2 Otimização multi objetivo Na área da otimização, são muitos os problemas que podem ser apresentados, em que podem ser encontradas abordagem que levam em conta duas ou mais funções objetivo há serem consideradas dentro de um mesmo problema ao invés de apenas uma. No caso dos sistemas elétricos de potência são vários os fatores que afetam seu planejamento e sua operação, que podem passar pela segurança, a confiabilidade no serviço, o custo de geração, a qualidade da energia fornecida aos usuários ou a quantificação das perdas ocorridas nas linhas de transmissão [35] [36]. Geralmente os problemas de FPO consideram a otimização de apenas um índice de desempenho, mais o desempenho geral dos sistemas pode ser melhorado quando são atendidos vários desses índices, é por isso que no presente trabalho são considerados dois aspetos numa única função objetivo, levando o problema convencional de FPO para um problema multiobjetivo [35]. A otimização multiobjetivo pode fornecer diferentes vantagens em comparação com a otimização mono objetivo, dentre delas pode-se destacar as seguintes:

CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 16 Encontrar o ponto ótimo de operação, considerando vários aspectos que sejam relevantes na operação do sistema; Ajudar na tomada de decisões, na medida em que se têm em consideração mais aspectos para o funcionamento ótimo do sistema. Vários métodos podem ser aplicados na solução de um problema multiobjetivo, sendo que cada um deles possui características e aplicações diferentes para tratar a função multiobjetivo. Uma revisão das principais características de cada um desses métodos pode ser visto em [36]. Neste trabalho, a solução do problema de FPO, o qual considera na sua formulação uma função multiobjetivo com uma componente de perdas de potência ativa na transmissão mais o desvio da tensão, é feita através do pacote computacional apresentado no capítulo 4. Normalmente em problemas de otimização multiobjetivo, o ponto ótimo que otimiza um objetivo estabelecido, de forma factível, não otimiza ou outro objetivo, por isso, como pode ser visto no capítulo 5, a metodologia pleiteada considera fatores que multiplicam os componentes da função objetivo apresentada, dando a possibilidade de dar maior ou menor peso em um determinado objetivo, dependendo do interesse da análise. Com o objetivo de fornecer alguns conceitos gerais do problema de FPO o próximo capítulo apresenta os aspetos básicos que o compõem.

CAPÍTULO 3 VISÃO GERAL DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO 17 CAPÍTULO 3 3. VISÃO GERAL DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO A necessidade existente para manter altos níveis de segurança, confiabilidade e estabilidade no serviço de energia elétrica, além de otimizar os ativos, levou os pesquisadores a buscarem ferramentas computacionais baseadas em programação matemática. O FPO, amplamente utilizado em estudos que vão desde o planejamento até a operação dos SEP, é uma ferramenta que apresenta essas características, ou seja, otimiza as condições de funcionamento de um sistema de energia através do ajuste das variáveis de controle levando em conta uma série de restrições operacionais do sistema [37]. O problema de FPO é geralmente expresso como um problema de programação não linear restrito, com uma função objetivo que pode conter diferentes aspectos que vão desde a análise econômica até a análise elétrica de diferentes sistemas e restrições de igualdade e desigualdade que representam as leis físicas que regem os sistemas de transmissão, bem como os limites operacionais. Tais restrições podem ser expressas como equações lineares ou não lineares. O problema pode ser resolvido utilizando técnicas de otimização apropriadas [37]. 3.1 Formulação matemática do problema de Fluxo de Potência Ótimo

CAPÍTULO 3 VISÃO GERAL DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO 18 O conjunto de equações (3.1) representa a formulação matemática geral do FPO. O problema procura satisfazer uma função objetivo que está sujeita a uma série de restrições para alcançar o melhor ponto de operação do sistema [9]:, h, =0 (3.1), 0 Em que:, é a função objetivo; é um vetor de ( variáveis de estado; é um vetor de ( ) variáveis de controle;, = representa um vetor de ( ) restrições de igualdade;, 0 representa um vetor de ( ) restrições de desigualdade. As variáveis de controle (u) podem ser ajustadas para procurar a melhor solução, atendendo às diferentes restrições. Exemplos de variáveis de controle para um SEP são [9]: Potência ativa atribuída às unidades geradoras. Potência reativa atribuída às unidades geradoras. Posição dos taps dos transformadores.

CAPÍTULO 3 VISÃO GERAL DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO 19 As variáveis de estado podem ser calculadas a partir das variáveis de controle, entre elas podem-se encontrar [9]: Magnitude de tensão nas barras de carga; Ângulo de fase de todas as barras; (exceto na barra slack). As variáveis de controle e de estado que são consideradas para um estudo de FPO estão resumidas na figura 1. Figura 1. Representação de uma barra de um SEP Em que,, são variáveis de controle e correspondem à potência ativa e reativa injetada pelo gerador; e, são variáveis de estado e correspondem à magnitude de tensão e ângulo de fase na barra de carga, respectivamente;,, são parâmetros que representam a potência ativa e reativa da carga ou consumo. Outras variáveis também podem fazer parte do FPO, como exemplo os taps dos transformadores. Uma representação dos fluxos de potência presentes num SEP pode ser visto na figura 2.

CAPÍTULO 3 VISÃO GERAL DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO 20 Figura 2. Representação gráfica dos fluxos de potência Em que, e representam as barras do sistema, representa a injeção de potência ativa e reativa na barra, e são respectivamente os fluxos de potência ativa e reativa da barra para a barra, e são respectivamente os fluxos de potência ativa e reativa da barra para a barra, representa os parâmetros da linha na forma de admitância e representa a potência ativa e reativa da carga da barra. 3.2 Função objetivo A função objetivo está dada por uma função escalar que pode representa diferentes aspectos que se desejam otimizar no sistema de potência, levando em conta parâmetros de qualidade, segurança e confiabilidade em sua operação, sendo assim, sua formulação vai estar sujeita ao objetivo do estudo. Algumas funções objetivo mais comuns para o problema de FPO são [9]: Minimizar os custos de geração; Minimizar o desvio da tensão; Minimizar as perdas de transmissão de potência ativa; Minimizar as perdas de transmissão de potência reativa.

CAPÍTULO 3 VISÃO GERAL DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO 21 A minimização da função de custo de geração para todas as unidades geradoras ligadas ao sistema pode ser representada pela equação 3.2. (3.2) Em que é a geração de potência programada para cada unidade ligada no sistema, é o número total de geradores, representa o custo de cada unidade de geração dado por geração., sendo,, e os coeficientes de custo de De forma geral, a minimização da função do desvio da tensão, pode ser expressa pela equação 3.3 (3.3) Sendo a magnitude da tensão na barra e a magnitude da tensão de referência, a qual geralmente é 1 p.u. A minimização das perdas de potência ativa e reativa é considerada em estudos de SEP tanto no planejamento como na operação. Sua formulação matemática é apresentada nas equações (3.4) e (3.5) [38]: = 2 cos (3.4) = 2 (3.5)

CAPÍTULO 3 VISÃO GERAL DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO 22 Em que: - Fluxo de potência ativa no ramo ; - Fluxo de potência ativa no ramo ; - Condutância série entre as barras ; - Magnitude da tensão nodal na barra ; - Magnitude da tensão nodal na barra ; - Ângulos das tensões nas barras terminais do ramo ; - Fluxo de potência reativa no ramo ; - Fluxo de potência reativa no ramo ; - Susceptância shunt entre as barras ; - Susceptância série entre as barras. 3.3 Restrições Associadas ao Problema de Fluxo de Potência Ótimo Trabalhar com o modelo matemático apresentado na equação (3.1) implica levar em conta uma série de restrições de igualdade e desigualdade. As restrições de igualdade correspondem às equações de balanço de potência ativa e reativa em cada nó da rede, enquanto que as restrições de desigualdade representam os limites das variáveis do sistema. As equações de balanço de potência ativa e reativa no modelo estacionário da rede definem o primeiro conjunto de

CAPÍTULO 3 VISÃO GERAL DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO 23 restrições, ou seja, as restrições de igualdade. Estas são definidas pelas equações (3.6) e (3.7): = = (3.6) = = (3.7) Em que, e são respectivamente a injeção de potência ativa e reativa na barra ; e são respectivamente a geração de potência ativa e reativa na barra ; e são respectivamente a carga ativa e reativa na barra ; é a injeção de potência reativa devido ao elemento shunt da barra ; é a parte real do elemento da matriz admitância correspondente a linha e coluna ; é a parte imaginária do elemento da matriz admitância; correspondente a linha e coluna. As restrições de desigualdade representam os diferentes limites que o sistema deve obedecer quando alcançar o seu ponto de operação otimizado. Essas restrições refletem limites operacionais impostos aos dispositivos e sistemas de energia. Algumas restrições de desigualdade que são consideradas em um FPO são [9]: Limites de potência ativa e reativa de geração: a energia ativa e reativa atribuída às unidades geradoras devem estar dentro dos limites operacionais. Os limites de potência podem ser definidos como mostrado nas equações (3.8) e (3.9): (3.8)

CAPÍTULO 3 VISÃO GERAL DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO 24 (3.9) Em que, e são os limites da potência ativa mínima e máxima, respectivamente e, e são os limites da potência reativa mínima e máxima, respectivamente e e. são a potência ativa e reativa gerada. Limites de fluxo nos ramos: À fim de manter a segurança e o nível de confiabilidade nos SEP, as ligações (linhas e transformadores) não devem ser sobrecarregadas, portanto é necessário definir limites para todos os ramos ou alguns deles. Estes limites podem ser devido a limitações térmicas dos equipamentos ou considerações de segurança do sistema. Os limites de fluxos são formulados como segue na equação (3.10) [9]: (3.10) Em que, representa o fluxo máximo de potência ativa permitido no ramo. Limites de tensão: Como a tensão nas barras é um dos critérios de segurança e representa o maior índice de qualidade de serviço, incluir uma restrição para manter os limites de tensão nas barras do sistema é um aspecto importante a ser considerado no problema de FPO. Matematicamente, esta restrição pode ser definida de acordo com a equação (3.11) [9].

CAPÍTULO 3 VISÃO GERAL DO PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO 25 (3.11) Em que, e representam respectivamente a restrição de nível mínimo e máximo da magnitude de tensão na barra e representa a magnitude da tensão na barra k. A formulação do problema de FPO, pode variar dependendo do tipo da análise e do sistema que seja considerado, sendo assim, na literatura podem ser encontradas diversas formulações, embora todas sejam baseadas no modelo geral (3.1) apresentado neste capítulo. O modelo para a análise proposta neste trabalho, pode ser visto no capitulo 5, tendo como característica principal a inserção de aerogeradores, os quais equivalem a novas variáveis que são levadas em conta na formulação proposta, tendo uma participação direta nas diferentes restrições que compõem o problema.

CAPÍTULO 4 FERRAMENTA DA ANÁLISE E EXEMPLO DE FPO 26 CAPÍTULO 4 4. FERRAMENTA DA ANÁLISE E EXEMPLO BÁSICO DE FPO Uma das ferramentas mais poderosas para análises de SEP, como mencionado, é o FPO, que é um termo genérico para denominar uma classe de problemas aplicados em diferentes sistemas. O problema de FPO busca otimizar uma função específica, satisfazendo restrições que são regidas por particularidades operacionais e físicas da rede elétrica, cujos modelos matemáticos utilizados envolvem dificuldades como não linearidades, não convexidades, milhares de restrições, variáveis discretas e/ou inteiras; o que ocasiona um problema de difícil solução, tornando-se um tema abordado por vários pesquisadores. Para encontrar o ponto ótimo de uma função objetivo sujeita a várias restrições, a programação matemática no campo das aplicações computacionais é amplamente utilizada. Nessas práticas computacionais, a solução dos problemas não é tão simples como executar algum algoritmo e imprimir a solução ideal e o procedimento básico para a elaboração de ditas aplicações pode ser descrito como segue [39]. O primeiro passo é formular um modelo onde são definidas de forma geral as variáveis do sistema, os objetivos e as restrições que representam o problema a ser resolvido.

CAPÍTULO 4 FERRAMENTA DA ANÁLISE E EXEMPLO DE FPO 27 O segundo passo consiste em coletar dados que permitam definir um problema específico, gerar uma função objetivo específica, as restrições do modelo e finalmente, resolver o problema definido executando um programa computacional para sua solução. Para a solução do problema proposto neste trabalho, o qual é um problema de otimização não linear, restrito, não convexo de grade porte e multiobjetivo, foi utilizado o software de programação AMPL e o solver Knitro. Estes softwares fornecem uma boa confiabilidade e versatilidade na solução de problemas de programação não linear. À seguir são descritas algumas de suas características. 4.1 Ferramentas de análises (AMPL e Knitro) A Modeling Language for Mathematical Programming (AMPL) fornece um ambiente com linguagem de programação simples para configurar e solucionar problemas de programação matemática. A interface flexível e amigável permite a utilização dos mais diversos solvers, disponibilizando todos de uma vez, utilizando uma mesma programação, para que o usuário possa alternar entre eles e selecionar as opções que podem melhorar o desempenho do programa [6]. O Knitro [7] é uma biblioteca de programas (pacote de solucionadores solvers) de otimização para encontrar soluções tanto para modelos de otimização contínua (com ou sem restrições), bem como modelos de otimização discreta com inteiros ou variáveis binárias, e foi projetado principalmente

CAPÍTULO 4 FERRAMENTA DA ANÁLISE E EXEMPLO DE FPO 28 para encontrar soluções locais em problemas de grande escala não lineares com variáveis contínuas. 4.1.1 Métodos de otimização do Knitro O pacote Knitro utiliza três métodos na solução dos problemas: dois algoritmos do tipo ponto interior, sendo eles o algoritmo de CG (Gradiente Conjugado) e o algoritmo Direct; e um do tipo conjunto ativo (Active-Set). Uma representação destes métodos pode ser vista na figura 3. Esses algoritmos estão disponíveis no pacote com o intuito de oferecer diferentes opções na solução dos problemas de programação não linear, permitindo também a possibilidade de interagir esses métodos durante a solução (crossover), o que fornece uma maior flexibilidade em sua utilização[40]. Figura 3. Opções de solução do pacote Knitro A seguir, descreve-se de maneira geral os três métodos que são apresentados no pacote Knitro [40].

CAPÍTULO 4 FERRAMENTA DA ANÁLISE E EXEMPLO DE FPO 29 4.1.1.1 Método de Pontos Interiores - Direto O método de pontos interiores Direto, também conhecido como método de barreira, substitui o problema original por uma série de subproblemas controlados por um parâmetro de barreira. Este método executa um ou mais processos de minimização em cada um desses subproblemas diminuindo o parâmetro de barreira, repetindo o processo até que o problema original seja resolvido com a precisão desejada. O processo de solução pode ser alternado com o método pontos interiores - CG no caso em que existam dificuldades na convergência, de modo que uma ou mais iterações podem ser realizadas no método de pontos interiores - CG, até localizar uma redução apropriada da função objetivo proposta [7]. 4.1.1.2 Algoritmo Pontos Interiores - CG O método é semelhante ao método de pontos interiores - Direto, mas difere essencialmente no fato de que o sistema KKT primal-dual é resolvido por iteração com a aplicação do algoritmo de gradiente conjugado. No método, é usada uma matriz de projeção que é fatorizada, sendo então aplicado o algoritmo do gradiente conjugado para minimizar um problema quadrático do problema barreira. A vantagem apresentada pelo Knitro no uso do método de gradiente conjugado, é a possibilidade de utilizar derivadas exatas de segunda ordem sem a necessidade de construir uma matriz Hessiana explicitamente. [7]

CAPÍTULO 4 FERRAMENTA DA ANÁLISE E EXEMPLO DE FPO 30 4.1.1.3 Algoritmo Conjunto Ativo O método de conjunto ativo resolve uma série de problemas baseado em um modelo quadrático do problema original. Em contraste com os métodos de pontos interiores, o método reconhece as desigualdades ativas e segue um caminho fora da solução. O Knitro utiliza uma programação linear sequencial quadrática (SLQP) semelhante ao método de programação quadrática sequencial (SQP), usando subproblemas de programação linear para determinar o conjunto ativo. Esse método pode ser preferido em relação aos métodos de pontos interiores quando é fornecido um bom ponto inicial, por exemplo, quando se deseja resolver uma série de problemas relacionados. [7] 4.2 Exemplo básico de otimização no AMPL A figura 4 mostra um exemplo básico de otimização fazendo uso do conjunto AMPL e Knitro. O objetivo deste exemplo é mostrar as instruções básicas usadas pelo programa.

CAPÍTULO 4 FERRAMENTA DA ANÁLISE E EXEMPLO DE FPO 31 Figura 4. Sintaxe básica de programação no AMPL Os modelos AMPL envolvem variáveis, restrições e objetivos expressos com o auxílio de conjuntos e parâmetros, chamados elementos do modelo. Cada elemento do modelo tem um nome alfanumérico, por exemplo, 1, 2, _1 [41]. Alguns detalhes que podem ser vistos no exemplo da figura 4 são: Os comentários podem ser adicionados a partir do comando # até ao fim da linha. O final de cada declaração ou cada comando deve ser um ponto e vírgula (;). As letras maiúsculas e minúsculas são diferenciadas.

CAPÍTULO 4 FERRAMENTA DA ANÁLISE E EXEMPLO DE FPO 32 É possível inserir espaços em branco ou linhas em branco sem afetar a execução do programa. A multiplicação deve ser indicada com " ", e deve ser escrita como "3 1 4 2" e não "3 1 4 2" [41]. A estrutura básica de programação é constituída pelos blocos mostrados na figura 5. Figura 5. Estrutura básica de programação no AMPL Após a obtenção de uma solução ótima, os resultados podem ser mostrados e, para isso, precisa-se dos comandos, display e printf, que permitem mostrar dados na tela, resultados ou mensagens de texto predefinido, por exemplo: Depois de resolver o problema, pode-se escrever na janela de sw.exe, (sw, é uma janela em que se pode executar os comandos do AMPL de forma confortável), o seguinte comando: " : 1, 2;", exibindo assim na tela os valores ótimos das variáveis associadas com o problema, o valor da função objetivo pode ser apresentado usando o comando display objetivo; [42]. Ao contrário de outros programas, uma vez definido o modelo em AMPL, pode-se especificar o tipo de solver para

CAPÍTULO 4 FERRAMENTA DA ANÁLISE E EXEMPLO DE FPO 33 fazer a solução do problema. Existe uma grande variedade de solvers que podem ser chamados via AMPL. Os solvers, são programas que têm implementados os algoritmos para resolver diferentes tipos de problemas. A edição Standard AMPL Student for Windows, pode ser executada com diferentes solvers, entre os quais se destacam CPLEX (para problemas de programação linear, programação inteira e redes), e solver padrão MINOS (para problemas de programação linear e programação não linear). É importante levar em conta que o software na versão de estudante tem uma limitação de 300 variáveis e 300 restrições. Também existem outras versões como AMPL Plus para Windows, ou versões para Linux, Unix e outras plataformas, [42]. 4.3 Solução do sistema de potência de 3 barras com AMPL e o solver Knitro O sistema de 3 barras da figura 6, foi utilizado a fim de testar a formulação básica e a confiabilidade na solução do problema de fluxo de potência ótimo no programa AMPL. O sistema apresenta as seguintes características: 1 barra de geração (slack) - barra 1; 1 barra de controle reativo (PV) - barra 2; 1 barra de carga (PQ) - barra 3; 2 linhas de transmissão.

CAPÍTULO 4 FERRAMENTA DA ANÁLISE E EXEMPLO DE FPO 34 2 1 G Y=4-j10 pu Y=4-j5 pu G PV P 2 =170 MW 3 PQ slack P 3 =200 MW Q 3 =100 MVAr Figura 6. Topologia do sistema de 3 barras para a solução de FPO O estado inicial do sistema está mostrado na tabela 1 e os limites das variáveis na tabela 2. Tabela 1. Estado inicial do sistema de 3 barras. Barra k Tipo V k (p.u.) ângulo P k (MW) Q k (MVAr) 1 Slack 1,0 0,0 --- --- 2 PV 1,0 0,0 170,0 --- 3 PQ 1,0 0,0-200,0-100,0 Tabela 2. Limite das variáveis do sistema de 3 barras. Barra k min (p.u.) max(p.u.) min(mvar) max(mvar) V k V k 1 0,8 1,2-9999 9999 2 0,8 1,2 100 200 3 0,9 1,0 --- --- Q k Q k O problema para ser resolvido associado ao sistema da figura 6 pode ser representado pelo modelo 4.1: Minimizar: 4[ 2 2 ] Sujeito a:

CAPÍTULO 4 FERRAMENTA DA ANÁLISE E EXEMPLO DE FPO 35 1,7 =0 2 =0 1 =0 1,0 2,0 (4.1) 0,8 1,2 0,8 1,2 0,9 1,0 Em que: =4 4 10 = 4 4 10 4 4 10 = 10 10 4 5 5 4 =10 10 4 =cos =sen Uma vez definido o modelo de otimização do sistema apresentado na figura 6, é abordada a solução. A figura 7 mostra o código utilizado levando em conta as instruções de programação básicas para a ferramenta já apresentada.

CAPÍTULO 4 FERRAMENTA DA ANÁLISE E EXEMPLO DE FPO 36 Figura 7. Programa no AMPL para a solução do Sistema de 3 barras O exemplo anterior, mostra a facilidade com que um problema de otimização pode ser expresso na linguagem de programação do AMPL. Na figura 8, apresenta-se o procedimento de execução utilizando o solver Knitro para sua solução. Figura 8. Procedimento de execução no AMPL para a solução com knitro Algumas características interessantes da figura 8 são: Configurar outlev = 6, para imprimir os valores finais das restrições e os valores dos multiplicadores de Lagrange (ou variáveis duais) que se imprimem perto de sua restrição o limite, alg = 0, que deixa livre a escolha do algoritmo dentre os três disponíveis na biblioteca do Knitro, e debug = 1, que mostra o tempo tomado pelo computador na solução do problema.

CAPÍTULO 4 FERRAMENTA DA ANÁLISE E EXEMPLO DE FPO 37 Para apresentar a solução final é utilizado o comando printf como mostra a figura 9. Figura 9. Procedimento de execução no AMPL para mostrar a solução do problema O relatório de saída apresentado na figura 10, é gerado pelo AMPL e uma vez que este executa a solução para o problema proposto, o relatório (que é apresentado na janela sw.exe ) oferece diferentes informações da solução. Podem-se destacar entre elas, a versão do pacote utilizado (neste caso foi a versão de estudante Knitro 8.1.1), as características gerais do problema, tais como o número de variáveis, a quantidade de restrições associadas ao modelo, o número de iterações com seus dados mais relevantes, algumas estatísticas finais e os vetores de solução. No final do relatório é informado o arquivo no qual foram impressos os resultados que o usuário quer analisar.

CAPÍTULO 4 FERRAMENTA DA ANÁLISE E EXEMPLO DE FPO 38 Figura 10. Relatório de saída - Informações gerais do problema

CAPÍTULO 4 FERRAMENTA DA ANÁLISE E EXEMPLO DE FPO 39 Após a conclusão, O knitro apresenta uma mensagem e retorna um código de saída para o AMPL. De acordo com a figura 10, foi possível encontrar uma solução, então é gerada a mensagem Locally optimal solution found Solução ótima local encontrada que tem o código de saída zero; (o código de saída pode ser visto digitando ampl: display solve exit code; ). Se uma solução ótima não for encontrada, knitro retorna um dos seguintes parâmetros [39] -100 até -199 - Uma solução factível aproximada foi encontrada. -200 até -299 - O código terminou em um ponto infactível. -300 - Aparentemente o problema não possui limites. -400 até -499 - O código encerrou porque o programa alcançou um limite predefinido. -500 até -599 - O código encerrou por um erro de entrada ou algum problema fora do padrão. Uma descrição mais detalhada dos códigos individuais de retorno e suas mensagens correspondentes é apresentada em [7]. Para uma leitura mais sintetizada dos resultados fornecidos pelo programa é gerado um arquivo.txt com o formato mostrado na figura 11. A figura 9 mostra a estrutura necessária para gerar o arquivo.txt contendo a solução do problema.

CAPÍTULO 4 FERRAMENTA DA ANÁLISE E EXEMPLO DE FPO 40 Figura 11. Arquivo de saída gerado no AMPL Solução do problema A figura 11 mostra os valores obtidos para a função objetivo e cada uma das variáveis de estado do exemplo da figura 6. A forma mais habitual de trabalhar com AMPL é através da construção de 3 arquivos ou ficheiros com extensões.mod,.dat e.run, que contêm respectivamente as componentes do modelo, os dados em formato AMPL e as instruções ou comandos que serão executados. A característica principal desses arquivos é que eles podem ser editados com qualquer editor de texto, como por exemplo, o bloco de notas, [42]. Neste trabalho foram utilizados na solução dos diferentes sistemas analisados, o ficheiro.mod, que contém toda a definição do problema de FPO, assim como também as instruções e comandos que foram executados e os ficheiros.dat, que foram chamados de.branch e.bus, os quais contêm respectivamente os dados das linhas e das barras que são necessários na execução do arquivo.mod, para a solução do problema de FPO. A vantagem