POTENCIAL ELÉTRICO Seção 30-2 Energia Potencial Elétrica 1. No modelo de quarks das partículas fundamentais, um próton é composto de três quarks: dois quarks "up", cada um tendo carga +(2/3)e, e um quark "down", tendo carga -(I/3)e. Suponha que os três quarks sejam eqüidistantes. Considere essa distância como 1,32 X IO" 15 me calcule (a) a energia potencial da interação dos dois quarks "up" e (b) a energia potencial elétrica total do sistema. 2. Deduza uma expressão para o trabalho necessário para um agente externo reunir quatro cargas como indica a Fig. 25. O lado doquadrado tem comprimento a. 3. Uma década antes de Einstein publicar sua teoria da relatividade, J. J. Thomson imaginou que o elétron poderia ser constituído de pequenas partes, que sua massa seria devida à interação elétrica dessas partes e que a energia seria igual a mc 2. Faça uma estimativa grosseira da massa do elétron, do seguinte modo: suponha que o elétron seja composto de três partes idênticas que foram trazidas do infinito e colocadas nos vértices de um triângulo equilátero cujos lados são iguais ao raio clássico do elétron, 2,82 X IO -15 m. (a) Encontre a energia potencial elétrica total desta configuração, (b) Divida por c 2 e compare seu resultado com a massa aceita do elétron (9,11 X IO -31 kg). O resultado se torna mais preciso se forem consideradas mais de três partes. Hoje, o elétron é concebido como uma partícula simples, indivisível. 4. As cargas mostradas na Fig. 26 estão fixas no espaço. Encontre o valor da distância x tal que a energia potencial elétrica do sistema seja nula. 25,5 nc 17,2 nc -19,2 nc p 14,6 cm >j-s x @ 3-j Fig. 26 Problema 4. 5. A Fig. 27 mostra uma representação idealizada de um núcleo de 238 U (Z = 92) prestes a sofrer uma fissão. Calcule (a) a força repulsiva atuante em cada fragmento e (b) a energia potencial elétrica mútua dos dois fragmentos. Suponha que os fragmentos sejam esféricos, tenham o mesmo raio e possuam a mesma carga, tocando-se em um ponto apenas, sem se deformarem. O raio do núcleo de 238 U inicialmente era de 8,0 fm. Suponha que a matéria que constitui o núcleo tenha densidade constante. Seção 30-3 Potencial Elétrico 6. Duas superfícies condutoras planas e paralelas, afastadas entre si de d = 1,0 cm, estão a uma diferença de potencial AVde 10,3 kv. Um elétron é projetado de uma das placas diretamente sobre a segunda. Qual a velocidade inicial do elétron se ele atingir o repouso no exato momento em que alcança a superfície da segunda placa? Ignore os efeitos relativísticos. 7. Em um relâmpago típico, a diferença de potencial entre os pontos extremos da descarga é de cerca de 1,0 X IO 9 V e a quantidade de carga transferida é de cerca de 30 C. (a) Quanta energia é liberada? (b) Se toda essa energia pudesse ser usada para acelerar um automóvel de 1.200 kg, a partir do repouso, qual seria sua velocidade final? (c) Se a energia pudesse ser usada para derreter gelo, quanto gelo seria derretido a 0 C?
8. A diferença de potencial elétrico entre os pontos extremos de uma descarga elétrica durante uma tempestade é de 1,23 X IO 9 V. De quanto varia a energia potencial elétrica de um elétron que se mova entre esses pontos? Dê a sua resposta em (a) joules e (b) elétronvolts. 9. (a) Através de que diferença de potencial um elétron precisa "cair", de acordo com a mecânica newtoniana, para adquirir uma velocidade ti igual à velocidade c da luz? (b) A mecânica newtoniana falha quando v -» c. Desse modo, usando a expressão relativística correta para a energia cinética (veja Eq. 27 do Cap. 21), isto é, K=mc 2 1-1 LVi -(v/c) 2 no lugar da expressão newtoniana K = (1 /2)mtf, determine a velocidade que o elétron adquire ao "cair" através da diferença de potencial calculada em (a). Expresse essa velocidade como fração da velocidade da luz. 10. Um elétron é projetado com velocidade inicial de 3,44 X IO 5 m/s diretamente sobre um próton que está em repouso. Se o elétron estava inicialmente a grande distância do próton, a que distância deste a velocidade intantânea do elétron será igual ao dobro de seu valor iniciai? 11. Uma partícula de carga q é mantida em uma posição fixa em um ponto F e uma segunda partícula de massa m, tendo a mesma carga q, é inicialmente mantida em repouso à distância r, de P. A segunda partícula é então liberada, sendo repelida pela primeira. Determine sua velocidade no instante em que ela estiver à distância r, de P. Suponha q = 3,1 /xc. m = 18 mg, r, = 0,90 mm e r 2 = 2,5 mm. 14. No retângulo mostrado na Fig. 28, os lados têm comprimentos de 5,0 cm e 15,0 cm, respectivamente, e as cargas valem q í = @ A -5,0 n-ctq 2 = +2,0 i±c. (a) Quais os potenciais elétricos nos j! vértices A e BI (b) Quanto trabalho externo é necessário para j \ mover uma terceira carga ç 3 = + 3,0 de B para A ao longo B L da diagonal do retângulo? (c) Neste processo, o trabalho externo <?2 é convertido em energia potencial eletrostática ou vice-versa? Explique. p- * n Problema ] 4. 15. Trêsoargas de + 122 mc cada uma são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de 1,72 m de lado. Se for fornecida energia à razão de 831 W, quantos dias serão necessários para mover uma das cargas para o meio da linha que liga as outras duas? Seção 30-4 Cálculo do Potencial a Partir do Campo 16. Uma placa infinita carregada tem densidade de carga a - 0,12 /jlc/ m 2. A que distância estão as superfícies equipotenciais cujos potenciais diferem de 48 V? 17. Duas grandes placas condutoras paralelas estão distantes 12,0 cm uma da outra e têm cargas iguais mas opostas em suas superfícies internas. Um elétron colocado a meia distância entre as placas sofre a ação de uma força de módulo 3,90 X 10-15 N. (a) Encontre o campo elétrico na posição do elétron. (b) Qual a diferença de potencial entre as placas? 18. Na experiência da gota de óleo de Millikan (veja Seção 28-6), um campo elétrico de 1,92 X 10 5 N/C é mantido entre duas placas separadas por 1,50 cm. Encontre a diferença de potencial entre as placas.
20. O campo elétrico dentro de uma esfera não-condutora de raio R, cuja densidade de carga é uniforme, tem direção radial e seu módulo é sendo q a carga total na esfera era distância ao centro desta, (a) Determine o potencial V(r) dentro da esfera, considerando V = 0 em r = 0. (b) Qual a diferença de potencial elétrico entre um ponto na superfície e outro no centro da esfera? Se q for positiva, que ponto possui o maior potencial? (c) Mostre que o potencial à distância r do centro, sendo r<r.é dado por 3 ' 23. Uma carga pontual tem q = + 1,16 C. Considere o ponto A, distante 2,06 m, e o ponto oposto 5, distante 1,17 m, como na Fig. 29a. * B (a) Encontre a diferença de potencial V A - V. (b) Repita para os pontos A e B localizados como na Fig. 29b. J i 27. Um gota esférica de água, com carga de 32,0 pc, tem potencial de 512 V na sua superfície, (a) Qual o raio da gota? (b) Se duas dessas (b) gotas, com a mesma carga e o mesmo raio, se juntarem para formar uma única gota, também esférica, qual o potencial na superfície Fig. 29 Problema 23. dessa nova gota' 7 29. Um campo elétrico de aproximadamente 100 V/m é freqüentemente observado na proximidade da superfície terrestre. Se esse campo fosse o mesmo sobre toda a superfície, qual seria o potencial elétrico de um ponto dela? Veja Exemplo 6. v_q(3r 2 -n) g/re^3 ' B onde o zero do poiencial foi arbitrado em r «>. Por que este resui- lado difere do que foi apresentado no item iá)': ( a ) q e A Seção 30-6 Potencial Devido a um Conjunto de Cargas Pontuais 30. A molécula de amónia NH 3 tem momento dipolo elétrico permanente igual a 1,47 D, onde Déa unidade debye, que vale 3,34 X 10~ 30 C m. Calcule o potencial elétrico devido a uma molécula de amónia em um ponto distante 52,0 nm do dipolo, ao longo do seu eixo. 31. (a) Considerando a Fig. 31, calcule uma expressão para V, - V*,. (b) Seu resultado leva à resposta esperada quando d = 0? Quando a = 0? Quando q = 0? +q A B -q Fig. 31 Problema 31. 32. Na Fig. 32, localize os pontos, se existirem, (a) onde V = 0 e (b) onde E = 0. Considere somente pontos no eixo. @ +2 a
33. Uma carga pontual q x = + 6e está fixada na origem de um sistema de coordenadas retangular, e uma segunda carga pontual q 2 = -1 Oe está fixada em x = 9,60 nm, y = 0. O lugar geométrico dê todos os pontos do plano xy onde V = 0 é um círculo centrado no eixo x, como mostra a Fig. 33. Encontre (a) o ponto x e no centro do círculo e (b) o raio R do círculo, (c) A eqüipotencial V = 5V também é um círculo? 34. Duas cargas q + 2,13 /xc estão fixas no espaço à distância d = 1,96 cm urna da outra, como indica a Fig. 34. (a) Qual o potencial elétrico no ponto C? (b) Você traz lentamente uma terceira carga Q = + 1,91 /jíc desde o infinito até C. Quanto trabalho você precisa realizar? (c) Qual a energia potencial U da configuração, quando a terceira carga for colocada? 35. Para a configuração de cargas da Fig. 35, mostre que V(r) para pontos no eixo vertical, considerando r> d,é dado por / R 1 \ \ *c 91 1 <72 Fig. 33 Problema 33. C V= 4?re r {Sugestão: A configuração de cargas pode ser vista como a soma de uma carga isolada e um dipolo.) Seção 30-7 O Potencial Elétrico de Distribuições Contínuas de Cargas 36. A Fig. 36 mostra, vista da borda, uma lâmina "infinita" com densidade de carga positiva cr. (a) Quanto trabalho é realizado pelo campo elétrico da lâmina quando uma pequena carga de prova positiva q Q é movida desde sua posição inicial na lâmina até a posição final localizada à distância z da placa? (b) Use o resultado de (a) para mostrar que o potencial elétrico de uma lâmina infinita de carga pode ser escrito como V=V 0 -(c/2t 0 )z, sendo V 0 o potencial na superfície da lâmina. 37. Uma carga elétrica de -9,12 nc está uniformemente distribuída ao longo de um anel de raio 1,48 m localizado no plano yz, com seu centro na origem. Uma partícula tendo carga de -5,93 pc está localizada em x = 3,07 m, y = 0. Calcule o trabalho realizado por uma agente externo ao mover essa carga pontual até a origem. 38. Uma quantidade total de carga positiva Q é espalhada sobre um anel circular plano de raio interno a e raio externo b. A carga é distribuída de modo que a densidade de carga (carga por unidade de área) é dada por a = k/r\ onde r é a distância desde o centro do anel a qualquer ponto deste. Mostre que o potencial no centro do anel é dado por Q ía + b s 8nen \ ab > q Fig. 34 Problema 34. @+<7 -@+<7 Fig. 35 Problema 35. <è <7
Seção 30-8 Superfícies Equipotenciais 39. Duas linhas de cargas são paralelas ao eixo Uma, com carga por unidade de comprimento +À, está à distância a, à direita do eixo. A outra, com carga por unidade de comprimento - A, é simétrica da anterior, em relação ao eixo (as linhas e o eixo z pertencem ao mesmo plano). Esboce algumas superfícies equipotenciais. 40. O campo elétrico realiza trabalho de 3,94 X I O" 19 J sobre um elétron no campo ilustrado na Fig. 37, para mover o elétron desde A até 5, ao longo de uma linha de campo. Quais as diferenças de potencial elétrico (a) V - V (b) V t. ~ V t e (c) V c - V',/? 41. Considere uma carga pontual com q = 1,5 X 10 s C. (a) Qual o raio de uma superfície eqüipotencial que tenha potencial de 30 V? (b) As superfícies cujos potenciais diferem por um valor constante (1,0 V por exemplo) são igualmente espaçadas? Seção 30-9 Cálculo do Campo a Partir do Potencial 44. Suponha que o potencial elétrico varie ao longo do eixo x, como mostra o gráfico da Fig. 40. Determine, entre os intervalos mostrados, aqueles nos quais E x tem {a) seu maior valor absoluto e (b) seu menor valor absoluto, (c) Faça o gráfico E x =/(x). (Ignore o comportamento nos pontos Finais dos intervalos.) Linhas de campo elétrico Fiji. 37 Problema 40. Eqüipotenciais Fig. 40 Problema 44. 45. Duas grandes placas metálicas paralelas estão distantes 1.48 cm uma da outra e possuem cargas iguais e opostas em suas faces internas. A placa negativa é ligada à terra e seu potencial passa a ser zero. Se o potencial no ponto médio entre as placas for de +5,52 V, qual o campo elétrico nessa região? 46. Deduza, a partir da Eq. 25, uma expressão para E nos pontos do eixo de um anel uniformemente carregado. 49. O potencial elétrico V no espaço entre as placas de uma válvula a vácuo, hoje obsoleta, é dado por V = 1.530x 2, onde Vé medido em volts quando x, a distância a partir de uma das placas, está em metros. Calcule o módulo e o sentido do campo elétrico em x = 1.28 cm.
50. Uma carga por unidade de comprimento A é distribuída uniformemente ao longo de um segmento linear de comprimento L. (a) Determine o potencial no ponto P, à distância y de uma extremidade do segmento carregado e na mesma linha que ele, considerando o potencial no infinito (veja a Fig. 41). (b) Use o resultado de (a) para calcular a componente ao longo de y do campo elétrico em P. (c) Determine a componente do campo elétrico em F na direção perpendicular ao segmento. y *P Fig. 41 Problema 50. 51. Em um bastão fmo de comprimento L, que está sobre o eixo x, com uma extremidade na origem (x = 0), como na Fig. 42, está distribuída uma carga por unidade de comprimento dada por A = Icx, sendo k uma constante, (a) Considerando nulo o potencial eletrostático no infinito, determine Vno ponto F do eixo y. (b) Determine a componente vertical E v do campo elétrico em F, utilizando o resultado de (a) e também por cálculo direto, (c) Por que a componente horizontal E x do campo elétrico em F não pode ser encontrada usando o resultado de («)? (d) A que distância do bastão, ao longo do eixo v, o potencial é igual à metade do seu valor na extremidade esquerda do bastão? y P O L -x Fig. 42 Problema 51.
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