A lenda de Sissa: o inventor do xadrez

Números e progressões A lenda de Sissa: o inventor do xadrez Uma antiga lenda sobre o xadrez afirma que o inventor do jogo pediu como compensação ao rei por sua invenção uma quantidade muito grande de grãos de trigo. Quão grande? De fato, pelo pedido não convencional, a quantidade não parecia tão chamativa a priori. A conta era fácil: um grão de trigo na primeira casa, dois na seguinte, quatro na próxima e assim sucessivamente, duplicando a quantidade anterior, até completar a última casa. Toda a corte esperava que Sissa fosse pedir grandes riquezas, mas ele surpreendeu a todos com o seguinte pedido: um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro; dois grãos de trigo pela segunda casa; quatro grãos de trigo pela terceira casa; oito grãos de trigo pela quarta casa e assim sucessivamente, sempre dobrando o número de grãos da casa anterior até a casa de número sessenta e quatro (o tabuleiro de xadrez tem 64 casas). Seu pedido provocou risos. O rei meio que contrariado disse-lhe: Um invento tão brilhante e um pedido tão simples? Escolha uma grande riqueza meu jovem, um de meus castelos, um palácio ou até uma de minhas mulheres! Todavia Sissa mostrava-se inapelável à proposta do rei, e, como palavra de rei é palavra de rei, este, ainda contrariado, pediu a seus criados que entregassem a Sissa um grande saco de grãos de trigo. Sissa, entretanto, recusou a oferta dizendo que queria receber exatamente o que havia pedido, nem um grão a mais, nem um grão a menos. O rei pediu então para que seus calculistas fizessem as contas. Quantos grãos de trigo exatamente Sissa pediu ao rei? 1. Quanto grãos de trigo há em 1kg? Elabore estratégias para descobrir a quantidade (em média) de grãos de trigo. Pode ser usado arroz para efeito de comparação. 2. Quantos grãos de trigo há em 1 tonelada (ton)? 3. Sem utilizar fórmulas, qual o número de grãos de trigo presentes em: 1 2 3 4 5 6 7 8 Grãos de trigo na casa Grãos de trigo pedido por Sissa até a casa JALMAN LIMA 1

4. O que você percebeu no exercício anterior? Existe algum padrão numérico? 5. Quantos grãos de trigo há na trigésima segunda casa? E até a trigésima segunda casa? Quantos gramas, kilos ou toneladas foi pedido nos dois casos? 6. Quantos grãos de trigo há na trigésima quarta casa? 7. Quantos grãos de trigo há até a trigésima quarta casa? O que aconteceu? Elabore estratégias para determinar o número exato de grãos de trigo que há na trigésima quarta casa. 8. Quantos grãos de trigo aproximadamente Sissa pediu ao rei? 9. Pense em estratégias para calcular exatamente (com todos os dígitos) a quantidade de grãos de trigo pedido pelo Sissa. 10. O que você preferiria ter um milhão de reais ou ganhar um centavo no primeiro dia, dobrando todos os dias por um mês? 2 JALMAN LIMA

Números e progressões A lenda de Sissa: o inventor do xadrez MATERIAL NÍVEL Calculadora CASIO Classwiz fx-991 LA X ou superior Balança de precisão 1kg Arroz/trigo 1º ano do Ensino Médio OBJETIVOS Esta atividade pode ser usada para demonstrar o quão rápido uma sequência exponencial cresce, como também introduzir expoentes, potência zero, introduzir a notação de somatório e séries geométricas. EXEMPLO DE RESPOSTAS ATIVIDADE 01 Esta atividade constitui um importante exercício no processo de contagem, quantificação, comparação de quantidades. Quantos grãos de trigo (arroz) tem em um quilo? Quantos grãos de arroz estão em uma porção de arroz? Quantos grãos de arroz comemos em uma semana? Nesta atividade, podemos trabalhar a questão de estimativas. Além de possibilidade de traçar estratégias e discutir os resultados obtidos, visto que diferentes variáveis podem interferir no resultado, tais como: o tipo de grão de trigo (arroz), precisão da balança, etc. Uma estratégia é dividir o arroz/trigo com os estudantes em quantidades diferentes e que os mesmos contem e pesar a quantidade de grãos de arroz que possuem e então poder estimar. No caso dos grãos de arroz, um grão de arroz tem aproximadamente 1/64g, ou seja, em um 1kg, há aproximadamente 64 000 grãos de arroz. Visto que a massa de um grão de trigo pode variar bastante, na Inglaterra considera-se que a massa de um grão de trigo é de aproximadamente 0,050g. Um grão de cevada tem aproximadamente 0,065g. Logo em 1kg de trigo haverá ATIVIDADE 02 Com base nos valores obtidos na pergunta anterior, os estudantes podem estimar a quantidade de grãos de arroz existente em 1 tonelada (ton). Esta atividade é extremamente relevante para dar dimensão sobre a quantidade de grãos de trigo pedido por Sissa em diversas casas. Por exemplos: 1.000.000 grãos de trigo é uma quantidade muito grande? ATIVIDADE 03 Na primeira casa, teria 1 grãos de trigo; na segunda casa, haveria 2 grãos de trigo. De forma sucessiva, temos: JALMAN LIMA 3

Grãos de trigo na casa Grãos de trigo pedido por Sissa até a casa 1 1 = 2 0 1= 2 0 2 = 2 1 2 2 = 2 1 3 = 2 0 +2 1 4 = 2 2 3 4 = 2 2 7 = 2 0 +2 1 +2 2 8 = 2 3 4 8 = 2 3 15 = 2 0 +2 1 +2 2 +2 3 16 = 2 4 5 16 = 2 4 31 = 2 0 +2 1 +2 2 +2 3 +2 4 32 = 2 5 6 32 = 2 5 63 = 2 0 +2 1 +2 2 +2 3 +2 4 +2 5 64 = 2 6 7 64 = 2 6 127 = 2 0 +2 1 +2 2 +2 3 +2 4 +2 5 +2 6 128 = 2 7 8 128 = 2 7 255 = 2 0 +2 1 +2 2 +2 3 +2 4 +2 5 +2 6 +2 7 256 = 2 8 Adicionando um ao resultado A tabela acima tem como finalidade a observação do padrão numérico que acontece. Percebemos que na casa de número 7, o número de grãos de trigo correspondente é 64, que é exatamente 2 6. Observando o padrão, podemos deduzir que para uma casa n, o número de grãos de trigo nesta casa será de 2 n-1, o que pode ser verificado com a calculadora. A segunda coluna, contudo, pode não ser tão óbvia a dedução. Se os estudantes tiverem dificuldades com a dedução, pergunte o que acontece se eles somarem um aos resultados. ATIVIDADE 04 De acordo com a tabela acima, vemos a quantidade de grãos de trigo pedido por Sissa da casa x será 2 x-1. Da mesma forma, que a quantidade de grãos de trigo até a casa x será 2 x -1. ATIVIDADE 05 Este exercício pode ser usado para demonstrar o quão rápido uma sequência exponencial pode crescer. De acordo com o exercício anterior, haveria na trigésima segunda casa 2.147.483.648 grãos de trigo, ou seja, 33,554 432 ton. Analogamente, até a trigésima segunda casa haveria Para ativar o separadores de dígitos, vá em Configurações (qwrr) e selecione a opção 3 (Separador de dígitos) 4 JALMAN LIMA

E selecionar a opção 3, com o auxílio do teclado. Esta pode ser uma ótima oportunidade para introduzir o símbolo de somatório (sigma, em grego). Cuidado. Professores têm que ter cuidado com o uso e desenvolvimento do vocabulário (em português e em matemática). O excesso de níveis de simbolismo pode dificultar o aprendizado. Antes de introduzir este símbolo, faça a seguinte pergunta: A quantidade de grãos até a quinta casa é Os matemáticos possuem uma terminologia muito semelhante à expressão acima. Ao invés de usarmos o tradicional S, usamos o S grego, ou seja, (sigma). Em outras palavras, Logo usando o somatório temos, 4 2 x x=0 ou 31 grãos de trigo. Dessa forma, a quantidade de grãos de trigo até a trigésima segunda casa será de. ATIVIDADE 06 Na trigésima quarta casa, há ATIVIDADE 07 A quantidade de grãos até a trigésima quarta casa. JALMAN LIMA 5

é de 1.023 grãos de trigo. ATIVIDADE 08 Calculando a quantidade total a calculadora nos fornece 1,844674407 x 10 19. Este exercício tem um grande potencial para ser explorado. Note que o número acima está em notação científica. Esta é a resposta exata ou aproximada? Podemos reescrever o número acima na sua forma não-científica? Temos que 1,844674407 x10 19 = 18 446 744 070 000 000 000 Será que este é o número pedido por Sissa? Se o número acima não é o número exato, seria possível saber o quão longe estamos do número exato? Quais seriam as estratégias? ATIVIDADE 09 A quantidade de total de grãos solicitado por Sissa é uma progressão geométrica, cuja soma é dada por 2 0 +2 1 +2 2 +2 3 +2 4 +...+2 61 +2 62 +2 63 +2 63 Nos exercícios 3-7 queremos que os estudantes reconheçam as regularidades numéricas da quantidade de grãos de trigo de uma determinada casa e até uma determinada casa, sem o uso irracional de fórmulas. A calculadora não fornece todos os dígitos do valor acima, logo vamos fatorizar a expressão acima. Usando propriedade de potenciação, teremos: Usando a calculadora teremos 2 64-1 = (2 32 ) 2-1 Logo 2 64-1 = (2 32 ) 2-1 = (4294967296) 2 1 = (4294000000+967000+296) 2-1 = (4294x10 6 + 967x10 3 +296) 2-1 6 JALMAN LIMA

= (4294x10 6 +967x10 3 +296) (4294x10 6 +967x10 3 +296)-1 = 4294 2 x10 12 + 4294x967x10 9 +4294x296x10 6 + + 967x4294x10 9 +967 2 x10 6 +967x296x10 3 + + 296x4294x10 6 +296x967x10 3 +296 2-1 = + 4294 2 x10 12 +2x4294x967x10 9 +2x4294x296x10 6 + + +967 2 x10 6 +2x967x296x10 3 +296 2-1 Agora sim, podemos usar a calculadora científica para calcular cada parcela de nossa soma. Dessa forma, teremos que 2 64 = (2 32 ) 2 = 18 438 436 000 000 000 000 8 304 596 000 000 000 2 542 048 000 000 935 089 000 000 572 464 000 + 87 616 ======================= 18 46 744 073 709 551 616 Logo Sissa pediu ao rei a quantidade de 18 446 744 073 709 551 615 grãos de trigo. Essa não é a única estratégia para determinar todos os dígitos. ESTRATÉGIA 2 2 64-1 = (2 32 ) 2-1 = (4294967296) 2 1 = (42949 x10 5 +67296) 2-1 = 42949 2 x10 10 +2x42949x67296x10 5 +67296 2 Agora sim, podemos usar a calculadora científica para calcular cada parcela de nossa soma. Dessa forma, teremos que 2 64 = (2 32 ) 2 = 18 446 166 010 000 000 000 578 059 180 800 000 JALMAN LIMA 7

+ 4 528 751 616 ======================= 18 446 744 073 709 551 616 Será que existe outras estratégias para determinar todos os dígitos do número acima? É importante que os estudantes não sejam influenciados a obter a estratégia mais curta, e sim que eles mesmos sejam provocados a buscar tais estratégia. ATIVIDADE 10 Para resolver este problema iremos ver quantos anos, aproximadamente, demoraríamos para contar cada grão de trigo. Um ano possui exatos (a não ser que seja ano bissexto) 365x24x60x60 segundos, ou seja Logo para contar 1 grão de trigo a cada segundo demoraria, aproximadamente 584 942 417 400 anos com erro inferior a 100 anos, ou ainda, 584 bilhões de anos. 8 JALMAN LIMA