FÍSICA 3 Circuitos Elétricos em Corrente Contínua Prof. Alexandre A. P. Pohl, DAELN, Câmpus Curitiba EMENTA Carga Elétrica Campo Elétrico Lei de Gauss Potencial Elétrico Capacitância Corrente e resistência Circuitos Elétricos em Corrente Contínua Campo Magnético Indução Magnética Indutância Magnetismo em Meios Materiais Atividades
Leis de Kirchhoff* Para a solução de circuitos mais complexos, que envolvem diversas fontes e componentes é necessário o emprego de técnicas que permitam resolver tais circuitos de modo sistemático. As leis de Kirchhoff são regras aplicadas a nós e malhas, através das quais um conjunto de equações lineares é obtido e a partir do qual valores de componentes, tensões e correntes podem ser calculados. Definições: ) JUNÇÃO ou NÓ: é um ponto do circuito onde ocorre a união de dois ou mais condutores. 2) MALHA: é qualquer caminho condutor fechado *Físico alemão Gustav Robert Kirchhoff (824-887) Leis de Kirchhoff Exemplo : Este circuito possui dois nós, nos pontos a e b e três malhas (duas internas e uma externa) 2
Leis de Kirchhoff Exemplo 2: Este circuito possui quatro nós (a, b, c e d) e quatro malhas (acda, abda, acba, bcdb) Lei dos Nós A lei dos Nós afirma que a soma algébrica de todas as correntes que entram ou saem de um nó é igual a zero: I = A lei dos Nós é baseada na lei da conservação da carga elétrica. Um nó não pode acumular carga. A carga que entra em um nó, por unidade de tempo, deve ser igual à carga que sai. Nó I I 2 I + I 2 3
Lei das Malhas A lei das Malhas afirma que a soma algébrica de todas as diferenças de potencial através de uma malha, incluindo os elementos resistivos e a fem de todas as fontes, é igual a zero. V = A lei das malhas é baseada na natureza conservativa das forças eletrostáticas. CONVENÇÕES DE SINAIS Para se aplicar a lei das malhas deve-se observar as seguintes regras: escolha qualquer malha do circuito e indique um sentido (horário ou anti-horário) para percorrer a malha. O sentido do percurso não precisa ser o mesmo do sentido escolhido para a corrente. ao percorrer a malha no sentido escolhido, some algebricamente as diferenças de potencial à medida que se atravessa cada elemento. Uma fem é positiva quando você a atravessa do sinal para o +. E negativa quando é atravessada do sinal + para o -. Quando se atravessa um resistor no mesmo sentido escolhido para a corrente, o termo IR é negativo, porque a corrente está fluindo no sentido dos potenciais decrescentes. Quando se atravessa um resistor no sentido contrário ao da corrente, o termo IR é positivo, pois isto corresponde a um aumento de potencial. Iguale a zero a soma algébrica obtida ao percorrer a malha. 4
Convenções de sinais Convenção para fem: + ε - + -ε - + Sentido do percurso Sentido do percurso Convenção para os resistores: I Corrente I Corrente Sentido do percurso +IR Sentido do percurso -IR Observações Escolha malhas em número suficiente para montar um sistema de equações que lhe permita resolver o número de incógnitas; Identifique todas as grandezas, conhecidas e desconhecidas, escolhendo sentidos para toda corrente e toda fem desconhecida. Não há como saber previamente o sentido real de uma corrente. Caso o sentido real seja contrário ao escolhido, você obterá um sinal negativo para a resposta dessa grandeza. Ao se identificar correntes em um diagrama, é mais conveniente aplicar de início as lei dos nós para expressar as correntes em função do menor número possível de grandezas. 5
Exemplo Situação inicial: três correntes (I, I 2, I 3 ) desconhecidas. Após aplicação da lei dos nós ao ponto a: I 3 = I + I 2 Exemplo 2 Seja o circuito da figura abaixo que contém dois resistores e duas baterias, cada uma delas com uma fem e uma resistência interna. Calcule (a) a corrente no circuito, (b) a diferença de potencial V ab e (c) a potência de cada fem. 2 Ω 2 V - + I 3 Ω I 7 Ω a - + 4 Ω 4 V I b O circuito possui apenas uma malha e nenhum nó. O sentido escolhido para a corrente é anti-horário. Partindo-se do ponto a, percorre-se a malha no sentido anti-horário. 6
Exemplo 2 A soma algébrica de todas as diferenças de potencial é dada por: I ( 4 Ω) 4V I( 7Ω) + 2V I( 2Ω) I( 3Ω) = Portanto, a corrente que circula pela malha será: I( 6 Ω) = 8V I =, 5A Obs- se o sinal de I fosse negativo, a corrente estaria no sentido contrário ao escolhido. A diferença de potencial V ab é calculada ao se fazer a soma algébrica das tensões. partindo-se do ponto b em direção ao ponto a: (,5A)( 7Ω) + 4V + (,5A)( 4Ω) = 9, V V ab = 5 O ponto a possui um potencial 9,5 V mais elevado do que o ponto b. Pode-se fazer a soma considerando o outro percurso (sentido anti-horário) Exemplo 2 A potência de cada fem é determinada pelo produto P = ε I. Assim, a potência fornecida pela bateria de 2 V é: P I = ( 2 V )(,5A) = 6W A potência fornecida pela bateria de 4 V é: P I = ( 4V )(,5A) = 2W = ε = ε O sinal negativo da bateria de 4V surge porque a corrente percorre a bateria do terminal de potencial mais elevado para o menos elevado. O valor negativo indica que tal bateria consome potência porque está armazenando energia e está sendo carregada pela bateria de 2V. Para onde vão os 4 W restantes fornecidos pela bateria de 2V? 7
Exemplo 3 O circuito indicado na figura abaixo contém uma fonte de tensão de 2V, com resistência interna desconhecida r, conectada a uma bateria descarregada, com fem ε e resistência interna igual a Ω, e com uma lâmpada de resistência de 3 Ω que transporta uma corrente de 2 A. A corrente que passa na bateria descarregada é igual a A no sentido indicado. Calcule a resistência r, a corrente I e a fem ε. 3 Ω (2) () - + 2 A A b a ε Ω (3) () I - + r 2 V O circuito possui três malhas: (), (2) e (3). Há três incógnitas: ε, I e r. Portanto, precisamos de três equações. Exemplo 3 Ao aplicar a lei dos nós no ponto a, obtém-se: ( 2 A) + ( A) + ( I ) = I = 3A A resistência r é obtida aplicando-se a lei das malhas ao percurso externo (): 2V 2V ( 2A)( 3Ω) ( I ) r = 6V ( 3) r = r = 2Ω A fem ε é obtida aplicando-se a lei das malhas ao percurso (2): ε + ( A)( Ω ) ( 2A)( 3Ω) = ε = 5V O valor negativo para ε mostra que a polaridade real da fem é oposta à indicada na figura (os polos + e devem ser invertidos) 8
Exemplo 3 Para uma verificação adicional do resultado, pode-se usar a malha (3): ( 3A)( 2Ω) ( A)( Ω ) + ε = ε = V 2V 5 A diferença de potencial V ab é encontrada ao se percorrer o ramo da malha direito no percurso (3): ( 3A)( 2Ω) = V + 2 V + 6 Ou, da mesma forma, ao se percorrer o ramo central (de cima para baixo): ( 5 V ) + ( A)( Ω ) = + 6V Exemplo 3 Considerando ainda o exemplo 3, encontre a potência fornecida pela bateria de 2 V e a da bateria que está sendo carregada, calculando a potência em cada resistor. A potência fornecida pela fonte é: P fonte = ε fonte I fonte P fonte = ( 2 V )( 3A) = 36W A potência dissipada pela resistência r é: P r = (I fonte ) 2 r fonte P r = ( 3A) 2 ( 2Ω) = 8W A potência da fem ε da bateria que está sendo carregada é P fem = ε I bateria : ( 5V )( A) = W P fem = 5 A potência é negativa porque a bateria está sendo carregada (corrente circula do potencial mais elevado para menos elevado> lembrar que a polaridade está invertida. A potência dissipada pela resistência da bateria que está sendo carregada é: A potência total fornecida para essa bateria é 6 W! P r = A 2 Ω = em carga ( ) ( ) W 9
Exemplo 4 A figura abaixo mostra um circuito ponte. Calcule a corrente que circula em cada resistor e a resistência equivalente do circuito com os cinco resistores. A princípio, existem cinco correntes diferentes para serem determinadas. Aplicando-se a lei dos nós pode-se reduzir a três correntes desconhecidas. Exemplo 4 Aplicando-se a lei das malhas para as malhas (), (2) (3) obtém-se o sistema de equações 3V I ( Ω ) ( I I )( Ω ) 3 = () I 2 ( Ω ) ( I + I )( 2Ω) 2 3 + 3V = (2) I ( Ω ) I ( Ω ) + I ( Ω ) = (3) 3 2
Exemplo 4 A solução pode ser obtida explicitando-se uma corrente em relação as outras. Assim, pode-se fazer I 2 = I + I 3 ao se usar a equação (3). Pode-se eliminar I 2 das equações () e (2) e obter: 3V = I ( 2Ω) I ( Ω ) 3 ( ) 3V = I ( 3Ω) + I ( 5Ω) (2 ) 3 Pode-se multiplicar a equação ( ) por 5 e somar as duas equações para obter: ( 3Ω) I A 78V = I = 6 Exemplo 4 Se I = 6 A, substituindo-se tal valor na equação ( ), obtém-se: ( 6A)( 2Ω) I ( Ω ) I = A 3V = 3 3 Finalmente, I 2 = I + I 3 = (6 A) + (- A) = 5 A O valor negativo de I 3 mostra que o sentido é contrário ao sentido escolhido. A queda de potencial através do resistor equivalente é calculada através da fem da bateria: = 3V 3 R = =, Ω I + 2 eq I 2 Isto é possível porque a bateria do circuito não possui uma resistência interna.
Circuitos R-C Os circuitos tratados até o momento consideraram valores constantes para seus componentes (fem, resistores, capacitores). Porém, muitos circuitos incorporam capacitores em que estes são carregados e descarregados ao longo do tempo. Denomina-se um circuito R-C aquele que possui um resistor em série com um capacitor. Para caracterizar uma grandeza de valor constante usamos as letras maiúsculas V, I e Q. Usaremos letras minúsculas para tratar variáveis com dependência temporal (v, i e q). Circuitos R-C Seja o circuito da figura ao lado, no qual o capacitor se encontra inicialmente descarregado. Assim, a diferença de potencial v bc, através dele, é igual a zero para t =. Nesse instante a voltagem inicial, v ab, através do resistor é igual à fem da bateria. v A corrente inicial, I, através do resistor será: I = ab R ε = R Ao se fechar a chave, o capacitor começa a se carregar. Nesse caso, a tensão v bc começa a aumentar e a tensão v ab começa a diminuir. A soma dessas duas tensões deve ser igual à fem. 2
Circuitos R-C Depois de um determinado tempo o capacitor fica completamente carregado, a corrente torna-se igual a zero e a diferença de potencial através de v ab se anula. A tensão v bc torna-se igual à fem ε. Seja q a carga acumulada no capacitor e t a variável tempo. As tensões instântaneas são dadas por: q ( ) ( t) v ab = i t R e v = bc C Ao se aplicar a lei das malhas de Kirchhoff obtém-se: ε i ( t) ( t) q R C = Obs- ao se aplicar a lei das malhas adota-se para o capacitor as mesmas regras estabelecidas para o resistor. Circuitos R-C Pode-se explicitar a corrente instantânea que circula no circuito por: i ( t) ( t) q = ε R Quando a chave está fechada, a carga sobre o capacitor aumenta com o tempo enquanto a corrente diminui. À medida que a carga aumenta o termo q/ torna-se maior até que a carga atinja seu valor final, denominada Q f. Quando isto ocorre a corrente se anula. Assim: ε Q f = R Q f = C ε 3
Circuitos R-C A figura ao lado mostra o comportamento da corrente para um capacitor em carga. Quando a chave é fechada a corrente dá um salto para seu valor inicial I. A figura ao lado mostra o comportamento da variável carga ao longo do tempo. Após um tempo longo o capacitor atinge o valor Q f. Circuitos R-C Podemos deduzir expressões gerais para i e q a partir das equações dadas. Seja i (t)= dq/dt. Assim, i ( t) dq dt ( t) dq ε q = = dt R = ( q C ε ) Reagrupando os termos acima e integrando ambos os lados obtém-se: dq = q Cε dt q dq q C ε t dt = 4
Ao se realizar a integral obtém-se: Circuitos R-C q Cε ln = Cε t Ao se aplicar a exponencial em ambos os lados da equação acima e isolando-se q, obtém-se: q Cε = e C ε t q = Cε t t ( e ) = Q ( e ) f A expressão para a corrente instantânea é obtida derivando-se a expressão acima em relação ao tempo: i dq dt ε e R I e t = = = t Constante de Tempo em Circuitos R-C Ao se examinar o comportamento temporal de i e q observa-se que a corrente diminui de um valor /e após o intervalo de tempo. Nesse mesmo instante de tempo a carga do capacitor atingiu o valor: ( /e) =,632 de seu valor final Q f. O produto denomina-se constante de tempo ou tempo de relaxação do circuito e é designado pela letra grega τ. Assim, τ =. Observações: - Se τ é pequeno o capacitor se carrega rapidamente. Quando for maior o tempo de carga é mais longo (tanto R como C contribuem para tornar τ maior ou menor); 5
Descarga de um Capacitor Seja agora um circuito R-C, cujo capacitor já esteja carregado. Para efeito de entendimento do mecanismo de descarga, este circuito não possui a bateria. Nesse circuito a chave está inicialmente aberta com o capacitor carregado com a carga q = Q no instante t =. Pode-se usar as mesmas equações anteriores, mas considerando ε =. Assim, pode-se calcular i e q da seguinte forma: dq i = dt = q q dq t = dt Q q Calculando a integral obtém-se a expressão para o capacitor em descarga: ln q Q t q = Q = e t Descarga de um Capacitor De forma análoga pode-se calcular o comportamento para a corrente no circuito do capacitor em descarga. Tal corrente é calculada derivando-se a expressão anterior obtida para a carga. Assim, i dq dt Q t = = e = I e t 6
Descarga de um Capacitor Exemplo Um resistor com resistência MΩ é conectado em série com um capacitor de, µf e com uma bateria com fem igual a 2 V. O capacitor se encontra inicialmente descarregado. Determine (a) a constant de tempo; (b) a fração da carga final que está sobre uma das placas quando t = 46 s; (c) a fração da corrente inicial que permanece no circuito quando t = 46 s. a) Constante de tempo: τ = = (x 6 )x(,x -6 ) = s b) a fração da carga final que está sobre uma das placas quando t = 46 s q Q f = ( e ) = ( e ) =, 99 t 46 C R c) a fração da corrente inicial que permanece no circuito quando t = 46 s i t 46 = e = e =, I 7
Exemplo 2 Seja um circuito R-C onde o resistor possui resistência de MΩ e capacitância igual a, µf. O capacitor foi carregado com uma carga de 5, µc e a chave do circuito é fechada no instante t=, instante em que o circuito começa a se descarregar. Em que instante a carga do capacitor é igual a,5 µc? Qual é a corrente nesse instante? a) Em que instante a carga do capacitor é igual a,5 µc? q Q = e t = t ln b) Qual é a corrente nesse instante? q Q = t t = ln,5 6 5, q Q 6 6 6 ( x Ω)(, F ) ln = 23s 6 Q t, i = e = e 23 = 5 6 6 ( Ω)(, ) 5 8 A Sistemas de Distribuição de Potência Automóveis usam sistemas elétricos em corrente contínua (cc). Por outro lado, a distribuição de energia elétrica para uso doméstico, comercial e industrial é feito em corrente alternada (ca). Usualmente, lâmpadas, motores e aparelhos domésticos são ligados em paralelo com a fonte de tensão. Se fossem conectados em série, caso um aparelho queimasse, todos os demais deixariam de funcionar. 8
Sistemas de Distribuição de Potência No Brasil a tensão nominal máxima para uso residencial é da ordem de 27V ou 24 V. Estes valores representam o valor quadrático médio (rms) da tensão (equivale a / 2 do valor de pico da tensão). A corrente que flui em um dispositivo depende da potência P = VI. Supondo quer possamos usar tais valores como constantes, então a corrente que flui por uma lâmpada de W é I P W = = =, A V 27V 79 Portanto, a resistência de uma lâmpada será: 2 2 V 27V V 27 R = = 6Ω ou R = = 6Ω I,79 A P Exemplo Uma torradeira de 8 W, uma frigideira elétrica de,3 KW e uma lâmpada de W são ligadas a um mesmo circuito de 2 A e 2 V. Calcule (a) a corrente que atravessa cada dispositivo; (b) a resistência de cada um deles e (c) verifique se tal combinação fará o circuito queimar. a) Corrente que atravessa cada dispositivo. Pode-se usar I = P/V. I I I torradeira frigideira lâmpada 8W = 2V 3W = 2V = 5 A = A W = =,83 A 2V A corrente total ao longo da linha será: I torradeira +I frigideira +I lâmpada = 26,83 A. Tal valor supera o limite máximo estiuplado para a linha! 9
Exemplo b) A resistência de cada dispositivo é determinada por: R = P/V 2 R R R torradeira frigideira lâmpada = = = ( 2V ) 8 ( 2V ) 3 ( 2V ) 2 2 2 = 8Ω = Ω = 44Ω Exemplo Outras formas para determinar a corrente: a) Cálculo da resistência equivalente: R eq = + 8 + I = V / R eq 44 R eq = 4,5Ω 2 = = 26,7 A 4,5 b) Pela expressão I = P/V P + P tor frid I = V + P lamp 8 + 3 + = = 26,7 A 2 2
Exercício No circuito da figura abaixo ambos os capacitores se encontram sob tensão inicial de 45, V. Quanto tempo após a chave S ser fechada o potencial através de cada capacitor será reduzido a, V? Qual será a corrente nesse instante? Exercício 2 Estritamente falando verificamos que seria necessário um tempo infinito para descarregar completamente um capacitor. Contudo, na prática, podemos considerar um capacitor completamente descarregado depois de um intervalo de tempo finito. Para exemplificar, considere um capacitor com capacitância C conectado a um resistor R e suponha que ele esteja completamente descarregado quando sua carga q for igual a somente um elétron! Calcule o tempo necessário para atingir esse estado considerando C =,92 µf, R = 67 KΩ e Q = 7, µc. A quantas constantes de tempo isso corresponde? Para um dado valor de Q o tempo necessário para atingir esse estado é sempre igual a mesmo número de constantes de tempo, independentemente dos valores de C e de R. Por quê? 2
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