na MODELAGEM MATEMÁTICA: O CUSTO DO TRATAMENTO DE ESGOTO EM SÃO JOÃO DO IVAÍ Sotero Napoleão Souza Cassiano Fundação Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Mandaguari soter_o@hotmail.com Claudia Carreira da Rosa Fundação Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Mandaguari claudiacarreiradarosa@gmail.com Resumo Neste artigo, apresentamos uma atividade de Modelagem Matemática desenvolvida no âmbito de uma disciplina de Modelagem Matemática na graduação em Matemática. O problema diz respeito ao custo do saneamento básico (esgoto na cidade de São João do Ivaí. Os conteúdos matemáticos envolvidos são principalmente função linear e função definida por várias sentenças. Procuramos evidenciar que algumas situações podem promover reflexões acerca do uso de funções matemáticas no contexto social, além de permitir uma análise da natureza dos modelos matemáticos e seu papel na sociedade. Palavras-chave: Modelagem Matemática; Tarifa de Saneamento Básico; Função. 1. INTRODUÇÃO Um dos objetivos da Matemática é desenvolver no ser humano a capacidade de raciocínio e de tomadas de decisões do mundo real. A Matemática está constantemente presente em nossa vivência e podemos aplicá-la para resolver questões de outras áreas como, por exemplo, na Física e na Química. Para Bassanezi (2002, p. 18 o termo aplicação de Matemática denota o fato de utilizá-la para compreender fenômenos do mundo real e o objetivo de se usar de conceitos matemáticos é para se extrair a parte fundamental de uma situação-problema formalizando-a em um contexto abstrato onde se pode ter uma economia de linguagem. Assim, segundo o autor a Matemática pode ser vista como um instrumento intelectual capaz de sintetizar idéias concebidas em situações empíricas que estão quase sempre camufladas num emaranhado de variáveis de menor importância (Bassanezi, 2002, p. 18.
2 A realidade nos faz presenciar e interpretar a Matemática de maneira mais objetiva e compreensível. Segundo D Ambrósio (1999, p. 2 o ciclo de aquisição de conhecimento é deflagrado a partir da realidade, que é plena de fatos que informam o indivíduo. Com esse propósito a Modelagem Matemática torna-se um meio de estudar fenômenos do dia-a-dia, e assim adquirir e formalizar um conhecimento próprio. De acordo com Bassanezi (2002, p. 16 a Matemática não deve ser considerada importante apenas por obter definições que podem ser aplicadas em determinadas situações, mas sim considerada importante por poder ser atraente e interessante. Assim podemos articular a Modelagem Matemática como um método de tornar a Matemática uma ciência mais prazerosa e compreensível, trabalhando a realidade e o autoconhecimento. Segundo Biembengut e Hein (2002, p. 17 no dia-a-dia, o processo que envolve Modelagem Matemática está constantemente presente, basta ter um problema exigindo criatividade, intuição e a Matemática. Nesse sentido, iremos usar a Modelagem Matemática para trabalhar uma situação real que trata sobre o saneamento básico em São João do Ivaí. Para Teixeira e Guilhermino (2003, p. 277 os serviços de saneamento, como o tratamento de esgoto, são de vital importância para proteger e tornar a população mais saudável, diminuindo os problemas da pobreza e protegendo o meio ambiente. Partindo de uma situação real e vivenciada, procuramos construir um modelo usando conteúdos matemáticos, o que coincidiu com as ideias de Bassanezi (2002, p. 24, quando este diz que ao nos conscientizarmos de que devemos trabalhar aproximações da realidade, a Modelagem Matemática terá melhores resultados. 2. MODELAGEM MATEMÁTICA Segundo Almeida (2007, p. 3 na Educação Matemática, a Modelagem Matemática teve diversos avanços nas últimas décadas, mostrando-se um campo social de produção de conhecimento, um espaço de relações objetivas, com lógicas e necessidade bem definidas. De acordo com Silveira e Ribas (2004, p. 2 a Modelagem Matemática é acima de tudo uma perspectiva, algo a ser explorado, o imaginável e o inimaginável.
3 que a: Entre as muitas definições de Modelagem Matemática, Bassanezi (2002 coloca Modelagem Matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas solução na linguagem do mundo real. (BASSANEZI, 2002, p. 16 Na literatura, encontramos diferentes caracterizações para Modelagem Matemática no âmbito da Educação Matemática. Bassanezi (2002, p. 181 considera a Modelagem Matemática uma atividade humana cujo desenvolvimento está intrínseco nos problemas da vida social e seu principal enfoque é procurar um equilíbrio harmonioso entre a teoria e a prática, fazendo com que a Matemática se torne uma ferramenta para outras áreas do conhecimento. No âmbito da Educação Matemática, D Ambrosio (1986 considera a Modelagem Matemática como uma forma de interação do conteúdo de sala de aula com questões reais. De acordo com o autor a Modelagem Matemática é um processo muito rico de encarar situações reais, e culmina com a solução efetiva do problema real e não uma simples resolução formal de um problema artificial. (D AMBROSIO, 1986, p.121. Neste trabalho consideramos a Modelagem Matemática como apresentada por Almeida e Brito (2005, p. 487, em que os autores consideram-na como uma alternativa pedagógica na qual fazemos uma abordagem, por meio da Matemática, de um problema não essencialmente matemático. Neste contexto, os autores defendem que a modelagem permite uma compreensão mais global acerca da situação investigada, buscando uma resposta para um problema cuja origem não está, de modo geral, na própria Matemática. Levando em consideração algumas definições sobre Modelagem Matemática, de um ponto de vista particular entendo-a como um ato (e não o ato de articular problemas reais com a Matemática, resolvendo-os em linguagem formal e respondendoos em linguagem informal, algo presente no dia-a-dia do ser humano, que todos possuem possibilidades de interpretar e entender, não unicamente os matemáticos. Bassanezi (2002, p. 173, afirma que quando se procura agir e refletir sobre a realidade,
tentando explicá-la, compreendê-la e modificá-la, o processo é selecionar argumentos essenciais e formalizá-los através de um sistema artificial, chamado de Modelo. Entre as perspectivas que envolvem a Modelagem Matemática, queremos salientar no presente trabalho, a perspectiva pragmática e a perspectiva realística, por serem mais chamativas e harmoniosas nessa pesquisa. De acordo com Kaiser e Sriraman (2006, p. 302 a perspectiva pragmática é aquela focada em objetivos utilitários, colocando a habilidade em aplicar a Matemática em problemas práticos. A perspectiva realística tem como objetivo resolver e compreender problemas do mundo real. Também merece destaque a perspectiva sócio-crítico: Esta perspectiva enfatiza o papel da Matemática na sociedade e reivindica a necessidade de suportar o pensamento crítico sobre o papel e a natureza dos modelos matemáticos e a função da Matemática e nossa sociedade. (KAISER E SRIRAMAN, 2006, p. 309. 4 Dessa maneira, a utilização da Modelagem Matemática pode manifestar nos indivíduos um aspecto sócio-cultural mais compreensível, capazes de analisar a forma como a Matemática está presente na sociedade, por ser um ambiente associado à problematização e investigação. Em geral o desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática segue uma sequência de procedimentos: a identificação do problema, a identificação e seleção das variáveis, a formulação de hipóteses, a dedução e a validação do modelo. Esses procedimentos podem ser chamados de etapas ou rotas de uma atividade de Modelagem Matemática, dependendo do autor e da abordagem com que a mesma é compreendida. Apresentamos na figura 1 um esquema de Modelagem Matemática envolvendo as várias etapas para o desenvolvimento de uma atividade, embora a ordem dessas etapas possa variar, uma vez que esse processo não é linear. A ênfase no esquema reside na transição. Dependendo do enfoque a que se pretende dar ênfase durante o desenvolvimento da atividade, as etapas apresentadas no esquema podem ser menos enfatizadas ou mais enfatizadas.
5 1 - Definição do problema 2 - Simplificação e formulação de hipóteses 3 - Dedução do modelo Modelo não válido 4 - Resolução do problema 6 - Aplicação do modelo Modelo válido 5 - Validação Interpretação da solução Figura 1: Etapas sugeridas para se realizar um processo de Modelagem Matemática (In: Ferruzi, Almeida e Gonçalves, p. 3 Assim, podemos ver uma atividade de Modelagem Matemática como um ciclo, que parte da realidade, passa pelos procedimentos matemáticos, pela validação do modelo e volta para mesma realidade inicial. 3. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA De acordo com Zoratto (2003, p. 3 as transformações desenvolvidas pela evolução da humanidade, principalmente no século XX, mudaram a vida do ser humano, como a saúde e a expectativa média de vida terem aumentado para 65 anos. Saneamento Básico não é um problema novo, e sua importância é conhecida desde as culturas antigas, como podemos ver de acordo com Heller (1997: O RECONHECIMENTO da importância do saneamento e de sua associação com a saúde do homem remonta às mais antigas culturas. Ruínas de uma grande civilização, que se desenvolveu ao norte da índia há cerca de 4.000 anos atrás, indicam evidências de hábitos sanitários, incluindo a presença de banheiros e de esgotos nas construções, além de drenagem nas ruas. (Heller, 1997, p. 17
6 No entanto, a falta de saneamento básico ainda é um sério e praticamente um problema desprezado pelos cidadãos. Segundo com Teixeira e Guilhermino (2003, p. 278 essa falta pode gerar várias doenças como hepatite, cólera, parasitoses intestinais, febre tifóide, entre outras e a intervenção no tratamento pode diminuir a morbidade ocasionada por estas. Para Heller (1997, p. 11 a diarréia é a doença que mais aflige a humanidade, ocasionando mais de quatro bilhões de casos por ano. Sendo que para Oliveira e Fernandez (2004, p. 7 essas doenças são provocadas, pois três quartos de todo o esgoto produzido pelos brasileiros vão parar diretamente na própria água que consumimos. Percebemos que muitas doenças podem ser evitadas unicamente com o devido tratamento da rede de esgoto, que infelizmente não está presente em nossa vivência. Segundo Zoratto (2006, p. 2 uma pesquisa realizada pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, 52% dos municípios brasileiros não possui esse tipo de tratamento. A falta de interesse objetivando aliviar a falta de tratamento de esgoto é absurda e praticamente imutável, já que em 1992, 36,02% da população tinha acesso ao esgoto tratado. Esse índice passou para 46,77% em 2006, (Folha Online, 2007, o que foi praticamente uma mudança insignificante. Segundo Cid (2007 se o ritmo lento dos investimentos continuarem, os brasileiros terão que esperar até 2122 para ter acesso a um serviço básico, como a rede de esgoto. Quem mais sofre com o desprezo do saneamento básico é as crianças, o que é um equívoco, pois gasta-se muito mais para remediar do que prevenir. É claro que não podemos esperar que o governo público faça tudo. Temos que mobilizar a sociedade civil para conhecer a situação e fazer pressão (Cid, 2007. O tratamento de esgoto é importante, mas não é um tema discutido. Esse tipo de saneamento é algo invisível para os olhos, pois é um serviço que permanece enterrado e não causa peso político, já que ninguém discute algo que nem sabe a importância. O que podemos fazer como cidadãos é conscientizar-nos da imensa importância de ter acesso ao tratamento de esgoto e reivindicar nossos direitos, a implantação de medidas de saneamento dependem de decisão política neste mundo de jogo de interesses e a decisão política ou políticas dependem da força popular (Cynamon, 1997, p. 352.
7 Na cidade de São João do Ivaí - PR, está ocorrendo à construção da estação de tratamento de esgoto sanitário, organizada pela Sanepar - Companhia de Saneamento e Esgoto do Paraná - e contando com recursos do Governo Federal. Segundo o gerente regional da Sanepar, Antonio Mauro, o objetivo dessa obra é melhorar a qualidade de vida da população, que é um dos focos do governo estadual. A obra está sendo realizada pela Gennan Construtora de Obras da cidade de Curitiba, sendo utilizado o PVC ocre para a construção. A ligação dos tubos PVC e a reconstrução da calçada terão um custo de R$ 90,00 por metro, assim, a obra tem como orçamento total aproximadamente 2,350 milhões de reais. O esgoto está contando com 586 ligações residenciais e comerciais, a rede de esgoto terá 12.500 m, atendendo 30% da população da área urbana. Lembrando que a obra está apenas em desenvolvimento, quando finalizada à capacidade de tratamento que será de 10 litros de esgoto por segundo. Além disso, está garantindo 260 empregos novos, diretos e indiretos. A obra terá duração média de 18 meses (Paraná Centro, 2009. No site da Sanepar estão presentes todas as tarifas que são cobradas pelo saneamento. Estão presentes as tarifas cobradas em Maringá e Curitiba, e nas demais localidades. Segundo o site da Sanepar, as tarifas são divididas em: tarifa normal (residencial, tarifa normal (micro e pequeno comércio e tarifa normal (comercial/industrial e utilidade pública. A tabela 1 mostra as tarifas cobradas pela Sanepar. Tabela 1: Tabela de tarifa de Saneamento Básico CATEGORIAS ATÉ 10 m³ R$ + R$/m³ Excedente a 10m³ R$ + R$/m³ Excedente a 30m³ Esgoto residencial 13,08 13,08 + 1,96/m³ 52,28 + 3,34/m³ Esgoto micro e pequeno comércio 13,08 /m³ X Esgoto comercial / industrial / utilidade pública 23,52 /m³ X FONTE: Sanepar
8 3.1 Descrição do problema investigado De acordo com as informações obtidas e levando em consideração a tarifa residencial e a tarifa micro e pequeno comércio, pretendemos verificar a partir de quantos m³ de esgoto utilizado compensaria financeiramente para o consumidor residencial pagar a tarifa micro e pequeno comércio. 3.2 Dedução do modelo matemático Com o objetivo de obter uma resposta para o problema, foram definidas as seguintes variáveis: (e Esgoto residencial - (utilizado em m³ ( T 1 Tarifa residencial - (cobrada em reais ( T 2 Tarifa micro e pequeno comércio - (cobrada em reais ( T 3 Tarifa comercial, industrial e utilidade pública - (cobrada em reais Em seguida, construímos uma tabela para verificar o comportamento dos dados. Tabela 2: Valor das tarifas de esgoto (e - Esgoto gasto (m³ ( T 1 - Tarifa residencial ( T 2 - Tarifa micro e pequeno comércio ( T 3 - Tarifa comercial, industrial e utilidade pública 1 13,08 13,08 23,52 5 13,08 13,08 23,52 10 13,08 13,08 23,52 15 13,08 + 1,96 (5 (5 (5 20 13,08 + 1,96 (10 (10 (10 25 13,08 + 1,96 (15 (15 (15 30 13,08 + 1,96 (20 (20 (20 35 55,28 + 3,34 (5 (25 (25 40 55,28 + 3,34 (10 (30 (30 45 55,28 + 3,34 (15 (35 (35
9 Portanto, podemos escrever: 13,08 se 0 < e 10 T 1 = 1,96 e 6,52 se 10 < e 30, onde e IR 3,34e 44,92 se e > 30 * + T T 2 3 13,08 se 0 < e 10 = 2,65e 13,42 se e > 10 23,52 se 0 < e 10 = 2,65e 2,98 se e > 10 *, onde e IR+ *, onde e IR+ As funções são representadas graficamente nas figuras 2, 3 e 4, respectivamente: Figura 2: Esboço do gráfico da função Tarifa residencial ( T 1 116.41 97.01 Y Axis (units 58.21 38.80 77.61 19.40 0.00 0.0 8.3 16.5 24.8 33.0 41.3 49.5 X Axis (units Figura 3: Esboço do gráfico da função Tarifa micro e pequeno comércio ( T 2
10 125.54 106.99 Y Axis (units 51.34 69.89 88.44 32.79 14.24 0.1 8.3 16.5 24.7 33.0 41.2 49.4 X Axis (units Figura 4: Esboço do gráfico da função Tarifa comercial, industrial e utilidade pública ( T 3 A validação dos modelos encontrados é mostrada na tabela 3. Tabela 3: Validação do modelo matemático encontrado (e Esgoto gasto (m³ ( T 1 Tarifa residencial ( T 1 Tarifa residencial MODELO ( T 2 Tarifa micro e pequeno comércio ( T 2 Tarifa micro e pequeno comércio MODELO ( T 3 Tarifa comercial, industrial e utilidade pública ( T 3 Tarifa comercial, industrial e utilidade pública MODELO 1 13,08 13,08 13,08 13,08 23,52 23,52 5 13,08 13,08 13,08 13,08 23,52 23,52 10 13,08 13,08 13,08 13,08 23,52 23,52 15 22,88 22,88 26,33 26,33 36,77 36,77 20 32,68 32,68 39,58 39,58 50,02 50,02 25 42,48 42,48 52,83 52,83 63,27 63,27 30 52.28 52.28 66.08 66.08 76,52 76,52 35 71,98 71,98 79.33 79.33 89.77 89.77 40 88.68 88.68 92.58 92.58 103,02 103,02 45 105,38 105,38 105,83 105,83 116,27 116,27 Como podemos concluir pela validação, o modelo encontrado realmente representa a tarifa de esgoto cobrada pela Sanepar.
Para responder a questão do problema investigado basta fazer T 1 = T 2 e encontramos o valor: e = 45,65 m³, que acarretaria para o consumidor um valor de R$ 107,55 em sua conta. A partir de uma quantidade maior de 45,65 m³ de esgoto utilizado, o consumidor residencial teria uma economia maior se utilizasse a tarifa micro e pequeno comércio. 11 4. Considerações finais Ao construir um modelo que represente uma situação real, muitos aspectos são abordados, muito se discute e se reflete sobre os conteúdos matemáticos e o próprio contexto que originou a investigação. A elaboração de um modelo matemático depende do conhecimento de Matemática que se tem, o modelador precisa ter criatividade, saber interpretar o contexto da situação, saber discernir qual conteúdo matemático que melhor se adapta e ser capaz de definir as variáveis envolvidas. Consideramos a construção de um modelo matemático essencial na atividade de Modelagem Matemática, embora não o consideramos o mais importante, mas sim, o consideramos como uma alternativa capaz de permitir uma compreensão mais global na busca de uma resposta para a situação estudada. Nesse estudo, particularmente usamos de conceitos básicos de funções. Nesse percurso foram utilizados vários registros de representação, dentre eles, o algébrico, tabular, o gráfico, possibilitando o contato do modelador com diferentes características do objeto matemático em estudo. Consideramos que ao usarmos a Modelagem Matemática como estratégia de ensino e de aprendizagem, possibilitamos aos estudantes usar de conhecimentos que já se tem e também de buscar outros conhecimentos necessários para a resolução do problema proposto. Isso pode influenciar na relação do estudante com o objeto de estudo, possibilitando uma aprendizagem mais satisfatória. Esta atividade poderia ser utilizada para trabalhar o conteúdo função no primeiro ano do Ensino Médio, tanto para introduzir o conceito de função linear ou ainda como uma forma de motivar a elaboração de funções definidas por sentenças.
12 Referências Bibliográficas ALMEIDA, Lourdes M. W. Pesquisa sobre Modelagem Matemática: algumas considerações. Texto base de participação no Debate Temático sobre A Pesquisa em Modelagem Matemática. In: CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - CNMEM, 5, Universidade Federal de Ouro Preto/Universidade Federal de Minas Gerais, Ouro Preto, 2007. ALMEIDA, Lourdes M. W.; BRITO, Dirceu S. Atividades de Modelagem Matemática: que sentido os alunos podem lhe atribuir?. Ciência e Educação, v.11, n. 3, p. 483-498, 2005. BARBOSA, Jonei Cerqueira; SANTOS, Marluce Alves dos. MODELAGEM MATEMÁTICA, PERSPECTIVAS E DISCUSSÕES. Disponível em: http://www.sbem.com.br/files/ix_enem/comunicacao_cientifica/trabalhos/cc8613675 5572T.doc. Acesso em: 05/08/2009 BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Contexto, 2002. BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no Ensino. São Paulo: Contexto, 2002. CID, Thiago. Saneamento Básico deve chegar a todos apenas em 2122. Revista Época: Edição nº. 497. Brasil: 2007. Disponível em: http://revistaepoca.globo.com/revista/epoca/0,,edg80243-6009,00- SANEAMENTO+BASICO+DEVE+CHEGAR+A+TODOS+APENAS+EM.html. Acesso em: 30/07/2009. CYNAMON, Szachna Eliasz. 1997. Saúde como parâmetro norteador da política de saneamento. In: Saneamento e saúde nos países em desenvolvimento. Rio de Janeiro: CC&P Editores Ltda., 1997. P. 349-352. D AMBROSIO, Ubiratan. Dos fatos reais à Modelagem - Uma proposta de conhecimento matemático. Disponível em: http://vello.sites.uol.com.br/modelos.htm. Acesso em: 28/07/2009. Folha Online. Falta de saneamento básico atinge 53% dos brasileiros, diz FGV. Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br/folha/cotidiano/ult95u349148.shtml. Acesso em: 27/07/2009. FERRUZZI, E. C.; ALMEIDA, L. M. W.; GONCALVES, M. B. Energia armazenada em um capacitor: Modelagem Matemática no ensino tecnológico. In: Congresso brasileiro de ensino de engenharia, 2003, Rio de Janeiro. Anais do Congresso brasileiro de ensino de engenharia, 2003. v. único.
13 HELLER, Leo. Saneamento e Saúde. Disponível em: http://www.coopttec.coop.br/downloads/ambiental/livro%20- %20Saneamento%20e%20Sa%FAde.pdf. Acesso em: 27/07/2009. KAISER, G; SRIRAMAN, B. A Global survey of international perspectives on modelling in mathematics education. Zentralblatt fur Didaktik der Mathematik, v 38, n.3, 2006. p. 302-310. OLIVEIRA, Anderson Luis da Silva; FERNANDEZ, José Carrera. Análise da eficiência do setor de saneamento básico no Brasil. Disponível em: http://www.bancodonordeste.gov.br/content/aplicacao/etene/anais/docs/2004analiseda-eficiencia.pdf. Acesso em: 28/07/2009 Paraná Centro. São João do Ivaí ganhará estação de tratamento de esgoto. Disponível em: http://www.paranacentro.com.br/noticia.php?idinsercao=733. Acesso em: 30/07/2009. SILVEIRA, Jean Carlos; RIBAS, João Luiz Domingues. DISCUSSÕES SOBRE MODELAGEM MATEMÁTICA E O ENSINO-APRENDIZAGEM. Disponível em: http://www.somatematica.com.br/artigos/a8/index.php. Acesso em: 05/08/2009. TEIXEIRA, Júlio César; GUILHERMINO, Renata Lopes. Análise da associação entre saneamento e saúde nos estados brasileiros, empregando dados secundários do banco de dados indicadores e dados básicos para a saúde 2003 - IDB 2003. Disponível em: http://www.scielo.br/pdf/%0d/esa/v11n3/a11v11n3.pdf. Acesso em: 27/07/2009 VERTUAN, Rodolfo E.; ALMEIDA, Lourdes M. W. O uso de diferentes registros em atividades de Modelagem Matemática. In: CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - CNMEM, 5, Universidade Federal de Ouro Preto/Universidade Federal de Minas Gerais, Ouro Preto. Anais... Ouro Preto, 2007. VIOMUNDO. Os sem esgoto: ninguém fala em nome deles, eles não têm partido político, nem bancada no congresso. Disponível em: http://www.viomundo.com.br/apoiamos/os-sem-esgoto-ninguem-fala-em-nome-deleseles-nao-tem-partido-politico-nem-bancada-no-congresso/. Acesso em: 27/07/2009 ZORATTO, Ana Cristina. A importância do tratamento de esgoto doméstico no saneamento básico. Disponível em: http://www.amigosdanatureza.org.br/noticias/306/trabalhos/126.au-8.pdf. Acesso em: 27/07/2009