Mais de 50 dicas de Matemática para lhe ajudar na resolução de problemas

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1 Mais de 50 dicas de Matemática para lhe ajudar na resolução de problemas Como estudar Matemática Atenção que se deve ter na prova de Matemática Dicas e Macetes diversos

2 Neste manual você vai encontrar várias e dicas e macetes que podem ajudar na resolução de muitos exercícios de matemática, mas ressaltamos que depois da implementação do modelo de avaliação do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), os grandes vestibulares mudaram suas questões e passaram a exigir mais raciocínio e menos aplicação de decorebas. "São provas muito bem feitas, nas quais o que realmente conta é a capacidade de análise, raciocínio e interpretação do candidato o que vale dizer que o estudo das regras deve ser levado a sério. Abaixo algumas dicas de como devem ser observadas as questões de matemática para que possa resolvê-las usando seu próprio raciocínio e conhecimento. A seguir algumas dicas e macetes. I - LEIA COM ATENÇÃO TODO O ENUNCIADO Muitos alunos começam a ler a questão sem terminar de ler todo o enunciado, achando que já sabem o que o problema está pedindo e saem fazendo conta quando, na verdade, na maioria dos problemas a pergunta está justamente no fim da questão. Um exemplo de uma leitura equivocada. Imaginem a seguinte questão: Resolvendo a equação 3x é igual a 12...'. Aí o aluno para de ler e pensa: x é 12 dividido por 3, então x é 4. Então ele bate o olho na alternativa A, que está escrito 4, e já marca. Só que na realidade o enunciado continuava: 'resolvendo a equação 3x é igual 12, então o valor de x ao quadrado é...'". Com esse exemplo você vê que uma questão muito fácil pode ser jogada fora por causa de uma má leitura do enunciado. Portanto, é aconselhável ler a questão mais de uma vez. "Faça uma primeira leitura para você se familiarizar com o problema. Numa segunda leitura, analise os dados e a pergunta da questão. É preciso encontrar a conexão entre os dados e a incógnita. Encontrada essa conexão, aí sim você deve partir para a resolução do problema. II - COMECE RESOLVENDO AS QUESTÕES MAIS FÁCEIS Em toda prova, existem questões fáceis, médias e difíceis. Os candidatos devem encarar as questões como um jogo de pegasvaretas, resolva primeiro as mais fáceis, para depois partir para a resolução das questões de dificuldade consideradas médias e só no final de tudo encarar as difíceis, orienta. Aconselhamos, também, não ficar muito tempo em cima de uma única questão, pois quando você perde muito tempo em uma pergunta, além de ficar nervoso, você joga fora a possibilidade de resolver questões mais fáceis. Ou seja, perde a oportunidade de somar mais alguns pontinhos. III - ATENÇÃO PARA OS ASSUNTOS MAIS COBRADOS Existem alguns assuntos de matemática que são muito cobrados, em praticamente todos os vestibulares e que, provavelmente, irão aparecer em sua prova. Por isso, é recomendável estudo redobrado nos seguintes conteúdos: logaritmos, semelhança de triângulos, teorema de Pitágoras, progressão aritmética, progressão geométrica, área de figuras planas, análise combinatória, equações de reta e de circunferência e números complexos. IV- MUITO CÁLCULO? DESCONFIE Se você começar a fazer muitos cálculos e aplicar inúmeras fórmulas matemáticas para resolver uma única questão, desconfie. Algo está errado. A tendência do vestibular é cobrar o raciocínio lógico do aluno e não a simples "decoreba" de fórmulas ou grandes cálculos algébricos. Os examinadores estão preocupados em avaliar se você sabe ou não interpretar o texto, analisar os dados, fazer interligações entre assuntos e disciplinas e, a partir disso, encontrar alguma sequência lógica para solucionar o problema". Portanto, se ao resolver um exercício você deparar com contas imensas e números extremamente grandes, desconfie: o caminho que você está seguindo não é o correto, deve existir outro menos trabalhoso para solucionar o exercício. V - SAIBA APLICAR A REGRA DE TRÊS Quem sabe bem a regra de três já tem um meio caminho andado para se dar bem nas provas de química, física e matemática no vestibular. Como nos últimos anos tem se cobrado mais o raciocínio lógico do que a decoreba de fórmulas, muitas vezes a saída está na famosa e simples regra de três. A mesma pode ser aplicada em questões de álgebra, geometria plana e até mesmo aritmética. Basta saber usá-la de forma correta. Recomenda-se, também, o uso de desenhos para auxiliar nas questões de geometria, pois a resposta pode estar na própria imagem. VI - DICAS PARA RESOLVER QUESTÕES DE MATEMÁTICA EM PROVAS DE CONCURSOS A prova de Matemática dos concursos públicos costuma ser o bicho de sete cabeças para muitas pessoas. O que muita gente não sabe é que estudar para uma prova de Matemática exige muito mais do que saber resolver os exercícios. É preciso treiná-las e ter em mente que provas de Matemática cobram do aluno raciocínio lógico. Tenha em mente, ao resolver as questões de Matemática de uma prova de concurso, que os examinadores querem de você algo simples: raciocínio! Raciocinar pode fazer com que você acerte questões, aparentemente muito difíceis. Outra dica dada por muitos professores é tomar conta do nervosismo. Isso porque, ele é responsável por resultados negativos na prova. Pense positivo e que está preparado para resolver desde as questões mais simples às mais complicadas. Lembre-se: O nervosismo faz com que você não veja um pequeno detalhe do enunciado, o que pode induzi-lo ao erro. Respire fundo e fique calmo. Confira mais dicas de como você deve se preparar e estudar para provas de concurso, pelos EXPERTS em Matemática: I - Treinar a resolução de questões é fundamental para realizar uma boa prova de matemática. Comece pela primeira, esconda a resposta e tente fazer. Se você conseguiu, parta para a segunda. Caso contrário olhe a resolução e entenda. Entender não significa memorizar. No dia seguinte comece tudo de novo. Com o tempo, você irá desenvolver a sua capacidade de raciocinar;

3 II - O fundamental é enfrentar problemas que exijam não só memorização, mas também estratégia, metodologia, criatividade. É importante que, ao escolher os exercícios você faça alguns de fixação, que é exatamente para fixar conceitos, e outros que peçam múltiplas estratégias; III - Concurseiros de primeira viagem devem ler bastante, pois uma boa leitura nos ajuda a adquirir conhecimentos gerais e aumenta a nossa capacidade de interpretação; IV - Leia o enunciado com atenção. Você deve ler cuidadosamente o texto do enunciado, extraindo dele o que está sendo pedido, e todos os fatos que o ajudem a chegar à solução. V - Faça primeiro as questões que você sente mais segurança. Feito isso, faça as que você tem mais dificuldade; VI - Desconfie de respostas com cálculos muito extensas. As contas que estão envolvidas na resolução das questões de concursos, geralmente, são simples. O foco está na interpretação de como resolver a questão; VII - Exercite seu cérebro e faça contas mentalmente. Na hora da prova, use um rascunho para fazer as contas; VIII - Apesar das dicas e macetes procure se preparar para a prova de um concurso fazendo exercícios e não confiando apenas nos macetes, pois até mesmo eles, exigem conhecimento da sua parte. IX - Há alguns assuntos de matemática que são muito cobrados em praticamente todos os concursos. Por isso, pesquise quais são estes temas. Você consegue esta informação, fazendo provas anteriores; X - Dias antes da prova revise o conteúdo. Isso significa refazer os exercícios, ter em mente as fórmulas e estar em dia com o raciocínio. Lembre-se: Matemática não se aprende em um mês. É preciso ter uma rotina de estudos! Essas são apenas algumas dicas para te ajudar a estudar e se dar bem em uma prova de matemática em concurso público. É importante ressaltar que através dessas dicas você poderá encontrar a melhor forma para estudar e realizar essas provas. Se conhecer é o caminho. Uma das matérias considerada um bicho-papão, devido à lógica que parece uma coisa muito difícil, mas não é, é a matemática que se resume em somar, dividir, multiplicar e subtrair, O importante é a concentração, atenção e pensar com a razão. Mas existem dicas e macetes que podem ajudar no momento de resolver uma determinada questão. Reunimos aqui algumas dicas que, com certeza podem ser úteis a você e que não aparecem em nenhum livro de matemática. Vamos a elas. Aproveite e memorize essas dicas e macetes para usá-las em provas e concursos. Vamos a elas DICA 01: Multiplicar um número por 10: Basta deslocar a vírgula uma casa decimal para a direita. Exemplo 1: 16 x 10 = 160 Exemplo 2: 15,567 x 10 = 155,67 DICA 02: Multiplicar um número por 10 n Basta deslocar a vírgula n casas decimais para a direita. Exemplo 1: 16 x 10 3 = Exemplo 2: 15,567 x 10 4 = Então, se quisermos efetuar a seguinte multiplicação: 12 x 100. Sabemos que 100=10 2, então: 12 x 100 = 12 x 10 2 = DICA 03: Dividir um número por 10: Basta deslocar a vírgula uma casa decimal para a esquerda. Exemplo 1: 16 / 10 = 1,6 Exemplo 2: 15,567 / 10 = 1,5567 DICA 04: Dividir um número por 10 n : Basta deslocar a vírgula n casas decimais para a esquerda. Exemplo 1: 16 / 10 3 = 0,016 Exemplo 2: 15,567 / 10 2 = 0,15567 Então, se quisermos efetuar a seguinte divisão: 12 / Sabemos que 1000=10 3, então que: 12 / 1000 = 12 / 10 3 = 0,012. DICA 05: Multiplicar um número por 11: Quando o número for de 2 algarismos, basta somar esses 2 algarismos e colocar o resultado no meio deles. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 26 x 11. Temos o número 26, somando seus 2 algarismos temos 2+6=8. Pronto! Agora é só colocar esse 8 no meio deles: a resposta é 286. Portanto 26 x 11 = 286. Outros exemplos: 1) 34 x 11 - Somamos os algarismos do número 34: 3+4=7 colocamos o resultado no meio deles: 374. Portanto 34x11 = ) 81 x 11 - Somamos os algarismos do número 81: 8+1=9 colocamos o resultado no meio deles: 891. Portanto 81x11 = ) 37 x 11 - Somamos os algarismos do número 37: 3+7=10. Como deu um nº maior que 9, então não podemos colocar todo o número no meio deles. Colocamos apenas o algarismo das unidades (0) no meio deles, e o algarismo da dezena (1) é somado ao primeiro algarismo do número: 407. Portanto 37x11 = 407. Quando o número for de 3 algarismos, então esse número multiplicado por 11 resultará em um número de 4 algarismos. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 135 x 11. Temos o número 135. Somando o 1º com o 2º algarismo desse número temos 1+3=4. Somando o 2º com o 3º algarismo desse número temos 3+5=8. Esses 2 resultados serão colocados no meio do número 135, tirando o seu algarismo do meio:1485. Portanto 135 x 11 = 1485.

4 DICA 06: Multiplicar um número por 9: Nesse caso basta acrescentar um zero no final do número e subtrair pelo número inicial. Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 9. Acrescentando um zero no final do número 44 ficamos com 440.Então subtraímos desse valor o valor inicial: = 396. Portanto 44 x 9 = 396. Outros exemplos: 27 x 9 = = x 9 = = x 9 = = 297. DICA 07: Multiplicar um número por 99: Nesse caso basta acrescentar 2 zeros no final do número e subtrair pelo número inicial. Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 99. Acrescentando 2 zeros no final do número 44 ficamos com Então subtraímos desse valor o valor inicial: = Portanto 44 x 99 = Outros exemplos: 27 x 99 = = x 99 = = 5544 DICA 08: Multiplicar um número por 101: Quando um número de 2 algarismos AB for multiplicado por 101, o resultado será ABAB. Alguns exemplos 43 x 101 = x 101 = x 101 = 1414 DICA 09: Multiplicar 2 números (de 2 algarismos) que possuam o mesmo algarismo das dezenas, e a soma de seus algarismos das unidades seja 10. Exemplos de multiplicações que podem ser feitas com esse método: 42x48, 53x57, 21x29, 35x35, 87x83, 94x96, etc. Devem ser seguidos os seguintes passos: 1) Multiplicamos o algarismo das dezenas (que é igual nos 2 números) pelo número seguinte a ele; 2) Multiplicamos os algarismos das unidades normalmente; 3) Juntamos as duas partes. Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 53 x 57: Passo 1: 5x6 = 30 Passo 2: 3x7 = 21 Passo 3: Juntamos os dois números: Portanto 53 x 57 = Barbada! Outro exemplo: 94 x 96: Passo 1: 9x10 = 90 Passo 2: 4x6 = 24 Passo 3: Juntamos os dois números: "Muitos alunos começam a ler a questão e, sem terminar de ler todo o enunciado, acham que já sabem o que o problema está pedindo e saem fazendo conta" Portanto 94 x 96 = Barbada! DICA 10: A soma dos n primeiros números naturais ímpares: A soma dos n primeiros números naturais ímpares é igual a n 2. Exemplos: 1) Soma dos 5 primeiros números naturais ímpares ( ): A soma é igual a 5 2 = 25. 2) Soma dos 15 primeiros números naturais ímpares: A soma é igual a 15 2 = 225. DICA 11: Multiplicar um número por 15: Some o número com a sua metade, e multiplique o resultado por 10. Exemplos: =(14+7) 10=210 10,4 15=(10,4+5,2) 10=15,6 10=156 DICA 12: Tabuada do 9: Se você tem dificuldades para decorar a tabuada do 9, pode fazer o seguinte: 1) Considere o número anterior ao qual você irá multiplicar o 9. 2) Veja quanto falta para ele chegar ao 9. 3) Junte os dois números encontrados. Por exemplo: 1) 9 x 2 => o número anterior ao dois é o 1. 2) Para o 1 chegar ao 9, faltam 8. 3) Agora basta unir os dois números: 18 Portanto, 9 x 2 = 18. Da mesma forma pode ser feito para os outros números, até chegar em 9x9: 1) 9 x 9 => o número anterior ao nove é o 8. 2) Para o 8 chegar ao 9, falta 1 3) Agora basta unir os dois números: 81 Portanto, 9 x 9 = 81. DICA 13: Dividir qualquer número por 5: Basta multiplicar o número por 2 e "arrastar" a vírgula para a esquerda. Ex: 345 / 5 = 345 * 2 = 690. Arrastando a vírgula, temos 69,0. Ex: 1526 / 5 = 1526 * 2 = Arrastando a vírgula, temos 305,2. DICA 14: Como descobrir o próximo quadrado? Some o quadrado anterior com duas vezes com o número do qual você quer descobrir o quadrado, e depois diminua uma unidade. Ex: Se 3 2 =9, quanto vale 4 2? Aplicando a regra, temos: = = 16 Portanto, 4 2 = 16 DICA 15: Multiplicação de números terminados em 0 Multiplicam-se as partes sem os zeros finais e acrescenta-se a quantidade de zeros finais.

5 Exemplos: 23 x 10 = (23 x 1)0 = x 20 = (45 x 2)0 = x 300 = (15 x 3)00 = x 90 = (3 x 9)00 = 2700 DICA 16 Porcentagem Isso era O pesadelo para muitos na escola. Após essa dica, você será o senhor das porcentagens, sendo capaz de calcular 4% de 200 em menos de 1 segundo. Primeiro, uma explicação. A palavra porcentagem já sugere para cada cem. Assim, 3% nada mais é que 3 para cada cem, 12% é 12 para cada cem, e assim por diante. Como isso ajuda no cálculo de 4% de 200? Moleza. Lembre-se que 4% nada mais é que 4 para cada cem. Como você tem 200, o resultado nada mais é que = 8. Fosse 4% de 300, bastaria adicionar mais 4. Mais exemplos: 74% de 500 = = % de 150 = 20 para cada cem. Como 50 é metade de 100, o resultado é = 30. Como dica final, porcentagens também podem ser calculadas invertendo-se os números: 5% de 12 é o mesmo que 12% de 5. DICA 17 - A soma dos dígitos de qualquer número inteiro multiplicado por 9 é sempre igual a 9 ou um múltiplo de 9. Ex: 13 x 9 = 117 ( = 9). Isso é útil para saber se um número é divisível por 9 ou não (com resto zero) sem fazer conta. A mesma regra vale para os múltiplos de 3, cuja soma dos dígitos será sempre 3, 6 ou 9. E se o número for par, automaticamente será divisível por 6 também. DICA 18 - Para saber se um número é divisível por 11, calcule a diferença entre o último dígito e os restantes. Se for múltiplo de 11 ou 0 é divisível por ele. Ex: 3938 (393 8 = = 33) Para saber se é divisível por 7, o procedimento é parecido com o do 11. A diferença é que o último dígito deve ser multiplicado por 2. Ex: 1113 (111 (3 x 2) = = 0) DICA 19 - Essa é um pouco mais complicada de entender: quando multiplicamos dois números quaisquer, se somarmos ao resultado deste produto a metade da diferença entre esses números ao quadrado, o resultado será a média dos dois ao quadrado. Ex: 28 x 12 = 336. A média de ambos é 20 ( = 40 e 40 dividido por 2 é igual a 20). A diferença é 16 (28 12). A metade da diferença é 8. 8 ao quadrado é 64. Se somarmos , temos 400, que é o mesmo que 20 (a média entre 12 e 28) elevada ao quadrado. DICA 20 - Considere um número x. Se dividirmos x por x 1 obteremos y. Em seguida, se somarmos ou multiplicarmos o x pelo y, o resultado será sempre o mesmo. Ex: Suponhamos que x seja 4. Nesse caso, x 1 será igual a 3, e x dividido por y é igual a 1, Se somarmos 4 + 1, , teremos 5, Se multiplicarmos os dois números, o resultado também será 5, DICA 21 - Multiplicar por 11. Todos sabem que quando queremos multiplicar qualquer número por 10 apenas devemos colocar um zero ao final. Você sabia que há um truque igualmente fácil para multiplicar por 11? Pegue qualquer número de dois dígitos e imagine um espaço em branco entre eles. Neste exemplo iremos usar 72: 7_2 Agora coloque o resultado da soma dos mesmos dois números no espaço em branco: 7_(7+2)_2. Simples assim, você chega à sua resposta: 792. Caso a soma central gere um número com dois dígitos você terá que pegar o primeiro dígito desta soma e somar com o primeiro dígito do número original. Vamos utilizar o número 93: 9_3 9_(9+3)_3 9_(12)_3 (9+1)_2_ Nunca falha! DICA 22 - Elevar rapidamente ao quadrado Se você precisa do quadrado de qualquer número com dois dígitos que termine em 5 você pode utilizar esse truque simples. Multiplique o primeiro dígito por si mesmo +1 e coloque 25 no final. Só isso = (3x(3+1) & DICA 23 - Multiplicando por 5 Memorizar a tabuada do 5 é muito simples, mas quando precisamos operar dígitos maiores isso fica bem mais complexo, ou não? Esse truque é muito simples. Pegue qualquer número e divida por 2 (em outras palavras, a metade) Se o resultado for um inteiro coloque 0 ao final. Do contrário simplesmente apague a vírgula (colocando o 5 ao final). Também nunca falha. Vamos começar com 3.024: 3024 x 5 = (3024/2) & 0 ou /2 = 1512 & Vamos tentar mais um (55): 63 x 5 = (63/2) & 0 ou 5 31,5 (ignore a vírgula deixando apenas o 5 que já está ao final) 315 DICA 24 Progressão Aritmética Uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA é uma sequencia numérica em que cada termo, a partir do segundo é igual ao anterior adicionado a um número fixo, chamado razão da progressão. Chamamos, mais comumente de PA. Representa uma progressão aritmética escrevendo seus termos, em ordem, primeiro termo, segundo, terceiro, etc, dentro de parênteses. Conforme definição, o segundo termo é a soma do primeiro termo e a razão, e assim sucessivamente. Segue estas somas na imagem acima (colocadas em chave). podemos dizer que ela é igual à diferença entre qualquer termo a partir do segundo, e o anterior. Matematicamente temos as relações mostradas na imagem abaixo. Abaixo a Fórmula da Razão de uma PA.

6 MACETE: Fórmula do termo geral da Pa: Imagina duas meninas conversando. Moça 01: Na=A1+(n-1).r, Na=Ainda não arranjei um namorado rico! Fórmula da soma. Moça 02 responde: Sn=(A1+An).n/2. Sem namorado novo e divide para nós duas. DICA 24 - Adição de Arcos Para memorizar as fórmulas de adição de arcos cos(a-b) = cosa.cosb + sena.senb (coça A, coça B + senta A, senta B) cos(a+b) = cosa.cosb sena.senb (coça A, coça B senta A, sentab) sen(a-b) = sena.cosb senb.cosa (senta A, coça B senta B, coça A) sen(a+b) = sena.cosb + senb.cosa (senta A, coça B + senta B, coça A) Você pode usar também o começo do poema de Gonçalves Dias para memorizar: Comigo não pode!!! Não pode!!! Não pode!!! Não pode!!! Não pode!!! DICA 29 - Lei de Euler Fórmula : V + F = A + 2 Uso: calcular n de vértices, faces ou arestas de poliedros. Macete: Vamos Fazer Amor A Dois Outra frase: Vida Feliz A Dois DICA 30: Números complexos (1) O número raiz de -1 é chamado de unidade imaginária. Que foi aceita para dar sentido às respostas de algumas equações, que até então não possuíam soluções nos reais. Simplificando a notação criou-se o NÚMERO i, de modo que o quadrado desse número (i) é igual a -1. Minha terra têm palmeiras, onde canta o sabiá - SENO A COSENO B, SENO B COSENO A. DICA 25 - Geometria Analítica: Equação Fundamental Fórmula: y yo = m (x xo) Uso: Para encontrar a equação fundamental da reta que passa pelo ponto P(xo, yo). Macete: YoYô, Mixoxô DICA 26 - Seno, cosseno e tangente Seno = co/hip à corri Cosseno = ca/hip à caí Tangente = co/ca à coca Frase: Corri, caí na coca. Posição do seno e cosseno Memorizar a frase: Quem tá de pé tá sem sono, quem tá deitado tá com sono. Sem = Seno / Com = Cosseno DICA 27 - Números racionais, irracionais e complexos - Frase para decorar o Conjunto dos números: I (irracionais), R (reais) e C (Complexos) Macete: Inteligente, Rico e Carinhoso (2) Um número complexo qualquer "z" pode ser escrito na forma "a + bi", que chamamos de FORMA ALGÉBRICA, com a e b números reais e i a unidade imaginária. Em z = a + bi, o número a é denominado PARTE REAL de z e o número b é a PARTE IMAGINÁRIA. (3) Quando a parte imaginária do número complexo é nula, então o número é REAL. Quando a parte real do número complexo é nula, então é IMAGINÁRIO PURO. DICA 28 - Análise Combinatória Ainda não posso! Não!!! Não posso!!!

7 (4) Plano de Argand-Gauss Gauss observou que assim como cada ponto de uma reta corresponde a um número real, cada ponto do plano podia ser associado a um número complexo. Convencionou, então, associar o número complexo z ao ponto P (a, b), estabelecendo uma correspondência um a um entre os números complexos e os pontos do plano xoy. Assim, no eixo das abcissas, representa-se a parte real de z, no eixo das ordenadas, e a parte imaginária de z. (8) Operações na Forma Algébrica (a) Subtração - A subtração de dois números complexos é dada pela regra abaixo. (5) Igualdade de números complexos Dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias forem respectivamente iguais. (b) Adição - A soma de dois números complexos é dada pela regra abaixo. (6) Conjugado de um Número Complexo Sendo z = a + bi, a e b reais, define-se como complexo conjugado de z o complexo "z barra", como na figura acima. (c) Multiplicação - A multiplicação de dois números complexos é dada pela regra abaixo. (7) Complexos e Conjugados no Plano de Argond- Gauss (d) Divisão - A divisão de dois números complexos é dada pela regra abaixo. Veja que dois números complexos conjugados têm, respectivamente, partes reais iguais e partes imaginárias simétricas. Observe o complexo z = 3 + 4i e seu complexo indicado no plano na figura abaixo.

8 (9) Potências de i Para calcular potências de i, basta DIVIDIR O EXPOENTE n, n inteiro e positivo, por 4, e observando o (c) Argumento de Z - Denomina-se argumento do complexo z a medida do ângulo formado pelo segmento op com o semieixo real Ox, medido no sentido anti-horário. Veja o Exemplo a seguir. resto desta divisão temos para as potências de i os resultados abaixo. (10) Escrevendo um número complexo na sua forma trigonométrica - Um número complexo pode ser escrito também na forma trigonométrica. Para determiná-lo, usando sua representação no plano de Argand-Gauss, usamos sua distância e o ângulo, ambos formado com a origem. (a) Consideremos o número complexo não-nulo, Z = a + bi, com a e b reais. Sua forma trigonométrica segue indicado na figura, a seguir. (b) Módulo de Z - Módulo de z é a distância de P (ponto representado no plano) até a origem O. Calculamos esta distância usando teorema de Pitágoras. DICA 31 Conjuntos (1) Definição e Nomenclatura - Sobre a noção de conjuntos temos: Conjuntos numéricos são aqueles formados apenas por números. Os componentes de um conjunto, são chamados de elementos. No conjunto dos números naturais pares menores que 5, por exemplo, os elementos são: 0,2 e 4. Para escrever um conjunto usando sua representação por extensão nomeamos seus elementos, um a um, colocando-os entre chaves e separando-os por vírgula. Para nomear um conjunto usamos uma letra maiúscula. (2) Conjunto Finito - A representação por extensão pode ser usada para conjuntos finitos. Veja um exemplo abaixo. Resumo: (3) Conjunto Infinito - A representação por extensão pode ser usada para conjuntos infinitos, para isso colocamos "três pontos" antes de fechar a chave do conjunto.

9 (04) Representação do Diagrama de Venn A representação por Diagrama de Venn faz-se usando uma figura. (10) Operações entre conjuntos (a) Interseção - A interseção de dois conjuntos, A e B, é o conjunto formado pelos elementos que são comuns a A e a B, isto é, pelos elementos que pertencem a A e também pertencem a B. Observe a representação do conjunto A na figura. O conjunto A tem 4 elementos. Indicamos: n(a): 4 Lê-se: o número de elementos do conjunto A é igual a quatro. (05) Representação de um conjunto por compreensão - Para representar um conjunto por compreensão, usamos uma propriedade característica dos elementos deste conjunto. (b) União - A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Na figura acima, a união dos conjuntos A e B é o conjunto C. (06) Igualdade de Conjuntos Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Notação: A = B; conjunto A é igual ao conjunto B. (07) Conjunto Universo É o conjunto ao qual pertencem os todos os elementos característicos do conjunto delimitado pelas características. (c) Diferença - A diferença de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B. (08) Conjunto Vazio Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento. Reprenta-se o conjunto vazio conforme os símbolos da figura abaixo. (09) Conjunto Unitário - Chama-se conjunto unitário aquele conjunto que possui apenas um único elemento. DICA 32 Funções Como uma função é um tipo especial de relação, definese FUNÇÃO: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. Essa relação f é uma função de A

10 em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado em e apenas um elemento y do conjunto B. (01) Relação - Dados dois conjuntos A e B, dá-se o nome de relação R de A em B a qualquer subconjunto de A X B. Simbolicamente, segue imagem acima, lê-se: R é relação de A em B, se e somente se, o conjunto R estiver contido no produto cartesiano de A em B. (02) Produto Cartesiano Dados, dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se PRODUTO CARTESIANO, (indica-se A X B) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B. (04) Domínio, Contradomínio e Imagem DOMÍNIO D - O conjunto A é o domínio da função f. Notação do conjunto domínio: D CONTRADOMÍNIO CD O conjunto B é o contradomínio da função f. Notação do conjunto contradomínio: CD IMAGEM - IM Denomina-se imagem da função f, o conjunto de todos elementos y tal que, a cada elemento x do domínio o elemento y do contradomínio seja correspondente. Notação do conjunto: IM (03) Linguagem e leitura de uma função Quando cada valor de A associa-se a um valor de B - As letras x e y são largamente usadas para representar as variáveis de uma função. Considerando f : A ->B Lê-se a linguagem simbólica usada acima assim: " a cada valor de x que pertence ao conjunto "A", associase um só valor y que pertence ao conjunto B." O DOMÍNIO de uma função é obtido pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas (eixo x). Isto é, são os valores que compõem o intervalo do eixo x, para os quais existe o gráfico. A IMAGEM é obtida pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas (eixo y). Função f de A em B - Quando temos uma função de A em B, podemos representá-la usando a linguagem simbólica da imagem acima. Lê-se: Função de f de A em B. Mais simplificadamente, o nome dado a função é "f", e esta função é uma relação entre os conjuntos de nome A e o de nome B. f de x - Quando representamos a função pela sua lei matemática podemos utilizar duas formas diferentes. A imagem acima indica estas duas formas. O símbolo f(x) lê-se f de x, tem o mesmo significado do y e pode simplificar a linguagem. Isto é, perguntar "qual o valor de y quando x=1?" é exatamente igual que perguntar "qual o valor de f(1)?" (05) Gráfico de uma Função - Para construir gráficos de funções, será utilizado o SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL, para que utilizar sistema de coordenadas e montar os gráficos. O gráfico da função é é o conjunto de todos os pontos (x,y), do plano cartesiano, com x pertencendo ao domínio e y a imagem da função. Sendo que os valores do domínio estarão sempre no eixo x, também chamado de eixo das abscissas. E os

11 valores da imagem no eixo y, ou eixo das coordenadas. (08) Função Crescente e Decrescente (06) Sistema Cartesiano Ortogonal Um sistema cartesiano ortogonal é composto de: EIXOS: os eixos são representados por duas retas orientadas, perpendicular entre si no ponto O. A reta horizontal é denominada eixo x, ou eixo das abscissas. A reta vertical é denominada eixo y ou eixo das ordenadas. PONTO DE ORIGEM: o ponto de origem é o ponto O ponto de intersecção dos eixos. QUADRANTES: os eixos dividem o plano o plano em quatro regiões que se chamam quadrantes. Que são nomeados 1 2, 3 e 4 quadrantes. Função Crescente - Uma função F é CRESCENTE num intervalo de seu domínio se, somente se, para quaisquer valores de x1 e x2 pertencentes ao domínio, com x1 menor que x2 (x1<x2), tivermos F(x1) menor que F(x2), F(x1)<F(x2). Função Decrescente - Uma função F é DECRESCENTE num intervalo de seu domínio se, somente se, para quaisquer valores de x1 e x2 pertencentes ao domínio, com x1 menor que x2 (x1<x2), tivermos F(x1) maior que F(x2), F(x1)>F(x2). (07) Coordenadas de um Ponto - Dentro de um sistema cartesiano ortogonal podemos localizar um ponto tomando suas coordenadas. Assim dizemos que o ponto P tem abscissa "a" e ordenada "b". Os números reais "a" e "b", colocados entre parênteses e separados por vírgula formam um PAR ORDENADO representam as COORDENADAS do plano P no plano.

12 (09) Função Composta Criar uma função composta é "obter" uma terceira função a partir de duas outras. Matematicamente, observe que na imagem abaixo, temos: (03) Função Identidade Quando o coeficiente angular de uma função linear for igual a um temos uma função dada pela lei f(x) = x, cuja denominação é FUNÇÃO IDENTIDADE. f: A B, uma função. g: B C, outra função. A função composta g com f denominamos h: A C. Notação: gof, lê-se: g bola f. (gof)(x) = g(f(x)). Ou em outras palavras, o elemento z, que pertence ao conjunto C é determinado de modo único pelo elemento x que pertence ao conjunto A. Notação: z=g(y)=g(f(x)). DICA 33 Função polinomial de 1º grau (01) Representação De maneira geral uma função polinomial do 1 grau, é representada pela forma: f(x) = ax + b, com "a" diferente de zero. Onde "a" é chamado de coeficiente angular e "b" de coeficiente linear. (02) Função Linear Tomando uma função polinomial de 1 grau,quando b=0, temos uma função linear que é dada pela fórmula: f(x) = ax, com "a" diferente de zero. Em consequência da sua lei de formação, esta função intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, b). O gráfico abaixo mostra um exemplo de função linear.