Abordagem dual com função de ordenação para resolver problemas de programação quadrática em ambiente nebuloso

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1 Abordagem dual com função de ordenação para resolver problemas de programação quadrática em ambiente nebuloso Ricardo C. Silva Instituto de Ciência e Tecnologia Universidade Federal de São Paulo Rua Talim, 330, Vila Nair , São José dos Campos, SP ricardo.coelho@unifesp.br Akebo Yamakami Departamento de Telemtica Faculdade de Eng. Elétrica e de Computação Universidade Estadual de Campinas Avenida Albert Einstein, , Campinas, SP akebo@dt.fee.unicamp.br Resumo A falta de precisão de informação sobre problemas práticos ocorre de maneira natural quando desejamos realizar uma modelagem matemática apropriadas desses problemas no intuito de obter soluções mais realísticas. Uma maneira de tratar essa falta de precisão, que é inerente ao problema nesse tipo de situação, é usar a Lógica Nebulosa. Nesse trabalho, o problema prático é modelado no contexto de otimização e a aplicação de lógica nebulosa no tratamento das incertezas presentes nesses problemas da vida real está sendo crescente. Diante da importância desses problemas, a proposta desse trabalho é apresentar uma nova abordagem dual em ambiente nebuloso, a qual resolve problemas de programação quadrática com coeficientes nebulosos e incerteza na relação de ordem no conjunto de restrições. A abordagem proposta é aplicada em dois exemplos numéricos teóricos mostrando a sua eficiência. Palavras-chave: Lógica Nebulosa, Programação Quadrática, Dualidade, Função de ordenação. 1 Introdução No momento em que situações da vida real, que envolvem percepções humanas em seus dados, são modelados como problemas matemáticos, como por exemplo problemas de otimização, alguns dados são incertos devido a falta de precisão ou alguma ambiguidade sobre as informações do problema. Nesse caso, o uso de Computação Flexível é uma boa maneira de formular tanto a situações de medidas quanto de percepções. A computação flexível é um conjunto de metodologias que exploram a tolerância à imprecisões e incertezas. Essas metodologias devem tratar os dados incertos, ser robustas, obter soluções satisfatórias com baixo custo e ter uma interpretação realista. Em [25], computação flexível é uma combinação das metodologias que usam lógica nebulosa, neurocomputação, meta-heurísticas e raciocínio probabilístico. De acordo com Verdegay et al. [22], computação flexível é uma família de técnicas que resolvem problemas usando raciocínio aproximado, que trata a incerteza presente nos problemas práticos e está dividido em modelos probabilísticos e lógica nebulosa, e métodos de otimização e/ou aproximação funcional, que obtêm uma solução satisfatória dos problemas em ambiente incerto e está dividido em redes neurais artificiais e meta-heurísticas. A teoria de conjuntos nebulosos, desenvolvida por Zadeh [24], ajuda a tratar imprecisões presentes em problemas do mundo real. Essa teoria tem por finalidade de incorporar características subjetivas nos sistemas de tomada de decisão. Ela é aplicada em várias áreas por sua fácil implementação, flexibilidade, tolerância a dados imprecisos e facilidade em modelar comportamento abstrato e complexo em termos da linguagem natural. Uma breve introdução a lógica nebulosa e algumas de suas aplicações podem ser encontradas em [8,16,26]. Algumas dessas aplicações estão nas áreas de reconhecimento de padrões, análise de dados, controle, economia, pesquisa operacional, entre outras. Esse trabalho está centrado nos métodos que são baseados em conhecimento matemático. Teoreticamente, eles garantem obter uma solução ótima com certo grau de convergência. Esses métodos pertencem a classe de Programação Quadrática, que engloba problemas de otimização com uma função objetivo quadrática e restrições lineares. Como já descrito acima, a escolha dos dados é um dos passos críticos quando tentamos modelar um problema do mundo real no formato de um problema de programação matemática. Algumas vezes, esses dados dependem de conhecimento específico, que é algo

2 A. dual com f. de ordenação para resolver p.de programação quadrática em ambiente nebuloso 987 subjetivo e é descrito por valores aproximados. A partir desse ponto de vista, a teoria de conjuntos nebulosos aparece como uma interessante ferramenta porque ela permite ao decisor formular problemas de programação matemática com mais flexibilidade. Bellman and Zadeh [2] mostraram que existe um problema de programação linear equivalente para uma versão em ambiente nebuloso. Diante disso, algumas aplicações cresceram com o desenvolvimento da programação linear nebulosa, como descrito em [7,13,15]. Nos dias atuais, programação matemática nebulosa é considerada uma área importante em otimização. Contudo, uma dificuldade em representar os dados imprecisos usando lógica nebulosa está em comprar dois ou mais números nebulosos. Essa dificuldade em ordenar números nebulosos foi amplamente estudada na literatura e uma grande quantidade de métodos foram desenvolvidos para resolvê-la, vide [4]. Assim, nesse trabalho, modelos auxiliares de programação linear convencional, que podem usar diferentes métodos para ordenar números nebulosos, são desenvolvidos. Em [3], algumas formulações com dados imprecisos são apresentados e metodologias usando diferentes métodos de ordenação para números nebulosos são propostos. Em [9], algumas maneiras de ordenar números nebulosos são mostradas e uma nova proposta é apresentada, que transforma o problema de otimização sob ambiente nebuloso em três problemas de otimização clássicos resolvidos em tempo polinomial. O objetivo desse trabalho é desenvolver uma nova abordagem dual para resolver problemas de programação quadrática nebulosa. A incerteza está presente nos coeficientes e na relação de ordem do conjunto de restrições. Esse tipo de problema é importante porque é uma generalização dos problemas de otimização linear e um caso especial dos problemas não-lineares. A literatura sobre o tema de programação linear nebuloso é amplo e podemos destacar os trabalhos desenvolvidos por Rödder e Zimmermann [17], que considera uma interpretação econômica das variáveis duais, Verdegay [21], que transforma um problema dual de otimização linear nebuloso em um problema linear paramétrico equivalente provando que a solução nebulosa obtida tanto pela abordagem primal quanto pela dual são a mesma sob certas condições, Wu [23], que considera multiplicadores lagrangianos no problema dual juntamente com uma função lagrangiana nebulosa específica para resolver esse tipo de problema, Inuiguchi et al [12], que determina algumas condições para obter soluções satisfatórias e viáveis das abordagens duais dos problemas de programação linear nebulosa, Gupta e Mehlawat [10], que apresenta uma abordagem usando um nível de aspiração aplicado em funções de pertinência exponenciais para resolver problemas de otimização linear primal e dual, e Mahdavi-Amiri e Nasseri [14], representa os números nebulosos por funções de pertinência trapezoidal que descrevem os dados incertos numa adaptação do método Simplex dual. No entanto, não existem muitos trabalhos sobre o tema de programação quadrática e dentre os trabalhos podemos destacar [1]. Esse trabalho está dividido como segue: Na seção 2 são apresentados alguns conceitos sobre números nebulosos, operações usuais, função de ordenação que serão usados em nossa abordagem dual proposta; Na seção 3 uma nova abordagem dual para resolver problemas de programação o quadrática com coeficientes e relação de ordem no conjunto de restrições é desenvolvido; Alguns problemas de otimização teóricos são aplicados na seção 4 ilustrar nossa proposta e mostrar sua eficiênci; Finalmente, algumas conclusões e comentários são apresentadas na seção 5. 2 Conceitos básicos Antes de mostrar nossa proposta, que é uma abordagem dual para resolver problemas de programação quadrática sob ambiente nebuloso, apresentamos alguns conceitos básicos, sobre números nebulosos, operações básicas e função de ordenação, que foram usados para o desenvolvimento dessa proposta. 2.1 Fuzzy numbers Primeiramente, apresentamos a definição de número nebuloso que é usada nesse trabalho, sendo que a função de pertinência é construída por função do tipo L-R, e das operações básicas de adição e multiplicação por escalar, de acordo com [8].

3 988 Ricardo C. Silva Definição 1 Um número nebuloso, representado por ã = (m L, m U, α, β) LR, é descrito pela seguinte função de pertinência: ( m L ) x L x < m L, α > 0 α µã(x) = ( 1 ) m L x m U x m U (1) R m U x, β > 0 β 0 caso contrário. sendo m L o limitante inferior dos valores modais, m U o limitante superior dos valores modais, α o espalhamento a esquerda e β o espalhamento a direta. É fácil ver que os valores m L α and m U + β sã os limitantes com pertinência zero, inferior e superior, respectivamente. Definição 2 Seja ã e b números nebulosos, representado por ã = (m L, m U, α 1, β 1 ) LR e b = (n L, n U, α 2, β 2 ) e k R. As operações são definidas como: 1. Adição: 2. Multiplicação por escalar: ã + b = (m L + n L, m U + n U, α 1 + α 2, β 1 + β 2 ) LR. kã = (km L, km U, kα 1, kβ 1 ) LR, if k 0. kã = (km U, km L, kβ 1, kα 1 ) RL, if k < 0. Definição 3 Um vetor nebuloso de dimensão é dado por c = ( c 1,..., c k ), sendo as coordenadas c 1,..., c k números nebulosos. 2.2 Função de ordenação Um outro conceito fundamental é uma maneira de comparar dois ou mais números nebulosos. Alguns métodos podem ser encontrados em [16] e, nesse trabalho, escolhemos uma função qu transforma um número nebuloso em um clássico usando operações clássicas usuais e/ou combinando os valores modais e limitantes do número nebuloso. Esse método é chamado função de ordenação. Definição 4 Os seguintes critérios foram definidos por Kaufmann e Gupta [11]. 1. Primeiro Critério: Seja ã = (m, α, β) LR. O número real que representa o número nebuloso ã é dado por ă = m + 1 (β α). 4 É dito que ã é menor que b, e é descrito por ã < f b, qando ă < b. 2. Segundo Critério: Nesse critério, é usado um valor modal. Seja ã = (m 1, α 1, β 1 ) LR e b = (m 2, α 2, β 2 ) LR tal que ă = b. É dito que ã < f b quando m 1 < m 2. De forma similar, é definido a relação de ordem ã > f b. O primeiro critério de comparação é linear, isto é, se ã = b + k c, então ă = b + k c, k R. Esse critério pode ser visto como uma função de ordenação linear R : F (R) R. Até agora, usamos somente números nebulosos com um único valor modal, mas essa função pode ser aplicada a números nebulosos com um intervalo de valores modais. Uma generalização de seu uso pode ser descrito como: R(ã) = 1 2 (ml + m U ) + 1 (β α), 4 sendo que ã = (m L, m U, α, β) LR e F (R) descrevem o conjunto de números nebulosos. Se o número nebuloso tem um único valor modal, então m L = m U e a mesma função mostrada no primeiro critério é usada.

4 A. dual com f. de ordenação para resolver p.de programação quadrática em ambiente nebuloso Programação quadrática nebulosa Programação quadrática é um conjunto de problemas de otimização que, na sua formulação, o objetivo é descrito por uma função quadrática e o conjunto de resprições é construído a partir de funções lineares. Por um lado, esse conjunto de problemas pode ser definido com uma generalização dos problemas de otimização linear, mas por outro lado ele pode ser visto como uma classe especial de problemas de otimização não-linear Esse tipo de problema pode ser formulado da seguinte maneira: min c t x xt Qx s.a Ax b x 0. (2) sendo c um vetor n-dimensional com componentes de números reais, b um vetor m-dimensional com componentes de números reais, A uma matriz m n com componentes de números reais, e Q uma matriz simétrica n n com componentes de números reais. Nos dias atuais, programação matemática nebulosa é considerada uma importante área em otimização. Consequentemente, Problema (2) pode ser escrito como um problema de programação quadrática com coeficientes nebulosos e relação de ordem incerta no conjunto de restrições da seguinte maneira: min c t x xt Qx s.t. Ãx b x 0. sendo que o símbolo representa a incerteza nos dados, relação de ordem e variáveis de decisão. Entertanto, o foco desse trabalho está em tratar a incerteza presente nos coeficientes e na relação de ordem no conjunto de restrições. Como a função de ordenação é linear, então podemos aplicá-la no conjunto de restrições. Se os dados incertos aparecem somente no coeficientes, poderíamos transformar o problema de otimização sob ambiente nebuloso em um problema de programação quadrático clássico e usar alguma técnica convencional para resolvê-lo. Contudo, esse problema também tem incerteza na relação de ordem. Logo, podemos incorporar a metologia proposta em [20] junto com uma função linear de ordenação. Assim, Problema (3) pode ser reformulado como min c t x xt Qx s.t. R(Ã)x R( b) x 0. ( 1 sendo R(ã ij ) = 2 (al ij + a U ij) + 1 ) ( 1 4 (α ij β ij ) e R( b j ) = 2 (bl j + b U j ) + 1 ) 4 (σ j γ j ). Levando em consideração que a função de ordenação é linear o valor obtido R(Ã)x é igual ao valor obtido por R(Ãx). (3) (4) 3 Programação quadrática sob ambiente nebuloso De acordo com [19], podemos transformar um problema de programação quadrática com relação de ordem incerta no conjunto de restrições em um problema de programação quadrática clássica. Nesse caso, o parâmetro é um nível de α-corte que pertence ao intervalo (0,1]. Esse α é o valor da imagem do função de pertinência µ i : R (0, 1], i I, sendo I o conjunto que contendo a quantidade de funções de pertinência. É calro que cada função de pertinência, que corresponde cada restrição, terá um nível de satisfação para cada x R n. Quando o grau da função de pertinência é igual a 1, a restrição não tem nenhuma violação. Ademais, esse grau decresce até 0 quando a violação cresce até a máxima tolerância permitida.

5 990 Ricardo C. Silva Logo, essas funções de pertinência podem ser formuladas como segue 1, R(Ã i )x b i µ i (x) = 1 R(Ã i )x b i, b i < R(Ã i )x b i + p i p i 0, R(Ã i )x > b i + p i No intuito de resolver esse problema, um conjunto, que combina todas as restrições nebulosas, é definida. É obvio que α (0, 1], cada α-corte transforma o conjunto de rstrições nebulosas em um conjunto paraétrico clássico X(α) = {x R n /µ X (x) α} sendo x R n, Sempre que α (0, 1], µ X (x) = inf µ i (x), i I X(α) = j J{x R n /R(Ã J )x r j (α), x 0, x R n } sendo J o número de restrições do problema e com r j (α) = R(b j ) + d j (1 α), a solução do Problema (4) pode ser encontrado, α-corte por α-corte, quando o seguinte problema de programação quadráica paramétrica é formulado como: min c t x xt Qx s.t. R(Ã j )x r j (α) x 0, α (0, 1], j J. Logo, um problema de programação quadrática nebuloso pode ser parametrizada e, portanto, um problema de otimização nebuloso dual pode também ser parametrizado. De acordo com a teoria de dualidade em otimização, um problema de otimização primal restrito pode ser transformado em um problema dual irrestrito, que é chamado de dualidade langrangiana. No momento que a dualidade lagrangiana é aplicada no Problema (5), obtemos L(x, λ) = c t x + 1 ( ) 2 xt Qx + λ t R(Ã)x r(α). sendo que as componentes do vetor λ, que pertencem a R m, são chamados de multiplicadores de Lagrange e cada uma dessas posições é fortemente associada a uma função de restrição do problema primal. A função lagrangiana dual é definida como o valor mínimo da lagrangiana sobre o vetor de variáveis x. Assim, temos φ(λ) = min x R n L(x, λ) ) = min x R n c t x xt Qx + λ (R(Ã)x t r(α) ) Aplicando x L(x, λ) = 0, otemos o valor mínimo para x = Q (R(Ã) 1 t λ + c e substituindo esse valor na equação acima, temos φ(λ) = min λ 0 c t ( Q 1 ( B t λ + c )) ( Q 1 ( B t λ + c )) t Q ( Q 1 ( B t λ + c )) + +λ t ( B ( Q 1 ( B t λ + c )) r(α) ) = min λ 0 ( λ t B + c t) Q 1 ( B t λ + c ) ( λ t B + c t) Q 1 ( B t λ + c ) λ t r(α) = min λ 0 1 2( λ t B + c t) Q 1 ( B t λ + c ) λ t r(α) (5)

6 A. dual com f. de ordenação para resolver p.de programação quadrática em ambiente nebuloso 991 sendo B = R(Ã) e r(α) = R( b) + d(1 α). Portanto, o problema quadrático dual paramétrico é dado por: ) ( ) max φ(λ) = 1 2 (λ t R(Ã) + c t Q 1 R(Ã) t λ + c λ t (R( b) + d(1 α)) λ 0, α (0, 1]. A ideia principal da abordagem dual proposta aqui é usar um problema paramétrico para obter um conjunto de soluções satisfatórias, que é formado por diferentes valores de α, e então podemos usar o teorema da representação para compor todas as soluções do conjunto formando assim uma solução nebulosa como segue abaixo S = (1 α)s(α), α Assim, podemos mostrar que as soluções viáveis são encontradas pela abordagem paramétrica. Ela determina uma solução ótima nebulosa S que resolve o problema de otimização nebuloso original. 4 Exemplos numérico Nessa seção, dois exemplos numéricos simples são apresentados, os quais ilustram ambas as formulações primal e dual dos problemas de programação quadrática nebuloso. Example 1. Considere o seguinte problema quadrático nebuloso em sua forma primal. max f(x) = 9 8x 1 6x 2 4x 3 + 2x 2 1+ (6) +2x x x 1 x 2 + 2x 1 x 3 s.t. 1x 1 + 1x 2 + 2x 3 3, (7) x i 0, i = 1, 2, sendo a função objetivo formada pela matriz simétrica Q = 2 4 0, o vetor de custos c = e um termo independente igual a 9, enquanto o conjunto de restrições é formado pela matriz de coeficientes A = ( ), e o vetor de termos independentes b = 3. Os números nebulosos são definidos como 1 = (1, 1, 2) LR, 2 = (2, 2, 1) LR e 3 = (3, 2, 3) LR. Determinando a violação máxima permitida das restrições nebulosas, d, igual a 0,3, podemos reescrever o Problema (7) como um problema paramétrico equivalente da forma: max 9 8x 1 6x 2 4x 3 + 2x x x x 1 x 2 + 2x 1 x 3 s.t. R( 1)x 1 + R( 1)x 2 + R( 2)x 3 R( 3) + 0.3(1 α), (8) x i 0, i = 1, 2, 3 Aplicando a função de ordenação, descrita na seção 2, obtemos um problema de programação quadrática paramétrica, e o resolvendo para cada valor de α descrito na Tabela 1 podemos observar que os valores da função objetivo do enfoque primal e dual são os mesmos. Example 2. Considere o seguinte problema quadrático nebuloso na forma primal, descrito em [6], com incerteza no conjunto de restrições como segue: max 2x 1 + x 2 + 4x x 1 x 2 + 2x 2 s.t. 4x 1 + 5x x 1 + 4x 2 20 (9) 1x 1 + 1x 2 30 x 0,

7 992 Ricardo C. Silva Tabela 1. Soluções primal e dual para o primeiro exemplo. α x Valor Valor 1 x 2 x 3 α λ Primal Dual 0,0 1,4231 0,6707 0,2472 0,2259 0,0 0,3765 0,2259 0,1 1,4338 0,6625 0,2284 0,2373 0,1 0,3859 0,2373 0,2 1,4445 0,6542 0,2095 0,2490 0,2 0,3953 0,2490 0,3 1,4553 0,6459 0,1906 0,2610 0,3 0,4047 0,2610 0,4 1,4659 0,6377 0,1718 0,2733 0,4 0,4141 0,2733 0,5 1,4764 0,6294 0,1529 0,2859 0,5 0,4235 0,2859 0,6 1,4870 0,6212 0,1341 0,2987 0,6 0,4329 0,2987 0,7 1,4976 0,6130 0,1153 0,3119 0,7 0,4424 0,3119 0,8 1,5082 0,6047 0,0965 0,3253 0,8 0,4518 0,3253 0,9 1,5188 0,5965 0,0777 0,3390 0,9 0,4612 0,3390 1,0 1,5294 0,5883 0,0588 0,3529 1,0 0,4706 0,3529 sendo que os números nebulosos são definidos como 1 = (1, 1, 2) LR, 4 = (4, 2, 2) LR, 5 = (5, 2, 3) LR, 20 = (20, 10, 15) LR e 30 = (30, 20, 10) LR, e a tolerância máxima permitida para cada restrição é dada pelo vetor d = (2, 1, 3) t. Logo, o Problema (9) pode ser reformulado como um problema de programação quadrática da seguinte maneira: max 2x 1 + x 2 + 4x x 1 x 2 + 2x 2 s.t. R( 4)x 1 + R( 5)x 2 R( 20) + 2(1 α) R( 5)x 1 + R( 4)x 2 R( 20) + (1 α) (10) R( 1)x 1 + R( 1)x 2 R( 30) + 3(1 α) x 0, α (0, 1] ( ) ( ) sendo que a matriz simétrica Q =, o vetor de custos c =, a matriz de coeficientes A = 5 4, e o vetor de termos independentes b = 20. Aplicando a mesma função de ordenação obtemos um problema de programação quadrático paramétrico, e o resolvendo para cada valor de α descrito na tabela 2 podemos ver que os valores de função objetivo são os mesmos. Tabela 2. Soluções primal e dual para o segundo exemplo. Valor valor α x 1 x 2 α λ Primal Dual 0,0 0,5509 3, ,5278 0,0 4, ,5278 0,1 0,5555 3, ,9562 0,1 4, ,9562 0,2 0,5600 3, ,3870 0,2 4, ,3870 0,3 0,5645 3, ,8202 0,3 4, ,8202 0,4 0,5691 3, ,2558 0,4 4, ,2558 0,5 0,5736 3, ,6939 0,5 4, ,6939 0,6 0,5781 3, ,1343 0,6 4, ,1343 0,7 0,5826 3, ,5772 0,7 4, ,5772 0,8 0,5872 3, ,0225 0,8 4, ,0225 0,9 0,5917 3, ,4702 0,9 4, ,4702 1,0 0,5962 3, ,9203 1,0 4, ,9203

8 A. dual com f. de ordenação para resolver p.de programação quadrática em ambiente nebuloso 993 Os exemplos numéricos ilustrados nesse trabalho são simples, mas eles ajudam a mostrar a eficiência e as operações realizadas passo a passo na abordagem dual proposta. Um outro ponto principal importante a ser observado está no fato da solução obtida, pela abordagem dual proposta, para cada valor de α-corte é igual a solução obtida pela abordagem primal descrita em [5]. Em resumo, a abordagem proposta constrói um problema quarático nebuloso dual equivalente a partir do problema quadrático nebulosos primal. Ademais, é possível mostrar que não existe brecha de dualidade nesses exemplos numéricos. 5 Conclusão Uma nova abordagem dual para resolver problemas de programação quadrática em ambiente nebuloso foi apresentada nesse trabalho. Especificamente, a incerteza está presente nos coeficientes e na relação de ordem no conjunto de restrições. A abordagem dual proposta transforma o problema quadrático nebuloso em um problema quadrático paramétrico para cada α-corte. A solução obtida para cada problema paramétrico compõe uma solução nebulosa. No intuito de validar e mostrar a eficiência dessa abordagem proposta, dois exemplos numéricos teóricos simples são resolvidos. Além disso, as solução nebulosa obtida pela abordagem dual é igual a solução nebulosa obtida resolvendo o problema primal. Os resultados nesse trabalho favorecem a continuação de estudos em otimização nebulosa, com a meta em resolver problemas do mundo real de larga escala. Como parte de trabalhos futuros, a meta é comparar a abordagem dual proposta com outros métodos da literatura. Devido à falta de trabalhos nesse tópico de otimização dual, uma outra meta é a aplicação dessa abordagem dual para resolver ambos os problemas de otimização linear e não-linear nebulosos. Agradecimento Os autores agradecem ao apoio financeiro da FAPESP (projeto regular 2010/ ). Referências 1. C. R. Bector and S. Chandra, Fuzzy mathematical programming and fuzzy matrix games, ser. Studies in Fuzziness and Soft Computing. Berlin: Springer, 2005, vol R. E. Bellman and L. A. Zadeh, Decision-marking in a fuzzy environment, Management Science, vol. 17, no. 4, pp. B141 B164, J. M. Cadenas and J. L. Verdegay, Using ranking functions in multiobjective fuzzy linear programming, Fuzzy Sets and Systems, vol. 111, 47 53, L. Campos and J. L. Verdegay, Linear programming problems and ranking of fuzzy numbers, vol. 32, 1 11, C. Cruz, R. C. Silva and J. L. Verdegay. Extending and relating different approaches for solving fuzzy quadratic problems. Fuzzy Optimization and Decision Making, vol. 10, , C. Cruz, R. C. Silva, J. L. Verdegay, and A. Yamakami, A survey of fuzzy quadratic programming, Recent Patent on Computer Science, vol. 1, no. 3, pp., M. Delgado, J. L. Kacprzyk, J. L. Verdegay, and M. A. Vila (eds), Fuzzy optimization: recent advances, Physica-Verlag, New York, D. Dubois and H. Prade, Fuzzy sets and systems: Theory and Application, Academic Press, San Diego, M. Ghatee and S. M. Hashemi, Ranking function-based solutions of fully fuzzified minimal cost flow problem, Information Sciences, vol. 177, , P. Gupta and M. K. Mehlawat, Bector-Chandra type duality in fuzzy linear programming with exponential membership function, Fuzzy Sets and Systems, vol. 160, , A. Kaufmann, M.M. Gupta, Fuzzy Mathematical Models in Engineering and Management Science, North Holland, Amsterdam, M. Inuiguchi, J. Ramik, T. Tanino, and M. Vlach, Satisficing solutions a duality in interval and fuzzy linear programming, Fuzzy Sets and Systems, vol. 135, pp , Y. J. Lai and C. L. Hwang, Fuzzy mathematical programming: methods and applications, Vol. 394 of ser. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Berlin: Springer, N. Mahdavi-Amiri and S. H. Nasseri, Duality results and a dual simplex method for linear programming problems with trapezoidal fuzzy variables, Fuzzy Sets and Systems, vol. 158, , C. V. Negoita and D. A. Ralescu, Applications of fuzzy sets to systems analysis, Birkauser Springer, Stuttgard,Germany, 1975.

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