Considerações sobre os efeitos locais de 2ª ordem

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1 Considerações sobre os efeitos locais de 2ª ordem Tarcísio José Marques de Souza (1) (1) Engenheiro Civil pela UFBA, Mestre em Engenharia pela PUCRio, Professor Titular da UNIFACS e Engenheiro da Telefonica Celular [email protected] Rua das Acácias, n. 9, Pituba Salvador Bahia Resumo Apresentamse os resultados de estudos paramétricos de colunas de concreto armado realizados com dois modelos computacionais em análise física e geometricamente não linear, utilizando as recomendações da NB1/78 e da nova NB1, respectivamente. Versões anteriores destes estudos foram enviadas à comissão revisora da NB1 que considerou os resultados apresentados na elaboração da nova norma. O primeiro aspecto abordado trata da fixação do índice de esbeltez limite, λ 1, das colunas de concreto armado. Nos estudos relatados, foram analisadas 115 colunas, para 15 índices de esbeltez diferentes, 23 amplitudes de excentricidade, 4 taxas de armadura e 3 relações entre as excentricidades extremas. Como resultado, são sugeridas algumas expressões simples para o cálculo de λ 1, em função das excentricidades nos extremos da coluna. É feita uma comparação com as recomendações de outras normas e as propostas de outros estudos, e em especial com a nova NB1. O segundo aspecto abordado trata do cálculo da excentricidade equivalente das colunas com excentricidades quaisquer nos extremos. Neste estudo, foram analisadas 9 colunas, para 3 índices de esbeltez diferentes, 3 amplitudes de excentricidade e duas taxas de armadura. Como resultado, concluise que a fórmula de cálculo do fator α b adotada pela nova NB1, e por outras normas, é precisa, e que o limite inferior de,4 usado na nova NB1 pode ser desconsiderado em várias situações de projeto. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 1

2 1 Introdução 1.1 A dispensa da consideração dos efeitos de segunda ordem locais Tradicionalmente, a avaliação da importância dos efeitos de segunda ordem locais nas colunas é feita com base no índice de esbeltez λ, relação entre o comprimento de flambagem e o raio de giração da seção de concreto da coluna. É normalmente estabelecido nas normas um valor limite para λ, aqui chamado de λ 1, a partir do qual os efeitos de segunda ordem locais precisam ser considerados. As normas, em geral, estabelecem o valor de λ 1 em função da redução da capacidade resistente da coluna no estado limite último, quando comparada com a capacidade resistente obtida de acordo com a teoria de primeira ordem. O valor dessa redução é definido arbitrariamente, não devendo ser superior a 5% no ACI/95 (1995) ou a 1% no CEB/9 (199). Os principais fatores que influenciam essa redução da capacidade resistente são: o índice de esbeltez, a taxa de armadura e a magnitude e forma do diagrama de momentos fletores de primeira ordem ao longo da coluna. A influência desses fatores sobre a resistência das colunas retangulares foi quantificada por Souza (1992), através de uma análise paramétrica de colunas isoladas, utilizando um programa computacional de pórticos planos de concreto armado (RCFRAME) desenvolvido por Krüger (1989). Os resultados obtidos permitiram a obtenção de equações para cálculo da redução da capacidade resistente das colunas sob flexocompressão reta. O fator de redução da capacidade portante da coluna r foi obtido como a razão entre P u2, força normal última da coluna considerandose os efeitos de segunda ordem, e P u1, força normal última da coluna desprezandose os efeitos de segunda ordem. As equações encontradas (Souza, 1992; Souza et al, 1994) são função da excentricidade relativa de primeira ordem aplicada aos nós da coluna e 1 /h, da taxa mecânica de armadura ω e do índice de esbeltez λ. Estas equações foram deduzidas para o caso das colunas isoladas, com excentricidades iguais e de mesmo sentido nos extremos (curvatura única), de seção retangular, com armaduras iguais e distribuídas ao longo de dois lados opostos. Para este caso, com base na primeira equação deduzida para o fator de redução da capacidade resistente r, pôdese então deduzir uma equação para a esbeltez limite das colunas de concreto armado, válida quando a excentricidade relativa de primeira ordem e 1 /h é menor que,6, admitindo uma perda máxima de 1% na capacidade resistente da coluna: λ 1 =.,6 (Equação 1.1) (,4,1.ω).(1 + 3.e 1 / h) onde ω é a taxa mecânica de armadura e e 1 /h é a excentricidade relativa de primeira ordem, de igual valor e sentido atuante nos extremos da coluna. Anteriormente, Santos (1991) apresentou uma tabela com valores propostos para λ 1, porém diferentes dos encontrados com a equação 1.1. Estas diferenças se devem ao fato de que o critério adotado por Santos para definir se uma coluna era esbelta ou não foi a máxima majoração dos momentos de primeira ordem ao longo da coluna, devido aos efeitos de segunda ordem, no caso limitada a 1%. O trabalho de Souza (1992) adotava o critério da redução da capacidade resistente sob flexocompressão reta, ou seja, redução do momento e da força normal resistente, concomitantemente, para um dado e 1 /h. A validade das equações deduzidas para as colunas com seção retangular e armaduras iguais e opostas foi feita para outros tipos de seção de forma indireta, pela comparação V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 2

3 dos resultados encontrados com as equações obtidas e as tabelas do CEB/78 (1978) (Souza et al, 1994). Estas comparações, para as seções retangulares com outras disposições de armaduras e para a seção circular, mostraram que as diferenças no valor de r são pequenas quando o índice de esbeltez da coluna esta próximo do índice de esbeltez limite. França (1994) apresentou equações simples e que serviram como base para a formulação das equações constantes na nova NB1 (NB1, 21). Posteriormente, Souza et al (1995 e 1998) apresentou trabalhos acrescentando aos anteriores, já citados, um estudo de casos de colunas com curvatura reversa e de grandes excentricidades relativas. Na totalidade, foram simuladas e analisadas 115 colunas, para 15 índices de esbeltez diferentes, 23 amplitudes de excentricidade, 4 taxas de armadura e 3 relações entre as excentricidades extremas. Sintetizando os resultados dos dois últimos trabalhos, para o caso das colunas com excentricidades iguais e de mesmo sentido, é apresentada a tabela 1.1 mostrando os valores de λ para se obter uma redução de 1% na capacidade resistente das colunas de seção retangular, com armaduras iguais e distribuídas ao longo de dois lados opostos. Colunas ρ (%) λ e 1 / h e 1 / h C12 C13 C14 C15 C16 27,5 3 32,5 34,45,,,2,9 1, 1,1 1,2 C17 C18 C19 C2 C21 37,5 7,75,15 Dados complementares: Concreto: C2 d`/h = Aço: CA B γ c = 1,4 γs = 1,15 V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 3 1,3 1, 2, 2, 6, Tabela 1.1 Valores de λ e 1 /h correspondentes a r igual a,9. Como resultado, e com base na tabela anterior, foram propostas as equações 1.2 a 1.5 que são simples e permitem a avaliação do valor de λ 1 para vários casos práticos. λ 1 = α.(42.e 1a /h) para e 1a /h,34 (Equação 1.2) λ 1 = α. para,34 < e 1a /h <,75 (Equação 1.3) λ 1 = α.( e 1a /h) para e 1a /h,75 (Equação 1.4) λ 1 8 (Equação 1.5) onde e 1a é a maior das excentricidades de primeira ordem existentes nos extremos da coluna. O coeficiente α leva em conta a influência da forma do diagrama de momentos de primeira ordem ao longo da coluna no valor de λ 1. O limite indicado na equação 1.5 é arbitrário e foi proposto procurandose limitar o índice de esbeltez máximo absoluto para a dispensa dos efeitos locais de segunda ordem. Para estudo do valor do coeficiente α foi utilizada uma metodologia de pesquisa semelhante à exposta anteriormente, ou seja, busca dos pontos de r igual a,9 (perda de 1% da capacidade resistente). A tabela 1.2 mostra os valores adotados para os

4 parâmetros e os correspondentes valores de r obtidos, além dos valores de λ 1 encontrados por interpolação. Colunas ρ (%) λ e 1a / h e 1b / e 1a r = P u2 / P u1 λ 1 1 1, ,73, ,,94, Dados complementares: Concreto: C2 d`/h = Aço: CA B γ c = 1,4 γs = 1,15 1, 1,,98,94,95 4,69, 1,,95 1,63 1, 1, 1,,95 > > Tabela 1.2 Descrição das colunas e Combinação dos parâmetros e valores de r e λ 1 encontrados. O valor de λ 1 para a razão e 1b /e 1a igual a 1 apresentou um problema de sensibilidade a imperfeições, já detectado por França (1994). Para uma redução de 1% da excentricidade e 1b ocorreu uma redução de,1% e 2,5% na capacidade resistente da coluna, para e 1a /h igual a e, respectivamente. Como a correta avaliação dos momentos fletores nas estruturas aporticadas de concreto armado só é possível de ser feita com programas de análise fisicamente não linear, de pouco uso prático, o caso de e 1b /e 1a igual a 1 foi desconsiderado. Com os dois pontos que restaram, e 1b /e 1a igual a 1 e a, foi possível obterse a equação linear do coeficiente α que estabelece a correlação entre a esbeltez limite λ 1 para e 1b /e 1a qualquer e o limite padrão λ 1 para e 1b /e 1a igual a 1, conforme mostrado nas equações 1.6 ou 1.7: e α = 1,,.e 1b /e 1a para e 1a /h = (Equação 1.6) α = 1,6,6.e 1b /e 1a para e 1a /h = (Equação 1.7) Para efeito prático, devese fixar a equação de α de acordo com a excentricidade mínima adotada no projeto das colunas. Na nova NB1 (NB1, 21), caso seja respeitado o momento mínimo de.h.n d teríamos e 1a /h no mínimo igual a 1,. Assim, podese adotar a equação 1.7. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 4

5 A nova NB1 na sua versão de 21 indica as seguintes equações para a avaliação do valor de λ 1 : λ 1 = + 12,5.e 1 /h (Equação 1.8) α b sendo: /α b λ 1 9 onde α b é descrito no item 1.2 deste trabalho. 1.2 A consideração dos efeitos de segunda ordem locais Nas colunas consideradas isoladamente, a excentricidade de segunda ordem varia ao longo da reta que liga os seus extremos, nestes se anulando. A figura 1.1 mostra a variação desta excentricidade para as colunas com curvatura única e reversa. Figura 1.1 Coluna com efeito de segunda ordem em curvatura única (e 1b /e 1a ) e reversa (e 1b /e 1a < ). A maioria dos procedimentos simplificados existentes para a consideração dos efeitos locais de segunda ordem nas colunas de concreto armado pertencentes aos pórticos são uma derivação dos procedimentos desenvolvidos para colunas ideais birotuladas, consideradas isoladamente, submetidas a momentos iniciais iguais e de mesmo sentido, que induzam uma deformada da coluna segundo uma curvatura única e que possuam nós fixos. Verificase pela figura 1.1 que para as colunas com curvatura única e excentricidades de primeira ordem iguais nos extremos, e 1a = e 1b, a excentricidade de primeira ordem, e 1, e a excentricidade de segunda ordem, e 2, são aditivas em todos os pontos ao longo da coluna. A determinação da seção crítica no dimensionamento é imediata e corresponde à seção do meio do vão, pois é onde se situa o ponto de máximo da soma de e 1 com e 2. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 5

6 Quando as colunas estão submetidas a excentricidades ou momentos desiguais nas duas extremidades, a curvatura da peça é diferente e a determinação da seção crítica deixa de ser imediata. Neste caso as normas geralmente utilizam a equação 1.9 originária das normas americanas de estruturas de aço. α b =,6 +,4 (e 1b /e 1a ),4 (Equação 1.9) Em estudos anteriores (Souza, 1992 e Souza et al, 1993) propõese que o limite inferior de,4 para o valor de α b poderia ser desconsiderado. Nestes estudos as colunas foram discretizadas com 6 elementos (funções cúbicas para deslocamentos transversais) para as simulações com excentricidades que provocassem uma deformada da coluna em curvatura única, ou seja, razões e 1b /e 1a iguais a 1,,,5 ou. Para as simulações com curvatura reversa, razões e 1b /e 1a iguais a,5 ou 1,, foi utilizada uma discretização com 14 elementos. A tabela 1.3 mostra as situações estudadas. Colunas ρ (%) λ e 1a / h e 1b / e 1a C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 C7 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,,3,,3,,3,,3,,3,,3, Dados complementares: Concreto: C2 d`/h = Aço: CA B γ c = 1,4 γs = 1,15 1,,5,,,5 e 1 1,,5,,,5 e 1 1,,5,,,5 e 1 1,,5,,,5 e 1 1,,5,,,5 e 1 1,,5,,,5 e 1 Tabela 1.3 Descrição das colunas C6 e C7 Combinação dos parâmetros. O valor de α b foi calculado com o procedimento que se descreve a seguir: Primeiramente, para cada coluna gerada pela combinação dos parâmetros ρ, e 1a /h, e 1b /e 1a e λ, conforme descrito na tabela 1.3, foram obtidas, com o programa RCFRAME, o valor carga última e a posição da seção transversal que atingiu primeiro um estado limite último, levandose em conta os efeitos de segunda ordem. Em seguida, realizouse, para a mesma coluna, uma série de análises de segunda ordem (simulações com o programa RCFRAME), procurandose, de forma iterativa, o valor da excentricidade de primeira ordem, constante ao longo da coluna, que levasse à mesma carga última da coluna analisada primeiramente, dentro de um erro máximo de,6%. O valor de α b, para comparação com a equação 1.9, pôde então ser calculado como a razão entre a excentricidade de primeira ordem da segunda análise e a excentricidade inicial máxima usada na primeira análise. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 6

7 Como a análise iterativa de segunda ordem requereu em média três tentativas, para se obter o resultado da análise primeiramente realizada, foram realizadas cerca de 4 simulações computacionais para cada uma das 9 colunas descritas na tabela 1.3. Na dissertação de Souza (1992) são mostrados vários gráficos que apresentam todos os valores calculados de α b, para cada uma das combinações de parâmetros mostradas na tabela 1.3. Quando a soma dos momentos de primeira e segunda ordem em cada seção intermediária é inferior ao maior momento no extremo da coluna, a seção crítica deixa de ser uma seção intermediária e passa a ser a seção extrema de maior momento inicial, não tendo sentido o cálculo de α b, já que as normas sempre recomendam verificar as colunas também para o máximo momento extremo. Para uma melhor visualização dos resultados obtidos no estudo paramétrico, apresentase na figura 1.2 apenas os valores de α b obtidos para seções críticas no vão das colunas analisadas, quando faz sentido o conceito de excentricidade equivalente de primeira ordem. Representase também a reta dada pela equação 1.9 sem o limite inferior de,4. A tabela 1.4 mostra que parâmetros foram considerados na construção das curvas que na figura 1.2 são representadas apenas pelos pontos onde a seção crítica foi uma seção intermediária. Curva λ 1 e 1a / h ,,3,,3,,3 Tabela 1.4 Descrição das colunas para cada curva Combinação dos parâmetros. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 7

8 1,,9,7 α b,6,5,4,3,2 1,5,5 1 e1b / e1a Curva 1 Curva 2 Curva 3 Curva 4 Curva 5 Curva 6 Curva 7 Curva 8 Curva 9 Equação 1.9 Figura 1.2 Resumo da comparação entre os valores calculados de α b e os valores dados pela equação 1.9. Da análise da figura 1.2 podese concluir que não se justifica a adoção de um limite inferior para o coeficiente α b. Cabe salientar que o CEB (199) também desconsidera o limite inferior de,4, bem como estudos efetuados com a simulação de perfis de aço de seção I e retangular, supondo comportamento inelástico em análises plana e espacial (Chen e Zhou, 1987), concluíram que a equação 1.9 tem boa precisão, e que o limite inferior de,4 para o valor de α b pode ser desconsiderado. As normas americanas do AISC de estruturas de aço já abandonaram este limite inferior nas suas versões LRFD de 1993 e ASD de Salmon e Johnson (1996), citando vários estudos sobre colunas metálicas, concluem que a adoção de um limite inferior de,4 na equação de α b é um procedimento muito conservador. O estudo aqui relatado para as colunas de concreto armado utilizou somente a análise plana. Podese, a princípio, admitir que nas simulações espaciais das colunas de concreto armado os resultados também sejam bons, já que estas possuem maior rigidez torsional que as colunas de aço. No trabalho apresentado por Souza (1992), a análise dos resultados também mostrou que a equação 1.9 tende a apresentar resultados crescentemente a favor da segurança à medida que se tornam mais importantes os efeitos de segunda ordem. A nova NB1 (NB1,21) adota também a equação 1.9 mantendo ainda o limite inferior de,4. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 8

9 2 Descrição dos modelos computacionais utilizados 2.1 1º Modelo RCFRAME Foi utilizado nos trabalho anteriores o programa de elementos finitos RCFRAME (Krüger, 1989; Dumont e Krüger, 1989), com formulação em deslocamentos, que permite a análise física e geometricamente não linear de pórticos planos de concreto armado. Na análise fisicamente não linear, foram utilizadas as relações tensãodeformação do concreto e do aço constantes na NB1/78, além de verificados os estados limites últimos desta norma. A tensão de pico do diagrama parábolaretângulo foi feita igual a 5.f cd tanto no cálculo das deformações como na verificação dos estados limites últimos. Maiores detalhes sobre o programa podem ser obtidos em Krüger (1989). Posteriormente, Souza (1992) apresentou um estudo de validação do programa através da comparação do programa com o resultado de vários ensaios de laboratório de vigas e de colunas º Modelo ESBELT 2 Neste trabalho se utilizou o modelo computacional ESBELT2 (Santos, 22), que é um programa comercial de dimensionamento e verificação de colunas de concreto armado que permite também a análise física e geometricamente não linear, através do método da analogia de Mohr. O programa inclui automaticamente os efeitos da imperfeição geométrica da coluna e os efeitos da fluência de acordo com a nova NB1. Diferentemente do RCFRAME, o ESBELT2 utiliza no cálculo das deformações a tensão de pico de 1,3.5.f cd, corrigindo assim a rigidez do concreto fornecida pelo diagrama parábolaretângulo. A fim de permitir o estudo isolado dos efeitos de segunda ordem com este modelo, como feito com o RCFRAME, foram retirados os efeitos da fluência e das imperfeições geométricas. O efeito da fluência foi retirado adotandose o carregamento quasepermanente e o coeficiente de fluência iguais a zero. As imperfeições geométricas foram retiradas abatendose da excentricidade em estudo o valor da excentricidade acidental, e a, calculada da seguinte forma: e a = L / (. L,5 ) (Equação 2.1) e a L / 3 (Equação 2.2) e a L / 2 (Equação 2.2) onde L é o comprimento da coluna em balanço, em metros. Este procedimento corresponde ao preconizado pela versão de 21 da nova NB1 e adotado internamente no programa. Para condução deste estudo, foi utilizada a opção Pilar D do programa (pilar engastado e livre) com imperfeição geométrica no nó. Maiores detalhes deste programa podem ser obtidos no site 3 Comparação entre os modelos computacionais A comparação entre os dois modelos computacionais anteriormente descritos permite se avaliar as diferenças nos valores da perda de capacidade resistente das colunas de V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 9

10 concreto armado com o índice de esbeltez igual a λ 1, tendo em vista a alteração das hipóteses adotadas na versão atual da NB1 no que se refere à rigidez do concreto comprimido para efeito de cálculo das deformações, quando comparada com a versão de 1978 da mesma norma. Foram escolhidas as situações das colunas descritas na tabela 1.1 que serviram de base para a obtenção das equações 1.2 a 1.4. A figura 3.1 a seguir descreve as características das colunas analisadas neste estudo. 3 Md 14 h = Dados de Projeto das Colunas Resistência à compressão = 2 MPa Concreto Resistência à tração = MPa γ c = 1,4 Aço Tensão de início de escoamento = MPa Tipo: A; γ s = 1,15; d` =,15 Figura 3.1 Seção transversal e características das colunas estudadas. Cabe salientar que nos estudos anteriores com o RCFRAME foi utilizada a curva tensãodeformação dos aços CA tipo B, diferentemente deste estudo que utiliza a curva dos aços CA tipo A. A tabela 3.1 mostra os dados de entrada nas simulações e os resultados obtidos com o ESBELT2, mantendose a mesma nomenclatura já definida. Mostrase também os valores de r obtidos com o RCFRAME para cada um dos casos. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 1

11 λ L (engliv) ESBELT2 RCFRAME (cm) e 1a / h e 1a (m) e (m) P u1 P u2 r = P u2 / P u1 r = P u2 / P u1 72,17 27,5 79,39,4,9, ,918, ,6,3,7, ,94,97 32,5 93,82,,, ,15,2,, ,9,9 37,5 18,,2, ,917,93 115,47,75,15, , ,34,15,3, ,99, ,7 288,68 72,17,16, ,9,96 27,5 79,39,9,18, , ,6 1,,2, ,5 93,82 1,,22, , ,15 1,2,2, ,95 37,5 18, 1,3,26, ,94 115,47 1,,3, ,92 144,34 2,,, , ,7 2,,, , ,68 6, 1,2 1, ,99,99 Observação: Valores de P u em KN. Tabela 3.1 Descrição das colunas estudadas na comparação dos modelos RCFRAME e ESBELT2. A figura 3.2 abaixo mostra a variação da diferença no valor de r obtida com o uso dos dois modelos computacionais em função da excentricidade relativa de primeira ordem, e 1 /h. 6,% Razão Pu (ESBELT2) / Pu (RCFRAME 4,% 2,%,% 2,% 4,%,15,75,2,,3,4,9 1, 1,1 1,2 1,3 1, 2, 2, 6, 6,% e 1 / h Figura 3.2 Diferença percentual ESBELT2 / RCFRAME em função da excentricidade relativa de primeira ordem e 1 /h. Os resultados da comparação acima indicam que apesar das diferenças entre os dois modelos em termos de: método de obtenção da deformada de segunda ordem da peça, critérios de rigidez do concreto comprimido e do tipo do aço (A ou B), entre outras, as V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 11

12 diferenças na perda da capacidade resistente r são muito pequenas, para os casos dos pequenos efeitos da esbeltez estudados (r igual a ~,9). Podese concluir que os resultados obtidos nos estudos anteriores que utilizaram o RCFRAME são comparáveis com aqueles que seriam obtidos com o ESBELT2 que utiliza as hipóteses da nova NB1, validandose assim as conclusões obtidas nos trabalhos anteriores para as hipóteses desta nova norma. 4 Comparação entre valores de λ Para o caso de e 1b = e 1a A figura 4.1 a seguir mostra uma comparação dos valores de λ 1 constantes na tabela 1.1 (pontos levantados em Souza, 1995), com os obtidos com as equações propostas por França (1994) e por Souza et al (1995 e 1998), além daqueles encontrados com equações da NB1 (21), para o caso das colunas com excentricidades iguais e de mesmo sentido. Foram desconsiderados neste gráfico os limites superiores e inferiores indicados nas fontes. 12 λ ,15,75,2,,3,4,9 1, 1, 1,2 1,3 1, 2, 2, 6, e1 e 1 / h Souza (1995) NB1 (21) Equações propostas (Souza, 1995) França (1994) Figura 4.1 Valores de λ 1 em função da e 1 /h, desconsiderandose os limites inferiores das equações. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 12

13 A figura 4.2 a seguir mostra a mesma comparação anterior, porém levandose em conta os limites fixados nas respectivas referências. 12 λ ,15,75,2,,3,4,9 1, 1, 1,2 1,3 1, 2, 2, 6, e1 e 1 / / h h Souza (1995) NB1 (21) Equações propostas (Souza, 1995) França (1994) Figura 4.2 Valores de λ 1 em função da e 1 /h, considerandose os limites inferiores das equações. Podese observar que as maiores diferenças entre os valores das referências estudadas se encontra na região de e 1 /h igual. As simulações feitas com os programas RCFRAME e ESBELTE2, indicariam um valor de λ 1 da ordem de enquanto que a NB 1 (21) indica um valor igual a, correspondente ao mínimo valor indicado por esta norma para o índice de esbeltez limite λ 1. Esta é a região de excentricidades relativas onde o método da NB1 leva a resultados mais desfavoráveis em relação à segurança. Por outro lado, para excentricidades relativas menores que,14 o método da NB1 leva a valores mais conservadores. Souza (1992) efetuou um estudo da variação da redução da capacidade resistente de uma coluna com λ 1 igual a 34, pois corresponderia a um ponto interessante de 85% do limite da antiga NB1 de 1978 que adotava λ 1 igual a. Esta coluna possuía as mesmas características descritas na figura 3.1, porém com a consideração do aço CA B. Os resultados deste estudo são mostrados na figura 4.3 a seguir. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 13

14 ,96,94,92, ,78,,,1,2, r = Pu2 / Pu1,3,3,,,6 1, e1 / h Figura 4.3 Variação da perda de capacidade resistente r igual a P u2 /P u1 em função da e 1 /h, para coluna com λ igual a 34. O menor valor encontrado para r foi de 433 para uma excentricidade relativa de primeira ordem, e 1 /h, de,6, correspondendo a uma redução de 15,7% da capacidade portante da coluna. Assim, admitindose, de forma simplificada, que o coeficiente de majoração das ações aplicado a esta coluna possa ser feito igual a 1,4 teríamos efetivamente um coeficiente de segurança em relação às ações de 1,18. Esta redução da segurança das colunas das construções reais e suas implicações sobre a segurança da estrutura deve ser quantificada tendo em conta: a vinculação nodal da coluna com a estrutura, o critério usado na avaliação do comprimento teórico da coluna, a capacidade dos elementos horizontais em redistribuir o carregamento e as hipóteses adotadas sobre a inércia das peças que compõe a estrutura. Todas estas variáveis fogem do escopo deste trabalho, mas certamente podem ser consideradas no momento da adoção de um valor para o índice de esbeltez limite, mesmo que de forma qualitativa. 4.2 Para o caso de e 1b e 1a A figura 4.4 a seguir mostra uma comparação dos valores do coeficiente α, que majora o valor de λ 1 para e 1b = e 1a de modo a se obter o valor de λ 1 para uma relação qualquer de e 1b /e 1a. São mostrados os pontos apresentados na tabela 1.2, os resultados encontrados com a equação 1.7 (Souza et al, 1995 e 1998), a equação proposta por França (1994), além dos valores encontrados com equações da NB1 (21), para o caso das colunas com relação entre as excentricidades de primeira ordem nos extremos variando de 1 a 1. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 14

15 3, α 2, 2, 1, 1,,, 1,,75,,, e1b e / ee1a,, Equação 1.7 França (1994) NB1 (21) Tabela 1.2 Coluna,75 1, Figura 4.4 Valores de α para e 1b /e 1a qualquer, considerandose e 1a /h maior ou igual a. Podese observar que a nova NB1 considera um ganho maior de capacidade portante devido à curvatura reversa do que os dois estudos utilizados para comparação. Na determinação das equações 1.6 e 1.7 propostas se levou em conta o ponto de e 1b / e 1a igual a 1, devido aos problemas de sensibilidade às imperfeições já relatados neste trabalho. A postura da NB1 (21) segue aproximadamente os resultados da tabela 1.2, sem a desconsideração do ponto de e 1b /e 1a igual a 1. Como o comportamento da coluna considerada isoladamente difere do comportamento da coluna integralizada ao pórtico, caberia um estudo mais completo das colunas considerandoas em conjunto com os pórticos. Este estudo poderá ajudar a definir se as redistribuições e restrições nodais são capazes de restabelecer a resistência da coluna, eliminando o problema da sensibilidade às imperfeições para a relação entre as excentricidades igual a Comparação dos valores propostos para λ 1 com normas e estudos A comparação dos valores propostos para λ 1 com normas e estudos é feita, de forma simplificada, na tabela 4.1, considerando sempre que o comprimento de flambagem seja o mesmo. Isto leva a algumas discrepâncias, pois certas normas permitem reduzir o comprimento de flambagem das colunas pertencentes a pórticos de nós fixos, para até cerca de 75% do comprimento livre (BS811, 1985). Nas equações propostas foi adotado e 1a /h igual a e (Souza et al, 1995 e 1998), porém sendo α calculado sempre pela equação 1.7 em função da relação e 1b /e 1a, tendo em vista o momento mínimo recomendado pela nova NB1. Os grifos na tabela 4.1 correspondem aos maiores valores encontrados para λ 1 em cada situação estudada. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 15

16 Método e 1b / e 1a = 1, e 1b / e 1a =,5 e 1b / e 1a = e 1b / e 1a =,5 e 1b / e 1a = 1, e 1a / h e 1a / h e 1a / h e 1a / h e 1a / h e 1a / h e 1a / h e 1a / h e 1a / h e 1a / h = = = = = = = = = = NB1 (21) NB1/78 (1978) CEB/9 2 (199) EuroCode 2 (1989) ACI318 (1995) BS811 3 (1985) MacGregor 4 (1993) a) 13 b) , , , , Santos (1991) Souza 5 (1992) França 6 (1994) Souza et al (1995 e 1998) 12,5 37,3 3 39,5 14,6, ,8 37,5 46,4 41,2 37,5 43,5 33,6, ,3 39,2 47, ,9,5 6,2 53,5,5 56, ,4 6 67, ,7 6 62,9 Observações: 1 Recomenda excentricidade mínima de h / 1 2 Equação para ν maior que,39 3 Para o caso de colunas pertencentes a pórticos de nós fixos 4 a) Pórticos indeslocáveis b) Pórticos deslocáveis 5 Para α dado pela equação 1.7 e ω igual a, Recomenda excentricidade mínima de h / 1 Tabela 4.1 Comparação entre diversas normas e propostas para valores de λ 1. Os valores mostrados na tabela 4.1 indicam que para os valores da relação e 1b / e 1a maiores ou iguais a zero os valores de λ 1 recomendados pela NB1 são os maiores, entre as referências pesquisadas. Esta conclusão concorda com os comentários já feitos no item 4.2 deste trabalho, quando da comparação dos resultados obtidos com as expressões da NB1 (21) com os estudos tomados como referência. 5 Considerações finais Este trabalho analisou alguns aspectos da avaliação dos efeitos locais de segunda ordem no projeto das colunas usuais pelos métodos simplificados vigentes. As análises e conclusões que são feitas ao longo do texto mostram que a NB1 (21) apresenta, nos aspectos analisados, várias concordâncias com os resultados e análises efetuadas, porém, também apresenta algumas divergências. Na fixação do índice de esbeltez limite λ 1 os valores propostos pela nova NB1 tendem para o lado contrário à segurança em relação aos estudos apresentados e a outras normas estrangeiras. Em relação aos estudos aqui sumarizados, isto ocorre quando os valores da excentricidade relativa de primeira ordem, e 1 /h, estão entre,2 a 1,2. Por outro lado, os valores de λ 1 propostos pela nova NB1 tendem a ser mais conservadores que os valores propostos para valores da excentricidade relativa inferiores a,14, freqüentes em edifícios residenciais. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 16

17 A adoção de um limite inferior igual a,4 para o coeficiente α b feito pela NB1 não se mostrou justificável para as colunas birotuladas sem cargas horizontais ao longo do vão, quando se deseja efetuar uma avaliação da excentricidade equivalente das colunas com relações quaisquer entre as excentricidades nodais para as situações de projeto. A utilização do coeficiente α b também para avaliação da esbeltez limite, obriga à utilização do limite inferior de,4, visando limitar a consideração excessivamente otimista, em termos de capacidade resistente, das colunas com curvatura reversa. As considerações feitas neste trabalho mostram que novos estudos precisam ser desenvolvidos buscandose esclarecer as dúvidas e diferenças levantadas. 6 Agradecimentos O autor agradece ao Professor Lauro Modesto dos Santos pelo apoio no entendimento da modelagem feita internamente pelo programa ESBELT2. 7 Referências ACI318 (1995), Building code requirements for reinforced concrete, American Concrete Institute, Detroit; BS811 (1985), Structural use of concrete, Part 1. Code of pratice for design and construction, British Standards Institution, UK; CEB (1978), Manual of buckling and instability, Buletin d information N. 123, CEB, UK; CEB FIP Model Code 199 Final draft, Bulletin d information N. 23, 24 e 25, Comité EuroInternational du Béton, Paris; Chen, W. F. e Zhou, S. (1987), Cm factor in load and resistance factor design, Journal of Strutural Engineering, ASCE, Vol. 113, N. 8, pp ; Dumont, N. A. e Krüger, S. D. (1989), Um método numérico eficiente para a resolução de problemas altamente não lineares, anais do X Congresso Brasileiro de Engenharia Mecânica, Vol 2, pp 7377, Rio de Janeiro; EuroCode 2 (1992), Design of concrete structures, Part 1 General Rules for Buildings, British Standards Institution, UK; França, R. L. S. (1994), Estudo dos efeitos da esbeltez, segundo o conceito do pilar padrão melhorado, Correspondência particular ao primeiro autor, não publicado, São Paulo (Este trabalho foi posteriormente apresentado no Seminário sobre nãolinearidade física e geométrica das estruturas de concreto do IBRACON, realizado em 1995); Krüger, S. D. (1989), Uma metodologia para análise de pórticos planos de concreto armado sujeitos a grandes deslocamentos, Dissertação de Mestrado, PUC/RJ, RJ; MacGregor, J. G. (1984), The structural design process for concrete structures a look to the future, em Conceitos modernos sobre estruturas de concreto armado, CA1/84, Vol. 1, PUC/RJ, RJ; MacGregor, J. G. (1988), Reinforced Concrete Mechanics and Design, Prentice Hall, New Jersey; MacGregor, J. G. (1993), Design of slender concrete columns Revisited, ACI Structural Journal, vol. 9, n. 3, pp. 3239, Detroit; NBR6118 (1978), Projeto e execução de obras de concreto armado, Associação Brasileira de normas Técnicas, RJ; Salmon, C. G. e JOHNSON, J. E. (1996), Steel structures Design and behavior, Harper e Row, publishers Inc., 4ª edição, New York; Santos, L. M. (1991), Analysis of section 6.6 of the CEBFIP Model Code 199, Colloquium on the CEBFIP MC9, pp , UFRJ, RJ; Santos, L. M. (22), ESBELT2, Verificação de pilares esbeltos de concreto armado, SP; V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 17

18 Souza, T. J. M. (1992), Consideração da nãolinearidade física e geométrica em estruturas lineares de concreto armado, Dissertação de Mestrado, PUC/RJ, RJ; Souza, T. J. M, Guimarães, G. B., Dumont, N. A. (1993), O cálculo da excentricidade equivalente de colunas birotuladas com excentricidades quaisquer nas extremidades, XXVI Jornadas Sudamericanas de Engenharia Estrutural, Montevidéu, Uruguai, vol. 2, pp ; Souza, T. J. M, Guimarães, G. B., Dumont, N. A. (1994), Determinação da esbeltez limite de pilares de concreto armado, 36a REIBRAC, vol. 2, pp , PUC/RGS, P. Alegre; Souza, T. J. M, Guimarães, G. B., Dumont, N. A. (1995), Sobre a determinação do indice de esbeltez limite de colunas de concreto armado, XXVII Jornadas Sudamericanas de Ingeniería Estructural, vol. 6, pp. 44, Tucumán, Argetina; Souza, T. J. M, Guimarães, G. B., Dumont, N. A. (1998), Índice de esbeltez limite em colunas de concreto armado, Revista Téchn, N., pp. 4649, Ed. Pini, SP. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto 18