Matemática financeira I

Transcrição

1 I Reembolso de um empréstimo a prestações Montante: K Períodos: n Taxa de juro: r por cada período Exemplos: empréstimo de 1000 euros (K = 1000) a cinco anos (n = 5) taxa de juro de 3% ao ano (r = 0.03))

2 Pagamento único no final I Neste caso, findo o prazo do empréstimo, terá que ser liquidado o valor emprestado mais os juros, ou seja, K (1 + r) n ano juros amortização pagamento saldo devedor

3 Pagamentos variáveis I Pagamentos efectuados de acordo com um plano pré-estabelecido. Por exemplo, pode decidir-se nos quatro primeiros anos efectuar pagamentos de p 1 = 100, p 2 = 100, p 3 = 300 e p 4 = 300 euros, respectivamente. Um pagamento p i serve para pagar em primeiro lugar juros devidos nesse ano, e eventualmente amortizar parte da dívida. No último período deverá ser liquidada a totalidade do saldo em dívida. ano juros amortização pagamento saldo devedor

4 Sistema americano I Em cada ano paga-se os juros devidos nesse ano (K r), e no último período os juros mais a totalidade da amortização do capital em dívida (K (1 + r)). ano juros amortização pagamento saldo devedor

5 Prestação constante I Este é o sistema habitual por exemplo no crédito à habitação: para se liquidar a dívida é efectuado em cada período um pagamento igual. O montante a liquidar em cada período é determinado por K r (1 + r)n (1 + r) n 1 ano juros amortização pagamento saldo devedor

6 Amortização constante I Em cada período é feito o pagamento dos juros devidos mais uma amortização de K /n. ano juros amortização pagamento saldo devedor

7 I O valor presente de pagamentos p i que irão ser feitos ao longo de n períodos, sendo a taxa de juro r, é dado por V = n i=0 p i (1 + r) i 1 Escreva uma função que dados o número de períodos e um lista de pagamentos p = [p 0, p 1,..., p n] e a taxa de juro ao período, devolva o valor presente desses pagamentos. 2 Utilizando essa função verifique que o valor presente dos pagamentos determinados no exercício anterior é igual para todas as situações.

8 Dados: função contínua f, intervalo [a, b] tal que f (a) f (b) < 0 1 seja c = a+b 2 2 se f (a) f (c) < 0, fazer b = c 3 se f (a) f (c) > 0, fazer a = c 4 se f (c) = 0 ou b a < ɛ, parar; solução aproximada é x = a+b 2

9 : programa em Python def bisseccao(a,b,f,eps): fa = f(a) fb = f(b) if fa*fb > 0: print("erro: função com o mesmo sinal nos dois extremos") exit(0) while b-a > eps: c = (a+b)/2. fc = f(c) if fa*fc < 0: b, fb = c, fc elif fa*fc > 0: a, fa = c, fc else: return c return (a+b)/2. if name == " main ": def f(x): return 1000-(300/(1+x) + 200/(1+x)**2 \ + 200/(1+x)** /(1+x)**4 \ + 200/(1+x)**5) print(bisseccao(0.,1.,f,1.e-6)) Nota: a referência a uma função está a ser passada como parâmetro.

10 Utilização Determinação de raízes de funções contínuas Exemplo: determinar taxa de juro dados os valores de prestações

11 Juro contínuo Taxa de juro: 100% ao ano O que se passa se for 50% a seis meses? E se for 25% a 3 meses? No limite, se dividirmos o ano num número infinito de períodos?

12 Juro contínuo Juro contínuo S(t) = K lim (1 + r ) nt = Ke rt n n

13 Nesta aula... Juro contínuo Juro contínuo

14 Próximas aulas Juro contínuo Programação orientada a objetos.