Departamento de Educação da Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa

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1 Departamento de Educação da Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Tecnologias e pensamento algébrico: (Projecto de tese - versão para discussão na Rede IC DEFCUL) José António de Oliveira Duarte 25 de Janeiro de 2008 Orientadores: Professor Doutor João Pedro da Ponte (DEFCUL) Professora Doutora Joana Brocardo (ESE de Setúbal)

2 Índice Capítulo I: Introdução... 4 Capítulo II: Objectivo e questões do estudo... 6 Capítulo III: O conhecimento didáctico dos professores de Matemática... 7 A natureza do conhecimento profissional... 7 O conteúdo do conhecimento profissional... 7 O conhecimento didáctico... 7 Como mobilizam os professores o conhecimento que precisam para ensinar?... 7 Capítulo IV: O pensamento algébrico no desenvolvimento curricular... 8 Da Álgebra ao pensamento algébrico: evolução e caracterização...10 O que é a Álgebra?...11 O que traz de novo o pensamento algébrico?...13 Álgebra e aprendizagem...16 Dificuldades dos alunos...16 As respostas às dificuldades...21 A abordagem funcional e a tecnologia...28 Questões em aberto...32 Orientações curriculares em Números e Álgebra...35 Orientações curriculares internacionais: marcos, evolução e tendências...35 Os documentos de orientação curricular portugueses...41 Desafios para os professores...49 A natureza das tarefas...50 A cultura da sala de aula...53 Os projectos de desenvolvimento profissional...55 Capítulo V: As TIC e o pensamento algébrico...58 A integração das TIC na escola e a confiança dos professores no seu uso...58 As TIC na Educação Matemática...58 As TIC no pensamento algébrico...58 As TIC nas orientações curriculares...58 As orientações curriculares internacionais...58 As orientações curriculares nacionais

3 Capítulo VI: Metodologia...59 Opções metodológicas...59 Estudo de natureza interpretativa...59 Investigação de tipo qualitativo...60 Modalidade de estudo de caso...61 Um projecto de trabalho colaborativo...62 O dispositivo de trabalho colaborativo...64 As participantes...66 O processo de recolha de dados...68 A análise de dados...72 Capítulo VII: Análise de dados...75 Contextos...75 História da constituição da equipa...75 As sessões de recolha de dados...77 Breve apresentação dos casos...81 Descrição de uma sessão de trabalho da equipa...91 Referências bibliográficas Anexos

4 Capítulo I: Introdução O interesse pela problemática que me proponho estudar, está ancorado num percurso académico e profissional que vou referir, de forma resumida. Após um percurso pela Engenharia Electrotécnica, entre os finais dos anos 60 e o início da década de 70, completei a licenciatura em Matemática (Ramo Educacional), na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, em meados dos anos 80. Já nos anos 90, realizei na mesma instituição, o Mestrado em Educação Metodologia do Ensino das Ciências (Matemática), tendo defendido uma dissertação sob o título Computadores na Educação Matemática: Percursos de Formação. Depois de dez anos como professor de Matemática no Ensino Secundário, a experiência profissional como formador de professores na Escola Superior de Educação de Setúbal, ao longo dos últimos 23 anos, permitiu-me cruzar a área da Educação Matemática e a área das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC). Aí, a minha actividade desenvolveu-se ao nível da intervenção em disciplinas dos cursos de formação inicial de professores, na profissionalização em serviço de professores de Matemática e de Informática e na formação contínua, em Cursos e Oficinas de Formação presenciais e a distância e no apoio a projectos de utilização das TIC na aula de Matemática. A participação em encontros de cariz profissional, no país e no estrangeiro, como os Encontros Nacionais de Professores de Matemática (ProfMat), os Encontros do CIEAEM 1, os Seminários de Investigação em Educação Matemática ou os Seminários de Informática na Educação, com intervenção em sessões práticas, comunicações ou painéis, a par da participação nos trabalhos da Rede Inter-Centros de Investigação em Didáctica da Matemática, têm constituído desafios para algumas leituras e discussões, que permitem acompanhar os desenvolvimentos da investigação e das práticas nestas áreas do saber. O envolvimento nos grandes projectos nacionais de tecnologias na educação (MINERVA, Nónio, Internet@eb1 e CRIE) e o apoio à indução profissional dos professores licenciados pela ESE, constituíram experiências de trabalho no terreno sobre utilizações das tecnologias, em particular, no ensino da Matemática, a que recentemente se acrescentou a dimensão das plataformas de gestão de 1 Commission Internationale pour l Etude et l Amélioration de l Enseignement des Mathématiques. 4

5 aprendizagem, como suporte a distância do trabalho de formação e apoio aos projectos dos professores nas escolas. Finalmente, a experiência no Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1º ciclo, em particular, o trabalho desenvolvido no âmbito dos Números e Cálculo, constituiu um desafio e uma experiência recente dos últimos anos. Este percurso académico e profissional e as várias dimensões de intervenção aqui referidas têm em comum dois aspectos: a articulação entre as Tecnologias de Informação e Comunicação (como ferramentas didácticas e como plataformas de suporte e apoio à formação) e a Educação Matemática (ao nível do desenvolvimento curricular e das novas orientações curriculares); a preocupação com o conhecimento profissional, como um dos aspectos centrais a ter em atenção no desenvolvimento profissional dos professores. Mas se é verdade que o percurso permitiu uma experiência diversificada, também ele foi colocando interrogações e temas para reflexão, deixando por responder várias questões que gostaria de estudar de forma mais sistemática, nomeadamente: Que aspectos significativos valorizam os professores nas diferentes actividades profissionais em que participaram (leituras e discussões, trabalho/inserção em grupos/comunidades, acções de formação e sua natureza, preparação de materiais para as aulas, etc.), como tendo contribuído de forma decisiva para a construção do seu conhecimento profissional? Como é que o conhecimento profissional dos professores está presente e se desenvolve com as diferentes actividades profissionais que estes realizam (preparação de aulas, elaboração de tarefas, redacção de relatos, discussão de textos, comunicação e interacção sobre tarefas e relatos com os seus pares, reflexão sobre a prática, etc.)? Como valorizam os professores a sua participação em equipas para a discussão e elaboração de tarefas para as aulas, assim como na reflexão que fazem sobre elas? Que papel e valor reconhecem às plataformas a distância na publicação de materiais e nas interacções que se estabelecem no apoio ao desenvolvimento de projectos e ao seu próprio desenvolvimento profissional? 5

6 Capítulo II: Objectivo e questões do estudo Face aos aspectos identificados na introdução relativos à formação académica e profissional e às questões que o trabalho desenvolvido e a experiência têm deixado em aberto, o objectivo do estudo é: Compreender o conhecimento didáctico que assiste o professor no desenvolvimento curricular e na prática profissional, no domínio do pensamento algébrico, com recurso à tecnologia. Questões orientadoras do estudo: 1. Como se caracteriza o conhecimento didáctico do professor no processo de preparação das aulas, nomeadamente: (a) As preocupações que manifesta quando elabora, planifica e discute as tarefas e justifica as opções gerais que faz, no processo de desenvolvimento curricular, para promover o pensamento algébrico, com recurso às TIC? (b) Como mobiliza e evidencia, no processo de desenvolvimento curricular, os vários aspectos envolvidos no conhecimento que ele precisa para ensinar: o conhecimento matemático sobre Números e Álgebra e as suas relações; a forma como entende e o lugar que reserva ao desenvolvimento do pensamento algébrico e às TIC no currículo; e, a forma como entende a aprendizagem dos alunos neste domínio? 2. Como conduz em sala de aula o processo de ensino e a aprendizagem, neste domínio, tendo em conta as várias dimensões do conhecimento que ele precisa para ensinar. 3. Quais os factores de influência na construção do conhecimento didáctico, em particular, nas opções curriculares e didácticas que faz e nas práticas de ensino, para promover o pensamento algébrico, com recurso às TIC, nomeadamente: (a) O papel do seu percurso profissional? (b) O papel dos contextos profissionais? (c) O papel da sua participação numa equipa colaborativa apoiada por uma plataforma de trabalho a distância? 6

7 Capítulo III: O conhecimento didáctico dos professores de Matemática (apenas a estrutura actual do capítulo) A natureza do conhecimento profissional O conteúdo do conhecimento profissional O conhecimento didáctico Como mobilizam os professores o conhecimento que precisam para ensinar? 7

8 Capítulo IV: O pensamento algébrico no desenvolvimento curricular Inicia-se este capítulo com uma breve introdução aos conceitos de currículo e desenvolvimento curricular aqui adoptados. O étimo latino da palavra currículo (currere) aponta-nos para algo dinâmico, como um percurso ou uma trajectória, o que parece estar mais perto da definição de currículo como um conjunto de acções educativas planeadas pela escola e experiências de aprendizagem vividas pelos alunos, ao contrário da sua identificação com um conjunto de disciplinas e um plano de acção. Esta primeira visão está mais conforme a ideia de currículo como praxis (Gimeno, 1989), configurada por diversos intervenientes em diferentes contextos e que conduz a diferentes níveis de currículo: desde aquele que é prescrito e enunciado pelas entidades oficiais, ao que é levado à prática e implementado após um processo de interpretação e moldagem pelos actores, até àquele que é realmente aprendido pelos alunos e avaliado. Contrariando a ideia de currículo à prova de professor, a visão de currículo que adopto é a de um processo onde ocorrem sucessivas construções e se tomam decisões, a que não são alheios os contextos onde ocorrem e os actores que nele intervêm (Brocardo, 2001) e onde o professor desempenha um papel cada vez mais determinante. Por outro lado, o conceito de desenvolvimento curricular que aqui está presente diz respeito à actividade de professores que desenvolvem, em trabalho colaborativo, uma experiência de discussão, construção e experimentação de materiais, em particular, a elaboração de tarefas integrando as tecnologias na exploração de tópicos do currículo, sua implementação em sala de aula e posterior reflexão, com vista ao desenvolvimento do pensamento algébrico. O professor assume neste processo um maior protagonismo, planeando, gerindo e avaliando as suas opções curriculares e ao fazê-lo, faz intervir as suas concepções, o seu saber e o seu conhecimento didáctico (Canavarro & Ponte, 2005). A posição que aqui assumo, torna os conceitos de currículo e de desenvolvimento curricular mais próximos e articulados e entende a elaboração de materiais para a sala de aula e a reflexão sobre a prática, realizada pelo professor, como parte do processo de gestão curricular e simultaneamente como manifestação e (re)construção do conhecimento didáctico do professor. 8

9 Após esta breve introdução, com o objectivo de clarificar a perspectiva adoptada sobre currículo e desenvolvimento curricular, seguem-se as quatro secções deste capítulo: Da Álgebra ao pensamento algébrico: evolução e caracterização; Álgebra e aprendizagem; Orientações curriculares em Números e Álgebra; Desafios para os professores. 9

10 Da Álgebra ao pensamento algébrico: evolução e caracterização De acordo com Kieran (2007a), a investigação sobre a Álgebra escolar, evoluiu desde os anos 50 e início da década de 60, mais centrada no desenvolvimento de destrezas e na memória, essencialmente conduzida por psicólogos de orientação behaviourista, para um foco mais acentuado sobre os significados que os alunos dão à Álgebra, na investigação conduzida desde os finais da década de 70, associada às ideias de Piaget e ao construtivismo. O aparecimento da tecnologia computacional nos anos 80 e a emergência da perspectiva sociocultural e do movimento de inspiração democrática, Álgebra para todos, nos Estados Unidos, forçaram o deslocar do foco da investigação para a análise dos factores sociais que afectam a aprendizagem da Álgebra, com um interesse crescente no papel mediador das ferramentas culturais, a par de um conjunto de estudos centrados sobre o discurso na sala de aula (Kieran, 2007a). Esta bandeira da Álgebra para todos, ao procurar responder às necessidades sociais de uma literacia matemática em profundidade para toda a população, associada a expectativas mais elevadas de melhores desempenhos em Álgebra e, consequentemente, maior sucesso em matemática (Kaput, 2008), parece ter obrigado a introduzir na agenda política, o repensar da Álgebra ao longo da escolaridade. Os estudos recentes, aprofundam os anteriores trabalhos centrados nas dificuldades dos alunos na transição da Aritmética para a Álgebra e na natureza dos conceitos e procedimentos algébricos e evoluem, de acordo com Kieran (2007a), para incluírem preocupações com o significado derivado do uso de representações gráficas e tabulares e o uso da tecnologia, em particular, as folhas de cálculo e a tecnologia gráfica. Também nos últimos anos se tem vindo a reconhecer a necessidade de estudos sobre a compreensão que o professor tem acerca do pensamento algébrico dos seus alunos, o que parece ser uma importante componente do seu conhecimento profissional que ele deve ter em conta nas tarefas que propõe e na forma como conduz a discussão na sala de aula (Kieran, 2007a). O que sugere ir além do simples documentar de como os alunos pensam e como interpretam os objectos e processos algébricos, para dar atenção às potencialidades de diferentes abordagens e aos contextos em que ocorrem. Segundo a autora, fará sentido uma articulação entre os estudos sobre a aprendizagem da Álgebra e os estudos sobre o seu ensino, vertente até agora pouco desenvolvida. Mas o que se entende por Álgebra e pensamento algébrico? 10

11 O que é a Álgebra? A palavra Álgebra, para a maioria das pessoas com alguma escolaridade básica, está associada a um conjunto de expressões com letras e outros símbolos e regras de manipulação e transformação. Recuando às origens da Álgebra vamos encontrar processos de formalização e sistematização de técnicas de resolução de problemas na Antiguidade, de que é exemplo o papiro de Amhes/Rhind (Ponte, 2006). No século IV, Diofanto, para alguns o fundador da Álgebra, desenvolveu métodos aproximados para a resolução de equações e introduziu abreviaturas para designar quantidades e operações, o que se designou de Álgebra sincopada. É, no entanto, com al-khwarizmi, no século IX, que se adopta o termo Álgebra, para designar a operação de transposição de termos numa equação (Ponte, 2006) e é o matemático francês Viéte, que vive no século XVI, o primeiro a substituir os dados numéricos por símbolos (Sfard & Linchevsky, 1994). Mas a grande mudança que a Álgebra conhece é a partir de meados do século XIX, quando passa a centrar-se no estudo das estruturas abstractas. Hoje, a visão mais frequente que se tem sobre a Álgebra é a de que se trata simplesmente de regras de manipulação e transformação de expressões com variáveis e processos de resolução de equações, o que decorre, em grande parte, da forma como ela é tratada nos actuais programas do ensino básico, que a reduzem ao cálculo algébrico (Ponte, 2006). Mas embora esta seja, sem dúvida, uma vertente da Álgebra, ela só se instalou num passado recente, quando comparada com os longos períodos da História em que imperou uma outra Álgebra, designada de retórica. Esta, que se podia encontrar há mais de três mil anos na Babilónia, estava associada à abordagem operacional da resolução de problemas da Aritmética e da Geometria, focada em processos numéricos e expressa em linguagem natural (Sfard & Linchevsky, 1994), o que confirma que a história da Álgebra não é a história dos símbolos (p. 197). Esta Álgebra verbal, continuou ao longo de muitos séculos e, como iremos ver mais à frente, tem algumas semelhanças com a forma de trabalhar das crianças em idade escolar, muito antes de que elas tenham contacto com a notação simbólica formal da Álgebra. Mas qual é o conteúdo da Álgebra? A álgebra escolar tem tradicionalmente sido ensinada e aprendida como um conjunto de procedimentos desarticulados, quer de outro conhecimento matemático, quer do mundo real dos alunos (Kaput, 1999). O conteúdo tem variado nos últimos anos, privilegiando, com maior ou menor ênfase, uma de duas orientações: uma primeira visão onde predomina uma orientação simbólica e onde os problemas de palavras, quando aparecem, servem apenas para aplicar técnicas algébricas; uma segunda, mais recente que tem vindo a privilegiar 11

12 uma abordagem funcional, modelando e resolvendo situações da realidade, perspectiva que se tem acentuado nos últimos anos, apoiada no aparecimento e desenvolvimento da tecnologia computacional. De uma visão da álgebra simbólica e manipulativa, parece evoluir-se para uma outra que integra as múltiplas representações, cenários de problemas realistas e o uso de ferramentas tecnológicas (Kieran, 2007a, p. 747). Numa definição adoptada por Carraher e Schliemann (2007), a Álgebra envolve: (i) trabalhar com variáveis (em particular, Aritmética com variáveis) e formar expressões, modelar situações concretas com expressões e equações, manipulá-las, simplificá-las e resolvê-las; (ii) o trabalho com a estrutura algébrica, inicialmente a partir de regras da Aritmética que levam à manipulação de expressões e que, com os princípios de transformação de equações, constituem a base das técnicas algébricas. Nesta definição, a Aritmética identifica-se como um terreno onde podem crescer algumas ideias algébricas. James Kaput, um investigador no domínio do pensamento algébrico, acrescentou a estas duas dimensões, a dimensão da Álgebra como o estudo das funções, relações e da variação conjunta. Este investigador reconhece os dois aspectos nucleares da Álgebra e do raciocínio algébrico, como sendo a generalização de regularidades e sua expressão crescente em sistemas simbólicos e as acções sintacticamente guiadas sobre as generalizações, em sistemas organizados de símbolos (Kaput, 2008). São estes aspectos que surgem ao longo das três vertentes que reconhece na Álgebra: (i) Álgebra como o estudo das estruturas e sistemas abstraídos de cálculos e relações, incluindo os que ocorrem na Aritmética (Álgebra como aritmética generalizada) e no raciocínio quantitativo; (ii) Álgebra como o estudo de funções, relações e variação conjunta; (iii) Álgebra como aplicação de um conjunto de linguagens de modelação dentro e fora da Matemática (Kaput, 2008, p. 11). A primeira vertente, que corresponde à Álgebra como aritmética generalizada, inclui a construção dos aspectos sintácticos da Álgebra, a partir da estrutura da Aritmética, o que envolve olhar mais para a forma das expressões aritméticas do que para o valor que representam. Na segunda vertente, inclui-se a generalização através da ideia de função, como um processo de variação sistemática de casos particulares, ao longo de uma parte do domínio. Finalmente, na terceira vertente, incluem-se três tipos de modelação: de uma situação específica, através de uma condição ou equação a resolver através da sintaxe da Álgebra, em que a variável assume o papel de incógnita; generalizando e expressando regularidades, em situações ou fenómenos, através de expressões com variáveis que conduzem a funções ou classes de funções; 12

13 algebrizando problemas aritméticos, abrindo e alargando o domínio do problema ou suprimindo as condições que o limitam, transformando-os em problemas algébricos (Kaput, 2008). O que traz de novo o pensamento algébrico? Os estudos recentes tendem a alargar o conceito tradicional de Álgebra a uma visão que inclui também o que se denomina de raciocínio ou pensamento algébrico, para se referirem aos processos psicológicos envolvidos na resolução de problemas que os matemáticos podem facilmente expressar usando notação algébrica (Carraher & Schliemann, 2007, p. 670). No entanto, e que porque esses processos se podem expressar através de outras representações alternativas, também podem ser ensinados nos anos mais novos, integrando-se naquilo que se designou por movimento da Early Algebra. Esta ideia das representações múltiplas está muito presente e tem um papel essencial no pensamento algébrico para se referir, em geral, à linguagem natural, às tabelas e aos gráficos, como outras formas de expressar a generalização, para além da notação simbólica aritmética-algébrica. Estes sistemas constituem, no seu conjunto, os quatro sistemas simbólicos fundamentais reconhecidos na Early Algebra, movimento que defende uma nova abordagem da Aritmética, centrado na procura de relações que revelem a sua natureza algébrica (Carraher, Schliemann, & Schwartz, 2008; Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007). Mas, enquanto muitos acreditam que eles permitem pontos de entrada cruciais para a aprendizagem da Álgebra, alguns consideram-nos importantes só depois de uma certa mestria com o raciocínio simbólico (em sentido estrito) ter sido atingida [e] outros ainda, olham-nos como prealgébricos (Carraher & Schliemann, 2007, p. 673). No entanto, cada uma destas diferentes representações colocam em evidência diferentes aspectos das relações e conceitos que procuram representar, sendo importante saber traduzir umas formas de representação nas outras (Schliemann, Carraher & Brizuela, 2007). Maria Blanton e James Kaput, dois conceituados investigadores em Early Algebra, definem pensamento algébrico como um processo no qual os alunos generalizam as ideias matemáticas de um conjunto de casos particulares, estabelecem essas generalizações através do discurso da argumentação e expressam-nas sob formas progressivamente mais formais e adequadas à idade (Blanton & Kaput, 2005a, p. 413). Nele estão presentes, como vimos atrás, a dimensão da aritmética generalizada, o pensamento funcional e a modelação. Para Blanton e Kaput (2005a), desenvolver o pensamento algébrico como aritmética generalizada, compreende vários aspectos como: explorar propriedades e relações dos números inteiros (p. ex., a soma ou produto de pares e ímpares ou a estrutura da 13

14 soma que resulta da decomposição de números inteiros); explorar propriedades das operações sobre números inteiros (p. ex., procurar padrões na tabela dos 100); explorar igualdades como expressão de uma relação entre quantidades (p. ex., trabalhar em ambos os membros de igualdades como 8+4= +5, assumindo o sinal de = para expressar uma relação entre as quantidades e não para exigir uma acção de cálculo); tratar os números algebricamente (p. ex., atender à estrutura e não ao cálculo, quando se estuda a paridade de ); e resolver expressões com números em falta (p. ex., resolver a equação 2.n+1=15 ou problemas como se V+V=4, qual o valor de V+V+6? ). Uma outra dimensão considerada por estes investigadores, diz respeito ao pensamento funcional e incide sobre o envolvimento dos alunos na generalização de padrões numéricos e geométricos, para descrever relações através do conceito de função e compreende: simbolizar quantidades, usar símbolos para modelar problemas e operar sobre expressões simbólicas; representar dados graficamente como apoio à análise das relações funcionais; encontrar e traduzir por relações funcionais, a correspondência entre quantidades ou as relações recursivas; conjecturar para além dos dados conhecidos e a partir deles; e identificar e descrever padrões numéricos e geométricos, por análise das relações, nas expressões numéricas ou em padrões visuais (Blanton & Kaput, 2005a). A terceira vertente diz respeito à modelação e pode envolver o recurso a equações, funções ou outros objectos algébricos, para representar situações estritamente matemáticas (nomeadamente generalizações numéricas), de outras disciplinas ou que traduzam fenómenos físicos. Estes modelos, que começam por matematizar fenómenos e situações, vão sendo progressivamente refinados e ajustados, e funcionam para as descrever e apoiar o raciocínio e a interpretação das mesmas (Kaput, 1999). Os desenvolvimentos da tecnologia gráfica, de dispositivos físicos como os sensores e das folhas de cálculo, vieram valorizar esta dimensão da modelação e permitir um repensar das formas de representação e exploração de modelos, de modo a apoiar os alunos na compreensão dos conceitos matemáticos que estão por detrás dos fenómenos. Mas aspectos tão simples como eliminar as restrições de um problema aritmético, fazendo variar valores e parâmetros, de modo a explorá-lo de uma forma aberta e genérica, tornando-o mais algébrico, também pode ser entendido como um tipo de modelação (Kaput, 2008). A generalização surge pois como a componente chave do pensamento algébrico e está presente de forma transversal, quer na Aritmética como domínio para expressar e formalizar generalizações (a aritmética generalizada), quer nas relações funcionais quando se generalizam os padrões numéricos, quer na modelação que envolve também generalizar regularidades de situações e fenómenos, quer na própria generalização que ocorre com objectos abstractos da Álgebra. 14

15 A generalização envolve prolongar o raciocínio para além dos casos apresentados, identificando o que é comum e o que varia, passando para um nível onde a atenção já não se centra sobre os casos específicos em si, mas sobre as relações e padrões encontrados, que se tornam novos objectos algébricos (Kaput, 1999). Também neste sentido, a Aritmética parece adquirir, para os defensores do pensamento algébrico, uma maior importância, considerada por alguns autores como parte da Álgebra, em que números e medidas específicas são considerados casos particulares de exemplos mais gerais (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007). A sua ideia é procurar olhar as expressões aritméticas para revelar relações e estrutura, mais do que para procurar um valor obtido através de cálculos, reconhecendo assim nesta estrutura aritmética emergente a base da construção sintáctica algébrica. E embora não se possa dizer que a Álgebra escolar seja um domínio sobre o qual exista consenso, um estudo de Lee (1997), referido em Kieran (2007a), que questionou matemáticos, professores, alunos e investigadores em educação matemática, sobre o que é a Álgebra, encontrou uma grande diversidade de respostas, mas um tema transversal a todas elas: a Álgebra como actividade. No entanto, esta actividade tanto se pode referir a uma acção sobre as coisas, incidindo mais nas transformações, como pode valorizar mais a acção de construção dos objectos algébricos, sendo que esta é a que mais se identifica com a posição de investigadores como Kaput e que aqui será adoptada. Em resumo, a Álgebra tem estado associada à construção de expressões simbólicas, regras de manipulação e transformação dessas expressões e processos de resolução de equações, assistindo-se nos últimos anos a uma valorização progressiva de uma abordagem funcional, decorrente do desenvolvimento da tecnologia gráfica. Entre as várias definições que a procuram caracterizar, adoptarei a de Kaput (2008) que envolve o estudo das estruturas que emergem das relações (nomeadamente numéricas), o estudo de funções e análise da variação e a modelação. A generalização e sua expressão em múltiplas representações, progressivamente mais formais e as acções simbólicas sobre essas generalizações, constituem os aspectos centrais do que designa por Álgebra e pensamento algébrico. O pensamento algébrico vem assim alargar o conceito tradicional de Álgebra, para incluir processos que emergem de tópicos da matemática elementar, nomeadamente da generalização de relações da Aritmética e que se podem representar através de formas alternativas à notação algébrica simbólica, nomeadamente a linguagem natural, as tabelas e os gráficos. E porque se reconhecem estas outras formas de representação, é possível aspirar a desenvolver o pensamento algébrico desde o início da escolaridade, podendo talvez assim responder ao desafio de uma Álgebra para todos. 15

16 Álgebra e aprendizagem Dificuldades dos alunos Os estudos de avaliação internacionais como o Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) e o Programa for International Student Assessment (PISA), revelam alguns resultados que mostram o que os jovens consideram ser fácil ou difícil em Álgebra. Por exemplo, em 2003, a média obtida no TIMSS, entre os 48 países, na área dos conteúdos de Álgebra, para o 8º ano, foi de 25 pontos num total de 53, o que mostra uma prestação dos alunos em Álgebra bastante pobre que também é confirmada pelos resultados do PISA. No mesmo sentido apontavam os resultados do National Assessment of Educational Progress (NAEP), relativos ao desempenho em Álgebra. Em 2003, a taxa de sucesso em alunos do 8º ano, incidindo em 17 questões de Álgebra, era de 46%, resultado bastante fraco quando comparado com a prestação em questões relacionadas com o sentido de número e as operações aritméticas, que apontava para 72% de respostas correctas (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007). Estes resultados têm justificado algumas preocupações da investigação, procurando as causas que estão na origem das dificuldades dos alunos na transição da Aritmética para a Álgebra. Dificuldades na transição da Aritmética para a Álgebra. Kaput (1999) reconheceu dificuldades nos alunos em lidarem com a simbologia formal da Álgebra, para além da falta de ligação desta representação com outras representações que pudessem atribuir sentido às acções a levar a cabo. As dificuldades dos alunos em Álgebra parecem dever-se a vários factores, nomeadamente a perda de significado dos objectos matemáticos (Kieran, 2007a), quer pelos novos símbolos que a Álgebra introduz (p. ex., < ou ), quer pela mudança de significado que se opera em símbolos já usados na Aritmética (p. ex., + e =) (Ponte, 2006), criando assim dificuldades na transição da Aritmética para a Álgebra. Vários estudos centraram-se nos erros dos alunos na manipulação e resolução de equações e apontaram para que as dificuldades dos alunos em Álgebra, se devem, nomeadamente a: (i) acreditar na unidirecionalidade do sinal de igual para a produção de um resultado; (ii) centrar-se principalmente na procura de respostas particulares; (iii) não reconhecer as propriedades comutativa e distributiva; (iv) não usar símbolos 16

17 matemáticos para representar quantidades; (v) não compreender o uso de letras como números generalizados ou como variáveis; (vi) ter grandes dificuldades a operar com incógnitas; (vii) falhar na compreensão de que transformações equivalentes em ambos os membros de uma equação mantêm o seu valor de verdade (Carraher & Schlieman, 2007; Schlieman, Carraher, & Brizuela, 2007). Por exemplo, Sfard e Linchevsky (1994) chamam a atenção para que os símbolos não falam por si próprios e dependem, quer das condições do problema ao qual se aplicam, quer daquilo que cada um é capaz de perceber e revelar, discutindo a existência na maioria dos conceitos matemáticos de uma dualidade processo-objecto, em que a primeira visão precede a segunda. Por exemplo, de acordo com os autores, a expressão 3(x+5)+1, é vista primeiro como uma sequência de instruções a executar sobre um número, um processo de cálculo que traduz uma concepção operacional, e só depois como uma cadeia de símbolos que nada representam, mas que como objecto algébrico em si próprio, pode ser manipulado e transformado, de acordo com um conjunto de regras bem definidas, o que traduz uma concepção estrutural. Como refere Ponte (2006), um dos perigos que o simbolismo acarreta para a aprendizagem é cair-se no formalismo, perdendo de vista o significado daquilo que eles representam. E embora matemáticos e alunos vejam as operações formais como arbitrárias, para os primeiros é uma questão de opção deliberada, enquanto para os segundos resulta de uma incapacidade de ligar as regras da Álgebra com as leis da Aritmética (Sfard & Linchevsky, 1994, p. 223). E se os programas de ensino falham no desenvolvimento de significados apropriados, são os alunos que os criam, bem ou mal, o que pode constituir mais uma fonte de dificuldades. Dificuldades com os padrões. Os padrões e regularidades numéricas e geométricas, incluem-se no contexto mais abrangente das relações e funções (NCTM, 2007) e constituem um campo privilegiado de exploração e construção de relações entre a Aritmética e a Álgebra (Alvarenga & Vale, 2007), de desenvolvimento do pensamento algébrico (Ponte, 2007), mas também um terreno propício à formulação de conjecturas pelos alunos (Carraher & Schlieman, 2007). No entanto, alguns problemas vêm ao de cima, quando se abordam os padrões e as tabelas de valores, como representações de funções. Os padrões estão presentes em diversos contextos do dia-a-dia, da alfaiataria, ao design de arquitectura ou à composição musical mas torna-se, no entanto, importante clarificar como se estabelecem conexões entre os padrões e as relações e funções (Carraher & Schliemann, 2007). Num exemplo referido em Carraher e Schliemann (2007), a propósito da sequência dos números triangulares, apresentada sob a forma de um conjunto de pontos geométricos, eram dados os quatro primeiros termos, procurando-se encontrar qual 17

18 seria o próximo. O desafio era levar os alunos a estabelecer conjecturas a partir da observação dos dados, mas não é certo que eles encontrem a regra que está na mente de quem criou a sequência. Além disso, os alunos podem prolongar a sequência sem prestarem atenção, quer ao número total de pontos da figura (o valor da função), quer ao número de novos pontos acrescentados (o valor da primeira derivada) e focarem-se apenas no aspecto geométrico do padrão (neste caso, acrescentarem uma linha de pontos na diagonal). Outra questão, não menos importante, é que tudo isto pode ser feito sem prestar atenção à posição ou ordem da figura, e que corresponde ao que identificamos como sendo a variável independente da função. Deste modo, é bastante frequente verificar que a abordagem das sequências geométricas se faz envolvendo apenas uma variável (Carraher & Schliemann, 2007). Na mesma linha, uma outra investigação aponta para que as abordagens visuais que envolvem a generalização de padrões, podem constituir um apoio à representação algébrica de sequências e ao desenvolvimento de um quadro conceptual para as funções, mas colocam a ênfase na necessidade de trabalhar arduamente para ligar os padrões numéricos observados com as formas simbólicas (Kieran, 2007a, p. 725), processo que parece levar tempo para chegar a esta última fase. Também no trabalho de Alvarenga e Vale (2007) se reconhece que a recolha e organização dos dados, a par do seu registo, constituem situações que podem causar algumas dificuldades aos alunos. E embora identifiquem que a exploração de padrões constitui uma excelente oportunidade para desenvolver a comunicação, reconhecem que os alunos o conseguem fazer oralmente, mas revelam dificuldades quando solicitados em fazê-lo por escrito. Um trabalho de Warren e Cooper (2008) refere também um conjunto de dificuldades com os padrões, na transição para as funções, como a falta de linguagem apropriada para descrever as relações, o uso frequente de estratégias aditivas para descrever as generalizações, focando-se num único conjunto de dados, a incapacidade para visualizar espacialmente ou completar padrões e a falta de ligação entre o número de posição e o padrão. Muitas vezes, associado com a organização e sistematização dos dados com o objectivo de procurar regularidades em sequências numéricas, surgem as tabelas. Estas, como representações de relações funcionais, podem trazer idênticos problemas aos encontrados nos padrões quando, por exemplo, no caso das funções lineares do tipo f(x)=ax+b, os alunos acrescentam valores, estendendo cada coluna independentemente da outra, e podem completar correctamente a tabela sem estarem a par da função específica que transforma o valor de uma coluna no valor da outra, ou seja, sem desenvolverem um raciocínio funcional. Normalmente, apenas se precisa saber o termo anterior e perceber como ele cresce ao longo das linhas da tabela, para calcular f(n+1), conhecido f(n). Este método escalar de abordagem pelos 18

19 alunos para preencherem tabelas de funções, tem características de iteração e de recursão, embora na maioria das vezes eles não precisem de conhecer a condição inicial f(0), que permite chegar à definição recursiva da função. Também outro estudo longitudinal referido em Carraher e Schliemann (2007), confirma alguns destes problemas, como o não reconhecimento do carácter geral de uma expressão que traduz as relações de um modelo de uma situação real, ou a exploração da tabela de valores de uma função que relaciona o número de items e o respectivo preço, tendendo a não identificar a relação invariante entre as duas colunas, mas trabalhando por preenchimento em coluna. Dificuldades com os significados em Álgebra. Sendo a perda de significado dos objectos da Álgebra, uma das fontes de dificuldades encontradas pela investigação, importa retermo-nos um pouco sobre os significados em Álgebra e as suas origens. Kieran (2007) refere quatro fontes de significado: a estrutura algébrica simbólica, tendo por detrás significados de referência; as múltiplas representações, nomeadamente procurando coordenar objectos e acções, articulando diferentes representações, como a gráfica e a simbólica formal; o contexto do problema que permite fundir os símbolos com as situações; e o que é exterior à matemática e ao contexto do problema e que passa pela actividade corporal, a linguagem e a experiência passada. Sfard e Linchevsky (1994) acentuam o sentido que está na capacidade de ver as ideias abstractas escondidas por detrás dos símbolos (p. 224), enquanto que Arcavi (2006), refere como uma componente do sentido de símbolo, a capacidade de manipular e ler através das expressões simbólicas, na resolução de problemas algébricos, com o objectivo de captar significados. Esta é uma das componentes que Arcavi identifica como constituintes do sentido de símbolo, sendo as restantes cinco: (i) manter familiaridade com os símbolos; (ii) ter consciência de que pode desenhar relações simbólicas que expressem certa informação verbal ou gráfica; (iii) a capacidade de seleccionar uma dada representação simbólica e de a substituir caso reconheça existir uma mais adequada; (iv) a consciência da necessidade de rever os significados dos símbolos na resolução de uma situação problemática, comparando os significados com as intuições sobre os resultados e as situações; e (v) a consciência de que os símbolos podem desempenhar diferentes papéis, em diferentes contextos. O trabalho de Arcavi (2006) centra-se na procura de resposta para duas questões, tendo em conta a necessidade de manter os significados no trabalho algébrico: como se desenvolve nos peritos o sentido de símbolo e qual o conhecimento subjacente para o desenvolver? 19

20 Relativamente à primeira questão, os resultados apontam para que, a forma como os alunos se relacionam com os significados e usam o senso comum na abordagem de problemas algébricos está dependente, não de habilidades inatas, mas da cultura da sala de aula, nomeadamente aquilo que o professor valoriza. Sobre a segunda questão, concluiu-se que ser competente em Álgebra escolar implicaria, entre outras coisas, o exercício de uma transição bidireccional, oportuna e flexível entre o uso de acções desprovidas de significado (como a aplicação automática de regras e procedimentos) e a aplicação do senso comum e a busca de significados (Arcavi, 2006, p. 39). O desenvolvimento de competência algébrica exigiria assim uma alternância entre a prática de automatismos, usando os símbolos e a busca de significados, procurando a compreensão, para que através do pensamento e da reflexão, se possa prosseguir, agindo de novo sobre os símbolos. Isto conduz àquilo que Arcavi (2006) designa por desenvolver a paciência intelectual necessária para com a compreensão parcial (p. 41), acreditando que não percebendo tudo de uma só vez, acções posteriores abrirão novos horizontes do nosso conhecimento, tornando-o mais claro e completo. Em resumo, nesta secção procurei identificar um conjunto de dificuldades que os alunos sentem na aprendizagem da Álgebra. Na transição da Aritmética para a Álgebra, parecem reconhecer-se vários tipos de dificuldades, nomeadamente: a falta de ligação entre a representação algébrica simbólica e outras representações que possam dar sentido às acções; os novos símbolos que surgem e a mudança de significado em símbolos já usados na Aritmética; a identificação do sinal de igual como destinado a produzir um resultado e não como relação de equivalência; a procura de respostas particulares em detrimento de relações; e a não compreensão sobre os diferentes usos das letras. Embora os padrões constituam um terreno privilegiado de exploração e construção de relações entre a Aritmética e a Álgebra e de desenvolvimento do pensamento algébrico, existem dificuldades, nomeadamente quando se pretende abordá-los numa perspectiva funcional, uma vez que os alunos têm tendência a privilegiar uma abordagem escalar. O trabalho com sequências, envolvendo apenas uma variável ou um conjunto de dados e a falta de ligação entre o número de posição e o padrão, constituem dificuldades para se perceberem os padrões como funções. Paralelamente, idêntico fenómeno se passa com as tabelas quando traduzem relações entre variáveis, e em que os alunos tendem a usar o preenchimento ao longo de cada coluna, ignorando a relação que existe entre as duas colunas. 20

21 Uma outra fonte de dificuldade é a perda de significado dos objectos algébricos, sugerindo-se a importância de ter sentido de símbolo e saber ler através dos símbolos, mantendo na actividade algébrica, uma alternância entre a procura de significados e a prática de procedimentos e automatismos. As respostas às dificuldades As explicações encontradas para as razões das dificuldades na Álgebra escolar divergem. As mais frequentemente atribuídas pelos investigadores são as limitações ao nível do desenvolvimento cognitivo dos alunos, ao seu pensamento ainda com base no concreto, apontando mesmo alguns deles a existência de um ponto de corte, de natureza histórica e individual, entre o pensamento aritmético e algébrico, difícil de ultrapassar (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007). No entanto, um outro conjunto de investigadores atribui a razão das dificuldades encontradas pelos alunos à forma como foram ensinados no ensino elementar da Aritmética, nomeadamente o entendimento dado ao sinal de igual como conduzindo obrigatoriamente à produção de um resultado (usa-se 3+6=9, mas não 3+6=5+4 ou 7=1+6), a ênfase colocada na obtenção de respostas numéricas e não na tradução e interpretação de relações ou a identificação limitada das letras como espaços vazios ou lacunas a serem ocupadas por números específicos e não como verdadeiras variáveis (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007). Como resposta às dificuldades experimentadas pelos alunos, desenvolveram-se basicamente dois tipos de abordagens, com o objectivo de as suprir: (i) a que designaremos por uma abordagem pré-algébrica, visando suavizar a passagem da Aritmética para a Álgebra, mas não pondo em causa a precedência da primeira sobre a segunda; e (ii) a que corresponde ao movimento da Early Algebra, propondo uma abordagem radicalmente diferente da Matemática e, em particular, da Aritmética, por eles considerada como parte da Álgebra, desde os primeiros anos de escolaridade. As abordagens pré-algébricas. Face às dificuldades identificadas, desenvolveram-se algumas tentativas, designadas de pré-algébricas, para preparar a entrada na Álgebra, inicialmente focadas nos erros dos alunos na resolução de equações, quer na interpretação do sinal de igual procurando estender a noção de igualdade, passando das expressões numéricas para as expressões algébricas, quer no estudo das equações com o apoio em modelos de balanças de dois pratos. Algumas destas abordagens traduziram-se em cursos de pré-álgebra que pretendiam construir uma ponte entre a Aritmética e a Álgebra e ocorriam entre o fim da primeira e o início da segunda (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007). Enquanto alguns destes estudos parecem ter sido inconclusivos, um estudo de Herscovics e Kieran (1980), referido em Schliemann, Carraher e Brizuela (2007), 21

22 baseado numa intervenção para alargar o conceito de igualdade na Aritmética para a Álgebra, com alunos do 7º e 8º ano, encontra evidência de que passou a existir uma melhor compreensão sobre as identidades aritméticas, as equações e as regras algébricas. Também vários estudos centrados nas equações, nas questões ligadas com a noção de igualdade ou na transformação de expressões aritméticas em expressões algébricas parecem ter sido inconclusivos, mas outros estudos bem sucedidos revelam inadequada a ideia de que as limitações no desenvolvimento cognitivo, são as responsáveis pelas dificuldades que os alunos sentem na aprendizagem da Álgebra, sugerindo antes que elas reflectem, sim, a forma como eles foram ensinados (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007) na matemática elementar, em particular, na Aritmética. Ainda no âmbito das abordagens pré-algébricas, o foco foi-se entretanto deslocando das equações, para a generalização, os padrões numéricos, as variáveis e funções. Neste segundo bloco de estudos, uma investigação de Bednarz (2001), com alunos de 13 e 14 anos para incentivar o desenvolvimento de procedimentos algébricos num contexto de resolução de problemas onde se destacava a generalização matemática e a representação de padrões numéricos, mostrou que as respostas escritas dos alunos que incluem notações intermédias, como descrições verbais e representações icónicas de quantidades, são importantes ferramentas transitórias que os ajudam a encontrar soluções para os problemas de Álgebra (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007, p. 5). Estas representações dos próprios alunos, como desenhos, tabelas e comentários verbais, são reconhecidas como importantes pontos de partida para a notação matemática convencional, servindo de registo intermédio e apoio ao pensamento (Carraher, Schliemann, & Schwartz, 2008). Também um estudo de Fujii (2003) conclui que o trabalho com as quase-variáveis pode apoiar as crianças dos primeiros anos de escolaridade a lidar com a generalização algébrica muito antes de aprenderem a notação algébrica. Este trabalho na Aritmética, apoia-se em expressões como para calcular 32-5 ou em , para calcular 22-9, destacando a estrutura subjacente à decomposição dos números e a equivalência das expressões numéricas para facilitar o cálculo mental, construindo pontes entre problemas aritméticos e as oportunidades de os pensar algebricamente. Quando os alunos lidam com expressões numéricas generalizáveis ou expressões quase-variáveis como lhes chamei, os professores têm de apoiar os alunos a não lerem estas expressões como comandos para calcular. Identificar os números críticos e os elementos relacionais consubstanciados nessas expressões requer que os alunos se foquem 22

23 especialmente em expressar e transformar a estrutura subjacente (Fujii, 2003, p. 63). Por outro lado, diversos estudos referidos em Schliemann, Carraher e Brizuela (2007), reconhecem que a tecnologia computacional como o Logo, as folhas de cálculo e outro software multi-representacional: facilita ligações com as representações convencionais, através das representações intermédias que oferece; facilita a emergência do raciocínio algébrico através da modelação de situações reais; convida à conjectura e à exploração; e permite o uso de múltiplas formas de representar situações matemáticas desde o uso da linguagem simbólica, à linguagem numérica, gráfica e à linguagem natural. No entanto, alguns destes estudos reconhecem a necessidade de actividades especialmente estruturadas e da intervenção e apoio do professor, para que se desenvolvam realmente as aprendizagens previstas. De acordo com Schliemann, Carraher e Brizuela (2007), o software torna-se uma ferramenta para modelar situações e relações e um meio para os alunos representarem as suas compreensões e flexivelmente transitarem entre diferentes tipos de representação (p. 7). Na mesma linha, a revisão de literatura realizada por Kieran (2007a) reconhece que os ambientes tecnológicos, pela facilidade de ligarem diferentes representações ajudam os alunos no desenvolvimento do pensamento algébrico, mas a qualidade das tarefas, o ensino e o ambiente aprendizagem continuam a ser decisivos, para além de que é preciso dar algum tempo aos alunos. E embora muitos destes estudos reconheçam que grande parte dos problemas residem nas experiências limitadas dos alunos na Aritmética, poucos põem em causa a sequência curricular que prevê a Álgebra para mais tarde e depois da Aritmética. É, no entanto, o movimento da Early Algebra que vai questionar esta ordem. A Early Algebra: uma resposta qualitativamente diferente. Na visão mais tradicional sobre o ensino da Matemática, entende-se que a Aritmética e a Álgebra são dois domínios diferentes e as abordagens transitórias referidas anteriormente mais não fazem que procurar construir pontes, que facilitem a transição da Aritmética, primeiro, para a Álgebra, depois, sem questionarem esta ordem, não indo assim às raízes do problema. Nos anos 90, vários investigadores, entre os quais James Kaput, assumindo que as dificuldades dos alunos com a Álgebra se devem à experiência limitada que tiveram no ensino da Aritmética, mais do que a limitações no seu desenvolvimento cognitivo, começaram a questionar o caminho dos cursos introdutórios à Álgebra, propondo aquilo que ficou conhecido como o movimento da Early Algebra (Carraher & Schliemann, 2007; Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007). Como o próprio nome indica, este movimento defende a introdução das ideias 23

24 da Álgebra no currículo da escola elementar, desde os anos mais novos, propondo um repensar das relações entre a Aritmética e a Álgebra e assumindo como ideia chave que a Aritmética é parte da Álgebra (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007). Segundo alguns autores, uma profunda compreensão da Aritmética exige certas generalizações matemáticas, o que os leva a considerarem, em muitos aspectos, a Álgebra como aritmética generalizada. Mas parece existir aqui uma contradição: se a Álgebra não é fácil para os alunos das escolas médias e superiores, porquê e como introduzi-la mais cedo na escola elementar? Uma das hipóteses adiantada pelos defensores da Early Algebra é a de que, sendo as dificuldades das crianças atribuídas, em parte, à forma limitada como a Aritmética lhes foi ensinada, há que prevenir a situação desde os anos mais novos, de modo a obviar a que tal aconteça. E isto parece ser facilitado, porque se admitem outras formas de representação da generalização de relações da Aritmética, para além da notação simbólica algébrica, como a linguagem natural, as tabelas e os gráficos. O que caracteriza então a Early Algebra? Os seus defensores acreditam que, uma vez que as dificuldades decorrem da forma como os alunos foram ensinados na Aritmética, sob condições apropriadas, todos poderão aprender a raciocinar algebricamente (Schlieman, Carraher, & Brizuela, 2007). O ArAlProject é um exemplo de um projecto que pretende apoiar os professores da escola elementar e média para responderem às dificuldades dos alunos com a Álgebra, cujas razões principais são identificadas com a perda de significado acerca dos objectos estudados (Malara, 2005). A hipótese forte do Projecto é a de que existe uma analogia entre as formas de aprender uma linguagem natural e as formas de aprender uma linguagem algébrica (Malara, 2005, p. 287), procurando desenvolver um percurso pela Aritmética que favoreça o raciocínio pré-algébrico. Ou seja, a ideia é a de que, se mergulharmos os alunos num ambiente aritmético centrado nas relações entre os números e entre as operações e nas propriedades dos números e das operações, mais do que nos cálculos em si, favorecemos a ocorrência de formas de pensamento algébrico, de um modo natural. No ensino e aprendizagem tradicional da Álgebra, a tendência é ensinar as regras e outra sintaxe, sacrificando o significado. A ideia de Malara é de que os modelos mentais que caracterizam o pensamento algébrico podem emergir de um ambiente aritmético, começando logo nos primeiros anos da escola, desenvolvendo formas iniciais de conversa com os alunos, contendo elementos algébricos (Malara, 2005). Mas a Early Algebra, não é de modo algum a Álgebra que conhecemos da escola, introduzida uns anos mais cedo, mas sim uma outra Álgebra emergente, que aparece misturada nos conteúdos da matemática elementar. 24

25 De acordo com Carraher, Schliemann e Schwartz (2008), a Early Algebra toma como ponto de partida, as situações e contextos dos problemas, admite que a notação formal é introduzida gradualmente, exigindo um estar atento às interpretações dos alunos e não constitui mais um tópico que se acrescenta, mas está espalhada em todo o currículo, nos problemas de palavras, nas operações aritméticas e em tópicos como razão e proporção, nos números racionais e na medida e nos sistemas representacionais, cabendo ao professor fazer emergir esse carácter algébrico. Algumas destas dimensões, estão presentes no problema das caixas dos doces (candy boxes problem) e das carteiras (wallet problem) e na exploração que o professor faz dos problemas, com alunos de um 3º e 4º anos, entre os 8 e os 10 anos (Carraher, Schliemann, & Schwartz, 2008). Na abordagem que o professor faz aos problemas, que são colocados de forma muito aberta, vai-se apoiando progressivamente nas representações dos alunos e noutras representações mais convencionais que introduz de forma progressiva, como tabelas e gráficos, antes da referência à notação algébrica. Blanton e Kaput (2005a), identificam como ferramentas para o pensamento algébrico, objectos como tabelas em T, de entrada e saída de valores, representações visuais como linhas numéricas, diagramas ou gráficos de linhas e processos como registo, recolha, representação e organização de dados. Para os investigadores em Early Algebra, as múltiplas representações desempenham um papel importante na aprendizagem, as primeiras das quais são as representações dos próprios alunos (como desenhos, esquemas ou comentários verbais), das quais se destacam as tabelas, mesmo como apoio ao estudo das funções. O termo representação, é usado por Carraher, Schliemann e Schwartz (2008), como incluindo qualquer expressão de ideias matemáticas que possam ser observadas pelos outros. Estas não constituem um fim em si, mas devem ser lidas e analisadas na procura de generalizações, procurando ver o que varia e o que se mantém constante, para que possam ser usadas para melhorar a compreensão, encontrar expressões gerais e predizer resultados a partir dos dados conhecidos. Também as funções, tal como os números, têm várias representações, cada uma delas evidenciando certas características, pelo que se torna um desafio para melhorar a compreensão, os alunos pensarem como as mudanças numa representação afectam a outra (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007). Muito do trabalho em aprender a pensar algebricamente consiste em aprender como gerar representações num sistema a partir de representações dadas num outro (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007, p. 123). Na mesma linha, o NCTM (2007) reconhece a importância das diferentes representações nos processos de apropriação dos conceitos, através da sua tradução e do estabelecer de relações entre diferentes modos de representação. 25

26 O raciocínio aritmético e numérico, através da exploração de expressões numéricas com valores em falta, do tipo 7+?=15 (um problema algébrico que lida com os inversos), ou do trabalho com as quase-variáveis, expressões numéricas generalizáveis como 71-13= ou =36, pode ser um ponto de entrada para o raciocínio algébrico (Carraher & Schliemann, 2007). Também, segundo os mesmos autores, a Aritmética e as funções constituem um outro ponto de entrada na Early Algebra, e colocar as funções no centro do ensino da Álgebra, passa por associar as letras a variáveis realmente a variar e não como representando um valor, usar as expressões como representando funções e usar o sistema de coordenadas cartesianas como espaço onde se apresentam e interpretam resultados de cálculos (Chazan & Yerushalmy, 2003; Carraher & Schliemann, 2007). Neste sentido, as próprias operações aritméticas podem ser vistas como funções, e as múltiplas representações das funções, cada uma colocando em destaque diferentes aspectos e o trabalho com os padrões, focado nas regras de transformação, são também aspectos privilegiados de desenvolvimento do pensamento algébrico, com uma dimensão funcional. Podemos assim concluir que a aritmética generalizada e o pensamento funcional, oferecem ricos e acessíveis pontos de entrada para os professores estudarem o pensamento algébrico (Blanton & Kaput, 2005a, p. 440). Os professores podem aprender a pensar espontaneamente acerca destas formas de raciocínio algébrico e a aritmética generalizada pode ser particularmente frutuosa, como um contexto inicial para construir a capacidade dos professores introduzirem o raciocínio algébrico, de forma natural, nas conversas da sala de aula. Nos últimos anos, vários estudos têm sido desenvolvidos na perspectiva da Early Algebra. A investigação conduzida com actividades destinadas a jovens dos primeiros seis anos de escolaridade, mostra que eles podem raciocinar algebricamente, usando notação algébrica para resolver problemas verbais, desenvolvendo representações escritas para problemas algébricos ou explorando relações matemáticas através do uso de frases com números (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007). Quando o foco do trabalho das crianças incide nas relações matemáticas, que emergem do uso de diferentes operações para resolver um problema, mostrando perceber como estas estão relacionadas entre si, através do recurso às relações inversas subtracção adição ou multiplicação divisão, elas têm implícito o raciocínio algébrico (Schifter, 1999). É o que este autor identifica como o desenvolvimento do sentido de operação nos primeiros anos de escolaridade. Também um estudo referido em Schliemann, Carraher e Brizuela (2007), com alunos de 3º ano mostrou a sua capacidade para fazerem generalizações e para usarem argumentos intuitivos na discussão de operações sobre números pares e ímpares, considerados como placeholders ou como variáveis. 26

27 Num estudo onde se desenvolveram actividades de ensino para explorar frases com números (tipo 5+4=9), procurou-se desenvolver um significado para o sinal de igual, mais abrangente do que a produção de um resultado, usando exemplos como 9=5+4 e 3+6=5+4. Estas equivalências procuraram fazer emergir a propriedade reflexiva da relação de igual a=a, mas também as propriedades simétrica (a=b => b=a) e transitiva (a=b e b=c => a=c) que parecem trazer alguma dificuldade. Os resultados mostraram que crianças com 8 a 9 anos de idade eram capazes de compreender os diferentes usos do sinal de igual através de actividades desenhadas para o efeito, evidenciando uma continuidade entre a Aritmética e a Álgebra. Virtualmente, todas as manipulações sobre as equações, requerem a compreensão de que o sinal de igual representa uma relação ( ) Compreender que o sinal de igual representa uma relação entre números iguais revela o poder da Álgebra para representar problemas e levar a cabo operações complexas para expressões matemáticas. Isto pode enriquecer a aprendizagem da Aritmética, assim como a aprendizagem da Álgebra (Carpenter, Franke, & Levi, 2003, p. 22). Os estudos da Early Algebra mostram evidência de que as crianças podem aprender as regras e princípios das equações da Álgebra nos anos mais novos, mas também destacam a necessidade de acompanhar com atenção as discussões e processos de raciocínio das crianças na sala de aula, de modo a perceber os seus processos de aprendizagem e a forma como abordam os padrões, a generalização e as funções (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007). Em resumo, as dificuldades sentidas pelos alunos, são atribuídas, por uns, a limitações no seu desenvolvimento cognitivo e, por outros, à forma limitada como foram ensinados na Aritmética. Relativamente a estas últimas, elas parecem residir na ênfase na obtenção de resultados numéricos em detrimento da procura de relações, no uso do sinal de igual como unidireccional, com vista à produção de um resultado e numa identificação limitada do uso das letras. Duas abordagens se têm desenvolvido para suprir as dificuldades: uma que passa essencialmente por cursos pré-algébricos que visam suavizar a entrada na Álgebra e outra, designada de Early Algebra que, entendendo a Aritmética como parte da Álgebra, visa desocultar essa estrutura através de um trabalho a desenvolver desde os primeiros anos de escolaridade. Algumas abordagens pré-algébricas procuram alargar o conceito de igualdade da Aritmética para a Álgebra, para eliminar os erros na resolução das equações, mas outras trabalham na resolução de problemas, usando a generalização e a 27

28 representação de padrões numéricos, com vista a desenvolver procedimentos algébricos. Embora alguns destes estudos encontrem evidência de uma melhor compreensão dos alunos sobre os objectos e regras algébricas, reconheçam nas representações intermédias dos alunos, pontes importantes para a notação convencional e na tecnologia computacional uma ferramenta que facilita diferentes tipos de representação, outros estudos foram inconclusivos. A Early Algebra, fez uma abordagem qualitativamente diferente, ao propor repensar as relações entre a Aritmética e a Álgebra, assumindo como ideia chave que a Aritmética é parte da Álgebra e que o pensamento algébrico se pode desenvolver desde os primeiros anos da escolaridade. Procurando revelar a natureza algébrica da estrutura da Aritmética, propõe uma abordagem espalhada ao longo do currículo, a partir das situações e contextos de problemas, centrada na generalização (da Aritmética), na procura de relações, apoiando-se nas representações dos alunos e noutras representações mais convencionais, que vai introduzindo progressivamente, antes da referência à notação algébrica. Vários estudos conduzidos com alunos dos primeiros seis anos de escolaridade, centraram-se na exploração de relações matemáticas, no uso das operações inversas na resolução de problemas numéricos, na generalização e no uso de letras como variáveis, no trabalho com expressões numéricas com valores em falta e com as quase-variáveis e no alargar do significado do sinal de igual, tendo revelado evidência de que os alunos eram capazes de raciocinar algebricamente. Também as funções, através das múltiplas representações a elas associadas, da tradução de umas nas outras e no estudo das implicações que as alterações numa trazem para as outras, constituem um importante desafio para o desenvolvimento do pensamento algébrico: o pensamento funcional. Esta vertente tem vindo a valorizar-se nos últimos anos, mercê do desenvolvimento da tecnologia computacional, pelo que merece uma breve referência na sub-secção seguinte, sendo o assunto retomado e desenvolvido no capítulo seguinte, dedicado às TIC e ao pensamento algébrico. A abordagem funcional e a tecnologia A Álgebra para os jovens, exige diferentes abordagens daquela que é introduzida aos adolescentes, admitindo-se que a notação algébrica convencional é apenas uma entre outras (tabelas, frases com números, gráficos, etc.), que os contextos desempenham um papel importante e que as funções fornecem oportunidades para trazer ao de cima o carácter algébrico de muitos tópicos e actividades da Early Algebra (Carraher & Schliemann, 2007, p. 674). O conceito de pensamento funcional, incorpora a construção e generalização de padrões e relações, usando diversas ferramentas linguísticas e representacionais e 28

29 tratando as relações generalizadas, ou funções, que resultam como objectos matemáticos úteis em seu próprio proveito (Blanton & Kaput, 2005b, p. 2). De acordo com Chazan e Yerushalmy (2003), as abordagens à Álgebra baseadas em funções, colocam a ênfase inicialmente na interpretação de letras como variáveis, em vez de incógnitas; expressões como regras de correspondência para funções; o sistema de coordenadas cartesianas como um espaço onde se apresentam os resultados dos procedimentos de cálculo, em vez de pontos num conjunto solução; o sinal de igual como a designação para um processo particular de cálculo (f(x)= ) e como a indicação da identidade entre dois processos de cálculo (p. 132). A defesa da introdução de uma abordagem funcional à Álgebra, encontra evidência nalguns estudos referidos em Carraher e Schliemann (2007). Um estudo conduzido por uma equipa de investigadores com 78 alunos do 2º ano, em três salas de aula experimentais, desenvolveu um conjunto de actividades ligando explicitamente a posição ordinal de um padrão geométrico constituído por um conjunto de figuras, ao número de elementos em cada figura (Moss et al., 2006, referidos em Carraher e Schliemann, 2007). Procurava-se assim cobrir o hiato entre a abordagem escalar e funcional e facilitar a integração das compreensões numéricas e visuais dos alunos, alternando entre os dois tipos de representação dos padrões. As actividades envolveram padrões geométricos e cartões de posição, funções simples e compostas, trabalho com uma máquina de transformação de valores e tabelas e chegaram a algumas conclusões, quando comparados com 22 alunos do 4º grau que constituíram o grupo de controle: as crianças no grupo experimental foram capazes de construir padrões geométricos baseados nas representações algébricas, de reconhecer funções de padrões geométricos, incluindo funções compostas de dois passos, e para usar linguagem sincopada para expressar funções (Carraher & Schliemann, 2007, p. 689). Também na abordagem à Early Algebra, proposta por Carraher e Schliemann (2007), refere-se: Especificamente, nós propusemos (Carraher, Schliemann, & Brizuela, 2000) que as operações da Aritmética podem ser vistas como funções. Central à nossa abordagem é o uso de múltiplas representações, nomeadamente, a linguagem natural, os segmentos de recta, tabelas de funções, gráficos cartesianos e notação algébrica (Carraher & Schliemann, 2007, p. 690). 29

30 No mesmo sentido, o desenvolvimento do pensamento funcional é abordado por outros investigadores, que chamam a atenção para a necessidade de passar de uma abordagem centrada nos padrões recursivos, para uma outra que procura a variação conjunta entre variáveis, através do uso de diferentes ferramentas de representação (Blanton & Kaput, 2005b). As conexões entre as diferentes representações, podem permitir ultrapassar dificuldades e ambiguidades que podem existir nalguma delas vista isoladamente, melhorando a compreensão dos alunos, apoiando-os a darem sentido aos dados e a interpretar relações, sob formas progressivamente mais sofisticadas. As tabelas em T e os gráficos são entendidos, mais do que simples representações visuais, como ferramentas que permitem comparar dados e desocultar e explicitar relações (Blanton & Kaput, 2005b). O problema do dinheiro na carteira (wallet problem) de Mike e Robin, referido por Carraher, Schliemann e Schwartz (2007), explorado com alunos do 4º ano, começa aberto e envolve a comparação entre funções (w+8 e 3.w). Se for logo colocada a condição que obriga os dois a terem quantidades iguais, esta restrição convida ao uso de equações e encoraja o estudante a pensar na variável como um valor determinado, uma incógnita. Isso não deixa as funções livres, a variar, encorajando os alunos a explorarem primeiro a variação inerente a cada função, ou seja, o total de dinheiro em função da quantidade existente na bolsa (Carraher & Schliemann, 2007), introduzindo posteriormente a condição que as condiciona a serem iguais, procurando nos gráficos das duas funções a solução. Como referem, nós preferimos pensar numa incógnita como uma variável que por uma ou outra razão acontece estar condicionada a um único valor, como quando w+8 se iguala a 3.w ( ) Através de experiências com problemas deste tipo, as crianças começam a lidar com mais do que uma função ao mesmo tempo, analisando os padrões nas mudanças nas relações entre quantidades, variáveis e funções e encontrando no gráfico o valor que pode tornar as duas funções iguais (Carraher & Schliemann, 2007, p. 691) Os estudos de Moss et al. (2006), referidos em Carraher e Schliemann (2007), mostram que as regras de transformação são acessíveis a jovens alunos e que as actividades com padrões, se focadas sobre as regras de transformação e as representações numéricas e geométricas, podem constituir um significativo ponto de entrada para a EA (p. 694). Os resultados identificados na investigação apontam para que os jovens dos 8 aos 11 anos, envolvidos nas actividades de Early Algebra, podem aprender: (i) a ver as operações aritméticas como funções em vez de as identificarem simplesmente como cálculos sobre números; (ii) a deslocar o pensamento da relação 30

31 entre números específicos para as relações entre conjuntos de números e medidas; (iii) construir o significado de variável como quantidade realmente a variar e não como incógnita com um valor determinado; (iv) deslocar-se do cálculo de respostas numéricas para a descrição e representação de relações entre variáveis; (v) construir e representar gráficos de diferentes funções lineares e não-lineares; (vi) resolver problemas algébricos usando múltiplas representações tais como tabelas, gráficos e equações escritas; (vii) ser capaz de inter-relacionar diferentes sistemas de representação de funções. Mas parece ter sido o desenvolvimento da tecnologia nos últimos anos que veio valorizar a abordagem funcional à Álgebra, ao permitir que os estudantes explorem os sistema simbólicos, fortemente interligados com contextos tabulares, geométricos e gráficos (Ferrara, Pratt & Robutti, 2006). Em particular, as folhas de cálculo, ajudam na observação de relações entre quantidades, permitem múltiplas representações de funções, reduzindo a carga cognitiva de interacção com aspectos do simbolismo matemático e valorizam a aprendizagem de exemplos em várias representações ligadas (gráficos e tabelas) (Yerushalmy e Chazan, 2003, p. 734). As recentes abordagens apoiadas tecnologicamente à Álgebra introdutória escolar, muitas vezes enfatizam o uso de múltiplas representações de funções e deste modo parecem articular um papel curricular diferente para as funções na Álgebra escolar (Yerushalmy e Chazan, 2003, p. 729). A investigação conduzida em ambientes tecnológicos, chama a atenção para a importância da qualidade das tarefas e das discussões em sala de aula, em que o professor procura que os conceitos venham ao de cima, na actividade transformacional. No entanto, refere a necessidade de manter em paralelo o trabalho com as técnicas algébricas de papel e lápis (Kieran, 2007a, p. 748). Também relativamente ao uso da tecnologia no ensino da Álgebra, a autora adverte para o facto de que alguns argumentaram que ferramentas como os sistemas de Álgebra por computador podem fazer todo o trabalho simbólico, dispensando a necessidade dos alunos se envolverem em tal aprendizagem por eles próprios. Contudo, a investigação mostrou que o conceptual não evolui no aprendente de Álgebra se os aspectos técnicos forem negligenciados (Kieran, 2007a, p. 749). 31

32 Como já foi referido, a relação da tecnologia com a abordagem funcional à Álgebra, será abordada e aprofundada no capítulo seguinte, denominado As TIC e o pensamento algébrico. Em resumo, a abordagem funcional à Álgebra, permite revelar o carácter algébrico de muitos tópicos da Matemática, interpretar as letras como variáveis, as expressões como regras para funções, a representação gráfica como um espaço de apresentação de resultados de cálculos e o sinal de igual designando, quer um processo particular de cálculo, quer a identidade entre dois processos de cálculo. O desenvolvimento da tecnologia veio valorizar esta abordagem, na medida em que facilitou a emergência de representações alternativas ao sistema simbólico algébrico, como as representações numéricas em tabela, geométricas e gráficas, permitindo uma fácil transição entre elas. Alguns estudos apresentam evidência, reconhecendo o papel da abordagem funcional, quando se desenvolvem actividades com padrões geométricos, tendo em vista relacionar explicitamente a posição com o correspondente elemento do padrão, procurando que os alunos evoluam de uma abordagem escalar, apenas numa variável, para uma abordagem funcional, que relaciona duas ou mais variáveis. Esta abordagem funcional valoriza também as múltiplas representações, nomeadamente a linguagem natural, as tabelas e os gráficos. A investigação reconhece ainda que os estudantes entre os 8 e os 11 anos, envolvidos em actividades de Early Algebra, aprendem a ver as operações como funções, centram-se nas relações em vez do cálculo, vêem as variáveis como quantidades a variar, usam diferentes representações para resolverem problemas algébricos e interrelacionam-nas. Os ambientes tecnológicos, por seu lado, não dispensam as técnicas algébricas de papel e lápis e requerem tarefas de qualidade e boas discussões que o professor deve conduzir de modo a fazer emergir os conceitos. Questões em aberto Embora os resultados da intervenção ao nível da Early Algebra, tenham aberto um campo de novas possibilidades para ensinar uma aritmética algebrizada, deixaram um conjunto de questões por responder, nomeadamente: (i) o debate desenvolvimento versus aprendizagem; (ii) o papel dos contextos na aprendizagem; (iii) o papel dos sistemas representacionais (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007). O debate desenvolvimento versus aprendizagem, exige melhores respostas da investigação. Embora a evidência seja favorável a que as crianças podem raciocinar algebricamente e aprender Álgebra, sob condições apropriadas que superem as limitações ao nível do ensino e do desenho do currículo, há investigação que mostra 32

33 que alguns conceitos requerem um longo tempo para amadurecerem. É o que se passa com o conceito de diferença, porque assume significados diferentes quando se refere a linhas numéricas, medidas, gráficos ou diagramas de vectores, por exemplo. Uma outra questão, nomeadamente um dos grandes desafios que os contextos colocam, é perceber como o conhecimento abstracto sobre os objectos matemáticos e estruturas pode vir da experiência e do raciocínio sobre situações particulares (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007, p. 122). Finalmente, de acordo com Schliemann, Carraher e Brizuela (2007), as múltiplas representações envolvem a notação simbólica algébrica, a linguagem natural, as expressões numéricas e as visualizações geométricas. Pensar algebricamente, num sentido amplo, está associado e embebido em cada um dos sistemas representacionais referidos e a compreensão dos conceitos está associada às relações que se estabelecem entre diferentes sistemas e à tradução de uns nos outros. Assim, algumas perguntas ficam por responder. Pode a notação algébrica formal ser parte das actividades da Early Algebra? Sob que circunstâncias é apropriado introduzir a notação algébrica? Deve a notação algébrica ser semanticamente ou sintacticamente guiada? Como é que as diferentes notações se relacionam com o raciocínio matemático? De facto, a introdução da notação simbólica nos anos mais novos é controversa, pelo que é importante enquadrá-la na investigação mais geral sobre como as notações, quaisquer que sejam, se relacionam com o raciocínio matemático. Finalmente, importa investigar como a notação algébrica se torna um instrumento para o raciocício matemático. Em parte, isto tem a ver sobre como ela se torna sintaticamente guiada. Porque se permanece importante para os alunos serem capazes de interpretar expressões algébricas simbólicas com relação com contextos ricos, o significado semântico nunca deve ser totalmente abandonado (Schliemann, Carraher & Brizuela, 2007, p. 125). Também Kieran (2007a) refere que os resultados de alguns estudos sobre o uso da calculadora gráfica, apesar de lhes encontrarem vantagens na melhoria da compreensão dos alunos sobre funções e gráficos, mostram simultaneamente continuarem a existir dificuldades para verem a relação entre as representações algébricas e gráficas, cuja explicação pode estar, em parte, no tempo necessário para construir a compreensão da notação simbólica. Outra questão que Warren e Cooper (2008) referem e que importa investigar é a relação entre a descrição oral dos padrões, que os alunos fazem com maior facilidade e o colocar da descrição na forma escrita, onde revelam bem mais dificuldades. 33

34 No seu trabalho, Ponte (2006) deixa também algumas interrogações sobre o papel e lugar da tecnologia na aprendizagem da Álgebra, nomeadamente: o que devem aprender primeiro, os conceitos e processos com papel e lápis ou a par e passo com o uso e exploração da tecnologia? E para que devem usar a tecnologia? Para confirmar os resultados já obtidos ou como instrumento de exploração? E embora a folha de cálculo seja reconhecida por alguns investigadores como uma ferramenta que permite estabelecer uma ponte com a Álgebra, ajudando os alunos a progredirem dos exemplos específicos para a descrição de relações gerais, alguns avisam que os alunos tendem a generalizar de forma recursiva, mais do que explicitamente, o que pode dificultar gerarem regras algébricas que traduzam padrões identificados (Kieran, 2007a). Finalmente, o trabalho de Schliemann, Carraher e Brizuela (2007), chama a atenção para a necessidade da investigação olhar mais de perto para as discussões e processos de raciocínio das crianças (à medida que participam nas actividades de sala de aula ou entrevistas) para identificar os processos de aprendizagem dos alunos e como eles lidam com os padrões, generalização e funções (p. 11). Em resumo, questões como a relação entre o desenvolvimento e a aprendizagem para superar as dificuldades dos alunos, o papel dos contextos na construção dos objectos abstractos da Álgebra e o papel e peso relativo das diferentes representações no desenvolvimento do pensamento algébrico, são algumas das questões deixadas em aberto pela investigação. Um outro conjunto de questões que têm introduzido alguma controvérsia e que merecem alguma atenção da investigação é a oportunidade da introdução da notação simbólica nos primeiros anos e o tempo necessário para a sua apropriação, as dificuldades que os alunos experimentam nas descrições orais e escritas, o papel da tecnologia na aprendizagem da Álgebra e a importância das discussões e processos de raciocínio das crianças. De que forma têm as orientações curriculares no domínio dos Números e da Álgebra integrado as questões do pensamento algébrico, nomeadamente algumas das conclusões e recomendações da investigação neste domínio, é o que vou tentar descrever na secção seguinte. 34

35 Orientações curriculares em Números e Álgebra O que se sabe sobre as novas tendências curriculares, no âmbito dos Números e Álgebra, nomeadamente ao nível do desenvolvimento do pensamento algébrico? Que indicações nestes domínios estabelecem os novos documentos de orientação curricular internacionais e qual a sua expressão no currículo de matemática do ensino básico português, nomeadamente no novo programa de Matemática para o Ensino Básico? Que indicadores da Early Algebra encontramos no novo Programa? Orientações curriculares internacionais: marcos, evolução e tendências A partir de meados dos anos 70 assiste-se, através da publicação de relatórios e de outros documentos, a um movimento que rejeita o back to basics, entendido como um retorno às competências básicas, como reacção ao estruturalismo e formalismo do movimento da matemática moderna (Brocardo, 2001). Esse movimento aponta para novas tendências para o ensino da Matemática, que se expressam na Agenda para a acção: recomendações para o ensino da Matemática nos anos 80, da responsabilidade do National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), que pretende alargar as competências básicas e colocar o foco da Matemática escolar na resolução de problemas, (NCTM, 1985). Os anos 80, caracterizam-se pelo ultrapassar de uma atitude estritamente reactiva às propostas do back to basics, para se concentrarem na renovação do ensino da Matemática, com a contribuição de indivíduos e instituições, de publicações e de vários estudos sobre o ensino da Matemática, de que são exemplo, o relatório Mathematics Counts (Cockroft, 1982), Everybody Counts (NRC, 1989) e as Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar (NCTM, 1991). Este último documento, um dos mais divulgados e influentes no panorama da renovação curricular, aponta para três ideias centrais: a de poder matemático, a das conexões matemáticas e a do uso de uma grande variedade de métodos de trabalho e acesso a calculadoras e computadores. Já nos anos 90 o NCTM publica, a par das Adendas às Normas para o Currículo, dois documentos de grande importância, discutindo aspectos relativos ao professor de Matemática: as Normas Profissionais para o ensino da Matemática (NCTM, 1994), que constitui um contributo sobre as práticas, a formação e o desenvolvimento profissional do professor e as Normas para a avaliação em matemática escolar (NCTM, 1999). Ainda nos anos 90, o NCTM começa a preparar a publicação do novo documento, Principles and Standards for School Mathematics, que viria a ser editado em 2000 e traduzido pela Associação de Professores de Matemática (APM), em 2007, 35

36 perspectivando uma actualização das Normas anteriores, englobando aspectos de sala de aula, do currículo, do ensino e da avaliação. Os Princípios e Normas para a Matemática Escolar, preparados desde 1995, e publicados na versão original em inglês, em 2000, pretendem proporcionar uma orientação e uma visão global para a Matemática escolar. Os Princípios descrevem características de uma educação matemática de elevada qualidade; as Normas descrevem os conteúdos e processos matemáticos que os alunos deverão aprender (NCTM, 2007, p. 11). Pela importância que tiveram na educação matemática em Portugal algumas ideias e orientações curriculares do NCTM, expressas nas duas edições das Normas para o Currículo, publicadas nas versões originais, respectivamente em finais dos anos 80 e no ano 2000, vou deter-me na tradução portuguesa deste último documento, publicada em Os Princípios e Normas para a Matemática Escolar. No que se refere ao material com relevo para a investigação, vamos deter-nos com maior ênfase na Norma relativa à Álgebra, que coloca a ênfase nas relações entre quantidades, incluindo funções, nas formas de representar relações matemáticas e na análise da variação (NCTM, 2007). Reconhece-se que, embora ideias e relações matemáticas complexas se possam exprimir através de notação simbólica, esta construção surge a partir de muitas experiências dos alunos com números, desde os primeiros anos, embora a Álgebra mantenha também uma relação estreita com a geometria e a análise de dados. A experiência sistemática com padrões poderá vir a desenvolver a noção de função (Erick Smith, para edição) e a experiência com os números e as suas propriedades, cria bases para o trabalho posterior com símbolos e expressões algébricas (NCTM, 2007, p. 39). Desde as experiências das crianças em idade pré-escolar com a classificação e ordenação de objectos, passando pela descrição verbal da regularidade dos padrões que encontram, ao uso de variáveis e expressões algébricas para os descrever e ampliar, até à notação das funções para descrever relações, todas constituem experiências introdutórias da Álgebra. O documento refere que, no 2º e 3º ciclo, os alunos deverão ser capazes de compreender as relações entre tabelas, gráficos e símbolos e de avaliar as vantagens e as desvantagens de cada forma de representação, consoante os objectivos em causa (NCTM, 2007, p. 40). O trabalho com os números triangulares ou os números quadrados, que podem ter uma representação visual, facilita a compreensão das regularidades envolvidas, porque, de um modo geral, os alunos compreendem argumentos geométricos muito 36

37 antes de ser razoável supor-se que sejam capazes de efectuar manipulações sofisticadas dos símbolos algébricos (NCTM, 2007, p. 41). A noção de variável, pela complexidade e dificuldade de compreensão pelos alunos que revela, deve apoiar-se num grande conjunto de experiências, em que surja em diferentes contextos (por exemplo, +3=15; 4*x-2=18; 0*x=0; y=a*x+b; A= *r 2 ) ao longo da escolaridade, constituindo uma base para a compreensão das funções. Também a modelação de fenómenos é considerada uma poderosa utilização da matemática. Desde um simples jogo em que as crianças utilizam fichas para representar (modelar) um problema que envolve peças de fruta, passando pelo uso da fórmula S=(8/3)*F para descrever a relação entre o número de copos de sumo (S) e o número de copos de concentrado de fruta (F), à modelação de fenómenos físicos de movimento através de funções lineares ou quadráticas ou à representação tabular e gráfica de dados recolhidos directamente de sensores, todas constituem exemplos de situações em que a construção de modelos e sua análise, constituem boas experiências ao nível do pensamento e do trabalho algébrico (NCTM, 2007). Também o estudo da variação, como uma das linhas de desenvolvimento do pensamento algébrico, deve ser privilegiado desde os primeiros anos de escolaridade. Primeiro, através de variações qualitativas, como a mudança de um atributo como a cor, e posteriormente, através de variações quantitativas, observando variações naturais de crescimento de plantas, sequências com crescimento aritmético e geométrico, taxas de variação e mais tarde derivadas. O capítulo Teaching and Learning Algebra, do livro Teaching and Learning Mathematics Pre-Kindergarten Through Middle School, (Sheffield & Cruikshank, 2005), contém um conjunto de objectivos e actividades que devem fazer parte da formação matemática em Álgebra de todos os alunos, desde os graus K-2 até ao 6-8. Este livro integra-se no conjunto de materiais que se destinam a apoiar os professores em levar à prática as recomendações contidas nos Princípios e Normas para a Matemática Escolar (NCTM, 2007). Por este motivo, vale a pena analisar algumas ideias e propostas didácticas aí sugeridas, sobre a aprendizagem da Álgebra. Sheffield & Cruikshank (2005) referem que a Álgebra pode ser entendida como a teoria e prática das operações aritméticas que usa símbolos, especialmente letras para representar variáveis desconhecidas em equações (p. 306), mas também como uma aritmética generalizada, sendo o próprio pensamento algébrico considerado como uma extensão natural do pensamento aritmético. As actividades são desenhadas tendo em vista que os alunos dêem sentido aos conceitos algébricos e desenvolvam skills de pensamento e raciocínio algébrico, reconhecendo, expandindo e generalizando padrões e usando modelos, símbolos, variáveis e equações para descrever padrões, generalizações e relações (Sheffield & Cruikshank, 2005, p. 306). 37

38 Por exemplo, compreender padrões, relações e funções, constituem aspectos críticos do raciocínio algébrico (NCTM, 2007) e devem acompanhar os alunos desde a educação pré-escolar até ao 12º ano. Esta capacidade de ver padrões e fazer generalizações assenta nas definições da Álgebra como aritmética generalizada, sendo que as crianças devem ter experiências com padrões de repetição e de crescimento, padrões numéricos e geométricos, onde se coloquem sempre questões mais directas e outras que promovem o pensamento mais avançado (Sheffield & Cruikshank, 2005). Também visualizar relações numéricas através da análise de tabelas, procurar todas as combinações possíveis que respeitam uma determinada condição, através de uma lista organizada de forma sistemática, estender e generalizar o raciocínio proporcional com vista a tomar uma decisão, constituem aspectos importantes do trabalho preparatório algébrico. Outro dos conceitos vitais para compreender a Álgebra é o de variável, normalmente representada por uma letra, mas nem sempre bem compreendida. O termo variável pode significar um símbolo que assume vários valores de um dado conjunto (como em área=l*w) ou pode ter só um valor bem determinado (como em 5*c=20), o que cria dificuldades de compreensão aos alunos sobre o conceito (Sheffield & Cruikshank, 2005). Actividades para desenvolver o conceito de função podem usar uma máquina de entrada saída, em que a transformação pode ir de uma simples mudança de atributo (p. ex. cor, nos níveis mais elementares), a uma mudança de um número noutro através de uma operação ou dados dois números como entrada e um número como saída, procurar a combinação de operações que conduz de uns ao outro. Neste caso, a calculadora pode ser uma ferramenta útil, apoiada no uso de tabelas e gráficos (Sheffield & Cruikshank, 2005). Da mesma forma, devem apresentar-se problemas que envolvam quantidades que possam ser representadas de diferentes formas equivalentes, o que pode ser confirmado pelas crianças através de uma tabela ou de um gráfico, estendendo a sua capacidade para usar símbolos e comunicar. A análise da variação constitui também um aspecto importante para compreender as funções e para entender o significado de muitas notícias que ouvimos e lemos no diaa-dia. E embora o estudo formal da variação matemática se faça integrada no Cálculo, as experiências para uma progressiva apropriação do conceito devem começar desde cedo, primeiro qualitativamente e mais tarde quantitativamente. Como já vimos anteriormente, a modelação matemática de fenómenos pode constituir um uso poderoso da matemática, de acordo com NCTM (2007). Os modelos físicos são muito úteis permitindo ligar conceitos de operações algébricas e aritméticas, assim como o desenho de gráficos a partir de uma história, procurando discutir aspectos da história que vão mudando e as suas implicações no gráfico. 38

39 Outro aspecto importante é desenvolver o cálculo mental na resolução de equações, procurando o valor exacto, em situações simples, ou um valor aproximado, em situações complexas, procurando estimativas e respectivas justificações. Também é importante habituar os alunos a conduzir experiências de recolha de dados, nomeadamente através de dispositivos físicos, sua organização em tabelas e gráficos e depois colocar-lhes uma lista de questões que os façam pensar sobre diferentes aspectos da experiência. Constituindo a comunicação um aspecto integrante da aprendizagem, o professor deve pedir aos alunos para generalizarem padrões de que eles se tenham apercebido nas suas explorações e usar uma variedade de representações para explicar o seu raciocínio. À medida que os alunos progridem na sua compreensão algébrica, guiá-los para usarem uma linguagem própria e notação algébrica para representar essas generalizações (Sheffield & Cruikshank, 2005, p. 325). O documento dá exemplos de problemas que podem ser explorados e resolvidos, quer manipulando apenas símbolos e variáveis, quer adoptando outras estratégias que levam a uma compreensão mais aprofundada. Mas é sempre o conjunto das questões/desafios que se podem colocar que tornam o problema mais aberto, dandolhe uma natureza mais investigativa. O documento propõe um percurso de aprendizagem da Álgebra, partindo de actividades e experiências exploratórias de padrões, da representação e análise de situações usando símbolos, da modelação e da análise da variação, propondo desde os primeiros anos, o que designa por desenvolvimento do pensamento algébrico, na linha do que defende o NCTM (2007). De um modo geral, se os alunos se envolverem em manipulações repetitivas de símbolos antes de desenvolverem uma base conceptual sólida do seu trabalho, serão incapazes de fazer mais do que manipulações mecânicas (NRC, 1998). As bases para um trabalho significativo com notação simbólica deverão ser construídas ao longo de um largo período de tempo (NCTM, 2007, p. 41). Através do seu envolvimento neste tipo de actividades, destinadas a implementar as recomendações do NCTM, os alunos são encorajados a dar sentido à matemática através da construção de modelos concretos, discutindo os seus raciocínios com os pares e perguntando e respondendo a questões relacionadas com os problemas que eles encontram (Sheffield & Cruikshank, 2005, p. 315). 39

40 Em resumo, parece poder afirmar-se que muitas das ideias que decorrem da investigação sobre pensamento algébrico, referidas anteriormente, nomeadamente algumas preocupações da Early Algebra, estão presentes nas orientações curriculares internacionais descritas (NCTM, 2007). É o caso do reconhecimento da importância das experiências com números, com padrões numéricos e geométricos e a análise da variação, desde os primeiros anos de escolaridade, a procura de regularidades e a generalização, o uso das letras como variáveis em diferentes contextos, o uso de diferentes representações e o importante papel das funções e da modelação. Também podemos encontrar nalguns materiais concebidos para integrar programas de apoio à implementação das recomendações do NCTM (Sheffield & Cruikshank, 2005), exemplos de tarefas e questões a colocar aos alunos, que se enquadram no que designamos por desenvolvimento do pensamento algébrico e que devem ser exploradas com alunos desde dos primeiros anos de escolaridade. As actividades visam que os alunos reconheçam e generalizem padrões e usem modelos, símbolos, variáveis e equações para os descrever, assim como as generalizações e relações, dando um sentido aos conceitos algébricos. Estas actividades podem passar por: visualizar relações numéricas, através da análise de tabelas; usar as letras como variáveis numa grande diversidade de situações; analisar a variação como um aspecto para a compreensão das funções; recolher, organizar e representar dados; modelar fenómenos e situações variadas; usar várias representações, traduzir umas nas outras e comunicá-las. Nestas actividades, dá-se particular atenção às questões e desafios que o professor coloca aos alunos, tornando os problemas mais abertos, procurando relações, mais do que cálculos e algebrizando algumas questões de natureza numérica, de modo a promover o raciocínio e a compreensão. 40

41 Os documentos de orientação curricular portugueses O Currículo Nacional do Ensino Básico. O documento que estabelece o Currículo Nacional - Competências Essenciais (DEB, 2001), refere a necessidade da educação matemática desocultar a matemática existente nas mais variadas situações do quotidiano, destacando a sua especificidade, como ciência das regularidades e da linguagem dos números (p. 58). O documento afirma ainda que a matemática se distingue de todas as outras ciências, principalmente no modo como encara a generalização e a demonstração e como combina o trabalho experimental com os raciocínios indutivo e dedutivo, oferecendo um contributo único como meio de pensar, de aceder ao conhecimento e de comunicar (DEB, 2001, p. 59). No domínio da Álgebra e das Funções, um tema considerado transversal, reconhece-se que a competência matemática que todos devem desenvolver, inclui aspectos como: (i) a predisposição para procurar padrões e regularidades e para formular generalizações em situações diversas, nomeadamente em contextos numéricos e geométricos; (ii) a aptidão para analisar as relações numéricas de uma situação, explicitá-las em linguagem corrente e representá-las através de diferentes processos, incluindo o uso de símbolos; (iii) a aptidão para construir e interpretar tabelas de valores, gráficos, regras verbais e outros processos que traduzam relações entre variáveis, assim como passar de umas formas de representação para outras, recorrendo ou não a instrumentos tecnológicos; (iv) a aptidão para concretizar, em casos particulares, relações entre variáveis e fórmulas e para procurar soluções de equações simples; (v) a sensibilidade para entender e usar as noções de correspondência e de transformação em situações concretas diversas (DEB, 2001, p. 66). O Currículo Nacional do Ensino Básico prevê ainda que o desenvolvimento destas competências, se deve realizar através de uma experiência matemática diversificada, nomeadamente da resolução de problemas, de actividades de investigação, da realização de projectos e de jogos. Nestas experiências, devem estar presentes aspectos transversais da aprendizagem da matemática, nomeadamente a comunicação matemática, a prática compreensiva de procedimentos e a exploração de conexões, para além do acesso a recursos como os materiais manipuláveis e a utilização das tecnologias de informação e comunicação (DEB, 2001). 41

42 Em resumo, pode dizer-se que o Currículo Nacional do Ensino Básico é dos únicos documentos curriculares portugueses que, nos últimos anos, incorporou alguns aspectos das orientações internacionais, no domínio do pensamento algébrico, embora não as concretize, principalmente no que respeita aos dois primeiros ciclos do ensino básico. Nele se encontram referências à análise de relações numéricas, à procura de regularidades e formulação de generalizações em diferentes contextos, ao uso de formas de representação diversas e sua tradução de umas nas outras. Os actuais programas de Matemática do Ensino Básico. Que lugar reservam para a Álgebra e o pensamento algébrico os programas de Matemática portugueses, a nível de todo o ensino básico? Pode dizer-se que não contêm referências explícitas ao pensamento algébrico, o que não parece ser uma situação inesperada, uma vez que datam do início da década de 90. A Álgebra também não aparece como um tema autónomo, mas alguns conteúdos algébricos surgem integrados, quer no tema Números e Cálculo, quer no tema Funções. No entanto, se analisarmos alguns conteúdos, processos de trabalho e indicações metodológicas neles referidas, talvez possamos dizer que existe alguma abertura para ir espalhando questões algébricas pelo currículo, contribuindo assim para a sua algebrização. Assim, no programa do 1º ciclo, os problemas encontram-se no centro do processo de ensino e aprendizagem e estão associados, não só a situações de aplicação mas a situações de exploração e descoberta, competindo ao professor, perguntar justificações, lançar pistas e estimular a partilha de diversas estratégias que ocorram. Quando um aluno explora uma situação, diferentes formas de representação, como os desenhos, diagramas, esquemas e tabelas devem ser incentivadas, na medida em que podem facilitar a construção de linguagens convencionais e os processos de registo e comunicação. Relativamente aos conteúdos, a composição e decomposição de números sob a forma de somas, diferenças ou produtos (1º e 3º ano), o uso de propriedades das operações, a descoberta de regularidades em contagens ou de regras (2º e 4º ano) e o reconhecimento de múltiplos de um número natural (4º ano), são tarefas que podem trazer ao de cima o carácter algébrico da Aritmética. A organização de dados em tabelas, sua observação, colocação de conjecturas e discussão, constituem processos que podem facilitar a ocorrência de expressões generalizáveis. Também a manipulação de materiais pode ajudar a construção de conceitos e o uso de alguns jogos, pode promover a agilidade do raciocínio. Já no Programa do 2º ciclo, no tema Números e Cálculo, sugerem-se actividades para a descoberta de relações e propriedades e para o desenvolvimento do cálculo mental e 42

43 propõem-se situações que permitam traduzir dados de um problema de uma linguagem para outra, considerando a verbal, a simbólica e a gráfica. Também o uso das operações inversas, a redescoberta das propriedades comutativa, associativa e distributiva (para a adição e a multiplicação), a descoberta experimental das regras da adição de números relativos e a exploração de situações de proporcionalidade directa, podem constituir momentos de algebrização das tarefas. Finalmente, no 3º ciclo, ao nível do 7º ano, no tema Números e Cálculo, sugere-se: a tradução dos dados de um problema de uma linguagem para outra; o cálculo do valor de expressões com variáveis; a tradução de problemas por uma equação; a decomposição dos números em somas e produtos e a associação por propriedades comuns (p. ex., quadrados perfeitos); a descoberta de propriedades e relações; e a resolução de problemas com números e a procura da generalização, sendo que o conceito de variável deve ser progressivamente aperfeiçoado. Neste processo de generalização, o programa aponta ainda que, sempre que o professor ache oportuno, poderá fazer surgir exemplos de equações literais. De uma forma já mais explícita, sugere-se o trabalho com gráficos cartesianos na proporcionalidade directa, o trabalho com expressões numéricas e algébricas simples mas diversificadas e assume-se que as funções constituem uma forma de ligar a linguagem numérica e gráfica e oferecem modelos de situações da vida real que podem dar sentido aos conceitos. A proporcionalidade directa, em conjunto com os gráficos, constituiu uma primeira abordagem às Funções. Finalmente nos dois últimos anos do 3º ciclo, o tema Funções surge autónomo, com o estudo das funções linear e afim e a proporcionalidade directa como função e prevê o uso dos diferentes tipos de representação das funções gráfica, analítica, tabelas e linguagem corrente procurando que os alunos as traduzam de uma linguagem para outra. As sequências numéricas com a construção de leis de formação e as equações literais e trabalho com expressões algébricas (monómios e polinómios) completam os temas de natureza algébrica, no 8º ano. No final do ciclo, no 9º ano, integram-se as equações do 2º grau, os sistemas de equações, as inequações, a proporcionalidade inversa como função e a análise de gráficos que traduzem situações da vida real. Em resumo, pode dizer-se que, nos actuais programas de Matemática do Ensino Básico, embora não existam referências explícitas ao pensamento algébrico, é possível encontrar, quer temas, quer indicações metodológicas que permitem, integradas num planeamento adequado, uma abordagem algebrizada do currículo. Constituem eventuais pontos de entrada, ao nível do 1º ciclo, a resolução de problemas numéricos através de situações de exploração e descoberta de relações, o 43

44 estímulo ao uso de diferentes formas de representação e registo, a começar pelas dos próprios alunos e os processos de organização dos dados, de confronto de estratégias e de comunicação. No 2º ciclo, as actividades de descoberta de relações e de redescoberta de propriedades, a par do uso das operações inversas e da transição entre diferentes formas de representação dos dados de um problema, podem constituir também oportunidades de algebrização. Finalmente, no Programa do 3º ciclo, encontramos os temas típicos da Álgebra, como as expressões com variáveis, as equações e as funções, a par das regras e processos de manipulação simbólica. As referências às sequências numéricas, à descoberta de relações, à procura da generalização, ao trabalho em torno do conceito de variável e às funções como modelos e formas de atribuir sentido a situações reais, constituem também terreno onde se pode desenvolver o pensamento algébrico. O novo programa de Matemática. O novo programa de Matemática do Ensino Básico (Ponte, et al., 2007), aprovado em Dezembro de 2007, constitui, a par do Currículo Nacional do Ensino Básico, um dos principais documentos de orientação curricular dos professores, como guia do processo de ensino e aprendizagem da Matemática, pelo que importa perceber se trouxe evoluções no que respeita ao lugar destinado à Álgebra e ao pensamento algébrico. Dezasseis anos depois da aprovação dos programas de 1991, o actual programa apresenta formulações completamente novas ao nível das finalidades e objectivos gerais, apresentando, para além dos temas matemáticos, três capacidades transversais a toda a aprendizagem da Matemática: a resolução de problemas, o raciocínio matemático e a comunicação matemática, que constituem aspectos mais desenvolvidos, mas já contemplados no Currículo Nacional. Pela primeira vez, o pensamento algébrico é reconhecido como uma componente do processo de ensino e aprendizagem que se desenvolve em torno de quatro eixos temáticos: o trabalho com os números e operações, o pensamento algébrico, o pensamento geométrico e o trabalho com dados. Em particular, tendo em conta o interesse para o presente estudo das questões relativas ao pensamento algébrico, será sobre estes aspectos que incidirei a análise e reflexão sobre o programa. As ideias algébricas aparecem logo no 1º ciclo no trabalho com sequências, ao estabelecerem-se relações entre números e entre números e operações (...) No 2º ciclo, a Álgebra já aparece como um tema matemático individualizado, aprofundando-se o estudo de relações e regularidades e da proporcionalidade directa como igualdade entre duas razões. Finalmente, 44

45 no 3º ciclo, institucionaliza-se o uso da linguagem algébrica, trabalha-se com expressões, equações, inequações e funções, procurando desenvolver no aluno a capacidade de lidar com diversos tipos de relações matemáticas e estudar situações de variação, em contextos significativos (Ponte, et al., 2007, p. 7). A grande diferença com os programas anteriores é considerar a Álgebra como uma forma de pensamento matemático, o pensamento algébrico, desde os primeiros anos, reconhecendo-se a importância do trabalho com conceitos matemáticos envolver mais do que uma forma de representação e de desenvolver a capacidade de passar informação de uma forma de representação para outra, na linha das orientações curriculares internacionais. Também a utilização adequada de materiais manipuláveis e o uso de calculadoras e computadores é recomendado, quando queremos que a atenção dos alunos se centre, não em processos de rotina, nomeadamente ligados ao cálculo, mas nas condições da situação, nas estratégias de resolução e na interpretação e avaliação dos resultados (Ponte, et al., 2007, p. 9). Ao nível da gestão curricular, sugere-se que as tarefas se devem articular proporcionando um percurso de aprendizagem coerente, e aponta-se para que são fundamentais os momentos de reflexão, discussão e análise crítica envolvendo os alunos, pois estes aprendem, não só a partir das actividades que realizam, mas sobretudo da reflexão que efectuam sobre essas actividades (Ponte, et al., 2007, p. 11). Relativamente ao 1º ciclo, nos Números e Operações, tema que incorpora algumas relações com o pensamento algébrico, pretende-se que os alunos desenvolvam o sentido de número, a compreensão dos números e das operações e a capacidade de cálculo mental e escrito (Ponte et al., 2007, p. 13), usando estas competências no contexto da resolução de problemas e é sugerida a utilização da calculadora na exploração de regularidades e de padrões numéricos, nomeadamente em tarefas de investigação e na resolução de problemas. Sobre as capacidades transversais, reconhece-se que a capacidade de raciocinar matematicamente desenvolve-se através de experiências que proporcionem aos alunos oportunidades que estimulem o seu pensamento. Para isso o professor deve colocar frequentemente questões como, Porquê? Porque será que isso acontece? O que acontece se...?, procurando que os alunos expressem e desenvolvam as suas ideias e clarifiquem e organizem os seus raciocínios (Ponte, et al., 2007, p. 30). 45

46 No 2º ciclo, no que respeita à Álgebra, o propósito principal é desenvolver nos alunos o pensamento algébrico, bem como a sua capacidade de representar simbolicamente situações matemáticas e não matemáticas (Ponte, et al., 2007, p. 40) e usar recursos como a folha de cálculo, adequada para apoiar o cálculo, permitindo a realização, com rapidez, de experiências numéricas, pondo em evidência as suas relações. Depois de no 1º ciclo terem investigado sequências numéricas e geométricas, agora os alunos vão ampliar esse trabalho, explorando padrões, determinando os termos de uma sequência a partir da sua lei de formação e uma lei de formação pelo estudo da relação entre os termos (Ponte, et al., 2007, p. 40). Para o desenvolvimento do pensamento algébrico, sugere-se como ponto de partida a investigação de regularidades em sequências numéricas e geométricas, e no estudo dos números, a generalização das propriedades das operações aritméticas. Finalmente, sobre as capacidades transversais, reconhece-se que os alunos no 2º ciclo, para além de alargarem o leque de estratégias de resolução de problemas e de desenvolverem o seu raciocínio matemático, formulando e testando conjecturas, progridem também na tradução de relações da linguagem natural para a linguagem matemática e vice-versa, na variedade de formas de representação matemática que usam e no rigor com que o fazem (Ponte et al., 2007, p. 45). Como sugestões metodológicas reconhece-se a importância de envolver os alunos em desafios do tipo O que acontecerá se...?, incentivando-os a formular conjecturas e testá-las, procurando justificá-las com base em argumentos matemáticos. No 3º ciclo, o propósito principal no domínio da Álgebra é desenvolver a linguagem e o pensamento algébricos, assim como a capacidade de usar procedimentos algébricos na exploração e modelação de situações. Para o efeito, estudam-se diversas relações como as equações e as funções, a variação e o trabalho com a construção de modelos, partindo de situações informais, antes de chegar à manipulação algébrica formal sobre a qual deve existir compreensão. Sugere-se que as letras apareçam em situações variadas e ligadas a um contexto, e que os alunos sejam chamados a discutir os seus significados para se apropriarem do complexo conceito de variável (Ponte et al., 2007). Neste ciclo continua-se a investigação de sequências e regularidades, visando aprofundar o estudo de relações algébricas e a sua tradução em linguagem formal. A folha de cálculo é considerada um bom recurso para apoiar os alunos no estabelecimento de relações entre a linguagem algébrica e os métodos gráficos ( ) [permitindo] estabelecer conexões com a Geometria e os Números e Operações [o que] contribui para evitar a abordagem à Álgebra apenas como um conjunto de regras e procedimentos a memorizar (Ponte, et al., 2007, p. 56). 46

47 Também no novo Programa, as funções são entendidas fundamentalmente como relações entre variáveis e devem apresentar-se sob diferentes representações (algébrica, gráfica e tabular) ligadas à resolução de problemas, mas também à modelação de situações. Em resumo, o novo programa de Matemática do Ensino Básico, parece integrar algumas das preocupações das orientações curriculares internacionais atrás referidas, ao considerar a Álgebra como uma forma de pensamento matemático, o pensamento algébrico, desde os primeiros anos. O trabalho em torno do pensamento algébrico inicia-se com a exploração de regularidades e padrões numéricos (1º ciclo) e aprofunda-se com a investigação de regularidades em sequências, procura de leis gerais de formação, generalização das propriedades das operações, tradução de relações entre a linguagem natural e a linguagem matemática e uso de uma variedade de formas de representação (2º ciclo). Finalmente, no 3º ciclo, desenvolve o estudo de relações e o uso de procedimentos algébricos, mantendo a compreensão, para explorar e modelar situações e a análise da variação, em contextos significativos. O novo Programa, de acordo com a investigação e as recomendações curriculares internacionais, chama a atenção para que a construção de sequências de tarefas coerentes, deve ser articulada com momentos de reflexão, discussão e análise crítica, para que constituam boas oportunidades de aprendizagem. Quanto à tecnologia, a referência à calculadora aparece logo no 1º ciclo, associada à investigação de regularidades numéricas. A partir do 2º ciclo, os applets e a folha de cálculo surgem nas indicações metodológicas, sendo esta última considerada uma ferramenta que permite a realização de experiências numéricas e um recurso para apoiar os alunos a estabelecer relações entre diferentes representações. O novo programa de Matemática e a Early Algebra. Dado o interesse particular da investigação sobre pensamento algébrico, relativamente às questões da Early Algebra, fui procurar alguns indicadores no novo programa de Matemática do Ensino Básico, dado que ele começa por referir como uma das mudanças significativas, a iniciação ao pensamento algébrico, logo no 1º ciclo. Ao longo dos três ciclos, os Números e Operações vão perdendo progressivamente peso que vai sendo recuperado pela Álgebra, o que parece constituir um dado a favor da ideia da Aritmética como parte da Álgebra, uma ideia-chave dos defensores da Early Algebra. Nos objectivos gerais, comuns a todos os ciclos, reconhece-se que os alunos devem ser capazes de lidar com ideias matemáticas em diversas representações (Ponte, et 47

48 al., 2007, p. 4), quer simbólicas, pictóricas, tabelas e gráficos e conseguirem transitar entre as diferentes representações, usando-as para comunicar e modelar situações. Ainda nos temas matemáticos e capacidades transversais comuns a todos os ciclos, encontramos explicitamente referência à Álgebra como forma de pensamento matemático desde os anos mais novos. A alteração mais significativa em relação ao programa anterior é o estabelecimento de um percurso de aprendizagem prévio no 1º e 2º ciclos que possibilite um maior sucesso na aprendizagem posterior, com a consideração da Álgebra como forma de pensamento matemático, desde os primeiros anos (Ponte, et al., 2007, p. 7). No 1º ciclo, no Tema Números e Operações, afirma-se que devem ser trabalhadas diferentes estratégias de cálculo baseadas na composição e decomposição de números, nas propriedades das operações e nas relações entre números e entre números e as operações (Ponte, et al., 2007, p. 14), reconhecendo-se que o trabalho com regularidades generalizáveis contribui para o desenvolvimento do pensamento algébrico, nomeadamente, o pensamento quase-variável. Neste sentido, em exemplos dados nas notas, sugere-se calcular de diferentes formas (decompondo os números, usando a propriedade da invariância do resto, utilizando a recta graduada e não-graduada) e explorar regularidades numéricas em tabuadas, em particular as dos múltiplos, o que apela para o uso de diferentes representações, nomeadamente as representações intermédias usadas informalmente pelos alunos. No 2º ciclo, nas indicações metodológicas relativas ao tema Números e Operações, considera-se ser de privilegiar na didáctica dos números, a resolução de problemas que incluam a investigação de regularidades numéricas, reconhecendo-se que a calculadora e o computador, por exemplo, através da folha de cálculo e dos applets, constituem recursos que facilitam as experiências com números e regularidades numéricas. Já no tema Álgebra considera-se que, neste ciclo, se amplia o trabalho anterior em torno das sequências numéricas e dos padrões geométricos, explorando padrões, determinando termos de uma sequência a partir da sua lei de formação e uma lei de formação pelo estudo da relação entre os termos (Ponte, et al., 2007, p. 40). Neste sentido, nas indicações metodológicas, a generalização das propriedades das operações aritméticas é considerada uma forma de desenvolver o pensamento algébrico e a folha de cálculo, um recurso tecnológico que permite a realização de inúmeras experiências com números, pondo em evidência relações numéricas. Finalmente, ao nível do 3º ciclo, no tema Números e Operações, as indicações metodológicas sugerem que resolver problemas e investigar regularidades numéricas 48

49 constituem as actividades principais na didáctica dos números neste ciclo (Ponte, et al., 2007, p. 48). No tema Álgebra, cujo propósito principal é desenvolver nos alunos a linguagem e o pensamento algébrico, alarga-se a aprofunda-se o estudo das relações e da variação e trabalha-se com tarefas envolvendo actividades de modelação. Nas indicações metodológicas, sugere-se que sejam proporcionadas aos alunos experiências informais, antes da manipulação simbólica formal, de modo a melhorar a compreensão sobre o sentido dos símbolos, usando letras, como incógnitas ou variáveis, em expressões algébricas que devem estar ligadas a um contexto. Também a folha de cálculo é apontada como um bom recurso para apoiar os alunos no estabelecimento de relações entre a linguagem algébrica e os métodos gráficos, na realização de tarefas de exploração e investigação e na resolução de problemas (Ponte et al., 2007, p. 56). As funções, neste ciclo, são essencialmente estudadas como relações entre variáveis, sugerindo-se o recurso a diferentes representações de uma função, desde a algébrica, à gráfica e à tabular, na interpretação e modelação de problemas e situações. Em resumo, as preocupações com o desenvolvimento do pensamento algébrico desde os anos mais novos, estão presentes no novo Programa de Matemática do Ensino Básico, fundamentalmente através de três aspectos: o estudo das regularidades numéricas e dos padrões, o trabalho com números não exclusivamente centrado no cálculo, mas nas relações entre os números e entre estes e as operações e o uso de múltiplas representações, normalmente associado ao trabalho com funções. A preocupação central é estabelecer um percurso de aprendizagem no 1º e 2º ciclos que facilite a aprendizagem posterior da Álgebra, considerada como forma de pensamento matemático. Pode dizer-se que o peso conjunto dos Números e da Álgebra se mantém aproximadamente constante ao longo do currículo, revelando-se, nos primeiros anos, os aspectos específicos e particulares da estrutura, de natureza aritmética, que vão perdendo peso, à medida que emergem os aspectos mais gerais, algébricos, dessa mesma estrutura. Desafios para os professores A investigação sobre o pensamento algébrico, a par de algumas respostas e evidências que tem encontrado, tem deixado também alguns desafios para os professores. Identifico em seguida alguns deles, nomeadamente, a natureza das tarefas a desenvolver com os alunos, a atenção a dar à cultura da sala de aula e as 49

50 contribuições dos projectos de desenvolvimento profissional que podem promover este tipo de trabalho com os alunos. A natureza das tarefas Trabalhar a partir de problemas abertos, com uma sequência estruturada, algebrizar o currículo e usar múltiplas representações, constituem três aspectos que estão presentes nalguma investigação que aborda o tipo de tarefas que se desenvolvem no trabalho sobre o pensamento algébrico. Mas o que se entende por problemas abertos? Com duas actividades de investigação, já referidas atrás, o problema das caixas de doces (candie boxes) e o problemas das carteiras (wallets problem), os investigadores mostram através da análise das representações dos alunos e de vários diálogos, como a forma aberta de colocar os problemas e de conduzir a sua exploração, pode fazer vir ao de cima o carácter algébrico dos mesmos (Carraher, Schliemann & Schwartz, 2008). Através dos dois problemas, os alunos são envolvidos em contextos e o professor desempenha um papel essencial, chamando-os a descrever relações entre quantidades físicas e em fazer generalizações. A ambiguidade de trabalhar com quantidades indeterminadas pode ser um importante recurso no ensino e na aprendizagem, e à medida que a discussão avança, introduzem-se gradualmente as representações formais (tabelas, gráficos e notação algébrica simbólica) e os alunos envolvem-se num processo de generalização. Também Brocardo et al. (2006) refere um conjunto de estudos que salientam a importância da realização de tarefas de investigação para uma melhor relação dos alunos com a disciplina, mas também com influências na compreensão sobre o que é a actividade matemática, podendo envolvê-los na formulação e teste de conjecturas e na elaboração de justificações para os resultados encontrados. Kieran (2007b) refere, de igual modo, um conjunto de três estudos de caso realizados numa investigação para encorajar o desenvolvimento do raciocínio algébrico nos alunos, centrados na análise de sequências de tarefas que tinham em comum a generalização, um processo considerado central no desenvolvimento do pensamento algébrico. As sequências de tarefas usadas nos três casos incidiam respectivamente, no pensamento sobre igualdades numa forma relacional, no pensamento quasevariável e em promover o pensamento algébrico através do foco em métodos generalizáveis de resolução de problemas de palavras. No primeiro caso, incluíam-se formas de raciocínio relacionadas com a extensão do significado do sinal de igual, integrando igualdades com operações em ambos os lados, desenvolvendo uma visão relacional da igualdade, comparando duas expressões matemáticas sem as calcular. No segundo caso, procurava-se distinguir relações numéricas especiais válidas para quaisquer números, tratando-os como quase- 50

51 variáveis. E finalmente, no terceiro caso, observavam-se sequências de operações numa forma geral, preparando o uso de equações algébricas como modelos de situações de problemas de palavras. As tarefas apresentadas neste artigo sugerem que um dos principais caminhos para que o pensamento algébrico seja desenvolvido é através de sequências estruturadas de operações que chamem a atenção dos alunos para aspectos cruciais de forma e sua generalidade (Kieran, 2007b, p. 22). No entanto, Hoyles (2001), referida em Kieran, (2007b) acrescenta-lhe a dimensão das interacções que o professor deve promover, para além da organização das tarefas e actividades. O pensamento algébrico desenvolve-se à medida que deixamos de pensar as relações entre números particulares e medidas, para pensar as relações entre conjuntos de números e medidas e passamos do cálculo de respostas numéricas, para descrever e representar relações entre variáveis. Assim, um tipo de tarefas que privilegia uma abordagem que se inicia aberta, a sequência coerente onde se integram e o desafio intelectual que constituem para os alunos, são aspectos relevantes que se encontram ilustrados na investigação sobre pensamento algébrico e que o professor deve ter em conta. O mesmo trabalho refere o Projecto QUASAR que desenvolveu um conjunto de categorias para organização das tarefas, de acordo com o tipo de pensamento que requerem dos alunos, reconhecendo que as de nível cognitivo mais elevado requerem que os alunos se envolvam na sua exploração e compreendam a natureza dos conceitos, processos e relações matemáticas. Isto pode constituir um desafio para os professores que trabalham no desenvolvimento do currículo, no sentido de irem para além dos problemas que usam apenas alguns procedimentos simples e perguntas mais directas. O segundo desafio que se coloca aos professores é algebrizar os problemas. Mas qual é o seu significado? Kaput e Blanton (s/d) fala-nos de algebrizar o currículo, como resposta aos desafios da Reforma nos Estados Unidos. Mas o que se entende por algebrização? Algebrizar um problema, normalmente aritmético, é variar a forma como se apresenta, alterando os números, procurando um padrão e estabelecendo relações, transformando-o num problema com questões de natureza algébrica (Brocardo et al., 2006). As três dimensões de algebrizar a experiência matemática de professores e alunos, aponta para: (i) elaborar tarefas com oportunidades para generalizar e progressivamente formalizar, partindo de padrões e estruturas; (ii) munir os professores de olhos e ouvidos algébricos para aproveitarem as oportunidades da prática; (iii) criar uma prática e cultura de sala de aula favorável ao desenvolvimento deste trabalho (Kaput & Blanton, s/d). 51

52 Ora isto pode passar por preparar problemas de generalização, cuidadosamente seleccionados ou algebrizar problemas aritméticos, eventualmente retirados e adaptados dos manuais dos professores, de modo a transformá-los em problemas que exijam raciocínio algébrico. Seguem-se dois exemplos de problemas, inicialmente aritméticos, mas que podem ser algebrizados pelas novas questões que se introduzem: o problema dos apertos de mão e o problema das T-shirts. O primeiro pode começar por enunciar-se da seguinte forma: Quantos apertos de mão serão dados se cada um do teu grupo cumprimentar todos os outros uma vez? (Brocardo et al., 2006). Perante um grupo, com um número determinado de pessoas, os alunos experimentarão cumprimentar ou fazer desenhos para obter a resposta. Algebrizar este problema, passa por fazer variar o número de pessoas, tomando um número elevado que convide a abandonar a contagem, analisar os dados e procurar uma relação entre as variáveis em presença, de modo a obter um padrão. Por exemplo, encontrar o número de apertos de mão para um grupo de 20 pessoas, procurar perceber o que se passa para 21 e, em seguida, ser convidado a explicar como cresce esse número, de cada vez que alguém se acrescenta ao grupo, constitui um exemplo de algebrização. Esta é claramente uma actividade de construção de padrões (Kaput & Blanton, s/d), que emerge da generalização de uma situação numérica, que faz surgir as letras como variáveis, realmente a variar (Brocardo et. al., 2006). O problema das T-shirts é de natureza diferente e pode ser enunciado, como um simples problema de subtracção ou de valor em falta: Eu quero comprar uma t-shirt que custa 14 e já poupei 8. Quanto dinheiro mais preciso ganhar para comprar a t-shirt? Algebrizá-lo, pode passar por fazer variar o preço de custo da t-shirt, até um valor genérico P ou, talvez mais interessante, introduzir outra variável, assumindo que o pagamento da referida t-shirt está dependente de um trabalho que realizo, pago à hora e cujo valor/hora posso também fazer variar (Kaput & Blanton, s/d). Estas duas situações constituem oportunidades algébricas para os professores explorarem, procurando que elas, mais do que uma bateria de materiais e problemas a usar, se constituam numa forma de pensar e numa capacidade de integrar estas abordagens na sua prática lectiva. Finalmente, a investigação refere com frequência o uso de múltiplas representações como formas privilegiadas de modelação e de expressão da generalização, promovendo a compreensão dos alunos e desenvolvendo o pensamento algébrico. Malara (2005) reconhece que este tipo de abordagem, baseado na procura de relações entre a Aritmética e a Álgebra, exige do professor um ensino metacognitivo em que, através de um jogo de tradução e interpretação de expressões em linguagens naturais e formais, se pode colocar os alunos a par do significado dos sinais e símbolos usados, assim como da força representacional das escritas formais (p. 288). 52

53 A cultura da sala de aula Embora a elaboração de boas tarefas constitua uma actividade importante do trabalho de planeamento didáctico do professor, ele deve ter outras preocupações quando pretende desenvolver o pensamento algébrico. A cultura de sala de aula é uma componente que está presente na prática de ensino e deve ser tida em conta para promover o envolvimento dos alunos e a aprendizagem. Refiro-me ao ambiente criado pelo professor, às normas e interacções que estabelece, nomeadamente, aos modos de trabalho que proporciona, à forma como solicita, desafia e apoia os alunos, como desenvolve as tarefas, como conduz a discussão na sala de aula e àquilo que legitima (Boavida et al., 2008). A investigação sobre pensamento algébrico tem destacado alguns aspectos como, promover o raciocínio dos alunos através de bons desafios, promover a comunicação, articulando-a com diferentes modos de trabalho, saber geri-la, integrando as diferentes estratégias dos alunos no processo de aprendizagem e estar atento ao que os alunos dizem e às suas formas intermédias de representação, procurando interpretá-las (Blanton & Kaput, 2008; Kieran, 2007b). Cusi e Malara (2007), referem a importância de uma formação de professores que assente na reflexão sobre as suas acções (local) e sobre os processos e o sentido das mesmas (global). Neste sentido, identificam como uma boa estratégia, uma comparação de várias intervenções distintas dos professores sobre uma mesma sequência didáctica, o que pode constituir uma boa oportunidade de reflexão. Depois da observação dos actores envolvidos (professores e alunos), concluem que, a respeito dos professores, se confirma um amadurecimento relativamente à capacidade de reverem criticamente o seu conhecimento de base e de desenvolverem a sensibilidade para captar o potencial das contribuições e intuições dos alunos. Relativamente aos alunos, destacam a importância da aquisição de atitudes amigáveis para com o uso de letras, na representação simbólica e generalização de situações, através de formas de conversa algébrica, além do desenvolvimento de uma visão de uma matemática em construção (Cusi & Malara, 2007). Por exemplo, já vimos atrás numa investigação de Arcavi (2006), que a forma como os alunos se relacionam com os significados e usam o senso comum na abordagem de problemas algébricos, está dependente daquilo que o professor valoriza. Como refere o autor, usar o senso comum e procurar significados na resolução de um problema de Álgebra, está fortemente ligado com a cultura da sala de aula, nomeadamente aquilo que é apoiado e aprovado pelo professor. Para que isso se torne uma prática de sala de aula, o professor pode solicitar aos alunos que desenvolvam o hábito de não se abalançarem sobre os símbolos num primeiro 53

54 momento, sem olharem o problema com o senso comum, esboçarem um gráfico ou uma figura, estimular a descrição do que vêem e raciocinar sobre isso (p. 39). Ou seja, se queremos que os alunos trabalhem com os significados, temos de valorizar esses raciocínios informais e dar-lhes tempo para que ocorram, senão poderão ser relegados para segundo plano, a favor da manipulação simbólica algébrica, mais frequentemente reconhecida e aceite. Também um estudo de Warren & Cooper (2008), identifica um conjunto de processos e acções de ensino que podem apoiar ou inibir os processos de generalização no trabalho com padrões. Relativamente aos primeiros, passa pelo uso de materiais concretos, pela exploração de padrões onde a relação entre o padrão e a posição seja explícita, pelo questionamento explícito com vista a ligar a posição ao padrão, por generalizar um padrão partindo de uma posição baixa para uma posição muito elevada, usar cores para representar as diferentes componentes de crescimento de um padrão e usar padrões visuais que não estejam em sequência. Já sobre os processos que criam obstáculos a este trabalho, Warren e Cooper (2008) referem dificuldades no uso da linguagem, em particular, escrita, para descrever a generalização do padrão, completar padrões de variação simples usando uma estratégia aditiva, reverter o pensamento, procurando a posição a partir de um dado termo do padrão e expressar a generalização em linguagem natural, revelando confusão entre a linguagem ordinal e o número de elementos do padrão. A forma de superar as dificuldades manifestadas com o uso da linguagem escrita, passa por dar atenção ao facto de que os gestos e a manipulação de materiais, acrescentam às conversas, os elementos perdidos nas respostas escritas (Warren & Cooper, 2008, p. 183). Relativamente à organização e gestão do trabalho curricular e da comunicação na sala de aula, alguma investigação refere ainda que o processo de começar cada actividade na turma pelo trabalho em pequeno grupo sobre situações abertas, seguidas por discussões com toda a turma que eram orquestradas pelo professor, conduziram ao envolvimento dos alunos num discurso que conduziu a altos níveis de raciocínio matemático e mudança conceptual (Kieran, 2007a, p. 720), o que pode favorecer o desenvolvimento do pensamento algébrico. Ainda a propósito das abordagens didácticas à Álgebra, Ponte (2006) refere o importante papel desempenhado pelos contextos, nomeadamente o que designa de situações reais. Estas, ou não apareciam anteriormente referidas nos programas escolares ou confinavam-se aos capítulos de problemas como aplicação de conhecimentos, enquanto que hoje surgem com frequência como situações de partida 54

55 para a aprendizagem, reforçando o importante papel do significado associado às situações a explorar e modelar. Os projectos de desenvolvimento profissional A partir dos anos 80, para fazer face às dificuldades decorrentes da perda de significado dos objectos algébricos, apontou-se para promover um novo ensino da Aritmética, de tipo pré-algébrico, direccionado para a observação de regularidades e a generalização e no ICME 8, realizado em 1992, assumiu-se a utilidade de tornar o ensino da Aritmética mais algébrico desde os primeiros anos (Malara, 2005, p. 287), lançando as bases para o desenvolvimento de uma nova área disciplinar: a Early Algebra. O Projecto ArAl, criado para desenvolver percursos pela Aritmética de modo a facilitar a ocorrência de um pensamento pré-algébrico, tinha como objectivo preparar os professores primários e dos primeiros anos do secundário, a levarem em frente a Early Algebra, colocando como hipótese forte a de que existe uma analogia entre as formas de aprender uma linguagem natural e as formas de aprender uma linguagem algébrica (Malara, 2005, p. 287). Esta ideia está aliás presente no pensamento de Papert (1985), vinte anos antes, quando ele sugere que em muitos casos em que Piaget explicaria o desenvolvimento mais lento de um conceito através da sua maior complexidade ou formalidade, eu vejo o factor crítico como sendo a relativa pobreza do meio cultural em materiais que tornariam o conceito simples e concreto (Papert, 1985, p. 20). Ora línguas, nomeadamente estrangeiras, é uma coisa que as crianças aprendem com facilidade, principalmente se estiverem mergulhadas num ambiente natural que estimule essa aprendizagem. Assim sucederá com a fluência tecnológica, na opinião de Papert, quando as crianças viverem envolvidas num ambiente computacional, mas que simultaneamente ofereça contextos e desafios ricos em ideias (Papert, 1985). Do mesmo modo, contrariando a tendência para ensinar a sintaxe fora de qualquer contexto compreensivo, o Projecto pretendia ensinar as crianças, desde os primeiros anos, a pensarem a Aritmética algebricamente. Segundo Malara (2005), o pensamento algébrico pode ser progressivamente construído na criança, quer como um instrumento, quer como um objecto de pensamento, estritamente entrecruzado com a Aritmética, começando dos seus significados (p. 288), procurando desenvolver um percurso pela Aritmética que favoreça o raciocínio pré-algébrico. O trabalho do professor visa deslocar a ênfase das preocupações excessivas com o cálculo para se centrar no processo, assumindo que uma abordagem consciente para o uso de letras e para a codificação formal é jogada pelo contrato didáctico, centrado na tarefa primeiro representa e depois resolve que força o deslocar dos resultados para os processos e reduz as atitudes de calcular (p. 288). 55

56 Um outro programa de desenvolvimento profissional denominado GEAAR (Generalizando para Expandir a Aritmética para o Raciocínio Algébrico), conduzido por Maria Blanton e James Kaput, teve por objectivo desenvolver e caracterizar uma prática de sala de aula capaz de promover o raciocínio algébrico, integrando-a naturalmente no processo de ensino (Blanton & Kaput, 2005a). A estrutura do programa baseou-se em dotar os professores de maior capacidade de transformar materiais de ensino, de modo a deslocarem o foco da sua prática da Aritmética para oportunidades de construírem padrões, conjecturarem, generalizarem e justificarem factos e relações (p. 415), através do envolvimento dos professores, em grupo, na resolução de verdadeiras tarefas matemáticas e reflectindo sobre o carácter algébrico das mesmas e a forma como elas podem ser exploradas na sala de aula. O artigo descreve um estudo de caso de um professor do 3º grau que participou no programa, focando-se na análise de 204 episódios de raciocínio algébrico, recolhidos ao longo de um ano, registados pelos observadores ou seleccionados pelo próprio professor e relativos a 57 períodos de instrução em sala de aula. Como resultados, identificam-se um conjunto de características de uma prática de ensino que apoia a integração do pensamento algébrico: (a) a integração espontânea de conversas algébricas na sala de aula, de modo a transformar, através da discussão, tarefas aritméticas em tarefas que requeiram pensamento algébrico; (b) a abordagem dos temas algébricos em espiral, ao longo de significativos períodos de tempo, revisitando as ideias de forma progressivamente mais aprofundada; (c) a integração de processos algébricos múltiplos e independentes, indo espontânea e progressivamente transformando um problema em níveis de complexidade crescente, aprofundando o seu potencial algébrico; e (d) uma actividade de engenharia na elaboração das tarefas, mostrando autonomia e criatividade no desenvolvimento da tarefa (Blanton & Kaput, 2005a). Um trabalho de Kieran (2007b), assumindo a Álgebra como sendo simultaneamente um conjunto de técnicas, mas também uma forma de pensamento, documenta três estudos de caso que procuram ilustrar como se promove o pensamento algébrico através de sequências apropriadas de tarefas e de questões a colocar aos alunos e interacções a desenvolver, assumindo que estas são duas componentes que não se podem separar. Os casos incidem respectivamente em pensar acerca da igualdade de uma forma relacional, no pensamento quase-variável e em promover o pensamento algébrico, focando-se em métodos generalizáveis na resolução de problemas de palavras, chamando também a atenção para que diferentes abordagens, feitas por diferentes professores, podem fazer toda a diferença na aprendizagem. 56

57 Em resumo, a investigação sobre o pensamento algébrico no desenvolvimento curricular, coloca ao professor um conjunto de desafios que passam pela natureza das tarefas, a cultura da sala de aula e os programas de desenvolvimento profissional. As tarefas de natureza aberta que constituem um desafio intelectual capaz de promover o raciocínio dos alunos, quando devidamente integradas numa sequência didáctica coerente, procurando relações, a generalização e admitindo diferentes representações, parecem constituir um primeiro desafio para o professor. Outro desafio é ser capaz de criar um ambiente de aprendizagem que cultive e apoie a procura de significado no trabalho algébrico que os alunos desenvolvem, promova a comunicação, questionando os alunos e envolvendo-os em processos de justificação e argumentativos e articule os processos de discussão em pequeno e grande grupo, criando uma cultura de sala de aula favorável a um ensino compreensivo. Quanto aos dois programas de desenvolvimento profissional referidos, destinados a apoiar os professores no trabalho sobre pensamento algébrico com os seus alunos, eles sugerem diferentes questões. O Projecto ArAl, desafia os professores a colocarem a ênfase no processo e nas representações dos alunos, antes de se abalançarem no trabalho simbólico de cálculo, o que denomina de contrato didáctico. O programa GEAAR, baseado num trabalho de elaboração de tarefas e reflexão, partindo da adaptação de materiais de ensino do próprio professor, com vista a desenvolver o pensamento algébrico dos seus alunos, identifica as características de uma boa prática de ensino. O estudo de caso que apresenta sugere: a integração, de forma natural, de conversas algébricas com os alunos, uma abordagem continuada dos temas, em espiral e uma capacidade de integrar no quotidiano e de forma autónoma, a elaboração e adaptação criativa de tarefas. 57

58 Capítulo V: As TIC e o pensamento algébrico (apenas a estrutura actual do capítulo) A integração das TIC na escola e a confiança dos professores no seu uso As TIC na Educação Matemática As TIC no pensamento algébrico As TIC nas orientações curriculares As orientações curriculares internacionais As orientações curriculares nacionais 58

59 Capítulo VI: Metodologia Tendo em conta que o objectivo do estudo é compreender o conhecimento didáctico que assiste o professor no desenvolvimento curricular e na prática profissional no domínio do pensamento algébrico, com recurso à tecnologia, procurei encontrar uma metodologia que me permitisse estudar e compreender em profundidade este conhecimento. Para o efeito, identifiquei um conjunto de questões que passam por perceber os factores do percurso profissional e os contextos profissionais do professor que influenciaram e influenciam a construção desse conhecimento que ele precisa para ensinar e que respeita, num primeiro nível, à forma como prepara e conduz o ensino na sala de aula mas que integra também, num segundo nível, o conhecimento matemático do assunto, o conhecimento do currículo e a forma como ele entende a aprendizagem dos alunos. Opções metodológicas Estudo de natureza interpretativa Em primeiro lugar, importa enquadrar o presente estudo num paradigma que dê coerência simultaneamente à visão do mundo do investigador e à natureza do problema a investigar. Quanto ao primeiro aspecto, assume-se a existência de múltiplas realidades, construídas pessoal e socialmente através de percepções e de interacções entre o sujeito e a realidade ou fenómeno em estudo, contrariamente ao paradigma tradicional ou científico, baseado no pressuposto de uma realidade simples e objectiva que pode ser conhecida e é exterior ao sujeito (Merriam, 1988). No que respeita ao segundo aspecto, como se trata de identificar, problematizar e compreender o conhecimento profissional, em particular o conhecimento didáctico, de professoras de Matemática no âmbito do desenvolvimento curricular e da prática profissional, a preocupação centra-se em procurar o como, os porquês e encontrar uma descrição e interpretação holística do conhecimento didáctico evidenciado e construído pelas professoras. Neste sentido, a opção é por um paradigma de natureza interpretativa, aquilo que (Erickson, 1986) define como investigação interpretativa e que está preocupada com as especificidades do significado e da acção na vida social que tem lugar em 59

60 situações concretas da interacção face a face que se desenvolvem num contexto social mais alargado (p. 156). A interpretação e a construção dos significados não correspondem ao ponto de vista do investigador sobre a realidade observada, mas são uma construção que resulta da intersubjectividade presente na relação entre o investigador e os sujeitos, tendo por base as observações, a reflexão e outros dados. Stake (2007) refere que para chegar a estas conclusões ou asserções, nas palavras de Erickson, nem sempre existe um caminho óbvio, quer para o leitor, quer para o investigador. Para as asserções, partimos de entendimentos bem fundos dentro de nós, entendimentos cuja derivação pode ser uma mistura escondida de experiência pessoal, trabalho académico e asserções de outros investigadores (p. 28). Investigação de tipo qualitativo Dado que procuro estudar o conhecimento didáctico das professoras, tal como ele se revela na preparação de tarefas para a sala de aula e na sua implementação no terreno, a natureza do problema e das questões do estudo, sugerem a observação da realidade em contexto natural, onde não é possível identificar claramente todas as variáveis que nela estão envolvidas, nem exercer sobre elas qualquer controle ou manipulação, nem separá-las do próprio contexto (Merriam, 1988; Yin, 1984). A preocupação, mais do que com os resultados que se apresentarão sob a forma de narrativas descritivas ilustradas com citações dos informantes, centra-se no processo, nos significados que as pessoas atribuem às suas experiências e à forma como as interpretam, através de uma análise de dados indutiva, em que as abstracções, conceitos ou teorias surgem de baixo para cima, no processo de análise de dados, o que sugere a opção por uma metodologia de natureza qualitativa (Merriam, 1988; Bogdan & Biklen, 1994). Nesta metodologia privilegia-se a procura de significados, nomeadamente nos processos vividos, de modo a obter uma melhor compreensão do problema em estudo, como ponto de vista dos participantes. De acordo com Bogdan & Biklen, (1994), os investigadores qualitativos preocupam-se com aquilo que se designa por perspectivas participantes ( ) Ao apreender as perspectivas dos participantes, a investigação qualitativa faz luz sobre a dinâmica interna das situações, dinâmica esta que é frequentemente invisível para o observador exterior (pp ). Também (Stake, 2007) reconhece que os investigadores qualitativos, de modo a conseguirem uma melhor compreensão sobre as situações, captam a realidade em episódios chave ou testemunhos e representam os acontecimentos com a sua própria interpretação directa e histórias (p. ex., narrativas). A investigação qualitativa usa estas narrativas para optimizar a oportunidade de o leitor obter uma compreensão experiencial do caso (p. 55). 60

61 Modalidade de estudo de caso De entre as investigações qualitativas, a opção pelo design ou modalidade de estudo de caso foi determinada por se reconhecerem no estudo, em maior ou menor grau, as quatro características identificadas por Merriam (1988) como propriedades essenciais de um estudo de caso qualitativo: ser particularístico, descritivo, heurístico e indutivo. Particularístico, porque o foco é no conhecimento didáctico de cada uma das professoras, sendo importante o que cada uma delas revela acerca do mesmo, fornecendo uma visão holística do objecto de estudo. Descritivo, na medida em que se espera como produto final uma descrição completa e sistemática do objecto de estudo, que inclui interpretação com base nos significados construídos, ilustrada com transcrições relevantes retiradas dos dados. Heurístico, que significa que os casos pretendem trazer à superfície a compreensão dos potenciais leitores acerca do conhecimento didáctico do professor. Indutivo, porque os conceitos, abstracções e descoberta de relações, emergem da análise dos dados, através do raciocínio indutivo (Merriam, 1988). Embora o objectivo do estudo seja compreender o conhecimento didáctico que assiste o professor no desenvolvimento curricular e na prática profissional, no domínio do pensamento algébrico, com recurso à tecnologia, portanto, uma questão geral, para o fazer escolhemos dois casos particulares de duas professoras que iremos estudar em profundidade, pelo que, de acordo com (Stake, 2007) cada um deles representa um estudo de caso instrumental, na medida em que usamos os casos específicos para obter compreensão sobre a questão geral: o conhecimento didáctico do professor. No mesmo sentido, segundo Erickson (1986), não procuramos por universais abstractos alcançados por generalização estatística de uma amostra para uma população, mas por universais concretos, alcançados através do estudo de um caso específico com grande detalhe e então compará-lo com outros casos estudados com igual detalhe (p. 130). Ao contrário da investigação quantitativa que trata as singularidades como situações a excluir ou erros, para a investigação qualitativa, estas e os contextos individuais constituem importantes recursos para a compreensão do problema em estudo. Também de acordo com Stake (2007), a função da investigação não é mapear e conquistar o mundo, mas sim sofisticar a sua contemplação. É suposto haver descrição densa, compreensão experiencial e realidades múltiplas nos estudos de caso de carácter qualitativo (p. 58), o que sugere que o objectivo da investigação pode não ser, em última análise, a representação da verdade, mas um estímulo à reflexão pelos leitores, criando melhores condições para estes aprenderem, aquilo que Stake (2007) refere como uma aprendizagem experimental ou generalização naturalista. 61

62 Um projecto de trabalho colaborativo Dada a importância de me apropriar dos significados das acções e opções que os professores fazem na preparação e implementação da actividade lectiva, quando mobilizam diferentes aspectos do seu conhecimento didáctico, procurei identificar e caracterizar diferentes contextos e espaços de trabalho, de forma a potenciar e facilitar a emergência e partilha de saberes das e com as professoras. Isto pode ser facilitado através do desenvolvimento de relações colaborativas, construídas numa base de confiança entre toda a equipa de trabalho, constituída pelas professoras e pelo investigador, pois, de acordo com alguma investigação, um excelente meio de estabelecer e manter a confiança num contexto é envolver os informantes directamente na investigação, como colaboradores com o investigador (Erickson, 1986, p. 142). Numa visão positivista, a realidade é vista como algo que existe objectivamente e independente do sujeito que conhece e a que se tem acesso através de abstracção da experiência, guiada por princípios e hipóteses. Uma vez alcançado o conhecimento verdadeiro, único e hierarquicamente estruturado, ele é passado para baixo aos outros para ser usado na prática (Olson, 1997). A separação metodológica da mente do corpo, e do sujeito do objecto, conduziu à crença de que o conhecimento obtido pelo objectivismo racional era superior ao obtido pela experiência pessoal (p. 15) e por isso esta concepção de entender o conhecimento constitui um obstáculo à colaboração. Nas palavras da autora, esta dificuldade acentua-se porque a voz de quem conhece é assumida como dominante ( ) [e] para que a colaboração funcione, todos os participantes devem ver os outros e eles próprios como aprendentes cujas ideias merecem ser escutadas (p. 18). Neste sentido, nesta investigação pretende adoptar-se outra postura: tornarmo-nos mais experientes, como profissionais capazes de aprender, em que todos, investigador e professoras, se assumem como aprendentes que apreendem o mundo de diferentes formas, dado que vêm de diferentes comunidades de conhecimento, cada uma desenvolvendo histórias particulares da prática educativa (Olson, 1997, p. 24). Este conhecimento, assumido como uma construção pessoal e social, decorre da natureza contínua e interactiva da experiência e recorre a narrativas únicas para a representar. Através da interacção [entre investigadores de universidades e professores], o significado é continuamente reconstruído à medida que as novas interacções conduzem a compreensões adicionais (Olson, 1997, p. 19). Esta aprendizagem através da experiência sugere estar aberto à sua própria experiência e 62

63 à experiência dos outros, na medida em que, escutando diferentes vozes e ideias levanos a reinterpretarmos a experiência passada e imaginarmos futuras possibilidades. Assim, coerentemente com a opção feita por um paradigma interpretativo, chega-se à caracterização de uma forma de trabalho centrada em relações de colaboração com as professoras envolvidas no estudo, tendo em conta a natureza das questões a estudar e a visão do mundo partilhada pelo investigador. A lógica inerente à perspectiva interpretativa da investigação sobre o ensino conduz à colaboração entre o professor e o investigador. O sujeito da investigação junta-se na empresa do estudo, potencialmente como um parceiro de pleno direito (Erickson, 1986, p. 157). Como se pode desenvolver a colaboração no trabalho da equipa? Porque as relações colaborativas tomam frequentemente a forma de conversas (Olson, 1997), optámos por criar um contexto de trabalho onde houvesse lugar à partilha, discussão e elaboração de tarefas para implementar em sala de aula, assim como à reflexão sobre episódios decorrentes da prática da sua implementação, esperando que daí decorra uma maior compreensão sobre o conhecimento didáctico das professoras. Entende-se aqui por conversa, não um simples processo de troca em que cada um conta o que sabe, mas um processo que evolui em torno dos objectos e situações no mundo dos participantes e conduz a conhecimento partilhado ( ) onde cada participante traz significado e questões para a conversa (Olson, 1997, p. 21). Mas isso só será possível se garantirmos um sentido de igualdade entre todos os participantes, deixando vir ao de cima a autoridade da narrativa, ou voz da experiência, o que nem sempre é fácil, na medida em que o investigador traz normalmente consigo a voz da autoridade daquele que conhece mais e melhor, baseada em argumentos e explicações (Olson, 1997) e por vezes identificado pelos professores como tendo propósitos avaliativos (Erickson, 1986). Olson fala-nos de um espaço na conversa colaborativa, onde ocorre a transacção de ideias e a negociação de significados, o middle ground, onde as pessoas se sintam seguras e arrisquem tornar público o seu conhecimento narrativo, mesmo verbalizando posições diferentes das socialmente aceites ou das visões do investigador. O objectivo com a colaboração pode não ser obter o acordo ou o consenso, nem sempre fáceis ou mesmo necessários de alcançar, mas o deixar emergir diferentes ideias e pontos de vista alternativos. À medida que nós aprendemos mais de e sobre os outros, nós também aprendemos mais de e sobre nós próprios ( ) Nas relações colaborativas há um reforço do conhecimento pessoal e interpessoal assim como do conhecimento profissional (Olson, 1997, p. 25). E será natural que o aparecimento de diferentes perspectivas sobre a elaboração de boas tarefas para a sala de aula, assim como diferentes interpretações de situações e episódios de sala de aula conflituem e constituam por vezes momentos de surpresa e 63

64 até de confusão e tensão. Mas as tensões que emergem nas relações de colaboração são o que mantém as relações vivas e dinâmicas (Olson, 1997, p. 25). O dispositivo de trabalho colaborativo A equipa de trabalho colaborativa reunirá presencialmente, entre Setembro de 2008 e Julho de 2009, uma vez por mês, em local a indicar pelas professoras, em princípio, nas suas escolas ou em espaço onde se sintam à-vontade, com dois períodos mais intensivos em Outubro/Novembro e em Janeiro/Fevereiro. Este trabalho terá dois objectivos principais: elaborar um conjunto de tarefas sobre Números e Álgebra, integrando o uso das TIC, a serem implementadas em cinco aulas; e discutir e reflectir sobre essas aulas, com base em episódios identificados por cada uma das professoras e pelo investigador e que possam ter interesse para a investigação sobre o seu conhecimento didáctico. O trabalho de investigação terá como suporte a distância uma plataforma de gestão de aprendizagem (uma disciplina Moodle), que constituirá um espaço de publicação das tarefas, de documentos de apoio, episódios e relatos de todos os membros da equipa e um espaço de desenvolvimento das tarefas e interacção entre todos os intervenientes, de forma síncrona e assíncrona. Assim, para além da existência de um fórum permanente para desenvolvimento e aprofundamento das tarefas, de discussão e comentário a materiais e relatos publicados, uma vês por mês, entre duas sessões presenciais, os membros da equipa interagirão, através de um programa de comunicação síncrona (o chat do Moodle ou o Skype), para discutirem as diferentes abordagens didácticas de uma tarefa sobre um tópico dos Números e Álgebra, com uso das TIC, ou um episódio de sala de aula, a definir e seleccionar pela equipa. As sessões de trabalho da equipa serão gravadas em áudio e delas será feita uma síntese escrita com o registo das ideias principais e do que fazer na próxima sessão, a publicar na plataforma. As cinco aulas de implementação das tarefas, das quais três serão objecto de observação pelo investigador, serão gravadas em vídeo. Relativamente às duas aulas não sujeitas a observação, a professora seleccionará os extractos/episódios que quer apresentar na sessão conjunta seguinte da equipa, de acordo com o que considerar mais relevante para ser discutido, tendo em conta o objectivo do trabalho. A opção por discutir aulas não observadas, cumpre dois objectivos: permitir desenvolver, inicialmente, uma certa empatia entre o investigador e as professoras que lhes permita encarar com mais naturalidade a minha presença nas aulas e também conhecer aspectos que as professoras valorizam na sua actividade e que respeita ao seu conhecimento didáctico, ao solicitar-lhes que sejam elas a seleccionar os extractos ou episódios mais relevantes a apresentar para discussão. 64

65 Das aulas e das sessões serão tomadas notas de campo que constituirão uma memória de aspectos a visualizar com maior atenção nos registos completos, em áudio ou vídeo, ou que registarão comentários e apreciações do investigador sobre aspectos específicos observados na situação. As tarefas, relatos, documentos curriculares e outros materiais, que constituirão a base de propostas de trabalho para as sessões da equipa, envolverão: o Novo Programa de Matemática do Ensino Básico (Ponte et al., 2007); as orientações curriculares em Números e Álgebra dos graus 3-5 e 6-8 e sobre o uso da tecnologia, propostas nos Princípios e Normas para a Matemática Escolar (NCTM, 2007); as indicações sobre os tópicos e conceitos nucleares a dar ênfase e das conexões transversais a estabelecer entre diferentes temas, em cada nível e sua articulação vertical entre os diferentes níveis, do Curriculum Focal Points for Prekindergarten through Grade 8 Mathematics; problemas e investigações, fonte de ideias para tarefas sobre pensamento algébrico com uso das TIC, recolhidas ou adaptadas de documentos de orientação curricular ou de didáctica da Matemática, nacionais e internacionais e de textos de investigação 2 ; para além de episódios recolhidos da prática das professoras ou de outros estudos. Os materiais a seleccionar para cada sessão, assim como o conteúdo das sessões da equipa, serão propostos pelo investigador e pelas professoras, de forma negociada, tendo em conta os objectivos do estudo, mas também os interesses e necessidades manifestadas pelas professoras, o programa da disciplina e as suas planificações didácticas. Para o efeito e como ponto de partida inicial, o investigador constituirá um pequeno dossier temático com documentos e propostas de tarefas que entregará às professoras em Outubro de 2008 e que constituirá uma base para a discussão e selecção dos materiais e para o arranque do trabalho. O plano de trabalho (em anexo), a discutir e negociar com as professoras, concretiza muitos aspectos aqui referidos. 2 Exemplos: Boavida et al. (2008). A experiência Matemática no Ensino Básico. Lisboa: DGIDC ME; Ponte, J. P., Brocardo, J. e Oliveira, H. (2003). Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica Editora; Sheffield, L. J. e Cruikshank, D. E. (2005). Teaching and Learning Mathematics Pre-Kindergarten Through Middle School. USA: Jossey Bass Education. 65

66 As participantes Para levar a cabo esta investigação, optei por dois estudos de caso: duas professoras do 3º ciclo, a leccionarem 7º ano de escolaridade, com quem trabalharei em equipa, na elaboração de tarefas destinadas a explorar os Números e a Álgebra, com uso das TIC, com vista à sua experimentação em sala de aula e na reflexão sobre episódios dessa prática. Esta opção, teve em conta: a) a natureza das questões da investigação como, perceber e caracterizar o conhecimento didáctico do professor e factores que o influenciam; b) o pouco grau de controle sobre as variáveis envolvidas no conhecimento didáctico, decorrendo em ambiente natural; e c) o produto final esperado, neste caso, uma descrição e interpretação holística e intensiva sobre o conhecimento didáctico evidenciado pela professoras, que nos traga uma maior compreensão sobre o assunto. Num estudo de caso, a escolha dos professores para o estudo não obedece a critérios de representatividade da amostra, que caracterizam os estudos experimentais de natureza quantitativa, uma vez que não estou preocupado com a generalização das conclusões para uma população. Uma vez que o estudo decorre num tempo limitado, necessito de casos de fácil acesso, que aceitem bem o projecto de investigação. A minha preocupação é ter casos com os quais possa aprender muito desses casos específicos, uma estratégia de amostragem intencional (Merriam, 1988) e através deles compreender melhor o problema em estudo, pelo que maximizar as possibilidades de aprender é o meu primeiro critério de escolha (Stake, 2007). As participantes, a seleccionar em Setembro de 2008, serão professoras do 7º ano de escolaridade, do 3.º ciclo do ensino básico, a quem será proposto um plano de trabalho 3 envolvendo: a elaboração, em equipa, de tarefas sobre pensamento algébrico, com o uso das TIC, apoiadas nas novas orientações curriculares e em documentos identificados pelas professoras e pelo investigador como pertinentes, como suporte à elaboração das tarefas; a observação de aulas onde as tarefas serão implementadas; a discussão e reflexão em equipa sobre episódios da prática das professoras; e a publicação das tarefas e interacção sobre as mesmas, os episódios e relatos resultantes da prática, numa plataforma de gestão de aprendizagem a distância. Neste sentido, procurei encontrar professoras para quem a experimentação de novas abordagens metodológicas aos temas Números e Álgebra, tendo em vista o 3 Em anexo 66

67 desenvolvimento do pensamento algébrico e a integração curricular das TIC não constitua um obstáculo, mas antes, um desafio. A opção por escolher dois casos, um estudo de caso colectivo, de acordo com Stake (2007), visa recolher mais evidência e maior diversidade, procurando, além de perceber as especificidades de cada caso, coordenar e identificar semelhanças e singularidades nos dois casos. Três contextos determinaram a opção pelo ano de escolaridade: o contexto delimitado pelo objectivo do estudo e que aponta para a área do currículo dos Números e Álgebra, nomeadamente o pensamento algébrico; o contexto das TIC, para as quais se prevê o seu uso; e o contexto do Novo Programa de Matemática do Ensino Básico, homologado em Dezembro de 2007, que começa agora a dar os seus primeiros passos ao nível da explicitação e formação, em que uma das mudanças reconhecidas é considerar a Álgebra como uma forma de pensamento matemático, o pensamento algébrico, desde os primeiros anos de escolaridade. Assim, é ao nível do 3.º ciclo, nomeadamente no 7.º ano, que encontramos, quer no actual programa ainda em vigor, quer no novo, mais referências a temas que envolvem os números e as propriedades das operações, as variáveis e expressões, a proporcionalidade directa, as funções e as equações, temas privilegiados para a exploração de relações numéricas e algébricas. Também é neste ano e ciclo que existem mais algumas indicações metodológicas que apontam como recursos a utilizar, para além da calculadora, a folha de cálculo e os applets, como tecnologias a integrar para promover a aprendizagem. Assim, defini alguns outros critérios para a escolha das duas professoras participantes no estudo: (i) leccionarem o mesmo ano (7.º ano); (ii) terem alguma estabilidade profissional; (iii) terem uma experiência profissional como professoras de, pelo menos, 6 anos; (iv) terem alguma participação e/ou intervenção anterior em encontros de natureza profissional ou em projectos de inovação curricular; (v) estarem abertas a experimentar as indicações metodológicas do novo Programa, no que respeita ao desenvolvimento do pensamento algébrico, prevendo o uso das TIC; (vi) terem alguma familiaridade, ainda que elementar, com as TIC. Os objectivos do estudo, os principais procedimentos, o que lhes é pedido, assim como os compromissos que com elas são assumidos pelo investigador, constam do plano de trabalho (em anexo), que foi entregue e discutido com as professoras em Setembro e Outubro de As sessões de trabalho mensais, presenciais e a distância, visam a elaboração de tarefas sobre pensamento algébrico, com uso das TIC, a discussão de textos curriculares e de didáctica da Matemática, considerados relevantes pela equipa e a reflexão sobre aspectos e episódios da prática, seleccionados pelas professoras e pelo investigador, a partir das aulas de implementação das tarefas, tendo em conta o 67

68 propósito do estudo. Os episódios da prática, diálogos dos alunos na resolução de um problema ou na exploração de uma actividade de investigação, poderão constituir um ponto de partida para discutir e fundamentar opções a tomar na elaboração de boas tarefas de aprendizagem. O tempo das sessões deverá tender a ser distribuído equitativamente entre a elaboração das tarefas e a reflexão sobre a prática, constituindo esta a acção de nível mais avançado e com maior probabilidade de ser geradora de evidência relevante para o estudo. Numa 1ª fase, que se prevê até Novembro de 2008, existirá um período de trabalho mais intensivo, constituído por 4 sessões presenciais que permitirão a constituição do grupo como tal, a apropriação dos discursos e o estabelecimento de uma linguagem comum, com vista à preparação da 2ª fase, onde já haverá lugar à experimentação de tarefas em sala de aula e a um funcionamento mais regular e sequencial. As aulas, nomeadamente as observadas, visam levar à prática o conjunto das tarefas e materiais elaborados pela equipa de trabalho colaborativa, constituída por mim e pelas duas professoras e têm como objectivo identificar os principais aspectos do conhecimento didáctico que as professoras mobilizam na prática lectiva e relacioná-los com outros aspectos do seu conhecimento profissional, evidenciados nas sessões de planificação desse trabalho. O processo de recolha de dados Os dados qualitativos a recolher do mundo empírico, sob a forma de palavras, pretendem trazer profundidade e detalhe ao estudo e assumem a forma de descrições detalhadas, citações directas dos informantes e excertos de documentos e outros registos. Numa investigação do tipo estudo de caso, importa recorrer a fontes diversificadas de informação, num processo de triangulação, quer das fontes de dados 4, quer dos métodos e técnicas a adoptar, como a observação, a entrevista ou a análise documental, os nossos protocolos da investigação qualitativa, de modo a melhorar a qualidade da evidência a recolher e a validar os resultados do estudo (Stake, 2007). Constituirão potenciais fontes de dados: as sessões de trabalho da equipa, presenciais e a distância, síncronas e assíncronas; as notas de campo e os documentos escritos, resultado de transcrições dos registos áudio e vídeo, das sessões e das aulas; a 4 Para a triangulação das fontes de dados, vamos ver se o fenómeno ou o caso se mantém inalterado noutros momentos, noutros espaços ou à medida que as pessoas interagem de forma diferente ( ) procurando ver se o que estamos a observar e a relatar transmite o mesmo significado quando descoberto em circunstâncias diferentes (Stake, 2007, p. 126) 68

69 reflexão sobre os relatos, episódios ou incidentes críticos das aulas, escolhidos pelo investigador e pelas professoras; as transcrições das entrevistas; os materiais, comentários e reflexões disponibilizados pelas professoras na plataforma de gestão de aprendizagem a distância, em complementaridade do trabalho presencial. Nem toda a informação recolhida através destas fontes, como as notas de campo, as transcrições das observações e das entrevistas ou os documentos, reverterá necessariamente em dados, antes constituirão recursos para a elaboração dos dados, o que deverá ser realizado através de meios formais de análise (Erickson, 1986) e deverá iniciar-se com mútiplas leituras do conjunto completo das notas de campo (p. 149). Segundo Yin (1984), a força singular do estudo de caso é a sua capacidade para lidar com uma grande variedade de evidência, documentos, artefactos, entrevistas e observações (p. 20). Neste sentido, as técnicas ou métodos de recolha de dados a utilizar, serão: Entrevista. A entrevista usa-se quando se pretende captar o que vai no pensamento das pessoas, o que não pode ser directamente observado ou quando temos algum interesse em factos passados, ou seja, ela pode permitir-nos aceder e perceber melhor a perspectiva das pessoas tal como elas a assumem (Merriam, 1988). Mais do que observar uma realidade através do nosso próprio ponto de vista, pretendemos descobrir e retratar as múltiplas perspectivas sobre o caso. A entrevista é a via principal para as realidades múltiplas (Stake, 2007, p. 81). Assim, a natureza do problema, a preocupação com o percurso profissional das professoras e factores de influência passados que procuramos perceber de modo a melhor caracterizar o seu conhecimento didáctico, justificam o uso deste método. De acordo com a natureza do problema e a metodologia adoptada, pode recorrer-se a diferentes tipos de entrevistas desde as muito estruturadas, com questões muito guiadas e numa ordem bem determinada, num extremo do contínuo, até às completamente abertas e mais informais no outro (Merriam, 1988). No entanto, neste último tipo de entrevista, de natureza mais exploratória, tem que se ter algum cuidado de modo a não nos perdermos do objectivo central do estudo. Num estudo qualitativo, a opção é normalmente por um tipo de entrevista mais aberto, menos estruturado, menos próximo do inquérito e mais adequado a permitir a cada entrevistado dar conta da sua experiência única e da sua própria perspectiva sobre o mundo (Merriam, 1988), podendo passar pela entrega aos professores de uma pequena lista de questões (Anexo 7D) orientadas para o problema (Stake, 2007). Neste estudo, serão conduzidas duas entrevistas de natureza semi-estruturada, procurando compreender os aspectos do conhecimento didáctico das professoras que mais valorizam e a sua relação com o seu percurso e experiência profissional. A primeira entrevista, aconteceu em Setembro e Outubro com cada uma das professoras, segundo um guião (Anexo 7C) que focou aspectos do seu percurso 69

70 profissional, experiências relevantes da sua formação e desenvolvimento profissional no que respeita ao currículo e à didáctica dos Números e da Álgebra e à integração curricular da tecnologia. Esta ocorreu após a apresentação e discussão com cada professora dos objectivos do estudo e respectivo plano de trabalho e antes da 1ª sessão de trabalho realizada individualmente com cada uma das professoras, devido ao diferencial de tempo entre a selecção do 1º caso e o encontrar do 2º (3 semanas). A segunda entrevista será realizada em Julho de 2009, após a última sessão de trabalho e incidirá sobre o trabalho realizado pela equipa e eventual clarificação sobre alguns dados recolhidos, com vista a melhorar a compreensão sobre o conhecimento didáctico das professoras. Nas entrevistas deve prevalecer uma relação de interacção que influencia reciprocamente as perguntas e as respostas e atenção especial deve ser dada ao nãodito, como os gestos, sinais não-verbais ou entoações, tantas vezes importantes para a compreensão do que foi registado (Ludke & André, 1986). Estas preocupações devem acompanhar o investigador na condução das entrevistas, uma vez que o seu objectivo não é obter simples respostas de sim e não, mas a descrição de um episódio, uma ligação entre factos, uma explicação. Formular as questões e prever as perguntas que evocam boas respostas é uma arte especial (Stake, 2007, p. 82). Finalmente, de modo a preservar a memória das conversas a levar a cabo através das entrevistas, estas serão audiogravadas, com o consentimento das professoras, sendolhes posteriormente devolvidas as respectivas transcrições para validação. Também imediatamente a seguir às entrevistas o investigador deverá registar um conjunto de notas de campo que permitirão relembrar e reconstituir posteriormente os aspectos essenciais e substantivos da conversa, para além da transcrição exacta (Merriam, 1988). Relativamente à 1ª entrevista ela já foi entregue a cada uma das professoras, para verificarem a sua adequação ao que disseram e poderem emitir algum comentário, o que já foi feito pelas duas professoras. Registos. Aqui integram-se quatro diferentes tipos de registos descritivos: i) os resultantes das notas de campo, tiradas imediatamente após as entrevistas, as sessões de trabalho presenciais da equipa ou as aulas observadas; ii) as transcrições das gravações em áudio e vídeo que registaram as entrevistas, as sessões de trabalho da equipa e as aulas onde foram implementadas as tarefas; iii) os registos dos episódios seleccionados das aulas, para discussão no seio da equipa; e iv) os registos das participações nas actividades (fórum e chat) na plataforma a distância, com vista a complementar a informação recolhida nas sessões de trabalho presenciais. Observação. A observação permite-nos registar um comportamento tal como ele acontece e pode assumir vários graus de entrosamento com a situação e com os sujeitos, desde o de completo observador ao de completo participante. No entanto, no estudo de caso qualitativo o que normalmente ocorre é o investigador assumir o papel 70

71 de investigador participante, ou seja, um observador parcialmente envolvido na situação (Merriam, 1988). O investigador, como observador participante, deve ter em conta que a sua observação é filtrada pela sua história pessoal, pelo que deve ser controlada e sistemática, de acordo com um planeamento cuidado que deve prever a delimitação clara do objecto de estudo, assim como uma atenção ao tipo de registos a fazer e à concentração a ter sobre os aspectos essenciais (Ludke & André, 1986). O investigador deve reconhecer que na observação devem estar presentes vários elementos, para além das actividades e interacções que se desenvolvem, como seja a atenção aos contextos nos seus aspectos físicos e outros (Merriam, 1988; Stake, 2007) e de cuja descrição depende aquilo que Stake identifica como o desenvolvimento de uma experiência vicária com o leitor, ou seja, fornecer-lhe a informação contextual que lhe dê a sensação de estar lá (Stake, 2007). No estudo, serei um participante observador, na equipa de trabalho colaborativo e um simples observador, muito pouco participante, em três das cinco aulas de implementação das tarefas. No primeiro caso, trabalharei em conjunto com as professoras, propondo e discutindo ideias e tarefas e orientando a discussão e reflexão sobre episódios da prática, procurando perceber os aspectos do conhecimento didáctico que mobilizam no planeamento e elaboração das tarefas e na prática lectiva. Relativamente à observação das aulas, o meu papel, será o de me tornar familiar e pouco intrusivo, de modo a limitar a minha interferência no ambiente de trabalho, tornar-me atento ao que se passa à volta, mantendo um bom registo dos acontecimentos, centrado na professora e num conjunto de questões orientadoras a integrar num guião semi-estruturado e deixando a ocasião contar a sua história, nas palavras de Stake (2007). O papel do investigador Numa investigação desta natureza, o investigador constitui o principal instrumento de recolha e análise da informação, o que alerta para alguns cuidados a ter e para um conjunto de características que devem ser observadas. A tolerância para a ambiguidade, procurando e inflectindo caminhos em busca de significado, mais do que seguindo procedimentos óbvios ou protocolos pré-determinados, a sensitividade ao contexto, aos espaços e aos tempos no processo de recolha de dados, estar a par das várias formas de que se pode revestir a sua interferência no estudo e ser um bom comunicador, constituem algumas das características a serem acauteladas pelo investigador (Merriam, 1988). A subjectividade, longe de ser evitada ou considerada uma imperfeição a eliminar, deve ser considerada um elemento fundamental para a compreensão do problema, desde que o investigador tenha consciência dos erros de interpretação em que pode 71

72 incorrer e use procedimentos de triangulação com vista a melhorar a confiança nos dados e nas suas interpretações (Stake, 2007). De um modo geral, as competências de observação, comparação e reflexão necessárias a qualquer pesquisa, são comuns a todos os seres humanos. O que os investigadores interpretativos profissionais fazem é usarem as vulgares competências de observação e reflexão sob formas especialmente sistemáticas e deliberadas (Erickson, 1986, p. 157), o que vem valorizar o professor como investigador da sua própria prática. A análise de dados Num estudo de caso, a análise de dados caminha normalmente a par da recolha, influenciando-se mutuamente, numa relação recursiva e dinâmica e que termina por exaustão das fontes e por saturação das categorias, quando se verifica que nova informação já não acrescenta maior compreensão ao caso e que apenas o torna mais extenso (Merriam, 1988). A análise dos dados resultantes dos registos das discussões e do processo de elaboração das tarefas pela equipa, dos registos de observação das aulas, da reflexão sobre as aulas, dos relatos escritos e dos registos das transcrições das entrevistas audio e videogravadas, poderá fazer-se por interpretação directa ou por agregação em categorias, uma e outra correspondendo a um processo de procura de correspondências e de padrões, com vista à busca de significados (Stake, 2007). As categorias de análise poderão organizar-se de acordo com as questões orientadoras do estudo, desenvolvidas no quadro teórico, surgindo a priori, ou decorrerem de questões emergentes que se vierem a revelar como pertinentes pelas professoras, como aspectos importantes do seu conhecimento didáctico. Muitas vezes, os padrões serão conhecidos antecipadamente, retirados a partir das perguntas de investigação, servindo como um modelo para a análise. Outras vezes, os padrões surgirão inesperadamente a partir da análise (Stake, 2007, p. 93). Num estudo de caso, de natureza eminentemente indutiva, a análise dos dados irá sendo realizada de baixo para cima, paralelamente ao desenvolvimento da investigação, procurando-se construir as abstracções à medida que os dados são recolhidos e se agrupam (Bogdan e Biklen, 1994), revelando padrões que poderão ou não enquadrar-se nas categorias definidas apriori. Uma tarefa básica da análise de dados é gerar estas afirmações, predominantemente através de indução (Erickson, 1986), o que é conseguido num processo de revisão do conjunto dos dados recolhidos, desde as notas de campo ou de entrevista, aos registos audio ou videogravados e são estas múltiplas leituras dos recursos que os convertem em dados. 72

73 Num primeiro nível de análise, os dados são organizados por tópicos ou cronologicamente, constituindo aquilo que se pode chamar a base de dados do estudo de caso, podendo traduzir-se numa narrativa descritiva como produto final. Um segundo nível de análise diz respeito ao desenvolvimento de categorias que envolvem já a interpretação de significados dos dados. Finalmente, quando as categorias se refinam e relacionam, podemos entrar num terceiro nível de análise com vista ao desenvolvimento de teoria para explicar os significados dos dados (Merriam, 1988). Também de acordo com Erickson (1986), as unidades básicas de análise no processo de indução analítica são os exemplos concretos das acções que ocorrem entre pessoas com estatutos específicos diferentes e instâncias de comentários sobre o significado dessas acções e outros aspectos mais gerais acerca dos significados e crenças e essas unidades básicas no processo de análise de dados são também os elementos básicos do relatório escrito do estudo (Erickson, 1986, p. 149). De acordo com o mesmo autor, o corpo essencial do relatório é constituído por descrições particulares (exemplos de acções ou comentários de entrevistas com citações e episódios narrativos que acompanham a narrativa descritiva), que suportam as afirmações e abstracções, chamadas de descrições gerais que as articulam em padrões e comentários interpretativos interpolados entre as descrições particulares e as gerais, que ajudam o leitor a estabelecer ligações entre os detalhes específicos e os argumentos mais abstractos (Erickson, 1986). Os relatórios descritivos intermédios de investigação e as transcrições de aulas ou sessões da equipa, consideradas importantes e a integrar no estudo, deverão ser devolvidos às professoras participantes para revisão, eventual correcção ou acrescento, num processo que Stake (2007) designa de verificação pelos intervenientes, podendo fornecer com regularidade, observações e interpretações importantes, fazendo às vezes sugestões quanto às fontes de dados. Eles também ajudam a triangular as observações e as interpretações do investigador (p. 128). Também o relatório do estudo deve organizar-se compilando todos os dados considerados relevantes para o caso e clarificando a audiência a que se dirige e, em seguida, identificando a principal mensagem que quer passar, tendo em conta o foco do estudo, uma vez que está a lidar com uma grande quantidade de informação (Merriam, 1988). Assim, a tarefa do investigador na escrita do relatório, obedece a duas ordens de preocupações: por um lado, ela é didáctica, na medida em que os significados e os conceitos analíticos mais abstractos devem emergir das acções específicas levadas a cabo pelas pessoas; por outro lado, ela é retórica, fornecendo adequada evidência de que a análise realizada é válida e decorre do que os acontecimentos significam, do ponto de vista dos actores que neles intervêm (Erickson, 1986). 73

74 Finalmente, na escrita do relatório integrando os dados relevantes e a sua interpretação e tendo em conta que normalmente se dá maior ênfase às interpretações do investigador do que às dos casos estudados, ele deve procurar preservar as múltiplas realidades, as perspectivas diferentes e até contraditórias do que está a acontecer (Stake, 2007, p. 28), estimulando a reflexão pelos leitores e alargando as suas oportunidades de aprenderem. 74

75 Capítulo VII: Análise de dados Contextos História da constituição da equipa A selecção da 1ª professora A primeira professora, que eu já conhecia há muitos anos, foi seleccionada em 16 de Setembro de 2008, na sequência de uma conversa que tivemos em sua casa, previamente combinada por mail e telemóvel, após um primeiro contacto que com ela estabeleci no ProfMat de Elvas, no início de Setembro. Nessa altura, apenas confirmei que Ana leccionava o 7º ano e sugeri que posteriormente falaríamos da sua possível colaboração num trabalho de investigação, o que foi concretizado nessa conversa, onde apresentei e discuti o plano de trabalho (Anexo 1). Dada a natureza do trabalho colaborativo que queríamos desenvolver, que implicava criar um bom ambiente e relações de trabalho intensas, procurei envolver Ana na procura do segundo elemento da equipa. Nessa primeira conversa, partilhei com Ana um contacto que já tinha feito, sem êxito, porque a referida professora não leccionava 7º ano e também outras ideias que tinha, assim como lhe perguntei se ela tinha alguém com quem gostasse de trabalhar. Nesse esforço de memória que ia fazendo em voz alta, chegou a um nome de uma professora da sua zona que se tinha destacado numa acção de formação na qual Ana era formadora. Falámos sobre algumas características a ter em conta, como a sua experiência profissional, espírito de abertura à inovação e desempenho com as TIC e do pouco que ela conseguia identificar ou lembrar-se, pareceu-nos que a Ana deveria desenvolver um contacto informal para saber que ano leccionava, explicando que a informação que pretendíamos, seria para participar num projecto de investigação, que ficaria dependente de um contacto a desenvolver. Surgiu ainda outro nome de uma outra professora que tinha também participado no mesmo curso e que também se tinha evidenciado no trabalho que realizou. No entanto e dado que eu tinha conhecimento do recente envolvimento dessa professora numa outra investigação, deixámos a situação em suspenso. 75

76 Ana lembrou-se ainda de uma colega da sua escola, mas sugeri, com o seu acordo, que procurássemos introduzir outro contexto diferente, que poderia vir a enriquecer o nosso estudo. Os cerca de oito contactos que desenvolvi, sempre em contacto com Ana, mostraramse infrutíferos devido, quer a não leccionarem o 7º ano de escolaridade, quer por se tratar de professores (as) envolvidos (as) em formação avançada ou em projectos de formação nacionais que lhes ocupavam muito tempo. Um mês depois Só um mês depois, em 15 de Outubro, conseguimos a 2ª professora para o estudo. Por indicação de uma colega que eu conhecia, ela sugeriu-me Beatriz como uma professora jovem que lhe parecia disponível e receptiva a um trabalho desta natureza, pelo que conhecia do trabalho que mantinha com ela na escola. Nem eu, nem Ana, a conhecíamos, mas confiei na informação que me deu. A conversa que mantive com ela, onde lhe apresentei o plano de trabalho e se decidiu a sua integração neste trabalho colaborativo, decorreu durante cerca de uma hora, na própria escola onde Beatriz lecciona, numa sala de apoio aos directores de turma, com boas condições e sem interrupções. Tal como Ana, Beatriz mostrou-se bastante agradada com a proposta de trabalho que lhe apresentei, vendo nesta colaboração um desafio e uma mais-valia para pensar no seu trabalho e na sua prática. Com a apresentação e discussão do plano de trabalho, forneci às professoras uma pasta com textos e documentos de orientação curricular e alguns documentos que organizei com o objectivo de apoiarem o nosso trabalho de equipa. À semelhança do que já tinha conversado com Ana, falei sobre os locais de realização das sessões e sugeri que fossem sempre elas a decidir. As suas casas, as suas escolas ou a minha própria casa, constituíam locais possíveis a que poderíamos recorrer, mas a casa da Ana pareceu a todos a mais bem situada, para começarmos, face aos diferentes locais de residência e de trabalho das professoras. Relativamente às planificações, as professoras perguntaram se existia alguma proposta de abordagem curricular que se deveria adoptar, face aos objectivos do estudo, uma vez que precisavam de articular isso com decisões ao nível do grupo pedagógico da escola. Dado que o estudo seria desenvolvido em contexto natural, procurei deixá-las à vontade para escolherem a ordem que achassem confortável para si próprias e adequada ao planeamento do seu trabalho dentro da escola. Lembrei apenas que, de acordo com o plano de trabalho, as tarefas que iríamos elaborar visariam o desenvolvimento do pensamento algébrico, tendo as TIC como suporte. Assim, poderíamos partir dos números e operações, das suas propriedades e relações, passar pelas sequências e regularidades, pelo estudo das funções e pela 76

77 proporcionalidade, até chegar às equações. Estes temas, enquadram-se nas áreas dos Números e da Álgebra do actual programa e seria a partir deles que poderíamos desenvolver o que designamos por pensamento algébrico, uma nova linguagem e abordagem que está presente nas orientações metodológicas propostas no novo programa e que iremos ter em conta. Seria portanto natural que, no 1º período lectivo, pudéssemos trabalhar nas sequências e regularidades e que uma 1ª aula de implementação das tarefas, usando as TIC, ocorresse entre Novembro e Dezembro, o que veio a suceder. Das professoras à equipa colaborativa Dado o tempo que mediou entre a selecção do 1º e do 2º caso e face à necessidade de Ana planear a sua intervenção para o 1º período, resolvemos iniciar o trabalho em Setembro, realizando a entrevista e uma 1ª sessão de trabalho, apenas com Ana. Após a chegada de Beatriz, em meados de Outubro, realizei de imediato uma primeira entrevista e uma sessão de trabalho apenas com ela, procurando acertar o passo com o que tinha discutido com Ana. Para mim, este processo inicial mais individualizado, serviu como um teste ao nível da qualidade dos registos de som, da criação de uma linguagem comum e de ganhar alguma experiência no colocar de questões para promover o esclarecimento das opções das professoras e promover a sua reflexão. Nomeadamente, uma questão que me preocupava era a capacidade de gerir, num projecto de natureza colaborativa, a minha iniciativa versus a iniciativa das professoras, os tempos despendidos com as diferentes questões face aos interesses das professoras e o equilíbrio entre discutir, colaborar, propor, ouvir e tomar notas. Também a leitura das primeiras transcrições me fez reflectir sobre o meu papel como investigador, na forma como ouvia, como tomava a palavra, ou como, por vezes, a sobrepunha à voz das professoras, interrompendo o seu discurso ou não lhe dando a devida continuidade. As sessões de recolha de dados A recolha de informação tem-se processado, de acordo com a metodologia adoptada e com o plano de trabalho, através das entrevistas (no início do processo), das sessões presenciais de trabalho para elaboração de tarefas e reflexão sobre a prática, da participação em fóruns e em chats, numa plataforma de apoio a distância e através do registo e selecção de episódios que decorrem da observação de aulas e que são objecto de reflexão nas sessões presenciais (Anexo 7A). Materiais de trabalho como, fichas com tarefas, resoluções de alunos ou relatos de aulas da iniciativa das professoras, disponibilizados nas sessões presenciais ou a distância, constituirão informação adicional para reflexão, recursos para chegar aos dados, através de processos formais de análise (Erickson, 1986). 77

78 Neste trabalho, assumo um conjunto de pressupostos que guiam a minha intervenção nas sessões que realizamos e nos contactos que estabeleço, presenciais ou a distância. As professoras trabalham em colaboração comigo, com base no Programa de Matemática actual, em Números e Álgebra, mas com o horizonte no pensamento algébrico e no uso curricularmente integrado da tecnologia, que estão presentes na investigação, nas orientações curriculares internacionais e no novo Programa de Matemática. Sendo a natureza do trabalho colaborativa e desconhecendo as professoras, à partida, as questões da Aritmética que podem ser tomadas como ponto de partida para o desenvolvimento do pensamento algébrico: elas devem surgir em documentos a elaborar que cruzem o programa actual e as tarefas, com o que as orientações curriculares e a investigação dizem sobre as TIC e o pensamento algébrico; ao mesmo tempo, as questões devem emergir de forma natural a partir das ideias e dos problemas que as professoras trazem para as sessões, num processo que chamarei de abertura e algebrização das tarefas. O meu trabalho é partir do conhecimento didáctico que as professoras evidenciam no terreno da elaboração das tarefas e nas práticas, procurando percebê-lo e interpretálo, à medida que procuro fazer emergir ideias algébricas que estão na estrutura da matemática elementar, utilizando as TIC. As sessões presenciais da equipa: cronologia e assuntos Até Janeiro de 2008, realizaram-se, para além de uma conversa informal para apresentar e discutir o plano de trabalho, de uma primeira sessão de trabalho e de uma entrevista, com cada uma das professoras, quatro sessões presenciais da equipa colaborativa, 3 chats e vários contactos informais de troca de ideias e materiais, realizados fundamentalmente a distância. Para a sessão individual, que realizei com cada uma das professoras (em 10 e 21 de Outubro de 2008), preparei um documento (Anexo 7B) que lancei no Moodle na véspera e que teve por objectivo orientar esta primeira abordagem. Procurei chamar a atenção das professoras para a natureza dos documentos que tinham na pasta que lhes entreguei e que iam desde documentos de orientação curricular, até exemplos de tarefas retiradas de livros de referência, de artigos de investigação ou de teses. Na sessão, analisaram-se um conjunto de tarefas sobre sequências e padrões numéricos e geométricos, visualizaram-se abordagens possíveis com a folha de cálculo e reflectiu-se sobre episódios de aprendizagem retirados de teses, tendo como quadro orientador do nosso trabalho, o pensamento algébrico e as potencialidades reconhecidas às TIC, em particular os applets e a folha de cálculo. 78

79 Na 1ª sessão da equipa, realizada em 28 de Outubro, após uma breve apresentação das professoras, seguiu-se uma estratégia semelhante à das sessões anteriores: resolução e discussão de tarefas sobre sequências, tendo presente o uso da folha de cálculo; exploração de ficheiros na folha de cálculo, procurando identificar potencialidades e dificuldades no trabalho com padrões numéricos, numa primeira abordagem que se faz da ferramenta; exploração de um applet com vista à elaboração de uma tarefa com um conjunto de questões para implementar em sala de aula; discussão de alguns episódios de sala de aula, retirados da tese da Neusa Branco. Na 2ª sessão da equipa, realizada em 18 de Novembro de 2008, discutiram-se: episódios, relatados por Beatriz, relativos a uma aula com sequências e pequenas passagens de um filme, de uma aula observada de Ana; um texto sobre estratégias de cálculo mental (do Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1º ciclo, da ESE de Setúbal), para desenvolver nos professores uma sensibilidade para o trabalho numérico, centrado nas relações entre os números e entre as operações e não só no cálculo; algumas questões de um documento que elaborei (Anexo 4) sobre a sintaxe da folha cálculo e a aprendizagem da Matemática (relação entre os endereços e fórmulas da FC e os conceitos de variável e de expressão com variáveis); algum planeamento do trabalho futuro (regularidades, proporcionalidade, equações, ), as próximas sessões e a observação de aulas. Na 3ª sessão da equipa, realizada em 2 de Dezembro de 2008: discutiram-se os problemas das caixas de doces e das carteiras (Anexo 6D), os conhecimentos matemáticos envolvidos e as possibilidades de exploração didáctica; resolveu-se e discutiu-se o problema das castanhas, o relato da professora (Anexo 6B 1ª e 2ª parte), integrando diálogos dos alunos e uma reformulação do problema (Anexo 6C) e sua possível algebrização; discutiu-se a tarefa dos quadrados e cubos perfeitos (Anexo 6E), com uso da folha de cálculo, que Beatriz vai introduzir, numa aula a ser filmada; reflectiu-se sobre uma aula da Ana que experimentou tarefas discutidas e planeadas em sessões anteriores, com o apoio de um applet sobre sequências lineares, com base no relato oral da professora; reflectiu-se sobre uma aula de Beatriz, com base no seu relato e nalgumas resoluções escritas que ela tinha recolhido dos alunos; sugeriram-se algumas ideias para tarefas no âmbito da proporcionalidade directa, tema que Ana ia abordar recentemente com os alunos. De todas as sessões realizadas e que foram gravadas, fiz as respectivas transcrições, nos dois a três dias imediatos à sessão, procurando não perder informação complementar que assinalo no início e no fim da transcrição e sobre a qual faço uma primeira análise, destacando em caixa e em realçado a cor, as frases e os diálogos mais significativos, tendo em conta o quadro teórico e as questões do estudo. 79

80 O papel da plataforma de apoio a distância Neste estudo, estamos a usar uma plataforma de gestão de aprendizagem a distância (Moodle), com dois objectivos: constituir um repositório de materiais que eu e as professoras vamos disponibilizando e que suportam todo o trabalho que estamos a desenvolver; ser um espaço de interacção, síncrona e assíncrona, que serve de preparação ou dá continuidade às sessões presenciais. A apresentação da página principal da disciplina Moodle (Anexo 8), dá-nos uma ideia da diversidade e organização dos documentos, assim como dos espaços de interacção. A estrutura, obedece a uma organização mista: uma organização por assuntos, em cima e uma organização cronológica, por sessão, da parte de baixo. Na zona de assuntos, disponibilizam-se documentos de orientação curricular, propostas de tarefas com origem na investigação, em estudos e em documentos curriculares, textos de orientação/reflexão e ficheiros de trabalho que vou criando. Na zona das sessões, o trabalho organiza-se por mês/sessão e tem basicamente duas actividades abertas: o fórum que serve de meio de comunicação e envio de documentos anexos, antes e depois da sessão presencial; o chat, que serve o propósito de conversar, de forma síncrona, entre duas sessões presenciais, para discutir assuntos muito precisos, como a definição e alguma preparação para o que se vai discutir na sessão presencial seguinte. Os anexos enviados para o fórum, podem ser ideias para fichas, esboços de tarefas, relatos ou outros documentos de orientação sobre pensamento algébrico e TIC. E embora no plano se assuma que esta plataforma constitui o nosso espaço de trabalho a distância, muita comunicação do tipo um para um continua a desenvolverse das professoras comigo, através de mensagens de correio electrónico, procurando filtrar as dúvidas e melhorar as tarefas, antes de as enviar para a plataforma. A observação de aulas A observação de aulas tem decorrido a ritmos diferentes, com Ana e Beatriz. No entanto, em qualquer das situações, estamos adiantados face ao que o plano previa, no que diz respeito ao número de sessões a registar em vídeo. Ana tem realizado mais aulas da disciplina de Matemática, usando a tecnologia e solicitando a minha presença frequentemente, enquanto Beatriz tem feito um caminho exploratório, preparatório e mais cauteloso do uso da tecnologia, no estudo das sequências, nas aulas de Estudo Acompanhado, levando com menos frequência esse tipo de tarefas para a sala de aula. Até agora, observei e registei em vídeo, cinco aulas da Ana e uma da Beatriz, fazendo nos dois a três dias seguintes, a montagem de um filme de cerca de 30 minutos, 80

81 organizando com separadores, vários clips que procuram traduzir as sequências de diálogos que me parecem mais relevantes e registando um conjunto de notas escritas sobre os mesmos. Este filme é entregue à respectiva professora alguns dias depois, que dele selecciona os episódios que quer discutir na sessão, situação que ainda não está a funcionar bem. Isso deve-se a quatro ordens de razões: nem sempre se conseguem registos vídeo com bom nível de som, de modo a perceber bem os diálogos específicos entre a professora e um aluno ou pequeno grupo de alunos; os registos mais frequentes, centram-se em apresentações gerais para toda a turma; as professoras têm tido dificuldades em seleccionarem bons episódios, por falta de experiência neste trabalho de reflexão sobre a prática, a partir de episódios; eu próprio tenho sentido dificuldades em despoletar alguma discussão e reflexão aprofundada sobre as situações, pois as primeiras impressões são sempre de entusiasmo pela participação e descoberta dos alunos e pelas oportunidades que se lhes dão. Breve apresentação dos casos Ana: a pessoa na profissão e na escola. A Ana é uma professora de estatura média baixa, cabelo curto, simpática, alegre e que sempre conheci extrovertida e disponível para desafios. Tem 54 anos de idade, 28 anos de serviço e passou por 4 escolas na sua vida profissional, estando há 24 anos na escola onde actualmente lecciona, uma escola básica com 2º e 3º ciclo do distrito de Setúbal. Tem dois filhos maiores de idade e a mais nova ingressou recentemente na Universidade. Licenciou-se em Matemática (Ramo Educacional), na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa em 1980 e uns anos mais tarde, em 1994, iniciou o Mestrado em Informática e Educação, na mesma instituição, tendo defendido, em 1998, após um ano de licença sabática, uma dissertação sob o título, O computador e o Professor As culturas profissionais dos professores na sala de aula. Ana é clara sobre as razões para a procura de uma pós-graduação nesta área. Depois de ter trabalhado na escola com o projecto Minerva, já na fase final deste projecto, tive conhecimento deste Mestrado e senti que era a altura de parar um trabalho diário, para aprender mais e ao mesmo tempo reflectir sobre a temática da utilização do computador (E1_A). Conheço-a desde os tempos do Projecto MINERVA, há cerca de 21 anos, quando integrava a equipa do Centro Escolar MINERVA da escola e dinamizava os primeiros passos da entrada dos computadores no ensino, participando em processos de 81

82 formação e experimentando o uso do computador em clube e na sala de aula, com pequenas aplicações de software e com o Logo. Actualmente faz parte da equipa do Plano da Matemática. A ginástica, as tarefas domésticas e a leitura, ocupam algum do seu tempo e servem para descansar e libertar tensões. Lê, porque gosta muito de ler outra literatura, para além da de natureza profissional. A escolha da profissão Desde cedo quis ser professora de Matemática, área com que teve sempre boa relação, próxima da sua maneira de pensar e com que se entendeu melhor, embora uns anos correu melhor [e] outros não correu tão bem (E1_A). Quando na escola secundária começou a pensar no que escolher, ser professora de Matemática constituiu uma escolha natural. Recorda uma professora de Física e Química do seu antigo Liceu que tendo-a solicitado para ajudar colegas que estavam com dificuldades, ficou a observá-la e no fim da aula sugeriu-lhe que deveria ser professora. Acha a profissão com muitas e variadas vertentes de que gosta. Eu gosto de comunicar com as pessoas, gosto de estar rodeada de pessoas, tenho uma certa dificuldade, não é dificuldade, gosto mais de coisas de desafios, do que de muita rotina (E1_A). A relação com a Matemática e a Álgebra A área da Matemática que mais gostou, no seu percurso pela escola básica e secundária, foi da Geometria. Eu por acaso gosto de Geometria. Eu... não tenho assim uma preferência... não tenho áreas que diga que não gosto, mas eu acho piada ao desafio da Geometria... pensar na Geometria. E quando eu era aluna, lembro-me nas férias de espreitar a parte dos anos seguintes,... eu não me preocupava em ir aprender os assuntos, isso não... nem ler os assuntos... mas achava piada em ir, lá está, em Geometria achava piada em ir às actividades, aos problemas e pensar como é que havia de fazer aquilo ( ) entretinha-me a fazer (risos) actividade de raciocínio, sabendo que não estava preocupada com as fórmulas, sabendo que logo ia lá aprendê-las, mas gostava de raciocinar (E1_A). Da Álgebra, lembra-se do cálculo algébrico, de procedimentos e da repetição, aos quais também acha alguma graça, que tenta passar para os seus alunos quando eles têm alguma dificuldade (E1_A). 82

83 Eu... da álgebra... o que eu tenho, ao contrário... bom mas é assim, não é ao contrário... eu da álgebra gostava daquela... portanto, fazia muita reprodução de procedimentos, não é?! Portanto, para calcular isto, para calcular aquilo (I interrompe: cálculo algébrico não é?!), repetia-se, repetia-se, repetia-se... mas eu também achava graça a essa parte, curiosamente... acho que dá assim uma certa segurança saber o que é que era para fazer ( ) É ver aquilo como um jogo (E1_A). As marcas gratificantes do percurso profissional Os principais marcos positivos no seu percurso profissional foram o estágio e a sua participação no Projecto MINERVA. O estágio, pelas características e trabalho da orientadora, uma orientação feita todos os dias em actividade na escola ( ) um trabalho muito bem feito. Discutíamos muito era o trabalho de grupo, a elaboração de todas as tarefas, a discussão de como essas tarefas se implementarem na sala de aula, tirar o melhor partido da actividade dos alunos, os diferentes momentos da aula, as diferentes questões que se podiam colocar (E1). Muito do que ainda hoje faz, embora reconheça a contribuição da experiência, sente que se deve a esse momento gratificante que marcou o início da sua vida profissional. Eu sinto que... a minha capacidade de trabalhar em sala de aula ou de colocar [questões] em sala de aula ou de tirar partido das situações, tem a ver sempre com esses frutos que tiveram naquele ano (E1_A). Quanto ao Projecto MINERVA, reconhece ser, de longe, o que mais influência exerceu sobre ela, sendo o responsável por ter começado a usar a tecnologia nas aulas. A integração do computador processou-se naturalmente, dado que ele constituiu apenas mais uma ferramenta que se integrou na forma como já organizava e geria o trabalho de grupo dos alunos e as discussões dentro da sala de aula, aprendizagem que atribui à experiência do estágio. Lá venho outra vez ao estágio ( ) foi muito engraçado que eu tenho sempre esta sensação: a maneira de organizar a aula, a maneira de organizar a discussão com os elementos dos grupos dos alunos ou individualmente, senti que quando eu comecei a usar o computador... eu já trabalhava, o que eu senti naquela altura foi que... a maneira como eu trabalhava em sala de aula era sem computador, mas era já uma forma de trabalhar que me permitiu não ter receio de utilizar o computador (E1_A). 83

84 Ana reconhece ainda outro projecto com alguma relevância, mas de outro tipo: é o Plano da Matemática, mais ligado com os conhecimentos de Matemática, de um nível mais macro, uma vez que pertence à Comissão. Assim marcante... sob outra perspectiva não é?! Tem a ver com conhecimentos... já mais estrutural. Mais com uma visão... por exemplo, se fosse professora acompanhante já seria outro tipo de experiência, não é?! Mas... fazendo parte da Comissão, já é uma experiência diferente, também está a ser muito interessante...( ) É, é, é... mais superior, é! (E1_A). Aprender a ensinar Questionada sobre forma como acha que aprendeu e continua a aprender a ensinar, Ana fez alguns comentários sobre a dificuldade da pergunta e ri-se. O aprender a ensinar... já fiz referência aqui ao estágio. Foi na verdade... o estágio ensinou-me... ensinou-me a aprender a ensinar ( ) Eu sei que eu tenho uma característica que eu já mencionei que é o facto de eu gostar de me relacionar e não tenho dificuldade em relacionar-me com nenhuma idade. Também acho que isso é importante ( ) ao longo da vida a gente vai pensando às vezes nestas coisas e eu acho que isso que me faz também todos os dias aprender a ensinar, porque... consigo estar também atenta às reacções ( ) eu gosto de estar atenta aos sinais físicos das pessoas. E eu acho que é isso... nunca tinha pensado nisso! Mas eu essa característica que eu gosto de estar atenta, como é que a pessoa está a reagir, em termos de expressão, aquilo que faz àquilo que eu digo, me faz colocar as coisas às vezes de outra maneira (E1_A). No seu percurso escolar em Matemática, nem tudo foram rosas, mas isso também parece constituir uma mais-valia como professora, para dar valor e perceber algumas dificuldades dos alunos. Aquilo que os miúdos estão a fazer, eu sou capaz de perceber, porque sou capaz de me lembrar quando estava na pele deles, algumas das dificuldades que senti. O que quer dizer que, embora eu goste de Matemática e me sentisse bem nela eu também não fui daquelas... pessoas... que tudo foi rosas na Matemática enquanto aprendi e isso acho 84

85 que foi bom para eu ser professora... porque eu sei perceber porque é que eu também tinha dificuldades nalguma coisa ou noutra (E!_A). Desafios e projectos Entre 2000 e 2005, foi convidada por uma colega, sob proposta de uma editora, para elaborar manuais escolares, à luz das novas competências previstas no Currículo Nacional do Ensino Básico, projecto que desenvolveu para os diferentes anos, desde o 5º ao 8º ano de escolaridade. Faz um balanço positivo desta experiência que considera enriquecedora, mas cansativa, referindo-se a todo o processo, incluindo a divulgação em acções para professores, realizadas em quase todas as capitais de distrito. Contudo, é uma máquina de fazer dinheiro e o autor também não faz sempre o que quer. Está condicionado a realizar um trabalho que também é usado pelos professores, tendo em vista outros objectivos educacionais que não aqueles que tinham por base a construção das tarefas (E1_A). A colaboração A colaboração neste projecto aceitou-a como um desafio, articulado com a reflexão sobre si e a sua própria prática, sendo uma contribuição para melhorar o seu conhecimento profissional. Eu por acaso gosto de participar nestas coisas (...) por exemplo, aquilo que a gente está a fazer aqui hoje permite-me também pensar sobre mim mesma e para dar resposta às coisas que me perguntas eu estou a pensar em voz alta, acerca de mim própria e portanto é uma coisa que gosto de fazer ( ) e a expectativa que eu tenho é de me ajudar a pensar acerca das coisas e se me obriga a pensar, decerto que vou ficar com mais conhecimentos (E1_A). É a 4ª vez que se envolve em investigações deste tipo, ligada a programas de mestrado e doutoramento, tendo sido um dos casos que, em 1991, participou na investigação que desenvolvi no âmbito do mestrado. Mesmo reconhecendo que por vezes estas colaborações acarretam alguma sobrecarga de trabalho, acha que consegue encontrar esse tempo e que isso é uma mais-valia que lhe traz obrigação de pensar melhor, com objectivos e de forma mais sistemática sobre o ensino e as aulas e fugir às rotinas quotidianas da profissão. 85

86 O contexto profissional da escola A escola onde trabalha, insere-se num meio sócio económico médio baixo, com mais de 50% dos pais com a escolaridade ao nível do 9º ano completa, com uma actividade sócio profissional predominante de Empregados de Comércio e Serviços (30%). Acolhe cerca de 750 alunos, distribuídos por mais de três dezenas de turmas, de forma mais ou menos equilibrada, entre o 5º e o 9º ano. Cerca de uma centena de professores, distribuídos entre o 2º e o 3º ciclo, constituem um corpo que pode considerar-se estável, embora nos próximos anos deva sofrer significativas alterações, devido a um largo leque deles atingir a idade da reforma. É uma escola com uma boa relação entre os colegas, mas com alguma dificuldade em estabelecer regras de funcionamento na classe docente, o que se torna visível no cumprimento de regras nos departamentos e no trabalho colaborativo (E1_A). Esta escola foi uma das que, desde cedo, integrou a experiência nacional que constituiu o Projecto MINERVA, trabalhando em ligação com uma instituição de ensino superior na formação e apoio a projectos de integração curricular das tecnologias de informação e comunicação na educação. A Beatriz: outra pessoa na profissão e na escola. Beatriz é uma professora de estatura média alta, cabelo curto, simpática e com dois filhos muito novos, o mais pequeno dos quais tem nove meses. Com 31 anos, completa este ano o seu 9º ano de serviço e já leccionou em 8 escolas, estando há 3 anos na escola básica com 2º e 3º ciclo do distrito de Setúbal, onde lecciona actualmente. Licenciou-se em Matemática na Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, onde foi uma aluna muito aplicada e lembra-se de gostar muito das Análises Matemáticas, mas não só. Também as cadeiras de informática, gostava muito, tínhamos a Investigação Operacional que eu gostava imenso da Investigação Operacional, tínhamos a Programação também, tínhamos também a Análise Numérica que eu gostava imenso. Portanto, tudo o que se relaciona com Cálculo, com Números, com a Álgebra, foi sempre aquilo com que eu mais me identifiquei também (E1_B). Os tempos em casa, até ir buscar os filhos, são para preparar materiais e investigar, este ano que tem mais algum tempo e menos dispersão de disciplinas e áreas. Por volta das 5 da tarde, 86

87 é chegar a casa, tratar deles, jantar, brincar um bocadinho com eles, estar um bocadinho com eles, deitá-los e depois muitas vezes depois de os deitar ainda vou trabalhar um bocadinho (risos) até conseguir (E1_B). No entanto, ainda arranja um tempo livre para a hidroginástica, visto que ler, uma coisa de que tanto gosta, tem pena de não ter tempo, senão nas férias. Ao fim de semana, procura interromper as rotinas da semana, descansar e fazer outras actividades. Não consigo fazer trabalho de escola, porque há uma casa para orientar, temos que arejar também um bocadinho e descansar, portanto, desde brincar com os meus filhos a fazer puzzles, fazer actividades, passear, jogar à bola com eles no parque (risos), ir ao parque com eles, ao cinema (E1_B). A relação com a Matemática e a Álgebra As áreas da Matemática de que Beatriz mais gosta, integram-se nos grandes temas, Números e Operações e Álgebra. O cálculo, as funções e os números. São as áreas que eu mais gostava, mas também eu gostava muito de geometria estatística é que é aquilo que menos me fascina, porque acho que é uma área da Matemática mais maçuda, em que não existe tanto raciocínio quanto as outras áreas ( ) Agora como professora acho que os alunos sentem que eu prefiro mais as outras áreas e que estou mais à-vontade para diversificar as estratégias de ensino (E1_A). No entanto, há dois anos Beatriz abandonou, com pena, um trabalho que realizava com gosto desde os seus 18 anos, ligado à igreja. Era catequista e chegou a ser coordenadora de uma paróquia, mas teve que abandonar porque há prioridades na vida e neste momento a prioridade é a família e agora a profissão (E1_B). Para Beatriz, a Matemática marcou-a, porque teve sempre a sorte de ter bons professores, excepto no 10º ano e ser professora foi uma escolha que fez cedo, do que se recorda, no 1º ciclo. Eu lembro-me de que estava no 1º ciclo e me virava para a professora e dizia, Professora, eu quero ser professora, também! (risos) portanto, acho que foi mesmo gosto, já desde pequenina (E1_B). A escolha da profissão 87

88 Na sua aproximação a esse papel, parece reconhecer o método que utilizava em História, no 7º ano. Eu fazia os meus resumos e depois fazia perguntas e respondia às perguntas (risos) portanto, acho que já estava em mim (E1_B). A confirmação do seu jeito especial para esta profissão, veio através dos resultados dos testes psicotécnicos, que realizou no final do 9º ano para orientar as suas escolhas. Algumas das questões dava mesmo para perceber onde é que aquilo levava (risos) e toda a escolha foi também para a área da Matemática, apesar da psicóloga dizer que eu também tinha muita aptidão e capacidade para a área de informática (E1_B). Aprender a ensinar Questionada sobre como aprendeu a ensinar, Beatriz, à semelhança de Ana, achou a pergunta bem difícil. Eu começo a pensar, era aquilo que eu dizia se calhar inicialmente, quando eu era estudante do básico, quando eu fazia os resumos, mesmo no secundário, eu ( ) [por exemplo] queria estudar, por exemplo, Filosofia. O meu quarto, no chão, era só livros. Eu relacionava as coisas, eu interligava as coisas, eu fazia questões a mim própria e se calhar isso foime ajudando um bocadinho a perceber como é que nós alunos ou como é que os alunos conseguem aprender ( ) Vou aprendendo ao longo dos anos, sem dúvida, com a reflexão que se faz semanalmente e diariamente da nossa prática, porque tem que ser feita senão o que é que andamos a fazer, não é?! mas eu acho que também faz um bocadinho parte de nós, quando acho que nós estamos dotadas para ensinar e acho que as explicações que eu dei também ajudou imenso, porque ao dar explicações individuais também me fui apercebendo se calhar mais perto das dificuldades dos alunos, e tentando porque eu sempre vi a Matemática de maneira muito simples... (E1_B). Algumas marcas do seu percurso profissional A sua actividade social ao nível dos grupos da igreja e a sua aptidão para a Matemática e para a Informática, tiveram provavelmente alguma implicação no início do seu ainda curto, mas diversificado, percurso profissional. Em todos estes anos de ensino, nem sempre dei Matemática portanto, comecei dei Matemática, dei Aplicações Informáticas ao 12º ano e dei 88

89 Técnicas e Linguagens de Programação, portanto, mais a linguagem Pascal. ao 10º ano. Também depois fui dando as Áreas de Projecto, Estudo Acompanhado, a Formação Cívica e também houve dois anos que eu cheguei a dar Educação Moral e Religiosa Católica, porque como não tinha colocação pelo Ministério, tive que arranjar (risos) outra maneira de continuar no ensino (E1_B). Ao contrário de Ana, o estágio constituiu uma experiência negativa no início do percurso profissional de Beatriz. O estágio não foi normal, para mim não foi normal, acho que foi que foi para mim, foi negativo. Foi negativo porque não é falar mal da orientadora é ser real ( ) não estava ali para nos ajudar, mas sim para nos criticar e humilhar. Muitas vezes humilhava-nos, portanto o nosso trabalho em vez de nos ajudar e nos mostrar fazer umas críticas construtivas era mais destrutivas quando saíamos de lá completamente de rastos (E1_B). No entanto, esta má experiência não impediu que continuasse a gostar da profissão. Portanto, eu que gostava tanto da profissão e estava com tanto entusiasmo, senti ali assim uma quebra, mas nunca desisti (risos) porque realmente foi esta profissão que eu escolhi e é disto que eu gosto claro (E1_B). Desafios, projectos e estabilidade profissional Quando procurou identificar projectos que marcaram a sua profissão, Beatriz teve alguma dificuldade, pela mobilidade que tem marcado o seu percurso, que a obriga a uma constante adaptação a novos ambientes e culturas profissionais, das escolas por onde tem passado. Isto de andar sempre a mudar de escola, para mim é um bocadinho complicado. Eu sou uma pessoa, custa-me sempre a adaptar às novas situações portanto, demoro algum tempo a adaptar-me e quando se muda de escola temos que nos adaptar a tudo (risos), desde colegas, desde a forma ao Conselho Executivo, à forma como a escola está organizada portanto, para mim essa parte é muito complicada (E1_B). No entanto, reconhece várias experiências positivas em que participou nas escolas, de natureza um pouco mais isolada, o que decorre dessa grande mobilidade: a 89

90 organização local do Jogo do 24, a colaboração nos Dias da Matemática ou a colaboração numas provas para o 2º ciclo, equivalentes às Olimpíadas da Matemática. Também a sua experiência na dinamização de actividades e intervenção social na igreja, parece transpor-se para projectos que organiza e dinamiza, quer fora da escola para a comunidade, quer nas escolas, ao nível da Área de Projecto e da Formação Cívica, abordando temas como os hábitos alimentares, a saúde ou a toxicodependência. Quando se lhe pede para indicar o mais relevante, é peremptória em referir o Plano da Matemática. Aquilo que eu gosto mais, é realmente tudo o que está relacionado com a Matemática. O Plano [da Matemática] agora então este ano está-me a dar muito prazer em para já, eu e a [outra colega] temos os mesmos métodos semelhantes de trabalhar está-me a dar para já aprendo muito com ela, não é?! (risos) ( ) Às vezes há colegas que dizem que gostavam de fazer coisas diferentes da Matemática, não ser só Matemática. Eu não! Eu acho, gosto de aprofundar a minha área e está-me a dar imenso prazer trabalhar no Plano e tudo que se relacione com a Matemática dá-me imenso prazer (E1_B). Estar na mesma escola há 3 anos, cria-lhe melhores condições para se envolver em projectos e dá-lhe um conhecimento da escola, como o que tinha da paróquia quando coordenadora. A mais valia que me trás é que aprendo mais, tenho outra visão das coisas sinto mais facilidade e mais isso também já por estar na escola há 3 anos, não é?! Já conhecer o ambiente, já conhecer o contexto, também já me possibilita mais, por exemplo, quando eu era eu faço muito esta comparação, quando era coordenadora da paróquia eu conhecia, sabia com que linhas me podia cozer conhecia a paróquia (E1_B). A colaboração Convidada a explicitar o porquê de ter aceitado participar neste estudo e das expectativas que tem, Beatriz afirma querer aprender num trabalho em equipa, estabelecendo o paralelo com a experiência que está a ter na escola. Tenho a expectativa de vir a aprender muito mais ( ) eu vou aprender com toda a equipa, tal como aprendo com a [minha colega da escola] tem outro tipo de formação que eu, tem outras perspectivas e tenho 90

91 aprendido imenso com ela, também acho que vou aprender convosco, não é?! Vou aprender com toda a equipa e isto vai trazer uma mais-valia e depois também a nível de futuro, porque isto de estar estagnada num sítio (E1_B). Beatriz parece pouco conformada com os horizontes que reconhece na profissão e ambiciona ir mais longe, vendo na sua participação neste projecto, alguma esperança num futuro melhor. Eu, por exemplo, também na paróquia quando eu consegui desenvolver mais da minha pessoa a nível religioso, mas onde eu me desenvolvi bastante eu dava formação ( ) a nossa maneira de dar formação acaba por ir ao encontro também da maneira como lidamos com os alunos ( ) tem que haver o fio condutor ( ) e tudo isso se relaciona ( ) e este projecto pode ser uma mais-valia para mim, para o meu futuro (E1_B). O contexto profissional da escola A escola básica do 2º e 3º ciclo onde Beatriz trabalha, está localizada no centro de uma cidade da margem sul e recebe pouco menos de um milhar de alunos, distribuídos por cerca de 40 turmas, entre o 5º e o 9º ano, sendo que dois terços das turmas pertencem ao 2º ciclo. Tem um corpo docente muito estável de cerca de 120 professores e é uma escola com bons espaços de recursos educativos, nomeadamente ao nível da Biblioteca e de espaços com recursos informáticos. À semelhança da escola de Ana, também a de Beatriz ingressou no Projecto MINERVA desde o início, apoiada por uma instituição de ensino superior, trabalhando na área da integração curricular das tecnologias de informação e comunicação. Descrição de uma sessão de trabalho da equipa Contexto, negociação e primeiros passos A 3ª sessão presencial da equipa (S3) ocorreu, como habitual, em casa da Ana, numa sala ampla, arejada, bem iluminada, com uma boa mesa de trabalho, onde nos acomodamos os três, normalmente com dois computadores abertos, apontamentos e outros materiais de suporte ao trabalho. A sessão teve lugar no dia 2 de Dezembro de 2008 e durou duas horas e trinta e cinco minutos. Como sempre faço, embora os temas da sessão já tenham sido falados no chat anterior e às vezes por mail, proponho um conjunto de ideias que são negociadas em conjunto quanto à pertinência e à ordem de abordagem. 91

92 Assim, propus: (i) a apresentação e discussão dos problemas dos doces e das carteiras (Anexo 6D), identificando os conhecimentos matemáticos envolvidos e possibilidades de exploração didáctica; (ii) a resolução e discussão do problema das castanhas e respectivo relato escrito da professora (Anexo 6B), integrando diálogos dos alunos, material enviado voluntariamente por Beatriz, uma semana antes; a discussão sobre a tarefa dos quadrados e cubos perfeitos (Anexo 6E), integrando a folha de cálculo, que Beatriz iria introduzir na 1ª aula a ser observada; a apresentação de uma ficha sobre regularidades em cubos pintados, como eventual material complementar a usar numa outra aula; a discussão sobre um ou dois episódios de aulas, uma de cada professora, em que foram experimentadas tarefas planeadas em sessões anteriores, sobre sequências com uso da tecnologia, com base no relato oral das professoras e nalgumas resoluções escritas que Beatriz tinha dos alunos; a identificação de algumas ideias de tarefas para a proporcionalidade directa. Ana estava eufórica com uma aula da semana anterior em que tinha usado um applet para explorar a construção de sequências e a identificação da expressão geral, com base na manipulação de dois selectores que tinham implicações nas várias representações (numérica, gráfica e simbólica). Por seu lado, Beatriz estava também muito entusiasmada com uma iniciativa que tinha tido: adaptar um problema do manual escolar, explorá-lo na aula, pedir registos aos alunos, recolher e interpretar esses registos e elaborar um pequeno relato (Anexo 6B). Claro que também por isso, estes eram assuntos que iriam necessariamente fazer parte do nosso trabalho. Logo ao início, as professoras sugeriram os seus pseudónimos, cuja decisão andava suspensa de sessão para sessão, tendo mesmo Ana, logo na apresentação do estudo, sugerido que poderia dispensar o anonimato. As escolhas recaíram nos nomes de Ana (A) e Beatriz (B), a primeira, uma escolha de acordo com pseudónimo já escolhido em estudo anterior onde participou e, a segunda, penso que induzida por razões cronológicas (ter surgido depois no estudo e escolher a seguir a segunda letra do alfabeto). Partir do que trazem e procurar o sentido Em seguida, pelo entusiasmo de Beatriz, decidimos começar pelo problema das castanhas, uma coisa que já foi feita (S3_B), valorizando assim o investimento voluntário que esta professora fez nos materiais que recolheu e sobre os quais reflectiu oralmente e por escrito. Este, adaptei do manual. Era com um problema de azeitona e oliveira (risos) que eu adaptei para as castanhas e lá estava, em vez de estar em percentagem, estava também fracções Espera aí, então já que está 92

93 em percentagem, vou meter também já aqui isto assim já estamos a adiantar um bocadinho de trabalho (S3_B). Quando li o problema que Beatriz enviou, acompanhado do relato, tive alguma dificuldade em identificar que importância poderia ter para o nosso trabalho, pois não reconhecia nele, indicadores de pensamento algébrico, nem de tecnologia, mas apenas um problema aritmético. Procurei perceber o sentido da apresentação deste problema, para além da coincidência com a semana do S. Martinho, que provocou alguns risos. Fizeste isto a pensar no S. Martinho também e nas castanhas (risos) mas além disso fizeste a pensar nas expressões numéricas? (S3_I) Beatriz foi pronta na resposta, afirmando: Foi só resolução de problemas, só resolução de problemas ( ) como estamos nos números... [tema Números Racionais], portanto, para resolver problemas, foi mais um problema para eles resolverem (S3_B). Não fico satisfeito com a resposta e procuro que se identifiquem conteúdos, temas e conceitos matemáticos que estão envolvidos no enunciado e nos dados do problema e Beatriz reage apontando a noção de percentagem, de parte e de fracção. Sugiro ainda às professoras que se envolvam na resolução e que metam as mãos na massa, única forma de identificarmos caminhos, dificuldades e possíveis alternativas, nomeadamente valores numéricos mais apropriados para desenvolver relações e o cálculo mental. Para tentar perceber melhor as razões, fui ler o seu relato, onde apresentava assim o problema: Na semana do S. Martinho preparei um problema sobre castanhas adaptado do manual Matemática em Acção 7º Ano, da Lisboa Editora, que envolvia diferentes pré-requisitos: fracções, percentagens e regra de três simples. Entreguei-o aos alunos e pedi que o resolvessem em casa. Na aula de discussão, pedi aos alunos que relessem o problema individualmente e, posteriormente, questionei-os sobre a sua interpretação (R1_B). Aqui estão presentes, um contexto (o S. Martinho, com as suas lendas, lengalengas, quadras e provérbios) para um problema de palavras, algumas questões envolvendo diferentes representações dos números (fraccionária, decimal e percentagem) e interpretação da linguagem natural e matemática. 93

94 Por um lado, o trabalho com diferentes representações dos números em simultâneo, é um dos traços do novo Programa de Matemática e isso estava presente. Por outro lado, se eu escolhesse com algum cuidado outros valores, teria possibilidades de explorar o cálculo mental, usando alguns valores como referências para encontrar os outros. Podia até ir mais longe, partindo no 1º ano de um valor desconhecido (variável) P e, a partir daí, colocar as outras produções (2º e 3º anos), em percentagem e fracção, dependentes desta variável. Procurava assim que a análise se centrasse nas relações entre os números e não nos cálculos, na tentativa de algebrizar o problema, permitindo às professoras o contacto com esta nova abordagem, de acordo aliás com alguma investigação (Blanton & Kaput, 2005). Foi o que fiz, começando por apresentar outros valores para o mesmo problema (Anexo 6C) e, em seguida, através de discussão procurei que estabelecessem relações entre as produções dos diferentes anos, sem ficarem presas aos cálculos. Ana e Beatriz analisam as resoluções de alguns alunos e reconhecem indicadores do uso do cálculo mental, da decomposição dos números e recordam alguns exemplos do trabalho com cadeias numéricas 5, que explorámos na 1ª sessão da equipa. Este aqui [refere-se ao diálogo de um aluno, usando referências um quarto, 25%, ] fez-me lembrar aquele que a gente esteve aqui a resolver ( ) foi, um processo rápido cálculo mental através da decomposição e olha que são poucos os que pensam nisto que estão muito agarrados ao cálculo formal somos nós com certeza que os levamos a isso (S3_A). Alargar a exploração, desocultar o algébrico na estrutura da Aritmética Após alguma reflexão e discussão, apoiada em esquemas e notas em papel, sobre as implicações de adoptar outro tipo de números, convenientemente escolhidos, Beatriz vai comentando os valores que introduzi no problema. a partir daqui, uma parte era 400, portanto chegávamos aqui, 75 era logo 1200, chegando aqui era vezes 5 era logo os 2000, aqui ¾ da castanha produzida, portanto aqui era 4800, aqui já tinham que fazer outra vez outra divisão ( ) em termos de cálculo era mais fácil, o problema não ficava preso ao cálculo, nem às dificuldades do cálculo ( ) Se calhar 5 Na 1ª sessão, apresentei e discutimos alguns exemplos de sequências de cadeias numéricas, desenvolvidos no Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1º ciclo, na ESE de Setúbal, com o objectivo de trabalhar com referências e relações e desenvolver o cálculo mental. 94

95 para este tipo de miúdos que têm mais dificuldades, acaba por ser mais fácil isto do que fazer o cálculo o cálculo em pé, não é? (S3_B) Ana, apoiada também por Beatriz, reconhece traços de um tipo de trabalho baseado na estrutura e nas propriedades dos números, diferente daquele que normalmente se faz e o paralelo que estabelece com um exemplo de cadeias numéricas, centrado nas relações entre números e operações, que explorámos em sessão anterior, torna-se presente. Desafiada a comentar se algumas das estratégias que documenta não serão apenas obra de um ou dois alunos, não acompanhadas pela restante turma, que eventualmente até pode não ter percebido, Beatriz rejeita a ideia, referindo que foram eles que explicaram perceberam, porque eles dividiram e explicaram e depois também ajudei e perceberam com o desenho, com o desenho também ajudou muito (S3_B). As representações icónicas intermédias dos alunos parecem desempenhar um papel importante no trabalho que Beatriz desenvolve e que refere em diferentes momentos, noutras sessões de trabalho da equipa, na linha do que alguma investigação também encontra (Bednarz, 2001; Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007). Ainda na discussão sobre o problema, Ana chamou a atenção para o pouco sentido que tinha uma das questões lá colocada. A questão era O avô do Afonso contou ao neto que tinha vendido ¾ da castanha produzida nos três anos que Ana identificou como pouco realista, uma vez que a venda se vai fazendo anualmente. Beatriz reconhece que nem ela nem os seus alunos tinham notado, fiz nas duas turmas e vê lá que nem a mim me ocorreu (S3_B). Para Ana, estão a ler mas não estão a pensar ( ) Mas isso não é real. Ele não espera 3 anos para vender castanhas Pode é fazer um balanço ao fim dos 3 anos (S3_A). Ana preocupa-se com o sentido das situações que se criam e esta experiência ter sido realizada nas duas turmas, não é exemplo único. Quer Beatriz, quer Ana, têm frequentemente usado as tarefas decorrentes do nosso trabalho, na turma onde decorre a observação e também numa outra que leccionam, fazendo por vezes comparações, pois uma vez que as turmas não fazem exactamente o mesmo percurso didáctico, encontram diferenças na forma como os alunos reagem e nas estratégias que adoptam. Ana retoma os valores iniciais do problema de Beatriz (6/5, por exemplo) para referir que, quando fazemos cálculo mental com estes números a gente faz por aproximações (S3_A), o que aproveito para identificar a importância de fazer estimativas, para ter uma primeira noção de ordem de grandeza. Ana concorda, acrescentando que 95

96 ( ) é o que nós na vida real também fazemos, quando estamos a querer fazer alguma coisa mentalmente fazemos por valores que são mais fáceis para nós e próximos, ou para cima ou para baixo, perante aquilo que nós pretendemos e quando queremos a certeza vamos fazer ao papel (S3_A). No esforço de algebrização, para o qual continuei a desafiar as professoras, Beatriz foi acompanhando e comentando as relações entre as diferentes representações dos números. Esta professora vê os seus alunos pensarem que no 2º ano eram 3 partes do 1º e no último ano, era uma parte do 1º, portanto, nos 2 últimos anos tinham a mesma produção que no 1º ano, era como se tivéssemos equivalia a 2 anos com a mesma produção (S3_B). Já Ana, procurava alinhar ideias para levar o problema para a folha de cálculo, sugerindo dois processos diferentes. A propósito, lembro que o problema também se pode resolver na folha de cálculo, experimentando apenas com uma célula ou construindo uma tabela com um passo definido, que pode fazer sentido ser de 100 ou de 500, uma vez que se refere à produção de castanha, em quilogramas. Ana sente a necessidade, aqui como noutras ocasiões, nesta e noutras sessões, de estabelecer alguma analogia desta questão com outros processos, ligados a temas ou conteúdos da Matemática, neste caso, a formatação das escalas dos gráficos. Aqui, pode-se escolher [o passo] discutir ( ) dá um salto também para aquilo que nós costumamos fazer com eles com os gráficos, precisamente nesse aspecto quando as escalas quando os valores são muito grandes, não há necessidade nenhuma de estar a fazer um a um e portanto, pensamos nisso na divisão em valores maiores no sentido de equilibrar e aqui pode ser do género (S3_A). Procurar relações com o currículo, assim como conexões, é outra das suas preocupações, quando, a propósito do percurso de algebrização que discutimos, afirma: Nas percentagens, isto é óptimo na proporcionalidade directa, perfeitamente este tipo de raciocínio (S3_A). Quando refiro que é natural este tipo de resoluções dos alunos começarem a surgir, à medida que vamos fazendo este tipo de trabalho, Ana e Beatriz parecem reconhecer que elas próprias descobrem abordagens novas e que reconhecem que isso se transpõe ou pode transpor para os seus alunos, para a sala de aula. Neste sentido, Ana comenta que é porque já estamos nós mais despertas para elas e depois também se as questões não surgirem logo, podemos provocar (S3_A), 96

97 enquanto que Beatriz refere que eu achei giro foi os diferentes raciocínios depois já todos queriam arranjar um diferente (S3_B). Novas ideias e novos problemas: à procura de um lugar no currículo Ao fim de 45 minutos, passámos a outro assunto da nossa sessão: a resolução, discussão e possíveis abordagens dos problemas das caixas dos doces e das carteiras (Anexo 6D). Comecei por dar um tempo de leitura do problema das caixas de doces. As reacções que se seguiram foram mais ou menos esperadas, uma vez que se trata de uma situação pouco vulgar nos recursos convencionais, como os manuais escolares, porque muito aberta. Ana e Beatriz reagiram com uma atitude de perplexidade e com alguns risos. Ana afirmava É uma forma da pessoa ficar aflita porque a pessoa diz Escapou-me aqui qualquer coisa!? Tenho que ler outra vez ( ) Eu até fui fazer um esquema, não fosse estar aqui a haver alguma coisa que eu não estivesse a ver (risos) (S3_A) Os alunos, esses acha que diriam qualquer coisa como Isto não é problema nenhum professora?! ( ) falta aqui qualquer coisa! No entanto, Ana investe na discussão do problema, colocando várias hipóteses sobre o conteúdo das caixas e sobre o total de doces de cada um, procurando interpretar os dados fornecidos e ao mesmo tempo, pensando como os seus alunos. Face a algumas ideias que adiantei, de que os alunos poderiam, sob proposta do professor, começar a estabelecer hipóteses ou a fazer simulações relativamente ao número de doces em cada caixa, Ana duvida dessa necessidade num 7º ano. Concorda, no entanto, que isso será natural num 3º ou 4º ano, aliás os contextos em que os problemas aparecem no texto de investigação de onde foram retirados. Eu fico tentada a pensar que no 7º ano já não precisarão de fazer isso [experimentar valores numéricos]. Não, acho que não ( ) Se isto fosse para a sala de aula, o professor seria mais tentado a colocar essa questão para ver se eles na verdade estamos todos a falar do mesmo não sei é se no 7º ano eles terão essa necessidade de fazer isso mas se calhar o professor pode colocar a questão nesse sentido. Afinal vamos lá ver se eles dizem Têm tantos! Ah! pronto!, então estamos todos a falar do mesmo, mas não sei se eles no 7º ano para perceber isso, fazem isso era essa a minha questão (S3_A). 97

98 Quando confrontadas com a possibilidade de os alunos experimentarem valores nas caixas, realizando simulações numéricas para tirarem conclusões, Ana acha que isto pode ser andar para trás, estabelecendo o paralelo com uma experiência de materiais produzidos por professores para as aulas, com o uso das TIC, que teve recentemente no âmbito de um Curso, em que é formadora. Estive a fazer que era ver actividades relatos de experiências do Curso e às vezes parece-me que as questões e da experiência que eu tive, quando tive que estar a ver com eles as actividades que eles estavam a preparar é que nós reduzimos, temos esta tendência nós reduzimos e depois queremos à viva força, a certa altura que eles já estejam num patamar a seguir, quando nós com as questões, andamos sempre para trás, a rever as coisas e a não sei quê Ana chama a atenção para as baixas expectativas face ao desempenho dos alunos e Beatriz parece concordar ela, neste aspecto. Os argumentos de Ana sobre o problema, baseiam-se numa forte relação com o contexto do problema e com a sua interpretação. Na verdade, não diz se a caixa está completa ou não Na Maria dá a sensação que a caixa está completa, pois restaram 3 que estão em cima da caixa. Mas sabe-se que as caixas têm exactamente o mesmo número de doces. Portanto, esteja completa ou não esteja, têm exactamente o mesmo número de doces. Portanto, continua um a ter mais 3 do que o outro (S3_A). No entanto, o que parece estar aqui em causa também, são as dificuldades criadas com este tipo de problemas que, sendo muito abertos, exigem uma grande discussão e reflexão sobre os caminhos possíveis de exploração. Desafiadas a pensar sobre algumas questões a colocar, para explorar o problema das caixas dos doces, Ana acha que se poderiam colocar condições (por exemplo, um caso ser múltiplo do outro) que permitissem trabalhar algumas relações, nomeadamente com a tecnologia, enquanto Beatriz sugere que na abordagem didáctica se deve ter em conta que o conceito de variável está aqui claramente implícito. Aproveito a referência à tecnologia, para sugerir que este problema pode justificar a construção de uma tabela na folha de cálculo, identificando o que pode variar e o que se mantém constante, em cada uma das crianças e tentando procurar a generalização, o que pode fazer emergir de forma mais natural, o conceito de variável. 98

99 Mas para Ana, isso só sucederá associado à necessidade de explicação das ideias. Eu acho que isso pode aparecer, caso a caso, se eu pedir para explicar porque é que dizes isso?! (S3_A), ou seja, Ana acha que ele só precisa dos exemplos para apoiar a explicação. Cerca de 20 minutos depois de termos reflectido sobre as potencialidades do problema das caixas dos doces, passámos ao problema das carteiras, seguindo o mesmo processo: um tempo para leitura e pensar individualmente, seguido de discussão entre toda a equipa. As reacções aqui são diferentes, existe um maior entusiasmo, talvez porque surja como mais evidente o que se quer ou o que se poderá pedir. Este (Rodrigo) pode ter mais, mas pode ter menos Tem menos, só a partir de certa altura é que tem mais ( ) Só a partir de certa altura é que compensa ser um em vez de outro não é?! É como aquele das mesadas a maneira de crescer Este é muito giro. Olha que eu até te digo que eu até gosto mais deste do que o das mesadas vê lá?! Este está muito giro, eu gosto mais deste (S3_A). Embora se tratem aqui de dois crescimentos lineares, Ana compara o problema das carteiras com o das mesadas, este último, um problema típico que aparece nalguns manuais escolares e que confronta o crescimento aritmético com o geométrico, procurando desafiar a intuição dos alunos. Ana continua como habitualmente a pensar na transposição do problema para a folha de cálculo (tabelas) e mais uma vez procura outras associações com o currículo, quando verifica que existe uma variação dos valores em dois sentidos. Se eu fizer uma coluna com a diferença?! Isto é giro para introduzir os números negativos. Porque aqui, quando tem 4 dá igual, aqui eles podem escolher, provavelmente aqueles que eles acham que têm maior valor se eu começar pelo Miguel e fizer a diferença do Miguel com o Rodrigo, aqui vai dar positivos porque vai diminuindo até ao zero 6, depois 4, até dar o zero. Depois daqui começa a ser ao contrário, começa a ser o Rodrigo a ter mais e se eles começarem pela diferença do Miguel, começa a ser negativo não é?! começam a dizer que não pode ser (S3_A). Ao mesmo tempo que identifica uma entrada possível para os números negativos, coloca-se no papel dos alunos sobre os seus eventuais percursos e dúvidas, com o aparecimento de novos números. Continuo a desafiar as professoras a encontrarem boas questões a colocar aos alunos. Beatriz sugere que pensem quando é que o Miguel e o Rodrigo têm a mesma quantia 99

100 se existe essa situação e aí eles seriam obrigados a substituir valores ( ) [ou] quando é que o Miguel tem mais dinheiro do que o Rodrigo (S3_B). Procuro que partam um pouco antes, da pergunta inicial, O que se pode dizer da quantidade de dinheiro que Miguel e Rodrigo têm?, porque esta é uma questão aberta que nos permite trabalhar as expressões como representações de funções, livres, realmente a variar, pois uma vez colocada a condição Então quando é que são iguais?, tudo fica condicionado à resolução de uma equação, onde a variável assume o papel de incógnita. Dificuldades das professoras, dificuldades dos alunos Perante este desafio, Ana e Beatriz prevêem alguns problemas com os seus alunos, reacção que me parece natural, na medida em que não fica explícita qualquer pergunta concreta que exija um cálculo, mas apenas relações implícitas que têm de ser desocultadas para procurar a forma e a generalidade. Para Beatriz, eles vão ter dificuldades, enquanto Ana refere eventuais desequilíbrios ou conflitos cognitivos. O que é pelas professoras entendido como dificuldade ou conflito cognitivo, é identificado nalguma investigação como motor de desenvolvimento do raciocínio matemático, através de tarefas e questões que exijam altos níveis cognitivos (Kieran, 2007b). Porque cria desequilíbrios isto é perfeitamente um desequilíbrio esta questão. A outra não me parece que seja, porque pode-se discutir está cheia, não está cheia, agora esta não. Acho que a outra se pode discutir mas não é tanto desequilíbrio (S3_A) O que parece que querem dizer é que a variação, ou a diferença, ao não ser sempre a mesma, introduz dificuldades adicionais, ilustrado nas palavras da Ana que diz que se pode discutir, mas é sempre um desequilíbrio dentro da discussão não é?! porque como ela vai variando (S3_A). Beatriz partilha também as apreensões de Ana É que nós podemos relacionar as quantias não podem ser relacionadas assim, não é?! Na outra podíamos dizer: Olha! A Maria tem mais 3 doces do que o João e aqui não, aqui não há maneira de fazer essa relação ( ) maneira directa directa não há! (S3_B). Ana continua a desenvolver o seu raciocínio, explicitando o que podem ser possíveis dúvidas dos alunos 100

101 Eles não podem ter à partida a relação, porque como esta [quantia na carteira do Rodrigo] está a variar dependente daquela [quantia na carteira do Miguel] como esta é desconhecida, também não se sabe o que acontece ali, só se sabe é que está dependente daquela esta é o triplo do que estiver lá dentro e dependendo do que estiver lá dentro a coisa pode (S3_A) Discuto que, talvez aqui fosse importante, procurar traduzir em diferentes linguagens, desde a natural, à numérica, gráfica e algébrica simbólica, o que está a acontecer. Por exemplo, o aumento de uma unidade na carteira do Miguel, conduz a um aumento três vezes maior na carteira do Rodrigo, o que tem implicações bastante diferentes na diferença entre as quantias totais, conforme o que está na carteira do Miguel, seja pouco ou muito dinheiro. Convidadas a pensar sobre possíveis reacções dos alunos, Beatriz coloca, embora com dúvidas, a hipótese de os alunos começarem por experimentar valores, enquanto Ana acha que passarão por alguns momentos de perplexidade ou estranheza como lhes chama e que só tomarão iniciativa, induzidos por questões que o professor coloque, pelo que sugere que se estudem vários cenários. Enquanto Beatriz acha que começaria por colocar as representações icónicas (mão, carteira, ), Ana deixaria essa iniciativa aos alunos para organizarem os dados. As duas concordam, no entanto, que o mais provável seria eles começarem por substituir valores. Aproveito para as questionar sobre o possível uso de uma tabela, pelos alunos, no processo de organização dos dados, mas Beatriz e Ana acham que isso só acontecerá proposto pelo professor. A minha interrogação continua, sobre se isso não será um processo que, a ser normalmente adoptado pelo professor, acabará por passar para os alunos, uma espécie de currículo oculto. Ana concorda que é uma questão de hábitos de trabalho, até relembrando a sua experiência quando leccionou o 2º ciclo e trabalhava com a mesma turma dois anos seguidos, no 5º e no 6º ano. Eu depois tinha alunos no 6º ano que já pensavam assim que é uma questão de hábito de organizar a forma como nós organizamos no quadro, aquilo que eles vão dizendo eles vão vendo e vão-se lembrando da forma de organizar (S3_A) Aliás nas aulas observadas de Ana, o caminho exploratório é deixado mais aos alunos, em trabalho de grupo, mas depois eles são chamados a sistematizar as descobertas e as suas conclusões, na folha de cálculo, através do quadro interactivo. Já Beatriz, 101

102 conduz mais a sistematização e organização dos dados no quadro negro e no quadro interactivo, em diálogo com toda a turma, dando no entanto um tempo prévio para o trabalho nos grupos. Finalmente, coloco à discussão a introdução da representação gráfica, como mais uma forma de representação da situação, cujas leituras podem aparecer separadas ou juntas para ver a co-variação e sugiro que se pense em questões a colocar aos alunos. Beatriz, reafirma a sua posição anterior Uma das questões é se têm consciência que à medida que a quantia da carteira vai aumentando, a quantia de cada um deles vai variar no sentido de um ter mais do que o outro e não varia de igual modo não é?! Até 4 quando a carteira tem 4, o Miguel vai ter sempre mais e a partir do 4 tem o Rodrigo portanto ( ) uma primeira questão era também a Ana já tinha sugerido que é Quando é que o Miguel tem mais dinheiro que o Rodrigo? A outra depois, vai ao encontro, que é Quando é que eles têm o mesmo dinheiro? (S3_B). Por seu lado, Ana antevê também dificuldades, mas centra a sua atenção nas diferenças, solução que Beatriz tem dúvidas. Até porque a variação nem é assim muito lógica porque como eles começam por ter 6 de diferença, depois passa a 4, depois 2, depois passa a zero, depois é 2 negativo, depois 4 negativo, nem é assim uma relação ( ) Quando é que um tem mais? Acabamos por estar a pensar na diferença, não é?! (S3_A). O facto de as diferenças irem variando e mudarem de sinal, parece dificultar o identificar de uma relação entre as duas quantias e as duas professoras são unânimes em considerar que isto não é nada intuitivo para os alunos. Mas toda esta sua interpretação a fazem com base em tabelas, como me justificam. E os gráficos? Beatriz tem dúvidas da pertinência da introdução dos gráficos, enquanto Ana vai pensando alto sobre a nova situação. Estava a pensar, não sei se é bom se é mau, depois de construirmos a tabela, pedir a construção do gráfico e depois fazer as questões quando é que o Miguel tem mais quantia do que o Rodrigo e fazer uma análise da tabela e gráfico em paralelo?! (S3_B). 102

103 Penso que estão presentes, nas palavras de Beatriz, algumas preocupações curriculares na decisão sobre esta opção, uma vez que esta abordagem não é falada no actual programa. Continuo a acompanhar a discussão, dando contribuições como, a identificação da variável, a análise e comparação das quantias que cada um tem, até ao colocar a condição de serem iguais, procurando perceber os caminhos e as justificações das professoras. Com o decorrer da discussão, Beatriz parece ficar progressivamente mais entusiasmada com a introdução do gráfico, identifica as múltiplas representações, como factor que pode contribuir para uma melhor compreensão e estabelece pontes com tópicos do currículo mais avançados, ideia que é partilhada por Ana, quando reconhece que isso até é um passo para os sistemas de equações do 9º ano (S3_A). E aqui já tínhamos uma solução dessa equação que era eles tinham na carteira viam na tabela e viam no gráfico e é importante porque, nas rectas eles iriam perceber que o ponto de encontro de ambas as rectas é a solução da equação (S3_B). Beatriz parece hesitar entre algumas potencialidades que vai descobrindo na exploração da situação, no decurso da nossa discussão, e as questões do programa que lhe parecem deslocadas do ano de escolaridade, nomeadamente o uso e interpretação dos gráficos das funções definidas pelas expressões 8+c e 3.c. Aproveitando Beatriz ter referido a equação que surge quando se coloca a condição de serem iguais, sugiro o uso do modelo das balanças para resolver a referida equação, usando um esquema e a decomposição, sem referir inicialmente os princípios de equivalência. Beatriz concorda, sugerindo talvez decompor aqui o 3c em c+c+c e eles pensarem que este c e o outro c pertencem à mesma coisa, ao mesmo tempo que parece estar mais disponível para integrar esta situação quando leccionar as equações, em Janeiro (S3_B). No entanto, Ana que ainda tem muito presente uma aula de que vai falar mais à frente, reconhece a grande capacidade dos alunos ultrapassarem as expectativas irem muito mais além. Foi o que aconteceu na exploração do applet ( ) Aconteceu isto. Aconteceu ir mais à frente, muito à frente e portanto, quando lá voltar aquilo já lá há qualquer coisa (S3_A). As boas experiências: algebrizar, usar representações e manter significado 103

104 O seu entusiasmo com essa aula, leva-a a interromper momentaneamente para introduzir alguns comentários ao trabalho que estamos a desenvolver na equipa. Ana está muito satisfeita por participar neste grupo de trabalho colaborativo e fez transparecer isso com uma colega, no final de uma reunião de trabalho, que teve lugar no dia seguinte à aula que designou de fantástica. Ontem tive uma aula fantástica, disse-lhe eu ( ) Estou toda contente! E porquê? Porque eu acho que este tipo de trabalho que a gente está a fazer e com este tipo de problemas que a gente está a levar para a sala de aula está a possibilitar aos alunos uma experiência matemática que eles necessitam para quando nós trabalhamos as coisas lá mais à frente, mas que não a têm ( ) por isso é que nós dizemos que eles depois deviam de aprender este ou aquele conhecimento naquela altura e não aprendem porque não tiveram essa experiência para trás (S3_A). Ana reconhece nas características deste tipo de trabalho que temos desenvolvido, fortes implicações na aprendizagem dos alunos mais à frente, na medida em que abre caminhos, que eu aproveito para apoiar a exploração de situações abertas, pensando em boas questões e desafios que alarguem os horizontes dos alunos. Chamo a atenção, no entanto, para que este trabalho não se compadece com pressas de resultados imediatos e se revela de formas que nem sempre identificamos ou de que nem estamos à espera, o que encontra algum eco em Ana. E nós na nossa profissão temos muito isso ( ) que é querer fazer algo na sala de aula que seja imediatamente assimilado e nunca temos este hábito de ir criando caminhos (S3_A). Desafio ainda as professoras a pensarem quando transitamos das representações por tabela e por gráfico para a representação simbólica algébrica, ou seja, como conduzimos o processo de progressiva formalização, procurando manter o significado das expressões, colocando, por exemplo, a variável c como cabeçalho da coluna que contém possíveis valores para as quantias na carteira do Miguel. Por acaso essa coisa de pensar numa situação particular e aí pôr a letra que é a inicial, ao fim e ao cabo vai criar mentalmente essa noção da variável dos miúdos ( ) Porque eu acho que a gente quer dar a noção da variável sem ser associada assim a um problema e depois a seguir é que vai pôr os problemas no fim é tudo ao contrário o problema é que é o caso particular que ajuda a ir na sua exploração à generalização e nós 104

105 trabalhamos com os miúdos na generalização e a seguir é que queremos resolver o problema para o caso particular (S3_A). Ana põe em causa a forma usual de introdução do conceito de variável, feita do conceito para a aplicação, quando devia ser feita a partir de um problema, apoiada por Beatriz que reconhece também esta aparente contradição. Eu acho que faz mais sentido ao contrário ( ) Está ao contrário, mas eu tenho andado a reflectir nisso ( ) Eu acho que este trabalho que nós temos feito, obriga-nos também a pensar um bocadinho nisto (S3_B). Estas observações das professoras, vêm no sentido de privilegiar os contextos e o significado, nomeadamente as situações reais como ponto de partida para a aprendizagem dos conceitos, nas abordagens didácticas à Álgebra, opção que começa a ser cada vez mais reconhecida nas novas orientações curriculares, de acordo com Ponte (2006). Á semelhança de Ana, também Beatriz identifica uma dimensão reflexiva neste tipo de trabalho que se tem desenvolvido nas sessões, quando se exploram situações abertas como estas. Continuo a colocar em discussão os diferentes aspectos que estão implícitos na exploração da situação: a abordagem das equações através das funções e o uso de várias representações. Estas ilustram diferentes aspectos da situação, procurando-se que a transição entre elas e a tradução de umas nas outras, traga uma compreensão mais completa sobre a situação. Beatriz parece reconhecer o papel da representação gráfica na interpretação, quando refere que outra competência que se está aqui a desenvolver é exactamente a análise gráfica ( ) [sendo] muito importante eles saberem interpretar (S3_B). Ana dá ênfase aos cuidados a ter com os excessos do formalismo ou o falso rigor colocado à partida, quando lembra que quando a gente quer encaixar nomes para as coisas é quando as coisas começam a perder toda a graça e eles começam até a ficar aflitos e Agora tenho de saber aquilo que é não sei quê e aquilo que é não sei quê! e não que as coisas estejam interligadas (S3_A). Beatriz concorda e acrescenta que a demasiada formalização bloqueia-os (S3_B). De acordo com alguma investigação, esta falta de ligação entre a simbologia formal da Álgebra e outras representações que possam atribuir sentido às acções, como representações as gráficas, constitui uma dificuldade para os alunos (Kaput, 1999). Lidar com as pressões dos contextos Não se arriscar mais, nem se adoptarem abordagens mais abertas, explorando assuntos que não estão explícitos no programa da disciplina, decorre, segundo Ana, das pressões sociais que o professor enfrenta, a primeira das quais vem dos seus pares. 105

106 Temos pressões em cima e as pressões são às vezes os nossos próprios pares, porque nós estamos dentro de um grupo de trabalho, entre aspas, porque às vezes não é nada de trabalho, é só um grupo formal de organização escolar, mas os comentários nós sabemos que aquelas pessoas não têm razão, mas são comentários que podem de alguma forma nós temos algum receio de que as pessoas não percebam bem o que a gente está a fazer e isso condiciona ( ) Então não sabem fazer equações, então e isso condiciona muito e quem não se deixa condicionar é só porque faz um grande esforço (risos) (S3_A). Beatriz concorda em absoluto que se sente esse condicionamento. Conduzo a discussão no sentido de ligar a abordagem e as representações informais e próprias dos alunos, à sistematização, ao uso dos princípios e à progressiva formalização, realçando os papéis de ambas as fases. Eu por acaso tenho sempre esse cuidado eu gosto de encaixar estas coisas e tenho sempre o cuidado de saber porque é que eu encaixo aqui qual é a ligação directa, mas sei que há outras ligações para outros sítios, mas a directa tenho sempre esse cuidado porque, também para os miúdos que estão habituados a essa segurança... que também nas outras disciplinas têm essa segurança, na nossa, se não têm ( ) e se nós não soubermos explicar, a coisa pode sair mal para o nosso lado e estamos a fazer um bom trabalho (S3_A). Ana reconhece que este tipo de abordagem e de trabalho que fazemos é de um nível mais avançado, mas que se devem ter cuidados para dar coerência à sequência de tarefas, tendo em conta os alunos e os pais. Isso tem implicações na sua forma de organizar o trabalho e funciona também como defesa face ao exterior. Eu até agora, na minha planificação, acrescentei um sector onde faço Aprendizagens adicionais e organizacionais, porque eu trabalho com relatórios e com uma disciplina Moodle e não sei quê, isso também são questões de organização... que é para ficarem visíveis as razões das coisas. Porque se alguém me perguntar, eu já tenho ali em mãos o que é que eu estou a fazer, porque para além daquilo que está associado ao trabalho directo, o que é que eu estou a provocar em termos de organização, em termos de capacidades transversais, em termos de pontes para outras coisas, porque ajuda, se a gente for logo pensando 106

107 nisso, está ali registado e até se percebe o alcance superior deste tipo de trabalho não é?! (S3_A). A discussão está agora centrada nas planificações e nas sequências de tarefas, procurando evidenciar as diferenças entre ter boas tarefas soltas ou ter um plano integrado capaz de articular e potencializar as aprendizagens. Ana estabelece um paralelo com aquilo que está a acontecer na Comissão de Acompanhamento de que faz parte e o que estamos aqui a fazer, nas sessões de trabalho da equipa. No trabalho com os acompanhantes sequências de tarefas com uma determinada intenção cadeias de tarefas que é no fundo aquilo que a gente está aqui também a fazer (S3_A). Ana prossegue, clarificando que isto se identifica com o que designa por integração curricular e que passa por ter razões para as escolhas que faz, dar sentido e articular, retomar os assuntos noutros contextos e noutros níveis de abordagem. Eu para mim a integração curricular começa no plano da planificação, porque eu não sou capaz de pensar como é que eu me decido por esta tarefa ou por aquela, quando estou a pensar de uma forma geral porque é que eu vou escolher aquilo. Eu vou escolher aquilo com uma intenção e a minha intenção que era agora aquilo que a gente estava a dizer tem uma ponte logo ligada àquilo que eu estou a trabalhar, mas tem outras que eu estou a usá-las conscientemente, mas embora para eles aquilo ainda não pareça isso é que é para mim a tal integração curricular Eu tenho essa consciência que já lancei esta semente e aquela e agora quando for decidido por outro problema diferente provavelmente, eu vou pegar num que possa usar aquela semente que já lancei com o outro (S3_A). Apoio a discussão, chamando a atenção para a importância de resolver, para além de discutir os problemas, como forma de identificar as suas potencialidades e nos servirmos delas em diferentes momentos, uma vez que identifiquei nas transcrições das sessões anteriores, esta necessidade de meter as mãos na massa, o que nem sempre tem sido feito. Quando a gente lança problemas para as pessoas sem essa discussão é isso que dá. Utilizam isto no Estudo Acompanhado como engraçado não sei quê, porquê? Porque como não vêem as pontes (S3_A). 107

108 As tarefas e a tecnologia: do pensar à sala de aula Como Beatriz vai implementar brevemente uma tarefa sobre sequências geométricas, Os quadrados e cubos perfeitos (Anexo 6E), usando a folha de cálculo, passámos a analisar essa situação, ou seja, a tarefa em si, as questões a colocar e as formas de organizar o trabalho. O processo de integração da folha de cálculo nesta turma de Beatriz, passou já por 3 sessões de Estudo Acompanhado, onde os alunos estabeleceram um primeiro contacto com esta ferramenta na resolução de problemas. A professora familiarizou-os com os aspectos principais da sintaxe da folha de cálculo, importantes para o trabalho com sequências e suas representações em tabela (fórmulas e processos de cópia) e gráficas, procurando assim ganhar algum tempo e segurança para a sua integração posterior em sala de aula. No entanto, uma aula anterior onde teria existido muita agitação dos alunos, perturbou as intenções de Beatriz, ao ponto de a fazer retroceder quanto às formas de organização do trabalho dos alunos, no que respeita ao uso da tecnologia. Eu tinha estado a pensar cada um ter o seu portátil à frente, cada par ter o portátil à frente também para eles irem experimentando no Excel, mas a turma está um bocadinho agitada e eles têm que se acalmar, mas não é só comigo de um modo geral, estão muito agitados. Então eu se calhar vou fazer isto só com o quadro interactivo depois a partir da questão e) fazia só com o quadro interactivo eles vinham fazer também, portanto não seria só eu, mas eles iam fazer voluntariamente. Eu propunha aqui na coluna A da folha de cálculo, vamos reproduzir os primeiros oito números naturais ( ) escreve na célula A1 os títulos, portanto, a ordem O contexto condiciona as opções da professora que, ao mesmo tempo que toma consciência disso, procura reconhecer no processo de trabalho alternativo que pensou, algumas vantagens. No entanto, com o decorrer da conversa, parece ter-se percebido que as razões da agitação na turma, não seriam tanto um problema de indisciplina, mas a interferência dos computadores no processo de comunicação da professora com a turma, pois como refere Beatriz, eles só olhavam para o computador e eu queria explicar é que não ouviam nada (S3_B). Eu e Ana lembrámos que isso acontecia até com os adultos, na formação de professores e que nem sempre era fácil de gerir. No entanto, Beatriz continua a descrever a situação, a partir da qual se desencadeou a agitação na turma. Foi a terminar esta ficha [apontando para a ficha que utilizou]. Eles estavam a fazer isto e depois eu queria havia aqui alguns números pares 108

109 que em vez de porem 2 vezes A2, punham A2 mais A2. Eu aproveitei logo ali, Olhem! Vamos aqui já introduzir a noção de expressões equivalentes e não cheguei mais à frente, às expressões com variáveis, lá está, porque não estávamos em Matemática é o contra de fazer em Estudo Acompanhado mas chegámos à conclusão, até fiz com 2 colunas com esta fórmula e com a outra fórmula para ver que davam iguais e aquilo foi uma agitação uma coisa, uma agitação eles perceberam, mas foi uma agitação não sei ( ) pois na turma há uns alunos problemáticos (S3_B). Beatriz mostra tudo aquilo que já tinha preparado e planificado para essa aula, nomeadamente anotações sobre questões que deveria colocar aos alunos, notas sobre a História da Matemática, relativamente aos números quadrangulares, etc. e pondera ainda, face às questões que vamos colocando para desdramatizar o sucedido, levar à prática essa planificação, de acordo com a ideia inicial. Isto a azul é a minha aula, não é?! Fui eu a pensar Só assim é que nós nos apercebemos às vezes das questões que vamos colocando Eu fui uma data de vezes atrás ia escrevendo e depois dizia Olha! Posso perguntar isto aqui! Na f) poderá existir um termo da sequência que tenha 140 bolas? Explica porquê. Aqui podem pensar de duas maneiras e o Excel vai ajudar imenso, porque se eles pensarem ou dizem logo que não há nenhum que multiplicado dê 140, o que eu não acredito que de imediato vá acontecer e com o Excel o que é que me vai permitir? Vai permitir eles verem o que é que está na posição 11, na 12 e verem, observando os termos da sequência, que não há mais nenhuma figura entre esses dois e aí vai ajudar (S3_B). A professora anota na própria ficha o conjunto de questões que deve colocar aos alunos para desenvolver o raciocínio e, no decorrer da nossa conversa, continua a comentar as diferentes alíneas, referindo que nas finais já é para dar o salto para as expressões com variáveis. Nós ainda não falámos em expressões com variáveis e aqui seria a 1ª vez começava a surgir aqui e depois aqui explorava também a noção na i) [escrita da expressão explícita em função da posição] (S3_B). No trabalho de Beatriz, assim como no de Ana, estão presentes algumas preocupações de uma cultura da sala de aula que promova o raciocínio e uma aprendizagem com compreensão, como os desafios e apoios aos alunos, as interacções e sua articulação com diferentes formas de trabalho, na linha do que refere alguma investigação (Blanton & Kaput, 2008; Kieran, 2007b; Boavida et al., 2008). 109

110 Embora reconheça que os alunos já conhecem e trabalham com a expressão da área do quadrado, acha que terá de os ajudar no processo de lá chegar. ( ) Não estou à espera, vou ter de ajudar primeiro estou à espera que eles me vão dizendo lado vezes lado ou lado ao quadrado e a partir daí eu iria introduzir a noção de variável não sei, o que é que achas? (S3_B) Sugiro ideias possíveis para conduzir a generalização numérica, a partir da leitura das figuras, que podem ir da adição sucessiva, à multiplicação e à potenciação. O lado, podemos representar por uma letra qualquer, não é? porque eles já utilizam a fórmula ( ) Exactamente. E aqui aproveitava são capazes de surgir as duas expressões, o n vezes n e o n ao quadrado ou outra variável qualquer e aí aproveito e reforço outra vez as expressões equivalentes (S3_B). A ideia é que o conceito de variável possa emergir deste processo de generalização numérico e não se centre na designação das letras para, em seguida, se dar atenção à equivalência das expressões. Beatriz justifica também ter acrescentado algumas alíneas que exigem a operação inversa (a raiz quadrada). E depois acrescentei outra que foi Em que posição está a figura com 25 bolas? E com 2500? Aqui já é para eles fazerem com a operação inversa. Achei que era pertinente para fazer o raciocínio ao contrário, o inverso para ver se eles perceberam afinal qual é o inverso do quadrado (S3_B). Em seguida, Beatriz partilha connosco a dúvida sobre a pertinência de entrar na 2ª parte da ficha sobre os cubos perfeitos, nomeadamente porque a acha muito extensa. As questões que coloco à discussão, sugerem que a estratégia e a margem de liberdade e de autonomia que é dada aos alunos na exploração, tem implicações no tempo que se gasta. Ou a sessão é mais conduzida pelo professor, solicitando aos alunos a resolução das diferentes alíneas no quadro interactivo, ou aos alunos é proposta a exploração e descoberta em trabalho em grupo, seguida pela apresentação de algumas estratégias e de sistematização das conclusões. Neste último caso, eu e Ana concordamos que não será possível ir mais além, mas deixo a ideia de que podem existir as duas estratégias presentes na mesma sessão. Beatriz pretende pensar melhor sobre o assunto. Eu vou pensar como é que é melhor para eles (S3_B). Estas últimas frases, caracterizam um pouco o papel das nossas sessões de trabalho em colaboração: fundamentam-se e discutem-se as questões, identificam-se 110

111 diferentes caminhos, vantagens e desvantagens e deixa-se, em seguida, uma margem de autonomia às professoras para decidirem em concreto o que irão fazer. Essa decisão, assim como a elaboração completa das fichas com as questões é depois concretizada a distância, através dos fóruns, do chat e, muitas vezes, usando o correio electrónico. Beatriz aproveita para relatar de forma muito breve como decorreu um outro desafio que fez aos alunos para ser realizado em casa, usando a folha de cálculo: a ficha do L invertido, como lhe chamámos, inspirada num exemplo integrado na tese de mestrado da Neusa Branco. A resposta foi reduzida, uma vez que apenas dois alunos responderam por mail. Enquanto que um aluno encontrou a expressão geral e colocou na célula, a fórmula A2+2, a outra aluna usou a recursão, o que causou alguma admiração a Beatriz. Houve outra que me fez assim: colocou na 1ª linha da 1ª posição os 3 círculos, as 3 bolas e depois o que é que fez? A figura da 2ª posição fez por recorrência da linha anterior, ou seja, não relacionou com a ordem (S3_B). Para além disso, tinha dúvidas como teria chegado a aluna às respostas (certas) do número de elementos da posição 50 e da 100. Também através da recursão? Ana acha que, ao contrário de nós que agarrávamos as ferramentas (algébricas) que nos permitiam poupar esse trabalho, pode ter acontecido que a aluna tenha mesmo estendido a tabela até encontrar as respostas. Eles curiosamente não são nada preguiçosos são para umas coisas, não são para outras Nós na idade deles éramos preguiçosos para esse tipo de coisas e portanto agarrávamos logo a ferramenta [algébrica] eu penso por mim (risos) para me dar essa possibilidade. Eles agora não (S3_A). Pode ter acontecido os alunos, aproveitando a facilidade de gerar valores numa abordagem escalar, copiando em coluna, evitarem adoptar uma abordagem funcional e chegar a uma expressão geral, função da ordem ou posição. Também a investigação reconhece que, perante a folha de cálculo, os alunos tendem a estender as tabelas recursivamente até encontrarem o valor, usando esta importante potencialidade da ferramenta e não procurando a expressão geral que permite calcular qualquer termo, em função da ordem (Yerushalmy & Chazan, 2003). E Ana continua. São capazes de fazer Mas se calhar percebeu e não formalizou Isso é outra coisa que a gente também tem em consideração que eu notei na aula 111

112 ( ) É que eles verbalizam bem as coisas pode ter reparado, pode ter visto e têm uma grande dificuldade em fazer a escrita das coisas. E se nós em termos de trabalho, se não estivermos ao pé e não ouvirmos, pode-nos parecer que se calhar eles foram por outro caminho e não foram capazes e eles até foram. Não são é capazes de fazerem a passagem para a escrita que isso é muito difícil (S3_A). Nas palavras de Ana, identificam-se também preocupações com o processo de comunicação dos alunos, relativamente às dificuldades que encontram na explicitação das ideias por escrito, ao contrário do que acontece com a linguagem oral, nomeadamente quando descrevem padrões. Estas ideias encontram eco na investigação (Warren & Cooper, 2008), que sugere que a gestualidade e o uso de materiais, juntamente com a verbalização, podem completar a interpretação deficiente que decorre da comunicação escrita. Expectativas das professoras e aprendizagens dos alunos Demos, em seguida, a palavra a Ana para descrever a aula em que usou o applet das sequências lineares da waldomaths (Anexo 6A) e que tanto a entusiasmou. Então foi assim, foi muito engraçado porque os miúdos foram muito bem ao applet Eu fiz isto nas duas turmas Quero já aqui dizer que a sequência toda deste conjunto de tarefas que estamos a realizar eu não pude fazer a do Excel com uma das turmas, eu já notei aqui a diferença entre as duas turmas e agora pegando naquilo que a gente estava a falar a tal sequência com uma intenção, já produziu numa turma um efeito à frente do que a outra que ficou privada daquela experiência e que notei perfeitamente que trouxe efeitos (S3_A). Ana, à semelhança do que tem feito anteriormente, experimenta, quase sempre, as tarefas nas duas turmas e estabelece algumas comparações, valorizando o papel da tecnologia na interpretação das situações e na aprendizagem dos alunos. Então eles trabalharam como o applet tem esta particularidade de gerar aleatoriamente as sequências em si, não conjuntos de sequências, mas as sequências em si, eles estavam todos a trabalhar sequências diferentes e quando tiveram que ir explicar no quadro interactivo o que tinham construído, não era nunca a usar a sua própria sequência. Quer dizer que estavam a explicar, mediante outra sequência qualquer e portanto, a 112

113 essência daquilo que eles sabiam é que estava ali em questão e não a fazer uma cópia de algo que eles já tinham ali (S3_A) Esta situação tinha sido por nós prevista e discutida dias antes por mail, tendo-se colocado várias hipóteses, desde iniciar em sequências de termo geral do tipo a*n, evitando numa 1ª fase, trabalhar com os dois selectores, mas apenas com o que controlava a inclinação. Em colaboração, decidimo-nos por deixar a situação livre, trabalhando cada um com a sequência que lhe saísse, o que constituía um desafio maior para a gestão da aula pelo professor, mas também algum risco no caminho para as conclusões. Ana refere com alegria que, isso que ao princípio nos estava a afligir, penso eu que foi uma mais-valia em termos da discussão (S3_A). Cada uma das turmas seguiu caminhos diferentes, de acordo com a experiência anterior com a tecnologia. Fizeram coisas diferentes, iguais e diferentes, que é assim: a turma onde nós temos feito a experiência, onde se tem reportado a experiência, olharam sempre para o gráfico, foi muito engraçado e rapidamente foram capazes de ir mexendo e ver que ficava paralelo e acertar depois com o outro e quando foram explicar explicaram isso (S3_A). Esta observação é particularmente significativa, e destaca a importância de os alunos conhecerem diferentes representações, independentemente da sua oportunidade curricular, para poderem mobilizar e usar em cada momento a que consideram ser a mais adequada de acordo com a situação e com a sua compreensão. Estes foram alguns dos aspectos que foram valorizados, com o alargar do conceito tradicional da Álgebra, ao que designou por pensamento algébrico, para incluir outras formas de representação, para além da notação algébrica simbólica (Carraher, Schliemann, & Schwartz, 2008; Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007). As turmas respondem de forma diferente, de acordo com as experiências e os recursos tecnológicos que lhes foram proporcionados. De novo, Ana confirma a discrepância entre a oralidade e a escrita dos alunos, quando descrevem ou explicam uma descoberta. Eu estava a dizer há pouco da experiência que a gente ouviu e depois ver o que está escrito porque miúdas que digo miúdas, porque são mais faladoras que explicam muito bem, não escreveram quem fosse ler o escrito, parecia que não tinham percebido tão bem (S3_A). 113

114 Ana comenta entusiasmada que, nas explicações, houve quem usasse metáforas para descrever o papel dos dois selectores que controlam, respectivamente, o declive e a ordenada na origem, da recta que se ajusta aos pontos da sequência. E explicaram lá muito bem o que é que tinham feito e o que é que significava foram capazes muito bem de ver que este valor aqui do coeficiente do n, fazia a inclinação e foi tão giro que eles falaram podíamos pensar em quê, em escadas e que a escada quanto maior fosse este valor a escada ficaria mais difícil de subir e houve até quem dissesse se aqui passasse uma linha até poderia ser uma rampa e depois até se falou nas rampas para deficientes que não podem ser com uma inclinação muito grande senão fica difícil de subir. Foi muito giro (S3_A) Ana reflecte sobre a 2ª parte da ficha, que por não necessitar de ser feita em presença dos computadores, deveria ter ficado para outra aula, pois acabou por prejudicar e limitar a discussão muito rica desta 1ª parte. Atribui isto a alguma inexperiência e dificuldades na gestão do tempo, mas continua entusiasmada a dar exemplos da forma como os alunos lidaram com o applet e os significados. Foi muito giro, mas eles exploraram aquilo, coisas muito interessantes e depois aqui foram sempre pelo gráfico nesta turma [a do Projecto] foi sempre pelo gráfico, foram olhando ao gráfico e foram capazes de explicar, foram lá explicar e explicaram pelo gráfico, como é que faziam foram andando até dar ali paralelo, depois então pegaram no outro e subiram ou desceram conforme estava aqui para baixo ou não (S3_A). Na outra turma, que também usou o applet, mas que tem uma experiência mais reduzida na utilização das representações com a tecnologia, acho que quase nunca olhavam para o gráfico, só olhavam para os números (S3_A) e Ana admira-se com a clareza com que um aluno dessa turma explica o processo de fazer coincidir as duas sequências, a partir da manipulação dos selectores. Eu olho aqui ao valor que está entre estes dois [a diferença constante que está registada entre os dois valores da sequência] que é 9 e ponho no comando do n, 9.n e assim que ponho, aqui [no gráfico] fica logo paralelo Depois, vou fazer a diferença entre este e este [diferença entre os dois primeiros termos das 2 sequências] e a diferença entre este número e 114

115 aquele que está ali, dá-me o número de baixo e trás! Ficou logo lá em cima! E eu que nunca tinha pensado nisso fiquei (S3_A). Ana e também Beatriz, como nos referiu, nunca tinha pensado nesta forma de resolver o problema, que está relacionada com o modo como se chega ao declive: por cada unidade que aumenta na ordem, aumentam nove unidades no termo da sequência, pelo que a razão é nove. Esta evidência, parece vir no sentido da investigação, que reconhece que os estudantes podem raciocinar muito para além daquilo que os professores pensam que eles são capazes (Kieran, 2007a). Na sequência da descoberta deste aluno, Ana convidou-os a procurarem validar essa conjectura para outras sequências e mais alunos confirmaram a descoberta. Oh! Stora dá sempre! Então aqui está de 8 em 8, 8.n e aqui eu a ver logo o gráfico, paralelo, pronto já está a dar Agora está a diferença entre não sei quê trás já está em cima ( ) Porque aqui temos várias coisas temos números, temos as diferenças entre eles e temos o gráfico então vamos aproveitar essa representação e vamos olhar para ver o que é que acontece quando ele está a fazer aquilo Mais outro! Então vai-se à diferença, não sei quê trás! Então e como é que ficou? E agora? Trás! Era uma limpeza Giríssimo! Na outra turma ninguém viu isto (S3_A). Esta situação não deixa de ser curiosa. Embora privados de alguma experiência com a tecnologia, esta turma revelou um processo bastante expedito para encontrar a expressão geral, a partir de um processo de experimentação que partiu da análise da relação entre os termos das sequências numéricas. Outra questão que Ana deixa para reflexão, na gestão da aula, é a articulação entre a exploração e descoberta que se faz com a tecnologia e o momento adequado para solicitar o registo e a formalização. E não sei se não alteraria aqui a ordem e só depois é que pediria aqui para registar, porque é assim: eles acertam isto com uma grande intuição e só depois é que fui provocando a apropriação ( ) não sei se dava aqui um jeitinho e depois a formalização do que é que significa deixar mais ( ) Porque essa coisa de a gente estar a dizer como é que funciona eles não olham eles querem é acertam logo acertam e só depois de já terem percebido aquilo tudo e acertado é que começam a olhar (S3_A). 115

116 Esta gestão é um desafio para o professor, procurar este equilíbrio, entre deixar o aluno livre para explorar a situação à sua maneira e apresentar, explicar e registar as conclusões a que chegou. Conseguir este equilíbrio, é um dos aspectos presentes na investigação sobre o desenvolvimento da competência algébrica, que aponta para uma alternância entre a prática de automatismos, usando símbolos e a procura de significados, procurando a compreensão, através da reflexão que o professor promove (Arcavi, 2006). Ana continua, estabelecendo o paralelo entre a situação dos alunos e os adultos em formação. Outra coisa que temos sempre uma grande dificuldade, eu também sinto isso e com os formandos também acontece o mesmo é que eles não têm lá está, tem a ver com anos e anos de trabalho que é não têm o hábito de descrever as experiências (S3_A). Finalmente, relativamente à primeira questão que se colocava na 2ª parte da ficha, pretendia-se saber se seria possível a sequência ter um termo cujo valor era 50 e aqui voltaram a encontrar-se diferenças nas abordagens das duas turmas. Eles foram dizendo e foi-se formalizando no quadro interactivo e o que é que aconteceu com a turma que teve a experiência com o Excel e que eles próprios já tinham quase que resolvido equações anteriormente, não é?! só que não estava com aquela formalização que até metia a inversa, fazse a inversa bom aqui foi uma limpeza!! eu aqui escrevi mesmo como uma equação (S3_A) Convidados a explicar como fizeram, os alunos evidenciaram claramente perceber o uso das operações inversas, apoiados na representação intermédia permitida pela tecnologia, para resolverem a equação, o que transmitiu segurança à professora para passar ao uso da linguagem simbólica formal. O recurso às operações inversas, com compreensão das relações entre elas, é reconhecido pela investigação como tendo implícito o raciocínio algébrico (Shifter, 1999). Também as representações intermédias proporcionadas pela tecnologia, como a folha de cálculo, são reconhecidas como importantes, na investigação focada na aprendizagem em ambientes computacionais (Schliemann, Carraher, & Brizuela, 2007), desde que acompanhadas de actividades estruturadas para o efeito e do apoio do professor. Então agora como é que a gente descobre? Então, disseram-me assim: como o último deslizador a mexer é este [o segundo da ordenada na 116

117 origem], primeiro tem que se pôr em paralelo com este e depois é que mexem este para ir abaixo ou ir acima e ficar em simultâneo ( ) Então como este aqui no 8, foi o último a mexer, é o primeiro que a gente volta para trás o conceito da inversa Nós estamos a fazer o processo ao contrário para saber se Então é menos 8, primeiro tira-se 8 e a seguir divide por 3 Pronto! E eu lá fui escrevendo o que eles me estavam a dizer Este aqui [refere-se à 2ª questão], disseram-me logo, Não pode ser porque não dá um número inteiro! ( ) e a ordem é sempre um número inteiro portanto este não pode ser e resolveram os dois as duas equações (S3_A). Mais uma vez, o uso de diferentes representações e a capacidade de transição entre diferentes interpretações, parece constituir uma mais-valia para a aprendizagem dos alunos, manifestada, neste caso, perante dois grupos com percursos diferentes. Na outra turma, que não a do Projecto, já não pude fazer isso eu própria senti que não devia, porque foi até já mais conduzido, porque não passaram pela experiência anterior (S3_A). Da colaboração à partilha nos contextos profissionais Mais uma vez, Ana conta-nos com alguma satisfação, como transportou a sua experiência bem sucedida, para os colegas do grupo disciplinar. Beatriz apoia a ideia, porque o que é bom tem que ser contado (S3_B). Acho que já vai ser um trabalho que já tem pernas para andar depois disto porque o trabalho das sequências está a ser na verdade já agora quero contar-te também fiz esta contei a minha experiência ao meu grupo disciplinar eu tenho esta característica, eu gosto muito de contar as coisas ( ) predispus-me a contar e fomos um dia, as pessoas foram lá ( ) entraram na página dos miúdos e eu estive a contar a experiência e pus as pessoas ( ) com os computadores, estiveram lá a fazer com o Excel vamos lá fazer. E fizemos uma sessão de uma hora e meia Olha, tudo o que os miúdos me disseram das sequências das bolinhas e tudo o mais foi dito ali ( ) Muito giro. E quando foi do applet também adoraram, adoraram a ideia e acharam Que eles estão aí a falar de tudo que não tem nada a ver com este ano! (risos) Agradados, estás a perceber, [estavam] agradados (S3_A). Ana adopta esta postura na profissão, partilhando com os outros colegas do seu grupo pedagógico, o que vai aprendendo e experimentando com os seus alunos, 117

118 transportando as ideias e as tarefas para pequenas sessões de formação. No mesmo sentido, perante uma colega chegada de novo à escola, que comentou no final da sessão com Ana, o muito que tinha aprendido, disponibiliza-se a apoiá-la a trabalhar sequências no 6º ano. Esta iniciativa de partilha com os pares, parece reflectir a satisfação com este processo de trabalho, o feedback positivo que recebe dos alunos e o reconhecimento de que ele constitui um desafio para os alunos que deixa sementes para uma aprendizagem com compreensão. No entanto, pode constituir também uma fase de legitimação do seu percurso, pelas tarefas em que investe e que vão além do conhecimento matemático previsto no programa de Matemática, para este ano. Lá mais à frente, quando tivermos mais coisas para também contar o que é que se está a passar, precisamente nessa perspectiva, o que eu gostava de lhes passar era o facto de a gente poder estar já a usar coisas e criar essas sementes que lá mais à frente pudessem ser mais interessantes (S3_A) Beatriz reconhece neste trabalho também um poder fazê-los crescer mais (S3_B). Também Beatriz tinha previsto integrar-se num grupo de colegas da escola que lecciona 7º ano, com vista a preparar e partilhar materiais, mas ainda não iniciaram, devido a algum desfasamento na abordagem dos temas, mas também por alguma falta de tempo. Mantém, no entanto, um trabalho de preparação de tarefas com outra colega no 9º ano. Antes de terminarmos a sessão, Ana comprometeu-se a escrever um pequeno relato sobre a experiência que desenvolveu com o applet, após ver os trabalhos que os alunos registaram e enviaram para o Moodle. Esta iniciativa voluntária de escrever, mostra o significado que teve para si esta resposta dos alunos e o querer partilhar connosco uma reflexão mais aprofundada. Os momentos finais Ainda houve tempo para comentar brevemente umas fichas sobre proporcionalidade directa que eu tinha levado, a pedido de Ana, assim como Beatriz também informou ter pesquisado outras no site da Rede MatTIC As TIC na aula de Matemática, para além de falarmos sobre problemas e exercícios que vêm nos manuais escolares. Para Ana, o manual é um recurso com algumas limitações, mas que serve o objectivo de permitir realizar um certo diagnóstico das aprendizagens que os alunos efectivamente realizaram, para trabalhar nas dificuldades a partir daí. 118

119 O manual não pode fugir de uma estrutura, quer a gente queira quer não e portanto, aquilo tira a graça, aquilo está ali já tudo escarrapachado ( ) Eu utilizo mais na perspectiva de actividades que já lá estejam e nem sigo a ordem, vou aos do fim e selecciono dois ou três, que eu acho que são importantes ( ) Fui à parte de trás que já parece que é mais aplicação, mas que eu sei que são capazes de fazer porque já aprenderam no 6º ano e portanto fui ali e foi a partir dali, pô-los a trabalhar e a aperceber-me das coisas que eles se estavam a lembrar ou não, ( ) em vez de estar a fazer revisões, mas através do trabalho deles e comecei a fazer esse tipo de trabalho assim (S3_A). Ana estabelece o paralelo com aquilo que pretende fazer agora de seguida, tendo em conta esta experiência que realizou com os alunos. Com esta experiência pegar naquilo que eles já sabem e começar a transportá-los então para o gráfico, o que foi muito engraçado com aquela turma que já tem esta experiência mais desenvolvida é que com a actividade, com os problemas que eles estavam a fazer, eles foram a cada um dos problemas, eu perguntava e aquilo saía a expressão com uma limpeza engraçada 3n 7n e aquilo como se fosse a coisa já mais natural da vida o que quer dizer que já estamos a fazer a trabalhar a proporcionalidade directa através daquilo que eles como função, sem a coisa aparecer ( ) porque veio daquela experiência anterior (S3_A). Apoio este caminho exploratório e de progressiva formalização, que acontece de forma natural, como a própria Ana e Beatriz reconhecem. Esta sessão, ao contrário das anteriores, teve um maior peso de trabalho de resolução de problemas, antes de se partir para a discussão das explorações possíveis, opção que decorreu da análise que fiz das transcrições das sessões anteriores. Perdeu-se, no entanto, a possibilidade de ouvir as professoras sobre alguns episódios de sala de aula gravados (de Ana), pois esta não os seleccionou, como combinado e eu também não o fiz, situação que deverá ser corrigida em próximas sessões. Em resumo O ambiente geral das sessões Ana e Beatriz têm vindo a apropriar-se progressivamente de aspectos que caracterizam o pensamento algébrico e que emergem na discussão de problemas que 119

120 eu vou colocando ou que elas trazem. São receptivas a discutir ideias e materiais que trago para a discussão, mas também adaptam e concebem as suas próprias tarefas, tendo em conta o programa da disciplina e o planeamento do seu grupo. O quadro teórico do nosso trabalho de equipa, é constituído pelos documentos que concebi ou adaptei, cruzando o programa de Matemática actual e o novo programa, com as questões críticas sobre o pensamento algébrico e as TIC, presentes em artigos de investigação e documentos de orientação curricular. O meu papel é estar atento e no decorrer da conversa, a partir de diferentes situações, como problemas numéricos, relatos e reflexões sobre episódios das aulas, comentários acerca de descobertas que fazem ou reacções que acham que os seus alunos têm, procurar fazer emergir aspectos do pensamento algébrico e potencialidades do uso da tecnologia. Este parece ser o equilíbrio possível, exigido por um trabalho em colaboração que visa procurar compreender o conhecimento didáctico que as professoras mobilizam no desenvolvimento curricular e na prática da sala de aula. A apropriação natural das ideias As principais características do pensamento algébrico que começam a emergir naturalmente no trabalho das professoras são, a procura de relações entre os números e as operações, no trabalho com padrões, o uso das múltiplas representações e a sua tradução de umas nas outras, como factores de compreensão dos conceitos pelos alunos. Já relativamente à integração curricular das TIC, os aspectos mais salientes são o uso da dimensão recursiva e funcional da folha de cálculo no processo de generalização numérica e de progressiva formalização e o apoio nas representações intermédias que a tecnologia, nomeadamente alguns applets, proporcionam. Ideias, planeamento e prática Ana usa as tarefas que discutimos e elaboramos em conjunto, directamente na sala de aula, procurando que isso siga os processos de organização e registo com que tem trabalhado desde o início do ano, nomeadamente usando relatórios e o Moodle. Não parece utilizar muito planeamento específico nessa acção didáctica, mas a forma como gere a actividade na sala de aula, passa inevitavelmente por um conjunto de fases: lança a tarefa em grande grupo; deixa os grupos de 3 a 4 alunos por computador a trabalhar autonomamente, em torno de questões colocadas numa ficha de trabalho; circula pelos grupos, assegurando-se de que estão envolvidos, lançando pequenos desafios e clarificando dúvidas; sistematiza, em 3 ou 4 momentos da aula, as descobertas, conclusões e diferentes caminhos dos alunos, chamando-os ao quadro interactivo e mantendo um diálogo com toda a turma; finalmente, recolhe resoluções 120

121 e registos escritos dos alunos ou pede-lhes para enviarem os respectivos ficheiros para o Moodle. Beatriz demora mais tempo na análise e discussão das propostas que irão ser experimentadas, é pormenorizada na planificação que faz e anota para si um conjunto de questões a colocar aos alunos, no processo de exploração e resolução da ficha. Na gestão do currículo, reconhecem-se algumas preocupações com a ordem do programa e com a sequência de abordagem dos conteúdos, mesmo quando trata assuntos que os alunos já conhecem. Normalmente, usa as aulas de Estudo Acompanhado como laboratório de ensaio, onde os alunos se apropriam da(s) ferramenta(s) tecnológicas e ela se apropria das formas de organização e das interacções que se desenvolvem, procurando ganhar algum tempo e segurança para a sua integração posterior em sala de aula. Aí, os momentos, as modalidades de organização do trabalho e a sua sequência, têm alguma semelhança com os de Ana. No entanto, há diferenças evidentes que passam por: os alunos organizam-se em grupos de dois por computador, o ritmo e os tempos da aula são mais marcados pela professora e as sistematizações de descobertas e conclusões, são mais dirigidas no quadro preto e no quadro interactivo pela professora, embora em diálogo com toda a turma. No equilíbrio entre a livre exploração do software e os registos do que se aprendeu, entre um trabalho mais informal e a passagem ao formal, Ana deixa aos alunos mais tempo e a responsabilidade pela sistematização, pelos registos e pelo seu envio para a plataforma a distância, enquanto Beatriz, marca mais os diferentes tempos da aula e assume a responsabilidade pela sistematização e pelos registos, mas envolvendo a turma num diálogo colectivo. Os contextos desfavoráveis da prática, nomeadamente os comportamentos instáveis dos alunos, agem sobre as concepções de Beatriz e condicionam a sua acção de introduzir desafios com tecnologia na sala de aula. No entanto, ambas as professoras parecem preocupar-se em estar a par da compreensão das ideias e conceitos pelos seus alunos, procurando indicadores nas interacções que promovem em pequeno e grande grupo. Iniciar o trabalho com os alunos em pequenos grupos, em torno de questões abertas e conduzir boas discussões com a turma, envolvendo os alunos, pode conduzir, de acordo com alguma investigação, a elevados níveis de raciocínio (Kieran, 2007a). A satisfação com o trabalho da equipa e as suas implicações Ana por várias vezes explicita a sua satisfação por integrar esta equipa de trabalho, pelo tipo de trabalho que aqui se desenvolve, que proporciona uma experiência matemática rica aos alunos, lança sementes e abre caminhos. No mesmo sentido, Beatriz também identifica uma dimensão reflexiva no trabalho. 121

122 Por reconhecerem mais-valias neste processo de trabalho e nas ideias e propostas que dele decorrem, ambas as professoras levam várias das tarefas à outra turma do 7º ano que leccionam e Ana estabelece mesmo comparações apreciando as diferentes estratégias usadas pelos dois grupos de acordo com as experiências que lhes foram proporcionadas. Também por isso, transpõem algum deste trabalho para colegas do seu grupo disciplinar e Ana, dada a sua experiência anterior como delegada do grupo e como formadora e as suas funções actuais no âmbito do Plano da Matemática, integra estas experiências em contextos de desenvolvimento profissional na escola. Para além do que foi negociado no nosso plano de trabalho, Beatriz toma iniciativa de propor problemas, recolher resoluções dos alunos e relatar aspectos discutidos na aula, procurando identificar nessas resoluções, aspectos que entende enquadrarem-se nas preocupações que temos referido nas sessões, nomeadamente a decomposição dos números e o estabelecer de relações entre os números e entre as operações. Também Ana, perante uma aula que lhe corre muito bem e em que os alunos ultrapassam as suas próprias expectativas, toma a iniciativa de elaborar um relato reflexivo que envia para o grupo. Desafios e expectativas Os problemas ou actividades de investigação muito abertas, causam algumas perturbações nas professoras e no que presumem serem as reacções dos alunos, uma vez que exigem muita discussão para se identificarem possíveis caminhos de exploração, questões a colocar aos alunos e integração numa sequência didáctica coerente, tendo em conta o programa e o seu planeamento. Embora Ana e Beatriz, não se possam considerar professoras que tenham baixas expectativas dos seus alunos, continuam a surpreender-se com alguns dos seus desempenhos e isso, progressivamente, parece constituir uma alavanca para se lançarem em desafios mais abertos e arrojados. 122

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127 Anexos Anexo 1 - Plano de trabalho a desenvolver com as professoras Anexo 2 Documento de operacionalização das questões do estudo Anexo 3 Documento para uma gestão do programa de Matemática que contribua para o desenvolvimento do pensamento algébrico com a utilização das TIC Anexo 4 Documento de reflexão sobre a aprendizagem da folha de cálculo versus a aprendizagem da matemática Anexo 5 Recursos (applets e vídeos) na Internet sobre pensamento algébrico Anexo 6 Alguns materiais de trabalho das sessões 6A Sequências e mais sequências (tendo por base um applet) 6B Problema das castanhas e relato da professora sobre resoluções dos alunos 6C Problema das castanhas (reformulado) 6D Problema das caixas de doces e problema das carteiras 6E Ficha dos quadrados e cubos perfeitos Anexo 7 Conteúdos, contextos e instrumentos de recolha de dados 7A Breve cronologia e códigos 7B Texto orientador da 1ª sessão de trabalho com cada uma das professoras 7C Guião da 1ª entrevista 7D Esquema (lista de questões) da entrevista, apresentado às professoras Anexo 8 Página principal da disciplina Moodle de apoio ao projecto 127

128 Anexo 1 Plano de trabalho com as professoras 128

129 Plano de trabalho (da equipa de trabalho colaborativo com as professoras) 1. Apresentação Esta investigação sob o título Tecnologias na Educação Matemática: um estudo sobre o conhecimento profissional dos professores, tem por objecto de estudo o conhecimento didáctico de duas professoras de Matemática. O objectivo da investigação visa descrever e compreender o conhecimento didáctico que assiste o professor no desenvolvimento curricular e na prática lectiva no domínio dos Números e da Álgebra, com recurso à tecnologia, recorrendo para o efeito a uma metodologia qualitativa e interpretativa, do tipo estudo de caso. O professor desempenha a sua actividade profissional em diferentes contextos que passam, nomeadamente, pela preparação e execução da actividade lectiva, por leituras, participação em cursos, envolvimento em projectos ou participação em congressos. No entanto, é o contexto da preparação e implementação das aulas que determina muita da acção didáctica do professor e lhe ocupa mais tempo, nomeadamente no planeamento das aulas, na elaboração de tarefas para promover a aprendizagem, posteriormente experimentadas em sala de aula e noutros espaços de apoio curricular. Neste sentido, propõem-se basicamente dois contextos de recolha directa de dados, com vista a reunir evidência para o estudo: as sessões de trabalho (presencial e a distância) de uma equipa que planifica e elabora tarefas de forma colaborativa e as aulas onde as mesmas são experimentadas. Os dados relativos ao percurso profissional dos professores, envolvendo os outros contextos, serão recolhidos através de duas entrevistas, a realizar no início e no fim do período reservado à recolha dos dados (ver cronograma no fim do documento). As entrevistas, a observação participante e a análise de documentos constituirão as técnicas a recorrer, tendo presente que o investigador é o principal instrumento de recolha dos dados e que a interpretação será sempre um processo de negociação de significados, construídos na intersubjectividade do ver, do olhar e do escutar, entre todos os participantes neste projecto. 2. Proposta Tendo em conta: as novas orientações curriculares no domínio dos Números e da Álgebra, nomeadamente o desenvolvimento do pensamento algébrico e as potencialidades reconhecidas às tecnologias de informação e comunicação (TIC), identificadas no novo Programa de Matemática do Ensino Básico; 129

130 Tecnologias e pensamento algébrico: que o professor desenvolve a sua actividade profissional em diferentes contextos, nomeadamente os espaços de planificação e de elaboração de tarefas, que constituem uma parte importante do seu trabalho lectivo e o espaço de implementação das mesmas - a sala de aula; propõe-se a constituição de uma equipa de trabalho colaborativo, constituída por duas professoras de Matemática do 7º ano do ensino básico e pelo investigador, com os seguintes objectivos: i. elaborar um conjunto tarefas sobre Números e Álgebra, integrando o uso das ii. iii. iv. TIC, a serem implementadas em cinco aulas (de 90 minutos); discutir alguns textos de orientação curricular e de didáctica da Matemática, sobre o tema, identificados pelas professoras e pelo investigador como pertinentes e que possam constituir suporte à elaboração das tarefas; implementar cinco aulas (de 90 minutos) com as tarefas elaboradas; discutir e reflectir sobre essas aulas, com base em episódios identificados pelas professoras e pelo investigador e que possam ter interesse para a investigação sobre o conhecimento didáctico; v. divulgar as tarefas elaboradas numa plataforma de gestão de aprendizagem a vi. distância, comentá-las e desenvolvê-las de forma assíncrona; discutir e participar de forma síncrona na discussão de tópicos, estratégias didácticas, episódios da sala de aula ou na resolução de problemas, a definir consensualmente pela equipa, num processo rotativo de responsabilidade pela sua dinamização. As tarefas resultam das ideias, materiais e propostas de trabalho que qualquer dos participantes traga para as reuniões e do trabalho de discussão e elaboração que a equipa desenvolva, presencialmente e a distância. Modo de funcionamento da equipa A equipa de trabalho colaborativa, constituída por mim e pelas duas professoras, reunirá entre Setembro de 2008 e Julho de 2009, presencialmente uma vez por mês, em sessões de 2,5 horas e terá como suporte a distância, uma plataforma de gestão de aprendizagem. Estas sessões, a realizar em local escolhido pelas professoras, serão audiogravadas. A plataforma de gestão de aprendizagem a distância visa: permitir disponibilizar, através da publicação como recurso, as tarefas elaboradas pela equipa e outros materiais considerados relevantes para o trabalho como, documentos de apoio à integração da tecnologia ou 130

131 Tecnologias e pensamento algébrico: documentos para discussão identificados como relevantes por qualquer dos elementos da equipa; dar continuidade de forma assíncrona, através de fórum próprio, à sessão presencial anterior ou preparar a próxima, quer no que respeita à elaboração e desenvolvimento das tarefas, quer relativamente à discussão de algum texto ou de algum episódio identificado da prática das professoras; permitir a discussão síncrona, uma vez por mês, durante 30 a 45 minutos, através de chat, de diferentes abordagens didácticas de um tópico dos Números e Álgebra, de diferentes resoluções de um problema ou de episódios de sala de aula, a definir pela equipa. O próprio sistema guarda automaticamente as contribuições de todos os participantes, permitindo em qualquer altura, revê-las e retomá-las. Disponibilidade das professoras Face aos objectivos da investigação e ao plano de trabalho aqui descrito, deve existir disponibilidade das professoras para: participarem numa equipa de trabalho, em sessões presenciais mensais de duração prevista de 2 horas e meia; participarem em duas sessões extraordinárias da mesma duração, no arranque do trabalho, em Setembro/Outubro e em Dezembro/Janeiro; participarem numa plataforma de gestão de aprendizagem a distância, responsabilizando-se, em regime de rotatividade, pela dinamização do chat e do fórum (uma vez de 3 em 3 meses); implementarem, ao longo do ano, as tarefas elaboradas nas sessões, em cinco aulas, três das quais assistidas; darem duas entrevistas, de cerca de duas horas cada, sobre aspectos do seu percurso profissional passado e do seu conhecimento didáctico sobre Números e Álgebra e uso da tecnologia; abordarem o programa da sua disciplina à luz das orientações metodológicas do novo Programa de Matemática do Ensino Básico. Protocolos As sessões presenciais de trabalho da equipa serão audiogravadas; As cinco aulas de implementação das tarefas serão videogravadas e posteriormente transcritas pelo investigador; Em três dessas aulas, o investigador estará presente como observador. 131

132 Compromissos do investigador O investigador garante: o anonimato e protecção da identidade das professoras ao longo de todo o estudo, caso isso constitua o seu interesse; transcrever o material resultante das gravações das entrevistas e das aulas e devolvê-lo para revisão pelos informantes, assim como os relatórios dos casos de cada uma das professoras, a integrar no relatório final da investigação; prestar informação e apoio técnico e pedagógico que seja solicitado para o uso da plataforma a distância e para a integração da tecnologia no currículo; disponibilizar documentos de orientação curricular e de didáctica da Matemática, da sua iniciativa ou a pedido das professoras, que possam constituir material de apoio ao desenvolvimento do trabalho da equipa, com vista à preparação e fundamentação das tarefas a elaborar. Eventuais benefícios para as professoras O trabalho entre professores com diferentes experiências profissionais, envolvidos num trabalho de construção de propostas didácticas para a sala de aula, com vista a melhorar a aprendizagem dos alunos, pode constituir um desafio estimulante. Espera-se que todos os intervenientes possam aprender do seu envolvimento neste trabalho, em particular, as duas professoras, devido à sua participação numa equipa de trabalho colaborativo, com vista a desenvolverem materiais didácticos para as suas aulas, no domínio dos Números e Álgebra, com uso das TIC, experimentarem-nos e reflectirem sobre esse processo. Uma mais-valia do envolvimento das professoras neste estudo, poderá ser o desenvolvimento de competências de investigação sobre a sua própria prática, melhorando o seu conhecimento didáctico, podendo essa experiência constituir também uma oportunidade de desenvolvimento profissional. Cronograma Ano de 2008 Ano de 2009 Tarefas Set Out Nov Dez Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Selecção dos participantes Sessões de trabalho (P) P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 Sessões de trabalho (D) D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 Sessões extra (EX) EX1 EX2 1ª entrevista E1 2ª entrevista E2 Aulas observadas (O) O1 O2 O3 (P) Presenciais; (D) A distância; (EX) Momentos intensivos de trabalho 132

133 Anexo 2 Documento de operacionalização das questões do estudo 133

134 Tecnologias e pensamento algébrico: um estudo sobre o conhecimento didáctico do professor Objectivo: compreender o conhecimento didáctico que assiste o professor no desenvolvimento curricular e na prática profissional, no domínio do pensamento algébrico, com recurso à tecnologia. Questões orientadoras: (Q1) Como se caracteriza o conhecimento didáctico do professor no processo de preparação das aulas, nomeadamente: As preocupações que manifesta quando elabora, planifica e discute as tarefas e justifica as opções gerais que faz (G), no processo de desenvolvimento curricular, para promover o pensamento algébrico, com recurso às TIC? Como mobiliza e evidencia, no processo de desenvolvimento curricular, os vários aspectos envolvidos no conhecimento que ele precisa para ensinar: o conhecimento matemático sobre Números e Álgebra (CM) e as suas relações; a forma como entende e o lugar que reserva ao desenvolvimento do pensamento algébrico (PA) e às TIC (TIC) no currículo (CC) (; e, a forma como entende a aprendizagem dos alunos (CAA) neste domínio? (Q2) Como conduz em sala de aula o processo de ensino e a aprendizagem, neste domínio, tendo em conta as várias dimensões do conhecimento que ele precisa para ensinar. (Q3) Quais os factores de influência na construção do conhecimento didáctico, em particular, nas opções curriculares e didácticas que faz e nas práticas de ensino, para promover o pensamento algébrico, com recurso às TIC, nomeadamente: O papel do seu percurso profissional (PP)? O papel dos contextos profissionais (CP)? O papel da sua participação numa equipa colaborativa apoiada por uma plataforma de trabalho a distância (EC)? Legenda: G: Opções gerais; CM: Conhecimento da Matemática; CC: Conhecimento do currículo (PA: em pensamento algébrico; TIC: sobre as TIC); CAA: Conhecimento sobre a aprendizagem dos alunos; PP: Percurso profissional; CP: Contextos profissionais; EC: Equipa colaborativa 134

135 INDICADORES (EVIDÊNCIA) PARA AS QUESTÕES DO ESTUDO (3ª versão) (Q1) Como se caracteriza o conhecimento didáctico do professor no processo de preparação das aulas, nomeadamente: (a) As preocupações que manifesta quando elabora, planifica e discute as tarefas e justifica as opções gerais que faz (G), no processo de desenvolvimento curricular, para promover o pensamento algébrico, com recurso às TIC? Nas sessões da equipa: Que tipo de planificações usa (muito ou pouco especificadas; em torno de uma ideia; em torno de um problema; em torno de um conjunto de exercícios; com várias fases diversificadas)? Elabora fichas de trabalho personalizadas com tarefas para entregar aos alunos? As tarefas que prepara são abertas, fechadas, simples, complexas, com graus de dificuldade diferenciados? Existe alguma ideia ou procedimento diferente quando introduz um conceito novo? Como pensa os aspectos de gestão da sala de aula (a forma de gerir a comunicação e a organização dos alunos)? Como pensa promover a participação dos alunos nos diferentes momentos da aula? Como pensa organizar a apresentação de estratégias diversificadas pelos alunos? Identifica aspectos relacionados com o pensamento algébrico nomeadamente: a generalização, a procura de relações entre números e operações, as múltiplas representações,? Como justifica as tarefas que escolhe? (b) Como mobiliza e evidencia, no processo de desenvolvimento curricular, os vários aspectos envolvidos no conhecimento que ele precisa para ensinar: o conhecimento matemático sobre Números e Álgebra (CM) e as suas relações; (CC) a forma como entende e o lugar que reserva ao desenvolvimento do pensamento algébrico (PA) e às TIC (TIC) no currículo (CC); e, a forma como entende a aprendizagem dos alunos (CAA) neste domínio? (b1) Como mobiliza e evidencia, no processo de desenvolvimento curricular, o conhecimento matemático (CM) sobre Números e Álgebra 6 e as suas relações? 6 Adopta-se a designação mais geral Números e Álgebra e as suas relações, uma vez que os professores se encontram a leccionar um Programa sem qualquer referência ao pensamento algébrico, ao mesmo tempo que estão a ter o primeiro contacto com essas ideias. 135

136 Nas sessões da equipa: Como mobiliza os diferentes conteúdos da aritmética e da álgebra, como os relaciona e como passa de uns aos outros, no processo de elaboração das tarefas, através de um trabalho com as propriedades dos números e das operações, da procura de relações, de conexões e da generalização? Como responde e desenvolve processos de algebrização das tarefas? Notas: Aspectos do conhecimento matemático presentes na Aritmética: cálculo e relações numéricas; composição e decomposição dos números; propriedades dos números e das operações; estratégias de cálculo mental; regularidades; uso do sinal de igual; álgebra como aritmética generalizada. Aspectos do conhecimento matemático presentes na Álgebra e no pensamento algébrico: uso de letras (incógnita e variável como número generalizado); múltiplas representações; esquemas e representações intermédias; extensão do uso do sinal de igual; equivalência de expressões; abordagem funcional das equações. (b2) Como mobiliza e evidencia, no processo de desenvolvimento curricular, a forma como entende e o lugar que reserva no currículo (CC), ao desenvolvimento do pensamento algébrico (PA) e ao uso das TIC (TIC)? Nas sessões da equipa: (PA) Conhece os objectivos e orientações metodológicas do Currículo Nacional e do Programa actual no que respeita aos NA, suas relações e conexões? Reconhece relações entre a Aritmética e a Álgebra, nomeadamente o trabalho com a generalização? Identifica articulações e conexões nos NA, entre o que está antes e o que vem depois? Conhece as mudanças curriculares que o novo Programa traz no domínio do pensamento algébrico? Tem preocupações em manter o significado, no trabalho com expressões com variáveis? Qual a importância relativa que atribui aos temas Números e Álgebra e às suas relações, no contexto do currículo do Ensino Básico e do 7º ano, em particular? (TIC) Usa as características e o potencial da tecnologia, nomeadamente a dinamicidade e interactividade, para gerar múltiplos valores relacionados, para construir, explorar e validar modelos de situações, para realizar simulações e ver implicações e para desafiar a elaboração de conjecturas? Como identifica o papel das TIC no currículo de NA e qual a importância que lhe atribui? Para quê: como motivação, como ferramenta de consolidação de conceitos (já explorados de forma 136

137 mais ou menos tradicional) ou como instrumento de descoberta e de construção de conceitos? (PA e TIC) Procura mobilizar as múltiplas representações, servindo-se de potencialidades da tecnologia? Procura usar as potencialidades das TIC na generalização para desenvolver o pensamento algébrico? Que factores reconhece como um obstáculo à experimentação de novas metodologias na abordagem dos Números e da Álgebra, para o desenvolvimento do pensamento algébrico? E ao uso curricularmente integrado das TIC? (b3) Como mobiliza e evidencia, no processo de desenvolvimento curricular, a forma como entende a aprendizagem dos alunos (CAA) neste domínio? Nas sessões da equipa: No tipo de tarefas que elabora (tarefas abertas ou fechadas; tarefas simples, complexas ou com níveis de dificuldade diferenciados; tarefas muito ou pouco orientadas), tem presentes o desempenho dos seus alunos e algumas preocupações com aprendizagens específicas? Como prevê e planifica a sua exploração (apresentação, exemplos, descoberta guiada, livre exploração, gestão da comunicação com e entre os alunos e sistematização de conclusões)? Procura (e de que modo) envolver os alunos de modo a integrar as suas contribuições no curso da aula? Que expectativas tem do desempenho e das capacidades dos seus alunos, quando pensa nas tarefas? Como pensa certificar-se das aprendizagens que os alunos realizaram? (Q2) Como conduz em sala de aula o processo de ensino e a aprendizagem, neste domínio, tendo em conta as várias dimensões do conhecimento (CM, CC e CAA) que ele precisa para ensinar. Nas aulas (aspectos gerais): Como conduz o processo de ensino e aprendizagem? Explica primeiro a matéria e depois dá exercícios/problemas no quadro? Que tipo de aulas faz (exposição da matéria > exemplo guiado > exercício/problema -> correcção; apresentação de tarefa baseada em ideia ou ficha > envolvimento dos alunos em trabalho em grupo - > apresentação de soluções dos alunos -> discussão e síntese; outras modalidades...)? Que preocupações especiais tem e como lida com os aspectos de motivação dos alunos? E com eventuais situações de dispersão, desatenção, indisciplina,...? Como relaciona diferentes aspectos da Aritmética e da Ágebra, potenciando a aprendizagem desta última? Como integra as TIC e como valoriza o seu papel na aprendizagem? Como e para que dá a palavra aos alunos? Como gere as interacções 137

138 na sala de aula? Como gere o tempo entre o trabalho individual, o trabalho em pequeno grupo e o trabalho com toda a turma? Como integra as contribuições dos alunos no normal decurso da aula? Que diferentes estratégias usa de modo a esclarecer dúvidas dos alunos e a clarificar os conceitos? Como organiza e sistematiza as contribuições dos alunos na resolução das tarefas? Que aspectos relevantes (episódios) destaca da sua intervenção nas aulas (no que respeita aos aspectos curriculares, aos aspectos de gestão da comunicação e aos processos de aprendizagem dos alunos) e porquê? Nas aulas (CM): Como conduz a aprendizagem dos conceitos (como envolve os alunos na exploração das tarefas, como os explica e sistematiza, como promove a aprendizagem,...) e como os relaciona? Como mostra flexibilidade na mudança de rumo da aula face a dúvidas ou sugestões/respostas dos alunos? Como mobiliza os diferentes conteúdos da Aritmética e da Álgebra, como os relaciona e como passa de uns aos outros? Como usa as propriedades dos números e das operações, as relações, a generalização e as conexões, para desenvolver o pensamento algébrico? Como desenvolve processos de algebrização das tarefas? Nas aulas (CC): Que aspectos sobressaem nas estratégias de exploração dos NA e das TIC nas aulas? Onde se centram as dificuldades dos alunos e como é que o professor procura superálas? Como desevolve as relações entre a Aritmética e a Álgebra e os processos de generalização? Como mantém o significado no trabalho algébrico? Como usa as múltiplas representações para melhorar a compreensão dos alunos? Como aproveita as potencialidades da tecnologia (dinamicidade e interactividade; gerar múltiplos valores relacionados; construir modelos; elaborar simulações e ver implicações; facilitar a elaboração de conjecturas) no processo de ensino e aprendizagem? Nas aulas (CAA): O lugar e o tempo que reserva à exposição (apresentação e explicação da tarefa) sobre um tema ou conceito, no global da aula? A forma como põe os alunos a trabalhar? O papel dos problemas, das tarefas de investigação e dos exercícios e o seu estatuto no garante da aprendizagem? A cultura da sala de aula? Os diferentes tipos de comunicação na sala de aula e a sua relação com a aprendizagem? A forma como identifica as dificuldades dos alunos e os caminhos que traça para as superar, tendo em conta as diferentes formas de compreensão instrumental e relacional - da 138

139 matemática e as diferentes formas de conhecimento envolvido nas actividades matemáticas da sala de aula algorítmico, formal e intuitivo? Que aspectos valoriza no trabalho dos alunos? A forma como vê as concepções dos alunos, nomeadamente, como evolui a aprendizagem dos conceitos, o papel dos erros, a sua origem e como estes se podem transformar em conhecimento? Reconhece diferenças entre as expectativas que tem dos alunos e aquilo que eles realmente são capazes de fazer? (Q3) Quais os factores de influência na construção do conhecimento didáctico, em particular, nas opções curriculares e didácticas que faz e nas práticas de ensino, para promover o pensamento algébrico, com recurso às TIC? (a) O papel do seu percurso profissional (PP)? Qual o papel do seu percurso profissional na construção do seu conhecimento didáctico (nas opções que faz e na prática que desenvolve)? Na entrevista e, eventualmente, nas sessões da equipa: Como se forma o seu eu pessoal e profissional? Experiências formais relevantes na escola básica e secundária (como estudante), na formação inicial de professores (como estudante) e na formação contínua e pós-graduada? Experiências informais relevantes no seu percurso de vida com um sentido didáctico? Como acha que aprende e como aprendeu? Que imagem tem de si e dos outros? Como escolheu a profissão e que imagem tem dela? Que aspectos mais significativos do seu percurso profissional, influenciaram a forma como aborda os Números, a Álgebra e as suas relações e como integra curricularmente as tecnologias nestes domínios? (NA) Cursos/acções ou Projectos em que participou sobre Números e Álgebra? Leituras de livros (científicos, didácticos,...) sobre os temas? Auto-aprendizagem: resolução de problemas, exploração de actividades de investigação, resolução de exercícios e tarefas nestes domínios? (TIC) Cursos/acções sobre tecnologias em que participou (gerais, na educação, na educação matemática,...)? Percurso de auto-aprendizagem com a tecnologia? O acesso à tecnologia (em casa, na escola, noutros espaços,...)? Como lida com as ferramentas de produtividade de uso corrente? Como lida com as ferramentas específicas para o ensino da Matemática (usa-as para explorar, conhecer, preparar aulas ou como ferramentas para preparar tarefas e para usar com os seus alunos)? 139

140 Importância dos programas, das orientações curriculares e dos materiais de apoio curricular, na disponibilidade para encarar novas abordagens dos temas Números e Álgebra e das suas relações e para integrar curricularmente as TIC? (b) O papel dos contextos profissionais (CP)? Qual o papel dos contextos na construção do seu conhecimento didáctico (nas opções que faz e na prática que desenvolve)? Na entrevista e, eventualmente, nas sessões da equipa: Contextos de trabalho estimulantes em que participou e marcas que deixou: escolas onde esteve/está, trabalho no seu grupo pedagógico, alunos/turmas que teve, experiência do estágio, cursos/acções que frequentou, projectos em que participou, ideias e materiais de encontros/congressos em que participou e participação em actividades com os seus alunos fora da sala de aula? Importância da sua participação em espaços associativos de natureza profissional ou outros? Espaços de reflexão e de colaboração em que teve oportunidade de participar, como professor e/ou como formador de professores e sua contribuição para o seu conhecimento profissional? Como prepara normalmente materiais para as aulas? Principais fontes de inspiração (leitura de livros científícos, didácticos, manuais escolares, leitura do programa, discussão/partilha com colegas)? Processo individual ou em grupo? Como articula as contribuições do grupo, com as suas opções individuais? No seu percurso profissional, que contextos identifica como sendo (ou tendo sido) facilitadores ou inibidores de novas opções curriculares, abordagens metodológicas ou do uso curricularmente integrado das TIC nas aulas? Que influências reconhece de diferentes contextos (colegas do grupo pedagógico, grupos de trabalho e/ou projecto, direcção da escola, meio/pais/comunidade, ) nas práticas? Que relação entre as ideias expressas no trabalho de discussão e elaboração das tarefas (as suas concepções e crenças) e as práticas? Nas suas experiências de inovação curricular no âmbito dos NA e suas relações e no trabalho com as TIC, com vista a promover a aprendizagem de conceitos matemáticos, quais as que resultaram de um investimento estritamente pessoal e individual e quais as que decorreram de algum trabalho em equipa? Quais as diferenças que identifica nos dois tipos de trabalho? 140

141 (c) O papel da sua participação numa equipa de trabalho colaborativo, apoiada por uma plataforma de gestão de aprendizagem a distância (EC)? Já integrou experiências de trabalho colaborativo presencial? E de trabalho colaborativo a distância? E em regime misto? Em particular, que potencialidades e limitações reconhece a este trabalho colaborativo, nas suas duas dimensões (presencial e a dsitância)? Que potencialidades e limitações reconhece às plataformas de gestão de aprendizagem nos seus processos de formação (como professora e como formadora)? Como repositório de materiais? Como espaço de comunicação síncrona e assíncrona? Que potencialidades e limitações reconhece às plataformas de gestão de aprendizagem para o trabalho com os seus alunos? Nas sessões da equipa (presenciais e a distância): Qual o papel que assume na preparação das tarefas (nível de iniciativa, grau de abertura, )? Traz ideias e tarefas (da sua autoria; adaptadas de manuais; que já experimentou)? Diferenças entre participação presencial e a distância? Como encara as propostas dos outros e como vê as sugestões e comentários às suas propostas? Como articula as contribuições do grupo com as suas ideias pessoais, de modo a chegar a uma proposta de trabalho final? 3ª versão Organização 18.Janeiro

142 Anexo 3 Documento para uma gestão do programa que contribua para o desenvolvimento do pensamento algébrico com a utilização das TIC 142

143 Ideias orientadoras para a elaboração de tarefas sobre pensamento algébrico, usando as potencialidades das TIC, tendo em conta o actual Programa do 7º ano (temas/conteúdos) e o novo (orientações metodológicas) e o que dizem a investigação e os documentos de orientação curricular nacionais e internacionais, nestes domínios. Programa actual Identificação de temas, conteúdos e algumas sugestões metodológicas, em paralelo com questões do pensamento algébrico que possam ser desenvolvidas no contexto do programa actual. Temas, objectivos, sugestões 1. Conhecer melhor os números (primos, múltiplos, divisores, quadrados perfeitos, potências, raiz quadrada, raiz cúbica, ) Descobrir propriedades e relações; resolver problemas com números e procurar a generalização; critérios de divisibilidade; decomposição dos números e uso das propriedades; expressões com variáveis tradução de problemas 2. Proporcionalidade directa Preparar a proporcionalidade geométrica; preparar o conceito de função; tabelas e gráficos cartesianos; problemas de percentagens, escalas e câmbios; constante de proporcionalidade; exemplos de situações do quotidiano (escalas, espaçotempo; perímetro-raio; área-raio) 3. Semelhança de figuras Proporcionalidade geométrica semelhança; ampliações e reduções; razões de semelhança (problemas de distâncias no mapa escalas). Questões do pensamento algébrico Diferentes formas de representação (tabelas, gráficos, linguagem natural e simbólica) e transitar de umas a outras; A variável como quantidade a variar e números generalizados; Regularidades; O sinal de igual como expressando relações e equivalências; O significado das expressões; Expressões equivalentes (a partir das várias leituras de um padrão); Importância do significado; Modelação; Diferentes formas de representação (tabelas, gráficos, linguagem natural e simbólica) e transitar de umas a outras. 143

144 4. Números racionais Cálculo mental, à mão e com a tecnologia (uso das propriedades dos números e das operações); Potenciação a k ; Traduzir situações de uma linguagem para outra. 5. Estatística Formas de representação (tabelas e gráficos) 6. Do espaço ao plano 7. Equações Partir de problemas; princípios de equivalência Trabalho com números procurando relações; as quasi-variáveis; Modelação. Diferentes formas de representação e transitar de umas a outras Importância do significado; Modelação; Expressões equivalentes; 7 Conexões equações funções (abordagem funcional às equações); Importância das notações intermédias (descrições verbais, representações icónicas de quantidades) na resolução de problemas de Álgebra; Modelo das balanças (applets). Novo Programa (7º ano) (Temas identificados a partir dos Percursos Temáticos de Aprendizagem A ou B) Temas/tópicos: Números inteiros (propriedades, potências, raízes quadradas e cúbicas). Sequências e regularidades (termo geral e representação). Funções e gráficos de funções. Proporcionalidade directa como função. Equação do 1º grau. Noção de semelhança. Ideias do Novo Programa (3º ciclo), a pensar nas tarefas Álgebra No 3.º ciclo, alarga-se e aprofunda-se o estudo das relações, nomeadamente da proporcionalidade directa e introduz-se a proporcionalidade inversa, ambas 7 Problemas das caixas de doces e das carteiras; problema do perímetro do campo 144

145 trabalhadas como funções. A partir do estudo de sequências iniciado anteriormente, representa-se simbolicamente o termo geral. Estudam-se as equações do 1.º e 2.º graus e sistemas de equações do 1.º grau, e introduzem-se as inequações e funções associadas à modelação de situações da realidade. ( ) Propósito principal de ensino Desenvolver nos alunos a linguagem e o pensamento algébricos, bem como a capacidade de interpretar, representar e resolver problemas usando procedimentos algébricos e de utilizar estes conhecimentos e capacidades na exploração e modelação de situações em contextos diversos. ( ) Indicações metodológicas Abordagem. Tendo em vista o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos, propõe-se neste ciclo o estudo de relações de diversos tipos (equações, inequações e funções) e da variação, bem como o trabalho com tarefas que envolvam actividades de simbolização e de modelação. No desenvolvimento dos conceitos e procedimentos algébricos é importante que sejam proporcionadas aos alunos experiências informais antes da manipulação algébrica formal (por exemplo, na resolução de equações, sistemas de equações e inequações) ( ) A aprendizagem das operações com monómios e polinómios, e da simplificação de expressões algébricas, deve ser progressiva e recorrer a situações que permitam aos alunos compreender a manipulação simbólica envolvida, por exemplo, efectuando cálculos a partir de expressões algébricas substituindo as letras por valores numéricos. É conveniente usar expressões algébricas para representar problemas, usando letras para designar incógnitas ou variáveis, e introduzir expressões com variáveis ligadas a um contexto. O conceito de variável, pela sua complexidade, justifica que os alunos explorem situações variadas em que surjam letras (nomeadamente, em equações e fórmulas) e discutam os seus significados. Na resolução de equações, os alunos devem fazer uma transição progressiva da linguagem natural para a linguagem matemática. Neste ciclo retoma-se a investigação de sequências e regularidades, já realizada nos ciclos anteriores, com vista a aprofundar o estudo de relações algébricas e sua simbolização, fundamental para o desenvolvimento da noção de variável e para a compreensão da linguagem algébrica. Tarefas e recursos. As tarefas a propor aos alunos devem privilegiar a resolução de problemas e a modelação de situações, usando conceitos e procedimentos algébricos de complexidade crescente, sem perder de vista a consolidação dos procedimentos algébricos de rotina. O computador (por exemplo, com a folha de 145

146 cálculo) é um bom recurso para apoiar os alunos no estabelecimento de relações entre a linguagem algébrica e os métodos gráficos, na realização de tarefas de exploração e investigação e na resolução de problemas. Conceitos específicos. Neste ciclo, uma função é estudada essencialmente como relação entre variáveis ( ) Deve recorrer-se às várias representações (algébrica, gráfica e tabular) de uma função na interpretação e resolução de problemas e na modelação de situações. As funções cujo estudo se propõe (linear, afim, do tipo y = k/x e quadráticas simples) devem ser exploradas como ferramentas de modelação em situações diversas. ( ) Algumas notas sobre as capacidades transversais (pp ) O programa destaca três capacidades transversais a toda a aprendizagem da Matemática: a resolução de problemas, o raciocínio matemático e a comunicação matemática. A Resolução de problemas Ser capaz de resolver e de formular problemas, e de analisar diferentes estratégias e efeitos de alterações no enunciado de um problema. É simultaneamente um objectivo de aprendizagem e uma actividade para a aprendizagem de conceitos. O Raciocínio matemático Envolve a formulação e teste de conjecturas e, numa fase mais avançada, a sua demonstração. Os alunos devem compreender o que é uma generalização, um caso particular e um contra-exemplo. Além disso, o raciocínio matemático envolve a construção de cadeias argumentativas que começam pela simples justificação de passos e operações na resolução de uma tarefa e evoluem progressivamente para argumentações mais complexas, recorrendo à linguagem dos Números, da Álgebra e da Geometria. No fim do 3.º ciclo, os alunos devem ser capazes de distinguir entre raciocínio indutivo e dedutivo e reconhecer diferentes métodos de demonstração. A Comunicação matemática Envolve as vertentes oral e escrita. O aluno deve ser capaz de expressar as suas ideias, mas também de interpretar e compreender as ideias que lhe são apresentadas e de participar de forma construtiva em discussões sobre ideias, processos e resultados matemáticos. A comunicação oral tem lugar tanto em situações de discussão na turma como no trabalho em pequenos grupos, e os registos escritos, nomeadamente no que diz respeito à elaboração de relatórios associados à realização de tarefas ( ) promovem a comunicação escrita. O desenvolvimento da capacidade de 146

147 comunicação por parte do aluno, é assim considerado um objectivo curricular importante e a criação de oportunidades de comunicação adequadas é assumida como uma vertente essencial no trabalho que se realiza na sala de aula. Ideias da investigação e documentos de orientação curricular (nacionais e internacionais) sobre Álgebra e pensamento algébrico Recentemente valorizou-se uma abordagem funcional, a modelação (esta valorizada com a tecnologia) e as múltiplas representações Trabalho com números procurando relações (as quasi-variáveis) As letras como números generalizados Importância do significado (das expressões) As expressões equivalentes (p. ex., a partir das várias leituras de um padrão) O sinal de igual como expressando relações e equivalências (não é unidireccional) Importância das notações intermédias (descrições verbais, representações icónicas de quantidades) dos alunos na resolução de problemas de Álgebra. Nota: importante desenhar situações de aprendizagem sistemáticas Nota: uma proposta do movimento da EA (Early Algebra) 8 é repensar, desde os primeiros anos de escolaridade, as relações entre a Aritmética e a Álgebra, considerando a primeira, parte integrante da segunda (por exemplo, pensando as relações entre as diferentes operações aritméticas e o recurso às inversas na resolução dos problemas de Álgebra; deslocar-se do cálculo de respostas numéricas para a descrição e representação de relações entre variáveis). Ideias da investigação e documentos de orientação curricular sobre as TIC A tecnologia, cujas duas características fundamentais são a interactividade e a dinamicidade, facilita: as múltiplas representações (simbólica, numérica, gráfica e linguagem natural) e a transição de umas para outras; o apoio à modelação (construção e exploração), fazendo emergir o raciocínio algébrico; convida à conjectura e à exploração mas a qualidade das tarefas, o ensino e o ambiente de aprendizagem são decisivos. A folha de cálculo (FC) é importante para: trabalhar as letras como números generalizados (a FC trabalha com números e põe em evidência relações; é um interface natural entre os Números e a Álgebra); confirmar a equivalência entre 8 De uma forma sintética, este movimento assume que as razões das dificuldades dos alunos na Álgebra residem na forma como a Aritmética foi abordada, pelo que propõem uma nova abordagem da matemática elementar, desde os primeiros anos de escolaridade. 147

148 expressões, através da produção de resultados numéricos; a investigação/análise da variação, dada a sua orientação funcional; a abordagem das equações através das funções, estabelecendo conexões; modelar fenómenos que possam ser descritos através de regras recursivas, difíceis de escrever explicitamente. A FC é um recurso tecnológico importante no desenvolvimento do pensamento algébrico, uma vez que permite realizar com rapidez experiências com números e pôr em evidência relações numéricas (Novo Programa, p. 40). Um problema a ter em conta, no trabalho com padrões e com tabelas, nomeadamente com a FC (principalmente quando se prepara o trabalho com funções): os alunos trabalharem apenas numa variável, trabalharem em coluna sem procurarem perceber a relação entre as variáveis (entre colunas). Na FC, tendem a fazer um preenchimento em coluna (escalar), não relacionando uma coluna com a outra (funcional). Organização de: José Duarte 03. Novembro

149 Anexo 4 Documento de reflexão sobre a aprendizagem da folha de cálculo versus a aprendizagem da matemática 149

150 Aprendizagem de matemática e aprendizagem da folha de cálculo Pequena contribuição teórica Maria Blanton e James Kaput, dois dos principais impulsionadores do pensamento algébrico, definiam-no como um processo no qual os alunos generalizam ideias matemáticas a partir de informação particular, estabelecem estas generalizações através do discurso da argumentação e expressam-nas sob formas progressivamente mais formais. Os mesmos autores reconhecem que este raciocínio algébrico pode tomar várias formas, incluindo: (i) o uso da Aritmética como um domínio para expressar e formalizar generalizações; (b) generalizando padrões numéricos para descrever relações funcionais; (c) modelando como um domínio para expressar e formalizar generalizações; e (d) generalizando acerca de sistemas matemáticos abstraídos de cálculos e relações. O que parece estar no centro deste processo de desenvolvimento do pensamento algébrico? O processo de generalização e de progressiva formalização da generalidade e o pensamento funcional, através de caminhos onde a conjectura e a argumentação têm um lugar destacado. Algumas questões práticas Reflectir sobre aspectos do pensamento algébrico presentes no nosso trabalho com regularidades e folha de cálculo, de modo a poder preparar as boas questões que promovam compreensão e aprendizagem da Matemática. Indicação a escrever no quadro Atenção! Uma fórmula começa sempre com o sinal de igual! A FC valoriza o pensamento recursivo (recorre ao termo anterior para chegar ao seguinte) e isso deve ser reconhecido que, para alguns problemas, constitui a única forma de os abordar no ensino básico. É o caso do crescimento exponencial na modelação, visível no problema das dobras da folha da Terra à Lua ou no problema dos mealheiros (para o caso da opção de poupança de crescimento geométrico). No entanto, se queremos promover e desenvolver o pensamento funcional, devemos procurar tornar explícita a variável independente, no caso das sequências, a ordem ou posição. Nos problemas de padrões, o que normalmente está presente 150

151 é exclusivamente o termo em si, a variável dependente e o que domina é o pensamento recursivo (o que vem a seguir?!), que leva no uso da FC ao preenchimento em coluna ( pegar e arrastar onde está a fórmula) e na observação das tabelas olhando cada uma das colunas independentemente, Ter presente: há sempre duas variáveis! Ir sempre falando, associando e distinguindo a ordem ou posição e o termo em si. Nesta sequência, na ficha Trabalho de casa: sequências com Excel Quando na questão 5) se pede para descrever como é construída qualquer figura da sequência, incentiva-se a procura de várias expressões equivalentes. Estas várias leituras devem ir identificadas para a aula para poderem ser apoiadas e destacadas no caso de aparecerem ou de serem sugeridas/provocadas, caso não surjam naturalmente. Uma leitura possível será, a base (2) mais a ordem (a outra perna do L invertido na horizontal) 2 + n. Quantas mais haverá? Uma questão que pode ser colocada a um grupo de alunos, após terem um tempo para resolver a questão 5) é Nesta sequência, o que se mantém fixo e o que varia? Com a questão 6 pretende-se que usem a FC para traduzir e generalizar o seu processo de pensamento, ou seja, a forma como pensaram. 151

152 No entanto, a passagem e outra coluna onde deve surgir o número total de bolas em cada posição, em função desse número de ordem pode conduzir a uma fórmula única tipo n+2, sem atender às diferentes leituras. Aqui nesta questão 6) pode agora verificar-se porque são as diferentes expressões descobertas em 5) equivalentes: substituindo os vários valores numéricos (da ordem), obtém-se sempre o mesmo resultado e do ponto de vista algébrico podem converter-se umas nas outras por simplificação (um trabalho que pode ser desenvolvido a tal formalização progressiva). Após a questão 6 resolvida, pode sugerir-se que cada grupo escreva uma expressão simbólica (com um símbolo no lugar onde varia, que pode tomar vários valores) que traduza a relação para determinar o número de bolas de uma figura de qualquer ordem. Deixar a cada grupo a escolha do símbolo e talvez negociar no fim um mais adequado ou consistente. Extensão ou aprofundamento da tarefa (soma dos ímpares consecutivos e quadrados perfeitos) Indicação: clarificar logo de início o que se entende com a soma dos primeiros ímpares consecutivos, porque pode haver confusão, pensando em 1+3; 3+5; 5+7 sem ter em conta que se trata de uma soma acumulada dos (x, n??) primeiros ímpares consecutivos. Talvez começar por pedir: A soma dos dois primeiros 1+3 A soma dos três primeiros E, em seguida, alterar a pergunta: Como calculas a soma dos primeiros quatro ímpares consecutivos, a partir da soma dos 3 primeiros? E a soma dos cinco primeiros, a partir da anterior e assim sucessivamente? Antes de partir para a FC deve ser dado um tempo, discutindo e pedindo um esquema de apoio (a importância das representações intermédias dos alunos), que ajude a ver como se forma a sequência com duas colunas (ver exemplo abaixo) 152

153 A discussão e os apoios devem ser no sentido de criar uma soma acumulada (na coluna da direita) à qual se junta cada novo ímpar (coluna à esquerda). Após a identificação da relação e escrita da fórmula, deve ser dado um tempo para observarem o tipo de números que se obtém. Pode não ser fácil aparecer a fórmula esperada, uma vez que a tendência vai ser somar dois, depois três, depois quatro termos, e assim sucessivamente, o que não faz surgir qualquer regularidade que possa ser copiada. Que tipo de números estamos em presença? Poderão estes números ser obtidos de uma outra forma? Após algum tempo para pensar e discutir em pequeno grupo deve ser fornecida uma imagem geométrica do que está a acontecer (imagem ao lado) Endereços, fórmulas, variáveis e expressões com variáveis Uma pergunta a colocar: Como se obtém a sequência constituída pelos números de ordem, a partir do 1, ou seja: (a) como se obtém o 2º termo? (b) como se obtêm, todos os outros? Nota: isto deve ser explicitamente identificado como um processo recursivo. Afinal o que é B2? Um endereço de uma célula! Mas o que representa matematicamente? Uma variável? E quando eu escrevo em B3, por exemplo, =B2+1, o que é isto? Uma fórmula! Mas o que representa matematicamente? Uma expressão com variável? 153

154 Reflectir sobre o slide 9 com uma citação dos investigadores Yerushalmy e Chazan (2003) relativamente ao trabalho com endereços na folha de cálculo e sua relação com os conceitos de variável e incógnita. E se agora voltarmos à primeira página, será que encontrámos nas questões práticas aqui contempladas, as ideias teóricas sobre pensamento algébrico referidas? Organização de José Duarte, 13 de Novembro de 2008 (apoio à preparação das aulas com FC e às sessões de trabalho colaborativo) 9 Retirado de um conjunto de slides da investigação e de documentos de orientação curricular sobre as potencialidades das TIC na aprendizagem da Matemática 154

155 Anexo 5 Tecnologias e pensamento algébrico: Recursos (applets e vídeos) na Internet sobre pensamento algébrico 1) Indicados na publicação Sheffield, L. J. e Cruikshank, D. E. (2005). Teaching and Learning Algebra. In Teaching and Learning Mathematics Pre-Kindergarten Through Middle School (pp ). USA: Jossey Bass Education. Number Cruncher (weblink 10.5: Applet em que, dado o input o programa calcula o output, coloca-o numa tabela e aguarda que se descubra a expressão geral. Mistery Operations (weblink 10.6: Applet em que, dados dois inputs (a e b) o programa devolve um resultado que foi encontrado através da combinação de operações sobre os inputs (uma expressão em a e b). O objectivo é encontrar a expressão. 2) Vídeos educativos no Youtube Number sequences (vídeo no Youtube: Um vídeo em que um professor, mostra alguns termos de duas sequências, e explica como se geram os sucessivos termos e as suas relações. The nth term of a linear sequence (video no Youtube: Vídeo que explica, dados alguns termos de uma sequência e a respectiva representação gráfica, através da manipulação de dois cursores que controlam respectivamente o declive e a ordenada na origem da representação linear (uma recta que representa a expressão geral da respectiva sequência) como se podem gerar esses termos e sobrepor o respectivo gráfico. Site com o respectivo applet: 3) Sequências e equações no site waldomaths Simple sequences sequências lineares (11-16 anos) 155

156 ou, no novo site, em Applet em que são dados alguns termos de uma sequência e a respectiva representação gráfica. O programa disponibiliza então dois sliders que controlam respectivamente o declive e a ordenada na origem da representação linear (recta) que o utilizador pode controlar, gerando a expressão do termo geral e visualizando em simultâneo os termos da sequência e a sua representação gráfica. Equations 1 equações simples (11-16 anos) ou, no novo site, em Applet que permite explorar a resolução de equações do 1º grau (com 5 níveis de dificuldade) com a incógnita num só membro ou nos dois membros. Pode adicionarse ou subtrair-se a ambos os membros um termo semelhante em x ou adicionar, multiplicar ou dividir por qualquer número inteiro. 4) Matchbox no Centro de Excelência (NCETM) de Celia Hoyles Applet indicado a partir do site do National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics (NCETM Celia Hoyles), procurando em Resources applets algebra. Resolução de equações através do trabalho com match boxes (caixas de fósforos), com 5 níveis de dificuldade, conforme existe uma ou mais match box e apenas num ou nos dois membros da equação. Cada match box contém um determinado número de fósforos que se determina operando em cada um dos membros da equação, servindo-se de operadores de adição/subtracção ou de divisão sobre os objectos ou sobre a expressão simbólica algébrica. A caixa de fósforos desempenha o papel da variável contendo um número ainda não conhecido (a incógnita) de fósforos. Permite alternar entre a representação icónica e algébrica na resolução das equações e rever os passos seguidos na resolução. 5) Applets no Instituto Freudenthal Em escolher algebra & calculus (all age groups ou middle school graus 7-8): encontra vários applets sobre equações, expressões algébricas, geometria analítica, sequências numéricas, funções, gráficos, etc. Exemplos: 156

157 Algebra arrows: permite a construção de modelos para as expressões algébricas e respectiva visualização gráfica e em tabela. Spotting numbers: permite a construção de padrões de pontos. Spotting numbers problems: a partir de sequências de pontos pré-definidas, vai colocando um conjunto de questões termo ou figura seguinte, termo geral, Solving equations with balance-strategy: permite resolver equações usando os princípios de equivalência, recorrendo a diferentes operadores que o programa disponibiliza e permitindo a entrada de valores numéricos pelo utilizador; permite também construir a nossa própria equação. Geometric Algebra 1D: permite a construção de expressões algébricas, atribuindo valores às variáveis e comparando-as. Algebra trees: permite a construção de modelos de expressões aritméticas e algébricas, em árvore, visualizando e comparando gráficos e tabelas. True markers: permite a resolução de equações através da substituição directa de valores na expressão. Geometric algebra 2D Problems 1: permite a simplificação de expressões algébricas com parêntesis, por utilização das propriedades das operações, com o apoio num modelo geométrico rectangular. Geometric algebra 2D Problems 2: permite a factorização de expressões algébricas, com o apoio num modelo geométrico rectangular. Graphs: dois applets que oferecem um conjunto de gráficos diferentes, acerca dos quais se colocam 4 questões de interpretação, dando sentido a uma história, em que o utilizador pode escolher entre um conjunto de opções em cada pergunta. Area algebra: permite a prática de skills algébricos, desenvolvendo e factorizando expressões, com o apoio num modelo geométrico rectangular. Enlargement: permite trabalhar a semelhança de figuras, alterando proporcionalmente as dimensões de um rectângulo que as enquadra e averiguando a relação entre as respectivas áreas dos rectângulos. Nota: este site dispõe de um pequeno conjunto de applets sobre álgebra, já traduzidos para português, em 6) Interactive Algebra no MathsNet Encontra no site do MathsNet (em seleccionando algebra, um conjunto de recursos interactivos (embora do tipo demonstrativo) sobre sequências 157

158 (próximo termo, termo geral, método das diferenças), funções dados objecto e imagem, encontrar a regra) e equações (colocar em equação problemas de palavras ou aplicar princípios de equivalência). Por exemplo, permite-nos definir o 1º termo de uma sequência e a regra de crescimento e seguidamente ele mostranos, passo a passo, como se chega ao termo geral (método das diferenças). No entanto, se escolher no mesmo directório da álgebra, o menu Activities, pode aceder a um conjunto de applets, estes efectivamente interactivos, sobre diferentes actividades algébricas (balance, algebra charts, sequences, etc.). Parte destes applets, estão associados a sites de referência como o wisweb do Instituto Freudenthal., já referidos anteriomente. 7) National Library of Virtual Manipulatives (Utah State University) ( Applets para Grades 3-5 Algebra tile: oferece um conjunto de pequenos rectângulos, representando monómios (x, y, x.y, 1, 5, ) que podemos arrastar para uma área de trabalho, colocando-os na horizontal ou na vertical, ficando assim a constituir os factores de um produto. A área que representa o produto aparece de imediato assinalada na área de trabalho e agora trata-se de arrastar os diferentes produtos parciais, até encher por completo a área referida. De forma inversa, podemos também partir da área de trabalho e procurar os respectivos factores (factorização). Colour Patterns: permite continuar padrões, usando combinações de contas de cor. Grapher: permite representar gráficos de funções (lineares, quadráticas, etc.), dependentes de parâmetros a, b e c, aos quais podemos atribuir valores e depois, manipular por acção sobre um cursor e visualizar os efeitos gráficos. Pattern blocks: permite agrupar figuras geométricas, criando os nossos próprios padrões, reproduzi-los através de um processo de clonagem e depois juntá-los, procurando eventualmente pavimentar o plano. Applets para Grades 6-8 Algebra balance scales negatives: permite criar e resolver equações do 1º grau em x, usando o modelo da balança, arrastando os termos para os respectivos pratos (membros) e posteriormente, resolvê-la, aplicando os princípios de equivalência (adicionar, subtrair, multiplicar e dividir ambos os membros), até isolar a incógnita (x) num dos pratos. 158

159 Function Machine: apresenta uma máquina que pode receber valores (input) dados e devolve valores de saída (output), segundo uma regra que desconhecemos e que são colocados numa tabela. Quanto entendemos ter encontrado a fórmula de transformação, podemos preencher os valores da tabela em falta. Nota: este site disponibilizou recentemente, uma versão das aplicações applets, que pode ser descarregada da Internet para funcionar de forma independente no computador (grátis para experimentação durante 7 dias). 8) Applets no site Illuminations (NCTM) (Em Grades 3-5 e 6-8 Pan Balance Expressions: apresenta uma balança de pratos, em cada um dos quais podemos escrever expressões numéricas ou algébricas (onde figura uma incógnita x). Ao mesmo tempo, temos acesso a um cursor que manipula directamente o valor da variável x e que o substitui na expressão, fazendo oscilar os pratos da balança para um e outro lado, de acordo com o seu peso (valor). Simultaneamente, visualizamos um gráfico representando as duas relações (funções) definidas pelas expressões em cada um dos pratos e que, ao manipular o referido cursor, deixam um rasto no écran, permitindo visualizar a solução como o ponto de intersecção dos 2 gráficos. Pan Balance Shapes: apresenta uma balança de dois pratos e um conjunto de 4 formas diferentes que podem ser deslocadas para cada um dos pratos, gerando (des)equilíbrios, de acordo com a relação entre os pesos de cada uma das formas que desconhecemos. Quando os pratos atingem o equilíbrio, a relação de equivalência surge registada na tabela. Se seleccionarmos o botão Count Items, ele agrupa as formas iguais, modelando a manipulação algébrica, no que respeita a agrupar os termos semelhantes. Pan Balance Numbers: apresenta uma balança de dois pratos, em cada um dos quais podemos introduzir uma expressão numérica. Quando a balança se encontra em equilíbrio, estamos perante expressões equivalentes que aparecem de imediato registadas na janela lateral Balanced equations. Nota: o trabalho com este conjunto de applets (Balance) é importante para desfazer a concepção errada de que o sinal de igual significa uma operação (ou que a sua presença implica a produção de um resultado), em vez de indicar a existência de uma relação que traduz uma equivalência. Nestes, como noutros, 159

160 applets, as instructions e explorations sugerem indicações de funcionamento e abordagens que permitem aproveitar plenamente as potencialidades dos programas, com vista a perseguir os objectivos de aprendizagem com que foram desenvolvidos. Chairs: permite simular o número de pessoas que se podem sentar à volta de várias mesas num restaurante, variando o tipo de mesa, o número de mesas e a forma da distribuição das mesmas. O programa tem dois modos de funcionamento: exploratório ou, uma vez definida uma situação, pede uma resposta (e dá feedback). Este applet pode ser importante para apoiar a análise da sequência de pessoas que se podem sentar quando varia o número de mesas (em linha), procurando a existência de regularidades. Factorize: gera um número (permite a entrada do utilizador) e pede as factorizações (com dois factores) possíveis desse número. Após o utilizador escrever todas as factorizações reconhecidas, ele pede a sua representação gráfica numa grelha quadriculada (rectângulo com as dimensões dos factores e área igual ao produto deles). Mistures: permite criar dois conjuntos de círculos, colori-los e a seguir combiná-los e verificar se a percentagem dos coloridos no total se modifica ou mantém. 9) Referência do novo programa de Matemática ( Escolha actividades matemáticas interactivas (Interactive activities) e depois Álgebra. Vale a pena explorar algumas actividades sobre sequências como, Sum of consecutive integers is triangular, Sum of consecutive odd numbers is square, Sum of consecutive triangular numbers is square, What s the next? e problemas traduzidos em equações, em Word Problems. Organização de: José Duarte 22 de Setembro de

161 Anexo 6 Alguns materiais de trabalho das sessões 6A Sequências e mais sequências (applet) 6B (1) Problema das castanhas e (2) relato da professora sobre a apresentação/discussão em sala de aula 6C Problema das castanhas (com valores de referência) 6D Problemas das caixas de doces e das carteiras 6E Ficha quadrados e cubos perfeitos 161

162 Anexo 6A Sequências e mais sequências Vamos continuar o nosso trabalho com as sequências de números mas agora temos à nossa disposição um applet, programa interactivo com fins específicos e que funciona na Internet. Quando acederes ao applet, encontras um écran semelhante ao da figura 1. fig.1 Instruções sobre o applet Para criares uma nova sequência, que aparece escrita a branco, no topo do écran, basta clicar no botão No écran podes encontrar quatro zonas distintas: (1) A zona das sequências (a branca, gerada pelo computador e a amarela, que tu vais modificar até coincidir com a de cima); (2) Por baixo, a zona dos deslizadores, que se movem com o rato e controlam os números da tua sequência; (3) Ao lado direito, a zona de representação gráfica, com os dois conjuntos de pontos (brancos e amarelos), relativos a cada uma das sequências. (4) Dentro da caixa rectangular, ao centro, a expressão que, em cada momento, traduz a tua sequência (e que varia com os movimentos que fizeres sobre cada um dos deslizadores). 162

163 Investigação: Como descubro a sequência com o applet? Acede ao applet, no endereço Usa o botão New Problem, até encontrares uma sequência só com números positivos. 1.) Regista a sequência de números que seleccionaste e diz como estão relacionados os seus elementos. 2.) Agora movimenta o primeiro deslizador (o de cima) e observa o que acontece no écran (aos números da sequência e ao gráfico). Procura descrever o que faz este deslizador. 3.) Agora movimenta o segundo deslizador (o de baixo) e observa o que acontece no écran. Procura descrever o que faz este deslizador. 4.) Finalmente, procura agora chegar à sequência gerada pelo computador (a branco), movimentando apenas o 1º deslizador. Conseguiste fazer coincidir a tua sequência (a amarelo) com a dada? Os pontos do gráfico sobrepõem-se? Se sim, regista a expressão que está dentro da caixa ao centro. Se não, movimenta agora o 2º deslizador para conseguires o teu objectivo. Quando o atingires, regista a expressão como foi referido anteriormente. 5.) Gera uma nova sequência em New Problem e regista os seus elementos na ficha, para depois os explicares aos teus colegas: os termos da sequência e a forma como crescem, o sentido (para a direita ou para a esquerda) dos movimentos que fizeste com cada um dos deslizadores e porquê e a expressão final (YES!) na caixa. 163

164 Problema: Interpretar uma sequência obtida com o applet Observa o écran da figura 2 e responde às questões justificando o teu raciocínio: fig. 2 1.) Indica qual é a ordem do termo desta sequência que tem como valor o número ) Será que é possível esta sequência ter um termo cujo valor é 70? 3.) O que distingue esta sequência da sequência dos múltiplos de 3 (sem o zero)? Compara a expressão geradora dos múltiplos de 3, com a expressão da sequência acima. O que concluis? És capaz de representar graficamente 10 um esboço das duas sequências, de modo a que se percebam os seus andamentos? 10 Cada ponto do gráfico tem uma coordenada que é a ordem e outra que é o valor do termo. Na sequência acima, o 1º termo que é 11, é representado pelo ponto de coordenadas (1,11). Como serão as coordenadas do ponto que representa o 1º múltiplo de 3? 164

165 Anexo 6B (1ª parte) ESCOLA BÁSICA DOS 2º E 3º CICLOS DE BEATRIZ Ficha de Trabalho de Matemática Data: / / TPC - Problema Nome: Turma: Nº 7º Ano O avô do Afonso tem um campo de castanheiros. A produção de castanha em 3 anos consecutivos foi 1º ano: 1600 kg; 2º ano: 75% da produção do 1º ano; a seguinte: 3º ano: 5 6 da produção do 1º ano. O avô do Afonso contou ao neto que tinha vendido 4 3 da castanha produzida ganhando euros e ofereceu-lhe, como prenda, 6 1 desse ganho. 1. Quantos quilos de castanha se produziram nestes 3 anos consecutivos? 2. A que preço, o avô do Afonso, vendeu cada quilo de castanhas? 3. Qual foi a quantia que o avô deu ao seu neto? Conheces a lenda de São Martinho? Faz uma pesquisa na internet e regista o que encontrares. 165

166 Anexo 6B (2ª parte) Relato de Beatriz (R1_B) Uma aula de discussão do problema das castanhas (aula não observada) Na semana do S. Martinho preparei um problema sobre castanhas adaptado do manual Matemática em Acção 7º Ano da Lisboa Editora que envolvia diferentes pré-requisitos: fracções, percentagens e regra de três simples. Entreguei-o aos alunos e pedi que o resolvessem em casa. Na aula de discussão, pedi aos alunos que relessem o problema individualmente e, posteriormente, questionei-os sobre a sua interpretação. Claramente verifiquei que o entenderam embora revelassem alguma dificuldade em comunicar o entendimento do mesmo. Ajudei os alunos a registar os dados do problema no quadro. 1ª Questão: Solicitei a um aluno que resolvesse esta questão no quadro. A primeira aluna fê-lo utilizando a regra de três simples, para calcular a produção de castanha do 2º ano. Outra propôs uma expressão numérica para calcular a produção dos 3 anos e escreveu: (0, ) Intervi, para explicar aos alunos como se utilizava a calculadora no cálculo de percentagens e fiz alguns esclarecimentos sobre o funcionamento de algumas delas. Nesta situação, a produção do 2º ano também podia ser calculada da seguinte forma: % Entretanto, num contexto de apresentação de diferentes raciocínios de resolução de um mesmo problema, um aluno pede para falar porque tem ainda outro raciocínio. Dirige-se ao quadro e escreve, explicando: 100% pode ser decomposto em 4 partes 100 : 4 = 25% 1600 : 4 =

167 Como 75% corresponde a 3 partes de 100%, a produção do 2º ano calculase, fazendo: 400 x 3 = 1200 kg. Ainda referiu que outra alternativa ao último cálculo era: uma vez que se queriam 3 partes, bastava fazer: = 1200 kg. No cálculo da produção de castanha do 3º ano, os alunos começaram por resolver da maneira mais clássica : Mas, outro aluno pediu a palavra porque tinha outro raciocínio. Explicou que como a produção estava dividida em 5 partes, dividiu 1600 por 5, para calcular uma parte dessa produção e, em seguida, multiplicou por 6, pois era o pretendido. Posteriormente, somaram-se as produções dos 3 anos. 2ª Questão: Pedi aos alunos para lerem e interpretarem a questão e, em seguida, solicitei a um aluno a explicação do mesmo à turma, revelando alguma dificuldade no significado dos dados do problema. Perante este facto, de um modo geral, a turma estava impaciente uma vez que era claro o pedido. Mas dei tempo ao aluno para reflectir e orientei o seu raciocínio com questões relacionadas mais directamente com o seu quotidiano. Na 1ª fase desta questão, tive de salientar que o que se pretendia era conhecer o preço de 1 kg de castanhas vendidas e não as produzidas. Assim, rapidamente me responderam que bastava fazer como na questão anterior. Na 2ª fase, o aluno revelou dificuldades em distinguir no problema, o dividendo e o divisor. Desta forma orientei-o com a seguinte questão: Se fores a uma papelaria para comprar 4 canetas e pagares 1 euro no total, quanto custou cada caneta? Ao que o aluno respondeu: 4 a dividir por 1. Procedi então ao esclarecimento desta situação. A maioria dos alunos da turma não revelou aqui dificuldades. 3ª Questão: Facilmente foi resolvida pelos alunos. Uma vez que também solicitei uma pequena pesquisa sobre a Lenda de S.Martinho, pedi que algum aluno se oferecesse para a contar à turma. Assim foi. No final da aula ainda apareceram mais alunos com pesquisas da lenda, de lengalengas, quadras e provérbios sobre esta festa. Solicitei-lhes a apresentação das mesmas em cartaz para afixar na sala de aula. Nota: relato realizado e enviado voluntariamente pela professora 167

168 Anexo 6C Data: / / Ficha de Trabalho de Matemática TPC - Problema Nome: Turma: Nº 7º Ano O avô do Afonso tem um campo de castanheiros. A produção de castanha em 3 anos consecutivos foi a 1º ano: 1600 kg; 2º ano: 75% da produção do 1º ano; seguinte: 3º ano: 4 5 da produção do 1º ano. O avô do Afonso contou ao neto que tinha vendido 4 3 da castanha produzida ganhando euros e ofereceu-lhe, como prenda, 6 1 desse ganho. 4. Quantos quilos de castanha se produziram nestes 3 anos consecutivos? 5. A que preço, o avô do Afonso, vendeu cada quilo de castanhas? 6. Qual foi a quantia que o avô deu ao seu neto? Conheces a lenda de São Martinho? Faz uma pesquisa na internet e regista o que encontrares. 168

169 Anexo 6D Ideias para modelação e trabalho com expressões, equações e funções (numa perspectiva de desenvolvimento do pensamento algébrico) Ideias adaptadas de Carraher D., Schliemann, A. e Schwartz, J. (2008). Early Algebra is not the same as Algebra Early. In Kaput, J., Carraher, D. e Blanton, M. (Eds). Algebra in the Early Grades (p ). LEA: New York. Qual o sentido que os jovens (3º ou 4 ano) dão às variáveis e à variação em matemática? Problema 1 (Candie Boxes As caixas de doces) O professor David, exibe uma caixa de doces em cada mão: na mão esquerda, tem os doces do João que estão todos dentro da caixa; na mão direita, tem os doces da Maria e estes incluem os que estão na caixa e ainda três que restam e estão em cima da caixa. Sabe-se que as caixas têm exactamente o mesmo número de doces. A questão que todos são convidados a discutir é a seguinte: o que é que se sabe acerca do número de doces que o João e a Maria têm? Problema 2 (Wallet problem Problema das carteiras) Miguel tem 8 na sua mão e o resto do seu dinheiro na carteira. Rodrigo tem exactamente 3 vezes mais dinheiro do que Miguel tem na sua carteira O que se pode dizer da quantidade de dinheiro que Miguel e Rodrigo têm? Questões para reflexão: Que conhecimentos matemáticos podem estar envolvidos na exploração destes problemas? Que abordagens didácticas poderemos fazer a estes problemas? Que competências transversais poderemos mobilizar na sua exploração? Que contribuições para o desenvolvimento do pensamento algébrico? Que vantagens/potencialidades das TIC nestes problemas? Organização de José Duarte, 17 de Dezembro de

170 Anexo 6E Tecnologias e pensamento algébrico: ESCOLA BÁSICA DOS 2º E 3º CICLOS DE BEATRIZ Data: / / Nome: Turma: Ficha de Trabalho de Matemática 7º Ano Quadrados e Cubos perfeitos N.º: Sequências de Números Nas actividades desta ficha explica o teu raciocínio recorrendo a palavras, esquemas, cálculos ou símbolos. Quando indicado, deverás também recorrer à Folha de Cálculo do Excel. Quadrados Perfeitos 1. Considera a seguinte sequência: a) Desenha a próxima figura da sequência. b) Desenha a 7ª figura da sequência. Quantas bolas tem a figura? Como calculaste esse resultado? c) Sem desenhar, indica o número de bolas da figura que ocupa a posição 10 da sequência, descrevendo a forma como pensaste. d) Considera a figura seguinte: Poderá existir uma figura como esta como termo da sequência? Explica a razão da tua resposta. 170

171 Abre o programa questões. para te ajudar a pensar nas seguintes e) Na coluna A da Folha de Cálculo, reproduz os primeiros 8 números naturais. Escreve na célula A1 o título da coluna Ordem e na célula B1 Termos da sequência. Na coluna B, escreve os elementos da sequência numérica (que são os termos) correspondentes a cada uma das figuras até à posição 8 e copia-os para a tabela abaixo. Ordem (coluna A) Termos (coluna B) f) Poderá existir um termo desta sequência com 140 bolas? Explica porquê. g) Como explicarias a um colega teu que a figura na posição 40 não poderia ter 160 bolas? h) Descreve como é constituída qualquer figura desta sequência. i) Escreve uma expressão que permita calcular o número de bolas que tem uma figura sabendo a posição em que se encontra. j) A partir da expressão encontrada na alínea anterior, calcula o número de bolas da sequência relativa aos termos na posição: 171

172 j 1 ) 16 j 2 ) 20 k) Em que posição está a figura com 25 bolas? E com 2500? l) Completa a tabela seguinte: N.º ao Quadrado Raiz Quadrada do N.º Cubos Perfeitos Para visualizares melhor a composição dos cubos que se seguem recorre ao auxílio do seguinte applet: que te permite visualizar cubos de 1 unidade de aresta até 5 unidades. 2. Considera a seguinte sequência: a) Cada cubo da sequência é composto por quantos cubinhos? b) E os cubos das posições 4 e 10, quantos cubinhos têm cada um? 172

173 c) Será que existe algum cubo composto por 100 cubinhos? Argumenta a tua resposta. d) Descreve como é constituída qualquer figura desta sequência. e) Escreve uma expressão que te permita calcular o número de cubinhos de qualquer cubo de uma dada ordem. f) Através da expressão que encontraste na alínea anterior, averigua o número de cubinhos do cubo da ordem 6. g) Em que posição está a figura com 8 cubinhos? E com 1728? h) Completa a tabela seguinte: 3 10 N.º ao Cubo Raiz cúbica do N.º

174 Anexo 7 - Conteúdos, contextos e instrumentos de recolha de dados 174

175 Anexo 7A Cronologia dos diferentes momentos de recolha de dados e códigos Designação (códigos) Ap_A Data 16.Setembro.08 Tipo de sessão Sessão de apresentação e discussão do Plano de Trabalho com a Ana E1_A 26.Setembro.08 1ª Entrevista com Ana S0_A 10.Outubro.08 Sessão de trabalho apenas com Ana Ap_B 15.Outubro.08 Sessão de apresentação e discussão do Plano de Trabalho com a Beatriz E1_B 17.Outubro.08 1ª Entrevista com Beatriz S0_B 21.Outubro.08 Sessão de trabalho apenas com Beatriz S1 28.Outubro.08 1ª sessão de trabalho da equipa A1_A 5.Novembro.08 1ª aula observada (Ana) Ch1 10.Novembro.08 1º chat com a equipa A2_A 12.Novembro.08 2ª aula observada (Ana) A3_A 17.Novembro.08 3ª aula observada (Ana) S2 18.Novembro.08 2ª sessão de trabalho da equipa S3 2.Dezembro.08 3ª sessão de trabalho da equipa A1_B 10.Dezembro.08 1ª aula observada (Beatriz) Ch2 15.Dezembro.08 2º chat com a equipa A4_A 12.Janeiro.09 4ª aula observada (Ana) Ch3 13.Janeiro.09 3º chat com a equipa A5_A 14.Janeiro.09 5ª aula observada (Ana) S4 20.Janeiro.09 4ª sessão de trabalho da equipa Duração média das sessões de apresentação do Plano: 1 h. 15 m. Duração média das entrevistas: 1 h. 30 m. Duração média das sessões de trabalho 2 h. 15 m. Duração de cada aula observada: 1 h. 30 m. Duração média dos chat: 45 minutos. 175

176 Anexo 7B Tecnologias e pensamento algébrico: Ideias para o trabalho da equipa (1 as sessões individuais: 10 e 21 de Outubro de 2008) Pasta de materiais (investigação, orientações curriculares e tarefas) 1. Lançamento do trabalho (tarefas, pensamento algébrico e TIC); 2. Episódios 1. Conteúdos: sequências, regularidades e padrões (numéricos e geométricos). Materiais dispersos tarefa 1 (voo em V) e tarefa 2 (azulejos) Tese da Neusa Branco (p. 203) tarefa 2 (ponto 1) Tarefas PAM (Vieira de Leiria): exploração de ficheiros da folha de cálculo (FC): último algarismo das potências e desafios ímpares. Dar atenção ao desenvolvimento do pensamento algébrico: os significados, trabalho com números procurando relações, letras como números generalizados, expressões equivalentes a partir das diferentes leituras dos padrões, o sinal de igual expressando relações de equivalência e não exclusivamente a produção de um resultado numérico, os números como quasi-variáveis, a abordagem funcional, as múltiplas representações e a modelação. Procurar no uso da tecnologia (folha de cálculo e applets), potencialidades que facilitem as múltiplas representações (simbólica, numérica, gráfica e linguagem natural) e as ligações entre elas; o apoio à modelação (construção e exploração de modelos), fazendo emergir o raciocínio algébrico, o convite à conjectura e à exploração. Em particular, com a folha de cálculo (FC), procurar trabalhar as letras como números generalizados, as expressões equivalentes e a investigação da variação, dada a orientação funcional da ferramenta. Ter em atenção na FC: como ultrapassar o trabalho centrado na recursividade (sempre partindo do termo anterior, através da cópia de fórmulas em coluna), tornando-o funcional e explícito através de uma relação entre duas variáveis (relacionando duas colunas)? Aspectos do pensamento algébrico no Novo Programa (novas relações entre a aritmética e a álgebra): Regularidades numéricas e padrões 176

177 Tecnologias e pensamento algébrico: Trabalho com números, centrado nas relações entre eles e entre estes e as operações Múltiplas representações Importante criar percursos de aprendizagem 2. Episódios Discussão de um ou dois episódios de aprendizagem, escolhidos de entre as seguintes tarefas: padrão repetitivo de 3 figuras geométricas (tarefa 1, questão 1, da tese da Neusa) tarefas exploradas em 1 (bolas, voo em V ou azulejos) 177

178 Anexo 7C Guião da 1ª entrevista Apresentação e desenvolvimento profissional (percurso profissional e relação com aspectos do conhecimento profissional) Dados pessoais prévios à entrevista Idade, tempo de serviço, número de escolas/zonas por onde passou e há quanto tempo está na actual escola. 1. Dados biográficos/percurso escolar O dia-a-dia. Qual é o seu dia-a-dia padrão? Que outros hobbies ou actividades extra-profissionais mantém? Como ocupa os seus tempos livres? O percurso escolar (básico e secundário). Que professores deixaram alguma marca? Que relação teve/manteve com a matemática? Que temas/conteúdos eram os seus preferidos? O que menos gostou? Qual a sua relação com a Álgebra? E com a tecnologia? O percurso na formação inicial (ensino superior). Onde a realizou? Que experiências relevantes recorda? Do estágio retém alguma recordação, em particular? Qual a relação com a Matemática e com alguns temas/conteúdos em particular? Qual a sua relação com a Álgebra? E com a tecnologia? 2. Profissão Razões da escolha. Que razões a levaram a escolher ser professora? Percurso profissional. O que recorda do seu início de carreira e o que foi mudando e continua a mudar até aos dias de hoje? De que mais gosta e de que menos gosta no ensino? Uma história (positiva ou negativa) que aconteceu na profissão e que gostasse de contar? Imagem de si e dos outros. Que imagem tem de si própria como professora? O que é para si ser um bom professor de matemática? Os contextos (a escola e o grupo). Que relação mantém com os contextos? Como vê cada um deles (a dinâmica da escola e do grupo e os órgãos de gestão) e como acha que a vêem a si? 178

179 Em que actividades extra-lectivas significativas ou em que projectos de intervenção relevantes (com alunos e/ou professores) participou? Algum desses projectos teve a ver com Números e Álgebra? E com as tecnologias? Que marcas significativas lhes reconhece? Aprender a ensinar. Como acha que aprendeu (e continua a aprender) a ensinar e de que se compõe (como é constituído) esse conhecimento? Se lhe pedissem para encontrar semelhanças e diferenças entre saber matemática e saber ensinar matemática o que diria? 3. Aulas Planificação. Como prepara, normalmente, as actividades para a sala de aula? Quando tem que introduzir um assunto novo, como procede habitualmente? Em que recursos se apoia, essencialmente? Papel dos alunos e do professor. Que papel espera dos seus alunos? Como identifica indicadores de que os seus alunos estão a aprender ou a ter dificuldades? O que é, para si, ser um bom aluno de matemática? O que a faz sentir-se realizada no final da aula? O que lhe indica que uma aula foi bem sucedida? A prática. Possivelmente já lhe aconteceu planear uma coisa e acontecer outra na prática. O que acha que pode condicionar a sua prática? 4. Currículo e desenvolvimento curricular Temas preferidos. Que temas do currículo mais gosta de ensinar (Números, Geometria, Álgebra, Organização de Dados)? Por alguma razão? Dificuldades dos alunos. Que dificuldades encontrou/encontra nos seus alunos, sobre a compreensão de temas/conceitos algébricos (variáveis, expressões, equações, funções, ) e qual poderá ser a sua origem? Relação com as tecnologias. Qual a relação pessoal com as tecnologias no seu dia-a-dia e o papel que lhes reconhece na aprendizagem (motivação, introdução/exploração de conceitos, consolidação, )? Que uso, quantitativo e qualitativo (diversidade e profundidade/continuidade) tem feito das TIC no currículo? O que faz de uma tarefa, uma boa tarefa para a aprendizagem? 179

180 Novo Programa. Como encara as alterações curriculares realizadas ao longo dos anos? Como encara o novo programa de Matemática do ensino básico. Que alterações significativas positivas lhe reconhece e que críticas lhe faz? 5. Trabalho em colaboração/investigação sobre a prática Que experiência tem da sua participação em projectos de investigação? Que experiência tem da participação em projectos colaborativos? O que tem dado e o que tem recebido da sua participação nesses projectos? O que a levou a aceitar participar neste projecto e o que espera da sua participação nele? Outras questões importantes que gostaria de expressar 180

181 Anexo 7D Percurso escolar como estudante (escolaridade básica e secundária; formação inicial para professora) Dia a dia, hobbies, tempos livres Profissão Escolha, aspectos (+) e (-); 1 história Imagem de si e dos outros Projectos Aprender a ensinar Aulas Planificação Papel da professora e dos alunos Do planeado à prática 1ª Entrevista (esquema de questões) Currículo e Desenvolvimento Curricular Temas (+) e (-) Dificuldades dos alunos em Álgebra Relação com a tecnologia Uma boa tarefa? O Novo Programa Colaboração Investigação Expectativas Outras questões 181

182 Anexo 8 Aspecto parcial da página principal da disciplina Moodle 182