Relatório Técnico - Científico

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1 Jeferson Danilo 26 de Fevereiro de 2010 S D I AD UNIVER E FEDERAL DO Universidade Federal do Pará Pró-reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação Diretoria de pesquisa Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica Relatório Técnico - Científico Período: Agosto/2010 a Julho/2011 ( ) Parcial ( X ) Final IDENTIFICAÇÃO DO PROJETO Título do Projeto de Pesquisa: Efeito Casimir Dinâmico Nome do Orientador: Danilo Teixeira Alves Titulação do Orientador: Doutor Faculdade: Física Unidade: ICEN Laboratório: Física Pesquisa Título do plano de trabalho: Teoria quântica de campos em espaços com fronteiras com ênfase no efeito Casimir dinâmico Nome do Bolsista: Jeferson Danilo Lima Silva (Agosto/2010 a Janeiro/2011) - Igor Melo de Sousa (de Fevereiro/2011 a Julho/2011) Tipo de Bolsa: (X) PIBIC/CNPq ( ) PIBIC/UFPA ( ) PIBIC/INTERIOR ( ) PIBIC/FAPESPA ( ) PARD ( ) PARD - renovação ( ) Bolsistas PIBIC do edital CNPq 001/2007 1

2 Introdução Neste relatório serão descritas as atividades desenvolvidas pelo estudante Jeferson Danilo, durante os primeiros seis meses do período proposto no plano de atividades, e as atividades desenvolvidas pelo estudante Igor Melo, durante os seis meses finais. O estudante Jeferson Danilo deixou a bolsa para ingressar no curso de Mestrado em Física do Programa de Pós-Graduação em Física da UFPA. Introdução às atividades de Jeferson Danilo Jeferson Danilo estudou o comportamento de um campo escalar não massivo ao ser dispersado sobre um espelho móvel parcialmente refletor. Foram tomados como base os trabalhos de Jaekel e Reynaud [1], os quais descrevem a dispersão do campo sobre um espelho por meio de uma matriz de dispersão 1. Foram considerados os coeficientes de transmissão e de reflexão do espelho independentes da frequência do campo e foram reproduzidos alguns dos resultados de Lambrecht et al [2]. Estes resultados reproduzem o caso ideal calculado por Fulling e Davies [3] quando tomamos o limite que torna o espelho perfeitamente refletor 2. Os resultados encontrados por Fulling e Davies para a densidade de energia irradiada pelo espelho apresentam inconsistências, pois para algumas leis de movimento e para os instantes iniciais do movimento do espelho essa energia é negativa, por isso não pode ser interpretada como relacionada com a energia de partículas criadas (ver parágrafo após a equação (4.5) da Ref. [3]). Os resultados obtidos para a densidade de energia, considerando um espelho parcialmente refletor com coeficientes de transmissão e reflexão independentes da frequência (reprodução de [2]), são os mesmos encontrados por [3] a menos de uma constante multiplicativa e, portanto, não eliminam as inconsistências mencionadas. Isto ocorre porque tanto o espelho perfeitamente refletor quanto o espelho parcialmente refletor com reflexão e transmissão independentes da frequência são modelos ideais e não existem na natureza. Um espelho real se torna totalmente transparente para frequências altas, isto nos indica que o melhor modelo a ser considerado é o de um espelho com coeficientes de transmissão e reflexão dependentes da frequência, com a 1 Os elementos dessa matriz são os coeficientes de reflexão e de transmissão do espelho (as propriedades dessa matriz são encontradas em [1]). 2 Tomar o coeficiente de reflexão indo pra 1. 2

3 restrição de que o coeficiente de reflexão vá a zero quando a frequência tende a infinito. Além de descrever um objeto mais realista, este modelo ainda tem a vantagem de possuir um regularizador natural, sendo que o coeficiente de reflexão pode livrar o problema de algumas divergências. Os trabalhos de Jaekel e Reynaud em [1] utilizam esse modelo mais realista, mas consideram o espelho estático. Para o caso de um espelho móvel, foi introduzida uma simplificação no modelo utilizado por [2], mas ainda surgiram as inconsistências por se tratar de um modelo ideal. Os trabalhos de Haro e Elizalde [4] já consideram espelhos móveis realistas e apresentam resultados livres do problema de energias negativas. Estes trabalhos, juntamente com o trabalho de Barton e Calogeracos [5], foram tomados referências para os estudos subsequentes, já como pesquisa de dissertação de Mestrado. Introdução às atividades de Igor Melo Foram estudados assuntos introdutórios que dão base para o estudo do efeito Casimir Estático e Dinâmico. Tomou-se como ponto de partida os estudos dos osciladores harmônico nos casos clássico e quântico. No que tange ao oscilador quântico a resolução foi feita de duas formas diferentes, a primeira via equação de Schrödinger. O segundo método estudado foi usando operadores de criação e aniquilação. O interessante foi observar que o resultado do oscilador quântico nos fornece uma relação de energia, onde podemos observar a energia de ponto zero 3. Dando continuidade à parte introdutória, outro assunto abordado foi a quantização do campo escalar. Nesse estudo estudamos equação de Klein-Gordon e efetuarmos a quantização do campo. Foram feitos, ainda, estudos introdutórios sobre o Efeito Casimir Estático e Dinâmico. Objetivos O projeto visa permitir a aprendizagem e discussão de conceitos fundamentais relacionados com a teoria quântica de campos, em específico o Efeito Casimir (estático e dinâmico), bem como estimular a produção científica. Dentre os objetivos específicos deste projeto estão o estudo dos seguintes assuntos: 3 A energia de ponto zero obtem-se fazendo n = 0 na seguinte relação: E n = ( n+ 2) 1 hν 3

4 Estados quânticos do campo: térmicos e coerentes. Efeito Casimir estático e dinâmico, inclusive na presença de estados térmicos e coerentes. Outros efeitos relacionados com o vácuo quântico - tais como efeito Unruh -, ou ainda de outros aspectos de teoria de campos, cuja aprendizagem se torne relevante durante a execução do projeto. Materiais e Métodos Durante os três meses iniciais do período de atividade de cada bolsista, período em que as atividades da graduação são mais intensas, o estudo proposto foi feito em etapas semanais, sendo apresentadas algumas discussões informais ou seminários formais em reuniões de IC sobre o tema, com base no estudo detalhado dos artigos citados nas referências bibliográficas. Nos dois meses seguintes, o estudo das referências bibliográficas foi intensificado, em algumas semanas foram realizadas reuniões diárias e mais prolongadas onde os artigos foram estudados e discutidos detalhadamente. Este método de estudo, apesar de árduo, se mostra como uma excelente maneira de produzir um trabalho rico em detalhes. No último mês, o ritmo de trabalho tornou-se o mesmo dos meses iniciais, já que neste período são realizados os exames de seleção para programas de pós-graduação (no caso de Jeferson Danilo) e avaliações semestrais do curso de graduação. Resultados Resultados obtidos por Jeferson Danilo Trabalhos com participação do Bolsista Jeferson Silva Comunicação oral(apresentada por Jeferson Silva) intitulada Efeito Casimir Dinâmico com espelhos parcialmente refletores, em colaboração com Alessandra Braga e Danilo Alves, apresentado XXVIII Encontro de Físicos do Norte e Nordeste, Brasil (2010). 4

5 Alessandra N. Braga, Jeferson Danilo L.Silva, Danilo T. Alves, Victor Dmitriev, Marcelo N. Kawakatsu, Luciana P. Gonzalez, Frequência de ressonância de uma cavidade reentrante com uma película semicondutora, trabalho apresentado (por Alessandra Braga) em forma de pôster por Alessandra Braga no XXVIII Encontro de Físicos do Norte e Nordeste, Brasil (2010). Tópicos de Iniciação Científica Estudados Efeito Casimir Dinâmico com um espelho ideal. Foram estudados os artigos clássicos sobre Efeito Casimir [3, 8]. Também foram estudadas algumas das monografias e dissertações de membros do Grupo de Casimir - UFPA. Efeito Casimir Dinâmico com um espelho parcialmente refletor. Foram estudados os artigos [1, 2, 4, 5]. Apoio recebido para participação em cursos ligados com o tema da Iniciação Científica O bolsista recebeu auxílio para hospedagem e alimentação da Escola de Verão do IFUSP 2011, São Paulo, Desenvolvimento de Trabalho de Conclusão de Curso O bolsista desenvolveu e defendeu trabalho de conclusão de curso [9] relacionado com o tema de sua pesquisa desenvolvida no contexto do presente plano de atividades. Ingresso na Pós-Graduação O bolsista foi aprovado no exame de ingresso e foi aceito como aluno regular do Programa de Pós-Graduação em Física da UFPA. Resultados obtidos por Igor Melo Tópicos de Iniciação Científica Estudados Oscilador Harmônico Clássico 5

6 Foram estudados os métodos de resolução do oscilador harmônico clássico, sendo apresentadas diversas maneiras de resolução[4, 6, 8]. Oscilador Harmônico Quântico. Foram feitas duas abordagens sobre o oscilador quântico, uma via equação de Schrödinger e outra via operador criação e aniquilação, onde foram discutidas ambas as resoluções, assim pode-se comparar os resultados e observar que os resultados são equivalentes. Quando tratamos da resolução do oscilador via equação de Schrödinger, trabalhamos um formalismo matemático mais refinado, onde pudemos conhecer e resolver novas ferramentas matemáticas como, por exemplo, a equação de Hermite, que é algo necessário para pode chegar na relação de energia [7, 8]. No que tange à resolução via operador, vale ressaltar que foi introduzida uma nova linguagem matemática, com a qual foi possível aprender o que são operadores e quais são suas funções [9]. Quantização do Campo Escalar. Na quantização do campo escalar foi feita de forma explicita a dedução da equação de Klein-Gordon, porém é interessante ressaltar que houve uma introdução sobre a Álgebra Tensorial. Também foram revistos conceitos de operador e suas relações de comutação [10]. Efeito Casimir Estático e Dinâmico. Nos tópicos de Efeito Casimir Estático e Dinâmico, com os estudos anteriores conseguiu-se chegar ao entendimento do Efeito Casimir. O estudo foi baseado em artigos científicos que deram origem a ambos os casos. Assim No estudo teve-se contato com os conceitos de vácuo quântico e sua importância, além de partir de um caso teoricamente estático para um caso dinâmico, onde foi analisado o problema com fronteiras em movimento [1, 3]. Cálculo do Coeficiente de Bogoliubov O cálculo dos coeficiente de Bogoliubov foi o último assunto de estudo. Foi feito no contexto do Efeito Casimir Dinâmico, e verificou-se que, uma vez que as fronteiras se movimentavam, havia a alteração no estado de vácuo. O estudo do coeficiente 6

7 de Bogoliubov nos permite conhecer o quanto de partículas foram criadas após o movimento das fronteiras [11]. Atividades a serem desenvolvidas nos próximos meses Continuação do trabalho atual seguirá com aprofundamento no estudo da Teoria Quântica de Campo, com ênfase no Efeito Casimir Dinâmico. Conclusão Sobre o trabalho de Jeferson Danilo Foram realizados os objetivos propostos para o semestre. Foi adquirido um conhecimento satisfatório sobre os temas estudados dentro do período. Os assuntos estudados durante esse período resultaram em Trabalho de Conclusão de Curso [9], e resultaram também em uma comunicação oral sobre o tema (ver seção Resultados - Trabalhos com participação do Bolsista Jeferson Silva). Sobre o trabalho de Igor Melo Foram alcançados os objetivos propostos para o semestre e foi adquirido um conhecimento satisfatório sobre os temas estudados. Referências [1] M. T. Jaekel & S. Reynaud, J. Phys. I France 1, 1395 (1991); M. T. Jaekel & S. Reynaud, Quantum Opt. 4, 39 (1992); M. T. Jaekel & S. Reynaud, Diffusion sur un Miroir, Notas da Ecole Doctorale de Physique, [2] A. Lambrecht, M. T. Jaekel & S. Reynaud, Eur. Phys. J. D 3, 95 (1998). [3] S. A. Fulling & P. C.W. Davies, Proc. R. Soc. A 348, 393 (1976). 7

8 [4] J. Haro & E. Elizalde, Phys. Rev. Lett. 97, (2006); J. Haro & E. Elizalde, Phys. Rev. D 76, (2007); J. Haro & E. Elizalde, J. Phys. A: Math. Theor. 41, (2008); J. Haro & E. Elizalde, Phys. Rev. D 77, (2008). [5] G. Barton & A. Calogeracos, Annals of Physics 238, 227 (1995). [6] H.B.G. Casimir, Proc. K. Ned. Akad. Wet. 51, 793 (1948). [7] M. Bordag, U. Mohideen e V. M. Mostepanenko, Phys. Rep. 353, (2001). [8] G.T. Moore, J Math. Phys. 11, 2679 (1970); L. H. Ford e A. Vilenkin, Phys. Rev. D 25, 2569 (1982). [9] Jeferson D. L. Silva, Efeito Casimir Dinâmico com um espelho parcialmente refletor, Trabalho de Conclusão de Curso, UFPA (2010). [10] A. Das, Lectures of Quantum Field Theory, ed.world Scientific (2008) [11] V.V. Dodonov, A.B. Klimov e D.E. Nikonov, J. Math. Phys., 34, 2742 (1993). Dificuldades Durante o período não houve dificuldades significativas. 8

9 Parecer do Orientador Jeferson desenvolveu de modo excelente suas atividades de estudo e pesquisa, as quais estão servindo de base para sua pesquisa de Mestrado. Vale ressaltar ainda que ele desenvolveu e defendeu um ótimo trabalho de conclusão de curso, apresentou trabalhos em congresso, foi aceito em primeiro lugar para o curso de Mestrado em Física do Programa de Pós-Graduação em Física da UFPA. Igor Melo desenvolveu de modo excelente suas atividades de estudo, demonstrando independência na busca pelo conhecimento, busca em aprender com seus colegas mais experientes, e sendo extremamente responsável com prazos e compromissos. DATA: 09 de agosto de 2011 Danilo Teixeira Alves Igor Melo de Sousa 9