Simulação Computacional de Estruturas de Concreto por Meio da Mecânica do Dano

Transcrição

1 GUSTAVO DE ASSIS GUELLO Simulação Computacional de Estruturas de Concreto por Meio da Mecânica do Dano Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Engenharia. SÃO PAULO 2002

2

3 GUSTAVO DE ASSIS GUELLO Simulação Computacional de Estruturas de Concreto por Meio da Mecânica do Dano Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Engenharia. Área de Concentração Engenharia de Estruturas Orientador Prof. Dr. Túlio Nogueira Bittencourt SÃO PAULO 2002

4 Ficha catalográfica Guello, Gustavo de Assis Simulação Computacional de Estruturas de Concreto por Meio da Mecânica do Dano / Gustavo de Assis Guello. São Paulo, Dissertação (Mestrado) Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, Orientador: Prof. Dr. Túlio Nogueira Bittencourt 1. Mecânica do Dano. 2. Elementos Finitos I. Título

5 A Deus, ao meu pai Ariovaldo, à minha mãe Jairma, às minhas irmãs Anna Cristina, Patrícia e Camila, à Camila e à minha avó Anita.

6

7 AGRADECIMENTOS A Deus pela vida. À minha família pela paciência e compreensão. À Camila pelo amor e incentivo ao meu trabalho. Aos grandes amigos do LMC e LEM, Mara, César, Lorenzo, Cristiano, Luis Fernando, Estela, Célio, Wang, Eduardo Prado, Eduardo Campelo, Adriane, Cristian, Krishna, Carlos Henrique, Telmo, Fernanda, Helen, Wayne, Rafael, Ana, Paola, Umberto e tantos outros que sempre mantiveram o bom humor e com quem compartilhei momentos importantes da minha vida. Aos funcionários do departamento pela atenção e ajuda. À Marly que esteve sempre ao lado de todos os alunos dando conselhos nos momentos difíceis. Ao meu orientador Túlio Nogueira Bittencourt pelo apoio, incentivo e amizade nestes anos de trabalho. Ao Prof. Luiz Fernando da PUC-Rio pelos conselhos. Ao Prof. Sérgio Proença por compartilhar seus conhecimentos e mostrar sempre o melhor caminho. À FAPESP pelo apoio financeiro.

8 SUMÁRIO Primeiro Capítulo... 1 INTRODUÇÃO Introdução Justificativa e objetivos Descrição do conteúdo da dissertação... 7 Segundo Capítulo... 8 COMPORTAMENTO MECÂNICO DO CONCRETO Microestrutura Modelos constitutivos Evidências experimentais de dano no concreto Terceiro Capítulo MECÂNICA DO DANO Fundamentos da Termodinâmica de Meios Contínuos Definições Primeira Lei da Termodinâmica Segunda Lei da Termodinâmica Desigualdade de Clausius-Duhem Método do estado local Potencial termodinâmico Potenciais de dissipação Mecânica do Dano Definição da variável de dano Definição de deformação equivalente Modelo de dano de Mazars Critério de dano Lei de evolução da variável de dano Dano a duas variáveis Análise paramétrica do Modelo da Mazars Quarto Capítulo SISTEMA COMPUTACIONAL QUEBRA2D-FEMOOP Introdução QUEBRA2D Características do QUEBRA2D Simulação de fraturamento bidimensional Fadiga Modelo de Microestrutura do Concreto Modelo de interface concreto-armadura... 65

9 Pós-Processamento Modelo de Dano Gerenciador de materiais Classe de materiais FEMOOP Modelo de Dano Quinto Capítulo EXEMPLOS Exemplo de viga parede Descrição do problema Análise Resultados Exemplo de tirante de concreto armado Descrição do problema Análise Resultados Exemplo de Viga de Concreto Armado Descrição do problema Análise Resultados Exemplo de placa com entalhe Descrição do problema Análise Resultados Discussão dos resultados Sexto Capítulo CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

10 LISTA DE FIGURAS Figura Danificação Inicial do Concreto [BUSSAMRA (1993)]...2 Figura 1-2 Tela de pós-processamento do QUEBRA2D...6 Figura Modos de solicitação de uma Fissura [Shah (1995)]...10 Figura Curva tensão-deformação de ensaio de compressão uniaxial...11 Figura Curva tensão-deformação de ensaio de tração uniaxial...11 Figura 2-4 Classificação dos modelos constitutivos para concreto [ÁLVARES (1993)]...13 Figura Mapa de fissuração em diferentes níveis de deformação [VAN MIER (1985)]...16 Figura Emissão acústica registrada em ensaio com carregamentos e descarregamentos sucessivos [SPOONER et al. (1976)]...17 Figura Redução do E em ensaios com ciclos de carregamento e descarregamento...18 Figura Redução progressiva da rigidez inicial [PROENÇA (1986)]...18 Figura Emissão acústica em ensaios de tração uniaxiais [MAJI & SHAH (1988)]...20 Figura 3-1 Elemento de volume com dano...33 Figura 3-2 Deformação equivalente...35 Figura Curva σ x ε para carregamento e descarregamento...36 Figura 3-4- a-) Comportamento experimental; b-) modelo de Mazars. [ÁLVARES (1993)]...37 Figura 3-5 Prova de tração unixial: definição de ε d Figura 3-6 Superfície de ruptura [PEREGO(1989)]...40 Figura 3-7 Microfissuração a-) tração; b-) compressão Figura 3-8 Tração uniaxial a-)experimental; b-)modelo de Mazars; Compressão uniaxial c-) experimental; d-)modelo de Mazars.[ÁLVARES (1993)]...44 Figura 3-9 a-) Influência de A e β; b-) Lei constitutiva de material elastoplástico...47 Figura Curva σ x η para valores de A > Figura 3-11 Influência do parâmetro ε d Figura 3-12 Influência do parâmetro A T...51 Figura 3-13 Influência do parâmetro B T...52 Figura 3-14 Influência do parâmetro B C...52 Figura 3-15 Influência dos parâmetros A C e B C...53 Figura Quebra2D (Interface Windows)...56 Figura Resultado de análise de fraturamento...56 Figura Mtool...57 Figura Inserção de fissura através do mouse...58 Figura Inserção de fissura através do teclado...59 Figura Malha com fissura não-coesiva...59 Figura Quebra2D com fissura coesiva (Interface Unix)...59 Figura Diálogos de parâmetros da fissura...60 Figura Exemplo de propagação de fissura (fissura original)...61

11 Figura Diálogo para entrada dos parâmetros da propagação...61 Figura Primeiro passo da propagação...62 Figura Etapa intermediária da propagação...62 Figura Etapa final da propagação...63 Figura Resultado de uma análise de fadiga [CARVALHO (1998)]...63 Figura Malha Inicial...64 Figura Malha com Lattice...64 Figura Diálogo para inserção de armadura...65 Figura Viga com armadura (em azul)...66 Figura Diálogo para seleção dos materiais...68 Figura Diálogo para modificação dos parâmetros do material (Gerais)...69 Figura Diálogo para modificação dos parâmetros do material (Softening)...69 Figura Diálogo para aplicação dos materiais...69 Figura Seleção elemento a elemento...70 Figura Seleção de área...70 Figura Elementos selecionados pela área...70 Figura 4-26 Classe do Material de Dano...71 Figura Estrutura de classes de Material...72 Figura FEMOOP (Interface Unix)...73 Figura Estrutura de classes de materiais...74 Figura Estrutura de classes de modelos constitutivos...75 Figura Diagrama da solução [PEREGO (1990)]...76 Figura Geometria da Viga Parede...78 Figura Malha de Elementos Finitos...78 Figura Mapa de Dano (QUEBRA2D)...79 Figura Mapa de Dano (PROENÇA[1991])...80 Figura Curva Carga x Deslocamento...81 Figura Geometria do Tirante...82 Figura Modelo do Tirante...82 Figura Gráfico Força x Deslocamento...83 Figura Mapa de dano do exemplo de Mazars...84 Figura Mapa de dano para ε do = 7 x Figura Mapa de dano para ε do = 3 x Figura Mapa de dano para ε do = 1 x Figura Mapa de dano para ε do = 3 x Figura Mapa de dano para ε do = 5 x Figura Geometria das vigas...88 Figura Modelo das vigas...88 Figura Gráfico carga x deslocamento para viga sub armada...90

12 Figura Gráfico carga x deslocamento para viga normalmente armada...90 Figura Gráfico carga x deslocamento para viga super armada...91 Figura Geometria da placa...92 Figura Modelo da placa...92 Figura Gráfico Carga x Variação da Abertura do entalhe...94 Figura Mapa de Dano da placa para P = 12,6 kn...94 Figura Mapa de Dano da placa simulada por Mazars (MAZARS (1984))...95

13 LISTA DE SÍMBOLOS LETRAS ROMANAS a r Vetor de variáveis internas A Variável interna A T Parâmetro de dano de Mazars A C Parâmetro de dano de Mazars B T Parâmetro de dano de Mazars B C Parâmetro de dano de Mazars D Variável de Dano D T Dano à tração D C Dano à compressão D n Dano na direção n E Módulo de Young ~ E Módulo de Young equivalente F Força aplicada K Energia cinética n r Versor normal P ex Potência das forças de volume e superfície q r Calor recebido por condução Q r S s S 0 ~ S T u U Y Taxa de transferência de calor Calor gerado internamente Entropia Entropia específica Área com defeitos de um elemento Área livre de defeitos Temperatura Energia interna específica Energia interna Variável associada ao dano

14 LETRAS GREGAS σ Tensão ~ σ Tensão efetiva ε Deformação ε e Deformação elástica ε d0 Deformação de início de danificação ~ ε Deformação equivalente ρ Densidade de massa Ψ Potencial de energia livre específica λ Multiplicador de dano α C Coeficiente de combinação de dano à compressão α T Coeficiente de combinação de dano à tração ν Coeficiente de Poisson

15 RESUMO Guello, G. A. (2002). Simulação computacional de estruturas de concreto por meio da mecânica do dano. São Paulo. Dissertação (Mestrado) - Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. Neste trabalho são apresentados aspectos relativos à modelagem de estruturas de concreto por meio da Mecânica do Dano. Inicialmente são apresentadas algumas evidências experimentais que revelam uma degradação das propriedades do concreto quando submetido a carregamentos monotônicos crescentes. A seguir, o modelo de dano de Mazars é apresentado como uma forma de representar este fenômeno de perda de resistência. Este modelo foi escolhido por ser simples, uma vez que utiliza uma grandeza escalar para representar a danificação do material. O modelo foi implementado no sistema QUEBRA2D-FEMOOP. O QUEBRA2D é um programa gráfico responsável pelo pré e pósprocessamento, enquanto o FEMOOP é um pacote de elementos finitos incumbido da análise tensão-deformação. Finalmente são discutidos alguns exemplos e dificuldades na implementação do modelo de dano de Mazars. Palavras-chave: mecânica do dano, elementos finitos, computação gráfica.

16 ABSTRACT Guello, G. A. (2002). Computational simulation of concrete structures through damage mechanics. Dissertação (Mestrado) - Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. This work presents some aspects related to modeling concrete structures through damage mechanics. Initially, some experimental evidences of degradation of concrete properties when submitted to monotonic loading are presented. The Mazars s damage model is presented as a way of representing the loss of strength. It was chosen because it is a simple model that uses a scalar parameter to represent damage. The model has been implemented in QUEBRA2D-FEMOOP. QUEBRA2D is a graphics program responsible for the pre and pos processing, while FEMOOP is a finite element package for the structural analysis. Finally, some examples and problems of implementation of Mazars s damage model are discussed. Keywords: damage mechanics, finite elements, graphic computation.

17 Introdução 1 Primeiro Capítulo INTRODUÇÃO 1.1. Introdução O concreto armado é o material mais utilizado no Brasil para construção de estruturas civis e, mundialmente, uma das matériasprimas mais utilizadas. Nas últimas décadas, pesquisadores têm desenvolvido cada vez mais trabalhos no sentido de explicar o comportamento deste material. O principal objetivo destas pesquisas é encontrar um modelo mecânico-matemático que descreva o comportamento tensão-deformação do material para diferentes situações de solicitação. Devido à sua complexidade de comportamento, a formulação de um modelo constitutivo completo para o concreto torna-se algo difícil. Modelos têm sido formulados com base na teoria da

18 Introdução 2 elasticidade, da plasticidade e mais recentemente na mecânica do dano e da fratura, cada qual com suas vantagens e desvantagens. Algumas das limitações dos modelos têm sido superadas com o acoplamento das diversas teorias como elastoplasticidade, plasticidade e fratura e plasticidade e dano. O concreto, mesmo antes da aplicação de qualquer carga, já apresenta um estágio de danificação. Os diversos fenômenos químicos e físicos que podem ocorrer durante a cura do concreto, como expansão da argamassa, retração, exudação e formação de lentes de água ao redor dos agregados e outros, originam microfissuras na interface argamassa-agregado e na argamassa (Figura 1-1). Figura Danificação Inicial do Concreto [BUSSAMRA (1993)] O comportamento não-linear do concreto, que se dá mesmo em baixos níveis de tensão, é influenciado pela microfissuração inicial e pela sua propagação durante o processo de carregamento. É importante citar que a propagação das fissuras desenvolvese na fase de carregamento decorrente das diferentes

19 Introdução 3 características de resistência e rigidez entre os agregados graúdos e a argamassa. Tais diferenças aliadas ao comportamento da interface entre os elementos citados são responsáveis pela baixa resistência à tração do concreto. Um fenômeno também decorrente da evolução de microfissuras no concreto é o aparecimento de deformações permanentes. A relação entre evolução de microfissuras e deformações permanentes pode ser interpretada como uma conseqüência da heterogeneidade do material e do atrito entre as faces das fissuras, que impedem, em caso de descarregamento, um fechamento total das mesmas. Outro fenômeno característico do concreto e materiais granulares em geral é a chamada resposta unilateral ou recuperação da rigidez do material quando da inversão do carregamento. O comportamento mecânico global do concreto é diretamente influenciado por fatores tais como tipo de cimento, relação águacimento, consumo de cimento, aditivos, textura e tamanho dos agregados, índice de vazios, etc. A escolha de quais destes fatores serão considerados na definição dos modelos constitutivos definirá a aplicação e a complexidade do modelo, ou seja, modelos mais completos explicam uma gama maior de problemas mas são mais difíceis de serem calibrados e aplicados. A mecânica do dano contínuo é uma ferramenta para análise da deterioração do material em sólidos submetidos a ação de natureza mecânica ou térmica. Enquanto a mecânica da fratura lida

20 Introdução 4 com as condições de propagação de fissuras macroscópicas, a mecânica do dano contínuo estuda o efeito de microfissuras distribuídas na resposta do material. A teoria do dano descreve localmente a evolução dos fenômenos que se desenvolvem entre um estado inicial, relativo a uma situação de material íntegro, e um estado final, representado pela perda total da resistência. No caso do concreto, um material no qual a fissuração é o fenômeno dominante no comportamento não-linear, a mecânica do dano é sem dúvida capaz de formular modelos realistas. O dano não é uma grandeza física mensurável diretamente, mas no âmbito de uma modelagem matemática é possível quantificá-la através de uma redução progressiva de uma propriedade mecânica global, como por exemplo, a rigidez do material Justificativa e objetivos Como apresentado anteriormente, o comportamento do concreto armado é bastante complexo. Os modelos adotados para o dimensionamento e previsão do comportamento de estruturas de concreto são baseados na Resistência dos Materiais. Estes modelos contêm simplificações que são superadas em parte com a aplicação de fatores de segurança que reduzem a resistência do material e maximizam os carregamentos. Com o avanço da capacidade de simulação computacional, a quantidade de dados resultante do cálculo estrutural aumentou muito e a exigência da capacidade de análise do projetista também aumentou. Portanto o desenvolvimento de modelos mais complexos que forneçam uma previsão mais realista do comportamento do material

21 Introdução 5 e da estrutura passa a ser importante para ampliar os conhecimentos dos projetistas sobre os fenômenos embutidos dos coeficientes de segurança. Isto levará à concepção de estruturas mais seguras. Este trabalho está inserido nas atividades do grupo de Mecânica da Fratura e Mecânica do Dano que desenvolve uma série de modelos para previsão do comportamento do concreto dentro do Laboratório de Mecânica Computacional (LMC) da Universidade de São Paulo. Este trabalho fornece uma ferramenta para a simulação e modelagem mais precisas de estruturas de concreto, através da implementação de um modelo constitutivo que permita uma análise realista do comportamento do concreto considerando a sua microfissuração. Para isto, foi escolhido um modelo formulado através da Mecânica do Dano. O modelo de dano implementado foi o modelo de Mazars. Este modelo apresenta bons resultados na previsão de comportamento de algumas estruturas que serão discutidas no capítulo 5. A grande vantagem do modelo é sua simplicidade, pois sua calibração exige apenas ensaios simples de tração e compressão. Ele também permite o estudo de fadiga com a inserção de pequenas modificações. Este modelo foi implementado no sistema computacional QUEBRA2D-FEMOOP desenvolvido pelo LMC em conjunto com o Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica (TecGraf) do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. Neste mesmo

22 Introdução 6 ambiente também estão implementados modelos baseados na mecânica da fratura para a simulação de propagação de fissuras coesivas ou não-coesivas, além da análise de fadiga. O QUEBRA2D é um sistema que explora recursos de computação gráfica para modelagem e visualização bidimensionais de sólidos contendo fissuras arbitrárias. O programa QUEBRA2D foi utilizado como interface para o programa FEMOOP (Finite Element Method - Object Oriented Programming), também desenvolvido no LMC e TecGraf, que é o responsável pela análise estrutural com a simulação da evolução do dano. Figura 1-2 Tela de pós-processamento do QUEBRA2D O programa FEMOOP é baseado no paradigma da programação orientada para objetos, sendo desenvolvido utilizando-se a linguagem de programação C++. Um dos benefícios mais importantes da programação orientada para objetos é a extensibilidade do código, permitindo que novas implementações sejam feitas com pequeno impacto sobre o código já existente.

23 Introdução Descrição do conteúdo da dissertação A seguir está descrito, de forma resumida, o conteúdo de cada capítulo deste trabalho. No primeiro capítulo foi feita uma introdução ao comportamento do concreto armado e a importância de modelos mais realistas para prever seu comportamento. No segundo capítulo serão apresentadas algumas evidências experimentais sobre o comportamento do concreto e alguns modelos constitutivos que pretendem representar o comportamento deste material. No terceiro capítulo, serão apresentados os fundamentos da termodinâmica dos meios contínuos e o modelo de dano de Mazars que foi implementado no sistema QUEBRA2D-FEMOOP. O sistema QUEBRA2D-FEMOOP será descrito no quarto capítulo. As implementações que permitiram a simulação de estruturas por meio do modelo de Mazars também são apresentadas neste capítulo. O quinto capítulo mostra os resultados numéricos obtidos que são comparados com resultados encontrados na literatura. No último capítulo, são apresentadas as conclusões do trabalho e sugestões de continuidade da pesquisa.

24 Comportamento Mecânico do Concreto 8 Segundo Capítulo COMPORTAMENTO MECÂNICO DO CONCRETO O objetivo deste capítulo é fazer uma breve apresentação do comportamento mecânico do concreto. A discussão será feita em torno de ensaios de concreto de resistência normal, ou seja, não serão abordados aspectos de concretos de alta resistência, concreto com fibras e outros concretos especiais. Isto se justifica pelo escopo de aplicação do modelo de dano de Mazars Microestrutura O concreto é um material resultante da mistura de diversos componentes: cimento, areia (agregado miúdo), brita (agregado graúdo), água e aditivos. Após a mistura, o concreto sofre uma série de reações químicas que conferem a sua resistência. Após o endurecimento, é possível a identificação de três fases distintas: agregado graúdo, argamassa e zona de transição.

25 Comportamento Mecânico do Concreto 9 O agregado graúdo é o material inerte envolto pela argamassa. A argamassa é composta pelo agregado miúdo e por uma pasta de água e cimento. Entre o agregado graúdo e a argamassa, existe uma camada delgada com aproximadamente 10 a 50 µm de espessura chamada de zona de transição. Esta fase é menos resistente que as outras duas e, por isso, exerce grande influência na resistência do concreto. Esta fase surge durante o processo de cura quando um filme de água forma-se ao redor dos agregados (processo de exsudação), levando a uma relação água/cimento maior do que em regiões mais afastadas. Este processo gera microfissuras na zona de transição, principalmente na direção horizontal, que são chamadas de fissuras primárias. Além disto, existem poros e microfissuras distribuídas heterogeneamente pelo sólido. Para entender o processo de propagação das microfissuras, é importante definir os modos de abertura de uma fissura. O modo I é caracterizado por um esforço de tração uniaxial com a fissura se desenvolvendo num plano perpendicular ao do carregamento (Figura 2-1(a)).No modo II existe um escorregamento entre as faces da fissura provocado por um esforço cisalhante a aplicado na direção paralela ao defeito (Figura 2-1(b)). No modo III também é caracterizado pelo escorregamento entre as faces da fissura, mas o esforço cisalhante é aplicado na direção perpendicular à da fissura (Figura 2-1(c)).

26 Comportamento Mecânico do Concreto 10 Figura Modos de solicitação de uma Fissura [Shah (1995)] Durante o carregamento da peça de concreto, existe uma fase inicial onde as deformações podem ser entendidas como resultado do afastamento das macromoléculas. Nesta etapa, as fissuras primárias permanecem estáveis e as deformações são reversíveis. Na compressão uniaxial, o limite elástico localiza-se a 30% ou 40% da carga máxima. Com o crescimento do esforço (até 70% ou 80% da carga máxima), as microfissuras da zona de transição crescem segundo os modos I e II (formando um ângulo de 45 o com a direção do carregamento). Estas deformações permanentes fazem com que a curva tensão-deformação desvie de uma linha reta. Acima de 80% da carga máxima, as fissuras propagam-se para a argamassa e inicia-se um processo de localização dos defeitos e, conseqüentemente, o surgimento de fissuras macroscópicas até a ruptura total do corpo. Este comportamento pode ser visualizado na curva tensão-deformação representado na Figura 2-2.

27 Comportamento Mecânico do Concreto 11 Figura Curva tensão-deformação de ensaio de compressão uniaxial Na tração uniaxial, o comportamento do concreto é significativamente diferente. O comportamento linear pode ser observado até 80% da carga máxima. Ao atingir a tensão máxima, a curva tensão-deformação apresenta uma queda acentuada. Após o limite elástico, as microfissuras propagam-se segundo o modo I numa direção perpendicular ao carregamento. Estas fissuras se localizam rapidamente, caracterizando a queda brusca da curva tensão-deformação (Figura 2-3). Figura Curva tensão-deformação de ensaio de tração uniaxial

28 Comportamento Mecânico do Concreto Modelos constitutivos Como visto no item anterior, o concreto é um material complexo e de difícil modelagem. Diversas pesquisas têm sido realizadas nas últimas décadas com o intuito de criar modelos que representassem as peculiaridades deste material (heterogeneidade, resposta assimétrica à tração e à compressão, mudanças nas propriedades mecânicas devidas à evolução da microfissuração, etc.). Os modelos estão baseados em diversas teorias como elasticidade, plasticidade e dano, e tentam explicar alguns dos fenômenos comportamentais do concreto. Cada um deles exibe um bom desempenho dentro de uma determinada faixa de aplicabilidade. Na Figura 2-4 está apresentada uma classificação para os diversos modelos constitutivos proposta em ÁLVARES (1993). Os modelos elásticos não-lineares expressam uma relação não-linear reversível entre os estados de tensão e de deformação. Dentre eles, pode-se citar o modelo unidimensional de SAENZ (1965), os modelos isótropos de KUPFER & GERSTLE (1973) e CEDOLIN & DEI POLI (1977), o modelo ortotrópico de LIU, NILSON & SLATE (1972). O modelo hiperelástico de OTTOSEN (1979) descreve com boa exatidão as fases de endurecimento (hardening) e amolecimento (softening) em situações uniaxiais, biaxiais e triaxiais.

29 Comportamento Mecânico do Concreto 13 Figura 2-4 Classificação dos modelos constitutivos para concreto [ÁLVARES (1993)]

30 Comportamento Mecânico do Concreto 14 Os modelos hipoelásticos relacionam linearmente incrementos de tensão e incrementos de deformação. Desta forma, o modelo torna-se sensível à história do carregamento. Todos os modelos elásticos não-lineares são adequados para descrever situações onde o carregamento é proporcionalmente crescente, pois não são capazes de descrever a história do carregamento. Eles também não prevêem as deformações permanentes do material. Os modelos elastoplásticos representam bem situações de carregamento e descarregamento pois são capazes de considerar as deformações permanentes. Outros modelos buscam a previsão da evolução de fissuras macroscópicas no concreto através da Mecânica da Fratura. Modelos de fissuração coesiva (HILLERBORG (1976)) prevêem uma zona de processos anelásticos na ponta da fissura. No concreto, este fenômeno pode ser explicado pela presença dos agregados graúdos ou fibras que formam pontes entre as faces da fissura. As fissuras também podem ser tratadas como distribuídas com a definição de uma lei de amolecimento. Outra abordagem para a definição de modelos constitutivos é a observação da microestrutura. Estes modelos pretendem descrever o comportamento da pasta e do agregado e sua interação para explicar o comportamento macroscópico da estrutura.

31 Comportamento Mecânico do Concreto 15 Alguns comportamentos que são influenciados pelo tempo, como deformação lenta, também podem ser representados através de modelos viscoelásticos e viscoplásticos. A Mecânica do Dano supõe que o comportamento não-linear do concreto é resultado da microfissuração com a redução do módulo de elasticidade. O modelo de MAZARS (1984) será objetivo de estudo deste trabalho e está descrito no quarto capítulo Evidências experimentais de dano no concreto Os métodos de ensaio para o estudo da fissuração podem ser divididos em duas categorias: métodos diretos e indiretos. Os métodos diretos avaliam a fissuração visualmente através do uso de petrografia e microscópio ótico. Os métodos indiretos avaliam a fissuração pela medida de outros fenômenos que podem ser relacionados com o surgimento e propagação das fissuras, como a emissão acústica. Uma das primeiras aplicações do método direto para o estudo do efeito macroscópico da microfissuração foi desenvolvida por HSU (1963). A Figura 2-5 mostra a fissuração para vários níveis de deformação. Inicialmente existem apenas fissuras na interface pasta-agregado (Figura 2-5a). Quando o carregamento atinge 30% da carga máxima, as fissuras da interface começam a crescer e a curva tensão-deformação perde o comportamento linear. A partir de 70% da carga máxima, as fissuras propagam-se pela argamassa e começam a unir-se (Figura 2-5b). A partir de deformações de 0 3,0 00, as fissuras só continuam estáveis se o carregamento for diminuído (Figura 2-5c e d).

32 Comportamento Mecânico do Concreto 16 Figura Mapa de fissuração em diferentes níveis de deformação [VAN MIER (1985)] O método indireto por emissão acústica foi estudado por SPOONER et al. (1976) e MAJI & SHAH (1988). Nos ensaios realizados por SPOONER et al. (1976), registrou-se a emissão acústica em ensaio com ciclos de carregamento e descarregamento. A Figura 2-6 mostra os resultados obtidos. Observa-se que durante o primeiro descarregamento não houve nenhuma emissão e no recarregamento seguinte a emissão só foi registrada quando atingida a máxima deformação previamente atingida. Exceções podem ser observadas próximo ao pico e no ramo de softening.

33 Comportamento Mecânico do Concreto 17 Figura Emissão acústica registrada em ensaio com carregamentos e descarregamentos sucessivos [SPOONER et al. (1976)] A inclinação inicial das curvas de recarregamento sofre progressiva redução em correspondência com a degradação do concreto (Figura 2-7). Este fato indica uma progressão do estado de danificação do material.

34 Comportamento Mecânico do Concreto 18 Figura Redução do E em ensaios com ciclos de carregamento e descarregamento Figura Redução progressiva da rigidez inicial [PROENÇA (1986)] Já em níveis baixos de deformação, observa-se a redução do módulo de elasticidade. Mas na região pós-pico é que registra-se um aumento da taxa de redução do módulo (Figura 2-8).

35 Comportamento Mecânico do Concreto 19 No trabalho de MAJI & SHAH (1988), utilizou-se a emissão acústica para estudar a propagação de uma fissura inicial em espécimes de concreto sujeitos à tração uniaxial. Os resultados podem ser observados na Figura 2-9. Na região a frente da ponta da fissura, foram registrados pontos de emissão acústica (marcados com um x) que indicam a danificação daquela região. Com a evolução do carregamento, as microfissuras localizam-se e a fissura propaga. É interessante notar que mesmo na região anterior à ponta da fissura existem pontos de emissão. Isto demonstra que existem pontos de transmissão de carga mesmo após a definição da superfície da fissura.

36 Comportamento Mecânico do Concreto 20 Figura Emissão acústica em ensaios de tração uniaxiais [MAJI & SHAH (1988)]

37 Mecânica do Dano 21 Terceiro Capítulo MECÂNICA DO DANO Este capítulo tem o objetivo de apresentar os principais aspectos do modelo de dano de Mazars. Primeiro serão discutidos alguns aspectos da Termodinâmica dos Meios Contínuos que visa garantir que o modelo constitutivo seja fisicamente admissível. A seguir, serão apresentados os fundamentos do Modelo de Dano de Mazars Fundamentos da Termodinâmica de Meios Contínuos Definições Na Mecânica dos Meios Contínuos, uma quantidade de matéria contínua e invariante é considerada um sistema termodinâmico. Estes sistemas podem ser muito pequenos desde que seja possível definir valores médios de fluxo de calor, temperatura e gradiente de deformações.

38 Mecânica do Dano 22 Quando é possível avaliar todas as informações necessárias para a caracterização do sistema, diz-se que o estado do sistema é conhecido. Informações como temperatura, propriedades do material, estado de deformação entre outras são ditas variáveis de estado. Quando uma variável de estado pode ser expressa em função de outras, tem-se uma equação de estado. Um sistema está em equilíbrio termodinâmico quando as variáveis de estado não são alteradas com o tempo. Se existe uma mudança no tempo, o sistema sofre um processo. Alguns fenômenos como plastificação e dano tem um caráter irreversível. A Termodinâmica garante que modelos constitutivos que descrevam tais fenômenos sejam formulados de maneira fisicamente coerente. A seguir serão apresentados sucintamente os fundamentos da Termodinâmica que são utilizados para a definição de modelos de dano Primeira Lei da Termodinâmica A Primeira Lei da Termodinâmica relaciona a potência mecânica, associada às ações externas, e a taxa de calor transferidas para dentro do sistema com a mudança da sua energia total. A energia interna, por unidade de massa, compõe juntamente com a energia cinética a energia total do sistema. Considerando-se uma certa quantidade de massa que ocupa, num certo instante, o volume V limitado pela superfície S, define-se energia interna U como:

39 Mecânica do Dano 23 U = ρ u dv V Equação 3.1 onde ρ é a densidade de massa e u a energia interna específica. A energia cinética K é expressa em função do vetor velocidade do ponto material na seguinte forma: K = 1 r ρ v v r dv 2 V Equação 3.2 Seja Q a taxa de transferência de calor para o volume V. Ela está dividida em duas partes, a primeira composta pelo calor gerado internamente devido à ação de agentes externos representado pela variável r, e a segunda composta pelo calor recebido por condução através da superfície S representado pelo vetor q r : Q = V r dv S r r q n ds ρ Equação 3.3 volume. O sinal negativo significa fluxo de calor de fora para dentro do A potência mecânica associada às forças de volume f e às forças que agem na superfície S expressa através Tensor das Tensões é definida como: P ex = V r f r v dv + S ( σ r r n ) v ds Equação 3.4

40 Mecânica do Dano 24 A Primeira Lei da Termodinâmica garante a conservação de energia em um sistema e é expressa pela seguinte relação: d dt ( U K ) = P Q + Equação 3.5 ex + Podemos escrever a Equação 3.5 em função da potência das forças internas P i. Para isto utilizamos o Princípio das Potências virtuais: P P = ex i P + Equação 3.6 a Onde P a é a potência das forças de inércia definida por: P r dv r d 1 r r = ρ v dv = v v dt dt ρ dv 2 a = V V dk dt Equação 3.7 Substituindo na Equação 3.5, temos: du dt = P i + Q Equação 3.8 Ou seja, V du ρ dt dv = ( σ : D + ρ r divq ) V r dv ρ du dt = σ : D + ρ r r divq Equação 3.9 onde σ é o Tensor das Tensões, D é o tensor taxa de deformação, igual à parte simétrica do tensor gradiente de velocidade. O operador : representa o produto tensorial.

41 Mecânica do Dano 25 Para pequenos deslocamentos, ser escrita na forma: D e a Primeira Lei pode = ε& r ρ u& = σ ε& + ρ r div q Equação Segunda Lei da Termodinâmica A Segunda Lei impõe um sentido para a conversão entre trabalho e energia (Primeira Lei) através da restrição de variação positiva de uma grandeza chamada Entropia. A segunda Lei da Termodinâmica está relacionada com as variáveis de Temperatura e Entropia. A Temperatura T é representada por um campo escalar de valores positivos definidos em cada instante para todos os pontos do volume V. A Entropia representa a variação de energia associada com a variação da temperatura e pode ser definida como: Onde s é a entropia específica. S = ρ s dv Equação 3.11 V A Segunda Lei da Termodinâmica enuncia que a variação de entropia deve ser sempre maior ou igual à variação do calor produzido dividido pela temperatura: d dt V s r dv ρ T V dv - S r q v nds T ρ Equação 3.12

42 Mecânica do Dano 26 A igualdade representa os processos reversíveis, enquanto a desigualdade representa os processos irreversíveis onde ocorre a produção interna de entropia. Utilizando-se o teorema do divergente, chega-se à forma local: ρ s& ρ r T r q + div( ) 0 T Equação Desigualdade de Clausius-Duhem A primeira e a segunda lei podem ser combinadas conduzindo a uma desigualdade que deve ser observada para que um processo seja termodinamicamente admissível. Isto significa que a energia total do sistema deve ser conservada e que a conversão entre potência e energia deve respeitar o sentido que leve a uma variação positiva da entropia. Esta desigualdade também descreve a irreversibilidade de alguns processos. Da Análise Tensorial temos: r q 1 r 1 r div = divq grad T q 2 T T T Equação 3.14 E combinando as duas Leis da Termodinâmica, obtém-se a seguinte desigualdade ρ 1 T ( T s& u& ) + σ ε& grad T q 0 r Equação 3.15

43 Mecânica do Dano 27 Pode-se trabalhar com uma nova variável Ψ denominada energia livre: & = ρu ρts Ψ Equação 3.16 Derivando esta energia em relação ao tempo, tem-se: = ρ u& ρt s& ρ st& ρ( Ts& u& ) = ( Ψ& + ρ st) & Ψ Equação 3.17 Substituindo na Equação 3.15, obtém-se: σ ε& 1 ( Ψ+ & r ρ st& ) gradt q 0 T Equação 3.18 Processos nos quais a desigualdade de Clausius-Duhem é verificada a cada instante são denominados "termodinamicamente admissíveis" Método do estado local O método do estado local [GERMAIN (1973)] determina que, num certo instante, o estado termodinâmico de um sistema é completamente definido pelo conhecimento dos valores de um certo número de variáveis que dependem apenas do ponto considerado. Como as derivadas no tempo destas variáveis não estão presentes na definição do estado, qualquer evolução pode ser considerada como uma sucessão de estados em equilíbrio. As variáveis de estado podem ser divididas em dois grupos: observáveis e internas.

44 Mecânica do Dano 28 As variáveis observáveis são aquelas que podem ser diretamente medidas em ensaios. Elas, geralmente, são a temperatura e o tensor das deformações. As variáveis internas são escolhidas arbitrariamente em função dos fenômenos que são considerados no modelo Potencial termodinâmico Definidas as variáveis de estado que se julga serem relevantes ao modelo, define-se um potencial termodinâmico do qual derivam-se as leis de estado. Utilizando-se o potencial da energia livre Ψ já definido na Equação 3.16, pode-se escrever: Ψ = Ψ( ε, T, a r ) Equação 3.19 onde a r é um vetor de variáveis internas. Derivando-se a expressão acima em relação ao tempo, temse: Ψ& = Ψ Ψ r ε& + T& + Ψ r a ε T a Equação 3.20 Substituindo a Equação 3.20 na Equação 3.18: σ Ψ ε Ψ ε& + ρ s + T Ψ T& r a 1 a&r T r grad T q 0 Equação 3.21 Considerando-se um processo elástico com temperatura constante ( T & = 0) e uniforme( grad T = 0 internas, a Equação 3.21 é satisfeita se: ) e onde não haja variáveis

45 Mecânica do Dano 29 σ = Ψ ε Equação 3.22 Para um processo puramente térmico, a Equação 3.21 é satisfeita se: Ψ ρ s = T Equação 3.23 A Equação 3.22 e a Equação 3.23 mostram a associação entre as variáveis σ e s e as variáveis de estado ε e T, respectivamente. Analogamente, é possível definir uma variável termodinâmica associada ao vetor de variáveis internas: A = Ψ a k Equação 3.24 Substituindo a Equação 3.22, a Equação 3.23 e a Equação 3.24 na Equação 3.21: 1 r A a grad T q 0 T &r Equação 3.25 A Equação 3.25 representa a soma da dissipação associada à evolução das variáveis internas e da dissipação de calor Potenciais de dissipação O potencial termodinâmico descreve a relação entre variáveis de estado e suas variáveis associadas. Para completar o modelo constitutivo, é necessária a definição das leis de evolução das variáveis internas. Isto é conseguido através do potencial de dissipação.

46 Mecânica do Dano 30 Definem-se as leis complementares de evolução das variáveis internas a partir de um potencial de dissipação Φ, de modo que: Φ a = A &r Equação 3.26 r Equação 3.27 q = T Φ ( grad T) Valendo a lei da normalidade e associando-se o potencial de dissipação com a função F que representa, por exemplo, o critério de danificação, a lei evolutiva de dano assume a seguinte forma: & = & F D λ Y λ& = 0 se F < 0 ou F = 0 e F& < 0 com λ& > 0 se F = 0 e F& = 0 Equação 3.28 onde λ é um multiplicador de dano e Y é a variável associada a variável D Mecânica do Dano O comportamento físico não-linear de sólidos é uma manifestação de mudanças irreversíveis na sua microestrutura. No concreto, estas mudanças estão predominantemente ligadas ao desenvolvimento de microfissuras. Este processo tem início já durante a cura do concreto e evolui até a localização das microfissuras e formação de um defeito macroscópico. Como essa fissuração ocorre de forma distribuída, a mecânica do dano é capaz de formular modelos muito realistas para o concreto. Segundo JASON & HULT, a mecânica do Dano difere-se da Mecânica da Fratura nos seguinte aspecto:

47 Mecânica do Dano 31 Na Mecânica do Dano, a resistência de uma estrutura carregada é determinada em função da evolução de um campo de defeitos continuamente distribuídos; Na Mecânica da Fratura, a resistência de uma estrutura carregada é determinada em função de evolução de um defeito particular. O meio em volta da fissura é assumido com intacto. O dano não é uma grandeza física diretamente mensurável. Ela pode ser determinada através da redução progressiva de uma propriedade mecânica, como, por exemplo, o módulo de elasticidade. Com o intuito de estudar a ruptura associada à deformação lenta em metais, KACHANOV & RABOTNOV introduziram em 1958 as primeiras idéias sobre danificação de meios contínuos. A partir de então, vários outros estudos sobre a mecânica do dano têm sido realizados BROBERG (1974), LEMAITRE & CHABOCHE (1978), PAPA (1990). A terminologia Mecânica do Dano Contínuo ( Continuum Damage Mechanics ) por JASON & HULT designar modelos da Mecânica do Contínuo que tratam das respostas de materiais considerando o processo de danificação. Em 1985, LEMAITRE & CHABOCHE formularam as bases teóricas baseadas na Termodinâmica dos Processos Irreversíveis. Dentre os modelos de dano existentes, destacam-se KACHANOV (1984) e MURAKAMI (1981) modelando a deterioração lenta do material, LEMAITRE (1984), MARIGO (1985),

48 Mecânica do Dano 32 LEMAITRE e CHABOCHE (1984) e LEMAITRE (1984) na interação dano-fadiga, SIMO & JU (1987), TAI (1990) e HAN &MOU (1993) sobre dano em materiais dúcteis, MAZARS (1984) sobre dano em estruturas de concreto armado e LA BORDERIE, PIJAUDIER- CABOT & MAZARS (1991) em dano em estruturas de concreto armado e concreto com fibras sujeitas a carregamento cíclico e FLOREZ-LÓPEZ (1993) tratando do dano em pórticos de concreto armado. Estes modelos de dano podem ser classificados como escalares ou isotrópicos e anisotrópicos, segundo a natureza da variável de dano usada. Os modelos escalares são conceitualmente simples e tem a vantagem de um número reduzido de parâmetros a identificar. Por outro lado, eles podem ter sua aplicação restrita a algumas situações. Os modelos anisotrópicos onde a variável de dano é uma grandeza tensorial apresentam uma gama de aplicação maior, porém com uma enorme complexidade de identificação dos parâmetros do modelo. O modelo de Mazars, que é objeto de estudo deste trabalho, é um modelo escalar indicado para o estudo de estruturas de concreto submetidas a carregamentos proporcionais ou cíclicos Definição da variável de dano Considere-se um sólido com dano do qual é retirado um elemento de volume representativo. Entenda-se representativo um elemento com dimensões suficientemente grandes para considerar a distribuição de microdefeitos contínua e suficientemente pequeno para ser considerado como um ponto material do contínuo.

49 Mecânica do Dano 33 Seja S a área de uma das faces do elemento, definida por um versor n r (Figura 3-1). Considere S ~ como sendo a área que efetivamente resiste aos esforços. A diferença: S ~ = S S Equação define a área de defeitos. Figura 3-1 Elemento de volume com dano A medida local de dano é definida segundo LEMAITRE & CHABOCHE (1985) como sendo: D n = lim S 0 S S 0 Equação 3.30 A variável de dano assume valores no intervalo de 0 < D n < 1, sendo que D n = 0 representa o material íntegro e D n = 1 indica um estado de total deterioração. O dano isotrópico corresponde a uma situação onde a variável de dano é uniforme em qualquer direção n r, ou seja, apenas uma variável escalar representa o dano em um ponto material.

50 Mecânica do Dano 34 D = D n r Equação 3.31 n Definição de deformação equivalente Considerando-se apenas a área da seção livre de dano como responsável por equilibrar os esforços, define-se tensão efetiva para um caso unidimensional como sendo: ~ σ = F ~ S Equação 3.32 onde F é a força aplicada na seção do elemento representativo e S ~ é a área efetiva. A área efetiva pode ser escrita em função da variável D através da seguinte relação: ~ S = S S = S(1 ) Equação D Substituindo-se a Equação 3.33 na Equação 3.32, temos: ~ σ σ = 1 D Equação 3.34 danificado. Obviamente, σ~ σ e, em particular: σ ~ = σ para material íntegro; σ ~ para material aproximando-se do seu estado totalmente No caso tridimensional de dano isótropo, o operador (1-D) se aplica a todas as componentes do tensor das tensões e, portanto:

51 Mecânica do Dano 35 ~ σ σ = (1 D) Equação 3.35 LEMAITRE & CHABOCHE (1985) apresentaram a hipótese de deformação equivalente a fim de obter um modelo coerente com a hipótese do meio contínuo: O estado de deformação, unidimensional ou tridimensional, de um material com dano é obtido da lei do comportamento do material íntegro onde a tensão normal é substituída pela tensão efetiva. (Figura 3-2) Figura 3-2 Deformação equivalente Considerando um material elástico linear, pode-se escrever a seguinte relação tensão-deformação: ε e σ~ = E Equação 3.36 Substituindo-se a definição da tensão efetiva (Equação 3.34), temos:

52 Mecânica do Dano 36 ε e σ = ( 1 D) E Equação 3.37 A partir da relação anterior pode-se definir um módulo de Young para um meio contínuo com resposta equivalente ao meio deteriorado: ~ E = (1 D) E Equação 3.38 A relação anterior fornece uma maneira indireta de determinar-se a variável de dano para materiais elásticos a partir de medidas do módulo de elasticidade para um ensaio com ciclos de carregamento e descarregamento (Figura 3-3). Figura Curva σ x ε para carregamento e descarregamento Modelo de dano de Mazars O modelo proposto por MAZARS (1984) baseia-se em algumas evidências experimentais observadas em ensaios uniaxiais de corpo de prova em concreto. Para tanto, foram formuladas algumas hipóteses básicas para a formulação do modelo:

53 Mecânica do Dano 37 Concreto comporta-se como meio elástico danificável, sendo desprezadas deformações permanentes evidenciadas em ensaios com descarregamento (Figura 3-4); Figura 3-4- a-) Comportamento experimental; b-) modelo de Mazars. [ÁLVARES (1993)] Dano é causado apenas por extensões (alongamentos), ao menos um deles numa das direções principais. Isto implica que a ruptura desenvolve-se no modo I ou no modo misto I + II; Considera-se o dano isótropo, apesar de evidências experimentais mostrarem que o dano leva a uma anisotopia. Isto não impede que seja considerada a assimetria de comportamento na tração e na compressão; Dano é representado por uma variável escalar D (0 < D < 1), cuja evolução ocorre somente quando for superado um valor limite para o alongamento equivalente.

54 Mecânica do Dano 38 As hipóteses básicas evidenciam o comportamento microestrutural do concreto, onde a degradação do material ocorre pela microfissuração distribuída causada por tensões de tração. Isto exige a definição de um alongamento equivalente que representa o estado local de extensão: ε ~ = < ε > ε ε < 2 > + + < 3 > + Equação 3.39 onde <ε i > + é a parte positiva do alongamento na direção i e é definido como: < ε > + = i 1 2 [ ε + ε ] i i ε i, se ε i > 0 = 0, se ε i 0 Equação Critério de dano No modelo de Mazars, admite-se que quando a deformação equivalente atinge um determinado valor limite inicia-se a evolução do dano. Este critério pode ser escrito como uma função f na seguinte forma: f ( ε ~, D) = ε ~ S( D) 0 Equação 3.41 com S(0) = ε d0 onde D representa a variável de dano, ε d0 corresponde à deformação máxima em ensaios de tração uniaxial (Figura 3-5) e S(D) é uma função que liga a deformação de início de danificação e a variável de dano.

55 Mecânica do Dano 39 Figura 3-5 Prova de tração unixial: definição de ε d0 A forma da fronteira inicial f no espaço das tensões principais é mostrado na Figura 3-6. Também estão representados os resultados elástico experimental obtidos por KUPFER (1969) e uma superfície dita corrigida obtida multiplicando-se ε ~ por um coeficiente γ < 1. Esta correção foi proposta para diminuir as diferenças entre o resultado do modelo e a curva experimental na região de compressão biaxial. Neste trabalho será usada a curva inicial. Quando f = 0, a expressão de S(D) pode ser escrita como: S = ε ~ ε ε ε ( D) = < 1 > + + < 2 > + + < 3 > + Equação 3.42 Esta representação define uma superfície esférica de raio S(D) no espaço das deformações principais. Isto garante a mesma importância para os três componentes da deformação.

56 Mecânica do Dano 40 Figura 3-6 Superfície de ruptura [PEREGO(1989)] Lei de evolução da variável de dano Admitindo-se a continuidade dos fenômenos no tempo, a lei de evolução da variável de dano que atende os princípios da termodinâmica (LEMAITRE & CHABOCHE (1985)) é definida como: 0 se f < 0 ou f = 0 e f& < 0 D& = ~ F( ε ) < ε ~ & > + se f = 0 e f& = 0 Equação 3.43 onde F(ε ~ ) é uma função contínua e positiva da deformação equivalente ε ~ de modo que D & 0 para qualquer ε ~ &. Isto garante que a variável de dano cresce continuamente, o que representa o comportamento físico observado. A função F(ε ~ ) deve ser capaz de reproduzir o comportamento experimental do material observado em ensaios uni, bi e triaxiais.

57 Mecânica do Dano 41 No caso particular de uma prova uniaxial e supondo carregamento monotônico crescente é possível obter de forma explícita o valor de D para uma determinada deformação ε: ε D ( ε) = F( ε 1) dε 0 1 Equação Dano a duas variáveis Para representar o comportamento não simétrico do concreto na tração e na compressão, é necessário definir-se duas leis de evolução de dano diferentes para cada situação. Na tração, as microfissuras desenvolvem-se na direção perpendicular à direção de aplicação do carregamento. Na compressão, a microfissuração desenvolve-se paralelamente ao carregamento (Figura 3-7). Figura 3-7 Microfissuração a-) tração; b-) compressão.

58 Mecânica do Dano 42 Mazars define duas variáveis de dano distintas, D T e D C representando, respectivamente, o dano na tração e o dano na compressão. Existem também duas leis de evolução distintas: D & = ( ε ~ ) < ε ~ & (tração) Equação 3.45 T F T > + D & = ε ~ ) < ε ~ & C F C ( > + (compressão) Equação 3.46 Para situações complexas onde estão presentes esforços de tração e compressão simultaneamente, a variável de dano pode ser dfinida como uma combinação linear de D T e D C : D = α D + α D Equação 3.47 T T C C Os valores de α T e α C assumem valores entre 0 e 1 e devem satisfazer as seguintes condições: Para tração pura: Para compressão pura: α T = 1, α C = 0 D = D T α T = 0, α C = 1 D = D C No caso geral: α T + α C = 1 Os valores dos coeficientes de combinação são obtidos através das seguintes expressões: α T = < ε > i Ti + ε + V Equação 3.48 α C = < ε > i Ci + ε + V Equação 3.49

59 Mecânica do Dano 43 onde ε T e i Ci ε são as componentes de deformação determinadas pela pelas partes positiva e negativa, respectivamente, do vetor de tensões principais σ * associado a ε pela relação elástica isótropa: σ * = D 0 ε Equação 3.50 Portanto: ε + ν ν = < σ > < σ i i E E 1 Equação 3.51 T + > + I ε C + ν ν = < σ > < σ i i E E 1 Equação 3.52 > I onde <σ > + é a parte positiva e <σ > a parte negativa do vetor de tensões * σ : < i > + ( σ σ ) σ = i Equação 3.53 i σ < i > = 1 Equação ( σ σ ) i i + V Finalmente, define-se: = < ε T > + + < ε C > i i + ε Equação 3.55 i i Neste trabalho serão estudados casos de carregamento monotônicos crescentes. Isto permite expressar as variáveis de dano na sua forma integral (Equação 3.44).

60 Mecânica do Dano 44 A partir de observações experimentais, Mazars propôs as seguintes expressões para as variáveis de dano: D T ~ ε ( ε ) = 1 d 0 (1 A ε ~ T ) exp[ B T AT ( ε ~ ε d 0 )] Equação 3.56 D C ~ ε ( ε ) = 1 d 0 (1 A ε ~ C ) exp[ B C AT ( ε ~ ε d 0 )] Equação 3.57 onde A T, B T, A C, B C, ε d0 são parâmetros característicos do material a serem determinados através de ensaios. O método de obtenção experimental dos parâmetros pode ser encontrado em ÁLVARES (1993). A Figura 3-8 permite a comparação entre as curvas experimentais e as curvas fornecidas pelo modelo após a prévia calibração dos parâmetros citados. Figura 3-8 Tração uniaxial a-)experimental; b-)modelo de Mazars; Compressão uniaxial c-)experimental; d-)modelo de Mazars.[ÁLVARES (1993)]

61 Mecânica do Dano Análise paramétrica do Modelo da Mazars Os parâmetros A T, B T, A C, B C, ε d0 permitem ajustar o modelo para representar adequadamente o comportamento do concreto. A seguir será discutida a influência de cada um dos parâmetros na resposta do modelo. No caso de um ensaio uniaxial, pode-se escrever a lei constitutiva do material danificável como: σ ε ~, ε) = E (1 D ( ε ~ )) ε ( 0 H D ( ε ~ ) = 0 se ε ~ ε Equação 3.58 H d0 ( ~ ) 0 se ~ DH ε ε > ε do e D H ~ ε ( ε ) = 1 d 0 (1 A ε ~ H ) exp[ B H AH ( ε ~ ε d 0 )] Equação 3.59 onde: H = T e ε= ~ ε no caso de tração H = C e ε ~ = ν 2ε no caso de compressão Substituindo as definições acima na Equação 3.58 pode-se expressar σ em função de ε : σ ( ε) = E0 (1 D( ε)) ε D( ε ) = 0 se ε ε Equação H D( ε ) 0 se ε > ε 0H onde: ε = ε 0 = ε 0 se tração 0H T d ε d 0 ε 0H = ε 0C = se compressão ( ν 2)

62 Mecânica do Dano 46 Pode-se reescrever a Equação 3.60 numa forma adimensional dividindo-a pelo esforço σ 0 correspondente ao início da danificação: ρ H = ( 1 D( ε)) η H Equação 3.61 onde ε ε η H =, oh σ H, σ E H σ 0 = 0 ε 0 0 ρ = Substituindo-se a Equação 3.59 na Equação 3.61, temos a lei constitutiva na forma adimensional: ρ H ( η) = η 1 A + β e para η 1 Aη para η > 1 ( 1) η Equação 3.62 onde : β = β H = B H ε 0H A relação tensão-deformação na forma adimensional apresenta uma expressão para a região elástica (η < 1) e outra para a região não-linear que é influenciada pelos parâmetros A H, B H e ε 0H. Para avaliar esta influência, calculam-se as seguintes quantidades: ς = dρ dη = A(1 βη) e β ( η 1) dρ Equação 3.63 = 0 1 βη = 0 dη 2 d ρ 2 dη = Aβ ( βη 2) e β ( η 1) 2 d ρ 2 dη βη 2 = 0 = 0 A = 0 B = 0 Equação 3.64

63 Mecânica do Dano 47 lim ρ( η) = 1 A η Equação 3.65 No ponto onde se inicia o dano, a inclinação da curva vale: dρ dη + η= 1 = ς = A( 1 β ) = A(1 B H ε 0 H ) Equação 3.66 Portanto: dρ dη η = ς > 0 = = 0 < 0 se β < 1 se β = 1 = + se 1 1 β > As expressões acima evidenciam a influência dos parâmetros A e β na inclinação inicial do trecho não-linear. De fato, os valores mais elevados de A amplificam a inclinação da curva e o parâmetro β além de interferir na magnitude da inclinação, também determina o valor da mesma (Figura 3-9a). Figura 3-9 a-) Influência de A e β; b-) Lei constitutiva de material elastoplástico

64 Mecânica do Dano 48 Para A = 0, temos: ρ ( η) = 1 η 1 ou seja, um comportamento similar a um material elastoplástico perfeito sem deformação residual (Figura 3-9b). Observando a Equação 3.65, conclui-se que o valor de A determinam um assíntota horizontal. Quando A > 1, esta assíntota assume valores negativos, o que não tem nenhum significado físico. Portanto devem ser utilizados valores para A < 1. Existem casos em que a calibração do modelo leva a adotar valores de A > 1. Nestes casos, deve existir a restrição ρ(η) = 0 para qualquer η > η * (Figura 3-10). Figura Curva σ x η para valores de A > 1

65 Mecânica do Dano 49 Pode-se dividir o estudo paramétrico em dois casos: a) A inclinação inicial do trecho não-linear é negativa. Então: β > 1 e 1 B ε do O máximo da curva tensão-deformação é alcançado para η =1 (ε = ε 0H ) e vale: ρ = 1 Equação 3.67 max Para valores de η maiores do que 1, a curva é sempre descendente com a concavidade voltada para cima e tende a uma assíntota horizontal ρ = 1-A. Os ensaios mostram que esta é a forma da curva tensãodeformação para ensaios de tração uniaxial. b) A inclinação inicial do trecho não-linear é positiva Então: β < 1 e B ε 1 do O máximo da curva é atingido em 1 η = e vale: β ρ max = A 1 (1 β β e ) Equação 3.68

66 Mecânica do Dano 50 Neste caso, a curva apresenta um ponto de inflexão em e tende a uma assíntota ρ = 1-A. η = 2 β As hipóteses acima são evidenciadas em ensaios de compressão uniaxial. Com base nas análises anteriores, Mazars (1984) propõe os seguintes valores para os parâmetros do seu modelo: 1,0 < A C < 1, < B C < 2x10 3 0,7 < A T < 1, < B T < < ε d0 < 10-4 As figuras 3-11, 3-12 e 3-13 mostram a influência dos parâmetros em ensaios de tração uniaxial. Na Figura 3-11, observase que o valor de ε d0 altera o início do trecho não-linear, sua inclinação e o valor da assíntota horizontal. O parâmetro A T tem influência na inclinação inicial e no valor da assíntota horizontal (Figura 3-12). Na Figura 3-13, mostram-se as alterações do sinal e amplitude da inclinação do trecho não-linear e do valor de pico do diagrama provocadas pelo valor de B T. A Figura 3-14, mostra a influência de B C para o caso de compressão uniaxial. Ele tem efeito análogo ao parâmetro A T para o caso de tração uniaxial (Figura 3-12).

67 Mecânica do Dano 51 Na Figura 3-15, mostram-se várias curvas para valores distintos de A C e B C. Figura 3-11 Influência do parâmetro ε d0 Figura 3-12 Influência do parâmetro A T

68 Mecânica do Dano 52 Figura 3-13 Influência do parâmetro B T Figura 3-14 Influência do parâmetro B C

69 Mecânica do Dano 53 Figura 3-15 Influência dos parâmetros A C e B C

70 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop 54 Quarto Capítulo SISTEMA COMPUTACIONAL QUEBRA2D-FEMOOP 4.1. Introdução A modelagem de estruturas por meio de elementos finitos pode ser dividida em três etapas principais: Pré-processamento: geração da malha de elementos finitos, especificação de propriedades de materiais, propriedades geométricas dos elementos (espessura, área, momentos de inércia, etc.), inclusão de carregamento e condições de contorno, escolha do tipo de análise, etc. Processamento: solução do sistema de equações do problema de elementos finitos, fornecendo como resultados deslocamentos, reações de apoio, tensões, etc.

71 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop 55 Pós-processamento: manipulação dos resultados obtidos da etapa de processamento. O pós-processamento pode simplesmente mostrar numericamente ou graficamente os resultados da análise, assim como pode também conter rotinas que permitam a manipulação destes resultados para gerar uma nova análise ou obter outros resultados calculados a partir dos que foram fornecidos pelo processamento. O sistema computacional QUEBRA2D-FEMOOP consiste no acoplamento de dois programas, o QUEBRA2D e o FEMOOP, englobando todas estas etapas de modelagem. As etapas de pré e pós-processamento são executadas pelo QUEBRA2D, que utiliza uma interface gráfica bastante amigável e versátil para o gerenciamento de entrada e saída de dados, assim como o controle de processos de evolutivos como fraturamento, dano, fadiga e outros. O programa FEMOOP é responsável pela etapa de processamento. Neste sistema computacional o FEMOOP utiliza somente análises bidimensionais, embora também seja capaz de resolver problemas tridimensionais. Este sistema está sendo desenvolvido pelo Laboratório de Mecânica Computacional (LMC) da Universidade de São Paulo e pelo Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica (TeCGraf) e Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio QUEBRA2D O QUEBRA2D teve sua origem na necessidade de um sistema que permitisse a simulação de processos bidimensionais de fraturamento estrutural utilizando o método dos elementos

72 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop 56 finitos. Atualmente, além da simulação de processos de fraturamento, o sistema permite a análise de fatiga, de fraturamento coesivo e de dano e a simulação da microestrutura do concreto. Figura Quebra2D (Interface Windows) Figura Resultado de análise de fraturamento O QUEBRA2D possui uma interface gráfica de forma a facilitar a manipulação dos dados de entrada e a análise das informações provenientes da análise. Ele foi implementado em linguagem C, utilizando o sistema de

73 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop 57 interface IUP/LUA (TECGRAF (1995)) e o sistema gráfico CD (TECGRAF (1997)). Isto permite a portabilidade do código para várias plataformas como estações de trabalho baseadas no sistema operacional UNIX, e PCs com sistemas operacionais Windows e Linux. Atualmente a definição da geometria e geração da malha é feita em um programa auxiliar chamado Mtool (Figura 4-3). A partir do Mtool é exportado um arquivo em formato especial, chamado de arquivo neutro, especificado em TECGRAF (1992), e dois arquivos que possuem a descrição das condições de contorno e atributos da região (CAVALCANTE (1992)) que são importado pelo QUEBRA2D. Este arquivo neutro foi desenvolvido no TecGraf e é o padrão utilizado para troca de informações entre os diversos sistemas de análise estruturas desenvolvidos no TecGraf e LMC. Figura Mtool A seguir serão apresentadas resumidamente as principais características do QUEBRA2D, como a simulação de propagação de fissuras coesivas ou não-coesivas, análise de fadiga, simulação

74 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop 58 de estruturas de concreto armado e de microestrutura. Estas características estão descritas em detalhes em outros trabalhos Características do QUEBRA2D Simulação de fraturamento bidimensional O QUEBRA2D permite a simulação de dois tipos de fraturamento: não-coesivo e coesivo. A descrição do fraturamento coesivo pode ser encontrada em BUENO (1998). A inserção de fissuras no modelo pode ser feita através do mouse (Figura 4-4) ou da definição de suas coordenadas (Figura 4-5). Figura Inserção de fissura através do mouse

75 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop 59 Figura Inserção de fissura através do teclado Figura Malha com fissura não-coesiva Figura Quebra2D com fissura coesiva (Interface Unix)

76 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop 60 A Figura 4-8 mostra os diálogos para definição das propriedades da fissura como comportamento (coesiva ou nãocoesiva), número de elementos na face da fissura, carregamento na face da fissura, e no caso de fissuras coesivas, o modelo de amolecimento dos elementos de interface. Figura Diálogos de parâmetros da fissura O QUEBRA2D também é capaz de simular a propagação de uma fissura não-coesiva. As figuras a seguir mostram algumas etapas da propagação da fissura.

77 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop 61 Figura Exemplo de propagação de fissura (fissura original) Figura Diálogo para entrada dos parâmetros da propagação

78 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop 62 Figura Primeiro passo da propagação Figura Etapa intermediária da propagação

79 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop 63 Figura Etapa final da propagação Fadiga A propagação da fissura também pode ser feita levando-se em conta o processo de fadiga causado por carregamentos cíclicos. A Figura 4-14 mostra o resultado de uma análise de fadiga realizada por CARVALHO (1998). Figura Resultado de uma análise de fadiga [CARVALHO (1998)]

80 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop Modelo de Microestrutura do Concreto Outro trabalho desenvolvido no LMC prevê a incorporação de um modelo de simulação da microestrutura do concreto. Neste modelo, uma região da malha é substituída por elementos de barra que possuem materiais com propriedades aleatórias. Criada esta malha de barras, o sistema faz uma análise evolutiva onde as barras são eliminadas a medida que a tensão ultrapassa a tensão de ruptura. Figura Malha Inicial Figura Malha com Lattice

81 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop Modelo de interface concreto-armadura O sistema permite a inserção de armaduras de concreto. Atualmente a armadura é considerada perfeitamente aderida ao concreto, mas novos modelos de interface estão sendo implementados. A Figura 4-17 mostra o diálogo para inserção de barras de aço. Neste diálogo podem ser definidos o material associado à barra e os pontos inicial e final. Figura Diálogo para inserção de armadura

82 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop 66 Figura Viga com armadura (em azul) Pós-Processamento Segundo CARVALHO (1998) as principais funções de pósprocessamento são: Consulta dos atributos de um nó e de um elemento; Obtenção das isofaixas ou isolinhas de resultados escalares nos nós e em pontos de Gauss; Disponibilidade do cálculo do fator de intensidade de tensões por três métodos: Técnica de Correlações dos Deslocamentos Método de Fechamento da trinca Modificado Método da Integral de Domínio Equivalente

83 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop 67 Disponibilidade do cálculo da direção de propagação da trinca pelas seguintes teorias: Máxima Tensão Circunferencial (σ θmáx ) Máxima Taxa de Liberação de Energia Potencial (G θmáx ) Mínima Densidade de Energia de Deformação (S θmin ) Visualização de barras (vetores) para a visualização de resultados vetoriais; Visualização de configuração deformada do modelo; Gráficos com a história dos resultados ao longo dos passos, para uma análise dinâmica ou não-linear; Gráficos ao longo de elementos de interface; Gráficos de resultados escalares ao longo de uma linha de corte no modelo; Gráficos para análise de problemas de fadiga, com possibilidade de escolha de vários modelos de previsão da vida útil da estrutura. Resultado de integral de curva gerada nos gráficos; Especificação de zoom, distorção e translação; Visualização dos atributos dos nós e dos elementos; Visualização da animação do modelo ao longo de diversos passos;

84 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop Modelo de Dano O objetivo deste trabalho foi o de implementar de um modelo de análise baseado no Modelo de Mazars apresentado em capítulo anterior. Para permitir esta implementação, foi preciso criar um gerenciador de materiais e criar classes para representar os materiais Gerenciador de materiais Foram criados diálogos para a permitir a criação e modificação de materiais no modelo (Figura 4-19, Figura 4-20 e Figura 4-21 Figura Diálogo para seleção dos materiais

85 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop 69 Figura Diálogo para modificação dos parâmetros do material (Gerais) Figura Diálogo para modificação dos parâmetros do material (Softening) Os materiais podem ser aplicados a todos os elementos ou a elementos selecionados (Figura 4-22). A seleção pode ser feita elemento a elemento (Figura 4-23) ou definindo-se uma região (Figura 4-24 e Figura 4-25). Figura Diálogo para aplicação dos materiais

86 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop 70 Figura Seleção elemento a elemento Figura Seleção de área Figura Elementos selecionados pela área

87 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop Classe de materiais No QUEBRA2D foram implementadas classes para representar os diversos materiais como elástico, plástico e dano. A Figura 4-26 apresenta a classe criada para representar o material do modelo de Mazars e a Figura 4-27 mostra a estrutura global das classes de material. Figura 4-26 Classe do Material de Dano

88 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop 72 Figura Estrutura de classes de Material

89 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop FEMOOP O programa FEMOOP ( Finite Element Method Object Oriented Programming ) é desenvolvido em linguagem C++, utilizando os conceitos de programação orientada para objetos. Um dos benefícios mais importantes da programação orientada para objetos é a extensibilidade do código, permitindo que novas implementações sejam feitas com pequeno impacto sobre o código já existente. O FEMOOP é um programa para análise estrutural baseado no método dos elementos finitos. Ele é capaz de realizar análises bidimensionais e tridimensionais, resolver problemas lineares e não-lineares, além de análises estáticas e dinâmicas. Ele não possui interface gráfica e a entrada e saída de dados é feita por meio de arquivos tipo ASCII, em formato neutro (TECGRAF (1992)). Figura FEMOOP (Interface Unix)

90 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop Modelo de Dano No Femoop foram implementadas duas novas classes. A primeira foi derivada da classe de materiais e descreve os parâmetros do modelo de Mazars (E, ν, A T, B T, A C, B C, ε d0 ). Figura Estrutura de classes de materiais

91 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop 75 A outra classe foi derivada da classe de modelos constitutivos que descreve o comportamento do modelo. Esta classe contem as funções para cálculo da variável de Dano e para modificação da matriz de rigidez. Figura Estrutura de classes de modelos constitutivos A análise não linear foi feita utilizando-se o método de Newton-Raphson como mostrado no diagrama abaixo.

92 Sistema Computacional Quebra2D-Femoop 76 Figura Diagrama da solução [PEREGO (1990)]

93 Exemplos 77 Quinto Capítulo EXEMPLOS Neste capítulo são apresentados alguns exemplos da aplicação do modelo de Dano. Através destes exemplos, serão apresentadas as diversas aplicações do modelo, bem como suas restrições Exemplo de viga parede Descrição do problema O problema consiste em uma viga parede de 2,7 m de comprimento por 0,5 m de altura e 0,2 m de espessura (Figura 5-1). A viga não possuía nenhum tipo de armadura. A viga foi submetida a um carregamento concentrado simétrico aplicado a 0,225 m do eixo de simetria. Este exemplo foi apresentado por PROENÇA (1991).

94 Exemplos 78 Figura Geometria da Viga Parede Análise A análise da viga parede através do modelo de Dano de Mazars foi feita com o uso do método dos elementos finitos. Para a discretização foram utilizados elementos quadráticos de 8 nós com 4 pontos de Gauss. Foi utilizada uma malha de 24 por 5 elementos para modelar a viga (Figura 5-2). Figura Malha de Elementos Finitos Os parâmetros de material utilizado na análise foram: Concreto E = kn/m 2 ν = 0,2 A T = 0,7 B T = 8000 A C = 1,13 B C = 1250

95 Exemplos Resultados A análise foi feita com controle de carga utilizando-se os seguintes parâmetros: Controle de Carga Erro = 1 x 10-2 Número de passos = 33 Passo = 2 kn Máximo número de interações = 200 O mapa de dano resultante da análise do problema no QUEBRA2D para uma carga de 52 kn é mostrado na Figura 5-3. Figura Mapa de Dano (QUEBRA2D)

96 Exemplos 80 O mapa de dano para uma carga de 51,75 kn apresentado em PROENÇA[1991] é mostrado na figura abaixo. Figura Mapa de Dano (PROENÇA[1991])

97 Exemplos 81 Como se pode observar nas figuras acima, a distribuição de dano obtida no QUEBRA2D e por PROENÇA são semelhantes. Este exemplo foi importante na validação da implementação numérica do modelo de Mazars. A seguir é apresentado o gráfico carga por deslocamento. O Resultado obtido no QUEBRA2D foi comparado ao obtido por Felício Bruzzi Barros junto com o Professor Sérgio Proença da USP de São Carlos. Viga Parede Carga (kn) QUEBRA2D Felício ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Deslocamento (mm) Figura Curva Carga x Deslocamento 5.2. Exemplo de tirante de concreto armado Descrição do problema O problema consiste em um tirante de concreto armado de 70 cm de comprimento e seção transversal de 10x10 cm com uma barra de aço de 10 mm de diâmetro no centro da seção (Figura 5-6). Uma força P é aplicada na barra de aço tracionando o tirante.

98 Exemplos 82 Este exemplo foi apresentado por Mazars em artigo no Journal of Engeneering Mechanics (MAZARS (1989)) Figura Geometria do Tirante Análise A análise do tirante através do modelo de Dano de Mazars foi feita com o uso do método dos elementos finitos. Para a discretização foram utilizados elementos triangulares de 6 nós. Foi utilizada uma malha de 38 por 16 elementos para representar o concreto e 30 elementos de barra na armadura (Área = 78,54 mm 2 e I = 490,87 mm 4 ) (Figura 5-7). Figura Modelo do Tirante A análise foi feita com controle de deslocamento do nó onde a carga foi aplicada. Os parâmetros do material sugeridos no trabalho do Mazars são: Concreto E = 30 kn/mm 2 ν = 0,2 A T = 0,8 B T = A C = 1,4 B C = 1850 Aço E = 200 kn/mm 2 ν = 0,2

99 Exemplos Resultados Para reproduzir os resultados obtidos por Mazars foi necessária a estimativa do valor do ε do o qual não se encontrava no trabalho consultado. Foram feitas diversas simulações variando-se o valor do ε do. Abaixo são apresentados os resultados. A análise foi feita com controle de deslocamento do nó onde a carga está aplicada. Os parâmetros utilizados foram os seguintes: Controle de Deslocamento Erro = 1 x 10-4 Número de passos = 14 Passo = 0,04 mm Máximo número de interações = 500 Os resultados podem ser visualizados através do gráfico abaixo e dos mapas de distribuição de dano. 40 Tirante Força (kn) Mazars ed0 = 7 e-5 ed0 = 3 e-5 ed0 = 10 e-5 ed0 = 50 e-5 ed0 = 30 e ,0000 0,1000 0,2000 0,3000 0,4000 0,5000 0,6000 Deslocamento (mm) Figura Gráfico Força x Deslocamento

100 Exemplos 84 Mapas de distribuição de dano a) Mazars: Figura Mapa de dano do exemplo de Mazars b) ε do = 7 x 10-5, u = 0,52 mm, P = 14,76 kn Figura Mapa de dano para ε do = 7 x 10-5

101 Exemplos 85 c) ε do = 3 x 10-5, u = 0,36 mm, P = 10,68 kn Figura Mapa de dano para ε do = 3 x 10-5 d) ε do = 1 x 10-4, u = 0,51 mm, P = 18,16 kn Figura Mapa de dano para ε do = 1 x 10-4

102 Exemplos 86 e) ε do = 3 x 10-4, u = 0,56 mm, P = 28,55 kn Figura Mapa de dano para ε do = 3 x 10-4 f) ε do = 5 x 10-4, u = 0,56 mm, P = 36,85 kn Figura Mapa de dano para ε do = 5 x 10-4

103 Exemplos 87 Este exemplo evidencia um aspecto importante do modelo que diz respeito à sensibilidade dos resultados variando-se o ε do. Além de alterar o ponto de surgimento do dano, ele também alterou o mapa de dano. Na análise experimental pode-se notar o surgimento de fissuras transversais ao eixo de aplicação da carga. Nos itens b e c foi possível reproduzir estas fissuras, mas nos demais exemplos a barra de aço foi simplesmente arrancada. Isto evidencia a necessidade de extremo cuidado na obtenção dos parâmetros do modelo Exemplo de Viga de Concreto Armado Descrição do problema O problema consiste em três vigas de concreto armado com diferentes taxas de armadura. As vigas têm dimensões idênticas com 2,4 m de comprimento por 0,3 m de altura e 0,12 m de espessura (Figura 5-15). As vigas foram submetidas a um carregamento concentrado simétrico aplicado a 0,4 m do eixo de simetria. As armaduras utilizadas foram 3φ10, 5φ10 e 7φ10 de armadura negativa e 2φ5 de armadura positiva (para todas as vigas). Este exemplo foi apresentado em ÁLVARES (1993).

104 Exemplos 88 Figura Geometria das vigas Análise A análise das vigas através do modelo de Dano de Mazars foi feita com o uso do método dos elementos finitos. Para a discretização foram utilizados elementos quadráticos de quatro nós com quatro pontos de Gauss. Foi utilizada uma malha de 12 por 11 elementos distribuídos como mostrado na Figura Figura Modelo das vigas

105 Exemplos 89 Os parâmetros de material utilizado foram: Concreto E = kn/m 2 ν = 0,2 A T = 0,995 B T = 8000 A C = 0,85 B C = 1620 ε d0 = 7 x 10-5 Aço E = kn/m 2 ν = 0, Resultados A seguir mostramos dois resultados numéricos distintos. O primeiro intitulado Numérico refere-se à aplicação do modelo de Mazars com o Método de Newton-Raphson com critério de força. Como no exemplo do tirante, foi possível representar bem o trecho inicial, mas a partir de um determinado ponto, as deformações se tornam excessivas. Uma tentativa foi limitar o valor do dano a 0,87. Com esta restrição, foi possível atingir valores de carga maiores e o resultado ficou muito próximo do experimental. A seguir apresenta-se o gráfico carga x deslocamento para a viga sub armada.

106 Exemplos 90 Sub Armada Carga (kn) Numérico Modificado Experimental 1 Experimental 2 Numérico Deslocamento (mm) Figura Gráfico carga x deslocamento para viga sub armada O gráfico carga x deslocamento para a viga normalmente armada é apresentado abaixo. Normalmente Armada Carga (kn) Numerico Modificado Experimental 1 Experimental 2 Numerico Deslocamento (mm) Figura Gráfico carga x deslocamento para viga normalmente armada

107 Exemplos 91 Finalmente temos o gráfico carga x deslocamento para a viga super armada. Super Armada Carga (kn) Experimental 1 Experimental 2 Numerico Numérico Modificado Deslocamento (mm) Figura Gráfico carga x deslocamento para viga super armada 5.4. Exemplo de placa com entalhe Descrição do problema O problema consiste em uma placa de concreto de 75 cm por 60 cm com um entalhe na parte inferior. Duas forças são aplicadas na parte interna do entalhe forçando a sua abertura (Figura 5-20). Este exemplo foi publicado na tese de doutorado de Mazars (MAZARS (1984)).

108 Exemplos 92 Figura Geometria da placa Análise A análise da placa através do modelo de Dano de Mazars foi feita com o uso do método dos elementos finitos. Para a discretização foram utilizados elementos triangulares de 6 nós. A geometria simétrica permitiu que a modelagem de metade da placa (Figura 5-21). Figura Modelo da placa

109 Exemplos 93 A análise foi feita com controle de deslocamento na ponta do entalhe. Os parâmetros da análise foram Controle de Deslocamento Erro = 1 x 10-2 Número de passos = 10 Passo = 0,0012 mm Máximo número de interações = 100 Os parâmetros do material utilizados foram: Concreto E = 30 kn/mm 2 ν = 0,2 A T = 0,8 B T = A C = 1,4 B C = 1850 ε d0 = 1,31 x Resultados O resultado da análise global pode ser visualizado no gráfico carga x variação da abertura. Também é apresentado o resultado apresentado por Mazars.

110 Exemplos Carga (kn) Numérico Mazars Quebra2D ,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 Abertura (mm) Figura Gráfico Carga x Variação da Abertura do entalhe O mapa de dano para a carga de 12,6 kn é apresentado na Figura Mapa de Dano da placa para P = 12,6 kn

111 Exemplos 95 Figura Mapa de Dano da placa simulada por Mazars (MAZARS (1984)) Novamente pode-se notar um descolamento do resultado obtido através do Quebra2D do resultado apresentado no trabalho de Mazars. A diferença da posição da zona de dano pode ser explicada porque a geometria e a malha não puderam ser exatamente reproduzidas com as informações encontradas na referência Discussão dos resultados O primeiro exemplo a ser testado foi o das vigas de concreto armado. Como apresentado acima, as curvas carga x deslocamento ficaram abaixo das curvas experimentais e numéricas encontrada em ÁLVARES (1993). Após contato com o grupo do Professor Sérgio Proença, orientador do trabalho, descobriu-se que o cálculo do ε d0 no elemento estava sendo feito de forma diferente. Quando um dos pontos de Gauss atingia valor de deformação maior que ε d0,

112 Exemplos 96 este limite era atualizado para todos os pontos do elemento. Aparentemente, este procedimento evita que o dano se espalhe rapidamente pelos elementos vizinhos. Em nenhum dos trabalhos pesquisados existe justificativa para a aplicação deste procedimento. Uma tentativa mais simples foi a limitação do valor máximo do dano. Os resultados obtidos ficaram próximos dos experimentais. Este procedimento foi adotado apenas como comparação e não foi incorporado nos demais exemplos porque modifica o modelo original de Mazars. Nos exemplos do tirante e entalhe, também não foi possível a obtenção dos resultados da literatura. Na tese de doutorado de Mazars (MAZARS (1984)), o modelo de Newton-Raphson foi enriquecido com um teste de estabilidade e outro que leva em conta o aspecto estatístico de distribuição da resistência do concreto. Parece que a implementação do modelo de dano de Mazars com o algoritmo de solução de Newton-Raphson ou de controle de deslocamento não permite a obtenção de resultados satisfatórios. O próximo passo foi a correção do procedimento de cálculo do ε d0 no programa do ÁLVARES. Após processar novamente o modelo das vigas, chegou-se aos mesmos resultados do QUEBRA2D. Também foi possível reproduzir o modelo da viga parede com ótimos resultados. Esta etapa foi importante para validar a implementação do modelo. Outra tentativa de reproduzir os resultados foi a implantação de um método não local. Neste método, a deformação no ponto é calculada em função das deformações de pontos na vizinhança.

113 Exemplos 97 Com isso, os resultados foram melhores, mas ainda longe dos resultados experimentais.

114 Conclusões 98 Sexto Capítulo CONCLUSÕES Este trabalho trouxe conclusões importantes sobre a implementação e uso do modelo de dano de Mazars. Ao início do trabalho tínhamos ótimas perspectivas sobre a utilização do modelo de dano. Na literatura encontramos exemplos e referências de análises bem sucedidas com o uso do modelo. Mas no decorrer do trabalho, foi possível perceber que a implementação numérica num pacote de elementos finitos não é tão simples. O exemplo da viga parede foi fundamental para a validação da implementação do modelo, já que conseguimos resultados compatíveis com os do grupo do professor Sérgio. Nos exemplos do tirante, das vigas de concreto armado e do entalhe, o ponto onde o resultado numérico diverge do experimental é caracterizado por

115 Conclusões 99 um grande aumento da região danificada. Com a análise da restrição imposta no programa desenvolvido por ÁLVARES (1993) e da adoção da restrição do valor do dano, pode-se concluir que existe a necessidade de um controle mais restrito da análise. Como mostrado nos exemplos, o modelo não foi capaz de reproduzir totalmente as curvas de carga x deslocamento. Os algoritmos de solução que utilizam controles simples de carga ou deslocamento mostraram-se instáveis a partir de determinado ponto. No início da análise o principal mecanismo de dissipação de energia é o surgimento e propagação de microfissuras. Nesta etapa o modelo de dano representou bem o comportamento físico. Quando as microfissuras unem-se para formar uma fissura macroscópica o modelo fica instável. Podem ser adotados dois caminhos para a solução deste problema. O primeiro seria a inserção automática de uma fissura macroscópica e a continuidade da análise com o uso da Mecânica da Fratura. Outro seria a implementação de um algoritmo de controle da análise que levasse em conta a dissipação de energia e permitisse a estabilidade da análise. O exemplo das vigas de concreto armado mostra que a imposição no valor máximo do dano gerou uma resposta satisfatória. Outra observação importante é o fato de Mazars ter usado um algoritmo que considerava o fato da distribuição de resistências do concreto ser aleatório, além de refinar a análise quando a carga ficasse próxima da carga de ruptura.

116 Conclusões 100 Outra contribuição importante do trabalho foi a implementação do modelo no programa QUEBRA2D. Como apresentado anteriormente, o programa possui outros modelos de análise sofisticados. Desta forma, podem ser realizados estudos de interação entre os modelos. A portabilidade do programa também é um ponto importante pois permite o seu uso em diversos sistemas operacionais. Este trabalho faz parte de um conjunto de outros trabalhos que tem como base o estudo de modelos de comportamento de materiais e a sua implementação numa base comum, o QUEBRA2D. A partir deste trabalho, abrem-se algumas perspectivas de continuidade da pesquisa. Como dito anteriormente, um ponto importante é o estudo da estabilidade do modelo com o uso de algoritmos de análise mais robustos ou ainda o acoplamento com modelos da mecânica da fratura. Além disso, outros modelos mais completos de dano podem ser implementados como o modelo de La Borderie.

117 Referências Bibliográficas 101 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ÁLVARES, M. S. (1993). Estudo de um modelo de dano para o concreto: formulação, identificação paramétrica e aplicação com o emprego do método dos elementos finitos. São Carlos. Dissertação (Mestrado) Departamento de Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos USP. ÁLVARES, M. S. (1999). Contribuição ao estudo e emprego de modelos simplificados de dano e plasticidade para a análise de estruturas de barras em concreto armado. São Carlos. Tese (Doutorado) Departamento de Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos USP. BUSSAMRA, F. L. S. (1993). Equações constitutivas do concreto baseados na mecânica do dano. São Paulo. Dissertação (Mestrado) - Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. CARVALHO, C. V. A. (1998). Simulação bidimensional adaptativa por elementos finitos de processos de fraturamento por fadiga. Rio de

118 Referências Bibliográficas 102 Janeiro. Dissertação (Mestrado) Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. CAVALCANTE NETO, J. B. (1994). Simulação auto-adaptativa baseada em enumeração espacial recursiva em modelos bidimensionais de elementos finitos. Rio de Janeiro. Dissertação (Mestrado) - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. CEDOLIN, L.; DEL POLI, S. (1977). Finite element studies of shearcritical r/c beams. J. Eng. Mech. Div., ASCE, v.103,n. EM3, Jun FLOREZ-LÓPES, J. (1993). Modelos de daño concentrado para la simulation numérica Del colapso de pórticos planos. Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseno em Ingenieria, v. 9, n. 2, pp GERMAIN, P. (1973). Cours de mécanique dês millieux continus. Tome I, Universidade de Paris. HAN. R. P. S. ; MOU, Y. (1993). Void induced damage in ductile materials. In: 14 o CANCAM, Kingston, Ontario. HILLERBORG, A. ; MODEER, M. ; PETERSON, P. E. (1976). Analysis of crack formations and crack growth in concrete by means of concrete research. Cement and Concrete Research, v. 6, HSU, T. C. et al. (1963). Micro-cracking of plain concrete and the shape of the strees-strain curve. ACI Journal, v. 60, KACHANOV, L. M. (1984). On brittle fracture of a thin plastic interlayer in creep condition. In: DVORAK, G. ; SHIELD, R., ed. Mechanics of Material Behavior. Amsterdan, Elsevier.

119 Referências Bibliográficas 103 KUPFER, H. B. ; GERSTLER, K. H. (1973). Behavior of concrete under biaxial stresses. J. Eng. Mech., ASCE, v. 99, n. EM4, Aug KUPFER, H. B. ; HILSDORF, H. K. ; RUSCH, H. (1969). Behavior of concrete under biaxial stresses. ACI Journal, pp , LA BORDERIE, C. ; PIJAUDIER-CABOT, G. ; MAZARS, J. (1991). Response of plain an reinforced concrete structures under cyclic loadings. Cachan, France, Laboratorie de Mécanique et Tecnologie, Rapport Interne, n LEMAITRE, J. ; CHABOCHE, J. C. (1985). Mécanique dês matériaux solide. Paris, Dunod-Bordas, LEMAITRE (1984). How to use damage mechanics. Nucl. Eng. Des., v. 80, pp LIU, T. C. Y. ; NILSON, A. H. ; SLATE, F. O. (1972). Biaxial stress strain relations for concrete. J. Struct. Div., ASCE, v. 98, n. ST5, May MAJI, A. ; SHAH, S. P. (1988). Experimental observation of cracking and damage. Proc. Of the France-US Workshop on Strain Localization and Size Effect Due to Cracking and Damage, eds: Mazars, J. and Bazant, Z. P., Cachan, France. MARIGO, J. J. (1985). Modelling of brittle and fatigue for elastic material by growth of microvoid. Eng. Fract. Mech., v. 21, pp.861. MAZARS, J. (1984). Application de la mécanique de l endommagement au comportament non lineare et à la rupture du béton de structure. Thése de Doctorat d État, Université Paris 6. MAZARS, J. ; PIJAUDIER-CABOT, G. (1989). Continuum damage theory application to concrete. J. Eng. Mech., v. 115, n. 2, pp , Feb. 1989

120 Referências Bibliográficas 104 MURAKAMI, S. (1981). Effect on cavity distribution in constitutive equations of creep and creep damage. In: EUROMECH Colloque on Damage Mechanics, Cachan, France. OTTOSEN, N. S. (1979). Constitutive model for short-time loading of concrete. J. Eng. Div., v. 105, n. EM1, Feb PAPA, E. (1990). Sulla maccanica del danneaggiamento com particolare riferimento alle murate. Tesi di Dottorato, Politécnico di Milano, PEREGO, M. (1989). Danneggiamento dei materiali lapidei: leggi constitutive, analisis per elementi finiti ed applicazioni. Tesi di Láurea, Politécnico de Milano, PITUBA, J. J. C. (1998). Estudo e aplicação de modelos constitutivos para o concreto fundamentados na mecânica do dano contínuo. São Carlos. Dissertação (Mestrado) Escola de Engenharia de São Carlos, USP. PROENÇA, S. P. B. (1988). Sobre modelos matemáticos do comportamento não-linear do concreto: análise crítica e contribuições. São Carlos. Tese (Doutorado) Escola de engenharia de São Carlos, USP. SAENZ, L. P. (1965). Equation for stress-strain curve of concrete in uniaxial and biaxial compression of concrete. ACI Journal, v. 61. SHAH, S. P. (1995). Fracture Machanics of Concrete. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1995 SIMO, J. C. ; JU, J. W. (1987). Strain and stress based continuum damage models j. formulation. Int. J. Solids & Structures, v. 23, pp

121 Referências Bibliográficas 105 SPOONER, D. C. et al. (1976). Damage and energy dissipation in cement pastes in compression. Magazine of Concrete Research, v. 28, n. 24. TAI, W. H. (1990). Plastic damage and ductile fracture in mild steels. Eng. Fract. Mech., v. 37, pp TECGRAF (1992). Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica Neutral File Format, PUC-Rio, TECGRAF (1995). Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica Uma interface Lua para o Sistema IUP, Manual do usuário, Departamento de Informática, PUC-Rio, TECGRAF (1997). Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica CD Canvas Draw, (version 3.1), Manual Pages, TecGraf, PUC-Rio, Disponível pela Internet no endereço VAN MIER, G. M. (1985). Influence of damage orientation distribuition on the multiaxial stress-strain behavior of concrete. Cement and Concrete Research, v. 15, pp

122 APÊNDICE A

123 Apêndice A APÊNDICE A A seguir apresentamos um roteiro de utilização do modelo de dano de Mazars no QUEBRA2D. O primeiro passo é a definição da geometria, malha, condições de contorno e carregamento. Esta etapa é feita no programa Mtool que gera um arquivo texto chamado arquivo neutro que será lido no QUEBRA2D (Figura A).

124 Apêndice A (Figura B). Figura A - Definição do modelo no Mtool O segundo passo é abertura do arquivo neutro no Quebra2D Figura B - Modelo aberto no Quebra2D

125 Apêndice A A seguir deve-se definir o tipo de material. No menu Model selecione a opção Material (Figura C). Depois selecione o material que deve apresentar um comportamento danificável (Figura D). No exemplo selecionamos o material Concreto e apertamos o botão modificar. Figura C - Selecione a opção Material

126 Apêndice A Figura D - Diálogo para edição de material No diálogo de edição de materiais mude o tipo de material para Mazars Damage e complete os parâmetros do modelo(figura E).

127 Apêndice A Figura E - Parâmetros do modelo de Mazars Definido o material, deve-se definir o algoritmo de solução. Neste exemplo utilizaremos o modelo de Newton-Raphson. No menu Analysis, selecione a opção Parameters (Figura F). Então selecione a opção Newton-Raphson e defina os parâmetros do algoritmo (Figura G).

128 Apêndice A Figura F - Selecione a opção Parameters Figura G - Diálogo de definição dos parâmetros do algoritmo de solução