PROCESSO SELETIVO DE TRANSFERÊNCIA EXTERNA CADERNO DE PROVA

Transcrição

1 PROCESSO SELETIVO DE TRANSFERÊNCIA EXTERNA 19/10/2014 INSTRUÇÕES CADERNO DE PROVA 1. Confira, abaixo, seu nome e número de inscrição. Confira, também, o curso e a série correspondentes à sua inscrição. Atenção: Assine no local indicado. 2. Não serão permitidos empréstimos de materiais, consultas e comunicação entre candidatos, tampouco o uso de livros e apontamentos. Relógios, aparelhos eletrônicos e, em especial, aparelhos celulares deverão ser desligados e colocados no saco plástico fornecido pelo Fiscal. O não cumprimento destas exigências ocasionará a exclusão do candidato deste Processo Seletivo. 3. Aguarde autorização para abrir o Caderno de Prova. Antes de iniciar a prova, confira a paginação. 4. Este Caderno de Prova é composto por 10 (dez) questões dissertativas. 5. Transcreva para o Caderno Definitivo de Respostas o texto que julgar correto em cada questão, não ultrapassando o espaço disponível. Não haverá substituição do Caderno Definitivo de Respostas por erro de transcrição. 6. A interpretação das questões é parte do processo de avaliação, não sendo permitidas perguntas aos Fiscais. 7. A duração das provas será de 4 (quatro) horas, incluindo o tempo para transcrição das questões dissertativas para o Caderno Definitivo de Respostas. 8. Ao concluir a prova, permaneça em seu lugar e comunique ao Fiscal. Aguarde autorização para devolver, em separado, o Caderno de Prova e o Caderno Definitivo de Respostas, devidamente assinados.

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3 MATEMÁTICA LICENCIATURA NOTURNO (3ª SÉRIE) 1 Uma estação de radar detecta e registra as posições de aviões que passam pelo seu alcance. Em um determinado momento, são observados três aviões A, B e C, conforme mostra a figura a seguir, e são registradas as suas coordenadas. Um engenheiro que acompanha os registros da estação realizou uma pequena alteração nas coordenadas, escrevendo-as, em função de uma incógnita m, da seguinte forma: A = ( 2, m 2, 3), B = (1, 3, m + 2) e C = (3, m 3, 5). Ele desafia um colega de trabalho a determinar qual é o valor da incógnita m, observando que as distâncias entre os aviões no espaço determinavam, no momento da observação, um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B. Seu colega solucionou o problema, indicando quais valores m pode assumir. Que valores são esses? Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados. R A S C U N H O R A S C U N H O R A S C U N H O 1 / 10

4 2 Considerando a função f : R R dada por f(x) = x 1, a) demonstre que f é contínua em x = 1; b) prove que f não é derivável em x = 1; c) faça o esboço do gráfico da função f. R A S C U N H O R A S C U N H O R A S C U N H O 2 / 10

5 3 Seja T : R 2 R 3 uma transformação linear. Determine a imagem de T tal que T (2, 1) = (4, 11, 1) e T (1, 0) = (3, 5, 2). Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados. R A S C U N H O R A S C U N H O R A S C U N H O 3 / 10

6 4 Demonstre o resultado a seguir. Seja a Z. Se a 3 é par, então a é par. R A S C U N H O R A S C U N H O R A S C U N H O 4 / 10

7 5 Na figura a seguir, o quadrilátero ABCD é um paralelogramo e A, D e E são colineares. Mostre que os segmentos AB e BE são congruentes. R A S C U N H O R A S C U N H O R A S C U N H O 5 / 10

8 6 Mostre que a função f(x, y, z) = e 6x+8y sen(10z) satisfaz a equação de Laplace em R 3 a seguir. 2 f x + 2 f 2 y + 2 f 2 z = 0 2 R A S C U N H O R A S C U N H O R A S C U N H O 6 / 10

9 7 Determine o volume da região limitada lateralmente pelo cilindro x 2 + y 2 = 1, inferiormente pelo plano z = 0 e superiormente pelo plano z = 2 y. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados. R A S C U N H O R A S C U N H O R A S C U N H O 7 / 10

10 8 Sejam a, b Z com a 0. Diz-se que a divide b, denotado por a b, se, e somente se, m Z tal que b = am. Com base nessa afirmação, a) sendo a, b Z e c Z, prove que se a b e b c, então a c. b) sendo a Z e b, c Z, prove que se a b e a c, então a (b + c). R A S C U N H O R A S C U N H O R A S C U N H O 8 / 10

11 9 Considere (Z, +) e (R +, ) grupos. Seja f : Z R + dada por f(x) = ax, com a Z e a 1. Com base nessas informações, mostre que f é um homomorfismo, depois responda aos itens a seguir. a) A aplicação f é injetora? Justifique sua resposta. b) A aplicação f é sobrejetora? Justifique sua resposta. c) Pode-se afirmar que f é um isomorfismo de grupos? Justifique sua resposta. R A S C U N H O R A S C U N H O R A S C U N H O 9 / 10

12 10 Leia o texto a seguir. Segundo Paraná (2008), a prática pedagógica de investigações matemáticas tem sido recomendada por diversos estudiosos como forma de contribuir para uma melhor compreensão da disciplina e as investigações matemáticas (semelhantes às realizadas pelos matemáticos) podem ser desencadeadas a partir da resolução de simples exercícios e se relacionam com a resolução de problemas. (PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Curitiba: SEED/DEB-PR, p.67.) Com base no texto e nos conhecimentos sobre o tema, responda aos itens a seguir. a) O que distingue as investigações matemáticas das resoluções dos exercícios? b) Como as investigações matemáticas podem interferir nas práticas de sala de aula? R A S C U N H O R A S C U N H O R A S C U N H O 10 / 10