GERAÇÃO DE ESTADOS DE MAR EQUIVALENTES PARA ANÁLISES PRELIMINARES DE SISTEMAS DE RISERS. Caio Silva Brandão

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1 GERAÇÃO DE ESTADOS DE MAR EQUIVALENTES PARA ANÁLISES PRELIMINARES DE SISTEMAS DE RISERS Caio Silva Brandão Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil. Orientadores: Breno Pinheiro Jacob Fabrício Nogueira Corrêa Rio de Janeiro Março de 2016

2 GERAÇÃO DE ESTADOS DE MAR EQUIVALENTES PARA ANÁLISES PRELIMINARES DE SISTEMAS DE RISERS Caio Silva Brandão DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Examinada por: Prof. Breno Pinheiro Jacob, D. Sc. Prof. Fabrício Nogueira Corrêa, D. Sc. Prof. Carl Albrecht Horst, D. Sc. Dr. Allan Carré de Oliveira, D. Sc. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL MARÇO DE 2016

3 Brandão, Caio Silva Geração de Estados de Mar Equivalentes para Análises Preliminares de Sistemas de Risers / Caio Silva Brandão. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, XIII, 112 p.: il.; 29,7 cm. Orientadores: Breno Pinheiro Jacob Fabrício Nogueira Corrêa Dissertação (mestrado) UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia Civil, Referências Bibliográficas: p Análise Preliminar. 2. Mar Equivalente. 3. Harmônico Equivalente. I. Jacob, Breno Pinheiro et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Título. iii

4 herói favorito. Ao meu pai, Carlos Magno Souza Brandão, meu iv

5 Agradecimentos À minha mãe, Carmen Silva Brandão, pela educação dada ao longo de todos os anos de minha vida e que me possibilitou atingir mais um importante objetivo de minha jornada. Pelos exemplos de superação em momentos de grandes adversidades, meu muito obrigado! Às minhas irmãs, Carolina Silva Brandão e Camila Silva Brandão, por sempre ajudarem a me manter motivado, além do companheirismo durante meus últimos anos de estudos. Ao meu orientador Fabrício Nogueira Corrêa, por ser a principal fonte de conhecimentos para o desenvolvimento deste trabalho. Ao orientador e chefe do LAMCSO Breno Pinheiro Jacob, por ter confiado na minha capacidade de desenvolver este assunto e, assim, poder agregar conhecimento para o laboratório. Aos companheiros do Laboratório de Método Computacionais e Sistemas Offshore (LAMCSO) Adolfo Correa, Aline Esperança, Débora Ladeira, Elói Araújo, Jhonathan Ribeiro, João Aro, Luiza Ortiz, Monique Alves e Rodrigo Moretti, por tornarem o ambiente de trabalho agradável e propício para a troca de informações. Aos meus amigos Ana Carolina Mansilha, Ana Luiza Rossini, Andrej Tommasi, Claudio Daniel Tenório, Felipe Mazzei, Mayco de Souza, Pedro Paulo Nascimento e Raphael Portela, por todas as histórias vivenciadas e pela fiel amizade construída até hoje. Ao Programa de Formação de Recursos Humanos da Petrobras (PFRH/PB) e à Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis (ANP), pelo apoio financeiro que permitiu o desenvolvimento deste estudo. v

6 Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) GERAÇÃO DE ESTADOS DE MAR EQUIVALENTES PARA ANÁLISES PRELIMINARES DE SISTEMAS DE RISERS Caio Silva Brandão Março/2016 Orientadores: Breno Pinheiro Jacob Fabrício Nogueira Corrêa Programa: Engenharia Civil Uma atividade de grande importância durante a fase preliminar de um projeto de sistema offshore é a avaliação qualitativa dos casos de carregamentos ambientais que mais oferecem riscos de falha na estrutura. O objetivo, nesta etapa, é abrir mão de soluções de alta precisão para priorizar a eficiência computacional com resultados minimamente confiáveis. Porém, os atuais métodos disponíveis na literatura para abordagem preliminar de sistemas offshore apresentam desvantagens que podem comprometer a confiabilidade destes resultados preliminares. Em vista disso, este trabalho desenvolve um método alternativo para análises em fases preliminares de projetos de sistemas de risers de produção offshore. Através de uma modelagem determinística simplificada do carregamento ambiental representado por um estado de mar com um pequeno número de componentes de onda, será possível, com um curto tempo de simulação, estimar valores de resposta extrema do sistema de risers. Esta modelagem simplificada está fundamentada na determinação prévia de uma faixa de frequências dos espectros de onda na qual uma parcela significativa de energia útil de resposta de movimento esteja contida. vi

7 Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) GENERATION OF EQUIVALENT SEA STATES FOR PRELIMINARY ANALYSES OF RISERS SYSTEMS Caio Silva Brandão March/2016 Advisors: Breno Pinheiro Jacob Fabrício Nogueira Corrêa Department: Civil Engineering A work of great importance during a preliminary stage of an offshore system design is to evaluate qualitatively the environment loadings cases that offer failure risks for the structure. The objective, in this phase, is to give up high precision solutions in exchange for computational efficiency with minimally reliable results. However, current methods in literature present disadvantages that can compromise the reliability of results. Therefore, this work develops an alternative method for analyses within preliminary stages of designs of risers systems of offshore production. Through a simplified deterministic modeling of environmental loading represented by a sea state with a low number of wave components, it will be possible, with a short simulation time, estimate short-time extreme response values of the riser system. This simplified model is grounded on the previous determination of a frequency range of the wave spectra in which a significant fraction of useful energy of response movement of the system is contained. vii

8 Sumário 1 Introdução Contexto Motivação Objetivos Organização do Trabalho Modelagem de Sistemas Offshore Introdução Modelagem de Sistemas Offshore Formulações desacopladas Formulações acopladas Análise estatística de processos aleatórios Variáveis aleatórias Definição de variável aleatória Propriedades de uma variável aleatória Parâmetros estatísticos de uma variável aleatória Distribuições de probabilidade Distribuição Normal Distribuição Log-Normal Distribuição de Weibull Distribuição de Rayleigh Ajuste de Distribuição a Dados Observados Parâmetros Estatísticos a partir de uma amostra Determinação da distribuição de probabilidades Valores extremos Distribuição exata de valores extremos Distribuições assintóticas Extremo característico Determinação do máximo característico: passo-a-passo Processo Estocástico Processo estocástico estacionário Processo estocástico ergódico Valores extremos de processos gaussianos Estado da arte de métodos para análises preliminares de projeto viii

9 4.1 Introdução Representação de Ondas Aleatórias Construção e Solução do Problema de Valor de Contorno Representação Espectral Onda de projeto Proposta e formulação do método Desvantagens Harmônico Equivalente Proposta e formulação do método Desvantagens Método das Janelas Proposta e formulação do método Desvantagens Método proposto: Mar Equivalente Descrição do método Histórico do desenvolvimento do método Aspectos do método Aplicação do método: Resultados Descrição dos dados dos modelos Response Amplitude Operator (RAO) Espectro de onda Aplicação passo-a-passo do método: construção do Mar Equivalente Análises dos parâmetros do método Análise de sensibilidade do parâmetro Análise de sensibilidade do número de componentes de onda Relação entre tempo de simulação e número de componentes Comparação com Harmônico Equivalente Descrição do Caso Solução da análise completa Comparação com métodos para análise preliminar Custo Computacional Conclusões Conclusões do trabalho proposto Sugestões para trabalhos futuros Referência Bibliográfica Apêndice A Coeficientes RAO para o Estudo de Casos ix

10 Índice de Figuras Figura 1 - Coeficiente de skewness Figura 2 Distribuição de valores extremos para diferentes tamanhos de amostra [9] Figura 3 Diferentes realizações de um experimento de determinado processo aleatório Figura 4 Discretização do espectro de onda Figura 5 Definição de amplitude e altura de uma onda regular Figura 6 Determinação das janelas de tempo [11] Figura 7 Discretização do intervalo de frequências Figura 8 Indicação do Norte para uma FPSO aproada a 90 graus Figura 9 Espectro de Jonswap utilizado nos modelos simulados Figura 10 Espectro de resposta de Surge Figura 11 Espectro de resposta de Sway Figura 12 Espectro de resposta de Heave Figura 13 Espectro de resposta de Roll Figura 14 Espectro de resposta de Pitch Figura 15 Espectro de resposta de Yaw Figura 16 Cruzamento RAO x Jonswap: região útil do espectro de resposta de Surge Figura 17 Cruzamento RAO x Jonswap: região útil do espectro de resposta de Sway Figura 18 Cruzamento RAO x Jonswap: região útil do espectro de resposta de Heave Figura 19 Cruzamento RAO x Jonswap: região útil do espectro de resposta de Roll Figura 20 Cruzamento RAO x Jonswap: região útil do espectro de resposta de Pitch Figura 21 Cruzamento RAO x Jonswap: região útil do espectro de resposta de Yaw Figura 22 Discretização do intervalo de frequência Figura 23 Geração do carregamento ambiental do Mar Equivalente a partir do espectro de onda Figura 24 Representação gráfico da elevação da superfície do Mar Equivalente Figura 25 - Série Temporal de Surge após simulação dinâmica x

11 Figura 26 - Espectro de Resposta de Surge após simulação dinâmica Figura 27 - Série Temporal de Sway após simulação dinâmica Figura 28 - Espectro de Resposta de Sway após simulação dinâmica Figura 29 - Série Temporal de Heave após simulação dinâmica Figura 30 - Espectro de Resposta de Heave após simulação dinâmica Figura 31 - Série Temporal de Roll após simulação dinâmica Figura 32 - Espectro de Resposta de Roll após simulação dinâmica Figura 33 - Série Temporal de Pitch após simulação dinâmica Figura 34 - Espectro de Resposta de Pitch após simulação dinâmica Figura 35 Série Temporal de Yaw após simulação dinâmica Figura 36 - Espectro de Resposta de Yaw após simulação dinâmica Figura 37 Valor extremo mais provável de movimento em Surge para diferentes valores de Figura 38 Valor extremo mais provável de movimento em Sway para diferentes valores de Figura 39 Valor extremo mais provável de movimento em Heave para diferentes valores de Figura 40 Valor extremo mais provável de movimento em Roll para diferentes valores de Figura 41 Valor extremo mais provável de movimento em Pitch para diferentes valores de Figura 42 Valor extremo mais provável de movimento em Yaw para diferentes valores de Figura 43 Valor extremo mais provável de tração no topo do riser para diferentes valores de Figura 44 Valor extremo mais provável de movimento em Surge para diferentes números de componentes de ondas Figura 45 Valor extremo mais provável de movimento em Sway para diferentes números de componentes de ondas Figura 46 Valor extremo mais provável de movimento em Heave para diferentes números de componentes de ondas Figura 47 Valor extremo mais provável de movimento em Roll para diferentes números de componentes de ondas Figura 48 Valor extremo mais provável de movimento em Pitch para diferentes números de componentes de ondas xi

12 Figura 49 Valor extremo mais provável de movimento em Yaw para diferentes números de componentes de ondas Figura 50 Valor extremo mais provável de tração no topo do riser para diferentes números de componentes de ondas Figura 51 Elevação da superfície do mar do Mar Equivalente com 6 componentes de onda Figura 52 Elevação da superfície do mar do Mar Equivalente com 12 componentes de onda Figura 53 Elevação da superfície do mar do Mar Equivalente com 24 componentes de onda Figura 54 Elevação da superfície do mar do Mar Equivalente com 48 componentes de onda Figura 55 Modelo do Estudo de Caso com indicação dos risers Figura 56 RAO em Surge para uma direção de onda SE Figura 57 RAO em Sway para uma direção de onda SE Figura 58 RAO em Heave para uma direção de onda SE Figura 59 RAO em Roll para uma direção de onda SE Figura 60 RAO em Pitch para uma direção de onda SE Figura 61 RAO em Yaw para uma direção de onda SE Figura 62 RAO em Surge para uma direção de onda S Figura 63 RAO em Sway para uma direção de onda S Figura 64 RAO em Heave para uma direção de onda S Figura 65 RAO em Roll para uma direção de onda S Figura 66 RAO em Pitch para uma direção de onda S Figura 67 RAO em Yaw para uma direção de onda S Figura 68 RAO em Surge para uma direção de onda SW Figura 69 RAO em Sway para uma direção de onda SW Figura 70 RAO em Heave para uma direção de onda SW Figura 71 RAO em Roll para uma direção de onda SW Figura 72 RAO em Pitch para uma direção de onda SW Figura 73 RAO em Yaw para uma direção de onda SW Figura 74 RAO em Surge para uma direção de onda W Figura 75 RAO em Heave para uma direção de onda W Figura 76 RAO em Pitch para uma direção de onda W xii

13 Índice de Tabelas Tabela 1 Características comuns dos modelos Tabela 2 Características do espectro de onda Tabela 3 Obtenção dos intervalos de frequência pela varredura do método Mar Equivalente Tabela 4 Componentes de onda do Mar Equivalente Tabela 5 Conexão do riser com a plataforma (modelo para análise de sensibilidade) Tabela 6 Análise de sensibilidade do parâmetro de varredura Tabela 7 Análise de sensibilidade do número de componentes Tabela 8 Período do ciclo de carregamento em função do número de componentes Tabela 9 Conexão do riser com a plataforma Tabela 10 - Valor extremo mais provável da Análise Completa Direção SE. 91 Tabela 11 - Valor extremo mais provável da Análise Completa Direção S Tabela 12 - Valor extremo mais provável da Análise Completa Direção SW 92 Tabela 13 - Valor extremo mais provável da Análise Completa Direção W.. 92 Tabela 14 Comparação entre Valores Extremos Mais prováveis ajustados por Rayleigh Direção SE Tabela 15 Comparação entre Valores Extremos Mais prováveis ajustados por Rayleigh Direção S Tabela 16 Comparação entre Valores Extremos Mais prováveis ajustados por Rayleigh Direção SW Tabela 17 Comparação entre Valores Extremos Mais prováveis ajustados por Rayleigh Direção W Tabela 18 Comparação entre os tempos computacionais gastos para realização das análises xiii

14 1 Introdução 1.1 Contexto Sistemas Offshore A exploração e produção de óleo e gás em campos localizados no fundo do mar (offshore) é uma prática que vem se estabelecendo de maneira acelerada nos últimos anos. Além destes campos se fazerem cada vez mais presentes ao redor do mundo, a complexidade deste tipo de exploração também é um fator que passou a ser olhado com mais atenção. Os sistemas capazes de realizar a exploração e produção de petróleo em mar são chamados de Sistemas Offshore. Neste sistema, podem ser encontrados diversos elementos constituintes, como unidades (plataformas, navios, etc), linhas de ancoragem, risers e dutos, equipamentos submarinos, entre outros. Cada um destes componentes será comentado brevemente a seguir. Existem unidades offshore com diferentes aplicações. Nos primeiros anos das atividades da indústria offshore, as plataformas fixas eram predominantes. Estas plataformas são estruturas rígidas fixadas no solo marinho de lâmina d água pequena, de até 300m, aproximadamente. Porém, à medida que novos campos de petróleo de maior profundidade foram descobertos, a utilização deste tipo de plataforma foi tornando-se inviável economicamente. Para entender esta inviabilidade, deve-se ter em mente que o período natural de um sistema físico qualquer é inversamente proporcional à sua rigidez, e esta, por sua vez, diminui à medida que se aumenta a altura da estrutura. Com a exploração de petróleo em lâminas d água cada vez maiores, foi observado que a queda desta rigidez associada ao aumento da massa estrutural das jaquetas faria com que os período naturais dominantes da estrutura fixa aumentassem, ficando cada vez mais próximos dos períodos dos carregamentos ambientais, o que ocasionaria ocorrência de ressonância (fenômeno em que há amplificação dinâmica de movimento quando a frequência do carregamento externo se aproxima da frequência da estrutura). Para contornar este problema, dever-se-ia aumentar a rigidez do sistema através do aumento da área seccional da estrutura fixa, o que a tornaria inviável economicamente, devida à necessidade de uma enorme quantidade de material. Portanto, a descoberta de campos de petróleo de elevada profundidade levou os engenheiros a projetarem as chamadas estruturas flutuantes. 1

15 As estruturas flutuantes, por mais que possam apresentar períodos naturais próximos aos das ondas, por exemplo, nos graus de liberdade de roll, pitch e/ou heave, não geram colapso estrutural do sistema, pois a rigidez que participa da resposta nestes graus de liberdade é principalmente gerada pela hidrostática da unidade flutuante. Ancoragem e Risers Nos demais graus de liberdade: surge, sway e yaw, a rigidez é garantida principalmente pelas linhas de ancoragem que garantem o posicionamento do sistema, e contribuem para o aparecimento de períodos naturais no plano horizontal na ordem de 150 segundos a 450 segundos. Quanto à produção, os risers e dutos são os principais elementos de um sistema offshore, pois neles é transportado o principal produto da atividade: o petróleo (ou gás). Podem ser classificados, de maneira geral, em duas categorias: flexível ou rígido. Os risers flexíveis são elementos complexos, formados por mais de uma camada, cada qual com uma função estrutural própria (anticorrosão, anti-impacto, resistência aos esforços axiais, torção, etc). Já os risers rígidos são constituídos de aço e sua estrutura é muito mais simples se comparados aos risers flexíveis. Logo, apresentam um menor custo de produção. A relação de custo de produção, vida útil e instalação é fator essencial para escolha do tipo de riser que fará parte do sistema de produção. A evolução tecnológica observada na indústria de petróleo nas últimas décadas, impulsionada pela descoberta de poços de petróleo gradativamente mais profundos, tem viabilizado a elaboração de sistemas offshore cada vez mais sofisticados [2]. Os complexos arranjos submarinos, grandes lâminas d águas e novas concepções de risers e linhas de ancoragem, que antes eram inconcebíveis, passaram a ser realidade para os engenheiros projetistas. Pesquisa e Desenvolvimento Este avanço, cujos principais responsáveis foram o setor de Pesquisa e Desenvolvimento das principais empresas do ramo e a comunidade acadêmica relacionada, teve como uma importante consequência o aumento da capacidade de análise de sistemas offshore, tanto em etapas preliminares de projeto quanto durante a própria produção do petróleo. São frutos deste avanço: ferramentas computacionais para simulação de modelos numéricos, bem como estudos científicos, tanto teóricos quanto experimentais, que agregam conhecimento quanto ao comportamento geral dos sistemas de produção. 2

16 São várias as etapas a serem analisadas durante a concepção de um projeto de um sistema offshore. As principais etapas, em sequência cronológica, são: exploração, perfuração, completação e produção. Todas estas fases podem ser encontradas de maneira detalhada em Thomas [1]. Todas as fases citadas anteriormente possuem sua devida relevância para o sucesso do projeto de um sistema offshore e necessitam ser realizadas em perfeita harmonia. O tipo de completação (seca ou molhada), por exemplo, irá influenciar diretamente no tipo de plataforma a ser utilizada no sistema. De modo geral, completação seca requer a utilização de plataformas fixas ou TLP s, já que seus movimentos são restritos. Por outro lado, a completação molhada está associada geralmente ao emprego de unidades flutuantes. Simulação Computacional Toda simulação computacional está integralmente vinculada à elaboração de um modelo físico-matemático que seja capaz de reproduzir, a certo nível de confiança, um determinado sistema. Diz-se simulação computacional porque, para problemas de engenharia, dificilmente são encontradas soluções analíticas para estes modelos. Desta maneira, o modelo físico-matemático estará sempre relacionado a um modelo numérico que será capaz de encontrar soluções do problema através de algoritmos e técnicas computacionais. O conceito de emprego eficiente de um software está intimamente ligado à relação entre o custo computacional e os benefícios oferecidos pelo mesmo. Por mais que algoritmos robustos e programas com potencial para analisar modelos cada vez mais complexos estejam disponíveis ao usuário, é intuitivo pensar que nem sempre resultados oriundos destes avançados recursos são necessários para atender suficientemente bem os objetivos de uma dada análise. É o caso, por exemplo, de avaliações durante as fases preliminares de um projeto. Um dos interesses por trás de uma análise preliminar é determinar as situações mais críticas em que o sistema possa estar submetido ao longo de sua vida útil e que colocariam em risco a regularidade da produção e/ou sua segurança. Isso significa que resultados satisfatórios podem ser obtidos com uma precisão suficientemente adequada, mas não necessariamente elevada, dando garantias de que uma análise simples pode ser confiável. Toma-se como exemplo, para melhor ilustrar este conceito, o projeto de um sistema offshore para produção de petróleo e gás. A determinação das condições ambientais com maior potencial de danos aos elementos estruturais (linhas de ancoragem, risers, umbilicais, entre outros) pode ser possível a partir de análises preliminares. 3

17 Por fim, simulações mais rigorosas, com precisão maior do que aquela utilizada na fase preliminar, devem ser elaboradas no intuito de avaliar o sistema de maneira mais criteriosa e realista sobre as condições ambientais selecionadas. 1.2 Motivação Do que foi introduzido no item anterior, pode-se concluir que uma tarefa de grande importância de cientistas e engenheiros é introduzir o máximo de simplificações possíveis no modelo físico-matemático e numérico no intuito de analisar previamente o sistema de maneira confiável com um custo computacional reduzido para a seleção de, por exemplo, casos ambientais críticos para a estrutura. A necessidade de custo computacional reduzido justifica-se pelos prazos de projeto apertados que são enfrentados pelas equipes técnicas, o que inviabiliza a análise criteriosa de todos os casos de carregamento possíveis desde as fases iniciais. No que diz respeito às análises de risers de sistemas offshore, cita-se como exemplos o método da Onda de Projeto, e o método do Harmônico Equivalente que trata a natureza aleatória do mar irregular através de um modelo determinístico. Outro exemplo de análise de risers corresponde ao Método das Janelas. Estas simplificações, porém, podem implicar em respostas imprecisas, longe daquelas obtidas pela análise aleatória de longo prazo. Os fatores negativos dos respectivos métodos motivaram, portanto, a elaboração de um método alternativo para a análise preliminar de risers de sistemas offshore denominada neste texto de Método do Mar Equivalente, que será formulado detalhadamente no capítulo Objetivos O objetivo deste trabalho é elaborar um procedimento para análise simplificada com reduzido custo computacional de sistemas de risers em fases preliminares de projeto. O método, denominado neste trabalho como Mar Equivalente, busca oferecer uma alternativa ao método determinístico Harmônico Equivalente utilizado atualmente na determinação de valores extremos mais prováveis de esforços em risers. De maneira geral, o método tem como objetivo a realização de uma verificação prévia para determinar um intervalo de frequências útil e número de componentes mínimo para discretização do espectro de onda necessários para análise preliminares de risers. Contido neste intervalo estará uma parcela relevante de energia de movimento de primeira ordem do sistema offshore submetido a um estado de mar. 4

18 Portanto, o compromisso a ser assumido nesta proposta não é o de fornecer resultados tão precisos quanto numa análise refinada e detalhada, mas sim obter um procedimento para análises numéricas mais eficientes e confiáveis para etapas preliminares de um projeto de risers sistema offshore. 1.4 Organização do Trabalho Uma descrição geral dos principais conceitos de sistemas offshore necessários ao entendimento deste trabalho será apresentada no capítulo 2, como por exemplo a possibilidade de obter respostas no domínio do tempo ou no domínio da frequência (esta noção também será aplicada posteriormente neste estudo). No capítulo 3 deste trabalho será realizada uma revisão de conceitos de probabilidade e estatística, que serão utilizados frequentemente no pósprocessamento das análises dinâmicas dos modelos a serem estudados. No capítulo 4 serão introduzidos os métodos existentes na literatura atual direcionados a análises preliminares de projeto. Ao longo da explicação dos métodos em si serão discutidas as vantagens e desvantagens de cada método. No capítulo 5 encontra-se a discussão principal deste trabalho. Nele, será proposto o método alternativo àqueles apresentados no capítulo anterior. A formulação passo-a-passo do método, os parâmetros de entrada do método e a descrição das vantagens e desvantagens também se farão presente. No capítulo 6 serão modelados alguns casos para a realização de análises utilizando alguns métodos discutidos anteriormente. Duas linhas de análises serão abordadas neste capítulo: a) um estudo paramétrico sobre o método proposto no capítulo anterior, no intuito de escolher os parâmetros do método que conferirão maior confiabilidade ao método; e b) comparação entre o método proposto (com os parâmetros previamente estabelecidos pela etapa anterior) e o método do Harmônico Equivalente, com o fim de validar o método como uma alternativa eficiente e viável. As principais conclusões do trabalho serão abordadas no capítulo 7, no qual todos os resultados do capítulo anterior de estudo de casos estarão sintetizados. Ao fim do capítulo serão listadas algumas sugestões para futuros trabalhos envolvendo o método do Mar Equivalente. Por fim, o capítulo 8 conterá a referência bibliográfica utilizada para a elaboração deste texto. 5

19 2 Modelagem de Sistemas Offshore 2.1 Introdução Neste capítulo serão abordados importantes tópicos no que diz respeito à representação de sistemas offshore através de modelos computacionais. Como abordado no capítulo 1, o uso de ferramentas computacionais capazes de processar tais modelos tem se tornado imprescindível nas práticas de projeto, dada a maior complexidade dos sistemas offshore. Isso porque o elevado nível de complexidade dos sistemas offshore impossibilita a obtenção de soluções analíticas para a resposta desejada, devido a fatores como a não-linearidade geométrica e do material. Portanto, o objetivo deste capítulo é apresentar os diferentes conceitos que podem ser utilizados em projetos de sistemas de risers offshore, passando brevemente pela definição de metodologias de modelagem destes sistemas. Programa Utilizado Os Estudos de Casos deste trabalho foram realizados com a ferramenta numérica SITUA-Prosim. De maneira geral, o programa SITUA-Prosim incorpora, em uma única estrutura de código e de dados, um modelo hidrodinâmico para a representação do casco da unidade flutuante, e um modelo de elementos finitos para a representação rigorosa das linhas de ancoragem e risers. Nesta formulação, a cada instante do processo de integração no tempo das equações de movimento do casco, efetua-se uma análise não-linear dinâmica de um modelo de elementos finitos de cada uma das linhas, sob a ação de onda, correnteza, peso próprio e das componentes de movimento transmitidas pelo casco. A forma com que a interação entre as linhas e o casco é tratada dependerá do modelo a ser elaborado; este detalhe será comentado nas seções a seguir. 2.2 Modelagem de Sistemas Offshore Ao retratar um sistema offshore por meio de um modelo computacional, é necessário conhecer sob quais circunstâncias a representação será realizada. Em certas ocasiões, assumir alguma hipótese simplificadora é uma grande estratégia de projeto para ganho de tempo computacional. Neste contexto, existem duas formulações de análise que podem ser utilizadas para o projeto de sistemas de risers: formulação acoplada e desacoplada. Por exemplo: em águas rasas, pode-se ignorar o acoplamento estrutural e hidrodinâmico entre as linhas de ancoragem e risers e a unidade flutuante; por outro lado, este acoplamento não pode ser completamente 6

20 ignorado em lâminas d água profunda com grande número de linhas. Cabe aos projetistas responsáveis pelo projeto modelarem o sistema offshore da maneira mais conveniente possível, de acordo com o propósito da análise. Nesta seção, serão abordados estes conceitos e alguns tipos de modelos utilizados para representar um sistema offshore e suas respectivas características. Uma explicação mais detalhada acerca do assunto pode ser encontrada na Tese de Doutorado de Corrêa, F.N. [4] Formulações desacopladas Na formulação desacoplada, todo o domínio do problema é dividido da forma mais conveniente possível, e analisados por simulações separadas. Por exemplo: para análise de risers de sistemas offshore, a formulação desacoplada está relacionada à análise da interação entre o casco da unidade flutuante e as linhas a ele conectadas. O emprego desta formulação em uma sequencia de análises pode compor uma metodologia desacoplada para análise de movimentos de sistemas offshore que consiste basicamente em duas etapas: na primeira, as linhas de ancoragem e risers são representadas por escalares de massa, rigidez e amortecimento. Estes coeficientes podem ser calibrados via modelos analíticos, como a equação da catenária, ou modelos experimentais. Estes coeficientes são incorporados nas equações de movimento de corpo rígido que regem o comportamento do casco da unidade flutuante. Na segunda etapa, os movimentos calculados na primeira etapa são transferidos para o topo das linhas, modeladas nesta fase por elementos finitos. O objetivo desta segunda etapa é analisar sistema de risers, no que diz respeito aos seus esforços, curvaturas, interferência com outras linhas, etc Movimento da unidade flutuante O movimento da unidade flutuante é estabelecido por um sistema de equações que fornece a solução para os seis graus de liberdade do espaço tridimensional. Na nomenclatura de embarcações offshore, esses graus de liberdade são Surge, Sway, Heave, Roll, Pitch e Yaw, que correspondem aos três graus de translação e aos três graus de rotação, respectivamente. Uma descrição detalhada acerca da dinâmica de corpos rígidos aplicada às estruturas offshore pode ser encontrada na referência [3]. As equações de movimento de um corpo rígido possuem solução analítica somente para casos muito específicos, nos quais a geometria do corpo é facilmente representável e os carregamentos externos são representados de maneira determinística. Obviamente, este não é o caso quando se trata de plataformas offshore; por este motivo, uma solução numérica é exigida. 7

21 A solução das equações para determinação do movimento da unidade flutuante quanto dos esforços nas linhas (assunto do próximo item) pode ser obtida no domínio do tempo ou da frequência, este último a partir de certas simplificações [2]. Algumas técnicas adotadas para a integração das equações de movimento ao longo do tempo são o Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem, Método de Diferença Central, ou, mais recentemente, o método híbrido tempo-frequência, HTF-GA [4]. Em simulações de sistemas offshore no domínio do tempo, é aconselhável realizar a análise dinâmica a partir dos resultados fornecidos por uma análise estática prévia, que considera somente a parcela estática dos carregamentos. Além disso, é recomendável a aplicação de uma função rampa para os carregamentos dinâmicos, no intuito de evitar forças de impacto na estrutura que não condizem com a realidade. Quando a análise de movimentos de unidades flutuantes é solucionada no domínio da frequência, o produto principal destas simulações corresponde à função de transferência da unidade, denominada RAOs de resposta, em inglês: Response Amplitude Operators. Estas funções são amplamente utilizadas em análises desacopladas de risers, conforme apresentado com mais detalhes a seguir Análise estrutural das linhas de ancoragem e risers Além da análise de movimento de unidades flutuantes, a formulação desacoplada também pode ser empregada no contexto da análise isolada de linhas. Neste caso, o domínio do casco é representado apenas através de seus movimentos, previamente calculados através da análise de movimentos, conforme mencionado na seção anterior. Eles são prescritos no topo das linhas de ancoragem e risers. O objetivo desta segunda etapa é analisar o comportamento hidrodinâmico e estrutural das linhas do modelo. Esta análise é formulada, do ponto de vista físico-matemático, através de um Problema de Valor Inicial e de Contorno (PVI/C). Para obter a solução deste problema complexo, assim como no item anterior, é necessário o uso de técnicas numéricas. Isto porque várias não-linearidades estão presentes neste problema. É o caso, por exemplo, dos grandes deslocamentos devido às cargas, fazendo com que as relações cinemáticas deixem de ser lineares (não-linearidade geométrica). Além disso, há possibilidade também das equações constitutivas deixarem de ser lineares (não-linearidade física). Portanto, para obter a solução deste PVI/C, é necessário realizar a discretização nos dois domínios a serem analisados: tempo e espaço. Quanto ao domínio espacial, utiliza-se a Método dos Elementos Finitos para a discretização do Problema de Valor de Contorno. Esta é uma técnica bastante difundida no campo da engenharia, e pode ser encontrada com detalhes em Bathe [5]. Esta técnica visa a 8

22 transformação das equações diferenciais parciais (EDP) em equações diferenciais ordinárias (EDO) semi-discretas. O conceito por trás deste método baseia-se em dividir todo o domínio espacial (no caso, todo o comprimento da linha) em pequenas regiões discretas, nas quais o equilíbrio é estabelecido individualmente. A partir daí, o equilíbrio geral é garantido levando em consideração a interação que cada porção finita exerce sobre as demais. As condições de contorno do PVC são aplicadas nas extremidades das linhas. Como na extremidade inferior é suposto que haja restrição de movimento, a única condição de contorno a ser determinada é a da extremidade superior. De fato, são os movimentos da unidade flutuante obtidos na primeira etapa da formulação desacoplada (item ) que são aplicados no topo das linhas. Por fim, para a discretização temporal do Problema de Valor Inicial, utilizam-se métodos semelhantes ao já citado Runge-Kutta de Quarta Ordem. Estes métodos visam a transformação das equações diferenciais ordinárias semi-discretas oriundas da discretização espacial em equações algébricas, que podem ser solucionadas facilmente por cálculos computacionais. Os métodos mais utilizados para esta tarefa são os algoritmos de integração da família de Newmark associado a métodos iterativos para solução de problemas não-lineares, como o de Newton-Raphson. A principal desvantagem da formulação desacoplada no contexto das linhas está no fato de ignorar a interação não-linear entre o comportamento hidrodinâmico da unidade flutuante e o comportamento hidrodinâmico/estrutural das linhas. Cabe reforçar que os métodos de representação de ondas, expostos neste trabalho, são aplicáveis apenas para análises desacopladas de risers Formulações acopladas Embora a formulação acoplada não faça parte dos estudos deste trabalho, uma breve descrição será apresentada aqui. A formulação acoplada simula numericamente o problema offshore em uma única etapa, e pode ser numericamente implementada de duas formas Formulação fortemente acoplada Na formulação fortemente acoplada o sistema offshore é tratado no modelo como um único domínio, para o qual o sistema de equações é resolvido através de um único algoritmo de integração numérica. Isso significa que tanto o casco da unidade flutuante como as linhas a ele conectadas são tratados como um único modelo. É um tipo de formulação que, por agrupar todas as malhas de elementos finitos das linhas, requer muita memória computacional e, por isso, possui elevado custo 9

23 computacional. A vantagem deste tipo de formulação reside na capacidade de resolver as respostas de movimento do casco e, ao mesmo tempo, a resposta estrutural nas linhas (tração, momentos, etc) Formulação fracamente acoplada Na formulação fracamente acoplada há a divisão conveniente do problema em dois domínios. Porém, diferente da formulação desacoplada, na qual cada domínio era solucionado em etapas independentes, na formulação fracamente acoplada o sistema de equações é resolvido pela comunicação entre os dois domínios com certa defasagem de tempo. A vantagem desta formulação é que cada domínio pode ser solucionado por diferentes algoritmos de integração, no caso dos domínios possuírem comportamentos diferentes. Normalmente aplica-se um método de integração explícito, como o de Runge-Kutta de Quarta Ordem, para integrar as equações de movimento do casco e o método implícito, como o de Newmark, para solução das equações de movimento das linhas. 10

24 3 Análise estatística de processos aleatórios De uma maneira geral, um sistema físico pode ser abordado através de dois tipos de análises: estática e dinâmica. A diferença entre ambas reside na modelagem das variáveis do modelo físico-matemático que representa o sistema. Qualquer variável pode ser representada pela soma de uma parcela estática, independente do tempo, com uma parcela dinâmica em função do tempo. Na análise estática, as variáveis serão representadas no modelo somente pela sua parcela estática, independentemente da existência de parcelas dinâmicas (de maneira mais precisa, a parcela dinâmica é constante e igual à zero). Naturalmente, a resposta do sistema encontrada neste tipo de análise também será estática, e é obtida através do equilíbrio entre as forças atuantes (externas, internas e de reação) no sistema. Na análise dinâmica, a parcela temporalmente dependente das variáveis é incluída no modelo a ser tratado, de forma que o equilíbrio deve ser estabelecido para cada instante de tempo. No caso de um sistema offshore, por exemplo, a dependência temporal pode estar presente nos carregamentos ambientais (ondas, ventos e correntes; nestes dois últimos, costuma-se encontrar tanto uma parcela estática quanto uma parcela dinâmica), na inércia, no amortecimento e nas rigidezes. As análises dinâmicas podem ainda ser classificadas em determinísticas ou estocásticas, diferenciando-se uma da outra na forma com que o carregamento é especificado. No caso das análises determinísticas, o carregamento é conhecido de maneira exata a cada instante de tempo e, por conseguinte, a resposta também possuirá a mesma propriedade. É o caso, por exemplo, de uma função analítica dependente do tempo representando a força atuante no sistema. Já nas análises estocásticas, o carregamento é especificado conforme conceitos probabilísticos. Isso significa dizer que o carregamento não pode ser determinado com exatidão em um determinado instante tempo, tampouco a resposta do sistema. Em outras palavras, um nível de aleatoriedade faz-se presente nestas análises. Como intuitivamente esperado, as análises estocásticas, apesar de serem mais complexas por demandarem certo conhecimento estatístico, são mais fieis ao comportamento real da estrutura. Portanto, o intuito deste capítulo é apresentar os conceitos básicos de probabilidade e estatística necessários para realizar uma análise dinâmica de uma estrutura offshore, que serão aplicados posteriormente no capítulo 6, durante o estudo de casos. 11

25 3.1 Variáveis aleatórias O resultado de um evento dito aleatório, quando independente do tempo, pode ser representado através de uma variável aleatória. Exemplos de eventos aleatórios são: velocidade do vento numa dada localidade, altura de uma onda, entre outros. Todas estas situações possuem aleatoriedades intrínsecas ao evento que impossibilitam realizar uma descrição determinística com precisão adequada. O conceito de variável aleatória será importante para definir formalmente um processo estocástico, tarefa guardada para o item 3.6. Toda variável aleatória estará relacionada a uma função densidade de probabilidades (a serem tratadas no item 3.3), que associará um valor real para cada ponto amostral do domínio desta variável. A notação convencional utilizada é a letra maiúscula para designar a variável aleatória em si, e a letra minúscula para relatar uma ocorrência específica desta. Na análise de um carregamento ambiental, por exemplo, a velocidade do vento poderá ser representada por X, enquanto que uma ocorrência desta variável (através de uma medição) será designada por X=x. Uma variável aleatória pode ser ainda classificada em discreta ou contínua, dependendo da natureza do evento a ser retratado. Uma variável aleatória discreta descreve fenômenos cujos possíveis resultados formam um conjunto finito ou infinito contável de pontos amostrais. O lançamento de uma moeda ou de um dado, por exemplo, são eventos que devem ser descritos através de uma variável aleatória discreta. As variáveis aleatórias contínuas, por sua vez, estão associadas a um conjunto de resultados infinito de pontos amostrais, impossíveis de serem contabilizados. É o caso, por exemplo, da descrição estatística da altura de uma onda de mar. Informações mais aprofundadas acerca das características das variáveis aleatórias podem ser encontradas nas referências [8] e [9] Definição de variável aleatória Seja um determinado espaço amostral formado por um conjunto de pontos amostrais, designados cada um por, que descrevem inteiramente as possíveis ocorrências de um determinado fenômeno. Uma variável aleatória X( ) é obtida através da atribuição de um valor real para cada um destes pontos amostrais. A convenção utilizada para o tratamento de variáveis aleatórias é de uma letra maiúscula para a variável aleatória propriamente dita, e uma letra minúscula para atribuir uma realização desta variável. Portanto, o evento * + se refere ao subespaço amostral cuja variável aleatória assume valor menor que x. Por se tratar de 12

26 uma variável aleatória, a ocorrência de determinado evento só pode estar associada a uma probabilidade (valor entre 0 e 1). O domínio da variável aleatória X é justamente o espaço amostral. Uma definição formal para variáveis aleatórias discretas e contínuas pode ser estabelecida conforme a característica deste espaço amostral: a) Quando este espaço amostral constitui-se por pontos amostrais contáveis (finitos ou infinitos), trata-se de uma variável aleatório discreta; b) Caso os pontos amostrais possíveis sejam incontáveis, trata-se portanto de uma variável aleatório contínua. 3.2 Propriedades de uma variável aleatória Seja uma variável aleatória ; a definição de uma função de distribuição acumulada de probabilidades será dada por ( ) de tal forma que: ( ), - (3.1) Na equação acima, o operador, - designa a probabilidade da variável X ser menor ou igual a uma determinada realização. Esta definição é válida tanto para variáveis aleatórias contínuas quanto para as discretas. Com a função cumulativa de probabilidades, algumas propriedades gerais podem ser listadas para uma variável aleatória qualquer. São elas: I) Os valores limites da função cumulativa de probabilidades são fixados de modo que: ( ) ( ) ( ) ( ) II) A função ( ) é monotonicamente crescente. Isso significa que ( ) ( ) para qualquer. Uma vez que a função cumulativa fornece a probabilidade de ocorrência do evento cujo conjunto amostral é dado pela condição, então à medida que aumentamos este subespaço (em outras palavras, ao passo que aumentamos o valor de ), maior será a probabilidade de ocorrência deste evento. III) Probabilidade de uma região delimitada do espaço amostral:, - ( ) ( ) IV) No tratamento de variáveis aleatórias, a probabilidade de uma ocorrência de um determinado ponto amostral é determinada pelo salto observado 13

27 na respectiva abscissa de sua função cumulativa. Uma vez que para as variáveis aleatórias contínuas a função cumulativa não apresenta saltos, então não existe o conceito de probabilidade de um único ponto do espaço amostral, e sim, de uma região dele. Portanto:, - ( ) ( ) ( ), - ( ) ( ) ( ) Outra definição que pode ser obtida a partir da distribuição cumulativa é a função densidade de probabilidades, dada a partir da derivada da função cumulativa, como na equação (3.2): ( ) ( ) (3.2) A equação (3.2) só estará definida em todo o espaço amostral desde que represente uma variável aleatória contínua. Caso se trate de uma variável aleatória discreta, a adaptação da equação (3.2) será realizada com o auxílio da função Delta de Dirac, como na equação (3.3) a seguir: ( ) ( ) ( ) (3.3), onde é a probabilidade do i-ésimo ponto amostral (salto observado em na função cumulativa de probabilidade da variável aleatória discreta). A interpretação da equação (3.3) é de que a função densidade de probabilidades para uma variável aleatória discreta é descrita por um pulso de intensidade a cada ponto amostral. Utilizando esta notação, a função cumulativa pode ser escrita como na equação (3.4): ( ) ( ) (3.4) Por fim, através da definição de função densidade de probabilidades é possível determinar uma última propriedade que cabe a uma variável aleatória. V) Distribuição de todo o espaço amostral ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 14

28 3.2.1 Parâmetros estatísticos de uma variável aleatória Toda variável aleatória possui algumas medidas estatísticas cuja finalidade é fornecer alguma informação quantitativa acerca do comportamento geral da função de distribuição de probabilidades. As medidas de posição (valor esperado, moda ou mediana) e de dispersão (desvio padrão) são as de maior aplicação e encontradas frequentemente no tratamento das variáveis aleatórias. Outras medidas características também podem ser encontradas; é o caso das medidas de assimetria (coeficiente de assimetria ou skewness) e de achatamento (coeficiente de curtose ou kurtosis). O valor esperado (ou média) de uma variável aleatória X é definido conforme a equação (3.5), - ( ) ( ) (3.5) A função densidade de probabilidades pode ser interpretada como uma função densidade linear de massa ao longo do eixo x; dessa forma, o valor esperado pode ser visto como o centro de massa da distribuição. Portanto, se a função densidade estiver distribuída simetricamente em torno de, então o centro de massa (de fato, o valor esperado) será dado por. Percebe-se que a equação (3.5) foi definida para uma variável aleatória contínua; para variáveis aleatórias discretas, a definição é semelhante e dada através de um somatório:, - ( ) (3.6) A moda é outra medida de posição que fornece informação quantitativa à função densidade de probabilidades. O valor mais provável, como também é conhecida a moda, é definido como o ponto cujo valor da função densidade de probabilidades é máximo. Já a mediana é o ponto que divide a função densidade de probabilidades em duas regiões com áreas exatamente iguais. Definindo em termos de equações, temos: ( ) (3.7) ( ) (3.8) Já as medidas de dispersão, como o desvio padrão, fornecem informações quanto à distribuição da variável em torno da média. Porém, antes de definir o 15

29 conceito de desvio padrão em si, deve-se primeiramente definir a variância de uma variável aleatória:, - ( ) ( ) ( ) (3.9) Para variáveis aleatórias discretas, tem-se que a variância é dada por:, - ( ) ( ) (3.10) Uma vez que o interesse das medidas de dispersão é calcular somente a distribuição da variável em torno do valor esperado, torna-se necessário trabalhar com distâncias quadráticas para que, desta forma, dispersões à direita e à esquerda da média sejam tratadas de maneira igual. O desvio padrão, representado por, será dado por:, - (3.11) Enquanto a média corresponde ao centro de massa da função de densidade de probabilidades, a variância corresponderá ao momento de inércia de massa com relação ao valor esperado, fornecendo uma ideia de concentração de massa em torno deste. Um importante parâmetro estatístico pode ser obtido utilizando o valor esperado e o desvio padrão. Trata-se do coeficiente de variação, que fornece uma medida adimensional de dispersão (ao contrário do desvio padrão, que mede esta dispersão de forma dimensional). (3.12) Coeficientes de variação baixos indicam uma dispersão de valores próximos da média, enquanto que altos coeficientes indicam uma situação de forte dispersão em torno da média. O coeficiente de assimetria (skewness), representado por, indica o nível de simetria da função densidade de probabilidades em torno da média. Já o coeficiente de kurtosis, representado por, fornece um indício da suavidade da função densidade de probabilidades [10]. A definição destes parâmetros estatísticos segue adiante: ( ) ( ) ( ) ( ) (3.13) 16

30 ( ) ( ) ( ) ( ) (3.14) Em termos qualitativos, valores positivos de indicam que os valores da variável aleatória maiores que a média são mais dispersos do que valores abaixo da média; um valor nulo indica simetria da função distribuição de probabilidades (Figura 1). Já o coeficiente é uma medida da suavidade da distribuição de probabilidades; quanto maior o coeficiente, mais suave será a função. Figura 1 - Coeficiente de skewness 3.3 Distribuições de probabilidade No item anterior foram discutidas algumas características importantes relacionadas a variáveis aleatórias, como as propriedades gerais e parâmetros estatísticos para descrição quantitativa e qualitativa da variável aleatória. Esta discussão foi desenvolvida tomando como referência a função cumulativa de probabilidades e a função de distribuição de probabilidades. Conhecendo estas funções, a variável aleatória está bem determinada e os respectivos parâmetros estatísticos podem ser calculados. Existem diversas funções de distribuição de probabilidades presentes na literatura que podem ser aplicadas para modelar uma variável aleatória. Para se caracterizar como tal, uma função de distribuição de probabilidades deve possuir as seguintes propriedades matemáticas: I) ( ) II) ( ) (3.15) III) ( ) ( ) A respectiva função cumulativa de probabilidades, como visto anteriormente, pode ser determinada através da equação (3.2) na forma integral: 17

31 ( ) ( ) (3.16) De maneira análoga, a função cumulativa de probabilidades também possui propriedades a serem satisfeitas: I) ( ) II) ( ) (3.17) III) ( ) Nesta seção serão apresentadas as funções de maior aplicação prática na engenharia Distribuição Normal Uma variável aleatória x é dita normalmente distribuída (ou gaussiana) se possuir uma PDF (probability density function) dada por: ( ) * ( ) + (3.18) Esta distribuição possui somente dois parâmetros estatísticos: a média e o desvio padrão da variável aleatória. A notação comumente utilizada para se referir a uma variável gaussiana é ( ). A função cumulativa de probabilidades ( ) só pode ser obtida através de integração numérica da equação (3.16). Um caso particular da distribuição normal, chamado de distribuição normal padrão, é aquele na qual a média e o desvio padrão equivalem, respectivamente, a 0 e 1. Isso significa que toda variável aleatória gaussiana pode ser reduzida a uma variável aleatória gaussiana padrão através da transformação ( ), reduzindo a equação (3.18) para (3.19): ( ) [ ( ) ] (3.19) Dado que na literatura podem ser encontradas tabelas contendo a avaliação da função cumulativa gaussiana padrão através de integração numérica, o tratamento quantitativo de variáveis aleatórias normais é feito sem maiores problemas Distribuição Log-Normal Uma variável aleatória X pode ser representada estatisticamente através de uma distribuição lognormal se, ao tomarmos seu logaritmo, seu comportamento for 18

32 descrito por uma distribuição normal. Utilizando a notação descrita no item anterior, pode-se dizer que a variável aleatória possui distribuição lognormal se ( ) ( ). A PDF de uma distribuição deste tipo é definida como: ( ) * ( ( ) ) + (3.20) Na equação (3.20), os parâmetros e são, respectivamente, o valor esperado e o desvio padrão da variável aleatória ln(x); portanto, ( ( )) ( ) e ( ( )) ( ). Com certo algebrismo, uma relação entre estes parâmetros com a média e desvio padrão da variável aleatória X pode ser obtida. É o que está apresentado na equação * ( ) + (3.21) ( ) Assim como acontece para a distribuição normal, qualquer variável aleatória que segue a distribuição lognormal pode ser reduzida a uma distribuição normal padrão através da transformação ( ( ) ), onde a distribuição de Y é dada pela equação (3.18) Distribuição de Weibull A função densidade de probabilidades da distribuição Weibull, a função cumulativa de probabilidades, bem como a caracterização dos parâmetros que as definem segue adiante: ( ) ( ) * ( ) + (3.22) ( ) * ( ) + (3.23), - ( ) (3.24), - ( ) ( ) (3.25) 19

33 , onde ( ) é a função matemática Gamma. Os parâmetros e são denominados, respectivamente, de fator de escala e fator de forma da distribuição de Weibull, e ambos estão definidos no intervalo, ) Distribuição de Rayleigh Um caso particular da distribuição de Weibull, a chamada distribuição de Rayleigh, ocorre quando o e. Portanto, supondo uma variável aleatória modelada por distribuição de Rayleigh com parâmetro, a distribuição torna-se: ( ) * ( ) + (3.26) ( ) * ( ) + (3.27) 3.4 Ajuste de Distribuição a Dados Observados Uma etapa importante no estudo de um fenômeno aleatório é analisar se o evento apresenta um comportamento estatístico com distribuição similar a uma daquelas largamente utilizadas na engenharia, como as discutidas na seção 3.3. Ao representar um fenômeno aleatório através de distribuições estatísticas bem determinadas, o cálculo de probabilidades associados torna-se então bastante facilitado. Na prática, o problema consiste em definir qual dessas distribuições melhor modela o fenômeno a ser analisado Parâmetros Estatísticos a partir de uma amostra A partir da coleta de uma amostra da variável X, é possível extrair informações úteis como parâmetros estatísticos e representações gráficas. Uma representação gráfica comumente utilizada é o histograma de frequência relativa, que consiste em relatar o número de ocorrências da variável aleatória dentro de determinados intervalos. O fenômeno aleatório de elevação da superfície do mar em uma localidade pode ser tomado como exemplo; designando H como uma variável aleatória para descrever a altura de onda do mar, a construção de um histograma consiste em registrar graficamente quantas medições se situaram entre e, entre e, e assim sucessivamente. 20

34 A partir das medições realizadas na variável aleatória, dadas pelo conjunto * +, podem ser definidos os valores característicos da mesma. Na equação (3.28), os parâmetros e representam a média e o desvio padrão da amostra coletada. (3.28) ( ) Determinação da distribuição de probabilidades Caso a amostra seja suficientemente grande, os parâmetros estatísticos da amostra tendem a se aproximar dos parâmetros estatísticos da população total da variável X. Dessa forma, pode ser assumido que e que. Uma vez que estes parâmetros da variável aleatória geralmente estão associados aos parâmetros das distribuições teóricas (no caso da distribuição lognormal, por exemplo, seus dois parâmetros podem ser obtidos a partir da média e desvio padrão da variável aleatória através da equação (3.21)), obter as distribuições teóricas torna-se uma tarefa simples. O próximo passo da tarefa seria, então, listar as distribuições teóricas candidatas para modelar a variável aleatória e determina-las quantitativamente a partir destes parâmetros estatísticos da variável aleatória. Por fim, é verificada a razoabilidade do ajuste, comparando cada uma das distribuições de probabilidade candidatas com o histograma normalizado da amostra. Através do Teste de Aderência ou de comparações visuais, a distribuição teórica que melhor se ajusta aos dados pode ser distinguida das demais. 3.5 Valores extremos Em muitos problemas de engenharia, o interesse recai não somente nos parâmetros estatísticos de posição e dispersão de determinada variável aleatório, mas também sobre os chamados valores extremos da mesma, ou seja, os valores mínimos ou máximos que a variável pode atingir. No caso específico da engenharia estrutural, há interesse em conhecer, por exemplo, os valores máximos extremos dos carregamentos atuantes sobre a estrutura durante sua vida útil e de valores extremos mínimos de resistência da mesma. 21

35 Quando um conjunto de observações de uma variável aleatória é realizado, um subconjunto contendo os respectivos valores extremos (máximos e mínimos) pode ser criado. A cada nova realização de observações da variável aleatória, novos valores extremos são adicionados a este subconjunto. Percebe-se, portanto, que valores extremos de uma variável aleatória são considerados também como variáveis aleatórias, com uma distribuição estatística própria, conforme [9] e [10]. Desta forma, ao mesma metodologia de ajuste de uma distribuição de probabilidades discutida na seção 3.4 pode ser aplicada para uma amostra de valores extremos; de fato, na literatura existem as distribuições de valores extremos, que se ajustam bem a este tipo de variável aleatória e que serão abordadas nos itens seguintes. Por exemplo, a determinação da distribuição de valores extremos anuais de uma variável aleatória seria baseada em um banco de dados com os valores máximos observados em cada ano durante muitos anos (no mínimo 20 a 25 anos), ou seja, uma distribuição de probabilidades seria ajustada a estes valores. Porém, na prática, geralmente dados de valores extremos máximos ou mínimos não constituem uma amostragem significativa para proceder de tal forma. Isso porque é inviável, para qualquer projeto de engenharia, esperar por uma ou duas décadas para coletar dados a fim de analisar valores extremos de um fenômeno. A partir desta dificuldade surgiu a Estatística de Extremos, que visa obter a distribuição de extremos de uma variável aleatória a partir da função distribuição de probabilidades desta mesma Distribuição exata de valores extremos Seja X uma variável aleatória com função cumulativa de probabilidades bem definida, dada por ( ). Uma amostra de X contendo observações independentes entre si é coletada e representada por ( ). Os valores máximos e mínimos da amostra são, respectivamente:, -, - (3.29) Considerando que o conjunto ( ) é formado por observações independentes, então todas as observações podem ser tratadas como variáveis aleatórias identicamente distribuídas tal que ( ) ( ) ( ). Os valores 22

36 máximos e mínimos serão, então, tratados também como variáveis aleatórias de forma que:, -, - (3.30) Se, o maior valor do conjunto( ), é menor que um dado valor, portanto todos os valores do conjunto o devem ser também. A partir deste raciocínio, é possível obter uma expressão para a função cumulativa de probabilidades exata de valores extremos. Esta importante passagem é expressa matematicamente na equação (3.31): ( ),( )-,( ) ( ) ( )-,( )-,( )-,( )-, ( )- (3.31) OBS1: a hipótese de independência entre as realizações de X foi assumida na passagem da penúltima linha para a última linha a equação (3.31). OBS2: nesta metodologia de determinação das distribuições dos valores extremos, a distribuição da variável aleatória X é denominada de distribuição parente. Utilizando a definição expressa na equação (3.2), é possível determinar a expressão para a função de distribuição de probabilidades exata de valores extremos. ( ) ( ), ( )-, ( )- ( ) (3.32) As expressões em (3.31) e (3.32) correspondem às distribuições exatas do valor máximo de uma amostra de tamanho, tomadas de uma população de X. Esta distribuição depende do tamanho da amostra e da distribuição da variável aleatória original X; para uma amostra unitária, a distribuição de valores extremos é exatamente igual à respectiva distribuição de sua variável aleatória de origem. A Figura 2 ilustra como a distribuição de extremos varia conforme o tamanho da amostra para uma variável aleatória representada por distribuição normal padrão. 23

37 Figura 2 Distribuição de valores extremos para diferentes tamanhos de amostra [9] Observa-se que, à medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição de valores extremos tende a se localizar na região da cauda superior da distribuição original, o que significa que valores extremos cada vez maiores são esperados. A distribuição para valores mínimos pode ser obtida por um raciocínio análogo. Portanto: ( ),( )-,( ) ( ) ( )- *(,( )-) (,( )-) (,( )-)+, ( )- (3.33) ( ) ( ) *, ( )- +, ( )- ( ) (3.34) O comportamento de uma distribuição de valores mínimos de uma variável aleatória é oposto à distribuição de valores máximos: à medida que o tamanho da amostra aumenta, esperam-se valores extremos mínimos cada vez menores Distribuições assintóticas Apesar de haver uma expressão para a obtenção da distribuição exata de valores extremos máximos e mínimos de uma variável aleatória, na prática ela pode ser difícil de ser aplicada. Isso porque, como mostrado na seção anterior, a obtenção 24

38 destas distribuições requer o conhecimento da distribuição parente e sua respectiva função cumulativa, e esta pode ser uma tarefa custosa. Por exemplo: foi visto na seção que, para a distribuição normal, a obtenção da função cumulativa só é possível através de integração numérica. Como se pode imaginar, torna-se inviável aplicar a metodologia da seção anterior para casos como estes, uma vez que não há uma expressão analítica para a função cumulativa. Através de estudos realizados ao longo do tempo, verificou-se que as distribuições de extremos possuem uma tendência a se comportarem como algumas distribuições bem conhecidas (chamadas de assintóticas) para situações em que o número de observações tende ao infinito. Mais especificamente, a distribuição assintótica depende basicamente do comportamento da extremidade de interesse (inferior, no tratamento de extremos mínimos; superior, no tratamento de extremos máximos) da distribuição parente da variável aleatória analisada. Na literatura relacionada ao assunto são encontradas três tipos de distribuições assintóticas para valores extremos: distribuições do Tipo I, Tipo II e Tipo III. Cabe ressaltar que, apesar de serem consideradas distribuições que representam valores extremos de maneira razoável, nada impede que elas possam ser ajustadas para qualquer tipo de variável aleatória (seja de valores extremos ou não), uma vez que suas distribuições de probabilidade e acumulada possuem as propriedades (3.15) e (3.17). Para variáveis aleatórias cuja distribuição parente possui a cauda superior com taxa de decaimento exponencial, a sua distribuição dos extremos máximos tende assintoticamente para uma distribuição do Tipo I, também denominada de distribuição de Gumbel. Exemplos de distribuições parentes com taxa de decaimento exponencial são: Normal, Weibull, Rayleigh, etc. A função distribuição de probabilidades e a função de probabilidades acumulada serão apresentadas nas equações abaixo. Denominando os valores extremos máximos da variável aleatória de (uma nova variável aleatória), então: ( ) ( ( ) ( ( ))) (3.35) ( ) ( ( ( ))) (3.36), - (3.37), - (3.38) 25

39 A distribuição de Gumbel para extremos máximos possui dois parâmetros estatísticos característicos: e, que correspondem respectivamente ao parâmetro de forma e à moda da própria distribuição de. Por outro lado, para variáveis aleatórias cuja distribuição parente possui a cauda inferior com taxa de decaimento exponencial, a sua distribuição dos extremos mínimos tende também assintoticamente para uma distribuição de Gumbel. Denominando os valores extremos máximos da variável aleatória de (uma nova variável aleatória), então: ( ) ( ( ) ( ( ))) (3.39) ( ) ( ( ( ))) (3.40), - (3.41), - (3.42) Para a análise de uma estrutura offshore, os picos dos carregamentos ambientais e das respectivas respostas são tratados como variáveis aleatórias e, portanto, podem ser abordadas pela Estatística de Extremos. De fato, é uma tarefa a ser realizada durante o estudo de casos deste trabalho. Sabe-se, pela experiência de projetos e atividades anteriores [2,[11], que estas variáveis convergem de forma assintótica para uma distribuição de Gumbel, ou seja, possuem uma distribuição parente cujo decaimento é exponencial. As distribuições assintóticas de Frechet (Tipo II) e de Weibull (Tipo III), apesar de possuírem aplicações práticas importantes, não serão utilizadas neste trabalho e, portanto, dispensam apresentações. Para detalhes acerca destas distribuições, conferir as referências [9] e [10] Extremo característico O objetivo desta seção é discutir o significado prático do parâmetro apresentado na seção anterior. Também chamado de máximo característico, o parâmetro é definido dentro da Estatística de Extremos como o valor particular de tal que, dentre os valores observados, o número esperado de valores maiores que é igual a um. Para entender melhor esta definição, o seguinte raciocínio deve ser seguido: em uma única observação de uma variável aleatória, a probabilidade de se obter um 26

40 resultado maior do que (probabilidade de excedência) é dada por ( ). Portanto, para observações, o número esperado de valores maiores do que será dado por ( ( )). Exemplo: se a probabilidade de excedência de, para uma variável aleatória X qualquer, seja igual a 10%, então para uma amostra de 100 observações desta variável espera-se que 10 valores sejam maiores que (ou seja, 10%). Portanto, retornando à definição do máximo característico : ( ( )) (3.43) Manipulando algebricamente, obtém a seguinte expressão equivalente: ( ) (3.44) por: Através de um raciocínio análogo, o mínimo característico seria caracterizado ( ) (3.45), onde o subíndice 1 foi utilizado para diferenciar o mínimo característico do máximo característico. É comum, ao longo do estudo de valores extremos, responder à pergunta Qual o valor extremo máximo (ou mínimo) mais provável da variável aleatória X?. A resposta seria justamente o máximo (ou mínimo) característico encontrado através das equações (3.43) e (3.45). Por isso, o máximo característico é também denominado de valor extremo mais provável, ou MPV (do inglês, Most Probable Value) Determinação do máximo característico: passo-a-passo Diante de todo o conteúdo apresentado nas seções 3.5.1, e 3.5.3, resta saber qual o procedimento prático a ser realizado para abordar uma quantidade de interesse do ponto de vista da Estatística de extremos. Como pôde ser percebida, uma etapa crucial nesta abordagem é determinar o valor extremo mais provável desta quantidade ( ou, dependendo se o interesse recai nos máximos ou mínimos). Existem três possibilidades para a determinação do valor extremo mais provável; são elas: a) A partir do espectro de energia; b) Retirando uma amostra de extremos de séries temporais independentes; c) Retirando uma amostra de picos de uma única série temporal. 27

41 Espectro de energia de resposta A determinação do valor extremo mais provável a partir do espectro de energia de resposta só é possível em uma situação especial, na qual quantidade de interesse pode ser representada por um processo gaussiano estacionário. As seções 3.6 e 3.7 irão tratar deste assunto de maneira detalhada Amostra de extremos A segunda possibilidade refere-se à geração de realizações independentes, e para cada uma destas é coletado o maior valor de toda a série temporal. No final, uma amostra de valores extremos será coletada; a distribuição de probabilidades que se ajustará a esta amostra será a própria distribuição de valores extremos (por exemplo, Gumbel). Com a distribuição de valores extremos determinada, o máximo característico pode ser facilmente determinado com o auxílio das equações (3.35) a (3.38). Apesar de ser teoricamente viável, na prática esta opção raramente é utilizada, uma vez que seria necessário realizar análises independentes do sistema, o que elevaria o custo computacional do método. De fato, a opção comumente utilizada é através de uma amostra de picos de uma única realização Amostra de picos Outra possibilidade é a determinação do valor extremo mais provável através de uma única realização. Neste caso, varre-se toda a série temporal com o objetivo de recolher uma amostra de tamanho dos picos máximos (ou mínimos) e, ao final da varredura, ajustar uma distribuição de probabilidades aos picos coletados. Portanto, seguindo a notação utilizada neste trabalho, a amostra de picos estará representando a variável aleatória com uma distribuição de probabilidades devidamente ajustada. Supondo que a distribuição parente possua taxa de decaimento exponencial, hipótese razoável para grande parte das variáveis envolvidas num sistema offshore (movimento, esforços, etc), então a distribuição de extremos convergirá para a do Tipo I. A obtenção dos parâmetros e (ou e ) da distribuição assintótica de Gumbel depende da distribuição parente e é uma tarefa que pode ser encontrada em Ang & Tang (referências [12] e [13]). Este procedimento está relatado resumidamente a seguir somente para valores extremos máximos, uma vez que valores extremos mínimos não terão maior importância para este trabalho. 28

42 Se uma amostra de picos de tamanho puder ser ajustada por uma distribuição de Rayleigh (distribuição parente), logo a distribuição de valores extremos máximos do Tipo I possuirá parâmetros dados por: ( ) (3.46) ( ) (3.47) Se uma amostra de tamanho puder ser ajustada por uma distribuição Normal (distribuição parente), logo a distribuição de valores extremos máximos do Tipo I possuirá parâmetros dados por: * ( ) ( ( )) ( ) + (3.48) ( ) ( ) (3.49) OBS: Nas equações acima, o parâmetro é o desvio padrão da variável aleatória que representa o fenômeno estudado. Ex: se é coletada uma amostra de picos da elevação da superfície do mar em dada locação, então é o desvio padrão da superfície do mar. Se uma amostra de tamanho e parâmetros e puder ser ajustada por uma distribuição de Weibull (distribuição parente), logo a distribuição de valores extremos máximos do Tipo I possuirá parâmetros dados por:, ( )- (3.50), ( )- (3.51) OBS: a fim de relembrar a notação utilizada, o parâmetro refere-se à distribuição de Gumbel para valores extremos máximos, enquanto que o parâmetro refere-se à distribuição Weibull parente da variável aleatória. 3.6 Processo Estocástico Uma análise dinâmica de determinada estrutura pode ser realizada de duas maneiras, conforme já dito anteriormente: através de uma abordagem determinística, o que requer o conhecimento completo dos carregamentos ao longo do tempo, ou uma 29

43 abordagem estocástica, na qual são utilizados conceitos estatísticos para especificar o carregamento sobre a estrutura. Uma característica importante de medições de fenômenos aleatórios estudados pela engenharia é que, por mais que existam condições de replicabilidade do experimento, sempre haverá diferença entre as realizações. Além disso, cada série temporal da quantidade medida muitas vezes possui comportamento altamente irregular. Para exemplificar um desses fenômenos, pode-se imaginar a medição da altura de onda num tanque de provas. Imagine que, para esta tarefa, diferentes realizações foram feitas, cada uma representada por uma série temporal diferente para as mesmas condições do tanque de provas. A Figura 3 ilustra séries temporais da elevação da superfície do mar; um atributo notável destas realizações é que todas as quatro realizações apresentam um comportamento bastante irregular ou aleatório. Como pode ser observado nesta figura, um conjunto de medições de elevação do mar para cada instante de tempo é obtido; ou seja, para o instante, por exemplo, existe um conjunto formado por valores oriundos de cada uma das séries temporais. É intuitivo pensar que a elevação de mar para cada instante de tempo está distribuída em torno de um valor particular, também com determinada dispersão. Este é um indício de que a elevação do mar no instante pode ser tratada como uma variável aleatória, denotada por ( ). Portanto, o fenômeno elevação da superfície do mar é chamado de processo estocástico. 30

44 Figura 3 Diferentes realizações de um experimento de determinado processo aleatório. Através deste simples exemplo foi possível atingir o objetivo de apresentar na prática o que é um processo estocástico, conhecido também como processo aleatório. Utilizando uma linguagem formal, a quantidade ( ) é chamada de processo estocástico (ou aleatório) se ( ) é uma variável aleatória para cada valor de no intervalo genérico ( ) [14]. Existem algumas classes especiais de processos estocásticos que, por possuírem características próprias, merecem uma atenção especial. Estas classes serão abordadas nas seções seguintes Processo estocástico estacionário Processo estocástico estacionário é aquele na qual a distribuição de probabilidades (portanto, as características estatísticas) da variável aleatória ( ) é independente do tempo. Tomando como referência a Figura 3, isso significa que o valor esperado em é o mesmo encontrado para qualquer outro instante de tempo (raciocínio análogo pode ser estabelecido para a variância)., ( )-, ( )-, ( )- (3.52), ( )-, ( )-, ( )- (3.53) 31

45 Modelar um processo como estacionário, na verdade, é uma idealização que na prática é aproximadamente razoável para certos casos. Por exemplo: é natural esperar que a média da superfície de elevação do mar na costa brasileira seja maior nos meses de Junho e Julho, se comparadas com aquela registrada nos meses de Dezembro e Janeiro. Porém, isso não invalida a hipótese de processo estacionário; neste caso, trata-se de um processo estacionário por partes. Na prática, costuma-se assumir que numa janela de tempo de segundos (3 horas), chamada de estado de mar, o processo é estacionário Processo estocástico ergódico Processo estocástico ergódico é aquele nos quais parâmetros estatísticos, além de serem estáticos ao longo do tempo (processo estacionário), podem também ser determinados através de uma única realização. Em termos práticos, cada realização é uma representação completa do processo aleatório em estudo. Matematicamente falando, a ergodicidade de um processo aleatório pode ser representada por:, ( )- ( ) (3.54), ( )-, ( ) - (3.55) 3.7 Valores extremos de processos gaussianos Um processo estocástico gaussiano, como o nome sugere, é aquele no qual a distribuição de probabilidades do processo estocástico pode ser ajustada por uma distribuição normal. Utilizando uma linguagem matemática, um processo estocástico gaussiano está definido na equação (3.56): ( ) ( ) ( ) (3.56) Um processo gaussiano é um caso especial no qual é possível expressar uma solução analítica para a Estatística de Extremos. Se um processo aleatório ( ) é estacionário gaussiano, então a distribuição dos picos de uma realização deste processo pode ser ajustada por uma distribuição de Rice dada por: 32

46 ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) (3.57) Na equação (3.57), e denotam, respectivamente, o momento de ordem zero e o fator de largura da banda da densidade espectral de energia do processo ( ). Informações detalhadas acerca de espectros de energia e sua explicação matemática podem ser obtidas nas referências [14] e [15]. Por fim, ( ) é a função cumulativa de probabilidades da distribuição normal padrão. Percebe-se que esta equação (3.57) só é válida para processos nos quais o valor esperado é nulo, ou seja,, ( )-. Caso isso não se configure de fato para o processo aleatório ( ), a análise de valores extremos deste processo deve ser realizada sobre o processo aleatório ( ) obtido por ( ) ( ), ( )-. OBS: Supondo que o espectro do processo aleatório de ( ) seja representado por ( ), onde representa o domínio da frequência, o momento espectral de ordem n é dado por: ( ) (3.58) Pode ser provado que o parâmetro do processo aleatório ( ). Portanto: equivale à variância e uma realização ( ) (3.59) O fator de largura de banda do espectro pode também ser obtido em função dos momentos espectrais, como na equação que segue: ( ) (3.60) O valor do fator de largura varia no intervalo ( ). Se, o processo é dito ser de banda larga; caso, o processo é de banda estreita. Especificamente, se o processo é gaussiano de banda estreita, a equação (3.57) reduz-se à distribuição de Rayleigh, já discutida anteriormente e dada por: ( ) * + (3.61) 33

47 Sabe-se que o pico máximo extremo de uma série temporal com duração de um processo gaussiano estacionário pode ser representado por uma distribuição de Gumbel (Tipo I, já abordada na seção 3.5.2), independentemente da largura de banda (conforme as referências [12] e [13]). Os parâmetros que definem esta distribuição de Gumbel são e, e estão definidos conforme a equação abaixo: ( ) (3.62) ( ) (3.63) Nas equações acima, é denominada de frequência de cruzamento zero do processo aleatório gaussiano estacionário; é interpretada como sendo a frequência de ocorrência de cruzamentos positivos (pontos da série temporal em que há mudança de sinal da variável analisada). Ela pode ser obtida através de duas equações: (3.64) (3.65), onde é o número total de cruzamentos positivos existentes numa série temporal de duração e é o momento espectral de 2ª ordem do processo aleatório. Como pode ser observado pelas equações acima, a determinação do valor extremo mais provável, supondo uma distribuição de Rayleigh para os picos, pode ser feita através somente do espectro do processo gaussiano da variável analisada. Esta tarefa não requer a contagem de números de picos ao longo da série temporal que é exigida na hipótese de ajuste a uma distribuição de Weibull. Por este motivo, o cálculo do valor extremo mais provável via distribuição de Rayleigh exige menos esforço, apesar de ser uma simplificação aplicável somente para processos gaussianos de banda estreita. 34

48 4 Estado da arte de métodos para análises preliminares de projeto 4.1 Introdução No capítulo 1 deste trabalho foi discutido a importância das análises preliminares para fases iniciais de projeto. Estas análises tornam-se cada vez mais importantes à medida que um número cada vez maior de combinações ambientais é recomendado em projetos de sistemas offshore. Pode-se afirmar que o elevado custo computacional de análises desacopladas de longa duração com ondas aleatórias acaba inviabilizando o uso de um número excessivo de simulações dinâmicas. Por outro lado, o elevado número de combinações ambientais, propicia o surgimento de formas expeditas de análise, como o uso de ondas determinísticas, não apenas para validar o projeto, como também para filtrar os piores carregamentos nos quais a estrutura estará submetida. Seja qual for o tipo de análise, aleatória ou determinística, ambos, por serem desacopladas, utilizam os RAOs de movimento de uma unidade flutuante para avaliar a resposta dinâmica estrutural dos risers. Nas seções a seguir serão discutidos os principais métodos desenvolvidos ao longo dos anos e utilizados em fases preliminares de projeto de risers. Antes, porém, será apresentada a forma clássica de representação de ondas aleatórias e como ela deve ser descrita no tempo. 4.2 Representação de Ondas Aleatórias Para a completa descrição de um sistema offshore através de um modelo computacional, é necessária a representação fiel de todas as fontes externas de carregamento incidindo sobre a estrutura. O conhecimento destas forças é de vital importância para desenvolver o acoplamento entre o casco e as linhas, uma vez que estas incidem tanto no casco quanto nas linhas de ancoragem e risers. Mais detalhes podem ser vistos em [2] e [6]. No entanto, como este trabalho trata apenas do aprimoramento do uso de métodos determinísticos para representação dos movimentos prescritos de simulações desacopladas de risers, esta seção apresentará a descrição do modelo de representação de ondas aleatórias. 35

49 4.2.1 Construção e Solução do Problema de Valor de Contorno Na elaboração de um modelo para a representação de ondas incidindo sobre uma estrutura offshore, a primeira etapa relaciona-se à descrição do comportamento das ondas através de equações diferencias e devidas condições de contorno que juntas formam um Problema de Valor de Contorno. Trata-se de um modelo bidimensional simplificado, de comportamento não-linear, que tem como objetivo a determinação das velocidades, acelerações e pressões do fluido para uma onda regular, dada por uma altura, período e comprimento de onda pré-definidos. Uma importante hipótese deste modelo é a ausência de um corpo ao longo do escoamento do fluido. De fato, este é um caso muito particular chamado de Teoria de Onda ; seu entendimento é fundamental para a aplicação da Teoria da Difração, modelo tridimensional mais complexo que considera a presença de corpos ao longo do escoamento do fluido. Devido à elevada não-linearidade do PVC, não é possível obter uma solução analítica para as velocidades e acelerações. Desta maneira, ela só é possível através de aproximações ou métodos numéricos. Uma aproximação razoável comumente utilizada para a solução, por exemplo, é assumir que a mesma é dada por uma série de potências em termos dos parâmetros da onda. Existem algumas teorias na literatura que buscam solucionar o Problema de Valor de Contorno, como a Teoria Linear de Airy (solução linearizada) ou a Teoria de Stokes (solução não-linear). A Teoria Linear de Airy se aplica para ondas de pequenas amplitudes (altura de onda pequena comparada ao comprimento de onda), e é o procedimento que atende satisfatoriamente as práticas de projeto de um sistema offshore. O principal fundamento da Teoria Linear de Airy está na imposição das condições de contorno na superfície média do mar, e não na superfície livre do mesmo. Desta forma, as condições de contorno são invariantes no tempo, independentes da elevação da superfície do fluido. Isso só é possível com a linearização da solução do problema, ou seja, desprezando-se termos de ordem superior da série de potências. A apresentação detalhada de todo o Problema de Valor de Contorno e a respectiva solução pode ser encontrada com detalhes nas referências [2] e [6] Representação Espectral Como mencionado anteriormente, o Problema de Valor de Contorno solucionado pela Teoria Linear de Airy aplica-se somente a um mar hipotético, caracterizado por uma onda regular; costuma-se denominar esta situação de onda 36

50 determinística. É natural pensar que este modelo não é capaz de representar fielmente à realidade, devido à natureza aleatória do mar. A maneira mais realista de retratar o comportamento de um mar aleatório é dada pela superposição linear de várias ondas regulares diferentes, onde cada uma delas é descrita de acordo com a Teoria Linear de Airy. OBS: por ser uma solução linear, cabe utilizar a propriedade de funções lineares de que a solução da soma é a soma das soluções. O uso de espectro de energia de onda é a técnica utilizada para expressar esta superposição linear de maneira mais prática. Através de uma única função, é possível reunir todas as informações acerca desta superposição, como a densidade de energia que cada frequência de onda, dispersão da energia em função da frequência, etc. Para o ajuste destes modelos a um determinado mar irregular, certos parâmetros estatísticos do espectro devem ser ajustados, como altura significativa, período de pico e fator de forma. Para análises de curto prazo (em geral, 3 horas), estes parâmetros são assumidos como constantes; diz-se que, neste caso, o modelo espectral representa um estado de mar. Este ajuste depende, basicamente, da região na qual está instalado o sistema offshore (ex: a Bacia de Campos, localizada no Rio de Janeiro, possui modelos espectrais diferentes daqueles observados no Mar do Norte). Os espectros de uso mais comum são Pierson-Moskovitz, Bretschneider e Jonswap. No caso da Bacia de Campos, campo de maior produção do Brasil, o espectro de Jonswap é o que melhor se ajusta para representação dos estados de mar. Uma vez que o método a ser proposto neste trabalho será aplicado, no Capítulo 6, para um estado de mar modelado por Jonswap, portanto este será o único espectro a ser descrito nesta seção. Resultado de um projeto aplicado ao Mar do Norte, o espectro de Jonswap (Joint North Sea Wave Project), para um dado estado de mar com altura significativa e período de pico, é expresso em função da frequência e dado por: ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] (4.1) A equação (4.1) fornece a densidade de energia correspondente a uma dada frequência (em rad/s). A constante representa a aceleração da gravidade local. Os parâmetros variáveis do espectro são, e, dados por: 37

51 * + (4.2), ( )-, desde que o estado de mar se encontra na faixa de e. Uma vez ajustado um espectro de onda para o estado de mar, a próxima tarefa diz respeito à discretização do mesmo. É uma etapa essencial para a realização da análise computacional do sistema offshore. De maneira geral, o procedimento consiste em dividir o espectro em faixas, cuja largura de cada uma equivale a. A divisão pode ser realizada tomando intervalos igualmente espaçados em termos de frequência (neste caso, é constante) ou em termos de período ( varia ao longo da discretização). Cada uma destas faixas irá representar, na composição final do carregamento ambiental de onda, uma onda determinística cuja formulação física é dada pela Teoria Linear de Airy. Estas ondas determinísticas, dotado de período, amplitude e fase, são finalmente superpostas, simulando assim um mar denominado de aleatório. A figura a seguir ilustra um espectro de onda e sua respectiva discretização. Figura 4 Discretização do espectro de onda Tradicionalmente, a escolha do número de componentes de onda equivalente se situa entre 100 e 300. As fases para cada uma das ondas determinísticas são 38

52 geradas aleatoriamente, através de uma distribuição uniforme no intervalo de 0 a 360 graus. A frequência das ondas determinísticas é assumida como sendo algum valor no seu respectivo intervalo. Duas alternativas são possíveis: IV) o valor de, a -ésima frequência, equivale à frequência média de sua respectiva faixa; V) o valor de, a -ésima frequência, é escolhido arbitrariamente dentro da respectiva faixa, no intuito de evitar efeitos de periodicidade. Por fim, a amplitude da -ésima onda determinística, denominada aqui de, será dada pela equação a seguir: ( ) (4.3) A demonstração da equação da amplitude será omitida neste trabalho, porém pode ser obtida em [2]. Portanto, a elevação da superfície do mar em função do tempo, representada por ( ), pode ser obtida através da superposição de todas as ondas determinísticas senoidais, como mostra a equação (4.4): ( ) ( ) ( ) (4.4) Na equação acima, representa a fase gerada aleatoriamente. O mesmo conceito pode ser aplicado para as outras variáveis do escoamento: uma vez que se trata de uma teoria linear, as ondas podem ser superpostas como na equação (4.4) para obtenção das velocidades, acelerações e pressões no fluido. 4.3 Onda de projeto Proposta e formulação do método Este método consiste em aplicar uma onda regular (ou seja, determinística) na estrutura durante uma simulação dinâmica de curto tempo de simulação. É geralmente usada para determinar efeitos que não são influenciados pela dinâmica do sistema (carregamentos quase-estáticos, por exemplo), de acordo com [2] e [16]. A esta onda regular dá-se o nome de onda de projeto (design wave), especificada por uma altura de onda, um período e uma direção. A determinação da altura e período de onda está associada ao respectivo estado de mar considerado para análise. Supondo que o interesse recaia num estado 39

53 de mar com altura significativa de onda e período, então os respectivos parâmetros e para a onda de projeto representativa deste estado de mar será: (4.5) (4.6) A altura de onda expressa em (4.5) pode ser interpretada como aquela cuja probabilidade de excedência no período de um ano, com estados de mar de 3 horas de duração, é igual a. Trata-se, portanto, de uma onda determinística extrema que será aplicada na estrutura. A aplicação de um carregamento de onda determinística na estrutura fornecerá uma resposta em termos de movimentos e esforços também determinística, conforme discussão apresentada na introdução do capítulo 2. Isso significa que, para a determinação dos valores extremos da resposta, não haverá necessidade de tratamento estatístico. Especificamente, a onda de projeto, por ser senoidal, gerará movimento e esforços também senoidais; o valor extremo mais provável será justamente o máximo valor da série temporal de resposta. A implicação deste caráter determinístico do carregamento é que não haverá necessidade de longos tempos de simulação para atingir estabilidade de parâmetros estatísticos da resposta, como ocorre no caso das simulações dinâmicas não-lineares com carregamentos aleatórios Desvantagens Na formulação da representação espectral de um estado de mar, discutido no item 4.2, verificou-se que, na prática, a energia de carregamento de onda está distribuída ao longo de uma faixa de frequências espaçadas por intervalos infinitesimais. Uma implicação deste fato é que nenhuma frequência contribui isoladamente de maneira significativa para a resposta estrutural do sistema, o que torna o modelo de representação espectral bastante realista. É exatamente o oposto que ocorre na análise preliminar utilizando uma onda de projeto. Toda a energia de onda estará concentrada unicamente no período de onda dado por (4.6). Esta hipótese pode levar a respostas estruturais com pouco sentido físico na prática. Por exemplo: o período adotado para a onda de projeto pode levar o sistema à ressonância, podendo gerar esforços nos risers demasiadamente elevados devido às grandes amplitudes de movimento da unidade flutuante. Este fato irá gerar o risco de inviabilizar o sistema de risers que, se analisados através de um modelo de representação espectral com ondas aleatórias, 40

54 possivelmente poderia ser julgado como viável [11]. Por outro lado, caso o período se afaste de um período natural do riser, o resultado do projeto pode estar sendo contra a segurança, visto que ondas aleatórias da representação espectral, que usualmente possui energia significativa em uma ampla faixa de frequências, poderiam excitar períodos naturais do riser diferentes de. 4.4 Harmônico Equivalente Proposta e formulação do método O método do Harmônico Equivalente, assim como a Onda de Projeto, também consiste na aplicação de uma onda determinística caracterizada por uma altura e período de onda no intuito de representar certo estado de mar em uma análise preliminar. Porém, possui uma formulação que tem como base o RAO (Response Amplitude Operator) e o espectro de onda usado para modelar o estado de mar de interesse. O objetivo principal do método é aplicar uma onda determinística cujo tratamento estatístico de valores extremos para o movimento de determinado grau de liberdade forneça o mesmo resultado que aquele que seria obtido através de uma análise aleatória completa. Geralmente a meta é reproduzir, sob essa perspectiva de valores extremos, o grau de liberdade de heave da unidade flutuante por ser o movimento de maior influência nos esforços dos risers. Para isso, calcula-se, num primeiro passo, o valor extremo mais provável de heave a partir de seu respectivo espectro de resposta de primeira ordem; no passo seguinte, modela-se a onda determinística a ser aplicada na estrutura que irá reproduzir este mesmo resultado durante uma análise dinâmica [15,[17]. Nos parágrafos seguintes esta formulação será apresentada de maneira detalhada Passo 1: cálculo do MPV a partir da solução no domínio da frequência Seja um estado de mar representado por um espectro de energia (por exemplo: Jonswap com parâmetros altura significativa e período de pico ) e que os coeficientes de RAO da unidade flutuante para determinada direção de incidência sejam conhecidos. Então o espectro de resposta de primeira ordem para o -ésimo grau de liberdade pode ser obtido através de uma solução no domínio da frequência (discussão contida no capítulo 2): ( ) ( ) ( ) (4.7) 41

55 , onde ( ) representa o espectro de resposta e ( ) é o espectro de onda com parâmetros e. Assumindo que a resposta de movimento da unidade flutuante se configure como um processo gaussiano estacionário, hipótese muitas vezes considerada satisfatória, então a distribuição de valores extremos de movimento seguirá uma distribuição de Gumbel (Tipo I) (seção 3.7). Desta maneira, o MPV (ou valor extremo mais provável) do movimento de heave, denominado nesta seção de, será dado por: ( ) (4.8) ( ) (4.9) Passo 2: especificação do Harmônico Equivalente Para especificar o harmônico equivalente a ser aplicado na estrutura, basta utilizar a equação (4.7) para determinar a amplitude de onda que reproduzirá o valor extremo expresso na equação (4.8). Portanto, denominando e, respectivamente, como a altura e o período do harmônico equivalente, tem-se:. / (4.10) OBS: a definição de e, que representam respectivamente a amplitude e a altura de onda, está ilustrada na figura abaixo: a H Figura 5 Definição de amplitude e altura de uma onda regular Como pode ser percebida na equação (4.10), a determinação da altura de onda do harmônico equivalente está sujeita ao conhecimento prévio de seu período de onda 42

56 . Trata-se de um valor de entrada do método do Harmônico Equivalente que deve ser determinado tomando como base as características dinâmicas da estrutura e a coerência física da situação em estudo. Por exemplo: deve-se evitar a escolha de um período de onda próximo ao período de ressonância da estrutura. Além disso, a escolha de um período de onda que, após a aplicação da equação (4.10), resulte numa altura de onda muito elevada, que não condiz com as condições previstas pelo estado de mar (muito maior ou muito menor do que o esperado), poderá gerar efeitos indesejáveis na resposta obtida na análise dinâmica. Assim como ocorre no caso da Onda de Projeto, o Harmônico Equivalente gerará uma resposta determinística (especificamente, uma série senoidal) que não irá requerer tratamento estatístico para a obtenção de valores extremos. Em outras palavras, curtos tempos de simulações serão suficientes, uma vez que a estabilidade estatística da resposta é imediata. Devido à condição imposta pela equação (4.10), espera-se que a amplitude de resposta de movimento de heave, após análise dinâmica com aplicação do Harmônico Equivalente, seja equivalente ao valor extremo mais provável previamente calculado através do espectro de energia do movimento de heave (obtido via solução no domínio da frequência). Porém, eventuais diferenças podem existir na prática. Isto porque o valor extremo mais provável estimado pelo Harmônico Equivalente é calculado para uma resposta que se configure como um processo gaussiano estacionário, o que não necessariamente é verificado na prática, uma vez que em análises dinâmicas possíveis efeitos não-lineares são incluídos Desvantagens As desvantagens citadas para no item para a Onda de Projeto também se aplicam para o Harmônico Equivalente, uma vez que ambos os métodos consistem na aplicação de uma onda regular determinística sobre a plataforma. Além disso, outra questão pode ser comentada acerca do Harmônico Equivalente: o método é incapaz de representar confiavelmente mais de um grau de liberdade do ponto de vista da estatística de extremos. Isso significa que a análise preliminar por Harmônico Equivalente não assume nenhum compromisso com os demais graus de liberdade exceto o de heave. Como dito anteriormente, esta escolhe se baseia no fato de que os esforços nos risers são influenciados, de modo geral, pelo movimento de heave. Entretanto, podem existir casos em que diferentes graus de liberdade, principalmente os de roll e pitch, tenham relevância na resposta estrutural do riser; 43

57 nestes casos, o Harmônico Equivalente pode gerar resultados que não são confiáveis acerca do sistema estudado. Esta foi uma das principais motivações para a realização deste trabalho, e os estudos de caso a serem abordados no capítulo 6 terão principalmente a análise preliminar por Harmônico Equivalente como referência de comparação. 4.5 Método das Janelas Proposta e formulação do método Este método é baseado no trabalho apresentado inicialmente nas referências [18], [11] e [19], e aplica-se unicamente na determinação de valores extremos para a resposta estrutural de risers em geral. A proposta central do método é coletar uma amostra de valores extremos da resposta estrutural do riser a partir de simulações dinâmicas de curto tempo de simulação. Portanto, a determinação do valor extremo mais provável seguiria o procedimento descrito no item b) da seção Estas simulações dinâmicas seriam realizadas através de uma formulação desacoplada, na qual somente uma curta janela de tempo dentre as 3 (três) horas de estado de mar seria de fato analisada. A premissa para a seleção desta janela de tempo é a seguinte: a maior resposta estrutural durante uma análise aleatória qualquer (ou seja, valor extremo de esforço) estará relacionada à ocorrência do maior valor de deslocamento de heave da embarcação (valor extremo de movimento de heave). OBS: a premissa também pode ser estabelecida para o valor máximo de velocidade ou aceleração em heave. Portanto, três premissas baseadas no grau de liberdade de heave são possíveis como critério de seleção da janela de tempo: valor máximo do movimento propriamente dito, da respectiva velocidade ou aceleração. Outros critérios também podem ser adotados, como valor máximo da elevação de onda, entre outros. A janela de tempo é centralizada no instante em que ocorre o valor máximo da apropriada grandeza utilizada na premissa e, por fim, a análise estrutural do riser é feita somente para este intervalo de tempo no escopo de uma formulação desacoplada (movimentos prescritos). Portanto, para obtenção de uma amostra de valores extremos da resposta estrutural do riser, basta realizar simulações curtas, nas quais é garantida a ocorrência do valor extremo da resposta estrutural. Os tópicos seguintes irão detalhar o procedimento descrito. Para isso, utilizou-se como premissa o fato de que o valor 44

58 máximo da resposta estrutural estará relacionado com o valor máximo de heave da embarcação Passo 1: determinação do valor máximo de heave A série temporal completa (10800 segundos) de cada um dos graus de liberdade da embarcação pode ser obtida facilmente através de seus respectivos espectros de energia de movimento. Seja um estado de mar representado por um espectro de energia (por exemplo: Jonswap com parâmetros altura significativa e período de pico ) e que os coeficientes de RAO da unidade flutuante para determinada direção de incidência sejam conhecidos. Então o espectro de resposta de primeira ordem para o grau de liberdade de heave pode ser obtido através de uma solução no domínio da frequência: ( ) ( ) ( ) (4.11), onde ( ) representa o espectro de resposta de movimento para heave e ( ) é o espectro de energia de onda com parâmetros e. A geração de uma série temporal a partir de um espectro de energia foi discutida na seção Recapitulando brevemente a metodologia: a partir de uma discretização do espectro de energia com espaçamento, resultando em componentes, então a série temporal de deslocamento em heave ( ) será dada pelo somatório abaixo: ( ) ( ) ( ) (4.12) Na expressão (4.12), é a frequência média do -ésimo intervalo e é a fase selecionada aleatoriamente segundo uma distribuição uniforme para o intervalo, -. A partir da função ( ) é possível determinar o instante de tempo em que ocorrerá o valor máximo de heave para uma realização de segundos (ou 3 horas) Passo 2: determinação da janela de tempo Em torno deste instante de tempo é gerada uma janela de tempo de intervalo. Portanto, a janela de tempo será caracterizada pelo intervalo, -. É importante salientar que o tamanho da janela de tempo é um parâmetro do método a ser estudado, pois poderá interferir no resultado final. Isso porque, na prática, a ocorrência do valor extremo da resposta estrutural não está perfeitamente relacionada ao valor extremo de heave; pode haver uma defasagem de 45

59 tempo entre as duas ocorrências. Ou seja, a escolha de uma janela de tempo muito curta poderia resultar na não detecção do valor extremo da resposta estrutural. Por outro lado, uma janela de tempo muito extensa poderia acarretar num custo computacional desnecessariamente alto. É uma prática recomendável incluir uma rampa inicial no intuito de eliminar possíveis transientes dinâmicos dentro da janela de tempo durante a etapa de análise dinâmica aleatória (Passo 3). Definido a janela de tempo referente ao grau de liberdade de maior importância (no caso, heave), busca-se a janela associado aos demais graus de liberdade seguindo uma raciocínio análogo ao do Passo 1: busca-se o espectro de energia de movimento dos demais graus de liberdade e, a partir de sua discretização, extrai-se a série temporal. A figura abaixo, retirada da dissertação de Wallace, ilustra a determinação da janela de tempo para os seis graus de liberdade. Figura 6 Determinação das janelas de tempo [11] Passo 3: análise dinâmica da janela de tempo A última etapa consiste na análise dinâmica com aplicação de movimentos prescritos no topo dos risers. Estes movimentos prescritos nítidos em cada uma das janelas de tempo determinadas no passo anterior. Isso significa que a análise 46

60 dinâmica terá um custo computacional muito reduzido, uma vez que o tempo de simulação será exatamente igual ao tamanho da janela de tempo. Ao final desta análise dinâmica, a máxima resposta estrutural do riser para um estado de mar estará contida dentro desta curta janela de tempo, já que, pela premissa adotada, espera-se que este valor máximo da resposta estrutural contido na janela de tempo represente também o valor máximo de uma realização completa de 10800s. O valor extremo da resposta estrutural contida nesta janela de tempo é então coletado, e o procedimento é repetido até se obter uma amostra de tamanho suficiente para o ajuste da distribuição de valores extremos (Tipo I). Obtida uma amostra suficientemente grande de valores extremos, o valor extremo mais provável será dado simplesmente pela moda da distribuição escolhida para o ajuste Desvantagens Apesar de o método apresentar uma alternativa inovadora para a determinação do valor extremo mais provável de esforços num riser, ele apresenta algumas inconveniências que podem torna-lo de difícil aplicabilidade. Primeiramente, a escolha do deslocamento em heave como mais influente no comportamento do riser não é unânime. Além da possibilidade de adotar a velocidade ou aceleração, ao invés dos deslocamentos, outros graus de liberdade diferentes de heave podem ter influência relativamente maior. Portanto, a elaboração da premissa do Método das Janelas requer um conhecimento prévio sobre a estrutura de forma a eleger a melhor alternativa dentre as várias possíveis [11] e [19]. Outro fator importante neste método que requer especial atenção é o tamanho da janela. Como dito anteriormente, a escolha de uma janela de tempo inapropriada pode criar incoerências no resultado final; neste caso, também deve haver uma sensibilidade para determinar a janela de tempo mais apropriada possível. 47

61 5 Método proposto: Mar Equivalente Diante das desvantagens apresentadas pelos métodos atualmente descritos na literatura e resumidos no capítulo 4, surgiu a motivação para a elaboração de um método para análises preliminares que procura aproveitar algumas vantagens destes métodos e contornar suas respectivas desvantagens. 5.1 Descrição do método O método desenvolvido neste trabalho tem como ideia central a estimação dos valores extremos mais prováveis de movimento da embarcação e esforço atuante no riser de um sistema offshore através de uma discretização previamente planejada do espectro de onda de um estado de mar, seguida de uma análise dinâmica de curto tempo de simulação. Com relação ao termo estimação utilizado na definição acima, deve-se atentar ao fato de que o método não busca determinar com exatidão o valor extremo mais provável de uma das grandezas como ocorre, por exemplo, no método do Harmônico Equivalente (em que há a busca pela exatidão somente no movimento de um dos graus de liberdade). Desta maneira, uma das preocupações adotadas durante a elaboração deste método foi abandonar a exatidão de uma ou outra grandeza pela razoável estimação de todas estas, como poderá ser visto na apresentação dos resultados durante o capítulo 6. O segundo fator comentado diz respeito a uma discretização previamente planejada. Em termos práticos, isso significa que, para cada estado de mar, a discretização do espectro de onda levará em conta a relevância de determinadas frequências para a resposta de movimentos da embarcação. Esta tarefa será realizada através de uma avaliação prévia dos espectros de resposta de cada um dos graus de liberdade (Passo 2, descrito no item ). Por fim, cada uma das frequências resultantes da discretização do espectro de onda representará uma onda determinística regular. Quando superpostas, todas estas ondas regulares irão compor o carregamento ambiental de onda. A terceira característica abordada na definição do primeiro parágrafo refere-se à aplicação de uma análise dinâmica de curto tempo de simulação. Conforme será visto mais adiante no Passo 3 (item ), o método foi formulado de modo a apresentar certo caráter determinístico, o que torna desnecessários longos tempos de simulação visando a estabilização dos parâmetros estatísticos. 48

62 Os itens a seguir irão descrever de maneira detalhada o passo-a-passo do método que deu origem a este trabalho. Estas etapas serão descritas através de uma abordagem generalizada; porém, é importante frisar que estes mesmos passos serão descritos novamente no capítulo 6 durante a aplicação prática Passo 1: determinação dos espectros de resposta de movimento Seja um estado de mar representado por um espectro de energia (por exemplo: Jonswap com parâmetros altura significativa e período de pico ) e que os coeficientes de RAO da unidade flutuante para determinada direção de incidência sejam conhecidos. Então o espectro de resposta de cada grau de liberdade para um carregamento ambiental nesta direção de incidência pode ser obtido através de uma solução no domínio da frequência: ( ) ( ) ( ) (5.1), onde ( ) representa o espectro de resposta de movimento para o i-ésimo grau de liberdade e ( ) é o espectro de energia de onda com parâmetros e Passo 2: determinação da faixa de frequência útil Em posse dos espectros de resposta de cada grau de liberdade, é possível analisar as regiões de frequência com maior predominância na resposta. Esta tarefa é realizada através de uma varredura ao longo das frequências para cada um dos seis espectros de energia de movimento. Esta varredura fornecerá, através de algum critério especificado anteriormente, uma faixa de frequências considerada predominante para a resposta, ou seja, com maior energia de movimento daquele grau de liberdade. Ao final da varredura de todos os espectros de resposta, encontra-se uma única faixa de frequências dada pela união de todas aquelas. A explicação por trás desta tarefa é que, para cada estado de mar, haverá intervalos de frequência que são considerados de menor relevância e que, portanto, poderão ser descartados para a modelagem do carregamento ambiental de onda. Ou seja, durante a discretização do espectro de onda (Passo 3), o intervalo tal que, - é substituído por um mais restrito, dado por, -. Como dito anteriormente, para a realização das varreduras deve ser selecionado um critério para avaliar a relevância de determinada frequência para a resposta de movimento. Em outros termos, utilizando a notação do parágrafo anterior, a seguinte pergunta deve ser respondida: como julgar se a frequência é suficientemente relevante para resposta do i-ésimo grau de liberdade? 49

63 Para isso, a varredura foi desenvolvida de modo a comparar a área total sob o espectro de resposta (ou seja, o momento de ordem zero) com a área sob o espectro ao longo do intervalo delimitado por. Porém, todo espectro de energia apresenta duas ocasiões especiais a serem percebidas: I) o momento em que julga-se que houve uma transição de uma região com pouca relevância para uma região de alta relevância (determinação do valor de ). II) o momento em que julga-se que houve uma transição de uma região de alta relevância para uma região com baixa relevância (determinação do valor de ). A varredura para a determinação da frequência mínima deve ser realizada de maneira progressiva, ou seja, das frequências menores para frequências maiores. A determinação da frequência máxima do intervalo esbarra num empecilho: deve-se levar em consideração a possibilidade do espectro analisado ser multimodal. Desta maneira, a varredura para determinação da frequência máxima deve ser realizada de trás para frente, isto é, das frequências maiores para frequências menores. Este raciocínio está expresso nos dois algoritmos de varredura abaixo, ambos para o i-ésimo grau de liberdade: ( ) ( ) ( ) ( ), -, - ( ) ( ) O valor, que deve ser fornecido previamente, é um parâmetro do método Mar Equivalente e deve ser interpretado como uma parcela de área do inicio e final do espectro perdida pelo método. Em outras palavras, corresponde a uma porcentagem 50

64 mínima de na qual a área sob ( ) deve assumir para que a frequência (mínima e máxima) seja estabelecida. Este parâmetro controla a precisão da resposta de movimento do respectivo grau de liberdade. Por exemplo: supondo que, então a exigência imposta pelo método é que se, e somente se, a área sob o espectro ( ) ao longo do intervalo, - for maior ou igual a 5% da área total sob o espectro. Do mesmo modo, se, e somente se, a área sob o espectro ( ) ao longo do intervalo, - for maior ou igual a 5% da área total sob o espectro. Uma maneira equivalente de interpretar o significado deste parâmetro: o método do mar Equivalente julga que somente ( ) do espectro, em termos de área, possui energia relevante para a resposta do sistema. Um dos estudos a serem realizados no capítulo 6 está relacionado à sensibilidade deste parâmetro para a qualidade dos resultados fornecidos pelo método. Após a realização da varredura dos espectros de cada um dos graus de liberdade, um conjunto de seis intervalos de frequência será obtido. Isso significa que serão formados dois conjuntos de valores, dados por: { } { }, onde os índices correspondem aos respectivos graus de liberdade da embarcação (surge, sway, heave, roll, pitch e yaw). Por fim, a determinação do intervalo de frequência que possui relevância para a resposta de movimento da unidade flutuante considerada será dada pela união de todos os seis intervalos de frequências. Isso garantirá que neste intervalo estarão contidos todos os intervalos obtidos anteriormente para cada grau de liberdade. A equação abaixo mostra como determinar este intervalo: ( ) ( ) (5.2) Passo 3: discretização do espectro de onda Uma vez determinado o intervalo de frequências, -, interpretado como a região do espectro de onda responsável por maior influência na resposta de movimento da embarcação, o passo seguinte está relacionado à discretização do espectro de onda. Esta discretização é o primeiro passo para a modelagem do 51

65 carregamento ambiental de onda que será aplicado na estrutura durante a análise dinâmica. A primeira tarefa a ser feita nesta etapa é determinar, o número de componentes de onda. Determinado o número de componentes, a discretização é feita simplesmente dividindo o intervalo, - em subintervalos igualmente espaçados. Por exemplo: suponha que o número de componentes da discretização seja igual a 6 (seis). A Figura 7 ilustra esta discretização. Figura 7 Discretização do intervalo de frequências A frequência média de cada subintervalo, representada na Figura 7 como, equivalerá às frequências de cada uma das ondas que irão compor o carregamento ambiental de onda, conforme será visto no passo seguinte (item ). A lógica por trás da escolha do número de componentes é manter um forte caráter determinístico para o carregamento ambiental, o que possibilitará reduzir o tempo necessário para a realização da análise dinâmica; isto pode ser conseguido através de um número mínimo possível de componentes de onda. Não há nenhuma restrição na escolha do número de componentes de ondas do Mar Equivalente. Por este motivo, no item será apresentado um estudo de sensibilidade no resultado fornecido pelo método para diferentes valores de número de componentes, onde algumas conclusões relevantes quanto ao valor de serão tiradas Passo 4: geração do carregamento ambiental A geração do carregamento ambiental se assemelha muito àquela apresentada no item 4.2.2, na qual discretizava-se o espectro em um grande número de componentes e realizava-se a superposição de ondas regulares com fases aleatórias e alturas calculadas de acordo com o espectro de onda. O somatório abaixo ilustra aquele procedimento: ( ) ( ) ( ) (5.3) Na equação acima, ( ) refere-se à elevação da superfície de onda, ( ) é o espectro de onda de determinado estado de mar, é a i-ésima frequência de onda 52

66 proveniente da discretização do espectro ( ) e é a fase aleatória. Percebe-se que a multiplicação dada por ( ), que surge dentro da raiz no somatório acima, nada mais é do que a área embaixo do espectro delimitada pelo intervalo, -. Esta é uma hipótese razoável, uma vez que o número de componentes escolhido para a discretização convencional do espectro de onda é grande. Porém, como visto no passo anterior, o Método do Mar Equivalente assume a possibilidade de discretizar o espectro utilizando um número muito baixo de componentes de onda, o que tornaria esta hipótese inválida. Por este motivo, a discretização aqui descrita envolverá um passo a mais, em comparação àquela discutida no capítulo 2. Este passo adicional refere-se ao cálculo da área sob o espectro através de uma integral. O algoritmo abaixo demonstra o procedimento de modelagem do carregamento ambiental para o Método do Mar Equivalente: ( ) ( ) ( ) (5.4) Percebe-se que não foi incluída a fase aleatória nesta formulação; o intuito desta simplificação é eliminar qualquer fonte de aleatoriedade do método Passo 5: análise dinâmica do modelo Após a determinação do carregamento ambiental, a próxima etapa é a análise dinâmica não-linear do modelo do sistema offshore. O carregamento ambiental determinado no passo anterior deverá ser aplicado sobre a estrutura e, por fim, a análise dinâmica no domínio do tempo será realizada para obtenção das respostas de interesse. A natureza determinística do Mar Equivalente fará com que tempos de simulação curtos sejam possíveis, uma vez que não há necessidade de estabilização dos parâmetros estatísticos. Porém, cabe ressaltar que o tempo de simulação estará intimamente ligado com o período do Mar Equivalente (ao menos um ciclo de carregamento deve ser aplicado). O período do Mar Equivalente, por sua vez, está relacionado ao número de componentes utilizados na discretização do Passo 3. No item esta discussão será retomada através de uma aplicação prática do método. 53

67 Passo 6: determinação dos valores extremos máximos de movimento e esforço Finalizada a análise dinâmica do sistema offshore, a determinação de valores extremos máximos de movimento da unidade flutuante e esforço no riser é realizada conforme o procedimento descrito no item , na qual uma amostra de picos é retirada das respectivas séries temporais para determinação destes valores extremos característicos. Esta amostra deve ser ajustada por alguma distribuição de probabilidades previamente conhecida, como Rayleigh ou Weibull. O objetivo deste ajuste é fornecer o máximo característico mais próximo possível daquele que seria obtido através de uma análise dinâmica não-linear completa, com aplicação de carregamento ambiental aleatório. 5.2 Histórico do desenvolvimento do método Esta seção destina-se à discussão das propostas iniciais realizadas ao longo do desenvolvimento do método e que participaram da evolução deste até seu estágio final apresentado anteriormente. Num primeiro momento, pretendia-se desenvolver um método que pudesse ser visto como uma extensão do Harmônico Equivalente. O método do Harmônico Equivalente, como visto anteriormente, busca representar com exatidão o movimento de heave da unidade flutuante utilizando uma única onda regular. Com isso, a determinação do valor extremo mais provável de esforço no riser poderia ser realizada a partir de uma análise dinâmica de curto tempo de simulação. A proposta inicial do Método do Mar Equivalente, portanto, seria a determinação do valor extremo de esforço no riser através da exata representação de todos os graus de liberdade a partir de 6 (seis) ondas regulares, cada uma destinada a um grau de liberdade. Porém, esta proposta mostrou-se como inviável, devido à influência que os graus de liberdade exercem entre si. A determinação da faixa de frequência final, - também sofreu mudanças ao longo do desenvolvimento do método. Inicialmente, tomou-se um conjunto de seis valores, dados pelas frequências de pico dos espectros de resposta de movimento de cada um dos graus de liberdade. Portanto, seria dada pelo menor das frequências de pico, enquanto que seria dada pelo maior valor. A ideia seria construir um intervalo de frequências no qual todas as frequências de pico de resposta de movimento estivessem contidas. Porém, verificou-se que esta formulação priorizava de maneira excessiva a região do espectro em torno das 54

68 frequências de pico; as faixas de frequências que continham energia intermediária, apesar de possuírem relativa importância no comportamento da estrutura, estavam sendo totalmente desprezadas. A inserção do parâmetro permitiu manter um maior controle no momento de julgar a relevância de determinada frequência para a resposta do sistema. Outra proposta realizada ao longo deste processo estava relacionada ao critério da varredura do Passo 2. Inicialmente, para determinar se a frequência se configurava como frequência mínima (ou frequência máxima ), era realizada uma comparação entre o próprio valor do espectro, dado por ( ), e o valor de pico do espectro (ou seja,, ( )-). Porém, verificou-se que esta alternativa tratava espectros de grande dispersão pelo mesmo critério que espectros poucos dispersos. Com o conceito de área sob o espectro foi possível incorporar a dispersão do espectro dentro critério do método. 5.3 Aspectos do método Nesta seção estão incluídos alguns comentários a respeito de aspectos particulares do Método do Mar Equivalente que valem o destaque, e tê-los em mente é importante para a sua compreensão e devida aplicação. Em primeiro lugar, é realizada, no passo 1 e 2, uma análise do sistema a partir dos espectros de energia de resposta, ou seja, a partir da solução no domínio da frequência dos movimentos da unidade flutuante. Como foi descrito no capítulo 2, uma solução no domínio da frequência não é capaz de incorporar as não-linearidades do sistema. Portanto, o primeiro aspecto a ser apontado neste momento é que sistemas offshore que apresentam forte não-linearidade tenderão a apresentar piores resultados em comparação àqueles que apresentam um comportamento linear. Isso é válida ainda que a análise dinâmica do Passo 5 se configure como não-linear, uma vez que a modelagem do carregamento ambiental de onda dos passos anteriores partiu da premissa de linearidade do sistema. Outro aspecto a ser notado é que em nenhum momento foi exigido um conhecimento prévia acerca da estrutura, como seria necessário no caso do Método das Janelas. O único conhecimento prévio acerca da estrutura recai nos coeficientes hidrodinâmicos necessários para a elaboração do RAO (Response Amplitude Operator), porém ambos os métodos os possuem como requisito. Em comparação com o método do Harmônico Equivalente, percebe-se que o método do Mar Equivalente assume um compromisso de fornecer resultados a um nível suficientemente confiável para todos os graus de liberdade. Neste método, abre- 55

69 se mão da exatidão da representação de somente um dos graus de liberdade (proposta do método do Harmônico Equivalente, que tem como meta o movimento de heave) em prol da representatividade de todos os graus de liberdade. Apesar do movimento de heave ser o mais relevante para a análise estrutural dos risers, na prática todos os graus de liberdade exercem certa influência. Esta constatação foi, de fato, uma das motivações para a elaboração do Método do Mar Equivalente. Por fim, porém não menos importante, destaca-se o baixo custo computacional que o método oferece. Devido ao forte comportamento determinístico do carregamento ambiental (ausência de fase aleatória e número reduzido de componentes de onda), pode-se dizer que um curto tempo de simulação é suficiente para a obtenção de resultados estatisticamente satisfatórios. 56

70 6 Aplicação do método: Resultados Esta seção destina-se à aplicação e demonstração da técnica do Mar Equivalente, no que diz respeito à sensibilidade dos parâmetros embutidos em sua formulação e à comparação com os métodos tradicionais utilizados atualmente na análise de sistemas offshore. Os modelos serão estudados no âmbito da formulação desacoplada (item 2.2.1) e foram gerados e analisados utilizando a ferramenta computacional SITUA-Prosim, desenvolvida pela equipe do Laboratório de Métodos Computacionais e Sistemas Offshore, capaz de realizar análises não-lineares no domínio do tempo de sistemas offshore [20]. 6.1 Descrição dos dados dos modelos Para a geração dos modelos utilizados para aplicação do método Mar Equivalente, foi utilizada uma plataforma do tipo FPSO com coeficientes hidrodinâmicos previamente fornecidos. As características gerais do modelo, que serão comuns tanto aos estudos de análise de sensibilidade quanto aos estudos comparativos, estão listadas na tabela abaixo. Além disso, a Figura 8 apresenta a direção de aproamento do FPSO com relação ao Norte. Tabela 1 Características comuns dos modelos Lâmina d água Dados Gerais 1000 m Unidade Flutuante (FPSO) Aproamento FPSO 90º (com relação ao Norte) (quilha à meia nau) (quilha à meia nau) (quilha à meia nau) Calado Diâmetro EA Tração Axial Máxima Riser Flexível 10,436 m 0 m 15,18 m 21 m 115,9 mm kn 873 kn Ângulo de Topo 8º Comprimento 1500 m 57

71 Figura 8 Indicação do Norte para uma FPSO aproada a 90 graus Response Amplitude Operator (RAO) Os coeficientes hidrodinâmicos de primeira ordem foram obtidos através de um modelo de difração solucionado com o auxílio do programa WAMIT. Somente quatro direções de incidência serão relatadas nas seções a seguir: SE, S, SW e W (é importante lembrar que a convenção das direções relatadas para as ondas é vindo de ), onde o Norte pode ser verificado na Figura 8. Os gráficos de cada um dos RAO s, para as direções de incidência relatadas, estão contidas no Apêndice A Coeficientes RAO para o Estudo de Casos. Os coeficientes das demais direções podem ser obtidos através da simetria da unidade flutuante, condição que pode ser adotada de maneira razoável para esta unidade FPSO Espectro de onda Para a geração do carregamento ambiental dos mais diversos estudos, foi utilizado somente um espectro de onda, dado pelas seguintes características: 58

72 Tabela 2 Características do espectro de onda Espectro de onda Modelo Jonswap Altura significativa ( ) 6 m Período de pico ( ) 12 s Fator de largura ( ) 1,89 (adim.) Na Figura 9 está ilustrado o gráfico do espectro de Jonswap com os parâmetros da tabela anterior. Este será o único espectro de onda utilizado para a simulação dos modelos desenvolvidos neste trabalho, onde o único parâmetro que sofrerá variação é a direção de incidência do carregamento de onda , , ] Figura 9 Espectro de Jonswap utilizado nos modelos simulados 6.2 Aplicação passo-a-passo do método: construção do Mar Equivalente No item 5.1 foram discutidos os passos necessários para a modelagem do carregamento ambiental do Mar Equivalente. Porém, nenhum exemplo prático foi abordado naquela ocasião. O objetivo desta seção é utilizar os dados fornecidos na seção anterior (coeficientes de RAO e espectro de onda) para expor a aplicação do método passo-a-passo através da apresentação dos espectros. Para esta tarefa, o método será aplicado para modelar um carregamento ambiental de onda com direção SW (ou seja, o RAO do item ), onde o espectro de Jonswap com altura significativa de 6m e período de pico de 12s é utilizado 59

73 ( ), - para representar este estado de mar. Além disso, considerou-se que o parâmetro de varredura, representado por, equivale a 7%; o número de componentes de onda do Mar Equivalente, por sua vez, será igual a 6 (seis) Passo 1: determinação dos espectros de resposta de movimento Uma vez determinado o espectro de onda (item 6.1.2) e os coeficientes de RAO para a direção de incidência de 45º (item ), portanto os espectros de resposta podem ser facilmente obtidos através do cruzamento expresso na equação (5.1) ( ), , ] Figura 10 Espectro de resposta de Surge , ] Figura 11 Espectro de resposta de Sway 60

74 ( ), , ] Figura 12 Espectro de resposta de Heave ( ), , ] Figura 13 Espectro de resposta de Roll 61

75 ( ), , ] Figura 14 Espectro de resposta de Pitch ( ), , ] Figura 15 Espectro de resposta de Yaw Passo 2: determinação da faixa de frequência útil O segundo passo do método consiste em percorrer os seis espectros de resposta apresentados no item anterior e determinar, para cada um destes, uma faixa de frequências na qual esteja presente energia suficientemente grande, de acordo com um critério pré-estabelecido. Este critério, detalhado no item , estabelece que somente uma região do espectro de resposta é tratada como útil para a descrição do comportamento do sistema offshore. Esta área útil equivale a ( ) da área total do espectro, onde equivale a 7%, como dito anteriormente. 62

76 ( ), - Nas figuras a seguir, o espectro de resposta contido dentro deste intervalo de frequência está destacado na cor verde, enquanto a região do espectro considerada desprezível está representada pela cor preta. Por fim, a Tabela 3 contém os valores numéricos desses intervalos é apresentada em seguida ( ), , ] Intervalo não-útil Intervalo útil Figura 16 Cruzamento RAO x Jonswap: região útil do espectro de resposta de Surge , ] Intervalo não-útil Intervalo útil Figura 17 Cruzamento RAO x Jonswap: região útil do espectro de resposta de Sway 63

77 ( ), , ] Intervalo não-útil Intervalo útil Figura 18 Cruzamento RAO x Jonswap: região útil do espectro de resposta de Heave ( ), , ] Intervalo não-útil Intervalo útil Figura 19 Cruzamento RAO x Jonswap: região útil do espectro de resposta de Roll 64

78 ( ), , ] Intervalo não-útil Intervalo útil Figura 20 Cruzamento RAO x Jonswap: região útil do espectro de resposta de Pitch ( ), , ] Intervalo não-útil Intervalo útil Figura 21 Cruzamento RAO x Jonswap: região útil do espectro de resposta de Yaw 65

79 Tabela 3 Obtenção dos intervalos de frequência pela varredura do método Mar Equivalente ( ) ( ) Surge 0,3680 0,5610 Sway 0,3790 0,5320 Heave 0,3820 0,6080 Roll 0,3620 0,5220 Pitch 0,4220 0,5730 Yaw 0,4060 0,5590 O intervalo de frequência final, obtida pela união de todos os seis intervalos, é dada pela equação (5.2). Desta forma, haverá garantia de que a energia considerada relevante de cada um dos graus de liberdade estará contida neste intervalo final, que por sua vez será utilizado para discretização previamente planejada do espectro de onda. Portanto, o intervalo final será dado por, Passo 3: discretização do espectro de onda Nesta etapa, o intervalo obtido na etapa anterior deverá ser discretizado em 6 intervalos igualmente espaçados, número determinado previamente conforme apontado no início desta seção. A Figura 22 ilustra este procedimento de divisão. Figura 22 Discretização do intervalo de frequência Passo 4: geração do carregamento ambiental A partir da discretização realizada no passo anterior, é possível determinar as 6 (seis) ondas regulares que irão compor o Mar Equivalente a ser aplicado na estrutura offshore. Três parâmetros definem completamente uma onda regular: o período, a altura e a fase. Como dito durante a apresentação do método no capítulo 5, a fase das ondas do Mar Equivalente equivalem a zero, numa tentativa de eliminar possíveis fontes de aleatoriedade. O período de cada onda é determinado através das respectivas frequências obtidas pelo item anterior, conforme equação (6.1): 66

80 (6.1) Por fim, a altura de cada uma das ondas é determinada através do procedimento descrito no item , no qual é realizada uma integração ao longo do espectro de onda (no caso, Jonswap); o resultado da integração, por sua vez, é aplicado na equação (5.4), que fornecerá a altura de onda desejada. Os marcadores na cor laranja, na Figura 23, delimitam os seis intervalos ao longo dos quais a integração será realizada para determinação das alturas , , ] Figura 23 Geração do carregamento ambiental do Mar Equivalente a partir do espectro de onda Por fim, a integração do espectro de Jonswap para em cada um dos seis intervalos apresentados na Figura 23 fornecerá a altura de onda de cada uma das seis componentes do Mar Equivalente. Trata-se do procedimento descrito no Passo 4 do método, dado pela equação (5.4). A Tabela 4 apresenta a composição do Mar Equivalente para o estado de mar considerado. 67

81 Amplitude [m] Tabela 4 Componentes de onda do Mar Equivalente ( ) ( ) Onda 1 0,3825 0,5968 Onda 2 0,4235 0,9567 Onda 3 0,4645 1,2980 Onda 4 0,5055 1,6718 Onda 5 0,5465 1,6947 Onda 6 0,5875 1,3994 A Figura 24 esquematiza a elevação da superfície do mar que será aplicada na estrutura offshore durante a análise dinâmica. É possível notar claramente o caráter determinístico do Mar Equivalente, o que confirma o fato de que não é necessária simulação utilizando longos tempos de simulação para um tratamento estatístico confiável das respostas. 4 Elevação da Superfície do Mar Equivalente Tempo [s] Figura 24 Representação gráfico da elevação da superfície do Mar Equivalente Passo 5: análise dinâmica do modelo Após a construção do Mar Equivalente, dado pelas seis ondas determinísticas descritas no item anterior, basta realizar a simulação de uma análise dinâmica desacoplada da estrutura e com o posterior tratamento estatístico (determinação dos valores extremos). O tempo de simulação utilizado foi de 1000 segundos (antecedidos por uma rampa de 200 segundos). No intuito de apresentar o método, será realizada a simulação desacoplada somente do movimento do casco, sem a presença de risers. As figuras abaixo 68

82 ( ) ( ) apresentam a comparação entre os resultados obtidos por uma análise completa aleatória e pelo método do Mar Equivalente, tanto em termos de série temporal quanto dos respectivos espectros de energia. 1,5 1 0,5 0-0,5-1 -1, ( ) Análise Completa Mar Equivalente Figura 25 - Série Temporal de Surge após simulação dinâmica 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ( ) Análise Completa Mar Equivalente Figura 26 - Espectro de Resposta de Surge após simulação dinâmica 69

83 1,5 1 0,5 ( ) 0-0,5-1 -1, ( ) Análise Completa Mar Equivalente Figura 27 - Série Temporal de Sway após simulação dinâmica 0,70 0,60 0,50 ( ) 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ( ) Análise Completa Mar Equivalente Figura 28 - Espectro de Resposta de Sway após simulação dinâmica 70

84 1,5 1 0,5 ( ) 0-0,5-1 -1, ( ) Análise Completa Mar Equivalente Figura 29 - Série Temporal de Heave após simulação dinâmica 1,20 1,00 ( ) 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ( ) Análise Completa Mar Equivalente Figura 30 - Espectro de Resposta de Heave após simulação dinâmica 71

85 3 2 1 ( ) ( ) Análise Completa Mar Equivalente Figura 31 - Série Temporal de Roll após simulação dinâmica 6,00 5,00 4,00 ( ) 3,00 2,00 1,00 0,00 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ( ) Análise Completa Mar Equivalente Figura 32 - Espectro de Resposta de Roll após simulação dinâmica 72

86 3 2 1 ( ) ( ) Análise Completa Mar Equivalente Figura 33 - Série Temporal de Pitch após simulação dinâmica ( ) 4,00 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ( ) Análise Completa Mar Equivalente Figura 34 - Espectro de Resposta de Pitch após simulação dinâmica 73

87 3 2 1 ( ) ( ) Análise Completa Mar Equivalente Figura 35 Série Temporal de Yaw após simulação dinâmica 0,45 0,40 0,35 0,30 ( ) 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ( ) Análise Completa Mar Equivalente Figura 36 - Espectro de Resposta de Yaw após simulação dinâmica 6.3 Análises dos parâmetros do método Esta seção destina-se ao estudo dos parâmetros do método, no que diz respeito à sensibilidade dos resultados com relação à variação dos mesmos. Dois parâmetros foram estudados para analisar suas respectivas sensibilidades:, relacionado ao critério de varredura para determinação dos intervalos de frequência do item (Passo 2), e o número de componentes do método do Mar Equivalente. Em seguida, será estudada a dependência do tempo de simulação da análise dinâmica com relação ao número de componentes de onda do Mar Equivalente. 74

88 Para o carregamento ambiental aplicado na estrutura durante estes estudos de sensibilidade, foi considerada uma direção de incidência de 90º com relação ao eixo X global; portanto, os coeficientes de RAO do item serão utilizados. Além disso, será conectado um único riser à plataforma, de acordo com a Tabela 5: Tabela 5 Conexão do riser com a plataforma (modelo para análise de sensibilidade) (quilha à meia nau) (quilha à meia nau) (quilha à meia nau) 0 m 27,3 m 10 m Análise de sensibilidade do parâmetro Como observado no item (Passo 2), uma das etapas do método do mar Equivalente diz respeito à realização de uma varredura do espectro de energia de cada um dos graus de liberdade, no intuito de determinar um intervalo de frequências que contenha energia suficientemente relevante para a resposta. O parâmetro adimensional é de suma importância para a realização desta varredura, visto que estabelece uma fronteira quantitativa que diferencia uma energia considerada suficientemente relevante daquela considerada desprezível na resposta de movimento da unidade flutuante. Nesta seção será estudada a sensibilidade da resposta fornecida pelo método (em termos de movimento e esforço no riser) com relação à variação deste parâmetro. O objetivo é manter todas as outras variáveis constantes (direção de onda, tempo de simulação, número de componentes de onda, etc) e avaliar isoladamente a influência que o parâmetro de varredura exerce sobre os resultados fornecidos pelo método. Para esta tarefa, o procedimento descrito no item 6.2 será aplicado para o valor de variando de 0,05 a 0,12 (Passo 1 ao Passo 4 do método). Em seguida, uma análise dinâmica curta de 1000 segundos foi realizada (antecedidos por uma rampa de 200s) e os respectivos valores extremos mais prováveis de movimento e esforço no topo do riser foram calculados (Passo 5 e Passo 6). Além disso, serão utilizadas 6 (seis) componentes de onda na modelagem do carregamento ambiental através do método do Mar Equivalente. A determinação do valor extremo mais provável das análises será realizada tomando como hipótese o ajuste dos picos de resposta a uma distribuição de Rayleigh. Os gráficos abaixo trazem uma comparação visual entre os resultados fornecidos pelo método do Mar Equivalente para diferentes valores do parâmetro (em colunas da cor preta). Além disso, há também uma comparação com o resultado 75

89 Valor Extremo Mais Provável [m] obtido através de uma análise aleatória dinâmica completa (na horizontal da cor verde), dada por análise dinâmica de segundos com a aplicação do espectro de Jonswap em sua totalidade. 0,35 Surge - (Ajuste por Rayleigh) 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 Mar Equivalente Análise Completa Figura 37 Valor extremo mais provável de movimento em Surge para diferentes valores de 3,50 Sway - (Ajuste por Rayleigh) 3,00 Valor Extremo Mais Provável [m] 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 Mar Equivalente Análise Completa Figura 38 Valor extremo mais provável de movimento em Sway para diferentes valores de 76

90 6,00 Heave - (Ajuste por Rayleigh) Valor Extremo Mais Provável [m] 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 Mar Equivalente Análise Completa Figura 39 Valor extremo mais provável de movimento em Heave para diferentes valores de 6,00 Roll - (Ajuste por Rayleigh) Valor Extremo Mais Provável [ ] 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 Mar Equivalente Análise Completa Figura 40 Valor extremo mais provável de movimento em Roll para diferentes valores de 77

91 Valor Extremo Mais Provável [ ] 1,80 Pitch - (Ajuste por Rayleigh) 1,60 Valor Extremo Mais Provável [ ] 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 Mar Equivalente Análise Completa Figura 41 Valor extremo mais provável de movimento em Pitch para diferentes valores de 0,09 Yaw - (Ajuste por Rayleigh) 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 Mar Equivalente Análise Completa Figura 42 Valor extremo mais provável de movimento em Yaw para diferentes valores de 78

92 300,0 295,0 Tração no Topo do Riser - (Ajuste por Rayleigh) Valor Extremo Mais Provável [kn] 290,0 285,0 280,0 275,0 270,0 265,0 260,0 255,0 250,0 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 Mar Equivalente Análise Completa Figura 43 Valor extremo mais provável de tração no topo do riser para diferentes valores de A Tabela 6 abaixo apresenta a mesma comparação dos gráficos acima, com a adição do erro relativo total obtido para cada um dos parâmetros de varredura. Para o cálculo deste erro relativo total, fez-se a soma dos erros relativos quadráticos de cada uma das respostas, como está apresentado na equação (6.2): ( ) (6.2) Tabela 6 Análise de sensibilidade do parâmetro de varredura Comparação Análise Completa x Mar Equivalente Surge (m) Sway (m) Heave (m) Roll ( ) Pitch ( ) Yaw ( ) Tração (kn) Erro Total (%) 0,05 0,279 3,067 5,528 5,167 1,451 0, ,0 11,4 0,06 0,289 3,036 5,624 5,080 1,508 0, ,8 9,1 0,07 0,302 3,070 5,798 5,084 1,586 0, ,0 7,7 0,08 0,288 2,979 5,588 5,040 1,538 0, ,3 10,0 0,09 0,289 3,024 5,630 5,129 1,536 0, ,9 8,1 0,10 0,277 2,898 5,397 4,945 1,462 0, ,6 17,0 0,11 0,278 2,959 5,527 4,983 1,477 0, ,8 14,3 0,12 0,277 2,951 5,569 4,954 1,492 0, ,4 14,7 Análise Completa 0,301 3,104 5,567 5,263 1,567 0, ,6 - Portanto, de acordo com a análise de sensibilidade do parâmetro de varredura e a respectiva comparação com a análise aleatória completa de 10800s, o valor de que apresentou as respostas mais próximas das esperadas foi de 7%. 79

93 Valor Extremo Mais Provável [m] Análise de sensibilidade do número de componentes de onda Uma das etapas do método do Mar Equivalente é a escolha do número de ondas regulares que irão compor o carregamento ambiental simplificado a ser aplicado na estrutura. Nesta seção será estudada a sensibilidade da resposta fornecida pelo método com relação ao número de componentes de ondas. O objetivo é manter as variáveis restantes do modelo constantes (direção de onda, tempo de simulação, parâmetro de varredura, etc) e avaliar isoladamente a influência que o número de componentes exerce sobre os resultados fornecidos pelo método. Para esta tarefa, o procedimento descrito no item 6.2 foi aplicado cum um valor de equivalente a 7%. Em seguida, uma análise dinâmica curta de 1000 segundos foi realizada (antecedidos por uma rampa de 200s) e os respectivos valores extremos mais prováveis de movimento e esforço no topo do riser foram calculados. Os gráficos a seguir mostram a comparação do resultado fornecido pelo método do Mar Equivalente para diferentes números de componentes: 6, 12, 24 e 48. Os gráficos comparativos abaixo mostram a sensibilidade dos resultados fornecidos pelo método Mar Equivalente quanto ao número de componentes de ondas do Mar Equivalente. Além disso, há também uma comparação com o resultado obtido através de uma análise aleatória dinâmica completa, dada por análise dinâmica de segundos com a aplicação do espectro de Jonswap em sua totalidade. 0,35 Surge - (Ajuste por Rayleigh) 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0, Mar Equivalente Análise Completa Figura 44 Valor extremo mais provável de movimento em Surge para diferentes números de componentes de ondas 80

94 3,50 Valor Extremo Mais Provável [m] Valor Extremo Mais Provável [m] Sway - (Ajuste por Rayleigh) 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0, Mar Equivalente Análise Completa Figura 45 Valor extremo mais provável de movimento em Sway para diferentes números de componentes de ondas 6,00 Heave - (Ajuste por Rayleigh) 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0, Mar Equivalente Análise Completa Figura 46 Valor extremo mais provável de movimento em Heave para diferentes números de componentes de ondas 81

95 Valor Extremo Mais Provável [ ] 6,00 Roll - (Ajuste por Rayleigh) Valor Extremo Mais Provável [ ] 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0, Mar Equivalente Análise Completa Figura 47 Valor extremo mais provável de movimento em Roll para diferentes números de componentes de ondas 1,80 Pitch - (Ajuste por Rayleigh) 1,60 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0, Mar Equivalente Análise Completa Figura 48 Valor extremo mais provável de movimento em Pitch para diferentes números de componentes de ondas 82

96 0,09 0,08 Valor Extremo Mais Provável [ ] Valor Extremo Mais Provável [kn] Yaw - (Ajuste por Rayleigh) 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0, Mar Equivalente Análise Completa Figura 49 Valor extremo mais provável de movimento em Yaw para diferentes números de componentes de ondas 310,0 Tração no Topo do Riser - (Ajuste por Rayleigh) 300,0 290,0 280,0 270,0 260,0 250, Mar Equivalente Análise Completa Figura 50 Valor extremo mais provável de tração no topo do riser para diferentes números de componentes de ondas A Tabela 7 abaixo apresenta, em termos numéricos, a comparação dos gráficos acima, com a adição do erro relativo total obtido para cada um dos números de componentes. Para o cálculo deste erro relativo total, fez-se a soma dos erros relativos quadráticos de cada uma das respostas, como já apresentado na equação (6.2): 83

97 Tabela 7 Análise de sensibilidade do número de componentes Nro. de Componentes Análise Completa Portanto, de acordo com a análise de sensibilidade do tempo de simulação e a respectiva comparação com a análise aleatória completa de 10800s, o número de componentes equivalente a 6 (seis) apresentou as respostas mais próximas das esperadas. Este fato não é intuitivo, pois se espera que uma melhor discretização do espectro (Passo 3 do método do Mar Equivalente) forneça resultados de maior qualidade. A explicação para esta conclusão não-intuitiva reside na escolha de não incluir uma fase aleatória na formulação do Mar Equivalente. Portanto, uma discretização do espectro de onda utilizando um grande número de componentes resultará em frequências muito próximas uma das outras sem diferença de fases, o que pode gerar efeitos indesejáveis de periodicidade e geração de ondas demasiadamente altas Relação entre tempo de simulação e número de componentes Conforme pôde ser observado na Figura 24, um padrão de elevação da superfície do mar se repete ao longo do tempo em função das propriedades determinísticas do Mar Equivalente. Este padrão de repetição possui certa periodicidade, que por sua vez será o centro da discussão desta seção. A importância em discutir a periodicidade do Mar Equivalente está relacionada ao tempo de simulação da análise dinâmica a ser realizada no Passo 5 do método. Ou seja, o tempo de simulação deve ser escolhido de tal forma que contenha um número mínimo suficiente de ciclos de carregamento, de modo a fornecer confiabilidade no tratamento estatístico do Passo 6 do método. Comparação Análise Completa x Mar Equivalente Surge (m) Sway (m) Heave (m) Roll ( ) Pitch ( ) Yaw ( ) Tração (kn) Erro Total (%) 6 0,302 3,070 5,798 5,084 1,586 0, ,0 7,7 12 0,305 3,261 6,013 5,547 1,639 0, ,5 13,3 24 0,283 2,954 5,405 4,998 1,500 0, ,9 14,2 48 0,228 2,969 5,428 3,944 1,216 0, ,3 42,7 0,301 3,104 5,567 5,263 1,567 0, ,6 - Para um melhor entendimento desta discussão, usa-se um conceito utilizado na física das ondas chamado de batimento [21]. Quando ondas de diferentes frequências, porém próximas, são combinadas linearmente, o resultado é a interferência destrutiva e construtiva, o que leva à alternância de amplitude ao longo do tempo. De fato, é este fenômeno que se observa Figura 24. De maneira geral, dois ciclos característicos podem ser destacados: ciclo de alta frequência e ciclo de baixa 84

98 Amplitude [m] frequência. A frequência com que cada ciclo oscila está determinada nas equações abaixo: ( ) (6.3) Nas equações acima, e são a maior e a menor frequência de onda, respectivamente, enquanto é o intervalo entre frequências adjacentes. Na determinação do ciclo de carregamento do Mar Equivalente, o interesse recai no ciclo de baixa frequência, pois é este que está relacionado ao padrão de repetição do carregamento de onda citado anteriormente. Uma vez que o intervalo de frequência do Mar Equivalente depende do número de componentes de onda do método, conclui-se que o período do ciclo de carregamento é função deste. Segue abaixo a série temporal da elevação da superfície do mar para diferentes números de componentes de onda do Mar Equivalente. Em todos os casos a direção de incidência do carregamento ambiental vem de Sudoeste (SW), assim como nas análises realizados nos itens anteriores. Além disso, utilizou-se um parâmetro de varredura equivalente a 7%. Por fim, a Tabela 8 apresenta os intervalos de frequência e os respectivos períodos dos ciclos de baixa frequência que aparentam periodicidade. Elevação da Superfície do Mar Equivalente - 6 componentes Tempo [s] Figura 51 Elevação da superfície do mar do Mar Equivalente com 6 componentes de onda 85

99 15 Elevação da Superfície do Mar Equivalente - 12 componentes 10 Amplitude [m] Tempo [s] Figura 52 Elevação da superfície do mar do Mar Equivalente com 12 componentes de onda 15 Elevação da Superfície do Mar Equivalente - 24 componentes 10 Amplitude [m] Tempo [s] Figura 53 Elevação da superfície do mar do Mar Equivalente com 24 componentes de onda 86

100 15 Elevação da Superfície do Mar Equivalente - 48 componentes 10 Amplitude [m] Tempo [s] Figura 54 Elevação da superfície do mar do Mar Equivalente com 48 componentes de onda Tabela 8 Período do ciclo de carregamento em função do número de componentes Número de Componentes Intervalo de Freq. (rad/s) Período do Ciclo de Baixa Freq. (s) 6 0, , , , Percebe-se que realmente os períodos dos ciclos de carregamento observados nas séries temporais são aproximadamente iguais ao ciclo teórico (dada pela frequência de baixa da equação (6.3)) listado na terceira coluna da Tabela 8. Por fim, ressalta-se que o tempo de simulação a ser utilizado nas análises dinâmicas deve ser grande o suficiente para englobar alguns ciclos de carregamento no intuito de obter uma amostra de picos confiável para determinação de valores extremos. Pode-se concluir, então, que quanto maior o número de componentes do Mar Equivalente, maior será o tempo necessário para as simulações determinísticas. 6.4 Comparação com Harmônico Equivalente Nesta seção será realizado um estudo de caso no qual o Mar Equivalente descrito anteriormente será comparado com o Harmônico Equivalente do item 4.4, sendo este último o método mais utilizado para estimação de valores extremos mais prováveis das respostas. A comparação entre ambos os métodos terá como referência o valor obtido por uma análise dinâmica completa, com a aplicação do espectro de 87

101 Jonswap descrito no item sem simplificações e com duração de segundos. Quanto aos parâmetros para a aplicação do método do Mar Equivalente, serão utilizadas as conclusões obtidas das análises de sensibilidades. Portanto, em todos os casos abordados nesta seção, será modelado um Mar Equivalente com 6 (seis) ondas determinísticas e o parâmetro de varredura do método equivalerá a 7%. Além disso, o tempo de simulação escolhido para a análise dinâmica com Mar Equivalente foi de 1000 segundos (além do tempo de aplicação de rampa de carregamento), bem como o tempo de simulação para a análise dinâmica utilizando Harmônico Equivalente. Como observado no item 6.3.3, um parâmetro de varredura de 7% associado ao número de componentes equivalente a 6 gera um Mar Equivalente cujo período de carregamento é da ordem de 120 segundos (Tabela 8). Porém, o tempo de simulação a ser adotado para as simulações deste estudo de caso equivalerá a 1000 segundos, no intuito de conferir maior estabilidade estatística para a amostra de picos de resposta a ser coletada no pós-processamento das simulações. A fim de neutralizar o efeito do tempo de simulação na comparação do custo computacional entre métodos, a análise via Harmônico Equivalente também utilizará tempo de simulação de 1000 segundos. Porém, deve-se lembrar que o valor extremo mais provável estimado pelo método do Harmônico Equivalente é tomado como o máximo valor da série temporal, dada por uma senoidal. Logo, o tempo de 1000 segundos tende a supervalorizar o custo computacional do Harmônico Equivalente, uma vez que em muitos casos não há necessidade de desenvolver a análise dinâmica por tanto tempo para atingir o máximo da série. Entretanto, ambos os métodos serão aplicados para um mesmo tempo de simulação com o objetivo de comparar exclusivamente a influência que cada método exerce no custo computacional demandado pelos algoritmos de integração no tempo ao longo da simulação dinâmica. Por fim, assim como nos estudos de sensibilidade, os picos das respostas fornecidas pela aplicação do método do mar Equivalente serão ajustados por Rayleigh, e serão comparados aos respectivos valores fornecidos por uma análise completa com carregamento ambiental aleatório. É importante lembrar que a distribuição de Rayleigh é um caso particular da distribuição de Weibull, e utilizada para determinação de valores extremos de processos gaussianos estacionários. Isso significa que o ajuste através da distribuição de Weibull sempre fornecerá um resultado mais confiável, visto que contém a distribuição de Rayleigh. Contudo, para muitos casos, pode-se dizer que o máximo característico fornecido por um ajuste da distribuição de Rayleigh é uma aproximação razoável. De fato, a razoabilidade desta 88

102 aproximação será discutida mais adiante durante a apresentação dos resultados da comparação. Já para Harmônico Equivalente, como visto no item 4.4, não exige tratamento estatístico de resposta. Neste sentido, não se aplica o conceito de ajuste de uma distribuição a uma amostra de picos. De fato, uma das hipóteses do Harmônico Equivalente é assumir que os picos de movimento de heave se ajustam a uma distribuição de Rayleigh, conforme equação (4.8). Portanto, a estimação fornecida pelo Harmônico Equivalente (máximo valor da série temporal) será comparada com os valores extremos mais prováveis de Rayleigh de uma análise completa com carregamento ambiental aleatório Descrição do Caso Neste estudo de caso, três risers (cujas características geométricas e físicas estão na Tabela 1 da seção 6.1) estarão conectados ao FPSO descrito anteriormente. A localização da conexão dos risers encontra-se na Tabela 9 abaixo: Tabela 9 Conexão do riser com a plataforma Conexão Riser 1 Conexão Riser 2 Conexão Riser 3 (quilha à meia nau) 0 m 70 m - 70 m (quilha à meia nau) 27,3 m 27,3 m 27,3 m (quilha à meia nau) 10 m 10 m 10 m O navio estará submetido a quatro direções de carregamento ambiental de onda: SE (Sudeste), S (Sul), SW (Sudoeste) e W (Oeste), onde a convenção adotada para a direção da onda é vindo de. O espectro de onda de Jonswap utilizado para a simulação dos modelos possui altura significativa de 6m e período de pico de 12s. 89

103 Figura 55 Modelo do Estudo de Caso com indicação dos risers Solução da análise completa Neste primeiro momento será realizado o tratamento estatístico das respostas obtidas por uma análise aleatória completa no domínio do tempo para uma simulação de segundos. Este tratamento estatístico (determinação dos valores extremos mais prováveis) será realizado de acordo com a metodologia descrita no item (ajuste de picos), na qual haverá uma comparação entre a aplicação da distribuição de Rayleigh e a distribuição de Weibull. Esta comparação visa determinar o quão razoável é a aproximação do valor extremo mais provável através da aplicação da distribuição de Rayleigh. As quatro tabelas a seguir apresentam esta comparação, sendo cada uma referente a uma direção de carregamento (onda vinda de SW, S, SW E W). Além disso, três diferentes respostas foram tratadas: I) Movimento do navio FPSO nos seis graus de liberdade; I) Tração no topo de cada um dos risers do modelo; II) O maior valor extremo mais provável de raio de curvatura ao longo de cada um dos risers. 90