NOTAÇÕES. ]a,b[ ={x R; a<x<b} ]a,b] ={x R; a<x b} A\B ={x; x A e x / B}

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1 NOTAÇÕES N :conjuntodosnúmerosnaturais;n={1,2,3,} Z : conjunto dos números inteiros Q : conjunto dos números racionais R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos i :unidadeimaginária: i 2 = 1 z : módulodonúmeroz C z : conjugadodonúmeroz C Re(z : parterealdonúmeroz C det A : determinante da matriz A A t : transpostadamatriza P(A : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A n(a : númerodeelementosdoconjuntofinitoa P(A : probabilidade de ocorrência do evento A f g : funçãocompostadasfunçõesf eg [a,b] ={x R; a x b} [a,b[ ={x R; a x<b} ]a,b] ={x R; a<x b} ]a,b[ ={x R; a<x<b} A\B ={x; x A e x / B} k a n =a 1 +a 2 ++a k, k N n=1 Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares Questão 1 Das afirmações: I Se x,y R\Q,com y x,então x+y R\Q; II Se x Qe y R\Q,então xy R\Q; III Sejam a,b,c R,com a<b<cse f:[a,c] [a,b] ésobrejetora,entãof nãoéinjetora, A( apenasieii B( apenasieiii C( apenasiieiii D( apenasiii E( nenhuma

2 Questão2Considereasfunções f,g:z R, f(x=ax+m, g(x=bx+n,emquea,b,mensão constantesreais SeAeBsãoasimagensdef edeg,respectivamente,então,dasafirmaçõesabaixo: I SeA=B,entãoa=bem=n; II SeA=Z,entãoa=1; III Sea,b,m,n Z,coma=bem= n,entãoa=b, A( apenasi B( apenasii C( apenasiii D( apenasieii E( nenhuma Questão3Asoma A( 8 9 n=1 B( 1 15 log 1/2 n 32 log 1/2 8 n+2 éiguala C( QuestãoSe z C,então z 6 3 z (z 2 z 2 z 6 éiguala 17 D( E( 1 18 A( (z 2 z 2 3 B( z 6 z 6 C( (z 3 z 3 2 D( (z z 6 E( (z z 2 (z z Questão5Sejamz,w C Dasafirmações: I z+w 2 + z w 2 =2 ( z 2 + w 2 ; II (z+w 2 (z w 2 =zw; III z+w 2 z w 2 =Re(zw, A( apenasi B( apenasieii C( apenasieiii D( apenasiieiii E( todas Questão6 Considereospolinômiosemx Rdaformap(x=x 5 +a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 xasraízesde p(x=0constituemumaprogressãoaritméticaderazão 1 2 quando(a 1,a 2,a 3 éiguala A( D( ( 1, 0, 5 ( 5, 0, 1 B( E( ( 1, 1, 5 ( 1, 1, 1 C( ( 1, 0, 5 Questão7 Paraosinteirospositivosken,comk n,sabe-seque n+1 n = ( k+1( k n Então,ovalorde + 1 ( n + 1 ( n ++ 1 n éiguala n+1( n ( n+1 k+1 A( 2 n +1 B( 2 n+1 +1 C( 2n+1 +1 D( 2n+1 1 n n+1 E( 2n 1 n

3 Questão8 ConsidereasseguintesafirmaçõessobreasmatrizesquadradasAeB deordemn,coma inversível e B antissimétrica: I SeoprodutoAB forinversível,entãonépar; II SeoprodutoABnãoforinversível,entãonéímpar; III SeBforinversível,entãonépar Destas afirmações, A( apenasi B( apenasieii C( apenasieiii D( apenasiieiii E( todas Questão9 Sejam A= [ y x 1 ] e B= uma matriz antissimétrica Das afirmações abaixo: I BA é antissimétrica; II BAnãoéinversível; x+1 x y 2 y z+3 z III Osistema (BAX=0,com X t =[x 1 x 2 x 3 ],admiteinfinitassoluções, matrizesreaistaisqueoprodutoab é A( apenasieii B( apenasiieiii C( apenasi D( apenasii E( apenasiii Questão 10 Seja M uma matriz quadrada de ordem 3, inversível, que satisfaz a igualdade det(2m 2 det( 3 2M 3 = 2 9 det(3m Então,umvalorpossívelparaodeterminantedainversadeM é A( 1 3 B( 1 2 C( 2 3 D( 5 E( 5 Questão 11 Considere a equação A(tX = B(t, t R, em que A(t = x X = y e B(t = z respectivamente, e t 2 0 2e 2t e 2t Sabendo que deta(t = 1 e t 0, os valores de x, y e z são, A( 2 2, 0, 3 2 B( 2 2, 0, 3 2 C( 0, 3 2, 2 2 D( 0, 2 3, 3 E( 2 3, 3, 0,

4 Questão12 Considereopolinômiocomplexo p(z=z +az 3 +5z 2 iz 6,emqueaéumaconstante complexa Sabendoque2iéumadasraízesdep(z=0,asoutrastrêsraízessão A( 3i, 1, 1 B( i, i, 1 C( i, i, 1 D( 2i, 1, 1 E( 2i, i, i Questão13 Sabendoque senx= 2ab a 2 +b 2, a 0 e b 0,umpossívelvalorpara cossec2x 1 2 tgx é A( a b ab a+b B( 2ab C( a2 b 2 D( a2 +b 2 E( a2 b 2 ab ab ab Questão1 ConsidereotriânguloABCretânguloemASejamAEeADaalturaeamedianarelativa àhipotenusabc,respectivamente SeamedidadeBEé( 2 1cmeamedidadeADé1cm,então AC mede,emcm, A( 2 5 B( 3 2 C( D( 3( 2 1 E( Questão 15 Seja ABC um triângulo de vértices A = (1,, B = (5,1 e C = (5,5 O raio da circunferência circunscrita ao triângulo mede, em unidades de comprimento, A( 15 8 B( 5 17 C( 3 17 D( 5 17 E( Questão 16 Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 8 cm 2, a razão entre as medidas da alturaap edabasebc éiguala 2 3 Dasafirmaçõesabaixo: I AsmedianasrelativasaosladosABeAC medem 97cm; II ObaricentrodistacmdovérticeA; III SeαéoânguloformadopelabaseBC comamedianabm,relativaaoladoac, então cosα= 3, 97 A( apenasi B( apenasii C( apenasiii D( apenasieiii E( apenasiieiii Questão 17 Considere otrapézioabcd de basesab ecd SejamM en ospontos médios das diagonaisacebd,respectivamente Então,seABtemcomprimentoxeCDtemcomprimentoy<x, ocomprimentodemn éiguala A( x y B( 1 2 (x y C( 1 3 (x y D( 1 3 (x+y E( 1 (x+y

5 Questão 18 Umapirâmide de altura h = 1 cm e volume V = 50 cm 3 temcomobase umpolígono convexodenlados Apartirdeumdosvérticesdopolígonotraçam-sen 3diagonaisqueodecompõem em n 2 triângulos cujas áreas S i, i = 1,2,,n 2, constituem uma progressão aritmética na qual S 3 = 3 2 cm2 es 6 =3cm 2 Entãonéiguala A( 22 B( 2 C( 26 D( 28 E( 32 Questão19 Aequaçãodocírculolocalizadono1 o quadrante quetemáreaigualaπ (unidades de áreaeétangente,simultaneamente,àsretas r:2x 2y+5=0 e s:x+y =0 é A( (x 3 2 +(y 10 2 = B( (x 3 2 +(y ( = C( (x ( (y 10 2 = D( (x ( (y 13 2 = E( (x ( (y 11 2 = Questão 20 Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles ABC em tornodeumaretaparalelaàbasebc quedista0,25cmdovérticeae0,75cmdabasebc Seolado π2 +1 AB mede cm,ovolumedessesólido,emcm 3,éiguala 2π A( 9 13 B( C( 7 2 D( 9 11 E( 2 96 AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE 21 A 30, DEVEM SER RESOLVIDAS E RESPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES Questão 21 Considereasfunçõesf :R R, f(x=e αx,emqueαéumaconstanterealpositiva,e g:[0, [ R, g(x= xdetermineoconjunto-soluçãodainequação (g f(x>(f g(x Questão 22 Determine as soluções reais da equação em x, Questão 23 adetermineovalormáximode z+i,sabendoque z 2 =1,z C bsez o Csatisfaz(a,determinez o ( log x 3 log (x 3 log 10 16x log =0 Questão 2 Seja Ω o espaço amostral que representa todos os resultados possíveis do lançamento simultâneodetrêsdados SeA Ωéoeventoparaoqualasomadosresultadosdostrêsdadoséigual a9eb Ωoeventocujasomadosresultadoséiguala10,calcule: an(ω; bn(aen(b; cp(aep(b Questão 25 Determine quantos paralelepípedos retângulos diferentes podem ser construídos de tal maneiraqueamedidadecadaumadesuasarestassejaumnúmerointeiropositivoquenãoexceda10

6 Questão26 Considereosistemalinearnasincógnitasx,yez x + y + 2z = 0 x + (senθy + z = 0 2x + (1 cos2θy + 16z = 0, θ [0,2π] a Determine θ tal que o sistema tenha infinitas soluções b Para θ encontrado em(a, determine o conjunto-solução do sistema Questão 27 Determine o conjunto de todos os valores de x [0, 2π] que satisfazem, simultaneamente, a 2sen 2 x+senx 1 cosx 1 <0 e tgx + 3<(1+ 3cotgxcotgx Questão 28 Seis esferas de mesmo raio R são colocadas sobre uma superfície horizontal de tal forma que seus centros definam os vértices de um hexágono regular de aresta 2R Sobre estas esferas é colocada umasétimaesferaderaio2rquetangenciatodasasdemaisdetermineadistânciadocentrodasétima esfera à superfície horizontal Questão29 TrêscircunferênciasC 1,C 2 ec 3 sãotangentesentresi, duasaduas, externamente Os raiosr 1,r 2 er 3 destascircunferênciasconstituem,nestaordem,umaprogressãogeométricaderazão 1 3 AsomadoscomprimentosdeC 1,C 2 ec 3 éiguala26πcmdetermine: aaáreadotriângulocujosvérticessãooscentrosdec 1,C 2 ec 3 bovolumedosólidoderevoluçãoobtidopelarotaçãodotriânguloemtornodaretaquecontémo maior lado Questão30 Umcilindroretodealturah=1cmtemsuabasenoplanoxydefinidapor x 2 + y 2 2x y + 0 Umplano,contendoaretay x=0eparaleloaoeixodocilindro,oseccionaemdoissólidos Calcule a área total da superfície do menor sólido