Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto COPPEAD de Administração. Mestrado em Administração. Marcelo Nuno Carneiro de Sousa

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto COPPEAD de Administração Mestrado em Administração Marcelo Nuno Carneiro de Sousa REDUÇÃO DA PERSISTÊNCIA DE VOLATILIDADE NOS MODELOS GARCH PARA CÁLCULO DO VALOR EM RISCO NO MERCADO BRASILEIRO Orientador: Eduardo Facó Lemgruber Rio de Janeiro MAIO 2004

2 ii Redução da Persistência de Volatilidade nos Modelos GARCH para Cálculo do Valor em Risco no Mercado Brasileiro Marcelo Nuno Carneiro de Sousa Dissertação submetida ao corpo docente do Instituto COPPEAD de Administração da Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre. Aprovado por: Prof. Eduardo Facó Lemgruber, PHD Orientador (COPPEAD-UFRJ) Prof. Eduardo Saliby, PHD (COPPEAD-UFRJ) Prof. Carlos Hamilton Vasconcelos Araújo, Dr.Sc. (Banco Central do Brasil) Prof.Octavio Manuel Bessada Lion, Dr. Sc. (Banco Central do Brasil) Rio de Janeiro Junho de 2004

3 iii Sousa, Marcelo Nuno Carneiro de. Redução da Persistência de Volatilidade nos Modelos GARCH para o Cálculo do Valor em Risco no Mercado Brasileiro / Marcelo Nuno Carneiro de Sousa. Rio de Janeiro, xx 98 Dissertação (Mestrado em Administração) Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRJ, Instituto COPPEAD de Administração, Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. 1. Valor em Risco (VaR). 2. GARCH 3. Persistência de Volatilidade. 4. Finanças Teses. I. Lemgruber, Eduardo Facó (Orient.). II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto Coppead de Administração. III. Título

4 iv À Melissa, pelo apoio e paciência durante todo o curso.

5 v AGRADECIMENTOS este trabalho. A Deus, por ter me dado a oportunidade e capacidade de poder realizar de minha vida. A minha família, por ter sempre me apoiado nos momentos bons e ruins Ao Banco Central do Brasil, que, através do Programa de Pós-Graduação, realizou um enorme investimento na qualificação de seus servidores, e do qual fiquei muito satisfeito em ter participado. Ao DEBAN, por ter me incentivado a fazer esse curso, me liberando às vésperas da entrada em vigor do novo Sistema de Pagamentos, e por ter me dado todo o apoio necessário ao desenvolvimento da minha Dissertação no período em que estive em Brasília. Ao DEPEP/RJ, por ter me dado todo o suporte durante a minha estada no Rio de Janeiro, incluindo importantes conselhos e informações para o desenvolvimento do meu trabalho. Às inúmeras amizades que ganhei na COPPEAD, em especial ao amigo e colega de Banco Central Alan Cosme Rodrigues da Silva, companheiro em boa parte dos trabalhos em grupo do curso realizado. Ao meu orientador Eduardo Facó Lemgruber, pelas importantes intervenções que foram fundamentais pela manutenção do rumo e objetividade do trabalho.

6 vi "Em Finanças, muitas vezes se mede com paquímetro, se marca com lápis rombudo e se corta com machado" Celso F. Lemme "Tudo o que acontece uma vez pode nunca mais acontecer, mas tudo o que acontece duas vezes, acontecerá certamente uma terceira" Provérbio árabe

7 vii RESUMO SOUSA, Marcelo Nuno Carneiro de. Redução da Persistência de Volatilidade nos Modelos GARCH para o Cálculo do Valor em Risco no Mercado Brasileiro. Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, Dissertação (Mestrado em Administração). O trabalho pretende analisar a utilização da Volatilidade Overnight (ONV), definida como o módulo do Logaritmo Natural da razão da cotação de abertura e do fechamento do dia anterior, como variável exógena na fórmula da variância condicional de um modelo GARCH(1,1), verificando se a redução na persistência de volatilidade observada por Gallo e Pacini (1997,2000) e Brooks, Clare e Persand (2000) é também observada no mercado brasileiro. Também analisa se a utilização dos estimadores de Garman-Klass como alternativas à volatilidade overnight como variáveis exógenas. Analisando 8 ações altamente líquidas negociadas na Bovespa, o efeito de redução da persistência de volatilidade quando utilizada a variável ONV do dia foi detectado no mercado brasileiro. Quando utilizada a variável ONV do dia anterior, o efeito foi muito menor. A utilização dos estimadores de Garman Klass praticamente não causou efeito na persistência de volatilidade. Com base nas volatilidades calculadas, foram estimados os valores para o VaR com nível de significância de 95% e 99%, tanto para posições compradas quanto vendidas dos ativos. Foi feito o Teste de Proporção de Falhas de Kupiec para os valores do VaR calculados, e também o Teste de Berkowitz para as caudas superior e inferior de 10%. Os valores encontrados pelos testes foram inconclusivos quanto ao modelo com melhor desempenho, sendo bastante diferentes para cada ativo. As volatilidades médias foram menores para os modelos que utilizaram as variáveis ONV e ONV 2 como exógenas, o que indica que podem levar a menores exigências de capital, se comparados com o modelo GARCH (1,1) padrão.

8 viii ABSTRACT SOUSA, Marcelo Nuno Carneiro de. Redução da Persistência de Volatilidade nos Modelos GARCH para o Cálculo do Valor em Risco no Mercado Brasileiro. Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, Dissertação (Mestrado em Administração). The present work seeks to analyze the use of the Overnight Volatility (ONV), defined as the logarithm's absolute value of the ratio between the day's opening price and the previous day's closing one, as an exogenous variable in the conditional variance formula of a GARCH (1,1) model, verifying of the volatility persistence's reduction noted by Gallo & Pacini (1997,2000) and Brooks, Clare & Persand (2000) is also observed in the brazilian market. It also tests the utilization of the Garman-Klass' estimators as overnight volatility's alternatives as exogenous variables. Looking at 8 shares with high liquidity negotiated at Bovespa, the volatility persistence's reduction effect was detected in the brazilian market when the day's ONV was utilized. When the previous day's ONV was used, the reduction was much weaker. The Garman-Klass estimators, when used, caused almost none volatility persistence's reduction. Based in the calculated volatilities, the one-day's VaR, with significance levels of 95% and 99%, for both long and short positions on these assets were calculated. The failure ratios test developed by Kupiec (1995) was done for each VaR calculated, and the Berkowitz's test was performed in the 10% lower and upper tails. The tests were inconclusive about the best model, because the model with higher performance depended on the asset analyzed. The average volatility decreased in the models that utilized the variables ONV or ONV 2 as exogenous in the conditional variance equation. This result indicates that the use of the ONV and ONV 2 variables may reduce the capital charges based in internal models.

9 ix LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS ARCH - Autoregressive Conditional Heterocedasticity BOVESPA- Bolsa de Valores de São Paulo cdf EWMA - cumulative distribution function - Exponential Weighted Moving Average GARCH - Generalized Autoregressive Conditional Heterocedasticity iid LR pdf VaR - Independent and identically distributed - log-likelihood ratio - probability density function - Valor em risco

10 x LISTA DE ILUSTRAÇÕES Gráfico 1 - Fração da Volatilidade em t = 0 presente em t em função da Persistência de Volatilidade observada em um modelo Garch. O gráfico indica que mesmo pequenas mudanças na persistência de volatilidade acarreta num decaimento mais acelerado da fração da volatilidade transmitida Gráfico 2 Retornos Logarítmicos Corrigidos para Dividendos das ações do Banco Bradesco (BBDC4), no período de Julho de 1994 até Novembro de Os períodos de grande oscilação e pequena oscilação evidenciam a existência de clusterização da volatilidade

11 xi LISTA DE TABELAS Tabela Estatísticas Descritivas e Teste de Normalidade de séries de retornos logarítmicos ajustados para dividendos de ações do Banco Bradesco, CEMIG, CSN, Eletrobrás, Banco Itaú, Petrobrás, Usiminas e Vale do Rio Doce no período de Julho de 1994 até Dezembro de Tabela Estatísticas F de testes de multiplicadores de Lagrange para detecção de efeitos ARCH nas séries de retornos logarítmicos ajustados para dividendos de ações do Banco Bradesco, CEMIG, CSN, Eletrobrás, Banco Itaú, Petrobrás, Usiminas e Vale do Rio Doce no período de Julho de 1994 até Dezembro de Tabela Persistência de Volatilidade dos Modelos GARCH (1,1) com Variável exógena, para ações do Banco Bradesco, CEMIG, CSN, Eletrobrás, Banco Itaú, Petrobras, Usiminas e Vale do Rio Doce, no período de Julho de 1994 até Dezembro de 2000, obtidos através da soma dos coeficientes α e β estimados através de regressão utilizando o critério de Máxima Verossimilhança Tabela Critério de Informação de Akaike encontrados nas regressões de máxima verossimilhança para ajuste de Modelos GARCH (1,1) com Variável exógena, para ações do Banco Bradesco, CEMIG, CSN, Eletrobrás, Banco Itaú, Petrobras, Usiminas e Vale do Rio Doce, no período de Julho de 1994 até Dezembro de Tabela Estatísticas de Jarque-Bera associadas aos resíduos padronizados das regressões de máxima verossimilhança para ajuste de Modelos GARCH (1,1) com Variável exógena, para ações do Banco Bradesco, CEMIG, CSN, Eletrobrás, Banco Itaú, Petrobras, Usiminas e Vale do Rio Doce, no período de Julho de 1994 até Dezembro de Tabela Proporções de Falhas Apresentadas no procedimento de Backtesting para cada Modelo de cálculo do VaR de 1 dia com nível de confiança de 95% para posições compradas em ações do Banco Bradesco, CEMIG, CSN, Eletrobrás, Itaú, Petrobrás, Vale do Rio Doce e Usiminas com base em um período de teste de Janeiro de 2001 até Novembro de 2003, no total de 707 dias úteis. Os Valores em Negrito representam uma proporção de falhas fora dos limites de Kupiec com um intervalo de confiança de 95%, que, para esse tamanho da amostra que, para esse tamanho da amostra, é igual a [3,478% ; 6,685%]

12 xii LISTA DE TABELAS Tabela Proporções de Falhas Apresentadas no procedimento de Backtesting para cada Modelo de cálculo do VaR de 1 dia com nível de confiança de 99% para posições compradas em ações do Banco Bradesco, CEMIG, CSN, Eletrobrás, Itaú, Petrobrás, Vale do Rio Doce e Usiminas com base em um período de teste de Janeiro de 2001 até Novembro de 2003, no total de 707 dias úteis. Os Valores em Negrito representam uma proporção de falhas fora dos limites de Kupiec com um intervalo de confiança de 99%, que, para esse tamanho da amostra que, para esse tamanho da amostra, é igual a [0,367% ; 1,817%] Tabela Proporções de Falhas Apresentadas no procedimento de Backtesting para cada Modelo de cálculo do VaR de 1 dia com nível de confiança de 95% para posições vendidas em ações do Banco Bradesco, CEMIG, CSN, Eletrobrás, Itaú, Petrobrás, Vale do Rio Doce e Usiminas com base em um período de teste de Janeiro de 2001 até Novembro de 2003, no total de 707 dias úteis. Os Valores em Negrito representam uma proporção de falhas fora dos limites de Kupiec com um intervalo de confiança de 95%, que, para esse tamanho da amostra que, para esse tamanho da amostra, é igual a [3,478% ; 6,685%] Tabela Proporções de Falhas Apresentadas no procedimento de Backtesting para cada Modelo de cálculo do VaR de 1 dia com nível de confiança de 99% para posições vendidas em ações do Banco Bradesco, CEMIG, CSN, Eletrobrás, Itaú, Petrobrás, Vale do Rio Doce e Usiminas com base em um período de teste de Janeiro de 2001 até Novembro de 2003, no total de 707 dias úteis. Os Valores em Negrito representam uma proporção de falhas fora dos limites de Kupiec com um intervalo de confiança de 99%, que, para esse tamanho da amostra que, para esse tamanho da amostra, é igual a [0,367% ; 1,817%]

13 xiii LISTA DE TABELAS Tabela Proporções de Falhas Apresentadas no procedimento de Backtesting para cada Modelo de cálculo do VaR de 1 dia com nível de confiança de 95% para posições compradas em ações do Banco Bradesco, CEMIG, CSN, Eletrobrás, Itaú, Petrobrás, Vale do Rio Doce e Usiminas com base em um período de teste de Janeiro de 2001 até Novembro de 2003, no total de 707 dias úteis, com os parâmetros dos modelos sendo estimados utilizando os dados de 1994 a Os Valores em Negrito representam uma proporção de falhas fora dos limites de Kupiec com um intervalo de confiança de 95%, que, para esse tamanho da amostra que, para esse tamanho da amostra, é igual a [3,478% ; 6,685%] Tabela Proporções de Falhas Apresentadas no procedimento de Backtesting para cada Modelo de cálculo do VaR de 1 dia com nível de confiança de 99% para posições compradas em ações do Banco Bradesco, CEMIG, CSN, Eletrobrás, Itaú, Petrobrás, Vale do Rio Doce e Usiminas com base em um período de teste de Janeiro de 2001 até Novembro de 2003, no total de 707 dias úteis, com os parâmetros dos modelos sendo estimados utilizando os dados de 1994 a Os Valores em Negrito representam uma proporção de falhas fora dos limites de Kupiec com um intervalo de confiança de 99%, que, para esse tamanho da amostra que, para esse tamanho da amostra, é igual a [0,367% ; 1,817%] Tabela Proporções de Falhas Apresentadas no procedimento de Backtesting para cada Modelo de cálculo do VaR de 1 dia com nível de confiança de 95% para posições vendidas em ações do Banco Bradesco, CEMIG, CSN, Eletrobrás, Itaú, Petrobrás, Vale do Rio Doce e Usiminas com base em um período de teste de Janeiro de 2001 até Novembro de 2003, no total de 707 dias úteis, com os parâmetros dos modelos sendo estimados utilizando os dados de 1994 a Os Valores em Negrito representam uma proporção de falhas fora dos limites de Kupiec com um intervalo de confiança de 95%, que, para esse tamanho da amostra que, para esse tamanho da amostra, é igual a [3,478% ; 6,685%]

14 xiv LISTA DE TABELAS Tabela Proporções de Falhas Apresentadas no procedimento de Backtesting para cada Modelo de cálculo do VaR de 1 dia com nível de confiança de 99% para posições vendidas em ações do Banco Bradesco, CEMIG, CSN, Eletrobrás, Itaú, Petrobrás, Vale do Rio Doce e Usiminas com base em um período de teste de Janeiro de 2001 até Novembro de 2003, no total de 707 dias úteis, com os parâmetros dos modelos sendo estimados utilizando os dados de 1994 a Os Valores em Negrito representam uma proporção de falhas fora dos limites de Kupiec com um intervalo de confiança de 99%, que, para esse tamanho da amostra que, para esse tamanho da amostra, é igual a [0,367% ; 1,817%] Tabela Estatísticas do Teste de Berkowitz aplicado sobre uma cauda inferior a partir do percentil 10% sobre os retornos observados nas séries de ações do Banco Bradesco, CEMIG, CSN, Eletrobrás, Itaú, Petrobrás, Vale do Rio Doce e Usiminas com base em um período de teste de Janeiro de 2001 até Novembro de 2003, no total de 707 dias úteis Tabela Estatísticas do Teste de Berkowitz aplicado sobre uma cauda superior a partir do percentil 90% sobre os retornos observados nas séries de ações do Banco Bradesco, CEMIG, CSN, Eletrobrás, Itaú, Petrobrás, Vale do Rio Doce e Usiminas com base em um período de teste de Janeiro de 2001 até Novembro de 2003, no total de 707 dias úteis Tabela Estatísticas do Teste de Berkowitz aplicado sobre uma cauda inferior a partir do percentil 10% sobre os retornos observados nas séries de ações do Banco Bradesco, CEMIG, CSN, Eletrobrás, Itaú, Petrobrás, Vale do Rio Doce e Usiminas com base em um período de teste de Janeiro de 2001 até Novembro de 2003, no total de 707 dias úteis, com os parâmetros dos modelos sendo estimados utilizando os dados de 1994 a Tabela Estatísticas do Teste de Berkowitz aplicado sobre uma cauda superior a partir do percentil 90% sobre os retornos observados nas séries de ações do Banco Bradesco, CEMIG, CSN, Eletrobrás, Itaú, Petrobrás, Vale do Rio Doce e Usiminas com base em um período de teste de Janeiro de 2001 até Novembro de 2003, no total de 707 dias úteis, com os parâmetros dos modelos sendo estimados utilizando os dados de 1994 a

15 xv LISTA DE TABELAS Tabela Valores relativos das volatilidades condicionais médias calculadas pelo modelo em relação ao modelo GARCH(1,1) para ações do Banco Bradesco, CEMIG, CSN, Eletrobrás, Itaú, Petrobrás, Vale do Rio Doce e Usiminas com base em um período de teste de Janeiro de 2001 até Novembro de 2003, no total de 707 dias úteis

16 xvi LISTA DE ANEXOS Anexo 1 Retornos Logarítmicos Corrigidos para Dividendos das ações da CEMIG, no período de Julho de 1994 até Novembro de Os períodos de grande oscilação e pequena oscilação evidenciam a existência de clusterização da volatilidade. Anexo 2 Retornos Logarítmicos Corrigidos para Dividendos das ações da CSN, no período de Julho de 1994 até Novembro de Os períodos de grande oscilação e pequena oscilação evidenciam a existência de clusterização da volatilidade. Anexo 3 Retornos Logarítmicos Corrigidos para Dividendos das ações da Eletrobrás, no período de Julho de 1994 até Novembro de Os períodos de grande oscilação e pequena oscilação evidenciam a existência de clusterização da volatilidade. Anexo 4 Retornos Logarítmicos Corrigidos para Dividendos das ações do Banco Itaú, no período de Julho de 1994 até Novembro de Os períodos de grande oscilação e pequena oscilação evidenciam a existência de clusterização da volatilidade. Anexo 5 Retornos Logarítmicos Corrigidos para Dividendos das ações da Petrobras, no período de Julho de 1994 até Novembro de Os períodos de grande oscilação e pequena oscilação evidenciam a existência de clusterização da volatilidade. Anexo 6 Retornos Logarítmicos Corrigidos para Dividendos das ações da Usiminas, no período de Julho de 1994 até Novembro de Os períodos de grande oscilação e pequena oscilação evidenciam a existência de clusterização da volatilidade. Anexo 7 Retornos Logarítmicos Corrigidos para Dividendos das ações da Vale do Rio Doce, no período de Julho de 1994 até Novembro de Os períodos de grande oscilação e pequena oscilação evidenciam a existência de clusterização da volatilidade. Anexo 8 Histograma e Estatísticas Descritivas de uma série de retornos logarítmicos ajustados para dividendos de ações do Banco Bradesco no período de Julho de 1994 até Dezembro de Anexo 9 Histograma e Estatísticas Descritivas de uma série de retornos logarítmicos ajustados para dividendos de ações da CEMIG no período de Julho de 1994 até Dezembro de 2000.

17 xvii LISTA DE ANEXOS Anexo 10 Histograma e Estatísticas Descritivas de uma série de retornos logarítmicos ajustados para dividendos de ações da CSN no período de Julho de 1994 até Dezembro de Anexo 11 Histograma e Estatísticas Descritivas de uma série de retornos logarítmicos ajustados para dividendos de ações da Eletrobras no período de Julho de 1994 até Dezembro de Anexo 12 Histograma e Estatísticas Descritivas de uma série de retornos logarítmicos ajustados para dividendos de ações do Banco Itaú no período de Julho de 1994 até Dezembro de Anexo 13 Histograma e Estatísticas Descritivas de uma série de retornos logarítmicos ajustados para dividendos de ações da Petrobras no período de Julho de 1994 até Dezembro de Anexo 14 Histograma e Estatísticas Descritivas de uma série de retornos logarítmicos ajustados para dividendos de ações da Usiminas no período de Julho de 1994 até Dezembro de Anexo 15 Histograma e Estatísticas Descritivas de uma série de retornos logarítmicos ajustados para dividendos de ações da Vale do Rio Doce no período de Julho de 1994 até Dezembro de Anexo 16 Parâmetros Estimados pelo método de Máxima Verossimilhança para um ajuste de um modelo AR(1) para a média condicional e GARCH (1,1) com variável exógena para a variância condicional de uma série de retornos logarítmicos ajustados para dividendos de ações do Banco Bradesco no período de Julho de 1994 até Dezembro de Os valores em negrito indicam coeficientes não significativos a 95%. Anexo 17 Parâmetros Estimados pelo método de Máxima Verossimilhança para um ajuste de um modelo AR(1) para a média condicional e GARCH (1,1) com variável exógena para a variância condicional de uma série de retornos logarítmicos ajustados para dividendos de ações da CEMIG no período de Julho de 1994 até Dezembro de Os valores em negrito indicam coeficientes não significativos a 95%.

18 xviii LISTA DE ANEXOS Anexo 18 Parâmetros Estimados pelo método de Máxima Verossimilhança para um ajuste de um modelo AR(1) para a média condicional e GARCH (1,1) com variável exógena para a variância condicional de uma série de retornos logarítmicos ajustados para dividendos de ações da CSN no período de Julho de 1994 até Dezembro de Os valores em negrito indicam coeficientes não significativos a 95%. Anexo 19 Parâmetros Estimados pelo método de Máxima Verossimilhança para um ajuste de um modelo AR(1) para a média condicional e GARCH (1,1) com variável exógena para a variância condicional de uma série de retornos logarítmicos ajustados para dividendos de ações da Eletrobrás no período de Julho de 1994 até Dezembro de Os valores em negrito indicam coeficientes não significativos a 95%. Anexo 20 Parâmetros Estimados pelo método de Máxima Verossimilhança para um ajuste de um modelo AR(1) para a média condicional e GARCH (1,1) com variável exógena para a variância condicional de uma série de retornos logarítmicos ajustados para dividendos de ações do Banco Itaú no período de Julho de 1994 até Dezembro de Os valores em negrito indicam coeficientes não significativos a 95%. Anexo 21 Parâmetros Estimados pelo método de Máxima Verossimilhança para um ajuste de um modelo AR(1) para a média condicional e GARCH (1,1) com variável exógena para a variância condicional de uma série de retornos logarítmicos ajustados para dividendos de ações da Petrobras no período de Julho de 1994 até Dezembro de Os valores em negrito indicam coeficientes não significativos a 95%. Anexo 22 Parâmetros Estimados pelo método de Máxima Verossimilhança para um ajuste de um modelo AR(1) para a média condicional e GARCH (1,1) com variável exógena para a variância condicional de uma série de retornos logarítmicos ajustados para dividendos de ações da Usiminas no período de Julho de 1994 até Dezembro de Os valores em negrito indicam coeficientes não significativos a 95%.

19 xix LISTA DE ANEXOS Anexo 23 Parâmetros Estimados pelo método de Máxima Verossimilhança para um ajuste de um modelo AR(1) para a média condicional e GARCH (1,1) com variável exógena para a variância condicional de uma série de retornos logarítmicos ajustados para dividendos de ações da Vale do Rio Doce no período de Julho de 1994 até Dezembro de Os valores em negrito indicam coeficientes não significativos a 95%.

20 xx Sumário Sumário... xx 1. Introdução Revisão de Literatura Valor em Risco Definição Críticas ao VaR GARCH Modelos da Família GARCH Persistência de Volatilidade Desempenho dos Modelos da família GARCH Estimadores Alternativos de Volatilidade Testes de Desempenho Teste de Proporção de Falhas de Kupiec Teste de Berkowitz Metodologia Amostra Modelagem Proposta Resultados Estimação dos Parâmetros Testes de Desempenho Teste de Falhas de Kupiec Teste de Berkowitz Volatilidades Médias dos Modelos Conclusões Referências Bibliográficas... 73

21 1 1. Introdução O Valor em Risco (VaR) é uma medida que tem tido o seu uso intensificado nos últimos anos. Alguns escândalos financeiros ocorridos na década de 90 envolvendo derivativos reforçaram a necessidade de se ter uma medida de risco associada a percentis elevados. O Comitê da Basiléia (1996) passou a permitir que as instituições financeiras adotem modelos internos de cálculo de risco para avaliação da exposição de suas operações ao Risco de Mercado e as conseqüentes exigências de capital, o que, conjuntamente com o desenvolvimento de ferramentas computacionais sofisticadas, têm proporcionado uma série de desenvolvimento de novas metodologias para o cálculo desta medida. Dentre estas, os modelos paramétricos, que buscam descrever o comportamento dos retornos financeiros através de distribuições estatísticas, têm sido amplamente usados. É sabido que as séries de retornos financeiros apresentam características, como o excesso de curtose, que as impedem de serem modeladas por uma Distribuição Normal. No caso do VaR, isto pode ser crítico, visto que os modelos paramétricos visam estimar percentis, como o de 1%, que são situados nas caudas das distribuições. Desta forma, a modelagem por uma Distribuição Normal pode levar a uma subestimação do Risco de Mercado. Desta forma, diversos modelos têm sido desenvolvidos para o cálculo do VaR paramétrico. Algumas linhas de pesquisa buscam encontrar distribuições

22 2 incondicionais que representem de modo mais preciso o comportamento das séries financeiras, proporcionando avaliações do VaR mais precisas. No entanto, uma crítica que tem sido feita a tais modelos é que eles não detectam a existência de períodos de normalidade, onde se observam seguidamente retornos de baixa magnitude, e períodos de crise, onde são observados retornos de grande magnitude, tanto positivos quanto negativos. Tal comportamento é chamado de clusterização de volatilidade. De forma a captar estes efeitos, apontado inicialmente por Mandelbrot (1963), outros métodos, como o amortecimento exponencial (EWMA), popularizado pelo sistema Riskmetrics TM do Banco J.P. Morgan, e os da família ARCH/GARCH, desenvolvidos inicialmente por Engle (1982) e Bollerslev (1986), buscam modelar o comportamento das variâncias condicionais. Tais modelagens explicam a não-normalidade das séries financeiras por alterações na volatilidade, e, ao atribuírem uma dinâmica na fórmula da Variância Condicional, conseguem explicar o fenômeno da clusterização da volatilidade. Os métodos GARCH possuem, de uma forma geral, elevadas persistências de volatilidade, que é um parâmetro que indica o percentual da volatilidade do dia t que compõe a volatilidade do dia t+1. Estes valores elevados, por um lado, fortalecem a clusterização descrita no parágrafo anterior. No entanto, pode levar a que um dia extremamente volátil contamine as variâncias condicionais dos dias seguintes. De acordo com Gallo & Paccini (1997,2000), a elevada persistência de volatilidade apresentada nos modelos da família GARCH não representa a forma rápida com que são dadas as transições entre regimes de alta e baixa volatilidade. A mesma foi sensivelmente reduzida com a introdução do Volume Transacionado (usado como proxy do número de negócios) como variável exógena na fórmula da variância condicional. No entanto, tal variável

23 3 possui muita correlação com os retornos, o que a inviabiliza como variável exógena. Os autores, então, após de utilizarem outras variáveis como proxies alternativas, verificaram que o Indicador Overnight, definido como o módulo do logaritmo natural da razão entre a cotação de abertura de um dia e a cotação de fechamento do dia anterior, foi o que obteve os melhores resultados na redução da persistência de volatilidade. Brooks, Clare & Persand (1998) analisaram 3 contratos futuros do mercado Inglês e, utilizando a mesma metodologia, verificaram uma queda na persistência de volatilidade do GARCH, o que levou a uma redução das exigências de capital baseadas no cálculo de um VaR de 95%. Através do Teste de Falhas de Kupiec (1995), os autores concluíram, também, que o desempenho do modelo GARCH (1,1) com a variável Indicador Overnight (chamada por eles de Volatilidade Overnight) como variável exógena foi superior ao modelo GARCH (1,1) padrão. Fernandes e Sá Motta (2002), por sua vez, fizeram uma comparação de métodos paramétricos com os estimadores alternativos de variância desenvolvidos por Garman e Klass (1980), verificando que, para o índice Bovespa, estes estimadores alternativos, quando submetidos a uma dinâmica ARMA, tiveram desempenhos similares aos encontrados pelos métodos convencionais. O presente trabalho tem como objetivo verificar se, no mercado brasileiro, a inclusão da variável Volatilidade Overnight na fórmula da variância condicional provoca o mesmo efeito na redução da persistência de volatilidade encontrada por Gallo e Pacini (1997,2000) e Brooks, Clare e Persand (2000). Outros modelos também são desenvolvidos, com a inclusão do quadrado da volatilidade overnight como variável exógena e com os estimadores de Garman-Klass também sendo utilizados como

24 4 variáveis exógenas. São aplicados os Testes de Proporção de Falhas de Kupiec (1995) para falhas nas posições tanto compradas quanto vendidas a 95 e 99%, bem como o Teste de Berkowitz (2001) para as caudas a partir do percentil 90%, de forma a comparar os desempenhos dos modelos. O capítulo 2 faz uma revisão de literatura, mostrando os trabalhos realizados sobre os assuntos desenvolvidos nesta dissertação, sobretudo no que se refere à validade das metodologias de cálculo do VaR e do desempenho dos modelos GARCH em diversos mercados. O capítulo 3 mostra de maneira mais detalhada a metodologia adotada no presente trabalho, com ênfase na inclusão de variáveis exógenas na fórmula da variância condicional de um modelo GARCH(1,1). O capítulo 4 apresenta os resultados encontrados pelas diversas metodologias, tanto em relação aos indicativos do desempenho dos modelos em ajustes dentro da amostra, como também pelo desempenho de um modelo de cálculo do Valor em Risco baseado na utilização destes modelos para o cálculo da volatilidade. Além do teste de proporção de falhas de Kupiec (1995), é utilizado o teste de Berkowitz (2000), que foi desenvolvido com a finalidade de se determinar a qualidade do ajuste do modelo em relação às caudas da distribuição empírica. Os resultados encontrados dão um forte indicativo que a inclusão da variável ONV do dia ou do quadrado da mesma na fórmula da variância condicional provoca uma redução na persistência de volatilidade em relação ao modelo GARCH (1,1) padrão. De acordo com o Critério de Akaike, medida da qualidade do ajuste por máxima verossimilhança (Tsay,2000), a utilização de tais variáveis leva a uma melhor

25 5 performance dos modelos GARCH para os dados dentro da amostra. No entanto, nem o teste de falhas de Kupiec, nem tampouco o Teste de Berkowitz indicaram melhoras em um modelo de cálculo do VaR a partir de um modelo GARCH (1,1) para a variância condicional para os dados do período de testes. Cabe ressaltar que, quando utilizada a ONV do dia anterior como variável exógena, os resultados levaram a uma redução muito menor na persistência de volatilidade, e a utilização dos estimadores de Garman-Klass como variáveis exógenas levaram a reduções ainda menores, sendo que, na maioria dos casos, os coeficientes associados aos mesmos na fórmula do GARCH se revelaram não-significativos. Um resultado promissor é que, para todos os ativos, a utilização das variáveis ONV e ONV 2 acarretou em valores médios de volatilidade menores do que os do modelo GARCH padrão. Este é um indicativo de que a utilização de tais modelos poderá levar a valores menores de exigências de capital do que os de um modelo GARCH (1,1) sem variável exógena. No entanto, devem ser feitos alguns estudos mais avançados para verificar se com a utilização de distribuições condicionais mais realistas ou simulações nos resíduos padronizados, onde a volatilidade condicional não seria o único fator a ser levado em consideração no cálculo do VaR, realmente o modelo GARCH com variável exógena ONV ou ONV 2 acarretaria em menores de exigências de capital.

26 6 2. Revisão de Literatura 2.1. Valor em Risco Definição O Valor em Risco (VaR) é uma medida indicativa de um valor de perdas que não será superado dentro de um certo nível de confiança. É calculado a partir da determinação do percentil da distribuição de retornos correspondente a esse nível. Desta forma, se definirmos o percentil a um nível de significância (α), ou um nível de confiança (1-α) de acordo com a fórmula abaixo, sendo p(x) a função densidade de probabilidade dos retornos: X p( x). dx = α (2.1.1), Podemos definir o VaR usando a fórmula acima, que assegura um valor positivo para o VaR e o assume igual a zero caso o retorno no percentil correspondente ao nível de confiança seja maior que zero: VaR1 α = Max{ X,0} (2.1.2)

27 7 Embora seja uma medida de fácil entendimento, o cálculo da mesma não é trivial, pois envolve o correto entendimento do comportamento das séries de retornos dos ativos financeiros. Desta forma, diversas metodologias foram desenvolvidas para sua mensuração. As mesmas podem ser classificadas em três tipos: - Metodologia Histórica - através deste método, a avaliação do Valor em Risco é feita sem nenhuma assunção especial sobre o modelo que rege o comportamento dos retornos, sendo utilizado o percentil experimental da série observada. O método é facilmente implementável, exigindo pouco esforço computacional, porém possui algumas deficiências. Uma delas é que, quanto maior o nível de confiança, mais observações são necessárias para se obter uma previsão segura. Além disso, como essa metodologia atribui pesos iguais a todas as observações anteriores, ela assume que os retornos são identicamente distribuídos. Desta forma, variações na volatilidade não são captadas por esta metodologia. - Modelos Paramétricos - Estes modelos buscam modelar as séries de retornos dos ativos observados, ajustando-as a uma função densidade de probabilidade. O VaR é calculado de acordo com o percentil desta distribuição. Desta forma, a qualidade da medida depende do realismo com que o modelo represente os retornos dos ativos observados. - Simulação de Monte Carlo - A metodologia de Monte Carlo é usada para se gerarem séries de retornos a partir de um modelo determinado. O VaR seria, então, calculado a partir do percentil da série simulada. Esses métodos são bastante úteis quando se utilizam carteiras que

28 8 envolvem derivativos de difícil modelagem. Pode, também, ser utilizada a partir de um método histórico ou paramétrico para o cálculo do VaR de mais de um dia de horizonte de tempo. As linhas de pesquisa sobre o VaR se desenvolveram muito na década de 90, com o advento de computadores cada vez mais rápidos e potentes, o que permitiu que modelos cada vez mais sofisticados pudessem ser aplicados. Adicionalmente, houve uma série de desastres envolvendo derivativos e outras operações financeiras no início dos anos 90 (Jorion,2001), como a crise dos bancos Barings e Daiwa, que tornaram evidente a necessidade de se ter uma medida de risco associada a valores de perdas extremas. O Comitê da Basiléia (1996) sugeriu que os órgãos reguladores do Sistema Financeiro permitissem que modelos internos baseados nos cálculos do VaR fossem utilizados para os cálculos das exigências de capital das instituições financeiras. De acordo com o comitê, além de atenderem a uma série de características qualitativas e de realizarem testes de stress para a detecção de fatores de risco que possam levar a perdas extremas para suas carteiras, as instituições financeiras poderão utilizar modelos internos para o cálculo do VaR, desde que seja atendida uma série de requisitos 1. Os principais são de que o VaR deve ser calculado a partir do percentil 99%, que a utilização de dados históricos deve ser feita com uma janela mínima de 1 ano (sendo que, caso haja um modelo que leve em conta um decaimento dos pesos, a "meia vida" deste seja de pelo menos 6 meses), que seja calculado um VaR para um período de 10 dias, sendo possível utilizar para os cálculos períodos menores e utilizada a regra da raiz quadrada do tempo; 1 1 Maiores detalhes sobre esses requisitos podem ser obtidos no artigo Amendment to the Capital Acord to Incorporate Market Risks, Basle Commitee on Banking Supervision, 1996

29 9 que as opções sejam tratadas de forma a capturar suas características de não linearidade. Um ponto importante é que as exigências de capital são calculadas a partir do maior valor entre a medida do Valor em Risco do dia anterior e a média dos Valores em Risco dos 60 dias anteriores, multiplicada por um fator de no mínimo 3, sendo este determinado a partir dos resultados advindos de procedimentos de backtesting realizados nos modelos de Valor em Risco de 1 dia advindos da metodologia aplicada e que verifiquem os números de falhas obtidos nos 250 dias anteriores. O Comitê da Basiléia (1996) justificou a adoção do fator multiplicativo devido aos seguintes fatores abaixo: - Os movimentos nos preços de mercado apresentam padrões que são diferentes das aproximações adotadas pelos modelos (por exemplo, normalidade). - O passado nem sempre é uma boa aproximação do futuro (as volatilidades e correlações podem mudar abruptamente). - As estimativas do Valor em Risco são baseadas nas cotações de fechamento, não refletindo as possíveis variações ocorridas durante o dia. - Os modelos podem não capturar o risco de eventos que apareçam devido a condições de mercado excepcionais.

30 10 - Muitos modelos adotam simplificações para a avaliação de algumas posições na carteira, sobretudo se envolvem instrumentos complexos como as opções. O comitê da Basiléia ainda atribui uma penalidade aos Bancos cujos modelos não tenham um desempenho satisfatório em procedimentos de backtesting que levem em conta os últimos 250 dias, analisando as falhas encontradas pelas estimativas de um VaR diário encontradas pela metodologia utilizada. De acordo com o número de falhas encontrado, é feita uma classificação do modelo por zonas (verde, amarela e vermelha), sendo que o fator multiplicativo, dependendo do desempenho observado, pode ser aumentado do valor 3 para até 4, e, dependendo do caso, investigar a possibilidade de do modelo utilizado pelo Banco estar incorreto, exigindo, então, o seu aperfeiçoamento. Polasek & Pojarliev (2000), estudando o índice Nasdaq, verificam que um modelo que considera a volatilidade constante leva a valores menores para o VaR se comparado com as metodologias baseadas no GARCH, modelo que pressupõe variações na variância condicional e que será definido no presente trabalho. No entanto, aplicando os critérios de penalidades indicados pelo Comitê da Basiléia, as exigências de capital daquele modelo acabariam por se tornar maiores do que as calculadas pelo GARCH.

31 Críticas ao VaR O VaR foi tendo seu uso intensificado na década de 90, sobretudo a partir da popularização da metodologia Riskmetrics TM Pelo Banco J.P. Morgan e pela decisão do Comitê da Basiléia (1996) de permitir a utilização dos modelos internos. Apesar de se tornar uma medida cada vez mais utilizada no gerenciamento do risco de mercado e passar a ser adotado em metodologias de determinação dos riscos de crédito e operacional, o VaR passou a rapidamente ser alvo de diversas críticas. Uma das mais comuns é a de que o VaR não é uma medida coerente de risco conforme as definições de Artzner et al (1998). O aspecto mais levantado é o fato que, sob determinadas circunstâncias, o VaR não é subaditivo. Outras medidas estão sendo estudadas e sugeridas como possíveis substitutos do VaR. Danielsson (2000) faz uma série de críticas à utilização do VaR como medida para o cálculo de exigências de capital. Segundo ele, o VaR possui quatro problemas que o torna inadequado como medida de risco para fins regulatórios: - ele não é um indicativo de perdas potenciais - ele não é uma medida coerente de risco - como é uma medida de um único quantil, pode ser facilmente manipulável - ele é relacionado com o quantil correspondente a um nível de confiança de 99%, ou seja, que acontece em média 2,5 vezes ao ano. Desta forma, não seria um indicativo do Risco Sistêmico ou de casos extremos como os crashes financeiros.

32 12 O autor ainda atenta para o fato de que as medidas de risco e, mais especificamente, o VaR, poderiam contribuir para o agravamento de crises econômicas. Como os modelos de risco são calculados para a determinação das exigências de capital, uma crise levaria a um aumento do VaR e, conseqüentemente, levaria as instituições financeiras a buscarem um aumento do capital (o que seria inviável a curto prazo) ou, então, a diminuírem suas participações em ativos de risco, o que levaria a uma diminuição na liquidez do mercado, agindo, então, de forma a agravar a situação de crise. O período de turbulência ocorrido após a decretação de moratória por parte da Rússia (1998) foi apontado como exemplo onde a gestão de risco teria agravado a situação da crise inicial. No entanto, Jorion (2002) rebateu essas críticas, alegando que os modelos internos sugeridos para o cálculo do risco pelo Comitê da Basiléia possuem uma certa estabilidade, não oferecendo mudanças abruptas, e, por isso não podia ser apontado como agravante na crise asiática, e que, mesmo para os Bancos Comerciais sujeitos aos modelos internos de VaR, eles já possuíam capital muito superior às exigências calculadas pelos modelos internos de risco. Segundo Jorion (2002), poucos estudos encontrados na literatura levam em consideração as características do cálculo das exigências de capital por modelos internos. O Comitê da Basiléia atenua a variabilidade das medidas de risco de duas formas: - Exigindo que os Bancos utilizem modelos que levem em conta os dados das últimas 250 observações. Em modelos que utilizem pesos, deve haver uma vida média de pelo menos 6 meses.

33 13 - Pela regra que as exigências de capital seja igual à média do VaR dos últimos 60 dias, multiplicada pelo fator de pelo menos 3, a não ser quando o VaR calculado no dia anterior tenha sido maior que esse valor. De acordo com os cálculos efetuados por Jorion (2000), que utilizaram ativos do mercado norte-americano, as flutuações encontradas para os valores das exigências de capital segundo o acordo da Basiléia foram de 5 a 10 vezes menores do que as encontradas em um VaR diário. Assim, o argumento que as medidas de risco de mercado são inerentemente instáveis e, por isso, podem levar a um aumento abrupto nas exigências de capital é enfraquecido ao se analisar a estabilidade muito maior dos valores encontrados pela metodologia estipulada pelo Comitê da Basiléia (1996). O autor reconhece, porém, algumas limitações do VaR, como o fato de poder ser manipulado por estratégias envolvendo derivativos, e sugere que medidas como a Expected Shortfall possam vir a serem utilizadas no lugar do VaR. No entanto, como o cálculo das mesmas também depende uma correta modelagem dos retornos e volatilidades das séries financeiras, uma metodologia que tenha um bom desempenho na determinação do VaR tem todas as chances de representar um modelo adequado para o cálculo das medidas de risco que vierem a substituí-lo, o que viabiliza a continuidade das pesquisas sobre o desenvolvimento de metodologias para o cálculo do VaR.

34 GARCH Modelos da Família GARCH Uma das características observadas nas séries financeiras é a chamada clusterização de volatilidade, ou seja, a tendência de que retornos de grande magnitude sejam seguidos por outros retornos de grande monta, em ambos os sentidos. Foi constatado que as séries financeiras possuem dependências não lineares entre os retornos, representadas, principalmente, por autocorrelações entre os quadrados dos retornos ou dos resíduos dos ajustes por modelos da série ARMA. Engle (1982) sugeriu que as séries financeiras poderiam ser modeladas supondo heterocedasticidade, ou seja, que a variância condicional seria uma variável que mudasse seu valor ao longo do tempo supondo uma certa dinâmica. A metodologia proposta em seu trabalho ficou conhecida como a classe de modelos ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedastic). Um modelo ARCH (p) pode ser representado pela fórmula abaixo: ε t = σ I t t 2, σ = α + α ε t 0 p i= 1 i 2 t i (2.2.1) Onde ε t é o resíduo de um modelo qualquer para a média dos retornos (por exemplo, um modelo da série ARMA), I t é uma distribuição identicamente distribuída com média 0 e desvio padrão unitário, σ 2 t é a variância condicional no instante t, e α 0 e α i são os coeficientes a serem estimados no modelo.

35 15 Tsay (2002) fez um estudo detalhado das propriedades dos modelos ARCH. Analisando o modelo ARCH (1), demonstrou que, dada a restrição de que o coeficiente α 1 seja maior que zero e menor que 1/3 (de forma a assegurar que o momento de ordem 4 dos resíduos seja positivo), a curtose associada à distribuição incondicional dos resíduos ε t será superior a 3, o que leva a reproduzir de forma mais realista a existência de outliers nas séries de retornos financeiros em número maior do que seria previsto dentro de uma distribuição incondicional representada por uma distribuição normal. O autor ainda aponta o que seriam algumas fraquezas dos modelos da série ARCH: - O modelo assume que os choques nos retornos, tanto positivos quanto negativos, possuem o mesmo impacto, o que entra em contradição com estudos empíricos que revelam que as reações aos impactos positivos e negativos são diferentes. - O fato do coeficiente α 1 só poder assumir valores no intervalo [0,1/3] nos modelos ARCH(1) de forma a assegurar a existência de um momento de ordem 4 positivo e finito para a série é uma restrição muito forte. Para modelos de ordem maior, esse problema pode ser ainda mais complicado. - Este modelo é puramente descritivo, não oferecendo nenhuma informação nova sobre a causa que faz com que as séries financeiras tenham o comportamento e as variações observadas. - Os modelos ARCH tendem a superdimensionar a volatilidade por responder de forma lenta demais a grandes choques nas séries de retornos. Um outro problema apresentado pelos modelos da série ARCH foi o fato que, para muitas séries financeiras, havia a necessidade de modelagem por um modelo ARCH

36 16 de ordem elevada, o que fazia com que um elevado número de coeficientes fosse estimado. Bollerslev (1986) introduziu, então, os modelos da família GARCH como uma extensão dos métodos da família ARCH desenvolvidos por Engle (1982). Um modelo GARCH de ordem (p,q) pode ser determinado pela seguinte equação: ε t p q = 2 = + 2 σ + t I t σ t α 0 α iε t i i= 1 j= 1, β σ j 2 t j, (2.2.2) onde ε t é o retorno não explicado do ativo no instante t, {I t } é uma seqüência 2 aleatória i.i.d. de média 0 e variância 1, σ t é a variância condicional no instante t e os coeficientes α i e β j são determinados por regressões usando geralmente o critério de máxima verossimilhança. Diversos estudos mostraram que o modelo GARCH (1,1) apresentou um desempenho semelhante a modelos ARCH de elevada ordem, com a vantagem de ter apenas 3 coeficientes para determinar. A fórmula da variância condicional de um modelo GARCH (1,1) pode ser escrita como: σ 2 t = 2 2 α + 0 α1ε + t 1 β1σ t 1 (2.2.3) Observando a fórmula 2.2.3, observa-se que, se ε t-1 e/ou σ t-1 2 forem de grande magnitude, σ t 2 também será de grande valor, o que fará com que haja uma grande probabilidade que o retorno no instante t tenha uma grande magnitude. Desta forma, a característica de clusterização da volatilidade é representada pelos modelos GARCH. Além disso, pode-se chegar à fórmula seguinte para a variância incondicional dos resíduos 2 ε t : 2 Para ver os detalhes desta fórmula, bem como as demonstrações das fórmulas da curtose de modelos sujeitos aos processos ARCH e GARCH, ler Tsay, Ruey Analysis of Financial Time Series- Wiley-Interscience, p

37 17 2 α0 E( ε t ) = (2.2.4) max( p, q) 1 ( α + β ) i= 1 i i Pode ser demonstrado, também, que os modelos GARCH, se atendida uma restrição nos parâmetros similar à do modelo ARCH, também geram, para os resíduos, uma curtose incondicional maior do que 3, o que faz com que, mesmo ao assumir que os resíduos padronizados I t obedeçam a uma distribuição normal, haja um excesso de curtose associado à distribuição incondicional, o que novamente sugere uma reprodução mais realista do desempenho dos ativos financeiros. Porém, as mesmas fraquezas associadas ao ARCH também se refletem aos modelos da classe GARCH. Os modelos da família GARCH têm sido utilizados e aperfeiçoados ao longo dos anos, tendo sido adotados em diversas aplicações, tais como o apreçamento de opções e os cálculos de medidas de risco. Novas classes de modelos têm sido propostas, de forma a incorporar efeitos como a assimetria de respostas a retornos positivos e negativos. Por exemplo, a família IGARCH serve para modelar séries onde há a existência de raízes unitárias na equação da volatilidade condicional. Um modelo IGARCH (1,1) pode ser representado pela seguinte fórmula: ε t I σ 2 2 = σ t t, α0 + α1ε t 1 + (1 α1) t 1 (2.2.5) Dentro dos modelos da família IGARCH, não há a definição de uma variância incondicional. Logo, enquanto que, nos modelos GARCH há a reversão à média para as variâncias condicionais, nos modelos da série IGARCH não se observa esse parâmetro. Um caso muito especial de modelo IGARCH é quando o parâmetro α 0 é considerado igual

38 18 a zero. Neste caso, temos o modelo EWMA, popularizado pela metodologia Riskmetrics TM. Os modelos da série GARCH-M, por sua vez, incorporam um termo da variância condicional na equação da média. Desta forma, considera-se um fato muito conhecido na Teoria das Finanças que há um prêmio de risco no retorno esperado de cada ativo. Já modelos, como o EGARCH, buscam reproduzir os fatos de que os impactos positivos e negativos nos retornos têm reflexos diferentes na volatilidade. Outras linhas de pesquisa têm estudado o comportamento dos resíduos de um modelo GARCH. Diversas evidências empíricas têm mostrado que, mesmo assegurando um excesso de curtose nas distribuições incondicionais dos resíduos, os resíduos padronizados tampouco obedecem a uma distribuição normal. Uma alternativa tem sido a utilização de distribuições t-student para os resíduos padronizados. Outros estudos sugerem a utilização de modelos da Teoria de Valores Extremos para a determinação dos percentis combinada com a utilização de modelos GARCH para o cálculo da volatilidade. Outros estudos sugerem a realização de modelos de simulação histórica aplicada nos resíduos padronizados históricos para o cálculo das medidas de risco Persistência de Volatilidade A fórmula (2.2.3) pode ser reescrita como: σ 2 t = α 0 + α1( ε t 1 σ t 1 ) + ( α1 + β1) σ t 1 (2.2.6)