Cadeias de Markov Introdução

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Maria Júlia Salgado Gentil
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1 Cadeias de Markov Introdução EAD 350 Pesquisa Operacional Segmento Modelos de Redes Prof. Nicolau Reinhard 1º Semestre de 2017 Referências básicas: Taha, H., Pesquisa Operacional 8ª edição, Pearson, Prentice Hall, 2008 cap 17 Site com tutorial, exercícios e ferramenta de simulação: Waner, S e Constenoble, S., Finite mathematics: everything, chapter 7, disponível em

2 Exemplo 1 EAD 350 Cadeias de Markov Uma cidade tem apenas 2 jornais: Diário (D) e Gazeta (G) Em t=0 D tem 400 assinantes e G tem 100 assinantes Premissas do processo de renovação anual de assinaturas: 1. O sistema é fechado: não há novos assinantes e assinantes antigos não saem 2. Os assinantes decidem no inicio de cada ano que jornal assinarão naquele ano, considerando apenas o seu estado no ano anterior, sem levar em conta o histórico de decisões dos outros anos (sistema sem memória). Na passagem do ano 0 para o ano 1 ocorreu que: e 50 assinantes de D passaram a assinar G (12,5% dos assinantes de D) 10 assinantes de G passaram a assinar D (10% dos assinantes de G) Se este comportamento se mantiver nos anos seguintes (em termos de % dos assinantes que mudam em relação ao total de assinantes daquele jornal no ano anterior), no longo prazo qual será o número de assinantes de cada jornal? (Fonte: Moreira, D., Pesquisa Operacional, Thomson, 2007, pag. 337, adaptado)

7 Probabilidades de transição Probabilidades de transição em uma cadeia de Markov em n etapas: a : Vetor de estado no instante 0 a¹ = a. P, onde P é a matriz de transição. Donde: a n =a.p n e P n =P n-m.p m (equações de Chapman-Kolmogorov) A B C E O estado a que satisfaz à equação: a = a.p Se existir, é denominado estado de equilíbrio F. D

8 B A C E Definição de estados em uma Cadeia de Markov F. D 1. Um Estado j é alcançável a partir do Estado i se P(ij)n>0 para algum n>0 { (B,A); (E,C), etc} 2. Um Estado i é comunicante com um Estado j se i é alcançável a partir de j e vice-versa {(A,B); (D,E)} 3. Um Estado é transiente (temporário) se, após sair o sistema jamais pode voltar a este Estado (C) 4. Um Estado não transiente é chamado recorrente (o sistema certamente voltará a ele) 5. Um Estado é absorvente se o sistema não pode deixá-lo após nele entrar {(F), (D E)} 6. Um Estado é periódico com período p se o sistema voltar a ele após cada p transições

9 B A C E Cadeia ergódica F. D Uma Cadeia de Markov será denominada ergódica se todos os seus estados forem recorrentes e aperiódicos Para uma cadeia ergódica o tempo médio do primeiro retorno a um estado, também chamado de tempo médio de recorrência é dado por: TR j = 1/Soma de P ijn para todo i

10 Exemplo 2 Fonte: Taha, H, Pesquisa Operacional, Pearson, 2008, adaptado Um motorista pode cometer infrações de trânsito e receber pontos na carteira. Com 4 pontos ele é obrigado a se submeter a novo exame no mês seguinte (com isto ele zera sua contagem de pontos) Em cada mês as probabilidades de ele receber um ponto a mais dependem apenas do número que ele já acumulou deste o último exame. (hipótese simplificadora: Ele jamais receberá mais de um ponto num mesmo mês.) Número de pontos Probabilidade de receber no início do mês mais um ponto no mês 0 50% 1 40% 2 30% 3 20% 4 0% Note que o motorista fica mais cauteloso à medida que aumenta o seu número de pontos acumulados na carteira. Tarefa: Construir a cadeia de Markov que representa este processo e calcular o estado de equilíbrio. Pergunta: Qual o número médio de períodos entre dois exames consecutivos do motorista? (use o conceito de tempo médio de recorrência)

Cadeias de Markov Exercício 1 Prazo de entrega: 19/06/2017 até as 19 horas através do Moodle Uma locadora de automóveis tem 1.

11 Cadeias de Markov Exercício 1 Prazo de entrega: 19/06/2017 até as 19 horas através do Moodle Uma locadora de automóveis tem veículos e opera em 4 cidades, com as seguintes probabilidades de local de devolução dos veículos locados em cada cidade 70% dos automóveis são devolvidos após uma semana na própria cidade onde foram locados. Para os demais 30%, depois de uma semana: 1. Dos veículos que foram alugados em Sorocaba: 20% são devolvidos em Santos, 60% em São Paulo e 20% em Campinas 2. Dos veículos que foram alugados em Santos: 40% são devolvidos em Campinas e 60% em São Paulo 3. Dos veículos que foram alugados em São Paulo: 50% são devolvidos em Campinas e 50% em Santos 4. Dos veículos que foram alugados em Campinas: 80% são devolvidos em São Paulo, 10% em Santos e 10% em Sorocaba Perguntas 1. Qual o tamanho médio de pátio necessário (em número de veículos) em cada cidade? 2. Qual o número médio de semanas para um veículo ser devolvido à sua localidade de origem? (use o conceito de tempo médio de recorrência) Observação: justifique as suas respostas a partir da análise da cadeia de Markov do negócio Fonte: Taha, H, Pesquisa Operacional, 8ª ed, Pearson, Pag. 293, adaptado

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