UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO ELIZABETH FRACCAROLI JAMMAL

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1 UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO ELIZABETH FRACCAROLI JAMMAL OS OSTENSIVOS E NÃO OSTENSIVOS UTILIZADOS NO ESTUDO DAS NOÇÕES DE PONTO E RETA NO PLANO NO ENSINO MÉDIO SÃO PAULO 2011

2 UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO ELIZABETH FRACCAROLI JAMMAL OS OSTENSIVOS E NÃO OSTENSIVOS UTILIZADOS NO ESTUDO DAS NOÇÕES DE PONTO E RETA NO PLANO NO ENSINO MÉDIO Dissertação submetida à banca examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência para defesa de dissertação para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob a orientação da Professora Doutora Marlene Alves Dias. SÃO PAULO 2011

3 J31o Jammal, Elizabeth Fraccaroli Os ostensivos e não ostensivos utilizados no estudo das noções de ponto e reta no plano no Ensino Médio./ Elizabeth Fraccaroli Jammal. São Paulo: [s.n.], fl..il; 30 cm. Dissertação de Mestrado para a obtenção do Título de Mestre em Educação Matemática. Programa de Pós Graduação em Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo. Orientadora: Professora Dra. Marlene Alves Dias 1. Ponto e Reta 2. Teoria Antropológica do Didático 3. Quadros 4. Níveis de Conhecimento 5. Ponto de Vista I. Título CDD: 372.7

4 ELIZABETH FRACCAROLI JAMMAL OS OSTENSIVOS E NÃO OSTENSIVOS UTILIZADOS NO ESTUDO DAS NOÇÕES DE PONTO E RETA NO PLANO NO ENSINO MÉDIO DISSERTAÇÃO APRESENTADA À UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO COMO EXIGÊNCIA DO PROGRAMA DE PÓS- GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Presidente e Orientador Nome: Titulação: Instituição: Assinatura: 2ª Examinador Nome: Titulação: Instituição: Assinatura: 3ª Examinador Nome: Titulação: Instituição: Assinatura: Biblioteca Bibliotecário: Assinatura: DATA / /. São Paulo, de de

5 Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos. Assinatura: Local e Data:

6 Não creio em nada e de nada descreio. O que concebe a imaginação aproxima-nos tanto da verdade como o que pode provar a matemática. Charles Chaplin

7 Dedico este trabalho a: Meu pai (in memorian): mostrou ser um doutor na sabedoria da vida, mesmo tendo frequentado por pouco tempo os bancos escolares. Dele herdei valores morais, honestidade nas lutas pela vida e a rebeldia contra o comodismo. Minha mãe (in memorian): a quem nem o sofrimento e desencantos da vida fizeram perder a dignidade, o afeto e o amor materno. Dela herdei a paciência e o espírito de luta. Minha filha: fonte de minhas mais profundas buscas. Nela encontrei a coragem e me reencontrei.

8 AGRADECIMENTOS A Professora Dra. Marlene Alves Dias, amiga e orientadora, pelo carinho com que me acolheu, pela atenção cedida em todos os momentos, pelo acompanhamento constante na realização do trabalho, comentando, sugerindo, desafiando e, sobretudo acreditando no meu desempenho. As professoras Dra. Maria Helena Palma de Oliveira e Dra. Marger da Conceição Ventura Viana pelas correções e sugestões oferecidas na qualificação. Aos colegas e professores do Programa de Pós Graduação em Educação Matemática da UNIBAN, pelas contribuições nos debates, na troca de experiências e nas conversas ao longo do curso. Aos amigos e colegas, professores e coordenadores da UNIBAN, pelo ininterrupto apoio acadêmico, companheirismo e incentivo constante nos momentos de desânimo e cansaço. Aos amigos Silva, pelas longas horas de debates, traduções e correções; Marcelo pelas suas ricas ideias e intervenções; Eliane e Paulo pela eterna companhia. Á minha família, em especial, pela compreensão de minhas ausências, pelo incentivo e estímulo. A todos, meus sinceros agradecimentos e carinho.

9 RESUMO JAMMAL, E. F. Os ostensivos e não ostensivos utilizados no estudo das noções de ponto e reta no plano no Ensino Médio f. Programa de Pós Graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, Este estudo trata de questões relativas ao ensino e aprendizagem das noções de Ponto e Reta no plano, desenvolvidas em Geometria Analítica no Ensino Médio. Assim, o objetivo desse trabalho é identificar um conjunto de tarefas e práticas associadas a essas noções que sobrevivem quando se introduz a Geometria Analítica no Ensino Médio e verificar se elas podem ser consideradas como conhecimentos prévios mobilizáveis para os estudantes que seguem a disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear no Ensino Superior. O referencial teórico da pesquisa é centrado na noção de quadro e mudança de quadro de Douady, na Teoria Antropológica do Didático de Chevallard, Chevallard e Grenier e Bosch e Chevallard e nas abordagens teóricas em termos de níveis de conhecimento esperados dos estudantes conforme definição de Robert e pontos de vista segundo definição de Rogalski. Analisam-se alguns documentos oficiais propostos para o Ensino Médio nos quais se identificam as expectativas institucionais para o desenvolvimento das noções estudadas tanto do ponto de vista pedagógico como didático. Constrói-se uma grade de análise e por meio dela analisam-se as relações institucionais esperadas dos estudantes, via livros didáticos e as relações pessoais também esperadas dos estudantes via duas macroavaliações. Os resultados obtidos permitem concluir que, para as relações institucionais esperadas e existentes as articulações de quadros, manipulação de ostensivos e evocação de não ostensivos dependem dos conhecimentos prévios de que os estudantes dispõem e/ou são capazes de mobilizar. Verifica-se ainda que, as noções de ponto e reta no plano são desenvolvidas considerando os quadros das funções, geometria euclidiana plana e cálculo algébrico. Em geral, o nível de conhecimento esperado dos estudantes difere em função do documento analisado, exigindo assim uma atenção em relação aos diferentes grupos de estudantes quando se introduz a Geometria Analítica no Ensino Superior. Palavras-chave: Ponto e Reta, Teoria Antropológica do Didático, Quadros, Níveis de Conhecimento, Ponto de Vista.

10 ABSTRACT JAMMAL, E. F The ostensible and non ostensible used in the study of notions of point and straight at school f. Mathematics Education Graduation Program, Universidade Bandeirante de São Paulo, São Paulo, This study refers to education and learning of notions of Point and Straight in plain, developed in Analitic Geometry School. The object is to identify tasks and practices associated these notions that survive while introducing the Analytic Geometry in School and check if it can be considered how prior knowledge mobilized to students following the Analytic Geometry and Linear Algebra at school. The theoretical has focus in table notions and tables changes of Douady, in Anthropological Theory of Didactics of Chevallard, Chevallard and Grenier and Bosch and Chevallard and in theoretical approaches in knowledge levels expected by students following the Robert definitions and viewpoints following Rogalski. Some official documents analyzed in school show institutional expectations to notions development as many viewpoints pedagogical as didactic. Building an analysis grid to analise the institutional relations expected by students through books and personal relations expected through two macroevaluations. The results indicate that the expected institutional relations and expected the joints of existing framewords, overt manipulation and recall of ostentatious depending on prior knowledge that students posses and / or are able to mobilize. There is still the notions of points and line in the level are developed considering the tables of functions, plane euclidean geometry and algebraic calculus. In general, the level of the expected knowledge of the students differs according to the documents analyzed, requiring an attention in relation to the different groups of students when introduced to the Superior Level of Analytic Geometric. Keywords: Point and Straight, Didactic Anthropologist Theory, Tables, Knowledge Levels, Viewpoints.

11 LISTA DE FIGURAS 01. Representações cartesianas e paramétricas de retas e planos Exemplo enunciado no quadro numérico Exemplo enunciado no quadro algébrico Exemplo enunciado no quadro algébrico Exemplo enunciado no quadro geométrico Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 3 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 3 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 4 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 3 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo - Exercício correspondente à tarefa

12 26. Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 3 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 3 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 3 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 3 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 3 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 1 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 2 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo 3 - Exercício correspondente à tarefa Exemplo - Exercício correspondente à tarefa Expressão que indica a distância entre dois pontos

13 52. Coordenadas de um ponto que divide um segmento dado uma razão qualquer Condição de alinhamento de três pontos Determinar e coeficiente angular Equação da reta dado um ponto e coeficiente angular Distância de ponto a reta Área do triângulo Plano Cartesiano Expressão que indica a distância entre dois pontos Exemplo de Tarefa sobre distância entre dois pontos Coordenadas do ponto médio Exemplo de tarefa sobre coordenadas do ponto médio Condição de alinhamento de três pontos Tarefa sobre condição de alinhamento de três pontos Representação de reta dado um ponto e a direção Equação reduzida de uma reta Coeficiente angular de uma reta Equação geral da reta Paralelismo entre retas Perpendicularidade entre retas Exemplo de tarefa sobre inequação Ângulo entre retas concorrentes Área do triângulo Tarefas propostas de articulação entre as geometrias Organização de conteúdos Representações de retas

14 77. Função afim Articulação entre representação gráfica e algébrica Tarefa sobre máximo e mínimo Questão 4 FUVEST, 2ª. Fase Resolução da questão 10 FUVEST 2ª. Fase Questão 10 FUVEST 2ª. Fase Resolução da Questão 10 FUVEST 2ª. Fase Questão 6 FUVEST 2ª. Fase Resolução da Questão 6 FUVEST 2ª. Fase Questão 1 FUVEST- 2ª. Fase Resolução da Questão 1 FUVEST 2ª. Fase Questão 10 UNICAMP 2ª. Fase a. Resolução da Questão 10 UNICAMP 2ª. Fase b. Resolução da questão 10 UNICAMP 2ª. Fase Questão 11 UNICAMP 2ª. Fase Resolução da Questão 11 UNICAMP 2ª. Fase Questão 12 UNICAMP 2ª. Fase Resolução da Questão 12 UNICAMP 2ª. Fase Resolução da Questão 11 UNICAMP 2ª. Fase Cálculo das medianas de um triângulo Cálculo da altura de um triângulo Tarefa: distância entre dois pontos Tarefa: coordenadas do ponto médio Exemplo: representação de feixe de retas concorrentes Articulação entre representações de equações de retas Exemplo 1: articulação entre representações de retas

15 103. Exemplo 2: articulação entre representações de retas Representação geométrica do exercício proposto por Aline Robert. 90

16 LISTA DE QUADROS 01. Organização dos temas estruturais por série PCNEM Variáveis que compõem a grade de análise Tarefas comumente encontradas no EM para o estudo de ponto Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa Tarefas comumente encontradas no EM para o estudo de reta Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa Grade de análise do exemplo correspondente à tarefa Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa Grade de análise do exemplo correspondente à tarefa Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa Grade de análise dos exemplos correspondentes à tarefa Grade de análise do exemplo correspondentes à tarefa

17 LISTA DE TABELAS 01. Tarefas relativas ao estudo de ponto desenvolvidas na obra Matemática, Dante, Tarefas relativas ao estudo de reta desenvolvidas na obra Matemática, Dante, Tarefas relativas ao estudo de ponto desenvolvidas na obra Matemática: Ciência e Aplicação, Iezzi et al., Tarefas relativas ao estudo de reta desenvolvidas na obra Matemática: Ciência e Aplicação, Iezzi et al., Tarefas relativas ao estudo de ponto desenvolvidas no Caderno do Aluno, Tarefas relativas ao estudo de reta desenvolvidas no Caderno do Aluno,

18 LISTA DE ANEXOS Anexo 1 Cálculo da altura de um triângulo Técnica do determinante Anexo 2 Técnica da representação reduzida e funcional de uma reta Anexo 3 Articulação da noção de mediana de um triângulo e noção da geometria euclidiana Anexo 4 Exemplo de articulação entre as noções trabalhadas em geometria analítica e as suas noções correspondentes em geometria plana Anexo 5 Articulação da noção de distância entre dois pontos e noções de da geometria euclidiana Anexo 6 Tarefas sobre coordenadas do ponto médio Anexo 7 Feixe de retas concorrentes Anexo 8 Articulação entre representações de equação de reta Anexo 9 Organização dos temas estruturadores de Matemática, por série 241 e bimestre, do ensino médio (NPCSP)

19 LISTA DE ABREVIATURAS CAPES CNLDEM COFECUB DCNEM EDUSP EM ENEM FUVEST INEP LDB MEC NPCSP PNLEM PCN PCNEM PCN+ SBM SEE-SP UNESP UNIBAN UNICAMP Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Catálogo Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio Comitê Francês de Avaliação da Cooperação Universitária com o Brasil Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio Editora da Universidade de São Paulo Ensino Médio Exame Nacional do Ensino Médio Fundação Universitária para o Vestibular Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional Ministério da Educação Cultura e Desporto Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio Parâmetro Curricular Nacional Parâmetro Curricular Nacional para o Ensino Médio Parâmetro Curricular Nacional para o Ensino Médio (complementar) Sociedade Brasileira de Matemática Secretaria da Educação do Estado de São Paulo Universidade Estadual Paulista Universidade Bandeirante de São Paulo Universidade Estadual de Campinas

20 SUMÁRIO Introdução Capítulo 1: Fundamentação teórica Considerações iniciais Síntese de alguns aspectos da Teoria Antropológica do Didático Síntese das noções de ferramenta/objeto e mudança de quadros conforme definição de Douady Síntese da noção de níveis de conhecimento esperados dos estudantes conforme definição de Robert Síntese da noção de ponto de vista de Rogalski Capítulo 2: Análise das expectativas institucionais esperadas para o trabalho dos professores e estudantes via noção de topos Considerações iniciais Lei de diretrizes e bases da educação nacional (Lei 9.394/96) e parâmetros curriculares nacionais do ensino médio (PCNEM) Proposta curricular do estado de São Paulo Topos do professor e topos do estudante O Topos do professor e do estudante quanto à organização Pedagógica O Topos do professor e do estudante quanto à organização didática O Topos do professor e do estudante quanto à organização matemática para o ensino médio Considerações finais... 93

21 Capítulo 3: Grade de análise das taraefas usuais de ponto e reta em IR² Considerações iniciais A grade de análise Tarefas relacionadas ao estudo de ponto Tarefas relacionadas ao estudo de reta Considerações finais Capítulo 4: Análise das relações institucionais existentes em livros didáticos sobre as noções de ponto e reta em IR² Considerações iniciais A obra Matemática Luis Roberto Dante Comentários e análise A parte do professor e a parte do estudante nas tarefas A obra Matemática, Ciência e Aplicações Gelson Iezzi et al Comentários e análise A parte do professor e a parte do estudante nas tarefas O caderno do professor e o caderno do aluno da SEESP Comentários e análise A parte do professor e a parte do estudante nas tarefas Considerações finais Capítulo 5: Análise das relações pessoais esperadas dos estudantes por meio de macroavaliações Considerações iniciais Exame da fundação universitária para o vestibular FUVEST Comentários As tarefas sobre as noções de ponto e reta no plano nos exames da FUVEST Exame da universidade de Campinas UNICAMP 196

22 5.3.1 Comentários As tarefas sobre as noções de ponto e reta no plano nos exames da UNICAMP Exame nacional do ensino médio - ENEM Considerações finais Considerações finais e perspectivas futuras Bibliografia consultada e referenciada Glossário Anexos

23 INTRODUÇÃO 1. Considerações iniciais Considera-se com D Ambrósio (2003), que ressalta a importância da Matemática justificando que não se pode pôr em dúvida seu alto valor, quer como ciência pura, quer como ciência aplicada. Forma de pensamento profundamente impressa no espírito humano, que vem se manifestando desde as raças primitivas, o pensamento matemático, é o tipo mais característico do pensamento humano. O conhecimento matemático não é algo pronto e acabado, o indivíduo o constrói por meio de sua interação e ação sobre os objetos. Seu significado vai além de utilizar fórmulas e executar operações. É um processo significativo de exploração de idéias, estabelecimento de relações entre fatos e conceitos, além da incorporação desses contextos no mundo social, ou seja, deve ser elaborado e arquitetado como aquisição de diferentes formas de percepção da realidade. Acompanhando Ubiratan D Ambrosio (2003), no processo de ensino e aprendizagem da matemática devem-se promover situações que permitam aos estudantes, além de usar modelos e algoritmos, conceber a matemática como um conhecimento profundamente interligado com a ciência e com a tecnologia e, assim, esse entendimento passa necessariamente pelo social. Dessa forma, refletir em torno de ideias, conceitos, compreender relações entre o saber e os desafios inerentes às ações integradas quanto ao ensino e aprendizagem se faz necessário, pois romper com dificuldades concernentes às práticas relativas à educação escolar não é tarefa de fácil solução. No que se refere ao ensino e aprendizagem da Matemática, pesquisas apontam para resultados insatisfatórios em todos os níveis de ensino, o que conduz a uma reflexão em relação às causas das dificuldades apresentadas pelos estudantes. Sendo assim, pesquisadores têm se dedicado a refletir sobre as causas do baixo rendimento dos estudantes e buscam alternativas, especialmente a partir de novas propostas de trabalho e novas metodologias. Órgãos públicos, tais como o 24

24 Ministério da Educação e Secretarias de Educação, procuram rever sua política e instituir mudanças. Na esfera federal brasileira, nota-se a tentativa de reorganização curricular efetuada pelo Ministério da Educação por meio dos Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1999) e projetos ligados à Educação Básica. Desta forma, a proposta estatal busca mudar as condições de ensino e aprendizagem tanto no Ensino Fundamental como no Ensino Médio, ou seja, as mudanças devem ocorrer em todas as etapas da Educação Básica. Publicados em 2000, os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM) dão ênfase a reformulação dos objetivos, revisão e novas formas de tratamento dos conteúdos, com a proposta de auxiliar professores no desenvolvimento de um trabalho que conduza os estudantes a darem significado aos conceitos estudados. Nesse contexto, o papel do professor passa de simples transmissor de informações para um mediador entre o saber, o indivíduo e suas práticas. Isso muda também o papel dos estudantes e consequentemente a relação que estabelecem entre si e com os educadores no espaço escolar. Quanto à aprendizagem de Matemática, os PCNEM destacam que seu ensino pode contribuir para que os estudantes desenvolvam habilidades relacionadas à representação, compreensão, comunicação, investigação e, também, à contextualização sociocultural (Brasil, 2006, p. 69). Objetivam preparar os estudantes para enfrentar os novos desafios impostos pela vida em sociedade, num mundo de mudanças aceleradas, cabendo ao professor desenvolver junto aos estudantes os conteúdos, os mecanismos de cálculo e capacitá-los para que possam utilizar esses conhecimentos na solução de problemas. Mas, em geral, os professores encontram dificuldades em desenvolver este trabalho, pois não é simples diagnosticar quando as lacunas apresentadas pelos estudantes se tratam de conceitos nunca estudados ou se já teriam sido trabalhados em outros quadros ou a partir de um ponto de vista diverso. Além disso, a articulação entre conhecimentos prévios e novos conhecimentos não é considerada pelo professor, ou seja, ao introduzir uma nova noção matemática, o docente não consegue identificar o que os estudantes já são capazes de mobilizar. 25

25 Quando se observa mais especificamente a disciplina de Matemática, em qualquer etapa de escolaridade, depara-se com noções que podem ter diferentes definições, significados e representações e que muitas vezes têm um sentido distinto do utilizado no cotidiano. Por exemplo, no cotidiano o conceito de dimensão se aproxima à noção de extensão (comprimento, largura, altura) aplicada em Geometria Plana e Espacial Euclidiana. Em Álgebra Linear, entretanto, o conceito de dimensão se refere ao número de vetores de um espaço vetorial de dimensão finita. Observa-se ainda que, um mesmo conceito pode ter variadas formas de tratamento de escola para escola e isso pode acrescentar uma dificuldade aos estudantes que são transferidos de uma unidade escolar para outra. Verifica-se assim que, é necessário considerar qual o espaço de trabalho que se utiliza para desenvolver novas noções e quais as articulações possíveis entre essas noções e as adquiridas em etapas escolares anteriores, ou seja, é necessária uma mudança tanto na forma de abordar os conceitos matemáticos a serem trabalhados quanto na prática pedagógica adotada pelo professor. Acrescenta-se que, a experiência profissional no Ensino Superior, da autora desta pesquisa, na área de Matemática, mostra que, em geral os estudantes apresentam dificuldades de aprendizagem nas disciplinas de Geometria Analítica e Álgebra Linear, quando se considera a passagem do Ensino Médio para o Ensino Superior. Ao perceber essas dificuldades, sempre a experiência profissional, auxilia a propor meios empíricos para supri-las, mas nem sempre se atinge o resultado esperado. Esse problema tornou-se mais evidente quando a autora desta pesquisa cursou a disciplina de Álgebra Linear, no curso de mestrado, no qual foi tratada explicitamente a articulação entre os pontos de vista cartesiano e paramétrico para a representação de espaços vetoriais, ministrado por Marlene Alves Dias. Nessa ocasião, foi possível compreender as representações por meio de um conjunto minimal de equações que corresponde ao ponto de vista cartesiano e à representação por meio de um conjunto linearmente independente de vetores que geram o espaço que corresponde ao ponto de vista paramétrico, permitindo 26

26 estabelecer uma relação entre essas duas representações que teoricamente é justificada por meio da noção de espaço dual. Em sua tese, Dias (1998) considera inicialmente relações entre os pontos de vista cartesiano e paramétrico por meio de uma visão algorítmica mostrando que a passagem de uma representação cartesiana para uma representação paramétrica está associada a: aplicação do método de Gauss ou ao escalonamento de um sistema de equações lineares e homogêneas; descrição do subespaço vetorial das soluções do sistema por meio da relação entre incógnitas principais e secundárias. Isto possibilita o controle dos resultados encontrados por meio da relação entre a noção de posto do sistema de equações lineares homogêneas, dimensão do espaço trabalho e dimensão do subespaço das soluções do sistema, ou seja, sendo n o número de incógnitas ou a dimensão do espaço trabalho, r o posto do sistema de equações lineares homogêneas (número de equações independentes), a dimensão do subespaço solução do sistema é igual a n r. Da mesma forma, para a passagem de uma representação paramétrica para uma representação cartesiana, após escrever o sistema linear que corresponde à combinação linear dos vetores dados, aplica-se o método de Gauss que permite determinar as condições para que o sistema tenha solução, as quais correspondem às equações que caracterizam uma representação cartesiana do subespaço gerado pela família de vetores dados. Por exemplo, dada uma família de vetores em IR n, se o posto dessa família de vetores é r, o número de equações que caracterizam o subespaço definido por essa família de vetores é igual a n r, o que permite controlar os resultados encontrados. No contexto atual, segundo Dias (1998), a articulação entre os pontos de vista cartesiano e paramétrico contempla a noção de dualidade que permite pensar as equações homogêneas como vetores, enquanto formas lineares do espaço dual, isto é, associa-se a todo sistema de equações lineares e homogêneas o espaço gerado no dual das formas lineares. Destarte, a introdução da Álgebra Linear para os espaços vetoriais de IR n, centrada no estudo dos sistemas de equações lineares, permitiu constatar a importância de um trabalho específico, baseado em uma pesquisa, que leve em 27

27 conta a articulação entre as diferentes noções matemáticas em jogo no ensino e aprendizagem de um determinado conceito matemático. Tanto no Ensino Médio como no Superior, esse trabalho possibilita construir cenários específicos de aprendizagem para os diferentes grupos de estudantes levando-se em conta seus conhecimentos prévios e suas possibilidades de trabalho. Junta-se a essa experiência o trabalho desta pesquisadora com estudantes do Ensino Médio. Tal atividade permite relatar que, em geral, nessa etapa da escolaridade só se trabalha com o ponto de vista cartesiano para representação de retas no plano, isto é, trabalha-se apenas com equações. A reta é representada por uma equação linear. Quanto ao ponto de vista paramétrico, que consiste em definir uma reta vetorial como um espaço vetorial que contém vetores não nulos para os quais todos os vetores são colineares entre eles, não é tratado. Dessa forma, os pontos de vista relacionados à articulação equação/vetor não são considerados para a representação de uma reta no plano, uma vez que não se introduz a noção de vetor, conforme se observa na Matemática aplicada ao Ensino Médio. Exemplificando, em uma reta vetorial todo vetor não nulo constitui uma base. Nesse caso, a reta afim passando pelos pontos A e B é o conjunto de pontos M tais que AM u, quando percorre IR e u AB, ou seja, a reta vetorial D u, IR está associada à reta afim D A u, IR. Observa-se que a associação entre reta vetorial e reta afim é teoricamente justificada pelo fato que se pode definir uma aplicação de E X E em E, onde E é um espaço afim (conjunto de pontos) e E é um espaço vetorial, que a cada par de pontos (A, B) associa um vetor, indicado por AB, que pode ser visto como uma localização do vetor no espaço afim, com A sendo a origem e B a extremidade. Se para todo A, a aplicação do espaço afim E no espaço vetorial E é bijetora, diz-se que o espaço vetorial E e o espaço afim E são associados, ou que E é dirigido por E. Quando AB u, escreve-se B A u 28

28 Ainda, segundo Dias (1999), ao se trabalhar no plano e no espaço, é preciso estar atento em mostrar a relação entre as diferentes representações de pontos e de retas no plano e no espaço antes de passar aos espaços de maior dimensão, pois essa prática pode conduzir a dificuldades quando se introduz a Geometria Analítica ou Álgebra Linear no Ensino Superior. Deve-se, portanto, colocar em evidência a questão do espaço em que se está trabalhando. Isso permite explicitar à articulação equação/vetor e a diferenciar ponto e vetor, principalmente porque suas representações apenas em coordenadas se confundem. Visto que, no Brasil, diferentes trabalhos de pesquisa apontam para um pequeno número de estudos sobre a transição entre ensino Médio e Superior, em particular quando se consideram as noções de Geometria Analítica e o estudo das práticas existentes para o ensino e aprendizagem desta disciplina, observou-se que há um espaço para analisar as diferenças e regularidades existentes entre o que se espera como conhecimento prévio disponível ou pelo menos mobilizável dos estudantes iniciantes do Ensino Superior e o que eles realmente conhecem e são capazes de utilizar em relação ao conteúdo matemático associado às noções de Geometria Analítica, que se espera tenham sido desenvolvidos no Ensino Médio. Destarte, foi possível observar a possibilidade de novas abordagens de articulação entre as diferentes noções matemáticas no ensino e aprendizagem das noções de Geometria Analítica, tanto no Ensino Médio como no Superior e constatar a importância de um trabalho específico, baseado em uma pesquisa. Para tanto, numa tentativa de melhor compreender a transição entre Ensino Médio e Ensino Superior e identificar possíveis conhecimentos prévios que podem ser articulados quando os estudantes iniciam o Ensino Superior, optou-se por estudar, nesta pesquisa, as noções de Ponto e Reta em IR², introduzidas no Ensino Médio e como essas noções podem ser utilizadas como apoio para a introdução de novos conhecimentos no Ensino Superior, em particular, nas disciplinas de Geometria Analítica e Álgebra Linear. O presente estudo decorre, portanto, de questionamentos sobre a prática escolar cotidiana e a consequente busca de compreensão das dificuldades enfrentadas por professores e estudantes para fazer compreender e compreender 29

29 respectivamente, os conceitos matemáticos, suas várias formas de representação, as articulações necessárias e suas aplicações em Geometria Analítica. Considerando que, a Geometria Analítica representa uma abordagem da geometria na qual os objetos são representados por equações ou inequações, propôs-se como referencial teórico central para essa análise a noção de quadro de Régine Douady (1984) uma vez que uma primeira abordagem das noções desse domínio corresponde a uma mudança entre os quadros geométrico e algébrico. Além disso, ao trabalhar com as equações e inequações para representar os objetos da Geometria Analítica, é preciso estabelecer um discurso que justifique as diferentes formas de representação, pois um mesmo objeto pode ser representado de diferentes formas. Sendo assim, é preciso deixar claro quais representações são mais adequadas para o trabalho a ser desenvolvido, evidenciando que as diferentes formas de representação também estão associadas à abordagem escolhida. Para tanto, se faz necessário destacar, um conjunto de tarefas e práticas associadas à noção de ponto e reta no plano e os ostensivos e não ostensivos (YVES CHEVALLARD, 1996) associados a esses conceitos, pois são eles que permitem manipulá-los e evocá-los. Sendo assim, inclui-se no referencial teórico a Teoria Antropológica do Didático de Yves Chevallard (1992, 1996) e Marianna Bosch e Chevallard (1999), em particular, as noções de organizações praxeológicas ou praxeologias que são definidas em termos de tipos de tarefas, técnicas, tecnologias e teorias. Observa-se que a identificação das praxeologias existentes e dos ostensivos e não ostensivos utilizados pode auxiliar professores e estudantes, tanto do Ensino Médio como do Ensino Superior a melhor desempenhar o papel que deles é esperado, pois as análises propostas pretendem detectar quais conhecimentos adquiridos no Ensino Médio podem realmente ser considerados como conhecimentos prévios possivelmente mobilizáveis para o desenvolvimento da disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear no Ensino Superior. Assim, o estudo das representações utilizadas para manipular as noções matemáticas no Ensino Médio pode servir para introduzir as noções de ponto e reta em espaços de dimensão superior a dois. 30

30 Essas análises podem ainda favorecer propostas de novas ações didáticas associadas a: uma nova forma de pensar, uma nova organização dos conhecimentos, novas exigências do ponto de vista da matemática, um novo nível de conhecimento esperado pelas instituições tanto do Ensino Médio como do Ensino Superior como afirma Ghislaine Gueudet (2008). Mas, para que essas novas propostas sejam viáveis é necessária uma sondagem que permita verificar quais as possibilidades de novas propostas de trabalho, ou seja, quais as possibilidades de mudança. Sendo assim, apresentam-se nessa pesquisa as relações institucionais esperadas e existentes para introdução, desenvolvimento e articulação dos pontos de vista cartesiano e paramétrico das noções de ponto e reta no plano, no Ensino Médio; os conhecimentos esperados como técnicos, mobilizáveis ou disponíveis, conforme definição de Aline Robert (1997); as organizações matemáticas e didáticas propostas e quais os modos de comunicação privilegiados. Para melhor identificar essas organizações consideram-se ainda as noções didáticas de jogos de quadros, pontos de vista, milieu 1 conforme definições de Régine Douady (1984, 1992), Marc Rogalski (2001), Guy Brousseau (2003) e Yves Chevallard (1992) respectivamente. Observa-se que a noção de milieu difere quando se refere à Teoria das Situações Didáticas de Brousseau e a Teoria Antropológica do Didático de Chevallard e será retomada no capítulo um. Além disso, identificou-se um conjunto de tarefas e práticas associadas à noção de ponto e reta no plano quando se introduz as noções de Geometria Analítica no Ensino Médio e observou-se, mais especificamente, aquelas que podem servir de conhecimentos prévios mobilizáveis e/ou disponíveis para os 1 Brousseau (2003) define milieu de duas formas: - como contexto cognitivo de ação, isto é, um sistema de significações naturalizadas (fazer sem pensar) que tem a força da evidência compartilhada entre o professor e os estudantes para a construção de uma referência comum; - como um sistema que permite um jogo adidático: as retroações do milieu permitem rejeitar as estratégias inoperantes e validar as boas. Disponível em: < antagonista acesso em: 30/01/2010 Chevallard (1992) define millieu como conjunto dos objetos para os quais a relação institucional é estável, não problemática. Disponível em: < ppt#268,12>, acesso em: 30/01/2010 Observa-se que enquanto Brousseau considera a noção de milieu como uma ação cognitiva sobre um objeto, isto é, associada ao conhecimento, Chevallard o considera como uma relação institucional estável sobre esse mesmo objeto. 31

31 estudantes que seguem a disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear no Ensino Superior. Para a identificação das possíveis tarefas, foi realizada uma pesquisa em livros didáticos e em macroavaliações, isso porque são, em geral, utilizados pelas instituições escolares como referência sobre o saber a ser ensinado. Quanto à análise dessas tarefas, optou-se em aplicar a grade de análise construída segundo o padrão apresentado por Marlene Alves Dias (1998). Esta ferramenta de análise permite identificar e estudar as tarefas usualmente encontradas quando se introduz as noções de ponto e reta em IR² no Ensino Médio e verificar qual o nível de conhecimento que se espera ser desenvolvido nessa etapa de escolaridade e o que é deixado a cargo do Ensino Superior. Além disso, a construção da grade de análise, pela sua aplicação, propicia a identificação da diversidade de relações institucionais possíveis em função das tarefas e das variáveis dessas tarefas. Estas podem ser exploradas com os estudantes do Ensino Médio e proporcionam ainda uma ilustração das noções escolhidas para compô-la que representam elementos do referencial teórico da pesquisa. Mas, para compreender melhor que papéis o professor e o estudante devem desempenhar no processo de ensino e aprendizagem, escolheu-se a noção de topos, introduzida por Yves Chevallard e Denise Grenier (1997), que permite analisar o que se espera do professor e do estudante, tanto em relação aos conhecimentos prévios necessários, quando se introduz um novo conceito matemático, como em relação às atividades e atitudes necessárias para que se desenvolva o trabalho matemático em jogo nas tarefas que competem a cada um deles durante a ação didática. Visto que, a pesquisa se propõe a estudar a transição entre Ensino Médio e Superior, pesquisou-se na literatura trabalhos que tratam de problemas associados à essa transição, em particular nos estudos de Álgebra Linear, Geometria e Geometria Analítica. Seguem-se assim, apontamentos acerca de alguns trabalhos realizados por alguns investigadores que desenvolvem estudos sobre a questão da transição entre o Ensino Médio e Superior. Essas pesquisas permitem situar as questões propostas 32

32 nesse estudo e mostrar a importância do mesmo no atual contexto. Além disso, auxiliam a melhor delimitar os elementos metodológicos, o objetivo geral e os específicos e a problemática que serviram como fonte de inspiração para esse trabalho. Entre 1987 e 1994, encontram-se estudos dirigidos por Jean Luc Dorier, Aline Robert, Jacqueline Robinet, Marc Rogalski, direcionados a diagnosticar dificuldades no ensino e aprendizagem de Álgebra Linear no primeiro ano do ensino superior na França. A esse grupo francês acrescentam-se os trabalhos de Michele Artigue, Marlene Alves Dias e Ghislaine Gueudet e de membros de um grupo canadense com Anna Sierpinska e Joel Hillel, além dos trabalhos de Gérson Harel e Ed Dubinsky nos Estados Unidos. Já em 1989, Isabelle Tenaud, estudou em sua tese, as interações dialéticas por meio de um ensino de métodos e de um trabalho regular em pequenos grupos com exercícios adaptados para o ensino da Geometria no terminal C (equivale ao terceiro ano do Ensino Médio). Tal estudo supõe a classificação dos problemas e a identificação de estratégias e técnicas disponíveis em função dos possíveis métodos a serem desenvolvidos com esse conjunto especifico de estudantes. No referido trabalho, desenvolvido por Robert e Tenaud (Une expérience d enseignement de la géométrie en terminale C, Recherche en Didactique des Mathématiques, 1989), as autoras mostram a necessidade de mudança no ponto de vista que, nesse caso, estaria associado principalmente às figuras. Segundo as autoras, as figuras possibilitam uma visualização das possíveis soluções de um problema geométrico, desempenhando assim um papel importante em estratégias de imaginação. Consideram, por exemplo, que, para interpretar o fato de que três retas são concorrentes, é cabível utilizar um dos três pontos de vista, a saber: as possibilidades de passarem por um mesmo ponto, ou de que existe um ponto pertencente a cada uma delas, ou ainda de que o ponto de interseção de duas delas pertence à terceira. Dorier (1990), cujo trabalho está centrado em uma análise epistemológica e didática dos conceitos de Álgebra Linear, aborda o desenvolvimento de atividades específicas com estudantes que iniciam um curso de introdução à Álgebra Linear. 33

33 Outro trabalho de Dorier (1993) sobre a elaboração do conceito de posto no estudo dos sistemas de equações lineares, está particularmente associado à emergência da articulação entre ponto de vista cartesiano e paramétrico, pois trata da gênese do conceito de posto no contexto de estudo dos sistemas de equações lineares. Em Lille (1992), destacam-se os cursos construídos e implementados por Rogalski sobre Álgebra Linear para espaços vetoriais de IR n, discutidos em um seminário em São Paulo (1995). Nesse seminário, Rogalski apresenta a distinção entre quadro, registro de representação semiótica e ponto de vista considerando exemplos de Álgebra Linear e Análise Matemática. Hillel e Sierspinska (1994), em seu trabalho, referindo-se aos três níveis de desenvolvimento das ações cognitivas - inter, intra e trans de Piaget e Garcia (1983), questionam sobre qual desses três níveis é necessário quando se introduz as primeiras noções de Álgebra Linear. Os autores mostram que recorrer a essa ferramenta de análise permite compreender certas dificuldades dos estudantes. Sierpinska, com base em uma série de experiências em projetos de educação, observa que a tendência dos estudantes é tomar conta de seu pensamento prático (caracterizado por intuições que dependem de um contexto), ao invés do pensamento teórico e em Álgebra Linear isso seria uma das razões das muitas dificuldades, especialmente com os aspectos estruturais da teoria. Após o estudo da noção de representação de um operador linear sobre uma base dada e a passagem dessa representação à outra por meio de mudança de base, Hillel e Sierspinska (1994) concluem que o transnível leva alguns estudantes a produzirem um discurso formalmente escrito semelhante ao do livro didático ou da classe, mas não entendendo o significado dos símbolos e da terminologia. Ainda em 1994, Kallia Pavlopoulou (1994) desenvolve um estudo sobre a aprendizagem das noções de vetor, combinação linear, dependência e independência linear em IR² e IR³, referindo-se diretamente ao conceito de registro de representação semiótica conforme definição de Duval (1993). Nesse estudo Pavlopoulou conclui que o ensino experimental desenvolvido com os estudantes, além de ter sido eficaz, permitiu identificar dificuldades que geralmente não são 34

34 observadas por serem averiguadas em nível elementares. Ela destacou ainda que os estudantes distinguiram claramente o objeto matemático e suas representações e transferiram o conhecimento adquirido. Em continuidade aos estudos sobre as dificuldades em Álgebra Linear, Anna Sierpinska, Astrid Defesa, Tsolaire Khatcherian e Luis Saldanha, apresentam em Dorier et al. (1997) resultados de uma pesquisa sobre aquilo que eles denominam os três modos de pensar e raciocinar em Álgebra Linear (sintético-geométrico, analíticoaritmético, analítico-estrutural). Para eles, esses modos de pensar e raciocinar conduzem a diferentes sentidos das noções implicadas, pois estão associados a diferentes perspectivas teóricas. Além disso, segundo esses autores, os estudantes utilizam formas intermediárias entre esses três modos apresentando dificuldade em utilizar somente um ou outro e traduzir um no outro. Isso leva os autores a considerar que o estudo dessas formas intermediárias pode auxiliar na construção de novas propostas para o ensino de Álgebra Linear. Este trabalho conduziu a publicação do livro L enseignement de l algèbre linéaire en question em 1997, traduzido posteriormente para o inglês. Artigue e Dias (1995) apresentam um trabalho sobre a articulação entre os pontos de vista cartesiano e paramétrico em Álgebra Linear que corresponde à identificação das dificuldades apresentadas pelos estudantes do curso desenvolvido por Rogalski e sua equipe em Lille que tratava explicitamente essa articulação. Em continuidade, Dias (1998) defende sua tese sobre esse mesmo tema observando a importância das diferentes representações simbólicas no estudo da Álgebra Linear. Para o caso específico das propostas institucionais de ensino de Álgebra Linear, a autora conclui que, em geral, para os livros didáticos analisados, as tarefas propostas aos estudantes não exigem a articulação entre os pontos de vista cartesiano e paramétrico, mas pequenas adaptações no seu questionamento para tornar necessária essa articulação, em particular, quando se considera a passagem do ponto de vista paramétrico para o cartesiano. Mais recentemente, Gueudet (2008) desenvolve um estudo sobre a transição entre Ensino Médio e Superior observando que o desenvolvimento dessa transição depende das diferentes formas de considerar as dificuldades dos 35

35 estudantes, ou seja, a maneira como enxergamos essa transição é que permite propor ações didáticas diferenciadas. Assim, a autora identifica e classifica as seguintes maneiras de tratar essa transição referindo-se a trabalhos de pesquisa encontrados na literatura, a saber: um tratamento centrado sobre os modos de pensamento, isto é, os saberes são mais complexos necessitando de novas formas de pensar. Nesse caso, a autora se refere, mais particularmente, aos trabalhos de Eddie Gray, Edward Martin, Márcia Pinto, Demetra Pitta e David Tall (1999) e Ed Dubinsky (1991). um tratamento centrado na organização dos conhecimentos, isto é, uma reorganização da rede de conhecimentos. Para tal, a autora considera, mais especificamente, os trabalhos de Bernard Rey, Christine Caffieaux, Dominique Compere, Alain Lamme, Elisabeth Persenaire, Jonathan Philippe e Grégoire Wallenborn, (2003) e Veronique Battie (2003); um tratamento centrado na linguagem e nos modos de comunicação dos matemáticos, isto é, nova linguagem e novas exigências de rigor. Nesse caso, a autora evidencia os trabalhos de Elena Nardi e Paola Iannone (2005), Margot Berger (2004), Aline Robert (1998), Viviane Durand-Guerrier e Gilbert Arsac (2003), Tommy Dreyfus (1999); um tratamento centrado na instituição, isto é, novas expectativas institucionais. Para essa maneira de considerar a transição, a autora se refere aos trabalhos de Marianna Bosch, Cecilio Fonseca, Josep Gascón (2004), Frederic Praslon (2000), Corine Castela (2004), Artigue (2004). Como a presente pesquisa está centrada no desenvolvimento do saber nas instituições, ressalta-se o trabalho de Artigue (2004) que apresenta um estudo sobre as condições do ensino universitário na França. A autora coloca em evidência que atualmente essa etapa escolar apresenta, em particular, os seguintes desafios: a massificação do ensino, a defasagem em relação ao secundário e a evolução tecnológica como problemas que merecem a atenção dos pesquisadores de Educação Matemática. Dessa forma observa-se que esses desafios são, em geral, os mesmos encontrados nas universidades brasileiras. 36

36 Todo esse percurso analítico, dos autores acima citados, sustentou a proposição, a partir de 2008, do projeto CAPES-COFECUB, o que levou a publicação de diversos artigos sobre transição entre Ensino Médio e Superior. Em geral, esses artigos estão relacionados ao conceito de função, com destaque ao estudo de Marlene Alves Dias, Mônica Karrer e Tânia Maria Mendonça Campos (2009) sobre essa transição para noções de Geometria Analítica e Marlene Alves Dias, Michele Artigue, Anna Paula Jahn e Tânia Maria Mendonça Campos (2010) que apresentam um estudo comparado para o desenvolvimento da noção de função na França e no Brasil referente a essa transição. Contemplando o cenário nacional e internacional de ensino e de pesquisa, percebe-se que a problemática do ensino e aprendizagem de Matemática é presente e desafiadora. É possível observar as inúmeras dificuldades apresentadas por professores e estudantes, principalmente quando se considera a passagem do Ensino Fundamental para o Ensino Médio e do Ensino Médio para o Ensino Superior, o que, em geral, corresponde a uma mudança institucional, seja de escola ou da nova forma de trabalho que está associada às diferentes maneiras de abordar a transição colocada em evidência por Gueudet (2008). Identificados alguns dos trabalhos já existentes sobre a transição entre o Ensino Médio e Superior, apresenta-se a problemática específica da pesquisa realizada e os questionamentos que possibilitaram seu desenvolvimento. Observa-se que a Álgebra Linear e a Geometria Analítica podem auxiliar na integração das disciplinas de Matemática de um mesmo curso, em particular dos cursos da área de exatas e mais especificamente na Licenciatura em Matemática. A disciplina de Álgebra Linear pode ser abordada considerando os conhecimentos prévios desenvolvidos em Geometria Analítica. Como destacou Dorier (Dorier et al., 1997) seu caráter formalizador, unificador e generalizador possibilita a integração de diversas ferramentas matemáticas desenvolvidas nos ensinos fundamental, médio e superior que podem ser aplicadas de diferentes formas, segundo as escolhas feitas para a sua abordagem. Quanto à Geometria Analítica, ela permite desenvolver um trabalho mais específico com os espaços afins de IR n, auxiliando na visualização das noções em 37

37 jogo, em particular para os espaços IR 2 e IR 3, para estudar as possibilidades de introdução e manipulação dos ostensivos que ultrapassam a simples representação escrita dos objetos desse domínio. É possível trabalhar no espaço IR 3 definindo retas e planos por meio de diferentes representações, como por exemplo, a representação gráfica que permite a utilização de formas materiais para facilitar sua visualização. Por exemplo, no caso da representação de um ponto no espaço, canetas podem ser utilizadas como os eixos para representar o sistema cartesiano ortogonal ou os cantos da sala de aula e os respectivos semiplanos ou ainda folhas de papel. Quando se utilizam essas formas, também é possível apelar a esquemas gestuais para visualizá-los, como a regra da mão esquerda para o estudo dos campos magnéticos em Física. Observa-se que os ostensivos de representações gestuais podem ser apresentados por meio de um texto que indique os movimentos esquerda, direita, para cima e para baixo etc., ou seja, essas representações necessitam de um discurso que as descrevam e justifiquem. Isso conduz à identificação dos conhecimentos prévios dos estudantes para que se possa propor novas abordagens que favoreçam a articulação das diferentes noções em jogo quando da introdução de um determinado conteúdo em que a Matemática funciona como ferramenta ou objeto, isto é, é preciso verificar qual o papel que a noção matemática irá desempenhar nas tarefas propostas. Refere-se aqui à noção de ferramenta e objeto definida por Douady (1984). Considera-se ainda que as articulações de conhecimentos adquiridos nas diferentes etapas da escolaridade podem auxiliar também na integração das disciplinas que utilizam a Matemática em um mesmo curso. Por exemplo, nos cursos de Matemática e Licenciatura em Matemática, Álgebra Linear e Geometria Analítica podem ser articuladas com outras disciplinas como Cálculo, Estatística, Geometria, Análise Matemática etc. O presente estudo pode auxiliar a identificação das relações institucionais esperadas e existentes, assim como as relações pessoais esperadas dos estudantes para a introdução, o desenvolvimento e a articulação das noções de ponto e reta no Ensino Médio, ou seja, quais conhecimentos institucionalmente 38

38 esperados para serem desenvolvidos no Ensino Médio podem ser mobilizados para a aquisição de novos conhecimentos no Ensino Superior. Para tanto, inicia-se o trabalho com os seguintes questionamentos: 1. Como são trabalhadas as noções de ponto e reta no Ensino Médio, ou seja, quais os ostensivos e não ostensivos privilegiados? 2. A articulação entre os pontos de vista cartesiano e paramétrico se desenvolve implícita ou explicitamente? Como a Geometria Analítica é uma abordagem da Geometria em outro quadro, é preciso estabelecer uma distinção entre os espaços considerados que justifique as diferentes formas de suas representações. Por exemplo, a representação cartesiana e paramétrica de uma reta. Em IR² uma reta vetorial é representada por meio de uma equação homogênea quando se considera o ponto de vista cartesiano e por um conjunto de vetores colineares entre eles, de forma que todo vetor não nulo constitui uma base do espaço vetorial que contém esses vetores para o ponto de vista paramétrico. Em IR³ uma reta vetorial é representada por duas equações homogêneas independentes quando se trata do ponto de vista cartesiano e por um conjunto de vetores colineares entre eles, de forma que todo vetor não nulo constitui uma base do espaço vetorial que contém esses vetores para o ponto de vista paramétrico. Esses dois pontos de vista conduzem à seguinte questão: qual ponto de vista é privilegiado pelas abordagens propostas para o ensino da noção de reta em Geometria Analítica no Ensino Médio? Para responder a essa questão, se faz necessário identificar um conjunto de tarefas e técnicas que correspondem à prática habitual desenvolvida no Ensino Médio. Deve-se, ainda, observar quais as tecnologias usadas para descrever, explicar e justificar essas técnicas, bem como as teorias sobre a qual se fundamentam essas tecnologias, conforme Teoria Antropológica da Didática de Bosch e Chevallard (1999). Isso conduziu à definição do objetivo central da pesquisa, pois a identificação dos conhecimentos prévios desenvolvidos no Ensino Médio pode ser um meio facilitador para introduzir as noções de Geometria Analítica e Álgebra 39

39 Linear no Ensino Superior. Assim, esses conhecimentos prévios passariam a fundamentar o trabalho do professor. Destarte, o objetivo da pesquisa é identificar um conjunto de tarefas e práticas associadas à noção de ponto e reta no plano, em documentos específicos, quando se introduz as noções de Geometria Analítica no Ensino Médio e verificar se eles sobrevivem, ou seja, se podem ser considerados como conhecimentos prévios mobilizáveis para os estudantes que seguem a disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear no Ensino Superior. A partir desse objetivo mais amplo, destacam-se os seguintes objetivos específicos: estudar os ostensivos e não ostensivos associados às noções de ponto e reta quando se considera o ensino e aprendizagem de Geometria Analítica no Ensino Médio; identificar as relações institucionais esperadas do ponto de vista das organizações matemáticas, didáticas e pedagógicas propostas para o ensino e aprendizagem das noções de ponto e reta no plano no Ensino Médio, via documentos oficiais; identificar as relações institucionais existentes para o ensino e aprendizagem das noções de ponto e reta no plano no Ensino Médio, via livros didáticos; efetuar um estudo comparado entre as relações institucionais esperadas e existentes. Observar-se-á assim as regularidades e as diferenças institucionais para essas duas relações no Ensino Médio; identificar as relações pessoais esperadas dos estudantes e sua conformidade com as relações institucionais existentes, via macro avaliações; identificar quais conhecimentos prévios podem ser esperados como mobilizáveis quando se considera a introdução de Geometria Analítica no Ensino Superior. identificar um conjunto de tarefas que servem de referência para o desenvolvimento da noção de ponto e reta no plano e que correspondam às expectativas institucionais. Para tanto, considera-se a necessidade de desenvolver um trabalho cuja base é a metodologia apresentada a seguir. 40

40 O presente estudo foi iniciado com base em uma prospecção dos trabalhos e pesquisas sobre a transição entre o Ensino Médio e Superior, em particular no ensino de Geometria Analítica e Álgebra Linear. Para sua fundamentação foi escolhido o referencial teórico apresentado no capítulo que segue. Considerando que se trata de uma pesquisa documental, a metodologia utilizada para desenvolver esse trabalho é baseada no estudo de documentos que foram analisados em função do objetivo da pesquisa. Sendo assim, foi efetuada uma análise de documentos oficiais na perspectiva de verificar quais as relações institucionais esperadas para a introdução das noções de ponto e reta no plano no Ensino Médio. Nesses documentos foram observados ainda os topos do professor e dos estudantes, ou seja, qual o papel que se espera de professores e estudantes no processo de ensino e aprendizagem. Para trabalhar com as propostas institucionais esperadas, quando se considera o ensino e aprendizagem das noções de Geometria Analítica no Ensino Médio, optou-se pelo estudo dos documentos: Diretrizes Curriculares para o Ensino Médio (1998), Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (2000, 2002), Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006) e Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo (2008). Após a identificação das relações institucionais esperadas construiu-se uma grade de análise inspirada na grade de Dias (1998). Trata-se de um recurso que permite identificar tanto as relações institucionais existentes como as relações pessoais esperadas dos estudantes. Permite, ainda, estabelecer um conjunto de tarefas e práticas usuais que sobrevivem atualmente no Ensino Médio quando se consideram as noções de ponto e reta desenvolvidas na disciplina de Matemática no domínio da Geometria Analítica. Quanto ao estudo das relações institucionais existentes, a pesquisa foi efetuada via livros didáticos. As obras escolhidas foram: Matemática, volume 3 de Luiz Carlos Dante (2006), indicados no Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM 2009); Matemática Ciência e Aplicações, volume 3, de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo e Nilza de Almeida 41

41 (Iezzi et al., 2006), não presente na relação do PNLEM; o Caderno do Professor e o Caderno do Aluno para o Ensino Médio, 3ª série, volume 1, elaborados pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo (2008) e implementados a partir de No que se refere às relações pessoais esperadas dos estudantes, foram consideradas as avaliações institucionais para o Ensino Médio: Exame Nacional do Ensino Médio ENEM; os exames da Fundação Universitária para o Vestibular (FUVEST) da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), quando se consideram as noções de ponto e reta no plano, uma vez que no Ensino Médio se desenvolve esse trabalho. Apresentado o objetivo da pesquisa e sua metodologia, descreve-se, na sequência, um breve resumo de seu desenvolvimento. O primeiro capítulo apresenta o referencial teórico que deu suporte às análises efetuadas cujos resultados foram discutidos à luz dessas ferramentas didáticas. A grade de análise apresentada no capítulo três representa mais claramente a aplicação desse referencial. No segundo capítulo, identificam-se as relações institucionais esperadas no Ensino Médio a partir de um conjunto de documentos oficiais dedicados a estabelecer as linhas gerais da educação nacional. Essas relações permitem as escolhas dos autores de livros didáticos e cadernos do professor e aluno e verificar se esse material contempla as exigências e expectativas encontradas nos documentos oficiais analisados. No terceiro capítulo, apresenta-se a grade de análise elaborada conforme modelo construído por Dias (1998), o que conduz à identificação dos quadros de trabalho, dos ostensivos e não ostensivos em jogo, dos níveis de conhecimento esperados dos estudantes e dos pontos de vista a serem desenvolvidos. Para cada tarefa que compõe a grade, são dados exemplos de aplicação de forma a ilustrar o trabalho matemático a ser realizado. Essa grade serve de instrumento para analisar as relações institucionais existentes e as relações pessoais esperadas dos estudantes, permitindo assim verificar se existe conformidade entre as mesmas. As análises e as considerações sobre estas relações são apresentadas nos capítulos 42

42 quatro, para as relações institucionais existentes e cinco, para as relações pessoais esperadas dos estudantes. Voltando ao quarto capítulo, observa-se que no mesmo identificam-se as relações institucionais existentes por meio da análise de livros didáticos e dos cadernos do professor e do aluno implementados, a partir de 2008, nas escolas públicas do estado de São Paulo. Essa análise além de permitir identificar as possibilidades de tratamento das noções de ponto e reta no plano, introduzidas no Ensino Médio, em Geometria Analítica, auxilia a compreensão dos resultados apresentados pelas macroavaliações apresentadas no capítulo cinco. No capítulo cinco, onde se descrevem as relações pessoais esperadas dos estudantes que terminam o Ensino Médio, a análise foi efetuada por meio das macroavaliações de duas renomadas universidades públicas do estado de São Paulo, isto é, os vestibulares de 2006 a 2010 da FUVEST e UNICAMP. Para tornar mais ampla nossa análise optou-se por identificar as últimas provas do ENEM, pois se trata de uma macroavalição nacional do Ensino Médio que permite a entrada em universidades públicas e privadas. Finalmente, nas considerações finais e perspectivas futuras se rediscutem os resultados encontrados retirando das análises possíveis respostas para os objetivos geral e específicos considerados no início da pesquisa. Observa-se, portanto, que o presente estudo decorreu de questionamentos advindos da prática escolar, da busca de entendimentos das dificuldades enfrentadas por professores e estudantes na transição do Ensino Médio para o Superior e da busca de meios para superar tais dificuldades, quanto às noções de ponto e reta no plano, que se espera tenham sido desenvolvidos no Ensino Médio. Apresentados o contexto, a problemática, o objetivo, a metodologia da pesquisa e a forma de apresentação dos estudos, análises e dos resultados encontrados assim como das considerações finais e perspectivas futuras, expõe-se no capítulo a seguir o referencial teórico escolhido para desenvolver as análises propostas. 43

43 Capítulo 1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 1.1 Considerações iniciais A iniciativa para a realização dessa pesquisa originou-se, como já apresentado anteriormente, do estudo de trabalhos de pesquisa que consideram que existe no Brasil um pequeno número de estudos sobre a transição entre o Ensino Médio e Superior, em particular para o estudo das noções de Geometria Analítica. Existe assim um espaço para identificar as diferenças e regularidades existentes entre o que se espera como conhecimento prévio disponível ou pelo menos mobilizável dos estudantes que iniciam o Ensino Superior e o que eles realmente conhecem e são capazes de utilizar. Isso conduz à necessidade de trabalhos que, como propõe Gueudet (2008), analisem a transição entre essas duas etapas escolares por meio de diferentes olhares, de forma a compreender as dificuldades encontradas pelos estudantes. Inicia-se assim, observando que Aline Robert (1998) discute alguns desafios associados aos problemas gerais do processo de ensino e aprendizagem encontrados na França que podem ser resumidos por: fracassos numerosos, perdas de sentido frequentes, falta de curiosidade, dificuldades para entrar no pensamento científico, dificuldades de gestão de classes cada vez mais heterogêneas, novas propostas curriculares e introdução das novas tecnologias. Esses mesmos desafios se repetem no Brasil e é preciso encontrar novos meios para modificar esse panorama, conforme Dias (1998), Dias et. al (2009, 2010). Em função dessa necessidade e da escolha de estudar a transição entre o Ensino Médio e superior, consideram-se as noções de ponto e reta no plano, que se supõe tenham sido desenvolvidas no Ensino Médio e assim, correspondem a conhecimentos prévios supostos disponíveis para os estudantes que iniciam o Ensino Superior. Desta forma, acredita-se haver possibilidades de provocar a interação entre o novo conhecimento e o conhecimento prévio de maneira a atingir uma 44

44 aprendizagem significativa que segundo Moreira (2005) corresponde a essa interação. Moreira (2005) enfatiza que nesse processo de interação entre o novo conhecimento e o conhecimento prévio, o primeiro adquire significado para o aprendiz enquanto que o segundo fica mais rico, mais diferenciado, mais elaborado em termos de significado e, portanto mais estável. Sendo assim, o presente estudo analisa como são desenvolvidas as noções de ponto e reta no plano no Ensino Médio, isto é, qual a relação institucional proposta para o trabalho com essas noções e quais as relações pessoais esperadas dos estudantes que terminam o Ensino Médio. Como apresentado acima, nas instituições de ensino brasileiras encontramse os mesmos desafios inventariados por Robert (1998) e levando-se em conta a interação entre conhecimento prévio e novos conhecimentos para se atingir uma aprendizagem significativa conforme ressalta Moreira (2005), referindo-se a teoria da aprendizagem significativa de Ausubel, inicia-se a pesquisa colocando uma primeira questão, a saber: Quais tipos de tarefas podem ser propostas aos estudantes que iniciam o Ensino Superior de forma a considerar seus conhecimentos prévios e superar os problemas de fracasso, perda de sentido, falta de curiosidade, heterogeneidade dos grupos e, mais especificamente, reconhecer as novas propostas que vêm sendo implementadas na Educação Básica (Ensino Fundamental e Ensino Médio)? Para responder a esse questionamento, elegem-se como ferramentas para análise das expectativas institucionais associadas à noção de ponto de reta no plano, os conceitos de organizações praxeológicas (tipos de tarefas, técnicas, tecnologias e teorias) e de representações externas e internas, que permitem manipular e evocar as técnicas, denominadas ostensivos e não ostensivos respectivamente, introduzidos por Yves Chevallard (1992) e Marianna Bosch e Yves Chevallard (1999) na construção da Teoria Antropológica do Didático e nas abordagens teóricas em termos de quadros e mudanças de quadros segundo definição de Régine Douady (2001), de níveis de conhecimento esperados dos 45

45 estudantes conforme definição de Aline Robert (1997, 1998) e de pontos de vista segundo Rogalski (1995, 2001). Após a escolha do referencial teórico para o desenvolvimento da pesquisa, observa-se a necessidade de um desdobramento da questão enunciada acima no seguinte conjunto de questões. quais os tipos de tarefas sobre as noções de ponto e reta no plano, conforme definição de Chevallard (1992) e Bosch e Chevallard (1999) podem ser consideradas como conhecimentos prévios para os estudantes do Ensino Médio? quais os quadros, conforme definição de Douady (1984, 1992, 2001), utilizados para enunciar e solucionar essas tarefas em função das técnicas que lhes são associadas? quais os ostensivos, segundo definição de Bosch e Chevallard (1999), que podem ser manipulados quando do funcionamento da técnica? quais os não ostensivos, segundo definição de Bosch e Chevallard (1999), que são evocados na manipulação das técnicas? qual o nível de conhecimento, conforme definição de Robert (1998), esperado dos estudantes do Ensino Médio quando se introduz as noções de ponto e reta no plano? qual o ponto de vista privilegiado no desenvolvimento das noções de ponto de reta no plano no Ensino Médio quando se consideram os pontos de vista cartesiano e paramétrico definidos por Rogalski (1995, 2001)? Acredita-se que as respostas a esses questionamentos conduzam a uma melhor compreensão de quais tipos de tarefas são propostas no Ensino Médio quando se considera a noção de ponto e reta no plano, quais as técnicas desenvolvidas, quais as descrições, explicações e justificativas utilizadas no desenvolvimento dessas técnicas, quais os quadros e mudanças de quadros trabalhados e qual o nível de conhecimento esperado dos estudantes e qual o ponto de vista privilegiado nessa etapa escolar. Além disso, considera-se a possibilidade de, ao se identificar um conjunto de tarefas e práticas associadas às noções em jogo, eleger quais podem ser consideradas como conhecimentos prévios disponíveis ou pelo menos mobilizáveis 46

46 para os estudantes que seguem a disciplina de Geometria Analítica no Ensino Superior. Observa-se ainda que na explanação dos objetivos foram utilizados alguns termos que correspondem às ferramentas didáticas escolhidas e que se faz necessário compreender suas noções e qual o papel das mesmas no estudo das noções de ponto e reta no plano. Para tanto, apresenta-se na sequência uma síntese dos referenciais teóricos anunciados acompanhados, quando possível, de exemplos, que sobrevivem no ensino atual brasileiro, sobre as noções matemáticas tratadas nessa pesquisa. Inicia-se com a Teoria Antropológica da Didática de Chevallard (1992), Chevallard (1994) e Bosch e Chevallard (1998) dando ênfase as noções de organizações praxeológicas e ostensivos e não ostensivos Síntese de alguns aspectos da Teoria Antropológica do Didático Para melhor compreender a escolha da Teoria Antropológica do Didático como ferramenta para o estudo aqui proposto, considera-se inicialmente a justificativa dada por Chevallard (1992) ao introduzir o que ele denomina antropologia cognitiva explícita e cujo objetivo é o de articular noções que permitam pensar de maneira unificada um grande número de fenômenos didáticos que surgem no decorrer de múltiplas análises. Chevallard (1992) parte dos termos primitivos: O objetos (material de base para a construção da teoria), X pessoas e I instituições e considera que tudo é objeto (metáfora com a matemática que é fundamentada na teoria dos conjuntos). Para Chevallard (1992) um objeto O existe se ele existe para pelo menos uma pessoa X ou para uma instituição I, isto é, se pelo menos uma pessoa ou uma instituição se relacionam com esse objeto. Isso lhe permite definir o que denomina de relação pessoal e institucional. O objeto O existe para X (respectivamente, para I) se existe um objeto, indicado por R(X, O) (respectivamente R I (O)) e denominado relação pessoal de X com O (respectivamente relação institucional de I com O). 47

47 Desta forma, Chevallard (1992) amplia o quadro inicial de análise proposto pela transposição didática que se limitava apenas em distinguir os objetos: matemáticos (números inteiros, triângulo, exponencial, etc.); paramatemáticos, objeto que não faz parte do ensino, mas é um objeto de saber auxiliar, necessário para a aprendizagem dos objetos matemáticos, ou seja, trata-se de uma noção ferramenta da atividade matemática (equação, demonstração, parâmetros, desenhos, etc.) e protomatemáticos não tem status de objeto de estudo nem mesmo de ferramenta explicita (fatoração, simplificar uma fração, um polinômio, determinar o posto de uma família de vetores, etc.) conforme Chevallard (1985), associados ao contrato didático. Ao ampliar o campo de ferramentas de análise, Chevallard (1992) define relação institucional com os diferentes objetos do saber, como, por exemplo, a função logarítmica, considerada um objeto matemático, mas existem também outros objetos como escola, professor, aprender, saber, dor de dente, etc. Sendo assim, uma pessoa X se torna um sujeito de uma instituição I quando ela se submete a I e o objeto O vive para X sob a condição da relação institucional, ou ainda, uma relação pessoal se constroi ou se modifica sob a condição da relação institucional com o objeto O ou de forma mais abrangente, sob a condição do contrato institucional. O contrato institucional relativo a uma instituição I num determinado tempo t (tempo institucional) varia conforme novos objetos institucionais aparecem ou desaparecem. Dependendo do contrato didático da instituição e do millieu, as condições de vida dos saberes nas instituições correspondem às adaptações e às restrições que lhe são impostas pela instituição, o que é central para as análises proposta pela abordagem ecológica (CHEVALLARD, 1988), conforme explicitado nas páginas 133 e 134. Para Chevallard (1992), a aprendizagem corresponde a uma determinada relação com o saber, ou seja, estudar é modificar a relação pessoal com o saber e ensinar é ajudar o estudante a estabelecer uma relação com o saber e a modificá-la. As definições e considerações acima possibilitam a Chevallard (1992) avançar e qualificar um sistema didático como todo sistema que contém um ou mais 48

48 sujeitos da instituição I que ocupam a posição de professor, um ou mais sujeitos que ocupam a posição de estudante e finalmente um objeto que pertence à relação professor e estudante. É a instituição que deve proceder a um conjunto de escolhas didáticas para trabalhar esse objeto. Portanto, um sistema didático é constituído por três componentes: professor, estudante e um objeto O pertencente às escolhas didáticas de I. Segundo Chevallard (1992), para que um sistema didático exista e funcione é necessário que se estabeleça um contrato didático que possua um ponto de partida assegurado, ou seja, que exista um conjunto de objetos O tais que, as relações institucionais para as pessoas X sejam estáveis, transparentes, naturais e para tanto há a necessidade de um meio, ou seja, um milieu físico e social. Para Chevallard (1992), o meio aparece subjetivamente como um dado, mas na verdade ele é uma construção permanente, pois sua evolução no processo de aprendizagem implica em incertezas a respeito de um universo transparente, natural, estabilizado antes de recuperar uma nova transparência. O funcionamento de um sistema didático depende fortemente do meio, e em particular do sistema de ensino do qual ele participa, ou seja, por trás de qualquer sistema didático existe um sistema de ensino e restrições a ele impostas. Chevallard (1992) afirma ainda que toda instituição é confrontada com o problema da escolha dos saberes que se consideram pertinentes para a formação dos sujeitos. No ensino obrigatório, assim como em qualquer instituição, as respostas dadas ao problema da escolha dos saberes a ensinar são polêmicas, por natureza evolutiva, portanto provisórias, e concretizam-se numa carta dos saberes a serem ensinados. O conhecimento e o saber são considerados por Chevallard (1992) como sendo uma certa forma de organização de conhecimentos. Para distingui-los ele observa que os elementos de conhecimento são produtos de construções humanas e o seu lugar e função variam de acordo com os lugares, a sociedade e o tempo, sendo o saber institucional e o conhecimento individual. Para a designação antropológica dada a esta teoria, Chevallard (1992) destaca que um saber é sempre relativo a uma determinada instituição, na qual vive 49

49 com características específicas fundamentadas em três elementos: a transposição didática, o sistema didático e a noção de praxeologia. Dessa forma, a Teoria Antropológica do Didático (TAD) amplia a noção de saber à noção de organização praxeológica ou praxeologia, para estudar as práticas institucionais relativas a um objeto do saber, em particular, as práticas sociais em matemática (CHEVALLARD E BOSCH, 1999). A abordagem praxeológica é, portanto, um modelo para análise da ação humana institucional. Esta noção referese à identificação de uma estrutura formal do saber, caracterizada por quatro elementos que se relacionam de forma dinâmica e dialética. Sendo assim, a TAD oferece ferramentas de análise para as atividades humanas, que permitem o controle das limitações implícitas que qualquer instituição impõe a qualquer prática que abriga. Toda prática institucional ou atividade humana, cultivadas regularmente em um determinado contexto social, consiste na realização de uma tarefa ou, de maneira mais ampla, um determinado tipo de tarefa, por meio de uma técnica que para ser compreensível deve ser descrita, explicada e justificada por um discurso lógico racional denominado por Bosch e Chevallard (1999) de discurso tecnológico ou tecnologia da técnica. Essa tecnologia por sua vez também deve ser descrita, explicada e justificada o que corresponde à teoria da tecnologia. Chevallard (1994) já considera que toda atividade humana pode ser decomposta em certo número de tarefas, dando exemplos diversos como: abrir uma porta, escovar os dentes, subir uma escada, resolver uma equação do segundo grau, elaborar uma axiomática de geometria plana, dar uma aula de ortografia. Nessa perspectiva, Chevallard (1994) considera a atividade matemática como uma prática composta de um sistema de tarefas. Como exemplo, utilizando as noções de pontos e retas no plano, 0bserva-se que, em função das possíveis representações dessas noções, existem diferentes tipos de tarefas. Pode-se considerar o caso em que se estuda primeiro as representações paramétricas e cartesianas de uma reta no plano para em seguida escolher a melhor representação para determinar a interseção de retas secantes, os ângulos entre duas retas, a reta tangente a uma curva. 50

50 Além disso, Chevallard (1995) enfatiza que quando uma tarefa se torna rotineira para o sujeito que a realiza, ela coloca em funcionamento uma determinada técnica, ou seja, para toda tarefa é necessário encontrar uma técnica que às vezes precisa ser adaptada ou reinventada e pode servir para outras tarefas. Sendo assim, para as tarefas rotineiras existe uma etapa de naturalização das técnicas que permitem resolvê-las, como, por exemplo, a tarefa andar. Para melhor explicitar a importância do bloco prático, tipos de tarefas e técnicas, pode-se tomar em consideração a tarefa: determinar a representação cartesiana de uma reta no plano dados dois pontos. Nesse caso, a representação cartesiana da reta é uma tarefa que, para sua execução dispõe de técnicas variadas que dependem dos conhecimentos prévios do estudante e/ou da noção a ser trabalhada, como se pode observar a seguir. 1. Resolução recorrendo à noção de colinearidade de três pontos, que se denomina aqui técnica do determinante. No anexo 1, apresenta-se a solução da tarefa acompanhada de uma tecnologia que a descreve, explica e justifica e da explicitação da teoria que justifica essa tecnologia. 2. Resolução recorrendo a forma reduzida de representação da equação de reta e representação funcional, denominada aqui técnica da representação na forma reduzida e representação funcional. No anexo 2, é possível observar o desenvolvimento da técnica acompanhada de uma tecnologia que a descreve, explica e justifica e de sua respectiva teoria. Nos anexos 1 e 2, é possível observar que para que essas técnicas sejam viáveis é preciso dispor de um discurso que permita descrevê-las, explicá-las e justificá-las de modo a torná-las compreensíveis e justificáveis. Para isso, considerando a técnica 1, ao resolvê-la por meio da noção de determinante, deve-se evocar inicialmente a noção de colinearidade de três pontos e o Teorema de Tales considerados como conhecimentos disponíveis por terem sido introduzidos quando se trabalha as noções de ponto em Geometria Analítica e em Geometria Euclidiana plana no Ensino Fundamental respectivamente. Sendo assim, o determinante formado pelas coordenadas dos três pontos e uma coluna de 1 é igual a zero. Essa propriedade é descrita, explicada e justificada por comparação 51

51 entre a representação encontrada quando se supõe três pontos colineares e se aplica o Teorema de Tales e o cálculo do determinante desses três pontos construído da forma apresentada acima. No caso da técnica 2, para descrevê-la, explicá-la e justiçá-la recorreu-se: aos conhecimentos de Geometria Euclidiana plana; à noção de função afim; gráfico da função afim possibilitando a comparação entre taxa de variação (ou crescimento da função) e coeficiente angular da reta. Observa-se assim que, a técnica utilizada na resolução de uma tarefa está associada à abordagem escolhida, aos níveis de conhecimento das noções em jogo na tarefa que devem estar de acordo com a possibilidade de desenvolvimento da mesma pelos estudantes, isto é, a solução da tarefa pelos estudantes depende do nível de conhecimento esperado dos mesmos em relação às noções consideradas como mobilizáveis ou disponíveis quando se utiliza como referência o trabalho de Robert (1997, 1998). As técnicas apresentadas acima permitem observar que a hierarquia técnica-tecnologia-teoria e os níveis de conhecimento esperados dos estudantes em relação às noções em jogo na tarefa são relativos ao tipo de tarefa considerada. A partir das noções de (tipo de) tarefa, (tipo de) técnica, tecnologia e teoria, que correspondem as organizações praxeológicas ou praxeologias, e que segundo Chevallard (1994), essas organizações permitem modelar a atividade matemática, o autor retoma a idéia de que toda atividade humana é composta de diferentes tipos de tarefas e que para cada uma delas existe uma técnica. Isso o conduz a considerar as questões: do que é feita uma técnica? de que ingredientes ela é composta? em que consiste a execução de uma técnica? Para responder essas questões, Chevallard (1994) estabelece uma distinção fundamental entre dois tipos de objetos: os objetos ostensivos e os objetos não ostensivos. 52

52 Os objetos ostensivos são aqueles que têm uma forma material, sensível, como por exemplo, um objeto material (uma caneta, um compasso, etc.). Pode-se considerar como objetos ostensivos: os gestos: ostensivos gestuais, exemplos: Utilizar as mãos para mostrar o tamanho de um objeto ou apontar uma determinada direção. Escrever a técnica de multiplicação de matrizes mostrando que se multiplica cada linha da primeira matriz pelas colunas da segunda; as palavras, e, mais genericamente, o discurso: ostensivos discursivos, por exemplo, dados dois pontos pode-se aplicar um dos métodos para determinar a equação da reta que passa por esses pontos justificando por meio do discurso oral: por dois pontos passa uma única reta; os esquemas, desenhos, grafismos: ostensivos gráficos, por exemplo, construir figuras geométricas utilizando material como régua, esquadros, transferidor e compasso, representar um ponto ou uma reta ou uma circunferência no sistema cartesiano ortogonal; as escritas e formalismos: ostensivos escriturais, por exemplo, utilizar a fórmula ax + by + c = 0 como a representação cartesiana de uma reta no plano. A escolha mais específica das noções de ostensivos e não ostensivos deve levar em conta a importância do uso simultâneo de diferentes representações no estudo da matemática, pois uma vez que ao estudarmos um objeto matemático é preciso considerar as diferentes representações desse objeto. Chevallard (1994) enfatiza o fato de que os objetos ostensivos podem ser manipulados e que essa manipulação é considerada tanto no sentido amplo (voz, olhar, etc.) como no sentido restrito (compasso, caneta, etc.). Entre os objetos ostensivos relativos ao estudo da Geometria, por exemplo, estão os desenhos, os modelos construídos em cartolina ou a linguagem empregada para representar os conceitos. A manipulação adequada desses elementos contribui na elaboração do conhecimento geométrico. Observar a representação gráfica de um conceito, perceber o contorno de um objeto com forma geométrica são formas de interagir com objetos ostensivos de interesse para o ensino da Geometria. 53

53 Sendo assim, é preciso deixar claro quais ostensivos são mais adequados para o trabalho que se deseja desenvolver, isto é, é preciso colocar em evidência que as diferentes formas de representação também estão associadas à abordagem escolhida. Já os objetos não ostensivos são aqueles cuja existência está associada às representações internas sobre o objeto de estudo, tais como as noções, os conceitos, as concepções, as intuições ou as imagens mentais. Ao contrário dos objetos ostensivos, os objetos não ostensivos não podem ser manipulados, eles só podem ser evocados por meio da manipulação dos ostensivos associados. Para ilustrar essa relação entre objetos ostensivos e não ostensivos, podese citar uma atividade utilizando um cubo (ostensivo material) por meio do qual o professor pode trabalhar, entre outras, as noções de cubo, de quadrado, de face, de aresta, de vértice, de diagonal, que, são objetos não ostensivos que podem ser identificados por meio da manipulação do ostensivo escolhido para isso. O exemplo apresentado acima mostra a articulação entre ostensivos e não ostensivos, pois coloca em evidência a importância do que Chevallard (1994) denomina visão materialista que permite uma melhor compreensão das noções matemáticas, ou seja, coloca em evidência a necessidade de valorizar e explorar melhor o que deve ser considerado no contexto das atividades no ensino e aprendizagem da matemática. Essa atividade auxilia a compreensão da ênfase dada por Chevallard (1994) para a existência de uma dialética entre ostensivos e não ostensivos, pois os ostensivos são manipulados por meio de regras, cuja distinção é feita pelos não ostensivos, ou ainda os não ostensivos são evocados por meio da manipulação dos ostensivos. Observa-se assim que os objetos ostensivos e não ostensivos estão presentes na solução das tarefas matemáticas, pois os primeiros possibilitam o desenvolvimento das técnicas associadas a essas tarefas enquanto que os segundo são evocados para justificar o trabalho matemático que se está realizando. Mas, sabemos que as noções geométricas como ponto e reta são inicialmente introduzidas no domínio da Geometria Euclidiana, ou seja, uma primeira 54

54 abordagem dessas noções corresponde ao seu tratamento no quadro geométrico e a abordagem desses mesmos objetos em Geométrica Analítica corresponde a uma mudança de ponto de vista. Mas, a mudança de ponto de vista corresponde a uma mudança de quadros, visto que os conhecimentos desenvolvidos no quadro geométrico são conhecimentos prévios importantes para o desenvolvimento dos mesmos conceitos no quadro algébrico. Com base nessas considerações e na tentativa de melhor compreender as possíveis articulações entre as noções de ponto e reta, trabalhadas nas geometrias Euclidiana e Analítica, definem-se a seguir os princípios da dialética ferramenta/objeto e as noções de quadro e mudança de quadro desenvolvidas por Douady (1984,1986). 1.3 Síntese das noções de ferramenta/objeto e jogo de quadros conforme definição de Douady Douady (1986, 1991, 2001) introduz na didática da matemática as noções de quadro, mudança de quadros, jogo de quadros e da dialética ferramenta/objeto por meio da transposição do trabalho do matemático para a didática da matemática, isto é, essas noções foram construídas com base na prática passada e presente das matemáticas e dos matemáticos, pois elas se entrelaçam de forma complexa no trabalho matemático, a tal ponto que muitas vezes é difícil distinguir o que é fundamental em uma ou na outra: as fronteiras são fluidas, os deslizamentos de uma para outra são inevitáveis, até mesmo úteis. Além disso, essas mudanças foram utilizadas de forma inconsciente entre os matemáticos do passado. (Actes de Ia journée en hommage à Régine Douady, 2001, p. 13) Dessa forma, Douady (1986) centra seu trabalho na noção de quadro e mudança de quadros. Para a autora um quadro é constituído pelos objetos de um ramo da Matemática, de relações entre esses objetos, de formulações eventualmente diversas e de imagens mentais associadas a esses objetos e essas relações. (Douady, 1986, p. 11). 55

55 Segundo Douady (1986), algumas mudanças de quadro foram produzidas na história da matemática. Um dos exemplos citados pela pesquisadora é a introdução da Geometria Analítica por Descartes. Segundo a autora, Descartes e a Geometria Analítica é provavelmente uma das mais antigas mudanças de quadro datando de De um lado, Descarte abre a possibilidade para uma utilização mais intensiva do quadro numérico na geometria mostrando como todo número, ainda que expresse uma área ou um volume, é representado por um comprimento: a reta numérica, pois ela absorve todos os números; por outro lado, isso lhe permite a introdução do quadro da geometria cartesiana (com as coordenadas), e, portanto, a utilização da ferramenta algébrica. Isto foi uma revolução em relação à geometria dos gregos. (ibid., 2001, p. 13) Douady (1986) afirma ainda que atualmente os matemáticos praticam conscientemente e voluntariamente as mudanças de quadro de forma implícita e não sentem necessidade de explicitá-las. Enfatiza que essas mudanças de quadro são úteis para o ensino e aprendizagem de matemática, pois elas permitem propor novas metodologias de trabalho com os estudantes, o que corresponde a utilização da dialética ferramenta/objeto pelo professor na construção dos jogos de quadros que ele pode organizar. Para isso, Douady (1986, 1992) coloca a questão da importância de se precisar o que se deseja realizar quando se constroem esses jogos de quadros, isto é, como modificar e adaptar o trabalho realizado pelos matemáticos para a aprendizagem. Ela observa ainda que as imagens mentais, associadas aos objetos e as relações entre objetos de um quadro, têm papel essencial no funcionamento dos objetos como ferramenta, diferindo apenas por essas imagens e pela problemática desenvolvida. Douady (1986, 1992) explicita que durante seu processo de formação, um conceito matemático pode assumir dois papéis: o de ferramenta, quando está sendo usado como um instrumento para a resolução de um problema, ou o de objeto, quando questões teóricas a ele relacionadas são tratadas, tais como sua definição, suas propriedades, teoremas que o envolvem, entre outros aspectos. 56

56 Dessa forma, Douady (1986, 1992) define ainda ferramenta explícita que corresponde à utilização de um objeto do saber matemático de forma intencional para resolver um problema. Como exemplo pode-se citar o problema: dadas às medidas dos catetos de um triângulo retângulo determine a medida da hipotenusa. A resolução do problema exige que o estudante utilize o Teorema de Pitágoras, cuja aplicação representa a ferramenta explícita. A pesquisadora observa ainda que um conceito matemático, a princípio, funciona como ferramenta implícita que corresponde a sua elaboração e que pode permanecer sob essa condição durante vários anos. Ele pode ainda ser utilizado de forma intencional para resolver um problema, o que Douady denomina ferramenta explicita. Quando esse mesmo conceito ou noção ocupa um lugar no edifício do saber matemático, sendo reconhecido socialmente, ele adquire status de objeto permitindo a capitalização do saber, a extensão do corpo de conhecimentos e consequentemente seu reinvestimento em novos contextos que podem ser muito distintos do contexto original. Rogalski (2001, p. 14), salienta que ao se trabalhar em um determinado quadro dado, estudam-se problemas que se situam em uma teoria suficientemente definida o que possibilita a identificação dos grandes quadros (análise, álgebra, geometria) ou de quadros mais restritos (geometria elementar, geometria diferencial, teoria das equações diferenciais, teoria dos corpos, álgebra linear) ou outros ainda mais restritos e mais precisos que permitem falar em subquadros (geometria vetorial, teoria das matrizes, equações diferenciais lineares). Esses quadros e subquadros, em geral, são identificados por meio de livros ou capítulos de livros didáticos, títulos de programas e proposta de ensino ou mesmo por meio da tradições históricas. Pode-se ilustrar o texto acima, recorrendo ao seguinte exemplo: ao se trabalhar com a noção de reta, em classes de terceiro anos do Ensino Médio, podese inicialmente fazer uma abordagem no quadro geométrico, e a passagem para o quadro algébrico, de sua equação, corresponde a determinar que sua representação cartesiana depende do Teorema de Tales (ou da existência de uma base vetorial). Seu tratamento no quadro geométrico é considerado como um conhecimento prévio disponível para esses estudantes, mas a passagem para o quadro algébrico envolve 57

57 diferentes representações sobre duas variáveis por vezes sendo ambas desconhecidas e números que assumem o papel de coeficientes ou parâmetros, o que exige uma mudança na forma de tratar os dados que, em geral, corresponde à introdução de novos conhecimentos para esses mesmos estudantes. Observa-se assim que nessas relações se combinam mudanças de quadro, mudanças de representações e mudança de pontos de vista que permitem trabalhar os ostensivos de representação gráfica para visualizar o trabalho a ser realizado por meio do ostensivo de representação algébrica que permitem, por exemplo, interpretar a declividade, a posição de um ponto e de uma reta em relação à origem, o paralelismo, a ortogonalidade. Essa diferença entre os quadros indica as possibilidades de construção dos jogos de quadros, pois permite explorar diferentes situações para introduzir novas noções. Trata-se da introdução de um novo objeto que já existe em outra forma o que possibilita a criação de estratégias que auxiliem os estudantes a alcançar êxito na resolução de novas tarefas. Em seu trabalho, Douady acrescenta que o importante não é o estudante conhecer os quadros isoladamente, mas sim adquirir uma autonomia para ir de um quadro para outro, o que nem sempre acontece no cotidiano escolar, sendo importante o professor recorrer a tarefas que possibilitem ao estudante efetuar mudanças de quadros ou de representações, isto é, articular seus conhecimentos nos diferentes quadros que são desenvolvidos em seu percurso escolar. Robert (2001) enfatiza que o trabalho de Douady permite restituir com sucesso um trabalho autenticamente matemático e também explorar positivamente especificidades, mesmo necessitando de discussões longas e tortuosas, porém eficazes. A presença de diferentes quadros favorece a expressão das diversidades entre os estudantes e os jogos de quadro concentram diversos fatores associados diretamente ao processo de aprendizagem. Como a Geometria Analítica supõe por si uma articulação entre os quadros geométrico e algébrico, tornou-se importante considerar esse referencial teórico para a identificação das propostas institucionais analisadas nessa pesquisa, pois nesse caso se supõe também a necessidade de se recorrer aos conhecimentos prévios 58

58 dos estudantes para se introduzir os novos conhecimentos associados à noção de ponto e reta no plano. Isso conduz à necessidade de uma melhor identificação desses conhecimentos prévios, o que levou a considerar a abordagem teórica em termos de níveis de conhecimento esperados dos estudantes segundo definição de Robert (1997, 1998). Esta abordagem conduz a uma reflexão sobre a construção de metodologias que permitem aos professores encontrarem novas possibilidades que auxiliem os estudantes a utilizarem seus conhecimentos prévios na resolução de diferentes tarefas. Considerando que essa nova ferramenta de análise é importante para o desenvolvimento dessa pesquisa, apresenta-se, na sequência, uma breve descrição dos níveis de conhecimentos esperados dos estudantes, (ROBERT, 1997, 19980) Síntese da noção de níveis de conhecimento esperados dos estudantes conforme definição de Robert Segundo Robert (1997, 1998), é importante saber até que nível o estudante é capaz de adaptar seus conhecimentos antigos em conhecimentos novos para resolver determinada tarefa, pois este diagnóstico permite detectar se os estudantes conseguem resolver apenas tarefas de resolução imediata ou são capazes de recorrer ao novo conhecimento para encontrar novas soluções. Para a pesquisadora, deve-se propor aprendizagens que estão associadas a vários quadros sobre o mesmo conhecimento, pois por mais simples que seja uma tarefa, ela envolve vários conceitos e muitos professores e estudantes encontram dificuldades por não perceber que um conceito não necessariamente emerge de um só tipo de situação. Mas, esse não é sempre o caso no ensino. Segundo Robert (1997, 1998) efetuar cortes nos diferentes objetos do saber e apresentá-los apenas em partes distintas sem comunicação entre elas, pode ser um obstáculo para os estudantes, principalmente para aqueles que apresentam dificuldades de aprendizagem e que 59

59 muitas vezes não são capazes de reorganizar e articular esses conhecimentos associados a esses objetos. Robert (1997, 1998), ao considerar algumas pesquisas francesas relativas ao Ensino Médio ( lycée ) e Superior, descreve uma série de problemas apresentados pelos estudantes em seu aprendizado. Entre eles pode-se citar: conhecimentos atomizados, sem organização, nem explícitos nem implícitos, correspondendo apenas a uma acumulação de saberes justapostos, isto é, teoremas memorizados, excluindo situações ou exemplos. Isso conduz a uma série de conhecimentos elementares não disponíveis, isto é, os estudantes não fazem apelos aos conhecimentos desenvolvidos em momentos anteriores espontaneamente. Robert (2001) justifica a dificuldade dos estudantes em utilizar espontaneamente conhecimentos desenvolvidos em etapas anteriores por meio do exemplo por ela proposto, que consiste em etiquetar os enunciados das atividades com palavras-chave associadas ao seu funcionamento matemático. Segundo a autora, os estudantes se restringem ao que aparece explicitamente no texto e não dispõem outras referências para o desenvolvimento da tarefa que lhes é proposta. Observa-se aqui que Robert (1997) faz a distinção entre tarefa e atividade, sendo a primeira associada aos enunciados dos exercícios, problemas e situações e a segunda ao que fazem os estudantes para resolver as tarefas propostas. Ainda, segundo Robert (1998), outro fator a ser considerado quanto às dificuldades apresentadas pelos estudantes, é que muitas vezes alguns quadros são privilegiados o que leva o estudante a apresentar dificuldades para efetuar mudanças de quadros e algumas vezes para aprender. Além disso, em geral, os estudantes possuem conhecimentos prévios sobre os quais não se questiona a possibilidade de retomá-los, tornando difícil identificar se as dificuldades apresentadas pelos estudantes estão associadas aos conceitos ou à prática, pois muitas vezes a reprodução de estratégias pelos professores não é suficiente para a aprendizagem. Robert (1998) assegura que uma forma do professor diagnosticar os conhecimentos prévios dos estudantes é considerar os níveis de conhecimentos que os estudantes precisam colocar em ação ao resolver uma tarefa. Este trabalho pode 60

60 auxiliá-los na elaboração de tarefas que envolvem conceitos matemáticos, permitindo que os estudantes, quando da realização dessas tarefas, construam conhecimentos. A pesquisadora, em sua abordagem teórica sobre níveis de conhecimento esperado dos estudantes, faz uma classificação desses níveis em: técnico, mobilizável e disponível. O nível técnico é aquele que corresponde a resolver uma tarefa cuja solução está associada a um trabalho isolado, local e concreto. Está relacionado principalmente às ferramentas e definições utilizadas em uma determinada tarefa como, por exemplo, a aplicação de uma fórmula ou um teorema. Dessa forma, a noção em jogo está explícita e não são necessárias adaptações ou mobilização de conteúdos. No caso da Geometria Analítica, podem-se considerar os seguintes exemplos como correspondentes a um nível técnico da atividade matemática: representar os pontos dados no plano cartesiano. dada a fórmula d = ( x y x2) ( y1 2), calcular a distância para os seguintes pares de pontos. O nível mobilizável corresponde a um início de justaposição de saberes de certo domínio, ou seja, vários métodos podem ser mobilizados. Nesta etapa, a resolução da tarefa não se encontra associada mais apenas à pura aplicação de uma fórmula ou teorema, o estudante é obrigado a mobilizar conhecimentos, apesar da noção em jogo estar explícita. A seguir, exemplificam-se algumas tarefas que correspondem ao nível mobilizável: representar no plano cartesiano o triângulo ABC conhecidos seus vértices; verificar se triângulo ABC, conhecido seus vértices, é retângulo; verificar se dois vetores u e v são ortogonais; escrever a equação de reta perpendicular a uma reta dada e passando pelo ponto A; dada a representação cartesiana de uma reta em IR 2 : ax + by + c =0 escrever essa equação para os seguintes pares de pontos. 61

61 O nível disponível é aquele em que o estudante deve resolver a tarefa proposta sem nenhuma indicação ou ajuda do professor, ser capaz de fazer relações, aplicar métodos não previstos, dar contraexemplos, isto é, encontrar ou criar. Nesse nível, é necessário recorrer a conhecimentos anteriores, às vezes é preciso articular conhecimentos em diferentes quadros ou até no mesmo quadro, porém com diferentes noções em jogo. Os seguintes exemplos podem ser considerados como correspondentes a um nível disponível quando se considera o ensino e aprendizagem de Geometria Analítica: estudar a posição relativa das retas r e s dadas por suas representações cartesianas; demonstrar que os comprimentos das diagonais de um retângulo de lados a e b são iguais. Robert (1997) sugere que nenhum desses três níveis seja negligenciado no ensino da matemática. Observa-se ainda que, segundo Robert (1997), a análise dos níveis de conhecimento esperados dos estudantes permite compreender melhor os diferentes tipos de tarefas e atividades que podem ser trabalhados nas diferentes etapas da escolaridade. É em função dos conhecimentos e dos quadros que se deseja abordar, das possíveis mudanças de pontos de vista e dos diferentes modos de raciocínio que se pode utilizar na solução das tarefas, que as devemos propor. Sendo assim, nesse trabalho verificou-se que, ao se trabalhar com as equações e inequações, por exemplo, para representar os objetos da Geometria Analítica é preciso estabelecer um discurso que justifique as diferentes formas de representação, pois um mesmo objeto pode ser representado de diferentes maneiras, ou ainda, é possível desenvolver uma mesma noção utilizando diferentes pontos de vista. Dessa forma, a abordagem teórica proposta por Robert (1997) conduz a análises que demandam a utilização, por exemplo, dos diferentes quadros ou domínios definidos por Douady (1992), que podem ser articulados com os diferentes ostensivos e não ostensivos, conforme definição de Chevallard (1994), em jogo no 62

62 trabalho a ser desenvolvido e que podem auxiliar professores e estudantes a adquirir autonomia na proposta e solução de tarefas. Esse tratamento das diferentes formas de abordagem de um mesmo objeto matemático remete à noção de pontos de vista de Rogalski (1995, 2001), apresentadas a seguir Síntese da noção de ponto de vista de Rogalski A noção de ponto de vista é tratada por Rogalski (2001) por meio de sua relação com as noções de quadro e registro. Nessa pesquisa, apresenta-se apenas a relação com a noção de quadro, pois as representações externas e internas para um mesmo objeto matemático foram estudadas por meio das noções de ostensivos e não ostensivos. Rogalski (2001) inicia considerando que a noção de ponto de vista é menos precisa que as noções de quadro e registro. Para ele, mudar de quadro ou de registro para estudar um objeto matemático já corresponde a uma mudança de ponto de vista. Pode-se também mudar de ponto de vista dentro de um mesmo quadro ou num mesmo registro. Na sequência, apresentam-se alguns exemplos de Rogalski (2001) que correspondem a domínios de estudo relacionados com esse trabalho. Um primeiro exemplo que concerne o quadro da Álgebra Linear corresponde à noção de posto, que pode se ver ou utilizar sob os seguintes pontos de vista: posto de uma família de vetores, posto de uma aplicação linear, posto de uma matriz, posto de um sistema de equações lineares. Faro (2010), em sua dissertação, apresenta a definição dessas noções. Reapresentam-se aqui as mesmas definições, mas considerou-se importante acrescentar exemplos para melhor ilustrá-las. Posto de uma família de vetores: O posto de uma família de vetores é a dimensão do subespaço vetorial gerado por essa família, isto é, o número máximo de vetores linearmente independentes que se pode extrair da família. Exemplo: 63

63 Dada a família de vetores {(1, 3, 1); (3, 8, 2) e (2, 9, 5)} de IR³. Determina-se o posto de uma família de vetores aplicando o método de Gauss sobre a coluna da tabela de números que correspondem a dispor esses mesmos vetores em colunas. Para interpretar os resultados, indicam-se os vetores e as operações realizadas sobre os mesmos. a b c a b-3a c-2a a b-3a (c-2a)+3(b-3a) Após a aplicação do método de Gauss verifica-se que o vetor c = 11a 3b é combinação dos vetores a e b e que a e b são linearmente independentes. Logo, o posto da família de vetores dados é igual a 2. Posto de uma aplicação linear: Dados dois espaços vetoriais de dimensão finita E, F e uma aplicação linear f de E em F, o posto da aplicação linear f é a dimensão da imagem de f. Exemplo: Seja f: IR² IR³ definida por (x, y) (x + y, x y, 2x + y). Logo Im(f) = {(x + y, x y, 2x + y) IR³}. Efetuando a passagem da representação paramétrica implícita-tabela para a representação paramétrica explicita-tabela, definidas por Dias (1998): (x + y, x y, 2x + y) = x(1, 1, 2) + y(1, -1, 1). A representação paramétrica explícita-tabela permite identificar os vetores (1, 1, 2) e (1, -1, 1) como geradores do espaço vetorial Im(f). Como esses vetores não são proporcionais, eles determinam uma base de Im(f). Logo, a dimensão do espaço vetorial Im(f) é igual a 2, portanto, o posto da aplicação linear f: IR² IR³ definida por (x, y) (x + y, x y, 2x + y) é igual a 2. Posto de uma matriz: O posto de uma matriz é o número maximal de vetores linha (ou colunas) linearmente independentes, isto é, o número de linhas (ou colunas) 64

64 65 diferentes de zero após o escalonamento da matriz, como se pode observar por meio do exemplo: Seja A = Escalonando em relação às colunas da matriz dada, temos: A = Logo, temos duas colunas diferentes de zero. Portanto, o posto da matriz é 2. Escalonando em relação às linhas da matriz dada, temos: A = Logo, temos duas linhas diferentes de zero. Portanto, o posto da matriz é 2. Observa-se aqui que o posto da matriz A é igual ao posto da transposta de A. Posto de um sistema linear: O posto de um sistema de equações lineares é o número de equações independentes do sistema de equações lineares e homogêneas associado ao sistema dado, após aplicação do método de Gauss. Exemplo: Equações independentes. c z y x b z y x a z y x o sistema linear e homogêneo associado ao sistema dado é z y x z y x z y x, após a aplicação do método de Gauss ao sistema dado, temos:

65 x y z 0 y 4z 0 0 0, portanto o número de equações independentes é igual a 2, Portanto, o posto do sistema é 2. Considerando os pontos de vista acima apresentados, Rogalski (2001) observa que a passagem de um ponto de vista para o outro não se realiza por meio de uma simples tradução de um quadro para outro, é necessária a utilização de teoremas que garanta as propriedades do invariante que é a noção de posto. Além desse exemplo, Rogalski (2001) ilustra (figura 1) as representações cartesiana e paramétrica para as noções de retas e planos no espaço para o caso da Geometria Analítica. Nesse momento, o autor ressalta que a dualidade de pontos de vista cartesiano e paramétrico é muito presente na Geometria Analítica para a descrição de objetos geométricos. Figura 01. Representações cartesianas e paramétricas de retas e planos. Fonte: Actes de la journée en hommage à Régine Douady, 2001, p. 18 Para os pontos de vista cartesiano e paramétrico, Rogalski justifica a importância de explicitar a passagem cartesiano/paramétrico e paramétrico/cartesiano, observando que para determinadas tarefas um ou outro ponto de vista se mostra mais adequado, muitas vezes por facilitar o trabalho a ser 66

66 realizado. Como exemplo, ele mostra que para tarefas em que se deseja determinar a inclusão ou interseção de subespaços, dependendo da representação dada, a passagem (paramétrico/cartesiana) é indicada, pois pode facilitar a solução da tarefa. Além disso, para justificar as diferentes formas de desenvolvimento de uma mesma noção segundo o nível de conceitualização, Rogalski (2001) afirma que uma mesma tarefa pode ser tratada por meio de diferentes teorias cujos níveis podem ser considerados como encaixados em função de seu papel generalizador e formalizador. Rogalski (2001) observa ainda que existem inúmeros exemplos de generalização e formalização em geometria que podem ser considerados conforme se introduz novas ferramentas como: vetores, transformação, grupos de transformação, Álgebra Linear. A identificação dos diferentes pontos de vista para a noção de posto ou de representação de reta e plano no espaço conduz Rogalski (2001) a observar que a passagem de um ponto de vista a outro é difícil para os estudantes e depende dos conhecimentos dos mesmos e do nível de conceitualização escolhido para introduzilos e desenvolvê-los. Finalmente, Rogalski (2001) ressalta a importância da análise dos programas de matemática, pois esses permitem identificar mudanças de pontos de vista e novas generalizações e formalizações o que nem sempre é percebido pelo professor, necessitando assim a conscientização dos mesmos. Essa preocupação está presente nessa pesquisa que analisa documentos oficiais para identificar as relações institucionais esperadas, uma vez que no Brasil não temos programas, mas propostas para o processo de ensino e aprendizagem da Educação Básica e livros didáticos para verificar as regularidades e diferenças existentes entre as propostas institucionais e o trabalho que se supõe estar sendo realizado e que são considerados como as relações institucionais existentes. Certamente, as relações institucionais existentes poderiam ser analisadas de outras formas e com outros recursos, mas escolheu-se a análise de alguns livros 67

67 didáticos pelo fato de serem distribuídos pelo Ministério da Educação correspondendo assim a um recurso disponível nas escolas brasileiras. Passa-se assim ao próximo capítulo onde se analisam as propostas institucionais contidas nos documentos oficiais. Para isso, utiliza-se a noção de topos que permite identificar o que se espera do trabalho do professor e dos estudantes tanto em relação às propostas pedagógicas como didáticas. 68

68 Capítulo 2 ANÁLISE DAS EXPECTATIVAS INSTITUCIONAIS ESPERADAS PARA O TRABALHO DOS PROFESSORES E ESTUDANTES VIA NOÇÃO DE TOPOS 2.1. Considerações iniciais Para compreender qual a proposta Pedagogia e Didática para o Ensino Médio do Brasil e, mais particularmente, do estado de São Paulo, propõe-se, neste capítulo a analisar o topos esperado do professor e do estudante nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2000) e na Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008). A escolha desses documentos se deve ao fato de serem indicações construídas com a intenção de orientar o professor em sua prática diária e ajudá-lo a efetuar escolhas mais adequadas à realidade das classes e das regiões em que trabalham, isto é, desenvolver técnicas culturalmente possíveis. Inicia-se a análise pela Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei 9.394/96) que considera uma perspectiva de mudança para o ensino em todos os níveis em função das transformações sociais por que passa a sociedade e as novas características associadas às revoluções técnico-industrial e à informática. Na sequência, analisam-se os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio PCNEM (BRASIL, 2000) e a Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008) que apresentam uma reforma curricular fundamentada nas mudanças do conhecimento e seus desdobramentos quando se consideram as relações sociais e o mundo do trabalho. Observa-se nesses documentos uma proposta para que Pedagogia e Didática caminhem juntas e cada escola e grupo de professores elabore um projeto pedagógico próprio considerando o desenvolvimento das competências almejadas para os estudantes em função das necessidades regionais, ou seja, eles preconizam que a instituição escolar organize seu trabalho pedagógico levando em conta os 69

69 conhecimentos prévios do estudante. Para tanto, a orientação é que se considere o projeto político-pedagógico como um processo constante de reflexão e discussão sobre os problemas escolares, tendo como intenção a busca de soluções, por meio de ações colaborativas entre os membros que constituem a escola. Sendo assim, para descrever as expectativas em relação aos papéis que devem desempenhar professores e estudantes, tanto do ponto de vista pedagógico como didático recorre-se à noção de topos do estudante e do professor, segundo definição de Chevallard e Grenier (1997). A análise dos topos do professor e do estudante, nos documentos, tem por objetivo esclarecer se os mesmos fornecem subsídios suficientes para a prática docente. Por essa razão, procurou-se averiguar se os documentos apresentam uma proposta de conteúdos a serem trabalhados; indicações da forma como trabalhá-los, ou seja, qual o topos didático considerado no documento. Focam-se ainda quais papéis devem desempenhar professor e estudante em sala de aula, ou seja, em que momentos o professor é ator e quando o estudante deve assumir seu papel durante a ação educativa, isto é, analisa-se também o topos pedagógico proposto no mesmo documento. Observa-se que Pedagogia e Didática são aqui tratadas do ponto de vista da didática francesa, ou seja, a Pedagogia é considerada como técnica e não como ciência; é vista como a arte de conduzir e organizar a classe. Já, a Didática está associada à aprendizagem disciplinar e à transposição do saber de uma determinada disciplina. Nesse sentido, a Didática fundamenta-se sobre a própria Matemática e em suas questões específicas. Quanto ao topos didático, a análise está associada à organização matemática dos conteúdos e a organização didática que corresponde a diferentes formas de desenvolvê-los. Para tanto, foram observados os conteúdos relacionados às noções de ponto e reta no plano em Geometria Analítica no Ensino Médio e as propostas para o seu desenvolvimento. Uma vez delineada a forma de análise dos documentos escolhidos, inicia-se com o estudo das expectativas nacionais para o Ensino Médio. 70

70 2.2 Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei 9.394/96) e Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio PCNEM (BRASIL, 2000) Para justificar a proposta de uma nova identidade para o Ensino Médio, os organizadores da Lei de Diretrizes e Bases (Lei 9.394/96) lembram que, nos anos 1960 e 1970, com o crescente nível de desenvolvimento da industrialização na América Latina, o mercado precisava de especialistas capazes de dominar a utilização de maquinários ou de dirigir processos de produção (BRASIL, 2000, p.5). Seguindo esta tendência, a política educacional vigente no Brasil, na época, priorizou um Ensino Médio voltado para formação de especialistas e também para a preparação do estudante para outra etapa escolar, ou seja, o ingresso no Ensino Superior. Na década de 1990, esse Ensino Médio já não atendia às transformações de caráter econômico, social ou cultural ocorridas nos últimos anos. Devido à pressão causada pela expansão da rede pública; ao avanço tecnológico; ao maior volume de informações; às mudanças no conhecimento e seus desdobramentos no âmbito do sistema produtivo e das relações sociais, um novo direcionamento na formação escolar do indivíduo era necessário como indicam os Parâmetros Curriculares Nacionais referindo-se à Lei de Diretrizes e Bases (Lei 9.394/96) (BRASIL, 2000, p.5). Nesse novo contexto social, reconhecendo a necessidade de uma atualização da educação brasileira, o Ministério da Educação, por intermédio da Secretaria de Educação Média e Tecnológica, iniciou um projeto de reformulação curricular, tendo como princípios gerais, no nível do Ensino Médio, uma formação geral, em oposição à formação específica. Conferindo uma nova identidade ao Ensino Médio, em 1996, foi sancionada a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional - LDB (Lei 9.394/96), como principal referência legal para a formulação das mudanças propostas, na medida em que estabelece os princípios e finalidades da Educação Nacional. Segundo a Lei 9.394/96, o Ensino Médio constitui a etapa final da Educação Básica devendo propiciar a consolidação e aprofundamento dos conhecimentos 71

71 adquiridos no Ensino Fundamental assim como a preparação para o trabalho, a cidadania e o prosseguimento dos estudos. Dessa forma, o Ensino Médio passa a fazer parte integrante da Educação Básica, na perspectiva de integrar numa mesma e única modalidade, finalidades até então dissociadas, ou seja, oferecer uma educação equilibrada de forma articulada. Essa perspectiva visa a uma aprendizagem permanente, de forma continuada, tendo como foco central a construção da cidadania em função dos processos sociais que se modificam. Para tanto, a Lei nº 9.394/96 define um currículo básico composto por uma base nacional comum complementada por uma parte diversificada associada às características regionais, culturais e econômicas e, que deve estar associada aos conhecimentos prévios dos estudantes. Esse mesmo documento destaca ainda, entre outros aspectos, a importância da educação tecnológica básica, a compreensão do significado da ciência e propõe ainda que se adotem metodologias de ensino e avaliação que estimulem a autonomia dos estudantes. (Art. 26, Art. 36, inciso I) Desta forma, no documento é ressaltado que o objetivo é dar ao Ensino Médio um caráter de formação geral ao indivíduo em oposição a uma formação específica. Além disso, especifica-se que o currículo deve contemplar conteúdos e estratégias de aprendizagem que permitam ao estudante desenvolver competências e habilidades básicas essenciais para a realização de atividades na vida em sociedade e nos meios de produção, isto é, do ponto de vista didático deve-se escolher conteúdos que possam servir para o progresso e crescimento pessoal e intelectual dos estudantes e do ponto de vista pedagógico, visa a desenvolver estratégias que possam servir para a formação para o trabalho e para o desenvolvimento da cidadania. Assim, com a criação da Lei nº 9.394/96, buscando construir uma proposta nacional para a escola, foi elaborado uma série de documentos, que apresentam parâmetros norteadores para o trabalho das disciplinas. Portanto, partindo dos princípios definidos na nova Lei, o Ministério da Educação, com a finalidade de difundir os princípios da reforma curricular e orientar o professor, na busca de novas abordagens e metodologias, elabora os Parâmetros 72

72 Curriculares Nacionais, num trabalho conjunto com especialistas e educadores de todo o país. Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio PCNEM - (BRASIL, 2000) estabelecem orientações para o currículo das disciplina em cada ciclo a partir dos quais a escola pode desenvolver seu próprio projeto pedagógico. Eles expressam o empenho em apresentar idéias do "que se quer ensinar", "como se quer ensinar" e "para quem se quer ensinar", dando um caráter genérico dos objetivos, conteúdos, avaliações e orientações pedagógicas. Nessa perspectiva, os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2000) consideram como diretrizes gerais e orientadoras as quatro premissas apontadas pela UNESCO como eixos estruturais da educação na sociedade contemporânea: aprender a conhecer, aprender a fazer, aprender a viver e aprender a ser (BRASIL, 2000, p.15). Para isso, no que concerne à metodologia de ensino, o documento descreve que o importante é que haja a troca de experiências entre professor e estudante, sendo que, neste momento de troca de informações, o professor não tenha atitudes diretivas, mas uma conduta relacional, a qual permite ao estudante criar, experimentar, relacionar. Essa nova proposta de trabalho está associada ao topos pedagógico esperado do professor e do estudante que deverão trabalhar como uma equipe trocando experiências. Isso permite considerar que, quanto ao topos pedagógico proposto nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2000), é enfatizada a formação geral do estudante e o desenvolvimento de sua capacidade para formular problemas e soluções, pesquisar, selecionar e analisar informações ao invés de memorizá-las. Sendo assim, cabe ao professor propor situações que propiciem o desenvolvimento desse tipo de topos e ao estudante de aceitá-las e desenvolvêlas. Observa-se ainda que cumprindo seu papel de oferecer orientações e subsídios aos professores na implementação das reformas curriculares, definidas pela nova Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, em 2002, o Ministério da 73

73 Educação publica as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN+). As Orientações Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN+) tiveram como objetivo delinear as metas para o ensino das disciplinas do Ensino Médio no Brasil e sugerem uma organização curricular do Ensino Médio, tendo como suporte a interdisciplinaridade e a contextualização. Um segundo volume dos PCN+ foi lançado em 2006, com o título de Orientações Curriculares para o Ensino Médio, apresentado estratégias metodológicas que procuram relacionar conteúdos e competências e abordando opções de um trabalho com projetos interdisciplinares. Observa-se ainda que, desde a sua publicação, os PCNEM (BRASIL, 2000) vêm se constituindo como a expressão maior da reforma curricular desse nível de ensino no Brasil. Mas, mesmo apresentando um topos pedagógico e didático para o professor e para o estudante que prevê a capacitação para a vida em sociedade, não existem indicações especificas de como professor e estudante podem realizar esse trabalho. Isso conduz a seguinte questão: Como tornar viável essa proposta para o Ensino Médio? A partir da análise das relações institucionais esperadas via PCNEM (BRASIL, 2000), observa-se que se faz necessário um trabalho que considere as diferenças dos estudantes, em particular, aquelas associadas aos seus valores, atitudes e padrões de conduta. Além disso, quando se considera os diferentes sistemas educativos, é preciso levar em conta as diretrizes pedagógicas orientadoras, as práticas administrativas desses sistemas de ensino e de suas escolas, a organização do currículo e das situações de aprendizagem e os processos de avaliação. Sendo assim, identifica-se que tanto a escolha metodológica como a escolha de conteúdos devem viabilizar o diálogo entre o conhecimento escolar, a formação do estudante como cidadão e suas relações com o mundo, ampliando sua afinidade com os saberes. 74

74 Para verificar se existem orientações mais específicas para o desenvolvimento desse trabalho metodológico e de escolha de conteúdo, propõe-se a análise mais específica quanto aos topos pedagógico e didático esperados do professor e do estudante após a descrição dos documentos escolhidos para essa análise. Mas, antes de iniciar esta análise, apresenta-se um breve estudo da Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo (2008) construída na tentativa de nortear escolas e professores tanto nas escolhas de conteúdos como na metodologia a ser trabalhada Proposta curricular do estado de São Paulo. Fundamentada nas mudanças sociais que impulsionaram mudanças na Lei de diretrizes e Bases LDB (Lei 9.394/96) nas Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio DCNEM (Resolução nº 03/98), e nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2000), a Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008) leva em conta a complexidade cultural, as dimensões sociais, econômicas e políticas e a diversidade de produtos tecnológicos e científicos e de linguagens e códigos que compõem o cotidiano do cidadão e cuja não apropriação pode corresponder à exclusão social. Os princípios centrais apresentados pela Nova Proposta Curricular são definidos no texto: [...] a escola que aprende, o currículo como espaço de cultura, as competências como eixo de aprendizagem, a prioridade da competência de leitura e de escrita, a articulação das competências para aprender e a contextualização no mundo do trabalho, (SÃO PAULO, 2008, p. 11). Além disso, esses documentos consideram que fica a cargo das instâncias condutoras da política educacional local a elaboração dos currículos a serem desenvolvidos nos diferentes estados e municípios levando-se em conta suas orientações. Essa autonomia dada às escolas valorizou a adoção de projetos pedagógicos próprios. Por outro lado, resultaram na falta de uma padronização 75

75 mínima mesmo dentro da rede estadual de ensino, seja no âmbito da gestão das unidades, seja no âmbito dos componentes curriculares. Em função dessa diversidade de relações institucionais, construídas a partir dos diferentes projetos propostos pelas escolas, a Secretaria de Estado da Educação de São Paulo, com o propósito de obter uma maior organização e padronização curricular em todo o Estado, implementa em 2008, uma nova Proposta Curricular do Ensino Fundamental (Ciclo II) e do Ensino Médio. Para isso, a Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008) alicerçou-se em experiências práticas já acumuladas, ou seja, na revisão de documentos, publicações e projetos existentes, bem como em consultas a escolas e professores. Sendo assim, para apoiar o trabalho realizado nas escolas e contribuir para a melhoria da qualidade da aprendizagem do estudante, a Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008) propõe um currículo que desenvolva competências indispensáveis ao enfrentamento dos desafios sociais com sugestões e apoio ao gestor considerado um líder na sua implantação e para tanto distribui os Cadernos do Professor, visando à orientação dos mesmos quanto à gestão da sala de aula. Esses cadernos organizados por bimestre e disciplina, definem conteúdos, habilidades e competências, seguidos de orientações para gestão da sala de aula, avaliação e recuperação, bem como sugestões de métodos e estratégias de trabalho nas escolas, ou seja, o Caderno do Professor apresenta-se como um manual prático de pedagogia e didática, trazendo o quê e como ensinar, ou seja, encontram-se explicitamente nesses documentos orientações sobre o topos pedagógico e didático de professores e estudantes. A Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008) é complementada com um segundo documento, Orientações para a Gestão do Currículo que propõe uma aprendizagem cujo resultado deve ser a coordenação de ações entre as disciplinas, o estímulo à vida cultural da escola e o fortalecimento de suas relações com a comunidade, o que necessita de uma nova orientação em 76

76 relação ao topos pedagógico do professor cujo trabalho deve extrapolar a sala de aula Após um ano de orientação aos professores, em 2009, é lançado o Caderno do Aluno que possui a mesma disposição de textos, figuras e gráficos do Caderno do Professor, mas com espaços para os estudantes trabalharem as situações propostas e, além disso, são dadas orientações para o trabalho extraclasse, ou seja, pesquisas, filmes, livros, sites e novas situações para serem desenvolvidas pelos estudantes. O trabalho a ser realizado pelo estudante fora do contexto escolar é recomendado explicitamente por meio da orientação: é por meio de estudos e da realização das tarefas que você poderá conquistar a autonomia para aprender sempre (SÃO PAULO, 2009). Isso corresponde a um avanço em relação aos documentos anteriores onde o topos do estudante é apresentado apenas nos documentos indicados ao professor. Para a avaliação dos efeitos alcançados pela Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008), a secretaria instituiu o IDESP Índice de Desenvolvimento da Educação do Estado de São Paulo, sistema de avaliação de todas as unidades que fornece um panorama do patamar educacional da rede e de suas unidades. Na realidade, a Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008) tenta estabelecer um currículo mínimo que possa satisfazer posteriormente algumas das avaliações a que são submetidos os estudantes ao final do Ensino Médio, em particular o Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo SARESP e o Exame Nacional do Ensino Médio ENEM. Resumindo, a Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008) foi implementada no ano de 2008 e configurada como currículo oficial no ano de Assim, a Secretaria passou a assumir a responsabilidade com o sistema de ensino do Estado por meio da padronização curricular, orientação dos professores tanto em relação ao método de ensino, quanto aos componentes curriculares, orientação dos gestores, oferta de material didático e qualificação dos profissionais de Educação da rede estadual. 77

77 Observa-se que a proposta de um novo Ensino Médio, encontrada tanto nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2000) como na Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008), caminha no sentido de promover uma formação geral científico-tecnológica aos jovens, tendo em vista as novas demandas do mundo do trabalho e da sociedade. Nessa perspectiva, cabem ao professor e ao estudante novas tarefas respectivas ao ensinar e aprender. Em outras palavras, novos topos são esperados tanto dos professores como dos estudantes. Sendo assim, na sequência, apresenta-se a noção de topos do professor e do estudante definida por Chevallard e Grenier (1997) e identifica-se qual o topos esperado de ambos quando se considera um determinado conteúdo matemático a ser desenvolvido Topos do Professor e Topos do Estudante Após a breve discussão das expectativas institucionais para o Ensino Médio estuda-se, mais especificamente, qual o topos esperado para o desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem das noções de ponto e reta no plano tanto do professor como do estudante. Observa-se que, Chevallard e Grenier (1997) consideram a palavra grega topos em seu significado, ou seja, lugar ocupado ou papel a desempenhar em um determinado contexto. Desta forma, identificam a função do professor ou o topos do professor como a de organizar o estudo e reconhecer os diferentes tipos de tarefas que correspondem a um determinado tema com a ajuda das propostas institucionais, dos livros didáticos e de outros documentos. Já o topos do estudante, segundo Chevallard e Grenier (1997), é inverso ao do professor. Ele deve aceitar o professor como alguém que pode auxiliá-lo no estudo, mas ao mesmo tempo deve se desvencilhar dessa assistência do professor e se tornar seu próprio orientador de estudos; o topos do estudante é o lugar onde 78

78 ele desempenha com autonomia relativa em relação ao professor um papel que lhe é próprio. Sendo assim, na classe, uma tarefa didática reúne o trabalho do professor e do estudante em uma ação orquestrada na qual ambos são chamados a ocupar o lugar que lhes é próprio ou a desempenhar seus papéis em fases cooperativas. Por exemplo, propor uma tarefa, apresentar um exercício ou um teorema são atividades que estão associadas ao topos do professor enquanto que resolver a tarefa proposta corresponde ao topos do estudante. Nesse processo, observa-se que o professor é aquele que sabe aonde quer chegar enquanto o estudante vivencia, muitas vezes até de forma lúdica, experimentando, conjecturando, desenvolvendo novas estratégias. É o professor que conduz a institucionalização que, segundo Brousseau (1996), fica a seu cargo, pois é ele que conduz a reflexão do processo, organiza as experiências e conjecturas que aparecem durante o desenvolvimento do processo. Considerando a teoria antropológica do didático, introduzida por Chevallard (1992), Chevallard (1994) e Bosch e Chevallard (1999), pode-se conceber que são características do topos do professor em relação ao saber matemático: propor atividades que possibilitem manipular os diferentes objetos ostensivos e a evocar os não ostensivos que lhe são associados; justificar as diferentes passagens no desenvolvimento de uma técnica por meio de um discurso tecnológico, ou seja, adaptar os não ostensivos de forma a justificar os ostensivos utilizados na introdução e desenvolvimento de um determinado conceito matemático; reconhecer os ostensivos e não ostensivos de forma a produzir um discurso tecnológico que auxilie o estudante a ultrapassar as dificuldades e os obstáculos e solucionar as tarefas que lhes são propostas. mostrar, por meio de um discurso tecnológico, a diferença entre os ostensivos e sua relação com os não ostensivos e a necessidade de escolhas adequadas que permitam resolver outras situações, em diferentes momentos e contextos. Quanto ao topos institucionalmente esperado do estudante em relação ao saber matemático, pode-se adotar como referência o que o PCNEM e o PCN+ 79

79 reconhecem como um dos objetivos a serem alcançados ao término do Ensino Médio, isto é, os estudantes devem utilizar a matemática como ferramenta para a solução de problemas do cotidiano e das outras ciências. Além disso, os estudantes devem reconhecer que a matemática tem características próprias, organizando-se por meio de teoremas e demonstrações e que por se tratar de um conhecimento social e historicamente construído tem o papel de auxiliar o desenvolvimento cientifico e tecnológico conforme (BRASIL, 2005). Pode-se, portanto, considerar que, ao final do processo de ensino e aprendizagem, espera-se que os estudantes sejam capazes de reconhecer os ostensivos e os não ostensivos nas tarefas que lhes são propostas e aplicá-los na sua solução. Essas tarefas representam situações e problemas matemáticos, de outras ciências e do cotidiano. Dessa forma, em relação ao topos institucionalmente esperado do professor no trabalho com os estudantes, é importante: trabalhar as linguagens não apenas como formas de expressão e comunicação, mas como constituidoras de significados, conhecimentos e valores; adotar estratégias de ensino diversificadas, que mobilizem menos a memória e mais o raciocínio e outras competências cognitivas superiores, bem como potencializem a interação entre estudante-professor e estudante-estudante para a permanente negociação dos significados dos conteúdos curriculares, de forma a propiciar formas coletivas de construção do conhecimento; estimular todos os procedimentos e atividades que permitam ao estudante reconstruir ou reinventar o conhecimento didaticamente transposto para a sala de aula, entre eles a experimentação, a execução de projetos, o protagonismo em situações sociais; tratar os conteúdos de ensino de modo contextualizado, aproveitando sempre as relações entre conteúdos e contexto para dar significado ao aprendido, estimular o protagonismo do estudante e estimulá-lo a ter autonomia intelectual; lidar com os sentimentos associados às situações de aprendizagem para facilitar a relação do estudante com o conhecimento. (BRASIL, 2000, p.74-75) 80

80 Pode-se considerar como tarefas que compõem o topos esperado do professor: reconhecer os conhecimentos prévios dos estudantes com os quais irão trabalhar; propor tarefas para os estudantes que permitam que os mesmos sejam capazes de solucioná-las utilizando seus conhecimentos prévios para a formação de novos conhecimentos; auxiliar os estudantes no desenvolvimento dessas tarefas considerando as ajudas necessárias em função do estado de desenvolvimento real dos mesmos; avaliar o desenvolvimento desses mesmos estudantes, verificando se ao final do trabalho proposto eles são capazes de mobilizar os conhecimentos desenvolvidos em outras situações e em novos contextos; mediar a relação entre os estudantes, o que auxilia os mesmos a se tornarem responsáveis pela construção de seu próprio conhecimento, uma vez que precisam justificar suas escolhas para os colegas. Resumindo, cabe ao professor a tarefa de orientar os estudos, esclarecer dúvidas, revisitar conteúdos e fazer algumas revisões. Ele deve levar em conta os conhecimentos prévios do estudante no momento da introdução de novas noções e utilizá-los como meio para auxiliá-los na construção do novo conhecimento. No que se refere ao topos institucionalmente esperado do estudante, os PCNEM (BRASIL, 2000) indicam que o mesmo deve construir novos conhecimentos utilizando seus conhecimentos prévios para solucionar as tarefas propostas pelo professor, devendo ainda explicitar o seu trabalho e o de seus colegas ao propor respostas para as tarefas indicadas, persistindo e estimulando seus pares no momento que as dificuldades se manifestarem. Essas expectativas são explicitadas na Nova Proposta do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2009), onde se recomenda que os estudantes leiam e releiam os textos indicados, solucionem os exercícios associados a um determinado conteúdo e realizem pesquisas para aprofundar e refletir sobre esse mesmo conteúdo. 81

81 Em resumo, observa-se que se espera que o estudante seja capaz de construir seu conhecimento e explicitá-lo de forma coerente auxiliando seus pares quando estes apresentarem dificuldades. Mas, para que isso ocorra, uma das condições é que o estudante reconheça os objetos ostensivos e não ostensivos, que permitem resolver determinadas tarefas associadas a um conceito matemático de forma consciente, pois só assim ele é capaz de utilizar um discurso que evidencia o planejamento, a execução, a descrição, o controle e a justificativa do trabalho efetuado. Após identificar as expectativas institucionais quanto ao topos do professor e do estudante em relação ao trabalho a ser executado para desenvolver um determinado conteúdo matemático estuda-se, mais especificamente, o que se espera quanto à organização pedagógica desse trabalho O topos do professor e do estudante quanto à organização pedagógica O ensino descontextualizado, compartimentado e baseado no acúmulo de informações, muitas vezes voltado para a inserção do estudante no Ensino Superior não propicia a integração dos estudantes ao mundo contemporâneo nas dimensões fundamentais da cidadania e do trabalho. Buscando romper com este modelo tradicional, os princípios que nortearam as propostas de mudanças no Ensino Médio, propostos nos PCNEM e na Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo, traçam um novo perfil para o ensino. As novas alternativas de organização curricular devem estar mais comprometidas com o mundo do trabalho, com a produção científica e o avanço tecnológico e a formação humana e intelectual do estudante. Dentro das propostas, dessa reformulação curricular, encontra-se um novo topo para o professor, na LDB no Art. 13: Os docentes incumbir-se-ão de: participar da elaboração da proposta pedagógica do estabelecimento de ensino; elaborar e cumprir plano de trabalho, segundo a proposta pedagógica do estabelecimento de ensino; 82

82 zelar pela aprendizagem dos estudantes; estabelecer estratégias de recuperação para os estudantes de menor rendimento; ministrar os dias letivos e horas-aula estabelecidos, além de participar integralmente dos períodos dedicados ao planejamento, à avaliação e ao desenvolvimento profissional; colaborar com as atividades de articulação da escola com as famílias e a comunidade. Esses topos atribuídos ao professor pela LDB são reafirmados nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio que, ao considerar o currículo como o conceito que a escola e o sistema de ensino têm do desenvolvimento dos estudantes, deixam evidente que fica a cargo da equipe escolar a construção do Projeto Pedagógico e do Currículo da Escola conforme orientações encontradas em Brasil (2006). Observa-se que é atribuída à equipe escolar e à equipe docente uma autonomia, que além de sua capacidade didática exige um comprometimento com o Projeto Pedagógico e o Currículo da Escola. O professor torna-se responsável por buscar qualidade e o aprimoramento da aprendizagem dos estudantes. Nesse caso, cabe ao professor identificar nas propostas institucionais e nos diferentes documentos de que dispõem a melhor forma de organizar o trabalho com os estudantes, podendo recorrer a estratégias que considerar mais adequadas para o desenvolvimento de uma determinada tarefa com seu grupo de estudantes, como por exemplo, trabalhos em dupla, painel e discussão para explorar os diferentes métodos de solução da tarefa que consiste em determinar a equação de uma reta no plano dados dois pontos como exemplos discutidos nos anexos 1 e 2. Outro exemplo leva a considerar a noção de milieu que consiste na interação entre a tarefa proposta aos estudantes e os recursos colocados à disposição assim como as estratégias de ação. Por exemplo, desenvolver durante uma aula os exercícios propostos no livro didático em duplas. Dessa forma, ao definir seu projeto pedagógico, a escola e a equipe escolar devem propiciar condições para que o estudante possa atingir os objetivos definidos na Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (1996), tais como reconhecer os 83

83 fundamentos básicos da investigação científica; reconhecer a ciência como uma atividade humana em constante transformação; consolidar e aprofundar os conhecimentos adquiridos durante o nível fundamental no intuito de garantir a continuidade de estudos, compreender os processos produtivos, preparar-se para o mundo do trabalho e para o exercício da cidadania, desenvolver uma sólida formação ética e desenvolver autonomia intelectual. Descrita a organização pedagógica proposta nos documentos oficiais para o topos do professor e do estudante do Ensino Médio e considerados alguns exemplos relacionados a essa pesquisa, apresenta-se a seguir qual a organização didática proposta nesses documentos O topos do professor e do estudante quanto à organização didática Inicia-se ressaltando que uma relação didática se estabelece quando há um projeto de ensino com intenção de aprendizagem. Essa relação é construída por um conjunto de regras implícitas e explícitas que determinam as obrigações e as responsabilidades entre professor e estudantes, além de incluir um terceiro componente: o conhecimento, o saber. A relação didática é complexa e vai além das variáveis professor, estudante e conteúdo, pois o professor depende de seus saberes, concepções e convicções, de seu ambiente de trabalho e de seus pares profissionais e o estudante depende de seus conhecimentos individuais, de suas expectativas pessoais e coletivas e do contexto social ao qual está inserido. Verifica-se assim que a relação didática é formada por um complexo conjunto de elementos que influenciam diretamente seu funcionamento. Esses elementos se inter-relacionam e estão inseridos em um sistema de ensino, com influências internas e externas. Dessa forma, o topos do professor, ao iniciar uma relação didática, é o de identificar meios de fazer emergir os conhecimentos do estudante de forma que ele os mobilize em contextos distintos daqueles que aprendeu para responder a uma determinada situação. 84

84 Os conhecimentos prévios dos estudantes e a exploração de suas contradições e limitações exigem que o professor elabore situações e problemas que o estudante não faria sozinho e que tenha o potencial de levar à aquisição de um conhecimento que o educando ainda não possui. Para tanto, é preciso criar situações de aprendizagem, propor problemas que exijam a elaboração de hipóteses e a construção de modelos e garantir o desenvolvimento de competências e habilidades do estudante. Portanto, toda situação de ensino e aprendizagem deve agregar o desenvolvimento de habilidades que caracterizam o pensar matematicamente. (BRASIL, 2006, pp. 83 e 84) Ao escolher os conteúdos, o professor deve ser criterioso e propiciar ao estudante um fazer matemático por meio de um processo investigativo que o auxilie na apropriação de conhecimento. Nesse sentido, é preciso dar prioridade à qualidade do processo e não à quantidade de conteúdos, buscando constantemente a articulação entre os conteúdos trabalhados. (BRASIL, 2006, p. 70) Em grande parte das escolas, ainda é comum a introdução de um novo conceito por meio da apresentação direta, seguida de exemplos padrões repetidos pelos estudantes que correspondem aos exercícios propostos pelo professor. Segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006) com o desenvolvimento de novos paradigmas educacionais, o ensino e aprendizagem assumem uma concepção socioconstrutivista, cabendo ao estudante a responsabilidade pela sua própria aprendizagem, ou seja, o topos do estudante na relação didática é de confrontar suas concepções com a finalidade de construir novos conceitos e desenvolver seu próprio conhecimento em função de sua escolha de participação na sociedade. Nesse contexto, cabe ao estudante a construção do conhecimento matemático que permite resolver as tarefas propostas pelo professor com esse objetivo, sendo que ao professor cabe o papel de mediador e orientador do processo ensino-aprendizagem, responsável pela proposição de tarefas que permitam que os estudantes confrontem suas concepções. Dessa forma, pode-se observar que a escola não pode mais ficar restrita ao ensino disciplinar de natureza enciclopédica, que é preciso dar prioridade à 85

85 qualidade do processo e não à quantidade de conteúdos a serem trabalhados. Isso deve possibilitar o desenvolvimento de um amplo conjunto de competências e habilidades que o trabalho interdisciplinar pode auxiliar a colocar em prática. Assim, conforme destacam os PCNEM (BRASIL, 2000) e os PCN+ (BRASIL, 2002), o ensino da Matemática pode contribuir para que os estudantes desenvolvam habilidades relacionadas à representação, compreensão, comunicação, investigação e, também, à contextualização sociocultural. (BRASIL, 2006, p. 70). Após o estudo do topos do professor e do estudante, quanto à organização didática, considera-se a seguir o topos esperado dos mesmos quanto à organização matemática para o Ensino Médio, na tentativa de compreender de que forma as indicações encontradas nos documentos podem auxiliar os professores a desenvolverem as habilidades indicadas nas organizações didáticas O topos do professor e do estudante quanto à organização matemática para o Ensino Médio No que se refere à Matemática, os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio propõem um conjunto de três eixos estruturadores que possibilitam a seleção de temas que promovam o desenvolvimento de uma articulação lógica das idéias e conteúdos matemáticos e que tenham uma relevância científica e cultural garantindo maior significação para a aprendizagem. (BRASIL, 2002, p.119 e 120) Ainda conforme os PCN+, a escola tem como objetivo preparar o estudante para o aprendizado e para a vida, para tanto é necessária, uma reflexão sobre o significado das competências a serem desenvolvidas pelos estudantes, a fim de decidir sobre quais delas trabalhar, em quais disciplinas, de que forma e como estimulá-las. (BRASIL, 2002, p.113) Para tanto, os PCN+ (BRASIL, 2002) apontam o sentido dessas competências no âmbito da Matemática, explicitando o que se espera do estudante, ou seja, os seus respectivos topos : 86

86 Ler, articular e interpretar símbolos e códigos em diferentes linguagens e representações: sentenças, equações, esquemas, diagramas, tabelas, gráficos e representações geométricas. Isso corresponde a manipulação dos ostensivos e a evocação do não ostensivos associados. Por exemplo, exemplo, qual é equação da reta r da figura? Identificar os dados relevantes em uma dada situação problema para buscar possíveis resoluções. Por exemplo, em situações com grande diversidade de dados apresentados por meio de gráficos, especificações técnicas, como reconhecer as informações relevantes para uma dada questão que se busca resolver. Identificar as relações envolvidas e elaborar possíveis estratégias para enfrentar uma dada situação problema. Por exemplo, para obter uma dada distância, saber optar por medi-la diretamente, utilizar uma planta em escala, usar semelhança de figuras, fazer uso de propriedades trigonométricas ou utilizar um sistema de eixos cartesianos e abordar o problema por meio da geometria analítica. Frente a uma situação ou problema, reconhecer a sua natureza e situar o objeto de estudo dentro dos diferentes campos da Matemática, ou seja, decidir-se pela utilização das formas algébrica, numérica, geométrica, combinatória ou estatística. Por exemplo, para calcular distâncias, utilizar conceitos e procedimentos de geometria e medidas ou conceito de distâncias na geometria analítica, enquanto para analisar a relação entre espaço e tempo no movimento de um objeto, optar pelo recurso algébrico das funções e suas representações gráficas ou estudo de retas na geometria analítica. Identificar regularidades em situações semelhantes para estabelecer regras, algoritmos e propriedades. Por exemplo, no estudo das diferentes representações 87

87 de uma reta em Geometria Analítica, estabelecer os métodos que permitem a passagem de uma representação à outra. Reconhecer a existência de invariantes ou identidades que impõem as condições a serem utilizadas para analisar e resolver situações-problema; por exemplo, observar que a representação cartesiana de uma reta no plano é dada por uma única equação, enquanto que uma representação paramétrica é dada por apenas um parâmetro. Reconhecer a conservação contida em toda igualdade, congruência ou equivalência para calcular, resolver ou provar novos fatos. Por exemplo, ao resolver uma equação ou um sistema de equações lineares, compreender que as operações realizadas a cada etapa transformam a situação inicial em outra que lhe é equivalente, com as mesmas soluções. Compreender a necessidade e fazer uso apropriado de escalas. Por exemplo, na construção de gráficos ou em representações de figuras no plano cartesiano. Interpretar, fazer uso e elaborar modelos e representações matemáticas para analisar situações. Por exemplo, optar entre modelos algébricos ou geométricos para obter determinadas medições. Construir uma visão sistematizada das diferentes linguagens e campos de estudo da Matemática, estabelecendo conexões entre seus diferentes temas e conteúdos para fazer uso do conhecimento de forma integrada e articulada. Por exemplo, associar os conhecimentos desenvolvidos em Geometria Analítica com os de Álgebra Linear. Outro exemplo corresponde a relacionar a noção de função afim com a equação de uma reta no plano como mostra o exemplo desenvolvido no anexo 2. Compreender a Matemática como ciência autônoma, que investiga relações, formas e eventos e desenvolve maneiras próprias de descrever e interpretar o mundo. A forma lógica dedutiva que a Geometria utiliza para interpretar as formas geométricas e deduzir propriedades dessas formas é um exemplo de como a Matemática lê e interpreta o mundo à nossa volta. Adquirir uma compreensão do mundo que a Matemática é parte integrante, por meio dos problemas que ela consegue resolver e dos fenômenos que podem ser 88

88 descritos por seus modelos e representações. Por exemplo, problemas de pesquisa operacional que podem ser expressos por meio de soluções otimizadas como problemas de programação linear, isto é, problemas em que a função objetivo e as restrições são todas lineares. Reconhecer relações entre a Matemática e outras áreas do conhecimento, percebendo sua presença nos mais variados campos de estudo e da vida humana, seja na Física, Química e Biologia, seja nas Ciências Humanas e Sociais, como a Geografia ou a Economia, ou ainda nos mais diversos setores da sociedade, como na agricultura, na saúde, nos transportes e na moradia. Compreender a construção do conhecimento matemático como um processo histórico em estreita relação com as condições sociais, políticas e econômicas de uma determinada época, de modo a permitir a aquisição de uma visão crítica da ciência em constante construção, sem dogmatismos ou certezas definitivas. Por exemplo, o uso da geometria clássica ou da analítica para resolver um mesmo problema pode mostrar duas formas distintas de pensar e representar realidades comparáveis em momentos históricos diferentes. Compreender o conhecimento científico e o tecnológico como resultados de uma construção humana, inseridos em um processo histórico e social. Observa-se que nos PCN+ (BRASIL, 2002) é explicita a necessidade de articulação entre o quadro geométrico e algébrico, mesmo que o termo quadro não seja utilizado. Por outro lado, não existe nenhuma indicação mais precisa de como essa articulação se desenvolve, cabendo ao professor encontrar meios para promovê-la, questão que, em geral, não é tratada pelos livros didáticos como veremos no capítulo 5. Sendo assim, os PCN+ (BRASIL, 2002) assinalam as competências e habilidades a serem desenvolvidas pelos estudantes em relação a um determinado conteúdo matemático. Para o caso especifico da Geometria Analítica, as expectativas institucionais para o topos dos estudantes ao final do Ensino Médio são: Identificar por meio de equações as representações de figuras no plano cartesiano assim como suas interseções e posições relativas; 89

89 Interpretar e utilizar modelos algébricos e gráficos para a resolução de problemas geométricos; Utilizar diferentes métodos e ferramentas para resolver uma mesma situação; Articular as diferentes linguagens e campos de estudo da Matemática, isto é, os possíveis quadros e seus ostensivos e não ostensivos. Observa-se assim que, mesmo não utilizando as noções de quadro, ostensivos e não ostensivos, os PCN+ (BRASIL, 2002) sugerem a articulação entre os quadros geométrico, algébrico, numérico e da análise matemática, ou seja, propõe-se que se desenvolva os conteúdos utilizando mudança de quadros e manipulando os diferentes ostensivos e não ostensivos que lhes são associados. Nesse momento, seria interessante que os professores pudessem recorrer à noção de jogos de quadros, que segundo Robert (2001) pode ser definida como relacionar os diferentes aspectos de um mesmo conteúdo. Ela enfatiza ainda que o jogo de quadros corresponde a uma determinada maneira de fazer matemática, pois se trata de fazer funcionar de forma consciente, reconhecida, até mesmo pesquisada, os grandes métodos matemáticos. Conforme Robert (2001), os jogos de quadros são tarefas construídas pelo professor que estimulam os estudantes e os auxiliam a encontrar o significado em função das interpretações necessárias, pois alguns exemplos indicam que esse procedimento auxilia na resolução de problemas e consequentemente no aprendizado, auxiliando na compreensão de algumas proposições matemáticas. Mas, é preciso estar atento, pois ainda segundo Robert (2001), os estudantes não dão o devido valor a essa estratégia de ensino julgando-as banais. Como exemplo, Robert (2001) apresenta o exercício abaixo que, em geral, é proposto para o seconde (corresponde ao primeiro ano do nosso Ensino Médio): Determinar os pontos do plano A, B, C, D a partir de 4 pontos dados M, N, P, Q que correspondem respectivamente aos pontos médios dos segmentos AB, BC, CD, DA. 90

90 A figura 104 mostra a representação geométrica do problema proposto por Robert Figura 104: Fonte: Actes de la journée en hommage à Régine Douady, 2001, p. 10 A pesquisa desses pontos pode ser efetuada no quadro analítico: somos levados a resolver dois sistemas lineares de 4 equações bem simples com 4 incógnitas cada (as coordenadas dos pontos desconhecidos). As coordenadas dos pontos dados verificam uma condição e há uma infinidade de soluções dependendo de um parâmetro ou então, o sistema é impossível. Mas, pode-se também utilizar o quadro geométrico: ao se constatar inicialmente que MNPQ não é um paralelogramo, conclui-se que o problema é impossível. Nota-se assim a existência de um jogo de quadros, porque a solução depende do conhecimento do estudante - geométrico ou algébrico. Nesse exemplo, observa-se ainda que é incumbência do professor verificar qual o quadro que os estudantes dominam e assim propor que o problema seja resolvido em outro quadro. Robert (2001) observa ainda que o professor ao utilizar o jogo de quadros, dispõe de pelo menos quatro componentes: a idéia de introduzir o jogo de quadros; a escolha dos quadros (trabalho de (re) modelagem); o trabalho interno em cada quadro; o trabalho de passagem, de interpretação (idas e voltas), ou seja, são procedimentos que auxiliam na resolução de problemas e no aprendizado e compreensão de algumas proposições matemáticas. Encontra-se, portanto, nas observações de Robert (2001), subsídios para a articulação entre o quadro geométrico e algébrico proposto nos PCN+ (BRASIL, 2002) e para tanto, o currículo a ser elaborado deve corresponder a uma boa seleção, deve contemplar aspectos dos conteúdos e práticas que precisam ser enfatizados. 91

91 Portanto, a escolha de conteúdos deve ser cuidadosa e criteriosa, propiciando ao estudante um fazer matemática por meio de um processo investigativo que o auxilie na apropriação de conhecimento, desenvolvendo habilidades que caracterizem o pensar matematicamente. Objetivando o desenvolvimento dessas competências, as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2002) propõem uma organização dos conteúdos sistematizados em três eixos: Álgebra: Números e Funções; Geometria e Medidas; Análise de dados. Esses eixos se desenvolvem concomitantemente nos três anos do Ensino Médio. Os conteúdos básicos foram organizados em três temas estruturadores, como se pode observar no quadro resumo: 1ª série 2ª série 3ª série 1. Noção de função; funções analíticas e não analíticas; análise gráfica; sequências numéricas; função exponencial ou logarítmica. 1. Trigonometria do triângulo retângulo 2. Geometria plana; semelhança e congruência; representações de figuras. 3. Estatística: descrição de dados; representações gráficas. 1. Funções seno, cosseno e tangente. 1. Trigonometria do triângulo qualquer e da primeira volta. 2. Geometria espacial: poliedros; sólidos redondos; propriedades relativas à posição; inscrição e circunscrição de sólidos. 2. Métrica: áreas e volumes; estimativas. 3. Estatísticas: análise de dados. 3. Contagem. 1. Taxas de variação de grandezas. 2. Geometria analítica: representações no plano cartesiano e equações; intersecção e posições relativas de figuras. 3. Probabilidade Quadro 01: Organização dos temas estruturadores por série. Fonte: PCNEM, p. 128 Nos conteúdos propostos, conforme quadro acima, dar-se-á uma atenção especial às referências quanto a Geometria Analítica, foco dessa pesquisa. 92

92 No trabalho com a Geometria Analítica, o documento sugere que seja feita uma articulação entre geometria e álgebra, ou seja, uma articulação entre o quadro geométrico e algébrico, isto é, representar as propriedades geométricas de uma figura no plano por meio de uma equação e identificar as propriedades das figuras geométricas em suas respectivas equações, como é possível observar no seguinte texto: [...] a criação de um sistema de coordenadas que identifica um ponto P do plano com um par de números reais (x, y). Partindo-se disso, podemos caracterizá-la como: sistema de coordenadas que identifica um ponto P do plano com um par de números reais (x, y). Partindo-se disso, podemos caracterizá-la como: a) o estudo das propriedades geométricas de uma figura com base em uma equação (nesse caso, são as figuras geométricas que estão sob o olhar da álgebra); b) o estudo dos pares ordenados de números (x, y) que são soluções de uma equação, por meio das propriedades de uma figura geométrica (nesse caso, é a álgebra que está sob o olhar da geometria). (BRASIL, 2006, p. 77). Observa-se assim que se espera do professor um trabalho em duas vias: o entendimento de figuras geométricas via equações e o entendimento de equações via figuras geométricas. Para que essa articulação seja significativa para o estudante, o professor precisa enfatizar as mudanças de quadro e revisitar os conhecimentos prévios dos estudantes, ou seja, corresponde ao topos do professor identificar os conhecimentos prévios de seus estudantes e propor tarefas que permitam que os mesmos sejam capazes de efetuar as mudanças de quadros necessárias. O professor deve ainda desenvolver um trabalho de explicitação do significado de uma equação e de seu conjunto de soluções tanto do ponto de vista algébrico como geométrico. Segundo Brasil (2006), o entendimento do significado de equações e inequações e de seu conjunto de soluções não é imediato, pois esse não é explícito quando simplesmente se escreve a equação ou a inequação. Entendido o significado das equações e inequações, deve-se iniciar o estudo das representações de retas e círculos. Essas representações devem ser deduzidas e não simplesmente apresentadas aos estudantes, para que, então, se tornem significativas, em especial quanto ao sentido geométrico de seus parâmetros. 93

93 Além disso, as relações entre os coeficientes de pares de retas paralelas ou coeficientes de pares de retas perpendiculares devem ser construídas pelos estudantes. Posições relativas de retas e círculos devem ser interpretadas do ponto de vista algébrico, o que significa discutir a resolução de sistemas de equações, isto é, trata-se do entendimento de formas geométricas via álgebra. Na Nova Proposta do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2009), quanto ao trabalho relativo à Geometria Analítica, as sugestões vão ao encontro das orientações propostas nos PCN+ (2002), sugerindo que seja feita uma articulação entre geometria e álgebra, ou seja, uma articulação entre o quadro geométrico e algébrico e o documento apresenta uma divisão de conteúdos, por série e bimestre como se pode observar no quadro resumo apresentado no Anexo 9. Acrescenta-se ainda que, segundo os PCN+ corresponde ao topos do professor abordar o conceito de vetor, tanto do ponto de vista geométrico (coleção dos segmentos orientados de mesmo comprimento, direção e sentido) quanto algébrico (caracterizado pelas suas coordenadas), isto é, trata-se aqui de considerar uma mudança de pontos de vista. Em particular, é importante relacionar as operações executadas com as coordenadas (soma, multiplicação por escalar) com seu significado geométrico. (BRASIL, 2006, p. 77) Observa-se que é enfatizado o trabalho com a noção de vetores nas aulas de Matemática, pois segundo os PCN+ a inclusão da noção de vetor nos temas abordados em Matemática viria a corrigir a distorção causada pelo fato que esse conceito matemático importante só é trabalhado do ponto de vista geométrico no Ensino Médio nas aulas de Física. (BRASIL, 2006, p.77) Finalmente, apresentam-se algumas considerações sobre o topos esperado dos professores e estudantes do Ensino Médio Considerações finais A análise do topos pedagógico e didático do professor e do estudante via Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, ano) indica que as escolhas devem ser realizadas pela equipe escolar e docente de forma a 94

94 desenvolver as competências almejadas para os estudantes, ou seja, que a instituição escolar organize seu trabalho pedagógico de acordo com seus estudantes. Para tanto, deve-se considerar o projeto político-pedagógico como um processo constante de reflexão e discussão sobre os problemas escolares, tendo como objetivo a busca de soluções, por meio de ações colaborativas entre os membros que constituem a escola. Quanto ao topos do professor, enquanto profissional da educação, não existe orientação explícita, mas em função da proposta de trabalho indicada para trabalhar com o estudante, pode-se considerar que a função do mesmo é identificar os conhecimentos prévios de seus estudantes e a partir deles desenvolver métodos e estratégias que conduzam a autonomia e ao reconhecimento das possibilidades de aplicação dos conteúdos estudados em diferentes situações escolares e cotidianas. Ou seja, espera-se que ao final do Ensino Médio, o estudante seja responsável pelo seu próprio projeto de estudo. Apesar de propor a formação de um individuo autônomo, cuja formação possibilite sua inserção social, não é fornecido subsídio ao professor que deve discutir e refletir com seus pares para encontrar outros meios para desenvolver essa nova proposta de trabalho. Nesse momento, referimo-nos a Chevallard (1997) que, ao analisar os programas franceses e não encontrar exemplos específicos que pudessem auxiliar os professores, conclui que o professor fica completamente desamparado em sua prática docente em relação ao que ensinar e como ensinar e isso interfere de forma negativa tanto no topos do professor como no do estudante. Observa-se ainda que, no estado de São Paulo, a diversidade de projetos pedagógicos conduziu a implementação da Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo que tenta garantir um currículo mínimo e auxiliar, tanto do ponto de vista pedagógico como do didático, o trabalho do professor. Esse trabalho proporciona ainda ao estudante a oportunidade de utilizar esse material como um primeiro recurso para desenvolver os conhecimentos básicos de um determinado conteúdo, tornado-o capaz de aprofundar seus conhecimentos pela pesquisa em outros materiais ou solicitando a ajuda do professor. Trata-se de 95

95 uma nova forma de trabalho que corresponde à proposta de autonomia apresentada nos PCNEM (BRASIL, 2000) e que possibilita o desempenho dos estudantes na realização do papel que é definido para o seu topos. Quanto aos conteúdos associados à Geometria Analítica a serem desenvolvidos no Ensino Médio, existe a preocupação de propor um trabalho que possibilite a articulação entre os pontos de vista cartesiano e paramétrico mesmo que essa denominação não apareça explicitamente, mas é indicado o estudo das retas no plano e retas e plano no espaço contemplando o estudo dos vetores, isto é, não se restringindo apenas à representação desses objetos matemáticos por meio de um conjunto de equações lineares. Nota-se que, apesar de indicarem e enfatizarem a importância do trabalho com vetores, os PCN+ não apresentam esse tópico na organização dos conteúdos, como se pode observar no quadro 1. Finalmente, observa-se que nos documentos analisados existe uma preocupação em organizar o trabalho a ser realizado por professores e respectivos estudantes e esses documentos vem sendo complementados com propostas específicas para desenvolvimento dos conteúdos das diferentes disciplinas, na tentativa de garantir o sucesso das novas expectativas institucionais cuja modificação está associada às mudanças da sociedade e ao desenvolvimento tecnológico. Considerando que as análises apresentadas estão centradas nas novas organizações institucionais do conhecimento matemático para o Ensino Médio cujo objetivo é identificar os ostensivos e não ostensivos utilizados no estudo das noções de ponto e reta no plano quando se introduz as primeiras noções de Geometria Analítica nessa etapa escolar, apresenta-se, no capítulo que segue, a grade de análise que é composta de tarefas habitualmente encontradas no desenvolvimento dessas noções e que pode auxiliar na organização de novos conhecimentos associados a esse mesmo conteúdo matemático quando se introduz a Geometria Analítica no Ensino Superior. 96

96 Capítulo 3 GRADE DE ANÁLISE DAS TAREFAS USUAIS DE PONTO E RETA EM IR² 3.1 Considerações iniciais Sob a ótica da Teoria Antropológica do Didático, uma das tarefas essenciais dos professores consiste em determinar, a partir de programas oficiais, as organizações matemáticas que devem ser estudadas. Segundo Chevallard (2001), precedendo à etapa de ação didática onde se realiza o trabalho de transpor (e não simplesmente transcrever) as técnicas e discursos tecnológicos, o professor deve realizar uma etapa de análise didática a fim de observar quais são os tipos de tarefas a serem executadas, quais são as técnicas envolvidas e as respectivas justificativas tecnológicas e teóricas relativas ao conteúdo a ser trabalhado. Assim, para o autor, o professor precisa construir uma organização didática, que selecione as tarefas que ele vai propor aos alunos. Nessa perspectiva, as tarefas apresentadas aos estudantes podem ser consideradas como um grande recurso para o aprendizado de novos conceitos e desenvolvimento de competências, pois a maneira como se organizam as atividades em sala de aula podem permitir aos estudantes um trabalho simultâneo entre conteúdos e competências (BRASIL, 2002, p.113). Mas, para que isso ocorra, as tarefas têm que estar disponibilizadas de forma a provocar nos estudantes a compreensão desses conceitos e sua relação com conteúdos adquiridos anteriormente de forma que possam articulá-los. Dado que o objetivo específico da pesquisa é estudar os ostensivos e não ostensivos utilizados no estudo das noções de ponto e reta no plano, quando se introduzem as primeiras noções de Geometria Analítica no Ensino Médio, identificar e analisar tarefas usualmente encontradas, parece ser de grande valia para essa pesquisa. Sendo assim, é apresentado neste capítulo um estudo dos tipos de tarefas usuais, para o Ensino Médio brasileiro, relativas a essas noções, que podem ser 97

97 trabalhadas de diferentes formas, em função dos ostensivos escolhidos e que permitem a abordagem dos não ostensivos que lhes são associados. Além disso, identifica-se qual discurso tecnológico é empregado para descrever, explicar e justificar técnicas, tecnologias e teorias que sustentam essas tarefas. Para tanto, optou-se em aplicar a grade de análise construída segundo o padrão apresentado por Dias (1998), em sua tese, onde ela apresenta um trabalho de análise sobre a articulação entre os pontos de vista cartesiano e paramétrico, num curso introdutório de Álgebra Linear, ou seja, um estudo das possibilidades de articulação dos ostensivos e não ostensivos no ensino e aprendizagem das noções básicas de Álgebra Linear. Desta forma, a utilização da grade de análise permite identificar e analisar as tarefas usualmente encontradas quando se introduzem as noções de ponto e reta em IR² no Ensino Médio e verificar qual o nível de conhecimento que se espera tenha sido desenvolvido nessa etapa de escolaridade e o que é deixado a cargo do Ensino Superior. Além disso, a construção da grade de análise pela sua aplicação propicia a identificação da diversidade de relações institucionais possíveis em função das tarefas e das variáveis das tarefas, que podem ser exploradas com os estudantes do Ensino Médio e proporciona uma ilustração do referencial teórico da pesquisa, ou seja, Douady (1984, 1992), Bosch e Chevallard (1999), Robert (1997, 1998) e Rogalski (1995, 2001), descrito no capítulo 2. Observa-se ainda, que a identificação das possíveis tarefas foi realizada nos livros didáticos e macroavaliações, devido ao fato desses serem, em geral, utilizados pelas instituições escolares como referência sobre o saber a ser ensinado. Objetivado o estudo proposto neste capítulo, passa-se a descrever a construção da grade de análise salientando que, para facilidade de análise, as tarefas relacionadas às noções de ponto e reta foram estudadas separadamente. 98

98 3.2 A grade de análise A grade de análise foi construída, como exposto anteriormente, com o propósito de servir de instrumento de análise dos diferentes níveis de conhecimento esperados dos estudantes num curso de introdução das noções de ponto e reta no plano para o Ensino Médio, assim como levar em conta as possíveis articulações de quadros e as mudanças de pontos de vista, assim como dos ostensivos e não ostensivos introduzidos nessa etapa escolar. Iniciou-se a elaboração da grade com uma pesquisa das diferentes tarefas usualmente encontradas em livros didáticos de matemática e nas macro avaliações aplicadas no final do Ensino Médio. Para as variáveis das tarefas, foi dada ênfase ao nível de conhecimento pedido explicitamente no enunciado e aos diferentes níveis de conhecimento que podem ser identificados em relação a outras noções que devem estar disponíveis ou serem mobilizadas para a solução da tarefa, mas considerou-se também os quadros em que a tarefa é enunciada e resolvida, os ostensivos e não ostensivos empregados na sua solução e os pontos de vista privilegiados. Dessa forma, as variáveis das tarefas que compõem a grade de análise são: Quadro 02: Variáveis que compõem a grade de análise Sendo assim, para cada tarefa encontrada foram observados os quadros em jogo, os ostensivos e não ostensivos que permitem as diferentes abordagens para sua solução, deixando claro quando o não ostensivo deve integrar os conhecimentos prévios dos estudantes ou quando faz parte apenas do topos do professor. Inicia-se definindo os ostensivos e não ostensivos associados à noção de ponto e reta que serão utilizados na descrição dos diferentes tipos de tarefas que 99

99 compõem a grade. Para os ostensivos são considerados exemplos que permitem ilustrá-los. Ostensivos de representações de pontos Representação algébrica explícita de ponto em coordenadas: Em IR - Exemplos: (3), (-2). Em IR² - Exemplos: (1, -2), (-3, 0). Representação algébrica intrínseca de ponto em coordenadas: Em IR - Exemplos: (x), (2x). Em IR² - Exemplos: (x, y), (y, 2y). Representação geométrica intrínseca de ponto. Exemplos: A, B. Representação gráfica de pontos. Em IR Exemplo: Em IR² - Exemplo: Ostensivos de representação de retas Representação funcional de uma reta em IR²: y = ax + b 100

100 Representação cartesiana de uma reta ou equação geral da reta em IR²: ax + by = c (1 equação, e incógnitas) Representação segmentária de uma reta: x a y b 1,( a 0, b 0) Representação paramétrica ou equação vetorial de uma reta: r: X = A + λv, λ IR (X e A ponto, v vetor e λ parâmetro) r: (x, y) = (x 1, y 1 ) + λ(a, b) Representação simétrica de uma reta ou equação da reta r na forma simétrica em IR²: x 1 1 x a y y, onde A = (x 1, y 1 ) e v = (a, b) b Representação determinante de uma reta, onde P= (x, y) é um ponto qualquer e A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ) são dois pontos da reta. x y 1 x1 y1 1 0 x y Representação gráfica de uma reta: Não ostensivos de representação de pontos Noção de representação de ponto e sua representação no sistema cartesiano ortogonal; Noção de distância entre dois pontos; 101

101 Noção de ponto médio; Noções e propriedades de figuras geométricas; Noções de cálculo algébrico; Noções de resolução de equação de primeiro e segundo graus; Noções de resolução de inequação de primeiro e segundo graus; Propriedades de números reais; Noções de resolução de sistemas lineares; Não ostensivos de representação de retas Noção de ponto e sua representação no sistema cartesiano ortogonal; Noção de reta e sua representação no sistema cartesiano ortogonal; Noção de condição de alinhamento de três pontos; Noção de declividade de uma reta; Noção de equação de reta; Noção de equação da reta conhecidos um ponto e sua declividade; Noção de equação da reta conhecidos dois de seus pontos; Noção de forma reduzida, geral, segmentária e paramétrica de uma reta; Noções e propriedades de figuras geométricas; Noções de cálculo algébrico; Noções de resolução de equação de primeiro e segundo graus; Noções de resolução de inequação de primeiro e segundo graus; Propriedades de números reais; Noções de resolução de sistemas lineares. Para a análise das tarefas, é considerada ainda a distinção dos quadros em que são enunciadas e resolvidas. Essa distinção é realizada, considerando as representações de ponto e reta em IR² (ostensivos escriturais) em relação aos domínios da matemática em que essas representações estão inseridas. Observa-se que, em geral, é necessário dispor de conhecimentos de aritmética, álgebra, geometria euclidiana, funções, matrizes, determinantes e 102

102 sistemas lineares, pois noções desses domínios desempenham um papel de ferramenta explícita para solução de tarefas no domínio da Geometria Analítica, isto é, funcionam como não ostensivos para a solução das tarefas dependendo do método escolhido. Para melhor descrever as distinções dos quadros utilizadas na construção da grade, uma breve definição destes quadros será apresentada com exemplos para efeito de ilustração. QUADRO NUMÉRICO: quando o não ostensivo ponto é dado ou trabalhado por meio de um ostensivo de representação explicita, como se pode observar no exemplo abaixo. Figura 02: Exemplo enunciado no quadro numérico. Fonte: Gelson et al., 2006, p. 26 QUADRO ALGÉBRICO: quando o não ostensivo ponto é dado ou trabalhado por meio de um ostensivo de representação intrínseca e o não ostensivo reta é trabalhado por meio de um ostensivo de representação de retas, ou seja, representação funcional, representação cartesiana, representação segmentária, representação paramétrica, representação simétrica. Os exemplos a seguir ilustram a utilização desse quadro. Exemplo 1 Figura 03: Exemplo enunciado no quadro algébrico. Fonte: Dante, 2006, p

103 Exemplo 2 Figura 04: Exemplo enunciado no quadro algébrico. Fonte: Gelson et al., 2006, p. 33 No exemplo 1, figura 03, os pontos são apresentados por meio de um ostensivo de representação intrínseca de ponto. Para a resolução da tarefa, o estudante terá que disponibilizar conhecimentos em relação à aplicação do teorema de Pitágoras, desenvolvimento do quadrado da soma de dois termos e resolução de equação do primeiro grau. Observa-se que o estudante poderá recorrer ao quadro geométrico para auxiliá-lo na visualização do triângulo, aplicar o teorema de Pitágoras e, em seguida, mobilizar noções em relação à utilização da fórmula de distância entre dois pontos. Desta forma, uma articulação entre os quadros algébrico e geométrico (mudança de quadro) apresenta-se como um recurso proveitoso que poderá ser utilizado pelo professor. No caso do exemplo 2, figura 04, o não ostensivo reta é apresentado por meio do ostensivo de representação de uma reta nas formas cartesiana e funcional e o estudante poderá recorrer à utilização de dois quadros para a resolução da tarefa, ou seja, quadro algébrico ou geométrico. Caso o estudante utilize o quadro geométrico para a resolução da tarefa, ele terá que disponibilizar conhecimentos sobre a representação de reta no sistema cartesiano ortogonal. Já, para a resolução no quadro algébrico, o estudante terá que mobilizar conhecimentos sobre interseção de retas e dispor de conhecimentos sobre um método de resolução de sistemas lineares e duas equações e duas incógnitas e de discussão do mesmo, que lhe permitirá encontrar uma única solução e controlar o resultado observando que se tratam de retas concorrentes. Esse trabalho com as representações algébrica e gráfica dos sistemas 2x2 é considerado disponível uma vez que deve ser introduzido no Ensino fundamental. 104

104 QUADRO GEOMÉTRICO: quando os não ostensivos pontos e retas são dados ou trabalhados por meio de um ostensivo de representação geométrica ou gráfica. O exemplo apresentado a seguir, figura 05, ilustra uma utilização do quadro geométrico. Figura 05. Exemplo enunciado no quadro geométrico. Fonte: Caderno do Aluno, EM-3série, v. 1, 2009, p. 5 Observa-se que para a resolução da tarefa, o estudante terá que dispor de conhecimentos quanto à conversão da representação geométrica de ponto para a representação algébrica explícita de ponto e disponibilizar conhecimentos em relação à noção de reta e seus diferentes ostensivos de representação. Para tanto, faz-se necessária a mobilização de conhecimentos prévios em relação à determinação da equação de uma reta, isto é, este trabalho depende dos conceitos trabalhados anteriormente. Definidos ostensivos e não ostensivos possíveis no estudo de pontos e retas no plano e descritos os diferentes quadros para a solução das tarefas usuais sobre essas noções encontradas no Ensino Médio, passa-se à explicitação dos pontos de vista encontrados nessa etapa da escolaridade. Pontos de vista para a noção de ponto Ponto de vista geométrico: corresponde a noção de ponto representada na geometria euclidiana, isto é, o ponto é indicado por meio de uma letra maiúscula que aqui denominamos ostensivos de representação intrínseca de ponto. Exemplo: A, B. 105

105 Ponto de vista de coordenadas: corresponde a noção de ponto representada na geometria analítica, isto é, o ponto é representado em uma reta ou em um sistema cartesiano ortogonal. Apresentados, separadamente, os elementos que constituem a grade de análise, aplica-se a mesma nas tarefas encontradas sobre as noções de ponto e reta para o Ensino Médio, distinguindo alguns dos possíveis métodos utilizados na solução das mesmas e observando qual o nível de conhecimento esperado dos estudantes em função dos não ostensivos em jogo nesses métodos. Para melhor explicitar o funcionamento da grade de análise, considera-se a tarefa geral e, em seguida, apresentam-se exemplos para ilustrá-la. Inicia-se distinguindo as tarefas relacionadas ao estudo da noção de ponto no plano. 3.3 Tarefas relacionadas ao estudo de Ponto As tarefas encontradas para serem desenvolvidas no Ensino Médio em relação à noção de Ponto foram: Tarefa 1: Representar pontos no sistema cartesiano ortogonal e determinar as coordenadas de um ponto dado sua representação gráfica no sistema cartesiano ortogonal. Tarefa 2: Determinar as coordenadas de um ponto dado uma de suas propriedades. Tarefa 3: Determinar a distância entre dois pontos. Tarefa 4: Articular a noção de distância entre dois pontos com conceitos geométricos. Tarefa 5: Determinar as coordenadas do ponto médio de um segmento. Tarefa 6: Determinar as coordenadas do baricentro de um triângulo. Tarefa 7: Aplicar a condição de alinhamento de três pontos Quadro 03: Tarefas comumente encontradas no Ensino Médio para o estudo de ponto 106

106 TAREFA 1: Representar pontos no sistema cartesiano ortogonal e dar as coordenadas de um ponto dado sua representação gráfica no sistema de coordenadas ortogonal. Exemplo 1 Figura 06: Exercício correspondente à tarefa 1. Fonte: Dante, 2006, p. 8. Exemplo 2 Figura 07: Exercício correspondente à tarefa 1. Fonte: Dante, 2006, p

107 Aplicação da Grade de Análise Quadros em que as tarefas são enunciadas: quadro numérico, quadro geométrico; Ostensivos utilizados nos enunciados: representação geométrica de ponto, representação gráfica de ponto (exemplo 1), representação geométrica de ponto e representação gráfica de ponto (exemplo 2); Não ostensivos utilizados nos enunciados: noção de ponto (exemplos 1 e 2); noção de circunferência (exemplo 2); Quadros para solução das tarefas: quadro numérico e geométrico; Ostensivos utilizados na solução das tarefas: representação explicita de ponto em coordenadas (exemplo 1); representação geométrica de ponto (exemplo 2); Pontos de vista em relação à noção para a solução das tarefas: geométrico e coordenadas; Níveis de conhecimento necessários para a solução das tarefas: Em relação à noção de ponto, é necessário o nível técnico para os dois exemplos considerados acima. Mas, como se trata de uma tarefa de identificação de representação de um ponto em coordenadas, é importante utilizar um discurso que justifique a técnica empregada, ou seja, por x traçar uma paralela a y e por y uma paralela a x, o encontro dessas paralelas representa o ponto considerado de coordenadas (x, y). Para isso, é preciso dispor de conhecimentos sobre paralelismo de retas nos dois exemplos. No caso do exemplo 2, deve-se ainda mobilizar conhecimentos sobre a noção de circunferência. Quadro 04: Grade de análise dos exemplos correspondentes a tarefa 1 TAREFA 2: Determinar as coordenadas de um ponto dado por uma propriedade Exemplo1 Figura 08: Exercício correspondente à tarefa 2. Fonte: Dante, 2006, p. 8. Exemplo 2 Figura 09: Exercício correspondente à tarefa 2. Fonte: Dante, 2006, p

108 Exemplo 3 Figura 10: Exercício correspondente à tarefa 2. Fonte: Dante, 2006, p. 9. Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro algébrico e geométrico; Ostensivos utilizados nos enunciados: representação geométrica de ponto, representação gráfica de ponto (exemplo 1); representação algébrica e representação gráfica (exemplo 2), representação algébrica intrínseca de ponto (exemplo 3); Não ostensivos utilizados nos enunciados: noção de ponto, noção de segmento, noção de retângulo (exemplo 1); noção de ponto e propriedade do produto de números reais (exemplo 2), noção de ponto e sistema de inequações lineares (exemplo 3); Quadro para solução da tarefa: quadro algébrico e geométrico; Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação algébrica intrínseca de ponto, representação geométrica (exemplo 1); representações gráfica e geométrica de ponto (exemplo 3); Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico (exemplo 1), coordenadas (exemplos 1, 2, 3) Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: nível técnico para a representação de ponto. Exemplo 1: nível mobilizável em relação à representação de segmento e retângulo e à conversão da representação geométrica de ponto para a representação algébrica intrínseca, nível disponível em relação à noção de segmento. Exemplo 2: disponível em relação à conversão da representação algébrica intrínseca para a gráfica e mobilizável para a noção de sistema cartesiano ortogonal. Exemplo 3: disponível em relação à conversão da representação algébrica intrínseca para a gráfica, à noção de solução de sistemas de inequações lineares e a noção de intervalo sobre IR; mobilizável para a noção de sistema cartesiano ortogonal. Quadro 05: Grade de análise dos exemplos correspondentes a tarefa 2 TAREFA 3: Determinar a distância entre dois pontos. Exemplo 1 Exemplo 2 Figura 11: Exercício correspondente à tarefa 3. Fonte: Dante, 2006, p. 11 Figura 12: Exercício correspondente à tarefa 3. Fonte: Dante, 2006, p

109 Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro numérico, quadro algébrico e geométrico; Ostensivos utilizados no enunciado: representação explicita de ponto em coordenadas (exemplo 2), representação algébrica intrínseca de ponto em coordenadas (exemplos 1 e 2), representação geométrica (exemplo 2); Não ostensivos utilizados no enunciado: noção de ponto e noção de distância entre dois pontos (exemplos 1); noção de ponto, noção de distância entre dois pontos e noção de equação (exemplo 2); Quadro para solução da tarefa: quadro numérico; quadro algébrico, quadro geométrico; Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação explicita de ponto em coordenadas (exemplo 3), representação algébrica intrínseca de ponto em coordenadas (exemplo 1 e 2), representação geométrica de ponto (exemplo 2); Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico e coordenadas; Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: Nível técnico para a representação de ponto. Exemplo 1: nível mobilizável em relação à utilização da fórmula de distância entre dois pontos e disponível em relação à resolução de raiz quadrada de um termo algébrico. Exemplo 2: disponível em relação à noção de desenvolvimento do quadrado da soma de dois termos, resolução de equação do primeiro e segundo graus e mobilizável em relação à utilização da fórmula de distância entre dois pontos. Quadro 06: Grade de análise dos exemplos correspondentes a tarefa 3 TAREFA 4: Articular a noção de distância entre dois pontos com conceitos geométricos. Exemplo 1 Exemplo 2 Figura 13: Exercício correspondente à tarefa 4. Fonte: FUVEST 2001 Figura 14: Exercício correspondente à tarefa 4. Fonte: Dante, 2006, p

110 Exemplo 3 Exemplo 4 Figura 15: Exercício correspondente à tarefa 4. Fonte: Iezzi et al., 2006, p. 12. Figura 16: Exercício correspondente à tarefa 4. Fonte: Dante, 2006, p. 11 Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro numérico; quadro algébrico; quadro geométrico; linguagem natural; Ostensivos utilizados nos enunciados: representação explicita de ponto em coordenadas (exemplos 1), representação geométrica de ponto (exemplos 1 e 2); representação algébrica intrínseca de ponto (exemplos 2); representação gráfica (exemplo 3); linguagem natural (exemplo 4); Não ostensivos utilizados nos enunciados: noção de ponto, noção de distância entre dois pontos e noção de classificação de triângulos (exemplos 1, 2 e 3); noção de ponto, noção de distância entre dois pontos, noção de retângulo, noção de diagonal, propriedades do retângulo (exemplo 4); Quadro para solução da tarefa: quadro numérico; quadro algébrico e geométrico; Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação explicita de ponto em coordenadas (exemplos 1, 2 e 3), representação geométrica de ponto (todos exemplos); representação algébrica intrínseca de ponto (todos exemplos); Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico e coordenadas; Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: Nível técnico para a representação de ponto. Exemplo 1: nível mobilizável em relação à representação gráfica de ponto no Sistema Cartesiano Ortogonal de forma a construir um triângulo e disponível em relação à noção de relações trigonométricas num triângulo retângulo. Exemplo 2: mobilizável em relação à utilização da fórmula de distância entre dois pontos e disponível em relação à noção de desenvolvimento do quadrado da soma de dois termos, resolução de equação do primeiro grau e à aplicação do teorema de Pitágoras. Exemplo 3: nível mobilizável em relação à utilização da fórmula de distância entre dois pontos e disponível em relação à classificação de triângulo quanto à medida dos lados e dos ângulos. Exemplo 4: disponível em relação à noção de desenvolvimento do quadrado da soma de dois termos, resolução de equação do primeiro grau, à aplicação do teorema de Pitágoras e mobilizável em relação à utilização da fórmula de distância entre dois pontos. Exemplo 5: nível mobilizável em relação à representação gráfica de ponto no Sistema Cartesiano Ortogonal de forma a construir um retângulo e disponível em relação à noção de diagonal e às propriedades de um retângulo. Quadro 07: Grade de análise dos exemplos correspondentes a tarefa 4 111

111 TAREFA 5: Determinar as coordenadas do ponto médio. Exemplo 1 Figura 17: Exercício correspondente à tarefa 5. Fonte: Iezzi et al., 2006, p. 14. Exemplo 2 Figura 18: Exercício correspondente à tarefa 5. Fonte: Dante, 2006, p. 15 Exemplo 3 Figura 19: Exercício correspondente à tarefa 5. Fonte: Caderno do Aluno, EM-3ª série, v. 1, 2009,p

112 Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro numérico; quadro algébrico e geométrico; Ostensivos utilizados nos enunciados: representação explicita de ponto em coordenadas (exemplo 1), representação algébrica intrínseca de ponto em coordenadas (exemplos 2 e 3), representação geométrica (exemplos 2 e 3); Não ostensivos utilizados nos enunciados: noção de ponto, noção de coordenadas do ponto médio de um segmento de reta, noção de distância entre dois pontos (exemplos 1, 2 e 3); noção de hexágono, noção de diagonal e propriedades do hexágono, noção de triângulo eqüilátero (exemplo 3); Quadro para solução da tarefa: quadro numérico; quadro algébrico, quadro geométrico; Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação explicita de ponto em coordenadas (exemplo 1), representação algébrica intrínseca de ponto em coordenadas (exemplos 2 e 3), representação geométrica de ponto (exemplos 2 e 3); Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico e coordenadas; Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa. Nível técnico para a representação de ponto. Nos exemplos 1 e 2 é preciso mobilizar conhecimentos sobre como determinar o ponto médio de dois pontos dadas suas coordenadas e dispor de conhecimentos sobre o cálculo da distância entre dois pontos e determinação da raiz quadrada aproximada de um número real. Para o exemplo 3 deve-se mobilizar as propriedades de um hexágono regular e dispor de conhecimentos sobre o cálculo da distância entre dois pontos, a determinação do ponto médio de dois pontos dados por suas coordenadas e a aplicação Teorema de Pitágoras. Exemplo 1: nível mobilizável em relação à utilização da fórmula de coordenadas do ponto médio de dois pontos e disponível em relação à utilização da fórmula de distância entre dois pontos e em relação à resolução de raiz quadrada de um número. Exemplo 2: nível mobilizável em relação à utilização da fórmula de coordenadas do ponto médio de dois pontos e disponível em relação à utilização da fórmula de distância entre dois pontos e em relação à resolução de raiz quadrada de um termo algébrico. Exemplo 3: nível mobilizável em relação à propriedades do hexágono e disponível em relação à utilização da fórmula de distância entre dois pontos, à utilização da fórmula de coordenadas do ponto médio entre dois pontos e a aplicação do teorema de Pitágoras. Quadro 08: Grade de análise dos exemplos correspondentes a tarefa 5 TAREFA 6: Determinar as coordenadas do baricentro de um triângulo Exemplo: Figura 20: Exercício correspondente à tarefa 6. Fonte: Iezzi et al, 2006, p

113 Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro numérico; Ostensivos utilizados nos enunciados: representação explicita de ponto em coordenadas Não ostensivos utilizados nos enunciados: noção de ponto, coordenadas do ponto médio de um segmento de reta, noção de distância entre dois pontos e noção de mediana de um triângulo, noção de baricentro. Quadro para solução da tarefa: quadro numérico; quadro algébrico; Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação explicita de ponto em coordenadas; Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico e coordenadas; Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa. Nível técnico para a representação de ponto. Nível mobilizável em relação ao cálculo do ponto médio de dois pontos dados por suas coordenadas e ao cálculo do baricentro de um triângulo cujos pontos são dados suas coordenadas. Quadro 09: Grade de análise dos exemplos correspondentes a tarefa 6 TAREFA 7: Aplicar a condição de alinhamento de três pontos Exemplo 1 Exemplo 2 Figura 21: Exercício correspondente à tarefa 7. Fonte: Dante, 2006, p. 17 Figura 22: Exercício correspondente à tarefa 7. Fonte: Iezzi et al, 2006, p. 16 Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro numérico e quadro algébrico; Ostensivos utilizados no enunciado: representação explicita de ponto em coordenadas (exemplos 1), representação algébrica intrínseca de ponto em coordenadas (exemplo 2); Não ostensivo utilizado no enunciado: noção de ponto, noção de condição de alinhamento de três pontos; Quadro para solução da tarefa: quadro numérico, quadro algébrico; Ostensivo utilizado na solução da tarefa: representação explicita de ponto em coordenadas (exemplo 1), representação algébrica intrínseca de ponto em coordenadas (exemplo 2); Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico e coordenadas; Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: Nos exemplos 1 e 2 é preciso mobilizar conhecimentos sobre a condição de alinhamento de três pontos e dispor de uma técnica para a resolução de determinante de ordem 3. No exemplo 2 deve-se dispor ainda de conhecimentos sobre operações com termos algébricos e das regras para resolver uma equação do primeiro grau. Exemplos 1 e 2: nível mobilizável em relação à condição de alinhamento de três pontos e disponível em relação à resolução de determinantes. Exemplo 2: nível mobilizável em relação às operações com termos algébricos e resolução de equações do primeiro grau. Quadro 10: Grade de análise dos exemplos correspondentes a tarefa 7 114

114 3.4 Tarefas relacionadas ao estudo de Reta As tarefas encontradas para serem desenvolvidas no Ensino Médio em relação à noção de Reta no plano foram: Tarefa 1: Determinar a declividade (coeficiente angular) de uma reta; Tarefa 2: Determinar a equação de uma reta conhecidos um ponto e sua declividade; Tarefa 3: Determinar a equação de uma reta conhecidos dois de seus pontos; Tarefa 4: Articular a noção de equação de uma reta com conceitos geométricos; Tarefa 5: Escrever a equação de uma reta em formas variadas; Tarefa 6: Estudar a posição relativa entre retas no plano; Tarefa 7: Determinar a equação de uma reta conhecida sua posição relativa em relação a outra reta; Tarefa 8: Determinar o ponto de intersecção de retas; Tarefa 9: Determinar a distância de ponto a uma reta; Tarefa 10: Determinar os ângulos formados por duas retas concorrentes; Tarefa 11: Resolver inequações do 1º grau com duas variáveis; Tarefa 12: Determinar a área de uma região triangular; Tarefa 13: Determinar as bissetrizes dos ângulos formados por duas retas. Quadro 11: Tarefas comumente encontradas no Ensino Médio para o estudo de reta. TAREFA 1: Determinar a declividade (coeficiente angular) de uma reta Exemplo 1 Exemplo 2 Figura 23: Exercício correspondente à tarefa 1. Fonte: Dante, 2006, p. 19 Figura 24: Exercício correspondente à tarefa 1. Fonte: Dante, 2006, p

115 Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro numérico; Ostensivos utilizados no enunciado: representação explicita de ponto em coordenadas; representação da tangente de um arco notável (exemplo 2); representação do coeficiente angular de uma reta (exemplos 1 e 2) Não ostensivos utilizados no enunciado: noção de ponto; noção de tangente no triângulo retângulo; noção de valor de tangente de um arco notável; noção de coeficiente angular (declividade) de uma reta; Quadro para solução da tarefa: quadro numérico; Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação explicita de ponto em coordenadas; representação de tangente de um ângulo agudo no triângulo retângulo (exemplo 1); representação da tangente de um arco notável (exemplo 2); Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico e coordenadas; Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: Nos exemplos 1 e 2 é preciso mobilizar conhecimentos sobre como determinar o coeficiente angular de uma reta dados dois de seus pontos em coordenadas. Para o exemplo 1 deve-se dispor ainda das noções de tangente de um ângulo em um triangulo retângulo e de razão entre dois números. No exemplo 2 é preciso dispor dos conceitos de trigonometria e do valor da tangente dos arcos notáveis. Exemplo 1: nível mobilizável em relação à determinação do coeficiente angular de uma reta conhecidos dois de seus pontos e disponível em relação à tangente de um ângulo agudo no triângulo retângulo e em relação à razão entre dois números. Exemplo 2: nível mobilizável em relação à determinação do coeficiente angular de uma reta conhecido seu ângulo de inclinação e disponível em relação ao valor da tangente de arcos notáveis. Quadro 12: Grade de análise dos exemplos correspondentes a tarefa 1 TAREFA 2: Determinar a equação de uma reta conhecidos um ponto e sua declividade Exemplo: Figura 25: Exercício correspondente à tarefa 2. Fonte: Dante, 2006, p

116 Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro numérico; Ostensivos utilizados no enunciado: representação explícita de ponto, representação de tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo; representação funcional de uma reta em IR²; Não ostensivos utilizados no enunciado: noção de ponto; noção de tangente no triângulo retângulo; noção de valor de tangente de um arco notável; noção de coeficiente angular (declividade) de uma reta; noção de equação funcional de uma reta em IR²; Quadro para solução da tarefa: quadro numérico; Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação explícita de ponto, representação de tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo; representação funcional de uma reta em IR²; Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico e coordenadas; Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: nível mobilizável em relação à determinação da representação ou equação funcional de uma reta e disponível em relação à noção de coeficiente angular de uma reta dados dois de seus pontos em coordenadas ou seu ângulo de inclinação, à representação ou equação funcional de uma reta dado um ponto em coordenadas e sua declividade, ao valor da tangente de arcos notáveis, à razão entre dois números e às regras e leis para a solução de equações do primeiro grau. Quadro 13: Grade de análise do exemplo correspondente a tarefa 2 TAREFA 3: Determinar a equação de uma reta conhecidos dois de seus pontos Exemplo 1: Figura 26: Exercício correspondente à tarefa 3. Fonte: Dante, 2006, p. 22 Exemplo 2: Figura 27: Exercício correspondente à tarefa 3. Fonte: Dante, 2006, p

117 Exemplo 3: Figura 28: Exercício correspondente à tarefa 3. Fonte: Dante, 2006, p. 23 Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro numérico; quadro algébrico; quadro geométrico; linguagem natural; Ostensivos utilizados no enunciado: representação explícita de ponto (exemplo 1); representação implícita de ponto (exemplo 3); representação gráfica de reta (exemplo 2); linguagem natural (exemplo 3); representação funcional de uma reta em IR² (exemplos 1, 2 e 3); Não ostensivos utilizados no enunciado: noção de ponto, noção de pontos simétricos em relação à origem do sistema cartesiano ortogonal; noção de coeficiente angular de uma reta; noção de equação da reta conhecido dois de seus pontos; Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação explícita de ponto (exemplo 1), representação gráfica de reta (exemplo 2), representação funcional de uma reta em IR² (exemplos 1 e 2); Quadro para solução da tarefa: quadro numérico; quadro algébrico; quadro geométrico; Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico e coordenadas Ostensivo utilizado na solução da tarefa: representação explicita de ponto em coordenadas (exemplo 1), representação algébrica intrínseca de ponto em coordenadas (exemplo 3); representação gráfica de ponto (exemplos 2). Quadro 14: Grade de análise dos exemplos correspondentes a tarefa 3 Observa-se que os níveis de conhecimento necessário para a solução da tarefa dependem do método utilizado e das noções em jogo nesse mesmo método. Desta forma, observa-se que há três métodos possíveis de resolução da tarefa, a saber: determinante, determinar o coeficiente angular e representação da equação funcional de uma reta, representação de equação funcional e sistema linear. Apresenta-se a seguir os níveis de conhecimento necessários para resolução da tarefa. Método 1 Determinante Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: Nos exemplos 1, 2, 3 é preciso mobilizar a noção de condição de alinhamento de três pontos dados 118

118 por suas coordenadas e dispor de um método para a solução de determinantes de ordem 3 e saber operar com termos algébricos. No exemplo 1, deve-se ainda dispor de conhecimentos sobre a noção de ponto simétrico em relação à origem do sistema cartesiano ortogonal. No exemplo 2, é preciso dispor de conhecimentos sobre conversão da representação geométrica para a representação algébrica explícita de ponto em coordenadas e no exemplo 3, deve-se dispor de conhecimentos sobre como determinar a representação algébrica intrínseca de ponto em coordenadas. Método 2 Determinar o coeficiente angular e representação da equação funcional de uma reta Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: Nos exemplos 1, 2 e 3, é preciso mobilizar conhecimentos sobre a determinação do coeficiente angular de uma reta dados dois de seus pontos em coordenadas e à representação de equação funcional de uma reta, conhecidos um de seus pontos e sua declividade. Para o exemplo 1, deve-se ainda dispor de conhecimentos sobre o simétrico de um ponto em relação à origem do sistema cartesiano ortogonal. No exemplo 2, é preciso dispor ainda de conhecimentos sobre a representação gráfica de um ponto. Para o exemplo 3, deve-se dispor de conhecimentos sobre a determinação da representação algébrica intrínseca de um ponto em coordenadas. Método 3 Representação de equação funcional e sistema linear Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: No exemplos 1, 2 e 3, é preciso mobilizar conhecimentos sobre a representação de equação funcional e dispor de um método de resolução de sistemas de equações lineares. No exemplo 1, deve-se ainda dispor de conhecimentos sobre a noção de simétrico de um ponto em relação à origem do sistema cartesiano ortogonal. Para o exemplo 2, deve-se dispor ainda de conhecimentos sobre a representação gráfica de um ponto no sistema cartesiano ortogonal e para o exemplo 3, é preciso dispor de conhecimentos sobre a representação algébrica intrínseca de um ponto em coordenadas. 119

119 TAREFA 4: Articular a noção de equação de uma reta com conceitos geométricos. Exemplo 1: Exemplo 2: Figura 29: Exercício correspondente à tarefa 4. Fonte: Dante, 2006, p. 25 Exemplo 3: Figura 30: Exercício correspondente à tarefa 4. Fonte: Dante, 2006, p. 27 Figura 31: Exercício correspondente à tarefa 4. Fonte: Dante, 2006, pp. 27 e

120 Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro algébrico; quadro geométrico; Ostensivos utilizados nos enunciados: representação geométrica de ponto (exemplos 1, 2, 3); representação algébrica intrínseca de ponto (exemplos 1, 2, 3); representação gráfica (exemplos 1, 2, 3); Não ostensivos utilizados nos enunciados: noção de ponto (exemplos 1, 2, 3), noção de quadrado (exemplos 1 e 3); noção de paralelogramo (exemplo 2); noção de diagonal de um paralelogramo (exemplo 2); noção de triângulo equilátero (exemplo 3); noção de ponto médio (exemplos 1 e 3), noção de equação funcional de reta em IR² (exemplos 1, 2, 3); Quadro para solução da tarefa: quadro algébrico; quadro geométrico; Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação geométrica de ponto (exemplos 1, 2, 3); representação algébrica intrínseca de ponto (exemplos 1, 2, 3); representação gráfica (exemplos 1, 2, 3); Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico e coordenadas; Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: No exemplos 1, 2 e 3 deve-se mobilizar conhecimentos sobre a representação ou equação funcional de uma reta em IR². No exemplo 1, é preciso dispor de conhecimentos sobre a noção de quadrado e suas propriedades, ponto médio de um segmento e a representação explícita de um ponto em coordenadas. No exemplo 2, deve-se dispor de conhecimentos sobre a noção de paralelogramo e suas propriedades, em particular, as associadas às suas diagonais. No exemplo 3, é preciso dispor de conhecimentos sobre a noção de quadrado e suas propriedades, a noção de triângulo equilátero e suas propriedades, a noção de ponto médio de um segmento e de representação explícita de um ponto em coordenadas. Quadro 15: Grade de análise dos exemplos correspondentes a tarefa 4 TAREFA 5: Escrever a equação de uma reta em variadas representações. Exemplo: Figura 32: Exercício correspondente à tarefa 5. Fonte: Dante, 2006, p

121 Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro algébrico; Ostensivos utilizados nos enunciados: representação segmentária de reta em IR² (exemplo a); representação funcional de reta em IR² (exemplo b); representação cartesiana de reta em IR² (exemplo c): representação paramétrica de reta em IR² (exemplo d); Não ostensivos utilizados nos enunciados: noção de equação segmentária de reta em IR²; noção de equação funcional de reta em IR²; noção de equação cartesiana de reta em IR²; noção de equação paramétrica de reta em IR²; Quadro para solução da tarefa: quadro algébrico; Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação segmentária de reta em IR² (exemplo a); representação funcional de reta em IR² (exemplo b); representação cartesiana de reta em IR² (exemplo c): representação paramétrica de reta em IR² (exemplo d); Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico e coordenadas; Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: nível mobilizável em relação às várias formas de representação de uma equação de uma reta em IR² e disponível em relação à operações algébricas. Quadro 16: Grade de análise dos exemplos correspondentes a tarefa 5 TAREFA 6: Estudar a posição relativa entre retas no plano Exemplo 1 Figura 33: Exercício correspondente à tarefa 6. Fonte: Iezzi et al., 2006, p. 35 Exemplo 2 Figura 34: Exercício correspondente à tarefa 6. Fonte: Dante, 2006, p

122 Exemplo 3 Figura 35: Exercício correspondente à tarefa 6. Fonte: Caderno do Aluno, EM-3ª série, v. 1, 2009, p. 6 Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro algébrico; Ostensivos utilizados nos enunciados: representação cartesiana de reta em IR² (exemplo 1); representação segmentária de reta em IR² (exemplos 2 e 3); representação paramétrica de reta em IR² (exemplo 2); Não ostensivos utilizados nos enunciados: noção de equação segmentária de reta em IR²; noção de equação funcional de reta em IR²; noção de equação cartesiana de reta em IR²; noção de equação paramétrica de reta em IR²; noção de coeficiente angular; noção de posições relativas entre retas no plano; noção de sistema de equações lineares; Quadro para solução da tarefa: quadro algébrico; Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico e coordenadas. Quadro 17: Grade de análise dos exemplos correspondentes a tarefa 6 123

123 Apresenta-se aqui alguns dos possíveis métodos para solução das tarefas seguidos dos ostensivos que permitem manipulá-los, pois em função do método recorre-se a diferentes ostensivos. Observa-se nos exemplos que, dependendo dos conceitos utilizados para a resolução, os ostensivos utilizados e níveis de conhecimento necessários são diferentes. Método 1: passagem da representação cartesiana de uma reta em IR² (exemplo 1) ou segmentária e paramétrica de uma reta em IR² (exemplo 2) para a representação funcional de uma reta e estudar a posição das retas por meio dos seus respectivos coeficientes angulares. Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação cartesiana de reta em IR² (exemplos 1 e 3); representação segmentária e paramétrica de reta em IR² (exemplo 2); representação funcional de reta em IR² (exemplo 3); determinação do coeficiente angular; Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: Para os exemplos 1, 2 e 3, deve-se mobilizar conhecimentos sobre coeficiente angular e posição relativa entre retas. No exemplo 1, é preciso dispor de conhecimentos sobre a passagem de uma representação cartesiana de uma reta em IR² para a representação funcional dessa mesma reta. No exemplo 2, deve-se dispor de conhecimentos sobre a passagem das representações segmentária e paramétrica de uma reta em IR² para as respectivas representações funcional dessas retas. Método 2: resolver um sistema linear formado pelas equações das retas e estudar a posição relativa das retas por meio da solução do sistema. Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação cartesiana de reta em IR² (exemplo 1); representação segmentária e paramétrica de reta em IR² (exemplo 2); representação funcional de reta em IR² (exemplos 1 e 2); Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: No exemplo 1 e 2, deve-se mobilizar um método para solução de um sistema de equações lineares e conhecimentos sobre as diferentes formas de estudar a posição relativa entre elas 124

124 (dependendo de suas representações). No exemplo 2, é preciso dispor ainda de conhecimentos sobre a passagem das representações segmentária e paramétrica de uma reta em IR² para suas respectivas representações cartesianas. TAREFA 7: Determinar a equação de uma reta conhecida sua posição relativa em relação a outra reta Exemplo 1 Figura 36: Exercício correspondente à tarefa 7. Fonte: Dante, 2006, p. 31 Exemplo 2 Figura 37: Exercício correspondente à tarefa 7. Fonte: Iezzi et al., 2006, p. 36. Exemplo 3 Figura 38: Exercício correspondente à tarefa 7. Fonte: Dante, 2006, p

125 Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro número; quadro algébrico; quadro geométrico; Ostensivos utilizados nos enunciados: representação funcional de uma reta em IR² (exemplo 2); representação explícita de ponto (exemplos 1 e 3); representação gráfica de ponto (exemplo 1); Não ostensivos utilizados nos enunciados: noção de ponto; noção de coeficiente angular de uma reta; noção de relação entre os coeficientes angulares de retas paralelas e perpendiculares; noção de equação funcional de reta em IR²; noção de quadrado (exemplo 1); noção de altura de um triângulo (exemplo 3); Quadro para solução da tarefa: quadro numérico; quadro algébrico; quadro geométrico; Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação explícita de ponto (exemplos 1 e 3); representação intrínseca de ponto (exemplo 2); representação geométrica de ponto (exemplo 1); representação funcional de reta em IR² (exemplos 2 e 3); representação numérica de coeficiente angular (todos os exemplos); Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico e coordenadas; Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: Para os exemplos 1,2, é preciso mobilizar a noção de reta paralela a uma reta dada para retas em IR² e no exemplo 3, trata-se de mobilizar a noção de reta perpendicular a uma reta dada para retas em IR² e dispor de conhecimentos sobre a relação de paralelismo e os coeficientes angulares das retas para os exemplos 1 e 2 e a relação de perpendicularidade e entre os coeficientes angulares das retas para o exemplo 3. Para o exemplo 2, deve-se dispor ainda de conhecimentos sobre a representação ou equação funcional de uma reta e um método para determinar a equação de uma reta conhecido um de seus pontos e seu coeficiente angular. No exemplo 1, é preciso dispor de conhecimentos sobre como determinar o coeficiente angular de uma reta dados dois de seus pontos em coordenadas, um método para determinar a equação de uma reta em IR² conhecido um de seus pontos e seu coeficiente angular e a noção de quadrado e suas propriedades. Para o exemplo 3, é necessário dispor ainda, como no exemplo 2, de conhecimentos sobre a representação ou equação funcional de uma reta e um método para determinar a equação de uma reta conhecido um de seus pontos e seu coeficiente angular. Além disso, no exemplo 3, deve-se dispor da noção de triangulo e suas propriedades, em particular, sobre a noção de altura em relação a um dos lados do triângulo. Quadro 18: Grade de análise dos exemplos correspondentes a tarefa 7 TAREFA 8: Determinar o ponto de intersecção de retas Exemplo 1 Exemplo 2 Figura 39: Exercício correspondente à tarefa 8. Fonte: Iezzi et al., 2006, p. 34. Figura 40: Exercício correspondente à tarefa 8. Fonte: Dante, 2006, p

126 Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro algébrico; quadro numérico; Ostensivos utilizados no enunciado: representação funcional de reta em IR² (exemplo 1); representação explícita de ponto (exemplo 2); Não ostensivos utilizados no enunciado: noção de equação funcional de uma reta em IR² (exemplo 1); noção de intersecção de retas (exemplos 1 e 2); noção de baricentro de um triângulo (exemplo 2); noção de mediana de um triângulo (exemplo 2); Quadro para solução da tarefa: quadro numérico; quadro algébrico; Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação funcional de reta em IR² 9exemplos 1 e 2); representação explícita de ponto (exemplo 2); Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico e coordenadas; Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: No exemplo 1, é preciso mobilizar a noção de interseção de retas e dispor de um método de solução de sistemas de equações lineares. Para o exemplo 2, deve-se mobilizar a noção de baricentro de um triângulo e dispor das noções de ponto médio de um segmento cujas extremidades são dadas em coordenadas, de um método para determinar a representação cartesiana ou a representação funcional de uma reta no plano e um método para solução de um sistema de equações lineares. Quadro 19: Grade de análise dos exemplos correspondentes a tarefa 8 TAREFA 9: Determinar a distância de ponto a uma reta Exemplo 1 Figura 41: Exercício correspondente à tarefa 9. Fonte: Dante, 2006, p. 39 Exemplo 2 Figura 42: Exercício correspondente à tarefa 9 Fonte: Dante, 2006, p. 39 Exemplo 3 Figura 43: Exercício correspondente à tarefa 9. Fonte: Gelson et al., 2006, p

127 Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro numérico; quadro algébrico; quadro geométrico; Ostensivos utilizados no enunciado: representação explícita de ponto (exemplo 1); representação intrínseca de ponto (exemplo 3); representação funcional de reta em IR² (todos os exemplos); Não ostensivos utilizados no enunciado: noção de ponto (exemplos 1 e 3); noção de equação funcional de uma reta em IR² (todos os exemplos); noção de distância entre ponto e reta (todos os exemplos); noção de altura de um triângulo (exemplo 1); Quadro para solução da tarefa: quadro numérico; quadro algébrico; quadro geométrico; Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação explícita de ponto (exemplo 1); representação intrínseca de ponto (exemplo 3); representação funcional de reta em IR² (todos os exemplos); Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico e coordenadas; Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: Nos exemplos 1, 2 e 3, é preciso mobilizar conhecimentos sobre como determinar a distância entre ponto e reta no plano e dispor da representação funcional ou equação funcional e representação cartesiana de uma reta no plano. Para o exemplo 1, deve-se dispor ainda da noção de triangulo e suas propriedades, em particular, da noção de altura. No exemplo 2, é preciso dispor de conhecimentos sobre como verificar que um ponto pertence a uma reta e da noção de distância entre retas paralelas. Para o exemplo 3, deve-se dispor de conhecimentos sobre as regras e leis para resolver equações modulares. Quadro 20: Grade de análise dos exemplos correspondentes a tarefa 9 TAREFA 10: Determinar os ângulos formados por duas retas concorrentes Exemplo Figura 44: Exercício correspondente à tarefa 10. Fonte: Iezzi et al., 2006, p. 42. Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro numérico; quadro algébrico; Ostensivos utilizados no enunciado: representação funcional de reta em IR²; Não ostensivos utilizados no enunciado: noção de ponto; noção de aplicação da fórmula de determinação de um ângulo entre retas concorrentes; noção de equação funcional de uma reta em IR²; Quadro para solução da tarefa: quadro numérico; quadro algébrico; Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação funcional de reta em IR²; Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico e coordenadas; Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: Deve-se mobilizar conhecimentos sobre como determinar o ângulo entre retas concorrentes e dispor das noções de coeficiente angular de uma reta, de tangente de um ângulo, de representação funcional ou equação funcional de uma reta em IR² e das regras e leis para resolver equações modulares. Quadro 21: Grade de análise do exemplo correspondente a tarefa

128 Tarefa 11: Resolver inequações do 1º grau com duas variáveis Exemplo 1 Figura 45: Exercício correspondente à tarefa 11. Fonte: Iezzi et al., 2006, p. 40. Exemplo 2 Figura 46: Exercício correspondente à tarefa 11. Fonte: Iezzi et al., 2006, p. 40. Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro geométrico; quadro algébrico; Ostensivos utilizados no enunciado: representação funcional de reta em IR²; representação algébrica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis; representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis; Não ostensivos utilizados no enunciado: noção de equação funcional de uma reta em IR²; noção de inequação do 1º grau com duas variáveis; noção de representação de uma região no plano delimitada por uma inequação do 1º grau com duas variáveis Quadro para solução da tarefa: quadro geométrico; quadro algébrico; Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação funcional de reta em IR²; representação gráfica de uma reta em IR², representação algébrica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis; representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis; Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico e coordenadas; Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: Nos exemplos 1 e 2, é preciso mobilizar o método de resolução de inequações por meio de suas representações gráficas no plano o que conduz a dispor da noção de representação gráfica de uma reta em IR² e de verificação da pertinência de um ponto a uma região do plano. Para o exemplo 2, deve-se ainda dispor de conhecimentos sobre a conversão de uma geométrica de uma reta em IR² para a representação cartesiana ou funcional dessa mesma reta e da conversão da representação de uma região do plano por meio de uma inequação. Quadro 22: Grade de análise dos exemplos correspondentes a tarefa

129 TAREFA 12: Determinar a área de uma região triangular Exemplo 1 Figura 47: Exercício correspondente à tarefa 12 Fonte: Dante, 2006, p. 44 Exemplo 2 Figura 48: Exercício correspondente à tarefa 12. Fonte: Dante, 2006, p. 44 Exemplo 3 Figura 49: Exercício correspondente à tarefa 11. Fonte: Gelson et al., 2006, p

130 Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro numérico; quadro geométrico; quadro algébrico; Ostensivos utilizados no enunciado: representação explícita de ponto; representação implícita de ponto; representação geométrica de ponto; representação gráfica de ponto; representação geométrica de segmento de reta; Não ostensivos utilizados no enunciado: noção de ponto; noção de área de um triângulo conhecido seus vértices; noção de triângulo isósceles; noção de segmento de reta; noção de equação funcional de uma reta em IR²; noção de área de polígonos conhecido seus vértices; Quadro para solução da tarefa: quadro geométrico; quadro algébrico; Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação explícita de ponto; representação implícita de ponto; representação geométrica de ponto; representação gráfica de ponto; representação geométrica de segmento de reta; representação funcional de reta em IR² Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico e coordenadas; Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: Nos exemplos 1 e 2, é preciso mobilizar conhecimentos sobre o cálculo da área de um triângulo cujos vértices são dados por meio da representação de ponto em coordenadas e no exemplo 3, após dividir o polígono em triângulo mobiliza-se o mesmo conhecimento que para os exemplos 1 e 2. Nos exemplos 1 e 3, deve-se dispor da noção de condição de alinhamento de três pontos, de um método para calcular um determinante de ordem 3. Para os exemplos 1 e 2, é preciso dispor ainda das regras e leis para determinara solução de uma equação modular. No exemplo 2, deve-se dispor da representação algébrica de um ponto em coordenadas, da noção de triângulo isósceles e de um método para determinar a representação de uma reta em IR 2 dados dois de seus pontos em coordenadas. Quadro 23: Grade de análise dos exemplos correspondentes a tarefa 12 Tarefa 13: Determinar as bissetrizes dos ângulos formados por duas retas Exemplo Figura 50: Exercício correspondente à tarefa 13. Fonte: Iezzi et al., 2006, p. 47. Aplicação da Grade de Análise Quadro em que a tarefa é enunciada: quadro algébrico; Ostensivos utilizados no enunciado: representação funcional de reta em IR²; Não ostensivos utilizados no enunciado: noção de equação funcional de uma reta em IR²; noção de bissetriz de um ângulo; Quadro para solução da tarefa: quadro algébrico; Ostensivos utilizados na solução da tarefa: representação funcional de reta em IR²; Pontos de vista em relação à noção de ponto: geométrico e coordenadas; Níveis de conhecimento necessários para a solução da tarefa: Nesse caso, é preciso mobilizar conhecimentos sobre a noção de bissetriz do ângulo entre duas retas concorrentes e dispor de conhecimentos das regras de resolução de uma equação do primeiro grau e de como determinar a raiz quadrada de um número real. Quadro 24: Grade de análise do exemplo correspondente a tarefa

131 3.5 Considerações finais Ao analisar os possíveis tipos de tarefas referentes ao estudo de Ponto e Reta no plano num curso de introdução à Geometria Analítica em IR², em livros didáticos e exames vestibulares, observa-se que a importância de se dispor de conhecimentos sobre as noções de Geometria Euclidiana e Álgebra que se espera tenham sido desenvolvidas no Ensino Fundamental. Ressalta-se ainda a importância dos ostensivos gráficos de representação de esquemas, desenhos, gráficos, que, mesmo não sendo pedido explicitamente no enunciado das diferentes tarefas, pode auxiliar os estudantes a planejar e controlar os resultados encontrados na execução da tarefa proposta pelo professor ou encontrada em um determinado material didático ou avaliação. O trabalho que se pode desenvolver por meio das tarefas identificadas acima, além de permitir a introdução de um novo conhecimento, possibilita a articulação das noções desenvolvidas no Ensino Fundamental que passam a ser consideradas como conhecimentos prévios disponíveis. Portanto, a introdução da Geometria Analítica no Ensino Médio permite ampliar os conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental de forma que os mesmos adquiram significado e se tornem mais ricos, mais diferenciados, mais elaborados e, consequentemente, mais estáveis em termos de significado conforme afirma Moreira (2005). Além disso, o desenvolvimento dessa proposta de trabalho vai ao encontro das orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais que, entre outras sugestões, considera a ampliação dos conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental. Sendo assim, cabe ao professor mostrar a importância da articulação entre conhecimentos prévios e novos conhecimentos no desenvolvimento das tarefas de forma a conduzir os estudantes à autonomia. Isso pode ser observado quando os estudantes são capazes de escolher o método que lhes parece mais adequado para executar uma determinada tarefa. Observa-se aqui que as tarefas identificadas acima facilitam o desenvolvimento do topos proposto nos documentos oficiais tanto para professor como para o estudante quando se considera o estudo das noções de ponto e reta no 132

132 plano trabalhando apenas com o ponto de vista cartesiano, isto é, quando não se introduz a noção de vetores enquanto classe de equivalência de bipontos. 133

133 Capítulo 4 ANÁLISE DAS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS EXISTENTES EM LIVROS DIDÁTICOS SOBRE AS NOÇÕES DE PONTO E RETA EM IR² 4.1 Considerações iniciais Utilizado, no Brasil, em geral, como uma das principais fontes orientadoras do ensino, o livro didático tem uma presença marcante em sala de aula, acumulando várias funções, como, por exemplo, a de ser instrumento de intercâmbio professorestudante, inter-relação social e fonte de informações (BRASIL, 2008, p.11). Atualmente, elaborado com base nas orientações dadas por meio dos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2000) e sua adoção incentivada por políticas públicas para a educação, o livro didático representa algumas das possíveis organizações matemáticas e didáticas existentes no processo de ensino e aprendizagem de matemática (BRASIL, 2009, p.11). Diante da importância do livro didático no ensino e aprendizagem de matemática, por sua estrutura quanto ao conteúdo a ensinar, por seus exemplos e exercícios, julga-se adequado um estudo dos saberes institucionais trabalhados em função dos conhecimentos prévios que se supõe disponíveis para os estudantes do Ensino Médio em função da articulação de conhecimentos da forma em que é proposta na grade de análise desenvolvida no capítulo anterior. Sendo assim, por meio do instrumento construído anteriormente que identifica os tipos de tarefas habitualmente encontradas no Ensino Médio quando se introduz às noções de ponto e reta em IR 2, o objetivo da análise das relações institucionais existentes é estudar a ecologia das organizações praxeológicas para essas noções e essa etapa escolar, isto é, identificar a possível vida dos saberes nas instituições. Aqui a noção de ecologia refere-se à análise ecológica de Chevallard (2002) que trata das condições de vida dos saberes nas instituições, isto é, das adaptações e restrições para sua sobrevivência. 134

134 Ou seja, Chevallard (2002) ao introduzir a análise ecológica do saber considera as noções de habitat, que ele define como o(s) lugar(es) onde vivem os objetos matemáticos considerados, nicho, isto é, as funções que esses objetos ocupam em cada um de seus habitats e milieu que o autor identifica como o conjunto de objetos para os quais a relação institucional é estável, não problemática. Sendo assim, o estudo das praxeologias (tipos de tarefas, técnicas, tecnologias e teorias), que se supõe trabalhadas no Ensino Médio, servem para identificar a ecologia desses saberes e os conhecimentos prévios que se espera possam ser pelo menos mobilizados no primeiro ano do Ensino Superior, em particular, nas disciplinas de Geometria Analítica e Álgebra Linear. Observa-se aqui que como afirma Moreira (2005), na interação entre conhecimento prévio e o novo conhecimento, o primeiro fica mais rico, diferenciado e elaborado e adquire mais estabilidade enquanto que o segundo adquire significado. Isso nos auxilia a identificar habitat e nicho das noções estudadas e as possibilidades de poder considerá-las como estável, isto é, conhecimento prévio disponível na transição entre duas etapas escolares. Sendo assim, para identificar como essas organizações podem ser abordadas, escolhem-se inicialmente alguns livros didáticos adotados no terceiro ano do Ensino Médio e, efetua-se uma análise das noções associadas aos conceitos de ponto e reta em IR2 com o intuito de identificar as técnicas, tecnologias e teorias associadas a essa noções. Para tanto, considerou-se as seguintes questões: 1) Quais são os conhecimentos prévios necessários ao estudante, para a introdução das noções associadas aos conceitos de ponto e reta em IR² e como esses conhecimentos são articulados com as novas noções? 2) Quais são as necessidades de articulação em termos de quadros e os níveis de conhecimentos esperados dos estudantes quando se introduz as noções de ponto e reta em IR²? 3) Quais os quadros (numérico, algébrico e geométrico) necessários para o desenvolvimento dessas noções? 4) Quais os ostensivos e não ostensivos privilegiados nas técnicas propostas? 135

135 5) Qual a parte ( topos ) do professor e do estudante no desenvolvimento das tarefas que compõem o curso? 6) Qual o ponto de vista privilegiado no desenvolvimento das noções de ponto de reta em IR² no Ensino Médio quando se consideram os pontos de vista cartesiano e paramétrico definidos por Rogalski? Para responder essas questões utilizou-se a seguinte metodologia: Inicialmente apresenta-se um comentário e análise dos conteúdos desenvolvidos pelos autores levando-se em conta a articulação de quadros, os ostensivos e não ostensivos em jogo, o nível de conhecimento esperado dos estudantes em relação aos conhecimentos prévios e as novas noções a serem introduzidas e os pontos de vista trabalhados e privilegiados. Na sequência, identifica-se teoricamente o que faz parte do trabalho do professor e do estudante considerando que ao topos do professor corresponde à introdução teórica e aos exercícios resolvidos e ao topos do estudante corresponde à resolução dos exercícios propostos. Observa-se que os exercícios resolvidos e propostos estão associados às tarefas apresentadas no capítulo anterior, ou seja, as análises foram efetuadas por meio da identificação dos diferentes tipos de tarefas e das técnicas que lhes são associadas. Sendo assim, para desenvolver esse trabalho, iniciou-se com a escolha dos livros didáticos. Optou-se pelos livros: Matemática, volume 3 (DANTE, 2006); Matemática Ciência e Aplicações, volume 3 (IEZZI et al., 2006); o Caderno do Professor e o Caderno do Aluno para o Ensino Médio, 3ª série, volume 1, elaborados pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo e implementados a partir de A escolha dos cadernos se deve ao fato de que eles representam uma nova proposta curricular que tenta garantir um currículo mínimo comum entre as escolas públicas do estado de São Paulo. A escolha da obra Matemática de Luiz Roberto Dante, na sequência denominado apenas Dante, justifica-se inicialmente por estar presente na relação de livros didáticos publicada pelo Diário Oficial da União em 14 de novembro de 2006 como resultado da avaliação do Livro Didático do Componente Curricular de Matemática e Língua Portuguesa, realizada no âmbito do Programa Nacional do 136

136 Livro para o Ensino Médio - PNLEM (BRASIL, 2006). Observa-se ainda que o livro foi reformulado e reavaliado em 2009, mantendo o mesmo padrão de avaliação. Além disso, na síntese avaliativa da obra, contida no PNLEM, as descrições apresentadas indicam que há uma constante preocupação do autor em articular o conhecimento novo e o já elaborado, retomando conceitos e procedimentos, ou seja, a articulação entre os conteúdos permeia toda a obra. É uma das obras que mais contempla as categorias de análise, ou seja, a seleção, distribuição e abordagem dos conteúdos, sua articulação, sistematização, contextualização, as atividades e a metodologia de ensino e aprendizagem (BRASIL, 2009, pp. 56 e 57). Observa-se ainda que, o autor trata algebricamente as propriedades e elementos geométricos abordando um mesmo problema com diferentes instrumentos matemáticos, apresentando transformações de problemas geométricos em resoluções de equações, sistemas ou inequações, ou seja, a obra contempla as orientações contidas nos PCNEM quanto ao desenvolvimento de competências e habilidades dos estudantes ao introduzir a Geometria Analítica no Ensino Médio. (BRASIL, 2000, p. 124) Quanto ao livro Matemática Ciência e Aplicações de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo e Nilza de Almeida, na sequência denominado apenas Iezzi, a escolha de sua análise deve-se ao fato de ser adotado em algumas escolas particulares de São Paulo mesmo não estando presente na relação de livros do PNLEM. Além de observar os ostensivos e não ostensivos utilizados, as organizações praxeológicas, as articulações de quadros das noções em jogo, pretende-se observar em quais adequações metodológicas, indicadas pelos PCNEM, ele não se enquadra. Já, os Cadernos do Professor e do Aluno para o Ensino Médio, foram escolhidos por estarem em pleno uso pelos professores do Ensino Médio da rede estadual e por apresentarem uma abordagem diferenciada das noções de ponto e reta no plano, em Geometria Analítica, em relação aos livros didáticos. Uma vez delineada a metodologia utilizada para o desenvolvimento desta análise e definido o material didático a ser pesquisado, apresenta-se a seguir o estudo de cada obra individualmente. 137

137 4.2 A obra Matemática - Luiz Roberto Dante (2006) Comentários e análises Ao introduzir o capítulo sobre Geometria Analítica, o autor apresenta uma breve descrição onde procura articular os conhecimentos prévios que supõe disponível com as novas noções a serem desenvolvidas, justificando desta forma, o estudo das mesmas. Na sequência, o autor inicia o estudo de ponto e reta em IR² trabalhando a noção de ponto por meio do conceito de relação biunívoca entre pontos de um plano e o conjunto de pares ordenados de números reais, para isso ele utiliza os ostensivos de: representação algébrica explícita de ponto em coordenada, de representação gráfica e geométrica que se supõe disponíveis. É importante observar que o autor chama a atenção para o fato de que essa relação não é única, mas que ao se considerar o Sistema Cartesiano Ortogonal onde os eixos x e y são ortogonais e sua interseção é denominada origem do sistema, é possível estabelecer uma dessas correspondências. Apesar de supor disponíveis as representações de ponto, o autor explicita a noção de relação biunívoca e de Sistema Cartesiano Ortogonal que já foram trabalhadas no estudo das funções. Após esse trabalho, o autor apresenta diversas situações de distância entre dois pontos por meio do ostensivo de representação gráfica e generaliza os resultados encontrados apoiando-se em conhecimentos prévios dos estudantes sobre o Teorema de Pitágoras, como se pode observar na figura 51. Figura 51: Expressão que indica a distância entre dois pontos. Fonte: Dante, 2006, p

138 Dando continuidade ao desenvolvimento do conteúdo, recorrendo ao Teorema de Tales, suposto como conhecimento prévio do estudante e partindo de um estudo de casos particulares, o autor determina as coordenadas do ponto médio de um segmento articulando a esta noção o conceito de média aritmética. Observa-se ainda que, utilizando a aplicação do Teorema de Tales e a noção de proporcionalidade entre as medidas de um segmento sobre uma mesma reta, o autor generaliza a obtenção das coordenadas de um ponto que divide um segmento dado numa razão qualquer associando essa noção ao conceito de média ponderada. A figura 52 mostra como esse estudo é desenvolvido pelo autor. Figura 52: Coordenadas de um ponto que divide um segmento dado numa razão qualquer. Fonte: Dante, 2006, p. 13 Nota-se aqui a preocupação do autor em articular conhecimentos prévios de geometria euclidiana que se supõe disponíveis quando se introduz novas noções da geometria analítica. Os ostensivos de representação explícita e gráfica de ponto, os não ostensivos ponto médio de segmento, proporcionalidade, média aritmética e ponderada, teorema de Tales são evocados pelo autor e, que por meio de uma sequência de exercícios resolvidos propõe a generalização da divisão de um segmento em partes iguais ou proporcionais. Para efeito de ilustração, apresenta-se, no anexo 3, a articulação entre a noção de mediana de um triângulo da forma como é considerada e representada em geometria euclidiana e as noções de ponto médio e distância entre dois pontos da geometria analítica. Na sequência, o autor introduz a noção de alinhamento de três pontos, considerando como conhecimentos prévios mobilizáveis o teorema de Tales, a noção de determinante de ordem 3 e a noção de colinearidade. Após identificar à 139

139 condição de colinearidade de três pontos por meio do ostensivo de representação matricial, e mostrar que seu determinante é igual a zero, ele utiliza o ostensivo de representação gráfica que permite visualizar que os três pontos determinam uma reta, ou seja, a manipulação desses ostensivos só é possível quando se evocam os não ostensivos que correspondem aos conceitos de colinearidade, matriz, determinante e reta, conforme se pode observar na figura 53: Figura 53: Condição de alinhamento de três pontos. Fonte: Dante, 2006, pp. 15 e

140 O autor passa assim para o estudo de retas no plano. Utilizando o ostensivo de representação gráfica e mobilizando como conhecimento prévio a tangente trigonométrica de um ângulo, ele mantém um discurso sobre a posição de uma reta e o ângulo que a mesma forma com o eixo das abscissas, Isso lhe permite determinar o não ostensivo coeficiente angular (ou declividade) de uma reta, conhecidos dois de seus pontos cujo ostensivo é dado por meio de sua representação algébrica, como se pode observar na figura 54: Figura 54: Determinação do coeficiente angular. Fonte: Dante, 2006, p. 18 e 19 Dando continuidade ao estudo de retas em IR², o autor articula as novas noções, que se supõe já tenham sido trabalhadas no estudo das funções afim, e 141

141 com esse recurso articula a noção de taxa de variação da função com a condição de alinhamento de três pontos, o que lhe permite determinar a equação cartesiana de uma reta no plano ou sua representação para o ponto de vista cartesiano. Certamente ele não utiliza essa nomenclatura. Por meio de um discurso que utiliza a representação gráfica de uma reta em IR² e a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas, o autor associa as noções de tangente do ângulo e inclinação da reta. Essa associação permite considerar uma nova forma de determinar a equação de uma reta, conhecido um de seus pontos P (x 0, y 0 ) e seu coeficiente angular m. A figura 55 ilustra o discurso desenvolvido pelo autor. Figura 55: Equação da reta dado um ponto e coeficiente angular. Fonte: Dante, 2006, p. 20 Observa-se que o autor, por meio do ostensivo de representação gráfica, evoca o não ostensivo de coeficiente angular para generalizar a determinação da 142

142 equação da reta, ou seja, o ostensivo de representação funcional: y y 0 = m(x x 0 ). Para tanto, mobiliza-se à noção de coeficiente angular de uma reta conhecido dois de seus pontos e supõe-se disponível o conceito tangente trigonométrica de um ângulo agudo no triângulo retângulo e razão entre dois números. Para identificação do ponto dado e do coeficiente angular da reta, o autor utiliza as regras e leis do cálculo algébrico para o desenvolvimento de uma equação e determina a representação cartesiana de uma reta no plano. Para tanto, uma articulação entre os quadros geométrico e algébrico se faz necessária, onde os ostensivos de representação geométrica, representação explícita de ponto, representação de tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo; representação funcional de uma reta em IR² são evocados, culminando nos ostensivos de representação de retas, a saber: Representação funcional de uma reta ou equação reduzida de uma reta: r: y = ax + b; Representação segmentária de uma reta: x y r: 1, (a 0 e b 0); a b Representação cartesiana de uma reta ou equação geral da reta: r: ax + by + c = 0; Representação paramétrica de uma reta, onde as coordenadas x e y dos pontos da reta são dados em função de uma terceira variável t (parâmetro), por meio de expressões do 1º grau. x 2t 1 Exemplo: y t 1 Além disso, são apresentadas aplicações e justificativas dessas representações por meio de vários exemplos, exercícios resolvidos e propostos. Dando prosseguimento ao estudo de uma reta no plano, o autor apresenta uma análise das posições relativas de duas retas no plano. Para desenvolver este trabalho, os não ostensivos equação segmentária de uma reta em IR²; equação funcional de uma reta em IR²; equação cartesiana de uma reta em IR²; equação 143

143 paramétrica de um reta em IR²; coeficiente angular; posições relativas entre retas em IR² são utilizados recorrendo-se aos seus respectivos ostensivos de representações. Desta forma, recorrendo ao não ostensivo coeficiente angular de uma reta e aos ostensivos de representação de uma reta nas formas reduzida (y = mx + n) e geral (ax + by + c = 0), o autor articula esses conceitos com o de posição entre retas no plano, isto é, dadas as representações cartesianas ou equação geral de duas retas no plano, o autor estabelece a relação entre seus coeficientes por meio do seguinte discurso: retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular, logo vale a relação: a. a b. b = 0; retas perpendiculares possuem coeficientes angulares inversos e sinais opostos e vale a relação a. a + b. b = 0; retas concorrentes quando nenhuma dessas condições for observada. Observa-se ainda que a noção de sistemas de equações lineares é utilizada pelo autor para determinar as coordenadas do ponto de interseção de retas concorrentes e analisar a posição relativa entre retas no plano. Para determinar a distância entre um ponto e uma reta, o autor utiliza um caso particular que lhe permite empregar um discurso no qual recorre a noções desenvolvidas anteriormente e ao ostensivo de representação gráfica da reta. Recorrendo a noção de perpendicularidade entre retas, interseção de retas e distância entre dois pontos, ele efetua o cálculo da distância entre o ponto dado e um ponto da reta que forma um ângulo reto com a reta determinada por esses dois pontos. Por identificação, o autor considera o caso geral. Observa-se que os não ostensivos em jogo são a distância entre dois pontos, perpendicularidade, sistema de equações lineares, raiz quadrada e potenciação e os ostensivos de representação cartesiana e funcional de uma reta. A figura 56 ilustra o trabalho desenvolvido. 144

144 Figura 56: Distância de ponto a reta. Fonte: Dante, 2006, pp. 37 e 38 O autor introduz ainda a fórmula para a determinação de um dos ângulos formados por duas retas concorrentes. Ele parte do Teorema de Tales e da noção de ângulo opostos pelo vértice. Para estabelecer um discurso coerente e ao considerar os diferentes casos por meio de exemplos particulares, finalmente toma duas retas concorrentes e estabelece um discurso onde estão em jogo os não ostensivos: ângulo, coeficiente angular, perpendicularidade, o teorema que garante que em um triângulo cada ângulo externo é igual a soma dos ângulos internos não adjacentes, a noção de tangente e a propriedade da tangente da diferença de ângulos. O desenvolvimento algébrico é ilustrado por meio do ostensivo de 145

145 representação gráfica das retas onde são assinalados os ângulos. Supõe-se assim que a identificação do teorema possa ser mobilizada por meio da representação gráfica. Isso conduz a fórmula tg = m1 m2 1 m m 1 2 quando é um ângulo agudo. Em seguida, o autor utiliza um discurso onde relaciona conhecimentos de geometria euclidiana e de geometria analítica que serão mobilizados para determinar a fórmula de cálculo da área de um triângulo dados seus vértice, como se observa na figura 57: Figura 57: Área do triângulo. Fonte: Dante, 2006, p. 42 Na sequência, um caso particular é apresentado como exemplo para a articulação de conhecimentos proposta acima e o autor considera a fórmula S = 1 2 x x x y y y que ele justifica com um discurso que articula a noção de condição de alinhamento de três pontos e a noção de triângulo. Finalizando o capítulo sobre pontos e retas em IR², o autor apresenta uma série de tarefas resolvidas onde se desenvolve a articulação entre as noções trabalhadas em Geometria Analítica e as suas noções correspondentes em Geometria Plana, como se pode observar no exemplo apresentado no anexo 4. Observa-se, assim, a preocupação do autor em articular conhecimentos que colocam em jogo os conhecimentos prévios dos estudantes. A busca pela compreensão das novas noções trabalhadas e do desenvolvimento de fórmulas a partir de conhecimentos prévios está presente em todos os momentos da obra, além 146

146 dos inúmeros exercícios resolvidos apresentados e a atenção dada no sentido de utilizar metodologias e estratégias propostas nos Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1998). A utilização de mudança de quadros também é observada como um fator relevante no livro. O autor, ao trabalhar com os não ostensivos pontos e retas, utiliza os quadros numérico, algébrico e geométrico, mobiliza os ostensivos de representação explícita, intrínseca e de representação geométrica e gráfica constantemente. Essa articulação entre quadros, das noções em jogo, propicia um amplo desenvolvimento do conteúdo, conduzindo o estudante à discussão e dedução das fórmulas de modo a adquirir os novos conceitos necessários para o aprendizado do conteúdo desejado. Dessa forma, o trabalho desenvolvido no livro é centrado nos ostensivos de representação explícita, intrínseca, gráfica e geométrica no sistema cartesiano ortogonal e mesmo se o autor não utiliza explicitamente essas denominações, foi possível mostrar que, em geral, ele faz apelo a um discurso tecnológico para justificar as representações utilizadas, as conversões de representações necessárias e a articulação das noções de pontos e retas, mais especificamente, nos quadros da geometria euclidiana e da geometria analítica. Quanto aos exercícios resolvidos e propostos, o autor espera que os estudantes disponham de conhecimentos sobre geometria euclidiana, trigonometria, cálculo algébrico e resolução de sistemas lineares, que se supõe tenham sido trabalhados nas séries anteriores, considerados pelo autor como conhecimentos prévios disponíveis. Sendo assim, os exercícios resolvidos, ou seja, a parte correspondente ao topo do professor permite um trabalho em função dos níveis de conhecimento esperados, ou seja, níveis técnico, mobilizável e disponível conforme definição de Robert (1997). Quanto aos pontos de vista cartesiano e paramétrico, observa-se que o trabalho desenvolvido privilegia o ponto de vista cartesiano uma vez que não se introduz a noção de vetor, mesmo sendo essa proposta em apêndice quando do estudo dos sistemas de equações lineares, no volume

147 Como ilustração do exposto acima, apresenta-se um exemplo no anexo 4. Desta forma, o trabalho desenvolvido no livro torna-se mais simples, pois é possível estabelecer um discurso que descreve, explica e justifica a aplicação das noções estudadas tendo em vista todas as possibilidades de tratamento de suas representações. Mas, para melhor compreender como este trabalho é desenvolvido pelo autor, é apresentada uma análise mais detalhada das tarefas resolvidas e propostas ressaltando as partes que correspondem ao topos do professor e do estudante; os quadros em que as tarefas são enunciadas e os utilizados para sua solução; os ostensivos usados nos enunciados e na resolução das tarefas; os não ostensivos em jogo na tarefa e os níveis de conhecimentos necessários para a solução das mesmas A parte do professor e a parte do estudante nas tarefas Para esta análise, construiu-se inicialmente uma tabela contendo as quantidades de tarefas que compõem a parte do trabalho do professor (topos do professor) e a parte do estudante (topos do estudante) e suas respectivas porcentagens, partindo da grade de análise desenvolvida no capítulo anterior e das tarefas usuais identificadas por meio dessa grade. Além disso, são observadas as necessidades em termos de ostensivos e não ostensivos e da própria aplicação da noção de ponto e reta no plano, tanto para o trabalho suposto como do professor quanto para o do estudante. Sendo assim, apresentam-se a seguir a tabela de tarefas relativas ao estudo de ponto e reta em IR² e alguns comentários. Tabela 1- Tarefas relativas ao estudo de ponto Tarefas Resolvidas Tarefas Propostas Tarefas Quantidade % Quantidade % Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Total Fonte: Livro: Matemática, Luiz Roberto Dante,

148 Observa-se inicialmente que o autor considera que o estudante já tenha adquirido, nesta etapa, a noção de ponto e sua representação em IR² no plano cartesiano visto que as tarefas 1 e 2 não são trabalhadas mas, solicitadas dos estudantes. As tarefas 3 e 4, que representam 22% das tarefas resolvidas e 35% das tarefas propostas, se destinam ao estudo de distância entre dois pontos e a articulação entre essa noção e conceitos de geometria plana. Isso mostra a importância dessa articulação no desenvolvimento da geometria analítica no plano. Nota-se que os exercícios resolvidos são apresentados pelo autor, como possíveis estratégias a serem utilizadas pelo professor, ou seja, um recurso que o autor disponibiliza para o professor empregar no ensino e aprendizagem das novas noções a ser introduzidas. Já a tarefa 5 (determinar as coordenadas do ponto médio de um segmento), é a tarefa em que o autor atribui um maior trabalho ao professor, 45%. Para o desenvolvimento dessa tarefa, o professor deverá evocar os ostensivos de representação explícita, implícita e gráfica de ponto e, mais especificamente, os não ostensivos ponto médio, mediana de um triângulo, proporcionalidade entre segmentos, propriedades de polígonos da geometria plana. Observa-se assim que o autor recorre a uma constante articulação dos quadros da geometria euclidiana plana e da geometria analítica, com as noções de geometria euclidiana plana funcionando como conhecimentos prévios disponíveis para o desenvolvimento do trabalho proposto, isto é, para a mudança de ponto de vista representada pelo tratamento dessas mesmas noções por meio das ferramentas algébricas encontradas em geometria analítica. Além dessa articulação, o professor deverá mobilizar os conhecimentos disponíveis do estudantes relativos ao cálculo de raízes quadradas e operações com números na forma fracionária, proporcionalidade, funções afim e trigonométricas, propriedades trigonométricas. A tarefa 7, que corresponde à condição de alinhamento de três pontos, é apresentada como um recurso à introdução do estudo da reta no plano. Nesse caso, em relação ao topos do professor observa-se que se privilegia as tarefas que 149

149 trabalham a articulação entre os conhecimentos matemáticos de geometria plana desenvolvidos durante as etapas escolares anteriores e os novos conhecimentos que correspondem à descrição algébrica das noções que constituem esses conhecimentos. Em relação ao topos do estudante, nota-se que o autor apresenta uma coerência entre a escolha de tarefas para o professor e para o estudante visto que estas são apresentadas em proporcionalidades praticamente iguais e também privilegiam as articulações entre as novas noções e os conhecimentos prévios que se supõe disponíveis em relação ás noções de geometria plana e álgebra. Feita a análise das tarefas sobre o estudo da noção de ponto no plano, apresenta-se a seguir a tabela de tarefas relativas ao estudo da noção de reta no plano. Tabela 2- Tarefas relativas ao estudo de reta Tarefas Resolvidas Tarefas Propostas Tarefas Quantidade % Quantidade % Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Total Fonte: Livro: Matemática, Luiz Roberto Dante, 2006 Ao verificar o número e porcentagem de tarefas resolvidas (topos do professor), nota-se que o autor dá ênfase às tarefas 2, 3, 4 e 5 ( 51% ) destinadas a determinação da equação de uma reta no plano. Isso indica mais uma vez a preocupação do autor em disponibilizar diferentes estratégias para o professor introduzir uma mesma noção e novas noções. 150

150 Observa-se assim que, o não ostensivo reta em IR² é evocado em diversos exemplos que viabilizam o trabalho de mudança de quadros, de articulação entre as geometrias euclidiana plana e analítica e de manipulação dos ostensivos de representação explícita, intrínseca e de representação geométrica, gráfica e algébrica de pontos e retas. No que se refere ao topos do estudante, a ênfase é dada às tarefas relacionadas às representações de retas no plano, pois essas correspondem à 39% do trabalho que se supõe ser realizado pelos estudantes. Nas tarefas 7 e 8, correspondentes ao estudo da posição relativa entre retas no plano, mesmo que o número de tarefas resolvidas (21%) e propostas (23%) seja proporcional, pode-se considerar que existe uma discrepância entre o número de tarefas destinadas ao professor (3%) e ao estudante (13%) quanto à determinação do ponto de intersecção entre retas. Isso se justifica porque no volume 2, o autor já trabalhou com essa interseção quando do desenvolvimento dos sistemas de equações lineares, isto é, trata-se de um conhecimento suposto disponível tanto em relação ao estudo algébrico como gráfico dos sistemas 2x2 que é introduzido no Ensino Fundamental e revisitado no Ensino Médio. Para a tarefa 12, que consiste em determinar a área de regiões triangulares, o trabalho é deixado a cargo dos estudantes que devem articular seus conhecimentos de geometria plana para determinar áreas de diferentes regiões do plano representadas por certo número de triângulos. Observa-se ainda que as tarefas relativas à determinação dos ângulos formados por duas retas concorrentes; resolução de inequações do 1º grau com duas variáveis e determinação das bissetrizes dos ângulos formados por duas retas, de números 10, 11 e 13 respectivamente, não são discutidas explicitamente pelo autor em sua obra. Finalizando a análise das tarefas, conclui-se que em sua obra, Dante (2006) apresenta situações que criam condições para o desenvolvimento autônomo dos estudantes, isto é, a obra atende seu principal objetivo que é dar meios para que os estudantes possam aperfeiçoar e aplicar seus conhecimentos. 151

151 4.3 A obra Matemática: Ciência e Aplicações - Iezzi et al. (2006) Comentários e análises Os autores dedicam dois capítulos do livro, no volume 3, para trabalhar as noções de ponto e reta em IR² sendo o capítulo 1 destinado ao estudo do ponto e o capítulo 2 ao estudo da reta. O estudo da noção de ponto em IR² é iniciado por meio do ostensivo de representação algébrica intrínseca de ponto em coordenadas e sua correspondência com a noção de ponto que é considerada como um ente geométrico primitivo, que se supõe disponível, ou seja, os autores articulam a nova representação com a noção que se supõe já tenha sido introduzida nos anos anteriores na disciplina de Geometria Euclidiana Plana. A noção de Sistema Cartesiano Ortogonal é introduzida neste início de capítulo por meio dos ostensivos de representação intrínseca dos eixos orientados (eixo x das abscissas e eixo y das ordenadas), sua posição relativa (ortogonalidade) e sua interseção denominada origem do sistema (ponto O), possibilitando assim a definição dos quatro quadrantes que dividem o plano e que permitem diferenciar a posição das coordenadas dos pontos no plano. Para indicar como se manipulam esses ostensivos, os autores utilizam um discurso em os não ostensivos, eixos, ortogonalidade, ponto e quadrantes devem ser mobilizados. Observa-se ainda, a necessidade de mobilizar a noção de bissetriz para definir as noções de primeira bissetriz e segunda bissetriz no plano cartesiano, sem que nenhum ostensivo de representação seja utilizado para representá-las, ou seja, implicitamente supõe-se que o estudante disponha da noção de função afim e sua representação gráfica no plano cartesiano, conforme figura

152 Figura 58: Plano Cartesiano. Fonte: Iezzi et al., 2006, p. 9 Os autores mostram implicitamente por meio da representação gráfica dos quadrantes e das bissetrizes as relações entre o primeiro e terceiro quadrantes e segundo e quarto quadrantes, pois o produto das coordenadas dos pontos são positivos e negativos em função da relação das bissetrizes, ou seja, a bissetriz y = x corresponde ao produto positivo e a bissetriz y = -x corresponde ao produto negativo. Nesse caso, cabe ao professor explicitar a articulação entre os diferentes conceitos matemáticos em jogo que são supostos disponíveis e concluir que as coordenadas dos pontos são ambas positivas e negativas para o primeiro e terceiro quadrantes respectivamente e negativa e positiva e positiva e negativa no segundo e no quarto quadrantes respectivamente, uma vez que a questão dos sinais se visualiza por meio da figura 58. Após a introdução da noção de coordenadas de pontos no Sistema Cartesiano Ortogonal, os autores identificam um ponto do primeiro quadrante por meio de um exemplo e apresentam um conjunto de tarefas propostas, deixando a cargo dos estudantes a explicitação dos conceitos e propriedades associados à noção de coordenadas de pontos, que serão manipulados pelos diferentes ostensivos de representação incluindo a representação em língua natural. A necessidade de articulação entre os conceitos da Geometria Euclidiana Plana e da Geometria Analítica em IR² é observada para a resolução das tarefas propostas, pois, essas dependem de seus conhecimentos prévios, logo cabe a cada professor identificar quais são os conhecimentos necessários para resolução das tarefas e a partir dessa análise redimensionar seu trabalho e o dos estudantes. 153

153 Para a definição de distância entre dois pontos, os autores consideram a representação gráfica de dois pontos no sistema cartesiano ortogonal que funciona como ferramenta visual para o discurso utilizado. Nesse caso, os não ostensivos evocados são: Teorema de Pitágoras, triângulo retângulo, distância, quadrado da diferença e variação de abscissas e ordenadas. Para manipular os não ostensivos são empregadas as representações geométrica e coordenadas de pontos, como pode-se verificar na figura 59. Figura 59: Expressão que indica a distância entre dois pontos. Fonte: Iezzi et al., 2006, pp. 10 e 11 Na sequência, os autores exemplificam a aplicação da fórmula de distância entre dois pontos. Para tanto, o ostensivo de representação gráfica é usado para descrever os dados da tarefa e como representação visual de apoio aos cálculos. Os conhecimentos prévios supostos disponíveis são as operações e propriedades dos números reais incluindo a potenciação e radiciação como se observa na figura 60. Figura 60: Exemplo de tarefa sobre distância entre dois pontos.. Fonte: Iezzi et al., 2006, p

154 Após esse trabalho, é apresentado um conjunto de tarefas propostas para o estudante, ficando a cargo destes a aplicação e articulação da noção de distância entre dois pontos e noções da geometria Euclidiana. Para efeito de ilustração, apresenta-se um exemplo no anexo 5. Na sequência, apoiando-se no não ostensivo semelhança de triângulos, suposto como conhecimento prévio do estudante, os autores recorrem aos ostensivos de representação algébrica e gráfica de ponto e assim determinam as coordenadas do ponto médio de um segmento (figura 61). Figura 61: Coordenadas do ponto médio. Fonte: Iezzi et al., 2006, pp. 12 e 13 Nos exemplos apresentados pelos autores, encontra-se a aplicação da fórmula de determinação das coordenadas do ponto médio de um segmento sem articulação com noções de geometria plana. Acredita-se que os autores deixam a cargo dos professores e estudantes a aplicação e articulação desse novo 155

155 conhecimento com os conhecimentos prévios necessários, o que lhes permite escolher os ostensivos adequados para a manipulação das possíveis técnicas que devem ser descritas, explicadas e justificadas por meio de um discurso que evoque os não ostensivos em jogo na solução. Na figura 62, observa-se que, na solução proposta pelos autores, não basta apenas conhecer a fórmula e aplicá-la. É necessário dispor de conhecimentos sobre a identificação das coordenadas de um ponto, as representações explícita e gráfica de pontos e as operações com números reais. Certamente, a explicitação dos ostensivos e não ostensivos fica a cargo do professor que deve auxiliar os estudantes a utilizarem seus conhecimentos e serem capazes de planejar, executar, justificar e controlar o trabalho matemático desenvolvido. Figura 62. Exemplo de tarefa sobre coordenadas do ponto médio. Fonte: Iezzi et al., 2006, p.13 Quanto às tarefas propostas, referentes a esse tópico, pode-se notar que, para determinar suas soluções, é necessário dispor dos não ostensivos triângulo, mediana, quadriláteros e suas propriedades, mediatriz de um segmento definidos em geometria euclidiana plana e divisão de segmentos em partes proporcionais, de forma a manipular os ostensivos associados à noção de ponto introduzidos em Geometria Analítica. Exemplificando o exposto, apresentam-se duas tarefas propostas pelos autores no anexo 6. Finalizando o capítulo sobre o estudo do ponto no plano, os autores introduzem a noção de alinhamento de três pontos, considerando como conhecimentos prévios mobilizáveis as noções de semelhança entre triângulos e colinearidade e um método de cálculo de determinante de ordem 3. Após considerar a condição de colinearidade de três pontos por meio do ostensivo de representação 156

156 gráfica, que permite visualizar a semelhança entre triângulos, evoca-se a proporcionalidade entre seus lados manipulada por meio dos ostensivos de representação geométrica e de coordenadas de ponto. Esse trabalho permite encontrar uma relação entre esses três pontos e que os autores associam ao ostensivo de representação determinante de três pontos para facilitar a escrita. Na figura 63, pode-se acompanhar o discurso empregado pelos autores para formular a condição de alinhamento de três pontos dados por meio do ostensivo de representação em coordenadas. Observa-se ainda que, os autores ressaltam a importância da ordem dos pontos, o que na realidade corresponde a uma propriedade dos determinantes. Figura 63: Condição de alinhamento de três pontos. Fonte: Iezzi et al., 2006, pp.14 e 15 Na sequência, os autores apresentam exemplos e tarefas em que não basta apenas aplicar a fórmula, mas é preciso articular esse novo conhecimento com conhecimentos prévios de geometria euclidiana plana que, dependendo da tarefa, 157

157 são considerados disponíveis ou mobilizáveis como se pode observar no exemplo da figura 64. Figura 64: Tarefa sobre condição de alinhamento. Fonte: Iezzi et al., 2006, p.16 Observa-se que para a solução da tarefa 63, é preciso dispor de conhecimento sobre representação gráfica de ponto no sistema cartesiano ortogonal, representação algébrica da reta bissetriz dos quadrantes pares e condição de alinhamento de três pontos. Observa-se assim que no trabalho desenvolvido para introduzir as noções associadas ao conceito de ponto os autores utilizam frequentemente os ostensivos de representação explícita, intrínseca, gráfica e geométrica de ponto no sistema cartesiano ortogonal e constantemente empregam um discurso tecnológico para descrever, explicar e justificar as representações utilizadas e as propriedades evocadas particularmente quando necessitam articular conhecimentos nos quadros numérico, algébrico e geométrico. Sendo assim, é preciso estar atento à necessidade de identificar conhecimentos prévios e revisitá-los propondo tarefas que exigem que se disponha ou mobilize esses mesmos conhecimentos. Finalizada a pesquisa sobre o estudo de ponto no plano, passa-se a apresentar a análise do capítulo 2 do livro, dedicado ao estudo das retas em IR². Antes de iniciar o estudo sobre retas no plano, os autores apresentam um breve resumo sobre a vida e a obra do filósofo René Descartes ( ) e a criação da Geometria Analítica. Para introduzir o estudo das retas em IR², os autores recorrem a um discurso tecnológico em relação à representação de uma reta por meio de uma equação. Para tanto, consideram o axioma de determinação de uma reta da geometria euclidiana e o principio que associa direção e um dos pontos da reta como se pode observar na figura

158 Figura 65: Representação de reta dado um ponto e a direção. Fonte: Iezzi et al., 2006, p. 22 É a partir dessas considerações que os autores introduzem os ostensivos de representação funcional e cartesiana de uma reta em IR² que eles denominam forma reduzida e geral. A equação reduzida ou representação funcional é feita considerando uma reta crescente que forma um ângulo com o eixo x. Evocando o não ostensivo tangente e manipulando por meio do ostensivo tangente de um triângulo retângulo, determina-se a ordenada y em função da abscissa x. Nesse caso, não é feita nenhuma observação sobre a questão da reta paralela ao eixo y, isto é, quando os dois pontos têm a mesma abscissa. A figura 66 ilustra o discurso utilizado pelos autores. 159

159 Figura 66: Equação reduzida de uma reta. Fonte: Iezzi et al., 2006, p.23 Mas, na sequência observa-se a necessidade de um discurso justificativo que explicita o papel dos coeficientes da equação reduzida ou representação funcional de uma reta em IR². Sendo assim, por meio do ostensivo de representação gráfica, justifica-se também os casos particulares das retas paralelas aos eixos x e y, mostrando por meio da noção de tangente que é impossível determinar a representação funcional de uma reta paralela ao eixo y. Observa-se aqui que o ostensivo de representação gráfica é o único apoio ao discurso utilizado pelos autores que não articulam a noção de reta em IR² com a noção de função afim. A figura 67 ilustra o caminho escolhido pelos autores para explicitar os diferentes casos e o papel dos coeficientes. 160

160 Figura 67: Coeficiente angular de uma reta. Fonte: Iezzi et al., 2006, p.23 Para introduzir a equação geral de uma reta em IR 2 ou representação cartesiana, os autores, com base na representação gráfica, consideram a condição de alinhamento de três pontos e desenvolvem o determinante. Figura 68: Equação geral da reta. Fonte: Iezzi et al., 2006, p.25 e

161 Na figura 68, é possível visualizar os ostensivos manipulados nessa passagem assim como os não ostensivos evocados, o que corresponde à passagem da representação determinante para a representação cartesiana que, em geral, é denominada equação geral da reta. Na sequência, os autores comparam os ostensivos de representação de uma reta em IR 2 nos quadros geométrico e funcional e consideram a noção de feixe de retas concorrentes, mostrando por meio de um caso particular que elas passam por um mesmo ponto e têm coeficientes angulares diferentes, como se pode observar no anexo 7. Dando continuidade, os autores consideram as representações de uma reta em IR 2 nas formas segmentária e paramétrica a partir de sua representação gráfica e das noções de colinearidade de três pontos e função afim. Esse trabalho é feito por meio de exemplos de casos particulares nos quais os autores empregam as regras e leis associadas ao cálculo determinante de ordem 3 e ao cálculo algébrico e dão diferentes nomes para as diferentes formas de representação. A passagem é feita seguindo a ordem representação determinante (equação geral), representação funcional (equação reduzida), representação segmentária (equação segmentaria), representação paramétrica (equação paramétrica) como se pode observar no anexo 8. Na sequência, os autores introduzem a noção de coordenadas do ponto de interseção de retas concorrentes. Nesse momento, é preciso dispor uma técnica para resolução de sistemas de equações lineares com apenas duas incógnitas. Isso permite ampliar os conhecimentos dos estudantes que já devem ter estudado os sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas representados por suas equações ou por suas representações gráficas. A condição de paralelismo entre retas é apresentada por meio de suas representações gráfica e funcional, o que permite justificar que se elas têm o mesmo coeficiente angular, por formarem ângulos iguais com o eixo das abscissas, possuem o mesmo coeficiente angular. A noção de tangente é evocada e manipulada, pelos autores, para justificar quando duas retas são paralelas utilizando apenas seus coeficientes, acrescentando 162

162 o estudo de um caso particular em que as retas são verticais, como se pode observar na figura 69. Figura 69: Paralelismo entre retas. Fonte: Iezzi et al., 2006, p.34 Para introduzir a condição de perpendicularidade entre retas, os autores utilizam o ostensivo de representação gráfica de duas retas perpendiculares no sistema cartesiano ortogonal e por meio da relação entre a tangente e a cotangente do ângulo que as retas formam como eixo das abscissas e a noção de coeficiente angular deduzem a relação entre esses coeficientes. Observa-se aqui que os autores recorrem ao quadro da trigonometria para estabelecer um discurso que descreve, explica e justifica o trabalho matemático em jogo. Além disso, eles observam a relação entre retas perpendiculares e as direções horizontal e vertical que correspondem a ostensivos gestuais associados à representação gráfica de uma reta em IR 2. Na figura 70, é possível observar a necessidade do discurso tecnológico e dos não ostensivos e ostensivos empregados. 163

163 Figura 70: Perpendicularidade entre retas. Fonte: Iezzi et al., 2006, p.36 Na sequência, os autores disponibilizam, por meio de exemplos, um estudo sobre determinação de semiplanos, como se observa na figura 71. Figura 71: Exemplo de tarefa sobre inequação. Fonte: Iezzi et al., 2006, p

164 Para desenvolver esse trabalho, os autores recorrem ao conceito da geometria onde uma reta divide o plano em duas regiões denominadas semiplanos e articulam essa noção com a solução gráfica de inequações do 1º grau com duas variáveis. Esse exemplo retoma o estudo das inequações lineares que, em geral, é desenvolvido no primeiro ano do Ensino Médio, portanto aqui se observa uma proposta de revisitar conhecimentos prévios articulando-os com novos conceitos, o que segundo Moreira (2005), permite que o novo conhecimento adquira significado enquanto que o conhecimento prévio se torna mais rico, mais diferenciado, mais elaborado em termos de significado, adquirindo mais estabilidade. Observa-se que este trabalho requer uma mudança de quadros, ou seja, transpor os dados do quadro algébrico para o quadro geométrico o que é pouco trabalhado no desenvolvimento proposto pelos autores, exigindo assim que professores e estudantes fiquem atentos e procurem novos meios para sanar as possíveis dificuldades encontradas. Dando continuidade ao estudo das retas em IR 2, os autores apresentam a determinação do ângulo agudo formado entre retas concorrentes e não perpendiculares entre si. Recorrendo, mais uma vez, ao ostensivo de representação gráfica de uma reta em IR 2 e evocando os não ostensivos de ângulos opostos pelo vértice; teorema do ângulo externo; tangente de um arco; tangente da diferença de arcos, determinam a tangente do ângulo agudo formado por retas concorrentes. Articulando as noções de tangente e coeficiente angular de uma reta a fórmula de obtenção do ângulo formado por duas concorrentes em IR 2 é determinada. O desenvolvimento algébrico é ilustrado por meio do ostensivo de representação gráfica das retas onde são assinalados os ângulos. Supõe-se assim que a identificação do teorema possa ser mobilizada por meio da representação gráfica. Isso conduz a fórmula tg = se pode observar na figura 72. m1 m2 1 m m 1 2 quando é um ângulo agudo, como 165

165 Figura 72: Ângulo entre retas concorrentes. Fonte: Iezzi et al., 2006, p.41 Para determinar a distância entre um ponto e uma reta, os autores mobilizam os conhecimentos da geometria plana sobre as noções de perpendicularidade e suas propriedades; triângulo e suas propriedades, em particular, altura de triângulos; retas tangentes a uma circunferência; distância entre dois pontos que serão os não ostensivos evocados no discurso que descreve, explica e justifica o trabalho matemático realizado. Para calcular a área de um triângulo, conhecido seus vértices, os autores recorrem à noção de área da geometria euclidiana plana, calculam base e altura de um triângulo representado num sistema cartesiano ortogonal, evocam a noção de distância entre ponto e reta, articulam essas noções determinando assim, a área do triângulo. O discurso empregado pelos autores pode ser visualizado na figura

166 Figura 73: Área do triângulo. Fonte: Iezzi et al., 2006, p.44 e 45 Finalizando o capítulo sobre o estudo de retas em IR², os autores apresentam a determinação das equações das bissetrizes dos ângulos formados entre duas retas. Para tanto, recorrem à noção de equidistância de ponto a duas retas e deduzem a fórmula que permite a determinação das retas bissetrizes. Observa-se, na obra, que os autores utilizam as diferentes representações de retas consideradas no capítulo 4 assim como a articulação de quadros, em particular os quadros da geometria euclidiana plana e o da geometria analítica. Esse trabalho exige a articulação coerente de diversos conhecimentos que levou os autores a propostas em que se verifica a utilização de conhecimentos prévios supostos disponíveis. Portanto, as articulações propostas permitem enriquecer conhecimento prévios e ampliá-los. 167

167 Mas, existe ainda a possibilidade de novas articulações que dependem dos diferentes grupos de estudantes e que ficam a cargo do professor e das respectivas exigências institucionais. Sendo assim, com o intuito de melhor compreender como este trabalho é desenvolvido pelos autores e dando continuidade a análise da obra, se apresenta, na sequência, as partes que correspondem ao topos do professor e do estudante A parte do professor e a parte do estudante nas tarefas Para efetuar a análise das tarefas apresentadas no livro em estudo, observase que, esta seguirá os moldes da análise dedicada ao livro Matemática, volume 3 (Dante, 2006), ou seja, duas tabelas de tarefas são construídas, sendo uma destinada ao estudo de ponto, a outra ao estudo da reta em IR 2 e alguns comentários são acrescentados. Sendo assim, apresenta-se a seguir o quadro relativo ao estudo de ponto no plano. Tabela 3 - Tarefas relativas ao estudo de ponto Tarefas Resolvidas Tarefas Propostas Tarefas Quantidade % Quantidade % Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Total Fonte: Livro: Matemática: Ciência e Aplicações, Iezzi et al., 2006 Ao analisar o quadro acima, considera-se que os autores priorizam o trabalho do estudante, uma vez que temos mais tarefas propostas que resolvidas. Apesar de ser compreensível, pois o livro didático é um material destinado aos 168

168 estudantes, é preciso lembrar que a forma de análise foi teoricamente definida podendo variar para os diferentes grupos de professores e estudantes. Observa-se inicialmente que, assim como Dante (2006), os autores consideram que os estudantes já dispõem da noção de ponto e sua representação no sistema cartesiano ortogonal, visto que as tarefas 1 e 2 são apenas solicitadas dos estudantes. Em relação às tarefas 3, 4 e 5, que correspondem a 63% das tarefas propostas, os exercícios resolvidos apresentam uma aplicação direta das fórmulas de distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento enquanto que, as tarefas propostas aos estudantes exigem articulações entre noções de geometria euclidiana plana e geometria analítica. Sendo assim, o estudante deve mobilizar diversos conceitos para que possa articular as novas noções e seus conhecimentos prévios de geometria euclidiana plana que aqui se supõe tenham sido trabalhados no Ensino Fundamental. Assim, como na obra analisada anteriormente, a determinação das coordenadas do baricentro de um triângulo, tarefa 6, não é trabalhada pelos autores. Já a tarefa 7, é a tarefa em que os autores atribuem um maior trabalho ao professor (37%), mas os 20% deixados a cargo dos estudantes são representativos. Observa-se assim que, há a necessidade de um discurso tecnológico sobre a utilização dos diferentes ostensivos de representação e dos não ostensivos da geometria plana e da álgebra. Cabe, portanto ao professor verificar quais articulações entre as geometrias são necessárias, quais conhecimentos prévios devem ser mobilizados e disponibilizados pelos estudantes, quais os ostensivos necessários para a solução das tarefas de forma a estabelecer um discurso coerente para os diferentes grupos que trabalham. Desta forma, no conjunto de tarefas propostas, aparecem problemas que podem ser considerados como motivadores para a introdução das noções em jogo, mas, exigem conhecimentos prévios de geometria euclidiana plana para que se visualizem as propriedades a serem empregadas em suas resoluções, como se pode observar na figura

169 Figura 74: Tarefas propostas de articulação entre as geometrias. Fonte: Iezzi et al., 2006, p. 10 No exercício 10, figura 74, espera-se que para sua solução se efetue a representação dos pontos dados no Sistema Cartesiano Ortogonal, visualize que se trata de um triângulo isósceles e retângulo. Para mostrar o que é pedido deve-se recorrer ao cálculo de distância entre dois pontos e ao teorema de Pitágoras que permitem identificar a propriedade das medidas dos lados de um triângulo isósceles e a condição para que o triângulo seja retângulo. Para a resolução do exercício 11, é necessário visualizar a propriedade: se dois pontos pertencem a uma mesma reta vertical eles têm a mesma abscissa. Esse trabalho é importante, pois auxilia os estudantes a planejarem o trabalho matemático a ser realizado, pois não é necessário nenhum cálculo, mas visualizar as propriedades por meio de uma representação adequada. Observa-se assim que, para a execução desse trabalho, a intervenção do professor pode ser necessária, pois, dependendo do nível de conhecimentos disponíveis dos estudantes, nem sempre essa articulação entre noções da geometria euclidiana plana e da geometria analítica são compreendidas pelos estudantes. Concluí-se, portanto, que os autores privilegiam as tarefas que trabalham a articulação entre os conhecimentos matemáticos de geometria plana, desenvolvidos durante as etapas escolares anteriores, e os novos conhecimentos que correspondem à descrição algébrica das noções que constituem esses conhecimentos. Concluída a análise das tarefas sobre o estudo de ponto no plano, apresenta-se a seguir a tabela de tarefas relativas ao estudo da reta no plano. 170

170 Tabela 4- Tarefas relativas ao estudo de reta Tarefas Resolvidas Tarefas Propostas Tarefas Quantidade % Quantidade % Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Total Fonte: Livro: Matemática: Ciência e Aplicações - Iezzi et al., 2006 Observa-se que nesse capítulo, destinado ao estudo das retas no plano, os autores apresentam uma coerência quanto à proporcionalidade dos exercícios propostos e resolvidos. No conjunto de tarefas apresentadas, apenas a tarefa 4, é destinada aos estudantes sem algum trabalho prévio do professor. Sendo assim, os autores deixam a cargo dos estudantes as articulações necessárias entre a noção de equação de uma reta e conceitos geométricos como classificação de triângulo quanto aos lados, mediana e altura de triângulo, diagonal de quadriláteros notáveis, polígonos regulares, etc. Quanto à tarefa 11, estudo da representação de regiões definidas por inequações, observa-se que os autores deixam o trabalho quase que exclusivamente a cargo do professor. Desta forma, os exercícios resolvidos, ou seja, a parte correspondente ao topos do professor possibilita o desenvolvimento de um trabalho onde ostensivos são manipulados em função dos não ostensivos associados aos conhecimentos prévios dos estudantes que, em geral, são conhecimentos desenvolvidos trabalhados no Ensino Fundamental e nos dois primeiros anos do Ensino Médio. 171

171 Isso conduz a escolhas específicas e a elaboração de um discurso próprio para as diferentes formas de tratamento de uma mesma tarefa. Conclui-se, portanto, ao percorrer a obra, que os autores propõem um trabalho professor-estudante, que pode auxiliar o estudante a desenvolver a capacidade de interpretação de enunciados de tarefas e articular seus conhecimentos prévios, ou seja, as noções de ponto e reta em IR 2 funcionam como ferramentas explícitas de trabalho e os não ostensivos em jogo como ferramentas implícitas do trabalho matemático a ser desenvolvido. Quanto aos exercícios propostos na obra, exige-se que os estudantes disponham de conhecimentos sobre geometria euclidiana plana, regras e leis do cálculo algébrico, regras e leis para resolver equações do 1º e 2º grau, regras e leis para resolver inequações do 1º grau, matrizes e determinantes, métodos para resolver sistemas lineares. Acrescenta-se ainda que para a introdução das noções de pontos e retas no plano, em Geometria Analítica, é necessário um discurso tecnológico onde são evocados não ostensivos do quadro da geometria euclidiana plana que serão manipulados por meios dos ostensivos apropriados para a representação de pontos e retas no plano quando se considera o quadro da geometria analítica, isto é, tratase de uma articulação de pontos de vista realizada por meio de uma mudança de quadros. As articulações entre os dois quadros dependem dos conhecimentos prévios dos estudantes e as duas obras até aqui analisadas mostram a existência de relações institucionais diferentes quando se introduz as noções de pontos e retas no plano levando-se em conta os conhecimentos que os estudantes dispõem ou podem mobilizar. Finalizado o estudo sobre a obra Matemática Ciência e Aplicações de Iezzi et al. (2006), apresenta-se a seguir a análise do Caderno do Professor e do Caderno do Aluno para o Ensino Médio, elaborados pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo e implementados a partir de

172 4.4. O Caderno do Professor e o Caderno do Aluno da SEE de São Paulo Comentários e análises Observando que, o caderno do professor apresenta-se como um referencial dos conteúdos a serem desenvolvidos pelos professores e, o caderno do aluno corresponde às tarefas propostas para os estudantes, optou-se por sua análise conjunta, pois compõem o que os livros didáticos apresentam em um único material. Dado que, o objetivo da pesquisa é o estudo de pontos e retas no plano, em Geometria Analítica e os cadernos do professor e aluno elaborados e organizados por bimestre e disciplina, a análise foi efetuada nos cadernos destinados ao primeiro bimestre do 3º Ano do Ensino Médio onde este conteúdo é disponibilizado e cuja análise apresenta-se a seguir. Inicialmente, o caderno do professor apresenta orientações gerais sobre os conteúdos básicos a serem desenvolvidos no curso de Geometria Analítica salientando que o aprofundamento dos conteúdos abordados fica a cargo do professor, dependendo das condições efetivas da classe. Essas orientações privilegiam o estudo das retas no plano, considerando suas equações, suas propriedades e suas aplicações, representadas por meio da linguagem da geometria analítica como um método de abordagem de problemas geométricos planos. Juntando-se a essas orientações, uma organização dos conteúdos a serem desenvolvidos é apresentada, em que se sugere sua divisão em oito unidades. Para cada unidade sugerida, um breve resumo é proporcionado, delineando as noções a serem trabalhadas e sugestões de aprofundamento são acrescentadas, norteando, desta forma, o trabalho a ser desenvolvido pelo professor. A figura 75 apresenta as oito unidades sugeridas para a organização dos conteúdos. 173

173 Figura 75: Organização de conteúdos. Fonte: Caderno do Professor, 3ª série, v. 1, 2009, p.11 Na sequência, um desenvolvimento mais específico desse trabalho é encontrado no Caderno do Professor. Para tanto, as noções a serem abordadas são apresentadas por meio de situações de aprendizagem, onde conteúdos e temas; tempo previsto para seu desenvolvimento; competências e habilidades a ser desenvolvidas e estratégias a ser utilizadas são sugeridos. Além disso, um roteiro de aplicação é apresentado com as soluções e comentários das tarefas propostas no Caderno do Aluno. Observa-se ainda que, são apresentadas quatro situações de aprendizagem para o desenvolvimento das noções de Geometria Analítica, mas, apenas as situações de aprendizagem 1, 2 e 3 serão analisadas por se referirem ao estudo de interesse desta pesquisa. Quanto ao Caderno do Aluno, o desenvolvimento dos conteúdos é proposto por meio de exercícios a serem resolvidos em classe, o que sugere um trabalho articulado entre professor e estudante, ou seja, fica a cargo do professor a tarefa de 174

174 introduzir as novas noções em jogo, desenvolver com os estudantes as tarefas propostas em seus cadernos e, discutir conclusões e generalizações apresentadas nesse material. Mas, para melhor compreender como esse trabalho é proposto, uma análise individual das situações de aprendizagem se faz necessária, a qual se apresenta a seguir. Observa-se ainda que se considerou para efeito de análise, a sequência de tarefas apresentadas no Caderno do Aluno e, em seguida, as orientações do Caderno do Professor. A situação de aprendizagem 1 é iniciada com base na noção de representação explícita de pontos em IR 2 e sua representação gráfica. A partir da representação explícita de dois pontos dados é solicitado que o estudante determine sua distância e a inclinação do segmento determinado por esses pontos e, na sequência, a representação de equações de retas paralelas aos eixos coordenados passando por um ponto é solicitada. Nota-se aqui que, nenhum tipo de representação é sugerido, o que leva a concluir que fica a cargo do professor recorrer às representações disponíveis ou introduzir novas representações. Após esse trabalho desenvolvido por professor e estudantes são apresentadas diferentes formas de representação para as tarefas anteriores que devem ser analisadas e relacionadas por meio de um discurso que certamente depende do conhecimento prévio dos estudantes e do trabalho já desenvolvido. Os não ostensivos de distância entre dois pontos, de declividade de uma reta, de relações entre coeficientes angulares e posição de retas, de condição de alinhamento de três pontos, de retas paralelas aos eixos coordenados são introduzidos por meio de representações gráficas que são associadas às representações algébricas que para serem descritas, explicadas e justificadas devem ser articuladas com o trabalho realizado anteriormente, como se pode observar na figura

175 Figura 76: Representações de retas. Fonte: Caderno do Aluno, 3ª série, v. 1, 2009, p.4 Ao se observar, no Caderno do Professor, a orientação sugerida para esse trabalho nota-se um diferencial na forma de desenvolvimento do conteúdo ao se comparar com os livros didáticos analisados, pois aqui são dadas as representações e fica a cargo de cada grupo descrevê-las, explicá-las e justificá-las. É importante observar que o material chama a atenção para o fato de que a representação no Sistema Cartesiano Ortogonal não é única e que dependendo do não ostensivo da geometria plana trabalhado, este depende ou não do sistema de representação considerado. Por exemplo, as coordenadas de um ponto e a inclinação de um segmento de reta dependem do sistema escolhido enquanto que a distância entre dois pontos, a medida do ângulo formado por dois segmentos de 176

176 retas, a área de um triângulo independem do sistema considerado. Trata-se aqui de mais um diferencial em relação aos livros didáticos. Além disso, esse amplo conjunto de noções é discutido no Caderno do Professor, ou seja, fica a cargo do professor a introdução e articulação dessas noções. Para tanto, o professor deverá recorrer a um amplo discurso das tecnologias e teorias associadas às técnicas que permitem efetuar essa articulação. Cabe, portanto ao professor propor atividades que permitam trabalhá-las, utilizando as sugestões do Caderno do Professor e o livro didático que provavelmente foi escolhido e fornecido aos estudantes pelo Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio. Na sequência, encontra-se, no Caderno do Aluno, uma tarefa que propõe aos estudantes representarem algebricamente a equação de reta em IR 2 dada sua representação gráfica. Nota-se aqui, mais uma vez, que nenhum tipo de orientação ou sugestão é fornecido ao estudante, o que conduz a observar a necessidade de um trabalho conjunto em que o professor deve identificar os conhecimentos prévios de seus estudantes e assim auxiliá-los a encontrar uma representação algébrica ou uma equação de uma reta a partir de sua representação gráfica. Isso conduz à articulação entre função afim e a representação de uma reta em IR 2 na forma reduzida como se pode observar na figura 77. Nesse caso, o estudo é feito por meio de representação algébrica de uma função afim. Figura 77: Função afim. Fonte: Caderno do Aluno, 3ª série, v. 1, 2009, p.5 177

177 Ao observar, no Caderno do Professor, a orientação sugerida para essa análise, encontram-se indicações de uma retomada das representações gráfica e algébrica de uma função afim e de uma articulação entre essas representações e a declividade de uma reta, isto é, o ostensivo de representação gráfica de uma reta no plano deve ser disponível para que se determine inicialmente a representação funcional dessa mesma reta. A recorrência constante ao não ostensivo de inclinação (declividade) de uma reta indica que esta noção deva ser a diretriz do estudo de reta no plano, pois a distância entre dois pontos, a representação gráfica e algébrica de uma de reta, condições de paralelismo, concorrência e perpendicularidade entre retas no plano, são apresentadas em função da noção de inclinação de uma reta. Observa-se aqui que a função afim e suas representações foi trabalhada no primeiro ano do Ensino Médio e sendo assim supõe-se que os estudantes são capazes de mobilizar os conhecimentos a ela associados. As tarefas que seguem propõem uma revisão das noções trabalhadas acrescentando-se à noção de determinação das coordenadas de ponto médio de um segmento e articulando esses conceitos com noções de polígonos da geometria euclidiana plana. No final desta situação de aprendizagem, tarefas são propostas como lição de casa e uma situação desafio é apresentada com o intuito de se calcular a distância entre ponto e reta. Concluindo, para se desenvolver o trabalho sugerido na sequência de aprendizagem 1, o Caderno do Professor descreve um roteiro de aplicação, onde orientações, sugestões e conteúdos são apresentados por meio de atividades que podem ser utilizadas pelos professores para desenvolver e ampliar as noções trabalhadas no Caderno do Aluno. Encontram-se ainda, outras atividades resolvidas em que noções da geometria euclidiana plana são abordadas. A situação de aprendizagem 2 é dedicada a um estudo mais específico de representações gráfica e algébrica de reta em IR 2 e resolução de inequações do 1º grau com duas variáveis. 178

178 No roteiro apresentado no Caderno do Professor, observa-se que várias noções são tratadas, tais como: coeficiente angular; proporcionalidade; coeficiente linear; equação na forma reduzida; condição de alinhamento de três pontos; posição relativa entre retas no plano; determinação da equação de uma reta em IR 2 dado um ponto e sua inclinação; determinação da equação da reta dado dois pontos; resolução de inequação do 1º grau com duas variáveis. As orientações sugeridas para o desenvolvimento dessas noções, no Caderno do Professor, baseiam-se inicialmente em um estudo detalhado das noções de taxa de variação linear e proporcionalidade já desenvolvidas no quadro das funções no primeiro ano do Ensino médio. Para tanto, os quadros algébrico e geométrico são evocados para auxiliar a compreensão e justificar a introdução de novos ostensivos. Desta forma, o professor deve recorrer a um discurso tecnológico adequado, que ajude os estudantes a identificar o conhecimento a ser aplicado para resolver as tarefas propostas no Caderno do Aluno, quando necessário. Para a resolução de inequações do 1º grau com duas variáveis, o Caderno do Professor sugere um estudo de posição de ponto em relação a uma reta inclinada em relação aos eixos coordenados por meio de um discurso específico que associa representação algébrica e gráfica, como se pode observar na figura 78. Figura 78: Articulação entre representação gráfica e algébrica. Fonte: Caderno do Professor, 3ª série, v. 1, 2009, p.28 Já, as tarefas encontradas no Caderno do Aluno, não exigem um aprofundamento igual ao proposto no Caderno do Professor, ou seja, os exercícios apresentados são de simples resolução e não envolvem a complexidade dos 179

179 conteúdos abordados no Caderno do Professor. Acredita-se assim que, essa proposta diferenciada de aprofundamento das noções tratadas, nessa situação de aprendizagem, fica a cargo do professor dependendo do nível de conhecimento de seus estudantes. Na situação de aprendizagem 3, no Caderno do Aluno, são apresentados problemas lineares; determinação de máximos e mínimos de uma função afim; aplicação de conceitos algébricos sobre função afim articulados com as noções e propriedades das retas e suas representações. O Caderno do Professor apresenta a resolução desses problemas propostos no Caderno do Aluno e mais alguns exemplos são acrescentados. Para efeito de ilustração, apresenta-se a figura 79. Figura 79:Tarefa sobre máximo e mínimo. Fonte: Caderno do Aluno, 3ª série, v. 1, 2009, p.24. Observa-se que, a resolução do item a, figura 79, propicia uma autonomia ao estudante para desenvolvê-la. Recorrer ao ostensivo de representação gráfica de 180

180 uma reta em IR 2 ou ao ostensivo de representação algébrica são possíveis caminhos que o estudante pode trilhar para efetuar a resolução da tarefa. Observase aqui que o estudo da reta em IR 2 é desenvolvido por meio da articulação entre o quadro da função e o quadro da geometria analítica considerando como conhecimento prévio disponível a noção de função afim, suas representações e propriedades. Na resolução do item b, o estudante terá que mobilizar conhecimentos desenvolvidos na atividade 3, isto é, articular a representação algébrica com sua respectiva representação gráfica. Já, o item c resume-se na aplicação da resolução de uma inequação do 1º grau, tema abordado na situação de aprendizagem 2. Concluído o estudo relativo ao estudo dos Cadernos do Professor e do Aluno, passa-se a apresentar a análise do trabalho correspondente ao professor (topos do professor) e ao estudante (topos do estudante) A parte do professor e a parte do estudante nas tarefas Como já observado anteriormente, este material apresenta um diferencial em relação às obras estudadas anteriormente, sendo assim, sua análise foi efetuada de forma distinta das apresentadas anteriormente, ou seja, as tarefas solicitam a articulação de diferentes conceitos que envolvem as noções de pontos e retas em IR 2 que foram considerados separadamente para efeito de análise. Mesmo assim, apresentam-se inicialmente a tabela referente ao estudo de pontos no plano, onde se procurou identificar a abordagem das tarefas usualmente encontradas para desenvolver essa noção por meio das propriedades que ela permite representar algebricamente. Pode-se observar que algumas tarefas comumente encontradas nos livros didáticos não são disponibilizadas nos Cadernos do Professor e do Aluno, mas ao analisá-las nota-se que há uma possibilidade de ampliar as tarefas propostas e aplicar outras tarefas não pedidas diretamente. 181

181 Tabela 5 - Tarefas relativas ao estudo de ponto Tarefas Resolvidas Tarefas Propostas Tarefas Quantidade % Quantidade % Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Total Fonte: Caderno do aluno, 3º ano, v. 1, SEESP Efetuada a análise do estudo de ponto, apresenta-se na sequência a tabela referente ao estudo de reta em IR². Tabela 6- Tarefas relativas ao estudo de reta Tarefas Resolvidas Tarefas Propostas Tarefas Quantidade % Quantidade % Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Tarefa Total Fonte: Caderno do aluno, 3º ano, v. 1, SEESP A tabela indica que o material destinado ao topos do professor privilegia dois tópicos, a determinação da declividade de uma reta (23%) e o estudo de inequações do 1º grau com duas variáveis (27%), o que é compreensível, quando se observa que a proposta de trabalho considera a função afim como conhecimento prévio disponível para auxiliar na introdução de novas representações de propriedades 182

182 geométricas no quadro da geometria analítica. Observa-se ainda que as tarefas relativas ao estudo de inequações e ao estudo de problemas de máximo e mínimos apresentam aplicações em situações do cotidiano, e esse tipo de tarefa não é abordado em Geometria Analítica nos livros analisados. Sendo assim, ao considerar o Caderno do Professor, observa-se que este se apresenta como um manual, trazendo o quê e como ensinar, ou seja, define os conteúdos seguidos de orientações e sugestões de métodos e estratégias de trabalho. A articulação de noções de geometria euclidiana plana, geometria analítica e álgebra também se encontram presentes nesse material, isto é, há uma preocupação em mobilizar os conhecimentos prévios dos estudantes com as novas noções a serem desenvolvidas, justificando dessa forma, o estudo dessas noções. Nota-se ainda que a busca pela compreensão das novas noções trabalhadas é proposta de uma forma diferenciada da encontrada nos livros didáticos. Partindo dos conhecimentos prévios dos estudantes, quanto aos ostensivos de representação gráfica de pontos e retas, supostamente adquiridos no estudo de função afim e do não ostensivo de inclinação de uma reta, as noções de geometria analítica são introduzidas. Já, o Caderno do Aluno não apresenta exercícios resolvidos, o que deixa a cargo do professor a forma de trabalhá-lo que certamente depende do grupo de estudantes. Se esses são capazes de mobilizar conhecimentos sobre a noção de função afim, suas representações e propriedades pode-se propor um trabalho em grupo orientado pelo professor, seguido de discussões que permitem sanar as possíveis dificuldades encontradas. Dessa forma, para a resolução das tarefas encontradas no Caderno do Aluno, a mobilização dos conhecimentos prévios dos estudantes e as novas noções da Geometria Analíticas introduzidas, em relação ao estudo de pontos e retas em IR² correspondem tanto ao topos do professor como do estudante. Conclui-se, portanto, que esse trabalho proposto nos cadernos do professor e do aluno, da Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo, pode auxiliar o 183

183 estudante a desenvolver a capacidade de articular seus conhecimentos prévios quando se trata do estudo das noções de pontos e retas no plano. 4.5 Considerações finais Observou-se por meio da análise dos dois livros didáticos escolhidos e do caderno do professor e do aluno da nova proposta do estado de São Paulo que apenas nessas três abordagens encontram-se diferentes relações institucionais para o estudo da Geometria Analítica cujas articulações de quadros, manipulação de ostensivos e evocação de não ostensivos dependem dos conhecimentos prévios que os estudantes dispõem e/ou são capazes de mobilizar. Nas obras de Dante (2006) e Iezzi et al. (2006), apesar das abordagens diferirem, verifica-se que as noções de geometria analítica são desenvolvidas considerando os quadros das funções, geometria euclidiana plana e do cálculo algébrico como habitat para os quais os objetos função afim, suas propriedades e representações, noções e propriedades geométricas introduzidas em geometria euclidiana plana e regras e leis do cálculo algébrico são utilizados enquanto ferramentas explícitas do trabalho matemático a ser realizado correspondendo assim ao nicho dos respectivos habitat. A escolha desses nichos permite o trabalho em um milieu que se espera não ser problemático para a maioria dos estudantes. Mas, quando se considera a nova proposta do estado de São Paulo verificase que se privilegia a articulação entre o quadro da geometria analítica e o quadro das funções tornando-o assim o único habitat conhecido para a introdução dos novos objetos e é nele que se encontra o nicho, isto é, são seus objetos que funcionam como ferramenta explícita para a introdução das representações algébricas de objetos geométricos. Essa escolha mais reduzida deve-se ao fato de que a noção de função afim, suas representações e propriedades correspondem ao milieu que se supõe mais estável para desenvolver a articulação considerada. Observa-se assim que outras obras podem apresentar diferentes relações institucionais que dependem do habitat e nicho escolhido para articular com as novas representações que se introduzem quando se consideram as noções de pontos e retas no plano. Mas, nos diferentes casos, pode-se encontrar organizações 184

184 praxeológicas em que o bloco prática (tipos de tarefas e técnicas) é bastante similar, mas cujo loco teórico (tecnologia, teoria) depende dos conhecimentos prévios disponíveis dos estudantes. Dessa forma, os professores dispõem de vários meios para auxiliar a ampliar os conhecimentos de seus estudantes e esses podem recorrer a diversos materiais de forma a adquirirem a autonomia indicada nos Parâmetros Curriculares Nacionais. Concluída a análise das relações institucionais existentes sobre as noções de pontos e retas em IR², apresenta-se a seguir a análise das relações institucionais esperadas sobre essas noções via as macroavaliações para verificar quais as marcas dessas relações nas relações pessoais que se espera que os estudantes tenham desenvolvido durante a passagem pela Educação Básica. 185

185 Capítulo 5 ANÁLISE DAS RELAÇÕES PESSOAIS ESPERADAS DOS ESTUDANTES POR MEIO DE MACROAVALIAÇÕES 5.1 Considerações iniciais Visto que, o objetivo desta pesquisa é identificar um conjunto de tarefas e práticas associadas à noção de ponto e reta no plano que sobrevivem quando se introduz as noções de Geometria Analítica no Ensino Médio e verificar se eles podem ser considerados como conhecimentos prévios mobilizáveis para os estudantes que seguem a disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear no Ensino Superior, busca-se neste capítulo analisar as relações pessoais esperadas dos estudantes que concluem o Ensino Médio, via macroavaliações institucionais. Esta análise fundamenta-se no fato de que as macroavaliações, aqui correspondendo ao exame vestibular, além de ser uma forma institucional de aferir os conhecimentos adquiridos pelos estudantes no Ensino Básico, ainda é o mais importante critério de seleção utilizado pelas instituições públicas e privadas de Ensino Superior para o ingresso dos estudantes nessa nova etapa escolar, ou seja, é o principal meio de acesso dos estudantes ao Ensino Superior no Brasil. Observase ainda que além dos exames vestibulares existe uma macroavaliação nacional, Exame Nacional do Ensino Médio ENEM, que tem sido utilizada como uma parte para a classificação dos alunos por algumas universidades e como elemento de classificação para o Ministério da Educação atribuir bolsas de estudo entre outras. Sendo assim, esse estudo objetiva verificar se os conhecimentos solicitados dos estudantes nas avaliações institucionais, em relação às noções de ponto e reta no plano, trabalhadas no Ensino Médio, estão em conformidade com os conhecimentos supostamente adquiridos pelos estudantes no Ensino Médio. Dado que, os vestibulares são caracterizados normalmente por provas, cuja estrutura varia de acordo com a instituição responsável, optou-se, para desenvolver nesse trabalho, a análise de algumas provas aplicadas pela FUVEST, exame da 186

186 Fundação Universitária para o Vestibular São Paulo; pela UNICAMP, exame da Universidade de Campinas São Paulo e ENEM, Exame Nacional do Ensino Médio - Nacional. Observa-se que para esta análise foram escolhidas as provas que abrangem as duas fases dos vestibulares da FUVEST e UNICAMP, no período de 2006 a 2011 e, para o ENEM, as provas correspondentes aos anos de 2009 e 2010, anos em que esse exame começa a ser utilizado como uma parte da avaliação dos estudantes para entrada no Ensino Superior, em particular, pelas universidades federais do Brasil. Uma vez escolhidas as provas, uma seleção das questões relativas às noções de ponto e reta no plano foi realizada e, em seguida, uma análise dessas questões foi efetuada associando-as a grade de análise que permitiu identificar um conjunto de tarefas usualmente encontradas para a introdução dessas noções no Ensino Médio e, consequentemente, algumas das relações institucionais existentes, estudadas nos capítulos anteriores. Observa-se, ainda, que essa grade auxilia na análise das relações pessoais esperadas dos estudantes. Sendo assim, apresenta-se na sequência, um breve comentário sobre as provas realizadas por essas instituições e uma análise das questões de interesse desta pesquisa, iniciando pela FUVEST Exames da Fundação Universitária para o Vestibular FUVEST Comentários Iniciada em 1977 e realizada em duas fases, a FUVEST é responsável pela realização dos exames vestibulares de algumas escolas de nível superior do estado de São Paulo. Desde 1930, quando a universidade de São Paulo USP foi criada, alguns modelos de seleção foram adotados: exames orais, classificatórios, eliminatórios, separados por faculdades, unificação dos vestibulares, questões objetivas e inclusão paulatina de questões discursivas, introdução da redação, uso da nota do Exame 187

187 Nacional do Ensino Médio (ENEM), isenção de taxas de inscrição e, em 2006, bônus para egressos de escola pública. (EDUSP, 2007). A FUVEST, como unificação dos vestibulares da Universidade de São Paulo (USP), a Universidade Estadual Paulista (UNESP) e a Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), durou pouco tempo. Em 1983, a UNESP se desvinculou e, em 1985, a UNICAMP fez o mesmo mas, até hoje, a FUVEST continua sendo o maior vestibular do Brasil. Desta forma, a FUVEST responsável atualmente, pela produção e aplicação dos exames vestibulares da USP, da Faculdade de Ciências Médicas da Santa Casa de São Paulo, e da Academia de Polícia Militar do Barro Branco, sofreu, em seu percurso, diversas alterações. Mas, é a partir de 2003 que se pode observar consideráveis mudanças nos objetivos avaliativos das provas da FUVEST, aprovadas pelo Conselho de Graduação da USP, em sessão realizada em 16/05/2002. Supõe-se que estas modificações são devidas às mudanças ocorridas nas características do Ensino Médio por meio da LDB (1996) e dos PCNEM (2000), cujo foco da educação é formar estudantes com maior capacidade de argumentação, de crítica, de criação e de autonomia. Sendo assim, a avaliação dos estudantes passa a ser diferente da exigida anteriormente, como se pode observar nos esclarecimentos indicados no manual do candidato de 2003 para a primeira e segunda fases. No caso específico da matemática, na 1ª fase, passa a ser priorizada a avaliação da capacidade de raciocínio, sem dar ênfase à memorização de fórmulas, à mecanização de técnicas ou a cálculos excessivos, desvinculados de contexto significativo ou de aplicações relevantes, dentro ou fora da Matemática. Na 1ª fase do vestibular, o objetivo é avaliar o candidato quanto ao domínio e utilização da linguagem e quanto à compreensão de conceitos e procedimentos da matemática elementar, bem como quanto à capacidade de aplicá-los na resolução de problemas. [...] Na 2ª fase, além destes aspectos, pretende-se também avaliar o candidato quanto ao domínio de conceitos, ferramentas e procedimentos matemáticos necessários para o aprofundamento de estudos em áreas de ciências exatas, bem como quanto á capacidade de utilizá-los em situaçõesproblema mais abstratas. (FUVEST, 2003). Conforme edital do Conselho de Graduação da USP de 2009, em 2010, ocorre nova mudança nos objetivos avaliativos para a 2ª fase da FUVEST. No caso, as provas são aplicadas em três dias com 10 questões discursivas de português e 188

188 uma redação e 20 questões de todas as disciplinas no primeiro dia, no segundo dia questões de biologia, química, física, matemática, história, geografia e inglês e no terceiro dia 12 questões específicas de sua área de interesse. Desta forma, essas variações no vestibular indicam uma proposta da USP em adaptar seu vestibular a nova formação que vem sendo implementada no Ensino Médio, onde o foco é a formação geral e contextualizada conforme proposta dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Após esse breve comentário sobre a estrutura do exame da FUVEST, passa-se a analisar as tarefas relativas às noções de ponto e reta no plano solicitadas nas provas selecionadas As tarefas sobre as noções de ponto e retas no plano nos exames da FUVEST Analisando as provas da FUVEST, na primeira fase, observa-se que, as noções de Geometria Analítica, trabalhadas no Ensino Médio, deixam de ser exigidas na primeira fase, a partir de Enquanto que, em 2001 das 20 questões de matemática, quatro questões eram sobre noções de Geometria Analítica, ou seja, 20 % da prova, em 2002, apenas uma correspondia a esses conteúdos. Já em 2003 e 2004, das 12 questões, apenas uma focava esses conteúdos. Quanto às questões da 2ª fase, consideradas para esse estudo apenas as que foram solicitadas nas provas do período de 2005 a 2011, verificou-se que diferentes questões associadas às noções de Geometria Analítica no plano desenvolvida no Ensino Médio são objeto de avaliação nessas provas. Com o objetivo de identificar quais conhecimentos prévios podem ser considerados como mobilizáveis para os estudantes que terminam o Ensino Médio, estudam-se aqui as relações pessoais esperadas desses estudantes para compreender se as mesmas estão em conformidade com as relações institucionais esperadas e existentes analisadas nos capítulos anteriores, isto é, se os estudantes que terminam o Ensino Médio estão suficientemente preparados para desenvolver as tarefas encontradas nessas provas. 189

189 Para esse estudo, considerou-se apenas as questões que envolvem as noções de ponto e retas no plano. As questões serão apresentadas com a respectiva resolução esperada e com um comentário sobre a técnica esperada em relação ao trabalho institucional que se espera tenha sido desenvolvido no Ensino Médio. Acrescenta-se que as questões e resoluções comentadas foram extraídas de sites de cursinhos pré-vestibulares. FUVEST 2006 Tarefa proposta 1 4. A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do primeiro quadrante. A reta r é perpendicular à reta s, no ponto A, e intercepta o eixo x no ponto B e o eixo y Figura no ponto 80: Questão C. Determine 4 FUVEST, o coeficiente 2ª fase 2006 angular de s se a área do triângulo OBC for o triplo da área do triângulo OAB. Figura 80: Questão 4 FUVEST, 2ª fase Fonte: FUVEST Resolução esperada Figura 81: Resolução da Questão 4 FUVEST, 2ª fase Fonte: Integral-Escolas Inteligentes 190

190 Observa-se, na figura 80, que os pontos são apresentados por meio de um ostensivo de representação intrínseca de ponto. Para a resolução da tarefa, figura 81, é preciso dispor de conhecimentos sobre a representação geométrica de pontos, retas e suas propriedades para articulá-las nos quadros algébrico e geométrico. Nesse caso, as noções de coeficiente angular e área de um triângulo devem ser mobilizadas após a identificação das relações no gráfico cartesiano que representa a situação. A questão exige a articulação de conhecimentos algébricos e geométricos desenvolvidos nos ensinos Fundamental e Médio e a maior dificuldade pode estar relacionada à necessidade de visualizar as propriedades por meio da representação gráfica da situação proposta na tarefa que exige a passagem do ostensivos de representação verbal (enunciado em língua natural) para o ostensivo de representação visual (gráfico) e desse para o ostensivo de representação algébrica que permite determinar o coeficiente pedido no enunciado. Dessa forma, identificamos aqui as tarefas 1 e 2 relativas ao estudo de ponto e as tarefas 2 e 5 relativas ao estudo da reta que, em geral, são trabalhadas separadamente e aqui necessitam de uma organização dos conhecimentos que pode dificultar o desenvolvimento da tarefa pelos estudantes. Tarefa proposta 2 Figura 82: Questão 10 FUVEST, 2ª fase

191 Resolução esperada Figura 83: Resolução da Questão 10 FUVEST, 2ª fase 2006 Em função das retas serem dadas por meio de suas representações funcional e cartesiana, para resolução do item a da tarefa, figura 83, basta passar da representação funcional para a representação cartesiana e resolver o sistema de duas equações lineares e duas incógnitas para determinar o ponto de interseção das retas pedido no item a, como se pode observar na figura 83. Trata-se aqui de uma tarefa trabalhada desde o Ensino Fundamental e assim não deveria colocar muitas dificuldades para os estudantes. Já para a solução proposta para o item b, figura 83, espera-se que o estudante disponha de conhecimentos da geometria plana sobre propriedades de 192

192 ângulos inscritos em uma circunferência e que os articule com os ostensivos de representação algébrica intrínseca e explicita de pontos no plano e com as noções de produtos notáveis e sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas para desenvolver a tarefa conforme a solução esperada. Nota-se que os conhecimentos e os ostensivos de representação necessários para o desenvolvimento da tarefa são trabalhados nos ensinos Fundamental e Médio e que esse tipo de tarefa é representado pelas tarefas 1 e 4 da nossa grade de analise, portanto é usualmente encontrada no Ensino Médio. Mas, pode-se supor que a articulação de conhecimentos em jogo e a representação por meio de um desenho da situação descrita no item b poderá apresentar dificuldades para os estudantes que não têm o habito de articular os conhecimentos matemáticos e utilizar diferentes representações para um mesmo objeto. FUVEST 2007 Tarefa proposta Figura 84: Questão 6 FUVEST, 2ª fase

193 Resolução esperada Figura 85: Resolução da Questão 6 FUVEST, 2ª fase 2007 Nota-se na figura 85, que para resolver a tarefa, é preciso identificar os pontos dados por meio dos ostensivos de representação algébrica explicita e intrínseca e mobilizar as propriedades do hexágono e área de triângulos. Nesse caso, no enunciado, figura 84, o hexágono é representado no sistema cartesiano ortogonal por meio do ostensivo de representação visual (desenho) o que pode facilitar a interpretação dos dados. É preciso ainda dispor de conhecimentos sobre semelhança de triângulos, determinação de coeficiente angular de uma reta e de 194

194 determinação de uma representação funcional de uma reta, conhecido um de seus pontos e seu coeficiente angular. Para a resolução do item b, figura 85, espera-se que o estudante mobilize conhecimentos sobre determinação de uma representação funcional de reta conhecida sua inclinação (cálculo da tangente do ângulo que a reta forma como eixo x) e um de seus pontos e determinação do ponto de interseção entre retas e disponibilize de conhecimentos sobre resolução de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas e simetria entre pontos. Para responder a questão os pontos devem ser dados por meio do ostensivo de representação explicita de pontos. Esta questão foi considerada, pelos professores, difícil pois o estudante deverá articular diversas noções de geometria plana e geometria analítica, tendo que utilizar os quadros algébricos, geométrico e numérico para efetuar sua resolução. Apesar de todos os conhecimentos necessários, para a solução da tarefa, terem sido trabalhados nos ensinos Fundamental e Médio, a forma como eles devem ser articulados e a necessidade dos diferentes ostensivos de representação de pontos e retas no plano podem causar dificuldades para aqueles que não estão habituados a desenvolver esse tipo de trabalho que necessita de um discurso justificativo como mostra o encaminhamento da solução proposto na resposta esperada. Ressalta-se que essa tarefa está subdivida entre as tarefas 2, 5 e 9 do estudo da reta no plano que, em geral, são desenvolvidas separadamente. 195

195 FUVEST 2009 Tarefa proposta Figura 86: Questão 1 FUVEST, 2ª fase Fonte: FUVEST Resolução esperada Figura 87: Resolução da Questão 1 FUVEST, 2ª fase Fonte: Integral Escolas Inteligentes 196

196 Nessa questão como nas anteriores, os estudantes precisam dispor de conhecimentos sobre os ostensivos de representação algébrica explícita e intrínseca de pontos no sistema cartesiano ortogonal para identificar os pontos dados. Como a reta é dada por meio do ostensivo de representação funcional, figura 86, acredita-se que será mais fácil para os estudantes encontrarem a representação algébrica intrínseca dos pontos B pertencentes a reta, pois se trata de um conhecimento desenvolvido no estudo da função afim e que se espera tenha sido articulado como estudo da reta em Geometria Analítica. Como no enunciado já é dada a representação gráfica dos pontos é necessário identificar que os triângulos formados pelos pontos B i, B i+1 e D i são semelhantes e retângulos em D i. Logo, para determinar as coordenadas dos pontos A i, é preciso dispor do Teorema de Pitágoras, que é bastante trabalhado no desenvolvimento das geometrias Euclidiana e Analítica e provavelmente os estudantes não apresentarão muitas dificuldades, como se pode observar na figura 87. Em função das representações dadas e do trabalho que se espera tenha sido desenvolvido no Ensino Médio, essa questão exige pouca articulação de conhecimentos exigindo apenas que se disponha de conhecimentos sobre pertinência de ponto à reta, distância entre dois pontos na resolução e congruência entre triângulos. Essas noções são habitualmente trabalhadas no Ensino Médio por meio das tarefas do tipo 2, 3 e 4 do estudo de ponto. Consideradas as tarefas de Geometria Analítica da FUVEST, passa-se a descrição do processo de seleção da UNICAMP e a análise das tarefas sobre as noções de pontos e retas no plano identificadas em suas provas no período de 2006 a Exame da Universidade de Campinas UNICAMP Comentários O vestibular na UNICAMP foi criado em 1986, após discordar do modelo de seleção adotado pela FUVEST, portanto, uma nova forma de processo seletivo foi criada pela instituição, o vestibular integralmente dissertativo. 197

197 Sendo a primeira instituição a adotar este processo de seleção, a UNICAMP trouxe um avanço significativo para os vestibulares, pois diferente dos testes de múltipla escolha, o vestibular discursivo possibilita aos examinadores observarem o processo de elaboração do raciocínio desenvolvido pelo estudante, como se observa no texto: Considerada uma referência de ensino em termos de qualidade, a UNICAMP tem por objetivo selecionar os melhores estudantes do país, ou seja, selecionar estudantes capazes de elaborar hipóteses, desenvolver o raciocínio lógico, selecionar informações e relacioná-las e comunicar-se com clareza. Mais do que selecionar bem os candidatos, o modelo próprio de seleção adotado pela Unicamp, que resgata as questões dissertativas e valoriza a redação, permite conhecer a história de cada um dos estudantes na relação com o conhecimento e no desenvolvimento das práticas de escrita e de leitura. (COMVEST, 2007). Desta forma, a prova integralmente dissertativa é dividida em duas fases, sendo a primeira fase constituída de 12 questões gerais, divididas em duas questões por disciplinas (Matemática, Química, Física, Ciências Biológicas, História, Geografia) e uma redação. Já a segunda fase é constituída por um grupo de oito provas, com 12 questões cada uma, realizadas em quatro dias, independente da área pretendida. Sendo assim, optou-se por analisar as tarefas relativas às noções de ponto e reta no plano solicitadas nas provas da UNICAMP, no período de 2006 a 2011, as quais são apresentadas na sequência As tarefas sobre as noções de ponto e retas no plano nos exames da UNICAMP Analisando as questões da primeira fase das provas da UNICAMP, no período de 2006 a 2011, observa-se que nenhuma das provas apresenta questões relacionadas às noções de Geometria Analítica trabalhadas no Ensino Médio. Sendo assim, a análise é dirigida apenas às questões da segunda fase. 198

198 UNICAMP 2006 Tarefa proposta Sabe-se que a reta r(x) = mx + 2 intercepta o gráfico da função y = x em dois pontos distintos, A e B. A) Determine os possíveis valores para m. B) Se O é a origem dos eixos cartesianos, encontre o valor de m que faz com que a área do triângulo OAB seja mínima. Figura 88: Questão 10 UNICAMP, 2ª fase 2006 Resolução esperada Figura 89a: Resolução da Questão 10 UNICAMP, 2ª fase Fonte: COMVEST Nessa tarefa, o enunciado da questão é apresentado através do ostensivo de representação funcional de reta, figura 88. Observa-se na figura 89a, que para a resolução da tarefa, é preciso passar da representação funcional da reta dada para a representação gráfica e dispor de 199

199 conhecimentos sobre gráfico de função modular, no caso, trata-se da função y = x que pode ser considerada como as funções y = x para x>0 e y = x para x<0. A partir do gráfico obtêm-se dois sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas que permite determinar os valores de m para que haja interseção. Como a questão está mais associada ao estudo das funções no quadro algébrico que no trabalho desenvolvido em Geometria Analítica, é importante representar graficamente os dados da questão para auxiliar no desenvolvimento da técnica e na interpretação dos resultados, os conhecimentos a serem mobilizados são as noções e gráficos das funções afim e modular e é preciso dispor da noção de interseção de intervalos para determinar os possíveis valores de m. Observa-se aqui que a noção de intervalo sobre IR pode apresentar dificuldades para a sua interpretação em situações contextualizadas, como é o caso, para alguns estudantes como mostra Gouveia (2006) em sua dissertação. Figura 89b: Resolução da Questão 10 UNICAMP, 2ª fase Fonte: COMVEST 200

200 Para a resolução do item b (figura 89b), nota-se que há duas possibilidades, ou seja, o estudante poderá determinar a área do triângulo recorrendo às noções de geometria plana ou a geometria analítica. Nos dois casos, é preciso mobilizar os ostensivos de representação algébrica explicita e intrínseca de pontos no sistema cartesiano ortogonal. Na primeira proposta de solução, é preciso dispor da noção de área introduzida em geometria plana e da noção de distância entre dois pontos que corresponde a aplicar o teorema de Pitágoras para determinar o lado do triângulo. Na segunda proposta, pode-se calcular diretamente a área após determinar as coordenadas dos três vértices. Essa tarefa se inclui na tarefa 2 do estudo de ponto e nas tarefas 11 e12 do estudo de reta da grade de análise, isto é, cabe aos estudantes articular os conhecimentos desenvolvidos nas tarefas acima, pois eles têm como base essas situações de referência. UNICAMP 2007 Tarefa proposta Figura 90: Questão 11 UNICAMP, 2ª fase Fonte: UNICAMP 201

201 Resolução esperada Figura 91: Resolução da Questão UNICAMP, 2ª fase Fonte: Colégio e Pré-Vestibular Bernoulli A figura 90 apresenta a tarefa proposta na 2ª fase do vestibular da UNICAMP em A resolução do item a da tarefa, conforme figura 91, exige apenas que, o estudante recorrendo ao quadro geométrico, determine o número de retas possíveis. No caso, trata-se de representar por meio de uma figura o enunciado dado em língua natural. Isso mostra a importância do ostensivo de representação visual para o estudo das noções de geometria plana, mesmo quando do estudo da Geometria Analítica que pode ser considerada como uma abordagem da Geometria cujos objetos são representados por meio de equações ou inequações. No caso do item b, é preciso dispor de conhecimentos sobre representação de reta e ponto no sistema cartesiano ortogonal e a relação trigonométrica associada à tangente da soma e da diferença de dois ângulos para determinar o coeficiente angular das retas que passam pelo ponto P dado e formam um ângulo de 45 com a reta dada por meio de sua representação cartesiana. A representação gráfica facilita a identificação dos ângulos e o sinal do coeficiente angular. 202

202 Após esse trabalho, é preciso dispor da técnica para determinar a representação de uma reta, conhecido seu coeficiente angular e um de seus pontos. Em relação à grade de análise, pode-se dizer que os estudantes tinham como referência as tarefas 1 e 2 sobre o estudo das retas no plano, mas precisavam dispor de conhecimentos de trigonometria para determinar o coeficiente angular. Mais uma vez, observa-se que as tarefas de Geometria Analítica fazem apelo aos ostensivos de representação visual (figura, gráficos) para que possam ser interpretadas o que facilita o desenvolvimento do trabalho a ser realizado. UNICAMP 2008 Tarefa proposta Figura 92: Questão 12 UNICAMP, 2ª fase Fonte: UNICAMP 203

203 Resolução esperada Figura 93: Resolução da questão 12 UNICAMP, 2ª fase Fonte: COMVESP No enunciado da tarefa, como se pode observar na figura 92, são dadas as retas por meio dos ostensivos de representação funcional e gráfica que permite identificar os pontos dados por meio de sua representação geométrica (P, Q e R). Além disso, podem-se visualizar os triângulos cujos pontos serão utilizados para determinar o valor dos coeficientes a, b e c das retas dadas. Na resolução do item a, figura 93, para determinar as coordenadas dos pontos P e Q, basta observar a figura e articulando com a representação funcional, é possível identificar a representação algébrica intrínseca desses pontos em função de a e b. Já para determinar o ponto R, é necessário dispor de um método de solução de um sistema de duas equações e duas incógnitas e de conhecimentos sobre as 204

204 regras e leis de cálculos da álgebra elementar para aplicar a propriedade dada no enunciado e encontrar a representação algébrica intrínseca de R em função de a e b, ou seja, é preciso ainda mobilizar a noção de média aritmética. A dificuldade para a solução do item a da tarefa está associada ao fato de que a técnica a ser desenvolvida envolve apenas o ostensivo de representação algébrica de ponto. Para a resolução do item b, conforme figura 93, é necessário ter encontrado as representações algébricas intrínsecas dos pontos P, Q e R e dispor de conhecimentos, seja da fórmula para o cálculo de área de um triângulo da geometria plana ou da fórmula para o cálculo de área de um triângulo, dados seus três vértices em coordenadas (1/2 do determinante das coordenadas dos três pontos). Trata-se, portanto, de uma tarefa cujos conhecimentos estão associados aos desenvolvidos nas tarefas 4 e 8 do estudo de reta no plano, mas que pode apresentar dificuldades para aqueles que não estão habituados a desenvolver longos cálculo algébricos utilizando suas regras e leis. Observa-se ainda que a técnica a ser desenvolvida na tarefa tem sido pedida nas provas mais recentes da UNICAMP e da FUVEST e exige a articulação do quadro das funções com o quadro geométrico e algébrico que corresponde a uma das propostas do PCNEM. UNICAMP 2010 Tarefa proposta Figura 94: Questão 11 UNICAMP, 2ª fase Fonte: UNICAMP 205

205 Resolução esperada Figura 95: Resolução da Questão 11 UNICAMP, 2ª fase Fonte: COMVESP Também em 2010, figura 94, no enunciado da tarefa, utiliza-se o ostensivo de representação gráfica para as retas, além disso, uma delas é também representada por meio dos ostensivos de representação funcional e a outra por uma propriedade (perpendicularidade) e o ponto é dado por meio do ostensivo de representação algébrica explícita. Para a solução do item a, é preciso mobilizar a relação entre os coeficientes angulares de duas retas perpendiculares e a técnica para determinar a representação algébrica funcional de uma reta conhecido seu coeficiente angular e um de seus pontos que deve estar representado por meio da representação algébrica explícita de ponto, como se observa na figura 95. Determinada a representação algébrica funcional da segunda reta, é possível visualizar diretamente no gráfico as coordenadas do ponto C que serão 206

206 dadas por meio de sua representação algébrica intrínseca. Nesse caso, também o trabalho com as representações algébricas intrínsecas que poderá representar um fator que dificulta a solução da tarefa. Para o item b, figura 95, como as representações funcionais das retas dependem de a e este é dado, para determinar o ponto A, basta substituir a nas respectivas representações das retas e dispor de um método de resolução de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas. Ainda no item b, para determinar a equação da circunferência é preciso visualizar as propriedades descritas no enunciado, isto é, A é o centro e o raio é a distância do centro ao ponto de tangencia da circunferência com o eixo x. Nota-se que a resposta proposta apresenta distorções em relação a determinação do centro e do raio da circunferência como mostra a figura dada. Trata-se de uma questão cujos conhecimentos necessários para sua solução são desenvolvidos nas tarefas 7 e 8 sobre o estudo das retas no plano, necessitando ainda a mobilização de uma circunferência de raio dado passando por um determinado ponto que é o seu centro. Concluí-se, finalmente, que as tarefas dos vestibulares da UNICAMP nos anos considerados, necessitam, em geral, de uma representação visual (figura, gráfico), ou seja, de uma representação gráfica que facilite o planejamento, a descrição, a explicação e a justificativa das técnicas utilizadas e a escolha dos ostensivos de representação mais adaptados ao trabalho a ser realizado para resolução das mesmas. 5.4 Exame Nacional do Ensino Médio - ENEM O Exame Nacional do Ensino Médio, ENEM, foi criado em 1998 pelo Ministério da Educação do Brasil, com a finalidade de avaliar anualmente a qualidade do Ensino Médio no país. Sendo a primeira iniciativa de avaliação geral do sistema de ensino implantado no Brasil, desde que foi instituido como ferramenta de controle e desempenho da educação, as escolas públicas passaram a apresentar um esforço crescente na melhoria de qualidade de seu ensino. 207

207 A prova do ENEM tem basicamente três objetivos: possibilitar a avaliação dos estudantes que concluem o Ensino Médio; é pré-requisito para solicitação da bolsa PROUNI e faz parte da seleção de estudantes ao ingresso em algumas universidades particulares e universidades públicas através do SISU (Sistema de Seleção Unificada). Além disso, a partir de 2009, a prova passou a servir como certificação de conclusão do Ensino Médio em cursos de Educação de Jovens e Adultos (EJA). ( Desta forma, atualmente, diversas universidades vêm utilizando o ENEM como uma das formas de avaliação para o ingresso dos estudantes no Ensino Superior e, desde que se tornou exame de acesso às instituições de Ensino Superior, o ENEM tem passado por alguns problemas como furto de provas, erro nos cadernos de questões, causando à população estudantil certa descrença e levando algumas instituições de ensino a não considerá-lo como parte da nota dos estudantes. Quanto às características da prova, nota-se que ela apresenta um diferencial em relação aos vestibulares. A prova do ENEM caracteriza-se pela transdisciplinaridade e objetiva avaliar competências e não conteúdos, portanto não é dividida por disciplina. As questões apresentam articulações entre as várias disciplinas ministradas no Ensino Médio, valorizam a interpretação e compreensão dos enunciados por parte dos estudantes em detrimento dos conteúdos exigidos nessas questões. Desta forma, quanto aos conteúdos de Geometria Analítica trabalhados no Ensino Médio, observa-se que não foi contemplado em nenhuma das questões nas provas analisadas. 5.5 Considerações Finais A análise das relações pessoais esperadas dos estudantes coloca em evidência a necessidade dos diferentes ostensivos algébricos para a manipulação das técnicas para a determinação de pontos e retas no plano. Mas, fica ainda mais evidente a necessidade dos ostensivos de representação visual (figuras, gráficos), 208

208 em especial, os ostensivos de representação gráfica que permitem visualizar as diferentes noções e propriedades a serem aplicadas na solução da tarefa. As tarefas propostas nas avaliaçãoes são um misto do que se trabalha de forma mais compartimentada no Ensino Médio ficando a cargo dos estudantes o desenvolvimento de um trabalho mais articulado e que varia de acordo com as possibilidades de identificação e utilização dos diferentes ostensivos de representação das noções de ponto retas. Na realidade, existe conformidade entre as relações institucionais esperadas e existentes e as relações pessoais esperadas dos estudantes, pois em todas as questões aqui analisadas foi possível identificar tarefas que poderiam servir de situação de referência para o desenvolvimento de novas tarefas. Nesse caso, observa-se que a coerência se deve ao fato de que o estudante deve ser preparado para a autonomia, ou seja, ser capaz de desenvolver seu próprio projeto de estudo, procurar e estudar novos tipos de tarefas para completar o trabalho realizado na escola. Dessa forma, se os estudantes que chegam à universidade são capazes de resolver tarefas como as acima apresentadas, é possivel considerar esses conhecimentos como conhecimentos prévios quando da introdução das noções de Cálculo Diferencial e Integral, de Geometria Analitica e de Álgebra Linear. 209

209 CONSIDERAÇÕES FINAIS E PERSPECTIVAS FUTURAS O estudo desenvolvido nesta pesquisa objetivou identificar, em documentos específicos, um conjunto de tarefas e práticas associadas à noção de ponto e reta no plano quando se introduz as noções de Geometria Analítica no Ensino Médio e verificar se eles sobrevivem, ou seja, se podem ser considerados como conhecimentos prévios mobilizáveis para os estudantes que seguem a disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear no Ensino Superior. Segundo nosso entendimento, os conhecimentos prévios desenvolvidos no Ensino Médio em Matemática e aqui, mais particularmente, em Geometria Analítica, podem ser um meio facilitador para atingir as expectativas institucionais associadas ao desenvolvimento dessa disciplina no Ensino Superior. Isto conduziu a considerar que a identificação das relações institucionais, desenvolvidas no Ensino Médio, possa ser um meio de apoio para professores do Ensino Superior quando da introdução da Geometria Analítica e Álgebra Linear e iniciar um trabalho com os estudantes considerando os conhecimentos prévios que os mesmos são capazes de mobilizar. Observamos ainda que Chevallard (1992) ao definir as noções de relações institucionais e pessoais possibilita esta nossa interpretação, pois a análise dessas relações pode auxiliar a refletir e propor novos cenários de aprendizagem e compreender melhor o que pode ser considerado como conhecimento prévio e, portanto, utilizado como ferramenta para o desenvolvimento de outros conceitos matemáticos. No caso desta pesquisa, são os conceitos de ponto e retas no plano que poderão funcionar como ferramentas explícitas do trabalho matemático a ser desenvolvido em outras disciplinas. Pretendeu-se, portanto, compreender como os conceitos matemáticos são trabalhados no Ensino Médio, mais especificamente, quando se introduz as noções de ponto e reta no plano. Desta forma, identificou-se as várias formas de representação desses objetos matemáticos, as articulações em termos de quadros e 210

210 pontos de vista necessários e algumas de suas possíveis aplicações. Acreditamos que este estudo possa auxiliar professores e estudantes no processo de ensino e aprendizagem das noções em jogo. Para isto, partindo das questões: 1. Como são trabalhadas as noções de ponto e reta no Ensino Médio, ou seja, quais os ostensivos e não ostensivos privilegiados? 2. A articulação entre os pontos de vista cartesiano e paramétrico se desenvolve implícita ou explicitamente? Considerou-se ainda uma terceira questão, a saber: 3. Qual ponto de vista é privilegiado pelas abordagens propostas para o ensino da noção de reta em Geometria Analítica no Ensino Médio? Essa última questão permitiu melhor identificar o objetivo geral da pesquisa já enunciado acima. A partir desse trabalho, foram destacados os seguintes objetivos específicos deste trabalho: estudar os ostensivos e não ostensivos associados às noções de ponto e reta quando se considera o ensino e aprendizagem de Geometria Analítica no Ensino Médio; identificar as relações institucionais esperadas do ponto de vista das organizações matemáticas, didáticas e pedagógicas propostas para o ensino e aprendizagem das noções de ponto e reta no plano no Ensino Médio, via documentos oficiais; identificar as relações institucionais existentes para o ensino e aprendizagem das noções de ponto e reta no plano no Ensino Médio, via livros didáticos; efetuar um estudo comparado entre as relações institucionais esperadas e existentes. Observar-se-á assim as regularidades e as diferenças institucionais para essas duas relações no Ensino Médio; identificar as relações pessoais esperadas dos estudantes e sua conformidade com as relações institucionais existentes, via macro avaliações; identificar quais conhecimentos prévios possam ser esperados como mobilizáveis quando se considera a introdução de Geometria Analítica no Ensino Superior; identificar um conjunto de tarefas que sirvam de referência para o desenvolvimento da noção de ponto e reta no plano e que correspondam às expectativas institucionais. Em função destes objetivos específicos foi elaborada uma metodologia para a pesquisa que permitiu estudar, analisar e identificar as relações institucionais esperadas e existentes, as regularidades e diferenças entre e sua conformidade com 211

211 as relações pessoais que se espera tenham sido desenvolvidas ao final do Ensino Médio. Observou-se ainda, as reais possibilidades dos estudantes em função das relações institucionais existentes. Para relatar os resultados encontrados, inicia-se pela primeira questão respondendo as três apresentadas acima e na sequência consideram-se os objetivos específicos. Na realidade, pode-se dizer que a primeira questão está associada ao estudo dos ostensivos e não ostensivos considerados como um dos objetivos específicos. A resposta para esta questão está diretamente associada à construção da grade de análise, onde identificamos os ostensivos e não ostensivos de representação de pontos e retas no plano, sendo que para os ostensivos apresentamos exemplos que permitem melhor compreendê-los. Já para os não ostensivos, considerou-se apenas as diferentes noções que podem ser evocadas quando da manipulação dos ostensivos. Observa-se que estas noções, em geral, correspondem a conhecimentos prévios supostos disponíveis uma vez que devem ter sido trabalhados no Ensino Fundamental e nas duas primeiras séries do Ensino Médio. Para a segunda questão, conclui-se que, em função dos ostensivos de representação escrita associados à noção de retas no plano, as representações paramétrica e simétrica não são introduzidas no Ensino Médio, o que leva a concluir que a articulação entre os pontos de vista cartesiano e paramétrico não é contemplada e este trabalho é deixado para ser realizado no Ensino Superior. Considerando a resposta acima, para o estudo das retas no plano, o ponto de vista privilegiado é o cartesiano. Mas, para a representação de ponto, observa-se que os pontos de vista geométrico e em coordenadas sobrevivem em harmonia, pois, em geral, espera-se que o estudante seja capaz de representar geometricamente os pontos dados em uma determinada tarefa antes de efetuar sua resolução, utilizando assim, o ponto de vista em coordenadas. Para o estudo do objetivo especifico, que é identificar as relações institucionais esperadas, a análise dos documentos oficiais escolhidos, apresentada no capítulo 2, mostrou que existe uma preocupação institucional nacional em mudar 212

212 as condições de ensino e aprendizagem no Ensino Médio de forma que possa preparar o estudantes para a autonomia tanto no que diz respeito a sua atuação no mercado de trabalho como no prosseguimento de seus estudos. Observamos que para tanto os documentos apontam para uma nova organização curricular comprometida com o mundo do trabalho, com a produção científica e o avanço tecnológico e com a formação humana e intelectual do estudante, descaracterizando desta forma o ensino tradicional, descontextualizado, compartimentado e baseado no acúmulo de informações. Apesar de propor a formação de um individuo autônomo, cuja formação possibilite sua inserção social, a realidade mostra que não é fornecido subsidio ao professor para desenvolver essa nova proposta de trabalho, o que leva a concluir que o professor fica completamente desamparado em sua prática docente em relação ao que ensinar e como ensinar, o que pode interferir de forma negativa tanto no topos do professor como do estudante. Além disso, quando se consideram as articulações e os diferentes níveis de tratamento das noções de ponto e retas no plano, não existem nos documentos exemplos precisos para esse trabalho. Ressalta-se aqui que os conhecimentos que os estudantes têm que mobilizar para adquirir novas noções podem ser fatores desconhecidos dos professores, tanto do Ensino Médio como do Ensino Superior. Portanto, para que os professores possam realizar a tarefa que lhes é atribuída, isto é, trabalhar com situações contextualizadas em diferentes contextos, o que corresponde às organizações didáticas propostas, é preciso que os mesmos disponham de materiais que mostrem essa possibilidade. Sendo assim, considera-se necessário discutir e desenvolver um trabalho específico com professores sobre novas formas de trabalho para que os mesmos possam modificar sua prática pedagógica. O exemplo abaixo coloca em evidência a importância desse trabalho. Ao estudar a representação cartesiana de uma reta em IR², esta se apresenta explicitada por uma sentença matemática de duas variáveis, enquanto que em IR³, é representada por duas equações de três variáveis. Trata-se, portanto, do mesmo objeto matemático trabalhado em espaços distintos o que conduz 213

213 necessariamente a representações distintas. É importante que o professor conscientize seus estudantes dessas diferenças, pois isso conduz a ressaltar o fato de que IR 2 não é subespaço vetorial de IR 3, pois trabalhamos com objetos diferentes. Essa distinção muitas vezes não é percebida pelos estudantes e deve ser explicitada, pois existem pontos e retas no plano e no espaço e para representá-los necessitamos de diferentes ostensivos mesmo se o não ostensivo ponto e reta sejam os mesmos. Considerando, mais especificamente, às organizações matemáticas, didáticas e pedagógicas propostas para o ensino e aprendizagem das noções de ponto e reta no plano no Ensino Médio, ou seja, quanto ao topos do professor, enquanto profissional da educação - embora não exista orientação explicita nos documentos - pode-se dizer que a função do mesmo é identificar os conhecimentos prévios de seus estudantes e a partir deles desenvolver métodos e estratégias que conduzam à autonomia e ao reconhecimento das possibilidades de aplicação dos conteúdos estudados em diferentes situações escolares, das outras ciências e cotidianas. O trabalho realizado pelo professor deve ser compreendido pelos estudantes de forma que, ao final do Ensino Médio, os mesmos sejam responsáveis por seus próprios projetos de estudo. Observa-se assim a necessidade de uma mudança no trabalho do professor. O docente deve propiciar ao estudante um fazer matemático por meio de um processo investigativo e articulado que o auxilie na apropriação das noções trabalhadas. Dessa forma, o topos do professor, ao iniciar uma relação didática, é o de identificar meios de fazer emergir os conhecimentos do estudante de forma que ele os mobilize em contextos distintos daquele em que aprendeu para responder a uma determinada situação; pode-se dizer, aqui, que a proposta é que o professor utilize situações que permitam que os estudantes realizem mudanças de quadros ou de pontos de vista, mesmo se estes termos não aparecem explicitamente nos documentos. No que se refere ao topos institucionalmente esperado do estudante, observou-se nos mesmos documentos que ele deve construir novos conhecimentos 214

214 a partir de seus conhecimentos prévios para solucionar as tarefas propostas pelo professor, devendo ainda explicitar o seu trabalho ao propor respostas para as tarefas, isto é, os estudantes, além de manipular os ostensivos necessários na técnica empregada, devem utilizar um discurso que descreva, explique e justifique o trabalho realizado necessitando assim evocar os não ostensivos em jogo nessa manipulação. Finalmente, observa-se que nos documentos analisados, existe uma preocupação em organizar o trabalho a ser realizado por professores e respectivos estudantes, em particular, para a Nova Proposta do Estado de São Paulo, onde o trabalho a ser realizado pelo professor é totalmente explicitado, exigindo apenas que se complemente quando possível, isto é, se os estudantes dispõem de conhecimentos prévios que permitam ultrapassar a proposta mínima apresentada no material. Para o caso especifico das relações institucionais existentes, a análise dos livros didáticos, por meio da grade de análise construída para esse fim, mostra que, em geral, as tarefas levantadas como aquelas que são habitualmente desenvolvidas no ensino Médio, são propostas para serem desenvolvidas pelos estudantes e os exemplos que as acompanham possibilitam que os mesmos efetuem o trabalho autônomo proposto nos documentos oficiais analisados. Observa-se ainda que as articulações de quadros e pontos de vista, mesmo se não tratadas nesses termos, são consideradas assim como a utilização de exemplos relacionados a situações reais, de outras ciências e cotidianas. Se os estudantes dominarem os conceitos e ideias desenvolvidos nos livros didáticos, ao final do Ensino Médio, em particular, adquirindo o hábito de representar graficamente as diferentes situações propostas de forma a criar as imagens mentais e visualizar as propriedades em jogo, seriam auxiliados a compreender melhor as mesmas propriedades em espaços de maior dimensão onde se trabalha apenas no quadro algébrico. As considerações acima sobre as relações institucionais esperadas e existentes deixam evidente que as expectativas institucionais apresentadas nos documentos oficiais são contempladas de forma satisfatória pelos livros didáticos 215

215 analisados. Observou-se que, no desenvolvimento dos conteúdos, busca-se a compreensão das novas noções trabalhadas por meio da articulação entre conhecimentos prévios e novos conhecimentos, existindo ainda uma preocupação de articulação dessas noções por meio da utilização de diferentes métodos e estratégias conforme propõem os documentos, Após identificar as relações institucionais esperadas e existentes, comparálas e observar que as mesmas estão em conformidade, para melhor compreender os resultados, em geral, insatisfatórios das macroavaliações, poderíamos escolher alguns grupos de estudantes, o que daria uma visão restrita das condições dos mesmos. Mas, optou-se pelos dois vestibulares mais concorridos de São Paulo e pelo Exame Nacional do Ensino Médio, pois estas avaliações são destinadas ao ingresso dos estudantes no Ensino Superior. Para as provas analisadas que correspondem aos últimos seis anos, observou-se que, em geral, as questões de Geometria Analítica vão sendo reduzidas no decorrer destes anos e que o que é pedido é contemplado pelas relações institucionais existentes. Mas, a análise das relações institucionais existentes mostra que as propriedades associadas às noções de ponto e reta são trabalhadas separadamente e as tarefas propostas aos estudantes, em geral, exigem a aplicação de uma determinada propriedade enquanto que nas macroavaliações, em geral, as situações dadas exigem a aplicação de várias propriedades sendo que muitas vezes elas são interdependentes. Esta nova forma de apresentar as tarefas, em que se exige uma aplicação de diversas propriedades interdependentes pode ser um obstáculo para os estudantes que estão habituados a trabalhar com estas mesmas propriedades, mas separadamente. Existe aqui um ponto importante a ser considerado pelos professores do Ensino Superior, que podem aproveitar a existência desse conhecimento difuso e revisitar as noções de ponto e reta no plano fazendo este trabalho de relacionar as diferentes propriedades numa mesma tarefa. 216

216 Desta forma, observa-se aqui que os conhecimentos prévios podem ser identificados pelo professor por meio de tarefas habitualmente encontradas no Ensino Médio, apresentadas na grade de análise no capítulo 3. Estas tarefas podem servir de referência não só para identificar conhecimentos prévios, mas para a construção de cenários de aprendizagem onde se introduzem as noções de pontos e retas no plano e no espaço, mostrando a necessidade de novos ostensivos, o que permite distinguir um espaço do outro. Sendo assim, a conclusão deste trabalho nos indica a necessidade de uma melhor articulação de conhecimentos no Ensino Médio se queremos que os estudantes sejam capazes de enfrentar novas situações como as que são solicitadas, em particular, nos vestibulares das universidades públicas. Este trabalho pode ser realizado por meio de uma nova pesquisa com um grupo restrito de estudantes. Além disso, também se considera como uma perspectiva para o futuro a proposta de identificação dos conhecimentos prévios para um grupo de estudantes que iniciam o Ensino Superior e com base nesses conhecimentos elaborar um curso de Geometria Analítica que lhes permita utilizar de forma consciente os diferentes ostensivos de representação de ponto e reta, distinguindo os diferentes espaços de trabalho, sendo capazes de escolher o melhor método a utilizar em função dos não ostensivos que eles dispõem. Além disso, ao manipular os ostensivos nas técnicas disponíveis, espera-se que os estudantes possam planejar executar, justificar e controlar o trabalho matemático em jogo. Certamente, existe ainda um grande trabalho a realizar, tanto no Ensino Médio como no Ensino Superior, mas observa-se aqui que esta pesquisa trata de uma primeira abordagem que pode auxiliar aqueles que desejam mudar as condições existentes para o processo de ensino e aprendizagem de Geometria Analítica, isto é, apresentou-se aqui um embrião de uma árvore que ao crescer poderá se ramificar em diferentes direções. 217

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225 FARO, S. D. Os conhecimentos supostos disponíveis na transição entre o ensino médio e o ensino superior: o caso da noção de sistemas de equações lineares. Dissertação (Mestrado) Uniban, São Paulo, GOUVEIA, J. Estudo de intervalo sobre IR² a partir de situações contextualizadas ao ensino médio e superior. Dissertação (Mestrado) Unicsul, São Paulo, KARRER, M. Articulação entre álgebra linear e geometria um estudo sobre as transformações lineares na perspectiva dos registros de representação semiótica. Dissertação (Doutorado) PUC, São Paulo, SILVA, C. R. Explorando equações cartesianas e paramétricas em um ambiente informático. Dissertação (Mestrado) PUC, São Paulo, SIMIÃO, F. A noção de matriz na transição entre o ensino médio e o superior. Dissertação (Mestrado) Uniban, São Paulo, Sites eletrônicos < Acesso em 21 jan < Acesso em 10 abr < Acesso em 21 jan < > Acesso em 12 abr < Acesso em 30 jan < Acesso em 30 jan < Acesso em 30 jan < Acesso em 22 jan.2011 < Acesso em 13 abr

226 < contents1.html.> Acesso em 22 jan.2011 < Acesso em 13 abr < Acesso em 12 abr < Acesso em 12 abr < Acesso em 12 nov < Acesso em 06 out < Acesso em 09 fev < Acesso em 15 fev < Acesso em 10 mar < Acesso em 10 abr < yves.chevallard.free.fr/spip/spip> Último acesso em 21 jan

227 GLOSSÁRIO Aprendizagem significativa utiliza-se aqui a noção de aprendizagem significativa definida por AUSUBEL (1980). Antropologia cognitiva Ela situa a atividade matemática no conjunto das atividades humanas como um conjunto de praticas que para serem estudadas necessitam que se compreenda as leis do funcionamento do sistema de ensino com a intenção de melhorá-lo, isto é, é preciso estudar as praticas relativas aos saberes para distinguir as instituições em função das praticas que as mesmas realizam: produção do saber, utilização do saber, ensino do saber, transposição do saber. Atividade matemática - prática composta de um sistema de tarefas. Conhecimento institucionalmente esperado quando o mesmo é explicitado por meio de uma relação institucional esperada. Exemplo, quando um conhecimento vem indicado em um documento oficial. Conhecimento institucionalmente existente - quando o mesmo é explicitado por meio de uma relação institucional existente. Exemplo: quando um conhecimento vem indicado em um livro didático. Conhecimentos prévios - São os conhecimentos trabalhados em etapas anteriores e que fazem parte da estrutura cognitiva do indivíduo. Estes são mobilizáveis quando aparecem explicitamente em uma determinada tarefa e disponíveis quando o sujeito os utiliza espontaneamente. Contrato didático (CHEVALLARD, 1992) - relações institucionais estáveis, transparentes, naturais para as pessoas em relação a um conjunto de objetos do saber. Dialética ostensivo/não ostensivo - geralmente concebida em termos de signos e de significação: os objetos ostensivos são signos de objetos não ostensivos que constituem o sentido ou a significação. 228

228 Ferramenta Explícita (DOUADY, 1986, 1992) - utilização de um objeto do saber matemático de forma intencional para resolver um problema. Ferramenta/Objeto (DOUADY, 1986, 1992) quando um conceito matemático funciona ora como ferramenta ora como objeto na solução de diferentes situações propostas ao aprendiz. Habitat (CHEVALLARD, 2002) - o(s) lugar(es) onde vivem os objetos matemáticos considerados, Millieu (BROUSSEAU, 2003) é constituído de objetos (físicos, culturais, sociais, humanos) com os quais o sujeito interage em uma situação. Millieu (CHEVALLARD, 1992) - conjunto dos objetos para os quais a relação institucional é estável, não problemática. Não ostensivos - representações internas sobre um objeto de estudo, tais como as noções, os conceitos, as concepções, as intuições ou as imagens mentais. Nicho (CHEVALLARD, 2002) - funções que os objetos matemáticos ocupam em cada um de seus habitats Nível disponível aplicar corretamente um determinado conhecimento sem que o mesmo seja pedido explicitamente. Nível mobilizável aplicar corretamente um conhecimento que é pedido explicitamente. Nível técnico - utilização de ferramentas e definições para a resolução de uma determinada tarefa, como por exemplo, a aplicação de uma fórmula. Organização praxeológica ou praxeologia - um modelo para análise da ação humana institucional. Esta noção refere-se à identificação de uma estrutura formal do saber, caracterizada por quatro elementos que se relacionam de forma dinâmica e dialética: tipos de tarefas, técnicas, tecnologias e teorias. Nas praxeologias o bloco 229

229 prático é composto de tipos de tarefas e técnicas e o bloco teórico das tecnologias e teorias que justificam as técnicas utilizadas na solução dos diferentes tipos de tarefas. Ostensivos - objetos que têm uma forma material, sensível, que podem ser manipulados, isto é, representações externas. Ostensivos discursivos - as palavras, e, mais genericamente, o discurso oral. Ostensivos escriturais as escritas e formalismos. Ostensivos gestuais os gestos (exemplos: utilizar as mãos para mostrar o tamanho de um objeto ou apontar uma determinada direção ou quando dizemos os dois lados de uma equação). Ostensivos gráficos - os esquemas, desenhos, grafismos. Ponto de vista (ROGALSKI, 2001) diferentes formas de tratar uma mesma noção matemática, podendo corresponder a uma mudança de quadro. Ponto de vista geométrico associado à representação de um ponto por meio de uma letra maiúscula que aqui denominamos ostensivos de representação intrínseca de ponto. Ponto de vista em coordenadas associado à representação de ponto ou reta no plano por meio de um sistema cartesiano ortogonal. Quadro (DOUADY, 1986) - constituído de objetos de um ramo da Matemática, de relações entre esses objetos, de suas formulações eventualmente diversas e de imagens mentais associadas a esses objetos e essas relações, ou seja, teoria suficientemente definida, onde objetos de um determinado ramo da Matemática se situam. Quadro algébrico - constituído de objetos da álgebra com suas regras e leis. 230

230 Quadro geométrico constituído de objetos da geometria com suas regras e leis. Quadro numérico - constituído de objetos da aritmética com suas regras e leis. Representação externa aquelas que podemos manipular. Representação interna aquelas que apenas evocamos. Sistema didático (CHEVALLARD, 1992) - sistema constituído por professor, alunos, o saber a ensinar e as relações que se estabelecem entre eles, destacando o saber e a natureza do mesmo, estabelecendo uma didática de natureza epistemológica, onde se estuda as dificuldades de ensino e aprendizagem devido à própria natureza do saber que se ensina. Tipo de Tarefa (CHEVALLARD, 1994) - toda prática institucional ou atividade humana, cultivada regularmente em um determinado contexto social, por exemplo: abrir uma porta, escovar os dentes, subir uma escada, resolver uma equação do segundo grau, elaborar uma axiomática de geometria plana, dar uma aula de ortografia. Técnica (CHEVALLARD, 1994) estratégias ou métodos utilizados na execução de uma tarefa. Tecnologia de uma técnica (CHEVALLARD, 1994) - discurso que descreve, explica e justifica uma técnica. Teoria (CHEVALLARD, 1994) - discurso que descreve, explica e justifica uma tecnologia. Topos - palavra grega que significa lugar ocupado ou papel a desempenhar em um determinado contexto. Topos do estudante (CHEVALLARD e GRENIER, 1997) - função do aluno em desempenhar com autonomia relativa, em relação ao professor, um papel que lhe é próprio, ou seja, ser seu própio orientador de estudos. 231

231 Topos do professor (CHEVALLARD e GRENIER, 1997) - função do professor em organizar o estudo e reconhecer os diferentes tipos de tarefas que correspondem a um determinado tema com a ajuda das propostas institucionais, dos livros didáticos e de outros documentos. Transposição Didática (CHEVALLARD,1985) observando que a matemática vive em diferentes instituições, a transposição didática corresponde à passagem de uma instituição a uma outra, isto é, ela satisfaz um conjunto de processos que conduzem do saber de referência, em particular, o saber sábio aos objetos de ensino. Este processo sendo o seguinte: objeto do saber objeto a ensinar objeto de ensino objeto ensinado. 232

232 ANEXOS 233

233 ANEXO 1: Cálculo da altura de um triângulo - Técnica do determinante Sejam A(2, 1) e B(1, 3) pontos pertences a reta r e P(x, y) um ponto genérico pertencente à reta r. Como A, B e P nessa ordem estão alinhados, pelo Teorema de Tales temos: AB AP 1 2 e x 2 AB AP 3 1. Como y = x 2 3 1, aplicando a propriedade de y 1 proporção e (em uma proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios) temos: (1 2) (y 1) = (3 1) (x 2). Efetuando as operações indicadas obtêm-se: 2x + y + 5 = 0 (1). Considerando o determinante formado pelos três pontos mais uma coluna de zero x e igualando a zero, temos: Resolvendo esse determinante obtêmse: 2x + y + 5 = 0 (2). Comparando (1) e (2) verifica-se que são iguais. 1 y Tratou-se aqui de um caso particular, mas pode-se generalizar efetuando o mesmo raciocínio para três pontos quaisquer A(x 1, y 1 ), B(x 2, y 2 ) e C(x 3, y 3 ) colineares. Conclui-se assim que, dados dois pontos no plano, para determinar a equação da reta passando por esses pontos considera-se um ponto genérico P, calcula-se o determinante desses três pontos mais uma coluna de 1 e iguala-se o mesmo a zero. Logo, o determinante é representado por: x x x y y y O que justifica a tecnologia desenvolvida acima é o Teorema de Tales aplicado para o desenvolvimento da tarefa. Em geral, quando se recorre a essa técnica utiliza-se diretamente o determinante apresentado acima. 234

234 ANEXO 2 - Técnica da representação na forma reduzida e representação funcional de uma reta Sejam A(2, 1) e B(1, 3) pontos pertences a reta r. Sabemos que dois pontos distintos determinam uma única reta (axioma da geometria euclidiana). Dessa forma, considerando um ponto e calculando a declividade da reta r, pode-se determinar sua representação na forma reduzida. Dados dois pontos tais que x 1 x 2, pode-se concluir que se trata de uma reta não vertical, logo existe uma função afim f:ir IR tal que f(x 1 ) = y 1 e f(x 2 ) = y 2. Como o gráfico de f é uma reta que passa pelos pontos A e B conclui-se que essa reta coincide com a reta r procurada. Nesse caso, como a taxa de variação da função afim a = o coeficiente angular m da reta r, temos: y y a = m = tgα = = B y A x xb x A y y = B y A coincide com x xb x A Logo, dado um ponto (x 0, y 0 ) e conhecida a declividade da reta m = determina-se sua representação na forma reduzida, isto é, y y 0 = m (x x 0 ). y y x x 0 0 Para o caso particular considerado a declividade de r ou o coeficiente angular de r é y y dado por m = tg = = B ya, então m = x xb xa 3 1, logo m = Considerando A (2, 1) como um dado ponto de r, P(x, y) um ponto qualquer de r e m = 2. Substituindo A e m na representação da reta na forma reduzida: y y 0 = m (x x 0 ), temos: y 1 = 2 (x 2). 235

235 Efetuando as operações indicadas encontra-se y = 2x + 5 que é representação funcional da reta r e quando f(x) = 2x + 5 é a função afim cujo gráfico é uma reta não vertical. Observa-se aqui que a tecnologia utilizada para determinar a representação da reta na forma reduzida é descrita, explicada e justificada por meio: do axioma da geometria euclidiana, a saber, dois pontos distintos determinam uma única reta, da noção de reta não vertical e das noções de função afim e gráfico da função afim. Lages Lima et al. (2000) prova as afirmações: Dados arbitrariamente (x 1, y 1 ), (x 2,y 2 ) IR 2, com x 1 x 2, existe uma, e somente uma, função afim f:ir IR tal que f(x 1 )=y 1 ef(x 2 )=y 2. e Toda reta não vertical r é o gráfico de uma função afim. (LAGES LIMA et al., 2000, p.90-91) 236

236 ANEXO 3 Articulação da noção de mediana de um triângulo e noção de geometria euclidiana Figura 96: Cálculo das medianas de um triângulo. Fonte: Dante, 2006, p. 14 Ao observar, na figura 96, a resolução do exercício dada pelo autor, nota-se a mobilização de níveis de conhecimento. O autor inicia a resolução do exercício utilizando o ostensivo de representação visual do enunciado, ou seja, através de uma interpretação visual do enunciado, ele conduz o estudante a mobilizar conhecimentos prévios sobre a noção de altura de um triângulo. Em seguida, ele articula a noção de altura da geometria euclidiana com a noção de distância entre ponto e reta da geometria analítica, obtendo desta forma a resolução do exercício proposto. 237

237 ANEXO 4 Exemplo de articulação entre as noções trabalhadas em geometria analítica e as suas noções correspondentes em geometria. Figura 97: Cálculo da altura de um triângulo. Fonte: Dante, 2006, p. 46 Nota-se através do exemplo, figura 97, a articulação do não ostensivo altura de um triângulo nas geometrias euclidiana e analítica; a utilização de ostensivos de representação; bem como a mudança de quadros geométrico para algébrico, apresentando um discurso tecnológico que justifica as representações utilizadas e as conversões de representações necessárias. Pressupõem-se, portanto, que o autor considera os níveis de conhecimento mobilizável, técnico e disponível, esperados do estudante para a compreensão e resolução dos exercícios. 238

238 ANEXO 5 - Articulação da noção de distância entre dois pontos e noções da geometria euclidiana. Figura 98: Tarefa sobre distância entre dois pontos. Fonte: Iezzi et al., 2006, p. 12 Observa-se aqui que, para a resolução da tarefa, figura 98, há a necessidade de conversões de representações tais como: da representação geométrica de ponto para a representação algébrica intrínseca, da representação algébrica de ponto para representação gráfica de ponto. Em geral, essas conversões não são consideradas como conteúdo a ser desenvolvido no curso, mas que podem apresentar dificuldades na execução das tarefas propostas para os estudantes. Além da questão das representações, a tarefa proposta exige que se mobilizem outros conhecimentos tais como as noções de ponto, sistema cartesiano ortogonal, equidistância entre pontos, simetria de pontos em relação aos eixos coordenados, polígonos e suas propriedades o que pode não corresponder aos conhecimentos prévios dos estudantes. Nota-se que esse trabalho deve ser negociado pelo professor e os estudantes em função dos conhecimentos prévios de seus estudantes. 239

239 ANEXO 6 Tarefas sobre coordenadas do ponto médio Figura 99: Tarefa sobre coordenadas do ponto médio. Fonte: Iezzi et al., 2006, p.14 Para a resolução da tarefa 48 apresentada na figura 99, o estudante tem que inicialmente dispor do conhecimento de geometria sobre a propriedade das diagonais de um losango, ou seja, que elas se encontram em seus pontos médios e através desse conceito identificar quais são os vértices do losango considerados no exercício para que, em seguida, utilizando a noção de ponto médio da Geometria Analítica, determine o vértice solicitado. No entanto, para a resolução da tarefa 50, os autores consideram o nível disponível do estudante em relação à noção de desenvolvimento do quadrado da soma de dois termos, resolução de equação irracional, resolução de sistemas lineares e mobilizável em relação à utilização das fórmulas de distância entre dois pontos e de ponto médio de um segmento. Isso exige uma atenção do professor ao propor este tipo de tarefa, pois o estudante deve mobilizar e dispor de conhecimentos que podem não ter sido desenvolvidos nas etapas anteriores 240

240 ANEXO 7 - Feixe de retas concorrentes Figura 100: Exemplo de representação de feixe de retas concorrentes. Fonte: Iezzi et al., 2006, p.29 A partir de um caso particular, os autores introduzem a equação do feixe de retas passando por um ponto. Eles observam que o coeficiente angular m é um número real, portanto existem infinitas retas passando por um ponto. 241

241 ANEXO 8 - Articulação entre representações de equações de reta Figura 101: Articulação entre representações de equações de reta. Fonte: Iezzi et al., 2006, p.29 Observa-se que este trabalho, proposto pelos autores, demanda uma articulação entre os quadros geométrico e algébrico, onde são evocados os ostensivos de representação geométrica, representação explícita de ponto, representação funcional de uma reta em IR², conforme se observa-se nos exemplos abaixo, figuras 102 e

242 Figura 102: Exemplo 1 sobre articulação entre representações de equações de reta. Fonte: Iezzi et al., 2006, p.29 Figura 103: Exemplo 2 sobre articulação entre representações de equações de reta. Fonte: Iezzi et al., 2006, p