MODELO DE ANÁLISE NÃO LINEAR E DEPENDENTE NO TEMPO DE ELEMENTOS VIGA DE BETÃO ARMADO SUBMETIDOS AO ESFORÇO TRANSVERSO

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1 Congresso de Métodos Numéricos em Engenharia 211 Coimbra, 14 a 17 de Junho, 211 APMTAC, Portugal, 211 MODELO DE ANÁLISE NÃO LINEAR E DEPENDENTE NO TEMPO DE ELEMENTOS VIGA DE BETÃO ARMADO SUBMETIDOS AO ESFORÇO TRANSVERSO Denise Ferreira 1 *, Jesús Bairán 2 e António Marí 2 1: Departament d Enginyeria de la Construcció Escola Tècnica Superior d Enginyers de Camins, Canals i Ports Universitat Politècnica de Catalunya Campus Nord, C. Jordi Girona 1-3, 834 Barcelona denise.carina.santos@estudiant.upc.edu t, web: 2: Departament d Enginyeria de la Construcció Escola Tècnica Superior d Enginyers de Camins, Canals i Ports Universitat Politècnica de Catalunya Campus Nord, C. Jordi Girona 1-3, 834 Barcelona {jesus.miguel.bairan,antonio.mari}@upc.edu web: Palavras-chave: Análise não linear, betão armado, elementos tipo barra, interacção de esforços normais e tangenciais, fissuração distribuída Resumo. Propõe-se, neste artigo, um modelo numérico baseado em elementos tipo barra (Timoshenko) com a secção discretizada em fibras para a análise não linear e dependente no tempo de pórticos de betão armado sob solicitações combinadas de flexão e esforço transverso. Os efeitos do esforço transverso são considerados ao nível da secção a partir das seguintes hipóteses: i) deformação normal plana; ii) distribuição constante da tensão tangencial ao longo da altura da secção; iii) comportamento constitutivo biaxial do betão com fissuração distribuída de direcção variável. Em contraste com modelos de flexão pura, onde somente se considera o equilíbrio de forças normais, neste modelo, o equilíbrio entre as tensões verticais no betão, as tensões nos estribos e as tensões tangenciais são consideradas a partir do isolamento de cada fibra, mediante cortes horizontais e resolvendo iterativamente o problema não linear. Um outro procedimento iterativo ao nível da secção permite aproximar a distorção do elemento finito à deformação de corte proveniente do modelo seccional. Este modelo permite captar satisfatoriamente a resposta tenso-deformacional e o modo de rotura de estruturas tipo barra de betão armado submetidas à acção concomitante da flexão e do esforço transverso. Deste modo, permite abordar a análise não linear de estruturas completas com um custo computacional muito menor comparativamente a outros modelos de elementos finitos mais complexos, permitindo também uma entrada de dados mais simples e uma interpretação de resultados mais clara.

2 1. INTRODUÇÃO 1.1. Motivação O comportamento não linear de estruturas de betão armado quando submetidas a elevados esforços tangenciais tem sido extensamente debatido nos últimos anos dentro da comunidade científica da especialidade. Como fruto desta discussão, têm surgido várias propostas de modelação do mecanismo resistente do betão armado ao esforço transverso, com diferentes níveis de aproximação e de demanda computacional. Uma extensa revisão do estado de arte sobre este tema, focado nos elementos de viga, pode ser encontrada na referência [1]. Este importante esforço de investigação deveu-se, em grande medida, à série de episódios de colapsos por rotura ao esforço transverso que aconteceram no passado recente e que evidenciaram as debilidades do actual estado de conhecimento sobre este tema. Alguns exemplos destes colapsos históricos são: a rotura da plataforma de petróleo Sleipner no ano de 1991 na Noruega [2], tendo sido o uso indevido de potentes modelos numéricos a causa do acidente; os pavilhões industriais da Força Aérea Americana na década de 5 do século passado que tiveram consequências nas subsequentes normas americanas de dimensionamento; o colapso por esforço transverso de parte de um viaduto recentemente inspecionado no Québec (Canadá), em 26, [3] veio pôr em causa as normas de dimensionamento e de inspecção em vigor; os colapsos observados nos sismos recentes (Kobe em 1995, Taiwan em 1999, Chile em 21) são maioritariamente roturas por corte. Apesar do surgimento de modelos cada vez mais sofisticados, o fosso entre a análise ao nível científico e os métodos de cálculo ao nível da aplicação na Engenharia Civil, torna-se cada vez maior. De facto, hoje em dia, a métodos analíticos mais utilizados no dimensionamento de peças de betão armado ao esforço transverso são baseados na Treliça de Ritter-Morsch que foi desenvolvida há mais de um século. Esta popular metodologia baseada na Teoria da Plasticidade, idealiza o fluxo de forças como uma série de escoras de betão à compressão e de tirantes de armadura à tracção e é, por isso, mais representativa do estado de rotura. Ao mesmo tempo, os vários códigos de dimensionamento aplicam diferentes teorias para o problema de elementos de betão submetidos ao esforço transverso, levando a diferenças significativas de resultados entre eles. Esta discrepância deve-se ao facto de não existir uma teoria geralmente aceite para modelar o mecanismo resistente de secções de betão armado solicitadas ao corte análoga à teoria das secções planas de Bernoulli-Navier para o caso de solicitações normais Modelos de interacção de esforços Um elemento viga solicitado ao esforço transverso está submetido a forças concomitantes de flexão e corte levando à formação de um estado multiaxial de tensões e deformações. Quando a deformação principal de tracção atinge a deformação correspondente à resistência à tracção do betão, aparecem fissuras inclinadas de aproximadamente 45º, no caso de não existirem esforços axiais. A fissuração inclinada aliada ao comportamento altamente não linear e diferenciado do betão armado à compressão e à tracção, faz com que a modelação de 2

3 elementos de betão armado solicitados a estados multiaxiais de deformações e tensões seja um problema bastante complexo. Grande parte desta dificuldade deve-se á elevada diversidade de forças internas que contribuem para o mecanismo resistente ao esforço transverso: tensões tangenciais na zona comprimida, tensões tangenciais ao longo do plano da fissura devido ao atrito proveniente dos agregados, acção tipo cavilha da armadura longitudinal, tensões de tracção residuais ao longo do plano da fissura e o mecanismo resistente tipo treliça proveniente da armadura transversal. A partir do uso de potentes modelos numéricos de elementos finitos 3D é possível ter em conta, com mais ou menos precisão, a interacção de esforços normais e tangenciais em elementos de betão armado. No entanto, no estudo de estruturas reais o uso destas ferramentas é impraticável, não só pela quantidade e complexidade de dados gerados, como pela necessidade de formação especializada do utilizador destes programas. Como alternativa aos modelos sofisticados de elementos finitos 3D, surgem os elementos de barras que podem ser uma solução adequada para o dimensionamento de estruturas reais. Actualmente, na busca de estruturas mais económicas e seguras, os modelos não lineares simples começam a ganhar espaço na prática da Engenharia Civil, uma vez que os códigos de dimensionamento estão a abrir portas ao uso de modelos não lineares de elementos finitos para o dimensionamento estrutural (o nível III do dimensionamento ao esforço transverso do Código Modelo 21). Os modelos de barras foram desenvolvidos nas décadas de 7 e 8 do século passado, atingindo um elevado nível de precisão para os casos de solicitações normais, em que os esforços tangenciais são desprezáveis (alguns exemplos podem-se encontrar em [4-8]). Sendo assim, casos de estruturas submetidas a importantes níveis de esforço transverso não podem ser correctamente simulados a partir dos tradicionais elementos de viga. Existe assim, uma elevada diferença no grau de precisão conseguido com os modelos numéricos de elementos finitos de vigas quando se analisam estruturas submetidas maioritariamente à flexão em comparação com o esforço transverso. A formulação numérica proposta neste artigo insere-se no grupo de modelos que têm como principal objectivo colmatar esta necessidade, isto é, aportar soluções numéricas não lineares relativamente simples e suficientemente precisas para a análise de estruturas de betão armado submetidas a importantes esforços tangenciais. O modelo proposto insere-se no contexto dos modelos de elementos tipo viga, com a secção discretizada em fibras, incluindo na sua formulação os efeitos do esforço transverso, simulando a resposta estrutural através do uso de leis constitutivas racionais e considerações adequadas ao nível da cinemática da secção. No que diz respeito à simulação do material, e dentro das diferentes linhas possíveis de modelação aplicáveis ao estado multiaxial de deformações do betão armado (teoria de microplanos [9, 1], teoria da mecânica da fractura [11], etc.), o modelo proposto considera a fissuração como um efeito distribuído com direcção continuamente variável, sendo que o betão fissurado é simulado como um material contínuo com propriedades mecânicas anisotrópicas. Este tipo de modelos constitutivos mostrou ser bastante adequado para análises seccionais com solicitações de combinação de esforços [12]. Relativamente à cinemática da secção transversal, quando solicitada a estados multiaxiais de tensões, existem várias teorias com diferentes níveis de complexidade não existindo, por isso, um consenso geralmente aceite sobre este tema. De facto, a teoria das secções planas de 3

4 Euler-Bernoulli é uma aproximação adequada entre as deformações e as tensões normais na secção, unicamente no caso de estar solicitada a esforços normais. Com a presença de esforços tangenciais, esta teoria deixa de ser válida devido à distorção que é gerada. Assim, e com a motivação de ampliar os modelos de viga aos casos de solicitações com esforços transversos acoplados, têm surgido nos últimos anos várias teorias que pretendem simular a cinemática de secção sob estados multiaxiais de tensão. Por um lado, existem aproximações que consideram o equilíbrio interno entre fibras, tratandose de modelos seccionais equivalentes aos baseados em formulações de forças, em que as distribuições de tensões e deformações na secção são dependentes do estado do material. Deste grupo fazem parte: a análise da dupla secção de Vecchio e Collins [13], o método da rigidez longitudinal de Bentz [14], a teoria de total interacção de esforços tridimensionais de Bairán [15], o modelo de Mohr [16] de definição do fluxo de distorções ao longo da secção através de séries de polinómios. Estes modelos implicam uma elevada complexidade de implementação, uma grande quantidade de parâmetros e uma importante demanda computacional. No entanto, são modelos que representam com bastante precisão o comportamento resistente do betão armado submetido a complexos estados de tensão. Por outro lado, existem aproximações que consideram padrões fixos de deformações ou tensões ao longo da secção e que são análogas às formulações baseadas em deslocamentos, uma vez que é assumida uma lei cinemática constante como base do modelo. Assim, estes modelos estimam a distribuição interna de deformação e tensão tangencial ao longo da secção, assumindo padrões fixos de deformação ou de tensão constantes ao longo de todo o processo de carga. Deste modo, a compatibilidade de deformações não é garantida na direcção transversal assim como o equilíbrio interno entre fibras. O modelo proposto considera um padrão de tensões tangenciais constante como lei cinemática da secção uma vez que é menos dispendioso em termos computacionais do que os modelos que consideram o equilíbrio interno entre fibras além de que permite obter resultados mais precisos do que a formulação de padrões de deformação [13]. 2. MODELO PROPOSTO 2.1. Aspectos gerais O modelo de vigas proposto nesta comunicação é formulado de acordo com o Método dos Elementos Finitos (MEF) para a análise de elementos de barra 2D tendo em conta a interacção de esforços normais e tangenciais. Os efeitos do esforço transverso são considerados ao nível da secção, tomando a hipótese de secção plana como lei cinemática para a deformação axial e adoptando um padrão fixo para a tensão tangencial. Como consequência, o modelo seccional apresentado trata-se de um modelo misto uma vez que tem como entradas deformações e tensões. O modelo material de fissuração distribuída adoptado é baseado na Teoria Modificada do Campo de Compressões (MCFT) [17] no qual é garantido o equilíbrio e a compatibilidade; uma formulação de plasticidade é considerada de forma a poder simular cargas cíclicas [18]. Um procedimento iterativo ao nível da fibra garante o equilíbrio 4

5 vertical e tangencial tendo como resultados a deformação vertical e a distorção de cada fibra. A armadura transversal é considerada distribuída no betão e a armadura longitudinal é simulada através de filamentos. A armadura apenas está submetida a um estado de tensão e deformação axial. A rigidez tangente é utilizada no desenvolvimento das equações do MEF. O elemento finito Timoshenko de dois nós é utilizado com integração gaussiana reduzida de forma a evitar o fenómeno de shear locking. Um segundo nível de iteração, ao nível da secção, é realizado de forma a aproximar a distorção do elemento finito à distorção média determinada através do modelo seccional de padrão de tensões tangenciais fixos. Este modelo foi implementado num modelo numérico já existente, no programa CONS desenvolvido por Antonio Marí na UPC [19] de elementos de viga com secção discretizada em fibras para análise de estruturas de betão armado submetidas a esforços normais de flexão e axiais. Este modelo base tem também a possibilidade de simulação de procedimentos de construção evolutiva, tendo em conta os efeitos diferidos da fluência, retracção e envelhecimento. A formulação apresentada neste artigo foi implementada de forma a manter as potencialidades já existentes no código base Modelo do material A lei constitutiva biaxial para o betão em compressão é formulada em termos de tensões e deformações médias e pode ser dividida em três estados de acordo com a Figura 1: compressão, tracção-compressão e tracção biaxial. a) b) c) Figura 1. Estados tensionais biaxiais do betão: a) compressão; b) tracção-compressão; c) tracção A parábola de Hognestad [2] (equação 1) é usada como equação base para o betão em compressão; a tensão máxima de compressão f p é determinada a partir da resistência uniaxial do betão à compressão multiplicada por dois factores que dependem do estado de tensão do material (equação 2). O fenómeno de amolecimento característico do estado tensional de tracção-compressão biaxial do betão é tido em conta a partir do factor de amolecimento β [17] (equação 3). No caso tensional de compressão biaxial, o aumento da resistência é considerado a partir do parâmetro k c proposto por Kupfer [21] (equação 4). f c2 f 2 c2 c2 p 2 (1) 5

6 f. k. f (2) ' p c c (3) k k f f f f c1 c1 c2 ' ' fc fc c2 c2 c1 ' ' fc fc A descarga e a recarga são realizadas linearmente a partir do módulo de elasticidade inicial E. Em cada direcção principal, os incrementos de deformação plástica ε p i são determinados através da equação (5) e as tensões principais σ i são calculadas em função da respectiva deformação elástica ε e i através da equação (6), na qual ε m i é a deformação mecânica. p m i i i E 2 (4) (5) m p e i i i i E E (6) No betão à tracção não fissurado considerada-se um comportamento linear elástico com rigidez inicial igual ao modulo de elasticidade inicial do betão comprimido de acordo com a equação (7). Após a fissuração, o fenómeno de tension-stiffening é considerado de acordo com a curva proposta por Cervenka [22] (equação 8). A degradação da rigidez causada pela fissuração é tida em conta a partir do variável de dano em cada direcção principal dt i (equação 9), representado a percentagem de material que deixa de contribuir para a rigidez do material. A descarga e recarga é realizada linearmente partir da equação (1). f E (7) 1 c c1 c1 cr k2 1 f1 f t 1 c 1 cr c (8) i E 1 dt E ; i dt i i 1 1 m p E i i before cracking after cracking (9) 1 dt E (1) e i i i 6

7 No que diz respeito à simulação do comportamento da armadura longitudinal e transversal, é adoptado um modelo uniaxial bilinear de tensão-deformação com descarga e recarga lineares Modelo seccional A secção transversal é divida em fibras sendo decididas quais as que não contribuem para a resistência ao esforço transverso (fibras tipo I) e quais as que contribuem (fibras tipo II) de acordo com a Figura 2. Quanto às fibras tipo I, a análise é realizada a partir da teoria das secções planas de Euler-Bernoulli (TEB), sendo que o estado tenso-deformacional é uniaxial e a lei constitutiva adoptada para o betão é também uniaxial [19]. No tocante às fibras tipo II que têm em conta os efeitos do esforço transverso, além da deformação normal decorrente da teoria das secções planas, é assumido um padrão de tensões tangenciais constantes a actuar ao longo da secção: V (11) * A A área efectiva de corte A * é assumida como a soma da área de todas as fibras que têm em conta o efeito dos esforços tangenciais. A rigidez seccional assim como as forças resistentes internas da secção decorrem da contribuição de ambos os tipos de analises. As considerações do modelo seccional estão resumidas na Figura 3. Figura 2. Hipóteses cinemáticas para o modelo seccional. Para cada fibra tipo II, conhecendo a deformação axial ε x, assumindo a tensão tangencial τ e aplicando as equações de equilíbrio vertical (equação 12), de compatibilidade (equação 13) e constitutivas (equação 14) é possível determinar o estado completo tenso-deformacional 2D. z z, c z, st T (12) c s (13) 7

8 x x D11 D12 D13 ; (14) z D z D D21 D22 D23 c D c 31 D32 D 33 Na direcção vertical, as tensões de compressão no betão σ z,c equilibram as tensões de tracção na armadura transversal σ z,st e a equação (12) pode ser rescrita como: D D D E 21 x 22z 23 T sz em que ρ T é a percentagem e E s é o módulo de elasticidade da armadura transversal. O equilibrio na direcção transversal é dado por: D D D 31 x 32 z 33 (15) (16) Figura 3. Modelo seccional de interacção de esforços. Ao resolver este sistema de equações é possivel determinar a deformação vertical ε z e a distorção da fibra γ xz como funções da deformação axial ε x, da tensão tangencial τ e da matriz rigidez constitutiva D. De forma a atingir o equilíbrio ao nível da fibra em ambas as direcções (vertical e tangencial) é necessário um procedimento iterativo de correcção continuada da deformação vertical (equação 17) e da distorção (equação 18) (mantendo fixos a deformação axial e a tensão tangencial), de acordo com o esquema da Figura 4. 8

9 f z 33 23,, D it z z old D ^ D D D D D (17) it f,, D z old ^ ^ D D D D D D z (18) 2.4. Modelo ao nível do elemento Figura 4. Procedimento iterativo ao nível da fibra. A Teoria de vigas de Timoshenko assume que as secções planas e perpendiculares ao eixo da viga permanecem planas após a deformação mas não necessariamente normais ao eixo da viga. Uma rotação média da secção transversal causada pela distorção é considerada de forma a manter válida a aproximação da secção plana. Assim, a rotação total da secção é dada por: 9

10 w (19) x No caso 2D, o campo de deslocamentos em cada ponto da viga é dado pelo deslocamento axial u e vertical w de acordo com (x é o eixo longitudinal da peça e z representa o eixo vertical ao longo da altura da secção transversal): u z ( x) ; w w( x) (2) As deformações axial ε x e tangencial γ xz são dadas pelas seguintes expressões (χ é a curvatura da secção incluindo o efeito do esforço transverso): u w u w z z ; x xz (21) x x x x x As tensões axial σ x e tangencial τ xz, por sua vez, são determinadas através da aplicação das relações constitutivas (E é o modulo de elasticidade e G é o módulo transversal do material), de acordo com: x E x ; xz G xz (22) As forças resistentes internas axiais N, momento flector M e esforço transverso V são determinadas a partir da integração das tensões ao longo da secção (A é a área da secção transversal): N S x da ; S x ; M z da V da (23) S xz O elemento finito Timoshenko de dois nós e funções de forma lineares, representado na Figura 5, foi implementado de acordo com a formulação apresentada em [23]: em cada nó externo do elemento são considerados dois deslocamentos (horizontal u e vertical w) e uma rotação θ y : a i i i yi T u w (24) Figura 5. Elemento finito 1D de dois nós e funções de forma lineares. 1

11 As relações cinemáticas que relacionam os deslocamentos nodais a i com as deformações T,, são dadas pela matriz transformação B : seccionais s s y xz Ni x x a1 Ni B B 1 2 ; B y i a 2 x xz Ni N i x A matriz rigidez do element k e e o vector de forças resistentes internas R i são determinados através das clássicas equações do MEF [24], sendo a integração efectuada de acordo com o método da Quadratura de Gauss com integração reduzida (D é a matriz rigidez seccional determinada no ponto de Gauss): (25) k e T B DB dv (26) V i T R B dv V (27) Como referido anteriormente, o modelo proposto pode ser definido como uma formulação mista, uma vez que combina tensões e deformações tangenciais como dados de entrada e saída quando se passa da análise ao nível do elemento para o nível da secção. De facto, por um lado a distorção média da secção γ e na localização do ponto de Gauss é determinada a partir da formulação do elemento viga de Timoshenko (equação 21) e, por outro lado, um padrão de tensão tangencial τ * é assumido para a secção e uma correspondente distorção média γ s é determinada em função desta. Assim, a distorção decorrente da análise seccional γ s não coincide directamente com a distorção decorrrente das funções de forma do elemento finito γ e e consequentemente, o padrão de tensões tangenciais assumido τ * nao é correcto. Surge assim uma distorção residual γ * s computada como a diferença entre a distorção do elemento γ e e a distorção da secção γ s. Para reduzir esta deformação residual, foi implementado um procedimento iterativo ao nível do elemento finito (descrito esquematicamente na Figura 6), por forma a corrigir gradualmente o padrão de tensões tangenciais assumido para a secção. 11

12 Figura 6. Procedimento iterativo ao nível da secção. 4. VALIDAÇÃO DO MODELO NUMÉRICO 4.1. Vigas de Vecchio e Shim As clássicas vigas ensaiadas por Bresler e Scordelis em 1963 [25] foram reproduzidas por Vecchio e Shim em 24 [26] na Universidade de Toronto por forma a determinar a repetibilidade dos resultados e medir a resposta pós-pico das vigas. Neste artigo, será apresentada a simulação da viga VSA1 (Figura 7) com rotura por esforço transverso. A simulação numérica efectuada com o modelo proposto foi realizada através de 12 elementos finitos tipo viga com a secção transversal de betão discretizada em 4 fibras (2 divisões em largura e 2 em altura), com inclusão dos efeitos do esforço transverso (fibras de tipo II). A armadura longitudinal foi simulada a partir de filamentos de aço e a armadura transversal distribuída no betão. As características dos materiais são definidas na Tabela 1. 12

13 Figura 7. Viga VSA1 de Toronto: geometria, disposição da armadura e instrumentação. Betão F c =22.6 MPa F ct =2.37 MPa E c = 36.5 GPa Armadura longitudinal Ø25.2: F y = 44 MPa E s = 21 Gpa Armadura transversal F y = 6 MPa F u = 649 MPa E s = 2 GPa Tabela 1. Propriedades dos materiais da viga VSA1 de Toronto. Na Figura 8 os deslocamentos a meio vão medidos experimentalmente (T3) são comparados com os resultados numéricos decorrentes de três tipos de simulações distintas: i) N-M corresponde ao modelo base com elementos finitos Hermitianos de interacção de esforços normais e sem considerar o esforço transverso; ii) N-M-V corresponde ao modelo proposto para a interacção de esforços normais e tangenciais com elementos finitos Timoshenko sem proceder à iteracção ao nível da secção para correcção da distorção; iii) N-M-V* corresponde ao modelo proposto com iteracção ao nível da secção. A rotura desta viga não é puramente de corte, mas sim de interacção flexão e esforço transverso. Assim, a carga de rotura prevista pelo modelo de flexão (N-M) é similar á obtida através do modelo proposto sem (N-M-V) e com (N-M-V*) correcção do padrão de tensões tangenciais ao nível da secção e, por sua vez, ao respectivo valor experimental. No entanto, no que diz respeito à curva carga-deslocamento, o aumento da flexibilidade da viga decorrente da deformação por esforço transverso é retratada pelo modelo proposto, sendo que a análise com iteracção ao nível da secção (N-M-V*) é a que mais se aproxima do modelo experimental. Na Figura 9 comparam-se as previsões numéricas obtidas através modelos sem consideração do esforço transverso (N-M) e do modelo proposto (N-M-V*). Na Figura 9a) apresenta-se a evolução das tensões na armadura longitudinal de tracção para um nível de carga próximo da rotura no qual se pode verificar o incremento de tensões devido ao mecanismo resistente ao esforço transverso captado pelo modelo proposto, que se pode 13

14 também verificar ao nível seccional na Figura 9b). Na Figura 9c) é apresentado o fluxo de tensões normais no betão ao longo da altura da secção, onde se observa que o modelo proposto é capaz de simular o incremento de forças de compressão na zona de tracção que equilibram o incremento de tensões de tracção no aço longitudinal Esforço transverso (kn) Deslocamento (mm) Figura 8. Viga VSA1: carga-deslocamento a meio vão. exp M N M N V M N V* a) Tensão na armadura longitudinal de tracção s ao longo do comprimento da viga para V=225 kn b) Tensão na armadura longitudinal de tracção s na secção correspondente a um quarto da viga c) Distribuição das tensões no betão x, c ao longo da secção correspondente a um quarto da viga 25 M N M N V* Tensão armadura long. σ x,s (MPa) Comprimento da viga (m) a).3 Esforço transverso (kn) Tensão armadura long. σ x,s (MPa) b) c) Tensão normal σ x,c (MPa) Figura 9. Viga VSA1: resultados numéricos de tensão na armadura e no betão Altura da secçao (m) 14

15 Na Figura 1 são apresentados os resultados ao nível da secção decorrentes do modelo proposto (N-M-V*). A hipótese de padrão fixo de tensões ao longo da secção adoptada é ilustrada na Figura 1a) para vários níveis de carga. Como consequência desta aproximação, a distribuição de deformações tangenciais ao longo da secção toma a forma apresentada na Figura 1b) onde se pode verificar que o diagrama não volta a zero na extremidade traccionada. Por sua vez, na Figura 1c) mostra-se a distribuição de tensões normais na armadura transversal onde se pode verificar a plastificação dos estribos na zona traccionada da secção para esforços transversos mais elevados. Distribuição de deformações e tensões ao longo da secção correspondente a um quarto da viga para diferentes níveis de esforço transverso (V): a) Tensões tangenciais xz no betão b) Deformações tangenciais xz no betão c) Tensões axiais zst, na armadura transversal Altura da secçao (m) V=25kN V=175kN V=kN V=225kN Tensão tangencial τ xz (MPa) a) Deformação tangencial γ xz (E 3) Tensão axial σ z,st (MPa) b) c) Figura 1. Viga VSA1: resultados da análise seccional do modelo proposto 4.2. Vigas de Stuttgart A campanha experimental levada a cabo por Leonhardt e Walther em 1961 [27] teve como objectivo determinar a influência da largura do banzo na resistência ao esforço transverso de vigas T com pouca armadura transversal. Neste trabalho, serão apresentadas as simulações numéricas das 4 vigas de secção transversal em T (ET1, ET2, ET3, ET4) com estribos verticais cuja quantia e espaçamento são comuns às 4 vigas (Figura 11). As características dos materiais estão definidas na Tabela 2. A discretização longitudinal considerada foi de 2 elementos lineares. Quanto à malha seccional, apenas as fibras correspondentes à alma são consideradas a resistir ao corte (fibras tipo II) sendo que os banzos não contribuem para este mecanismo resistente (fibras tipo I). Altura da secçao (m) Altura de secçao (m)

16 Figura 11. Vigas de Stuttgart: geometria, disposição da armadura e instrumentação. Betão Fc=28.5 MPa Ec = 23.8 GPa Armadura longitudinal Fy = 42 MPa Es = 21 GPa Armadura transversal Fy = 32 MPa Es = 2 GPa Tabela 2. Propriedades dos materiais da vigas de Stuttgart. Na Figura 12 os deslocamentos a meio vão (T1) medidos experimentalmente nas quatro vigas são comparados com os resultados numéricos decorrentes dos três tipos de simulações: i) interacção esforços normais (N-M); ii) modelo proposto sem correcção do padrão de tensões tangenciais (N-M-V) e iii) modelo proposto com iteracção ao nivel da secção (N-M-V*). Da análise destes gráficos verifica-se que o modelo proposto é capaz de captar a carga e modo de rotura por esforço transverso. A não consideração da influência das tensões tangenciais (simulação M-N) resulta em previsões pouco realistas, no que diz respeito à carga (do lado da insegurança) e ao modo de rotura (sempre à flexão). Esta diferença entre o modelo que considera somente interacção de esforços normais (M-N) e as análises que consideram a interacção de esforços normais e tangenciais (M-N-V e M- N-V*) aumenta nos casos em que a rotura por corte é mais dominante, que corresponde às vigas de secção com alma mais fina (ET3 e ET4). É de salientar a melhor simulação da flecha quando a iteração ao nível da secção é efectuada (simulação N-M-V*) em comparação com o modelo sem correcção do padrão de tensões tangenciais assumido para a secção (simulação N-M-V). No entanto, é de salientar que a opção pela análise com esta correcção acarreta maiores dificuldades numéricas de convergência e maior tempo de computação. 16

17 Na Figura 13 apresentam-se os valores experimentais de tensão na armadura transversal, na secção a um quarto do comprimento (es1) das vigas ensaiadas e os correspondentes resultados computados com o modelo proposto (N-M-V*). É observada uma razoável correspondência entre ambos, principalmente nos casos de maior influência dos esforços tangenciais que ocorre nos casos das vigas de almas mais finas (ET3 e ET4). ET1 ET Esforço transverso (kn) exp M N M N V M N V* Esforço transverso (kn) exp M N M N V M N V* Deslocamento (mm) Deslocamento (mm) 16 ET3 16 ET Esforço transverso (kn) exp M N M N V M N V* Esforço transverso (kn) exp M N M N V M N V* Deslocamento (mm) Deslocamento (mm) Figura 12. Vigas Stuttgart: carga-deslocamento a meio vão. ET1 ET Tensão (MPa) exp M N V* Tensão (MPa) exp M N V* Esforço transverso (kn) Esforço transverso (kn) Figura 13a). Vigas Stuttgart: tensões na armadura transversal na secção a um quarto do vão. 17

18 exp M N V* ET exp M N V* ET4 Tensão (MPa) 2 15 Tensão (MPa) Esforço transverso (kn) Esforço transverso (kn) Figura 13b). Vigas Stuttgart: tensões na armadura transversal na secção a um quarto do vão (continuação). 5. CONCLUSÕES Apresenta-se, nesta comunicação, um modelo de vigas com discretização em fibras da secção transversal para a análise de elementos de betão armado submetidos ao esforço axial, momento flector e esforço transverso. Um procedimento de análise biaxial ao nível da secção baseado no método de padrão fixo de tensões tangenciais aliado à Teoria Modificada do Campo de Compressões, permite a consideracção da interacção entre esforços normais e tangenciais. Ao nível do elemento, a formulação de vigas de Timoshenko é utilizada e permite ter em conta a deformação decorrente do esforço transverso. Da análise dos ensaios experimentais de vigas de betão armado submetidas a roturas por corte e da comparação dos varios tipos de simulações (interacção de forças normais, interacção de forças normais e tangenciais) podem-se retirar as seguintes conclusões: i) são necessários procedimentos que tenham em conta a interacção de esforços normais e tangenciais para simular vigas submetidas a estados multiaxias de tensão e com rotura por corte, sendo que, os elementos de viga clássicos nao são capazes de captar este comportamento; ii) a carga e o modo de rotura por corte são bem captadas pelo modelo proposto; iii) ao nível da análise da secção, os resultados decorrentes do modelo proposto apresentam uma elevada concordância com os experimentais e são também capazes de captar os fenómenos de aumento de tensão da armadura longitudinal de tracção e as resultantes tensões de compressão do betão na zona fissurada. Desta forma, o modelo numérico validado através de exemplos clássicos de ensaios experimentais de vigas submetidas a roturas por corte, apresenta-se como uma ferramenta prática e económica computacionalmente para a análise não-linear de estruturas completas de betão armado submetidas a importantes esforços transversos. Assim, o modelo proposto apresenta-se como uma expansão do modelo de vigas aos casos em que existem comportamentos multiaxiais, sendo uma alternativa aos complexos modelos 3D para o uso na prática da Engenharia Civil. Uma vez que o modelo de interacção de esforços proposto se insere num modelo base de 18

19 análise dependente no tempo e de construcção evolutiva, pretende-se como trabalho futuro, expandir o modelo de simulação dos efeitos diferidos ao estado multiaxial de tensões e deformações e assim poder estudar estes efeitos nas estruturas submetidas a fortes solicitações tangenciais, assim como simular operações de reforço. 6. AGRADECIMENTOS O financiamento fornecido pela Fundação Portuguesa para a Ciência e Tecnologia (FCT) através da bolsa de doutoramento SFRH/BD/43232/28 atribuída ao primeiro autor é gratamente reconhecida. Este trabalho foi também desenvolvido no âmbito do projecto de investigação Avaliação dos efeitos de deterioro, reparação e reforço de estruturas. Modelo teórico e verificação experimental (BIA ), financiado pelo Ministério da Ciência e Tecnologia de Espanha. REFERÊNCIAS [1] P. Ceresa, L. Petrini, e R. Pinho, Flexure-shear fiber beam-column elements for modeling frame structures under seismic loading - State of the Art, Journal of Earthquake Engineering, Vol. 11(1), pp , (21). [2] M.P. Collins, F.J. Vecchio, e R.G. Selby, The failure of an offshore platform, Concrete International, Vol. 19(8), p , (1997). [3] Governement du Québec, Commission of inquiry into the collapse of a portion of the de la Concorde overpass, (27). [4] I. Buckle, e A. Jackson, A filamented beam element for the non-linear analysis of reinforced concrete shells with edge beams, Departament of Civil Engineering, University of Auckland, New Zeland, (1981). [5] E. Chan, Nonlinear geometric, material and time dependent analysis of reinforced concrete shells with edge beams, Department of Civil Engineering, University of California, Berkeley, (1982). [6] Y. Kang, e A. Scordelis, Nonlinear analysis of prestressed concrete frames", Journal of Structural Division, Vol. 16, p , (198). [7] A.R. Marí, Nonlinear geometric, material and time dependent analysis of three dimensional reinforced and prestressed concrete frames, Department of Civil Engineering, University of California, Berkeley (1984). [8] F. Ulm, J. Clement e J. Guggenberger, Recent advances in 3-D nonlinear FEanalysis of R/C and P/C beam structures. N. C. Baker and Barry J. Goodno edds. ASCE Structures Congress XII, 1994, ASCE, Atlanta, New York, (1994). [9] Z.P Bazant e J. Ozbolt, Nonlocal microplane model for fracture, damage, and size effect in concrete structures, Journal of Eng Mechanics, Vol. 114(1), pp , (199). [1] J. Ozbolt e Z.P. Bazant, Microplane model for cyclic triaxial behaviour of concrete, Journal of Eng Mechanics, Vol. 118(7), pp , (1992). [11] Z.P. Bazant e B.H. Oh, Microplane model for progressive fracture of concrete and 19

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