Simulações Computacionais de Sistemas Complexos

Transcrição

1 Instituto de Física Universidade Federal Fluminense V Escola do CBPF, 2004

2 1 Tabela Verdade Representação dos inteiros Funções de Bits I

3 1 Tabela Verdade Representação dos inteiros Funções de Bits I 2 Outros

4 1 Tabela Verdade Representação dos inteiros Funções de Bits I 2 Outros 3 Integração Rejeição Método da Transformação

5 Tabela Verdade Tabela Verdade Representação dos inteiros Funções de Bits Operações Booleanas AND OR XOR

6 Representação dos inteiros Tabela Verdade Representação dos inteiros Funções de Bits Números de 3 bits 0 = = = = = = = =

7 Representação dos inteiros Tabela Verdade Representação dos inteiros Funções de Bits Números de 3 bits 0 = = = = = = = = Complemento de 2 ( Y = 2 B Y )

8 Funções de Bits Tabela Verdade Representação dos inteiros Funções de Bits Funções de Bits FORTRAN integer*4 a,b write(*,*) iand(a,b) write(*,*) ior(a,b) write(*,*) ieor(a,b) write(*,*) ishft(a,1) write(*,*) ishft(a,-1) write(*,*) not(a) C unsigned int a,b; printf( %d\n,a&b); printf( %d\n,a b); printf( %d\n,a^b); printf( %d\n,a<<1); printf( %d\n,a>>1); printf( %d\n,~a);

9 Características Outros RNG Importante demais para deixar ao acaso

10 Características Outros RNG Importante demais para deixar ao acaso Anyone who considers arithmetical methods of producing random digits is, of course, in a state of sin. J. von Neumann

11 Características Outros RNG Importante demais para deixar ao acaso Anyone who considers arithmetical methods of producing random digits is, of course, in a state of sin. J. von Neumann Random number generators: good ones are hard to find. [Commun. ACM, 31, ]

12 Características Outros RNG Importante demais para deixar ao acaso Anyone who considers arithmetical methods of producing random digits is, of course, in a state of sin. J. von Neumann Random number generators: good ones are hard to find. [Commun. ACM, 31, ] Números aleatórios gerados a partir de operações matemáticas, portanto determinísticos.

13 Características Outros RNG Importante demais para deixar ao acaso Anyone who considers arithmetical methods of producing random digits is, of course, in a state of sin. J. von Neumann Random number generators: good ones are hard to find. [Commun. ACM, 31, ] Números aleatórios gerados a partir de operações matemáticas, portanto determinísticos. Grande período, baixa correlação e velocidade.

14 Características Outros RNG Importante demais para deixar ao acaso Anyone who considers arithmetical methods of producing random digits is, of course, in a state of sin. J. von Neumann Random number generators: good ones are hard to find. [Commun. ACM, 31, ] Números aleatórios gerados a partir de operações matemáticas, portanto determinísticos. Grande período, baixa correlação e velocidade. Geradores diferentes falham em testes diferentes.

15 Características Outros RNG Importante demais para deixar ao acaso Anyone who considers arithmetical methods of producing random digits is, of course, in a state of sin. J. von Neumann Random number generators: good ones are hard to find. [Commun. ACM, 31, ] Números aleatórios gerados a partir de operações matemáticas, portanto determinísticos. Grande período, baixa correlação e velocidade. Geradores diferentes falham em testes diferentes. O melhor gerador depende do problema em questão

16 LCG Outros

17 LCG Outros Da forma x(n) = (a x(n 1) + b) mod M

18 LCG Outros Da forma x(n) = (a x(n 1) + b) com valores especiais para a e M mod M

19 LCG Outros Da forma x(n) = (a x(n 1) + b) mod M com valores especiais para a e M Exemplos: a = (Park e Muller),65539 (IBM RANDU), 69621, e M =

20 LCG Outros Da forma x(n) = (a x(n 1) + b) mod M com valores especiais para a e M Exemplos: a = (Park e Muller),65539 (IBM RANDU), 69621, e M = Para 64 bits a = 13 13,

21 LCG Outros Da forma x(n) = (a x(n 1) + b) mod M com valores especiais para a e M Exemplos: a = (Park e Muller),65539 (IBM RANDU), 69621, e M = Para 64 bits a = 13 13, Rápidos e gastam pouca memória

22 Rodando os LCG Outros Clique aqui

23 Rodando os LCG Outros Período pequeno. Estime... Os bits são aleatórios?

24 Rodando os LCG Outros Período pequeno. Estime... Os bits são aleatórios? Considere dois números aleatórios em sequência: x n e x n+1. Vamos graficar x n+1 x n e verificar se o espaço é preenchido uniformemente. As cores mudam a cada = 2 16 passos.

25 Rodando os LCG Outros Período pequeno. Estime... Os bits são aleatórios? Considere dois números aleatórios em sequência: x n e x n+1. Vamos graficar x n+1 x n e verificar se o espaço é preenchido uniformemente. As cores mudam a cada = 2 16 passos. Clique para a distribuição uniforme

26 Rodando os LCG Outros Período pequeno. Estime... Os bits são aleatórios? Considere dois números aleatórios em sequência: x n e x n+1. Vamos graficar x n+1 x n e verificar se o espaço é preenchido uniformemente. As cores mudam a cada = 2 16 passos. Clique aqui para os mapas de retorno

27 Falha dos LCG Outros

28 Falha do RANDU Outros

29 Outros Outros Geradores Recursivos Múltiplos x n = (a 1 x n 1 + a 2 x n 2 ) mod m com a 1 = , a 2 = e m =

30 Outros Outros Geradores Recursivos Múltiplos x n = (a 1 x n 1 + a 2 x n 2 ) mod m com a 1 = , a 2 = e m = Kirkpatrick and Stoll x n = x n 103 x n 250

31 Outros Outros Geradores Recursivos Múltiplos x n = (a 1 x n 1 + a 2 x n 2 ) mod m com a 1 = , a 2 = e m = Kirkpatrick and Stoll x n = x n 103 x n 250 RANLUX (período de )

32 Outros Outros Geradores Recursivos Múltiplos x n = (a 1 x n 1 + a 2 x n 2 ) mod m com a 1 = , a 2 = e m = Kirkpatrick and Stoll x n = x n 103 x n 250 RANLUX (período de ) Tausworthe x n = (s1 n s2 n s3 n ), com três números embaralhados com.

33 Outros Outros Geradores Recursivos Múltiplos x n = (a 1 x n 1 + a 2 x n 2 ) mod m com a 1 = , a 2 = e m = Kirkpatrick and Stoll x n = x n 103 x n 250 RANLUX (período de ) Tausworthe x n = (s1 n s2 n s3 n ), com três números embaralhados com. Lagged Fibonacci r n = r n A r n B r n C r n D com A = 471, B = 1586, C = 6988, D = 9689.

34 Método de Monte Carlo Integração Rejeição Método da Transformação

35 Cálculo de Pi Integração Rejeição Método da Transformação

36 Rejeição por von Neumann Integração Rejeição Método da Transformação

37 Rejeição por von Neumann Integração Rejeição Método da Transformação

38 Método da Rejeição Integração Rejeição Método da Transformação

39 Método da Rejeição Otimizado Integração Rejeição Método da Transformação

40 Definição Integração Rejeição Método da Transformação Transformação Seja p(x) a distribuição desejada, com y = P(x) = p(x )dx. P 1 (y) é conhecida. Se y é aleatório (uniforme), então x = P 1 (y) é distribuida segundo p(x). Exemplos: p(x) = e x, y = e x, x = ln(y) Prob: Adapte o método da transformação para a Lorentziana.

41 Box-Muller Integração Rejeição Método da Transformação Gerando Gaussianas z 1 = 2 ln x 1 cos(2πx 2 ) z 2 = 2 ln x 1 sin(2πx 2 )