MÉTODO HÍBRIDO DE CLASSIFICAÇÃO DE AEROFÓLIOS NA INDÚSTRIA AERONÁUTICA

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1 XXX ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO Maturidade e desafios da Engenharia de Produção: competitividade das empresas, condições de trabalho, meio ambiente. São Carlos, SP, Brasil, 12 a15 de outubro de MÉTODO HÍBRIDO DE CLASSIFICAÇÃO DE AEROFÓLIOS NA INDÚSTRIA AERONÁUTICA Camila Becker (UNISC) camila_becker_87@hotmail.com Rubén Edgardo Panta Pazos (UNISC) rpazos@unisc.br A importância do transporte aéreo cresceu consideravelmente nas últimas décadas. Por isso, inúmeras pesquisas sobre as aeronaves são realizadas. Pesquisas sobre os aerofólios, ou perfis aerodinâmicos, é um exemplo de foco de estudo. O objettivo deste trabalho consiste em classificar aerofólios mediante o uso de Análise por Componentes Principais (PCA), que é uma técnica estatística que objetiva encontrar padrões para representar as variações presentes em muitas variáveis, com uso de um número menor de fatores. O seu funcionamento consiste em construir um novo sistema de componentes principais para a representação das amostras, visualizado, dessa forma, em poucas dimensões. Além da PCA utilizou-se, também, a função curvatura que representa uma espécie de assinatura do aerofólio, e as transformadas discretas wavelets visando compactar a função de curvatura, para uma posterior classificação após construir uma nova base de dados. A metodologia utilizada foi a seguinte: inicialmente, as imagens dos aerofólios foram selecionadas e processadas em um software de edição gráfica, encontrando-se pontos na fronteira dos estilos, visando gerar a função de curvatura de forma numérica. A etapa seguinte consistiu em aplicar as transformadas discretas wavelets unidimensionais, com vistas a encontrar subsinais que representem as principais características da função de curvatura de cada imagem. Finalmente, os modelos foram identificados mediante o uso de análise por componentes principais. Palavras-chaves: Aerofólios, Análise por Componentes Principais, wavelets

2 1. Introdução Atualmente, inúmeras pesquisas a cerca de componentes de aeronaves são realizadas. Isso, devido à importância do transporte aéreo. Um desses focos de estudo são os aerofólios, visto que apresentam grande importância no estudo da aerodinâmica não só de aviões, como também de automóveis. Precisamente com o desenvolvimento das indústrias de construção de aeronaves e de automóveis foi que a aerodinâmica começou a ter um crescimento relevante, uma vez que se precisava de modelos aerodinâmicos com o menor atrito possível com o ar para serem mais rápidos e gastarem menos combustível. Em aeronaves, empregam-se os aerofólios nas secções da asa, no profundo e no leme. Em automóveis de corrida o aerofólio apresenta grande importância, pois permite maior estabilidade do veículo ao propiciar maior aderência na rodas traseiras. Um grande salto no desenvolvimento da aerodinâmica foi o estudo dos perfis aerodinâmicos, ou aerofólios, que representam uma seção capaz de produzir sustentação (que permite a aeronave subir no ar e aí se manter durante o vôo) gerando o menor arrasto (força aerodinâmica contrária ao movimento de um objeto) possível. O objetivo deste trabalho consiste na classificação de aerofólios mediante o uso de noções de geometria diferencial, transformadas wavelets e análise por componentes principais (PCA). Em trabalho anterior já se realizou a classificação de aerofólios utilizando a curvatura apenas da nariz e da parte superior do aerofólio, mas sem considerar as transformadas discretas wavelets (BECKER e PAZOS, 2010). Neste trabalho, no entanto, considera-se a função de curvatura em todo o perfil e aplicam-se as transformadas discretas wavelets. Este trabalho está organizado da seguinte maneira; na seção 2 apresenta-se um método de identificação de aerofólios através da utilização da noção de curvatura de curvas parametrizadas no plano. A função de curvatura representa uma espécie de assinatura do estilo. Na seção 3, se fornece um esboço sobre as transformadas discretas wavelets unidimensionais, o objetivo é decompor a função de curvatura em subsinais de acumulação e de detalhes. Posteriormente, os aerofólios são identificados mediante a utilização de métodos estatísticos e métricos, Análise por Componentes Principais (PCA), que é descrito na seção 4. Logo na seção 5 são apresentados resultados obtidos mediante um sistema de computação algébrica. Finalmente encerramos o trabalho com algumas conclusões 2. Noções de Curvatura Basicamente, a curvatura é um conceito que descreve as características principais das curvas. Logo, as retas possuem curvatura igual a zero. Os círculos possuem curvatura constante. O Teorema Fundamental das Curvas afirma o seguinte: Sejam ( s ) e ( s ), (s > 0) duas 3 funções analíticas dadas, então existe uma única curva (única até sua posição em ), tal que s é o comprimento de arco, ( s ) a curvatura e ( s ) a torção. Para uma curva parametrizada 3 no espaço, r r r r( s ), a curvatura é dada por: r ³, e a torção é dada por r r. r. Para as curvas planas, a torção é nula (OPREA, 2007). 2 r r 2

3 No entanto, a curvatura pode, também, ser calculada mediante métodos numéricos. Um desses métodos, é o que consiste na relação existente entre curvatura e raio de curvatura, onde a 1 curvatura é representada pelo inverso do raio:. R O valor obtido mediante a aproximação é muito próximo do valor obtido mediante a equação do teorema fundamental das curvas. Com o intuito de ilustrar tal afirmação, apresenta-se na figura 1 o gráfico de uma função em que se busca calcular a curvatura aproximada do ponto selecionado (Figura 1a). Para isso, escolhem-se outros dois pontos próximos e encontra-se a circunferência que passa por estes três pontos (Figura 1b). Figura 1 (a) Imagem de um cardióide e do ponto no qual se procura a curvatura. (b) Exemplificação das etapas da aplicação do método abordado. O valor obtido pelo método numérico, para a curvatura do ponto selecionado, foi 0, , enquanto que na forma analítica obteve-se 0, Assim, verifica-se que os resultados obtidos pela forma numérica assemelham-se ao obtido pela forma numérica. Neste trabalho, utilizou a relação entre curvatura e raio de curvatura para calcular a curvatura dos aerofólios. 3. Transformada Wavelets Para Ingrid Daubechies (1992), as wavelets são funções matemáticas que separam dados em suas diferentes componentes de frequências e extraem cada componentes com uma resolução adequada à sua escala. Elas têm vantagens em relação à análise de Fourier, pois esta última analisa o sinal como um todo, acarretando uma representação mais pobre para sinais que contêm descontinuidade e variação bruscas. A Transformada Discreta Wavelets (TDW) é calculada por sucessivos filtros de passa baixa e passa alta do sinal discreto, no domínio do tempo, acarretando na decomposição do sinal original. No primeiro nível de aplicação da TDW, o sinal original é decomposto em dois subsinais: a 1 e d 1. Utilizando o subsinal de acumulação do primeiro nível de decomposição (a 1 ) aplicam-se novamente as TDW, obtendo novamente outros dois subsinais: a 2 e d 2. No terceiro nível de decomposição, aplicam-se novamente as TDW ao subsinal de acumulação do segundo nível (a 2 ), decompondo o sinal em outros dois subsinais: a 3 e d 3. Nestas condições, o sinal original, após a aplicação das TDW até o terceiro nível de compactação, estará dividido 3

4 em quatro subsinais: a 3, d 3, d 2 e d 1. Na figura 2, apresenta-se o esquema do algoritmo de Mallat, em que N é o número de pontos; a k representa os subsinais de acumulação (também chamado de subsinais das somas ou das médias) e o d k representa os subsinais dos detalhes. Esse método também é conhecido como Lifting scheme. Figura 2 Esquema do algoritmo de Mallat A transformada wavelet representa um instrumento moderno que admite a unificação de um vasto número de técnicas de análise e processamento. Ela foi desenvolvida nos campos da Matemática, da Engenharia e da Física Quântica. Atualmente, ela constitui uma das ferramentas mais potentes em processamento de sinais, possuindo uma infinidade de aplicações, como é o caso da Geologia Sísmica, do Processamento de Imagens, da Computação Gráfica, da predição de terremotos e de maremotos, da espectrometria, para citar apenas alguns exemplos (OLIVEIRA, 2007). 4. Análise por Componentes Principais A Análise por Componentes Principais (do inglês Principal Component Analysis ) objetiva, basicamente, reduzir os dados a partir de combinações lineares das variáveis originais. Esse processo acaba gerando componentes principais, que possuem como características essenciais a ortogonalidade e o fato de serem obtidos em ordem decrescente, de máxima variância. A análise por componentes principais é uma abordagem estatística que pode ser usada para analisar inter-relações entre um grande número de variáveis e explicar essas variáveis em termos de suas dimensões inerentes comuns (fatores). O objetivo é encontrar um meio de condensar a informação contida em um número de variáveis originais em um conjunto menor de variáveis estatísticas (fatores) com uma perda mínima de informação. (Hair et. al., 2005) A metodologia a ser seguida para a aplicação da análise por componentes principais, segundo Smith (2002), é a seguinte: Inicialmente, adquirem-se os dados aos quais se quer aplicar a análise por componentes principais (PCA); Subtrai-se a média de cada uma das dimensões dos dados; Calcula-se a matriz de covariância. A covariância é uma medida da força da correlação 4

5 entre duas ou mais variáveis aleatórias. A matriz de covariância é formada pelos valores das covariâncias existentes entre as variáveis; Calculam-se os autovalores e autovetores da matriz de covariância, os quais são um conjunto especial de escalares, associado a um sistema de equações lineares; Escolhem-se os autovalores mais representativos e forma-se o vetor característico. O vetor característico é construído tendo os autovetores mais representativos; Selecionados os autovetores mais representativos é formado o vetor característico (VC), faz-se a transposta do vetor característico e multiplica-o pela transposta do conjunto de dados originais (DA): FD = V C T D A T, onde FD representa a nova matriz dos componentes principais, VC é a matriz do vetor característico e DA é a matriz dos dados ajustados; Finalmente, representa-se graficamente a PCA, permitindo obter uma maior compreensão sobre os dados trabalhados, visto que as amostras possuídoras de maior similaridade agrupam-se entre si; Para voltar ao conjunto de dados originais, utiliza-se a seguinte equação: t t O D V C FD dado, sendo que OD representa os dados originais. 5. Resultados Obtidos médio Os resultados serão apresentados de forma detalhada, em cada etapa da implementação para um aerofólio. No entanto, para a realização do presente trabalho, foram utilizados 11 aerofólios, de modelos Naca, Drela, Boeing e Althaus. Na etapa inicial da implementação do método proposto, ocorre à seleção dos aerofólios. Com essas imagens, o próximo passo consiste em processá-las em um software de edição gráfica, com o intuito de obter pontos da fronteira das imagens. Para tanto, será utilizado um processador gráfico que contém régua em pixels (elemento básico de imagem digital, que representa a intensidade luminosa), como é o caso, por exemplo, do software Paint e do software Photo Editor. A partir dos pontos captados na fronteira das imagens bidimensionais parte-se para o próximo passo, que consiste em calcular a função de curvatura da fronteira da imagem bidimensional. O cálculo da curvatura foi realizado de forma numérica que utiliza a relação existente entre curvatura e raio de curvatura. Apresenta-se na figura 3 a imagem de uma aerofólio (Figura 3 (a)) e do seu respectivo gráfico da função de curvatura (Figura 3 (b)). Figura 3 (a) Imagem de um aerofólio e da sua função de curvatura (b). 5

6 O cálculo da curvatura ocorreu para todos os aerólios utilizados, com o intuito de formar a base de dados. A partir da função de curvatura, foram aplicadas as transformadas discretas wavelets unidimensionais, com o intuito de compactar a função na intenção de eliminar ruídos e, com isso, armazenar o resultado em um banco de dados para posteriormente realizar a identificação do aerofólio. Devido à quantidade de pontos, 96 em todos os aerofólios, optou-se pela aplicação das wavelets até segundo nível de compactação, pois a energia do sinal apresentou, até esta etapa, um acumulo favorável para a reconstrução. A escolha pelas TDW Haar ocorreu em virtude dessa ter apresentado bons resultados. Aplicando as transformadas wavelets à função de curvatura, cujo gráfico está representado na figura 3 (b), foram obtidos os resultados que estão representados na figura 4 (a) e (b), para a decomposição do sinal no primeiro e segundo nível de aplicação, respectivamente. Figura 4 Gráficos da aplicação da Transformada Wavelets de Haar no primeiro nível (a) e segundo nível (b) de compactação da função de curvatura Os gráficos da Figura 5 apresentam as compactações da Transformada Discreta Wavelets para a função de curvatura. No gráfico (a) é possível observar que o sinal está decomposto em dois subsinais a 1 e d 1. A energia, que é definida pela equação Ener( S ) k max S k k 1 2, se concentra no subsinal de acumulação (a 1 ), que contém 97,98%. Esse subsinal será utilizado para a realização do segundo nível de compactação. Na figura (b) apresenta-se o segundo nível de compactação da função de curvatura, em que o sinal aparece decomposto em três subsinais: a 2, d 2 e d 1. O subsinal de acumulação (a 2 ) concentra a maior parte da energia, ou seja, 97,39%. Após a aplicação da TDW até segundo nível de compactação nos onze aerofólios, formou-se um banco de dados com os subsinais de acumulação do segundo nível de compactação (a 2 ) dos gráficos da curvatura. Aplicou-se, então, a Análise por Componentes Principais com o intuito de identificar os estilos da base de dados. O indicador da relação existente entre as variáveis é a covariância, que é uma análise de relevada importância na aplicação do PCA. A representação gráfica da matriz de covariância para os dados dos aerofólios consta na Figura 5. 6

7 (a) (b) Figura 5 (a) Matriz de covariância dos dados dos aerofólios; (b) Imagem da vista superior da matriz de covariância. Após encontrar a matriz de covariância, partiu-se para as demais etapas da implementação da Análise por Componentes Principais. Foram calculadas, então, os autovalores e autovetores da matriz de covariância. Escolheu-se, então, três autovalores: os maiores e os respectivos autovetores para o agrupamento e posterior identificação, mediante a Análise por Componentes Principais. Ao aplicar a Análise por Componentes Principais, utilizando os subsinais a 2 da função de curvatura, dos onze aerofólios trabalhados, e com três componentes principais, verificou-se que os estilos se aglomeraram em quatro grupos, de acordo com a similaridade existente entre eles. Na figura 6, é possível verificar o resultado da PCA, utilizando três Componentes Principais, em 3D. Os sinais organizaram-se em quatro grupos distintos, cada um recebendo uma coloração diferente: preto, azul, vermelho e verde. 7

8 Figura 6 - Imagem do resultado da PCA, em 3D Ao analisar a figura 6, verifica-se que a PCA mostrou-se excelente para a identificação de diferentes aerofólios, pois agrupou corretamente os diferentes tipos de aerofólios. Para validar o processo, aplicou-se o sinal da função de curvatura de um aerofólio Drela, compactado até segundo nível, ao conjunto de aerofólios apresentados anteriormente. Na figura 7, apresenta-se o resultado obtido para a validação do método, onde o sinal representado pela cor amarela é o sinal da função de curvatura que foi acrescentado ao conjunto de aerofólios. Figura 7 - Resultado da validação da identificação mediante a utilização da PCA Na figura 7 verifica-se que o aerofólio representado pela cor amarela agrupou-se corretamente no grupo formado pelos aerofólios Drela. Em suma, a utilização do método de análise multivariada PCA permitiu identificar, satisfatoriamente, os estilos a partir dos subsinais a 3 da função de curvatura. 6. Conclusões O método que combina noções fundamentais da geometria diferencial (funções curvatura e torção, obtidas em forma numérica ou analítica) com transformadas discretas wavelets, visando gerar uma base de dados com os subsinais a n, do nível n-ésimo, para depois aplicar a 8

9 análise de componentes principais na medida de encontrar uma clasificação dos aerofólios, tem sido robusto e eficiente. O método permite uma classificação de diversos tipos de aerofólios, desde modelos de aeromodelismo até modelos comerciais de transporte de carga ou de passageiros. Pode extender-se o método para aerofólios gerados por métodos de transformação conforme (PAZOS, 2008), desde que se considere uma amostragem da função curvatura, qual é o caso da transformação generalizada de Joukowski (PAZOS e DOERN, 2005). Além disso, o estudo de fluxos em regime laminar em torno a um aerofólio pode ser captado como um conjunto de curvas (suaves ou não) na vizinhança da função curvatura do próprio perfil aerodinâmico. Agradecimentos Os autores agradecem à Universidade de Santa Cruz do Sul (UNISC) pelo apoio financeiro. Além disso, a primeira autora agradece de forma especial a Comissão de Aperfeiçoamento de Pessoal de Ensino Superior CAPES pelo destacável apoio, através da concessão de bolsa de estudos. Referências BECKER, C.; PAZOS, R. E. P. Airfoils classification using PrincipalCcomponents Analysis (PCA). 11th Pan- American Congress of Applied Mechanics, Foz do Iguaçu, PR, Brazil, DAUBECHIES, I. Ten Lectures on Wavelets. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, USA, HAIR Jr, J.; ANDERSON, R. E.; TATHAM, R. L.; BLACK, W. C. Análise multivariada de dados. 5 ed. Porto Alegre: Bookman, OLIVEIRA, H. M. Análise de sinais para engenheiros: uma abordagem via Wavelets. Rio de Janeiro: Brasport, OPREA, J. Differential Geometry and its Applications. USA: The Mathematical Association of America, PAZOS, R. E. P., Estudo da curvatura dos aerofólios gerados pela transformação generalizada de Joukowski, XII Encontro Regional de Matemática, Unioeste, Foz de Iguaçu, PR, PAZOS, R. E. P. ; DOERN FISCHBORN, P. F. de A. Generalized Joukowski Mapping. Maple Conference 2005, Waterloo, Canada. Maple Conference 2005 Proceedings, v. 1 SMITH, Lindsay I. A tutorial on Principal Components Analysis Disponível em: 9