Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de física teórica,

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1 LISA 1 - Prof. Jason Gallas, IF UFRGS 18 de Novembro de 2004, às 23:06 xercícios Resolvidos de Dinâmica Clássica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de física teórica, Doutor em Física pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Física Matéria para a PRIMIRA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro Fundamentos de Física, Halliday, Resnick e Walker. sta e outras listas encontram-se em: jgallas Conteúdo 5 Forças e Movimento I Questões Problemas e xercícios Segunda Lei de Newton Algumas Forças specíficas Aplicação das Leis de Newton. 3 Comentários/Sugestões e rros: favor enviar para if.ufrgs.br (listam1.tex) jgallas Página 1 de 8

2 LISA 1 - Prof. Jason Gallas, IF UFRGS 18 de Novembro de 2004, às 23:06 5 Forças e Movimento I Algumas Forças specíficas 5.1 Questões Q 5-?? Cite bla-bla-bla Problemas e xercícios Segunda Lei de Newton 5-7 (5-7/6 edição) Na caixa de kg da Fig. 5-36, são aplicadas duas forças, mas somente uma é mostrada. A aceleração da caixa também é mostrada na figura. Determine a segunda força (a) em notação de vetores unitários e (b) em módulo e sentido. (a) Chamemos as duas forças de e. De acordo com a segunda lei de Newton,, de modo que. Na notação de vetores unitários temos e sen"!#%$'&"()"!+*,-./021 34*1 Portanto 5 (b) O módulo de é dado por GF IH 6798'6:-"8);6<8=6:021 3>8'*?@. AB "%/C;9*=D N1 IJ GK 6:998 L6: ;+8 LM N1 O ângulo que faz com o eixo N positivo é dado por tan OP IJ IH ; " 21 -"Q@-;1 O ângulo é ou! ou! R0M9! L;0!. Como ambas componentes SH e IJ são negativas, o valor correto é )+! (5-???/6 ) Quais são a massa e o peso de (a) um trenó de -9 kg e (b) de uma bomba térmica de 3") kg? (a) A massa é igual a -9 kg, enquanto que o peso é UWVXY6Z-998=6Z[;1 M98%L-;]\3 N. (b) A massa é igual a 3"; kg, enquanto que o peso é UWVXY6^3";+8=6Z[;1 M98%32Q)1 M N (5-11/6 ) Uma determinada partícula tem peso de N num ponto onde V_[21 M m/s. (a) Quais são o peso e a massa da partícula, se ela for para um ponto do espaço onde V_3/1 [ m/s? (b) Quais são o peso e a massa da partícula, se ela for deslocada para um ponto do espaço onde a aceleração de queda livre seja nula? (a) A massa é ` V 9 [;1 M ;1 kg1 Num local onde Va321 [ m/s a massa continuará a ser ;1 kg, mas o peso passará a ser a metade: bwvxa6<)1c8=6^321 [98a N1 (b) Num local onde VdL m/s a massa continuará a ser ;1 kg, mas o peso será ZRO (5-???/6 ) (a) Um salame de kg está preso por uma corda a uma balança de mola, que está presa ao teto por outra corda (Fig. 5-43a). Qual a leitura da balança? (b) Na Fig. 5-43b, o salame está suspenso por uma corda que passa por uma roldana e se prende a uma balança de mola que, por sua vez, está presa à parede por outra corda. Qual a leitura na balança? (c) Na Fig. 5-43c, a parede foi substituída por outro salame de kg, à esquerda, e o conjunto ficou equilibrado. Qual a leitura na balança agora? m todos os três casos a balança não está acelerando, o que significa que as duas cordas exercem força de igual magnitude sobre ela. A balança mostra a magnitude de qualquer uma das duas forças a ela ligadas. m cada uma das situações a tensão na corda ligada ao salame tem que ter a mesma magnitude que o peso do salame pois o salame não está acelerando. Portanto a leitura da é a massa do salame. Seu valor é balança é WV, onde G6:9+8=6ZM;1 [98%Y09M N1 jgallas Página 2 de 8

3 { Š N LISA 1 - Prof. Jason Gallas, IF UFRGS 18 de Novembro de 2004, às 23: Aplicação das Leis de Newton P 5-21 (5-19/6 ) Um foguete experimental pode partir do repouso e alcançar a velocidade de +-9 km/h em 1 M s, com aceleração constante. Qual a intensidade da força média necessária, se a massa do foguete é Q@9 kg? Basta usarmos `e, onde é a magnitude da força, e a aceleração, e a massa do foguete. A aceleração é obtida usando-se uma relação simples da cinemática, a saber, fge"h. Para fi0-9 km/h 0-9>j] ;1 -k3393 m/s, temos que el3933)j>1 Mkm]3)\ m/s. Com isto a força média é dada por bexy6<q@"8'6<]3>\8ny1cpop+q N (5-??/6 ) Se um nêutron livre é capturado por um núcleo, ele pode ser parado no interior do núcleo por uma força forte. sta força forte, que mantém o núcleo coeso, é nula fora do núcleo. Suponha que um nêutron livre com velocidade inicial de 91 3po09r m/s acaba de ser capturado por um núcleo com diâmetro stu+)v :w m. Admitindo que a força sobre o nêutron é constante, determine sua intensidade. A massa do nêutron é 1 -"\xoy0;v r kg. A magnitude da força é ze, onde e é a aceleração do nêutron. Para determinar a aceleração que faz o nêutron parar ao percorrer uma distância s, usamos f bf { #@e>s/1 Desta equação obtemos sem problemas ed f 6:1 3Xop+r=8 ;6}0 v ~w 8 [21 MXoy0 r m/s 1 A magnitude da força é UedG6:1 -"\xoy0 v r 8'67[;1 Mop+ r 8Y0-;1 3 N (5-15/6 ) Veja a Fig Vamos considerar a massa do bloco igual a M21 Q kg e o ângulo OL!. Determine (a) a tensão na corda e (b) a força normal aplicada sobre o bloco. (c) Determine o módulo da aceleração do bloco se a corda for cortada. (a) O diagrama de corpo isolado é mostrado na Fig do livro texto. Como a aceleração do bloco é zero, a segunda lei de Newton fornece-nos yv sen O yvƒ$'&9(;o ;1 A primeira destas equações nos permite encontrar a tensão na corda: V sen Oxa6ZM21 Q98'67[;1 M98 sen99! 3" N1 (b) A segunda das equações acima fornece-nos a força normal: bwv $=&9()OPY6ZM;1cQ8=6Z[21 M"8)$'&"()9! \@ N1 (c) Quando a corda é cortada ela deixa de fazer força sobre o bloco, que passa a acelerar. A componente N da segunda lei de Newton fica sendo agora V sen Oy e, de modo que eda senoxy 6Z[21 M"8 sen"! Y 321 [ m/s 1 O sinal negativo indica que a aceleração é plano abaixo (5-???/6 ) Um elétron é lançado horizontalmente com velocidade de 1cWoR09r m/s no interior de um campo elétrico, que exerce sobre ele uma força vertical constante de 3/1 Qdo?+)v : N. A massa do elétron é [21ˆ9o?0;v4 kg. Determine a distância vertical de deflexão do elétron, no intervalo de tempo em que ele percorre mm, horizontalmente. A aceleração do elétron é vertical e, para todos efeitos, a única força que nele atua é a força elétrica; a força gravitacional é totalmente desprezível frente à força elétrica. scolha o eixo N no sentido da velocidade inicial e o eixo Š no sentido da força elétrica. A origem é escolhida como sendo a posição inicial do elétron. Como a aceleração e força são constantes, as equações cinemáticas são onde usamos NWf { h e Š e"h h ge para eliminar a aceleração. O tempo que o elétron com velocidade f { leva para viajar uma distância horizontal de N#Œ mm é h NŽjf { e sua deflexão na direção da força é f {/ 3/1 QPoy0)v : [;1,oy0 v4 Xoy0)v 1cxoy0 r 1cQdop+ v m L;1 2+Q mm1 jgallas Página 3 de 8

4 LISA 1 - Prof. Jason Gallas, IF UFRGS 18 de Novembro de 2004, às 23:06 É jogando elétrons contra um tubo de imagens que sua V funciona... Isto será estudado nos capítulos 23 e 24 do livro. P 5-38 (5-29/6 ) Uma esfera de massa o 0;v w kg está suspensa por uma corda. Uma brisa horizontal constante empurra a esfera de maneira que ela faça um ângulo de "\! com a vertical de repouso da mesma. Determine (a) a intensidade da força aplicada e (b) a tensão na corda. (a) Suponhamos a brisa soprando horizontalmente da direita para a esquerda. O diagrama de corpo isolado para a esfera tem três forças: a tensão na corda, apontando para cima e para a direita e fazendo um ângulo O i >\! com a vertical, o peso WV apontando verti- calmente para baixo, e a força da brisa, apontando horizontalmente para a esquerda. Como a esfera não está acelerada, a força resultante deve ser nula. A segunda lei de Newton nos diz que as componentes horizontais e verticais das forças satisfazem as relações, respectivamente, sen O $'&"()OyV ;1 liminando entre estas duas equações obtemos UWV tan O 67Xop+ v w 8'6Z[21 M"8 tan >\@! ;1 ; oy0 v4 N1 (b) A tensão pedida é V $'&9(;O 6Ztop+)v w 8'6Z[21 M"8 $'&9(2 "\! b21-9mpoy0 v4 N1 Perceba que talvez fosse mais simples ter-se primeiro determinado e, a seguir,, na ordem contrária do que pede o problema. P 5-39 (5-??/6 ) Uma moça de 39 kg e um trenó de M21 3 kg estão sobre a superfície de um lago gelado, separados por Q m. A moça aplica sobre o trenó uma força horizontal de Q)1c N, puxando-o por uma corda, em sua direção. (a) Qual a aceleração do trenó? (b) Qual a aceleração da moça? (c) A que distância, em relação à posição inicial da moça, eles se juntam, supondo nulas as forças de atrito? (a) Como o atrito é desprezível, a força da moça no trenó é a única força horizontal que existe no trenó. As forças verticais, a força da gravidade e a força normal do gelo, anulam-se. A aceleração do trenó é e" W Q;1 M21 3 L;1-9 m/s 1 (b) De acordo com a terceira lei de Newton, a força do trenó na moça também é de Q;1 N. A aceleração da moça é, portanto, e> Q)1c 3" 21ˆ+ m/s 1 (c) A aceleração do trenó e da moça tem sentidos opostos. Suponhamos que a moça parta da origem e mova-se na direção positiva do eixo N. Sua coordenada é N4 e" h 1 O trenó parte de NyYN { ŒQ m e move-se no sentido negativo de N. Sua coordenada é dada por N N { e h 1 les se encontram quando N4 N2, ou seja quando e> h bn { e" h donde tiramos facilmente o instante do encontro: haš ]N { e le quando então a moça terá andado uma distância N e h P 5-40 (5-31/6 ) N { e e> #Re" 6}+Q98'6Z21ˆ+98 ;1 0l;1-9 L;1 - m1 Dois blocos estão em contato sobre uma mesa sem atrito. Uma força horizontal é aplicada a um dos blocos, como mostrado na Fig (a) Se ;1 kg e 91 kg e L ;1c N, determine a força de contato entre os dois blocos. (b) Mostre que, se a mesma força for aplicada a, ao invés de, a força de contato entre os dois blocos é )1 N, que não é o mesmo valor obtido em (a). xplique a diferença. (a) O diagrama de corpo isolado para a massa tem quatro forças: na vertical, k IV e, na horizontal, para a direita a força aplicada e, para a esquerda, a força jgallas Página 4 de 8

5 { LISA 1 - Prof. Jason Gallas, IF UFRGS 18 de Novembro de 2004, às 23:06 de contato œ que exerce sobre. O diagrama de corpo isolado para a massa contém três forças: na vertical, V e e, na horizontal, apontando para a direita, a força œ. Note que o par de forças œ e œ é um par ação-reação, conforme a terceira lei de Newton. A segunda lei de Newton aplicada para fornece?œb 'e onde e é a aceleração. A segunda lei de Newton aplicada para fornece œb =e41 Observe que como os blocos movem-se juntos com a mesma aceleração, podemos usar o mesmo símbolo e em ambas equações. Da segunda equação obtemos eyœžj que substituida na primeira equação dos fornece œ : œ %R 6Z21 98'6}1c8 )1b91 a91ˆ N1 (b) Se for aplicada em em vez de, a força de contato é œ k %R 6Z21 98'6<)198 )1b91 L;1ˆ N1 A aceleração dos blocos é a mesma nos dois casos. Como a força de contato é a única força aplicada a um dos blocos, parece correto atribuir-se aquele bloco a mesma aceleração que ao bloco ao qual é aplicada. No segundo caso a força de contato acelera um bloco com maior massa do que no primeiro, de modo que deve ser maior. P 5-44 (5-33/6 ) Um elevador e sua carga, juntos, têm massa de 0-9 kg. Determine a tensão no cabo de sustentação quando o elevador, inicialmente descendo a m/s, é parado numa distância de 3> m com aceleração constante. O diagrama de corpo isolado tem duas forças: para cima, a tensão no cabo e, para baixo, a força WV da gravidade. Se escolhermos o sentido para cima como positivo, a segunda lei de Newton diz-nos que é WVde, onde e é a aceleração. Portanto, a tensão bc6ÿv,le)81 Para determinar a aceleração que aparece nesta equação usamos a relação f f { #@e"š onde a velocidade final é fy, a velocidade inicial é f { e Š 3", a coordenada do ponto final. Com isto, encontramos f 6}+98 ;6: 3>8 \ a91c\) m/s 1 ste resultado permite-nos determinar a tensão: bc6ÿv,le)8y6}0-998z[21 M1 \>+Y1 Mdop+ w N1 P 5-52 (5-35/6 ) Uma pessoa de M9 kg salta de pára-quedas e experimenta uma aceleração, para baixo, de )1cQ m/s. O pára-quedas tem Q kg de massa. (a) Qual a força exercida, para cima, pelo ar sobre o pára-quedas? (b) Qual a força exercida, para baixo, pela pessoa sobre o pára-quedas? (a) O diagrama de corpo isolado para a pessoa+páraquedas contém duas forças: verticalmente para cima a força do ar, e para baixo a força gravitacional de um objeto de massa my67m%q8%lm9q kg, correspondente às massas da pessoa e do pára-quedas. Considerando o sentido para baixo como positivo, A segunda lei de Newton diz-nos que WVx Ue onde e é a aceleração de queda. Portanto, UC6ŸVdye)8G6ZM"Q8'67[;1 M C;1 Q98 L-9 N1 (b) Consideremos agora o diagrama de corpo isolado apenas para o pára-quedas. Para cima temos, e para baixo temos a força gravitacional sobre o pára-quedas de massa. Além dela, para baixo atua também a força, da pessoa. A segunda lei de Newton diz-nos então que V, b e, donde tiramos b 6ZeP V;8ž P 5-55 (5-???/6 ) 6<Q8=67)1cQ y[21 M"8žR-"@ QM N1 Imagine um módulo de aterrisagem se aproximando da superfície de Callisto, uma das luas de Júpiter. Se o motor fornece uma força para cima (empuxo) de9- N, o módulo desce com velocidade constante; se o motor fornece N, o módulo desce com uma aceleração de ;1[ m/s. (a) Qual o peso do módulo de aterrisagem nas proximidades da superfície de Callisto? jgallas Página 5 de 8

6 e LISA 1 - Prof. Jason Gallas, IF UFRGS 18 de Novembro de 2004, às 23:06 (b) Qual a massa do módulo? (c) Qual a aceleração em queda livre, próxima à superfície de Callisto? Chamemos de V a aceleração da gravidade perto da superfície de Callisto, de a massa do módulo de aterrisagem, de e a aceleração do módulo de aterrisagem, e de o empuxo (a força para cima). Consideremos o sentido para baixo como o sentido positivo. ntão WV e. Se o empuxo for R "@-9 N, a aceleração é zero, donde vemos que Vx b21 Se o empuxo for 9@ N, a aceleração é e> 219[ m/s, e temos WVx e" 1 (a) A primeira equação fornece o peso do módulo de aterrisagem: Vd "@- N1 (b) A segunda equação fornece a massa: ` e "@-?@9 ;1[ )1 \xop+ kg1 (c) O peso dividido pela massa fornece a aceleração da gravidade no local, ou seja, VX P 5-58 (5-43/6 ) "@- )1 \Poy0 Y1c m/s 1 Um bloco de massa XŒ21c\ kg está sobre um plano com! de inclinação, sem atrito, preso por uma corda que passa por uma polia, de massa e atrito desprezíveis, e tem na outra extremidade um segundo bloco de massa `;1 kg, pendurado verticalmente (Fig. 5-52). Quais são (a) os módulos das acelerações de cada bloco e (b) o sentido da aceleração de? (c) Qual a tensão na corda? 1 X ª 99 (a) Primeiro, fazemos o diagrama de corpo isolado para cada um dos blocos. Para, apontando para cima temos a magnitude da tensão na corda, e apontando para baixo o peso 'V. Para, temos três forças: (i) a tensão apontando para cima, ao longo do plano inclinado, (ii) a normal perpendicular ao plano inclinado e apontando para cima e para a esquerda, e (iii) a força peso V, apontando para baixo, fazendo um ângulo OWu! com o prolongamento da normal. Para k, escolhemos o eixo N paralelo ao plano inclinado e apontando para cima, e o eixo Š na direção da normal ao plano. Para, escolhemos o eixo Š apontando para baixo. Com estas escolhas, a aceleração dos dois blocos pode ser representada pela mesma letra e. As componentes N e Š da segunda lei de Newton para são, respectivamente, pk IV sen O k e pk IV $'&"()O 21 A segunda lei de Newton para fornece-nos Vx e41 Substituindo-se k edb «V seno (obtida da primeira equação acima), nesta última equação, obtemos a aceleração: 6^ pk sen O"8 V? A ;1 C;1 \ sen! D 67[;1 M98 21c\ #)1 L;1 \]9Q m/s 1 (b) O valor de e acima é positivo, indicando que a aceleração de aponta para cima do plano inclinado, enquanto que a aceleração de aponta para baixo. (c) A tensão na corda pode ser obtida ou de k e Rk «V seno 6Z21c\8'A ;1 \] "Qƒl[;1 M sen9! DL@21 M3 N ou, ainda, da outra equação: P 5-63 (5-47/6 ) V,? e 67)198=A [21 M C;1 \] "QD/L;1 M@3 N1 Um macaco de + kg sobe por uma corda de massa desprezível, que passa sobre o galho de uma árvore, sem atrito, e tem presa na outra extremidade uma caixa de Q kg, que está no solo (Fig. 5-54). (a) Qual o módulo jgallas Página 6 de 8

7 LISA 1 - Prof. Jason Gallas, IF UFRGS 18 de Novembro de 2004, às 23:06 da aceleração mínima que o macaco deve ter para levantar a caixa do solo? Se, após levantar a caixa, o macaco parar de subir e ficar agarrado à corda, quais são (b) sua aceleração e (c) a tensão na corda? (a) Consideremos para cima como sendo os sentidos positivos tanto para o macaco quanto para a caixa. Suponhamos que o macaco puxe a corda para baixo com uma força de magnitude. De acordo com a terceira lei de Newton, a corda puxa o macaco com uma força de mesma magnitude, de modo que a segunda lei de Newton aplicada ao macaco fornece-nos y VXb e onde e e representam a massa e a aceleração do macaco, respectivamente. Como a corda tem massa desprezível, a tensão na corda é o próprio. A corda puxa a caixa para cima com uma força de magnitude, de modo que a segunda lei de Newton aplicada à caixa é p onde t e e representam a massa e a aceleração da caixa, respectivamente, e é a força normal exercida pelo solo sobre a caixa. Suponhamos agora que, onde ƒ é a força mínima para levantar a caixa. ntão e e u, pois a caixa apenas descola do chão, sem ter ainda começado a acelerar. Substituindo-se estes valores na segunda lei de Newton para a caixa obtemos que i +V que, quando substituida na segunda lei de Newton para o macaco (primeira equação acima), nos permite obter a aceleração sem problemas: e" p V 6Z p 8~V 6}+Q 098=6Z[21 M"8 + b321 [ m/s 1 (b) Para a caixa e para o macaco, a segunda lei de Newton são, respectivamente, p Vdb e p VXU e 1 Agora a aceleração do pacote é para baixo e a do macaco para cima, de modo que e e. A primeira equação nos fornece b ;6ŸVPye>,8 que quando substituida na segunda equação acima nos permite obter e> : e" y 8 V t,p 6}+Q #+98~V +Q0 L m/s 1 (c) Da segunda lei ne Newton para a caixa podemos obter que U 6ŸVxCe 8G6:Q8=6Z[;1 M C;1 "8@ N1 P 5-67 (5-49/6 ) Um bloco de Q kg é puxado sobre uma superfície horizontal, sem atrito, por uma corda que exerce uma força + N, fazendo um ângulo O Q! com a horizontal, conforme a Fig (a) Qual a aceleração do bloco? (b) A força é lentamente aumentada. Qual é esta força no instante anterior ao levantamento do bloco da superfície? (c) Qual a acelelra cão nesse mesmo instante? (a) A única força capaz de acelerar o bloco é fornecida pela componente horizontal da força aplicada. Portanto, a aceleração do bloco de massa mlq kg é dada por ed $'&"(2Q! +p$'&"(2q! Q )1 0M m/s 1 (b) nquanto não existir movimento vertical do bloco, a força total resultante exercida verticalmente no bloco será dada por sen Q!% pwvxb onde representa a força normal exercida pelo solo no bloco. No instante em que o bloco é levantado teremos. Substituindo este valor na equação acima e resolvendo-a obtemos V 67Q8=6Z[21 M"8 sen Q! sen Q a90- N1! (c) A força horizontal neste instante é $'&"(2Q!, onde 90- Newtons. Portanto, a aceleração horizontal será ed $=&9(29Q! 90-y$'&9(/Q! Q L) m/s 1 A aceleração vertical continuará a ser ZRO pois a força vertical é zero. P 5-70 (5-53/6 ) jgallas Página 7 de 8

8 1 LISA 1 - Prof. Jason Gallas, IF UFRGS 18 de Novembro de 2004, às 23:06 Um balão de massa ±, com ar quente, está descendo, verticalmente com uma aceleração e para baixo (Fig. 5-59). Que quantidade de massa deve ser atirada para fora do balão, para que ele suba com uma aceleração e (mesmo módulo e sentido oposto)? Suponha que a força de subida, devida ao ar, não varie em função da massa (carga de estabilização) que ele perdeu. As forças que atuam no balão são a força ² da gravidade, para baixo, e a força do ar, para cima. Antes da massa de estabilização ser jogada fora, a aceleração é para baixo e a segunda lei de Newton fornece-nos?± VdY ±e ou seja L±6ŸVxCe)8. Após jogar-se fora uma massa, a massa do balão passa a ser ±³C e a aceleração é para cima, com a segunda lei de Newton dando-nos agora a seguinte expressão U67± y8~vxa6<± y8:e41 liminando entre as duas equações acima encontramos sem problemas que ` ±e ecv ±?V;j@e jgallas Página 8 de 8