Einstein, Mouse Ótico e Maisena Uma Análise do Movimento Browniano

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1 J. S. Figueira, Atas do XVII Simpósio Nacional de Ensino de Física, Sao Luis (27) Einstein, Mouse Ótico e Maisena Uma Análise do Movimento Browniano Jalves Sampaio Figueira [jalves@pb.cefetpr.br] UTFPR Pato Branco PR jalfigueira@gmail.com Neste trabalho é apresentada uma proposta de análise do movimento browniano e estimativa da constante de Boltzmann utilizando um mouse ótico e solução de amido de milho maisena e água. A técnica utiliza um mouse ótico para medidas dos deslocamentos das partículas de amido. Uma rotina de programação lê as coordenadas xy do mouse ótico correspondentes às coordenadas do movimento das partículas em difusão ao longo de uma proveta. Da análise dos deslocamentos quadráticos médios das partículas de amido é obtida uma estimativa, em ordem de magnitude, da constante de Boltzmann. Palavras-chave: Movimento browniano, mouse ótico, simulações, difusão, constante de Boltzmann. 1. Introdução O movimento caótico de pequenas partículas suspensas em um fluído foi, durante muitos anos, um desafio para a ciência. Observado e descrito primeiramente por Robert Brown em 1827, sua explicação teórica foi dada por Einstein, em artigo publicado em 195, fundamentando as bases para a consolidação do modelo atômico molecular. Observar pequenas partículas, na ordem de 1-6 m, em movimento desordenado, caótico, é uma tarefa simples. Com um microscópio ou projeção em vídeo é possível observar pequenas partículas da fumaça de cigarro em suspensão na água. Porém, medidas precisas do movimento browniano e da constante de Boltzmann exigem, microscópio e câmeras CCD [1], além de um bom preparo por parte do experimentador. E, é claro, são necessárias partículas (esferas) com diâmetros precisos. Neste trabalho, a análise e medidas do movimento browniano são feitas com base no deslocamento difusivo de partículas de amido de milho maisena - em suspensão na água. Um mouse ótico detecta os movimentos das partículas durante a decantação. A técnica apresentada utiliza uma rotina de programação, facilmente construída em linguagem scripts, macro do Excel ou mesmo um Applet Java, que lê as coordenadas x e y do mouse correspondentes às coordenadas do movimento das partículas em difusão ao longo de 1

2 uma proveta. A partir dos deslocamentos quadráticos médio das partículas é estimada a constante de Boltzmann. Atividades experimentais no laboratório de física com mouse são comuns. Medidas do período de um pêndulo [2], e o estudo do oscilador harmônico [3] utilizando um mouse são algumas das propostas encontradas em sites e periódicos. Nas seções seguintes é descrito o uso do mouse ótico nas medidas do movimento browniano. Primeiramente, na seção II, para uma melhor compreensão teórica é feita uma breve descrição do movimento browniano. Na seção III, detalhamos o emprego e funcionamento do mouse ótico e, nas seções IV e V são apresentadas a descrição e análise do experimento para obter uma estimativa da constante de Boltzmann. 2. Movimento browniano Entre a segunda metade do século dezenove e a primeira metade do século vinte a humanidade construiu um dos pilares mais sólidos da ciência moderna: a teoria atômica. A idéia que tudo é feito de moléculas e átomos é muito antiga, e nos remete à civilização grega. Porém, somente com a ciência moderna foram desenvolvidas novas idéias e hipóteses que, aliadas a novas técnicas e experimentos, possibilitou a construção da teoria atômica. Entre essas está o movimento browniano. Pode-se dizer que tudo começa em 1827, com a observação apurada de Robert Brown, botânico escocês, ao observar, no microscópio, o deslocamento de polens de plantas em suspensão na água. Este ficou intrigado ao ver que essas partículas apresentavam um movimento errático, levando-o, a princípio, crer que se tratava de substâncias vivas. Até o fim do século dezenove, não se tinha uma teoria fundamentada para a descrição do movimento desordenado de pequenas partículas (na ordem de 1 µm = 1 6 m ) em suspensão em um líquido (Fig. 1). Somente em 195, em uma das publicações de Einstein [4], que, com base em um modelo teórico relacionando a pressão osmótica, difusão com a teoria molecular do calor, elucidou o problema, apresentando um modelo para a dinâmica do movimento das partículas suspensa em um fluído. O interesse de Einstein não era exatamente o estudo do movimento browniano, seus esforços estavam em demonstrar a natureza das moléculas [5], isto é, em justificar a hipótese atômica. Assim, a partir da hipótese atômica e usando a teoria molecular do calor, Einstein conclui que pequenas partículas suspensas em um líquido, apresentariam como conseqüência 2

3 do choque com as moléculas, um movimento irregular, aleatório, e este movimento poderia ser observado no microscópio. A hipótese de Einstein foi confirmada por Jean Perrin ( ). Este, após inúmeros experimentos muito precisos do movimento de pequenas partículas suspensas em líquidos, deu razão a Einstein de que movimento browniano é o resultado dos choques das moléculas do líquido com as partículas suspensas, obtendo uma estimativa do número de Avogadro. Posição (Ua) Tempo (ua) Fig. 1 - Simulação usando linguagem Basic para o movimento browniano. Partindo de uma análise dinâmica, entre os impulsos aleatórios das moléculas e a força dissipativa do meio, obtêm-se como proposta de medida experimental, o deslocamento quadrático médio como função linear do tempo, para uma dimensão <x 2 > t. A constante desta relação, coeficiente de difusão D, é dada por: RT 1 D =, (1) N 6π r n onde R é a constante dos gases, T a temperatura e N é o número de Avogadro, sendo r o raio da partícula em suspensão em um líquido com viscosidade n. É possível modelar o movimento browniano em termos de flutuações estatísticas. O movimento da partícula, em equilíbrio térmico com as moléculas do líquido, fica melhor descrito pelo modelo do passeio aleatório. A Fig. 2, ilustra uma simulação construída em Java, usando a ferramenta Ejs [6]. Neste Applet, a partícula tem probabilidade ¼ de dar um passo em uma das direções do plano xy; a conseqüência é o movimento desordenado. 3

4 Fig. 2 Simulação com Applet Java do movimento browniano. 3. Mouse ótico Poucas propostas para as atividades didáticas de Física são encontradas com mouse ótico. Ng et al. [7,8] apresentam um estudo do mouse ótico em dois campos: oscilações e deformações em sólidos. Neste os pesquisadores determinam o alcance máximo do mouse 1,25 mm, e o limite máximo de freqüência para medidas de vibrações (1Hz). O mouse ótico foi projetado no final da década de 9. Não apresentando partes mecânicas, este é imune aos defeitos comuns do seu similar mecânico. Ganhou aceitação no mercado e hoje apresenta um custo equivalente a um mouse mecânico, construído com uma câmera que processa mais de 15 imagens por segundo. Possui um processador que digitaliza essas imagens a partir da comparação com um determinado padrão, transferindo para o processador DSP. As imagens captadas pelo sensor são digitalizadas e processadas. As principais partes do mouse ótico são: diodo emissor de luz (LED vermelho), um processador digital de imagens (DSP) e um sensor (CMOS). Este capta a luz refletida pela superfície, pequenas irregularidades a nível microscópico. As imagens captadas pelo sensor são digitalizadas e processadas. A qualidade de um mouse está relacionada com a resolução. São encontrados no mercado mouses de 4dpi, 8dpi e até 2dpi. A medida define a quantidade de pixels utilizado em cada polegada ou centímetro quadrado. Um pixel é o menor elemento que compõe uma imagem digital. Assim, um mouse de 8dpi (dot per inches) possui resolução de 8 x 8 dpi, isto é, 8 pontos na horizontal e 8 na vertical. Para este dispositivo, um pixel tem o valor de,3175mm. 4

5 Ler as coordenadas cartesianas do mouse é uma tarefa simples em programação. Nossos alunos ou estudantes da área constroem facilmente uma rotina para essa função. 4. Descrição do experimento Além do mouse de trabalho do microcomputador foi necessário instalar um mouse ótico (Fig. 3). Para isso, o microcomputador teve que dispor de duas entradas para mouse (duas USB ou uma serial e uma USB). Também foi utilizado uma proveta de 5 ml (Fig. 4) para solução de amido de milho e água. Fig. 3 Placa interna de um mouse ótico. Seguindo as indicações da secção III, procurou-se fixar o mouse próximo do frasco (Fig. 5) usando um atilho. O alcance ótico do mouse não ultrapassa 1,25 mm. Esse detalhe é de extrema importância para medidas dos deslocamentos das partículas. Em virtude deste fato foi necessário utilizar somente a placa interna do mouse. Nas medidas obtidas foi utilizado um mouse com 8dpi de resolução. y z x Fig. 4 - As partículas deslocam-se nas direções x, y e z. 5

6 Pode-se testar a sensibilidade do mouse agitando o frasco com a solução de maisena. E, para evitar vibrações mecânicas, a proveta com solução de amido foi colocada em outra mesa, separada da mesa do microcomputador. Medidas do deslocamento quadrático médio das partículas de amido foram feitas usando uma rotina construída com macro do Excel. O programa determina as coordenadas x e y do mouse em função do tempo. Para determinar os deslocamentos quadráticos médios <x 2 > e <y 2 >, deve-se indicar também o número de vezes que as medidas serão tomadas. Assim, temos o resultado final, <x 2 > e <y 2 >, em uma única tomada de dados. A hipótese utilizada, para determinar a média, é que os movimentos do mouse, no plano x y, sejam eventos independentes. Os movimentos em diferentes intervalos de tempo devem também ser considerados eventos independentes. Fig. 5 - Mouse ótico disposto próximo de uma proveta. Em uma dimensão, tem-se < x 2 >= 2D t, onde D é o coeficiente de difusão. Da mesma forma para um deslocamento na direção y, < y 2 >= 2 D t. Assim, o deslocamento quadrático médio resultante é dado por 2 4 KT < R > = t, (2) 6π n r sendo: T-temperatura, K-constante de Bolztmann, n-coeficiente de viscosidade e r-raio das partículas. 6

7 Os valores (Fig. 6) representam uma simulação do movimento browniano ao deslocar o mouse com movimentos irregulares. As medidas foram tomadas em intervalos de,2 s no tempo total de 4 s. < R2 > mm2 1,2 1,8,6,4,2 < R2 > =,2686t R 2 =,9185,1,5 -,5 -,1 -,15 -,2 < y > < x > mm -,25, 1, 2, 3, 4, Tempo (s) Fig. 6 Simulação do movimento browniano com deslocamentos do mouse. 5. Procedimento e análise Após dissolver a solução de amido e água, agita-se a mistura aguardando-se alguns minutos para que o sistema atinja o equilíbrio. Tem-se, assim o início do processo de sedimentação das partículas ao longo da proveta. Não há necessidade de medir a concentração inicial. A medida que as partículas de amido sedimentam, temos uma solução com partículas de diâmetros cada vez menores. O tempo total de sedimentação é função da concentração inicial, do diâmetro das partículas, da densidade, viscosidade do fluído e da altura da proveta. Para ser possível medidas do movimento browniano, há necessidade de partículas com diâmetros suficientemente pequenos na ordem de 1-4 cm. Também é necessário que a densidade dessas partículas seja pequena. Assim tem-se seus movimentos independentes dos movimentos de todas as outras partículas, sendo possível utilizar um modelo cinético molecular. 7

8 No inicio do processo de sedimentação, tem-se uma alta concentração de partículas e, em média, partículas grandes. O gráfico da Fig. 7 ilustra os valores obtidos nos primeiros minutos de sedimentação. Foram coletados no tempo total de 1s, e intervalos de,5 segundo. < y> mm,12,1,1 y =,97t,8 R 2 =,945,6,8,4,2,6 -,2,4 -,4,2 -,6 -,8 -,1, 2, 4, 6, 8, 1, Tempo (s) < x> mm Fig. 7 Deslocamento médio das partículas de amido (eixo x e y) nos primeiros minutos de decantação. Neste pequeno intervalo tempo de 1s, uma estimativa razoável é que as partículas apresentem poucos desvios em seus diâmetros. Ajustando uma reta aos pontos medidos, direção y, obtém-se uma velocidade constante de,97 mm/s. Que é satisfatório, pela lei de Stokes as partículas atingem velocidades constante, tão logo a resistência do fluído iguale-se à força de gravidade. Na direção horizontal x, tem-se um processo difusivo com flutuações nos deslocamentos; entretanto, conforme descrito acima, com esta concentração, os eventos (deslocamentos na vertical e horizontal) não são independentes. Após aguardar algumas horas de sedimentação, temos um sistema ideal: baixa densidade e partículas com diâmetros menores. É a partir deste instante, baixa concentração e partículas com diâmetros menores que nosso experimento tem início. Nossa rotina de programação determina os deslocamentos do mouse (partículas) e os valores quadráticos médios em diferentes intervalos de tempo. Com isso, em alguns minutos, temos uma estimativa da constante de Boltzmann. Na Fig. 8 são mostrados os valores obtidos, com intervalos de 16 s, do deslocamento quadrático médio <R 2 >. Observa-se, com ajuste das medidas, a linearidade entre <R 2 > e o tempo t com constante D = mm 2 /s. Nas condições normais, temperatura ambiente (T), viscosidade da água (n) e diâmetro das partículas na ordem de 1-6 m, obtém-se da 8

9 relação (2) um valor aproximado para a constante de Boltzmann, em ordem de magnitude, de 1-23 J/K.,12 < R2 > mm2,1,8,6,4 < R2 > = 3E-6 t R 2 =,9514, Tempo (s) Fig. 8 Medidas do deslocamento quadrático médio <R 2 > ao final da decantação. A técnica utilizada por decantação, nas medidas do movimento browniano, permite separar as partículas mais finas. E, ao final da decantação, isto é, após horas do início do processo de decantação, observa-se as flutuações, características de sistemas microscópicos, e as medidas tendem, em ordem de magnitude, a constante de difusão D. 6. Comentários finais Nossa proposta procurou utilizar materiais de fácil acesso dos alunos. Partículas selecionadas para medidas do movimento browniano são difíceis de serem adquiridas, e atividades com o microcomputador estão se tornando uma realidade nas nossas escolas. Por outro lado, perdemos na análise quantitativa, exatidão dos dados, ao utilizar partículas de amido de milho e um mouse, porém, ganhamos ao mostrar para nossos alunos que a física está próxima de nosso cotidiano. As seguintes questões merecem um comentário a parte. A sensibilidade do sensor do mouse depende de quais fatores? E, qual menor diâmetro das partículas detectado pelo mouse? O sensor do mouse capta a luz refletida do LED (vermelho). E, ao incidir luz em uma solução temos alguns fenômenos como: reflexão, absorção, refração e dispersão. Com isso 9

10 temos uma dependência complexa entre a intensidade da radiação refletida com a concentração, diâmetro das partículas e comprimento da radiação incidente. Os valores obtidos e a estimativa da constante de Boltzmann permitem afirmar que as partículas que o mouse detecta tem diâmetros na ordem de 1-6 m. Não foi encontrada bibliografia sobre medidas do movimento browniano com um mouse ótico. Esperamos que nossa técnica, para estimativa da constante de Boltzmann, desperte o interesse e traga respostas para questões referentes a esse tema. Referências [1] P. Nakroshis, A. Matthew, J. Legere, C. Smith, Measuring Boltzmann s constant using video microscopy of Brownian motion. American Journal of Physics, 71 (6), , jun. 23. [2] E. Montenegro, O Mouse como Dispositivo de Aquisição de Dados. Trabalho de Conclusão de Curso. Disponível em:< mouse.pdf> Acesso em 24 de agosto 26. [3] O. R. Ochoa, N. F. Kolp, The computer mouse as a data acquisition interface: Application to harmonic oscillators. American Journal of Physics, 65, , nov [4] J. Stachel, O ano miraculoso de Albert Einstein: cinco artigos que mudaram a face da física, Editora UFRJ, Rio de Janeiro, 21. [5] I. C. Moreira, 195 Um ano miraculoso, Física na Escola. N. 1 v. 6 maio de 25 [6] J. S. Figueira, Easy Java simulations: modelagem computacional para o ensino de Física. Rev. Bras. Ens. Fis., São Paulo, v. 27, n. 4, 25. [7] T. W. Ng, K. T. Ang, Vibratory motion sensing using the optical mouse. Sens. Actuators, A 116, [8] T. W. Ng, K. T. Ang, The optical mouse for harmonic oscillator experimentation, American Journal of Physics, 73 (8): Agosto 25. 1