Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul - PUCRS Faculdade de Engenharia - FENG Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica

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1 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul - PUCRS Faculdade de Engenharia - FENG Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica Prof. Jorge A. Villar Alé Março - 00

2 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul - PUCRS Faculdade de Engenharia - FENG Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica Prof. Jorge A. Villar Alé Março - 00

3 Sumário Nesta apostila são abordados os principais conteúdos de Bombas e Sistemas de Bombeamento. O material é uma recopilação das aulas dadas no Departamento de Engenharia Mecânica e Mecatrônica da Faculdade de Engenharia da PUCRS. Especificamente as disciplinas de Máquinas de Fluxo, do curso de Engenharia Mecânica, e de Sistemas Fluidomecânicos, do curso de Engenharia de Controle e Automação, utilizam este material. Nas aulas são abordados os conteúdos e fornecidas adicionalmente listas de exercícios resolvidos e propostos, complementando assim o conteúdo da apostila. O material que aborda o estudo de máquinas axiais e sistemas de ventilação industrial é fornecido adicionalmente. O Cap. apresenta uma introdução às máquinas de fluxo. No Cap. é apresentada a equação geral de turbomáquinas aplicada a bombas centrífugas incluindo o estudo da influência do número de pás e sua espessura assim como o efeito do ângulo de curvatura das pás são estudadas. No Cap.3 são apresentadas as curvas características de bombas relacionado a energia absorvida pelas máquinas e a energia cedida pelo rotor ao fluido. Potência e rendimentos são apresentados assim como os tipos de conexão em serie e em paralelo das bombas e seu efeito. No Cap.4 são abordadas as leis de similaridade e coeficientes adimensionais de máquinas de fluxo assim como os conceitos de rotação específica. No Cap. 5 abordam-se conceitos relativos a curvas operacionais de sistemas de bombeamento assim como estratégias de controle para regulação da vazão. A energia transferida nos sistemas de bombeamento é estudada no Cap.8. Dimensionamento de sistemas de bombeamento e importância da perda de carga nestes sistemas é visto no Cap.9. Finalmente o fenômeno de cavitação em sistemas de bombeamento é discutido no Cap.9. O material também inclui um anexo com propriedades dos fluidos e outras informações complementares para facilitar as atividades de aprendizado. Na metodologia de ensino das disciplinas lecionadas com o presente material, os alunos devem realizar uma leitura prévia e reconhecimento das equações utilizadas nos capítulos, de tal forma que o professor possa esclarecer as dúvidas e realizar exercícios para explicar os conteúdos. A primeira versão desta apostila foi lançada em 00, modificada posteriormente em agosto de 003 e sendo lançada em 00 esta nova versão. Os capítulos foram re-estruturados. Cada capítulo teve uma nova formatação, novas figuras e exercícios resolvidos foram incluídos. Foram preparadas listas adicionais de exercícios seguindo a estrutura de esta nova versão. Esperamos que eventuais erros possam ser detectados no andamento das aulas com a finalidade de realizar as correções e modificações que forem necessárias para aperfeiçoar o presente material. Prof. Jorge Villar Alé villar@ee.pucrs.br Laboratório de Sistemas Fluidomecânicos LSFM Centro de Energia Eólica Porto Alegre, março 00 I

4 Sumário II

5 Sumário SISTEMAS FLUIDOMECÂNICOS Sistemas de Bombeamento SUMÁRIO Capítulo - Introdução às Máquinas de Fluxo Capítulo Teoria de Bombas Centrifugas Capítulo 3 Curvas Características e Associação de Bombas Serie Paralelo Capítulo 4 Coeficiente Adimensionais e Leis de Semelhança Capítulo 5 Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento Capítulo 6 - Sistemas de Bombeamento Capítulo 7 - Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento Capítulo 8 Cavitação REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXOS TABELAS E PROPRIEDADES DOS FLUIDOS III

6 Sumário Capítulo - Introdução às Máquinas de Fluxo Cap. Introdução às Máquinas de Fluxo Item Conteúdo Pag. Introdução 3. Máquinas de Fluxo 4. Máquinas Motrizes 5. Máquinas Geratrizes ou Operatrizes 5.3 Ventiladores e Compressores 6.4 Turbinas 7.4. Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) 7.4. Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) Turbinas Segundo a Direção do Escoamento Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás 9.5 Bombas idráulicas 9.6 Bombas Volumétricas 0.6. Bombas de Deslocamento Positivo 0.6. Bombas Rotativas 0.7 Turbobombas.7. Bombas Centrífugas.7. Bombas Axiais 3 IV

7 Sumário Capítulo Teoria de Bombas Centrifugas Cap. Teoria de Bombas Centrífugas Item Conteúdo Pag.. Introdução 3. Equação do Momento da uantidade para Turbomáquinas (Axial - Radial ) 4.. Simplificações 4.3 Potência e Energia Específica 7.4 Equação de Euler 7.5 Aplicação das Equações para Bombas Centrífugas 8.6 Polígono de Velocidades num Rotor de Bomba Centrífuga 9.6. Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente.7 Parcelas de Energia na Equação de Euler para Turbomáquinas 3.8 Relação da Equação de Euler e a Equação de Energia 4.9 Grau de Reação 5.0 Influência da Curvatura das Pás 6 Caso - Pás Voltadas para Trás 7 Caso - Pás Radiais na Saída 8 Caso 3 - Pás Voltadas para Frente 8 Resumo Gráfico dos Resultados. 9 Recomendações para Ângulo das Pás 9. Efeito da Curvatura das Pás na Altura Teórica de Elevação ( t -) 0. Efeito da Curvatura da Pás na Curva de Potência (P - ) Resumo das curvas - e P- 3.3 Representação da Curva Carasterístistica Teórica 4.4 Importância do Número Finito de Pás 5 Escoamento com Número Finito de Pás 5 Desvio da Velocidade Relativa 6 Dependência do Número de Pás 6.5 Altura Teórica para Número Finito de Pás 7 Fator de Correção do número finito de pás 7.6 Influencia da Espessura das Pás no Polígono de Velocidades 8 Análise na entrada do canal das pás 8 Análise na saída do canal das pás: 9.7 POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLO 3.8 Exemplos Resolvidos 33 V

8 Sumário Capítulo 3 Curvas Características e Associação de Bombas Serie Paralelo Cap.3 Curvas Características e Associação de Bombas Série e em Paralelo Item Conteúdo Pag. 3. Fluxo de Energia e Rendimentos 3 3. Rendimentos 3 Rendimento Mecânico 3 Rendimento idráulico Rendimento Volumétrico Rendimento Total ou Global Potência de acionamento 3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (-) Curvas Reais de Altura - Vazão (-) Curvas Características de Bombas Centrífugas Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (-) e (P-) Ponto de Operação das Bombas Outras Representações de Curvas Características Identificação Variáveis nas Curvas Características Equações Especificas Para Corte de Rotores 3.0. Determinação do Diâmetro de Corte de Uma Bomba Centrífuga Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro Correção do Diâmetro de corte Método de Stepanoff Exemplo para Determinar Diâmetro de Corte Método Gráfico Associação de Bombas em Série Curva característica de bombas em serie Rendimento de duas bombas em série 3. Associação de Bombas em Paralelo 3.. Curva Característica de Bombas em Paralelo: Rendimento de Duas Bombas em Paralelo Exemplo Bombas Conexão em Serie e em Paralelo Exemplo - Conexão Paralelo Exemplo - Conexão Série Outros Exemplos Atividade de Aprendizado - Proposta Atividade de Aprendizado - Resolvida Problemas Propostos 34 VI

9 Sumário Capítulo 4 Coeficiente Adimensionais e Leis de Semelhança Cap.4 Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade Item Conteúdo Pag. 4. Coeficientes Adimensionais Número de Reynolds Número de Mach Rugosidade Relativa Coeficiente de Pressão ou Altura Específica Coeficiente de vazão ou Capacidade Especifica Coeficiente de Potência 5 4. Efeitos de Escala Efeito do Número de Reynolds Efeito do Número de Mach Efeito da Rugosidade Relativa Efeito de Espessura Leis de Similaridade Leis de Similaridade para Duas Máquinas Semelhantes Utilizando as Leis de Similaridade Modificação do Tamanho da Bomba 4.6 Curva Característica de Bomba Variando a Rotação: Rendimento Global Variando a Rotação Determinação da Rotação Especifica Rotação Específica Característica - n q Número Específico de Rotações por Minuto Relação entre ns - nq 7 4. Velocidade Específica em Bombas de Múltiplos Estágios Bombas com entradas bilaterais (Rotor Geminado) Bombas com vários estágios e entrada bilateral Rotação Específica - Unidades Americanas Número Específico de RPM em Função da Potência Outras Relações Relação entre Coeficiente de Pressão e Número Específico de Rotações 0 4. Exemplos Resolvidos Atividade de Aprendizado Atividade Proposta N o Atividade Proposta N o 3 VII

10 Sumário Capítulo 5 Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento Cap.5 Curvas Operacionais De Sistemas de Bombeamento Item Conteúdo Pag. 5. Curvas Características de Sistemas de Bombeamento Sistema com Altura Estática Nula Sistema com Altura Perda de Carga Nula Sistema com Altura Estática Positiva Sistema com Altura Estática Negativa Sistema com Baixa Perda de Carga 6 5. Controle de Desempenho das Bombas Controle do Sistema por Regulação ou Estrangulamento de Válvula Controle de Sistema de Utilização de uma Linha de Recirculação (Bypass) Controle de Sistema por Ajuste da Rotação Controle de Sistema por Mudança no Diâmetro do Rotor 5..5 Controle por Ajuste do Angulo de Passo das Pás Comparativos de Estratégias de Controle da Vazão Operaçao de Sistemas com Bombas em Paralelo Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrífugas Equação Característica Real de Bombas Centrífugas Perdas idráulicas nas Bombas Método para Parametrização das Curvas de Bombas 5.5 Exemplo do Procedimento 5.6 Equações Complementares 7 VIII

11 Sumário Capítulo 6 - Sistemas de Bombeamento Cap.6 Sistemas de Bombeamento Item Conteúdo Pag. 6. Equação da Energia: Sistemas de Fluidomecânicos Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos 5 6. Equacionamento dos Sistemas de Bombeamento Definição de Alturas Estáticas Alturas Totais ou Dinâmicas Altura Total de Aspiração ou Manométrica de Aspiração - a Altura Total de Recalque ou Manométrica de Recalque r Altura Manométrica Bomba Acima do Nível do Reservatório de Aspiração 6.5. Bomba Abaixo do Nível do Reservatório de Aspiração - Afogada Altura Útil de Elevação Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas Principais Elementos de um Sistema de Bombeamento Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento Curva Característica dos Sistemas de Bombeamento Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas 8 Exemplo de Curva Característica de Bomba e Curva Característica do 6.8. Sistema Exemplos Resolvidos Atividade de Aprendizado 5 6. Folha Modelo para Dimensionamento de Sistemas de Bombeamento 6 6. Exemplo de Resultados 7 IX

12 Sumário Capítulo 7 - Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento Cap. 7 Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento Item Conteúdo pag 7. Perda de Pressão no Escoamento em Tubulações 3 7. Perda de Carga Total Perda de por Tubulações Diagrama de Moody Método para Determinar a Perda de Carga Secundaria Método do comprimento equivalente Método do coeficiente de perda de carga Perda de Carga nos Sistemas de Bombeamento Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento 7.8 Velocidades Típicas nos Sistemas de Bombeamento 7.9 Exemplos Resolvidos de Sistemas de Bombeamento Dimensionamento de Sistema de Bombeamento 5 Capítulo 8 Cavitação Cap. 8 Conceitos de Cavitação Item Conteúdo Pag. Introdução 3 8. Determinação do NPS (Net Positive Suction ead) Disponível Caso Geral de (NPS) Disponível Casos Específicos de Sistemas para Determinar o NPS Disponível 8 8. Altura Positiva Líquida de Sucção (NPS) Requerida pela Bomba Limite da Altura Estática de Aspiração Determinação do Fator de Cavitação ou Fator de Thoma 8.4. Velocidade Específica de Aspiração 8.4. Margem prática de segurança 8.5 Exemplos de Cavitação 3 X

13 Capítulo : Introdução às Máquinas de Fluxo Introdução às Máquinas de Fluxo PUCRS FENG

14 Introdução às Máquinas de Fluxo SUMÁRIO INTRODUÇÃO MÁUINAS DE FLUXO MÁUINAS MOTRIZES MÁUINAS GERATRIZES OU OPERATRIZES VENTILADORES E COMPRESSORES TURBINAS Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) Turbinas Segundo a Direção do Escoamento Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás BOMBAS IDRÁULICAS BOMBAS VOLUMÉTRICAS Bombas de Deslocamento Positivo Bombas Rotativas TURBOBOMBAS Bombas Centrífugas Bombas Axiais Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

15 Capítulo : Introdução às Máquinas de Fluxo Introdução Na indústria existe uma série de sistemas e equipamentos que utilizam máquinas para movimentação e transporte de fluidos. Todos estes processos estão relacionados com a energia e seus processos de transformação. A energia contida nos fluidos em movimento pode ser utilizada para acionamento de máquinas de fluxo denominadas turbinas. A energia elétrica gerada pelas turbinas pode ser utilizada para acionamento de motores elétricos, os quais podem acionar bombas, ventiladores, compressores para movimentação e transporte de fluidos com diferentes finalidades, segundo o processo industrial em que esteja inserido. As turbinas hidráulicas recebem energia do fluido (água) que transformada em energia mecânica possibilita sua transformação final em energia elétrica. As turbinas eólicas recebem energia dos ventos que pode ser transformada em energia mecânica. As turbinas a vapor são máquinas movimentadas pela elevada energia cinética de vapores em processos de expansão as quais possibilitam o acionamento de geradores elétricos, bombas, compressores, ventiladores. As bombas e ventiladores são máquinas que recebem trabalho mecânico através de motores e possibilitam transportar líquidos (bombas) e gases (ventiladores) vencendo desníveis energéticos. Os compressores são utilizados em processo frigoríficos ou em instalações com gases ou ar comprimido para acionamento de máquinas e ferramentas pneumáticas. Trabalham com gases com pressões superiores às utilizadas em ventiladores, levando em consideração as mudanças significativas da variação da massa específica pelas mudanças de temperatura e pressão. Um curso de sistemas fluidomecânicos possibilita o estudo das equações que governam o movimento das turbomáquinas como turbinas, bombas, ventiladores e compressores. A equação do momento da quantidade de movimento permite determinar a energia obtida ou recebida pelas máquinas; o estudo das leis de semelhança permitem avaliar o funcionamento das turbomáquinas em diferentes condições de operação. O estudo da dissipação de energia no escoamento nas máquinas de fluxo leva o aluno a reconhecer as diferentes perdas hidráulicas, volumétricas, mecânicas que devem ser levadas em conta para se ter uma noção da eficiência de tais máquinas. Com toda esta informação o aluno estará capacitado para selecionar o tipo de máquina mais apropriada em diferentes processos industriais, assim como avaliar a potência requerida de tais máquinas e realizar uma interpretação gráfica das curvas características verificando o ponto de operação entre as máquinas de fluxo e os sistemas onde estão inseridas. O presente capítulo apresenta uma revisão das principais máquinas de fluxo, e pela complexidade do assunto e pela extensão do tema apresenta basicamente uma classificação geral, os princípios de funcionamento e as aplicações deste tipo de máquinas. Para aprofundar o tema específico de alguma família ou tipo de máquina de fluxo o leitor deverá pesquisar a bibliografia consultada ou bibliografia mais especializada. PUCRS FENG

16 . Máquinas de Fluxo As máquinas de fluxo são utilizadas para adicionar ou retirar energia de um fluido. Podem ser dinâmicas (turbomáquinas) ou volumétricas. Nas dinâmicas o aumento da pressão do fluido é contínua. Nas volumétricas o aumento da pressão se produz reduzindo o volume do fluido confinado hermeticamente na câmara de compressão. As máquinas volumétricas podem ser alternativas com descarga intermitente do fluido, ou rotativas com descarga continua do fluido. Já as máquinas dinâmicas podem ser classificadas segundo a trajetória percorrida pelo fluido ao passar pelo rotor como radial, axial ou mista. Na Fig.. apresenta-se uma classificação de máquinas de fluxo. Máquinas de Fluxo Volumétricas Turbomáquinas Alternativas Rotativas Bombas Ventiladores Turbinas Pistão Diafragma Parafuso Palhetas Lóbulos Engrenagens Centrífugas Axiais Mistas Centrífugas Axiais Mistas idráulicas Vapor Gás Eólicas Figura. Esquema dos tipos de máquinas de fluxo As turbomáquinas direcionam o escoamento através de lâminas, aletas ou pás solidárias ao rotor. Numa turbomáquina o fluido nunca permanece confinado no interior da máquina, esta sempre circulando. Numa máquina volumétrica o fluido permanece periodicamente confinado no interior da máquina. Todas as interações de trabalho entre fluido-rotor de uma turbomáquina resultam dos efeitos dinâmicos do rotor sobre a corrente de fluido. As turbomáquinas podem ser máquinas motrizes (ex: turbinas) ou geratrizes (ex: bombas) As turbomáquinas apresentam os seguintes componentes básicos. Boca de entrada (Bombas: boca de aspiração ou de sucção) Rotor Impulso ou Impelidor Fileira de pás, lâminas, álabes solidárias ao rotor. Corpo, voluta ou coletor em caracol Boca de saída (Bombas: boca de recalque ou de descarga) Tabela. Máquinas de Fluxo Designação Turbina hidráulica e bomba centrífuga Ventilador, turbocompressor Turbina a vapor, turbocompressor frigorífico Turbina a gás, motor de reação Fluido de trabalho Líquido Gás (neutro) Vapor (água, freon, etc) Gás de combustão Tabela.. Máquinas de Deslocamento Designação Bombas (alternativa, engrenagens, parafuso) Compressor (alternativo, rotativo) Compressor (alternativo, rotativo) Motor alternativo de pistão Fluido de trabalho Líquido Gás (neutro) Vapor (freon, amônia) Gás de combustão -4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

17 Capítulo : Introdução às Máquinas de Fluxo. Máquinas Motrizes Transformam a energia recebida por um fluido em energia mecânica para um aproveitamento posterior, como por exemplo, na geração de energia elétrica. Tabela.3 uadro resumo dos tipos de máquinas motrizes Máquinas Motrizes Característica Exemplos Turbinas hidráulicas Transformam a energia hidráulica em trabalho mecânico. A energia potencial se obtém por um desnível natural ou por embalse. Utilizadas para gerar energia elétrica. Turbinas a vapor Transformam a energia recebida por um vapor em trabalho mecânico. Utilizadas para gerar energia elétrica. Turbinas eólicas Transforma a energia cinética dos ventos (eólica) em trabalho mecânico. Utilizadas para gerar energia elétrica.. Máquinas Geratrizes ou Operatrizes Turbinas Francis, Propeller, Kaplan, Dériaz Rodas hidráulicas ou rodas de água. Turbinas a vapor. Turbinas a gás. Máquinas a vapor de descolamento positivo. Turbinas eólicas Turbinas Darreius Turbinas Savonius. Recebem trabalho mecânico, fornecido por uma máquina motriz (motor elétrico, diesel) e o transformam em energia de pressão. Tabela.4 uadro resumo dos tipos de máquinas operatrizes Máquinas Operatrizes Característica Classificação Bombas idráulicas Bombas são máquinas utilizadas para transporte Turbobombas de líquidos vencendo a resistências de tubulações Centrífugas e acessórios. elicocentrífugas Axiais Bombas de deslocamento positivo Alternativos Altas pressões Rotativos Ventiladores Fluido incompressível com gases a baixas Turboventiladores pressões. Geralmente o fluido utilizado é ar. Centrífugos Transportam o gás por tubulações vencendo as elicocentrífugos resistências de dutos e elementos da instalação. Axiais Utilizados em sistemas de exaustão ou em sistemas diluidores. Para compressões superiores a,5 atm se utilizam os turbocompressores. Compressores Trabalha com gases compressíveis a altas Turbocompressores pressões e temperaturas Centrífugos Elevam a pressão de uma gás desde,0 atm até elicocentrífugos milhares de atmosferas. Axiais Compressores de deslocamento positivo Alternativos Rotativos PUCRS FENG

18 Tabela.5 Comparação entre máquinas de Fluxo e de Deslocamento Máquinas de fluxo Máquinas de deslocamento Alta rotação Baixas e médias rotações Potência específica elevada (potência/peso) Potência específica média p/ baixa (potência/peso) Não há dispositivos com movimento alternativo Várias têm dispositivos com movimento alternativo Médias e baixas pressões de trabalho Altas e muito altas pressões de trabalho Não operam eficientemente com fluidos de viscosidade elevada Adequadas para operar com fluidos de viscosidade elevada Vazão contínua Na maior parte dos casos vazão intermitente Energia cinética surge no processo de transformação de energia Na maioria dos casos, projeto hidrodinâmico e características construtivas mais complexas que as máquinas de deslocamento. Energia cinética não tem papel significativo no processo de transformação de energia Na maioria dos casos, projeto hidrodinâmico e características construtivas mais simples que as máquinas de fluxo..3 Ventiladores e Compressores Os ventiladores e compressores são máquinas muito semelhantes já que trabalham com gases, contudo, os ventiladores são utilizados para movimentar gases enquanto que os compressores são utilizados para aumentar a pressão dos gases. Os compressores causam uma variação significativa da massa específica do gás. Os ventiladores são utilizados para ventilação residencial e industrial, sistemas de exaustão e insuflamento de ar e sistemas de climatização. Os compressores são utilizados para aplicações de ar comprimido acionando equipamentos a pressão de ar como transporte pneumático, acionadores de êmbolo. Também são utilizados em equipamentos de jato de ar como resfriadores ou aquecedores, jateamento de areia, equipamentos e máquinas de percussão como martelos de ar comprimido, ou também para acionamento de máquinas ferramentas fixas e portáteis como furadeiras, aparafusadeiras. Os compressores e os ventiladores podem ser máquinas dinâmicas ou volumétricas. Entre as máquinas dinâmicas podem ter rotores centrífugos, axiais ou mistos. Os compressores volumétricos podem ser de êmbolo onde o movimento linear do pistão é produzido por um sistema biela-manivela. Também os compressores podem ser rotativos como os de palhetas, lóbulos e de parafuso. Figura. Ventiladores (a) centrífugo e (b) axial -6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

19 Capítulo : Introdução às Máquinas de Fluxo.4 Turbinas As turbinas são máquinas que extraem energia de uma corrente de fluido. O conjunto de lâminas integrantes do eixo da turbina é chamado de roda ou rotor. São utilizadas para acionar sistemas mecânicos ou para acionar geradores de energia elétrica. Segundo o fluido de trabalho podem ser turbinas hidráulicas (água), turbinas eólicas (ar) ou turbinas a vapor e a gás. Na Fig..3. mostra-se turbinas eólicas de eixo vertical e de eixo horizontal. O escoamento pode ser compressível como no caso das turbinas a vapor e gás ou incompressível como no caso das turbinas eólicas e turbinas hidráulicas. Podem ter rotores axiais, centrífugos ou helicocentrífugos.. ( b ) (a) ( c ) Figura.3 Turbina eólicas de eixo vertical (a) e de eixo horizontal (b)..4. Turbinas de Impulsão (Turbinas Pelton, Turbinas Turgo) Transformam toda a energia disponível do escoamento em energia cinética à pressão atmosférica por meio de um bocal. São acionadas por um o mais jatos livres de alta velocidade. A velocidade e a pressão se mantém praticamente constante quando atravessam as pás do rotor. A expansão do fluido de alta para baixa pressão ocorre em bocais externos ao rotor da turbina. O rotor trabalha parcialmente submerso no fluido. As turbinas Pelton (Fig..4) possuem um distribuidor e um receptor. O distribuidor é um bocal que permite guiar o jato de água, proporcionando um jato cilíndrico sobre a pá. O rotor é formado por pás com forma de concha. As turbinas Pelton podem ter um ou vários jatos. Figura.4 Turbina hidráulica Pelton PUCRS FENG

20 .4. Turbinas de Reação (Francis, Kaplan,) Nas turbinas de reação parte da expansão do fluido ocorre externamente e parte na superfície das pás. A aceleração externa é imposta e o fluido é conduzido para o rotor na direção adequada através de um conjunto de pás estacionárias chamadas aletas guias do distribuidor. A combinação do conjunto de pás fixas do distribuidor e das móveis do rotor é chamado de um estágio da turbina. Os rotores trabalham totalmente submersos no fluido produzindo maior potência para um dado volume do que as turbinas de impulsão. As turbinas hidráulicas axiais ou de hélice são apropriadas para baixas quedas (da ordem de 30m) e grandes descargas. O receptor tem forma de hélice de propulsão com pás perfiladas aerodinamicamente. As turbinas Kaplan (Fig..5) são semelhantes às turbinas de hélice que apresentam a possibilidade de variar o passo das pás de acordo com a descarga, permitindo maiores rendimentos. Figura.5 Turbina hidráulica Kaplan Nas turbinas Francis (Fig..6) o receptor fica internamente ao distribuidor. Seu rotor é tipo radial de fluxo misto. Possuem um difusor ou tubo de aspiração. As turbinas Francis possuem um distribuidor constituído por um conjunto de pás móveis em volta do receptor, orientadas por sistema de controle permitindo mudar o ângulo para diferentes descargas para minimizar as perdas. Podem trabalhar com alturas de 5m a 500m..4.3 Turbinas Segundo a Direção do Escoamento Figura.6 Turbina hidráulica Francis As turbinas podem ser também classificadas segundo a direção do escoamento através do rotor: Turbinas radial (Centrífugas) Turbinas axiais (élice, Kaplan, Straflo, tubular, bulbo), Turbinas tangenciais (Pelton, Michell, Banki) Turbinas com escoamento misto ou diagonal (Francis, Deriaz). -8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

21 Capítulo : Introdução às Máquinas de Fluxo.4.4 Turbinas a Vapor e Turbinas a Gás As turbinas a vapor aproveitam a energia do vapor saturado ou sobreaquecido a altas pressões. O escoamento é compressível e desta forma a massa especifica do fluido de trabalho varia significativamente. A maioria é do tipo de fluxo axial. São empregadas nas termoeléctricas para acionamento de geradores elétricos. Podem também ser utilizadas para propulsão de barcos ou para movimentar máquinas rotativas, bombas, compressores e ventiladores. Podem ser de impulsão ou de reação. Nas turbinas de impulsão ou de ação o vapor é completamente expandido em um ou vários bocais fixos antes de atingir as pás do rotor. Nas turbinas de reação o vapor também se expande sendo a pressão do vapor na entrada do rotor maior que a pressão na saída. As turbinas a gás são uma tecnologia mais recente das máquinas a vapor. Operam com gases a alta pressão produzidos numa câmara de combustão, a qual por sua vez é alimentada com ar comprimido. São de tamanho reduzido comparado com a potência gerada. Utilizadas na indústria aeronáutica, em motores marinhos e trens de alta velocidade. Apresentam alto torque e são silenciosas..5 Bombas idráulicas Bombas são máquinas utilizadas para transporte de líquidos. São máquinas de fluxo semelhantes aos ventiladores. A designação corrente no meio profissional discrimina bombas de ventiladores de acordo com o fluido de trabalho. As bombas promovem o deslocamento de líquidos, os ventiladores propiciam a movimentação de gases, ambos transferindo energia a estes fluidos de trabalho. As turbinas hidráulicas retiram energia do fluido de trabalho. As bombas classificam-se como turbobombas e volumétricas. Turbobombas Radiais (centrífugas) Axias e Mistas Aspiração simples Aspiração dupla Rotor aberto fechado Rotor aberto semi-aberto fechado Pás fixas variáveis Bombas Volumétricas Alternativas Rotativas Pistão Diafragma Palhetas Lóbulos Engrenagem Parafuso Figura.7 Classificação de bombas hidráulicas PUCRS FENG

22 .6 Bombas Volumétricas.6. Bombas de Deslocamento Positivo Estas bombas são empregadas para trabalhar com altas pressões. A descarga do fluido é pulsante. No seu movimento o êmbolo se afasta do cabeçote provocando a aspiração do fluido através de uma válvula de admissão. Na etapa de retorno o fluido é comprimido obrigando o fluido a sair pela válvula de descarga. Seu funcionamento é pulsante já que o fluido fica confinado no cilindro durante a aspiração. Estas bombas podem ter um ou vários cilindros. A pulsação diminui conforme aumenta o número de cilindros..6. Bombas Rotativas Operam pela ação um rotor. Diferentemente das bombas de descolamento positivo estas não apresentam válvulas que permitam controlar o fluido na aspiração e na descarga. Podem trabalhar com líquidos muito viscosos e com sólidos em suspensão. Conseguem atingir pressões muito elevadas até de 3500 mca. Podem transportar fluidos tais como graxas, óleos vegetais e minerais, melaço, tintas e vernizes, argamassas e outros. ( a ) Bomba de Engrenagem A Fig..8 mostra o funcionamento típico de uma bomba de engrenagem. As rodas dentadas trabalham no interior da carcaça com mínima folga. O fluido confinado é deslocado pelos dentes e forçado a sair pela tubulação de descarga. Para uma determinada rotação a descarga e a pressão são praticamente constantes. Figura.8 Bomba de Engrenagem ( b ) Bombas de Lóbulos As bombas de lóbulos (Fig..9) são mais apropriadas para mover e comprimir gases, sendo utilizadas para movimentar líquidos viscosos. Existe um lóbulo motor e outro livre montados ortogonalmente. A bolsa de líquido aprisionada na sução é conduzida até o recalque. Figura.9 Bombas de Lóbulos ( c ) Bombas de Palhetas As bombas de palhetas (Fig..0) deslizantes tem palhetas radiais (4 a 8) que pela ação centrífuga deslocamse em direção a carcaça, sobre a qual deslizam. O rotor é montado excentricamente e sua velocidade é limitada a 300 rpm. para mover gases sendo utilizada também para bombeamento de líquidos. Figura.0 Bombas de Palhetas -0 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

23 Capítulo : Introdução às Máquinas de Fluxo.7 Turbobombas Nestas máquinas o fluido é aspirado pela boca de entrada até atingir o rotor denominado impulsor ou impelidor. O rotor conta com uma fileira de pás, lâminas, álabes, sendo envolvido por um corpo denominado voluta ou coletor em caracol. A voluta transforma a energia cinética adquirida pelo fluido ao passar pelo rotor em energia de pressão. O fluido abandona a bomba pela boca de saída denominada boca de recalque ou de descarga. Segundo o tipo de rotor podem ser radiais (bombas centrífugas) axiais (bombas axiais) ou mistas (bombas hélico-centrífugas). O rotor pode ser de simples aspiração ou de aspiração dupla o qual permite aumentar a vazão fornecida. Para aumentar a pressão as turbobombas podem ter vários estágios. Os rotores podem ser fechados, abertos semi-abertos. Podem transportar fluidos limpos ou com partículas em suspensão. Figura. Tipos bombas hidráulicas Figura. ( a ) Rotor de bomba centrífuga ( b ) Corte de Voluta ( c ) Corte rotor com dupla aspiração Figura.3 ( a ) Bomba centrífuga e ( b ) Bomba axial PUCRS FENG

24 .7. Bombas Centrífugas As bombas centrifugas são amplamente utilizadas na indústria de processos químicos. Apresentam capacidade de 0,5 m 3 /h até m 3 /h e trabalham com alturas manométricas entre,5 a 5000 mca (metros de coluna de água). Caracterizam-se por ausência de pulsação em serviço contínuo. Apresentam um rotor com pás montado em um eixo girando no interior da carcaça. O fluido chega ao centro do rotor através de uma boca de aspiração sendo forçado através de pás do rotor para a periferia onde atinge uma velocidade elevada. Saindo da ponta das pás o líquido passa para a voluta onde ocorre a transformação da energia cinética em energia de pressão. Figura.4 Componentes de bombas centrífugas Figura.5 Detalhe de elementos de uma Bomba Centrífuga As bombas centrífugas podem trabahar com água limpa, água do mar, condensados, óleos com pressões até de 60 mca. e temperatura de até 40 0 C. Na indústria química e petroquímica podem ser utilizadas para trabalhar com água até C e pressões de até 50 mca. Bombas de processo podem operar com temperaturas de até C e pressões de até 450 mca. O material da carcaça depende do tipo de serviço. Para líquidos com temperatura de até 50 0 C utiliza-se ferro fundido. Para óleos soluções e produtos químicos com temperaturas de trabalha de até C utiliza-se aço fundido. Para pressões elevadas (acima de 0 MPa) emprega-se aço forjado. Produtos químicos corrosivos requerem emprego de bronze, inox e em casos especiais vidro ou materiais plásticos. O alumínio é utilizado para bombear formol. O eixo da bomba centrífuga é fabricado de aço ou liga de alta resistência mecânica. Utiliza-se aço SAE 035, SAE 444, e SAE 340, e ligas contendo a 3 % de cromo. - Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

25 Capítulo : Introdução às Máquinas de Fluxo Os rotores das bombas centrífugas podem ser fechados ou abertos (Fig..6). Os rotores fechados têm paredes laterais minimizando o vazamento entre a aspiração e descarga. São utilizados para bombeamento de líquidos limpos. O rotor semi-aberto é fechado só na parte traseira. Os rotores abertos não apresentam paredes laterais. Ambos são utilizados para bombear líquidos viscosos ou contendo sólidos em suspensão. Os rotores de bombas são fundidos numa única peça, podendo ser de ferro fundido, bronze ou inox. Também são fabricados em material plástico ou borracha. Figura.6 Tipos de rotores de bombas centrífugas.7. Bombas Axiais Os rotores axiais são utilizados para trabalhar com grandes vazões e pequenas alturas manométricas. Tipicamente 500 m 3 /h ou mais e alturas manométricas inferiores a 5mca. Operam com velocidade maiores que os radiais. Nos rotores de escoamento misto ou tipo turbina as pás tem curvatura dupla, (forma helicoidal) desta forma o escoamento é parcialmente axial e parcialmente radial. Operam com velocidades menores que os axiais. Trabalham tipicamente com capacidade acima de 0m 3 /h e altura manométrica até 30 mca. Figura.7 Rotor de bomba axial e detalhe em corte de bomba axial PUCRS FENG

26 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas Teoria de Bombas Centrífugas PUCRS FENG

27 Teoria de Bombas Centrífugas SUMÁRIO. INTRODUÇÃO EUAÇÃO DO MOMENTO DA UANTIDADE PARA TURBOMÁUINAS (AXIAL - RADIAL ) Simplificações POTÊNCIA E ENERGIA ESPECÍFICA EUAÇÃO DE EULER APLICAÇÃO DAS EUAÇÕES PARA BOMBAS CENTRÍFUGAS POLÍGONO DE VELOCIDADES NUM ROTOR DE BOMBA CENTRÍFUGA Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente....7 PARCELAS DE ENERGIA NA EUAÇÃO DE EULER PARA TURBOMÁUINAS RELAÇÃO DA EUAÇÃO DE EULER E A EUAÇÃO DE ENERGIA GRAU DE REAÇÃO INFLUÊNCIA DA CURVATURA DAS PÁS... 6 CASO - PÁS VOLTADAS PARA TRÁS... 7 CASO - PÁS RADIAIS NA SAÍDA... 8 CASO 3 - PÁS VOLTADAS PARA FRENTE... 8 RESUMO GRÁFICO DOS RESULTADOS RECOMENDAÇÕES PARA ÂNGULO DAS PÁS EFEITO DA CURVATURA DAS PÁS NA ALTURA TEÓRICA DE ELEVAÇÃO ( T -) EFEITO DA CURVATURA DA PÁS NA CURVA DE POTÊNCIA (P - )... RESUMO DAS CURVAS - E P REPRESENTAÇÃO DA CURVA CARASTERÍSTISTICA TEÓRICA IMPORTÂNCIA DO NÚMERO FINITO DE PÁS... 5 Escoamento com Número Finito de Pás... 5 Desvio da Velocidade Relativa... 6 Dependência do Número de Pás ALTURA TEÓRICA PARA NÚMERO FINITO DE PÁS... 7 Fator de Correção do número finito de pás INFLUENCIA DA ESPESSURA DAS PÁS NO POLÍGONO DE VELOCIDADES... 8 Análise na entrada do canal das pás... 8 Análise na saída do canal das pás: POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLO EXEMPLOS RESOLVIDOS Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

28 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas. Introdução As turbomáquinas são máquinas cuja principal finalidade é transferir energia. Bombas, ventiladores e compressores atuam transferindo energia do rotor para o fluido. No caso de turbinas hidráulicas, turbinas a gás e turbinas eólicas trabalham recebendo energia dos fluidos. A equação teórica fundamental que representa esta transferência desta energia é denominada Equação de Euler. Tal equação na verdade é um caso específico da equação do momento da quantidade do movimento. A dedução da mesma é realizada com simplificações não levando em consideração efeitos de dissipação de energia. A Eq. de Euler nos mostra que tal transferência de energia depende da velocidade do rotor e do fluido que escoa pelo rotor. Rotores axiais, semi-axiais e rotores centrífugos podem ser avaliados com tal equação. A dissipação de energia no rotor, é originada por efeitos de atrito rotor-fluido e por efeitos de recirculação do fluido no interior do rotor. Tais efeitos modificam os denominados polígonos de velocidades e desta forma a energia transferida. No presente capítulo são abordados estes tópicos permitindo avaliar a energia transferida no caso específico de bombas centrífugas. Mostra-se qual o efeito do número de pás e da curvatura das mesmas na energia transferida do rotor ao fluido. Rotor axial Rotor helico centrífugo (a) Tipos de rotores de turbomáquinas Rotor centrífugo (b) Bomba centrífuga ( c ) Rotor de bomba centrífuga Figura.. Rotores de máquinas de fluxo. PUCRS FENG

29 . Equação do Momento da uantidade para Turbomáquinas (Axial - Radial ) A equação vetorial para o momento da quantidade de movimento para um volume de controle inercial é dada por: r r r r r r r + + r r r r Fs Bd Teixo Vρd + VρVdA vc vc sc t Para analisar as reações de torque se escolhe um volume de controle fixo (Fig..) envolvendo o elemento de fluido em rotação, junto com o rotor ou hélice. O rotor esta girando com uma velocidade angular constante (ω)... Simplificações () Torques devido a forças de superfície são considerados desprezíveis. rxfs0 () Torques devido a forças de campo consideram-se desprezíveis. rxb0 (por simetria) (3) Escoamento em regime permanente, VV(x,y,z) (4) Eixo z alinhado com o eixo de rotação da máquina. (5) Fluido atravessa as fronteiras do v.c. em duas seções, na entrada (subíndice ) e a saída ( subíndice ). (6) Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída do fluido. Não existe restrição quanto à geometria já que o fluido pode entrar e sair em diferentes raios Figura.. Representação de um rotor de turbomáquina e seu volume de controle. -4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

30 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas Com as simplificações: 0 () 0 () 0 (3) r r r r r Fs + Bd + Teixo r r r r r r Vρd + VρVdA vc vc sc t r T eixo sc r r r r Vρ VdA No sistemas de coordenadas fixas, o eixo da máquina encontra-se alinhado com o eixo-z. O torque será r T eixo T z o qual denominamos T eixo (escalar). Desta forma: r r r r Teixo sc ( V) ρ ( VdA) z O fluido entra no rotor (Fig.3) na posição radial r com velocidade absoluta uniforme V r e sai na posição radial r com velocidade absoluta V r. O vetor da velocidade absoluta pode ser representado no plano x-y r como V uiˆ + vˆj, onde u é a componente em x da velocidade e v a componente em y. Também pode ser r dado como V V tˆ t + Vnnˆ onde V t é a componente na direção tangencial ao raio e V n a componente na direção normal ao raio. Figura.3. Componente da velocidade absoluta no volume de controle Aplicamos a equação considerando as regiões de entrada () e saída do fluido (): r r r ( rxv ) ρ VdA ( xv ) ρ V da ( xv ) z z + sc r r r A r r r A r z r r ρ V da PUCRS FENG

31 As integrais de área das seções de () e () podem ser resolvidas de maneira simplificada com as seguintes considerações: O produto vetorial ( rxv ) z r r é um vetor que pode ser representado na forma escalar e independente da integral de área, já que estamos considerando velocidades uniformes na entrada e saída do rotor. r r ( V ) z ( rxv ryu) kˆ rvt Da equação da conservação da massa sabemos que: r r ρ VdA ± m& A onde fluxo de massa ( m& ) é positivo (+) se o fluido está saindo do volume de controle e negativo (-) se o fluido esta entrando v.c. Desta forma. r ( xv ) V da r rvt m& ρ z ( xv ) V da r Vt m& ρ z + A r Com as considerações acima obtemos: A r r r r r r r r ( xv ) ρ V da ( xv ) ρ V da r V m& r V m& + z z t + A r r Introduzindo tal expressão na Eq. da quantidade de movimento obtemos finalmente: t A r r r T eixo ( r V rv )m& t t Também sabemos que o fluxo de massa é dada por m& ρ, onde ρ é a massa específica do fluido e a vazão. Desta forma a representação escalar do momento em torno do eixo-z é dado como: T eixo ( r V rv ) m ( r V r V ) ρ & t t t t kg s m s Unidades (torque): ( m) ( ) kgm m N. m Joule s -6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

32 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas.3 Potência e Energia Específica W& ω T ω( r V rv )m& eixo t t Considerando as velocidades tangenciais atuando no rotor: U Velocidade periférica ou tangencial do rotor. (m/s) ω Velocidade angular do rotor (rad/s) D, R Diâmetro e raio do impelidor respectivamente (m). n Rotação do rotor (rpm) U ωr ou também U πdn 60 mantendo os índices para a entrada e para a saída temos que: W& ( U V U V )m& t t kg m m s s s kgm m s s Unidades (potência): ( N ).4 Equação de Euler m J Watts s s Para turbomáquinas existe também outra expressão para a potência definida como: W ρ g t t too é a altura teórica de elevação ou altura de carga teórica para número infinito de pás dada em metros de coluna de fluido. 3 kg m m 3 m s s kgm m s s Unidades (potência): ( m) ( N ) m J Watts s s Desta forma, a transferência de energia por unidade de massa se pode obter para uma turbomáquina conhecida como altura de carga teórica: t W& mg & t g ( U V U V ) t t Tal equação é conhecida como Equação de Euler (deduzida em 754) para turbomáquinas. A equação é dada em metros de coluna de fluido e se conhece também como energia específica. Tal equação é válida para o caso de rotores radiais (centrífugos) axiais e semi-axiais. Independe também das características do tipo de fluido (líquido ou gás), do seu peso específico e não é afetada por efeitos de viscosidade do fluido. PUCRS FENG

33 .5 Aplicação das Equações para Bombas Centrífugas Na nomenclatura especializada em turbomáquinas a velocidade absoluta é denominada pela letra C. Desta forma o vetor da velocidade absoluta V r é dada como C r, a componente tangencial da velocidade r absoluta ( V t ) é dada por C u e a componente normal (V n ) é dada por C m. Na forma vetorial C C tˆ u + Cmnˆ. Utilizando tal nomenclatura a Eq. de Euler á dada por: t g ( U C U C ) u u A Equação de Euler representa as condições ideais do desempenho de uma turbomáquina no ponto operacional para a qual foi projetada. Aproximações feitas para obter a Eq. de Euler: Número Infinito de álabes (pás, palhetas). Espessura das pás desprezível. Simetria central do escoamento. Velocidade relativa do fluido (W) é sempre tangencial às pás. Escoamento em regime permanente. Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída do fluido. Efeitos de atrito desprezíveis. Da mesma forma o Torque no eixo é dado por: T eixo ( r C r C )m& u u e a Potência Teórica como: W& ω T t eixo m& U ( C U C ) u u Para Bombas/Ventiladores/Compressores: Representa a energia adicionada ao fluido. t g ( U C U C ) u u Para Turbinas: Representa a energia fornecida pelo fluido ao eixo do rotor. Neste caso U V t > U V t desta forma é dada como t g ( U C U C ) u u -8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

34 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas.6 Polígono de Velocidades num Rotor de Bomba Centrífuga A determinação do polígono ou triângulo de velocidades permite obter a informação necessária para o cálculo da potência absorvida ou liberada pela turbomáquina. O polígono pode ser aplicado para máquinas radiais, axiais ou mistas. Devemos lembrar que a velocidade num duto estacionário tal como a entrada e saída do fluido numa tubulação, em pás guias ou diretrizes, em difusores, em bocais convergentes e divergentes é medida num sistema fixo na terra. Estas são denominadas velocidades absolutas que têm como nomenclatura a letra, C para uma velocidade ideal e C para uma velocidade real. Corpo Pás Pás guias Figura.4 Desenho esquemático de bomba centrífuga com pás guias e detalhe de rotor No impelidor ou rotor (Fig..4) o movimento do fluido pode ser considerado pela sua velocidade absoluta,c, ou por sua velocidade relativa, W. O sistema de coordenadas da velocidade relativa gira com o impelidor com uma velocidade angular ωu/r, onde U é a velocidade periférica do rotor. A velocidade absoluta pode ser considerada como a resultante da velocidade relativa e da velocidade periférica local. r r r C W + U Para determinar as componentes da velocidade na entrada e saída do rotor analisamos seus polígonos de velocidade (Fig. 3.5). O subíndice representa as variáveis envolvidas na entrada do rotor. O subíndice representa as variáveis envolvidas na saída do rotor. As componentes normais da velocidade absoluta (C ) e da velocidade relativa ( W ) são denominada componente meridianas (C m, W m ). As componente tangenciais da velocidade absoluta e da velocidade relativa são denominadas velocidades periféricas (C u, W u ). O ângulo α, representa o ângulo formado entre a velocidade absoluta C, e a velocidade periférica U rotor. O ângulo β é ângulo formado entre a velocidade relativa (W) e o sentido contrário da velocidade periférica do rotor (-U). É denominado ângulo da pá. PUCRS FENG

35 Figura. 5 Detalhe dos polígonos de velocidades num rotor de bomba centrífuga Na Fig..6 se observa que a componente meridiana da velocidade absoluta é igual à componente meridiana da velocidade relativa (C m W m ). Ambas apontam radialmente em relação ao rotor e são perpendiculares à velocidade periférica (U). Figura.6. Representação dos polígonos de velocidade na entrada e saída do rotor. -0 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

36 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas A componente periférica da velocidade absoluta ( C u ) e a componente periférica da velocidade relativa ( W u ) são respectivamente projeções tangenciais da velocidade absoluta e da velocidade relativa. Isto significa que são velocidades paralelas à direção da velocidade periférica do rotor (U). Variáveis Envolvidas nos Polígonos de Velocidades D Diâmetro do rotor b Largura do canal C Velocidade absoluta do fluido C u Componente de C na direção da velocidade tangencial U C m Componente meridional de C (na direção radial) W Velocidade relativa do fluido em relação ao rotor W u Componente de W na direção da velocidade tangencial U. U Velocidade tangencial do rotor no ponto de análise do álabe α ângulo entre (C,U) β ângulo entre (W, -U) conhecido como ângulo de inclinação da pá A área da superfície cilíndrica na entrada e na saída é dada por: A π D b A π D b Pela equação da conservação da massa temos que: &m ρ πd b C ρ πd b C m m Para fluido incompressível a vazão na entrada e na saída do impelidor é dada por: πd b C πd b C m m Da mesma forma pode-se definir a velocidade periférica em função da velocidade angular do rotor. U Dn π U 60 Dn π 60 Onde n é a rotação do impelidor (rotor) em rpm. Observa-se que com o polígono de velocidades e as relações complementares podemos determinar a energia transferida pelo rotor ao fluido considerando número infinito de pás. Tabela. Resumo de Equações Básicas Termo Equação Unidades Altura teórica t ( U Cu UCu ) m g Torque teórico T ( r C r C )m& Joule eixo u Potência teórica W T m& ( U C U C ) t eixo u & ω Watt u u PUCRS FENG

37 3.6. Caso Simplificado - Fluido entrando no Rotor Radialmente Os filetes de fluido que deveriam entrar tangenciais às pás sofrem um desvio devido a que as pás se estendem até uma certa distância na boca da bomba em direção ao tubo de aspiração. Para reduzir o efeito de pré-rotação se utiliza, por exemplo, um indutor, que é uma peça helicoidal colocada antes do rotor, tal como mostra a Fig..7 (b) Como mostra a Fig.3.7 (a), na condição do fluido com entrada ideal, (sem pré-rotação) C C m e ângulo formado entre (C,U ) será α Em tal condição C u 0. Os rotores com escoamento ideal (sem pré-rotação) são conhecidos também como rotores com entrada radial. Nestas condições ideais (α 90 0 ) a resistência ao escoamento será mínima, já que não existe momento angular na entrada porque C m C e C u 0 e, portanto r x C u 0 desta forma a Equação de Euler fica simplificada dependendo das condições de saída do rotor. Equação de Euler para entrada ideal (entrada radial ou sem pré-rotação) t U C u g (a ) Polígono com entrada radial. (b) Bomba com indutor Figura.7 Polígono de velocidades e detalhe de indutor em bomba centrífuga - Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

38 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas.7 Parcelas de Energia na Equação de Euler para Turbomáquinas Pode-se estudar as parcelas de energia na forma de energia de pressão (potencial) e na forma de energia cinética que se manifestam nas turbomáquinas, a partir da Eq. de Euler que representa a energia total ou altura de carga teórica: t g ( U C U C ) u u Do polígono de velocidades, a componente C m da velocidade absoluta pode ser determinada como: C C m C u ou também como: C m W W W W ( U C ) U u + Igualando os termos: u UC u Cu Figura.8 Polígono e velocidades na entrada W U + UC C C C u u u UCu ( C + U W ) Substituindo estes termos na Eq. de Euler se obtém: t oo t t ( U Cu UCu ) g ( C + U W ) ( C + U C C U U W W + + g g g W { } + { } + { 3} ) (): Variação da energia cinética do fluido ao escoar no interior da turbomáquina pela variação da velocidade absoluta. (): Variação da energia de pressão devido à força centrífuga dando às partículas do fluido um movimento circular em torno do eixo. (3): Variação da energia de pressão provocada pela redução da velocidade relativa ao passar pelo canal divergente (difusor)do rotor. Representa a variação de pressão estática dentro do rotor. PUCRS FENG

39 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé -4.8 Relação da Equação de Euler e a Equação de Energia Aplicando a forma geral da Eq. da Energia na entrada e saída do rotor: z g u g p h z g u g p L A ρ ρ A Energia adicionada ao fluido pela bomba. h L Energia dissipada pelo sistema devido ao atrito no interior da turbomáquina. Considerando a energia teórica adicionada pela bomba ( A t00 ), as velocidades absolutas na entrada e saída do rotor ( C ) e fazendo desprezível o atrito no interior da turbomáquina (h L 0): z g C g p z g C g p t ρ ρ explicitando desta Eq. a energia teórica adicionada pela bomba: ( ) + + g C C z z g p p t ρ Observamos que a altura teórica pode ser representada por uma parcela de energia de pressão e outra de energia cinética: c p t + Onde p é a altura representativa da energia de pressão e c a altura representativa da energia cinética. Por comparação da Eq. de Euler + + g W W g U U g C C t g C C c ( ) z z g p p g W W g U U p + +

40 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas.9 Grau de Reação A relação entre a energia de pressão e a pressão total é denominada grau de reação. G p t G é maior quanto maior for a parcela de energia de pressão ( p ) fornecida pelo rotor ao fluido. O grau de reação de uma turbomáquina está relacionado com a forma do rotor, e com a eficiência no processo de transferência de energia: Ângulo da pá na saída β < 90º β 90º β > 90º Grau de reação G > ½ G ½ G < ½ O conceito do grau de reação é utilizado, inclusive, para classificar máquinas de fluxo. Turbomáquinas de Reação: Uma bomba, ou máquina de fluxo em geral, é denominada "de reação" se o seu grau de reação é maior que zero (G > 0), isto é, se a pressão de saída do escoamento é maior que a pressão de entrada. Representa o caso geral das bombas. Turbomáquinas de Ação: uando o processo de transferência de energia ocorre a pressão constante, (G0 ), a máquina de fluxo é denominada "de ação" como o caso das turbinas Pelton. PUCRS FENG

41 .0 Influência da Curvatura das Pás A energia teórica cedida pelo rotor ao fluido, em bombas centrífugas, pode ser analisada em função do ângulo das pás na saída (β ) com as seguintes relações e simplificações: Escoamento com entrada radial: α 90 0 Seções iguais na entrada e saída com o qual C m C m e também C u 0, como é mostrado na Fig..9. As relações obtidas com tais simplificações são: t t c p P U g Cu g t + C c u c Obs: Em anexo encontra-se a dedução de c. too: p : c : Altura teórica de elevação para número infinito de pás. Representa a energia cedida ao fluido que atravessa uma bomba ideal. Altura de pressão que representa a energia cedida pelo rotor ao fluido em forma de pressão. Altura que representa a energia cedida pelo rotor ao fluido em forma de energia cinética. Figura.9 Polígono de velocidades num rotor de bomba centrífuga - caso específico. No procedimento serão analisados três casos de curvatura da pá (Fig..0) designados em relação ao sentido de rotação do rotor. -6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

42 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas Figura.0 Tipo de pás num rotor de bomba centrífuga. () Pás voltadas para trás: Caso em que β < 90 0 Situação limite C u 0. () Pás radiais na saída: Caso em que β 90 0 Desta forma: C u U. (3) Pás voltadas para frente: Caso em que β > 90 0 Situação limite: C u U Caso - Pás Voltadas para Trás Considerando que β é menor que 90 0 e na situação limite em a componente periférica da velocidade absoluta seja nula (C u 0). Para satisfazer esta condição α t t c p Cu g P t + U C g u 0 c c 0 0 Figura. Polígono de velocidade na saída do rotor (α 90 0 ) Conclusão: uando, β < 90 0 tal que α 90 0, e observa que as parcelas de energia na forma de pressão e de energia cinética são ambas nulas. Portanto a energia cedida pela bomba ao fluido é nula. Em tal situação β se conhece como ângulo critico inferior. Do livro de Macintyre: Não é prático e não se devem projetar pás com β < 90 0 para as quais α 90 0 já que o líquido, ao deixar o rotor não possui energia para o desejado escoamento. PUCRS FENG

43 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé -8 Caso - Pás Radiais na Saída uando β 90 0 se obtém um polígono de velocidades em que C u U. Neste caso: g U g U g C g U C U g c t p u c u t c P t + Figura. Polígono de velocidade pás radiais na saída (β 90 0 ) Conclusão: Na situação em que β 90 0 a componente periférica da velocidade absoluta na saída C u tornase a velocidade tangencial do rotor (C u U ). Isto faz com que a energia cedida pela bomba ao fluido seja da 50% na forma de energia de pressão e 50% na forma de energia cinética. Caso 3 - Pás Voltadas para Frente Escolhemos na análise um valor de β > 90 0 na condição limite em que torne C U U. 0 + c t p u c u t c P t g U g C g U C U g Figura.3 Polígono de velocidades- pás voltadas para frente (β > 90 0 ) Conclusão: Na situação em que β >90 0 de tal forma que torne C u U a energia de pressão é nula, e a energia total é igual a energia cinética. Em tal situação β : ângulo crítico superior

44 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas Resumo Gráfico dos Resultados. Com auxílio da Fig..4 podemos observar resumo dos resultados obtidos: () Pás voltadas para Trás: β < 90 0 [ p > c ] a energia cedida pela bomba ao fluido predomina na forma de energia de pressão. () Pás Radiais na Saída: β 90 0 [ p c ]: A energia cedida pela bomba ao fluido se faz igualmente na forma de energia de pressão e energia cinética. (3) Pás voltadas para Frente. β > 90 0 [ c > P ]: A energia cedida pela bomba ao fluido predomina na forma de energia cinética. Figura.4 Energia teórica cedida por um rotor com diferentes tipos de pás. Recomendações para Ângulo das Pás As bombas são empregadas para vencer desníveis energéticos. Isto deve ser obtido às expensas da energia de pressão e não da energia cinética. Pás com β > 90 0 (curvadas para frente) fazem com que a energia predominante seja do tipo cinética, o que envolve altas velocidades e portanto maiores perdas de carga. Recomenda-se sempre pás inclinadas para trás (β < 90 0 ) encontradas nas seguintes faixas: Bombas Centrífugas Ventiladores Faixa de Operação: 5 β 40 Normalmente: 40 β 45 0 Normalmente: 0 β 5 0 Para bombas o ângulo da pá na entrada β pode ter a seguinte faixa: 5 β 50 0 Macintyre: Esses motivos levaram a fabricantes a adotar pás para trás na quase totalidade das bombas centrífugas, estando β compreendido entre 7 0 e 30 0, sendo aconselhado como regra o valor de,3 0 0 PUCRS FENG

45 . Efeito da Curvatura das Pás na Altura Teórica de Elevação (t-) Considerando um rotor com velocidade angular constante (ωcte) e com entrada radial (α 90 0 ) a equação de Euler é dada de maneira simplificada: g U C t u do polígono de velocidades: C U W u u W u Cm tan β Substituindo W u em C u : C C Figura.5 Polígono de velocidade na saída do rotor m U tan β u Onde: Cm π D b Substituindo C u e U em too t U g U gπd b tan β U g U gπd b tan β t A expressão pode ser simplificada considerando U proporcional à rotação, n, que é constante. D e b também são valores constantes, podendo a expressão depender somente da vazão () e do ângulo da pá β. t k k Onde: U k g k U gπd b tan β Com auxilio de esta última expressão da altura teórica é possível realizar um estudo da influencia das pás quando são estas radiais, inclinadas para trás e inclinadas para frente. -0 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

46 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas Rotor com pás radiais na saída β 90 0 o termo /tanβ tende a zero sendo assim k 0. Desta forma: t k too torna-se independente da vazão, sendo representado graficamente por uma reta que corta o eixo de no ponto U / g. Rotor com pás inclinadas para trás β <90 0 o termo /tanβ dá um valor positivo (+). Desta forma: t k k too diminuirá com o aumento da vazão, sendo representada como uma reta inclinada para baixo, cruzando pela ordenada no pontou / g. Rotor com pás inclinadas para frente β >90 0 o termo /tanβ dá um valor negativo (-). Desta forma: t k + k too aumenta com o aumento da vazão, sendo representada como uma reta ascendente (Fig..6) que cruza na origem o ponto U / g. Figura.6 Efeito do tipo de pá na altura teórica de elevação. Observamos que as pás inclinadas para frente (β >90 0 ) cedem mais energia cinética que energia de pressão. Da curva too - mostra-se outra inconveniência deste tipo de curvatura das pás. O aumento de too apresenta o fenômeno de instabilidade de funcionamento quando realizados ensaios em bancadas de laboratório. A instabilidade do funcionamento para pás com β >90 0 é outro motivo para evitar trabalhar com bombas centrífugas com pás voltadas para frente. PUCRS FENG

47 . Efeito da Curvatura da Pás na Curva de Potência (P - ) Considerando a potência teórica: W& t ρg t onde a altura teórica é dada por: U g U gπd b tan β t A qual como foi visto pode ser simplificada t k k Introduzida esta última expressão da altura na equação de potência se tem: Figura.7 Curva teórica da potência & W t ρgk ρgk desta forma considerando novas constantes: & W t k * * k Considerando Pás com Saída Radial Pás com saída radial implica que β 90 0 desta forma tan(90 0 ) Desta forma K 0 e a potência neste caso fica dada por: W& * * * t k k k Isto significa que a potência varia linearmente com a vazão (Fig..6). Considerando Pás Voltadas para Trás Neste caso β < 90 0 e Tan β toma valores (+). Por tanto k toma um valor positivo (+) & W t k * * k Aumentando a vazão (com ncte) a potência descreve uma parábola tangente à reta anterior na origem e sempre com valor menor a esta quando aumenta (Fig..7). Considerando Pás Voltadas para Frente Com β > 90 0 e portanto Tan β toma valores negativos (-). Portanto k toma um valor (-) & W t k * * k - Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

48 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas Graficamente é representada por uma parábola que passa pela origem quando 0, e é tangente à reta na origem, aumentando o valor em função do aumento da vazão (Fig..7). Observa-se que tanto as pás voltadas para frente como as pás radiais na saída apresentam maiores requerimentos de potência para a mesma vazão de trabalho. Também se observa neste tipo de rotores que a medida que aumenta a vazão a potência requerida aumenta. No caso dos rotores com pás voltadas para trás a potência requerida aumenta até um certo ponto e posteriormente decresce. Geralmente neste tipo de bombas o rendimento máximo ocorre quando a potência de acionamento atinge o máximo. Desta forma a bomba poderia trabalhar com vazões maiores que a vazão de projeto sem prejudicar o funcionamento do motor elétrico que aciona a bomba. Resumo das curvas - e P- Figura.8. Resumo de altura teórica e potência teórica para diferentes tipos de pás Tabela. Resumo das expressões de altura teórica e potência. Tipo de pás Altura teórica Potência teórica Pás com saída radial (β 90 0 ) t k W& * t k Pás voltadas para trás (β < 90 0 ) Pás voltadas para frente (β > 90 0 ) t k k t k + k & W t k * * k W& t k + * * k A energia total num rotor aumenta com o aumento do ângulo de ataque. Poderíamos supor então que rotores de pás voltadas para frente podem transferir maior energia ao fluido. Contudo a experiência mostra que nos rotores com pás voltadas para frente ocorre um menor rendimento devido a grande dissipação de energia (perdas por atrito) entre o rotor e o fluido. Desta forma a energia útil transferida ao fluido é maior em rotores com pás voltadas para trás. PUCRS FENG

49 .3 Representação da Curva Característistica Teórica Podemos obter uma expressão para a curva característica da altura teórica a partir da expressão da Eq. de Euler: t g ( U C U C ) u u Tal equação pode ser expressa em função da vazão obtendo-se a expressão: U U U U t g gπd b tan( ) g g D b tan( ) β π β Definimos a partir da expressão anterior as constantes da equação: { k k } { k k } t 3 4 Agrupando os termos: { k k } { k k } t 3 4 De modo compacto. t k A k B A Eq. mostra que a curva característica pode ser representada pela Eq. de uma reta que na origem, isto e para vazão nula atinge uma altura teórica igual a k A. U k A U g O termos da constante k B (k k 4 ) são determinados pela relações. k U gπd b tan( β ) K 4 U gπd b tan( β ) Considerando numero finito de pás a Eq. que representa a curva e dada por: k k t A B t t K pfl K pfl No caso de entrada radial, C u 0 se obtém a expressão já conhecida: t k k -4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

50 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas.4 Importância do Número Finito de Pás Na teoria utilizada (Eq. de Euler) a consideração de número infinito de pás permite supor que não existe variação da velocidade e pressão das partículas de fluido que escoam na fase frontal e dorsal das pás. Desta forma o fluido sempre escoa tangencialmente acompanhando a curvatura da superfície das pás como mostrado na Fig..9. Figura.9 Escoamento num rotor Escoamento com Número Finito de Pás Numa turbomáquina real não acontece efetivamente tal comportamento. O número de pás afeta a natureza das velocidades e da pressão no rotor, modificam-se os polígonos de velocidades e desta forma a energia cedida pelo rotor ao fluido (no caso de bombas e ventiladores) ou a energia cedida pelo fluido a rotor (no caso de turbinas). Num rotor de bomba centrífuga podemos supor que a corrente de fluido é composta por: Uma corrente de fluido seguindo as pás. O fluido entra e tende a sair do canal formado pelas pás (Fig..0a). Uma corrente de circulação. Originada pela diferença de velocidades e pressão ao girar o rotor (Fig..0b). Se considerarmos o espaço entre pás como um canal fechado o fluido tenderia a girar entre as pás quando o rotor começa a girar. a)escoamento sem rotação b) Escoamento com rotação c) resultado dos escoamentos Figura.0 Escoamento num rotor real. A composição das correntes especificadas acima gera um escoamento com a distribuição de velocidades mostrada na Fig..0c. Utilizando o teorema de Bernoulli, verifica-se que a distribuição de pressão será maior onde a distribuição de velocidades é menor e vice-versa. Desta forma se obtém uma distribuição de pressão tal como mostrado na Fig... Figura. Distribuição de pressões no rotor. PUCRS FENG

51 Desvio da Velocidade Relativa O número finito de pás provoca um aumento da velocidade relativa (W ) reduzindo o ângulo de saída da pá (β ) tal como observado na Fig... Figura. Desvio da velocidade relativa e do ângulo da pá pelo número finito de pás Um exemplo do polígono de velocidades para número infinito e finito de pás é representado na Fig..3. Figura.3 Polígono de velocidades para número finito e infinito de pás Dependência do Número de Pás Em geral o número de pás depende de: Velocidade de rotação, Altura de elevação, Tipo de fluido (partículas em suspensão). Número pequeno de pás Reduz as superfícies de atrito. O fluido tem dificuldade para ser conduzido. Canais largos implicam numa maior perda de carga diminuindo a altura manométrica. Redução do rendimento da bomba. Grande número de pás Diminui a perda de energia nas zonas em que o fluido abandona o rotor. Aumenta as superfícies de atrito. Reduz a energia na entrada da bomba. Rotores de menor porte e de alta velocidade apresentam maiores perdas de carga evitando-se rotores pequenos com muitas pás. -6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

52 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas.5 Altura Teórica para Número Finito de Pás Como se observa na Fig..3 o número finito de pás reduz a componente periférica da velocidade absoluta e desta forma diminuí também a altura teórica que a bomba pode transferir ao fluido. O fator de deslizamento µ relaciona estas velocidades: CU # µ ou também C U µ # Tal fator depende da relação de diâmetros do rotor, (D /D ), do número de pás (z) e do ângulo da pá na saída (β o ). Na literatura vários métodos são fornecidos para avaliar µ, entre eles o representado pelo seu inverso (/µ) e denominado coeficiente de Pfleiderer (K pfl ). Fator de Correção do número finito de pás A altura teórica de elevação para número infinito de pás ( too ) pode ser corrigida para obter a altura teórica com número finito de pás t# t t # K pfl K pfl ψ + z ( R R ) R no caso em que R R K pfl + 8ψ 3 z R : raio do rotor na entrada R : raio do rotor na saída. ψ: fator de correção de Pfleiderer (Tab..3), depende da forma do rotor e do ângulo da pá na saída (β ); e z representa o número de pás. Como se observa K pfl é sempre maior que, já que em relação à energia cedida pelo rotor ao fluido, o valor teórico com número infinito de pás é sempre maior que o valor da energia cedida ao fluido com rotor de número finito de pás: > t t # Tabela.3 Fator de correção de Pfleiderer ( ψ ) em função do ângulo da pá (β ) Ângulo da pá ψ (pás com guias) 0,76 0,80 0,8 0,85 0,90 0,94 ψ (pás sem guias) 0,86 0,90 0,9 0,95,00,04 Obs. Na atualidade a maioria das bombas possuem uma carcaça ou corpo sem pás guias. Expressão de Pfleiderer para determinar o número de pás z k z D + D D D sin β + β onde k z é o coeficiente empírico dependendo da rugosidade, espaço entre as pás,. Para rotores fundidos k z 6,5 Para rotores de chapa fina conformada k z 8,0 Como aproximação para o número de pás: Rotores de médias e grandes dimensões z (6 a 4) Rotores de pequenas dimensões z (4 a 6) PUCRS FENG

53 .6 Influencia da Espessura das Pás no Polígono de Velocidades A nomenclatura: [0]: Ponto da corrente situado imediatamente antes da entrada do canal de pás, fora da influência da contração provocada pela espessura das pás. [] :Ponto imediatamente após a entrada do canal formado pelas pás. []: Ponto imediatamente antes da saída do canal formado pelas pás. [3]: Ponto da corrente de fluido situada imediatamente após a saída do canal formado pelas pás. Análise na entrada do canal das pás A corrente no ponto imediatamente após a entrada tem uma velocidade absoluta C, que, devido à contração da seção provocado pela espessura S da pá, é maior que velocidade absoluta C 3 antes de entrar no canal formado pelas pás. Figura.4 Detalhe de rotor em corte e passagem do fluido na entrada do rotor. Identificamos a área real de passagem do fluido pelas pás. Para isto com a figura mostrada acima distinguimos o arco de passagem do fluido que é dado em função ao arco entre pás (t ) e pela projeção no arco (S u ) da espessura formada pelas pás (S ) na região de entrada. S πd S u t sin β z A componente meridiana da velocidade absoluta antes de entrar no canal das pás pode ser expressa como: C C t S m0 m t ϕ t t S u u Cm ϕ Também podemos definir um fator de contração (F c ) de tal forma que: C C F m0 m c F c S t u Sz πd sin β -8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

54 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas Desta forma a vazão é dada por: t b zc m0 ( t Su) b zcm O polígono de velocidades pode ser observado na figura abaixo. Figura.5 Polígono de velocidades com influência do número finito de pás Análise na saída do canal das pás: A corrente no ponto tem uma velocidade C que, devido à contração da seção provocado pela espessura S da pá é maior que a velocidade C 3, mediada imediatamente após a saída do canal. Figura 6 Detalhe da área de passagem do fluido na entrada do rotor. Identificamos a real área de passagem do fluido pelas pás. Para isto, com a figura mostrada acima, distinguimos o arco de passagem do fluido que é dado em função ao arco entre pás (t ) e pela projeção no arco (S u ) da espessura formada pelas pás (S ) na região de entrada. S u t S sin β πd z PUCRS FENG

55 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé -30 A componente meridional da velocidade absoluta antes de entrar no canal das pás é dada como: C C t S t C t t S m m u m u 3 ϕ ϕ Também podemos definir um fator de contração (F C ) de tal forma que: 3 sin β πd z S t S F F C C u c c m m O polígono de velocidades pode ser observado na Fig..7. Figura.7 Polígono de velocidades na saída. Desta forma a vazão é dada por: 3 ) ( m u m zc b S t zc b t Considerando o fator de contração, a vazão pode ser dada como: 3 c m m F C D b zc b t π

56 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas.7 POLIGONO DE VELOCIDADES - FORMULARIO EXEMPLO [m 3 /s] n [rpm] ω [rad/s] m& [kg/s] ρ [kg/m 3 ] Nome: A [m ] D R b [m] [m] [m] α [º] β [º] U C W C u W u C m [m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s] Polígono de velocidades na entrada do Rotor A [m ] D R b [m] [m] [m] α [º] β [º] U C W C u W u C m [m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s] [m/s] Polígono de velocidades na saída do Rotor t T eixo W & [m] [Nm] [W ou kw] PUCRS FENG

57 Teoria de Bombas Centrífugas Exercícios Resolvidos e Propostos -3 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

58 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas.8 Exemplos Resolvidos Exemplo. Uma bomba centrífuga com entrada radial trabalha com água com vazão de 0,3m 3 /s. O diâmetro do impelidor é de 50mm e as pás tem 30 mm de largura na saída. Considere que as pás são radiais na saída. Determine a altura teórica considerando número infinito de pás e a potência necessária quando a bomba trabalha com 000rpm. Solução Dados: 0,3m 3 /s. D 50mm b 30mm n000rpm. Entrada radial A água entra no impelidor com direção axial, portanto a componente tangencial da velocidade absoluta é nula e desta forma α Portanto temos a simplificação de que: t U C u g Na saída a pá é radial, portanto β Desta forma C U U tendo simplificada a equação da altura: t U g Determinamos velocidade tangencial do rotor na saída. πdn πx50x000 U 3, m / s x60 9,8 Desta forma a altura teórica de elevação é dada por: t ( 3, ) 7, 5m A potência pode então ser determinada: x x x W& 000 9,8 0,3 7,5 t ρg t 5, 5kW em P dividindo por 0,7457 se obtém P69 P. 000 Podemos determinar o torque exercido pela bomba: T m& ( r C r C ) Neste problema C u 0 e C u U e desta forma: & ( ) eixo T eixo m r U u u o fluxo de massa é mρ000x0,3300kg/s. o raio do rotor na saída é R D /5mm e velocidade tangencial do rotor na saída é U 3,m/s. Desta forma: 5 T eixo m& r ( U ) 300x x3, 49, Nm A potência do rotor pode ser então verificada como: W& t ωt eixo Onde a velocidade angular é dada por: ω πn 60 π000 04,7rad / s 60 W& t ωteixo 49,5x04,7 5, 5kW PUCRS FENG

59 Exemplo. (a) Determinar o polígono de velocidades na entrada e na saída de uma bomba centrífuga que apresenta escoamento com entrada radial. O diâmetro interno do rotor é de 50mm e o diâmetro externo do rotor é de 50mm. A largura da pá na entrada é igual a 0mm e a largura da pá na saída é igual a 5mm. O ângulo da pá na entrada é igual a 0 0 e na saída igual a 3 0. Considere que a bomba gira com uma rotação de 300 rpm (b) Determinar a altura teórica, potência e torque da bomba, assim como as parcelas de energia cinética e energia de pressão. Solução Dados: n300rpm D 50mm D 50mm b 0mm b 5mm β 0 0 β 3 0. Polígono de velocidades na Entrada A entrada radial implica que ângulo α 90 0 Velocidade periférica ou tangencial do rotor na entrada: U πdn 0 05x300 m s 60 π, / tan β C U Velocidade absoluta do fluido na entrada: 0 C U tan β 34. tan( 0 ), 4m / s Velocidade relativa do fluido na entrada ( ) ( ) W C + U, 4 + 3, 4 3, 6m / s Do triângulo de velocidade temos que: C m C,4m/s: -34 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

60 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas. Triângulo de velocidades na Saída Obs: para obter informação do segundo triângulo de velocidade podemos utilizar a equação da vazão: πd b C πd b C m m Do polígono de velocidades: Cm C,4m/s: 3 πd b C π ( 0, 05)( 0, 0)(, 4) 0, 0095m / s (7 litros/min.) m Componente meridiana da velocidade absoluta na saída: C m 0, , 496m / s πd b π ( 0, 5) 0, 005) Componente periférica da velocidade relativa: tan β C m Wu Cm 0, 497 Wu 7, m / s 0 tan β tan( 3 ) Velocidade relativa na saída ( ) ( ) W C + Wu 0, ,, 7m / s m Velocidade periférica na saída: πdn π( 0, 5)( 300) U 7, 07m / s Componente periférica da velocidade absoluta C U W 7, 07 7, 5, 85m / s u Velocidade absoluta: u C C + C ( 5, 85) + ( 0, 497) 5, 86m / s u m tanα Cm 0, 497 α, 5, 85 > C 79 u Cm 0,497m/s valor dado β 3 0 W u,7m/s W,7m/s U 7,07m/s C u 5,85m/s C 5,86m/s α,79 Obs: Continuar o problema determinando a Altura teórica de elevação, Potência e Torque da bomba, assim como as parcelas de energia cinética e energia de pressão. ( too 7,5m) (T3,85Nm) (W t00 54W) ( p 4,76m; c,74). PUCRS FENG

61 Exemplo.3 Um rotor de bomba centrifuga de 00mm de diâmetro gira a 3500 rpm. O ângulo das pás na saída é igual a 0 e a componente meridiana da velocidade absoluta é igual a 3,6m/s. Determinar a altura teórica para número infinito de pás. Considere escoamento com entrada radial. Solução Dados: D 00mm n3500rpm β 0 C m 3,6m/s Tratando-se de uma bomba com entrada radial: t U C g u πdn πx0,x3500 U 36, C W C U u U U W Cm tan gβ u 36,65 8,9 7,74m / s m s 3,6 8,9m / s tan g() U Cu 36,65x7,74 t 03, 64m g 9,8-36 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

62 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas PUCRS FENG Exemplo.4: Mostre aplicando a Eq. de energia que a variação de pressão num rotor de bomba centrífuga é dado por: ( ) cos β ρ ec C U C g g p p m m + Solução Aplicando a Eq. da Energia entre os pontos e, considerados estes com na entrada e na saída da bomba: z g C g p z g C g p A ρ ρ Considerados os pontos e na mesma elevaçã0 (z z ) e uma bomba com entrada radial. g C U u t g C U g C g C g p p u + ρ Para entrada é radial: C C m tan β m u C U C u C m C C + ( ) cot cos tan cot tan tan tan β β β β β β β m m m m m m m m m C U U ec C C C U U C C C C U U C C U C C Substituindo esta expressão de C e C na expressão simplificada de Bernoulli, se obtém: ( ) ( ) cot cot cos β β β ρ m m m m C U U g C U U ec C g g C g p p + + ( ) ( ) g ec C g U g C g p p C U U g C U U ec C g g C g p p m m m m m m cos cot cot cos β ρ β β β ρ com o qual finalmente se obtém: ( ) cos β ρ ec C U C g g p p m m +

63 Exemplo.5: Uma bomba centrífuga tem as seguintes características. Vazão 0,005m 3 /s. Diâmetro do rotor na entrada 00mm. Diâmetro do rotor na saída 00mm; rotação 500rpm. A altura manometrica é igual a m. A largura da pá na entrada e saída é igual a 0mm e 5mm respectivamente. Fazendo desprezíveis as perdas determine a energia de pressão em termos de altura equivalente. Considere pás voltadas para trás com ângulo na saída igual a Dados: 0,005m 3 /s D 00 D 00 n 500rpm b 0m e b 5mm man 0m. β Solução Podemos utilizar a equação deduzida anteriormente: p p ρg g ( C + U C cos ec β ) m m πdn π 0,x 500 U 7,85m / s πdn π 0,x500 U 5,7m / s ,005 C m,59 m / s πd b πx0,x0,05 0,005 C m,59 m / s πdb πx0,x 0,0 Substituindo os valores encontrados: p p ρg g (,59 + 5,7,59 cos ec 30 ),36m 0-38 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

64 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas Exemplo.6: Um rotor de bomba centrifuga tem as seguintes características: Diâmetro do rotor na entrada 50mm, largura da pá na entrada 75mm ângulo da pá na entrada 0 0. Diâmetro do rotor na saída 300mm, largura da pá na saída 50mm ângulo da pá na saída 5 0. A bomba tem uma rotação de 450rpm. Determinar: (a) A altura teórica para número infinito de pás e sua respectiva potência considerando que bomba trabalha com água com massa especifica igual a 000kg/m 3. (b) Considerando que a bomba tem 7 pás determine a altura teórica para número finito de pás e sua respectiva potência. Obs. Considere escoamento com entrada radial, isto é α Solução πdn πx0,3x450 m U, s t t t U g U gπd b tan β (,78),78 9,8 9,8π x0,3x0,05x tan 5 5,9 05,68 0 Vazão: πdn πx0,5 x450 U, m s 0 c m u tan β,39 x tan 0 4,5m / s 3 π D b cm πx0,5 x0,075x4,5 0,47 m / s Altura t t 5,9 05,68] 5,9 05,68x0,47 37,4m Potência Teórica W& t ρg 000 x9,8x37,4 x0,47 53, 93kW Altura teórica para número finito de pás 8 0,9 no caso em que R R K pfl + x, Para o ângulo de 5 temos que t00 37,4m t 37,4 t # 7, 9m K,34 pfl W& t ρg t 000x9,8x7,9x0,47 40, 34kW # # PUCRS FENG

65 Exemplo.7: Uma bomba com escoamento com entrada radial trabalha com uma vazão de,0m 3 /min e 00rpm. A largura do canal de saída do rotor é de 0mm, sendo que o ângulo de saída da pá é igual a 5 0. A componente meridiana da velocidade absoluta na saída é igual a,5m/s. a)determine a altura e potência teórica da bomba nas condições dadas. b)determine as equações características de f() e Pf(). Com as equações características grafique as curvas - e P- desde uma vazão nula até uma vazão máxima de 4,0m 3 /min. Utilize água com massa específica igual a 000kg/m 3. too? Pot?,0m 3 /min n 00rpm b 0mm C m,5m/s β 5 0 (a ) Altura teórica e potência teórica para número infinito de pás com entrada radial é dada por: t U C u g 0 D 60 πdn πxx00 0,m mm U 3,3m / s πbcm x60 π,5 000 C U W W C u u u U Cm tan( β ),5 tan(5) 3,3 5,36 7,96m / s 5,36m / s t U Cu 3,3x7,96 0, 80m g 9,8,0 000x9,8x0,8 x 60 W& t g ρ t 3, 5kW 000 (b) Equação da altura teórica e da potência teórica para número finito de pás t K U U K com K e K g g π D b tan β U U 3,3 K ( 3,3) 8, 0m K 8, 6 0 g g gπd b tan β 9,8xπx0, x0,0x tan 5 K K t t 8, 8, 6 com vazão em m 3 /s para obter altura em metros. * 8, x00 x9,8 k kρ g 77,56 (Dividido por 000 para trabalhar em kw) 000 * 8,6x000 x9,8 k k ρ g 45 (Dividido por 000 para trabalhar em kw) 000 & W t K * * K W & t 77,56 45 Com vazão em m 3 /s para obter kw. -40 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

66 Capítulo : Teoria de Bombas Centrífugas Exemplo.8: Uma bomba trabalha com uma altura manometrica igual a m e uma vazão igual a 0litros/s. O impelidor gira a 500rpm. O diâmetro do rotor na entrada é de 35mm e na saída de 70mm. A largura da pá saída é de 0mm. O ângulo da pá na saída é de Considere um rotor com 7 álabes. A espessura da pá é de 3mm. O rendimento volumétrico igual a 97% e o rendimento mecânico é de 95%. Determinar: a) O rendimento global b) a potência da bomba. c) a rotação especifica e tipo de bomba. Considerando entrada radial: (e rotor com pás sem guias) t U Cu Cu U Wu Wu é função de Cm g πdn πx0,7x500 U,m / s Fator ou coeficiente de contração F c S S z 0,003x7 u portanto : F c 0, 95 t πd sin β π x0,7sin(30) Da expressão da vazão pode ser obtido Cm πd b C F 0,0 m s m c C,48 m D b F x0,7x0,0x0,95 / π π Pela relação do polígono de velocidades: Cm Cm,48 tan β Wu W tan β tan(30) u Cu U Wu, 4,3 6,9m / s t U Cu, x6,9 36, 5mca g g c 4,3m / s como R R e considerando pás sem guias da Tab..3 para β 30 0 obtemos ψ0,95. K pfl 8ψ 8 0,95 + +,36 3 z 3 7 t t # K pfl Implica que t# 36.5/,366,8mca. η h man t # 6,8 8% η O rendimento global é dado como: 0,95x0,97 x0,8 0,755 76% W& ρg η G η η η 000x9,8x x0,0 5, 0,755 man ac 7 G 0,0 ns n 500 rpm 3 / 4 3 / 4 maa m v h kw Conforme Cap.4 Tab.4. Corresponde a uma bomba tipo radial. PUCRS FENG

67 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas Curvas Características e Associação de Bombas em Serie e em Paralelo PUCRS FENG

68 Curvas Características e Associação de Bombas Série e em Paralelo SUMÁRIO 3. Fluxo de Energia e Rendimentos Rendimentos... 3 Rendimento Mecânico... 3 Rendimento idráulico... 3 Rendimento Volumétrico... 4 Rendimento Total ou Global... 4 Potência de acionamento Curvas Reais de Altura - Vazão (-) Curvas Reais de Altura - Vazão (-) Curvas Características de Bombas Centrífugas Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (-) e (P-) Ponto de Operação das Bombas Outras Representações de Curvas Características Identificação Variáveis nas Curvas Características Equações Especificas Para Corte de Rotores Determinação do Diâmetro de Corte de Uma Bomba Centrífuga Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro Correção do Diâmetro de corte Método de Stepanoff Exemplo para Determinar Diâmetro de Corte Método Gráfico Associação de Bombas em Série Curva característica de bombas em serie Rendimento de duas bombas em série Associação de Bombas em Paralelo Curva Característica de Bombas em Paralelo: Rendimento de Duas Bombas em Paralelo Exemplo Bombas Conexão em Serie e em Paralelo Exemplo - Conexão Paralelo Exemplo - Conexão Série Outros Exemplos Atividade de Aprendizado - Proposta Atividade de Aprendizado - Resolvida Problemas Propostos Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

69 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 3. Fluxo de Energia e Rendimentos Considerando o fluxo de energia transferido da bomba para o fluido, se observa que existem diversas formas de dissipação de energia, desde a energia inicial do motor que aciona a bomba até a energia final absorvida pelo fluido (Fig.3.). O motor apresenta uma energia motriz ( m ) que deve ser transferida ao rotor. Como o sistema mecânico de acoplamento e transmissão não é perfeito existirá uma dissipação mecânica de energia quantificada como perda mecânica ( h m ). A energia efetivamente absorvida pelo rotor é denominada energia de elevação ( t# ) sendo relacionada com a energia motriz pelo rendimento mecânico (η m ). Devido à dissipação de energia no interior da bomba (por atrito e recirculação de fluxo) a energia do rotor ( t# ) não é transferida totalmente ao fluido sendo as perdas quantificadas como perdas hidráulicas ( h h ). A energia transferida do rotor ao fluido é relacionada pelo rendimento hidráulico. Além disto, parte da vazão que entra na bomba recircula na mesma e escapa por má vedação. Isto se quantifica considerando um rendimento volumétrico (η v ). A energia realmente absorvida pelo fluido é denominada altura manométrica ( man ), reconhecida como a energia final do fluxo energético do sistema de bombeamento. O rendimento global (η G ) quantifica a relação entre energia final ( man ) (absorvida pelo fluido) e a energia motriz para acionamento da bomba ( m ). Figura 3. Relações entre rendimentos e alturas de uma bomba. 3. Rendimentos Rendimento Mecânico Relação entre a altura de elevação e altura motriz. Também relaciona a potência de elevação e a potência motriz. Esta última conhecida como potência de acionamento do motor da bomba. η m t # m ( ) valores típicos de 9 a 95% encontram-se nas bombas modernas, sendo que os valores maiores correspondem às bombas de maiores dimensões. Rendimento idráulico A altura teórica de elevação ( t# ) não é aproveitada totalmente na elevação do fluido ( man ). Uma parte é perdida para vencer as resistências ou perdas hidráulicas denominadas h h. PUCRS FENG

70 + h t # man h ( ) O rendimento hidráulico é definido como a relação entre a altura manométrica ( man ), que representa a energia absorvida pelo fluido, e a altura teórica de elevação para número finito de pás ( t# ), que representa a energia cedida pelo rotor ao fluido: η h man t # desta forma k man η h pfl ( 3 ) too Valores estimados do Rendimento idráulico. 50 a 60%: Bombas pequenas, sem grandes cuidados de fabricação com caixa tipo caracol. 70 a 85% : bombas com rotor e coletor bem projetados, fundição e usinagem bem feitas. 85% a 95% : Para bombas de dimensões grandes, bem projetadas e bem fabricadas. Pode ser utilizada a seguinte expressão de Jekat considerando a vazão em m 3 /s. 0,07 η h ( 4 ) 0.5 Obs. Em fase de projeto pode ser estimado entre 85% a 88%. Rendimento Volumétrico Existe no rotor uma pequena quantidade de fluido que recircula na carcaça (q) e que pode escapar por má vedação. O rendimento volumétrico relaciona a vazão que efetivamente escoa pelo recalque () e a vazão que passa pelo rotor, recircula e escapa por deficiência na vedação ( +q). η v /. As bombas centrífugas podem ter um η v na faixa de 85 a 99%. Rendimento Total ou Global Relação entre a energia realmente cedida pelo rotor ao fluido (útil) e a energia necessária para movimentar o rotor. Relaciona de forma equivalente a potência útil com a potência motriz. man η G ( 5 ) m uando se consideram perdas volumétricas, o rendimento total é dado como: η G ηmηvη h Caso contrário fica como: G ηmη h η ( 6 ) Em bombas de grande porte o rendimento global pode ultrapassar 85%. Nas bombas pequeno porte, dependendo do tipo e condições de operação, pode cair até menos de 40%. Uma estimativa razoável é considerar 60% em bombas pequenas e 75% em bombas medias. Rendimento Global (%) O rendimento global depende da bomba sendo uma informação dada pelo fabricante. Pode-se utilizar como ordem de grandeza a seguinte expressão: η G , ,46x 0,54 x0 + 5,80 x0 3,08 x0 + 8,346x 0 (7 ) Onde: : vazão (m 3 /h ); : altura manométrica (m) Validade: 0 < < 50 5 < < Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

71 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas Potência de acionamento A potência requerida para o acionamento da bomba é dada pela expressão: ρg & man ac ( 8 ) ηg W Nota: A altura útil de elevação foi definida (no texto de Macintyre) como: u V + man 3 V g 0 se os diâmetros das tubulações de entrada D 0 e de saída D 3 na bomba são iguais, então podemos considerar que u man. 3.3 Curvas Reais de Altura - Vazão (-) Foi analisada teoricamente a importância da curvatura das pás na curva característica de -. Contudo estas curvas reais sofrem modificações devido aos efeitos do número finito de pás e à dissipação da energia. As curvas reais de - são diferentes devido aos seguintes efeitos: Número finito de pás A espessura das pás provoca um desvio das trajetórias das velocidades à saída das pás, variando a componente meridiana da velocidade. Isto faz com que real seja menor do que t00. Desta forma, na origem o valor de real, é menor que o termo U /g iniciando as curvas numa ordenada inferior a U /g. (Fig.3.).. Dissipação de Energia Devido ao atrito do fluido no rotor por: Imperfeita condução das veias de fluido Transformação da elevada parcela de energia cinética em energia de pressão. Choques: Mudanças bruscas de direção do escoamento na entrada e saída do fluido. Fugas: Do fluido nos interstícios, labirintos e espaços entre o rotor e o difusor e coletor. Figura 3. Altura de elevação para diferentes tipos de pá com dissipação de energia. PUCRS FENG

72 3.4 Curvas Reais de Altura - Vazão (-) A Fig. 3.3 representa uma curva característica de - de bomba centrífuga onde se mostram os diferentes efeitos provocados pela turbulência, atrito e pelo efeito de recirculação do escoamento. Devido a isto, a curva teórica modifica-se se transformando numa curva real. Figura 3.3 Curva característica de bomba centrífuga. 3.5 Curvas Características de Bombas Centrífugas Representam o comportamento real das bombas mostrando o relacionamento de interdependência entre as grandezas características (Fig. 3.4). Os fabricantes fornecem estas curvas obtidas experimentalmente em laboratório. Os principais gráficos apresentados são: man - : η-: W-: NPS- Variação da altura manométrica em função da vazão Variação do rendimento global em função da vazão Relação entre a potência requerida no acionamento e a vazão. Variação do Net Posistive Suction head (altura líquida positiva de sucção) e a vazão. Obs: NPS representa a energia que a bomba requer para aspirar o líquido. O fabricante pode fornecer esta informação numa curva única tal como representado na Fig.3.4. Figura 3.4 Conjunto de curvas características apresentadas por fabricantes. 3-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

73 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 3.6 Efeito do Tipo de Pás nas Curvas Reais (-) e (P-) O efeito do ângulo da pá na saída é mostrado através do gráfico abaixo (Fig.3.5), onde se observam curvas reais dos diferentes tipos de pá estudados. Observa-se que pás voltadas para frente geram grandes alturas para um certo volume, contudo, deve ser lembrado que uma parte substancial desta altura total é devida à contribuição de energia cinética. As curvas de potência também são fundamentalmente diferentes para os diferentes tipos de rotores. Nos rotores com pás voltadas para trás a potência máxima ocorre próximo do ponto de máximo rendimento e qualquer aumento da vazão após este ponto resulta numa diminuição da potência. Desta forma, um motor elétrico usado para mover tal bomba pode alcançar com segurança o ponto de máxima potência sem perigo de trabalhar com vazões maiores que as obtidas a partir deste ponto. Isto não ocorre para o caso de pás radiais na saída e pás voltadas para frente, nas quais a potência aumenta continuamente devendo-se ter muito cuidado na escolha da potência do motor. Por outro lado se trabalhamos com um motor pequeno que opere no ponto de máxima potência será perigoso já que acidentalmente pode-se exceder a vazão no ponto de máxima eficiência e encontramos que requeremos maior potência para o acionamento, danificando o motor. Figura 3.5 Curvas de altura e potência de diferentes tipo de pás. PUCRS FENG

74 3.7 Ponto de Operação das Bombas Tipo de Curva (-) Ascendente. A Fig.3.6 mostra como varia a altura manométrica ( man ), a potência no eixo (P eixo ) e o rendimento global de uma bomba que opera numa dada rotação em função da vazão (). Se observa que a curva de man aumenta quando a vazão diminui. Isto caracteriza uma bomba com curva de carga ascendente. Bombas com curvas opostas a esta se denominam curvas de carga descendentes. Altura ou Carga de Shutoff Denomina-se a carga (altura) desenvolvida quando a vazão é nula (0), e representa a carga de pressão com a válvula de descarga fechada. Como não há escoamento a eficiência é nula (η0) e a potência fornecida à bomba é totalmente dissipada em forma de calor. É uma situação que pode ocorrer e deve ser evitada no funcionamento de bombas. Figura 3.6 Ponto de operação de bomba centrífuga. Ponto Ótimo de Funcionamento Observa-se que quando a vazão aumenta a partir da vazão nula, a potência de acionamento da bomba aumenta, atinge um máximo e apresentando uma queda nas proximidades da descarga máxima. A Fig.3.6 mostra que o rendimento da bomba é função da vazão e que atinge um máximo numa determinada vazão denominada vazão de projeto, ( Projeto ), vazão de normal ( normal ) ou vazão ótima ( otima ) Por isto é muito importante que a bomba, sempre que possível, opere numa condição próxima do rendimento máximo. 3-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

75 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 3.8 Outras Representações de Curvas Características Diferentes tipos de rotores podem ser utilizados num determinado corpo. Por isto os fabricantes de bombas fornecem as curvas do comportamento de vários conjuntos de rotores (para um mesmo corpo) num único gráfico, tal como mostrado na Fig.3.7. Observa-se que a bomba, dependendo do diâmetro, apresenta curvas - diferentes. Também mostra que o rendimento da bomba apresenta faixas de valores diferentes (curvas de iso-rendimento) dependendo da solicitação do sistema, isto é da - requerido. Na Fig.3.7 também é representada a curva NPS (altura positiva liquida de aspiração) e a curva de potência de acionamento da bomba. A Fig.3.8 mostra um gráfico com toda a faixa de operação de famílias de bombas centrífugas de determinado fabricantes. Se o ponto de operação requerido num sistema de bombeamento está dentro da área demarcada significa que uma das bombas de este fabricantes pode suprir tal necessidade de operação. Figura 3.7. Curva de bomba para diferentes diâmetros do rotor Figura 3.8 Exemplo de faixa de operação de famílias de bombas centrífugas PUCRS FENG

76 3.9 Identificação Variáveis nas Curvas Características. A Fig. 3.9 mostra as curvas típicas de bombas centrifugas. Observa-se no gráfico superior que existem 05 curvas de altura manométrica (ead) versus vazão (flow rate) correspondente a 05 rotores (impeller) com diâmetros diferentes. Mostram-se também na mesma figura as curvas de iso rendimento. Na figura inferior as respectivas 05 curvas de potência de acionamento para os 05 rotores. Na figura intermediaria mostra-se a curva de NPS que representa a altura positiva liquida de aspiração condição para não ocorrer cavitação cujo detalhamento será abordado no Cap.8. Figura 3.9 Exemplo de faixa de operação de famílias de bombas centrífugas 3-0 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

77 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas Utilizando os gráficos da Fig.3.9 podemos realizar algumas considerações. Se por exemplo um sistema deve operar com uma vazão de 50 m 3 /h e uma altura manométrica de 6m, então a o rotor com diâmetro de 9 mm satisfaz tal operação. Neste ponto o rendimento global da bomba é um pouco menor que 80%. Observase que para esta vazão o rotor de diâmetro de 9mm requer uma potencia de acionamento de pouco mais de 3 kw. Os fabricantes apresentam as curvas características levantadas utilizando água com massa especifica padrão (ρ000 kg/m 3 ); desta forma podemos verificar a potência utilizando a expressão: W& ρg η kg m m x9,8 x6mx s 0,8x ac man 3, 68 G m s Observamos que este valor é muito próximo ao especificado pelo fabricante. Tomemos outro exemplo em que se deseje operar um sistema com uma vazão de 00m 3 /h e altura manométrica de 44m. Utilizando o mesmo gráfico da Fig.3.9 observa-se que o ponto de operação desejado se encontra entre as curvas dos rotores com diâmetro de 99mm e de 08mm. Observa-se que rotor de 99mm não consegue atender esta demanda já que a sua altura manométrica (43m) é inferior a altura manométrica requerida. No caso do rotor de 08mm este consegue atender com muita folga já que para esta vazão sua altura manométrica é de 50m. No caso em que o ponto de operação não coincide com um ponto na curva característica de um determinado rotor os fabricantes podem apresentar alternativas de realizar corte nos rotores a fim de ajustar o ponto de operação desejado. Existem fabricantes que apresentam esta informação em catálogos iterativo na internet nos quais o usuário precisa fornecer os dados requeridos para o sistema (altura,vazão) sendo o resultado mostrado com gráficos que apresentam o ponto de operação com o respectivo rotor cortado para a demanda especifica. Por exemplo, desejamos que um sistema opere com uma vazão de 50m 3 /h e uma altura manométrica de 0m. O resultado do processo iterativo é mostrado na Fig.3.0 onde a bomba com corte do rotor apropriado deverá utilizar um rotor com diâmetro de 9mm motor, potência de 7,5P, apresentando um rendimento de 67%. Desta forma o diâmetro de 9mm corresponde ao diâmetro de corte do rotor proporcionado pelo fabricante para ajustar-se ao ponto de operação desejado. 3 kw Figura 3.0 Exemplo de seleção de bomba centrífuga PUCRS FENG

78 3.0 Equações Especificas Para Corte de Rotores Na indústria de bombas os fabricantes podem oferecer varias opções de diâmetros do rotor mantendo o mesmo corpo da bomba. Com este procedimento é possível maior versatilidade e opções para ajustar-se a demandas especificas. Como vantagens o procedimento permite economia no custo de fabricação, aumento da capacidade substituindo o rotor, padronizar a base da instalação. O procedimento do corte do rotor consiste em, a partir de um determinado diâmetro realizar a redução do diâmetro externo numa operação de usinagem mecânica, sem alterar outros componentes da bomba (Fig.3.). O procedimento é mais fácil de realizar em bombas centrifugas radiais, onde as fases laterais do rotor são paralelas. Existe um compromisso entre o percentual de redução do rotor com o desempenho da bomba já que resulta numa queda no rendimento da bomba. Existem vários métodos que permitem relacionar as conduções da máquina com o diâmetro original e o diâmetro após o corte do rotor. uando o rotor possui um corte menor que 0% podem ser utilizadas as leis de semelhança para levantar as novas condições de funcionamento. Equações de Especificas para Corte do Rotor D D D D W & D W& D 3 D D D D Figura 3. Detalhe do diâmetro de corte e diâmetros do rotor 3- Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

79 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 3.0. Determinação do Diâmetro de Corte de Uma Bomba Centrífuga Consideremos o exemplo em que temos uma curva de uma bomba com diâmetro de 08mm extraída da Fig.3.9 além de ter também a sua respectiva equação característica aproximada por: man ,04 0,0004 Se deseja determinar o diâmetro que deve ser reduzido o rotor de 08mm para que possa operar junto com o sistema com vazão de 00m 3 /h e altura manométrica de 44m, ponto também representado no gráfico da Fig Diâmetro do rotor D08mm 60 Altura manometrica (m) vazão (m3/h) Figura 3. Curva de bomba com diâmetro do rotor de 08mm Primeiro determinamos com os valores de man 44m e 00m 3 /h a equação de uma curva parabólica que passa pela origem e por este ponto dada pela expressão: c k. Neste caso a constante k44/(00) 0,00. Desta forma a equação que representa a curva parabólica é dada por c 0,00 Igualando as duas equações determinamos o ponto de interseção da curva parabólica com a curva da bomba. Pela igualdade das equações se obtém uma equação resultante de 0 grau do tipo a + b c 0, com as constantes a-0,005 b0,04 c60. Resolvendo a mesma se obtém 0 4,5 m 3 /h. Com tal vazão se obtém a altura manométrica 0 50,6m. A figura mostra este ponto na interseção das duas curvas. 70 Diâmetro do rotor D08mm 60 Altura manometrica (m) Curva parabolica Vazão (m3/h) Figura 3.3 Curva parabólica e curva da bomba PUCRS FENG

80 Tendo o ponto correspondente ao rotor de 08mm podemos agora determinar o diâmetro necessário para o ponto de operação requerido: D r D D 00 mm r ,5 r 0 0 Utilizando as relações: r r 0 0 e r D r 0 D0 Podemos apresentar graficamente a nova curva da altura manométrica D08mm Altura manometrica (m) D0mm Curva parabolica Vazão (m3/h) Figura 3.4 Resultado da nova curva com rotor de 0mm que passa pelo ponto de operação 3-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

81 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 3.0. Método Gráfico para Determinar novo Diâmetro O método consiste em determinar um novo diâmetro (D ) a partir de uma bomba que possui um rotor com diâmetro D com sua curva característica de altura vazão conhecida. Deseja-se, portanto que a bomba opere no ponto com uma vazão e altura manométrica. Figura 3.5 Curva da bomba com diâmetro conhecido e ponto de operação requerido. Neste procedimento se escolhe um ponto A próximo e acima da curva com diâmetro D para o qual se determina a vazão e altura manométrica. A e A. Se demarca uma linha reta unindo os pontos A e interceptando assim a curva com diâmetro D determinando-se a vazão e. Tendo os valores de e e os dados iniciais de e determina-se com as relações de semelhança o diâmetro D que deve ser cortado o rotor da bomba para atender a demanda especifica. (a) (b) Figura 3.6 Etapas para determinar graficamente o novo diâmetro de corte. (c ) PUCRS FENG

82 3.0.3 Correção do Diâmetro de corte Método de Stepanoff O procedimento que permite determinar o diâmetro de corte do rotor para atender uma determinada condição de operação pode ser corrigido utilizando o método de Stepanoff. R cal D D calculado original R cor D D corrigido original Conforme gráfico mostrado o método propõe uma correção dada por uma relação linear: R 0,5 + 0, 875 cor R cal A tabela mostra alguns valores desta relação. Observa-se que a correção do diâmetro tende ao valor calculado quando o diâmetro de corte é muito próximo do diâmetro original. Por exemplo, na para R cal > 0,95 temos que R cal R cor e desta forma D cor D cal. R cal R cor 0,65 0,69 0,70 0,74 0,75 0,78 0,80 0,8 0,85 0,87 0,90 0,9 0,95 0,95,00,00 Relaçao de diâmetro corrigido (Rcor),00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 Método de correção de Stepanoff 0,70 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95,00 Relaçao de diâmetro calculado (Rcal) Figura 3.7 Método de Stepanoff para correção do diâmetro de corte. 3-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

83 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas Exemplo para Determinar Diâmetro de Corte Método Gráfico.. Contamos com uma curva de altura vazão de uma bomba com diâmetro original igual a D 08mm. Consideremos que temos um ponto com dados de operação de altura manométrica e vazão conhecidos para os quais desejamos determinar o diâmetro de corte D. D 44m 00m? 3 / h Figura 3.8 Curva característica da bomba e pontos para determinar o novo diâmetro. Escolhemos um ponto A ligeiramente superior a curva da bomba e determinamos os valores de altura manométrica e vazão. A A 53,m 0m 3 / h 3. Unindo o ponto A com o ponto com uma linha reta que intercepta a curva da bomba com diâmetro D, determinamos a sua altura e vazão. 50,6m 3 4,5m D 08mm / h 4. Com os valores do ponto conhecido determina-se o diâmetro do rotor. D D 00 D 0mm D 08 00, 8mm 4,5 Desta forma podemos verificar os resultados utilizando as relações de altura e vazão: 00 50,6 40m 4,5 D 00,8 3 4,5 00m / h D 08 PUCRS FENG

84 Também podemos supor que conhecemos o rendimento no ponto e assim determinamos a potencia: g x x x W& ρ 000 9,8 50,6 (4,5/ 3600) 36, kw η 0,8 Com esta informação podemos avaliar a potencia e o rendimento do ponto da bomba neste ponto de operação, observando-se que o rendimento é inferior ao do ponto. 3 D W & 00,8 W & 36, 3, 48kW D 08 3 ρg 000x9,8x44x(00 / 3600) η x00 74% W 3,48x000 Podemos aplicar a correção de Stepanoff R R cal cor D calculado Doriginal ,966 0,5 + 0,875R 0,5 + 0,875x0,966 0,968 cal D corrigido R cor Dcor Rcor Doriginal 0,698x08 0, 3mm Doriginal Observa-se que a correção para esta relação de diâmetros é muito pequena. Este procedimento pode ser realizado para outros pontos obtendo-se a curva que representa a faixa de operação da bomba com diâmetro D Figura 3.9 Resultado mostrando a curva com novo diâmetro do rotor. 3-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

85 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 3. Associação de Bombas em Série São utilizadas em instalações que requerem resolver problemas de alturas elevadas. Empregadas em condições de alta pressão ou quando se requer grandes mudanças de altura manométrica. As bombas utilizadas podem ser iguais ou diferentes Neste tipo de conexão as bombas trabalham com a mesma vazão, sendo que a altura manométrica é determinada pela contribuição das altura manométricas de cada uma das bombas. Bombas em estágio são consideradas bombas em série e utilizadas quando man é maior que 50m. Para obter a curva resultante de uma conexão em série de duas bombas A e B devemos conhecer suas curvas características. Considerando uma série de n pontos podemos determinar para ponto de igual vazão a altura manométrica de cada bomba podendo ser elaborada uma tabela com representado a seguir. Para determinar curva característica das duas bombas conectadas em série adicionam-se as alturas manométricas de cada bomba para cada vazão considerada. Por exemplo, para um ponto i Si Ai Bi Si Ai + Bi Rendimento de duas bombas em série: η T ( + ) ηη η + η Figura 3.0 Conexão de Bombas em Série Curva característica: 0 Bomba A 0 A 0 bombas A e B iguais associadas em série: S A + B A A S o PUCRS FENG

86 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé Curva característica de bombas em serie Consideremos duas bombas diferentes A e B. 0 A A A a a a 0 B B B b b b Para conexão em série: B A S + B A S Desta forma obtemos: ( ) ( ) ( ) 0 0 b a b a b a S Duas bombas iguais A S S s a a a a a a ) ( 0 0 Para duas bombas iguais um caso simplificado é dado por: A a a a a a a s 0 A s

87 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas PUCRS FENG Rendimento de duas bombas em série Consideremos o caso de duas bombas diferentes A e B conectadas em serie: Na conexão em série a potencia total é a soma das potencias parciais de cada bomba: A A S W W W & & & + onde: B B B B A A A A S S S S g W g W g W η ρ η ρ η ρ & & & como: B A S B B A A S S g g g η ρ η ρ η ρ + B B A A S S η η η + como: B A S + Desta forma: ( ) B B A A S B A η η η + + ( ) B A A B B A S B A η η η η η + + Finalmente de obtém: ( ) A B B A B A B A S η η η η η + +

88 3. Associação de Bombas em Paralelo Utilizada em sistemas onde se requer aumentar a vazão e tendo flexibilidade em relação à demanda podendo conectar ou desligar unidades em funcionamento. Devido à existência de perdas de carga, a vazão resultante da associação de bombas em paralelo é sempre menor que a soma algébrica da vazão de cada uma das bombas funcionando isoladamente. Recomenda-se utilizar bombas iguais para evitar recirculação de correntes desde a bomba de maior potência para a de menor potência. Bombas de aspiração dupla ou de entrada bilateral (rotor germinado) trabalham como bombas em paralelo. Conhecida a curva característica das duas bombas associadas em paralelo pode ser determinada a curva característica das bombas trabalhando separadas. Para um ponto i vazão e altura pode ser determinada como: Ai Pi Bi Ai Bi Pi Rendimento de duas bombas em paralelo: η T ( + ) ηη η + η Figura 3. Conexão de Bombas em Paralelo Curva característica: 0 Bomba A A 0 A 0 bombas A e B iguais associadas em paralelo: 0 P A ou P 0 A 4 3- Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

89 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas PUCRS FENG Curva Característica de Bombas em Paralelo: Consideremos duas bombas diferentes A e B conectadas em paralelo. 0 A A A a a a 0 B B B b b b Para conexão em paralelo: B A P + B A P Considerando a bomba A: 0 A A P a a a Duas bombas iguais: P A e desta forma: / A p Substituindo na equação da altura: 0 4 p p P a a a Para duas bombas iguais um caso simplificado é dado por: A a a a P p A

90 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé Rendimento de Duas Bombas em Paralelo Consideremos o caso de duas bombas diferentes A e B conectadas em paralelo: Na conexão em paralelo a potência total é dada por: A A P W W W & & & + onde: B B B B A A A A p p P p g W g W g W η ρ η ρ η ρ & & & como as bombas estão conectadas em paralelo: B A P e B A P + Desta forma: B A A A S P g g g η ρ η ρ η ρ + B A A A P P η η η + ( ) B B A A P B A η η η + + ( ) B A A B B A S B A η η η η η + + Finalmente de obtém: ( ) A B B A B A B A P η η η η η + +

91 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 3.3 Exemplo Bombas Conexão em Serie e em Paralelo A tabela abaixo fornece os dados de altura manométrica e vazão da curva característica de uma bomba centrifuga. A partir destes dados tabele e grafique o resultado de 0 bombas iguais conectadas em serie e de 0 bombas iguais conectadas em paralelo. (m 3 h) (m) 3,5 3 30,5 8 4,5 0 Solução: No caso da conexão em serie somamos as alturas e mantemos a vazão. Por exemplo, para uma vazão de 80 m 3 /h e altura de 30,5m temos s 80m 3 /h e para altura s *30,5m6m. No caso da conexão em paralelo a vazão é adicionada mantendo a mesma altura. Para o mesmo exemplo p *x8060 m 3 /h sendo que P 30,5m. O mesmo pode ser realizado para os demais pontos da tabela. O resultado gráfico mostra-se na figura abaixo. (m 3 h) (m) s (m 3 h) s (m) p (m 3 h) P (m) 0 3, , , , , , , , , Duas Bombas Iguais em Serie Altura Manometrica (m) Vazão (m3/h) Duas Bombas Iguais em Paralelo Altura manometrica (m) Vazão (m3/h) Figura 3. Resultado da conexão de 0 bombas iguais em serie e em paralelo PUCRS FENG

92 3.4 Exemplo - Conexão Paralelo Considere que a figura abaixo representa a curva característica resultante de duas bombas iguais conectadas em paralelo. Grafique a curva característica de uma única bomba junto com a conexão das duas em paralelo. 8 (m) (L/s) 0 Bombas Figura 3.3 Duas bombas iguais conectadas em paralelo Pontos da curva característica de bombas iguais (L/s) (m) Pontos da curva característica de uma única bomba (L/s) (m) 8 (m) 6 0 Bombas 0 Bomba (L/s) Figura 3.4 Resultado gráfico do problema 3-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

93 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 3.5 Exemplo - Conexão Série Na Fig. 3.5 se apresentam as curvas características de duas bombas. a)graficar a curva resultante da conexão em série destas bombas. b) Determinar o rendimento global da conexão em série para uma vazão de 4,0 m 3 /s na qual o rendimento da bomba A é de 50% e da bomba B é de 60%. (m) Bomba Bomba (m3/s) Pontos da curva característica da bomba B- (m 3 /s) (m) Pontos da curva característica da bomba B- (m 3 /s) (m) Pontos da curva característica - conexão em série (m 3 /s) (m) Figura 3.5 Gráfico de duas bombas Figura 3.6 Resultado gráfico do problema de bombas em serie. PUCRS FENG

94 3.6 Outros Exemplos Exemplo 3.: Uma bomba centrifuga apresenta as seguintes equações de características de altura manometrica e rendimento global: man e η G 0-40 quando tem uma rotação de 750rpm. Determinar: (a) Eq. Característica da man considerando duas bombas idênticas conectadas em paralelo (b) Eq. Característica da man considerando duas bombas idênticas conectadas em série (c) Eq. Característica da man e η G da bomba quando a rotação muda para 3500rpm. Obs: A questão ( c ) deve ser resolvida com os conceitos das equações de semelhança (Cap.5). Solução (a) Bombas conectadas em série ( S ) ( ) S s (b) Bombas conectadas em paralelo ( p ) ( s ) s s (c) Bomba n 3500 bomba n 750rpm n n n 4 n onde: / η G Obs. Continuar o problema graficando as curvas características. 3-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

95 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas 3.7 Atividade de Aprendizado - Proposta Bomba centrífuga Diâmetro do rotor (mm) Largura da pá (mm) Ângulo da pá (graus) Entrada Saída OBS: Fluido: água a 0 0 C. Rotor com entrada radial. Numero de pás: 7. Rotação: 450 rpm. man W & ac Rendimento t00 t# man (m 3 /s) (L/s) (m) (kw) (%) (m) (m) 40 3,0 34, 80 30,5 39, 0 8,0 45,0 60 4,5 5,5 00 0,0 64,5. Eq. que representa a curva da altura teórica para numero infinito de pás: t00. Eq. que representa a curva da altura teórica para numero finito de pás: t# 3. Eq. que representa a curva da altura manométrica da bomba man man (m Vazao (L/s) PUCRS FENG

96 3.8 Atividade de Aprendizado - Resolvida Num laboratório é testado um modelo de bomba de 00mm de diâmetro e 440rpm. O resultado é apresentado na Tabela. Rendimento (m 3 /h) (m) (%) Atividades. Graficar a informação dada na tabela.. Determinar e graficar a curva de potencia da bomba. 3. Determinar a Eq. que representa a altura manométrica por ajuste no Excel. 4. Determinar a Eq. que representa a curva de rendimento por ajuste no Excel. 5. Determinar a vazão de projeto, altura manométrica de projeto e rendimento neste ponto. 6. Determinar a rotação especifica característica para o ponto de máximo rendimento. 7. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em serie. 8. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em paralelo. 9. Considerando que será construída uma bomba semelhante de 00mm diâmetro que trabalhara com 750rpm, Graficar: η Pot da bomba Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

97 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas Solução:. Graficar a informação dada na tabela Altura Manometrica (m) Bomba de 00mm e 440rpm Rendimento Vazao (m3/h). Determinar e graficar a curva que representa a potencia da bomba. A Tabela- mostra os dados resultados da potencia sendo graficados na figura abaixo. Potência (kw) Curva de Potência Bomba de 00mm e 440rpm Vazao (m3/h) 3. Eq. que representa a altura manométrica por ajuste no Excel Eq. que representa a curva de rendimento por ajuste no Excel. η Determinar a vazão de projeto e altura manométrica de projeto. A vazão de projeto é determinada derivando a expressão do rendimento e igualando a zero, desta forma encontra-se a vazão para o rendimento máximo. Com esta vazão determina-se a altura manométrica. 5,07 m 3 /h η84,% 5.3m 6. Determinar a rotação especifica característica para o ponto de máximo rendimento. 5,07/ 3600 nq n 440 *, 7rpm 3 / 4 3 / 4 man ( 5,4) 7. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em serie. O resultado das duas bombas conectadas em serie mostra-se na Tabela Rendimento (%) PUCRS FENG

98 40 35 Bombas em Serie D00mm Altura Manometrica (m) Vazao (m3/h) 8. Graficar o resultado de duas bombas iguais conectadas em paralelo. O resultado das duas bombas conectadas em paralelo mostra-se na Tabela- Altura Manometrica (m) 0 8 Bombas Paralelo D00mm Vazao (m3/h) 8. Graficar: η Pot Bomba de 00mm e 750rpm 0 00 Bomba de 00mm e 750rpm Altura Mnometrica Rendimento (%) Vazao (m3/h) Curva de potência Bomba de 00mm e 750rpm 50 Potência (kw) Vazao (m3/h) 3-3 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

99 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas RESULTADOS DOS DADOS TABELADOS Tabela Rend Potência (m 3 /h) (m) (%) kw Tabela Bombas - Série Bombas - Paralelo s s (m) p (m 3 /h) p (m) Tabela Bomba semelhante n 750 D 00mm Rend Potência (m 3 /h) (m) (%) kw PUCRS FENG

100 3.9 Problemas Propostos Problema 3.: Considere os seguintes dados de uma bomba centrífuga com entrada radial. D 50mm D 300mm N450rpm b 75mm b 50mm α 90 0 β 0 0 β 5 0 ρ000 kg/m 3 Determinar os polígonos de velocidades da bomba considerando número infinito de pás. Determinar o grau de reação da bomba. Determinar a equação da altura teórica para número infinito de pás versus a vazão da bomba ( too -) Graficar a curva característica para número infinito de pás. too k - k Determinar a altura teórica para número finito de pás ( t# ) considerando 7 pás. Graficar a curva característica para número finito de pás. t# k * - k * m 3 /s L/s too M M t# Problema 3. Considere que a bomba definida no Problema foi fabricada sendo levantada a sua curva característica em laboratório. Os resultados da curva real são dados a seguir: L/s man m 3 30,5 8 4,5 0 W & kw 34, 39, 45 5,5 64,5 ac Graficar as curvas de altura-vazão e potência-vazão Determinar a curva característica da bomba considerada do tipo k - k Determinar para a bomba fabricada a altura manométrica máxima ( max ) e a vazão máxima ( max ). Determinar a rotação específica característica da bomba. (n q ) Problema 3.3 Graficar a curva da altura manométrica versus a vazão. ( man -) Determinar o rendimento correspondente a cada ponto levantado no laboratório. Determinar a equação do rendimento considerando que é do tipo ηk + k Determinar a vazão de projeto ( p ) e altura manométrica de projeto ( p ). man W & ac η % L/s m KW Problema 3.4 Graficar a curva característica ( man -) ( P-) (η-) considerando uma rotação n300rpm. L/s man m kw W & ac Problema 3.5 A bomba é utilizada para elevar água num sistema com altura estática de elevação igual a 5m. A tubulação tem um comprimento de 750m. Considere que o fator de atrito na tubulação é igual a f0,0. Determine a curva do sistema. Determine o ponto de funcionamento bomba-sistema considerando interseção das curvas. Determine rendimento no ponto de funcionamento 3-34 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

101 Capítulo 3: Curvas Características de Bombas Centrífugas Determine a potência da bomba para as condições do sistema. O resultado gráfico do Problema ao 3 é mostrado na Fig. 3.7 Figura 3.7 Curva característica Resultados gráficos dos problemas propostos. Comentário Final: Com este material o aluno deverá estar capacitado para estudar: qual é a influência da curvatura das pás em bombas centrífugas, quais os tipos de pás e como é transferida, teoricamente, a energia do rotor ao fluido com os diferentes tipos de pás. Foram apresentadas as curvas teóricas e as curvas reais das bombas centrífugas. Nas aplicações de engenharia o aluno deverá lidar com as curvas reais já que são estas as fornecidas pelos fabricantes. Com tal informação o aluno poderá selecionar, dos fabricantes existentes no mercado, o tipo de bomba mais apropriada para uma determinada aplicação. A informação e definições complementares de altura manométrica, rendimento global, potência de acionamento e NPS das bombas, são abordados nos capítulos seguintes. PUCRS FENG

102 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade PUCRS FENG

103 Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade SUMÁRIO 4. COEFICIENTES ADIMENSIONAIS NÚMERO DE REYNOLDS NÚMERO DE MAC RUGOSIDADE RELATIVA COEFICIENTE DE PRESSÃO OU ALTURA ESPECÍFICA COEFICIENTE DE VAZÃO OU CAPACIDADE ESPECIFICA COEFICIENTE DE POTÊNCIA EFEITOS DE ESCALA EFEITO DO NÚMERO DE REYNOLDS EFEITO DO NÚMERO DE MAC EFEITO DA RUGOSIDADE RELATIVA EFEITO DE ESPESSURA LEIS DE SIMILARIDADE LEIS DE SIMILARIDADE PARA DUAS MÁUINAS SEMELANTES UTILIZANDO AS LEIS DE SIMILARIDADE MODIFICAÇÃO DO TAMANO DA BOMBA CURVA CARACTERÍSTICA DE BOMBA VARIANDO A ROTAÇÃO: RENDIMENTO GLOBAL VARIANDO A ROTAÇÃO DETERMINAÇÃO DA ROTAÇÃO ESPECIFICA ROTAÇÃO ESPECÍFICA CARACTERÍSTICA - N NÚMERO ESPECÍFICO DE ROTAÇÕES POR MINUTO RELAÇÃO ENTRE NS - N VELOCIDADE ESPECÍFICA EM BOMBAS DE MÚLTIPLOS ESTÁGIOS BOMBAS COM ENTRADAS BILATERAIS (ROTOR GEMINADO) BOMBAS COM VÁRIOS ESTÁGIOS E ENTRADA BILATERAL ROTAÇÃO ESPECÍFICA - UNIDADES AMERICANAS NÚMERO ESPECÍFICO DE RPM EM FUNÇÃO DA POTÊNCIA OUTRAS RELAÇÕES RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTE DE PRESSÃO E NÚMERO ESPECÍFICO DE ROTAÇÕES EXEMPLOS RESOLVIDOS ATIVIDADE DE APRENDIZADO ATIVIDADE PROPOSTA N O ATIVIDADE PROPOSTA N O Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

104 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 4. Coeficientes Adimensionais A performance das máquinas de fluxo deve ser determinada por testes experimentais, sendo que diferentes máquinas apresentam características diferentes. Podem existir máquinas da mesma família (mesmo desenho porém fabricadas com diferentes tamanhos), as quais constituem uma série de máquinas geometricamente semelhantes ou similares, podendo funcionar com diferentes rotações dentro de limites práticos. Trabalhando com as grandezas reais de cada máquina seria impossível caracterizar uma família de máquinas semelhantes pela grande quantidade de variáveis envolvidas. O problema é resolvido aplicando análise adimensional às variáveis envolvidas, formando grupos adimensionais. Desta forma, os grupos adimensionais fornecem leis de similaridade que governam as relações entre uma família de máquinas geometricamente semelhante. A Tab. 4., apresentada a seguir, mostra as variáveis envolvidas em turbomáquinas. Tabela 4. Variáveis Envolvidas em Turbomáquinas Símbolo Variável Dimensões Unidades W & Potência transferida. (entre o impelidor e fluido) ML T -3 Watts Vazão através da máquina L 3 T - m 3 /s Energia a ser vencida ou extraída pela máquina L M n Rotação do impelidor T - rad/s D Diâmetro do impelidor L M ρ Massa específica do fluido ML -3 kg/m 3 µ Viscosidade absoluta do fluido ML - T - Ns/m K Módulo de elasticidade volumétrico ML - T - N/m ε Rugosidade absoluta interna da máquina L M Como é a energia por unidade de peso do fluido, é preferível utilizar como variável o termo (g), que representa a energia por unidade de massa, ou também chamada energia específica (Yg), que é mais fundamental, já não depende da aceleração da gravidade. Consideramos a energia específica como a variável dependente. A relação entre as variáveis envolvidas é expressa como: (, n, D, ρ, µ, K ε ) g φ, Utilizando método indicial, a série de potência se reduz para: g a b c C, n, D, d e f ρ, µ, K, i ε onde C é uma constante de proporcionalidade. Substituindo as dimensões de cada variável envolvida: L T a 3 L T T b d e f M M L LT M LT c ( L) ( L) 3 i PUCRS FENG

105 As equações indiciais: Para: M :0 d + e + f d e f [ ] [ ] T : a b e f b a e f [ L] : 3a + c 3d e f + i c 3a e f i Substituindo nas equações originais: g a K, n c ( ) a e f, D ( 3a e f i) ( e f ) e f i, ρ, µ, K, ε g Cn D 3 nd a µ nd ρ e K n D ρ f ε D i g n D µ K ε φ nd ; ; ; 3 nd ρ n D ρ D Da expressão apresenta diferentes parâmetros característicos que serão definidos a seguir. 4.. Número de Reynolds Sabemos que velocidade periférica é dada como UωR. Podemos também expressar que U é proporcional a nd isto é U nd desta forma na expressão: µ Podemos substituir: nu/d com o qual nd ρ µ UDρ o qual representa: Re µ nd ρ a viscosidade cinemática é dada como νρ/ µ e desta forma a expressão representa o número de Reynolds definido como: Re UD ν 4.. Número de Mach A velocidade do som pode ser dada como: c velocidade periférica nu/d. K ρk c n D ρ U D D U Ma ρ k ρ onde kρc é o módulo elasticidade volumétrico. A 4-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

106 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 4..3 Rugosidade Relativa O último termo e/d é definido como rugosidade relativa. Desta forma, o coeficiente de pressão é representado em função dos seguintes parâmetros adimensionais. C [ C, Re, Ma, ε D] φ / Da mesma forma, com auxilio da análise dimensional, considerando a vazão como variável independente se obtém o coeficiente de potência ( φ C, Re, Ma, ε / D 4..4 Coeficiente de Pressão ou Altura Específica C & ). Ambos são função das variáveis ( ) W Para trabalhar em unidades coerentes as expressões dos coeficientes são apresentadas em função da velocidade angular ω (rad/s) e não da rotação n (rpm). C g ω D 4..5 Coeficiente de vazão ou Capacidade Especifica C ω D Coeficiente de Potência C W & W& ω 3 D 5 ρ As relações funcionais entre C, C W &, W são determinadas experimentalmente e constituem um conjunto característico que representam a performance de uma família de máquinas geometricamente semelhantes, e que são idênticas para todas aquelas máquinas em que Re, Ma, ε/d são as mesmas. Pode ser demonstrado que o rendimento global é função destas variáveis adimensionais. η C C C W& Podemos representar as curvas características das turbomáquinas em função destes coeficientes. Por exemplo, vamos supor que temos a informação de uma bomba de um fabricante com diâmetro do rotor de 00mm a qual opera com rotação de 750rpm sendo fornecidos os dados de altura, vazão e rendimento conforme tabela abaixo. A partir de estes dados, utilizando a planilha de Excel obtemos a potência e podemos graficar as curvas respectivas da altura manométrica rendimento e potencia como mostra a figura. PUCRS FENG

107 Tabela 4. Dados de bomba η m 3 /h m % , , ,4 38 O resultado mostra que a bomba apresenta seu rendimento máximo (80%) para uma vazão de 46m 3 /h fornecendo uma altura manométrica em torno de 5,3m.Para cada um dos pontos podemos determinar os respectivos coeficientes de vazão, altura e potência, resultado mostrado na tabela e gráficos dados abaixo. Por exemplo, para 50m 3 /h temos: Altura (m) e Potência (kw) Altura manometrica Rendimento Potência Vazão (m3/h) Figura 4. Curvas características da bomba Rendimento (%) C C C W & ω D g ω D W& ρω D 50 / ,3x0, 3 3 9,8x4 83,3 0, 0,0095 0,0 44, x83,3 0, ,00 Observa-se que para graficar (Fig.4.) em escalas apropriadas os coeficientes de vazão e potência foram multiplicados por 00 e o coeficiente de altura por 0. Tabela 4.3 Resultados dos coeficientes adimensionais da bomba η W C x00 C x0 C W x00 m 3 /h m % Watts ,8 0,9,3 0,08 0 8, , 0,38,35 0, , 0,57,3 0, 40 6, ,6 0,76,0 0, ,6 0,95,0 0, ,3,4 0,73 0,3 70 5, ,7,33 0,39 0,4 Para verificar o resultado podemos utilizar para a vazão de 50m 3 /h a expressão do rendimento global. 4-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

108 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade CC η C W& 0,0095x0,0 0,79 (79% conforme dado origina do fabricante) 0,00 O mesmo pode ser realizado para cada ponto fornecido pelo fabricante. Cabe assinalar que o valor 0,79 é obtido quando se trabalha com todo o numero de casas que utiliza a planilha Excel.,0,8,6 Rendimento Cx0,4,,0 0,8 0,6 Coeficiente de altura Rendimento (%) 0,4 0, Coeficiente de potência 0 0 0,0 0 0,0 0,5,0,5 Cx00 Figura 4. Coeficiente adimensionais da bomba. PUCRS FENG

109 4. Efeitos de Escala uando se utilizam as leis de similaridade se assume que todos os critérios de similaridade dinâmica são satisfeitos. uando se analisam os grupos adimensionais que representam o número de Reynolds, o número de Mach e a rugosidade relativa se observa que isto não ocorre na realidade. 4.. Efeito do Número de Reynolds Sabemos que o Re para turbomáquinas é definido como ReUD/ν. Toda mudança de rotação ou diâmetro altera o valor de Re, e por isto não pode ser considerado como um valor constante. Contudo, para água e ar este efeito é pequeno já que geralmente Re é muito alto, e o fluxo é geralmente turbulento. 4.. Efeito do Número de Mach. O aumento da rotação ou o diâmetro do rotor faz com que o número de Mach aumente. Desta forma isto faz não é satisfeita a condição de similaridade e os efeitos de compressibilidade poderão ser importantes afetando a performance da máquina. Os efeitos de compressibilidade devem ser estudados cuidadosamente no caso de compressores e ventiladores quando se trabalha com as leis de similaridade Efeito da Rugosidade Relativa A rugosidade absoluta (e) é um valor médio das alturas das perturbações superficiais que permanecem as mesmas para um certo material e processo de fabricação, utilizado numa máquina (bomba, turbina, ventilador, compressor, etc) independente de seu tamanho. Porém, qualquer modificação de tamanho da máquina e, portanto do impelidor implicará numa modificação da sua rugosidade relativa. Bombas maiores apresentam menor rugosidade relativa. Nas máquinas maiores isto tende a fazer perdas de atrito, pequenas e menos importantes Efeito de Espessura Na prática é difícil manter similaridade geométrica devido ao efeito de interstícios (tamanhos). A mesma bitola de chapa, por exemplo, pode ser utilizada para uma ampla faixa de tamanhos de rotores. Todos estes efeitos são conhecidos como efeitos de escala. Em geral, o efeito de escala tende a melhorar a performance das máquinas de maior porte. Nas equações de semelhança são desprezados os efeitos de viscosidade e rugosidade superficial. uando o tamanho da turbomáquina diminuí, como por exemplo no caso de modelos e protótipos, tais efeitos podem se tornar significativos. No caso de bombas pode ser utilizada a seguinte relação que considera a variação da eficiência em função da semelhança geométrica da bomba. η D η D / Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

110 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 4.3 Leis de Similaridade Todas as máquinas de uma mesma família operam sob condições dinamicamente semelhantes. Desta forma os coeficientes adimensionais são os mesmos em pontos correpondentes de suas características. Isto implica que as leis de similaridade, que governam as relações entre tais pontos correspondentes, podem ser relacionadas como: Coeficiente de vazão: C cte ou também nd 3 nd Coeficiente de altura g C cte ou também g n D n D Coeficiente de potência: 3 P C W & cte ou também 3 5 n D ρ W& ρn 3 D 5 Devendo também satisfazer que Re, Ma ε/d sejam os mesmos. Tais máquinas apresentam um rendimento constante ηcte Leis de Similaridade para Duas Máquinas Semelhantes W& W& n D n D n D n D n n 3 D D 3 5 ρ ρ η η (mesmo rendimento), : vazões das bombas n,n : rotações das bombas,, alturas de elevação manométrica do líquido bombeado. W & W & : potência das bombas. Casos particulares: a) Mesmo Rotor b) Mesmo Fluido c) Mesma Rotação. PUCRS FENG

111 4.4 Utilizando as Leis de Similaridade Consideremos uma bomba, com rotação n e diâmetro D, que apresenta curvas características de altura vazão, - rendimento vazão η- e potência vazão P-. Desejamos determinar nova curva característica quando se modifica a rotação para um valor n tal que n > n. uando a bomba está operando num ponto x (Fig.4.3) fornece uma altura manométrica x para uma vazão x e consome uma potência P x com um rendimento η x. n Figura 4.3 Modificação da curva da altura-vazão em função da rotação. uando trabalha numa rotação n maior que n se obtém pelas leis de similaridade um novo ponto que denominaremos x, com a nova vazão e altura que fornecerá a bomba: n x' x n x ' x n n Na Fig.4.3 mostra-se o ponto x. Aplicando tal método a outros pontos podemos determinar a curva da bomba para a rotação n. Da mesma forma pode-se determinar a potência consumida na nova rotação e graficar a curva de potência da bomba para a nova rotação n W& x' W& x n n Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

112 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade Na Fig.4.4 mostra-se o resultado gráfico da mudança de rotação para vários pontos da curva. Observa-se que existem uma relação de curvas parabólicas do tipo c que passam pelos pontos com mudança de rotação Altura Manometrica Vazão Figura 4.4 Modificação da curva da altura-vazão em função da rotação. A continuação será demonstrada que quando um ponto se modifica para uma nova altura manométrica e vazão o rendimento permanece constante. Isto significa que no caso anterior para qualquer ponto η η x x' O rendimento global é definido como a razão entre a potência hidráulica e a potência mecânica fornecida (potencia de acionamento: ρg η & W ac Aplicando a expressão de rendimento global para as rotações n e n. ρgx x ρgx' η x η W& ' x' x W& x' dividindo as duas expressões; ρgx x η x Px x x W& x ' η g x x x x x W& ' ' ρ ' ' ' ' x P x' x' Utilizando as relações de similaridade: PUCRS FENG

113 4- Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 3 ' ' n n n n n n x x η η Desta forma se obtém que η x η x Apesar de η x η x quando se graficam mostram-se como sendo curvas diferentes já que: η x é plotada contra x η x é plotada contra x O procedimento visto pode ser aplicado a outros pontos, obtendo-se a nova curva de rendimento da bomba. A Fig.4.5 mostra o resultado gráfico de duas curvas de alturas manométricas com seus respectivos rendimentos. Observa-se que para um ponto qualquer na mudança de rotação o rendimento se mantém constante. Figura 4.5 Modificação da curva da altura-vazão em função da rotação. 4.5 Modificação do Tamanho da Bomba A modificação do diâmetro do rotor pode fornecer novas curvas características quando trabalhamos com as leis de similaridade para uma bomba com a mesma rotação. (n n ) D D 3 D D 5 D D W W & & η η

114 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade PUCRS FENG Curva Característica de Bomba Variando a Rotação: Consideremos uma bomba A com rotação n A 0 A A A a a a Pelas relações de semelhança se a bomba muda de rotação a altura e vazão da curva é modificada pelas relações: A B A B A B A B n n n n A B A B n n 0 B B A B B A A B A A B B n n a n n a a n n n n 0 0 B B A B A B B B B A A B B B A A B A B B a n n a n n a n n n n a n n n n a n n a Denominado a relação de rotações por: A B n n n r Obtemos a relação: 0 B B n n B a r a r a Também podemos escrever a Eq. como: b onde : a b r a b r a b b b n n B B B onde: A B n n n r e considerando que n A A B A B r n n

115 4-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé 4.7 Rendimento Global Variando a Rotação Para determinar o rendimento global de uma bomba que muda de rotação utilizamos as equações de semelhança. Estas relações são válidas para máquinas semelhantes de igual rendimento. Consideremos uma bomba A com rotação n A a qual apresenta um rendimento global dado pela expressão do tipo: A A A a a η onde a e a são constantes. uando a bomba muda de rotação (n B ) a vazão é modificada considerando a equação de semelhança: A B A B n n Desta forma a curva do rendimento o rendimento: B A B B A B B n n a n n a η B n B n B r a r a η Também podemos escrever a Eq. como: : n n B B B r a b r a b onde b b η 4.8 Determinação da Rotação Especifica Consideremos duas bombas semelhantes. Uma com diâmetro do rotor igual a D e outra com diâmetro do rotor igual a D 3 D D n n

116 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade PUCRS FENG D D n n explicitando a relação de diâmetros n n D D Substituindo esta equação na equação da vazão que relaciona as vazões: 3 / n n n n 4 3 / 4 3 / 3 / 3 / 3 / 3 3 / n n n n n n n n n n 4 3 / 4 3 / n n Admitindo que uma destas bombas seja uma bomba padrão com uma altura unitária m e vazão unitária m 3 /s, tal bomba terá uma rotação denominada rotação específica característica. 4 3 / man q n n Cada família de bombas apresenta uma faixa de n q. Observa-se que ns tem como unidades rpm já que tanto a vazão como a altura manométrica foram adimensionalisadas. 4.9 Rotação Específica Característica - nq Rotação específica é a rotação na qual deverá operar uma bomba geometricamente semelhante à bomba considerada, capaz de elevar m de altura a uma vazão de m 3 /s com o máximo rendimento.

117 n n: número de rpm da bomba. n q (rpm) : vazão ou descarga da bomba (m 3 /s) 3 / 4 man man : Altura útil ou manométrica (m) Obs: Os valores de (, man ) considerados correspondem ao ponto de máximo rendimento. Cada família ou classe de bombas apresenta uma faixa particular de rotação específica. O conceito é muito útil para engenheiros e projetistas, já que é possível selecionar o tipo de bomba mais eficiente para uma determinada aplicação. As bombas centrífugas, por exemplo, trabalham com vazões baixas e grandes elevações, por isto apresentam baixas rotações específicas. A Tab. 4. mostra velocidades específicas para diversos tipos de rotores. Tabela 4. Faixa de valores da rotação especifica (n q ) para diferentes tipos de bombas hidráulicas. Bombas Centrífugas élico Centrifugas elicoidal Axial Lenta (radial) Normal Rápida Tipo Francis Fluxo Misto < > 40 A Fig. 4.6 mostra o resultado equivalente ao dado na Tab. 4. incluindo a representação gráfica do tipo de rotor e a aplicação em quanto a altura manométrica. Figura 4.6 Faixa de rendimentos para bombas centrífugas em função da rotação específica (n q ) Utilizando por exemplo a Fig 4. a bomba opera a 750rpm e apresenta no seu rendimento máximo uma vazão de 46m 3 /h fornecendo uma altura manométrica em torno de 5,3m. Desta forma: n 46 / 3600 q 750 5, 57rpm 3 / 4 5,3 o que pode representar o caso de um rotor centrifugo normal. man 4-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

118 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 4.0 Número Específico de Rotações por Minuto Representa o número de rpm de uma bomba geometricamente semelhante à bomba considerada que eleva 75litros de água a uma altura de metro em segundo, e demanda uma potência de CV. Obs: Desta forma se trabalha com uma vazão de 0,0075m 3 /s. n n s 3,65 (rpm) 3 / 4 man n: número de rotações da bomba (rpm) : vazão ou descarga da bomba (m 3 /s) : altura útil ou manométrica (m) Com n s podemos determinar o tipo de bomba mais apropriado a ser utilizado. A caracterização do tipo de rotor depende não apenas de e mais também da sua rotação (n). Maiores valores de n s representa menores dimensões das bombas. A equação de n s mostra que quanto maior e menor maior será a velocidade específica n s. A figura abaixo mostra diferentes rotores com os respectivos valores de n s. Figura 4.7 Faixa do número específico de rpm - n s A bomba ideal geometricamente semelhante à bomba considerada a qual tem uma rotação de n s denomina-se bomba unidade da bomba dada. Todas as bombas geometricamente semelhantes entre si terão uma única bomba unidade o que implica que todas elas terão uma única velocidade específica Relação entre ns - nq O número específico de rpm se relaciona com a rotação específica característica pela seguinte expressão: n s 3, 65n q Utilizando os dados do exemplo anterior n s 3,65x5,5793,7, confirmando que trata-se de um rotor de bomba norma de bomba centrifuga já que esta na faixa entre 90rpm e 30 rpm. PUCRS FENG

119 4. Velocidade Específica em Bombas de Múltiplos Estágios Para determinar a rotação específica em bombas de múltiplos estágios divide-se a altura útil pelo número de estágios (i) da bomba: n s n 3,65 i man 3 / n: número de rotações da bomba (rpm) : vazão ou descarga da bomba (m 3 /s) : altura útil ou manométrica (m) i : número de estágios da bomba. Número de Estágios: Como primeira aproximação pode-se admitir que para alturas até 50m pode-se trabalhar com 0 estágio (i). Se a altura for maior que 50m se utilizam vários estágios cada um proporcionando uma altura entre 0 a 30m man ( m) i (0...30) m 4.. Bombas com entradas bilaterais (Rotor Geminado) Trata-se de rotores de costas um ao outro, fundidos numa única peça. Neste caso a vazão se divide metade em cada lado do rotor para se obter a rotação específica: n n s 3,65 3 / 4 man 4.. Bombas com vários estágios e entrada bilateral n s n 3,65 i man 3 / Rotação Específica - Unidades Americanas No sistema americano a rotação específica é dada por: n n: rotação da bomba (rpm) n s( americano) 3 / 4 : vazão da bomba (galões/min) man : altura manométrica da bomba (pé) Figura 4.8 Detalhe de rotor com entrada bilateral Figura 4.9 Detalhe de bomba com estágios 4-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

120 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade Expressões utilizadas para conversão do sistema americano ao métrico: ns( americano) ns 4, 5 ou utilizando a rotação específica n q ns( americano) ns( americano) 4, 5x3, 65 5, Número Específico de RPM em Função da Potência Para água com γ000 kgf/m 3, considerando a potência útil. 000 man W & u 75 podemos fazer como: W& u man n s n 000 3,65 3,65 3 / 4 man man 75 man n 3,65 n man man W& u man n s W& 3,65 u 3 / 4 man A utilização de n s em função da potência supõe considerar um valor de rendimento. No caso n s em função de vazão isto não é necessário e por isto é a expressão mais utilizada Outras Relações n D Da relação de maquinas semelhantes definimos a rotação unitária das bombas n D semelhantes (n u ) fazendo n nu m e D m. Desta forma se obtém: n u nd man Para bombas radiais pode ser utilizada a relação entre a rotação especifica (n q ) e rotação de bomba unitária (n u ) de bombas semelhantes. n 0,5n + 75 (rpm) u q Com a equação acima pode ser estimado o diâmetro ótimo de um rotor radial. PUCRS FENG

121 4..6 Relação entre Coeficiente de Pressão e Número Específico de Rotações Alguns textos definem coeficiente de pressão (ψ) ψ g man U e o coeficiente de vazão como 4 ϕ πd U Onde D e U representam respectivamente o diâmetro e velocidade tangencial do rotor. A Figura 4.8 mostra como é relacionada a rotação especifica (n q ) com o coeficiente de pressão. Figura 4.0 Coeficiente de pressão 4. Exemplos Resolvidos Exemplo-4. Uma bomba com rotor de 343mm opera no seu ponto de máxima eficiência com uma vazão de 5 m3/h e uma altura manométrica de 50m. A bomba trabalha com 750rpm. (a) Determinar o tipo de bomba (b) Determinar o coeficiente de pressão e de vazão. Solução Dados: D343mm 5 m3/h man 50m n750 rpm x n 3600 nq 6,6 Da Tab. 4. se obtém que trata-se de uma bomba centrífuga radial. 3 / 4 3 / 4 50 man Para avaliar o coeficiente de pressão e de vazão devemos calcular inicialmente a velocidade periférica do rotor: πdn πx343x750 U 3,43m / s x60 g man x9,8x50 ψ 0,99 Obs. Pela Fig. 4.8 se obtém um valor muito próximo. U 4 ϕ πd U ( 3,43) 5 4x 3600 πx ( 0,343) x3,43) 0,0 4-0 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

122 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade Exemplo-4. Uma bomba centrífuga com rotor de 0,5m de diâmetro e uma rotação de 750rpm apresentando dados fornecidos na tabela abaixo. Grafique a curva - e η- da bomba original e de uma bomba geometricamente semelhante com diâmetro de 0,35m e opera com uma rotação de 450rpm (m 3 /min) (m) , η (%) Solução: Dados: n 750 D 0,5m n 450 D 0,35m n D n D n D n D 3 Utilizando as equações de similaridade se obtém a seguinte tabela: (m 3 /min) (m) , η (%) Os resultados podem então ser plotados e comparados com os iniciais como se mostra na figura abaixo Altura Manometrica (m) Bomba n750rpm e D0,50m Bomba n450rpm e D0,35m Bomba (-) Bomba (-) Bomba - Rendimento Bomba Rendimento Rendimento (%) Vazão (m^3/min) Figura 4. Resultado utilizando equações de similaridade PUCRS FENG

123 Exemplo 4.3 Uma bomba com 450rpm apresenta os seguintes dados obtidos do catálogo da bomba: (L/s) man (m) 3 30,5 8 4,5 0 P (kw) 34, 39, 45 5,5 64,5 (a) Graficar as curvas de Altura-Vazão e Rendimento-vazão (b) Determinar e graficar a curva de - quando a rotação diminui para 400rpm. Solução: (a) Graficar as curvas de Altura-Vazão e Rendimento-vazão O rendimento é determinado para cada vazão e altura pela expressão de potência: W& ac ρg η man G ρg η G W& man ac (L/s) R end (%) 36,7 6,06 73,5 73,5 60,84 (b) Determinar e graficar a curva de - quando a rotação diminui para 400rpm. Utilizando os dados da bomba com 450rpm e as relações de semelhança: n n n n com as quais obtemos a seguinte tabela L/s 37,9 74,58,87 49,6 86,44 man m 8,80 7,45 5,0,05 8, (m) Rendimento (%) (L/s) Figura 4. Resultados da curva de bomba modificando a rotação. 4- Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

124 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade Exemplo 4.4 Na figura representa-se a curva - de uma bomba operando numa instalação com uma rotação de n (rpm). Um manômetro e um vacuômetro são instalados na saída e entrada da bomba, indicam respectivamente,8kgf/cm e 0,4kgf/cm. Em tais condições a bomba tem uma rotação específica (n q ) igual a 53,99rpm. i)determinar a vazão, altura manométrica e rotação da bomba. ii)se mantemos a mesma vazão na instalação qual a nova altura manométrica que poderá fornecer a bomba quando se modifica a rotação para n (rpm). Determine esta nova rotação nas condições de operação. (Fluido: água) Solução i) Altura manométrica do sistema: man V + M man (m) Onde M é a altura representativa da pressão registrada pelo manômetro (P M,8kfg/cm ) equivalente em coluna de água a M 8,0mca; A altura representativa da pressão registrada pelo vacuômetro (P v 0,4kfg/cm ) equivalente em coluna de água a v 4mca. Por tanto, a altura total de elevação é dada por: man M + V 8,0m + 4,0m,0m n Com man m na curva da bomba com rotação n se encontra uma vazão igual a 4litros/s ou 0,04m 3 /s. n A rotação da bomba pode ser conhecida com a rotação específica: n q 3 / 4 Resolvendo para a rotação real se encontra: (l/s) Figura 4.3 Curvas de Bomba centrifuga man n n q 3 / 4 man 53,99x 0,04 3 / rpm ii) Com 4,0 lit/s se encontra na curva de rotação n uma altura total de elevação de man,0m. Utilizando as relações de semelhança para a bomba quando se modifica a rotação se tem: n n n n / / 3540x 64rpm PUCRS FENG

125 Exemplo 4.5 Uma bomba centrífuga trabalha com água com uma vazão de 68,4m 3 /hora. O rotor de 30mm gira a 500 rpm e apresenta escoamento radial na entrada do rotor e pás radiais na saída. (a) Determine potência teórica da bomba para número infinito de pás. (b) Determine as condições de operação de uma bomba geometricamente semelhante com diâmetro de 380mm e rotação de 750rpm. Solução: n500rpm 68,4m 3 /s D 30mm πdn πx30x500 U 5,3 m / s x60 ( 5,3 ) 64, m t U 4 g 9,8 Determinar: W& t ρg t 000 x9,8x0,09 x64,4 kw 68,4m 3 /h n 500rpm n 750rpm D 30mm D 380mm 3 n D ,4 33,6m / hora n D n D ,4 3, 6m n D n D W& W& ρ 45kW n D ρ Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

126 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade Exemplo 4.6 Os parâmetros da bomba são: rotação 400rpm; vazão,7m 3 /s e altura manométrica 36,5m e potência 70kW. Um modelo geometricamente semelhante com escala :6 desta bomba será testado. Se o modelo é testado com altura manométrica de 9,0m, determine a rotação e descarga que deverá funcionar assim como a a potência requerida para o mesmo. Solução: Consideramos com sub índice o protótipo (bomba) e sub índice o modelo. Protótipo:,7m 3 /s 35,5m P 70kW D /6D n 400rpm 9,0m n? W? n D n D 3 n n D D D 9 n n D 36,5 ( 6) rpm 9 3,7 0,035m / s n D W & 9 W & 70, 45kW n D Exemplo 4.7 Um sistema deve bombear água através de uma tubulação de 50mm de diâmetro interno com 460m de comprimento. Considere o coeficiente de atrito igual a 0,05. A altura estática de elevação é igual a m considerando nulas todas as perdas localizadas e h vel 0. Determinar e a equação característica do sistema. ual a altura manométrica do sistema quando a vazão requerida é igual a 80m 3 /h. ual a nova vazão e altura que poderia operar uma bomba quando muda a rotação de 750rpm para 000rpm. Solução: Dados: D50mm L460m f0,05 hem 4 h L v L πd 6L f f f L 5 D g D g π D g L 460 h L 0,086 f 0,086x0, D 0,5 A equação da curva característica da bomba é dada por: man he + hl + 53 com (m 3 /s) com 80m 3 /h (0,0m 3 /s) se obtém 8,m. 3 n 000 m n , 43 8, 3, 75m n 750 h n 750 PUCRS FENG

127 Exemplo 4.8 Uma bomba com diâmetro de 75mm opera com uma rotação de 3450rpm. A bomba fornece uma vazão de 60 m 3 /h e desenvolve uma altura manométrica de 0m requerendo uma potência de acionamento de 0 kw. Determinar a rotação, vazão e potência necessária para o acionamento de uma bomba semelhante com 00mm de diâmetro e deve operar com uma altura manométrica de 30m Solução: D 75mm n 3450 rpm. 60 m 3 /h 0m P 0kW. D 00mm n? rpm.? m 3 /h 30m P? kw. Utilizando as equações de semelhança: n D n D 3 n n D D P n P n D 3 D 5 D 00 Denominado a relação de diâmetros: λ, 33 D 75 n n λ 370rpm n 3 λ 30, n 6 m h n W& 5 W& 3, 7kW n λ 3 3 Exemplo 4.9 Especificar o tipo de bomba e determinar o diâmetro externo do rotor, a qual deve trabalhar com uma vazão de 75 m3/h desenvolvendo uma altura manométrica de m operando com rotação de 500 rpm. Solução: Dados: 75 m 3 /h m n 500 rpm. 500 n Utilizando a expressão de número de rotações especifico: n / 4 man Como n q esta entre 0 e 70 deve ser utilizada uma bomba centrifuga radial , 3 q 3 0,75 A rotação de uma máquina unitária: n 0,5n + 75 com o que se obtém n u 87,5rpm. u q rpm nd nu man 87,5 n u e assim obtemos o diâmetro: D 0,68 70mm n 500 man 4-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

128 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 4.3 Atividade de Aprendizado O gráfico representa as curvas características de uma bomba centrifuga do fabricante Goulds Pumps utilizada para serviços gerais com água. (a) Determine a Eq. da curva característica man - para o rotor B (5 ¾ ) representada por um polinômio de º grau e graficar a mesma junto os pontos da curva original. (b) Determine a Eq. da curva característica de duas bombas iguais operando em serie e em paralelo. Grafique a curva original mais as curvas em serie e em paralelo. (c) Determine a Eq. da curva de man como função de vazão e rotação: man f(,n) PUCRS FENG

129 (a) Determine a Eq. da curva característica man - para o rotor B (5 ¾ ) representada por um polinômio de º grau. Solução: Primeiro podemos fazer uma tabela com os dados da vazão em galões por minuto (gpm) e a altura em pés e transformamos respectivamente para m 3 /h e m. (gpm) man (pés) (m 3 /h) man (m) 0 3 0,0 37,5 0,3 36, ,5 35, ,8 3, , 7,4 50 7,4, ,6 4,9 Sabemos que a curva característica da bomba pode ser aproximada por uma equação do tipo man a a a Com auxilio da planilha Excel plotamos os pontos da tabela anterior e realizamos um ajuste polinomial de º grau cujo resultado mostra-se na figura abaixo man 37, ,04-0,3 30 (metros) ,0,0 4,0 6,0 8,0 0,0,0 4,0 (m 3 /h) Assim obtemos os coeficientes da Eq. são a o 37,483 a 0,04 e a -0,3. Desta forma a Eq. da curva característica da bomba para o rotor de B (5 ¾ ) é dada por: man 37, ,04 0,3 4-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

130 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade (b) Determine a Eq. da curva característica de duas bombas iguais operando em serie e em paralelo. Grafique a curva original mais as curvas em serie e em paralelo. As Equações para as duas bombas iguais operando em serie e em paralelo são dadas por; Eq. Curva bombas em serie: S ( a + a a ) + 0 S S Eq. Curva bombas em paralelo: a P a0 + P + a 4 P Utilizando as constantes anteriormente determinadas se obtém: s *(37, ,04 0,3 ) p 0,04 0,3 37, s 74, ,048 0,46 p 37, ,0 0, Desta forma podemos obter com os dados originais de altura e vazão as respectivas associações de bombas iguais em serie e em paralelo conforme tabela abaixo junto com o resultado gráfico das respectivas curvas características. (m 3 /h) man (m) s (m 3 /h) s (m) p (m 3 /h) p (m) 0,0 37,5 0,0 75,0 0,0 37,5,3 36,9,3 73,8 4,5 36,9 4,5 35, 4,5 70, 9, 35, 6,8 3,9 6,8 63,9 3,6 3,9 9, 7,5 9, 55, 8, 7,5,4,9,4 43,8,7,9 3,6 4,9 3,6 9,9 7,3 4,9 (metros) ,0 5,0 0,0 5,0 0,0 5,0 30,0 (m 3 /h) PUCRS FENG

131 (c) Determine a Eq. da curva de man como função de vazão e rotação: man f(,n) Podemos determinar a expressão da Eq. que representa a curva da bomba que originalmente opera numa rotação n A e muda para uma rotação n B. A curva da bomba com rotação n B pode ser determinada pela expressão: b + b + b onde B 0 B B b b 0 a r a 0 n b a r n com n B r n considerando que B A n na r Da questão (a) temos que os coeficientes: a o 37,483 a 0,04 e a -0,3. Considerando que n A 3500rpm, podemos por exemplo reduzir a rotação para n B 300rpm, obtendo-se r n 0,9. Desta forma encontramos que b 0 3,33 b 0,03 b -0,3. Assim temos as duas curvas características que podem ser plotadas como mostra a figura abaixo. Para a rotação n A Para a rotação n B B A 37, ,04 A 0,3 A 3,3 + 0,03 B 0,3 B A (m 3 /h) A (m) B m 3 /h) B (m) 0,0 37,5 0,0 3,3,3 36,9, 30,9 4,5 35, 4, 9,3 6,8 3,9 6, 6,8 9, 7,5 8,3 3,,4,9 0,4 8,4 3,6 4,9,5, (m) ,0,5 5,0 7,5 0,0,5 5,0 (m3/h) 4-30 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

132 Capítulo 4: Coeficientes Adimensionais e Leis de Similaridade 4.4 Atividade Proposta N o A tabela abaixo as especificações de uma bomba de um determinado fabricante: (m3/h) man (m) ,5 8 4,5 0 Wac (kw) 3 34, 39, 45 5,5 64,5 Rend (%) Curva Característica man man (m) Determine: (a) O rendimento global (%) da bomba para cada ponto (b) Determine a Eq. que representa a curva característica da bomba nas unidades dadas na tabela acima. (c) Graficar a altura manométrica (m), a potencia (kw), o rendimento global (%) assim como a altura manométrica obtida pela curva característica determinada no item (b). (d) Considerando a Eq. obtida em (b) apresente as Eqs. resultantes da associação de bombas em serie em paralelo para duas bombas iguais man (m) Potência (kw) Rend (%) (m3/h) Obs. Nas equações principais apresente a dedução de unidades no sistema internacional. Isto será levado em conta na avaliação das questões. PUCRS FENG

133 4.5 Atividade Proposta N o Um sistema requer operar com uma vazão de,5 m 3 /h e altura manométrica de 4,m ATIVIDADES Resultados Selecione a bomba apropriada especificando o diâmetro (mm) do rotor Determine a velocidade tangencial do rotor. Determine a potencia de acionamento da bomba no ponto de operação. Determine a potencia fornecida pelo fabricante (compare com a potencia anterior) Elabore uma tabela - com pelo menos 5 pontos da curva correspondente a bomba) Tabela Elabore uma tabela - associando duas bombas em serie Tabela Elabore uma tabela - associando duas bombas em paralelo Tabela 3 Tabela (m 3 /h) 0 bomba (m) Tabela (m 3 /h) 0 bombas em Serie (m) Tabela 3 (m 3 /h) 0 bombas em (m) Paralelo Determine a Eq. que representa a curva característica da bomba. (Grafique) Determine a Eq. que representa 0 bombas associadas em serie. (Grafique) s Determine a Eq. que representa 0 bombas associadas em paralelo. (Grafique) p 4-3 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

134 Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento Curvas Operacionais De Sistemas de Bombeamento PUCRS FENG 00 5-

135 Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento SUMÁRIO 5. Curvas Características de Sistemas de Bombeamento Sistema com Altura Estática Nula Sistema com Altura Perda de Carga Nula Sistema com Altura Estática Positiva Sistema com Altura Estática Negativa Sistema com Baixa Perda de Carga Controle de Desempenho das Bombas Controle do Sistema por Regulação ou Estrangulamento de Válvula Controle de Sistema de Utilização de uma Linha de Recirculação (Bypass) Controle de Sistema por Ajuste da Rotação Controle de Sistema por Mudança no Diâmetro do Rotor Controle por Ajuste do Angulo de Passo das Pás Comparativos de Estratégias de Controle da Vazão Operaçao de Sistemas com Bombas em Paralelo Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrífugas Equação Característica Real de Bombas Centrífugas Perdas idráulicas nas Bombas Método para Parametrização das Curvas de Bombas Exemplo do Procedimento Equações Complementares Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

136 Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 5. Curvas Características de Sistemas de Bombeamento A curva característica do sistema é formada pela contribuição da altura estática de elevação h e mais a contribuição da perda de carga da tubulação e dos acessórios. A perda de carga dos acessórios inclui válvulas, registros perdas por entrada ou saída do fluido nos reservatórios assim como a perda de carga por elementos na tubulação que permitem mudança de diâmetro da tubulação tais como bocais convergentes e bocais divergentes. A altura estática de elevação é determinada pela contribuição da altura estática de aspiração mais a altura estática de recalque. Considerando como referencia o centro da bomba a altura estática de elevação pode ser a soma o diferença das alturas de aspiração (h a ) e altura estática de recalque (h r ) A perda de carga da tubulação é proporcional ao quadrado da velocidade (v ) e, portanto proporcional ao quadrado da vazão ( ). Desta forma a curva característica do sistema é dada por uma Eq. do tipo: man he + k uando temos um sistema de bombeamento em que o nível da superfície da água do reservatório de aspiração esta abaixo do centro da bomba a altura estática de elevação, é dada por: h h + h e a r uando no sistema de bombeamento o nível da superfície da água do reservatório de aspiração esta acima do centro da bomba, a altura estática de elevação é dada por: Fig.5. Sistema convencional h e h a h r Fig.5. Sistema bomba afogada uando no sistema de bombeamento o nível da superfície da água do reservatório de aspiração esta acima do centro e o nível da água do reservatório de recalque abaixo do centro da bomba, a altura estática de elevação torna-se negativa e é dada por: h + e ( ha hr ) Fig.5.3 Sistema bomba gravidade PUCRS FENG

137 5.. Sistema com Altura Estática Nula uando a altura de aspiração e de recalque são iguais, a altura estática de elevação é nula. Neste caso (Fig.5.4) a curva do sistema é determinada unicamente em função da perda de carga da tubulação. O ponto de operação é a intercessão da curva da bomba com a curva do sistema. Nestes sistemas a vazão pode ser reduzida pelo fechamento de uma válvula de registro. man k Fig.5.4 Sistema bomba gravidade 5.. Sistema com Altura Perda de Carga Nula uando a altura de aspiração a perda de carga do sistema é muito pequena ou desprezível a curva do sistema é uma reta paralela ao eixo da vazão sendo determinada unicamente em função altura estática de elevação (Fig.5.5). O ponto de operação é a intercessão da curva da bomba com a curva do sistema. man h e Fig.5.5 Sistema com perda de carga nula 5-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

138 Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 5..3 Sistema com Altura Estática Positiva Neste sistema (Fig.5.6) a altura manométrica é determinada pela soma da contribuição da altura estática de elevação mais a perda de carga da tubulação e acessórios. Da mesma forma que no sistema anterior na intercessão das curvas encontra-se o ponto de operação. Também pode ser mudada a vazão com regulação de uma válvula de registro. man he + k Fig.5.6 Sistema com altura estática positiva Sistema com Altura Estática Negativa Neste sistema (Fig.5.7) o resultado da soma altura estática da aspiração e de recalque tornam a altura estática de elevação negativa. Parte da energia do sistema é transferida por gravidade e parte adicionada pela bomba. Da mesma forma que no sistema anterior na intercessão das curvas encontra-se o ponto de operação. A vazão pode ser mudada com regulação de uma válvula de registro. man he + k Fig.5.7 Sistema com altura estática negativa PUCRS FENG

139 5..5. Sistema com Baixa Perda de Carga Em sistemas de este tipo (Fig.5.8) a perda de carga da instalação é muito pequena, o que pode ser devido a velocidades baixas na tubulação, poucos acessórios na instalação ou diâmetros grandes assim como tubulações muito lisas. Desta forma na altura manométrica do sistema predomina a altura estática de elevação. Sendo assim a curva do sistema torna-se bastante plana o que significa que com o aumento da vazão a altura manométrica aumenta pouco mais do que a altura de elevação. man h e + k h e Fig.5.8 Sistema com baixa perda de carga 5-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

140 Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 5. Controle de Desempenho das Bombas. O ponto de operação (Fgi.5.9) da vazão e altura manométrica é dado pela interseção da curva da bomba com a curva do sistema. Para mudar este ponto de operação poder ser modificada a curva da bomba ou a curva do sistema. Fig.5.9 Ponto de operação bomba-sistema A curva do sistema pode ser modificada: Modificando a resistência do escoamento, por exemplo, utilizando o fechamento de um registro, instalando um sistema de recirculação da vazão (bypass), modificando ou trocando o diâmetro da tubulação ou também pode ocorrer naturalmente devido ao próprio envelhecimento da tubulação. A curva da bomba pode ser modificada: Mudando o diâmetro do rotor, realizando um corte para diminuir o diâmetro do rotor, ativando ou desativando bomba, operando um conjunto de bombas em serie ou em paralelo. Também pode ser mudada a curva da bomba através modificando a rotação procedimento o qual a vazão, altura manométrica e potência modificam-se regidas pelas leis de semelhança das bombas. Em bombas axiais pode ser mudada a curva da bomba mudando o ângulo de passo das pás do rotor. PUCRS FENG

141 5.. Controle do Sistema por Regulação ou Estrangulamento de Válvula O controle da vazão pode ser realizado por regulação de uma válvula de registro a fim de ajustar a vazão para uma nova condição de operação (Fig.5.0). Se tivermos uma bomba em funcionamento com um determinado ponto de operação e desejamos diminuir a vazão, então é realizado o procedimento de fechamento do registro (estrangulamento) para atingir a vazão requerida. Esta obstrução do escoamento com o registro produz um aumento de perda de carga o que modifica a curva do sistema original deslocando o ponto de operação até a interseção da curva da bomba com a curva do sistema modificada. Este procedimento é de baixo custo, contudo pouco eficiente já que o aumento da perda de carga se traduz numa energia dissipada (perdida) transformada em calor (Fgi.5.). Desta forma a potência consumida pode aumentar para suprir o aumento da perda de carga. Cabe assinalar que neste procedimento a curva da bomba se mantém a mesma e desta forma não é modificada nem a rotação nem o diâmetro do rotor. Fig.5.0 Sistema com estrangulamento de registro Fig.5. Energia dissipada pelo fechamento de registro 5-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

142 Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 5.. Controle de Sistema de Utilização de uma Linha de Recirculação (Bypass) O controle da vazão é realizado abrindo um registro que permite por uma linha de recirculação do fluido (bypass) aumentar a vazão com o qual ocorre uma modificação na curva do sistema deslocando o ponto de operação (Fig.5.). Em sistemas onde a altura estática é dominante o controle por bypass pode ser mais eficiente que a regulação por fechamento de registro ou por ajuste da rotação. ] Fig.5. Sistema de controle por recirculação de vazão (bypass) Fig.5.3 Curvas de operação de sistema de controle por recirculação de vazão PUCRS FENG

143 5..3 Controle de Sistema por Ajuste da Rotação Pelas leis de semelhança temos conhecimento que uma determinada bomba com diâmetro especifico pode apresentar diferentes curvas de altura vazão quando é modificada sua rotação. Conhecendo as condições de operação (vazão e altura manométrica) para uma determinada rotação n podemos determinar as novas condições de operação para uma nova rotação n. A Fig.5.4a mostra a modificação da curva de uma bomba que opera com rotação n no ponto de máximo rendimento. Pelas leis de semelhança a mudança da vazão é diretamente proporcional a mudança da rotação α n, a altura manométrica muda proporcional ao quadrado da rotação ( α n ) e a potência muda com o cubo da rotação ( W α n 3 ). Por exemplo para uma redução de 50% da rotação a bomba fornece a metade da vazão, uma altura manométrica de 5% da sua altura original e absorvendo,5% da potência. Observa-se que reduzindo a rotação podem ser geradas famílias de curvas de esta mesma bomba. Também se mostra na Fig.5.4b que o rendimento global pode permanecer alto se quando a vazão se mantém entre 60 a 00% da vazão de projeto. (a) (b) Fig.5.4 Curvas de operação de bombas com mudança de rotação Os principais benefícios do controle de rotação é que permite com facilidade modificar o ponto de operação adequando a curva da bomba para a curva do sistema. O procedimento também permite otimizar a energia do sistema eliminado as perdas por controle de registro assim como permite uma funcionamento suave no processo de partida do motor da bomba. Observa-se na Fig.5.5 que o ponto de operação terá um rendimento levemente diferente que o ponto de operação original já que a curva do sistema de bombeamento é uma expressão quadrática que não corta a origem e o deslocamento dos pontos da a curva altura-vazão da bomba seguem uma expressão do tipo curva parabólica que segue as leis de semelhança em função da mudança de rotação. A figura abaixo mostra como isto acontece. 5-0 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

144 Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento Fig.5.5 Curvas de operação de sistema com bomba com mudança de rotação Nos casos em que o sistema não possui altura estática, a curva característica é representada por uma curva do tipo parabólica que passa pela origem (Fig.5.6). Nestes casos a variação da rotação, tal como mostra a Fig.5.6 pouco afeta o rendimento. Já que o ponto de operação para a nova rotação paraticamente acompanha a curva de rendimento. Nos casos em que a altura estática é significativa a mudança de rotação afeta o rendimento que terá o novo ponto de operação. Fig.5.6 Curvas de operação com mudança de rotação para sistemas diferentes PUCRS FENG 00 5-

145 5..4 Controle de Sistema por Mudança no Diâmetro do Rotor A curva da bomba pode ser modifica trocando de rotor ou utilizando diminuindo (corte) o diâmetro do rotor original. Os dois procedimentos permitem adequar o desempenho da bomba para um determinado ponto de operação. A Fig.5.7 mostra de esquerda a direita um rotor de bomba centrifuga original com diâmetro de 3mm e 04 rotores com diferentes diâmetros de corte. A tabela mostra a relação entre o diâmetro original e o diâmetro de corte (Rc) assim como o percentual do corte em relação ao diâmetro original. A Fig.5.8 mostra o resultado das curvas de altura-vazão rendimento global e potência da bomba. Observa-se que a medida que o diâmetro do rotor é reduzido existe uma redução do rendimento da bomba assim como da potencia requerida para a operação da bomba. Fonte: Experiments on impeller trim of a commercial centrifugal oil pump - Wen-Guang LI (004) Rotor Rotor Rotor Rotor 3 Rotor 4 Diâmetro (mm) Rc,00 0,96 0,9 0,87 0,8 % corte 0% 3,8% 8,5% 3,% 7,8% Fig.5.7 Exemplo de rotores com diminuição do diâmetro Fig.5.8 Desempenho da potencia altura e rendimento de rotores com diminuição do diâmetro 5- Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

146 Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento Fig.5.9 Ajuste do ponto de operação por redução do diâmetro do rotor. A Fig. 5.9 mostra como a mudança do ponto de operação para um rotor com diâmetro D reduzido a um diâmetro D. Como se observa na Fig.5.0 para sistemas em que a altura estática de aspiração é pequena, o rendimento do novo ponto de operação se mantém aproximadamente constante; enquanto que para sistemas com uma grande altura estática de elevação o novo ponto de operação pode apresentar uma diminuição significativa do rendimento. Fig.5.0 Variação do rendimento em função do tipo de curvas do sistema. PUCRS FENG

147 5..5 Controle por Ajuste do Angulo de Passo das Pás Este procedimento é realizado nas bombas axiais nas quais suas pás podem ser reguladas mudando o ângulo do passo. A Fig.5. mostra a altura de operação e vazão de operação adimensionalizadas pelo ponto ótimo de operação no qual o rendimento é máximo. Observa-se, por exemplo, que quando a máquina opera com ângulo de passo das pás de 6 0 a bomba trabalha nas condições ótimas. uando se deseja por exemplo operar a bomba num sistema com uma vazão de 80% em relação a vazão ótima (0,8 opt ), então o ângulo das pás deverão ser modificados para 0. Neste ponto o rendimento ficara em torno de 0,9 η opt conseguindo uma altura manométrica em torno de 0,95 opt Fig.5. Mudança do ângulo de passo em pás de bombas axiais 5-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

148 Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 5..6 Comparativos de Estratégias de Controle da Vazão A Tab. 5. mostra um comparativo das estratégias de controle utilizando válvula de regulação, corte do diâmetro do rotor e variação da rotação utilizando inversor de freqüência. No exemplo a bomba com diâmetro do rotor de 430mm deve operar com uma vazão de 80 m3/h; Observa-se que o sistema de regulação por válvula trabalha com uma grande altura manométrica devido a perda de carga pelo fechamento do registro para poder atender a vazão especificada. O sistema por corte do rotor mostra que para atender a demanda da vazão o diâmetro devera ser de 375mm o que corresponde a uma relação de corte de Rc0,87 correspondendo a uma diminuição 3% do diâmetro original. Nesta condição o rotor operara com uma altura manométrica de 4m, sendo que o rendimento é um pouco inferior ao rendimento alcançado no sistema de regulação com válvula. Também observa-se que com a redução do diâmetro do rotor a potência consumida é equivalente a 60% da potencia consumida no sistema de regulação por registro. A tabela mostra que o sistema de variação por rotação apresenta o melhor desempenho em termos de eficiência energética com o maior rendimento, a altura manométrica menor (34,5m) e requer a metade da potência que requer o sistema de regulação com válvula. Cabe assinalar que trata-se de um exemplo especifico e que tal resultado não pode ser generalizado, contudo pela em termos de eficiência energética o sistema que opera por variação de rotação é o mais apropriado e esta sendo utilizado como a melhor alternativa para redução do consumo de energia e operar com sistemas de bombeamento de maneira otimizada. Tabela 5. Comparação de estratégias de operação Parâmetro Regulação de válvula Corte no rotor Variação da rotação Diâmetro do rotor 430 mm 375 mm 430 mm Altura manométrica 7.7 m 4 m 34.5 m Rendimento da bomba 75.% 7.% 77% Vazão de operação 80 m 3 /hr 80 m 3 /hr 80 m 3 /hr Potência consumida 3. kw 4 kw.6 kw A Fig.5. mostra uma outro tipo de comparativo no qual mostra-se o percentual de energia consumida pela bomba em função do percentual de redução da vazão a partir de um determinado ponto de operação. A partir da condição original (00% da vazão) observa-se o que acontece quando é reduzida a vazão de modo percentual. Mostra-se que o sistema de recirculação da vazão (bypass) a redução da vazão não possui redução percentual do consumo de energia. O sistema por estrangulamento de válvula permite a diminuição da vazão assim como a energia consumida pela bomba conforme diminui a vazão. O melhor desempenho em quando a redução da energia é obtida com o sistema de velocidade variável. Neste sistema a diminuição da vazão permite uma redução da energia proporcional ao cubo da rotação da máquina. PUCRS FENG

149 Fig.5. Comparação da variação percentual A Fig.5.3 mostra outro comparativo das estratégias anteriores. Mostra-se a curva características do sistema e a curva característica da bomba observando-se que em termos de energia perdida o método de recirculação da vazão (bypass) é o menos eficiente seguido do método de estrangulamento de válvula. Observa-se que o método de mudança de rotação é ótimo já que para atingir o ponto de operação modifica-se muda a rotação ajustando a da bomba para a demanda da curva do sistema. Fig.5.3 Comparativo de estratégias de controle da vazão. 5-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

150 Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 5..7 Operaçao de Sistemas com Bombas em Paralelo uando uma única bomba não consegue atender uma determinada vazão é possível conseguir tal requerimento utilizando um conjunto de bombas conectadas em paralelo. O uso de bombas conectadas em pode trazer benefícios em termos de redução do consumo de energia. As bombas em paralelo devem ser utilizadas de forma que ambas operem próximos do rendimento máximo. O sistema possuirá flexibilidade, redundância no caso de falha de uma das bombas e capacidade de vazão para atender novas necessidades de forma eficiente. O procedimento é recomendado em sistemas que possuem uma alta altura estática de elevação. Em sistemas onde predomina a perda de carga a alternativa de rotação variável torna-se mais eficiente e, portanto mais apropriada. Opta-se pela utilização de bombas iguais para disponibilizar uma altura manométrica equilibrada quando funcionando em conjunto. O uso de bombas diferentes poderia ocasionar uma perda de equilíbrio do funcionamento, no qual a bomba de maior capacidade tenderá a dominar o funcionamento do sistema forçando as outras bombas a trabalhar com menor eficiência. Consideremos um sistema (Fig.5.4) com sua curva característica mostrada na figura e operando junto com duas bombas iguais conectadas em paralelo. Na operação com as bombas conectadas em paralelo o sistema encontra-se trabalhando no ponto Bp com uma vazão p +. Se uma das bombas fica fora de funcionamento a bomba operará no ponto B com uma vazão B. Observa-se que esta vazão é superior a vazão fornecem cada uma das bombas ( B > + ). No caso inverso quando entra em funcionamento a segunda bomba o sistema opera no ponto B p sendo que a vazão não duplica e sim atinge a vazão p, ponto no qual as duas bombas contribuem com a metade da vazão, isto é Bp +. Fig.5.4 Comparativo de estratégias de controle da vazão. PUCRS FENG

151 Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrifugas 5-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

152 Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 5.3 Parametrização de Curvas Características de Bombas Centrífugas Neste capítulo é apresentada uma metodologia que permite obter uma recuperação dos parâmetros de projeto a partir das características operacionais de uma bomba centrífuga. Com a informação da curva característica da altura-vazão, fornecida pelo fabricante, podemos obter, pelo procedimento de parametrização, outras curvas que apresentam em detalhe a altura teórica para número infinito de pás, a altura teórica para número finito de pás, e as curvas que representam as perdas ou dissipação de energia por choque e por atrito Equação Característica Real de Bombas Centrífugas A equação característica real de uma bomba centrífuga é definida por: A altura de elevação real desenvolvida pela bomba (altura manométrica) é a altura teórica para número finito de pás subtraída das perdas hidráulicas: t + # ( h h Onde t# é a altura teórica para número finito de pás, h perdas hidráulicas por atrito e h perdas hidráulicas por choque. A curva característica real de uma bomba centrífuga é mostrada na Fig.5.5 junto com as curvas das perdas hidráulicas e perdas por choque. Somando suas ordenadas obtemos a curva da perda hidráulica total. Subtraindo de t# a perda hidráulica total, como indica a equação, se obtém a curva característica real. A máxima altura de elevação de uma bomba é desenvolvida para uma vazão menor que o. Isto significa que a perda hidráulica mínima não corresponde à altura de elevação máxima. Podemos derivar as curvas, em relação a, e achar os respectivos pontos de derivada nula. ) Figura Curva real de uma bomba incluindo as perdas hidráulicas PUCRS FENG

153 5.3. Perdas idráulicas nas Bombas As perdas hidráulicas da bomba podem ser consideradas como a superposição das perdas hidráulicas com as perdas por choque. As perdas hidráulicas dependem da dissipação viscosa do escoamento do fluido nos canais formados pelas aletas, difusores, aletas diretrizes de entrada e saída do rotor, e da dissipação viscosa que ocorre na parte posterior do rotor (atrito de disco). Tais perdas são proporcionais ao quadrado da vazão e podem ser expressas por: h k sendo a constante de proporcionalidade k função de características construtivas e dimensionais da bomba tais como tipo de máquina (radial,axial) e do tipo de acabamento superficial do rotor. Numa máquina real existirá perturbação no escoamento, com a formação de vórtices e regiões de recirculação, descolamento da camada limite. A dissipação de energia devido a estes fenômenos é conhecida como perdas por choque e pode ser equacionada como: h ( ) k 0 onde - o representa o desvio da vazão normal. Isto é, é a vazão atual da bomba, e o é a vazão de projeto (aquela que não induz perdas por choque). As perdas hidráulicas de uma bomba são então calculadas somando-se as perdas hidráulicas com as perdas por choque: µ t k k ( ) 0 U µ g U ctgβ π r b K K ( ) 0 A razão entre a altura real de elevação e a altura teórica de elevação define o rendimento hidráulico η h. Então e pela definição de altura teórica para número finito de pás: η h µ t onde µ representa o fator de deslizamento, que é o inverso do coeficiente de Pfleiderer (k pfl ). Depende da relação de diâmetros do rotor, (D /D ), do número de pás (z) e do ângulo da pá na saída (β o ): a β + + k pfl µ z 60 D D O coeficiente "a" leva em consideração a interação do difusor com o impelidor, sendo dado para diferentes tipos de volutas como Tipo de Voluta Coeficiente a Voluta simples 0,65 a 0,85 Difusor com pás guias 0,6 Difusor sem pás guias 0,85 a,0 5-0 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

154 Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento PUCRS FENG Método para Parametrização das Curvas de Bombas A parametrização de bombas centrífugas trata da recuperação dos parâmetros de projeto. O equacionamento permite obter a curva real junto com as curvas de perdas quando são conhecidas suas características operacionais. Apesar de ser uma formulação para escoamento unidimensional, ela representa muito bem o comportamento das máquinas reais. Sabemos que a equação característica real de uma bomba centrífuga é representada como: ( ) 0 k k ctg b r U g U β π µ Na forma adimensional esta equação é dada por: ( ) ( ) 0 b r U k b gr b r U k b gr ctg b r U u g β π µ Para simplificar a equação acima definimos como a altura adimensionalizada, a qual é denominada coeficiente de pressão. Também trabalhamos com uma vazão adimensionalizada, * a qual é denominada coeficiente de vazão. U g b r U Desta forma a equação adimensionalizada e utilizada para o procedimento de parametrização é dada como: ( ) ( ) ( ) 0 k b gr k b gr ctg β π µ Os produtos (k r b ) e ( k r b ) são adimensionais, o que implica que as constantes k e k têm dimensão. A equação também pode ser dada como: ( )( ) ( ) ( ) [ ] k b gr ctg k b gr k k b gr µ β π µ Para determinar os parâmetros de projeto podemos aproximar a curva por um polinômio, um polinômio de grau, na forma: * * 0 * a a a + + onde a o, a e a são constantes do polinômio determinadas facilmente na planilha do Excel.. Igualando-se, termo a termo, a equação da curva característica adimensional da bomba com a equação polinomial de segundo grau, obtém-se o seguinte conjunto de equações:

155 ( gr b )( k + k ) a ( gr b ) k0 * µ ctgβ a π µ * ( gr b ) k0 a0 Como existem 3 equações e 4 incógnitas (k, k, µ, * ), para resolver o sistema deve-se estipular valores para uma das incógnitas, e por procedimento iterativo chegar a solução como apresentado no exemplo dado. O diâmetro do rotor na saída, (D ) largura da pá na saída (b ) e ângulo da pá na saída (β ) devem ser fornecidos pelo fabricante ou estimados por metodologia apropriada. 5.5 Exemplo do Procedimento Fazer a parametrização da curva característica da bomba comercial KSB, modelo ETANORM 3-5, com as seguintes características: O rotor da bomba tem diâmetro D 39mm, e largura na saída igual a b 0mm. O ângulo da pá na saída é β 30. Da curva fornecida no catálogo pelo fabricante, para 3500rpm se tem a seguinte tabela: Tabela 5. Dados fornecidos pelo fabricante (m 3 /h) (m) η(%) 7, ,5 64 8, , ,5 Inicialmente se graficar a curva da bomba com os dados fornecidos pelo fabricante (Fig.5.6). 80 Curvas Características de Bombas Centrífugas (m) Curva do Fabricante Rendimento (m3/h) Figura 5.6 Curva da altura manométrica (m) e rendimento global (%) 5- Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

156 Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento O próximo passo é utilizar a equação real das bombas centrífugas mostrando-se a aplicação da mesma na recuperação dos parâmetros de projeto de equipamentos existentes, desde de que se conheça as características operacionais da bomba. A Equação característica real da bomba centrífuga é escrita dessa maneira: U µ U ctg g β π r b k k ( ) 0 Para facilitar a análise adimensionam-se a altura e vazão utilizando as expressões do coeficiente de pressão e coeficiente de vazão: g U r U b A velocidade periférica do rotor na saída é obtida pela relação: Neste caso, com n3500rpm e D 39mm se obtém u 5,5m/s u πdn 60 Desta forma pode-se encontrar os valores de * e *, apresentados na Tab.5.3. Tabela 5.3 Dados da Curva adimensionalizada * * 0,8 0,603 0,345 0,566 0,45 0,58 0,533 0,49 0,596 0,453 Com os dados da curva adimensionalizada pode-se graficar a curva característica adimensionalizada mostrada na Fig. 5.7(a). * 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 Curvas Características de Bombas Centrífugas Curva da Bomba Adimensionalizada 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 * * 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 Curvas Características de Bombas Centrífugas y -0,6004x + 0,63x + 0,5976 Curva Real da Bomba Adimensionalizada Polinômio (Curva Real da Bomba Adimensionalizada) 0 0, 0, 0,3 * 0,4 0,5 0,6 0,7 Figura 5.7 (a) Gráfico da curva adimensionalizada e (b) ajuste por polinômio de 0 grau PUCRS FENG

157 Com auxílio do Excel, pode-se parametrizar a curva adimensional, através de um polinômio de grau. Com o ajuste da curva tem-se o polinômio: * * a0 + a + a * A Fig. 6.3(b) mostra a curva da bomba parametrizada através do polinômio de grau. Utilizando-se os coeficientes de ajuste da curva fornecidos pelo Excel, se pode montar uma outra tabela (Tab.5.4) para a curva adimensionalizada, utilizando a expressão polinomial. Tabela 5.4 Dados obtidos através do Polinômio * * 0,8 0,595 0,345 0,557 0,45 0,58 0,533 0,478 0,596 0,44 Os coeficientes obtidos pelo polinômio foram os seguintes: Ver equação Fig. 6.3 A equação do polinômio é equivalente a: a 0 0,5976 a 0,63 a -0,6004 * * ( gr b )( k + k ) * + ( gr b ) k µ ctgβ * + [ ( gr b ) k ] * 0 0 µ π ( gr b )( k + k ) 0, 6004 ( gr b ) k * µ ctgβ 0, 63 0 µ π * ( gr b ) k 0, Substituindo-se nestas equações os valores dos parâmetros conhecidos: R 69,5mm, b 0mm, β 30. Tem-se o seguinte: 5 ( k + k ),6 0 * 4 0, k µ,6 0 * 5 k 0, 0 µ, Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

158 Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento Como existem 3 equações e 4 incógnitas (k, k, µ, ), para resolver o sistema deve-se estipular valores para uma das incógnitas. Para tal pode-se observar a última equação (coeficiente de grau zero), e notar que µ deve ser superior a 0,5976, para que a equação seja satisfeita. Observando-se o gráfico dado pelo fabricante, conclui-se que vazão para a eficiência máxima da bomba é aproximadamente 30m 3 /h. Assim, determina-se o valor de µ de tal forma que se obtenha a vazão o mais próximo possível do valor de eficiência máxima. Para µ0,65 se obtém: Para µ0,66 se obtém: Para µ0,665 se obtém: k 8,35x0 4 k 4,5x0 4 0 *0,365 3,3m 3 /h k 7,5x0 4 k 5,44x0 4 0 *0,43 7,5m 3 /h k 6,69x0 4 k 5,9x0 4 0 *0,463 9,5m 3 /h Obs: Para encontrar o valor de basta utilizar a equação da vazão adimensional (*). Com o último valor µ0,665 a vazão encontrada (9,5m 3 /h) é bem próxima do valor ótimo (30m 3 /h). Desta forma adotamos os coeficientes k 6,69x0 4 k 5,9x0 4. k Com os coeficientes podemos gráfica as curvas de atrito e choque, utilizando-se as equações abaixo: h (Eq.de perdas por atrito) ( ) h k 0 (Eq. de perdas por choque) O termo (- 0 ) representa o desvio da vazão normal. Isto é, é a vazão atual da bomba, e 0 é a vazão de projeto, aquela que não induz perdas por choque. 0 é a vazão calculada e escolhida, ou seja, a vazão mais próxima a eficiência máxima. No nosso caso 0 9,5m 3 /h. Além dessas curvas também pode-se utilizar a equação da altura teórica para número finito de pás U. ctg. β t # µ.. U (Equação da altura teórica) g. π. R. b Com tais equações são geradas as tabelas do atrito (Tab.5.5), choque (Tab. 5.6) e da curva teórica da bomba (Tab.5.7). A Fig.5.4 mostra o gráfico construído com esses dados. Tabela 5.5 Resultados da curva de atrito (m 3 /s) h (m) 0,00 0,565 0,006,07 0,0080 3,756 0,0094 5,76 0,006 6,5849 PUCRS FENG

159 Tabela 5.6 Resultados da curva de choque (m 3 /s) (- 0 ) (m 3 /s) h (m) 0,00-0,006,5005 0,006-0,00 0,9 0,0080-0,000 0,0034 0,0094 0,00 0,04 0,006 0,004 0,37 Tabela 5.7 Resultados da curva teórica (influência das aletas) (m 3 /s) t# (m) 0,00 4,65 0,006 39,89 0, ,6 0, ,60 0,006 36,84 Desta forma a equação característica real, com todos os parâmetros de projeto da bomba, é determinada. A Fig 5.8 mostra a composição desta curva real, a partir da identificação dos termos de perda e desvio em relação à idealização inicial. Parametrização da Curva da Bomba Altura h e t# Atrito Choque ,000 0,00 0,004 0,006 0,008 0,00 0,0 Vazão ((m3/s)) Figura 5.8. Curva de bomba centrífuga obtida com o método aplicado. 5-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

160 Capítulo 5: Curvas Operacionais de Sistemas de Bombeamento 5.6 Equações Complementares Como visto no presente Capitulo, para aplicar o método de parametrização devemos contar os dados de - e -η da bomba assim como n, D β e b. No caso de bombas comerciais podemos ter dificuldades de obter do catalogo do fabricante o ângulo da pá e largura da pá na saída do rotor já que são parâmetros de projeto. Nessa situação devemos utilizar equacionamentos adicionais obtidos de referencias bibliográficas para o projeto de bombas centrífugas. Neste caso utilizamos as equaciones de Jekat (Centrifugal Pump Theory). Dados do catalogo,, D n Determinar: β e b ( e correspondem ao ponto de máximo rendimento) Determinar a rotação especifica característica n q Com n q Estimar o coeficiente de velocidades n n q 3/ 4 Cm kv U O qual pode ser obtido pela aproximação Com n q Estimar o ângulo da pá na saída (β ) β k 0, , 009 v n q Para n q < 0,7n q 0,0643nq 0, nq Para n q > 0 β 5 0 Determinar a velocidade periférica do rotor Determinar C m U πdn 60 C m K v U Com C m determinar a largura da pá (b ) b π DC m Adotar uma relação de diâmetros. Pode-se adotar D /D 0,5 Adotar z entre 4 a 8 para n q < 80 Selecionar o número de pás (z) (ou determinar com equação do Cap.3 ) Equações para verificação dos resultados Rendimento hidráulico (η ) em função de 0,07 η 0, 5 ( em m 3 /s ) (*) Coeficiente de Altura (ψ). ψ µη ( k cot β ) Conhecido ψ determinar a velocidade tangencial na saída do rotor e comparar com a do fabricante. Numa boa parametrização ambas devem ser muito próximas. h v g ψ (*) O fator de deslizamento (µ) pode ser obtido com β D /D e z utilizando a Eq. dada neste capítulo. U PUCRS FENG

161 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento Sistemas de Bombeamento PUCRS FENG

162 Sistemas de Bombeamento SUMÁRIO 6. Equação da Energia: Sistemas de Fluidomecânicos Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos Equacionamento dos Sistemas de Bombeamento Definição de Alturas Estáticas Alturas Totais ou Dinâmicas Altura Total de Aspiração ou Manométrica de Aspiração - a Altura Total de Recalque ou Manométrica de Recalque r Altura Manométrica Bomba Acima do Nível do Reservatório de Aspiração Bomba Abaixo do Nível do Reservatório de Aspiração - Afogada Altura Útil de Elevação Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas Principais Elementos de um Sistema de Bombeamento Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento Curva Característica dos Sistemas de Bombeamento Exemplo de Aplicação de Curva Característica de Sistema Exemplo de Curva Característica de Bomba e Curva Característica do Sistema Exemplos Resolvidos Atividade de Aprendizado Folha Modelo para Dimensionamento de Sistemas de Bombeamento Exemplo de Resultados Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

163 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 6. Equação da Energia: Sistemas de Fluidomecânicos Sabemos que a equação de Bernoulli não assume perdas de energia por atrito ou ganhos de energia (por exemplo de uma bomba) ao longo da linha de corrente. Podemos considerar a equação geral da energia como uma extensão da Eq. de Bernoulli que pode ser utilizada, nestes casos, incluindo os termos de energia apropriados. Uma análise de energia entre duas seções (Fig.6.3) que incluem dissipação e/ou ganhos adicionais de energia, pode ser representada como: Energia ponto + Energia adicionada - Energia removida - Energia por perdas Energia ponto p ρg v + + z g + p ρg v g A R hl + + z ( ) A R h L Energia adicionada ao fluido mediante um dispositivo mecânico, como por exemplo bombas. Energia removida ou retirada do fluido mediante um dispositivo mecânico, como por exemplo turbinas. Perdas de energia pelo sistema devido ao atrito nas tubulações (perda de carga por comprimento de tubulação) ou perdas de carga localizadas devido à presença de válvulas e conectores e outros acessórios inseridos na rede. Figura 6. Sistema que representa a equação geral da energia. A equação de energia deve estar escrita na direção do fluxo. Desde o ponto de referência na parte esquerda até ao ponto correspondente no lado direito. Os sinais algébricos estabelecem que um elemento de fluido que tem uma certa quantidade de energia por unidade de peso na seção pode ter uma adição de energia (+ A ) ou uma perda de energia (-h L ) antes de alcançar a seção. Num problema em particular nem todos os termos de energia são utilizados. Por exemplo se não existem dispositivos mecânicos os termos A e R podem ser eliminados. Da mesma forma se a perda de energia é muito pequena o termo h L pode ser desprezível. PUCRS FENG

164 6.. Potência Adicionada ou Absorvida por Dispositivos Mecânicos A potência provinda da energia adicionada ou absorvida por sistemas mecânicos (bombas, ventiladores, turbinas) pode ser determinada multiplicando-se a energia transferida por unidade de peso de fluido pelo fluxo de peso de fluido escoando através do sistema. Sabemos que o fluxo de massa escoando através do sistema é dado por: m& ρ va ou m& ρ desta forma o peso de fluido escoando é dado como fluxo de peso de fluido escoando mg & ρgva ou ρg A potência teórica adicionada por uma bomba ao fluido pode ser determinada como: W & ρg (W) ( ) A A onde ρ é a massa específica do fluido e a vazão. No SI a unidade resultante é Watts. A eficiência da bomba é definida como a relação entre o potencial adicionado pela bomba ao fluido e a potência subministrada à bomba. η potência adicionada pela bomba ao fluido potência útil potência fornecida para a bomba potência de acionamento Bomba No caso da energia subministrada a uma dispositivo mecânico como turbina a Potência transmitida pelo fluido ao motor é dada por: W& ρg (W) ( 3 ) R R Nestes dispositivos mecânicos também existem perdas de energia por atrito mecânico e de fluido. A eficiência mecânica é definida como a relação entre a potência de saída do motor e a potência transmitida pelo fluido. η turbina potência de saída da turbina potência transmitida pelo fluido 6-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

165 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 6. Equacionamento dos Sistemas de Bombeamento A altura de elevação ou altura manométrica representa a quantidade de energia específica (potência útil por unidade de peso do fluido em escoamento) que a bomba transfere ao fluido de trabalho. Tal conceito se aplica às máquinas de fluxo que operam com líquidos. No caso das turbinas hidráulicas representaria a quantidade de energia específica que a água em escoamento transfere ao rotor da turbina. Na operação de ventiladores a energia específica transferida aos gases é denominada pressão total. Para determinar a altura manométrica, em termos das características físicas e operacionais de um sistema de bombeamento, utilizamos a Fig.6.. O sistema de bombeamento é constituído de reservatórios de aspiração e descarga (recalque), da bomba, de tubulações que conectam a bomba aos reservatórios, e vários acessórios complementares como: cotovelos de tubulação, válvulas de bloqueio ou controle do fluxo, suportes, etc. Figura 6. Esquema de sistema de bombeamento Convenção de subíndices: [0]: Ponto da superfície livre no reservatório de aspiração. []: Ponto da seção de entrada da bomba. []: Ponto da seção de saída da bomba. [3]: Ponto na superfície livre do reservatório de recalque ou maior altura da saída do fluido no recalque. [a]: Elementos no sistema de aspiração do fluido [r]: Elementos do sistema de recalque do fluido As principais variáveis que devem ser determinadas num sistema de bombeamento são: Pressão na entrada da bomba e sua altura equivalente em metros de coluna de fluido. Pressão na saída da bomba e sua altura equivalente em metros de coluna de fluido. Pressão total solicitada na bomba e sua altura equivalente em metros de coluna de fluido. PUCRS FENG

166 6.3 Definição de Alturas Estáticas Altura Estática de Aspiração - h a Representa a diferença de cotas entre o nível do centro da bomba e o nível da superfície livre do reservatório de captação do fluido. Altura Estática de Recalque - h r Representa a diferença de cotas entre os níveis onde o fluido é abandonado ao sair pela tubulação de recalque no meio ambiente (ou outro) e o nível do centro da bomba. Altura Estática de Elevação - h e Diferença de cotas entre os níveis em que o fluido é abandonado no meio ambiente (ou outro meio), ao sair pelo tubo de recalque, e o nível livre no reservatório de captação. Também denominada altura topográfica ou altura geométrica. (h e h a +h r ) Na Fig. 7. também se representa a instalação de um vacuômetro na entrada da bomba em um manômetro na saída da bomba. A altura h. representa a diferença entre centros destes instrumentos. Variáveis com subíndices a identificam elementos da tubulação de aspiração e variáveis com subíndice r componentes da tubulação de recalque. Para determinar as principais variáveis num sistema de bombeamento seguimos a seguinte metodologia: Aplicando a Eq. de energia entre o plano (0-0) e (-) se obtém uma expressão da pressão relativa na entrada da bomba. Aplicando a Eq. da Energia entre o plano (-) e (3-3) obtemos uma expressão da pressão relativa na saída da bomba. Aplicando a Eq. de Energia no Plano (-) e (-) se obtém uma expressão da variação de pressão entre estes pontos. Relacionado as equações anteriormente deduzidas se obtém uma expressão que representa a altura manométrica do sistema. Os sistemas de bombeamento podem ter um ou mais reservatórios pressurizados. Nesses casos a pressão absoluta dos mesmos dependerá do valor da pressão atmosférica local. Na Fig. 6.3 a pressão absoluta no reservatório de aspiração será igual soma da pressão manométrica (p o ) medida pelo instrumento mais a pressão atmosférica local. (p 0(abs) p 0 + p atm ). Na mesma figura o reservatório de recalque este esta aberto a atmosfera e, portanto a pressão absoluta nesse reservatório será a própria pressão atmosférica. Figura 6.3. Exemplo de com reservatório pressurizado na aspiração 6-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

167 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 6.4 Alturas Totais ou Dinâmicas 6.4. Altura Total de Aspiração ou Manométrica de Aspiração - a Para avaliar tal altura aplicamos a Eq. de Energia ao sistema da Fig. 6. entre os planos (0-0) e (-) p0 v0 p v + + z0 hl (0 ) + + z ( 4 ) ρg g ρg g h La(0 - ) : representa a perda de carga na tubulação de aspiração sendo denominada h La. No plano (0-0) O plano (0-0) de referência está na superfície livre do reservatório z 0 0. Considerando o reservatório muito maior que o da tubulação de aspiração, a velocidade v 0 é muito pequena e, portanto, o termo de energia da mesma é desprezível (v 0 /g0). Com tais simplificações a equação é descrita como: [ p p ] [ v 0 ] [ z 0] [ h h ] 0 atm 0 0 L( 0 ) No plano (-) p p v v z h [ ] [ ] [ ] abs a a Substituindo na Eq. () L a p ρg atm p ρg abs va + + h g a + h La ( 5 ) p atm p ρg abs h a va + g + h La ( 6 ) o termo entre colchetes representa a Pressão Relativa na entrada da bomba em relação a pressão existente na superfície livre do reservatório de aspiração (p o ). Se o reservatório é aberto a atmosfera como nesta caso p o é igual a pressão atmosférica (p atm ). Se o reservatório for pressurizado p o p atm. Geralmente a pressão relativa na entrada da bomba é medida com um vacuômetro. Expressa em metros de coluna de fluido representa a pressão relativa na entrada da bomba e é denominada Altura Total de Aspiração: a p atm p ρg abs ( 7 ) Na fase de projeto de um sistema de bombeamento, isto é, quando o sistema ainda não foi instalado, podemos determinar a pela Eq.3 determinando a altura estática de aspiração e a perda de carga na tubulação de aspiração. Num sistema de bombeamento em operação pode-se determinar a altura total de aspiração utilizando um vacuômetro que fornece a pressão relativa na entrada da bomba. p V ρg ( 8 ) a a representa a energia que cada kg de fluido deve receber para atingir a entrada da bomba. Com tal nível energético o líquido escoa penetrando na bomba. PUCRS FENG

168 6.4. Altura Total de Recalque ou Manométrica de Recalque r Para avaliar tal altura aplicamos a Eq. de Energia ao sistema da Fig. 6. entre os planos (-) e (3-3) considerando o centro da bomba como a linha de referência: p ρg v g p ρg v g z hl ( 3) + + z 3 ( 9 ) h L(-3) : representa a perda de carga na tubulação de recalque denominada h Lr. No plano (-) [ p p ] [ v v ] [ z 0 ] [ h h ] abs r L ( 3) No plano (3-3) A energia cinética na saída da tubulação de recalque é absorvida pelo fluido no reservatório, desta forma o termo é considerado desprezível ( v 3/g0). [ p p p ] [ v g 0] [ z h ] 3 abs3 atm 3 / 3 3 h Lr pabs vr + ρg g p ρg atm + h r h + h Lr ( 0 ) p abs p ρg atm hr vr h g + h Lr ( ) o termo entre colchetes representa a pressão pelativa na saída da bomba em relação a pressão existente na superfície livre do reservatório de recalque (p 3 ). Se o reservatório é aberto a atmosfera como, nesta caso, p 3 é igual a pressão atmosférica (p atm ). Se o reservatório for pressurizado p 3 p atm. A pressão relativa na saída é medida com um manômetro. Expressa em metros de coluna de fluido a pressão relativa na saída da bomba é denominada altura manométrica de recalque: r p abs p ρg atm ( ) Na fase de projeto de um sistema de bombeamento, r pode obtida pela Eq. 8 determinando-se a altura estática de aspiração e a perda de carga na tubulação de recalque. No caso de um sistema de bombeamento em operação, pode ser obtida pela leitura direta do manômetro. p M ρg r 6-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

169 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento PUCRS FENG Altura Manométrica A altura de elevação ou altura manométrica representa a quantidade de energia específica (potência útil por unidade de peso do fluido em escoamento) que a bomba transfere ao fluido de trabalho. Figura 6.4 Detalhe do plano - e plano - Para avaliar tal altura aplicamos a Eq. da Energia entre os planos (-) e (-) considerando o centro da bomba como a linha de referência: z g v g p z g v g p man ρ ρ ( 3. ) ( ) z z g v v g p p man + + ρ ( 3. ) O termo (z - z ) representa a altura entre centros dos instrumentos, portanto (z - z ) h. A velocidade v corresponde à velocidade na tubulação de aspiração (v a ). A velocidade v representa a velocidade na tubulação de recalque (v r ). Desta forma: No plano (-) [ ] [ ] [ ] 0 z v v p p a Abs No plano (-) [ ] [ ] [ ] h z v v p p r Abs h g v v g p p a r Abs Abs man + + ρ (4 ) Pelas equações deduzidas anteriormente: a atm Abs g p g p ρ ρ g p g p atm r Abs ρ ρ + a r Abs Abs g p p + ρ ( 5 ) h g v v a r r a man ( 6 )

170 Também: v g r r hr h + h L r v g a a ha + + h La Substituindo as definições de r e a na Eq.3: man a + r vr va + g + h man h a va + g + h La + h r vr h g + h Lr v + r v g a + h h + h + h + h ( 7 ) man a r L a L r A Eq. Acima pode ser verificada aplicando a Eq. de Energia entre o Plano (0-0) e o plano (3-3). [ p p ] [ v 0 ] [ z 0] [ h h + h ] 0 atm o 0 L(0 3) [ p p ] [ v g 0] [ z h + h ] 3 atm 3 / 3 a r A Eq. Deduzida é valida para bombas instaladas acima do nível do reservatório sendo que o fluido é conduzido pela tubulação para o reservatório superior (Fig. 6.5a) absorvendo toda a energia cinética devido a velocidade com que sai da tubulação. La Lr Figura 6.5 : Sistema absorvendo energia cinética (a) e sem absorção de energia cinética (b) uando a tubulação de recalque abandona o fluido livremente (Fig. 6.5b) à pressão atmosférica a Altura Manométrica pode ser determinada aplicando a Eq. da Energia entre o plano (0-0) e (3-3): [ p p ] [ v 0 ] [ z 0] [ h h + h ] 0 atm o 0 L(0 3) [ p p ] [ v v ] [ z h + h ] 3 atm 3 r 3 a r La Lr po ρg v g z + man hl(0 3) p3 ρg v3 + g + z 3 man vr ha + hr + hla + hlr + ( 8 ) g 6-0 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

171 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 6.5. Bomba Acima do Nível do Reservatório de Aspiração Neste caso existe a necessidade de uma válvula de retenção com crivo no inicio da tubulação de aspiração, chamada válvula de pé, a qual impede o escoamento do fluido do tubo do reservatório quando a bomba está parada ou pára de funcionar. Figura 6.6 Esquema de bombeamento normal. A altura manométrica neste sistema é representada na Fig.6.6 e deduzida anteriormente. man vr ha + hr + hla + hlr + (9 ) g 6.5. Bomba Abaixo do Nível do Reservatório de Aspiração - Afogada Figura 6.7. Esquema de bomba afogada. A altura manométrica neste caso (Fig.6.7) é similar, contudo, o sinal da altura estática de aspiração é negativo (-). vr man ha + hr + hla + hlr + ( 0 ) g Não há necessidade de válvula de pé com crivo, desde que o nível do fluido permita encher todo o corpo da bomba. PUCRS FENG

172 6.5.3 Altura Útil de Elevação Por definição a altura útil é dada como: u va vr man + ( ) g Representa a energia por unidade de massa que o fluido adquire em sua passagem pela bomba. Se o diâmetro de entrada e de saída da bomba forem iguais v 3 v 0 e portanto u man. Em termos práticos se utiliza diretamente man como u sem erros sensíveis Leitura Instrumental da Altura Manométrica em Bombas A altura manométrica de uma bomba centrífuga pode ser determinada num sistema em operação utilizando instrumentos de medição da pressão. A Eq. de Energia aplicada entre os pontos ( ) e ( ) nos fornece a expressão: man p p ρg v v + g + ( z z ) Figura 6.8 medição de pressão na bomba Considerando desprezível a variação da energia cinética man p p ρg ( z ) + z Tal simplificação é valida quando as tubulações de aspiração e recalque têm o mesmo diâmetro ou apresentam uma pequena diferença Sendo z z h e considerando que h representa diferença de cotas entre os centros dos respectivos instrumentos: man p p ρg + h Para facilitar o levantamento de tal grandeza os instrumentos são instalados na mesma altura ( h0) de tal forma que a altura manométrica se obtém pela leitura direta da pressão de instrumentos colocados na entrada e na saída da bomba. p p man ( ) ρ g 6- Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

173 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento Caso I: Entrada do fluido na bomba com pressão menor que a pressão atmosférica Conforme a Fig. 6.6 a altura manométrica pode ser obtida pela leitura do vacuômetro e pela leitura do manômetro instalados respectivamente na entrada e saída da bomba, mais a diferença de cotas entre os centros dos respectivos instrumentos. Os valores medidos nestes instrumentos devem respeitar os sinais que indicam a pressão menor que a pressão atmosférica (-) e maior que a pressão atmosférica (+). Desta forma para utilizar Ana equações acima, as pressões dos instrumentos são definidas como: Vacuometro : p Manometro : p p V + p M Substituindo na equação: man p p ρg p M ( p ρg V ) p M + p ρg V Para facilitar podemos escrever a expressão acima em termos do valor absoluto: man pm + pv ( 3 ) ρg Desta forma a altura manométrica ( man ) do sistema é determinada a partir da soma dos valores absolutos medidos pelos instrumentos. Caso II: Entrada do fluido na bomba com pressão maior que a pressão atmosférica Existem sistemas de bombeamento onde a bomba encontra-se afogada (Fig.6.5) ou pode estar pressurizada na aspiração. Neste caso a pressão na tubulação de aspiração pode ser maior que a pressão atmosférica. O instrumento instalado na tubulação de poderá ser um manômetro. Desta forma o valor da pressão lida pelo instrumento deve der inserida na Eq. como um valor negativo. Assim, man representa a diferença das duas parcelas de pressão medidas pelos instrumentos. Manometro : p Manometro : p p p M M man p p pm p ρg ρg M man pm pm ( 4 ) ρg PUCRS FENG

174 6.6 Principais Elementos de um Sistema de Bombeamento Dependendo da finalidade os sistemas de bombeamento podem apresentar diversas configurações. Um sistema típico de bombeamento é apresentado na figura abaixo. Geralmente o conjunto moto-bomba é instalado numa casa de máquinas protegido contra intempérie. Para o acionamento da bomba podem ser utilizado motores elétricos, motores de combustão interna, acionado por turbinas a gás ou utilizado tomadas de força como eixo de tratores. Em geral predomina o uso de acionamento com motores elétricos. Figura 6.9 Componentes de um sistema de bombeamento. Válvula de pé com crivo: Tem como finalidade a passagem unidirecional do fluido no sentido ascendente. uando ocorre desligamento do motor esta válvula permite que o corpo da bomba e a tubulação de aspiração permaneçam cheia de líquido impedindo seu retorno ao reservatório de aspiração. A válvula mantém assim a bomba escorvada. O crivo é o elemento que impede a aspiração de partículas sólidas depositadas no reservatório de aspiração. Redução Excêntrica: Utilizada com a finalidade de evitar a formação de bolsas de ar na entrada o que dificultaria o funcionamento normal da bomba. Válvula de Retenção: Válvula unidirecional instalada na saída da bomba e antes do registro de recalque. Impede que o peso da coluna de recalque seja sustentado pelo corpo da bomba o que pode ocacionar vazamentos. Impede que por alguma defeito da válvula de pé exista refluxo trabalhando o rotor da bomba como uma turbina, podendo provocar danos a bomba. Registro de Recalque: Permite controlar a vazão através do fechamento e abertura do registro. Tubulação de aspiração: Recomenda-se que a tubulação de aspiração seja o mais curta possível e vedada contra entrada de ar. No caso de linhas longas deve ser previsto uma declividade contínua da entrada da bomba para o reservatório eliminando a formação de pontos com bolsões de ar. Para uniformizar o fluido na entrada da bomba recomenda-se quando possível, prever um trecho com comprimento mínimo de 0 diâmetros da boca de aspiração da bomba. 6-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

175 6.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento No capitulo 7 é a apresentado o detalhamento de como determinar a perda de carga das tubulações e dos acessórios. A seguir apresenta-se um resumo das principais equações utilizadas no dimensionamento de sistemas de bombeamento. Altura Manométrica em Sistemas de Bombeamento (reservatórios a pressão atmosférica.) man ha + hr + hla + hlr + hvel Conforme caso da Fig. 6.5b man : Altura manométrica do sistema (m) h a : altura estática de aspiração (m) man ha + hr + hla + h h r : altura estática de recalque (m) Lr h La : perda de carga na tubulação de aspiração (m) Conforme caso da Fig. 6.5a h Lr : perda de carga na tubulação de recalque (m) h vel : perda de carga dinâmica pela velocidade na tubulação (m) man h a + h r + h La + h Lr Bomba afogada (Fig.6.7) vr + g Altura equivalente a pressão dinâmica ou perda de carga dinâmica. v v: velocidade média do fluido na tubulação (m/s) h vel g: aceleração da gravidade (9,8m/s g ) Perda de Carga nos Acessórios método do comprimento equivalente L : comprimento de canalização retilínea. (m) L v f: Fator de atrito da tubulação função da rugosidade e numero de Reynolds h LD f (Cap.7 pag.7-6) D g Perda de Carga nos Acessórios método do coeficiente de perda de carga v k : coeficiente de perda de carga dos acessórios h Lk Σk Tabelado segundo tipo de acessórios. (Cap.7 Tab.7.3) g Obs. Também pode ser utilizado o conceito de comprimento equivalente. Perda de Carga Total (tubulações + acessórios): h L hld + h h Lk LD: Perda de carga na tubulação de aspiração (m) h Lk : Perda de carga dos acessórios (m) Altura estática de elevação h h + h e a r h e : altura estática de elevação (m) h a : altura estática de aspiração (m) h r : altura estática de recalque (m) Eq. da Curva característica do sistema man k + k k ; k : Constantes da curva do sistema. Potência de acionamento da bomba (potência motriz) ρg man W& man : altura manométrica (m) ac (W) : vazão (m η 3 /s) G η G : rendimento global do sistema ρ: massa específica do fluido (kg/m 3 ) PUCRS FENG

176 6.8 Curva Característica dos Sistemas de Bombeamento A altura manométrica em sistemas de bombeamento conforme Fig.6.6 é dada por: h + h + h + h + h man a r La a qual pode ser escrita de forma simplificada como: h + h + h + h man e La Lr Lr vel vel onde h e h a + h r é denominada altura total de elevação. Numa instalação de bombeamento este termo se considera como constante, e aqui denominamos h e k. Considerando um sistema no qual o diâmetro da tubulação é igual na aspiração e no recalque: man h e + f L D v g v + Σk g v + g man h e + f L D v + Σk + g Como se observa a perda de carga é função do quadrado da velocidade, portanto do quadrado da vazão. Com tais considerações se obtém: Podemos utilizar substituir a expressão da velocidade em função da vazão: man h e + f L D A + Σk + g man h e + f L D + Σk + ga Desta forma podemos obter uma expressão que representa a curva característica do sistema considerando como uma constante k a todos os termos que multiplicam o quadrado da vazão. man k + k Se um sistema de bombeamento trabalha com determinada vazão e uma altura manométrica man podemos determinar as constantes k e k. Para vazão nula 0 temos que k he. Para a vazão e altura manométrica de trabalho determinamos k. Desta forma encontra-se a equação característica do sistema, que pode ser graficada junto com a curva da bomba selecionada. 6-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

177 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 6.8. Exemplo de Aplicação de Curva Característica de Sistema Num sistema de bombeamento a altura estática de elevação é igual a 5 metros. Sabemos que a bomba trabalha com uma vazão de 450 m 3 /h e uma altura manométrica de 45 metros de coluna de água. Determine a equação característica do sistema e grafique a mesma. Figura 6.0 Exemplo de curva da bomba e curva do sistema A equação é dada por: man k + k Do enunciado h e 5m por tanto k 5m k man k 45 5,48 x m 3 ( m / h) man ( m) 4 5 +,48 x0 com (m 3 /h) A figura mostra o resultado da curva que representa o sistema junto com a curva da bomba man (Bomba) man(sistema) Altura Manometrica (m) Vazão (m3/h) Figura 6. Exemplo de curva da bomba e curva do sistema PUCRS FENG

178 6.8. Exemplo de Curva Característica de Bomba e Curva Característica do Sistema man 0 A especificamente com man 6 0,00 onde man (m) e (m 3 /h). O sistema possui uma curva característica do tipo Uma bomba possui uma curva característica ajustada pela Eq. man k + k, especificamente man 8 + 0,00k. Grafique a curva da bomba junto com a curva do sistema mostrando o ponto de operação. Solução: Curva do sistema man 8 + 0,00 Curva da Bomba Igualando: man 6 0, , ,00 se obtém 0, m / h 0,00 Substituindo a vazão de 60m 3 /h em qualquer das duas expressões (do sistema ou da bomba) se obtém: man m. A figura abaixo mostra o resultado gráfico das equações assim como o ponto de operação Curva do Sistema Ponto de operação (m) Curva da Bomba (m3/h) Figura 6. Resultado do exemplo de curva da bomba e curva do sistema 6-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

179 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 6.9 Exemplos Resolvidos Exemplo 6.: Num sistema de bombeamento de água (Fig. 7.) é utilizada uma bomba centrifuga com as seguintes características. Diâmetro externo do rotor igual a 380mm; largura da pá na saída igual a 5mm. Rotação igual a 00rpm e ângulo da pá na saída igual a Rendimento hidráulico igual a 80%. Considere fluido com entrada radial. O sistema trabalha com uma altura total estática de elevação igual a 36m e uma altura estática de aspiração igual a 4,0m. A tubulação de aspiração e recalque apresentam diâmetro interno de 50mm. A perda de carga na tubulação de aspiração é igual a,5m e no recalque igual a 7,0m. Determinar ( a ) Altura manometrica do sistema. (b) Altura teórica para número infinito de pás (c) A vazão que opera a bomba (d) A velocidade na tubulação (e) A altura total de aspiração e a altura total de recalque. (f) A pressão equivalente das alturas totais de aspiração e de recalque. Obs. Considere k pfl. Dados: he36m ha4,0m D0,5m h La,5m h Lr 7,0m D 380mm b 5mm. n00rpm. β 38 0 η 0,8 Solução: (a ) A altura manométrica do sistema: man ha + hr + hla + hlr 36 +,5 + 7,0 44, 5mca (b) Altura teórica para número finito de pás considerando entrada radial é dada por: t U C u g πdn π 0,38x00 U 3,88m / s Considerando número infinito de pás: t# t00 desta forma o rendimento hidráulico é dado por: man man η h t # t man 44,5 t 55, 63mca η 0,8 h ( c ) Vazão: πdbcm g t 9,8x55,63 Cu,85m / s U 3,88 tan β Cm U C u C ( U C ) ( 3,88,85) tan(38) 0,8m s m u tan / β 3 π D b Cm πx0,38x0,05x0,8 0,039m / s (d) Velocidade na tubulação de aspiração 4 4x0,039 v a,35m / s π D 0,5 (e) Altura total de aspiração: Altura total de recalque va a ha + hla + 4,0 +,5 + 0,093 5, 59m g h + h 3 + 7,0 39, m r r Lr 0 PUCRS FENG

180 Exemplo 6.: Num sistema de bombeamento com bomba afogada o manômetro instalado na saída da bomba indica uma pressão de 5,0 kgf/cm. Na entrada da bomba um instrumento indica uma pressão de,5 kgf/cm. Determinar a altura manométrica do sistema. Considere que os instrumentos estão numa mesma altura e que a pressão atmosférica é equivalente a 0,33mca. Solução A pressão na saída da bomba é P M 5,0kgf/cm. A pressão entrada da bomba é P M,5kgf/cm o que corresponde a uma pressão maior que a pressão atmosférica (P atm,0kgf/cm ). Desta forma a altura manométrica pode ser determinada pela diferença das pressões na entrada e saída. p M pm 5,5 9,8 man x m ρg 000x9,8 ( /00) Obs: No caso de uma bomba que a pressão na entrada é inferior a pressão atmosférica a leitura deveria ser feita com um vacuômetro e a altura manométrica seria dada pela soma do valor absoluto de cada uma das pressões medidas. Por mantendo se na entrada o vacuômetro indica -0,5kgf/cm então: pm + pv 5 + 0,5 9,8 man x m ρg 000x9,8 ( /00) Exemplo 6.3: Um sistema de bombeamento trabalha com uma vazão de 00m 3 /h. O diâmetro da tubulação de aspiração é igual a 400mm e o da descarga igual a 380mm. Um manômetro situado a 0,70m acima do eixo da bomba indica uma pressão de,kgf/cm e o vacuômetro instalado 0,5m abaixo do eixo da bomba indica uma pressão de 0,30 kgf/cm. Determinar a altura manométrica e a altura útil em m.c.a. Se o rendimento global for igual a 68% determinar a potência de acionamento da bomba. Solução: p man M + p ρg V + h Neste caso h 0,7 + 0,50,95m. P M,kgf/cm ou P M /γmca. P V 0,30 kgf/cm ou P V /γ3,0mca pm + pv man + h + 3,0 + 0,95 5, 95mca ρg Por definição a altura útil é dada como: v3 v0 v r va u man + que pode ser aproximada por u man + g g onde v 3 v r velocidade da tubulação de recalque. v 0 va velocidade da tubulação de aspiração. 4 4x0,306 v,43m / s a π D πx( 0,40) πd πx( 0,38) a 4 4x0,306 v,7m / s r r vr va,7,44 u man + 5,95 + 5,95 + 0,068 6, 0mca g g g x x x W& ρ man 000 9,8 5,95 0,306 ac 5kW η 0,68 g 6-0 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

181 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento Exemplo 6.4: A Fig. mostra o sistema empregado no teste de uma bomba centrifuga com rotação nominal de 750 rpm. O líquido é água a 80 o F, os diâmetros dos tubos de aspiração e descarga são de 6 polegadas. Os dados medidos durante um teste são apresentados no quadro. O motor é de 460V trifásico, com fator de potência de 0,875 e rendimento igual a 90%. Determinar a altura manometrica e o rendimento de uma bomba para uma vazão de 000 gpm. A distancia do centro da bomba ao centro do vacuômetro é igual a,0 pé e a distância do centro da bomba ao centro do manômetro é igual a 3,0 pé. Graficar a altura manometrica, rendimento e potência da bomba. Figura 6.3 Esquema de sistema de bombeamento. Vazão (gpm) Pressão Aspiração (psig) Pressão na descarga (psig) Corrente do Motor (A) Rotação da bomba (rpm) 0-3,7 53, , 48,3 6, ,7 4,3 3, ,7 34,3 36, , 3,3 37, ,7 7,3 37, ,7 5,3 39, ,4 7,3 4,5 753 Conversões: ( Galão 3,785 litros) ( Atm0,3 kpa 4,7 psi. ) Solução: A modo de exemplo resolvemos o problema para uma vazão de 000 gpm. O mesmo processo pode ser repetido para as outras vazões. 000gpm000x3, l/min0,063m 3 /s (7, m 3 /h) Da figura temos que: h z M z V 3 - pé ou h,0x x0, 054 0,6m A massa específica da água a 80 0 F é igual a 6,47lbf/ft 3 ou ρ 000kg/m 3 A altura manométrica pode ser determinada pela leitura direta do manômetro e do vacuômetro mais a diferença de alturas entre os centros dos instrumentos. man p M + ρg p V + h PUCRS FENG

182 ( 34,3 + 5,7 ) 0,3 x000 man + 0,6 8,0 + 0,6 8, 7m 000x9,8 4,7 Determinado a potência útil: W & u ρg man 000 x9,8x8,7 x0, , 6Watts ou W& kw u 7, 77 A potência fornecida pelo motor dado por: W η 3 F VI 0,9 3x0,875x460x36,0 587, Watts ou W ac, 59kW ac p 67 Rendimento global da bomba poderá ser determinado pela expressão: W& ac ρg η man g ρg 000x9,8x8,7x(7,/ 3600) man η g η 00 78,65% W& g x ac,59x000 Para graficar altura manométrica, potência e rendimento da bomba em função da vazão, podemos inicialmente elaborar uma planilha no Excel com o seguinte formato: A Fig.6.mostra o resultado gráfico. p vac p man h man W & u (kw) I V (volts) W & ac (kw) η motor (m 3 /h) (kpa) (kpa) (m) (m) (A) , , , -39,8 36,37 0,6 8,7 7,77 36,0 460, ,65 37, , , , (%) η g (%) man (m) - Potência (kw) Rendimento (%) Vazão (m3/h) Figura 6.4 Resultados das curvas características da bomba. 6- Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

183 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento Exemplo 6.5 Uma bomba centrífuga trabalha em uma instalação onde as alturas estáticas de aspiração e recalque são respectivamente e 4m. A tubulações apresentam uma perda de carga dada pela equações: h La 0,0 ; h Lr 0,70 onde h [mca] e [l / s]. O manômetro indica uma pressão de 47 mca enquanto o vacuômetro indica 3 mca, estando os dois instrumentos no mesmo nível. Desprezando a variação de energia cinética do fluido determine a vazão e potência da bomba para um rendimento global de 75 %. Solução: Dados: vac 3,0 mca man 47mca h a m h r 4 η 75% h La 0,0 h Lr 0,70 Vazão. man + vac + h mca Potência de eixo. l ha + hr + hla + hlr , + 0,7. 96 s W& ac ρg η man g 000x9,8x(,96 /000) x50,95 kw 0,75x000 Exemplo 6 Considerando escoamento com entrada radial, a altura manométrica de uma bomba pode ser dada como: U Cu C µ k g g onde o termo -k( ) representa a fração da energia dissipada no interior da bomba. Demonstre que a partir da expressão anterior que altura manométrica para uma bomba com uma vazão e rotação n, pode ser representada pela equação: An + Bn + C Solução: πdn U an 60 µ µ C m b πd b [ ] ( an)( an c) ( an) + ( an c) g k g ( an acn) ( an) + an acn + ( c) g k [ ] g C u U Cm tan β an c µ an g µ acn kan g g ( µ k ) ( µ 0.5k ) g an ( c) kacn k + g g acn g k g ( c) que finalmente pode ser representada como: An + Bn + C PUCRS FENG

184 6.0 Atividade de Aprendizado No sistema de bombeamento de água (30 0 C) mostrado na figura a bomba deve trabalhar com uma vazão de 00 m 3 /h. A tubulação é PVC. A altura estática de aspiração é igual a 4,0m e altura estática de recalque igual a 5m. O comprimento da tubulação de aspiração é igual a m e a tubulação de recalque igual a 50m. Na tubulação de aspiração se utiliza uma válvula de pé com crivo e uma curva de No recalque se utiliza uma válvula de retenção, um registro de gaveta aberto e 0 curvas de Determinar: Os diâmetros comerciais das tubulações. A altura manométrica do sistema. Potência de acionamento. (calculada e fornecida pelo fabricante). A equação da curva característica do sistema. Selecione uma bomba comercial para o sistema. Graficar a curva da bomba comercial selecionada junto com a curva do sistema. O NPS disponível pelo sistema. O NPS requerido pela bomba. (calculado e fornecido pelo fabricante) A altura de aspiração limite para não ocorrer cavitação. OBS: Montar a planilha de calculo no Excel para dimensionar sistemas de bombeamento, utilizando como referencia este problema. Completar a planilha para ficar mais genérica utilizando outros fluidos e reservatórios abertos e fechados. Utilize a folha modelo para realizar o trabalho. Tabela : Dados iniciais Tabela : Perda de carga do sistema Tabela 3: Potência de acionamento Tabela 4: Curva característica do sistema Tabela 5: Verificação da cavitação. Tabela 6: Relação de acessórios. Tabela 7: Formulário com Equações Básicas. 6-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

185 Capítulo 6: Sistemas de Bombeamento 6. Folha Modelo para Dimensionamento de Sistemas de Bombeamento Tabela : Dados Iniciais Valores Vazão m 3 /s Altura estática de aspiração h a m Altura estática de recalque h r m Comprimento da tubulação de aspiração L a m Comprimento da tubulação de recalque L r m Material da tubulação Tabela 8. Rugosidade ε mm Fluido Tabelas ou Eqs. Temperatura T o C Massa especifica ρ kg/m 3 Viscosidade cinemática (µ /ρ) ν m /s Tabela : Perda de Carga Aspiração Recalque Diâmetro da tubulação Eq. Bresse D a D cal : D r D cal : mm (Cal: Calculada e Com: Comercial) D com : D com : Velocidade da tubulação V a V r m/s N o de Reynolds da tubulação R a R r - Rugosidade relativa ε/d a ε/d r - Fator de atrito Eq. Explicita f a f r - Perda de carga da tubulação h LDa h LDr m Perda de carga dos acessórios h Lka h Lkr m Perda de carga (Tubulação + Acessórios) h La h Lr m Perda de carga total (Aspiração + Recalque) h L m Tabela 3: Potência de acionamento Altura total de elevação h e m Altura manométrica man m Vazão m 3 /s Rendimento global estimado η G % Potência de acionamento W kw Tabela 4: Curva Característica do Sistema Altura total de elevação h e m Altura manométrica man m Vazão m 3 /h Constante k h e k m Constante k ( man - k )/ k Equação da Altura Manométrica man k + k Tabela 5: Verificação da Cavitação ( OK se NPS Disp > NPS Req) NPS disponível pelo sistema NPS Disp. m NPS requerido pela bomba NPS req m Altura de aspiração limite para não ocorrer cavitação. ha Lim m Tabela 6: Perda de Carga dos acessórios: (Apostila Tab. 8.3) Item Elemento (acessórios) Coeficiente k uantidade Aspiração Total Aspiração uantidade Recalque Total Recalque Total ΣK a ΣK r PUCRS FENG

186 6. Exemplo de Resultados Tabela : Dados Iniciais Valores Unidades Vazão 0,045 m 3 /s Altura estática de aspiração h a,0 m Altura estática de recalque h r 8 m Comprimento da tubulação de aspiração L a 5 m Comprimento da tubulação de recalque L r 3000 m Material da tubulação Ferro fundido novo Rugosidade ε 0,6 mm Fluido Água Temperatura T 0 o C Massa especifica ρ 998,5 kg/m 3 Viscosidade dinâmica ν,008x0-6 m /s Tabela : Cálculos Perda de Carga Aspiração Recalque Diâmetro da tubulação D a 3mm D r 3mm 50mm 00mm Velocidade da tubulação V a 0,97 m/s V r,43 m/s N o de Reynolds da tubulação R a,9x0 5 R r,86x0 5 Rugosidade relativa ε/d a 0,00064 ε/d r 0,008 Fator de atrito f a 0,0969 f r 0,0030 Perda de carga por comprimento de tubulação h LDa 0,05 h LDr 3,85 Perda de carga dos acessórios h Lka 0, h Lkr 0,37 Perda de carga (Tubulação + Acessórios) h La 0,7 h Lr 3, Perda de carga total (Aspiração + Recalque) h L 3,39m Tabela 3: Cálculo da Potência de acionamento Altura total de elevação h e 30 m Altura manométrica man 6,39 m Vazão 0,045 m 3 /s Rendimento global estimado η G 63,97 % Potência de acionamento W 4,97 kw Tabela 4: Curva Característica do Sistema Altura total de elevação h e 30 m Altura manométrica man 6,39 m Vazão 6 m 3 /h Constante k h e k 30 m Constante k ( man - k )/ k 0,034 Equação da Altura Manométrica man ,0034 Tabela 6: Perda de Carga dos acessórios: (Apostila Tab.8.3) Item Elemento (acessórios) Coeficiente k uantidade Aspiração Total Aspiração uantidade Recalque Válvula de pé,75,75,75 0 Crivo 0,75 0,75 0, Curva de ,40 0,4 0,4 0,8 4 Válvula de retenção, ,5 5 Registro de gaveta 0, ,0 Total Recalque Total ΣK a,9 ΣK r 3,5 6-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

187 Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento PUCRS FENG

188 Sistemas de Bombeamento Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento SUMÁRIO 7. PERDA DE PRESSÃO NO ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES PERDA DE CARGA TOTAL PERDA DE POR TUBULAÇÕES DIAGRAMA DE MOODY MÉTODO PARA DETERMINAR A PERDA DE CARGA SECUNDARIA Método do comprimento equivalente Método do coeficiente de perda de carga PERDA DE CARGA NOS SISTEMAS DE BOMBEAMENTO RESUMO DAS PRINCIPIAS EUAÇÕES NOS SISTEMAS DE BOMBEAMENTO VELOCIDADES TÍPICAS NOS SISTEMAS DE BOMBEAMENTO EXEMPLOS RESOLVIDOS DE SISTEMAS DE BOMBEAMENTO DIMENSIONAMENTO DE SISTEMA DE BOMBEAMENTO Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

189 Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 7. Perda de Pressão no Escoamento em Tubulações A variação de pressão num duto resulta da variação da elevação, da velocidade e do atrito e pode ser determinada aplicando a Eq. da Energia: p ρg u + + z g h p ρg u g L + + z Desta forma: P f ( Z, V, hl ) O atrito origina uma diminuição da pressão. Causa uma perda de pressão comparada com o caso de escoamento sem atrito. Figura 7. Perda de carga em sistema de bombeamento 7. Perda de Carga Total A perda de carga em tubulações é dada por duas parcelas. h h + h L LD LK Perda de Carga pelos Dutos ou Tubulações: (h LD ) Devido ao atrito no escoamento plenamente desenvolvido entre pontos da tubulação com área constante. Perda de Carga por Acessórios - (h LK ) Devido ao escoamento através de acessórios como válvulas, joelhos, registros e em porções do sistema de área variável tais como saídas de reservatórios, bocais convergentes e divergentes. A perda de carga na entrada ou saída de uma tubulação é considerada como perda de carga secundária. Obs: A nomenclatura de h L para perda de carga é usualmente utilizada nos textos de mecânica dos fluidos. Nos textos de máquinas de fluxo, a perda de carga é denominada por J. Por exemplo, a perda de carga nas tubulações é designada por J L e perda de carga nos acessórios por J acc,. PUCRS FENG

190 Sistemas de Bombeamento 7.3 Perda de por Tubulações Transformação da energia cinética para energia térmica por efeitos viscosos. Consideremos um escoamento plenamente desenvolvido numa tubulação de comprimento L. Analisando uma tubulação com área constante A A e desta forma pela Eq. da continuidade u u. No caso de uma tubulação horizontal (z z ). Assim a equação da energia é reduzida para: h LD ( p p ) ρ g P ρ g Perda de Carga Principal - Escoamento Turbulento No caso de escoamento turbulento não existem expressões que permitam avaliar analiticamente a queda de pressão. Utiliza-se análise dimensional e correlações de dados experimentais. Analisando o caso de escoamento turbulento plenamente desenvolvido a queda de pressão é função das seguintes variáveis: P φ( D, L, ε, V, ρ, µ ) Mostra-se que a perda de carga é diretamente proporcional a L/D. h L V g L ε φ Re, D D A função φ é conhecida como fator de atrito ou coeficiente de atrito. f ε φ Re, D Onde Re é o número de Reynolds e e/d a rugosidade relativa. Número de Reynolds Re VD ν V: velocidade média do fluido (m/s) D: diâmetro interno da tubulação (m) ν: viscosidade cinemática do fluido (m /s) Tipos de regimes de escoamento: Re < 000 Laminar Re > 4000 Turbulento desta forma se obtém a equação da perda de carga que representa a energia dissipada por unidade de peso do fluido escoando. L V h LD f Equação de Darcy-Weisbach. D g O fator de atrito determina-se experimentalmente. Utiliza-se o Diagrama de Moody. 7-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

191 Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 7.4 Diagrama de Moody 7.4. Rugosidade Absoluta e Rugosidade Relativa Para determinar o fator de atrito se utiliza o Diagrama de Moody. Para tal deve-se ter o valor do número de Reynolds e a rugosidade relativa ε/d. A rugosidade absoluta ε depende do tipo de material da tubulação e do seu acabamento. Representa o valor médio das alturas da rugosidade da parede interna da tubulação. A Tabela dada mostra os valores da rugosidade absoluta para os materiais típicos de tubulações industriais utilizadas para o escoamento de fluidos. Figura 7. Representação da rugosidade absoluta em tubulações Tabela 7. Rugosidade absoluta (mm) de tubulações industriais Material Rugosidade absoluta ε (mm) Aço, revestimento asfalto quente. 0,3 a 0,9 Aço, revestimento esmalte centrifugado. 0,0 a 0,06 Aço enferrujado ligeiramente 0,5 a 0,3 Aço enferrujado 0,4 a 0,6 Aço muito enferrujado 0,9 a,4 Ferro galvanizado novo, com costura. 0,5 a 0, Ferro galvanizado novo, sem costura. 0,06 a 0,5 Ferro fundido revestido com asfalto 0, a 0,0 Ferro fundido com crostas,5 a 3,0 PVC e Cobre 0,05 Cimento-amianto novo 0,05 a 0,0 Fonte: - Equipamentos Industriais e de Processo - (Macintyre) PUCRS FENG

192 Sistemas de Bombeamento 7.4. Descrição do Diagrama de Moody O diagrama de Moody apresenta uma zona laminar (Re < 300), uma zona crítica (Re de 300 e 4000) uma zona de transição e uma zona inteiramente rugosa. Nestas zonas o fator de atrito f apresenta diferentes dependências em relação ao número de Reynolds (Re) e em relação a rugosidade relativa ε/d as quais são resumidas a seguir:. Na zona laminar fator de atrito f é independente da rugosidade ε/d e inversamente proporcional ao número de Re. Na zona crítica o fator de atrito apresenta aumentos bruscos. 3. Na zona de transição para um determinado Re o fator de atrito f diminui conforme a rugosidade relativa ε/d diminui. 4. Na zona de transição, para uma determinada rugosidade relativa ε/d o fator de atrito f diminui ao aumentar o Re até alcançar a região inteiramente rugosa. 5. Dentro da zona inteiramente rugosa, para uma determinada rugosidade relativa ε/d, o fator de atrito f, se mantém praticamente como um valor constante independente do Re. 6. Na zona de transição, conforme diminui a rugosidade relativa ε/d o valor do Re no qual inicia a região plenamente turbulenta começa a aumentar Figura 7.3 Representação do Diagrama de Moody Podemos utilizar o site para determinar a perda de carga em tubulações ou o site Também podemos utilizar o aplicativo hidrotec disponível no site Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

193 Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento I - Escoamento Laminar O fator de atrito para escoamento laminar pode ser obtido igualando a equação L V 64 L V h LD f com a equação da perda de carga laminar h L D g D se obtém: Re D g 64 f válido para Re < 300 Re No escoamento laminar o fator de atrito ( f ) é função somente do número de Reynolds. Independe da rugosidade da tubulação. II - Escoamento com Tubos idraulicamente Lisos Nesta região pode utilizar-se a Eq. de Blasius ou a Eq. de Drew Koo e McAdams 0,36 f Eq. de Blasius 4000 < Re < 0 5 Re / ( ) 4 0,3 f 0, ,5Re Eq. de Drew Koo e McAdams 0 5 < Re < 3x0 6 III - Escoamento Turbulento com Tubos idraulicamente Semi-Rugosos Permite determinar o fator de atrito para escoamento turbulento: ε / D,5,0 log + f 3,7 Re f Equação de Colebrook 5,0x0 3 < Re < x0 8 Como tal equação é do tipo transcendente deve ser utilizado um procedimento iterativo para determinar f. Uma alternativa é utilizar uma equação explícita: f ε / D 0,5 log + 3,7 5,74 0,9 Re Equação Explícita 5,0x0 3 < Re < x0 8 Utilizando a Eq. acima se encontram valores de f com margem de erro de +-% comparados com os obtidos com a Eq. de Colebrook, para: ε/d de,0x0-4 (0,000) até,0x0-6 (0,00000) IV - Escoamento Turbulento com Tubos idraulicamente Rugosos O fator de atrito depende unicamente da rugosidade relativa e pode ser determinado pela equação: ε / D log Equação de Von Karman f 3,7 PUCRS FENG

194 Sistemas de Bombeamento 7.5 Método para Determinar a Perda de Carga Secundaria 7.5. Método do comprimento equivalente Os acessórios são todos aqueles elementos que existem numa tubulação através dos quais o fluido escoa, tais como curvas, bocais, registros e válvulas. Cada um destes elementos produz uma dissipação de energia que é avaliada pela perda de carga (h ac ) definida como: h Lk L eq V f (m) D g O comprimento equivalente em metros de canalização retilínea (L eq ) é tabelado segundo o tipo de acessório, o material utilizado e o diâmetro da tubulação. Se substituirmos um certo acessório por uma tubulação retilínea com o comprimento igual ao comprimento equivalente (com igual material e diâmetro) ambos originariam a mesma perda de carga. A tabela abaixo mostra o comprimento equivalente adimensional (L eq /D) de diversos acessórios. Figura 7.4 Representação do comprimento equivalente em acessórios Tabela 7. Perda de carga localizada Tipo de Acessório Comprimento Equivalente (L eq /D) Válvula de globo aberta 340 Válvula de gaveta aberta 8 3/4 aberta 35 / aberta 60 /4 aberta 900 Válvula tipo borboleta aberta 45 Válvula de esfera aberta 3 Válvula de retenção tipo globo 600 Válvula de retenção tipo em ângulo 55 Válvula de pé com crivo: de disco móvel 75 Cotovelo padronizado Cotovelo padronizado Te padronizada fluxo direto 0 Te padronizada fluxo ramal 60 Válvula globo Válvulas tipo borboleta Figura 7.5 acessórios utilizados em instalações industriais Te com flanges 7-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

195 Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 7.5. Método do coeficiente de perda de carga Uma outra forma de representar a perda de carga nos acessórios (h ac ) é definindo a mesma na forma: V h LK k (m) g Onde k é o coeficiente de perda de carga e V a velocidade média. O coeficiente de perda de carga será maior quanto mais abruto seja o elemento originando zonas de recirculação de fluxo e altos níveis de turbulência, aumentando desta forma a energia dissipada. A tabela mostra o coeficiente de perda e carga de diversos elementos. Tabela 7. 3 Coeficiente de perda de carga de acessórios Tipo de Acessório k Tipo de Acessório k Ampliação Gradual 0,0* Junção 0,40 Bocais,75 Medidor venturi,5 Comporta aberta,00 Redução gradual 0,5 Controlador de vazão,50 Registro de ângulo aberto 5,0 Cotovelo ,9 Registro de gaveta aberto 0,0 Cotovelo ,4 Registro de globo aberto 0,0 Crivo 0,75 Saída de canalização,00 Curva 90 0,4 Tê passagem direta 0,6 Curva 45 0,0 Tê saída de lado,30 Curva,5 0,0 Tê saída bilateral,80 Entrada normal em canalização 0,50 Válvula de pé,75 Entrada de borda,0 Válvula de retenção,50 Existência de pequena derivação 0,03 Velocidade,0 * com base na velocidade maior (seção menor) ** Relativa à velocidade de canalização Igualando as equações de perda de carga por acessórios se obtém: k f L eq D mostrando a relação entre o coeficiente de perda de carga (k) e o comprimento equivalente (L eq ). Curva de 90 0 Joelho de 90 0 Registro de gaveta Válvula de pé com crivo Figura 7.6 Exemplo de diversos acessórios utilizados em instalações industriais PUCRS FENG

196 Sistemas de Bombeamento 7.6 Perda de Carga nos Sistemas de Bombeamento Para determinar a energia útil transferida do rotor ao fluido deve-se determinar total as alturas físicas de aspiração e de recalque assim como todos os comprimentos das tubulações e todos os acessórios existentes na tubulação. Basicamente um sistema de bombeamento fica especificado quando determina-se a altura manométrica e a vazão do sistema. A vazão é uma informação especifica do projeto. As velocidades nas tubulações de aspiração e recalque podem ser determinadas a partir de recomendações e posteriormente determinar o diâmetro das tubulações. O diâmetro comercial imediatamente superior será o diâmetro da tubulação de aspiração (D a ) e diâmetro inferior será o diâmetro de recalque (D r ). Sistemas com velocidades muito baixas requerem de tubulações com diâmetros maiores e, portanto, eleva-se o custo do sistema. Sistemas com velocidades muito altas envolvem diâmetros menores, contudo, apresentam grandes perdas de carga e, portanto, aumenta o custo da potência de acionamento do sistema. Recomendam-se velocidades inferiores na tubulação de aspiração para evitar problemas de altas perdas de carga o qual pode trazer problemas de cavitação. Para auxiliar em projetos podem ser utilizadas expressões ou tabelas que apresentam faixas de velocidades recomendadas segundo o tipo de fluido. Figura 7.7 Esquema de sistemas de bombeamento. 7-0 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

197 Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 7.7 Resumo das Principias Equações nos Sistemas de Bombeamento Altura Manométrica em Sistemas de Bombeamento (reservatórios a pressão atmosférica.) man : Altura manométrica do sistema (m) h a : altura estática de aspiração (m) man ha + hr + hla + hlr + h h vel r : altura estática de recalque (m) h La : perda de carga na tubulação de aspiração (m) Obs: Conforme Figura 7.7 h Lr : perda de carga na tubulação de recalque (m) h veloc : perda de carga dinâmica pela velocidade na tubulação (m) Perda de Carga nas Tubulações: f: coeficiente de atrito ou fator de atrito h LD f L v L: comprimento da tubulação (m) v: velocidade média do fluido na tubulação (m/s) D g D: diâmetro interno da tubulação (m) g: aceleração da gravidade (9,8m/s ) Perda de Carga nos Acessórios método do comprimento equivalente L eq : comprimento equivalente em metros de canalização retilínea. (m) Leq v Tabelado segundo tipo de acessórios, material e diâmetro da tubulação. hlk f D g Perda de Carga nos Acessórios método do coeficiente de perda de carga k : coeficiente de perda de carga dos acessórios v Tabelado segundo tipo de acessórios. h Lk Σk g Perda de Carga Total (tubulações + acessórios): h h + h L LD Lk Potência de acionamento da bomba (potência motriz) ρg man ρ: massa específica do fluido (kg/m W& 3 ) ac (W) η man : altura manométrica (m) G : vazão (m 3 /s) η G : rendimento global do sistema (motor-bomba: 50% a 75%) Rendimento Global (%) - (Eq. aproximada) η 80 0, ,46x 0,54 x0 + 5,80 x0 3,08 x0 + 8,346 x0 G : (m 3 /h ); man : (m) Validade: 0 (m 3 /h ) < < 50 (m 3 /h ) 5 (m) < < 00 (m) Tabela 7.5 Acréscimo de segurança da potência do motor Potência (kw) Potência (kw) Margem de segurança Até Até,5 50% de a 5 de,5 a 3,7 30% de 5 a 0 de 3,7 a 7,4 0% de 0 a 0 de 7,4 a 5 5% Acima de 0 Acima de 5 0% PUCRS FENG

198 Sistemas de Bombeamento 7.8 Velocidades Típicas nos Sistemas de Bombeamento Na literatura encontramos diferentes recomendações para as velocidades a serem adotadas em sistemas de bombeamento. Reproduzimos aqui algumas que podem ser adotadas como critério de dimensionamento preliminar, as quais podem ser modificadas segundo o tipo de fluido e instalações específicas. Velocidades econômicas em geral : v asp <,5m/s (máximo: v asp,0m/s) v recal <,5m/s (máximo v recal 3,0m/s) Velocidades na Tubulação de aspiração uando o fluxo provém de um poço de sucção em regime uniforme: v,5m/s uando o fluxo provém de uma tubulação geral v 0,9m/s Velocidade mínima a ser adotada em qualquer situação nas tubulações de aspiração v0,6m/s. Fonte: Sistemas de bombeamento: (Jardim) 7.7. Velocidades na Tubulação de Recalque em Função de Diâmetros Recomenda-se para D < 300mm v (entre,0m/s e.,65m/s ) Para D > 300mm recomenda-se v max 3,0m/s (Macintyre) Fonte: Sistemas de bombeamento: (Jardim) Fórmula de Bresse: Para tubulações em sistemas de pequeno porte fluxo contínuo (4h/dia): D k (m) D : diâmetro da tubulação (m) k : coeficiente que varia entre 0,9 a, : vazão (m 3 /s ) Para tubulações em sistemas com regime operacional intermitente: hrs de operacao por dia D, 3X / X 4 (m) 4horas : vazão (m 3 /s) Fonte: Equipamentos Industriais de Processo (Macintyre) Obs: Com a equação de Bresse pode ser determinado um diâmetro D. O diâmetro comercial imediatamente superior será o diâmetro da tubulação de aspiração (D a ) e diâmetro inferior será o diâmetro de recalque (D r ) Velocidades Típicas (regime turbulento) As seguintes relações podem ser utilizadas como referências. Líquidos Velocidades Limites Líquidos limpos não corrosivos V 5, 4D 0, 304 (m/s) 36, 886 v D: diâmetro interno da tubulação (m) max (m/s) / 3 ρ ρ: massa específica (kg/m 3 ) Obs: utilizar a metade do valor para fluidos corrosivos e/ou erosivos. Fonte: Operações com Fluidos (Gomide) 7- Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

199 Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 7.9 Exemplos Resolvidos de Sistemas de Bombeamento. Exemplo 7. Numa propriedade agrícola se requer uma estação de irrigação captando 40 litros/s de água de um canal. A figura ao lado representa o esquema da instalação de bombeamento a ser utilizada. Considere que a água 0 0 C. Os diâmetros internos da tubulação de aspiração e de recalque são iguais a 75mm. Utilize uma tubulação de pvc com rugosidade absoluta igual a 0,05mm. Determinar a altura manométrica e potência de acionamento da bomba considerando um rendimento global de 75%. Dados: Aspiração: 0 válvula de pé: Leq 43,4m 0 curva de 90 0 Leq,m Descarga: 0 curva de 90 0 : Leq,m válvula de retenção Leq 3,9m Solução: Para água a 0 0 C: Viscosidade cinemática á igual a: ν,7x0-6 m /s. Massa específica: ρ000 kg/m 3 Vazão: 40 l/s (0,040 m 3 /s). Pela Eq. da continuidade achamos: Velocidade na tubulação: V,65m/s Somando os comprimentos da tubulação (60m) mais o comprimento equivalente dos acessórios (6,5m) determinado o comprimento total: L total ,5,5m (Aprox. m.) A altura manométrica é dada por: + man ha + hr + hla hlr como a tubulação é do mesmo diâmetro man ha + hr + hl Altura estática de aspiração: h a 3,0m; Altura estática de recalque: h r 4,0m. Re VD,65 x0,75 56 (,56x0 6 ν,7 x0 5 ) (Escoamento em regime turbulento). f 6 ε 0 0, Re D / 3 6 0,05 0 0, / 3 0,053 Neste exemplo, a tubulação de aspiração e recalque tem o mesmo diâmetro. Desta forma a perda de carga total da instalação é dada como: ( ,5 ) ( L + Leq ) v x,65 hl hld + hlk f 0,053, 94m D g 0,6 x9,8 man ha + hr + hl ,94 9, 94m W& ρg η 000x9,8x9,94 x0,04 0,75 man ac G 043,6W ou 0,43kW PUCRS FENG

200 Sistemas de Bombeamento Exemplo 7. Uma bomba de um catálogo do fabricante opera a 750rpm e apresenta uma curva característica - como mostrado na figura abaixo. Grafique a curva da bomba para uma rotação de 000rpm. Um sistema deve bombear água através de uma tubulação de 50mm de diâmetro com 460m de comprimento. Considere o coeficiente de atrito da tubulação igual a 0,05. A altura estática de elevação é igual a m considerando nulas todas as perdas dos acessórios. Determinar e a equação característica do sistema. Graficar a curva característica do sistema (com pelo menos 09 pontos) mostrando as condições de operação [(m),(m 3 /h)] na interseção com a curva de bomba quando trabalha com 750rpm. D50mm L460m f0,05 hem 4 h L v L πd 6L f f f L 5 D g D g π D g L 460 h L 0,086 f 0,086x0, D 0,5 A equação da curva característica da bomba é dada por: he + hl + 53 Curva Característica do Sistema: (m 3 /h) (m 3 /s) 0 0,0 0,0667 0,0 0,077 0,0333 0,0388 (m) 3,55 5,5 8,,67 5,9 3,0 Curva Característica da Bomba - 750rpm (m 3 /s) (m) 6,7 6,5 6, 5,8 4,4 3,6 9 7 Curva Característica da Bomba - 000rpm (m 3 /s) 0,86 45,7 68,6 9, , 60,0 8,8 (m) 34,9 34,6 34, 33,7 3, , 4,8, n 000 n 000 x, x, 306 n 750 n Resposta: Condições de operação do sistema Aprox.: 05 m 3 /h e 3m 7-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

201 Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento 7.0 Dimensionamento de Sistema de Bombeamento Fonte: (Equipamentos Industriais e de Processo - Macintyre) Determinar a altura manométrica, potência com os seguintes dados. Utilize o catálogo de uma bomba comercial para graficar a curva característica do sistema junto com a curva característica da bomba mostrando o ponto de funcionamento. Vazão: 5l/s Altura estática de aspiração h a,60m Tubulação: Ferro galvanizado novo sem costura Comprimento da tubulação de aspiração: Fluido: água fria a 5 0 C L a 5,4m Altura estática de recalque: h r 4,50m Rendimento global estimado: 50% Comprimento da tubulação de recalque L r 60m Aspiração Elemento uantidade Válvula de pé com crivo 0 Cotovelo 90 0 raio médio 0 Registro de gaveta 0 Tê com saída lateral 0 Recalque Elemento uantidade Registro de gaveta 0 Válvula de retenção (tipo 0 pesada) Tê de saída lateral 0 Cotovelo Cotovelo de 90 0 raio médio 07 PUCRS FENG

202 Sistemas de Bombeamento Solução Para determinar a altura manométrica devemos conhecer as perdas de carga da instalação, já que as alturas estáticas de aspiração e recalque são dadas no problema. h + h + h + h + h man a r La Lr vel. Diâmetros e velocidades das tubulações. Tubulação de aspiração: com 5l/s no gráfico de Sulzer se obtém: D a 75mm e v a,30m/s (diâmetro comercial) Utilizando a Eq. Bresse para fluxo continuo com k,05 se obtém: D74mm (superior 75mm). Tubulação de recalque: com 5l/s no gráfico de Sulzer se obtém: D r 63mm e v r,45m/s (diâmetro comercial) Utilizando a Eq. Bresse com k,05 se obtém D74mm (D inferior comercial: 63mm). Comprimento equivalente dos acessórios Considerando as tubulações de ferro fundido, podemos obter a perda de carga dos acessórios (para ferro fundido e aço) com seus os respectivos diâmetros das tubulações (aspiração e descarga).. Tubulação de aspiração: Diâmetro: 75mm (3 ) Velocidade:,3m/s Item Elemento uantidade Comprimento Equivalente unitário Comprimento Equivalente total Válvula de pé com crivo 0 0,0 0,00 Cotovelo 90 0 raio médio. 0,0,0 3 Registro de gaveta 0 0,50,00 4 Te - com saída lateral 0 5,0 0,40 Total 33,50 Tubulação de aspiração: L Ta L a + L eqa 5,4 + 33,50 38,9mca. Tubulação de recalque Diâmetro: 63 mm (/ ) Velocidade:,45m/s Item Elemento uantidade Comprimento Equivalente unitário Comprimento Equivalente total Registro de gaveta ( / ) 0 0,4 0,4 Válvula de retenção (tipo pesada) 0 8, 8, 3 Te - saída lateral 0 4,3 4,3 4 Cotovelo ,9 0,9 5 Cotovelo de 90 0 raio médio 07,7,9 Total 5,60 Tubulação de recalque : L Tr Lreal r + Leq r 60,0 + 5,6 85,6mca. Para água fria a 5 0 C, em tabela: encontramos ν,7x0-6 (m /s). Rugosidade Absoluta da tubulação 7-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

203 Capítulo 7: Perda de Carga em Sistemas de Bombeamento Considerando ferro galvanizado novo sem costura obtemos em tabela o valor da rugosidade absoluta igual a ε 0,0mm. (valor médio) 4. Perda de Carga na Tubulação de aspiração Número de Reynolds da aspiração: Da75mm v a,30m/s ν,7x0-6 (m /s) Re a va Da, 30x0, , 7x0 6 ν 7, x0 4 Coeficiente de atrito: Utilizando o diagrama de Moody ou a expressão aproximada de Moody: A rugosidade relativa ε/d a 0,0/750,00334 f D ε 0,. Re ( ) , , , 04 / 3 / (,3) L v 38,90 h LDa f 0,04, 076m D g 0,075 x9,8 5. Perda de Carga na Tubulação de Descarga Da63mm v a,45m/s ν,7x0-6 m /s Número de Reynolds da aspiração: Re r vr Dr, 45x0, , x0 6 ν 7, x0 4 Coeficiente de atrito: Utilizando o diagrama de Moody ou a expressão aproximada de Moody: A rugosidade relativa ε/d r 0,0/630,006 f D ε 0,. Re ( ) , , , 05 / 3 / h LDr f L D v g 85,6 0,05 0,063 (,45) 3,64 x9,8 v,3 h vel 0, 086m g x9,8 PUCRS FENG

204 Sistemas de Bombeamento 6. Altura Manométrica h + h + h + h + h man a r La man, 6 + 4, 5 +, , , m 7. Potência de acionamento da bomba Lr vel ρg 000x9, 8x50x0, 005 Pot 4, kw 5kW 6, 5CV η 0, 5 G Com man 5mca e 5l/s (8m 3 /h ) podemos determinar o tipo de bomba comercial. Poderíamos verificar a perda de carga utilizando diretamente o Diagrama de Moody. Aspiração: com Re8,7x0 4 com ε/d a 0,0033 f 0,05 (valor obtido pela equação f0,04) Descarga: com Re8,x0 4 ε/d r 0,0/630,006 f0,05 (valor obtido pela equação f0,05 ) Continuar o problema: Selecionar uma bomba comercial em catalogo de fabricante. Determinar a Eq. que representa a curva característica do sistema e graficar junto a curva do fabricante. 7-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

205 Capítulo 8: Conceitos de Cavitação Conceitos de Cavitação PUCRS FENG

206 Conceitos de Cavitação SUMÁRIO INTRODUÇÃO DETERMINAÇÃO DO NPS (NET POSITIVE SUCTION EAD) DISPONÍVEL CASO GERAL DE (NPS) DISPONÍVEL CASOS ESPECÍFICOS DE SISTEMAS PARA DETERMINAR O NPS DISPONÍVEL ALTURA POSITIVA LÍUIDA DE SUCÇÃO (NPS) REUERIDA PELA BOMBA LIMITE DA ALTURA ESTÁTICA DE ASPIRAÇÃO DETERMINAÇÃO DO FATOR DE CAVITAÇÃO OU FATOR DE TOMA VELOCIDADE ESPECÍFICA DE ASPIRAÇÃO MARGEM PRÁTICA DE SEGURANÇA EXEMPLOS DE CAVITAÇÃO Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

207 Capítulo 8: Conceitos de Cavitação Introdução Os fluidos podem passar do estado líquido para o gasoso dependendo das condições de pressão e temperatura a que estão submetidos. A pressão na qual se da este processo é denominada pressão de vapor ou de vaporização (P v ). A Fig. 8. mostra a pressão de vaporização da água em função da temperatura. Sabemos que, a pressão atmosférica, a água vaporiza (ferve) quando a temperatura atinge em torno de 00 0 C. Nestas condições a pressão de vaporização da água é 0,33kPa. Observamos no gráfico que pode-se obter vaporização do fluido para pressões inferiores a pressão atmosférica. Por ex. água a 60 0 C pode vaporizar quando a pressão de vapor é de 0kPa. Pressão de vapor (p vap ) Propriedade do fluido que varia com a temperatura, aumentando com a elevação da mesma. Pressão de Vapor de Água (kpa) Temperatura (oc) Figura 8. Pressão de vapor de água (kpa) em função da temperatura ( o C) As bombas em operação aspiram o fluido, e nesse processo, a pressão diminui até atingir um valor mínimo na boca de entrada da bomba. Se esta pressão atinge a pressão de vapor do fluido, o fluido vaporiza e inicia um processo de formação de bolhas as quais são arrastadas no interior da bomba, provocando dados irreparáveis. Desta forma o estudo de cavitação permite avaliar, se nas condições de operação do sistema, a pressão na boca de entrada da bomba pode atingir pressões inferiores à pressão de vaporização. Cavitação: Processo de vaporização do fluido quando a pressão absoluta baixa até alcançar a pressão de vapor (p vap ) do líquido na temperatura em que se encontra. O fenômeno de cavitação provoca: Corrosão. Remoção de pedaços de rotor e tubulação junto à entrada da bomba. Afeta o rendimento. Provoca trepidação e vibração máquina Presença de ruídos e implosão. No caso da água, a cavitação tem maiores efeitos para acima dos 45 0 C. Materiais que resistem à corrosão por cavitação: Ferro Fundido, Alumínio, Bronze, Aço Fundido, Aço doce laminado. Figura 8. Cavitação em bomba centrífuga PUCRS FENG

208 A Fig.8.3 mostra claramente o efeito causado pelo fenômeno de cavitação principalmente na região de entrada das pás. Figura 8.3 Exemplos de rotores de bombas deteriorados pelo fenômeno de cavitação A Figura 8.4 mostra que a cavitação ocorre quando a pressão na entrada do rotor é inferior a pressão de vapor do fluido. Desta forma no caso da figura a direita o fluido vaporiza dentro do rotor. Figura 8.4 Gráfico esquemático mostrando a cavitação de bombas 8-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

209 Capítulo 8: Conceitos de Cavitação 8. Determinação do NPS (Net Positive Suction ead) Disponível Para analisar o fenômeno de cavitação utilizamos o esquema representado na Fig Para não ocorrer cavitação a energia total na entrada na bomba deve ser maior que a energia de vaporização. Definese a energia disponível pelo sistema como sendo a diferença entre a energia total absoluta e a energia da pressão de vapor do líquido. Esta energia disponível pelo sistema é conhecida como NPS (Net Positive Suction ead), que representa a altura positiva líquida de aspiração. Figura 8.5 Alturas características para analisar a cavitação em bombas. Aplicando a Eq. da energia a superfície livre do líquido no reservatório de captação (plano 0-0) e na boca de entrada da bomba (plano -). p0 ρg v g p ρg v g z0 hl (0 ) + + z ( ) O plano de referência (0-0) está na superfície livre do reservatório z 0 0. Considerando o reservatório muito maior que o da tubulação de aspiração, a velocidade v 0 é muito pequena e, portanto, o termo de energia da mesma é desprezível (v 0 /g0). Com tais simplificações a equação é descrita como: [ p p ] [ v ] [ z 0] [ h h ] 0 atm 0 0 L(0 ) [ z h ] a 0 No plano (-): La p ρg atm p ρg v + g + h a + h La ( ) Da Eq. anterior explicitamos os termos que representam a pressão total na entrada da bomba: PUCRS FENG

210 P ρg v + g atm h a h La ( 3 ) A qual é agora definida como Energia total absoluta na entrada da bomba: E p v + T ρg g ( 4 ) Definimos também a energia de pressão de vapor como: E vap pv ρg ( 5 ) Para não ocorrer cavitação a energia total na entrada na bomba deve ser maior que a energia de vaporização, desta forma E T > E vap. Como segurança define-se a energia disponível pelo sistema como sendo a diferença entre a energia total absoluta e a energia da pressão de vapor do líquido. E Disp E E ( 6 ) T vap Figura 8.6 Representação gráfica da energia disponível. Representa a disponibilidade da energia com que o líquido penetra na boca de entrada da bomba. Nos sistemas de bombeamento denomina-se Altura Positiva Líquida de Aspiração (NPS) Disponível. Tratase da energia de segurança do sistema para não ocorrer cavitação. NPS p ρg v g Disp + h vap ( 7 ) Em termos das variáveis do sistema é dado por: NPS Disp h h h ( 8 ) atm a La vap 8-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

211 Capítulo 8: Conceitos de Cavitação 8.. Caso Geral de (NPS) Disponível Num caso mais geral a pressão absoluta no reservatório de aspiração ( P/ρg) pode ser diferente da pressão atmosférica ( atm ), e a bomba pode estar cima ou abaixo do reservatório de aspiração. Neste caso a equação de NPS disponível é dada por: NPS Disp p abs ρg m h a h La h vap ( 9 ) h a (-) Bomba acima do reservatório de aspiração. (Bomba instalada na forma normal) h a (+) Bomba abaixo do reservatório de aspiração. (Bomba instalada na forma afogada) No caso de sistemas com reservatório de aspiração aberto a atmosfera. NPS Disp m h Atm a h La h vap ( 0 ) Figura 8.7 Tipos de sistemas afogado e normal. PUCRS FENG

212 8.. Casos Específicos de Sistemas para Determinar o NPS Disponível A Fig.8.8 mostra quatro casos que podem ser considerados para determinar o NPS disponível pelo sistema. No Caso trata-se de um reservatório aberto sendo que a superfície livre da água no reservatório esta por baixo do centro da bomba. Observe-se que neste caso a pressão no reservatório é a pressão atmosférica ( atm ). No Caso é semelhante ao caso, contudo a diferença esta em que o reservatório fechado (pressurizado) e desta forma a pressão a ser considerada é a pressão absoluta dentro do reservatório ( abs ). No Caso 3 trata-de de um reservatório aberto, contudo a superfície livre do líquido esta por cima da bomba tratando-se de uma bomba afogada pelo qual a altura estática de aspiração considera-se com sinal negativo dentro do equacionamento do NPS D. O Caso 4 é semelhante ao Caso 3, já que é uma bomba afogada, contudo com reservatório fechado e, portanto deve ser considerada a pressão absoluta no reservatório ( abs ). A Fig. 8.8 apresenta a seguinte nomenclatura: NPS D : Altura positiva liquida de aspiração disponível h a : Altura estática de aspiração h La : Perda de carga na tubulação de aspiração h vap : Altura equivalente a pressão de vapor abs : Altura equivalente a pressão absoluta no reservatório fechado (pressurizado) Atm : Altura equivalente a pressão atmosférica no reservatório aberto. Figura 8.8 Tipos de sistemas afogado e normal. 8-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

213 Capítulo 8: Conceitos de Cavitação 8. Altura Positiva Líquida de Sucção (NPS) Requerida pela Bomba Para definir NPS requerido pela bomba devemos identificar as parcelas de energia envolvidas: v NPS Re q h + ( ) g onde h é a parcela de energia necessária para vencer as perdas de energia provindas da variação da velocidade relativa (W ) e perdas de energia devido ao atrito e à turbulência do líquido entre a boca de entrada na bomba e a entrada das pás devido ao aumento de velocidade absoluta C W C h λ + λ g g ( ) Onde λ, λ são coeficientes empíricos (0,3 e, respectivamente). NPS W C v Re q λ + λ + g g ( 3. ) g v Geralmente o termo é pequeno e desta forma se adota a equação: g NPS W C Re λ + q λ g (3.) g Assim, o NPS req depende das características construtivas da bomba. O NPS req é dado graficamente pelo fabricante. Figura 8.9 Representação da curva do NPS num gráfico de bomba comercial. PUCRS FENG

214 8.3 Limite da Altura Estática de Aspiração Para evitar a cavitação, a energia disponível pelo sistema deve ser maior que a energia requerida pela bomba: NPS Disp ( sistema) > NPS Re q ( bomba) ( 4 ) Ou também: NPS < NPS Re q Disp NPS Re q < atm h a h La h vap Desta forma podemos determinar altura estática de aspiração que deve ser colocada a bomba em relação ao nível do líquido para não ocorrer cavitação: va h a < atm ( hla + hvap + + NPS req ) ( 5 ) g Para evitar que ocorra cavitação devemos colocar a bomba numa altura menor que o valor limite dado pela equação anterior. Como a dedução foi realizada para um sistema normal e não afogado, devemos observar que o resultado numérico de tal equação nos fornece a seguinte informação: Se o valor de h a é positivo, (por ex. 3,0m) significa que a bomba deverá ser instalada acima do nível do líquido. Bomba com Aspiração Normal. Se o valor de h a é negativo, (por ex. -3,0m) significa que a bomba deverá ser instalada abaixo do nível do líquido. Bomba Afogada. Observa-se que tal altura depende das seguintes variáveis: Pressão atmosférica local. O valor de h a será maior em instalações a nível do mar. Perda de carga na tubulação de aspiração. Maior perda de carga menor será o valor de h a. Pressão dinâmica na boca de aspiração da bomba. Maior velocidade menor será h a Pressão de vaporização do fluido. uanto menor a temperatura do fluido menor será hv e assim maior o valor de h a. Energia requerida pela bomba na boca de aspiração. Bombas com menor dissipação de energia interna apresentaram um menor valor o NPS requerido permitindo um maior valor de h a Analisemos o caso de uma situação teórica: Consideremos uma instalação de bombeamento a nível do mar ( atm 0,33m). O sistema não apresenta perda de carga (h La 0) Velocidade muito baixa (v /g 0) Temperatura muito baixa (h vap 0). Utilizamos uma bomba ideal sem dissipação de energia interna (NPS req 0). Nestas condições idealizadas, o limite teórico de h a será de 0,33m A máxima altura de aspiração admissível de uma bomba diminui com ao aumento da temperatura. 8-0 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

215 Capítulo 8: Conceitos de Cavitação 8.4 Determinação do Fator de Cavitação ou Fator de Thoma O Fator de Thoma é um número característico adimensional para cavitação definido como: σ h Man ( 6 ) O valor de σ depende da rotação específica nq 4 / 3 4 / 3 φ( nq ) φ( n ) ( 7 ) 3 / 4 man σ Bombas élico-axiais. ϕ 0,003. Bombas Axiais. ϕ 0,0045. Para bombas centrífugas em geral podemos utilizar: ϕ 0,00. σ 0,00( n 4 / 3 ) 3 / 4 man Fator de Thoma 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Rotação Específica - nq (rpm) Representada graficamente na Fig Figura Curva do fator de Thoma. Uma vez determinado o fator de Thoma podemos avaliar o NPS Req pela relação: NPS req h σ onde man é altura manométrica do sistema. Também podemos determinar altura máxima de aspiração: Man h a va < atm ( hla + hvap + + σ man ) ( 8 ) g 8.4. Velocidade Específica de Aspiração A velocidade específica de aspiração (S) e utilizada para definir ou caracterizar as condições de aspiração de uma bomba e para estabelecer analogias de funcionamento de bombas semelhantes do ponto de vista da aspiração. A velocidade especifica de Aspiração é definida adimensionalmente como: n S 0,75 ( 9 ) NPS onde n é a rotação (rpm) a vazão (m 3 /s) e NPS a altura positiva liquida de sução (m). Um valor típico da velocidade especifica de aspiração igual a S74 pode ser encontrado em bombas de boa fabricação apresentam um ângulo da pá em torno de 7 0. Com aproximadamente 5 a 7 alabes. Bombas comerciais têm baixo S na faixa de 97 a 36. Por outro lado as bombas para alimentação de caldeiras, especialmente bombas de condensado requerem S maiores entre 3 a 348. Para alcançar tais valores o ângulo de fluxo é tomado tão baixo quanto 0 0 e o numero de pás é reduzido até 4. Um número pequeno de alabes com espessura fina são favoráveis já que diminuem o efeito de bloqueio. PUCRS FENG

216 8.4. Margem prática de segurança O NPS disponível e requerido pode ser representado graficamente. Sabemos que para não ocorrer cavitação o NPS Disp > NPS Req. De forma prática adota-se uma margem entre ambos os valores: M arg em NPS Disp NPS Re q, 5m A margem prevista visa garantir que não ocorra cavitação no sistema evitando assim a vaporização do fluido no interior da bomba. Figura 8. Representação do NPS disponível e requerido Variação de NPS com a Rotação Se a bomba apresenta um determinado NPS, este é válido para a rotação dada pelo fabricante. Se a bomba opera com uma nova rotação, o NPS deverá ser determinado utilizando as relações: NPS NPS n n ( 0 ) onde NPS representa o valor de catálogo e NPS representa o valor para a rotação desejada. 8- Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

217 Capítulo 8: Conceitos de Cavitação 8.5 Exemplos de Cavitação EXEMPLO 8. Na Fig. ao lado considere a bomba com uma vazão de 9,0 litros/s. O fluido é gasolina a 5 o C. Do catalogo do fabricante se obtém que a bomba apresenta um NPS igual a,9m. Considere um tubo de aço com rugosidade absoluta de 4,3x0-4 m. Determinar (a) a altura máxima de aspiração (b) o NPS do sistema verificando se existe risco de cavitação. Obs. Considere o coeficiente de perda de carga de cada curva de 90 0 igual a 0,4 e da válvula de pé igual a,75. Propriedades da gasolina a 5 o C Peso especifico: 7800N/m 3 Viscosidade cinemática: 6x0-6 m /s. Pressão de vapor da gasolina: 3,5 kpa. Solução: Utilizando a Eq. de Bresse Dk / Figura 8.- Sistema de bombeamento com k, obtemos D00mm. Com a vazão se acha v,5m/s. vd,5 x0, 6 / 3 ε 0 Re 967( turbulento) ν -6 6,0x0 f 0, D Re / ,3x0 0 f 0, x + 0, ,,9 0 x L v h LD f onde L59,5+,36,8m D g h h + h h h La La La LD f L D Lk + k curva + k valvula v g (,5 ) v h vel 0, 067m g g (6,8) 0, x0,4 +,75 x0,067 3,9 x0,067,55m 0, h a max onde vo < atm hla + hvap + + NPS bomba g 0,33kPax000 3,5kPax000 atm 3mca e hv 4, 7mca (a) h a < 3 (,55 + 4,7 + 0,067 +,9 ) 5, 3m NPS max Dips atm ha + h La + h vap v + g (,6 +,55 + 4,7 + 0,067) 4, m NPS Dips 3 6 ( b ) NPS Disp (4,6m) > NPS Req (,9m) (portanto não ocorre cavitação) PUCRS FENG

218 EXEMPLO 8. O sistema de bombeamento da Figura ao lado trabalha com a bomba de P de 3500 rpm e diâmetro do rotor 38mm (5 7/6 ) representada na Figura abaixo. O sistema trabalha na interseção da curva da bomba com a curva do sistema no ponto de funcionamento para uma vazão de 00 litros/min. O reservatório é um tanque fechado com pressão absoluta igual a 80kPa contendo água a temperatura de 50 0 C. O nível de água no tanque é,0m acima do centro do eixo da bomba. A tubulação de aspiração tem um diâmetro de 40mm. O coeficiente de perda de carga localizado do joelho é igual k ac,0 e o coeficiente de perda de carga da válvula de globo aberta é igual k ac 7,0. Considere o fator de atrito da tubulação igual a 0,05. O comprimento da tubulação de aspiração é igual a m. A pressão atmosférica local é igual a 0 kpa. Figura Sistema de bombeamento Determinar:. A pressão relativa dentro do tanque.. O NPS disponível para o sistema. 3. Compare o NPS disponível com o NPS requerido e verifique se o sistema cavita. Figura 8.3 Curva característica de bomba centrifuga comercial 8-4 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

219 Capítulo 8: Conceitos de Cavitação Solução: (EXEMPLO 8.) 00 litros/min p tanque 80kPa T50 0 C h a 05mca D40mm k ac,0 k ac 7,0. Lm f0,05 (a) Pressão relativa dentro do tanque ptan que 80x000 8, m Pressão relativa no tanque (0kPa 80kPa kpa) ρ g 988x9,8 tan que 5 (b) NPS disponível para o sistema. NPS Dips p tan que ρg ± ha + h La + h vap v a + g 4 4x0,00666 v a,3m / s πd πx0,04 h vel va g (,3 ) 0,0888 x9,8 com T50 0 C P v 0,55kgf/cm ρ988kg/m 3 kgf N cm p vap,3x000 p vap 0,55 x9,8 x00, 3kPa. h m vap, 7 cm kgf m ρ g 988x9,8 Perda de carga por tubulação e acessórios: L va va va va hla f + kac + k ac 0, ,0 ( 7, ) x0,0888, 38m D g g g 0,04 g Como a bomba está afogada h a é negativo. com 8,5m ha-,0m h La,38m h vap,7m v a NPS Dips tan que ha + hla + hvap + g NPS Dips 8,5,0 +,38 +,7 + 0,0888 7, 5 ( ) m (c) Compare o NPS disponível com o NPS da bomba Com 00 litro/min da Figura da bomba determinamos man 35m 4 / 3 3 / 4 0,00666 σ φ n A velocidade específica ns n rpm 3 / 4 3 / 4 man 35 man 4 / 3 com φ0,00 σ 0,00( 0) 0, 035 NPS q σ man 0,035x35 0, 8m Re Desta forma como NPS Req < NPS Disp a bomba não entrará em cavitação. PUCRS FENG

220 EXEMPLO 8.3 O sistema da figura trabalha em operação de fluxo contínuo com vazão igual a 3,6 l/s. A perda de carga da tubulação e acessórios na aspiração é igual a 5m. A perda de carga da tubulação e acessórios de recalque é igual a 7,5m. Considere h vel 0. Com auxílio da curva da bomba fornecida: (a) Selecione o diâmetro do rotor da bomba apropriado para o sistema. (b) Determine a Eq. da curva característica do sistema e grafique a mesma. (c) Determine o NPS do sistema considerando a temperatura máxima da água igual a 60 0 C. (d) Determine o NPS da bomba pelo fator de Thoma e o NPS da bomba especificada pelo fabricante. Verifique se a bomba cavita. (e) Calcule a potência de acionamento da bomba nas condições de operação considerando o rendimento especificado pelo fabricante. Compare com a potência dada pelo fabricante. Obs. Considere a pressão atmosférica padrão. Para 60 0 C massa específica da água igual a 984 kg/m 3 Figura Sistema de bombeamento Figura 8.5 Curva característica de bomba centrifuga comercial 8-6 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

221 Capítulo 8: Conceitos de Cavitação Solução: (EXEMPLO 8.3) ( a ) Altura manométrica do sistema v he + J a + J r + 37, ,5 50m g Com 3,6 l/s (85 m 3 /h) e 50m no site: Selecionamos a bomba centrífuga de diâmetro de 78mm maquinada para 75mm. (Fig. 8.) ( b ) Grafique a curva característica do sistema mostrando o ponto de operação da bomba-sistema: 3,6 l/s (85 m 3 /h) Vazão: 3 D m v π 4 0,036 k 50 37,5 k s ( 0,036) 443,3 Curva característica: k k,5 443, 3 ( c ) NPS do sistema considerando a temperatura máxima da água igual a 60 0 C. NPSP Disp atm h a h La h vap Para T60 0 C ρ984 kg/m 3 e P v 9,9 kpa. (equivalente a,06m) NPS Disp 0,33,5 5,06 0, 77m ( d ) NPS da bomba determinado utilizando o fator de Thoma e o NPS da bomba especificado pelo fabricante. n3500rpm σ φ( n Man 4 / 3 0,036 4 / 3 ) 0,00(3500 ) 0,096 3 / 4 3 / 4 50 NPS σ man 0,096x50 4, 8m do gráfico do fabricante com 85 m 3 /h e 50m temos NPS Req 7,0m. Como NPS Req (7,0m) > NPS Disp (0,77m) a bomba cavita. g x x x (e ) W& ρ man 000 9,8 50 0,036 ac 4, 66kW η 0,79 G Obs. Continue o problema determinando a altura de aspiração limite para não existir cavitação. PUCRS FENG

222 EXEMPLO 8.4 Num sistema de bombeamento de água o manômetro indica uma pressão equivalente a 3,5kgf/cm e o vacuômetro indica uma pressão equivalente de 368mmg. A altura estática total de elevação é igual a 5m. A vazão da instalação é igual a 0,75m 3 /min. Considere pressão atmosférica padrão atm e temperatura de 5 0 C. A perda de carga na aspiração é igual a,mca. Densidade do mercúrio 3,6. Determinar: a) A equação que representa a curva característica do sistema. b) A altura máxima de aspiração do sistema verificando se a bomba deverá trabalhar afogada. Obs. Considere que do catalogo do fabricante PS Req,8m.c.a. Solução: (EXEMPLO 8.4) Dados: M 35m V 5,0m he5m 45m 3 /s h atm 0.30m Ja,mc.a A Eq. que representa a curva característica do sistema é dada por: k + k Sabemos que k h e 5m. Avaliando a equação no ponto de operação determinamos a constante k : k h e 0,0074 Desta forma k k 0, 0074 Determine a altura máxima de aspiração do sistema verificando se a bomba deverá trabalhar afogada. atm 0,33m h La,m com T5 0 C se obtém h vap 0,3m. Do catalogo PS Req,8m.c.a. h < + a atm ( hla + hvap NPS req h a < 0,33 (, 0,3 +,8) 7, 0m ) A bomba pode operar em condições normais. A bomba poderá ser instalada acima do reservatório de aspiração numa altura menor que 7m. 8-8 Autor: Prof. Jorge A. Villar Alé

223 Bibliografia Referências Bibliográficas PUCRS FENG - 00

224 Bibliografia PUCRS FENG - 00

225 Bibliografia Referências Bibliográficas. Bombas e Instalações de Bombeamento Macintyre, J,A; Ed. Guanabara, Equipamentos Industriais e de Processo - Macintyre, A.J.; Ed. LTC, Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, Munson B. R., Young D.F. Okiishi T... Ed. Edgard Blucher Ltda, Fundamentos idráulicos para Instalaciones con Bombas Centrífugas Sulzer, Ed. Sulzer. 5. idráulica, Provenza F. e Souza., Ed. Provenza, Protec, Instalações Elevatórias - Carvalho, D.F.; Ed. FUMARC; Introdução à Mecânica dos Fluidos, Fox. W.R., McDonald. A T. uarta Edição LTC Editora Material de Sistemas Fluidomecânicos UNICAMP (998). 9. Operações com Fluidos - Gomide, R; Ed. do Autor, Sistemas Fluidomecânicos, Apostila. UNICAMP, 997, França, F. A.. Sistemas de Bombeamento, Jardim, S.B., Ed. Sagra-DC-Luzzato, 99.. Termotecnía Teoría y Métodos en Termodinámica Aplicada, Ignacio Lira C. Ediciones Universidad Católica de Chile, Máquina de Fluido, Érico Lopes enn, Editora UFSM, 00., 474 pag. 4. Pump Life Cicle Costs: A guide to LCC Analysis for Pumping Systems. Europump and ydraulic Institute, Belgian, pag. 5. Fundamentos de Engenharia idráulica, Márcio Baptista, Márcia Lara. Editora UFMG., Belo orizonte, 00., 435 pag. 6. Tubulações Industriais Cálculo. Pedro C. Silva Telles. Ed. LTC 9 a Edição, pag. 7. Analysis and Desing of Energy Systems, odge B;K.; Taylor P. Robert., 3 a edição Prentice all, New Jersey, pag. 8. Reducing Water Pumping Costs In the Steel Industry Good Practique Guide Introduction to Pump Curves Goulds Pumps 00, 0. Energy Efficient Motor Driven Systems, Published by European Copper Institute, 004. Improving Pumping Systems performance: A Source book for Industry Edition US Department of Energy e ydraulic Institute, Selecting Centrifugal Pumps - KSB 4th edition 005 PUCRS FENG - 00

226 Anexo Tabelas e Gráficos PUCRS FENG 00 A

227 Anexo Sistema Internacional de Unidades - SI Denominam-se dimensões as quantidades físicas. No SI, as dimensões fundamentais são comprimento, massa e tempo. As unidades são nomes consignados às dimensões primárias adotadas como padrões para medição. As unidades correspondentes das dimensões fundamentais no SI são o metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). Em termos destas três unidades, a unidade de volume é o m 3, a unidade de aceleração é o m/s, e a massa específica é o kg/m 3. A unidade de força no SI é o Newton (N) e derivada a partir da Segunda lei de Newton: Força (N) (massa em kg)x(aceleração em m/s ) Assim N kg.m/s. No SI as temperaturas são expressas em graus Celcius ( o C) e a unidade de temperatura absoluta é o Kelvin (K). A transformação de Celcius para Kelvin é dada pela relação: T(K) T( o C) + 73 No sistema inglês de unidades se utiliza o grau Fahrenheit T(F) 8/9T(oC) + 3 e o grau Rankine para temperatura absoluta: T( R ) T(F) + 459,67. Na Tabela A. são dadas unidades no SI. Tabela A. Unidades básicas e derivadas no SI Unidades fundamentais no SI uantidade Unidade Símbolo Fórmula Comprimento Metro M - Massa uilograma Kg - Tempo Segundo S - Temperatura Kelvin K - Unidade suplementar SI Ângulo plano radiano rad - Unidades derivadas SI uantidade Unidade Símbolo Dimensão Energia Joule J N m Força Newton N kg m/s Potência Watt W J/s Pressão Pascal Pa N/m Trabalho Joule J N m Aceleração da Gravidade A massa da terra exerce uma força gravitacional dirigida para seu centro originando uma aceleração denominada aceleração da gravidade (g). Seu valor depende da posição em que nos encontramos na terra. Varia portanto segundo a latitude e longitude do lugar. Adota-se como valor normal g9,8066 m/s o qual corresponde a uma altitude de 0 0 (nível do mar) e uma latitude de Para efeitos de cálculos nós consideramos a aceleração da gravidade igual a g9,8m/s. PUCRS FENG 00 A

228 Anexo Tabelas de Propriedades de Fluidos Tabela A. Propriedades da Água Temperatura Massa Específica Peso Específico Viscosidade Dinâmica µ (Pa.s) ou (N.s/m ) Viscosidade Cinemática ν (m /s) ρ γ ( 0 C) (kg/m 3 ) (kn/m 3 ) x x x0-3.5 x x x x0-3.5 x x0-3.0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x0-7 Tabela A.3 Propriedades do Ar à Pressão Atmosférica Temperatura Massa Específica Peso Específico Fonte: R. Mott Mecánica de Fluidos Aplicada 4a edição,996. Viscosidade Dinâmica µ (Pa.s) ou (N.s/m ) Viscosidade Cinemática ν (m /s) ρ γ ( 0 C) (kg/m 3 ) (N/m 3 ) x x x x x0-5.6 x x0-5.4 x x x x0-5.4 x x0-5.5 x x x x x x x x x x x x x x0-5.9 x x x x x x0-5.5 x0-5 PUCRS FENG 00 A 3

229 Anexo Tabela A.4 Propriedades de Líquidos Temperatur a Massa Específico Viscosidade Dinâmica Tensão Superficial Pressão de Vapor Módulo de Elasticidade T ρ µ σ P v E v LÍUIDOS o C kg/m 3 Pa.s N/m N/m N/m Água 5,6 999,x0-3 7,34x0 -,77x0 3,5x0 9 Tetracloreto de carbono ,58x0-4,69x0 -,3x0 4,3x0 9 Álcool etílico 0 789,9x0-3,8x0-5,9x0 3,06x0 9 Gasolina 5, ,x0-4,x0-5,5x0 4,3x0 9 Glicerina 0 60,5 6,33x0 -,4x0-4,5x0 9 Mercúrio ,57x0-3 4,66x0 -,6x0 -,85x0 9 Óleo SAE 30 5,6 9 3,8x0-3,6x0 -,5x0 9 Água do mar 5,6 030,x0-3 7,34x0 -,77x0 3,34x0 9 Tabela A.5 Propriedades de Gases Temperatura Massa Específico Viscosidade Dinâmica Constante do Gás Expoente Adiabático T ρ µ R K GÁS o C kg/m 3 Pa.s J/kg K Ar 5,3,79x0-5 86,9,4 Dióxido de carbono 0,83,47x0-5 88,9,3 élio 0,66x0 -,94x ,66 idrogênio 0 8,38x0-8,84x0-6 43,4 Metano (Gás natural) 0 6,67x0 -,0x0-5 58,3,3 Nitrogênio 0,6,76x0-5 96,8,4 Oxigênio 0,33,04x0-5 59,8,4 PUCRS FENG 00 A 4

230 Anexo VISCOCIDADE CINEMÁTICA DE FLUIDOS Figura A. Viscosidade cinemática em função da temperatura PUCRS FENG 00 A 5

231 Anexo VISCOCIDADE ABSOLUTA DE FLUIDOS Figura A. Viscosidade dinâmica em função da temperatura PUCRS FENG 00 A 6

232 Anexo Equações para Determinar as Propriedades da Água em Função da Temperatura Massa Específica (kg/m 3 ) ρ C C + C T + C T 000,6 C 3 (kg/m 0,064 3 ) C 0 onde T ( C) 3 0,0037 Viscosidade Dinâmica - (cp) - Fórmula de Bingham 0,048 µ µ cp( centipoise) [ Z + ( Z ,4) ] / 0 onde : Z T( C) 8,435 µ, ( cp) *0,00 para converter em (kg /m.s) Equações de Popiel e Wojtkowiak (*) Massa Específica (kg/m 3 ),5 ρ a + bt + ct + dt + et 3 (kg/m 3 ) onde 0 T ( C) a 999,79684 b 0, c 0, d 0, e -, x0-5 Viscosidade Dinâmica (kg/ms) 3 µ / a + bt + ct + dt kg/(ms) ( ) ( ) a 557,8468 b 9,40878 c 0, onde : T ( C) (*) Journal of Fluid Eng. June 000 Vol. Pag d 3,6083 x0 4 PUCRS FENG 00 A 7

233 Anexo Tabela A.6 Perda de Carga Localizada - Tubulações de Ferro Fundido e Aço (Comprimento equivalente em metros de tubulação Tabela A.7 Perda de Carga Localizada - Tubulações de PVC Rígido (Comprimento equivalente em metros de tubulação PUCRS FENG 00 A 8

234 Anexo Tabela A.8 Estimativa do consumo predial Prédio Consumo Unidade (litros/dia) Alojamentos provisórios 80 Por pessoa Casas Populares Residências 0 Por pessoa Residências 50 Por pessoa Apartamentos 00 Por pessoa otéis (s/cozinha s/lavanderia) 0 Por hospede ospitais 50 Por leito Escolas Internatos 50 Por pessoa Escolas semi-internatos 00 Por pessoa Escolas externatos 50 Por pessoa uartéis 50 Por pessoa Edifícios públicos ou comerciais 50 Por pessoa Escritórios 50 Por pessoa Cinemas e teatros Por lugar Templos Por lugar Restaurantes e similares 5 Por refeição Garagens 50 Por automóvel Lavanderia 30 Kg de roupa seca Mercados 5 M de área Matadouros animais de grande porte 300 Por cabeça abatida Matadouros animais de pequeno porte 50 Por cabeça abatida Fábricas em geral (uso pessoal) 70 Por operário Postos de serviços para automóvel 50 Por Veículo Cavalariças 00 Por Cavalo Jardins,5 M de área Orfanato, asilo, berçário 50 Por pessoa Ambulatório 5 Por pessoa Creche 50 Por pessoa Oficina de costura 50 Por pessoa As tabelas mostram valores típicos utilizados, contudo, a experiência em diferentes processos com fluidos podem exigir velocidades maiores o menores que estas. Velocidades menores podem ser utilizadas para levar em conta aumentos futuros de capacidade, corrosão e formação de crostas. Velocidades maiores podem ser utilizadas para prevenir decantação e entupimento. Tabela A.9 Velocidades Práticas Recomendadas Tipo de aplicação Velocidades recomendadas (m/s) Sucção de bombas e drenos 0,4 a,0 Recalque e tubulações de uso geral,5 a 3,0 Alimentação de caldeiras,4 a 4,0 PUCRS FENG 00 A 9

235 Anexo Tabela A.0 Velocidades Práticas Recomendadas Tipo de Serviço e tipos de Fluido Velocidade (m/s) Aspiração em bombas Líquido finos (água, álcool) 0,4,0 Líquidos viscosos (acima de 0,0Pa s) 0, 0,4 Recalque e linhas de uso geral Líquidos finos, 3,0 Líquidos viscosos 0,, Escoamento por gravidade 0,3,5 Drenos Água industrial e de serviços,7 3,5 Alimentação de caldeiras,5 4,0 Vapor Saturado 40 Super-aquecido 5 60 de alta pressão Ar comprimido Troncos 6,0 8,0 Ramais 8,0 0,0 Mangueira 5,0 30,0 Gases industriais Em alta pressão (acima de MPa) Baixa pressão (dutos de ventilação) 0 0 Em alto vácuo 00-0 Chaminés Tiragem natural 3 5 Tiragem forçada 0 0 Tubovias Conduzindo líquidos finos,5,0 Bombeamendo líquidos viscosos (oleodutos) 0,4,0 Por gravidade 0, 0,3 Linhas subterrâneas de esgoto Manilhas cerâmicas 5 Tubos de concreto 4 Tubos de cimento-amianto 3 Tubos de ferro fundido 6 Tubos de PVC 5 Fonte: Operações com Fluidos (Reynaldo Gomide) Tabela A. Diâmetros (mm) Típicos Utilizando as Equações Anteriores - (m 3 /h) Fonte: Operações com Fluidos (Gomide) PUCRS FENG 00 A 0

236 Anexo PUCRS FENG 00 A

237 Anexo Pressão de Vapor para Diferentes fluidos Figura A.4 Pressão de vapor em função da temperatura PUCRS FENG 00 A

238 Anexo MASSA ESPECIFICA DE FLUIDOS Figura A.5 Pressão de vapor em função da temperatura PUCRS FENG 00 A 3

239 Anexo Tabela A. CONVERSÃO DE UNIDADES Para converter de Para Multiplique por CV P 0,6863 C.F.M. (pé cúbico/min) Litro/seg 0,47 Centímetro quadrado pé 076 x 0-3 Galão (amer) Centímetro cúbico Galão (amer.) Litro 3,785 Galão (amer.) Metro cúbico 3,785x 0-3 Galão/min Litro/seg 0,06308 Grau Celsius Grau Fahrenheit ( o C x 9/5 ) + 3 orse Power Btu/h P CV,04 p Kcal/hora 64, P Kwatt 0,7457 P. h Btu.544 Kcal/h. m ( 0 C/m) Btu/h. pé ( 0 F/pe) 0,67 Libra*pé/seg CV,843 x 0-3 Libra*. pé/seg P,88 x 0-3 Libra*. pé/seg kw,356 x0-3 Libra* /polegada Atmosfera 0,06804 Libra* / polegada kg*cm 0,0730 Libra*. pé/min kw,60 x 0-5 Litro Galão 0,64 Libra* / pé Atmosfera Física 4,75 x0-4 Libra* / pé kg* / m 4,88 Metro Jarda,094 Metro Milha marítima 5,396 x 0-4 Metro Milha terrestre 6,4 x 0-4 Metro Pé 3,8 Metro Polegada 39,37 Metro cúbico Galão (amer.) 64, Metro/min Milha/h 0,0378 Milibar Libra*/pol 0,045 Milha (marítima) Jarda.07 Milha (marítima) km,853 Milha (marítima) Milha terrestre,56 Milha quadrada uilômetro quadrado,59 Milha terrestre Metro.609 Newton Dina 0 5 Pé Metro 0,3048 Pé Centímetro 30,48 Pé cúbico Galão (líq.) 7,4805 Pé cúbico Litro 8,3 Pé cúbico m 3 0,083 Polegada cúbica Litro 0,0639 Polegada cúbica Pé cúbico 5,787 x C -4 Polegada de g Kg*/cm 0,03453 Fonte PUCRS FENG 00 A 4

240 Anexo Tabela A. CONVERSÃO DE UNIDADES (Continuação) Para converter de Para Multiplique por uilograma*/cm Polegada de g 8,96 uilômetro Jarda.094 uilo caloria CV. h,58 x 0-3 uilo caloria Libra*. Pé 3,088 uilowatt P,34 uilowatt Btu 3.43 uilowatt. hora P. h,34 uilowatt. h Libra*. pé,655 x 0 6 Radiano Grau 57,3 Radiano Minuto Rotação por minuto (rpm) Grau/segundo 6 Ton Libra.000 Tonelada Libra,05 Tonelada (refrigeração) P 4,77 Watt Btu / hora 3,49 Watt Btu/minuto 0,05688 Watt C.V.,360 x 0-3 Watt P,34 x 0-3 Watt. h P. h,34 x 0-3 Fonte CONVERSÃO DE PRESSÕES PUCRS FENG 00 A 5

241 Anexo PERDA DE CARGA DE CONEXÕES PVC (em metros de tubulação equivalente) Fonte: Alpina Manual de aquecimento Solar PERDA DE CARGA DE CONEXÕES TUBOS NOVOS DE FERRO FUNDIDO OU GALVANIZADO E TUBOS DE PVC (em metros de tubulação equivalente) CONEXÕES 3/4" " /4" /" " /" 3" 4" 5" 6" 8" 0" " registro gaveta 0,0 0, 0,8 0,0 0,8 0,34 0,46 0,65 0,83,0,50,80,37 registro globo 5,00 6,80 9,70,80 6,00 0,00 6,00 37,00 48,00 60,00 83,00 03,00 35,00 válvula de retenção,0,50,0,50 3,40 4,30 5,50 7,70 0,0,60 7,60,70 8,60 curva - 90º 0,30 0,40 0,60 0,70,00,0,50,00,80 3,50 4,90 6,00 7,90 cotovelo - 45º 0,30 0,40 0,50 0,60 0,90,0,40,90,50 3,0 4,40 5,40 7,0 cotovelo - 90º Tee 0,60 0,80,0,30,80,0,90 4,00 5,0 6,50 9,00,30 4,80 válvula de pé 0,80 4,90,00 6,00 35,00 44,00 57,00 79,00 00,00 30,00 80,00 5,00 300,00 Fonte: Thebe Bombas idráulicas Ltda. PUCRS FENG 00 A 6

242 Anexo TABELAS DE PERDAS DE PRESSÃO EM 00 METROS DE TUBOS NOVOS DE FERRO FUNDIDO OU GALVANIZADO E TUBOS DE PVC Fonte: Thebe Bombas idráulicas Ltda. Os valores acima estão de acordo com a NBR-566 OBS: Em se tratando de tubos Galvanizados ou FºFº usados, deve-se acrescentar 3% aos valores acima para cada ano de uso da tubulação. PUCRS FENG 00 A 7