Combinatória - Nível 2

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1 Combinatória - Nível 2 POTI UFPR Lista 4-13/05/2017 Endereço do site do POTI, para ter acesso às listas e aos gabaritos: Diagrama de Venn 1. Dentre os moradores de certa vila de casas, sabe-se que 36 deles gostam de assistir à TV, 47 gostam de ir à academia e 23 gostam dos dois. Se 92 moradores opinaram, então o total deles que não gostam nem de TV e nem de ir à academia é: 2. Em uma sala de aula, a professora de Matemática decidiu fazer um levantamento dos lanches comprados pelos alunos. A professora verificou que, de um total de 35 alunos, dezenove compraram salgado; destes, quatro compraram pizza e salgado, e sete alunos não compraram lanche nesse dia. Quantos alunos compraram apenas pizza? 3. Em um curso de idiomas, foi feita uma pesquisa com adolescentes para verificar quais línguas estrangeiras eles gostariam de aprender. O resultado foi: 23 gostariam de aprender inglês 24 gostariam de aprender espanhol 25 gostariam de aprender italiano 12 gostariam de aprender inglês e italiano 10 gostariam de aprender italiano e espanhol 9 gostariam de aprender inglês e espanhol 7 gostariam de aprender inglês, espanhol e italiano Quantos adolescentes foram entrevistados? 4. Numa academia de ginástica que oferece várias opções de atividades físicas, foi feita uma pesquisa para saber o número de pessoas matriculadas em alongamento, hidroginástica e musculação, chegando-se ao resultado expresso na lista a seguir: 109 matrículas em alongamento 203 matrículas em hidroginástica 162 matrículas em musculação 25 matrículas em alongamento e hidroginástica 28 matrículas em alongamento e musculação 41 matrículas em hidroginástica e musculação 5 matrículas nas três atividades 115 matrículas em outras atividades Indique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. 1

2 ( ) A pesquisa envolveu 500 pessoas ( ) 61 pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento ( ) 259 pessoas estavam matriculadas em alongamento ou musculação ( ) 89 pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela ( ) 301 pessoas estavam matriculadas em apenas uma atividade. 5. O resultado de uma pesquisa mostrou que, em um grupo de 77 jovens, há: um total de 32 moças 4 moças que trabalham e estudam 13 moças que não estudam nem trabalham 15 moços que trabalham e não estudam 10 moços que estudam e não trabalham 25 jovens que não trabalham nem estudam 15 jovens que estudam e não trabalham Indique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. ( ) O número de moços é de 50 ( ) O número de moços que não trabalham nem estudam é de 12 ( ) O número de moças que trabalham e não estudam é de 9 ( ) O número de moços que trabalham e estudam é de de 9 ( ) O número de moças que estudam e não trabalham é de 4 ( ) O número de pessoas que, somente trabalham ou somente estudam, sem realizar os dois ao mesmo tempo, é de 40 Lógica 6. (Canguru 2016) Na minha escola, 60% dos professores usam bicicleta e 12% usam carro para vir trabalhar. Se exatamente 45 professores vêm de bicicleta, quantos professores vêm de carro para a escola? 7. (Canguru 2014) Neste ano, a soma das idades de uma vovó, sua filha e sua neta é igual a 100. A idade de cada uma delas é uma potência de dois. Quantos anos tem a neta? 8. (OBMEP 2015) Em um palácio estavam presentes apenas o rei e alguns de seus súditos. Cada um dos presentes acenou para cada um dos demais uma única vez, com exceção do rei, que não acenou para ninguém. Houve um total de 1296 acenos. Quantos súditos estavam presentes no palácio? 9. (OBMEP 2011) Vovô Eduardo comemorou todos os seus aniversários a partir dos 40 anos colocando, no bolo, velinhas em forma de algarismos de 0 a 9 para indicar sua idade. Primeiro ele comprou as velinhas de números 0 e 4. Ele sempre guardou as velinhas para usar nos próximos aniversários, comprando uma nova somente quando não era possível indicar sua idade com as guardadas. Hoje vovô Eduardo tem 85 anos. Quantas velinhas ele comprou até hoje? 10. (OBM 2011) Subtraindo um mesmo número do numerador e do denominador da fração 13 14, obtemos a fração. Qual é a soma dos algarismos desse número? (Canguru 2014) A cada ano, o concurso Canguru é realizado na terceira quinta-feira do mês de março. Qual é a possí-vel data mais tardia para o concurso? 12. (OBMEP 2010) Um certo mês tem cinco segundas-feiras e cinco quartas-feiras. Em que dia da semana cai o dia 26 desse mês? 2

3 13. (Canguru 2013) Alexandre acende uma vela a cada dez minutos. Cada vela acesa dura exatamente 40 minutos. Quantas velas estão acesas 55 minutos depois que Alexandre acendeu a primeira vela? 14. (Canguru 2016) O relógio de Teobaldo está atrasado 10 minutos, mas ele pensa que o relógio está adiantado 5 minutos. O relógio de Leonardo está adiantado 5 minutos, mas Leonardo pensa que está atrasado 10 minutos. No mesmo instante em que olham seus relógios, Teobaldo acha que são 12 horas. Que horas Leonardo acha que são? 15. (Canguru 2013) Uma sacola contém duas bolas vermelhas, três azuis, dez brancas, quatro verdes e três pretas. Bruna quer tirar as bolas da sacola sem olhar, pegando uma de cada vez sem colocá-la de volta na sacola. Pelo menos quantas bolas Bruna deve retirar para ter certeza de que entre as bolas retiradas (a) haja duas de mesma cor? (b) haja duas de cores diferentes? 16. (Canguru 2015) Numa classe do nono ano não há dois garotos que nasceram no mesmo dia da semana, nem duas garotas que nasceram no mesmo mês. Entretanto, se algum aluno novo for aceito na sala, uma dessas duas condições não será mais verdadeira. Quantos alunos há na sala? 17. (OBM 2016) Lena quer completar as casas do tabuleiro 3 3 ao lado, usando as mesmas letras já escritas, de modo que casas vizinhas (casas com um lado comum) não tenham a mesma letra. Que letra poderá ser escrita na casa cinzenta? 18. (OBM 2012) Renan desenhou um tabuleiro 4 4, como mostra a figura abaixo, e contou todos os quadrados com lados paralelos aos lados do tabuleiro com vértices escolhidos dentre os vértices dos quadradinhos do tabuleiro e obteve 30 quadrados. Que número Renan teria obtido se ele tivesse feito o mesmo com um tabuleiro ? 19. (OBM 2015) Juquinha e seus amigos organizaram uma corrida com seus carrinhos. O carrinho branco (B) chegou antes do vermelho (V) e do marrom (M). O carrinho azul (A) chegou depois do marrom e antes do vermelho. Qual foi a ordem de chegada dos carrinhos? 20. (Canguru 2016) Ivo anota os resultados das quartas de final, semifinal e final de um torneio de tênis. Esses resultados são os seguintes, não necessariamente nessa ordem: Beto vence Antônio, Carlos vence Damião, Gregório vence Henrique, Gregório vence Carlos, Carlos vence Beto, Eduardo vence Frederico e Gregório vence Eduardo. Quais foram os dois finalistas? 21. (OBMEP 2015) Daniel e mais quatro amigos, todos nascidos em estados diferentes, reuniramse em torno de uma mesa redonda. O paranaense sentou-se tendo como vizinhos o goiano e o mineiro. Edson sentou-se tendo como vizinhos Carlos e o sergipano. O goiano sentou-se tendo como vizinhos Edson e Adão. Bruno sentou-se tendo como vizinhos o tocantinense e o mineiro. Quem é o mineiro? 3

4 22. (OBMEP 2014) Cinco meninas não estão totalmente de acordo sobre a data da prova de Matemática. Andrea diz que será em agosto, dia 16, segunda-feira; Daniela diz que será em agosto, dia 16, terça-feira; Fernanda diz que será em setembro, dia 17, terça-feira; Patrícia diz que será em agosto, dia 17, segunda-feira; Tatiane diz que será em setembro, dia 17, segunda-feira. Somente uma está certa, e as outras acertaram pelo menos uma das informações: o mês, o dia do mês ou o dia da semana. Quem está certa? 23. (Canguru 2013) Ada, Bia, Cris, Dina e Edna nasceram, não necessariamente nesta ordem, em 20/2/2001, 12/3/2000, 20/3/2001, 12/4/2000 e 23/4/2001. Ada e Edna nasceram no mesmo mês, assim como Bia e Cris. Ada e Cris nasceram no mesmo dia, porém em diferentes meses. O mesmo ocorre com Dina e Edna. Qual delas é a mais jovem? 24. (Canguru 2015) A professora Íris perguntou a cinco de seus alunos quais deles haviam estudado no dia anterior. Respostas de Ana, Beatriz, Carlos, Dina e Ernesto, respectivamente: Ninguém, Só um, Exatamente dois, Exatamente três e Exatamente quatro. Íris sabia que os que não estudaram não estavam dizendo a verdade, mas os que tinham estudado estavam dizendo a verdade. Quantos desses cinco alunos estudaram? 25. (OBM 2014) Roraima Jonas, um arqueólogo aventureiro, ao fugir de uma caverna se depara com quatro portas, numeradas de 1 até 4, e quatro mensagens. As mensagens dizem: Mensagem 1: As portas 1 e 2 são seguras. Mensagem 2: Exatamente duas entre as portas 1, 2 e 3 são seguras. Mensagem 3: A porta 1 é segura. Mensagem 4: A porta 3 é segura. Roraima Jonas é um estudioso e, por isso, sabe que exatamente uma das mensagens é mentira e exatamente uma das portas não é segura (ativaria uma armadilha). Qual porta Roraima Jonas pode garantir que é segura? 26. (OBM 2016) Num país imaginário, vivem somente duas espécies de pessoas: os honestos, que sempre dizem a verdade e os mentirosos, que só dizem mentira. Numa fila de 2016 pessoas da ilha, o primeiro da fila diz que todos atrás dele são mentirosos e todas as demais pessoas da fila dizem que quem está à sua frente é mentiroso. Quantas pessoas mentirosas estão nessa fila? 27. (OBMEP 2011) Tia Geralda sabe que um de seus sobrinhos Ana, Bruno, Cecília, Daniela ou Eduardo comeu todos os biscoitos. Ela também sabe que o culpado sempre mente e que os inocentes sempre dizem a verdade. Bruno diz: O culpado é Eduardo ou Daniela. Eduardo diz: O culpado é uma menina. Por fim, Daniela diz: Se Bruno é culpado então Cecília é inocente. Quem comeu os biscoitos? 28. (Canguru 2014, adaptada) Numa nave espacial há alienígenas de três espécies: arcs, ercs e ircs. Cada arc sempre diz a verdade, cada erc sempre mente e cada irc alterna entre dizer a verdade e mentir. Ao chegarem à Terra, 17 deles responderam sim à pergunta Você 4

5 é um arc?, 12 responderam sim à pergunta Você é um irc? e 8 responderam sim à pergunta Você é um erc?. Sabendo que as perguntas foram feitas nesta ordem, quantos arcs haviam na nave? 29. (OBMEP 2010) Adriano, Bruno, Carlos e Daniel participam de uma brincadeira na qual cada um é um tamanduá ou uma preguiça. Tamanduás sempre dizem a verdade e preguiças sempre mentem. Adriano diz: Bruno é uma preguiça. Bruno diz: Carlos é um tamanduá. Carlos diz: Daniel e Adriano são diferentes tipos de animais Daniel diz: Adriano é uma preguiça. Quantos dos quatro amigos são tamanduás? 30. (OBM 2015) Jonas gosta de observar os relógios digitais espalhados por sua cidade que informam a hora e a data. Por coincidência ele viu que hoje é dia 12/06 e naquele momento marcava 12:06, ou seja, data e hora são formados com os mesmos números! Ele ficou encucado com a coincidência e chamou o momento (data e hora) de encucado. Ele pensou que também seria interessante se a hora fosse formada com os mesmos números mas na ordem trocada, por exemplo, no dia 21/06 às 06:21, então chamou esse momento de encucado reverso. Considerando que 2015 não é um ano bissexto, desde 01/01/2015 às 00:00 até 31/12/2015 às 23:59 quantos momentos são encucados ou encucados reversos? Observação: as questões marcadas com Canguru foram retiradas do concurso Canguru de Matemática Brasil, nível C. As questões marcadas com OBM ou OBMEP se referem às provas da primeira fase do nível 2. Gabarito V-V-F-F-V 5. F-V-F-F-F-V de março 12. sexta-feira h 30min 15. (a) 6 (b) Qualquer uma B-M-A-V 20. Carlos e Gregório 21. Daniel 22. Patrícia 23. Bia Eduardo