UTILIZAÇÃO DOS JOGOS MATEMÁTICOS PARA O ENSINO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA

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1 UTILIZAÇÃO DOS JOGOS MATEMÁTICOS PARA O ENSINO DA ANÁLISE COMBINATÓRIA LECCA, Edriel Marques. Graduando em Matemática, CTESOP, edriel_lecca@hotmail.com TAVARES, Carlos Henrique. Graduando em Matemática, CTESOP, karlos_rik@hotmail.com BOCHENEK, Sandro. Orientador, Mestre e docente, CTESOP, sandro@marilia.unesp.br SARAIVA, Lucilene Oenning Orientadora, Mestre e docente, CTESOP, luc.saraiva58@gmail.com Resumo: Este trabalho apresenta uma proposta de jogo para o ensino de análise combinatória, intitulado dominó de fatoriais. Partindo desse pressuposto são enunciados alguns conceitos que definem o campo de estudo da análise combinatória. Após essas considerações buscou-se apresentar concepções sobre a temática que abrange os jogos matemáticos e suas contribuições para o processo de ensino e aprendizagem da Matemática, seguida da apresentação do jogo. O presente trabalho foi realizado por meio de pesquisa bibliográfica. Dessa maneira percebeu-se que o jogo matemático pode se tornar um grande aliado do professor como recurso didático auxiliando durante o desenvolvimento do ensino da Matemática. Palavras-chave: Jogos matemáticos. Ensino da Matemática. Análise Combinatória. Introdução Há diversas metodologias que contribuem para o ensino e aprendizagem de Matemática. Modelagem matemática, etnomatemática, resolução de problemas, uso de tecnologias, análise de erros, jogos e materiais manipuláveis, entre outras

2 metodologias que proporcionam aos alunos aulas mais dinâmicas e ajudam a compreender e aprender os conteúdos e problemas propostos. Dentre os conteúdos estudados no ensino médio, geralmente inserido no segundo ou terceiro ano, está o de análise combinatória. Neste, em especial, os alunos apresentam maior dificuldade, pois, requer um grau elevado de sistematização e análise de informações. Acredita-se que para um desenvolvimento mais aprimorado desse conteúdo durante a aula, seja viável que o professor busque alternativas para transpor esses obstáculos, e o uso do jogo é uma delas. Entretanto, sabe-se que uma aula dinâmica e criativa exige certo esforço por parte do professor para idealizar e preparar atividades, e que este por vezes depara-se com alguns obstáculos para o processo de ensino e aprendizagem, e entre eles os principais são: a distribuição dos horários das aulas, a disponibilização do espaço físico das salas, a quantidade de alunos, entre outros problemas que a abrange a educação básica no país. No entanto, em contrapartida os resultados alcançados podem ser bastante satisfatórios, pois o professor sai da rotina tradicional, geralmente instaurada, em que os únicos materiais utilizados são o quadro e giz, promovendo mais diversão à aula, aderindo novos recursos pedagógicos ao seu currículo. Atualmente, muito se acredita na inserção dos jogos matemáticos como um recurso pedagógico eficiente, o qual tem como tarefa, funcionar como uma espécie de ferramenta, auxiliando na fixação do conteúdo abordado, tendo como principal objetivo tornar o aluno um sujeito crítico, capaz de raciocinar e buscar conhecimentos por meio da sua autonomia. No entanto, de acordo com Fiorentini e Miorim (1990, p.2), é preciso cautela, pois a simples introdução de jogos ou atividades no ensino de matemática não garante uma melhor aprendizagem desta disciplina. Afinal o jogo por si só sem um objetivo pré-estabelecido não trás nenhum beneficio, cabe então ao professor orientar e estabelecer metas a serem atingidas com seu uso para que a aula não se torne vazia de conhecimento.

3 Neste trabalho pretende-se propor a aplicação dos jogos matemáticos no processo de ensino e aprendizagem de análise combinatória. Apresentam-se inicialmente, algumas concepções sobre a análise combinatória, seguida de alguns princípios que abrangem os domínios dos jogos matemáticos, e para complementar será apresentado um jogo específico para o ensino e aprendizagem do conceito de fatorial. Algumas concepções sobre a Análise Combinatória A análise combinatória é o ramo da Matemática que se preocupa em explorar e avaliar todas as possibilidades e combinações possíveis de um determinado pressuposto, prezando o estudo das técnicas de contagem, concreta e implícita, para as possíveis soluções que compreendem determinadas situações. Desse modo, Morgado, Et al. (1991) Apud Borba (2010, p.2), afirmam que: Na análise combinatória são estudadas estruturas e relações discretas, sendo os problemas mais frequentes a demonstração de existência de subconjuntos de elementos de um conjunto finito dado que satisfazem determinadas condições e a contagem ou classificação de subconjuntos de um conjunto finito que atendem a certas condições dadas. Entende-se assim que fundamentada de mecanismos abrangentes em vários campos do conhecimento, a análise combinatória instiga o aluno a desenvolver métodos para que consigam determinar o número de possibilidades de um conjunto, constituído de um número finito de elementos sob certas condições. No Ensino Médio, o conhecimento denominado Tratamento da Informação é um meio para resolver problemas que exigem análise e interpretação. Trata de problemas de contagem que exigem cálculos elaborados e engloba uma grande variedade de técnicas de resolução, tal como a análise combinatória, que abrange arranjos, permutações e combinações (PARANÁ, 2008, p.61)

4 Portanto, ao estudar a análise combinatória no Ensino Médio, os alunos estão submetidos a compreensão das suas subdivisões, ou seja, permutação, arranjo e combinação. A permutação consiste ao conjunto que obtido com certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um conjunto e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos. Para Dante (2009, p.285), permutar é sinônimo de trocar. Intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar a permutação à noção de embaralhar, de trocar objetos de posição. Paiva mostra o seguinte exemplo: de quantas maneiras cinco pessoas podem formar uma fila indiana? (Paiva, 1995, p. 185). Um arranjo, dado um conjunto B de elementos distintos e tomando um subconjunto com uma quantidade menor ou igual de elementos do conjunto B, é a escolha destes subconjuntos entre os elementos de B na qual a ordem importa. Por exemplo, As 5 finalistas do concurso para Miss Universo são: Miss Japão, Miss Brasil, Miss Finlândia, Miss Argentina e Miss Noruega. De quantas formas os juízes poderão escolher o primeiro o segundo e o terceiro lugares nesse concurso? (HAZZAN, 2004, p.21). As Combinações são agrupamentos formados com os elementos de um conjunto, assim como os arranjos, diferenciando apenas que a ordem de seus elementos não interfere no novo subconjunto obtido. Exemplo: De quantas maneiras pode-se escolher 4 cartas de um baralho de 52 cartas, sem levar em consideração a ordem das cartas? Verifica-se assim, que pela complexidade e pela variação dos componentes que integram a análise combinatória, os alunos do ensino médio na maioria das vezes confundem qual método usar, independentemente do problema proposto. Suas dificuldades vão além das fórmulas, frequentemente seus maiores problemas estão presentes no processo de interpretação do enunciado, em que as maiores dúvidas surgem com relação à estratégia combinatória a ser utilizada. Portanto, ao aluno compete analisar com atenção e supor quais estratégias combinatórias adequadas para encontrar as devidas soluções, instigando assim seu raciocínio combinatório. Para Borba (2010, p.3) o raciocínio combinatório é modo de

5 pensar presente na análise de situações de modo a atender critérios específicos, direta ou indiretamente, para determinar uma solução do número de agrupamentos possíveis. Assim compete ao estudante uma busca de todas as possíveis relações e resoluções de uma determinada situação problema, para alcançar assim a melhor maneira de resolver essa situação, o que acarreta em uma evolução do seu raciocínio e desenvolvimento cognitivo. Portanto, considera-se que o raciocínio combinatório pode ser desenvolvido a partir da interação. A seguir apresentam-se definições, conceitos e atribuições do jogo matemático como metodologia e recurso durante o processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Concepções sobre a utilização dos Jogos Matemáticos Cada pessoa tem um jeito, um modo, uma forma de aprender peculiar. Assim é importante que o professor utilize estratégias diversificadas na busca de conseguir que, se não todos, mas uma grande parte dos alunos aprenda e compreenda os conceitos matemáticos apresentados em sala de aula. Nesse sentido, Silva e Amaral (2011) quando afirmam que: Entre essas estratégias está o jogo pedagógico, o qual tem como objetivo auxiliar na construção do conhecimento e pode ser utilizado como uma alternativa para se melhorar o desempenho dos estudantes em alguns conteúdos de difícil aprendizagem, além de estimular atitudes de participação, cooperação e iniciativa. (SILVA E AMARAL, 2011, p.2) Os jogos matemáticos podem ser empregados para inserir ou aprimorar conteúdos, propiciando ao aluno o aprofundamento de tópicos já trabalhados. Estes devem ser definidos e preparados com cuidado para induzir o aluno a adquirir concepções matemáticas de relevância. Deste modo, Moura (1991), declara:

6 O jogo para ensinar Matemática deve cumprir o papel de auxiliar no ensino do conteúdo, propiciar a aquisição de habilidades, permitirem o desenvolvimento operatório do sujeito e, mais, estar perfeitamente localizado no processo que leva a criança do conhecimento primeiro ao conhecimento elaborado. (MOURA,1991, p.47). Desta maneira, é de extrema importância que o professor demonstre o verdadeiro sentido e papel que o jogo matemático apresenta ao seu favor, que é proporcionar o senso crítico e investigador ao aluno, ajudando na compreensão e entendimento de determinados conteúdos relacionados ao ensino da Matemática. Portanto, o emprego de atividades lúdicas e materiais concretos no processo de ensino da Matemática está absolutamente vinculada ao desenvolvimento intelectual do aluno. Quanto à inserção dos jogos matemáticos Groenwald e Timm, (2000) afirmam que: O uso de jogos e curiosidades no ensino da Matemática tem o objetivo de fazer com que os adolescentes gostem de aprender essa disciplina, mudando a rotina da classe e despertando o interesse do aluno envolvido. A aprendizagem através de jogos [...] permite que o aluno faça da aprendizagem um processo interessante e até divertido. Para isso, eles devem ser utilizados ocasionalmente para sanar as lacunas que se produzem na atividade escolar diária. Neste sentido verificamos que há três aspectos que por si só justificam a incorporação do jogo nas aulas. São estes: o caráter lúdico, o desenvolvimento de técnicas intelectuais e a formação de relações sociais. (GROENWALD E TIMM, 2000, p.22) Seguindo essa linha de pensamento, o jogo matemático proporciona um ambiente descontraído, divertido e animador, distinto do ambiente tradicional, às vezes monótono e sem graça, no qual as aulas de matemática não passam de cálculos, fórmulas e definições, sendo esta uma alternativa para impulsionar o interesse dos alunos, tornando o conhecimento alcançado amplo e intensificador. Outro fator importante é o das relações sociais durante a prática do jogo, pois, os estudantes devem trabalhar juntos, em equipe, para conseguirem os resultados esperados, fortalecendo assim laços coletivos, em que um ajuda o outro, estimulando o raciocínio lógico e desenvolvimento de técnicas intelectuais, incentivando nas decisões e na coerência do acerto. Na sequência encontra-se um jogo matemático utilizado como metodologia de ensino, este jogo como recurso metodológico de auxílio para o ensino da análise combinatória.

7 . Proposta de jogo visando o ensino de fatorial Devido à grande utilização do fatorial para efetuar os cálculos que envolvem a análise combinatória, propõe-se assim para uma fixação e aprimoramento desse conceito um material didático, mais especificamente um dominó usando números fatoriais. Assim para a confecção do jogo pode-se dispor da utilização de materiais simples, de baixo custo e de fácil manuseio, dispensando a utilização de apetrechos sofisticados. Dessa maneira para a fabricação desse material pode-se utilizar diversas matérias-primas, como o papelão, o papel cartão, cartolina, EVA, entre outros materiais que podem ser cortados para a confecção das peças que irão compor o jogo. Assim como no dominó original, será necessária a fabricação de vinte e oito peças para a disposição dos números fatoriais que irão compor o jogo, sendo compostas de sete carretões e as outras vinte e uma peças que devem ser organizadas com números fatoriais e seus resultados. A imagem a seguir ilustra o jogo. (Elaborados pelos autores, 2015) Para iniciar o jogo será necessário que as peças estejam viradas para baixo de forma que os jogadores não visualizem as peças que vão escolher durante a partida. Cada jogador deverá escolher de forma aleatória sete peças, desta maneira poderão participar no máximo quatro competidores cada jogo. Assim o jogador que

8 retirar o maior carretão começa. Definida a ordem dos participantes, cada jogador irá jogar na sua vez completando um dos lados das peças que estiver à disposição na mesa com uma peça que estiver na sua mão e que os resultados sejam iguais, assim o vencedor será o jogador que primeiro ficar sem peças na mão. Considerações Finais Observa-se que a grande maioria dos alunos apresenta dificuldades durante o ensino e aprendizagem de análise combinatória, visto que este é um conteúdo que possui atividades que necessitam um alto nível de criticidade e raciocínio lógico, além da sistematização e análise de informações para sua resolução. Sendo assim é de extrema importância que o professor utilize diferentes modos metodológicos durante o ensino desse conceito. Acredita-se que o jogo matemático é uma forma eficaz que poderá ajudar na compreensão dos estudantes. Com a utilização do jogo em sala de aula observa-se que as situações que surgem durante a prática garantem aos alunos interação entre os colegas, elevação da concentração, favorecendo o desenvolvimento dos cálculos mentais. Além disso, durante o jogo, os alunos constroem laços sociais com seus colegas, tornando o ambiente escolar mais dinâmico, alegre, propicio para um processo de ensino e aprendizagem eficaz e de qualidade. Pode-se perceber que o jogo matemático é uma ferramenta metodológica eficaz e um importante instrumento auxiliador do professor no processo de ensino e aprendizagem dos conteúdos que serão abordados durante sua prática. Entretanto vale dizer que o jogo não substitui as aulas expositivas, ele apenas tem o papel de fortalecer os procedimentos didáticos durante o processo de ensino e aprendizagem. Referências BORBA, R. O Raciocínio Combinatório na Educação Básica. In: Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática. (X Enem), Salvador, BA, Pesquisado em: < acesso em: 02 de maio de h: 45min.

9 DANTE, R. L. Matemática. 1ª edição. São Paulo, SP: Ática, FIORENTINI, D., MIORIM, M. A. Uma Reflexão sobre o Uso de Materiais Concretos e Jogos no Ensino da Matemática. Boletim SBEM-SP. São Paulo, ano 4, n.7, p. 5-10, jul./ago GROENWALD, Claudia Lisete Oliveira; TIMM, Ursula Tatiana. Utilizando curiosidades e jogos matemáticos em sala de aula. Educação Matemática em Revista, p , HAZZAN, S. Fundamentos de matemática elementar, Vol. 5: combinatória e probabilidade. 7ª edição. São Paulo: Atual, MOURA, M. O. O Jogo e a Construção do Conhecimento Matemático. O Jogo e a Construção do Conhecimento na Pré-escola. Séries Idéias-FDE, São Paulo, v.10, p , PAIVA, M. R. Matemática, v.2. São Paulo: Moderna, PARANÁ. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica. Curitiba, PR: SEED Pesquisado em: < acesso em: 01 de maio de h: 45min. SILVA, T. C.; AMARAL, C. L. C. Jogos e avaliação no processo ensinoaprendizagem: uma relação possível. Local: Universidade Cruzeiro do Sul, v. 2, n. 1, p. 1-8, jan/jun 2011