Matemática A OFERTA AO ALUNO CADERNO DE PREPARAÇÃO PARA O EXAME NACIONAL. Matemática A. Paulo Cruchinho CADERNO DE PREPARAÇÃO PARA O EXAME NACIONAL

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1 Matemática A. CADERN DE PREPARAÇÃ PARA EXAME NACINAL ano Matemática A CADERN DE PREPARAÇÃ PARA EXAME NACINAL Paulo Cruchinho Consultor científico: Manuel Almeida Silva ano. FERTA A ALUN Comonentes do rojeto: Manual do aluno Caderno de Prearação ara o Exame Nacional (oferta ao aluno) Caderno de atividades Livromédia Teu Mestre (vídeos com a resolução de exercícios de rovas de Exame Nacional oferta incluída no Livromédia) Este caderno é oferecido com a comra do manual e não ode ser vendido searadamente. Conforme o novo Acordo r tográfico da língua ortuguesa

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3 Matemática A CADERN DE PREPARAÇÃ PARA EXAME NACINAL Projeto Desafios

4 Aresentação Este caderno destina-se aos alunos que se estão a rearar ara fazer o Exame Nacional de Matemática A de.º ano. Está dividido em três artes, de acordo com os temas que comõem o rograma da discilina (Probabilidades e Combinatória, Introdução ao Cálculo Diferencial II e Trigonometria e Números Comlexos), e aresenta um conjunto de questões retiradas dos exames nacionais já realizados. Cada tema inclui questões de escolha múltila, questões de resosta aberta e resetivas roostas de resolução, ara que o aluno ossa comrovar a sua evolução na arendizagem. QUESTõES DE ESClhA MúlTIPlA QUESTõES DE RESPSTA ABERTA PRPSTAS DE RESlUÇÃ

5 Índice TEMA Probabilidades e Combinatória... QUESTõES DE ESClhA MúlTIPlA... QUESTõES DE RESPSTA ABERTA... 7 PRPSTA DE RESLUÇÃ D TEMA PRBABIlIDADES E CMBINATÓRIA... TEMA Introdução ao Cálculo Diferencial II... 9 QUESTõES DE ESClhA MúlTIPlA... 9 QUESTõES DE RESPSTA ABERTA... PRPSTA DE RESLUÇÃ D TEMA INTRDUÇÃ A CÁlCUl DIFERENCIAl II... 9 TEMA Trigonometria e Números Comlexos... 0 QUESTõES DE ESClhA MúlTIPlA... 0 QUESTõES DE RESPSTA ABERTA... 6 PRPSTA DE RESLUÇÃ D TEMA TRIGNMETRIA E NúMERS CMPlEXS... 0 TEMA Probabilidades e Combinatória

6 TEMA Probabilidades e Combinatória QUESTÕES DE ESCLHA MÚLTIPLA. As cinco letras da alavra TIMR foram intadas, cada uma em sua bola. As cinco bolas, indistinguíveis ao tato, foram introduzidas num saco. Extraem-se, aleatoriamente, as bolas do saco, sem reosição, e colocam-se em fila, da esquerda ara a direita. Qual é a robabilidade de que, no final do rocesso, fique formada a alavra TIMR, sabendo-se que, ao fim da terceira extração, estava formada a sucessão de letras TIM? (A) 0 (B) (C) (D) Exame Nacional do. o ano, 007,. a fase. lança-se um dado com as faces numeradas de a 6. Considere os acontecimentos: A: «Sair face ímar»; B: «Sair face de número maior ou igual a». Qual é o acontecimento contrário de A, B? (A) Sair face ou face. (C) Sair a face. (B) Sair face ou face 6. (D) Sair a face. Exame Nacional do. o ano, 000,. a fase,. a chamada. De quantas maneiras distintas odem ficar sentados três raazes e quatro raarigas num banco de sete lugares, sabendo que se sentam alternadamente or sexo, ou seja, cada raaz fica sentado entre duas raarigas? (A) (C) (B) (D) 6 Exame Nacional do. o ano, 00,. a fase. A tabela de distribuição de robabilidades de uma variável aleatória X é: Æ i 0 P _X Æ i i a a 0, (a designa um número real) Qual é o valor médio desta variável? (A), (C), (B), (D), Exame Nacional do. o ano, 006,. a fase. Admita que a variável altura, em centímetros, dos raazes de anos de um certo aís, é bem modelada or uma distribuição normal, de valor médio 0. Escolhido, ao acaso, um raaz de anos desse aís, sabe-se que a robabilidade de a sua altura ertencer a um determinado intervalo 7a, ba é igual a 60%. Quais dos seguintes odem ser os valores de a e de b? (A) a 0 e b 70 (B) a 0 e b 0 (C) a 0 e b 0 (D) a 0 e b 80 Teste Intermédio do. o ano, 006

7 6. A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é. Qual é o quinto elemento da linha anterior? (A) 7 (B) 8 6 (C) 6 (D) 6 Teste Intermédio do. o ano, Quatro raarigas e quatro raazes entram num autocarro, no qual existem seis lugares sentados, ainda não ocuados. De quantas maneiras diferentes odem ficar ocuados esses seis lugares, suondo que ficam dois raazes em é? (A) 60 (B) 80 (C) 80 (D) 0 Exame Nacional do. o ano, 006,. a fase 8. Um baralho de cartas comleto é constituído or cartas, reartidas em quatro naies (esadas, coas, ouros e aus). Em cada naie há um ás, três figuras (rei, dama e valete) e mais nove cartas (do dois ao dez). A Joana retende fazer uma sequência com seis cartas do naie de esadas. Ela quer iniciar a sequência com o ás, quer que as três cartas seguintes sejam figuras e quer concluir a sequência com duas das nove restantes cartas desse naie. Quantas sequências diferentes ode a Joana fazer? (A) 6 (B) (C) 8 (D) 6 Teste Intermédio do. o ano, Considere duas caixas, A e B, cada uma delas contendo quatro bolas numeradas, tal como a figura abaixo ilustra. 6 Caixa A 7 8 Caixa B Extraem-se, ao acaso, duas bolas da caixa A e uma bola da caixa B. Multilicam-se os números das três bolas retiradas. Qual é a robabilidade de o roduto obtido ser um número ar? (A) 0 (B) (C) # C # C (D) C # C Exame Nacional do. o ano, 00,. a fase C # C 0. Uma caixa tem cinco bombons, dos quais aenas dois têm licor. Tira-se da caixa, ao acaso, uma amostra de três bombons. Considere que X designa a variável «número de bombons com licor existentes nessa amostra». Qual das seguintes distribuições de robabilidades ode ser a da variável X? (A) Æ i 0 (C) Æ i P _X Æ i i C 6 C C P _X Æ i i 6 C C C (B) Æ i 0 (D) Æ i P _X Æ i i 6 C C C P _X Æ i i 6 C C C Exame Nacional do. o ano, 00,. a fase,. a chamada TEMA Probabilidades e Combinatória

8 TEMA Probabilidades e Combinatória. A estatística revela que o basquetebolista Zé Mão Quente falha 0% dos lances livres que executa. Num treino, o Zé Mão Quente vai executar uma série de oito lances livres. Indique qual dos acontecimentos seguintes tem a robabilidade igual a: 8 8 0,9 C # 0,9 0, (A) Zé Mão Quente concretiza elo menos seis lances livres. (B) Zé Mão Quente concretiza elo menos sete lances livres. (C) Zé Mão Quente concretiza no máximo seis lances livres. (D) Zé Mão Quente concretiza no máximo sete lances livres. 7 7 # Teste Intermédio do. o ano, 009. Dois cientistas, que vão articiar num congresso no estrangeiro, mandam reservar hotel na mesma cidade, cada um sem conhecimento da marcação feita elo outro. Sabendo que nessa cidade existem sete hotéis, todos com igual robabilidade de serem escolhidos, qual é a robabilidade de os dois cientistas ficarem no mesmo hotel? (A) 7 (B) 7 (C) 7 6 (D) 7 Exame Nacional do. o ano, 007,. a fase. Todos os alunos de uma turma de uma escola secundária raticam elo menos um dos dois desortos seguintes: andebol e basquetebol. Sabe-se que: metade dos alunos da turma ratica andebol; 70% dos alunos da turma ratica basquetebol. Escolhe-se ao acaso um aluno dessa turma e constata-se que ele é raticante de andebol. Qual é a robabilidade de ele raticar basquetebol? (A) 0, (B) 0, (C) 0, (D) 0, Teste Intermédio do. o ano, 006. código de um autorrádio é constituído or uma sequência de quatro algarismos. Por exemlo, 07. Quantos desses códigos têm dois e só dois algarismos iguais a 7? (A) 86 (B) 80 (C) (D) 600 Exame Nacional do. o ano, 0,. a fase. Uma essoa vai visitar cinco locais, situados no Parque das Nações, em lisboa: o Pavilhão de Portugal, o ceanário, o Pavilhão Atlântico, a Torre Vasco da Gama e o Pavilhão do Conhecimento. De quantas maneiras diferentes ode lanear a sequência das cinco visitas, se quiser começar na Torre Vasco da Gama e acabar no ceanário? (A) 6 (B) (C) (D) 0 Exame Nacional do. o ano, 00,. a fase 6. Considere a linha do Triângulo de Pascal em que o segundo elemento é. Escolhem-se, ao acaso, dois elementos dessa linha. Qual é a robabilidade de estes dois elementos serem iguais? 9 8 (A) (B) (C) (D) 6 6 C C C C Exame Nacional do. o ano, 00,. a fase 6

9 QUESTÕES DE RESPSTA ABERTA. sangue humano está classificado em quatro gruos distintos: A, B, AB e. Indeendentemente do gruo, o sangue ode ossuir, ou não, o fator Rhesus. Se o sangue de uma essoa ossui este fator, diz-se Rhesus ositivo (Rh + ); se não ossui este fator, diz-se Rhesus negativo (Rh ). Na oulação ortuguesa, os gruos sanguíneos e os resetivos Rhesus estão reartidos da seguinte forma: A B AB Rh + 0,0% 6,9%,9%,% Rh 6,%,% 0,% 6,7%. Escolhido um ortuguês ao acaso, qual é a robabilidade de o seu gruo sanguíneo não ser o? Aresente o resultado sob a forma de ercentagem, arredondado às unidades.. Escolhido um ortuguês ao acaso, e sabendo que é Rhesus negativo, qual é a robabilidade de o seu gruo sanguíneo ser o A? Aresente o resultado sob a forma de ercentagem, arredondado às unidades. Exame Nacional do. o ano, 00,. a fase,. a chamada. De um baralho de cartas, selecionaram-se 6 cartas ( ases, reis, damas e valetes). Dividiram-se as 6 cartas em dois gruos: um com os ases e os reis, e outro com as damas e os valetes. Retiraram-se, ao acaso, duas cartas de cada gruo (sem reosição). Qual é a robabilidade de obter um conjunto formado or um ás, um rei, uma dama e um valete, não necessariamente do mesmo naie? Aresente o resultado na forma de fração irredutível. Exame Nacional do. o ano, 007,. a fase. Considere todos os números de quatro algarismos que se odem formar com os algarismos de a 9.. Escolhe-se, ao acaso, um desses números... Determine a robabilidade de o número escolhido ter exatamente dois algarismos iguais a. Aresente o resultado na forma de ercentagem, arredondado às unidades... Determine a robabilidade de o número escolhido ter os algarismos todos diferentes e ser maior do que Aresente o resultado na forma de dízima, com três casas decimais.. Considere o seguinte roblema: «De todos os números de quatro algarismos que se odem formar com os algarismos de a 9, alguns deles cumrem as três condições seguintes: começam or 9; têm os algarismos todos diferentes; a soma dos quatro algarismos é ar. Quantos são esses números?» Uma resosta correta a este roblema é # # A + A. Numa equena comosição, com cerca de vinte linhas, exlique orquê. Exame Nacional do. o ano, 00,. a fase,. a chamada. Uma comanhia aérea vende bilhetes a baixo custo exclusivamente ara viagens cujos destinos sejam Berlim ou Paris.. Nove jovens decidem ir a Berlim e escolhem essa comanhia aérea. Cada jovem aga o bilhete com cartão multibanco, ou não, indeendentemente da forma de agamento utilizada elos outros jovens. Considere que a robabilidade de um jovem utilizar cartão multibanco ara agar o seu bilhete é igual a 0,6. Determine a robabilidade de exatamente seis desses jovens utilizarem cartão multibanco ara agar o seu bilhete. Aresente o resultado com arredondamento às centésimas. T E M A P r o b a b i l i d a d e s e C o m b i n a t ó r i a 7

10 TEMA Probabilidades e Combinatória. A comanhia aérea constatou que, quando o destino é Berlim, % dos seus assageiros erdem o voo, e que, quando o destino é Paris, 9% dos assageiros seguem viagem. Sabe-se que 0% dos bilhetes a baixo custo que a comanhia aérea vende têm or destino Berlim. Determine a robabilidade de um assageiro que comrou um bilhete a baixo custo nessa comanhia aérea, erder o voo. Aresente o resultado na forma de dízima. Exame Nacional do. o ano, 0,. a fase.. Seja V o esaço de resultados associado a uma certa exeriência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos _ A V e B Vi de robabilidade não nula. Considere que B designa o acontecimento contrário de B e que PAB ` j e P`BAj designam robabilidades condicionadas. Mostre que: PAB ` j P_ Bi # P` ABj PA _ i # PBA ` j. Relativamente a uma turma do.º ano, sabe-se que: 60% dos alunos da turma raticam desorto; 0% dos alunos da turma são raarigas; metade dos raticantes de desorto são raarigas. Escolhendo ao acaso um aluno da turma, qual é a robabilidade de ser raticante de desorto, sabendo que é uma raariga? Aresente o resultado na forma de ercentagem. Nota: Se desejar, ode utilizar a fórmula da alínea anterior na resolução deste roblema. Nesse caso, comece or exlicitar o significado dos acontecimentos A e B, no contexto do roblema. Também ode resolver o roblema através de um diagrama, de uma tabela, ou utilizando qualquer outro rocesso. Teste Intermédio do. o ano, Um dos jogos mais oulares da feira anual de Vila Nova de Malmequeres é a Roda da Fortuna. Neste jogo, cada jogada consiste em girar aleatoriamente uma roda que está dividida em três setores circulares com áreas diferentes e numerados de acordo com o esquema da figura. Para jogar, uma essoa tem reviamente de se inscrever, de indicar o número de jogadas que retende realizar e de efetuar o resetivo agamento. Semre que a roda é osta a girar, quando esta ara, o onteiro indica um setor. rémio a receber em cada jogada corresonde ao valor, em euros, registado no setor indicado elo onteiro, no instante em que a roda ara. 6. Seja X a variável aleatória «número registado no setor indicado elo onteiro no instante em que a roda ara, numa jogada». A tabela de distribuição de robabilidades da variável aleatória X é: 0 Æ i 0 P _X Æ i i a 0,8 a onde a reresenta um número real. Mostre que: a 0, 6. Na Roda da Fortuna, um jogador terá lucro aenas se o valor total que receber em rémios nas jogadas que realizar for suerior ao valor total ago ela inscrição efetuada. Ivo inscreveu-se ara realizar duas jogadas e agou euros or essa inscrição. Mostre que a robabilidade de o Ivo obter lucro com a realização das duas jogadas é 0,7. Exame Nacional de Matemática B, 0,. a fase 8

11 7. 7. Seja S o esaço de resultados associado a uma exeriência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos ossíveis _ A S e B Si. Prove que: PA _ + Bi P_ Ai P_ Bi + P` ABj # PB _ i (P designa robabilidade, A e B designam os acontecimentos contrários de A e de B, resetivamente, e P`ABj designa a robabilidade de A, se B). 7. Das raarigas que moram em Vale do Rei, sabe-se que: a quarta arte tem olhos verdes; a terça arte tem cabelo louro; das que têm cabelo louro, metade tem olhos verdes. 7.. Escolhendo aleatoriamente uma raariga de Vale do Rei, qual é a robabilidade de ela não ser loura nem ter olhos verdes? Sugestão: se lhe for útil, ode utilizar a igualdade enunciada na alínea anterior ara resolver o roblema. 7.. Admita agora que em Vale do Rei moram cento e vinte raarigas. Pretende-se formar uma comissão de cinco raarigas ara organizar um baile. Quantas comissões diferentes se odem formar com exatamente duas raarigas louras? Exame Nacional do. o ano, 00,. a fase,. a chamada 8. No balcão de uma geladaria existe um reciiente com dez comartimentos, cinco à frente e cinco atrás, ara colocar gelado. Em cada comartimento é colocado só um sabor, e nunca existem dois comartimentos com o mesmo sabor. Num certo dia, a geladaria tem sete sabores disoníveis: cinco são de fruta (morango, ananás, êssego, manga e framboesa) e os outros dois são baunilha e chocolate. 8. De quantas maneiras distintas se odem colocar os sete sabores no reciiente? 8. De quantas maneiras distintas se odem colocar os sete sabores no reciiente, de tal forma que os cinco de fruta reencham a fila da frente? Exame Nacional do. o ano, 00,. a fase,. a chamada 9. Uma caixa, que designamos or caixa, contém duas bolas retas e três bolas verdes. Uma segunda caixa, que designamos or caixa, contém duas bolas retas e uma bola verde. 9. Considere que, tendo as duas caixas a sua constituição inicial, se realiza a seguinte exeriência:. o Ao acaso, retiram-se simultaneamente três bolas da caixa e colocam-se na caixa.. o Em seguida, novamente ao acaso, retiram-se simultaneamente duas bolas da caixa. Sejam os acontecimentos: A: «As três bolas retiradas da caixa são da mesma cor»; B: «As duas bolas retiradas da caixa são de cores diferentes». Sem utilizar a fórmula da robabilidade condicionada, determine o valor de P`BAj, aresentando o seu valor na forma de fração irredutível. Numa equena comosição, exlique o raciocínio que efetuou. valor edido deverá resultar da interretação do significado de P`BAj, no contexto do roblema, significado esse que deverá começar or exlicar. 9. Considere agora que, na caixa, tomando como onto de artida a sua constituição inicial, se colocam mais n bolas, todas amarelas. Esta caixa fica, assim, com duas bolas retas, uma bola verde e n bolas amarelas. Considere a seguinte exeriência: «Ao acaso, retiram-se simultaneamente duas bolas dessa caixa.» Sabendo que a robabilidade de uma delas ser amarela e de a outra ser verde é, determine o valor de n. 9 Teste Intermédio do.º ano, 00 (adatado) TEMA Probabilidades e Combinatória 9

12 TEMA Probabilidades e Combinatória 0. Auto-hexágono é um stand de venda de automóveis. 0. Efetuou-se um estudo sobre as vendas de automóveis neste stand, o qual revelou que: % dos clientes comram automóvel com alarme e com rádio; 0% dos clientes comram automóvel sem alarme e sem rádio; % dos clientes comram automóvel com alarme (com ou sem rádio). Um cliente acaba de comrar um automóvel. 0.. A Marina, emregada do stand, que nada sabia das referências desse cliente e não tomou conhecimento do equiamento do automóvel que ele tinha comrado, aostou que esse automóvel estava equiado com rádio, mas não tinha alarme. Qual é a robabilidade de a Marina acertar? Aresente o resultado na forma de ercentagem. 0.. Alguém informou deois a Marina de que o referido automóvel vinha equiado com alarme. Ela aostou, então, que o automóvel também tinha rádio. Qual é a robabilidade de a Marina ganhar esta nova aosta? Aresente o resultado na forma de fração irredutível. 0. Este stand, de forma hexagonal, tem uma montra que se situa num dos lados do hexágono (ver figura). Pretende-se arrumar seis automóveis diferentes (dois utilitários, dois desortivos e dois comerciais), de tal forma que cada automóvel fique voltado ara um vértice do hexágono. Suondo que se arrumam os seis automóveis ao acaso, qual é a robabilidade de os dois desortivos ficarem voltados ara os vértices que se encontram nas extremidades da montra? Aresente o resultado na forma de fração irredutível. Montra Exame Nacional do. o ano, 00, Prova modelo. Uma turma de. o ano é constituída or raarigas, umas de 6 anos e as restantes de 7 anos, e or raazes, uns de 7 anos e os restantes de 8 anos. s alunos dessa turma estão numerados consecutivamente, a artir do número. Escolhe-se ao acaso um aluno dessa turma e regista-se o número, a idade e o sexo desse aluno. Em cada uma das oções seguintes estão indicados dois acontecimentos, X e Y, associados a esta exeriência aleatória. ção : X: «aluno escolhido tem idade suerior ou igual a 7 anos»; Y: «aluno escolhido tem 6 ou 7 anos». ção : X: «número do aluno escolhido é ar»; Y: «número do aluno escolhido é múltilo de». ção : X: «aluno escolhido tem 8 anos»; Y: «aluno escolhido é raariga». ção : X: «aluno escolhido é raaz»; Y: «aluno escolhido tem 7 anos». Em aenas uma das oções acima aresentadas os acontecimentos X e Y são tais, que são verdadeiras as três afirmações seguintes: 0 P_ X, Yi P_ Xi, P_ X, Yi e P_ X+ Yi 0 Qual é essa oção? Numa equena comosição, exlique or que razão rejeita as outras três oções (ara cada uma delas, indique, justificando, qual é a afirmação falsa). Exame Nacional do. o ano, 006,. a fase. Considere um risma regular em que cada base tem n lados. Numa equena comosição, justifique que o número total de diagonais de todas as faces do risma (incluindo as bases) é dado or: n ` C nj + n Exame Nacional. o ano, 00,. a fase

13 PRPSTAS DE RESLUÇÃ QUESTõES DE ESClhA MúlTIPlA. Como no final da terceira extração estava formada a sucessão de letras TIM, isso significa que ficaram no saco as bolas com as letras e R. Então, nas duas extrações que faltam existem aenas duas ossibilidades: R e R. Como aenas R leva à formação correta da alavra TIMR, a robabilidade será de, elo que a oção correta será a C.. acontecimento A definido em extensão será A #,, -; o acontecimento B será B # 6,, -. Então, A, B #,,,, 6- logo, o acontecimento contrário será A, B # -, elo que a oção correta será a C.. Para se sentarem as quatro raarigas e os três raazes odemos começar or distribuí-los or cada um dos lugares que vão ocuar, sabendo que se sentarão alternadamente. Façamos um esquema ara auxiliar na resolução: No rimeiro lugar odem sentar-se as quatro raarigas indistintamente, a seguir odem sentar-se três raazes, deois três raarigas (uma vez que uma já ocuou o seu lugar), deois dois raazes (um já ocuou o seu lugar), a seguir duas raarigas (duas estão já sentadas), deois um raaz (o que falta sentar-se) e, finalmente, a última raariga. Assim, vem: # # # # # # A oção correta será a C.. Como a + a + 0, + a 0,+ a 0,, calculamos a média da variável aleatória X: 0 # 0,+ # 0, + # 0,, A oção correta será a A.. Como a soma dos dois últimos elementos de qualquer linha do Triângulo de Pascal é igual à soma dos dois rimeiros elementos dessa mesma linha, e como é referido que a soma dos dois rimeiros elementos é igual a, então, 0 concluímos que o segundo elemento é 0, elo que a linha considerada contém os elementos da forma geral C k. quinto elemento da linha anterior será: 9 C 7 A oção correta será a A. 6. A curva de Gauss aresenta simetria em relação ao valor médio; logo, a robabilidade de se escolher um raaz ao acaso e de a sua altura ertencer ao intervalo A, 0A é de 0%, verificando-se o mesmo ara o intervalo 70, + 7. Analisando cada uma das oções, verificamos que as oções A, C e D levam a um intervalo que está contido num dos intervalos referidos atrás, elo que a robabilidade será menor do que 0%. A oção correta será a C. 7. número de maneiras que existe de, entre o gruo dos quatro raazes, se escolherem dois que ficam de é será C número total de maneiras de ordenar o gruo de seis raazes e raarigas será 6!. Então, o número edido será: A oção correta será a D. C # 6! 0. TEMA Probabilidades e Combinatória

14 TEMA Probabilidades e Combinatória 8. Como a Joana retende iniciar a sequência com um ás, seguindo-se três figuras e finalizando com duas das nove cartas restantes do mesmo naie, então o número de sequências diferentes que se odem fazer com as condições edidas será: A oção correta será a B. 9 #! # A # 6 # 7 9. Ao retirarmos duas bolas da caixa A, verificamos que o roduto dos seus números é semre um número ar. Quando se multilica este valor or um número de qualquer das bolas da caixa B, verificamos que o roduto final é semre ar. A oção correta será a B. 0. Sabemos que, dos cinco bombons, dois têm licor e três não têm licor. Ao retirarmos uma amostra de três bombons odemos formular três hióteses:.ª hiótese: Retirar todos os bombons sem licor. C0 # C P_ X 0i C C.ª hiótese: Retirar aenas um bombom com licor. C # C # 6 P_ X i C C C.ª hiótese: Retirar dois bombons com licor. C # C # P_ X i C C C A oção correta será a A.. A robabilidade que o Zé Mão Quente tem de concretizar um lance livre é de 0,9, uma vez que falha 0% dos lances livres que executa. Assim, ao executar uma série de oito lances livres, temos que a robabilidade de o Zé Mão Quente concretizar os oito lances livres é 0,9 8, e a robabilidade de se concretizarem sete lances livres é: # 8 7 C7 # 0,9 # 0, Então, 09, + C7 # 09, 0, é a robabilidade de o Zé Mão Quente concretizar sete ou oito lances livres, elo que a robabilidade do acontecimento contrário deste será: a0,9 + C # 0,9 # 0,k 0,9 C # 0,9 # 0, 7 Isto é, esta é a robabilidade do acontecimento «o Zé Mão Quente concretiza no máximo seis lances livres». A oção correta será a C.. número de casos ossíveis será 7 # 7, ois o rimeiro cientista tem exatamente sete hotéis ara escolher, assim como também o segundo cientista. número de casos favoráveis será 7, que é o número de hotéis que odem ser escolhidos. logo, a robabilidade edida será: 7 P 7 # 7 7 A oção correta será a A. 7

15 . Consideremos os acontecimentos A: «o aluno ratica andebol» e B: «o aluno ratica basquetebol». Então, temos de determinar: PB _ + Ai PBA ` j P_ Ai Sabemos também que, como a totalidade dos alunos da turma ratica elo menos um dos desortos, vem: P_ A, Bi logo: P_ A, Bi P_ Ai + P_ Bi P_ A + Bi 0, + 0,7 P_ A+ Bi P_ A + Bi, P_ A+ Bi 0, Então: PB _ + Ai 0, PBA ` j + PBA ` j + P`BAj 0, P_ Ai 0, A oção correta será a D.. Segundo o enunciado, odem existir aenas dois algarismos iguais a 7; logo, há C maneiras diferentes de se colocarem os dois algarismos 7 nos quatro esaços. Restam nove algarismos (que são: 0,,,,,, 6, 8 e 9) ara «reencher» os dois lugares restantes, e esses algarismos odem reetir-se. Assim, há 9 # 9hióteses de colocar os nove algarismos restantes nos dois lugares a ocuar. logo, o número de códigos diferente será: A oção correta será a A. C # 9 # Como a visita se inicia na Torre Vasco da Gama e termina no ceanário, obrigatoriamente, então, resta a sequência de três elementos, que são os locais que ainda falta visitar. logo, vem: A oção correta será a A.! 6 6. Como o segundo elemento da linha do Triângulo de Pascal é, então, essa linha tem 6 elementos, sendo os elementos equidistantes iguais dois a dois. logo, odemos concluir que se odem formar 8 ares de elementos iguais. Assim, a robabilidade edida será: A oção correta será a D. P 8 6 C TEMA Probabilidades e Combinatória

16 TEMA Probabilidades e Combinatória QUESTõES DE RESPSTA ABERTA.. Consideremos o acontecimento : «o sangue é do tio». Então: P _ i 00 P _ i 00 _, + 67, i 00, 7,9. 8 A robabilidade de o gruo sanguíneo não ser o é aroximadamente de 8%.. Consideremos os acontecimentos A: «o sangue é do tio A» e R: «sangue tem fator Rhesus negativo». Calculemos a robabilidade condicionada P`A Rj: P_ A+ Ri 6, 6, P`A Rj,9. PR _ i 6, +, + 0, + 67,, 8 A robabilidade de o gruo sanguíneo ser o A, sabendo que ossui o fator Rhesus negativo, é aroximadamente de %.. Calculemos o número de casos ossíveis: Temos 8 C maneiras diferentes de escolher duas cartas do conjunto de ases e de reis, e 8 C maneiras diferentes de escolher duas cartas do conjunto de damas e valetes. 8 8 Portanto, o número de casos ossíveis será: C # C 8 # 8 78 Calculemos o número de casos favoráveis: Temos C maneiras diferentes de escolher um valete, C maneiras diferentes de escolher uma dama, C maneiras diferentes de escolher um rei e C maneiras diferentes de escolher um ás. logo, o número de casos favoráveis será: C # C # C # C # # # 6 Assim, a robabilidade de obter um conjunto formado elas cartas referidas será: 6 6 P Calculemos o número de casos ossíveis: Pretendemos o número de maneiras diferentes de escolher quatro algarismos, diferentes ou não, de entre 9 nove algarismos, isto é, Al 9 66 Calculemos o número de casos favoráveis: há C modos diferentes de escolher dois lugares em quatro ara os algarismos iguais a, não imortando a ordem, uma vez que são iguais, e há 8 Al modos diferentes de escolher os restantes dois algarismos, diferentes ou não, de entre os oito algarismos que restam. logo, o número de casos favoráveis será: A robabilidade edida será: C # Al 6 # P. 0,06 6% 66.. número de casos ossíveis nesta situação é o mesmo que anteriormente: 9 Al 9 66 número de casos favoráveis será o seguinte: o algarismo que ocua a ordem dos milhares será obrigatoriamente o 9, e o que ocua a ordem das centenas será obrigatoriamente o 8. Como os dois 7 algarismos que restam são escolhidos de entre os restantes sete, odemos fazê-lo de A maneiras diferentes. logo, a robabilidade edida será: P 66. 0,006

17 . s números que se têm de formar são do tio 9 _ ; logo, os algarismos que faltam terão de ser obrigatoriamente diferentes e escolhidos de entre os algarismos de a 8. Para que a soma dos quatro algarismos que formam o número seja ar, é necessário que a soma dos algarismos que faltam seja ímar, verificando-se dois casos:.º caso: os três algarismos serão ímares. Neste caso, a escolha destes algarismos será feita entre os quatro algarismos,, e 7, or ordem, existindo A maneiras diferentes de se fazer..º caso: um dos algarismos é ímar e os restantes dois algarismos são ares. Neste caso, a colocação dos algarismos ímares ode ser feita de três maneiras diferentes, e, ara cada uma destas, o algarismo ímar ode ser escolhido de entre quatro hióteses ossíveis,, e 7. s restantes dois algarismos, ares, serão escolhidos, or ordem, de entre quatro algarismos,, 6 e 8 o que se ode fazer de A maneiras diferentes. Assim, neste segundo caso, há # # A maneiras diferentes de formar os números edidos. logo, # # A + A é uma resosta correta a este roblema... Consideremos X como a variável aleatória que corresonde ao número de jovens que agam com multibanco. logo, utilizando a distribuição binomial de robabilidades, temos: 9 PX _ 6i C #_ 0, 6i #_ 0, i. 0, 6 6 Então, a robabilidade de exatamente seis jovens utilizarem cartão multibanco ara agar o seu bilhete será 0,.. Consideremos os acontecimentos: A: «assageiro segue viagem»; B: «destino da viagem é Berlim». Sabe-se que P`A B j 0,0, então, temos: e sabe-se também que: então, tem-se que: P_ A+ B i 0,0 # 0, 0,0 P`A B j 0,9 P_ A+ B i 0,9 # 0,7 0,6 Podemos construir uma tabela ara esquematizar todos os resultados: A A B 0,8 0,0 0, B 0,6 0,06 0,7 0,99 0,07 Então, vem: P_ Ai P_ A+ Bi + P_ A + Bi 0,0 + 0,06 0, P` A Bj P_ Bi # P`ABj P` A Bj8 P_ BiB P` A Bj # P_ Bi P_ A+ Bi PA _ i # PBA ` j c. q. d. TEMA Probabilidades e Combinatória

18 TEMA Probabilidades e Combinatória. Consideremos os acontecimentos: A: «aluno escolhido é raariga»; B : «aluno escolhido ratica desorto». Sabe-se que 60% dos alunos da turma raticam desorto, então: PB _ i 0,6 Sabe-se que 0% dos alunos da turma são raarigas, então: P_ A i 0, Sabe-se que metade dos raticantes de desorto são raarigas, então: P`A B j 0, Utilizando a fórmula da alínea anterior, temos: 0, 0, # 0, 0, # PBA ` j+ P`BAj 0, 0, 0, + PBA ` j 0,7 logo, a robabilidade edida é 7% Como a tabela define uma distribuição de robabilidades de uma variável aleatória, a soma das robabilidades é. Assim, vem: a + 0,8 + a + a 0,8 + a 0, + a 0, c. q. d. (como queríamos demonstrar) 6. Como o Ivo se inscreveu ara realizar duas jogadas e agou euros or essa inscrição, ara obter lucro nessas duas jogadas terá de ganhar 6 ou 8 euros, o que corresonde à indicação do onteiro das seguintes jogadas: +, + ou + Consideremos então os seguintes acontecimentos: A: «Sair na rimeira jogada»; B : «Sair na rimeira jogada»; C : «Sair na segunda jogada»; D : «Sair na segunda jogada». Assim, a robabilidade de o Ivo obter lucro é dada or: P P_ A+ Di + PB _ + Ci + P_ B+ Di 0,8 # 0, + 0, # 0,8 + 0,8 # 0,8 0,06 + 0,06 + 0,069 0, P_ A+ Bi P_ A, Bi P_ A, Bi 9P_ Ai + P_ Bi P_ A+ BiC 8 P_ AiB P_ Bi P_ A+ Bi P_ A i PB _ i + P` A Bj # P_ Bi Consideremos os acontecimentos: A: «Ter olhos verdes»; B: «Ter cabelo louro». Temos, então: P_ Ai PB _ i P`A Bj Utilizando a igualdade demonstrada na alínea anterior, vem: P_ A+ Bi + # 7.. Determinemos o número de raarigas com cabelo louro: # 0 0 Como cada comissão tem de ter exatamente duas raarigas louras, então, terá três raarigas não louras. logo, o número de comissões diferentes que se odem formar será: 0 C # C c. q. d.

19 8. 8. Como existem dez comartimentos ara colocar os gelados e se retende ocuar aenas sete desses dez 0 comartimentos, interessando a ordem ela qual são colocados, então, temos A maneiras diferentes de colocar os sete sabores no reciiente. 8. Existem! maneiras diferentes de colocar os cinco sabores de fruta nos cinco comartimentos na fila da frente. Por outro lado, existem A maneiras diferentes de colocar os sabores de baunilha e de chocolate nos cinco comartimentos na fila detrás. logo, existem! # A 00 maneiras diferentes de colocar os sete sabores no reciiente, ficando os cinco sabores de fruta na fila da frente PBA ` j significa a robabilidade de as duas bolas retiradas da caixa serem de cores diferentes, sabendo que as três bolas retiradas da caixa são da mesma cor. Se as três bolas retiradas da caixa e que são colocadas na caixa são da mesma cor, então têm todas a cor verde, ois existem aenas na caixa duas bolas retas. Deois da transferência das três bolas da caixa ara a caixa, esta fica com duas bolas retas e quatro bolas verdes, totalizando seis bolas. Ao serem retiradas duas bolas desta caixa, há, então, 6 C casos ossíveis, sendo os casos favoráveis ao acontecimento «sair uma bola de cada cor» igual a #. logo, a robabilidade edida será, de acordo com a Regra de lalace, 9. Podemos equacionar o roblema do seguinte modo: Então, vem: n n C 9 Alicando a fórmula resolvente, vem: # P 6 C n C + n 9 8 n _ + ni_ + ni 9 n 6 + n + n n 0 + n + n n n + 0 0! # # 0! 09 n n # 0! 7 + n + n 0 0 n 06, Como, no contexto do roblema, n é um número natural, então, a solução edida será n Consideremos os acontecimentos: A: «Comrar automóvel com alarme»; B: «Comrar automóvel com rádio». Podemos construir uma tabela com os dados do roblema, elo que temos de calcular: P_ A+ Bi 0, P_ A+ Bi 00, P_ Ai 0, P_ A+ Bi P_ Ai P_ A + Bi 0, 0, 00, PB _ i P_ A+ Bi + P_ A + Bi 00, + 0, 0 00, PB _ i PB _ i 0, 0 00, TEMA Probabilidades e Combinatória 7

20 TEMA Probabilidades e Combinatória PB _ + Ai P_ Bi P_ B + Ai 00, 0, 0, P_ Ai P_ A + Bi + P_ A+ Bi 0, + 0, 0 0, Então, vem: A A B % % 0% B 0% 0% 0% % % 00% Verificamos que a robabilidade de a Marina acertar será: PB _ + Ai 0, % 0.. Pretende-se determinar P`BAj. logo: PB _ + Ai 0, PBA ` j PA _ i 0, 0. número de casos ossíveis é o número de maneiras diferentes de se arrumarem os seis automóveis: 6!. número de casos favoráveis será! #!, ois! é o número de maneiras em que odemos disor os dois automóveis desortivos, isto é, um ode ficar ara o lado direito da montra, e o outro ode ficar ara o lado esquerdo, e vice-versa, e! é o número de osições diferentes em que se odem colocar os restantes automóveis na montra. Assim, a robabilidade edida é:! #! P 6! 0. A oção é rejeitada orque P_ X, Yi é falsa, já que P_ X, Y i, uma vez que a reunião dos dois acontecimentos é o acontecimento certo. A oção é rejeitada orque P_ X, Yi P_ Xi é falsa, uma vez que Y X, logo: P_ X, Yi P_ Xi A oção é rejeitada orque P_ X+ Yi 0 é falsa, uma vez que os acontecimentos X e Y são acontecimentos incomatíveis; logo: P_ X+ Yi 0 Resta assim a oção, em que todas as afirmações são verdadeiras.. Como o risma tem n faces laterais, e tendo cada uma das faces duas diagonais, então, há um total de n diagonais das faces laterais. Em cada uma das bases existem n vértices, dando origem a n C segmentos de reta. Destes segmentos de reta temos n n lados do olígono; então, C nserá o número de diagonais de cada base. Como o risma tem duas bases, então ` n C nj é o número de diagonais existentes nessas bases. n Podemos, então, concluir que, no total, há ` C nj + n diagonais nas faces do risma. 8

21 tema Introdução ao Cálculo diferencial II Questões de escolha MÚLtILa. Indique o valor de ara o qual se verifica a igualdade: log 6 (A) (C) (B) (D) - Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase. Sabendo que ln_ i - ln e 0 (ln designa logaritmo de base e), um valor ossível ara é: (A) 0 (C) (B) - (D) Exame Nacional do.º ano, 007,.ª fase. Na figura seguinte, estão reresentadas, em referencial o. n. y: arte do gráfico da função f, de domínio, IR definida or: f_ i e arte do gráfico da função g, de domínio IR +, definida or: g _ i ln (ln designa logaritmo de base e). onto A é o onto de interseção do gráfico de f com o eixo y e o onto B é o onto de interseção do gráfico de g com o eixo. y D C E g A B Na figura, está também reresentado um triângulo 7CDEA. onto C ertence ao eixo y, o onto D ertence ao gráfico de f e o onto E ertence ao gráfico de g. Sabe-se ainda que: a reta BD é aralela ao eixo y e a reta CE é aralela ao eixo ; AC A Qual é a área do triângulo 7CDEA? (A) _ e - i ln (C) ee _ - i (B) _ e - i ln (D) e _ e - i Teste Intermédio do.º ano, 006. De uma função f, contínua no intervalo 7, A, sabe-se que f _ i 7 e f _ i. Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) A função f tem elo menos um zero no intervalo 7, A. (B) A função f não tem zeros no intervalo 7, A. (C) A equação f _ i tem elo menos uma solução no intervalo 7, A. (D) A equação f _ i não tem solução no intervalo 7, A. Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase,.ª chamada TEMA Introdução ao Cálculo Diferencial II 9

22 tema Introdução ao Cálculo diferencial II. Seja g uma função, de domínio A, definida or g_ i ln_ i. Qual dos seguintes oderá ser o conjunto A? (A) A e +, e 7 (C) A0, + 7 (B) A -, 7 (D) A-, 7 Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase 6. Na figura ao lado, está reresentada, em referencial y, arte do gráfico de uma função f, de domínio A -, 7, contínua em todo o seu domínio. Tal como a figura sugere, tem-se que: y o gráfico de f contém a origem do referencial; as retas de equações y 0 e são assíntotas do gráfico de f. Em qual das oções seguintes oderá estar reresentada, em referencial y, arte do gráfico de f? (A) y (C) y (B) y (D) y 7. Considere a função g, de domínio IR, definida or: 0 n e se 0 G g_ i * ln se 0 Teste Intermédio do.º ano, 007 Considere a sucessão de termo geral: un Qual é o valor de lim gu _ n "- ni? (A) + (B) (C) 0 (D) - 8. Considere uma função f, de domínio IR \ #-, contínua em todo o seu domínio. Sabe-se que: Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase lim f _ i " lim f _ i "+ lim 8f _ i B 0 " Em cada uma das oções seguintes estão escritas duas equações, reresentando cada uma delas uma reta. Em qual das oções as duas retas assim definidas são as assíntotas do gráfico da função f? (A) y e y (C) y e y (B) y e (D) y e y Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase

23 9. Seja h a função, de domínio IR, definida or: + e se 0 h_ i * se 0 + se 0 Relativamente à continuidade da função h, no onto, qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) É contínua. (B) É contínua à esquerda e descontínua à direita. (C) É contínua à direita e descontínua à esquerda. (D) É descontínua à esquerda e à direita. Exame Nacional.º ano, 00,.ª fase,.ª chamada 0. Na figura ao lado, está reresentada, num referencial o. n. y, arte do gráfico de uma função g, de domínio A, + 7. y g A reta de equação y é assíntota do gráfico de g. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) lim `g_ i j 0 (C) lim `g_ i + j 0 (B). "+ lim "+ g _ i "+ (D) lim `g_ i j 0 "+ Na figura seguinte, está arte do gráfico de uma função h, de domínio IR. y Exame Nacional do.º ano, 0,.ª fase Sejam hl e hm a rimeira e a segunda derivadas de h, resetivamente. Admita que estas duas funções também têm domínio IR. Qual das exressões seguintes designa um número ositivo? (A) h_ 0i + hm_ 0i (C) hl_ 0i - hm_ 0i (B) h_ 0i - hl_ 0i (D) hl_ 0i # hm_ 0i Exame Nacional do.º ano, 006,.ª fase TEMA Introdução ao Cálculo Diferencial II

24 tema Introdução ao Cálculo diferencial II. Seja f uma função de domínio IR. Sabe-se que a rimeira e a segunda derivadas de f são negativas em IR. Em qual das figuras seguintes ode estar reresentada arte do gráfico da função f? (A) y (C) y (B) y (D) y Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase,.ª chamada. Na figura seguinte, está reresentada arte do gráfico de uma função f, de domínio IR. y a b c d e Numa das oções seguintes estão os quadros de sinais de fl e de fm, resetivamente, rimeira e segunda derivadas de f. Identifique-as. (A) a c e (C) a c e fl_ i fl_ i b d fm_ i b d fm_ i (B) a c e fl_ i (D) a c e fl_ i b d fm_ i b d fm_ i Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase,.ª chamada

25 . Seja f uma função de domínio IR. Na figura está reresentada arte do gráfico de fm, segunda derivada da função f. y f a b c Relativamente ao gráfico da função f, qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) onto de abcissa a é um onto de inflexão. (B) onto de abcissa c é um onto de inflexão. (C) A concavidade está voltada ara baixo no intervalo 70, ba. (D) A concavidade está semre voltada ara cima. Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase. Na figura, está reresentado um triângulo inscrito numa circunferência de centro e raio igual a. Um dos lados do triângulo é um diâmetro da circunferência. Qual das exressões seguintes reresenta, em função de, a área da arte sombreada? (A) - sen_ i (C) - sen_ i sen_ i (B) - sen_ i (D) - Exame Nacional do.º ano, 009,.ª fase 6. Na figura ao lado, está reresentado o círculo trigonométrico. Considere que um onto P arte de A_ 0, i e se desloca sobre a circunferência, dando uma volta comleta, em sentido contrário ao dos onteiros do relógio. Para cada osição do onto P, seja a amlitude, em radianos, do ângulo orientado cujo lado origem é a semirreta A o e cujo lado extremidade é a semirreta P o ` [ 70, A j. Seja g a função que, a cada valor de, faz corresonder a área da região sombreada `região limitada elos segmentos de reta 7PA, 7PAA e 7AA j. Qual dos gráficos seguintes ode ser o da função g? P A (A) y (C) y (B) y (D) y Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase TEMA Introdução ao Cálculo Diferencial II

26 tema Introdução ao Cálculo diferencial II 7. Na figura, estão reresentados, em referencial o. n. yz: uma circunferência de raio, centrada no onto _ 0,, i e contida no lano yz; o onto A_ 0,, i; o onto B, ertencente ao semieixo ositivo. z P u d(u) A B y Considere que um onto P, artindo de A, se desloca sobre essa circunferência, dando uma volta comleta, no sentido indicado na figura. Para cada osição do onto P, seja u a amlitude, em radianos, do arco AP`u[ 70, A je seja d_ ui a distância de P ao onto B. Qual dos gráficos seguintes ode ser o da função d? (A) d (C) d u u (B) d (D) d u u Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase 8. coeficiente de amliação A de uma certa lua é dado, em função da distância d (em decímetros) da lua ao objeto, or: A_ di d Indique a que distância do objeto tem de estar a lua ara que o coeficiente de amliação seja igual a. (A) dm (C) 6 dm (B) dm (D) 8 dm Exame Nacional do.º ano, Um tanque tem a forma de um araleleíedo retângulo, com 7 m de comrimento, m de largura e m de altura. Admita que o tanque está vazio. Num certo instante, é aberta uma torneira que verte água ara o tanque, à taxa de m or hora, até este ficar cheio. Qual é a função que dá a altura, em metros, da água do tanque, t horas aós a abertura da torneira? t (A) ht _ i t, t [ 7070, A (C) ht _ i, t [ 7070, A t (B) ht _ i t, t [ 70, 0A (D) ht _ i, t [ 70, 0A Exame Nacional do.º ano, 000,.ª fase,.ª chamada

27 Questões de resosta aberta. Determine, sem recorrer à calculadora, o conjunto dos números reais que são soluções da inequação: log _ 7 + 6i H + log _ i Aresente a sua resosta usando a notação de intervalos de números reais. Teste Intermédio do.º ano, 0. nível N de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade I, medida em watt or metro quadrado, de acordo com a igualdade: N 0 log _ 0 0 Ii,ara I 0 Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes.. Verifique que: N log0 I. Admita que o nível de ruído de um avião a jato, ouvido or uma essoa que se encontra na varanda de um aeroorto, é de 0 decibéis. Determine a intensidade desse som, em watts or metro quadrado. Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase,.ª chamada. Num determinado dia, um gruo de amigos decidiu formar uma associação desortiva. Admita que t dias aós a constituição da associação, o número de sócios é dado, aroximadamente, or: 000 Nt _ i 00, t + 99e Resolva, usando métodos analíticos, os dois itens seguintes. Nota: A calculadora ode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; semre que roceder a arredondamentos, use aroximações às milésimas.. Determine N_ 0i e lim Nt _ i. t "+ Interrete os valores obtidos no contexto do roblema.. Ao fim de quantos dias se comemorou a inscrição do sócio número 000? Exame Nacional do.º ano, 008,.ª fase. Considere que a altura A (em metros) de uma criança do sexo masculino ode ser exressa, aroximadamente, em função do seu eso (em quilogramas), or: A_ i 0, + 0, ln_ i (ln designa logaritmo de base e) Recorrendo a métodos analíticos e utilizando a calculadora ara efetuar cálculos numéricos, resolva as duas alíneas seguintes.. Ricardo tem, m de altura. Admitindo que a altura e o eso do Ricardo estão de acordo com a igualdade referida, qual será o seu eso? Aresente o resultado em quilogramas, arredondado às unidades. Nota: Semre que, nos cálculos intermédios, roceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.. Verifique que, ara qualquer valor de, a diferença A_ i - A_ i é constante. Determine um valor aroximado dessa constante (com duas casas decimais) e interrete esse valor, no contexto da situação descrita. Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase,.ª chamada TEMA Introdução ao Cálculo Diferencial II

28 tema Introdução ao Cálculo diferencial II. e Considere a função f, de domínio IR \ #-, definida or: f _ i Recorrendo exclusivamente a rocessos analíticos (ou seja, sem utilização da calculadora), resolva as alíneas seguintes:. Estude a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.. Resolva a equação ln8f _ ib (ln designa logaritmo de base e). Estude a função f quanto à existência de assíntotas verticais e horizontais do seu gráfico. Exame Nacional do.º ano, 000,.ª fase,.ª chamada 6. Seja f a função de domínio 7, + 7, definida or: f _ i + e sen_ i * se H0 se G0 Estude a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico, aralelas aos eixos coordenados, escrevendo as suas equações, caso existam. Exame Nacional do.º ano, 008,.ª fase 7. Considere a função f, de domínio IR \#-, 0 definida or: f _ i ln_ i Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos: 7. Determine os ontos de interseção do gráfico de f com o eixo. 7. Estude a função quanto à monotonia e à existência de extremos relativos. Exame Nacional do.º ano, 007,.ª fase 8. Considere a função f, de domínio IR, definida or f e _ i + Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. 8. Mostre que f _ i, tem, elo menos, uma solução em A -, -7. Se utilizar a calculadora ara eventuais cálculos numéricos, semre que roceder a arredondamentos, use três casas decimais. 8. Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no onto de abcissa 0. Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase 9. Considere a função f, de domínio IR, definida or f _ i cos. 9. Recorrendo ao Teorema de Bolzano, mostre que a função f tem, elo menos, um zero, no intervalo A 0, Seja fl a função derivada de f. Mostre que fl_ i 0, 6[ IR e justifique que o zero de f, cuja existência é garantida elo enunciado da alínea anterior, é o único zero desta função. 9. Na figura seguinte, estão reresentadas: A arte do gráfico da função f; arte de uma reta r, cuja inclinação é c, que contém o onto A_ -0, i e que interseta o gráfico da função f no onto B. Recorrendo à sua calculadora, determine a área do triângulo 7ABA, em que designa a origem do referencial. Aresente o resultado arredondado às unidades. Nota: Semre que, nos valores intermédios, roceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, uma casa decimal. Exame Nacional do.º ano, 000,.ª fase y B f r 6

29 0. Considere a função f, de domínio IR, definida or: f _ i + e 0. Sem recorrer à calculadora, mostre que a função f tem um único mínimo relativo e determine-o. 0. Sem recorrer à calculadora (a não ser ara efetuar eventuais cálculos numéricos), mostre que no intervalo A -0, 7, existe elo menos um objeto cuja imagem, or meio de f, é. Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase. Considere a função f, de domínio < -, F, definida or: f _ i + sen Sem recorrer à calculadora, resolva as três alíneas seguintes.. Utilizando a definição de derivada de uma função num onto, calcule: fl_ 0i. Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de ontos de inflexão.. Determine os valores de, ertencentes ao intervalo < -, F, tais que: f _ i + cos Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase. De uma função f, de domínio IR, sabe-se que a sua derivada é dada or: fl_ i _ + i e 0 Seja A o único onto de inflexão do gráfico de f. Recorrendo às caacidades gráficas da sua calculadora, determine a abcissa do onto A, arredondada às décimas. Exlique como rocedeu. Inclua, na sua exlicação, o(s) gráfico(s) que obteve na calculadora. Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase,.ª chamada. Na figura, estão reresentados: uma circunferência de centro e raio ; dois ontos, A e B, sobre a circunferência, tais que 7ABA; é um diâmetro; uma semirreta A o ; um segmento de reta 7PQA. B A Q P Considere que: o onto P, artindo de A, se desloca sobre a circunferência, dando uma volta comleta, no sentido indicado elas setas da figura acima; o onto Q se desloca sobre a semirreta A o, acomanhando o movimento do onto P, de tal forma que se tem semre PQ. Para cada osição do onto P, seja a amlitude, em radianos, do ângulo orientado que tem or lado origem a semirreta A o e or lado extremidade a semirreta P o (ver figura ao lado). B P A Q d() TEMA Introdução ao Cálculo Diferencial II 7

30 tema Introdução ao Cálculo diferencial II Seja d a função que, a cada valor de ertencente a 70, A, associa a distância, d_ i, do onto Q ao onto.. Considere as afirmações seguintes sobre a função d e sobre a sua derivada, dl (a função d tem derivada finita em todos os ontos do seu domínio). I. d_ 0i d_ i II. 6[ 70, A, dl_ i 0 Elabore uma equena comosição na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa. Nota: Neste item, não defina analiticamente a função d; a sua comosição deve aoiar-se na forma como esta função foi aresentada (ara cada valor de, tem-se que d_ i é a distância do onto Q ao onto ).. Defina analiticamente a função d no intervalo E 0, ; (isto é, determine uma exressão que dê o valor de d_ i, ara cada ertencente a este intervalo). Sugestão: Trace a altura do triângulo 7PQA relativa ao vértice P, designe or R o onto de interseção desta altura com a semirreta A o, e tenha em conta que: Q R + RQ. Na figura, está reresentada uma irâmide quadrangular regular. Sabe-se que: a base da irâmide tem centro F e lado ; G é o onto médio da aresta 7BCA; designa a amlitude do ângulo FGE. Teste Intermédio do.º ano, 009. Mostre que a área total da irâmide é dada, em função de, or: D C cos + A_ i d cos [ E0, ; n F G A B. Calcule lim A_ i e interrete geometricamente o valor obtido. - " Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase,.ª chamada. Um araquedista salta de um avião. Ao fim de cinco segundos, o araquedas abre-se. Um minuto deois de ter saltado, o araquedista atinge o solo. Admita que a velocidade do araquedista, medida em metros or segundo, t segundos aós ter saltado do avião, é dada, ara um certo valor de k, or: kt _ e i se t n_ t i * 7, _ t i 6 + 7e se t H. Sabendo que a função n é contínua, determine o valor de k (aresente o resultado arredondado às milésimas).. Estude a função quanto à monotonia, ara t H. Interrete a conclusão a que chegou.. Comente a seguinte afirmação: «Aós a abertura do araquedas, a velocidade tem uma variação acentuada nos rimeiros quatro segundos, aós os quais estabiliza, ermanecendo raticamente constante até à chegada ao solo.» Exame Nacional do.º ano, 999, Militares E 6. Seja f: 70, A " IR uma função contínua, tal que: f_ 0i f_ i 0 e f_ i 0 Prove que existe elo menos um número real c no intervalo A 07, tal que: fc _ i fc _ + i Sugestão: Considere a função g : 70,A " IR, definida or: g_ i f_ i f_ + i Exame Nacional do.º ano, 006,.ª fase 8

31 roostas de resolução QUESTõES DE ESClhA MúlTIPlA. Pela definição de logaritmo, vem: logo, a oção correta será a B. log ln ln e _ i ln_ i ln e + e + e Das oções aresentadas, a única que verifica a condição: e é e logo, a oção correta é a D.. 0 Como a abcissa do onto A é 0, a sua ordenada será f_ 0i e, logo, a ordenada do onto C será igual a (orque AC A). Então, a abcissa do onto E será: g_ i + ln_ i + e 0 Como a abcissa do onto B é igual a g_ i 0 + ln_ i 0 + e +, logo, a abcissa do onto D é também e a sua ordenada será f_ i e e. Então, a base 7CEA do triângulo 7CDEA mede e e a altura será e -. Assim, a área do triângulo 7CDEA será: e _ e - i A oção correta é a D.. Sabendo que a função f é contínua no intervalo 7, A e como f _ i 7, f _ i e [ 7, 7A, então, elo Teorema de Bolzano, 7 c [ A, 7: f_ ci logo, a oção correta é a C. y. Determinemos o domínio da função g: Dg # [ IR: _ i_ + i logo, Dg # [ IR: 0- A, 7 A A oção correta é a B Temos: lim ; lim ; e lim f 0 f 0 f " + " + _ i _ i " _ i logo, a oção correta é a B. 7. Determinemos: Então, logo, a oção correta é a D. n lim _ u lim u 0 ni e o n " + " + lim gu _ ni lim dlnc mn n lne lim c mo n ln 0 + n " + n " + n " + n + + TEMA Introdução ao Cálculo Diferencial II 9

32 tema Introdução ao Cálculo diferencial II 8. Como a função f é contínua, de domínio IR \ #- e lim f _ i, odemos concluir que o gráfico da função f não n " admite assíntotas verticais. Por outro lado, como lim f _ i, então, a recta y é uma assíntota horizontal do gráfico de f e como n "+ lim 8f _ i B 0, então, a reta y é uma assíntota oblíqua do gráfico de f. n "+ logo, as assíntotas do gráfico da função f são: y e y A oção correta é a A. 9. Verifica-se se: lim h_ i lim h_ i h_ 0i 0 + n " 0 n " 0 lim h_ i lim _ + e i lim + lim _ e i + " 0 " 0 " 0 " 0 lim h_ i lim _ + i lim _ i + lim # " 0 " 0 " 0 " 0 h_ 0i Como lim h_ i lim h_ i h_ 0i, odemos concluir que a função h é contínua. + " 0 " 0 A oção correta é a A. 0. Pela definição de assíntota não vertical, temos: lim ag_ i _ m + bik 0, então: "+ lim a g_ i _ ik 0 + lim `g_ i + j 0 " + " + logo, a oção correta é a A.. bservando o gráfico dado, odemos concluir que a função h é crescente até se anular, logo, hl_ 0i 0. Verificamos ainda que as concavidades de h são, rimeiro, voltada ara cima e deois voltada ara baixo, logo, hm_ 0i 0e hm_ 0i 0. A oção que satisfaz a condição inicial ser um número ositivo é hl_ 0i - hm_ 0i. A oção correta é a C.. Construamos os quadros seguintes, tendo em conta o que nos é dado elo enunciado: Æ - a + fl - - f Como a rimeira derivada de f é negativa em todo o domínio, então, f será decrescente em todo o seu domínio. Æ - a + f m - - f Como a segunda derivada de f é negativa em todo o domínio, então, f terá a concavidade voltada ara baixo em todo o seu domínio. logo, a oção correta é a A.. bservando o gráfico de f, conclui-se que a função f é decrescente em A-, aa e em 7c, ea e crescente em 7a, ca e em 7e, + 7, logo, fl_ i 0 em A-, aa e em 7c, ea e fl_ i 0 em 7a, ca e em 7e, + 7. Quanto ao sentido das concavidades do gráfico de f, é voltada ara cima em A-, ba e em 7d, + 7 e voltada ara baixo em 7b, da, logo, f m_ i 0 em A-, ba e em 7d, + 7 e f m_ i 0 em 7b, da. logo, a oção correta é a C.

33 . Construamos o seguinte quadro, tendo em atenção o gráfico dado: - a b c + fm f P. I. P. I. De acordo com as oções dadas, a única que se coaduna com o aresentado no quadro acima é o onto de abcissa c que é um onto de inflexão. logo, a oção correta é a B.. Temos de determinar A sombreada A crculo í A D 7 ABC A Como o ângulo CAB W está inscrito numa semicircunferência, então, o triângulo 7ABCA é retângulo em A. Então, vem: cos AC AC + cos BC + AC cos sen AB AB + sen BC + AB sen AB # AC sen # cos AD7 ABCA sencos Acrculo í r # logo, Asombreada Acrculo í AD7ABCA sencos sen_ i A oção correta é a A. 6. À medida que o onto P se desloca sobre a circunferência, a artir do onto A, a área da região sombreada aumenta até, que é a altura máxima do triângulo, diminuindo até alcançar o valor zero, ara. mesmo se verifica quando o valor de varia entre a. logo, a oção correta é a A. 7. À medida que o onto P se desloca sobre a circunferência, a artir do onto A, a distância aumenta ara, a artir de certo momento, diminuir, atingindo um mínimo ara u[ F, <. Quando o onto P atinge de novo o onto A, a distância é igual à inicial, ou seja: d_ 0i d_ i BA logo, a oção correta é a B. 8. Resolve-se a equação: A_ di + + _ di + d + d + 0 d + d d A oção correta é a B. 9. Calculemos o volume do tanque, cuja forma é um araleleíedo: V Abase # h 7 # # 0 m Como o volume do tanque é 0 m e a torneira verte m de água or hora, então, o tanque demora 0 ' 70 horas a encher, elo que t [ 7070, A. Temos, então, t V Abase # h + t # h + h logo, a oção correta é a B. TEMA Introdução ao Cálculo Diferencial II

34 tema Introdução ao Cálculo diferencial II QUESTõES DE RESPSTA ABERTA. Para que a exressão dada tenha significado no conjunto dos números reais, é necessário determinar o seu domínio. D # [ IR : / / 0 + / logo, D A0, + 7 Para este domínio, vem: log _ 7 + 6i H + log _ i + log _ 7 + 6i H log 9 + log _ i + log _ 7 + 6i H log _ 9i H H 6 + H 6 + G 6 + G conjunto solução da inequação será o conjunto dos números reais que satisfazem a condição 0 / G. Então, o conjunto solução será A0, A... N 0 log _ 0 Ii 0a log 0 + log Ik 0_ log 0 + log Ii 0_ + log Ii log I N log0 I log0 I log0 I + log0 I + I 0 + I 00 0 Para um nível de 0 decibéis, o som tem a intensidade de 00 watt or metro quadrado... Comecemos or determinar o valor de: N_ 0i N_ 0i 0 00, # e + 99 # 00 N_ 0i 0 significa que o número inicial de sócios da associação foi 0. Determinemos, agora, lim Nt _ i t " lim Nt _ i lim f 000, t " + t " + 00 t + 99e + 99e + 99 # 0 lim Nt _ i 000 significa que o número de sócios tem tendência a estabilizar erto dos 000. t "+. Temos de determinar: N_ ti , t 000 0, 0t Nt _ i _ + 99e i e + 00, t + 99e , t 0, 0t + 99 e + e + 00, t lnd n + t. 9, A inscrição do sócio número 000 comemorou-se ao fim de 0 dias... Temos de determinar: A_ i, 9, 9, A_ i, + 0, + 0, ln_ i, + 0, ln_ i, + 0, + ln_ i + e 0, +, 8 0, eso do Ricardo será, aroximadamente, kg.. Temos de verificar se A_ i - A_ i é constante. A_ i A_ i 0, + 0, ln_ i ` 0, + 0, ln_ ij 0, + 0, ln_ i + 0, 0, ln_ i 0, `ln_ i ln_ ij 0, lne o 0, ln_ i 08, Interretação: este resultado significa que se o eso de um raaz assa ara o dobro, então, a sua altura aumenta 8 cm, aroximadamente.

35 .. Determinemos fl_ i. l e _ e il _ i _ e i_ i l e _ i e e _ i e _ i fl_ i e o _ i _ i _ i _ i e _ i fl_ i e _ i 0 + e _ i e Como D f IR \ #-, o sinal de fl_ i vai ser o mesmo de -, uma vez que 0, qualquer que seja o valor de ertencente a D f. _ - i Æ - + fl - n.d f n.d. e e f _ i e Quanto à monotonia, a função f é crescente em 7, + 7 e decrescente em A -, 7 e em A 7,. Quanto a extremos relativos, a função f tem um mínimo y e, ara, que é o minimizante.. Para que a exressão tenha significado, é necessário determinar o seu domínio. e D ) [ IR: n + k n k + n k k + n + n k k 0 n 0 e lim f _ i lim + " + " + e lim f _ i lim 0 " " e D ) [ IR: 0 A, + 7. Assíntotas verticais: e e lim f _ i lim e o " " 0 + e e lim f _ i lim e o " " 0 Como f é contínua em IR \ #-, odemos, então, concluir que é assíntota vertical do gráfico de f. Assíntotas não verticais: e lim f _ i lim + " + " + e lim f _ i lim + 0 " " A reta de equação y 0 é assíntota horizontal do gráfico de f, quando " -. TEMA Introdução ao Cálculo Diferencial II

36 tema Introdução ao Cálculo diferencial II 6. Assíntotas verticais: No caso de existirem assíntotas verticais e como a função f é contínua em A -, 07 e em A 0, + 7, aenas as retas de equação ou 0 oderão ser assíntotas verticais. Então, vem: sen_ i sen_ i sen lim f lim _ i _ i f " " _ i Podemos concluir que não existe assíntota vertical do gráfico de f ara " -. sen_ i sen_ i lim f _ i lim f lim # # 0 0 f " " " 0 lim lim sen _ i # f # lim c m # # 0 " 0 " 0 " 0 Podemos concluir que a reta 0 é assíntota vertical do gráfico de f ara " 0. Assíntotas horizontais: Como D f 7, + 7, oderá existir uma assíntota horizontal ara " +, uma vez que o intervalo é limitado à esquerda. Então, vem: + lim f _ i lim _ e i e 0 " + " + Podemos concluir que a reta y 0 é assíntota horizontal do gráfico de f ara " s ontos de interseção do gráfico de f com o eixo são os zeros da função. Então, vamos determinar f _ i 0. f _ i 0 + ln_ i 0 + ln_ i + ln_ i ln_ ei + e + e 0 e s ontos de interseção do gráfico de f com o eixo são: _- e, 0i e _ e, 0i. 7. Determinemos: fl_ i fl l ln l l _ il _ i ` _ ij _ i `ln_ ij 0 _! 0i A função flnão tem zeros. Æ fl + n. d. - f n. d. Quanto à monotonia, a função f é crescente em A -, 07 e decrescente em A 0, + 7. Quanto a extremos relativos, como a função f tem derivada e fl é semre diferente de zero, então, f não admite extremos relativos A função f é contínua no seu domínio, ois é a soma e comosição de duas funções contínuas, logo, também é contínua no intervalo 7-, -A. Vamos determinar f _-i e f _-i. : _ i D 8 f _ i _ i + e + e., 000 : _ i D f _ i _ i + e + e., 00 Como f _-i, f _-i, então, elo Teorema de Bolzano, existirá elo menos um valor c, ertencente ao intervalo A -, -7, tal que f_ ci,, isto é, f _ i, tem elo menos uma solução no intervalo A -, Sabemos que y f_ 0i fl_ 0i_ 0i define a reta tangente ao gráfico de f no onto de abcissa 0. Neste caso, temos 0 0. Então, vem: l fl_ i a + e k _ il + _ l i ae k + 6 e # 0 fl_ 0i + 6_ 0ie # 0 f_ 0i 0 + e e e

37 logo, y e _ 0i + y + A reta tangente ao gráfico de f no onto de abcissa 0 é: y + e e A função f é contínua no seu domínio, ois é a diferença entre duas funções contínuas, logo, é também contínua em 70, A. Tem-se: f _ 0i # 0 cos 0 0, então, f _ 0i 0 f _ i # cos _ i +, então, f _ i 0 Podemos, assim, concluir que, como a função f é contínua em 70, A e f_ 0i # f_ i 0, elo Teorema de Bolzano, que existe, elo menos, um zero da função no intervalo A 0, Determinemos: fl_ i fl_ i _ cos il _ il _ cos il _ seni + sen G sen G, 6[ IR + + G + sen G +, 6[ IR + + G fl_ i G, 6[ IR Então, fl_ i H, 6[ IR,logo, fl_ i 0, 6[ IR Podemos, então, concluir que a função f é estritamente crescente em IR, não odendo ter mais do que um zero, cuja existência se rovou na alínea anterior. 9. Temos que o declive da reta r é tan c, então, uma equação da reta r, que contém o onto A_ -0, i, será: y m + b + 0 _ i + b + b, logo y + onto B será, assim, o onto de interseção do gráfico da função f com a reta r. Inserimos na calculadora: y cos y + Janela de visualização: 7, A # 76, A btemos o seguinte gráfico: y f r, B A C As coordenadas do onto B, que nos dá a altura do triângulo 7ABCA, são, com aroximação às décimas: _, ;, i. logo, a área do triângulo 7ABCA será: A D7ABCA A # BC #, 79,. 8 TEMA Introdução ao Cálculo Diferencial II

38 tema Introdução ao Cálculo diferencial II Determinemos: fl_ i fl_ i _ + e il _ il + _ e il _ il? _ e i + _ i? _ e il 6e + _ i?_ il?_ e i 6e e e _ 6 i fl_ i 0 + e _ 6 i 0 + e \ imossível + _ 6 i Æ fl f min. Máx. f _ 0 i + _ 0i? e A função f tem um único mínimo ara 0, que é y. 0. Temos de rovar que existe um valor de ertencente a A -0, 7, tal que f _ i. Assim, como a função f é contínua em IR, também é contínua em 7-, 0A e: _ i f _ i + _ i? e + e. 9, 0 f _ 0i + _ 0i? e Podemos, então, concluir que, como a função f é contínua em 7-, 0A e f _-i f _ 0i, elo Teorema de Bolzano, existe um valor de ertencente a A -0, 7, tal que: f _ i.. Utilizando a definição de derivada, vem: f_ i f_ 0i fl_ 0i lim " sen _ 0 sen 0i + sen lim lim 0 0 " " sen lim b + l lim + lim b sen l " 0 " 0 " 0 + logo, fl_ 0i.. Determinemos fl_ i e f m_ i. fl_ i _ + sen il _ il + _ sen il + cos f m_ i _ + cos il _ il+ _ cos il sen f m_ i 0 + sen 0 + k, k [ Z Para k 0, vem 0 # 0. Para k, vem #. Æ - 0 f m f P. I. P. I. f _ 0i 0 + sen 0 0 f _ i + sen A função f tem a concavidade voltada ara baixo em A 0, 7 e voltada ara cima em ;-, 0; e em, F F. A função f tem dois ontos de inflexão de coordenadas _ 00, i e _, i. 6

39 . f _ i + cos + + sen + cos + sen cos + sen senc m k 0 c m + k, k [ Z k k, k [ Z k 0 + k, k [ Z + + k, k [ Z Para,vem k + _ i Para k 0,vem + 0 # Para,vem k + # + Como não ertence a < -, F, o conjunto solução será (,.. Determinemos f m_ i: fm_ i ` _ + i e 0j l _ + il e + _ + i_ e il _ 0il # e + _ + i e 0 e _ + + i 0 e _ + i 0 Inserimos na calculadora: y e _ + i 0 janela de visualização: 7-, A # 7-0, A btemos o seguinte gráfico: y 0, Verificamos que o único zero da função f m é, aroximadamente,.,... onto P coincide com o onto A ara 0, então, a distância do onto Q ao onto é igual a +. Para, o onto P coincide com o onto B, então a distância do onto Q ao onto é igual a. Como d_ 0i e d_ i, então, temos que d_ 0i d_ i, o que verifica a veracidade da afirmação I. Quando varia de 0 a, o onto P ercorre a distância entre A e B (semicircunferência acima do diâmetro 7ABA ), verificando-se a aroximação do onto Q ao onto. Assim, em 70, A, d_ i vai diminuindo à medida que aumenta o valor de, elo que a função d é decrescente em 70, A. Esta situação não se verifica quando varia entre e : o onto P ercorre a distância entre B e A (semicircunferência abaixo do diâmetro 7ABA ), verificando-se um afastamento entre o onto Q e o onto. Assim, em 7, A, d_ i vai aumentando à medida que o valor de também aumenta, elo que a função d é crescente em 7, A. Conclui-se, então, que a função dl não ode ser negativa em 7, A e, ortanto, a afirmação II é falsa. TEMA Introdução ao Cálculo Diferencial II 7

40 tema Introdução ao Cálculo diferencial II. De acordo com a sugestão dada, temos: P sen cos R A Q d() Tendo em conta que Q R + RQ, vem: R cos + R cos P Alicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo 7PQRA, vem: PQ PR + QR + sen + QR + QR 9 sen + QR 9 sen Assim, temos: Q R + RQ + d_ i cos + 9 sen.. Para determinarmos a área total da irâmide quadrangular dada, temos de calcular Atotal Alateral + Abase. Assim, consideremos, na irâmide dada, o triângulo retângulo 7EFGA: FG cos + EG EG cos Consideremos, agora, a face 7BCEA e determinemos a sua área. A 7BCEA BC # EG # cos cos Assim, a área lateral da irâmide quadrangular será: A lateral # A 7BCEA cos A área da base da irâmide quadrangular será: A BC base logo, Atotal Alateral + Abase cos + + cos cos. lim A_ i lim " " + cosc m cosc m + cos cos Interretação: À medida que o valor de aumenta, as arestas laterais da irâmide vão tornar-se retas erendiculares à base, logo, a área total da irâmide vai aumentar infinitamente. 8

41 .. Sabemos que a função n é contínua, então, lim n_ ti lim n_ ti n_ i t " + t " 7, 0 Assim, tem-se: n_ i 6 + 7e 6 + 7e _ i Então: k k lim n_ t i n_ i+ _ e i + e + t " k k + e + e 0, + k ln 0, + ln 0, + k + k. 0, 8 _ i 7, t, 7 t. Para t H vem: nl_ ti 7 e #_ 7, i,9e Como ara t H nl_ ti 0, então, odemos concluir que a função n é decrescente. Interretação: A velocidade a que o araquedista se desloca vai diminuindo assim que se abre o araquedas.. Sabe que ara n _ i, determinemos agora ara outros valores de t H. _ 70, 8, n_ 0i 6 + 7e 6 + 7e. 6,00 _,7 0 76, n_ 0i 6 + 7e 6 + 7e 6 bservando estes resultados, e tendo em conta a conclusão a que se chegou na questão anterior, odemos concluir que a afirmação é verdadeira. 6. Consideremos g :0, 7 A " IR, tal que g_ i f_ i f_ + i Como a função f é contínua no intervalo 70, A, então, a função g também é contínua em todo o seu domínio 70, A. Assim, vem: g_ 0i f_ 0i f_ i 0 f_ i f_ i 0 g_ i f_ i f_ i f_ i 0 f _ i 0 Como f _ i 0, então, g_ 0i 0, e como f _ i 0, então, g_ i 0. logo, g_ 0i# g_ i 0 Então, elo Teorema de Bolzano, a função g tem elo menos um zero no intervalo A 0, 7, existindo elo menos um número real c, no intervalo A 0, 7, tal que: f _ ci f _ c + i i i _ i TEMA Introdução ao Cálculo Diferencial II 9

42 TEMA Trigonometria e Números Comlexos QUESTÕES DE ESCLHA MÚLTIPLA. Seja z um número comlexo de argumento. Qual oderá ser um argumento do simétrico de z? (A) (B) + (C) (D) + Exame Nacional do.º ano, 000,.ª fase,.ª chamada. Qual das seguintes condições define, no lano comlexo, o eixo imaginário? (A) z + z 0 (B) Im_ zi (C) z 0 (D) z z 0 Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase,.ª chamada. Em IC, conjunto dos números comlexos, considere: z cisc m e z i Sejam P e P as imagens geométricas, no lano comlexo, de z e de z. Sabe-se que o segmento de reta 7PP A é um dos lados do olígono cujos vértices são as imagens geométricas das raízes de índice n de um certo número comlexo w. Qual é o valor de n? (A) (B) 6 (C) 8 (D) 0 Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase. Em IC, conjunto dos números comlexos, seja i a unidade imaginária. Seja n um número natural, tal que: i i Indique qual dos seguintes é o valor de: i n (A) (B) i (C) (D) i Exame Nacional do.º ano, 007,.ª fase. Seja z i um número comlexo. Qual dos seguintes valores é um argumento de z? (A) 0 (B) (C) (D) Exame Nacional do.º ano, 008,.ª fase 6. Seja k um número real e z _ k i i_ ii um número comlexo. Qual é o valor de k, ara que z seja um número imaginário uro? (A) (B) (C) (D) Exame Nacional do.º ano, 009,.ª fase 7. Na figura, estão reresentadas, no lano comlexo, as imagens geométricas de quatro números comlexos z, z, z e z. Indique o número comlexo que, com n [ IN, ode ser igual a: (A) z (C) z n n + n + i + i + i Im(z) z z z Re(z) (B) z (D) z Exame Nacional do.º ano, 0,.ª fase z 0

43 8. Seja w o número comlexo cuja imagem geométrica está reresentada na figura. Im(z) Re(z) w A qual das retas seguintes ertence a imagem geométrica de w 6? (A) Eixo real. (B) Eixo imaginário. (C) Bissetriz dos quadrantes ímares. (D) Bissetriz dos quadrantes ares. Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase 9. Seja b um número real ositivo e z bi um número comlexo. Em qual dos triângulos seguintes os vértices odem ser as imagens geométricas dos números comlexos z, _ z i e _ z i? (A) Im(z) (C) Im(z) Re(z) Re(z) (B) Im(z) (D) Im(z) Re(z) Re(z) Exame Nacional do.º ano, 009,.ª fase TEMA Trigonometria e Números Comlexos

44 TEMA Trigonometria e Números Comlexos 0. s ontos A e B, reresentados na figura, são as imagens geométricas, no lano comlexo, das raízes quadradas de um certo número comlexo z. A Qual dos números comlexos seguintes ode ser z? (A) (B) i (C) (D) i Exame Nacional do.º ano, 006,.ª fase. Na figura, estão reresentadas, no lano comlexo, as imagens geométricas de cinco números comlexos: w, z, z, z e z. B z z w z z Qual é o número comlexo que ode ser igual a w? (A) z (B) z (C) z (D) z Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase. Qual das seguintes regiões do lano comlexo (indicadas a sombreado) contém as imagens geométricas das raízes quadradas de + i? (A) (C) (B) (D) Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase

45 . Indique qual das figuras seguintes ode ser a reresentação geométrica, no lano comlexo, do conjunto: # z [ IC: z + z i / G Im_ zi G. (A) (C) (B) (D). Na figura, está reresentado, no lano comlexo, um triângulo retângulo isósceles. Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase,.ª chamada s catetos têm comrimento, estando um deles contido no eixo dos números reais. Um dos vértices do triângulo coincide com a origem do referencial. Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira? (A) Re _ zi H 0 / Im_ zi G 0 / z G (B) Re _ zi G 0 / Im_ zi H 0 / z G (C) Re _ zih / Im_ zi H 0 / z i H z + (D) Re _ zih / Im_ zi H 0 / z i G z Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase TEMA Trigonometria e Números Comlexos

46 TEMA Trigonometria e Números Comlexos. Na figura, estão reresentadas, no lano comlexo, duas circunferências, ambas com centro no eixo real, tendo uma delas raio e a outra raio. A origem do referencial é o único onto comum às duas circunferências. Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira? (A) z H/ z G (C) z G/ z H (B) z H/ z G (D) z G/ z H 6. Considere a figura, reresentada no lano comlexo. Im(z) Exame Nacional do.º ano, 006,.ª fase Re(z) Qual é a condição, em IC, que define a região sombreada da figura, incluindo a fronteira? (A) Re _ zi G / G arg_ zi G 0 (C) Im_ zi G / G arg_ zi G 0 (B) Re _ zi G / 0 G arg_ zi G (D) Re _ zi H / G arg_ zi G 0 Exame Nacional do.º ano, 008,.ª fase 7. Na figura, está reresentada uma região do lano comlexo. onto A tem coordenadas _, i. Qual das condições seguintes define em IC, conjunto dos números comlexos, a região sombreada, incluindo a fronteira? Im(z) (A) z H z _ ii / Re _ zi G / Im_ zi H (B) z G z _ ii / Re _ zi G / Im_ zi H Re(z) (C) z + H z _ + ii / Re _ zi G / Im_ zi H A (D) z H z _ ii / Im_ zi G / Re _ zi H Exame Nacional do.º ano, 009,.ª fase

47 8. Na figura, está reresentado, no lano comlexo, a sombreado, um setor circular. Im(z) A Re(z) B Sabe-se que: o onto A está situado no.º quadrante; o onto B está situado no.º quadrante; 7ABA é um dos lados de um olígono regular cujos vértices são as imagens geométricas das raízes de índice do comlexo: cis c m o arco AB está contido na circunferência de centro na origem do referencial e raio igual a A. Qual dos números seguintes é o valor da área do setor circular AB? (A) (B) (C) (D) 8 Exame Nacional do.º ano, 0,.ª fase 9. Qual das oções seguintes aresenta duas raízes quadradas de um mesmo número comlexo? (A) e i. (B) e i. (C) i e + i. (D) i e + i. Exame Nacional do.º ano, 007,.ª fase 0. Seja z um número comlexo de argumento. Qual oderá ser um argumento do simétrico de z? (A) (B) + (C) (D) + Exame Nacional do.º ano, 000,.ª fase,.ª chamada TEMA Trigonometria e Números Comlexos

48 TEMA Trigonometria e Números Comlexos QUESTÕES DE RESPSTA ABERTA. Seja A o conjunto dos números comlexos cuja imagem, no lano comlexo, é o interior do círculo de centro na origem do referencial e raio.. Defina, or meio de uma condição em IC, a arte de A contida no segundo quadrante (excluindo os eixos do referencial). + i. Sem recorrer à calculadora, mostre que o número comlexo: ertence ao conjunto A. cis c m 6 Exame Nacional do.º ano, 000,.ª fase,.ª chamada. Em IC, conjunto dos números comlexos, sejam: z + yi e z iz (i é a unidade imaginária e y designa um número real).. Considere que, ara qualquer número comlexo z não nulo, arg_ zi designa o argumento de z que ertence ao intervalo 70, A. Admitindo que arg_ z i a e que 0 a, determine o valor de arg_ z i em função de a.. Sabendo que Im_ zi Im_ zi, determine z. Aresente o resultado na forma algébrica.. Em IC, considere os números comlexos: z 6 + i e z i Sem recorrer à calculadora, determine + i z z Exame Nacional do.º ano, 007,.ª fase, aresentando o resultado final na forma trigonométrica. Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase. Seja z um número comlexo, cuja imagem geométrica ertence ao rimeiro quadrante (eixos não incluídos). Justifique que a imagem geométrica de z não ode ertencer ao quarto quadrante. Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase. n Em IC, conjunto dos números comlexos, considere: z, z i e z cis c m, n [ IN 0 Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.. comlexo z é raiz do olinómio: z z + 6z 6 Determine, em IC, as restantes raízes do olinómio. Aresente as raízes obtidas na forma trigonométrica.. Determine o menor valor de n natural ara o qual a imagem geométrica de z # z, no lano comlexo, está no terceiro quadrante e ertence à bissetriz dos quadrantes ímares. Exame Nacional do.º ano, 0,.ª fase 6. Em IC, conjunto dos números comlexos, considere: w + i (i designa unidade imaginária). 6. Determine _ w i _ + ii na forma algébrica. 6. Averigue se o inverso de w é, ou não, cis d n Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase 6

49 7. Seja IC o conjunto dos números comlexos; i designa unidade imaginária. + i 7. Considere: w i i Sem recorrer à calculadora, escreva w na forma trigonométrica. 7. Considere: z cis_ ai e z cis c a m Mostre que a imagem geométrica, no lano comlexo, de z+ zertence à bissetriz dos quadrantes ímares. Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase 8. Seja IC o conjunto dos números comlexos; i designa unidade imaginária. cis 6 + ic m 6 8. Sem recorrer à calculadora, determine, aresentando o resultado final na forma trigonométrica. + i 8. Considere que, ara qualquer número comlexo z não nulo, arg_ zi designa o argumento de z que ertence ao intervalo 70, 7. Reresente a região do lano comlexo definida ela condição, em IC, G z G / G arg_ zi G e determine a sua área. Exame Nacional do.º ano, 006,.ª fase 9. Em IC, conjunto dos números comlexos, considere z i e z 8cis 0(i designa unidade imaginária). 9. Mostre, sem recorrer à calculadora, que _ z i é uma raiz cúbica de z No lano comlexo, sejam A e B as imagens geométricas de z e de z z? i, resetivamente. Determine o comrimento do segmento 7ABA. Exame Nacional do.º ano, 008,.ª fase 0. IC é o conjunto dos números comlexos; i designa a unidade imaginária. _ ii + ccis m 9 0. Sem recorrer à calculadora, determine, aresentando o resultado na forma algébrica. cis 0. Seja a um número real. Sejam z e z dois números comlexos, tais que: z cis a z cis _ a + i Mostre que z e z não odem ser ambos raízes cúbicas de um mesmo número comlexo.. Em IC, considere os números comlexos: z + i e z cis d n. Verifique que z e z são raízes quartas de um mesmo número comlexo. Determine esse número, aresentando-o na forma algébrica.. Considere, no lano comlexo, os ontos A, B e, em que: A é a imagem geométrica de z ; B é a imagem geométrica de z ; é a origem do referencial. Determine o erímetro do triângulo 7ABA. Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase,.ª chamada Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase,.ª chamada TEMA Trigonometria e Números Comlexos 7

50 TEMA Trigonometria e Números Comlexos. Em IC, conjunto dos números comlexos, considere: z cisc m e z Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos. z + i. Determine o número comlexo: w i. Escreva uma condição, em IC, que defina, no lano comlexo, a circunferência que tem centro na imagem geométrica de z e que assa na imagem geométrica de z. Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase. Considere, em IC, um número comlexo w, cuja imagem geométrica no lano comlexo é um onto A, situado no.º quadrante. Sejam os ontos B e C, resetivamente, as imagens geométricas de w (conjugado de w) e de _ wi. Sabe-se que BC 8 e que w. Determine a área do triângulo 7ABCA. Exame Nacional.º ano, 009,.ª fase. Em IC, conjunto dos números comlexos, considere z cis ada[ E0, ; n. Na figura está reresentado, no lano comlexo, o aralelogramo 7ABCA. A e B são as imagens geométricas de z e z, resetivamente. C é a imagem geométrica de um número comlexo, w. Justifique que w cos a. z. Determine o valor de a [ E 0, ; ara o qual é um número real. i A C B Exame Nacional do.º ano, 007,.ª fase. Em IC, conjunto dos números comlexos, seja: z cis c m z +. Sem recorrer à calculadora, verifique que é um imaginário uro. i. No lano comlexo, a imagem geométrica de z é um dos cinco vértices do entágono regular reresentado na figura. Este entágono está inscrito numa circunferência centrada na origem do referencial. Defina, or meio de uma condição em IC, a região sombreada, excluindo a fronteira. Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase,.ª chamada 8

51 6. IC é o conjunto dos números comlexos; i designa a unidade imaginária. 6. Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma trigonométrica, as raízes quartas do número comlexo + i, simlificando o mais ossível as exressões obtidas. 6. Seja z um número comlexo cuja imagem geométrica, no lano comlexo, é um onto A situado no segundo quadrante e ertencente à reta definida ela condição Re_ zi. Seja B a imagem geométrica de z, conjugado de z. Seja a origem do referencial. Reresente, no lano comlexo, um triângulo 7ABA, de acordo com as condições enunciadas. Sabendo que a área do triângulo 7ABA é 8, determine z, na forma algébrica. Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase 7. Em IC, conjunto dos números comlexos, considere z + i (i designa a unidade imaginária). 7. Determine os números reais b e c ara os quais z é raiz do olinómio: + b + c 7. Seja: z cis a Calcule o valor de a, ertencente ao intervalo 70, A, ara o qual z# zé um número real negativo ` z designa o conjugado de z j. Exame Nacional do.º ano, 00,.ª fase 8. De dois números comlexos z e z sabe-se que: Um argumento de z é. módulo de z é. i 8. Seja: w + i Justifique que w é diferente de z e de z. 8. z e z são duas raízes quartas de um certo número comlexo z. Sabendo que, no lano comlexo, a imagem geométrica de z ertence ao segundo quadrante, determine z na forma algébrica. Exame Nacional do.º ano, 000,.ª fase,.ª chamada 9. Seja IC o conjunto dos números comlexos. Resolva as duas questões seguintes, sem recorrer à calculadora. n + 9. Considere z + i e z# i b w, com b [ IR e n [ IN cis d n Determine o valor de b ara o qual w é um número real. 9. Seja z um número comlexo, tal que z. Mostre que: + z + z Exame Nacional do.º ano, 0,.ª fase TEMA Trigonometria e Números Comlexos 9

52 TEMA Trigonometria e Números Comlexos PRPSTAS DE RESLUÇÃ QUESTÕES DE ESCLHA MÚLTIPLA. Seja z rcis u, então, o seu simétrico será z rcis _ + ui, uma vez que dois números simétricos têm os seus afixos simétricos em relação à origem do lano comlexo. Logo, o argumento de z será arg_ zi + u + A oção correta será a B.. A condição que define, no lano comlexo, o eixo imaginário é Re_ zi 0. Logo, sabendo que z a + bi e z a bi, vamos verificar se a oção A é correta. Vem: z + z 0 + _ a + bii + _ a bii 0 + a + bi + a bi 0 + a 0 Como a arte real do comlexo z é 0, então, a oção correta será a A.. número comlexo z i é um imaginário uro, isto é, a sua arte real é igual a 0, cujo coeficiente é ositivo, logo, será um argumento de z. No lano comlexo, odemos reresentar P e P do seguinte modo: y P P u } Então, u arg_ zi arg_ zi 8 Assim, n + n + n 8 A oção correta será a C.. Vamos resolver i n +. Assim, vem: A oção correta será a A. n+ n i i # i i # i i _ i. número comlexo z i é um imaginário uro, isto é, a sua arte real é igual a 0, cujo coeficiente é ositivo, logo, será um argumento de z. A oção correta será a B. 0

53 6. Vamos desenvolver z _ k i i_ ii. Assim, vem: z _ k ii_ ii k ki i + i k ki i k ki i _ k i _ k + i Para que um número comlexo seja um imaginário uro, a sua arte real tem de ser igual a 0, então, vem: k 0 + k A oção correta será a C. 7. Vamos determinar i n i n + i n n n+ n +. Assim, vem: i + i + i + i + _ i + i i Como o valor do módulo de i é igual a, logo, será o valor do seu argumento. Assim, o número comlexo corresondente a este argumento é z. A oção correta será a B. 8. Por observação do lano comlexo reresentado na figura dada, odemos concluir que: w r cis d n Então, w 6 8 r 6 cis d6 # n r 6 cis d n r 6 cis_ 9i r 6 cis Assim, a reresentação geométrica de w 6 ertence ao eixo real. A oção correta será a A. 9. Como z bi, vem: _ zi _ bii b # i b # _ i b, logo, odemos concluir que a imagem geométrica de _ z i será o onto de coordenadas ` b, 0j, isto é, um onto ertencente ao semieixo real negativo. z bi b i b i b _ i _ i # # _ i i, logo, odemos concluir que a imagem geométrica de _ z i será o onto de coordenadas `0, bij, isto é, um onto ertencente ao semieixo imaginário negativo. Para z bi, temos que a sua imagem geométrica será o onto de coordenadas _ 0 ; bi, isto é, um onto ertencente ao semieixo imaginário ositivo. A oção correta será a C. 0. Sabemos que as raízes quadradas de são e, elo que odemos descartar as oções A e C, e que as raízes quadradas de são i e i. ra, como i cis c m, calculemos, ela Fórmula de Moivre resetiva, as suas raízes quadradas. + k f cisc m cis cis c + k m, k [ # 0, - k 0 " z0 cis c + 0# m cis c m, afixo ertencente ao.º quadrante. k " z0 cis c + # m cis c + m cis d n, afixo ertencente ao.º quadrante. Como i cis d n, calculemos, ela Fórmula de Moivre resetiva, as suas raízes quadradas. + k f cisd n cis cis d + k n, k [ # 0, - k 0 " z0 cis d + 0# n cis d n, afixo ertencente ao.º quadrante 7 k " z cis d + # n cis d + n cis d n, afixo ertencente ao.º quadrante A oção correta será a D. TEMA Trigonometria e Números Comlexos

54 TEMA Trigonometria e Números Comlexos. Consideremos o número comlexo w a + bi, coma 0 e b 0. Então, vem: w _ a + bii a bi _ ai bi \ V 0 0 Verificamos que tanto a arte real como a arte imaginária de w são negativas, logo, odemos concluir que w ertence ao.º quadrante do lano comlexo, elo que w ode ser igual a z. A oção correta será a C.. Comecemos or assar o número comlexo z + i ara a forma trigonométrica. r Então, z cis u, em que 0 u, uma vez que a imagem geométrica do número comlexo ertence ao.º quadrante. Calculemos, ela Fórmula de Moivre resetiva, as raízes quadradas de z cis u. u + k z cisu cis d n, k [ # 0, - u + # 0 # u k 0" z0 cis d n cis d n u + # # u + u k " z cis d n cis d n cis d + n Sabemos que 0 u, então, vem: u u # 0 # + 0 u u # # + + Assim, odemos concluir que as imagens geométricas do número comlexo z + i ertencem ao.º e ao.º quadrantes. A oção correta será a A.. Para z + z i, temos a mediatriz do segmento de reta, em que os extremos são as imagens geométricas de e de i. Para G Im_ zi G, temos arte do lano comlexo limitado elas retas de equação: y e y A oção correta será a B.. Para Re _ zi H, temos o semilano localizado à direita da reta de equação, incluindo a fronteira. Para Im _ zi H 0, temos o semilano localizado acima do eixo real, incluindo a fronteira. Para z i H z +, temos o semilano localizado abaixo da mediatriz do segmento de reta, em que os extremos são as imagens geométricas de e de i, incluindo a fronteira. A oção correta será a C.. Para z H, temos todos os ontos ertencentes ao exterior de uma circunferência de centro no onto _ 0, i e raio. Para z G, temos todos os ontos do interior de uma circunferência de centro no onto _ 0, i e raio. A oção correta será a A.

55 6. Para Re _ zi G, temos o semilano localizado à esquerda da reta de equação, incluindo a fronteira. Para G arg_ zi G 0, temos a orção do lano comlexo definido elo ângulo com o lado origem igual a arg_ zi e o lado extremidade igual a: arg_ z i 0 A oção correta será a A. 7. Para z, temos a distância de z à imagem geométrica de. Para z _ ii, temos a distância de z à imagem geométrica do onto A. Então, z H z _ ii é o semilano delimitado ela mediatriz do segmento de reta de extremos e A e que contém A. Para Re_ zig / Im_ zi H, temos a orção do lano comlexo localizado à esquerda da reta de equação e acima da reta de equação y. A oção correta será a A. 8. Como os vértices do olígono regular são as imagens geométricas das raízes de índice do comlexo cis c m, então, o raio da circunferência será r e a amlitude do ângulo comreendido entre duas raízes consecutivas será d n. r # a Então, calculemos a área do setor circular, usando a fórmula A, em que r é o raio da circunferência e a é a amlitude do ângulo. # # 8 A 0 A oção correta será a B. 9. Verificamos que w! z, orque i e + i são números comlexos simétricos, logo, são raízes quadradas do mesmo número comlexo. Logo, a oção correta é a D. 0. Sabemos que dois números comlexos simétricos têm os seus afixos simétricos em relação à origem do lano de Argand, então, vem z rcis u, logo, z rcis _ + ui A oção correta é a B. e, assim: arg_ zi + TEMA Trigonometria e Números Comlexos

56 TEMA Trigonometria e Números Comlexos QUESTÕES DE RESPSTA ABERTA.. Sabemos que o.º quadrante do lano comlexo é definido ela condição Re_ zi 0 / Im_ zi 0, excluindo os eixos do referencial. Assim, a arte do conjunto A, definido or A # z [ IC: z., contida no.º quadrante, excluindo os eixos do referencial, é definida ela condição # z [ IC: z / Re_ zi0 / Im_ zi i. Vamos determinar: cis c m 6 Reresentemos z + i na forma trigonométrica: r + _ i + cos u * " u sen u Então, vem z cis c m cis c m + i cis c m cis c m 6 6 cis c m cis c m i Como o módulo do quociente é, logo, menor do que, então, o número comlexo ertence ao conjunto A. cis c m 6.. Sabemos que z + yi e que z iz. Sabemos também que arg_ z i a e que 0 a admitir que z r. Assim, na forma trigonométrica, z r cis a, 0 a _ i Temos z iz i# r cis a Na forma trigonométrica, i será: i 0 + _ i cos u 0 * " u sen u i cis d n De _ i, vem: z iz i # r cisa cis d n # rcis a rcis d + an Então, arg_ zi + a. Temos z iz i_ + yii i + yi y + i Então, Im _ z i Im _ z i+ y Assim, z y + i + i 8 + i #, então, vamos. Calculemos: z + i z z + i z 6 + i + i i 6 + i + i i 6 + i i i 6 + i i 6 i + i 0i 0 0i 0 0i 0 i i + _ 6 + ii_ + ii _ ii_ + ii

57 Passemos o comlexo ara a forma trigonométrica: Assim, o número comlexo edido será: cis d n r _ i + _ i + 8 cos u * " u sen u. Consideremos o número comlexo: z rcis u, com 0 u Assim, z r cis _ ui, então, 0 u, logo, z não ertence ao.º quadrante... Como o comlexo z é raiz do olinómio, vamos alicar a Regra de Ruffini ao olinómio dado resto Então, vem: z z + 6z 6 _ z i _ z + 6i Resolvamos a equação seguinte ara se obterem as restantes raízes do olinómio: z z 6 + z! 6 + z! 6i + z i V z i Na forma trigonométrica, i será: i 0 + _ i cos u 0 u * " i cis d n sen u Na forma trigonométrica, i será: i 0 + cos u 0 * " u i cis c m sen u Assim, as raízes do olinómio são: cis 0, i cisd n e i cis c m. Como z i cis c m, então vem: n n 0 + n z # z cisc m # cis c m cis c + m cis d n Como z # z tem de ertencer ao terceiro quadrante e à bissetriz dos quadrantes ímares, vem: 0 + n + k n k + n k k + n + n k ara k 0, vem n Calculemos _ w i _ + ii, sabendo que: w + i _ w i _ + ii _ + i i _ + ii i _ + 6i + 9i i i _ + 6i 9i i_ 8 + 6ii 8i 6i 6 + 8i TEMA Trigonometria e Números Comlexos

58 TEMA Trigonometria e Números Comlexos 6. Determinemos o inverso de w, isto é, w. _ ii w + i _ + ii_ ii i i i i + Passemos cis d n ara a forma algébrica: cis d n cos d n + i send ng e + io + i i! + i Assim, odemos concluir que inverso de w não é igual a: cis d n Vamos determinar: w + + ii_ + i i ii i + i _ + i + i + i + i + i w i i i i i _ ii_ + ii i + + i i + i i + i + i Passemos w ara a forma trigonométrica: + i d n + d n + Z ] ] ] cos u ] [ " u w cis c m ] ] ] sen u ] \ 7. Vamos determinar z+ z, sendo z cis _ ai e z cis c a m z+ z cis_ ai + cis c a m cos a + i sen a + cos c a m + i senc a m cos a + i sena + sena + i cos a _ cos a + senai + _ cos a + senaii Verificamos que Re _ z+ zi Im_ z+ zi, elo que odemos concluir que a imagem geométrica ertence à bissetriz dos quadrantes ímares. i Vamos determinar: + iccis m 6 + i iccis m 6 + i 6 + idcis n 6 + i + i_ cis i + i i 6i + i 0i 0 0i 9 i i_ i + i 0 0 i i 0 0 i + i _ ii_ ii _ + ii_ ii Passemos i ara a forma trigonométrica: i _ i + _ i _ + i cos u 7 7 sen u u * " i cis d n 6

59 8. A área da região do lano comlexo definida or G z G será duas circunferências, com centro na origem, e em que o raio da circunferência exterior é o dobro da circunferência interior. A área da região do lano comlexo definida or Garg_ zi G será a bissetriz do.º quadrante e a bissetriz do.º quadrante. Assim, a área da região do lano comlexo edida no enunciado será: y } Calculemos, então, a área sombreada: A A circunferênciaderaio circunferênciaderaio # # d n Asombreada 6 Assim, a área edida é de unidades de área Vamos determinar z e deois vamos assá-lo ara a forma trigonométrica. z _ ii + i z _ i + _ i + cos u " u z cis d n senu * Para que z seja raiz cúbica de z, então: _ zi z _ zi cisd ng cis d # n 8 cis_ i 8 cis 0 Assim, odemos então concluir que: _ zi z 6 9. Vamos determinar: z z? i 6 z z? i z? i? i z? i _ i? i z?? i z? i z Concluímos, então, que z e z são simétricos, logo, os ontos A e B, afixos de z e z, resetivamente, são simétricos em relação à origem do referencial, como se ode observar ela figura. B Im(z) 80º Re(z) Então, o comrimento do segmento de reta AB será: AB # z # A TEMA Trigonometria e Números Comlexos 7

60 TEMA Trigonometria e Números Comlexos 0. _ ii + < cis c mf 9 0. Vamos determinar, assando, em rimeiro lugar, ara a forma algébrica os números cis d n comlexos que estão na forma trigonométrica. cis cis 8cis 8 sen 8 8 c m c # m c m < cos c m + i c mf 8e + io + i + i cis d n cos d n + i send n 0 i Assim, vem: _ ii + c cis m 9 cis d n i + i + + i 7 # i i i i i i # i 0. Vamos determinar: z cis _ + ai z cis _ + a i cos _ + a i + i sen _ + a i cos a i sena cis a Como retendemos as raízes cúbicas de z e de z, temos: z cis _ ai e z cis _ ai, de onde vem: cis_ ai cis _ ai+ cis_ ai + cis _ ai 0 + cis_ ai 0 + cis_ ai 0 Então, ara cos_ ai 0 + a + k e ara sen_ ai 0 + a k Podemos, assim, concluir que comlexo... Vamos assar z + i ara a forma trigonométrica.! 0, logo, z e z não odem ser ambos raízes cúbicas de um mesmo número + i _ i + _ i + cos u * " u + i cis c m senu Então, z < cis c mf _ i cis c # m cis cis _ cos + i seni Calculemos agora z. z cis d ng _ i cis d # n cis _ i cis cis _ cos + i seni Podemos, então, concluir que z e z são ambos raízes quartas do número.. Da alínea anterior, verificamos que os comrimentos dos lados 7AA e 7BA do triângulo medem: z z Como arg_ zi arg_ zi, então, o triângulo 7ABA é retângulo em. Assim, alicando o Teorema de Pitágoras, vem: AB A + B + AB _ i + _ i + AB + + AB + AB Então, o erímetro do triângulo 7ABA será: AB + A + B

61 . z + i. Vamos determinar w, calculando z i na forma algébrica. z < cis c mf _ i cis c # m cis cis _ cos + i seni Assim, vem: z + i i i # i i i i w + _ + i + + i i i i # i i Na forma trigonométrica, vem: w cos u * " u w cis c m senu. Determinemos z na forma algébrica. z cis cos i sen c i i i m < c m + c mf e + o + + Consideremos A e B as imagens geométricas dos números comlexos z e z, assim, as coordenadas dos seus afixos serão, resetivamente, A_, i e B_ 0, i. Então, o raio da circunferência edida será: r d _ i + _ 0i Logo, a condição edida será: z z r + z AB. A imagem geométrica do número comlexo w é o onto A, que ertence ao.º quadrante, logo, a imagem geométrica de w, B, será simétrica do onto A em relação ao eixo das abcissas, ertencendo, então, ao.º quadrante, e a imagem geométrica de w será simétrica do onto A em relação à origem do referencial, ertencendo ao.º quadrante, conforme se ode observar na figura seguinte. Im(z) A Re(z) C B Sabemos que w, então, w w w, então, vem AC # 0. Como BC 8, temos, alicando o Teorema de Pitágoras: Logo, a área do triângulo 7ABCA será: AC AB + BC + 0 AB AB AB 6 + AB 6 A D7ABCA BC # AB 8 # 6 TEMA Trigonometria e Números Comlexos 9

62 TEMA Trigonometria e Números Comlexos.. Como z cis a, então, z cis _ ai. Sabemos que 7ABCA é um aralelogramo, logo, alicando a regra do aralelogramo vem: C A + B Como a imagem geométrica do número comlexo w é o onto C, então, w z + z. Assim, vem: w z + z cisa + cis _ ai cosa + i sena + cos_ ai + i sen_ ai cosa + i sena + cosa i sena cosa + cos a cos a z. Vamos determinar, com a [ E 0, ;. i z _ cis ai cis_ ai cisca m i cis c m cis c m z Para que seja um número real, então, é necessário que: i senca m 0 k senca m 0 + a k, k [ Z + a + k, k [ Z + a +, k [ Z 6 Para [ 0, a E ;, a solução edida será: a 6. z +. Vamos determinar: i < z cis c mf cis + + c # m + 8cis + 8 # _ i i i i i i i i 6 # _ ii 6i 6i 6i i # _ ii i + z z Como a arte real do número comlexo 6i é Re f 0, então, é um imaginário uro. i i. A região sombreada da circunferência de centro no onto de coordenadas _ 00, i e raio r z é dada or z. Como o olígono inscrito na circunferência é um entágono regular com centro na origem do referencial, então, o arco definido or dois vértices consecutivos tem amlitude. Assim, a região sombreada é definida elas semirretas e arg z arg z _ i _ i + Logo, uma condição que define a região sombreada será: z / arg_ zi Vamos assar o número comlexo w + i ara a forma trigonométrica. + w _ i + _ i + cos u * " u senu w cis c m 60

63 Alicando a Fórmula de Moivre da radiciação, vem: + k w cis c m cis, k [ # 0,,,, - + # 0 # f k 0 " w0 cis cis c m + # # + f f 7 k " w cis cis cis d n + # # + f f k " w cis cis cis d n + # # + 6 f f 9 k " w cis cis cis d n 6. A reresentação do triângulo 7ABA no lano comlexo, de acordo com as condições do enunciado, será: A y B Como retendemos determinar o número comlexo z na forma algébrica, a artir da área do triângulo 7ABA, vamos então considerar o triângulo seguinte: A h # h 8 Assim, vem: AD + + h # + h 8 + h + h Logo, o número comlexo z na forma algébrica, será: z + i Consideremos: P_ i + b + c Como z é raiz de P_ i, então: P _ z i 0 + 0i P_ zi 0 + 0i + z + b? z + c 0 + 0i + _ + ii + b? _ + ii + c 0 + 0i + + i + i + b + bi + c 0 + 0i + b + c i + b + bi + c 0 + 0i + b + c + i + bi 0 + 0i + _ b + ci + _ + bi i 0 + 0i + ) + + b 0 + c 0 c + ) + ) b b Assim, os números reais ara os quais z é raiz do olinómio dado são b e c. TEMA Trigonometria e Números Comlexos 6

64 TEMA Trigonometria e Números Comlexos 7. Vamos determinar z + i na forma trigonométrica. Determinemos agora: z # z z _ i + _ i + cos u * " u senu z cis c m z # z cisc m # cis _ ai cis c a m < cos c a m + i senc a mf Para que z # z seja um número real negativo, vem: cos c a m 0 / senc a m 0 a / a + a / a + + a / a + a + a Assim, z cis d n 8. i 8. Vamos determinar: w + i i i # i i i i w + _ + i _ i + + i i i# _ ii i Reresentemos w na forma trigonométrica: w + senu * " u cos u w cis c m Verificamos que w! z orque arg_ wi! arg_ z i e w! z orque w! z. 8. Seja z r cis c m e z cis u, com u ertencente ao.º quadrante. Sabemos que z e z são raízes quartas do mesmo número comlexo z, logo: z z + < r cis c mf _ cis ui + r cis d n cis _ ui k u + k, k [ Z + u +, k [ Z k " u + + _ u [ º. quadrantei Assim, z cis d n cos d n + i send ng e + io + i + i

65 9. n + z# i b 9. Vamos determinar: w cis d n n + _ + ii # i b _ + ii # i b _ + ii # _ ii b _ i i bi # _ + ii w i i # + i cis d n _ i _ i e io _ i bi # _ + ii i + b i + i bi b b b b + + _ i + + i i + Como w tem de ser um número real, então, vem: b 0+ b 0+ b 9. Consideremos: z a + bi com a, b[ IR Como z, então, a + b + a + b Assim, tem-se: + z + z + a + bi + a bi b a b _ + i + l + b _ ai + _ bi l + a + a + b + a + a + b + _ a + b i + # + a + a + b + a + a + b + _ a + b i + # TEMA Trigonometria e Números Comlexos 6

66 Projeto Desafios de Matemática destinado ao. o ano de escolaridade, do Ensino Secundário, é uma obra coletiva, concebida e criada elo Deartamento de Investigações e Edições Educativas da Santillana-Constância, sob a direção de Sílvia Vasconcelos. EQUIPA TÉCNICA Chefe de Equia Técnica: Patrícia Boleto Modelo Gráfico e Caa: Carla Julião Ilustração da Caa: Sérgio Veterano Ilustrações: Ana Mesquita Paginação: Exemlarr e Sérgio Pires Documentalista: Paulo Ferreira Revisão: Ana Abranches, Catarina Pereira e Luís Alho EDITRA Alexandra Azevedo Isaías CNSULTR CIENTÍFIC Manuel Almeida Silva Doutor em Matemática ela Universidade Nova de Lisboa, onde atualmente é Professor Auxiliar no Deartamento de Matemática. 0 Rua Mário Castelhano, 0 Queluz de Baixo 7-0 Barcarena, Portugal API A PRFESSR Tel.: 6 90 aoioaorofessor@santillana.com API A LIVREIR Tel.: aoioaolivreiro@santillana.com Internet: Imressão e Acabamento: Printer Portuguesa ISBN: C. Produto: a Edição. a Tiragem Deósito Legal: 78/ A cóia ilegal viola os direitos dos autores. s rejudicados somos todos nós.