X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

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1 CONHECIMENTOS DE PROFESSORES DA EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE O CONCEITO DE FUNÇÃO Eleni Bisognin Centro Universitário Franciscano - UNIFRA eleni@unifra.br Vanilde Bisognin Centro Universitário Franciscano - UNIFRA vanilde@unifra.br Helena Noronha Cury Centro Universitário Franciscano - UNIFRA curyhn@via-rs.net Resumo: O conceito de função, introduzido na escola básica, é fundamental para compreensão de outros conteúdos em níveis mais avançados. No entanto, o conhecimento que os estudantes adquirem sobre funções depende, em grande parte, do modo como este conteúdo é trabalhado pelo professor que, muitas vezes, o apresenta de modo abstrato, sem ligações com situações-problema e sem mostrar as diferentes representações de função. Nesta comunicação, apresentamos uma investigação realizada com professores em formação continuada, aos quais foi aplicado um teste sobre conceito e representações de funções. Os resultados mostram que os participantes apresentam dificuldades relativas ao conhecimento desses tópicos. Os erros cometidos pelos professores podem acarretar problemas na aprendizagem de seus alunos e apontam a necessidade de uma discussão aprofundada sobre o ensino desse conteúdo em cursos de formação inicial ou continuada de professores de Matemática. Palavras-chave: Conceito de função; Professores de Matemática; Representações de funções. Introdução Um dos conteúdos mais trabalhados nas aulas de Matemática em todos os níveis de ensino é o conceito de função e suas representações. Além do estudo inicial, na 8ª série do Ensino Fundamental, muitos tópicos são abordados sob a ótica desse conceito e nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006), funções é um dos blocos nos quais estão organizados os conteúdos a serem trabalhos nesse nível. No entanto, apesar de sua presença nas matrizes curriculares da educação básica, os alunos apresentam muitas dificuldades na aprendizagem de funções, tanto em relação ao conceito quanto as suas representações. Investigações sobre a construção do conceito e as 1

2 dificuldades a ele inerentes são apresentadas em Vinner (1983), Ponte (1992), Oliveira (1997), Clement (2001), Thomas (2003), Cury (2004), Costa e Igliori (2006), Dogan- Dunlap (2007), Lima e Pontes (2009) e Nasser (2009), entre outros. Desenvolvemos, desde 2009, uma investigação sobre erros em conteúdos de Álgebra, Análise, Geometria e Probabilidade, cometidos por professores que cursam formação continuada 1 e consideramos que professores de Matemática em exercício devem conhecer os conteúdos que fazem parte dos blocos apontados nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006), pois dificuldades apresentadas por docentes da educação básica em um determinado tópico podem acarretar problemas na compreensão de conceitos por parte de seus alunos. Para obter subsídios para elaboração de tarefas para os participantes do projeto, desenvolvemos uma pesquisa à parte, levando em conta seguinte questão: o que sabem sobre funções os professores em exercício? Assim, a investigação relatada nesta comunicação teve por objetivo avaliar como os docentes de um grupo que cursa mestrado em ensino de Matemática definem uma função e como identificam funções dentre relações dadas por leis, gráficos ou tabelas. Os dados obtidos com essa investigação, bem como sua análise e discussão, são apresentadas a seguir. Procedimentos Metodológicos A análise da produção escrita de estudantes e professores de Matemática vem sendo apresentada em artigos, comunicações e dissertações, no Brasil e no exterior. Investigadores brasileiros têm procurado desenvolver projetos de análise de erros, com base em pressupostos teóricos distintos e so0bre conteúdos diversos, mas sempre trazendo subsídios para as investigações dos demais grupos. (BORTOLOTI et al., 2007; SANTOS; BURIASCO, 2009). Na pesquisa aqui relatada, de caráter qualitativo, aplicamos a 13 professores de Matemática, alunos de um curso de mestrado em ensino de Matemática, o teste utilizado por Clement (2001), por nós traduzido. Após a aplicação do teste, as respostas dos 1 Análise de erros em problemas resolvidos por professores de Matemática em cursos de formação continuada. Projeto /2008, Edital Universal, CNPq. 2

3 mestrandos foram fotocopiadas e, para cada questão do teste, fizemos a unitarização e categorização das produções dos mestrandos. Na fase de tratamento dos resultados, apresentamos textos-síntese, buscando a compreensão das respostas apresentadas pelos participantes, em um diálogo com autores que também vêm se dedicando a estudos sobre as dificuldades do ensino de funções. As Questões Propostas e a Análise das Soluções As questões propostas aos mestrandos foram as mesmas aplicadas por Clement (2001) em sua investigação e são apresentadas no Anexo. Traduzimos os enunciados e entregamos aos mestrandos uma cópia do teste de Clement (2001), juntamente com essa tradução. A seguir, indicamos, questão por questão, o enunciado e as respostas dadas pelos mestrandos. 1) A questão 1 apresentava os gráficos de duas funções em um sistema de eixos cartesianos, sem especificar suas leis, e solicitava: Dados os seguintes gráficos de f e g, esboce o gráfico de f+g. Dos 13 participantes, quatro não responderam à questão. Os outros nove apresentaram os seguintes desenvolvimentos para solucionar a questão, categorizados em três classes: a) dois mestrandos determinaram leis para as funções dadas e somaram, obtendo uma função quadrática, cujo gráfico esboçaram. Não foram indicados outros cálculos, para determinar raízes ou vértice, mas o gráfico de f+g foi esboçado corretamente. O segundo respondente mostrou os cálculos do vértice e os valores da função soma, para x = 0 e para x = -1, obtendo os pontos P 1 =(0,0) e P 2 =(-1,0) e ainda determinou mais um ponto para a função soma, esboçando o gráfico com esses três pontos. b) três respondentes apenas esboçaram o gráfico da função soma, sendo que dois deles representaram esse gráfico em um sistema de eixos ao lado da figura original e o terceiro, no próprio sistema de eixos em que já estavam representadas as funções f e g. c) quatro respondentes erraram a resposta. Um deles fez extensos cálculos para determinar leis para as funções, mas apenas escreveu a lei de f+g e não esboçou seu gráfico, o que era solicitado na questão. Sua solução é apresentada na figura 1, a seguir. 3

4 Figura 1 Resolução de um mestrando para a questão 1 Os outros três desenharam uma parábola voltada para cima, mas sem raízes reais, tendo, ainda, escrito que O gráfico será uma parábola voltada para cima com o termo que acompanha o x será a soma dos dois termos das funções e o termo independente será a soma dos dois termos independentes. O segundo mestrando apenas esboçou uma parábola e respondeu que: O gráfico continuará sendo uma função quadrática o que vai aumentar será o valor do termo em x e do termo independente. O terceiro respondente esboçou uma curva que se assemelha a uma parábola, mas não explicou a razão pela qual a função soma apresenta um segmento de reta entre x= -1 e x=0. 2) A questão 2 apresentava sete gráficos de funções no sistema de coordenadas cartesianas e solicitava ao respondente que assinalasse (com um círculo ao redor da letra correspondente) aqueles que representavam y como função de x, sendo y tomado no eixo vertical. Todos os participantes solucionaram a questão, sendo que alguns ainda justificaram a razão de ter apontado um determinado gráfico como sendo de uma função y = f(x). No quadro 1, a seguir, é apresentado o número de respondentes que assinalou cada um dos gráficos e a percentagem correspondente (calculada sobre os 13 participantes). Gráfico assinalado a b c d e f g N. % N. % N. % N. % N. % N. % N. % ,0 0 0,0 1 8,0 7 54, ,0 1 8,0 7 54,0 Quadro 1 Distribuição das respostas dos mestrandos para cada gráfico assinalado 4

5 Quanto às justificativas apresentadas pelos mestrandos nas respostas da questão 2, destacamos as seguintes categorias: a) quatro respondentes traçaram segmentos verticais sobre os gráficos, mostrando ter feito apelo ao chamado teste da vertical. Em dois casos, o teste foi feito naqueles gráficos assinalados, evidenciando uma justificativa para a resposta dada. b) dos nove respondentes que não mostraram evidências de ter feito o teste da vertical, apenas um justificou suas respostas. 3) A questão 3 apresentava seis relações entre variáveis, além de uma tabela com dados sobre sócios de um clube e suas respectivas mensalidades pagas. O enunciado solicitava: Quais das seguintes (relações) indicam que y é uma função de x? Assinale com um círculo aquelas que são funções. Doze dos participantes solucionaram a questão, mas somente três deles escreveram alguma justificativa para suas respostas. No quadro 2, a seguir, é apresentado o número de respondentes que assinalou cada uma das relações e a percentagem correspondente (calculada sobre os 13 participantes). Relação assinalada a b c d e f g N. % N. % N. % N. % N. % N. % N. % 11 84, ,0 4 30,0 4 30, ,0 3 23,0 0 0,0 Quadro 2 Distribuição das respostas dos mestrandos para cada relação assinalada 4) A questão 4 solicitava ao respondente que definisse, com suas próprias palavras, o conceito matemático de função. Os treze mestrandos responderam à questão e suas definições foram classificadas em três categorias: a) aquelas em que o respondente mostra saber que a cada valor de x corresponde um e somente um valor de y. Sete mestrandos expressaram essa característica das funções. Como exemplo, citamos duas das respostas: Uma função é uma relação entre uma variável independente e uma variável dependente. Se x é a variável independente e y a variável dependente, chama-se função a relação que a cada x corresponde um único y, ou seja, se f: R R x f(x)=y 5

6 É uma relação de dependência dos elementos y pelos elementos de x, onde cada elemento x possui um e somente um correspondente y. b) aquela em que o respondente expressa a mesma característica, mas de forma incompleta, não citando a unicidade. Um único aluno indicou sua definição dessa forma: Função é quando para cada valor atribuído a x temos um valor correspondente a y, assim uma variável depende de outra. c) aquelas em que o respondente expressa sua definição de forma equivocada, sem mencionar os aspectos que definem, matematicamente, uma função. Cinco mestrandos apresentaram tais definições, conforme os exemplos a seguir: Vem ser uma relação entre valores reais, em que um determinado valor está intimamente relacionado a outro valor, estabelecendo uma dependência. É uma relação entre valores reais, em que um certo valor está relacionado a um outro. Função é algo onde cada uma das minhas variáveis depende do valor da outra. É algo que possui domínio, imagem, contradomínio. Pode ser aplicada a várias situações do nosso dia-a-dia. 5) A última questão tinha o seguinte enunciado: Uma lagarta está rastejando ao redor de um pedaço de papel quadriculado, como é mostrado abaixo. Se quiséssemos determinar a localização do animal no papel, em relação ao tempo, essa localização seria uma função do tempo? Por que ou porque não? O tempo pode ser descrito como função da sua localização? Explique 2 Todos os mestrandos resolveram a questão, mas nenhum deles indicou solução para a segunda pergunta, a saber, se o tempo poderia ser descrito como função da localização. As respostas para a primeira pergunta foram classificadas em três categorias, indicadas a seguir: a) dois mestrandos responderam afirmativamente e suas justificativas são coerentes. Um deles escreveu: É uma função da localização em função do tempo pois com o passar do tempo a lagarta muda a sua localização, como pode-se observar no gráfico ao lado. O gráfico citado está representado na figura 2: 2 Ver figura no Anexo. 6

7 Figura 2 Representação de um mestrando para o gráfico da localização x tempo O segundo respondente, nesta categoria, justificou: Sim, basta determinar a origem e fazer a distância que a lagarta se encontra da origem, desta forma podemos determinar sua posição em função do tempo. O gráfico apresentado por ele é similar ao do colega, só que não esboça segmentos de reta, mas trechos curvos. b) cinco mestrandos consideraram que o deslocamento é função do tempo, mas suas justificativas são equivocadas ou o raciocínio é circular, conforme vemos nos exemplos a seguir: Sim, é uma função, pois podemos considerar a localização (distância que a lagarta percorreu) em função do tempo ; Descreve uma função pois leva em consideração o tempo e o espaço percorrido sendo assim temos uma relação tempo x deslocamento ; Sim, se termos o ponto de partida da lagarta, é possível determinar a localização. c) seis mestrandos consideraram que a localização não é função do tempo e suas respostas estão indicadas a seguir: A localização não seria uma função do tempo, pois em alguns momentos a lagarta andou em círculos ; Não poderíamos representar a localização em função do tempo, pois durante a trajetória ela não poderia estar no mesmo lugar em tempos diferentes ; Não porque no momento em que a lagarta começa a fazer a primeira volta, seu tempo está aumentando mas no momento em que ela faz a curva observamos no gráfico que o tempo começa a diminuir e isso não pode acontecer, se ela andasse apenas em linha reta aí seria uma função. Considerações Finais 7

8 O estudo revelou alguns problemas em termos de conhecimentos do conceito de função e suas representações, por parte desses docentes. Primeiramente, parece-nos que a maioria desses professores em exercício apresenta alguma dificuldade na compreensão do conceito de função quando esse conceito deve ser evocado em situações diversas daquelas em que estão habituados a trabalhar. Essa afirmação decorre do fato de que a maioria deles respondeu corretamente as questões que envolvem situações usualmente apresentadas em livros-textos que tratam do estudo de funções. Por exemplo, os participantes marcaram corretamente os itens dos problemas 2 e 3, que se referiam ao gráfico ou a expressões algébricas das funções linear, quadrática, constante, exponencial e maior inteiro, tendo aplicado o teste da vertical ou reconhecido a lei da função. Esse dado concorda com os resultados encontrados por Clement (2001) e Thomas (2003). Por outro lado, observou-se uma forte tendência em associar a ideia de função como uma relação analítica entre uma variável dependente e outra independente. Ou seja, nas tentativas de resolução, os alunos evocaram o conceito de função associado a uma representação algébrica por meio de uma equação. Esse aspecto também foi mencionado por Thomas (2003, p. 295), quando reproduz uma pergunta de um de seus professores investigados: Qual é a equação usada para encontrar o valor de y? Outra tendência observada entre nossos respondentes é a ideia de que função parece sempre estar relacionada com um tipo de diagrama ou gráfico cartesiano. Isso pode ser verificado quando, na tentativa de resolução da questão 5, os professores traçaram o gráfico da localização da lagarta para responder a questão. O estudo revelou, também, que há uma forte predominância da representação algébrica em relação aos demais tipos de representação, constatado nas tentativas de resolução da primeira questão, que envolvia apenas a representação gráfica, mas na qual a maioria dos alunos usou a representação algébrica para respondê-la. Por outro lado, constatou-se que esses docentes têm dificuldades em trabalhar com outros tipos de representação de funções, como apresentado no item g da questão 3, em que nenhum participante assinalou a forma tabular de representação. Sobre o conceito de função, notou-se uma tendência de identificar uma função como uma relação de um para um e esse resultado está de acordo com os dados encontrados por Evangelidou et al. (2004). Apesar de ser uma ideia correta e funcionar 8

9 para uma ampla gama de situações e problemas, torna-se um obstáculo para o entendimento de função como um conceito mais amplo. O conceito de função é fundamental na Matemática da escola básica e sua compreensão tem implicações na resolução de problemas em níveis mais avançados. Assim, o conhecimento que o professor tem sobre função e a exploração de suas múltiplas representações, com ênfase nas conexões conceituais, precisam ser discutidos em profundidade, em cursos de formação inicial e continuada. Esperamos que os resultados desta pesquisa possam ser debatidos, para que as dificuldades e os erros cometidos pelos professores não se tornem obstáculos à aprendizagem de seus alunos da Educação Básica. Referências BORTOLOTI, R. D. M. et al. Análise dos Erros Cometidos por Discentes de Cursos de Licenciatura em Matemática das Universidades Estaduais Baianas Projeto de Pesquisa Departamento de Química e Exatas, Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia, BA, BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares para o Ensino Médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília, CLEMENT, L. What do students really know about functions? Mathematics Teacher, v. 94, n. 9, p , Dec COSTA, A. C.; IGLIORI, S. B. Conhecimentos de estudantes universitários sobre o conceito de função. In: SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3., 2006, Águas de Lindóia. Anais... Recife: SBEM, CD-ROM. CURY, H. N. Professora, eu só errei um sinal! : como a análise de erros pode esclarecer problemas de aprendizagem. In: CURY, H. N. (Org.). Disciplinas matemáticas em cursos superiores: reflexões, relatos, propostas. Porto Alegre: EDIPUCRS, p DOGAN-DUNLAP, H. Reasoning with metaphors and constructing an understanding of the mathematical function concept. In: PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS EDUCATION, 31., 2007, Seoul. Proceedings... Seoul, Korea: PME, v. 2. p EVANGELIDOU,A. et al. University students conceptions of function. In: PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS EDUCATION, 28., 2004, Bergen. Proceedings... Bergen, Norway: PME, v. 2. p

10 LIMA, L.; PONTES, M. G. de O. A ressignificação do conceito de função na formação inicial do professor de matemática. In: SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 4., 2009, Brasília. Anais... Brasília, UCB, CD-ROM. NASSER, L. Uma pesquisa sobre o desempenho de alunos de cálculo no traçado de gráficos. In: FROTA, M. C.; NASSER, L. Educação Matemática no Ensino Superior: pesquisa e debates. Recife: SBEM, p OLIVEIRA, N. Conceito de função: uma abordagem do processo ensino-aprendizagem Dissertação (Mestrado em Ensino da Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, PONTE, J. P. The history of the concept of function and some educational implications. The Mathematics Educator, v. 3, n. 2, p. 3-8, SANTOS. J. J. R. V.; BURIASCO, R. L. C. Características dos problemas que os alunos constroem a partir do enunciado de uma questão aberta de matemática. BOLEMA, v. 22, n. 32, p , THOMAS, M. The role of representation in teacher understanding of function. In: PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS EDUCATION, 27., 2003, Honolulu. Proceedings... Honolulu, HI: PME, v. 4. p VINNER, S. Concept definition, concept image and the notion of function. Int. J. Math. Educ. Sci. Technol., v. 14, n. 3, p , Anexo Teste aplicado aos professores 10

11 Fonte: Clement, 2001, p