Utilização de Materiais Piezelétricos (PZTs) para Coleta e Armazenamento de Energia

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO" Campus de Ilha Solteira PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA Utilização de Materiais Piezelétricos (PZTs) para Coleta e Armazenamento de Energia Thiago Galbiati Lagoin Orientador: Prof. Dr. João Antonio Pereira Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia - UNESP Campus de Ilha Solteira, para obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica. Área de Conhecimento: Mecânica dos Sólidos Ilha Solteira SP Setembro/2011

2 FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteira. Lagoin, Thiago Galbiati. L177u Utilização de materiais piezelétricos (PZTS) para coleta e armazenamento de energia / Thiago Galbiati Lagoin. -- Ilha Solteira : [s.n.], f. : il. Dissertação (mestrado) Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área do Conhecimento: Mecânica dos Sólidos, 2011 Orientador: João Antonio Pereira Inclui bibliografia 1. Materiais piezelétricos. 2. Vibrações mecânicas. 3. Energia.

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4 Dedico este trabalho a minha noiva Alliny e aos meus pais Ordelice e Euclides.

5 AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus por me dar forças para buscar o seu santo nome todos os dias, pela sabedoria e pelo conhecimento adquiridos nesta fase da vida. Ao Professor João Antônio Pereira, um agradecimento especial. Pela sua competência e disposição estando sempre presente em todos os momentos não medindo esforços para que esse trabalho se concretizasse. Além de um grande orientador tornou-se um grande amigo. Aos professores Gustavo Luiz Chagas Manhães de Abreu e Vicente Lopes Junior pelas sugestões dadas. Também aos demais professores e funcionários do Departamento de Engenharia Mecânica. Aos grandes companheiros e amigos Thiago Viana Galavotti, Eduardo Aragão de Lima, João Artur Fiuza Mazarini, Carlos Eduardo Prazzo, Vitor Suman Guirao, Ricardo Mesquita, Rogério Kimura, Marcelo Maesta e tantos outros amigos que conviveram em momentos de trabalho e descontração tão importantes durante este período. A todos os amigos e colegas que tive contato e que me ajudaram de alguma forma durante o desenvolvimento deste trabalho. Aos membros da Banca Examinadora pelas sugestões e comentários. Ao Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia (INCT) pelo suporte financeiro que possibilitou a execução deste trabalho com dedicação exclusiva.

6 RESUMO As vibrações mecânicas tem se mostrado uma forma efetiva de geração de energia através da deformação de materiais piezelétricos ou movimentação de bobinas eletromagnética. As técnicas de energy harvesting estudam o processo de extração e armazenamento deste tipo de energia até um nível utilizável. Neste caso que a estrutura piezelétrica é deformada devido à condição de operação gerando uma tensão/corrente que pode ser usada como uma fonte natural de energia, principalmente, para operar dispositivos eletrônicos de baixa potência. Entretanto, a energia gerada através do efeito piezelétrico usualmente não é suficiente para operar diretamente a maioria dos circuitos eletrônicos. Assim, o desenvolvimento e implementação de métodos para acumular e armazenar a energia capturada nestes sistemas (materiais inteligentes) até um nível utilizável é a chave para o sucesso desta tecnologia. Este trabalho discute o estudo e avaliação da modelagem teórica-experimental de uma estrutura do tipo viga com PZTs submetida à deformação causada por vibrações mecânicas, buscando avaliar o comportamento do acoplamento eletromecânico do sistema bem como quantificar a eficiência, não só da quantidade de energia gerada pelo material, mas também o seu armazenamento em dispositivos do tipo capacitor. A modelagem da estrutura piezelétrica foi realizada por elementos finitos com o programa ANSYS e validada com testes experimentais. Em seguida foi feito um estudo paramétrico das variáveis do modelo através de um conjunto de simulações numéricas efetuadas para avaliar o potencial elétrico gerado. Para finalizar foram realizados testes experimentais de dois circuitos eletrônicos utilizados para extrair energia de um material piezelétrico. Palavras-chave: Materiais piezelétricos. Vibrações mecânicas. Energia.

7 ABSTRACT Mechanical vibrations have been shown an effective form of generating energy through deforming piezoelectric materials or moving electromagnetic coil. The energy harvesting techniques studies the processes of extracting and storing this kind of energy until an usable level. In the case that piezoelectric structure is deformed due operation condition it generates a voltage/current that can be used like a natural source of energy, mainly, for operating electronic devices of low power. However, the energy generated through piezoelectric effect usually is not enough to operate directly the most electronic circuits. Therefore, the development and implementation of methods to accumulate and store the energy captured in these systems (smart materials) until an usable level is the key for the success of this technology. This work discusses the study and evaluation of a theoretical-experimental modeling of a beam structure with bounded PZTs submitted to mechanical vibration, aiming at evaluating the behavior of the electro-mechanical coupling of the system, as well as, to quantify the amount of energy generated by the material and the storage of this energy in a capacitive type device. The modeling of piezostructure was performed by finites elements with the program ANSYS and validated with experimental tests. Then a parametric study of model variables was made through a set of numerical simulations carried out to evaluate the electrical potential generated. For finished were performed experimental tests of two electronic circuits used to extract energy from a piezoelectric material. Keywords: Piezoelectric material. Mechanical vibration. Energy harvesting.

8 LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 Representação visual do acoplamento entre os domínios físicos Figura 2.2 Dipolos elétrico que conduzem o acoplamento eletromecânico em materiais piezelétrico Figura 2.3 Processo de polarização associado com materiais piezelétrico Figura 2.4 Representação do comportamento tensão-deformação para um material elástico Figura 2.5 Efeito piezelétrico direto e relação entre tensão e deslocamento elétrico em um material piezelétrico Figura 2.6 Relação entre o campo elétrico aplicado e o deslocamento elétrico em um material piezelétrico Figura 2.7 Relação entre o campo elétrico e a deformação em um material piezelétrico Figura 2.8 Cubo piezelétrico indicando os eixos de coordenadas da análise tridimensional Figura 2.9 (a) Gerador longitudinal (d 33 ) e (b) Gerador Transversal (d 31 ), comprimido nos lados Figura 2.10 Gerador transversal de 2-camadas (extensão), comprimido longitudinalmente.39 Figura 2.11 (a) Gerador de flexão na condição engaste-livre e (b) Gerador de flexão na condição bi-apoiada Figura 2.12 Gerador de pilha Figura 2.13 Tensão vs. Corrente, diagrama para um gerador piezelétrico Figura 3.1 Sistemática da construção das matrizes de massa e rigidez Figura 4.1 Ilustração da viga com o PZT Figura 4.2 Viga com PZT acoplado e modelagem por elementos finitos Figura 4.3 Modos de vibrar da estrutura com PZT Figura 4.4 Resposta estrutural obtida em vários pontos, na mesma direção da excitação Figura 4.5 Set up experimental utilizado no primeiro caso Figura 4.6 Diagrama de blocos implementado no Matlab Simulink para coletar a resposta do martelo de impacto e do acelerômetro Figura 4.7 Set up Experimental utilizado no segundo caso Figura 4.8 Diagrama de blocos implementado no Matlab Simulink para coletar a resposta da célula de carga e do PZT Figura 4.9 Função de resposta em frequência experimental e numérica

9 Figura 4.10 Sinal de resposta do PZT experimental e numérico no domínio do tempo Figura 4.11 Sinal de resposta do PZT experimental e numérico no domínio da frequência. 69 Figura 4.12 Deslocamento para os quatro primeiros modos de vibrar do sistema Figura 4.13 Deformação para os quatro primeiros modos de vibrar do sistema Figura 4.14 Deformação e deslocamento para os quatro primeiros modos de vibrar do sistema Figura 4.15 Potencial elétrico gerado em regime permanente com a variação da largura do PZT Figura 4.16 Potencial elétrico gerado versus largura do PZT Figura 4.17 Potencial elétrico gerado em regime permanente com a variação do comprimento do PZT Figura 4.18 Potencial elétrico gerado versus comprimento do PZT Figura 4.19 Potencial elétrico gerado em regime permanente com a variação da espessura do PZT Figura 4.20 Potencial elétrico gerado versus espessura do PZT Figura 4.21 Potencial elétrico gerado em regime permanente pelo PZT para cada material normalizado pela frequência de ressonância Figura 4.22 Potencial elétrico gerado versus módulo de Young da viga hospedeira Figura 4.23 Potencial elétrico gerado em regime permanente pelo PZT para cada material com frequência de ressonância constante Figura 4.24 Potencial elétrico gerado versus módulo de Young da viga hospedeira para uma frequência de ressonância constante Figura 5.1 Bancada de testes Figura 5.2 Sistema de aquisição ControlDesk Developer Version 2.7, da dspace Figura 5.3 Circuito retificador de onda completa em ponte Figura 5.4 Etapas de funcionamento do circuito retificador de onda completa em ponte Figura 5.5 Forma de onda da corrente e da tensão no capacitor do transdutor piezelétrico para retificador de onda completa em ponte Figura 5.6 Circuito retificador de onda completa Figura 5.7 Sinal da força de excitação aplicada a estrutura piezelétrica Figura 5.8 Sinal de reposta do PZT na condição de circuito aberto para um circuito retificador de onda completa Figura 5.9 Sinal de reposta do PZT na condição de circuito fechado para um circuito retificador de onda completa

10 Figura 5.10 Tensão armazenada no capacitor versus tempo para um circuito retificador de onda completa Figura 5.11 Potencial elétrico gerado pelo PZT para um circuito retificador de onda completa em função da resistência Figura 5.12 Potência para um circuito retificador de onda completa em função da resistência Figura 5.13 Circuito retificador de onda completa em ponte chaveado Figura 5.14 Etapas de funcionamento do circuito retificador de onda completa em ponte chaveado Figura 5.15 Forma de onda da corrente e da tensão no capacitor do transdutor piezelétrico para retificador de onda completa em ponte chaveado Figura 5.16 Circuito retificador de onda completa chaveado Figura 5.17 Sinal de reposta do PZT na condição de circuito fechado para um circuito retificador de onda completa chaveado Figura 5.18 Tensão armazenada no capacitor versus tempo para um circuito retificador de onda completa chaveado Figura 5.19 Potencial elétrico gerado pelo PZT para um circuito retificador de onda completa chaveado em função da resistência Figura 5.20 Potência para um circuito retificador de onda completa chaveado em função da resistência

11 LISTA DE TABELAS Tabela 2.1 Exemplos de domínios físicos e variáveis de estado associadas Tabela 4.1 Dimensões e propriedades da viga e do PZT Tabela 4.2 Frequências naturais numéricas Tabela 4.3 Materiais e instrumentos utilizados nos testes experimentais Tabela 4.4 Frequências naturais experimental Tabela 4.5 Frequências naturais e diferenças percentuais numéricas Tabela 4.6 Parâmetros dos modos de vibrar para uma viga na condição engastada-livre Tabela 4.7 Dimensões e propriedades do PZT Tabela 4.8 Dimensões e propriedades dos materiais da viga hospedeira... 79

12 SUMÁRIO CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA OBJETIVO CONTRIBUIÇÕES DO TRABALHO ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO CAPÍTULO 2 CONCEITOS E FUNDAMENTOS DE MATERIAIS PIEZELÉTRICOS PARA ENERGY HARVESTING MATERIAIS INTELIGENTES MATERIAIS PIEZELÉTRICOS Efeito piezelétrico direto Efeito piezelétrico inverso Equações constitutivas para um material piezelétrico linear Modo de operação 31 de um dispositivo piezelétrico PIEZOGERADORES Geradores de uma camada Geradores de duas camadas Geradores multi-camadas Desempenho do gerador CAPÍTULO 3 MODELAGEM DE ESTRURAS INTELIGENTES O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Equações de Lagrange Obtenção da equação do movimento em coordenadas generalizadas locais SISTEMA GLOBAL DE EQUAÇÕES Obtenção da equação do sensor e atuador AMORTECIMENTO ESTRUTURAL... 56

13 CAPÍTULO 4 AVALIAÇÃO TEÓRICA-EXPERIMENTAL DO POTENCIALELÉTRICO DE UMA ESTRUTURA PIEZELÉTRICA DESCRIÇÃO DO SISTEMA MODELO DE ELEMENTOS FINITOS TESTE EXPERIMENTAL COMPARAÇÃO DOS MODELOS ESTUDO PARAMÉTRICO DAS VARIÁVEIS USANDO MODELO DE ELEMENTOS FINITOS Posicionamento do PZT Largura, comprimento e espessura do PZT Módulo de Young da viga hospedeira CAPÍTULO 5 CIRCUITO ELETRÔNICO DE ARMAZEMENTO DESCRIÇÃO E IDENTIFICAÇÃO DA BANCADA DE TESTES CIRCUITO RETIFICADOR DE ONDA COMPLETA EM PONTE Análise experimental do circuito retificador de onda completa em ponte CIRCUITO RETIFICADOR DE ONDA COMPLETA EM PONTE CHAVEADO Análise experimental do circuito retificador de onda completa em ponte chaveado 96 CAPÍTULO 6 CONCLUSÕES E PROPOSTAS DE CONTINUIDADE DO TRABALHO 100 REFERÊNCIAS ANEXO I LISTAGEM DOS CÓDIGOS COMPUTACIONAIS DESENVOLVIDOS NOS PROGRAMAS ANSYS E MATLAB I.1 LISTAGEM DO CÓDIGO COMPUTACIONAL (PROGRAMA ANSYS) I.2 LISTAGEM DO CÓDIGO COMPUTACIONAL (PROGRAMA MATLAB)

14 14 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Recentemente, um grande número de estudos está em progresso em relação ao processo de geração de energia elétrica a partir de fontes renováveis bem como o aproveitamento da energia desprendida em atividades cotidianas, movimentos naturais ou em movimentos induzidos pelas próprias condições de operação de sistemas e equipamentos. Entre as principais fontes naturais estão fontes fotônicas (iluminação solar), térmica (vapor vulcânico), fluídica (hidráulica e eólica) e fontes associadas às atividades do cotidiano tais como cinética (movimento humano) e movimentos de máquinas e equipamentos (vibração). Essas técnicas de coleta e armazenamento destes tipos de energias são conhecidas na literatura como Energy Harvesting (ANTON et al., 2007). Nesta área, os materiais piezelétricos que têm como principal característica a capacidade de gerar um potencial elétrico quando deformados ou apresentar uma deformação quando submetido a um potencial elétrico externo (ANTON et al., 2007) vêm ganhando uma grande importância visto que os mesmos podem ser usados como sensor, como atuador e mais recentemente como sensores para coleta de energia desprendida em atividades cotidianas (movimento humano), movimentos induzidos pela operação de sistemas e equipamentos (vibração) e outros. A aplicação de materiais piezelétricos como transdutores para coleta de energia associada a deformações provocadas por movimentos ou operação de sistemas e equipamentos permite que o mesmo possa funcionar como um dispositivo de captura de energia do meio, possibilitando, assim, o aproveitamento de fontes de energia não aproveitadas normalmente. A captura e o armazenamento deste tipo de energia denominada Energy Harvesting tem um amplo leque de aplicação, principalmente como fonte alternativa para a alimentação de pequenos dispositivos elétricos e eletrônicos. A proposta de integração de um sistema de Energy Harvesting dentro de dispositivos eletrônicos portáteis e sensores é uma demanda corrente que poderia eliminar a necessidade de recarga periódica ou substituição de baterias eletroquímicas, garantindo o funcionamento ininterrupto desses dispositivos ou mesmo aumentando sua vida útil.

15 15 Para investigar a viabilidade das técnicas de coleta e armazenamento de energias de vibração, pesquisadores têm apresentado diferentes modelos matemáticos (ADACHI et al., 2009; AJITSARIA et al., 2007; LIANG et al., 1996; LUMENT et al., 2009) e testes experimentais (ERTURK et al., 2009; LIAO et al., 2008) utilizados para validar esses modelos. Diferentes tipos de materiais piezelétricos têm sido estudados e utilizados para a geração de energia (SODANO et al., 2005a; SODANO et al., 2006) entre eles PZT (RÖDIG et al, 2010; VATANSEVER et al, 2011), PVDF (RÖDIG et al, 2010; VATANSEVER et al, 2011) e PFC (SWALLOW et al., 2008). Em um artigo de 2005, Sodano et al. (2005b) testaram alguns materiais e o Lead Zirconate Titanate (PZT) mostrou maior eficiência se comparado com outros materiais do tipo bimorfe Quick Pack (QP) e Macro-Fiber Composite (MFC), principalmente quanto à eficiência em relação ao tempo de carga e da máxima capacidade que o dispositivo de armazenamento pode carregar. Já na área de coleta e armazenamento de energia os super capacitores têm sido considerados mais desejáveis do que baterias recarregáveis quando analisada a adaptabilidade, a vida útil, a capacidade energética, a densidade energética e o armazenamento de energia, em Energy Harvesting (GUAN et al., 2007). As pesquisas atuais têm focado no melhoramento da eficiência dos materiais piezelétrico em dispositivos de energy harvesting através da configuração física e geométrica dos materiais, bem como, a adaptação de circuitos e técnicas de remoção de energia mais eficientes. A proposta desta pesquisa é fazer um estudo do posicionamento do PZT, da geometria do PZT (largura, espessura e comprimento) e do módulo de Young da viga hospedeira na geração de energia de uma estrutura piezelétrica simples através de simulações numéricas e testes experimentais, bem como, a adaptação de circuitos e técnicas de extração da energia gerada. Neste trabalho apresenta-se a modelagem teórica-experimental de uma estrutura do tipo viga com material piezelétrico colado, mais especificamente, tiras de PZT analisada na condição engastada-livre. A estrutura é submetida a uma deformação causada por vibrações mecânicas, buscando avaliar sua capacidade de converter energia mecânica em elétrica, bem como quantificar a eficiência, não só da quantidade de energia gerada pelo material, mas também o seu armazenamento em dispositivos do tipo capacitor. A modelagem da estrutura piezelétrica foi realizada por elementos finitos com o programa ANSYS e validada com testes experimentais. Em seguida foi feito um estudo paramétrico das variáveis do modelo através de um conjunto de simulações numéricas efetuadas para avaliar o potencial elétrico

16 16 gerado. Para finalizar foram realizados testes experimentais de dois circuitos eletrônicos utilizados para extrair energia de um material piezelétrico. 1.1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Nas técnicas para geração e captação de energia denominada Energy Harvesting existem quatro métodos principais para captação da energia, o piezelétrico (SODANO et al., 2005ª; SWALLOW et al., 2008), a eletromagnética (REID et al., 2007; TORAH et al., 2007), a termoelétrica (ROWE, 2005) e a fotovoltaica (LEE et al., 1994). Entretanto, a revisão será focada apenas na captação de energia utilizando materiais piezelétricos. Durante a última década, a quantidade de pesquisas sobre o tema da captação de energia aumentou consideravelmente devido ao interesse renovado em fontes alternativas de energia. A apresentação que se segue relaciona alguns importantes estudos envolvendo geradores piezelétricos baseados em estruturas engastadas, que são considerados relevantes para o desenvolvimento deste trabalho. Anton et al. (2007) apresentam uma ampla revisão de power harvesting utilizando materiais piezelétrico ( ) e abordam os seguintes tópicos: melhoramento da eficiência e a geração de energia através de configurações do material piezelétrico, de circuitos e do método de armazenamento de energia; aplicação de power harversting em atividades do ser humano; coleta de energia do fluxo de fluidos provenientes do ambiente; power harversting em sistemas microeletromecânicos (MEMS); sensores auto-alimentados e análise do desempenho de materiais piezelétrico em relação a outros materiais. O estudo mostrou que grande parte das pesquisas até o momento tem se concentrado na caracterização do energy harvesting em parte, em vez do desenvolvimento completo de dispositivos auto-alimentados. Os autores deste artigo consideram que o futuro do energy harvesting é o desenvolvimento de sistemas completos (energy harvesting, armazenamento, e aplicação de circuito combinados), que pode ser facilmente implementados. Uma pesquisa preliminar foi realizada, por exemplo, em uma unidade de sensoriamento completa autônoma que incorpora tecnologias de monitoramento de integridade estrutural e energy harvesting em um único dispositivo auto-alimentado (INMAN; GRISSO 2006). O desenvolvimento de tais

17 17 sistemas facilitaria a evolução de métodos de energy harvesting de um tema de pesquisa pura para uma tecnologia utilizável em dispositivos práticos. Considerando está revisão feita por Anton et al. (2007) a seguir neste trabalho apresenta-se uma revisão a partir de Dutoit et al. (2007) realizaram a validação de modelos para captadores de energia piezelétricos. Resultados experimentais de um captador piezelétrico de energia proveniente de vibração foram obtidos e apresentados, focando nas vibrações ressonantes de dispositivos (vigas bimorfes na condição engastada-livre) que podem ser implementados em sensores aplicados em sistemas microeletromecânicos (MEMS). A necessidade dessa investigação é devido à falta de resultados experimentas compreensivos na literatura, adequados para verificação de modelos que abordam os principais pontos de operação na frequência de ressonância e anti-ressonância. Um modelo anteriormente desenvolvido é implementado no dispositivo experimental. Os resultados obtidos foram utilizados para verificar o modelo de acoplamento eletromecânico desenvolvido e uma ferramenta útil de projeto foi desenvolvida. As tendências de resposta do dispositivo são capturadas através do modelo, embora o desempenho elétrico perto da ressonância fosse estimado. Isto é devido à resposta não-linear do material piezelétrico. O modelo verificado foi posteriormente aplicado ao projeto de um captador de energia piezelétrico aplicado em um MEMS de baixo nível e baixa frequência com o conhecimento de que a energia ótima predita será muito conservativa devido à resposta piezelétrica não-linear. Sobre a ampla gama de parâmetros analisados, os modelos foram capazes de predizer com rigor todas as tendências e desempenho do dispositivo fora das frequências de ressonância e anti-ressonância. Perto das frequências de ressonância, o modelo foi capaz de predizer, de forma consistente, o desempenho elétrico, que é satisfatoriamente atribuído ao acoplamento piezelétrico não-linear na região de alta tensão. Os dados apresentados puderam servir como dados de referência para verificar outros esforços de modelagem. Os modelos verificados foram utilizados para aperfeiçoar projetos de captadores piezelétricos aplicados em MEMS utilizados em aviões comerciais e a microfabricação desses dispositivos está em andamento. Ferrari et al. (2007) desenvolveram e testaram um arranjo de conversores piezelétricos de multifrequências (MFCA), composto por múltiplos bimorfes engastados cujas tensões de saída retificadas alimentavam um único capacitor armazenador. Os autores enfatizam a possibilidade de fabricar um sistema em miniatura constituído por um conjunto de conversores engastados capazes de trabalhar em diferentes faixas de frequência.

18 18 O estudo mostrou que, para um único conversor seguido de um retificador dobrador de tensões, sob regime senoidal, quando as perdas são desprezadas, o ângulo de carregamento do capacitor armazenador só era dependente do período e independente da frequência e amplitude de excitação. Já com o MFCA com conversores diferentes, observou-se qualitativamente que o conversor carregou o capacitor com um nível mais alto de saída instantânea, dependendo da frequência de excitação. Ajitsaria et al. (2007) realizaram uma aproximação analítica baseados na teoria de viga de Euler-Bernoulli e equações de viga Timoshenko para tensão de saída e geração de energia que é então comparado com dois modelos descritos anteriormente na literatura: circuito equivalente elétrico e método da energia. Os modelos são implementados no matlab/simulink/simpower enviroment e simulado com um circuito conversor de energia AC/DC. Na comparação verificou-se que os modelos baseados na teoria de viga de Euler- Bernoulli e equações de viga Timoshenko foram os que melhor se aproximaram do resultado experimental. Liao et al. (2008) descreveram um modelo teórico de um piezelétrico baseado em um sistema de energy harvesting que é de simples aplicação e ainda fornece uma predição precisa da energia gerada em torno de um único modo de vibrar. Este modelo permiti a otimização dos parâmetros do sistema tal que o desempenho seja o máximo que possa ser conseguido. Usando este modelo uma expressão para resistência ótima e um parâmetro descrevendo a eficiência do energy harvesting foram apresentados e avaliados através de simulações numéricas. Depois disto apresenta-se uma validação experimental da expressão para resistência ótima e do parâmetro que descreve a eficiência do coeficiente de acoplamento eletromecânico desenvolvido com o modelo citado. Adachi et al. (2009) propuseram uma viga na condição engastada-livre tipo vibration energy harvester para monitoramento de vibração baseado na condição aplicada em máquinas rotativas. O energy harvester proposto consiste em um material chamado Macro-Fiber Composite (MFC) que é um atuador do tipo piezocomposito flexível e durável. A frequência de ressonância da viga piezelétrica bimorfe na condição engastada-livre é ajustada com a velocidade de rotação de um motor de indução de 4-polos da máquina rotativa. Neste caso, o desempenho da geração de energia elétrica do energy harvester proposto é avaliado através de simulações numéricas e experimentalmente, quando sujeito a uma entrada de vibração de magnitude de 0,71 (mm/s rms) na frequência de ressonância do energy harvester gerada por um shaker eletrodinâmico.

19 19 Os resultados indicaram que a geração de energia elétrica era maximizada quando a impedância elétrica do energy harvester era igual a resistência da carga. Erturk et al. (2009) propuseram uma solução analítica que é aplicada para uma viga bimorfe na condição engastada-livre com configuração das ligações das conexões das camadas piezelétricas em série e paralelo com excitação na base. A excitação da base é assumida de translação na direção transversal com uma pequena rotação sobreposta. A formafechada das expressões de resposta para o estado estacionário são obtidas para excitações harmônicas em frequências arbitrárias, que são então reduzidas para expressões de um únicomodo assumindo excitações modal. As Funções de Resposta em Frequências (FRFs) eletromecânica que relaciona a tensão de saída e a resposta de vibração para acelerações de base translacional e rotacional são identificadas das soluções multi-modos e único-modo. A validação experimental do único-modo acoplado a tensão de saída e das expressões de resposta de vibração é apresentada para uma viga bimorfe na condição engastada-livre com uma massa na ponta. Foi observado que as FRFs de forma-fechada de único-modo obtidas através da solução analítica pode com sucesso predizer o acoplamento de sistemas dinâmicos para um grande intervalo de resistência elétrica da carga. O desempenho do dispositivo bimorfe é analisado extensivamente para excitações de frequências de ressonância de curtocircuito e de circuito-aberto. O modelo analítico pode com sucesso predizer a variação no acoplamento elétrico e a resposta mecânica da vida bimorfe na condição engastada-livre. Song et al. (2010) abordaram a validação experimental de uma metodologia de projeto para um dispositivo energy harvesting que se utiliza de materiais Macro-Fiber Composite (MFC). O dispositivo energy harvesting é composto de uma viga na condição engastada-livre com elementos MFC, uma massa na ponta, um retificador e uma resistência elétrica. Um modelo teórico do dispositivo energy harvesting foi desenvolvido para estimar a tensão, a corrente e a potência gerada com uma excitação aplicada à base na forma senoidal com uma frequência de valor igual a sua primeira frequência natural e o seu desempenho foi verificado através do experimento. Um estudo paramétrico foi realizado para aumentar o conhecimento sobre os métodos para maximizar a potência e a tensão gerada baseado na variação da espessura, do comprimento, da largura e da densidade. As características de desempenho do dispositivo energy harvesting utilizando duas diferentes direções de polarização dos materiais MFC, d 33 e d 31, foram avaliadas experimentalmente sob diferentes níveis de aceleração. Os resultados experimentais mostram que o comportamento na prática do dispositivo energy harvesting com material MFC foi bem representado pelo modelo teórico, e a seguir são apresentadas algumas conclusões do artigo:

20 20 (1) Usando o modelo teórico, estudos paramétricos foram conduzidos para maximizar a energia coletada. Foi teoricamente observado que quando se aumenta a espessura, a largura e a densidade da viga a máxima potência do dispositivo energy harvesting aumenta. Assim também quando se aumenta o comprimento da viga a máxima potência diminui. (2) Avaliação dos efeitos das ligações paralelas e em série entre dois MFC no dispositivo energy harvesting. Foi observado experimentalmente que a ligação em série era melhor na produção da máxima potência que a ligação em paralelo para os casos de altos valores de resistência elétrica. Em contraste, a ligação em paralelo era uma escolha melhor quando o objetivo fosse gerar máxima corrente em baixos valores de resistência elétrica. (3) Avaliação do desempenho do dispositivo energy harvesting com duas diferentes direções de polarização dos materiais MFC, d 33 e d 31. Foi experimentalmente encontrado que o tipo-d 33 de material MFC produziria um leve aumento na máxima potência, mas o tipo-d 31 de material MFC gera maiores valores de corrente máxima. Isto implica que o tipo-d 31 de material MFC pode ser uma escolha melhor que o tipo-d 33 de material MFC quando se visa à recarga de bateria. (4) Baseado em um estudo paramétrico e nos experimentos limitados, foi mostrado que dispositivos energy harvesting geraram maiores valores de potência quando utilizaram uma viga grossa na mesma frequência natural ou quando utilizaram um baixo valor de frequência natural na mesma frequência de excitação. Ramadass (2010) verificaram a utilização de um retificador Bias-flip que pode aperfeiçoar a capacidade de extração de energia dos circuitos retificadores de onda completa em ponte existentes, a um valor 4X maior que o apresentado por estes. Um circuito de controle eficiente com conversor DC DC incorporado que pode compartilhar de seu filtro indutor com o retificador Bias-flip assim reduzindo o volume e a quantidade de componentes da solução geral demonstrada. Também identificam os problemas que existem com as configurações de retificadores que são comumente usados para extração de energia de coletores de energia piezelétrico. Expressões matemáticas para extração de energia usando diferentes configurações de retificadores foram apresentadas e os seus respectivos resultados experimentais e simulados. Novos projetos de retificadores foram apresentados, estes podendo melhorar a extração de energia dos coletores piezelétricos maiores que 4X se comparados com os circuitos retificadores comumente usados (onda completa em ponte e dobrador de tensão). Em sistemas onde é proibido o uso de um indutor para melhorar a saída

21 21 de energia, uma configuração de retificador somente-chaveado (switch-only) foi proposta que poderia extrair 2X mais energia com a ajuda de uma simples chave. O indutor usado pelo retificador Bias-flip foi compartilhado eficientemente com um grande número de conversores DC DC usados dentro do sistema conduzindo para uma solução compacta e de custo eficaz. Uma solução completa de extração de energia que inclui retificadores e conversores DC DC foi fornecida. Com esta revisão verificou-se que as especificações de projetos bem como a capacidade de coleta de energia dos sistemas piezelétricos (energy harvesting) não são triviais e que esta é uma tarefa que requer muita atenção. Qualquer vibração proveniente do ambiente tem a possibilidade de ser utilizada no contexto de energy harvesting, entretanto, a coleta e o armazenamento de energia não são tão imediatos. A aplicação de materiais piezelétricos em sistemas de energy harvesting contém muitas variáveis a serem consideradas para obtenção de energia elétrica da vibração ambiente capaz de operar dispositivos de baixa potência principalmente quando se deseja que estes dispositivos sejam operados de maneira autoalimentada. O desafio à frente de muitas pesquisas permanece na diferença entre a energia consumida pelo circuito de armazenamento e a capacidade de geração de energia do dispositivo de energy harvesting. O melhoramento dos métodos de armazenamento e geração de energia, combinado com a diminuição da potência requerida para alimentar os equipamentos eletrônicos de hoje, têm ajudado a levar o conceito de produção de equipamentos auto-alimentados mais próximos da realidade. Para isso, as pesquisas atuais têm focado no melhoramento da eficiência dos materiais piezelétrico em dispositivos de energy harvesting através da configuração física e geométrica dos materiais, bem como, na adaptação de circuitos e técnicas de remoção de energia mais eficientes. 1.2 OBJETIVO Este trabalho tem como objetivo a modelagem de uma estrutura piezelétrica focando na utilização de materiais piezelétricos (PZTs) como dispositivo para coleta e armazenamento de energia proveniente de movimentos de máquinas e equipamentos (vibração) a partir de simulações numéricas e testes experimentais.

22 CONTRIBUIÇÕES DO TRABALHO A contribuição deste trabalho está em fornecer ao laboratório de forma sistemática e organizada uma metodologia completa para a modelagem de uma estrutura piezelétrica através de elementos finitos e um estudo paramétrico de como as variáveis afetam o potencial elétrico gerado. 1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO O trabalho esta dividido em seis capítulos organizados da seguinte forma: Capítulo 1: Apresenta uma introdução e uma revisão bibliográfica com uma visão geral de materiais piezelétrico, bem como a utilização destes para captura de energia do meio, possibilitando, assim, o aproveitamento de fontes de energia não utilizadas. Capítulo 2: Neste capítulo são apresentados os conceitos e fundamentos de materiais piezelétricos para energy harvesting. Compreende também os tipos de geradores baseados em materiais piezelétricos. Capítulo 3: Descreve a formulação para a modelagem numérica, através do Método de Elementos Finitos, de uma estrutura piezelétrica. Capítulo 4: Apresenta a modelagem de uma estrutura piezelétrica por elementos finitos e testes experimentais da mesma, buscando avaliar a representatividade do modelo de elementos finitos. Em seguida o modelo de elementos finitos será utilizado para um estudo paramétrico das variáveis do modelo, a fim de determinar como o potencial elétrico gerado é afetado pelas mesmas. Capítulo 5: Este capítulo inicialmente apresenta uma descrição do funcionamento de dois circuitos eletrônico de armazenamento de energia em um componente do tipo capacitor e

23 23 em seguida são realizados testes experimentais dos mesmos buscando quantificar a energia extraída do transdutor piezelétrico. Capítulo 6: Apresentam-se as conclusões e propostas de continuidade do trabalho.

24 24 CAPÍTULO 2 CONCEITOS E FUNDAMENTOS DE MATERIAIS PIEZELÉTRICOS PARA ENERGY HARVESTING Neste capítulo inicialmente apresenta-se uma introdução do que vêm a ser materiais inteligentes e em seguida são introduzidas as relações fundamentais para materiais piezelétricos lineares que são caracterizados por dois pares de variáveis de campo, variáveis mecânicas e elétricas. As variáveis de campo mecânicas são a tensão e a deformação e as variáveis elétricas são o deslocamento elétrico e o campo elétrico. São abordados também os tipos de geradores baseados em materiais piezelétricos. 2.1 MATERIAIS INTELIGENTES Os materiais inteligentes são definidos como aqueles materiais que possuem acoplamento entre múltiplos domínios físicos. Alguns desses materiais exibem uma mudança no volume quando sujeitos a estímulos externos tal como um potencial elétrico ou produzem sinais elétricos quando dobrados ou esticados, outros encolhem, expande ou movimentam quando aquecidos ou resfriados. Exemplos comuns desses materiais incluem aqueles que podem converter energia térmica em deformação mecânica as chamadas ligas de memória de forma SMA (Shape Memory Alloys), converter sinais elétricos em deformação mecânica e vice-versa, chamados de materiais piezelétricos. Existem também os que possuem suas propriedades físicas alteradas na presença de campos elétricos ou magnéticos os chamados materiais eletrorreológicos (ER) e magnetoreológicos (MR). Um domínio físico é definido como qualquer quantidade física que pode ser descrita por um conjunto de duas variáveis de estado. E um par de variáveis de estado pode ser pensado como um meio de definição de tamanho ou localização dentro de um domínio físico. Um exemplo de domínio físico é o domínio elétrico, cujas variáveis de estado são o campo elétrico e o deslocamento elétrico do material. Outros exemplos de domínios físicos são o

25 25 mecânico, o térmico, o magnético e o químico. A Tabela 2.1 descreve alguns domínios físicos e as suas respectivas variáveis. Tabela 2.1 Exemplos de domínios físicos e variáveis de estado associadas. Mecânico Elétrico Térmico Magnético Químico Tensão Campo elétrico Temperatura Campo magnético Concentração Deformação Deslocamento elétrico Entropia Fluxo magnético Fluxo volumétrico Fonte: Adaptado de Leo (2007). O acoplamento entre domínios físicos ocorre quando uma mudança na variável de estado em um domínio físico causa uma mudança na variável de estado de um outro domínio físico separado. Por exemplo, a mudança na temperatura de um material que é uma variável de estado do domínio térmico causa uma mudança na deformação que é uma variável de estado do domínio mecânico. Este tipo de inter-relação é chamado de acoplamento termomecânico, ou seja, existe um acoplamento entre o domínio físico térmico e mecânico. Uma representação visual do conceito de domínios físico e do acoplamento entre eles é mostrada na Figura 2.1. Cada retângulo representa um domínio físico, neste caso, mecânico, elétrico e térmico. As variáveis de estado associadas a cada domínio estão listadas nos retângulos. A ponte dentro do retângulo é a propriedade física que se relaciona com as variáveis de estado. As propriedades elásticas de um material relacionam os estados de tensão e deformação do material, já as propriedades dielétricas relacionam as variáveis de estado do domínio elétrico. Os acoplamentos entre os domínios físicos são representados pelas setas que conectam os retângulos (efeito direto e inverso). Por exemplo, a saída elétrica produzida por um estímulo térmico é chamado de efeito piroelétrico. Da mesma forma, a variação de tensão mecânica devido a um potencial elétrico é chamada de efeito piezelétrico inverso.

26 26 Figura 2.1 Representação visual do acoplamento entre os domínios físicos. Fonte: Adaptado de Leo (2007). 2.2 MATERIAIS PIEZELÉTRICOS O surgimento de eletricidade devido ao aquecimento do cristal turmalina já era conhecido desde o século XVIII. Em 1824, Brewster observou o efeito em vários tipos de cristais, chamando este fenômeno de piroeletricidade. Lord Kelvin notou que a piroeletricidade era devida a polarização permanente. De acordo com sua teoria, o efeito piroelétrico é simplesmente a manifestação do coeficiente de temperatura desta polarização. Por isso, este efeito ficou conhecido como a interação entre o sistema elétrico e térmico (IKEDA, 1996). O efeito piezelétrico foi descoberto em 1880 por Pierre e Jacques Curie. Pierre Curie tinha previamente estudado a relação entre piroeletricidade e cristal simétrico. Este estudo levou os irmãos não somente a notar a eletrificação devido à pressão, mas também prever em qual direção a pressão deveria ser aplicada e em qual classe de cristal o efeito era esperado. Hankel propôs o termo piezeletricidade para a interação entre o sistema elétrico e mecânico (IKEDA, 1996). O fenômeno da piezeletricidade foi descoberto primeiro em um cristal natural chamado sal de rochelle. Esses cristais exibem uma fraca piezeletricidade sem utilidade prática, com isso a necessidade de se ter materiais piezelétricos melhores motivou o

27 27 desenvolvimento de materiais sintéticos que exibem propriedades piezelétricas. Os avanços dos materiais piezelétricos sintéticos aumentaram o acoplamento das propriedades e habilitaram aplicações práticas. A fabricação de materiais piezelétricos sintéticos, tipicamente, começa com os materiais constituintes na forma de pó. Uma mistura típica de materiais que exibem propriedades piezelétrica é a mistura de chumbo (Pb), zircônio (Zr) e titânio (Ti). A mistura destes materiais produz um material piezelétrico, conhecido como PZT. Os materiais piezelétricos pertencem a uma classe de materiais conhecida como ferroelétricos. A estrutura molecular destes materiais exibe uma separação líquida entre cargas positivas no cristal e cargas negativas associadas. Esta separação de carga produz um dipolo elétrico ilustrado na Figura 2.2. Figura 2.2 Dipolos elétrico que conduzem o acoplamento eletromecânico em materiais piezelétrico. Fonte: Adaptado de Leo (2007). Os dipolos elétrico exibem uma orientação aleatória no material e para orientação de um dipolo em relação a outro utiliza-se do processo chamado polarização. A polarização requer que o material piezelétrico seja aquecido a uma temperatura bem abaixo da temperatura de Curie e que seja submetido a um campo elétrico de alta intensidade (tipicamente, 2000 V/mm). A combinação do aquecimento e do campo elétrico produz o movimento do dipolo elétrico. O aquecimento do material permite os dipolos rotacionar livremente, desde que o material seja macio em altas temperaturas. O material também expande na direção do campo, contrai na direção transversal e o campo elétrico produz um alinhamento dos dipolos ao longo da direção do campo elétrico como mostrado na Figura 2.3. Rapidamente reduzindo a temperatura e removendo o campo elétrico tem-se um material cujos dipolos elétrico são orientados na mesma direção. Esta direção é referenciada como a direção de polarização do material.

28 28 Figura 2.3 Processo de polarização associado com materiais piezelétrico. Fonte: Adaptado de Leo (2007) Efeito piezelétrico direto Considere um corpo de prova de um material elástico que tem um uma tensão mecânica aplicada em duas faces opostas e o movimento é restringido para ocorrer somente na direção da tensão aplicada, T, conforme ilustrado na Figura 2.4. Figura 2.4 Representação do comportamento tensão-deformação para um material elástico. Fonte: Adaptado de Leo (2007). A aplicação de uma tensão no material produzirá um alongamento na direção da carga aplicada, e sob a suposição que o material esta em um estado de deformação uniaxial, a

29 29 deformação, S, é definida como o total do alongamento dividido pelo comprimento original do corpo de prova. Para valores baixos de tensão aplicada, a resposta da deformação será linear até uma tensão crítica. Na região linear elástica a inclinação da curva tensãodeformação é constante a qual é definida como de módulo elasticidade, ou módulo de Young do material, denotado por Y cuja unidade é N/m². A relação tensão-deformação nesta região é dada pela equação (2.1). (2.1) O termo s, o inverso do módulo de elasticidade, é chamado de compliância mecânica (m²/n). Acima da tensão crítica a inclinação da curva tensão-deformação modifica-se em função da carga aplicada. Um material macio exibirá um decaimento na inclinação da curva com o aumento da tensão, já um material duro exibirá um aumento na inclinação da curva para valores de tensão acima da tensão crítica. Agora considere o caso quando um material piezelétrico esta sendo submetido a uma tensão mecânica aplicada. Além do alongamento elástico do material existe ainda no caso do material piezelétrico um fluxo de carga nos eletrodos, localizados nas duas pontas do corpo de prova. Este fluxo de carga é causado pelo movimento dos dipolos elétricos dentro do material. A aplicação de tensão externa causa o movimento das partículas, criando um fluxo de carga aparente que pode ser medido nos dois eletrodos. A carga produzida dividida pela área dos eletrodos é definida como deslocamento elétrico, D, que tem a unidade de C/m². Aplicando um aumento no nível de tensão produzirá um aumento da rotação dos dipolos elétrico e um aumento no deslocamento elétrico. Sobre um determinado intervalo de tensão mecânica aplicada, existe uma relação linear entre a tensão e o deslocamento elétrico medido. A inclinação da curva, chamada de coeficiente piezelétrico de deformação, é denotado pela variável d, como apresentado na Figura 2.5.

30 30 Figura 2.5 Efeito piezelétrico direto e relação entre tensão e deslocamento elétrico em um material piezelétrico. Fonte: Adaptado de Leo (2007). A equação (2.2) estabelece essa relação de proporcionalidade entre a tensão mecânica e o deslocamento elétrico. (2.2) O coeficiente de proporcionalidade d na equação (2.2) é definido como coeficiente piezelétrico de deformação (C/N). Para níveis suficientemente altos de tensão, a relação entre tensão mecânica e deslocamento elétrico passa a ser não-linear devido à saturação do movimento do dipolo elétrico (Figura 2.5) Efeito piezelétrico inverso O efeito piezelétrico direto descrito na seção é a relação entre a carga mecânica aplicada e a resposta elétrica do material. Materiais piezelétricos também exibem um efeito inverso, ou seja, quando submetido a potencial elétrico produz uma resposta mecânica. Além disso, sob a suposição de que o material piezelétrico é um perfeito isolador, o potencial aplicado vai produzir um campo elétrico, E, no material que é igual ao potencial aplicado dividido pela distância entre os eletrodos. A unidade do campo elétrico é V/m. A aplicação de um potencial elétrico no material produzirá atrações entre a carga aplicada e os

31 31 dipolos elétricos. A rotação do dipolo ocorrerá e um deslocamento elétrico será medido nos eletrodos do material. Para valores abaixo de um dado limite, a relação entre o campo elétrico E e o deslocamento elétrico D será linear (Figura 2.6) e a constante de proporcionalidade, chamada de permissividade elétrica, tem unidade F/m. Figura 2.6 Relação entre o campo elétrico aplicado e o deslocamento elétrico em um material piezelétrico. Fonte: Adaptado de Leo (2007). A relação entre o campo e o deslocamento elétrico no regime linear é: (2.3) Como no caso de uma tensão mecânica aplicada, a aplicação de um campo elétrico cada vez mais intenso, irá resultar na saturação do movimento do dipolo, levando a uma relação não-linear entre o campo elétrico aplicado e o deslocamento elétrico. O efeito piezelétrico inverso é quantificado pela relação entre o campo elétrico aplicado e a deformação mecânica. No caso do efeito piezelétrico direto, a aplicação de uma tensão mecânica produz a rotação do dipolo e o fluxo de carga aparente. Sobre a aplicação de um campo elétrico, a rotação do dipolo também ocorre e produz uma deformação no material (Figura 2.7).

32 32 Figura 2.7 Relação entre o campo elétrico e a deformação em um material piezelétrico. Fonte: Adaptado de Leo (2007). Para valores de campo elétrico abaixo de um dado limite, observa-se uma relação linear entre o campo elétrico aplicado e a deformação mecânica. Curiosamente, a relação da inclinação da curva campo elétrico-deformação é igual ao coeficiente piezelétrico de deformação, d. A equação (2.4) mostra essa relação. (2.4) Na equação acima, o coeficiente piezelétrico de deformação, d, tem unidade m/v. A equação (2.4) é a denominada expressão do efeito inverso para um material piezelétrico linear Equações constitutivas para um material piezelétrico linear O acoplamento eletromecânico é parametrizado por três variáveis: a compliância mecânica, a permissividade dielétrica e o coeficiente piezelétrico de deformação. O efeito piezelétrico direto, assim como o efeito inverso, pode ser expresso como uma relação entre tensão mecânica, deformação, campo elétrico e deslocamento elétrico. As expressões estavam em termos de três parâmetros:. A compliância mecânica e a permissividade elétrica foram apresentadas para serem funções de uma condição de contorno elétrica ou mecânica, respectivamente, e as condições de contorno necessitam ser especificadas quando se escreve esses parâmetros.

33 33 Considerando o cubo de material piezelétrico mostrado na Figura 2.8, não são feitas suposições a respeito da direção que o campo elétrico é aplicado ou as direções em que o material produz tensão ou deformação, assim pode-se definir um sistema de coordenadas específico para representar o mesmo. As três direções são especificadas numericamente e usando a convenção comum, em que a direção 3 é alinhada com o eixo de polarização do material. Figura 2.8 Cubo piezelétrico indicando os eixos de coordenadas da análise tridimensional. Fonte: Leo (2007). Observa-se na Figura 2.8 que existem três direções em que se pode aplicar campo elétrico. Essas direções foram rotuladas de expressa o valor desses campos em termos de um vetor campo elétrico, E: (2.5) Similarmente, nota-se que existem três direções associadas com o campo elétrico e três com o deslocamento elétrico, mostrando uma relação geral entre as variáveis que pode ser expressa pelas equações (2.6 a 2.8). (2.6) (2.7) (2.8)

34 34 (2.9). Essas expressões podem ser compactadas segundo a notação equação inicial, equação (2.9) As equações que relacionam deformação e tensão no caso tridimensional podem ser derivadas de forma semelhante. No caso de estado geral de tensão e deformação para um cubo de material, é possível observar que são requeridos nove termos para uma completa especificação do estado de tensão. Os componentes de tensão e deformação que são normais as superfícies do cubo são denotadas por, respectivamente ainda existem seis componentes de cisalhamento, e. Para um material linearmente elástico, a relação da deformação com a tensão é dada pelo tensor. (2.10) Neste caso, o tensor representa 81 termos de compliância mecânica. O último passo para escrever as relações constitutivas é especificar o acoplamento entre variáveis elétricas e mecânicas. No caso mais geral, é possível observar que nove estados de deformação são relacionados com três campos elétricos aplicados e a relação tensão com a deformação é dada pelo tensor. (2.11) Já os três termos de deslocamento elétrico são relacionados com a tensão mecânica a partir da expressão: (2.12) Combinando as quatro expressões anteriores (2.9 a 2.12), escreve-se o conjunto completo de equações constitutivas para um material piezelétrico linear, equações (2.13) e (2.14).

35 35 (2.13) (2.14) O conjunto completo de equações é definido por 81 constantes de compliância mecânica, 27 valores de coeficiente de deformação piezelétrica e 9 de permissividade dielétricas (LEO, 2007) Modo de operação 31 de um dispositivo piezelétrico Na análise de sistemas com materiais piezelétricos, é aconselhável começar com o conjunto completo das relações constitutivas em qualquer notação seja esta por índice ou matricial compacta. Em muitas aplicações, no entanto, pode-se reduzir o total das relações constitutivas para um pequeno conjunto de relações, devido às condições de contorno associadas com o problema em questão. Para cada problema primeiramente as relações constitutivas completas são simplificadas em um conjunto de expressões que permite determinar as relações envolvidas entre força, deslocamento, carga elétrica e tensão. Uma aplicação comum dos dispositivos piezelétricos é a do modo 31, neste caso, o dispositivo é submetido a um campo elétrico na direção 3 e utiliza a deformação e a tensão produzidas na direção 1 para criar uma extensão ou flexão no material. A aplicação desse modo assume a existência de algumas condições de contorno específicas, (2.15) Sob tais condições de contorno, as equações constitutivas são reduzidas para (2.16) (2.17)

36 36 (2.18) (2.19) Os coeficientes de deformação piezelétrico são simétricos (ou seja, ). As equações constitutivas reduzidas para um transdutor com modo de operação 31 têm duas variáveis independentes e quatro variáveis dependentes. Em geral, foca-se a análise nas equações da deformação mecânica e do deslocamento elétrico, equações (2.16) e (2.19). O coeficiente de acoplamento (k) indica a habilidade de o material piezelétrico converter energia mecânica em energia elétrica ou vice-versa. Para um transdutor com um modo de operação 31 o coeficiente de acoplamento é dado por: (2.20) As equações constitutivas reduzida são usadas na definição dos vários parâmetros de projeto de um dispositivo operando no modo de operação 31. A deformação livre é definida como a deformação produzida quando não existe nenhuma tensão mecânica aplicada ao material. Sob essa condição de contorno mecânica, assume-se que e a deformação produzida é: (2.21) A forca bloqueada é definida como a força produzida pela tensão mecânica atuando no material quando a deformação é restringida como zero. Esta condição,, a tensão mecânica induzida é dada por: (2.22)

37 37 Assumindo que a deformação na direção 1, a tensão mecânica aplicada a superfície na direção 1, o campo elétrico e a superfície do eletrodo são uniformes para um elemento piezelétrico de comprimento, largura e espessura, têm-se as seguintes relações: (2.23) (2.24) (2.25) (2.26) As equações de um transdutor de um único elemento piezelétrico operando no modo 31 podem ser determinadas substituindo as relações de (2.23) a (2.26) nas equações (2.16) e (2.19). (2.27) (2.28) Rearranjando os termos das equações do transdutor para elemento piezelétrico operando no modo 31, obtêm-se as equações (2.29) e (2.30). (2.29) (2.30) Informações importantes para projetos podem ser determinadas das equações (2.29) e (2.30). Para estas equações podem-se resolver para deslocamento livre () e forca bloqueada ( ): (2.31) (2.32)

38 38 Observa-se que o deslocamento livre para o modo de operação 31 pode ser dimensionado pelo aumento da razão comprimento-espessura. 2.3 PIEZOGERADORES Os piezogeradores são dispositivos que convertem esforços mecânicos (força ou movimento) em energia elétrica (tensão elétrica ou carga elétrica) Geradores de uma camada Os Geradores de uma camada são divididos em longitudinal e transversal. Quando uma tensão mecânica provocada por uma força externa F in é aplicada a uma camada de elemento piezelétrico na direção longitudinal (paralela a polarização) surge uma deformação na espessura t in e uma tensão elétrica de saída V out é gerada. A tensão gerada tenta retornar a peça a sua espessura original (Figura 2.9a). Da mesma forma, quando uma tensão mecânica provocada por uma força externa F in é aplicada a uma camada de elemento piezelétrico na direção transversal (perpendicular a polarização) surge uma deformação no comprimento l in e uma tensão elétrica de saída V out é gerada. Esta tensão tenta retornar a peça a seu comprimento e largura original (Figura 2.9b). Figura 2.9 (a) Gerador longitudinal (d 33 ) e (b) Gerador Transversal (d 31 ), comprimido nos lados. (a) (b) Fonte: Piezo Systems (2008).

39 39 Os geradores de uma camada podem ser utilizados como sensores axiais para medir grandezas mecânicas tais como força, aceleração e pressão na direção axial, visto que estes são ideais para converter essas quantidades físicas em sinais elétricos Geradores de duas camadas Os geradores de duas camadas são formados por duas placas ou tiras de elemento piezelétrico (PZT) com uma placa de outro tipo de material (metal) entre as duas camadas de PZTs que forma um sanduíche, estas camadas são coladas juntas para formar o que conhecido como um bimorph. Aplicando uma tensão mecânica em duas camadas laminadas do elemento resulta em geração de energia elétrica dependendo da direção da força, da direção de polarização e da ligação das camadas individuais. Estes são divididos em geradores de extensão e de flexão. Geradores de extensão: Quando uma tensão mecânica provocada por uma força externa F in causa em ambas as camadas de elemento piezelétrico, devidamente polarizadas, uma tração (ou compressão), tem-se uma deformação no comprimento l in e uma tensão elétrica de saída V out é gerada, a mesma tenta retornar a peça a sua dimensão original. Essencialmente, o elemento age como uma única camada de elemento piezelétrico e o metal que forma um sanduíche entre as duas camadas de PZTs fornece a resistência e a rigidez mecânica, enquanto desvia-se uma pequena porção da força (Figura 2.10). Figura 2.10 Gerador transversal de 2-camadas (extensão), comprimido longitudinalmente. Fonte: Piezo Systems (2008). Geradores de flexão: Quando uma força externa F in mecânica causa nas camadas de elemento piezelétrico, devidamente polarizadas, uma flexão, uma camada sofre uma compressão e a outra sofre uma tração. A carga se desenvolve através de cada camada em um

40 40 esforço para neutralizar as deformações X in impostas. Esta carga pode ser coletada como observado nas Figuras 2.11a e 2.11b. Figura 2.11 (a) Gerador de flexão na condição engaste-livre e (b) Gerador de flexão na condição biapoiada. (a) Fonte: Piezo Systems (2008). (b) Os geradores de duas camadas podem ser utilizados como sensores flexionais para medir grandezas mecânicas tais como força, aceleração e pressão na direção da flexão, visto que estes são ideais para converter essas quantidades físicas em sinais elétricos Geradores multi-camadas A técnica desenvolvida para fazer capacitores de multi-camadas pode ser usada para cerâmicas piezelétricas. Camadas finas chamadas de cerâmica verde são intercaladas com eletrodos de prata-paládio, compactadas, cortadas e então sinterizadas. Gerador de pilha: Quando uma tensão mecânica provocada por uma força externa F in é aplicada em várias camadas de elemento piezelétrico na direção longitudinal (paralela a polarização) surge uma deformação na espessura T in e uma tensão elétrica de saída V out é gerada. A pilha, ilustrada na Figura 2.12, compreende um grande número de camadas de materiais piezelétricos e é uma estrutura muito rígida com uma alta capacitância.

41 41 Figura 2.12 Gerador de pilha. Fonte: Piezo Systems (2008). Estes geradores são adequados para manipulação de elevados valores de força, na coleta de um grande volume de carga e baterias de estado-sólido Desempenho do gerador O gerador piezelétrico pode ser especificado em termos de sua corrente de curtocircuito e de sua tensão de circuito-aberto. A corrente de curto-circuito, I cc, refere-se ao total de corrente gerada, em um nível de deformação máxima recomendada e uma frequência de operação, quando a carga é completamente livre para deslocar de um eletrodo para outro, e não é solicitada para gerar tensão. A tensão de circuito-aberto, V oc, refere-se à tensão gerada em um nível de deformação recomendada, quando a carga não pode deslocar-se de um eletrodo para outro. A corrente é máxima quando a tensão é zero, e a tensão é máxima quando a variação da carga é zero. Os valores de níveis intermediários de tensão e corrente são determinados simultaneamente por uma reta desenhada entre estes pontos de tensão versus a corrente, como mostrado na Figura 2.13.

42 42 Figura 2.13 Tensão vs. Corrente, diagrama para um gerador piezelétrico. Fonte: Adaptado de Piezo Systems (2008). Geralmente, um gerador piezelétrico deve entregar uma corrente e tensão específica, que determina o ponto de operação na reta tensão versus corrente. A máxima extração de energia para uma aplicação particular, conforme conferido na teoria de circuito (reta de carga), ocorre quando o gerador entrega a tensão requerida com a metade da corrente de curto-circuito. Uma vez definidos os conceitos de materiais piezelétricos e as equações associadas ao modo de operação 31, empregando-se a geometria do dispositivo piezelétrico dentro das relações constitutivas para materiais piezelétricos lineares, a próxima etapa busca determinar um sistema de equações através do método dos elementos finitos para modelagem de estruturas contendo elementos piezelétricos incorporados.

43 43 CAPÍTULO 3 MODELAGEM DE ESTRURAS INTELIGENTES Este capítulo apresenta, de forma detalhada, o procedimento para obtenção do modelo eletromecanicamente acoplado via método dos Elementos Finitos para estruturas do tipo viga com elementos piezelétricos incorporados. As equações de equilíbrio dos sistemas eletromecanicamente acoplados são encontradas através das Equações de Lagrange. 3.1 O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Os Métodos Analíticos Clássicos permitiam, a partir da solução das equações diferenciais, calcular a resposta exata dos deslocamentos, tensões e deformações na estrutura em todos os seus pontos. Porém, essas soluções eram válidas apenas para geometrias simples, com condições de carregamento e apoio muito bem comportados (ALVES, 2005). O Método dos Elementos Finitos (MEF) é um dos métodos mais usados em problemas de engenharia, permitindo obter soluções aproximadas para equações diferenciais que descrevem a dinâmica de um sistema. Entretanto, a maior vantagem do MEF é permitir modelar estruturas com geometria complexa. A ideia básica é dividir a região em um número finito de elementos e assumir que estes elementos são interconectados por nós. As dificuldades apresentadas pelos Métodos Analíticos Clássicos foram superadas por intermédio das técnicas de Discretização de Sistemas Contínuos. Ao tratar um sistema estrutural como um sistema discreto, somente os deslocamentos de alguns pontos da estrutura, os nós, são calculados, ou seja, o modelo dinâmico da estrutura é descrito em coordenadas nodais. Entre os nós do modelo encontram-se os elementos finitos, que descrevem trecho a trecho o comportamento da estrutura. A partir do conhecimento dos deslocamentos nodais, os deslocamentos e as deformações dentro dos elementos são calculados por interpolação. Desse modo, os deslocamentos da estrutura podem ser expressos em função dos deslocamentos dos pontos nodais por meio das funções interpoladoras. Via de regra, tais funções podem

44 44 descrever qualquer curva que seja internamente contínua e que satisfaça as condições de deslocamento geométrico impostas pelos deslocamentos nodais (ALVES, 2005). Conforme já dito, a ideia básica do Método dos Elementos Finitos consiste em utilizar como parâmetros as variáveis nodais de um número finito de pontos previamente escolhidos, denominados pontos nodais ou, simplesmente, nós. Efetuando-se tal procedimento, os deslocamentos de um elemento finito podem ser escritos em função dos deslocamentos nodais, utilizando funções de interpolação apropriadas. Essa relação é dada na forma matricial por: (3.1) na qual é a matriz que contém as funções de interpolação que relacionam os deslocamentos que ocorrem ao longo do eixo longitudinal com os deslocamentos nodais do elemento. Além dos deslocamentos, também devem ser consideradas como variáveis nodais os potenciais elétricos. No caso de estruturas piezelétricas o potencial elétrico foi tratado de forma semelhante ao campo de deslocamento e pode ser estudado a partir dos valores obtidos em partes discutidas do modelo, equação (3.2). (3.2) A matriz contém as funções de interpolação que relacionam os potenciais elétricos que ocorrem ao longo do PZT com os potenciais dos nós do elemento Equações de Lagrange As equações de Lagrange são deduzidas a partir do princípio do trabalho virtual aplicado para forças, incluindo forças de inércia, agindo em um sistema. Estas equações são fáceis de usar e bem adequadas para sistemas mecânicos (LALANNE, 1984).

45 45 Em que são um conjunto de N coordenadas generalizadas independentes para um sistema com N graus de liberdade. As N equações de Lagrange que dará N equações diferenciais acopladas do movimento são (3.3) sendo, energia cinética, força generalizada correspondente a coordenada Na maioria dos casos, forças induzidas por deformações podem ser deduzidas da energia potencial de deformação e forças devido ao amortecimento viscoso a partir da função de dissipação de Rayleigh. Deste modo a equação (3.3) torna-se (3.4) Com a equação (3.4) pode-se obter a equação do movimento de toda estrutura piezelétrica. Para simplificar o método, a energia de dissipação é desprezada, ou seja, para todo i e o Lagrangiano é definido como: (3.5) sendo a energia cinética, a energia potencial de deformação e o trabalho realizado pelo potencial elétrico. Na formulação a seguir são considerados graus de liberdade mecânicos,, que descrevem o movimento em cada elemento estrutural e os graus de liberdade elétricos,, que descrevem o potencial elétrico nos nós estruturais. Assim, as equações de Lagrange são dadas por: (3.6) (3.7)

46 46 sendo o vetor de forças externas aplicadas no elemento, a carga elétrica induzida devido à aplicação de um potencial elétrico no material piezelétrico e o Lagrangiano Obtenção da equação do movimento em coordenadas generalizadas locais Para obter a equação do movimento de um elemento em coordenada generalizada local formado por uma estrutura mecânica e um material piezelétrico, primeiramente deve-se encontrar o Lagrangiano e posteriormente substituí-lo nas equações de Lagrange (3.6) e (3.7) e resolve-las. Considerando uma estrutura piezelétrica, encontra-se a energia cinética (matriz de massa), a energia potencial de deformação (matriz de rigidez estrutural e eletromecânica) e o trabalho realizado pelo potencial elétrico (matriz de rigidez piezelétrica e eletromecânica). A energia cinética de um elemento, conforme definido em (MARQUI, 2007) é dada por (3.8) sendo a massa específica, e o vetor deslocamento e velocidade, respectivamente, e V o volume. O sobrescrito (.) T significa transposto e os subscritos s e p denotam propriedades da estrutura base e do material piezelétrico, respectivamente. Substituindo a equação (3.1) na equação (3.8) encontra-se: (3.9) A energia potencial de deformação de um elemento pode ser escrita como a soma das energias potenciais da estrutura e do material piezelétrico: (3.10)

47 47 na qual e são os tensores deformação e tensão, respectivamente. A relação constitutiva da estrutura na forma matricial é dada por: (3.11) em que: A matriz contém os coeficientes elásticos do material, o módulo de Young e o coeficiente de Poisson. A deformação é representada na forma matricial compacta e aberta pela equação (3.12). ; ; (3.12) Substituindo a equação (3.1) na equação (3.12), tem-se (3.13) em que: E substituindo a equação (3.13) na equação (3.11), tem-se: (3.14)

48 48 Para a parte relacionada ao domínio, substituindo a equação (3.13) e (3.14) na equação (3.10), obtém-se: (3.15) O comportamento de um sistema eletromecânico formado por uma estrutura mecânica e materiais piezelétricos pode ser obtido a partir das relações constitutivas da estrutura e do material piezelétrico, juntamente com o acoplamento eletromecânico dos mesmos. Rearranjando as equações (2.16) e (2.19) em função das variáveis independentes e, as equações envolvendo as relações constitutivas são dadas pelas equações (3.16) e (3.17). Equação do Atuador: (Efeito inverso) (3.16) Equação do Sensor: (Efeito direto) (3.17) em que: (3.18) As equações (3.16) e (3.17) podem ser reescritas em termos dos coeficientes, equações (3.19) e (3.20). (3.19) (3.20) = Tensão mecânica [N/m 2 ]; = Deslocamento elétrico ou densidade de carga elétrica [C/m 2 ];

49 49 = Deformação mecânica do material piezelétrico [m/m]; = campo elétrico induzido nas extremidades do material piezelétrico [V/m]; = Matriz de constantes de deformação piezelétrica[c/n]; = Matriz de constantes de tensão piezelétrica[c/m 2 ]; = Matriz de permissividade dielétrica [F/m 2 ]; = Matriz de rigidez elástica [N/m 2 ]; = Significa que os valores são medidos para uma deformação constante; = Significa que os valores são medidos para um campo elétrico constante; = Significa que os valores são medidos para uma tensão mecânica constante; = Denota que se trata de propriedades piezelétricas; = sobrescrito significa transposta; 1 = eixo x ; 2 = eixo y ; 3 = eixo z. De forma análoga a deformação mecânica, o campo elétrico é descrito por (3.21) Substituindo a equação (3.2) na equação (3.21), tem-se (3.22) em que: e é a matriz que contém os operadores diferenciais. Pode-se então reescrever a equação (3.16) como: (3.23) Substituindo agora a equação (3.23) no domínio da equação (3.10) obtém-se: (3.24)

50 50 Portanto, a energia potencial total da estrutura piezelétrica (equação 3.10), é dada por: (3.25) O trabalho realizado pelo campo elétrico aplicado na piezocerâmica é definido por: (3.26) onde, é o campo elétrico e vetor deslocamento elétrico. Assim, substituindo-se as equações (3.13) e (3.22), na equação (3.17) do fluxo ou deslocamento elétrico do material piezelétrico, tem-se: (3.27) Substituindo-se então as equações (3.22) e (3.27) na equação (3.26), tem-se: (3.28) Lagrangiano: Dessa forma, substituindo as equações (3.9), (3.25) e (3.28) na equação (3.5) tem-se o (3.29)

51 51 Substituindo o Lagrangiano, equação (3.29) na equação (3.6) e resolvendo a primeira parte da mesma, tem-se: (3.30) (3.31) ou redefinindo, (3.32) na qual e são as matrizes elementares (locais) de massa da estrutura e do material piezelétrico, respectivamente, que são dadas por: (3.33) (3.34) Agora resolvendo a segunda parte da equação (3.6), tem-se: (3.35) ou redefinindo, (3.36)

52 52 sendo e as matrizes locais de rigidez da estrutura base e do material piezelétrico, respectivamente, e a matriz do acoplamento eletromecânico. Estas matrizes são dadas por: (3.37) (3.38) (3.39) tem-se: Substituindo o Lagrangiano, equação (3.29) na equação (3.7) e resolvendo a mesma,, pois o Lagrangiano não tem termos que variam com. (3.40) ou redefinindo, (3.41) sendo a matriz do acoplamento eletromecânico ou matriz de rigidez eletroelástica e a matriz de capacitância piezelétrica. Estas matrizes são dadas por: (3.42) (3.43)

53 53 As equações (3.33), (3.34), (3.37), (3.38), (3.39), (3.42) e (3.43) são integradas, obtendo assim as matrizes elásticas e eletroelásticas do elemento em coordenadas locais. Substituindo todas as equações acima em (3.6) e (3.7), obtém-se o sistema de duas equações matriciais de equilíbrio, em coordenadas generalizadas locais: (3.44) 3.2 SISTEMA GLOBAL DE EQUAÇÕES Uma vez construídas as matrizes de massa e de rigidez dos vários elementos presentes na estrutura através da técnica de elementos finitos e das equações de Lagrange, divide-se a estrutura piezelétrica em elementos discretos e depois faz a conexão desses elementos para se obter o sistema global de equações. Para ilustrar este processo de integração segue-se a sistemática apresentada na Figura 3.1. Figura 3.1 Sistemática da construção das matrizes de massa e rigidez. Fonte: Lagoin (2011).

54 54 A partir da sistemática apresentada montam-se as matrizes globais. O sistema global de equações do movimento para o modelo de uma estrutura com o efeito do acoplamento eletromecânico incorporado é, então: (3.45) sendo as matrizes globais definidas por: (3.46) (3.47) (3.48) (3.49) sendo ne o número de elementos em que a estrutura base é discretizada e np o número de PZTs inseridos na estrutura. O símbolo de somatório nas equações acima significa a montagem das matrizes globais a partir das matrizes elementares Obtenção da equação do sensor e atuador Manipulando-se convenientemente as equações do sistema global de equações do movimento, (3.45), obtém-se a equação do sensor: (3.50) fazendo a carga elétrica igual a zero, pois não existe potencial elétrico aplicado ao sensor, tem-se: (3.51)

55 55 Para encontrar a força gerada no atuador, deve-se considerar a carga Q diferente de zero, então, pode-se reescrever a equação (3.50) em termos do potencial elétrico aplicado, (Atuador), da seguinte forma: (3.52) ou redefinindo, (3.53) 3.45), tem-se: Substituindo o potencial elétrico (equação 3.53) na equação global da força (equação (3.54) em que: (3.55) (3.56) sendo a força elétrica gerada no atuador com a aplicação de uma carga elétrica Q. Decompondo o termo da equação (3.45) em duas parcelas dependentes do potencial elétrico, uma referente ao material piezelétrico usado como sensor e a outra para o material piezelétrico usado como atuador, ou seja: (3.57) Assim, substituindo as equações (3.51) e (3.57) na equação global da força (3.45): (3.58) ou redefindo, (3.59)

56 56 em que: (3.60) 3.3 AMORTECIMENTO ESTRUTURAL As equações para sistemas com material piezelétrico determinadas até agora não incluem qualquer mecanismo de dissipação de energia e que resultou no desenvolvimento de um conjunto de equações de movimento sem amortecimento. Na realidade, porém, sistemas dinâmicos geralmente têm algum grau de dissipação de energia que é introduzido por meio de mecanismos físicos, tais como deslizamento de componentes, amortecimento inerentes em materiais ou amortecimento introduzido por meios mecânicos ou eletrônicos, para suprimir a vibração. A modelagem de amortecimento é um campo ativo de pesquisa e a priori a estimativa do amortecimento são frequentemente difíceis de incorporar em modelos estruturais. Em certos casos, porém, existem modelos simples de amortecimento, que pode ser introduzidos nas equações de movimento com o propósito de projetar sistemas estruturais que incorporem materiais piezelétricos. Um método comum de introduzir os efeitos de energia dissipada é a incorporação de uma matriz de amortecimento estrutural nas equações de movimento. A matriz de amortecimento estrutural é considerada uma função linear das velocidades generalizadas,, e é denotada por. A adição de uma matriz de amortecimento na equação (3.44) resulta na expressão: (3.61) A matriz de amortecimento estrutural representa a perda inerente na estrutura. A matriz de amortecimento pode ser determinada a partir da análise dos primeiros princípios, ou ela é normalmente adicionada após as equações de movimento sem amortecimento serem determinadas. Em um problema de projeto de engenharia, o amortecimento é frequentemente adicionado ao modelo depois que a quantidade de energia dissipada for medida ou estimada a partir dos dados experimentais. Um método de adição de amortecimento estrutural é assumir

57 57 que a matriz de amortecimento é proporcional à massa e a rigidez, assim neste trabalho a matriz de amortecimento é dada por: (3.62) sendo e as constantes escalares escolhidas para coincidir o amortecimento do modelo para alguma previsão ou medição do sistema de amortecimento. Este modelo de amortecimento tem a vantagem de que os autovetores das matrizes de massa estrutural e de rigidez irão diagonalizar a matriz de amortecimento, simplificando assim a solução do problema de vibração. Muitos autores mostram em detalhes que estruturas com amortecimento não proporcional pequeno podem ser aproximadas por amortecimento proporcional sem causar erros significativos (BHASKAR, 1995). Uma vez definida a matriz de amortecimento, o sistema global de equações do movimento é dado por: (3.63) nas quais M, D a e K são as matrizes globais de massa, amortecimento e rigidez, respectivamente. Uma vez definido a formulação e o sistema de equações através do método dos elementos finitos para modelagem de estruturas contendo elementos piezelétricos incorporados, a próxima etapa busca a modelagem de uma estrutura do tipo viga com elementos PZT colados na superfície da viga.

58 58 CAPÍTULO 4 AVALIAÇÃO TEÓRICA-EXPERIMENTAL DO POTENCIAL ELÉTRICO DE UMA ESTRUTURA PIEZELÉTRICA Neste capítulo, apresenta-se a modelagem por elementos finitos de uma estrutura do tipo viga com elementos PZT colados na superfície da viga e testes experimentais da mesma. Os resultados obtidos a partir do modelo de elementos finitos e dos testes experimentais são comparados para avaliar a representatividade do modelo de elementos finitos que será utilizado para um estudo paramétrico de como as variáveis do modelo, afetam o potencial elétrico gerado. 4.1 DESCRIÇÃO DO SISTEMA O sistema estudado é uma estrutura piezelétrica na condição engastada-livre esta formada por uma viga de alumínio com um PZT patch (Piezo Systems, Inc. PSI-5H4E) colado com super bonder a 60 mm da extremidade engastada na superfície da viga, como mostrado na Figura 4.1. Figura 4.1 Ilustração da viga com o PZT. Fonte: Lagoin (2011). Na Tabela 4.1 são apresentadas as propriedades físicas e geométricas da viga e do PZT (Piezo Systems, Inc. PSI-5H4E).

59 59 Tabela 4.1 Dimensões e propriedades da viga e do PZT Parâmetros da Viga Valor Parâmetros do PZT Valor Módulo de Young (GPa) 70 Módulo de Young YE 1(GPa) 62 Coeficiente de Poisson 0,33 Módulo de Young YE 3(GPa) 50 Densidade (kg/m 3 ) 2690 Constante piezelétrica d 33 (m/v) 650e-12 Comprimento (mm) 400 Constante piezelétrica d 31 (m/v) -320e-12 Largura (mm) 30,5 Constante dielétrica relativa KT Espessura (mm) 2,1 Coeficiente de Acoplamento k 33 0,75 Coeficiente de Acoplamento k 31 0,44 Densidade (kg/m 3 ) 7800 Comprimento (mm) 20 Largura (mm) 20 Espessura (mm) 0,267 A estrutura piezelétrica foi analisada em uma condição engastada-livre utilizando, inicialmente, um modelo numérico pelo método dos elementos finitos e posteriormente por testes experimentais. Em ambos os casos, os parâmetros modais foram obtidos e os resultados foram comparados com o objetivo de definir um modelo de elementos finitos confiável. Este modelo foi utilizado para avaliar diferentes configurações e posições dos sensores e atuadores na estrutura para a proposta energy harvesting. 4.2 MODELO DE ELEMENTOS FINITOS A modelagem foi feita por elementos finitos e utilizou-se o programa ANSYS. A viga foi discretizada em 245 elementos sólidos de 8 nós, com graus de liberdade de deslocamento nas direções x, y e z, elemento SOLID45 e o PZT foi discretizado em 100 elementos sólidos de 8 nós com graus de liberdade de deslocamento nas direções x, y e z e potencial elétrico, elemento SOLID5. O alto número de elementos utilizados se deve a relação

60 60 entre o comprimento e a espessura do elemento, que deve respeitar um limite para garantir que a geometria dos elementos não interfira nos resultados. Existem, dentro da biblioteca do ANSYS, elementos mais representativos para estruturas do tipo viga e placa, como por exemplo, o BEAM4 e o SHELL63, respectivamente. No entanto, estes tipos de elementos não se acoplam adequadamente aos elementos piezelétricos existentes no ANSYS. O modelo da viga discretizada conforme mencionado acima é mostrado na Figura 4.2. Figura 4.2 Viga com PZT acoplado e modelagem por elementos finitos. Fonte: Lagoin (2011). As frequências do modelo, Tabela 4.2, foram obtidas através da análise modal teórica, resolvendo o problema de autovalores/autovetores e os seus respectivos modos de vibrar são mostrados na Figura 4.3. Tabela 4.2 Frequências naturais numéricas Modos Numérico fn (Hz) 1 11,0 2 68, , ,5

61 61 Figura 4.3 Modos de vibrar da estrutura com PZT. 1º modo 2º modo 3º modo Fonte: Lagoin (2011). 4º modo As respostas do modelo, análise harmônica, foram obtidas a partir das matrizes de elementos finitos, na faixa de frequência de 0 a 100 Hz, com incrementos de frequência de 0,1 Hz. A força de excitação, uma senóide de amplitude unitária, é aplicada em um ponto a 30 mm da extremidade engastada na direção z e a resposta estrutural é obtida em vários pontos, na mesma direção da excitação. A resposta em frequência da estrutura para três pontos localizados no inicio, no meio e no final da viga apresenta-se na Figura 4.4. Figura 4.4 Resposta estrutural obtida em vários pontos, na mesma direção da excitação. Fonte: Lagoin (2011).

62 62 O potencial elétrico gerado pela estrutura esta relacionado com os esforços aplicados e a posição do PZT. No caso de excitações com frequências próximas das ressonâncias vai haver grandes deformações em determinadas regiões da estrutura em relação à forma do modo excitado. Dependendo da posição do PZT, o potencial elétrico gerado pode ser maior ou menor como também discutido em Leo (2007). O potencial elétrico gerado pela estrutura devido a aplicação de uma força senoidal de amplitude 1N próxima da primeira frequência, mais especificamente, na frequência de 11,06 Hz foi investigado. Em várias análises foi utilizada a aproximação de amortecimento proporcional, coeficiente Alfa igual 0,9 e um coeficiente Beta igual a 1x10-4 e o potencial elétrico gerado foi de 9,223V. 4.3 TESTE EXPERIMENTAL Nesta seção serão discutidos e apresentados os estudos de dois testes experimentais da estrutura piezelétrica. Um que tem como objetivo validar os resultados dos parâmetros do modelo de elementos finitos e outro para avaliar o potencial elétrico gerado pela vibração da estrutura. No primeiro caso (identificação dos parâmetros), a estrutura é excitada com uma entrada impulsiva e a saída coletada por um sensor de aceleração. Já no segundo caso (avaliação do potencial elétrico gerado), a estrutura é excitada com uma entrada senoidal e a saída coletada por um sensor piezelétrico. Os equipamentos e instrumentos utilizados para realização dos testes experimentais são apresentados na Tabela 4.3.

63 63 Tabela 4.3 Materiais e instrumentos utilizados nos testes experimentais Itens Especificações Sistema de aquisição Fabricante: dspace ControlDesk Developer Version 2.7 Acelerômetro Fabricante: PCB Piezotronics INC Sensibilidade: 0,968 mv/m/s² Modelo 352C22 e Serial SN Martelo de impacto Fabricante: PCB Piezotronics INC Sensibilidade: 1,13 mv/ /N Modelo 086C04 e Serial SN Shaker Frequência de operação: 15 a 5000 Hz Fator de transmissão: 15 N/A Célula de carga Fabricante: PCB Piezotronics INC Sensibilidade: 10,58 mv/n Modelo 208C02 e Serial SN Condicionador ICP Fabricante: PCB Piezotronics INC ICP sensor signal conditioner Modelo 480E09 Condicionador PZT/PVDF Fabricante: Measurement Specialtie Piezo Film Lab Amplifier es TM O set up experimental utilizado para a realização do teste referente ao primeiro caso apresenta-se na Figura 4.5. Figura 4.5 Set up experimental utilizado no primeiro caso. Fonte: Lagoin (2011).

64 64 No teste para identificação dos parâmetros modais de interesse, a estrutura foi excitada por um martelo de impacto na direção z, a uma distância de 30 mm do engaste. A resposta foi medida utilizando um acelerômetro como sensor, fixado na extremidade livre da viga na faixa de frequência de 0 a 500 Hz. Um importante aspecto que deve ser considerado é a fixação do acelerômetro no ponto exato de medida, pois a fixação irregular do acelerômetro pode acarretar distorções no sinal medido. Neste caso, a malha foi gerada levando em consideração a topologia do ponto de medida do modelo experimental, de tal forma que o ponto de medida tivesse um nó correspondente no modelo de elementos finitos. O sistema de aquisição utilizado foi o ControlDesk Developer Version 2.7, da dspace e para coletar a resposta do martelo de impacto e do acelerômetro foi elaborado um circuito em diagrama de blocos implementado no Matlab Simulink, conforme ilustrado na Figura 4.6. Figura 4.6 Diagrama de blocos implementado no Matlab Simulink para coletar a resposta do martelo de impacto e do acelerômetro. Fonte: Lagoin (2011). Capturados os dados referentes a entrada e saída, as FRF(s) são calculadas (veja Anexo I, Seção I.2) com base na relação entrada/saída e nos conceitos de análise e processamento de sinais. Na Tabela 4.4 apresentam-se os valores das frequências naturais experimentais.

65 65 Tabela 4.4 Frequências naturais experimental Modos Experimental fn (Hz) 1 10,2 2 62, , ,0 Uma vez identificados os parâmetros modais de interesse que confirmam a representatividade do modelo numérico foram conduzidos alguns testes para medir o potencial elétrico gerado. Para a realização destes testes utiliza-se o set up experimental mostrado na Figura 4.7. Figura 4.7 Set up Experimental utilizado no segundo caso. Fonte: Lagoin (2011). No teste de avaliação do potencial elétrico gerado, a estrutura é excitada por uma força senoidal próxima da primeira frequência de ressonância através de um shaker eletrodinâmico acoplado a mesma por uma haste flexível na direção z a uma distância de 30 mm do engaste, essa força aplicada é medida por uma célula de carga e a resposta é medida utilizando o próprio PZT como sensor. O sistema estava operando em uma condição igual à utilizada no modelo de elementos finitos, este foi definido com a fixação da viga com um PZT patch colado a 60 mm da extremidade engastada em uma base rígida e a célula de carga é montada diretamente no shaker, visando minimizar o efeito da massa da célula na própria estrutura, visto que a mesma

66 66 é bastante esbelta e essa massa poderia alterar suas características próprias. A frequência de excitação da força foi controlada por um gerador de sinal utilizado para alimentar o shaker. A seguir utiliza-se o mesmo sistema de aquisição proposto e elabora-se outro circuito em diagrama de blocos visto que as respostas a serem coletadas são outras. Na Figura 4.8 foi ilustrado o diagrama de blocos implementado no Matlab Simulink, para coletar a resposta da célula de carga e do PZT. Figura 4.8 Diagrama de blocos implementado no Matlab Simulink para coletar a resposta da célula de carga e do PZT. Fonte: Lagoin (2011). O valor da amplitude da força aplicada e da tensão de saída do PZT foi medido utilizando a célula de carga e o próprio PZT respectivamente. O valor de pico encontrado da amplitude da força foi de 0,4795 N e o valor da amplitude da tensão foi de 4,446 V. 4.4 COMPARAÇÃO DOS MODELOS A comparação dos modelos, em geral, tem como objetivo definir a representatividade do modelo numérico de elementos finitos, a fim de ser usado para estudar e avaliar outras características do sistema. Neste caso, o objetivo não era ter um modelo com muita representatividade, mas sim ter um modelo com uma correlação razoável. Isto deve ser o suficiente para que o modelo possa ser usado para estudar o comportamento e tendência de alguns parâmetros no processo de geração de potencial elétrico.

67 67 A comparação revela que os quatro primeiros modos calculados com o modelo numérico são os mesmos identificados nos testes experimentais e apresentam uma diferença de frequências máxima de 10,09 % de acordo com a Tabela 4.5. Os modelos mostraram uma correlação razoável e uma vez que o objetivo não foi obter um modelo preciso, não foi aplicada qualquer técnica de atualização. As funções de resposta em frequência FRF(s) dos dois modelos foram comparadas qualitativamente. Na Figura 4.9 são apresentadas as curvas FRF calculada e medida da estrutura piezelétrica. Tabela 4.5 Frequências naturais e diferenças percentuais numéricas Modos Experimental Numérico Diferença % fn (Hz) fn (Hz) 1 10,2 11,0 7, ,0 68,5 9, ,5 192,4 9, ,0 381,5 10,09 Diferença = (Numérico f n Experimental f n / Numérico f n )*100 Figura 4.9 Função de resposta em frequência experimental e numérica Experimental Ansys 50 Amplitude (db) Frequencia (Hz) Fonte: Lagoin (2011). O potencial elétrico calculado e medido são comparados. No entanto, foi primeiro necessário reestimar o potencial elétrico calculado, usando uma força de excitação de mesma

68 68 intensidade da força medida no teste experimental. A força medida na célula de carga entre o shaker e a estrutura foi de 0,4795N, na frequência de 10,2 Hz e o potencial elétrico medido no PZT foi de 4,446 V. O valor da força foi agora usado para simular o potencial elétrico gerado pelo modelo de elementos finitos. O novo potencial calculado, usando uma força igual a medida e frequência de 11,06 Hz, foi 4,415 V. Na Figura 4.10 são mostrados o potencial elétrico numérico e experimental gerado no PZT e na Figura 4.11 são mostrados os respectivos espectros. Figura 4.10 Sinal de resposta do PZT experimental e numérico no domínio do tempo. 5 4 Experimental Ansys 3 2 Tensão ( V ) Tempo ( s ) Fonte: Lagoin (2011).

69 69 Figura 4.11 Sinal de resposta do PZT experimental e numérico no domínio da frequência Experimental Ansys 3 Tensão ( V ) Frequência( Hz ) Fonte: Lagoin (2011). A comparação mostra uma correlação razoável dos dados do modelo numérico e experimental. Nota-se que nos dois casos, a frequência de excitação encontra-se bem próxima da primeira frequência natural da viga e o potencial elétrico gerado é quase o mesmo. Isto significa que a modelagem numérica pode ser uma alternativa para estudar e avaliar outras condições e características da estrutura piezelétrica, incluindo o armazenamento da energia. 4.5 ESTUDO PARAMÉTRICO DAS VARIÁVEIS USANDO MODELO DE ELEMENTOS FINITOS O estudo analisará diferentes posicionamentos do PZT ao longo da viga, mudanças na configuração geométrica do PZT variando o seu comprimento, a largura e a espessura sem alterar as dimensões da viga e por último a variável analisada é o módulo de Young (elasticidade) substituindo o material utilizado na viga hospedeira visando avaliar o potencial elétrico gerado pela estrutura piezelétrica.

70 Posicionamento do PZT A posição do material piezelétrico (PZT) é importante para a geração de energia. Isto, porque a energia produzida pelo PZT esta diretamente relacionada com a deformação da viga, assim faz sentido que o PZT deva sofrer as maiores deformações da viga, a fim de gerar a máxima quantidade de energia. A maior deformação ocorre na extremidade engastada da viga, com a viga na condição engastada-livre (CRAWLEY et al, 1986). Em certas aplicações, a fixação do PZT na extremidade engastada da viga ou próximas da mesma não é possível. Por esta razão, uma correlação entre a deformação e a posição do PZT será desenvolvida. O posicionamento e o tamanho do sensor levam a uma variação da geração de energia da estrutura e a escolha do melhor posicionamento do sensor pode ser estudada com base no modelo de elementos finitos. Uma abordagem para estudar o posicionamento do sensor/atuador pode ser feita com base no conceito de filtro espacial (LEO, 2007), em que o acoplamento eletromecânico é correlacionado com a integral de deformação do material e no caso de uma única dimensão, o termo de acoplamento é proporcional a diferença de inclinação das extremidades do elemento. Se os comprimentos de onda dos modos de vibrar são longos comparados com o tamanho do elemento piezelétrico (sensor), a variação de deformação será pequena e a diferença de inclinação entre as extremidades também será pequena. No caso do posicionamento dos sensores, os modos de vibrar podem ser filtrados a partir da escolha do posicionamento do elemento tal que o valor da diferença de inclinação em relação a um modo é desconsiderado se comparado com os valores dos modos de vibrar restantes. Entretanto, para se estudar o melhor posicionamento do sensor a partir do modelo de elementos finitos faz-se necessário a definição de um modelo que seja suficientemente representativo do sistema em análise. O acoplamento introduzido pelos elementos piezelétricos esta relacionado a matriz. Assim considera-se por um momento que existe um sistema cujo, os modos de vibrar estão somente em função de uma única dimensão, x, e que as matrizes de rotação são ambas matrizes identidades (indicando que o eixo local do material piezelétrico alinha-se com o eixo global). Sob essas considerações, o (i,j) elemento de é proporcional a (4.1)

71 71 Para ilustrar o conceito de filtro espacial, assume-se que o sistema é uma viga em que, portanto, (4.2) No caso mais simples de deslocamento elétrico que não terá variação espacial, a resolução da integral resulta na expressão (4.3) Na equação (4.3) o termo de acoplamento associado com o elemento piezelétrico é proporcional à diferença de inclinação das extremidades do mesmo. Da análise de vibrações em sistemas contínuos, sabe-se que os modos de vibrar de estruturas vibrantes são funções harmônicas na dimensão espacial. Para ilustrar a conceito de filtro espacial para múltiplos modos, os modos de vibrar na condição engastada-livre são expressos por: (4.4) sendo (4.5) Sabe-se que a expressão para o termo de acoplamento piezelétrico esta diretamente relacionada com a inclinação das extremidades do elemento piezelétrico para cada modo de vibrar. A primeira derivada dos modos de vibrar é dada por: (4.6)

72 72 E que a segunda derivada dos modos de vibrar implica na deformação da estrutura piezelétrica, esta dada por: (4.7) Os parâmetros dos modos de vibrar para uma viga na condição engastada-livre encontram-se na Tabela 4.6. Tabela 4.6 Parâmetros dos modos de vibrar para uma viga na condição engastada-livre I i i 1 1,875 0, ,694 1, ,855 0, ,996 1,000 Para o sistema em análise tem-se da Tabela 4.1 que o com comprimento da viga é dado por L = 400 mm e o do PZT é 20 mm e através do MATLAB desenvolve-se um algoritmo que faz uma varredura no sistema na direção do comprimento variando a posição do PZT e calcula-se o termo de acoplamento piezelétrico, os deslocamentos e as deformações do sistema para cada posição, conforme as equações (4.3), (4.4) e (4.7). Na Figura 4.12 foi apresentado o deslocamento para os quarto primeiros modos de vibrar, já a deformação para os quatro primeiros modos de vibrar foi apresentada na Figura 4.13 e na Figura 4.14 foi apresentada a deformação e o deslocamento para os quatro primeiros modos de vibrar.

73 73 Figura 4.12 Deslocamento para os quatro primeiros modos de vibrar do sistema. 1 1º modo 1 2º modo Deslocamento 0.5 Deslocamento Comprimento da viga 3º modo Comprimento da viga 4º modo 1 Deslocamento Deslocamento Comprimento da viga Comprimento da viga Fonte: Lagoin (2011). Figura 4.13 Deformação para os quatro primeiros modos de vibrar do sistema. 1 1º modo 1 2º modo Deformação Comprimento da viga 3º modo 1 Deformação Comprimento da viga 4º modo 1 Deformação Comprimento da viga Deformação Comprimento da viga Fonte: Lagoin (2011).

74 74 Figura 4.14 Deformação e deslocamento para os quatro primeiros modos de vibrar do sistema. 1 Deslocamento Deformação Comprimento da viga º modo 2º modo -1 3º modo º modo Comprimento da viga Fonte: Lagoin (2011). Nota-se, através da Figura 4.14, que as maiores curvaturas (maiores valores de deformação) ocorrem na região próxima ao ponto de engastamento da estrutura piezelétrica e esta particularidade implica num comportamento mais eficiente do PZT, uma vez que o princípio de operação do mesmo está ligado às deformações geradas/induzidas neste elemento, o que consequentemente indica que o PZT deve ser posicionado nesta região para uma maior geração de energia Largura, comprimento e espessura do PZT As próximas variáveis analisadas são o comprimento, a largura e a espessura do PZT. Para o sistema em análise conforme Tabela 4.1 tem-se as dimensões e as propriedades do PZT e da viga de alumínio. A partir do modelo de elementos finitos desenvolvido com o programa ANSYS, o sistema é excitado por uma força senoidal de pico de intensidade 0,4795 N, na frequência de ressonância a uma distância fixa da extremidade engastada e com um amortecimento estrutural constante proporcional a massa e a rigidez, executam-se várias simulações através da análise transiente com um tempo de reposta de 10s e incrementos de 0,001s variando o comprimento, a largura e a espessura do PZT e calcula-se o potencial

75 75 elétrico gerado para cada comprimento, largura e espessura do mesmo, e verifica-se que o sistema entra em regime permanente após 5 segundos. O número de elementos utilizados na discretização do PZT aumenta proporcionalmente conforme se modifica os comprimentos, as larguras e as espessuras do mesmo, os valores de potencial elétrico gerado em regime permanente com a variação da largura do PZT apresentam-se nas Figuras 4.15 e 4.16, os valores de potencial elétrico gerado em regime permanente com a variação do comprimento do PZT apresentam-se nas Figuras 4.17 e 4.18 e os valores de potencial elétrico gerado em regime permanente com a variação da espessura do PZT apresentam-se nas Figuras 4.19 e Figura 4.15 Potencial elétrico gerado em regime permanente com a variação da largura do PZT. 6 5 Tensão de pico ( V ) Frequência (Hz) Largura (mm) Fonte: Lagoin (2011).

76 76 Figura 4.16 Potencial elétrico gerado versus largura do PZT Tensão de pico ( V ) Largura do PZT (mm) Fonte: Lagoin (2011). Figura 4.17 Potencial elétrico gerado em regime permanente com a variação do comprimento do PZT. 5 Tensão de pico ( V ) (mmm) 80 (mmm) 160 (mmm) 240 (mmm) 320 (mmm) 400 (mmm) Frequência (Hz) Fonte: Lagoin (2011). Comprimento do PZT (mm)

77 77 Figura 4.18 Potencial elétrico gerado versus comprimento do PZT Tensão de pico ( V ) Comprimento do PZT (mm) Fonte: Lagoin (2011). Figura 4.19 Potencial elétrico gerado em regime permanente com a variação da espessura do PZT. 15 Tensão de pico ( V ) Frequência (Hz) Espessura (mm) Fonte: Lagoin (2011).

78 78 Figura 4.20 Potencial elétrico gerado versus espessura do PZT Tensão de pico( V ) Espessura do PZT (mm) Fonte: Lagoin (2011). A análise dos resultados revela que conforme aumenta o comprimento e a largura do PZT o potencial elétrico gerado decresce e que conforme aumenta a espessura do PZT o potencial elétrico gerado aumenta até que o valor da espessura do PZT seja igual a metade da espessura da viga hospedeira Módulo de Young da viga hospedeira Neste momento busca-se avaliar o módulo Young, para o sistema em análise têm-se da Tabela 4.7 e 4.8 as dimensões e as propriedades do PZT e da viga hospedeira. A partir do modelo de elementos finitos desenvolvido com o programa ANSYS, encontram-se as frequências de ressonância para cada módulo de Young através da análise modal teórica, resolvendo o problema de autovalores/autovetores.

79 79 Tabela 4.7 Dimensões e propriedades do PZT Dimensões do PZT Valor Propriedades do PZT Valor Comprimento (mm) 20 Módulo de Young YE 1(GPa) 62 Largura (mm) 20 Módulo de Young YE 3(GPa) 50 Espessura (mm) 0,267 Constante piezelétrica d 33 (m/v) 650e-12 Constante piezelétrica d 31 (m/v) -320e-12 Constante dielétrica relativa K T Coeficiente de Acoplamento k 33 0,75 Coeficiente de Acoplamento k 31 0,44 Densidade (kg/m 3 ) 7800 Tabela 4.8 Dimensões e propriedades dos materiais da viga hospedeira Dimensões da Viga Valor Material Módulo de Young (GPa) Coeficiente de Poisson Densidade (kg/m 3 ) Comprimento (mm) 400 Acrílico 6 0, Largura (mm) 30,5 Magnésio 44,8 0, Espessura (mm) 2,1 Alumínio 70 0, Ferro Fundido 100 0, Cinzento Cobre 119 0, Monel 179 0, Uma vez identificadas as frequências de ressonância, o sistema é excitado por uma força senoidal de intensidade 0,4795 N, na primeira frequência natural a uma distância fixa da extremidade engastada e com um amortecimento estrutural constante proporcional a massa e a rigidez. Executa-se várias simulações através da análise transiente com um tempo de reposta de 10s e incrementos de 0,001s variando o módulo de Young e calcula-se o potencial elétrico gerado para cada situação. A resposta revela que o sistema entra em regime permanente após 5 segundos. O número de elementos utilizados na discretização da estrutura piezelétrica é o mesmo para todas as situações devido às configurações geométricas serem as mesmas, a resposta é normalizada com a frequência de ressonância para cada situação e nas Figuras 4.21 e 4.22

80 80 apresentam-se os valores de potencial elétrico gerado pelo PZT em regime permanente para cada material. Figura 4.21 Potencial elétrico gerado em regime permanente pelo PZT para cada material normalizado pela frequência de ressonância. 7 Tensão de pico ( V ) Acrílico (6 GPa) Magnésio (44.8 GPa) Alumínio (70 GPa) Ferro Fundido Cinzento (100 GPa) Cobre (119 GPa) Monel (179 GPa) Frequência (Hz) Fonte: Lagoin (2011). Módulo de Young(GPa) Figura 4.22 Potencial elétrico gerado versus módulo de Young da viga hospedeira Tensão de pico ( V ) Módulo de Young (GPa) Fonte: Lagoin (2011). Outra simulação proposta para o módulo Young é considerar as mesmas condições propostas para as simulações anteriores com a diferença de que o comprimento da viga hospedeira altera-se conforme se modifica o módulo Young, esta condição é feita para manter a primeira frequência natural com um mesmo valor para todos os materiais. Isso implica que a

81 81 frequência da força de excitação é constante, isto é, sempre a mesma para todos os materiais utilizados na viga hospedeira. Nas Figuras 4.23 e 4.24 apresentam-se o potencial elétrico gerado em regime permanente pelo PZT para cada material com a frequência de ressonância constante. Figura 4.23 Potencial elétrico gerado em regime permanente pelo PZT para cada material com frequência de ressonância constante. 25 Tensão de pico ( V ) Frequência (Hz) Módulo de Young(GPa) Fonte: Lagoin (2011). Figura 4.24 Potencial elétrico gerado versus módulo de Young da viga hospedeira para uma frequência de ressonância constante Tensão de pico ( V ) Módulo de Young (GPa) Fonte: Lagoin (2011).

82 82 Os resultados apresentados considerando as condições propostas: frequência de excitação idêntica para todos os materiais utilizados na viga hospedeira, ou seja, frequência de ressonância constante e configuração geométrica idêntica para diferentes materiais, consequentemente frequência de ressonância com valores diferentes. Mostra que conforme ocorre um aumento do módulo de Young da viga hospedeira o potencial elétrico gerado pelo PZT diminui. As simulações e a análise dos resultados revela que para a maximização do potencial elétrico gerado, deve-se posicionar o PZT o mais próximo possível da região engastada da viga e que o aumento do comprimento e da largura do PZT decresce o potencial elétrico gerado. O aumento da espessura do PZT aumenta o potencial elétrico gerado até que o valor da espessura do PZT seja igual a metade da espessura da viga hospedeira. Adicionalmente, observa-se que de acordo com as simulações realizadas a viga hospedeira do material acrílico, apresenta o maior potencial elétrico gerado.

83 83 CAPÍTULO 5 CIRCUITO ELETRÔNICO DE ARMAZEMENTO Neste capítulo, inicialmente, é descrito o funcionamento de dois circuitos eletrônicos utilizados para extrair potência elétrica a partir da vibração de uma estrutura piezelétrica. Um circuito eletrônico simples composto de um retificador de onda completa em ponte e outro mais complexo formado por um retificador de onda completa em ponte chaveado com circuito de controle. Para o armazenamento da energia, em ambos os circuitos, é utilizado um componente do tipo capacitor (capacitor eletrolítico). Posteriormente, são discutidos os testes experimentais realizados e os resultados comparados, buscando avaliar a quantidade de energia extraída do sistema em cada circuito. 5.1 DESCRIÇÃO E IDENTIFICAÇÃO DA BANCADA DE TESTES A bancada de testes utilizada na avaliação dos dois circuitos é composta de um shaker eletrodinâmico do fabricante The Modal Shop INC., um osciloscópio da Agilent Technologies InfiniiVision modelo DSO 6012A, um gerador de função analógico da EMG modelo TR 0458/D, uma célula de carga, um condicionador da PCB Piezotronics INC e uma estrutura piezelétrica. A estrutura piezelétrica consiste em uma viga de acrílico com um PZT patch (Piezo Systems, Inc. PSI-5H4E). A estrutura foi analisada na condição engastada livre e o PZT esta colado em um dos lados da viga, a uma distância de 60 mm da extremidade engastada. A viga hospedeira tem um comprimento L = 390 mm, largura w = 31 mm e espessura t = 2,9 mm, já as dimensões do PZT são comprimento L = 20 mm, largura w = 20 mm e espessura t = 0,267 mm. As propriedades do acrílico e do PZT são as mesmas mostradas nas Tabelas 4.6 e 4.7. O set up experimental utilizado para avaliação da extração de energia dos dois circuitos apresenta-se na Figura 5.1.

84 84 Figura 5.1 Bancada de testes. Fonte: Lagoin (2011). Adicionalmente, utiliza-se o sistema de aquisição de dados ControlDesk Developer Version 2.7, da dspace (Figura 5.2) para coletar o sinal de resposta gerado pela célula de carga. O ambiente dspace é uma interface inteiramente integrada ao Matlab Simulink que reúnee ferramentas de projeto e análise de sistemas de controle com um software de implementação em tempo real. Figura 5.2 Sistema de aquisição ControlDesk Developer Version 2.7, da dspace. Fonte: Lagoin (2011). Observando a Figura 5.1, nota-se que a estrutura piezelétrica esta acoplada por uma haste flexível a um shaker eletrodinâmico que por sua vez, excita a mesma em um ponto a 45 mm da extremidade engastada. Para avaliar o potencial elétrico gerado pelo sistema, utiliza-se um gerador de função analógico para alimentar o shaker eletrodinâmicoo e aplica-se uma força senoidal na frequência de 7,09 Hz (ressonância) a estrutura piezelétrica. O valor da amplitude

85 85 da força aplicada foi medido utilizando uma célula de carga e o potencial elétrico gerado no PZT foi medido diretamente nos terminais do mesmo, utilizando um osciloscópio. 5.2 CIRCUITO RETIFICADOR DE ONDA COMPLETA EM PONTE As características elétricas de um elemento piezelétrico vibrando pode ser modelado de forma simplificada como uma fonte de corrente senoidal em paralelo com um capacitor e uma resistência, conforme proposto em Pearson (2006). Neste caso, a resistência e o capacitor funcionam como os parâmetros internos do transdutor piezelétrico e a magnitude da corrente elétrica de polarização depende do nível de excitação mecânica do elemento piezelétrico. O circuito proposto nesta primeira etapa é do tipo retificador de onda completa em ponte, ilustrado na Figura 5.3. Essa é uma das configurações mais utilizadas em power harvesting e a máxima tensão retificada é igual ao pico nos terminais do transdutor piezelétrico subtraindo as duas quedas ocorrias nos diodos. Figura 5.3 Circuito retificador de onda completa em ponte. Fonte: Lagoin (2011). A forma de onda da corrente e da tensão no capacitor do transdutor piezelétrico para um retificador de onda completa em ponte está ilustrada na Figura 5.5 e observando a mesma procura-se descrever em detalhes o princípio de funcionamento do circuito baseado em Ottman et al. (2003). No início do período particularmente no instante t 0 a corrente elétrica do transdutor piezelétrico flui para o capacitor até carregá-lo, todos os diodos estão bloqueados e não existe fluxo de corrente elétrica na carga, conforme ilustrado na Figura 5.4 (a). No instante t 1, o

86 86 capacitor está carregado positivamente e os diodos D 1 e D 4 conduzem a corrente elétrica para alimentar a carga, Figura 5.4 (b), já no instante t 2 quando começa o semi-ciclo negativo a corrente elétrica do transdutor piezelétrico inverte o seu sentido e a mesma flui para o capacitor interno e faz com que ele descarregue e carregue negativamente, neste momento todos os diodos estão bloqueados e não existe fluxo de corrente elétrica na carga, conforme ilustrado na Figura 5.4 (c) e para o instante t 3, o capacitor está carregado negativamente e os diodos D 2 e D 3 conduzem a corrente elétrica para alimentar a carga, Figura 5.4 (d). Figura 5.4 Etapas de funcionamento do circuito retificador de onda completa em ponte. Fonte: Souza (2011).

87 87 Figura 5.5 Forma de onda da corrente e da tensão no capacitor do transdutor piezelétrico para retificador de onda completa em ponte. Fonte: Souza (2011). Em um próximo semi-ciclo positivo, a corrente elétrica do transdutor piezelétrico volta para o sentido inicial e faz com que o capacitor descarregue e carregue positivamente. Após esta etapa, a corrente elétrica é direcionada para a carga e assim sucessivamente. Com relação ao intervalo de tempo em que o capacitor interno está sendo descarregado e carregado, representado pela parte mais escura da Figura 5.5, a corrente elétrica do transdutor piezelétrico não é aproveitada. Consequentemente, a outra parte representa a corrente elétrica aproveitada pela carga. A potência máxima extraída pode ser obtida pela equação (5.1). (5.1) Em que: = Capacitância interna do transdutor piezelétrico; = Tensão de pico do transdutor piezelétrico; = Freqüência de excitação do transdutor piezelétrico.

88 88 Considerando as perdas do diodo, o valor da potência extraída se modifica e é dada pela equação (5.2). (5.2) Em que: = Tensão retificada; = Tensão limiar do diodo. Uma vez definido a formulação e o princípio de funcionamento do circuito retificador de onda completa em ponte, a próxima etapa busca estimar a energia que poderia ser extraída do potencial existente nos terminais do PZT através deste circuito de armazenamento Análise experimental do circuito retificador de onda completa em ponte O circuito de armazenamento é do tipo retificador de onda completa em ponte, com um capacitor em paralelo e para a fonte de alimentação foi utilizado a saída do PZT. O circuito consiste em retificadores Schottky, modelo 1N5817, fabricados pela Philips Semiconductors e um capacitor de 3300 μf e 25,0V, Hitano. Os retificadores apresentam uma barreira de potencial de 0,15V para pequenos valores de corrente elétrica. Na Figura 5.6 foi ilustrado e apresentado o circuito retificador de onda completa em ponte. Figura 5.6 Circuito retificador de onda completa. Fonte: Lagoin (2011).

89 89 Neste teste, as condições de ensaio são as discutidas na seção 5.1, e a estrutura piezelétrica é excitada na primeira frequência natural de 7,09 Hz. O valor de pico encontrado da força de excitação que entra na estrutura piezelétrica foi de 4,03 N e para a coleta do sinal foi utilizado o sistema de aquisição de dados apresentado na Figura 5.2. Figura 5.7 Sinal da força de excitação aplicada a estrutura piezelétrica. Força de excitação (N) Tempo (s) Fonte: Lagoin (2011). Identificada a força de excitação efetua-se medidas com o osciloscópio do sinal de resposta do PZT diretamente em seus terminais para a condições de circuito aberto e circuito fechado. O valor de pico encontrado da amplitude de tensão com circuito aberto foi de 19,8 V (Figura 5.8). Para o circuito fechado tem-se a forma de onda mostrada na Figura 5.9.

90 90 Figura 5.8 Sinal de reposta do PZT na condição de circuito aberto para um circuito retificador de onda completa. Fonte: Lagoin (2011). Figura 5.9 Sinal de reposta do PZT na condição de circuito fechado para um circuito retificador de onda completa. Fonte: Lagoin (2011).

91 91 Para verificar o tempo de carga e o potencial elétrico útil gerado pelo sistema devido a uma força de excitação de 4,03N, segue-se o seguinte procedimento para aquisição dos valores de tensão: curto-circuita os terminas do capacitor descarregando o mesmo, ou seja, tensão em seu terminais 0V e com um cronômetro e multímetro faz a leitura de tensão nos terminais do capacitor em intervalos de tempo de 1 minuto para os primeiros 10 minutos, após altera-se o intervalo de tempo para 5 minutos até alcançar o tempo de aquisição de 65 minutos. Na Figura 5.10 apresenta-se a tensão armazenada no capacitor durante um tempo de aquisição de 65 minutos. Figura 5.10 Tensão armazenada no capacitor versus tempo para um circuito retificador de onda completa Tensão ( V ) Tempo (m) Fonte: Lagoin (2011). Neste momento, busca-se avaliar o desempenho da geração de potência útil, para isso sabe-se de Adachi et al. (2009) que a geração de potência útil é maximizada quando a impedância elétrica da estrutura piezelétrica for igual a resistência da carga. Para a realização deste teste consideram-se as mesmas condições propostas para o teste de potencial elétrico útil com a diferença de que se aplica uma resistência de carga em paralelo com o capacitor ao circuito apresentado na Figura 5.6 e a mesma é submetida a um intervalo de valores de 0 a 42 M. O potencial elétrico medido no PZT e a potência útil em função da resistência de carga apresentam-se nas Figuras 5.11 e 5.12.

92 92 Figura 5.11 Potencial elétrico gerado pelo PZT para um circuito retificador de onda completa em função da resistência Tensão ( V ) Resitencia (K ohm) Fonte: Lagoin (2011). Figura 5.12 Potência para um circuito retificador de onda completa em função da resistência X: 820 Y: Potência (μw) Resistencia (K Ohm) Fonte: Lagoin (2011). A partir dos resultados apresentados na Figura 5.12, pode-se constatar que a máxima potência útil gerada pela estrutura piezelétrica, 12,25 μw, foi obtida quando a resistência da carga possuía um valor de 820 K.

93 CIRCUITO RETIFICADOR DE ONDA COMPLETA EM PONTE CHAVEADO A principal limitação do retificador de onda completa em ponte é que grande parte da corrente elétrica disponível não é fornecida para a carga. Esta perda ocorre devido ao carregamento e descarregamento do capacitor interno. Isto limita a potência máxima que pode ser extraída do transdutor piezelétrico. Guyomar (2005) e Ramadass (2010) utilizaram circuitos retificadores avançados para solucionar este problema, tal como o circuito retificador de onda completa em ponte chaveado, o qual tem o objetivo de melhorar a capacidade de extração de potência do transdutor piezelétrico. O retificador de onda completa em ponte chaveado é constituído por um transistor MOSFET, que funciona como chave, conectada em paralelo entre a saída do transdutor piezelétrico e o retificador de onda completa em ponte, como ilustrado na Figura Figura 5.13 Circuito retificador de onda completa em ponte chaveado. Fonte: Lagoin (2011). O circuito de controle da chave é composto de três partes, a primeira parte utiliza um circuito Schmitt trigger para detectar o zero de tensão, a segunda parte utiliza um circuito detector de janela para controlar o tempo de acionamento da chave e por último a terceira parte utiliza um circuito retificador para retificar o sinal de saída alternado do detector de janela através de dois amplificadores operacionais, para mais detalhes sobre o funcionamento destes circuitos consultar (SOUZA, 2011). A forma de onda da corrente e da tensão no capacitor do transdutor piezelétrico para um retificador de onda completa em ponte chaveado está ilustrada na Figura 5.15 e

94 94 observando a mesma procura-se descrever em detalhes o princípio de funcionamento do circuito baseado em (RAMADASS 2010). Este circuito tem o funcionamento similar a um circuito dobrador de tensão, com a diferença que o dobrador de tensão retifica apenas um semi-ciclo e já o em ponte chaveado retifica os dois semi-ciclos. A chave será fechada por um breve tempo, toda vez que a corrente elétrica do transdutor piezelétrico passar por zero. Quando a chave é fechada o capacitor interno estará conectado ao terra e com isso, descarrega-se o mesmo, conforme ilustrado nas Figuras 5.14 (a) e (d). À medida que o capacitor estiver descarregado a chave será aberta e a corrente elétrica carregará o capacitor, Figura 5.14 (b) e (e). Após o capacitor estar carregado os diodos passam a conduzir corrente elétrica e consequentemente passam a alimentar a carga, conforme ilustrado nas Figuras 5.14 (c) e (f), assim este ciclo de funcionamento se repete em todo semi-ciclo. Figura 5.14 Etapas de funcionamento do circuito retificador de onda completa em ponte chaveado. Fonte: Souza (2011).

95 95 Figura 5.15 Forma de onda da corrente e da tensão no capacitor do transdutor piezelétrico para retificador de onda completa em ponte chaveado. Fonte: Souza (2011). Neste circuito a corrente elétrica do transdutor piezelétrico precisa somente carregar o capacitor interno, em seguida os diodos irão conduzir e a corrente elétrica irá para a carga. Assim existe um tempo menor de perda de corrente elétrica do transdutor piezelétrico, conforme pode ser observado nas formas de onda da Figura A potência máxima extraída é duas vezes a obtida no retificador de onda completa em ponte e dada pela equação (5.3.) (5.3) Considerando as perdas do diodo, o valor da potência extraída se modifica e é dado pela equação (5.4). (5.4) Uma vez definido a formulação e o princípio de funcionamento do circuito retificador de onda completa em ponte chaveado, a próxima etapa busca estimar a energia que poderia ser extraída do potencial existente nos terminais do PZT através deste circuito de armazenamento.

96 Análise experimental do circuito retificador de onda completa em ponte chaveado Nesta etapa, aplicam-se as mesmas condições detalhadas na seção 5.2.1, ou seja, força de excitação, potencial elétrico gerado pelo PZT em aberto, retificadores e capacitor idênticos. Na Figura 5.16 foi ilustrado e apresentado o circuito retificador de onda completa chaveado. Figura 5.16 Circuito retificador de onda completa chaveado. Fonte: Souza (2011). Neste momento utiliza-se o circuito proposto por Souza (2011) e repetem-se os testes realizados para o circuito retificador de onda completa em ponte. O sinal de resposta do PZT foi medido diretamente em seus terminais com o osciloscópio para a condição de circuito fechado, conforme mostrado na Figura Ainda na Figura 5.17 pode ser obsevado uma mudança na forma de onda devido ao chaveamento.

97 97 Figura 5.17 Sinal de reposta do PZT na condição de circuito fechado para um circuito retificador de onda completa chaveado. Fonte: Lagoin (2011). Figura O tempo de carga e o potencial elétrico útil gerado pelo sistema apresentam-se na Figura 5.18 Tensão armazenada no capacitor versus tempo para um circuito retificador de onda completa chaveado Tensão ( V ) Tempo (m) Fonte: Lagoin (2011).