Construção de uma Ferramenta Computacional para a Simulação Aerodinâmica de um conjunto Asa e Flap

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1 Construção de uma Ferramenta Computacional para a Simulação Aerodinâmica de um conjunto Asa e Flap Jorge André Fernandes Baginha Dissertação para a obtenção de Grau de Mestre em Engenharia Aeroespacial Júri Presidente: Orientador: Co-orientador: Vogais: Professor Doutor João Manuel Lage de Miranda Lemos Professor Doutor Fernando José Parracho Lau Professor Doutor Filipe Szolnoky Ramos Pinto Cunha Professor Doutor João Manuel Melo de Sousa Outubro 2013

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3 Agradecimentos O espaço limitado desta secção de agradecimentos, seguramente, não me permite agradecer, como devia, a todas as pessoas que, ao longo do mestrado em Engenharia Aeroespacial e no processo de elaboração desta tese me ajudaram, directa ou indirectamente, a concretizar mais esta etapa da minha formação académica. Desta forma, deixo apenas algumas palavras, poucas, mas um profundo sentimento de agradecimento. Aos Professores Fernando Lau e Filipe Cunha (Orientador e Co-orientador, respectivamente), agradeço a disponibilidade, o incentivo, a sabedoria e os ensinamentos constantes em todo o processo de orientação científica desta dissertação. À Optimal Structural Solutions, em especial, ao Engº António Reis, agradeço toda a disponibilidade demonstrada e o apoio prestado. Aos meus amigos, em especial ao Miguel e à Marta, pelas constantes manifestações de interesse e encorajamento, pela preocupação, pelos momentos de descontracção e companheirismo. À Sara, minha namorada, ouvinte atenta de algumas dúvidas, inquietações, desânimos e sucessos, pelo apoio e transmissão de confiança, pela dedicação e carinhos diários, um agradecimento especial. À minha família, em especial aos meus Pais, um enorme obrigada por acreditarem sempre em mim e por todos os ensinamentos de vida, pela compreensão inestimáveis, pelos diversos sacrifícios suportados. Espero que esta etapa, que agora termino, possa, de alguma forma, retribuir e compensar todo o carinho, apoio e dedicação que, constantemente, me oferecem. A eles, dedico todo este trabalho. ii

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5 Resumo O presente trabalho tem como principal objectivo a construção de uma ferramenta computacional para a previsão das caracteristicas aerodinâmicas de um conjunto asa e flap. Utilizou-se o método dos painéis 3D, com a condição de fronteira de Dirichlet, para a solução do escoamento invíscido. Neste escoamento invíscido é possivel contabilizar o efeito solo através do método das imagens. Para a contabilização dos efeitos viscosos a geometria é dividida em secções bidimensionais onde por sua vez são analisadas individualmente pelo XFOIL. O acoplamento das duas soluções é feito por intermédio de uma velocidade de transpiração. As soluções do escoamento invíscido e viscoso foram comparadas com resultados experimentais obtidos para dois tipos de asas diferentes e um conjunto asa e flap. Os resultados demonstraram-se satisfatórios na medida em que os erros relativos do método computacional relativamente ao procedimento experimental foram pequenos. Concluímos que o código desenvolvido pode constituir, numa primeira aproximação, uma valiosa ferramenta computacional a ser utilizada no projecto de velas rigidas de catamarãs Palavras-chave: Método dos Painéis 3D, Condição de fronteira de Dirichlet, Efeito Solo, Acoplamento dos Efeitos Viscosos iv

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7 Abstract The main purpose of the present work was to develop a computational tool used to predict the aeorodynamic characteristics of a wing-flap. The 3D panels method using the Dirichlet-type boundary condition was adopted to obtain the inviscid flow. The latter allowed the consideration of the ground effect through the use of the images method. In order to consider the viscid effects, the geometry was discretized/divided into bidimensional cross sections. Each of them was individualy analysed by XFOIL program/routine. The coupling of both solutions was done by means of a transpiration velocity. The inviscid and viscous flows solutions were compared with experimental data obtained for two different types of wings and for a wing-flap aggregate. The results were satisfactory in the sense that the relative erros between the computational and experimental data were small. We concluded that the developed code may constitute, as a first approach, a valuable computational tool to be used in the design of rigid sails. Keywords: 3D Panel Method, Dirichlet Boundary Condition, Ground Effect, Viscous Effects vi

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9 Conteúdo Agradecimentos ii Resumo iv Abstract vi Lista de Símbolos xiii 1 Introdução Objectivo História Estrutura da Dissertação Método dos Painéis 3D Formulação Teórica Condições de Fronteira Condição de Fronteira de Dirichlet Forma e intensidade da esteira Procedimento Numérico Discretização da superfície Cálculo das Forças Aerodinâmicas Efeito Solo Aplicação do método das imagens Camada Limite Atmosférica Acoplamento dos Efeitos Viscosos Introdução Esquemas de acoplamento Método Directo Método Inverso Método Semi-Inverso Método Simultâneo Interacção com o XFOIL Asa viii

10 4.3.2 Asa com Flap Procedimento Numérico Cálculo das Forças Aerodinâmicas Validação e Discussão dos Resultados Estudo de Convergência Efeito Solo Asa na Vertical Asa com Flap Comparação com Resultados Experimentais Asa Rectangular Asa com Afilamento Asa RAE com Flap Conclusões e Trabalhos Futuros 63 Bibliografia 64 ix

11 Lista de Tabelas 3.1 Rugosidade da superfície Coeficiente de sustentação e resistência para as quatro malhas Variação do coeficiente de sustentação e resistência para uma asa rectangular com uma superfície sólida junto a uma das extremidades Resultado do coeficiente de sustentação experimental e invíscido com o respectivo erro relativo para um Reynolds Resultado experimental, invíscido e viscoso acoplado ao invíscido para um Reynolds Dados da asa com afilamento Resultado experimental, invíscido e viscoso acoplado ao invíscido para um Reynolds Parâmetros relativamente à distância do flap ao bordo de fuga da asa para dois ângulos de deflexão, 10 e Resultados experimentais e numericos para uma deflexão do flap de Resultados experimentais e numericos para uma deflexão do flap de x

12 Lista de Figuras 1.1 O barco actual da Team Cascais Escoamento potencial em torno de um corpo sólido Aplicação da condição de Kutta Discretização de um corpo em painéis Relação entre o painel da esteira e os dois painéis do bordo de fuga Construção do painel plano Aparecimento de fugas na construção dos painéis Painel a funcionar como a) fonte b) dipolo Esquema de painéis para o cálculo da velocidade no painel k Esquema de painéis numa extremidade para o cálculo da velocidade no painel k Esquema do aparecimento da resistência induzida para uma secção transversal de uma asa tri-dimensional Esquema da velocidade induzida pelos vórtices das extremidades da imagem da asa Asa e imagem, com a representação da sequência da aplicação da condição de fronteira Esquema de uma superfície sustentadora a operar próxima do solo com uma camada limite atmosférica Decomposição do escoamento em duas regiões: Invíscida e Viscosa Perfil de velocidade para um escoamento a) real e b) invíscido Espessura de deslocamento Alteração nas linhas de corrente, com o objectivo de simular os efeitos viscosos, através de uma velocidade de transpiração Método directo Método inverso Método simultâneo As duas primeiras secções para a análise viscosa Secção do Flap para análise no XFOIL Deslocamento da linha de corrente através de uma velocidade normal à superficie xi

13 5.1 Quatro malhas para o estudo da convergência: a) M1=10x5, b) M2=20x11, c) M3=40x21, d) M4=80x Coeficientes de pressão Cp em função da percentagem de corda %c: a) α = 0, b) α = 5, c) α = 10, d) α = a) erro relativo CL Vs Nº Painéis b) erro relativo CD Vs Nº Painéis c) Tempo Vs Nº Painéis Representação da asa e imagem para simular o efeito solo pelo método dos painéis 3D Comparação dos resultados obtidos pelo método dos painéis com resultados STAR- CCM CL Vs α. a) STAR-CCM+, b) Método dos painéis Distribuição do coeficiente de pressão a meia envergadura. a) α = 0 e h/c = 1 b) α = 0 e h/c = 0.1 c) α = 8 e h/c = 1 d)α = 8 e h/c = CL Vs CD. a) STAR-CCM+, b) Método dos painéis Asa na vertical CL Vs h/c, a) α = 2, b) α = 4, c) α = 6, d) α = Coeficiente de pressão nas duas configurações para a) asa e b) flap Ilustração do conjunto asa e flap Distribuição de Cp na asa e flap para a configuração Distribuição de Cp na asa e flap para a configuração Perfil NACA0012 utilizado na construção da asa rectangular Malha na asa rectangular Coeficientes de pressão para duas secções a um ângulo de ataque de 4.64º com Reynolds igual a Coeficientes de pressão para duas secções a um ângulo de ataque de 10.97º com Reynolds igual a CL vs alpha para uma asa rectangular a um Reynolds igual a CL vs alpha para uma asa rectangular a um Reynolds igual a Perfil NACA utilizado na construção da asa com afiamento Esquema da asa com afilamento Malha na asa com afilamento a) CL Vs alpha, b) CL Vs CD. Para asa com afilamento Representação das variaveis que definem a distância do flap à asa Conjunto asa flap para simulação, com a respectiva imagem Conjunto asa flap Coeficientes de sustentação e resistência para um ângulo de deflexão 10 para o flap. a) CL vs α, b) CL vs CD Coeficientes de sustentação e resistência para um ângulo de deflexão 25 para o flap. a) CL vs α, b) CL vs CD xii

14 Lista de Símbolos α α ef α i S k δ Γ F k n n k Q Q k Ângulo de ataque geométrico Ângulo de ataque efectivo Ângulo de ataque induzido Área do painel k Espessura de deslocamento Circulação do vórtice Força no painel k Vector unitário normal à superficie Vector unitário normal ao painel k Vector velocidade do escoamento de aproximação Velocidade total no painel k µ Distribuição de intensidade do dipolo µ k Intensidade do dipolo do painel k do corpo µ l Intensidade do dipolo no painel l da esteira Φ Φ Φ Φ d Φ f Φ i σ σ k Potencial de velocidade de perturbação Potencial de velocidade exterior Potencial de velocidade do escoamento de aproximação Potencial de velocidade induzido por um painel a comportar-se como dipolo Potencial de velocidade induzido por um painel a comportar-se como fonte Potencial de velocidade interior Distribuição de intensidade da fonte Intensidade da fonte do painel k do corpo xiii

15 B k C D C k C L Cp k D ind L N N w q l q m q n S B U V W Coeficiente de influência da fonte Coeficiente de Resistência Coeficiente de influência do dipolo Coeficiente de Sustentação Coeficiente de pressão no painel k Resistência induzida Sustentação Número de painéis na superficie do corpo Número de painéis na superficie da esteira Velocidade tangencial ao painel na direcção l Velocidade tangencial ao painel na direcção m Velocidade normal ao painel Superficie do corpo Componente x do vector velocidade do escoamento de aproximação Componente y do vector velocidade do escoamento de aproximação Componente z do vector velocidade do escoamento de aproximação xiv

16 Capítulo 1 Introdução O objetivo principal deste estudo passa pela construção de uma ferramenta computacional capaz de prever as características aerodinâmicas de uma superfície sustentadora. A finalidade última da ferramenta será a sua inserção no projecto de velas rígidas (Wing Sails) de catamarãs dedicados a alta competição. De facto, este trabalho surge no seguimento de uma parceira desenvolvida entre a Optimal Structural Solution [1] e a Tony Castro [2] com vista à construção do primeiro catamarã totalmente português a participar na International C-Class Catamaran Competition (ICCCC). Para o efeito, a Optimal Structural Solutions sugeriu ao Instituto Superior Técnico a elaboração, por parte de mestrandos do curso de engenharia aeroespacial, de uma tese com o tema Development of simulation tool for catamaran solid sails. A ICCCC é uma competição onde cada equipa participante desenvolve o seu próprio catamarã, sendo que, apesar de existirem algumas restrições geométricas ao comprimento do catamarã, largura e área da vela, é conferido grande grau de liberdade no que diz respeito ao seu design, o que por sua vez incentiva a procura e desenvolvimento de tecnologias avançadas incorporando domínios científicos como a aerodinâmica, hidrodinâmica e materiais. Neste tipo de aparelho vélico velas rígidas-, que surgiu nos anos 80, o perfil é espesso contrariamente ao que acontece nas velas convencionais. A existência de espessura garante uma maior força gerada e, deste modo, melhores prestações quando comparadas com as obtidas pelas velas tradicionais. As velas rígidas são constituídas por duas superfícies (Fig. 1.1): o elemento principal e o flap. Este último serve para incluir curvatura na vela, aumentando a força resultante. Dadas as condições de operação da vela, considerou-se oportuno incluir na ferramenta computacional quer o efeito da superfície da água, quer a variação da velocidade no interior da camada limite atmosférica. É neste enquadramento que o presente trabalho será desenvolvido. 1.1 Objectivo Um método computacional que permita prever as características aerodinâmicas de uma forma económica e eficiente numa asa, é uma ferramenta essencial nos dias de hoje. 1

17 Figura 1.1: O barco actual da Team Cascais Apesar de existir uma enorme variedade de programas de Dinâmica dos Fluidos Computacional (Computational Fluid Dynamics - CFD) capazes de obter soluções muito próximas da realidade, os seus custos computacionais torna-os pouco atractivos para o utilizador, pelo menos para uma fase inicial do projecto. Contrariamente aos códigos CFD que discretizam todo o domínio para o desenvolvimento das equações de Navier-Stokes, o método dos painéis permite a simulação de um escoamento em torno de um corpo discretizando apenas a sua superfície. Esta simplificação faz do método dos painéis um instrumento rápido na obtenção da solução final. Naturalmente que os resultados não terão um grau de precisão tão elevado como sucederia perante um cálculo em CFD. Porém, numa fase inicial de projecto, em que não é tão relevante o resultado exacto mas antes a tendência de variação de uma determinada característica, a sua utilidade é inegável. Ou seja, a aplicação do método dos painéis é uma boa opção para uma análise preliminar, quando o custo computacional é um dos factores mais importantes. Ora, uma vez que a ferramenta que será desenvolvida ao longo deste trabalho será utilizada numa fase inicial de projecto, fica justificada a escolha do método dos painéis 3D. Por outro lado, e considerando que a vela é composta por duas superficies sustentadoras - elemento principal e flap -, o código a desenvolver terá de ser capaz de simular dois corpos no mesmo escoamento. Por fim, e para a simulação da influência da superfície de água nas características da vela, e tendo 2

18 em conta que o método utilizado é puramente invíscido, será necessário o recurso ao método das imagens. O código a desenvolver será implementado em linguagem MAT LAB (R2008b). 1.2 História A primeira implementação computacional do método dos painéis foi desenvolvida por Hess e Smith [3] em Este método baseava-se na discretização do corpo em painéis planos a comportarem-se como fontes com intensidades constantes e tinha a capacidade de simulação de escoamentos tridimensionais em torno de corpos complexos não sustentadores. No ano 1972, Hess [4] adiciona os elementos do tipo dipolo ao seu método, tornando possível o cálculo de escoamentos tridimensionais em torno de corpos sustentadores. Em 1980 foi desenvolvido por Bristow [5] o código MCAIR no qual os painéis utilizados para modelar o corpo eram considerados planos mas as intensidades das singularidades por painel, contrariamente aos códigos anteriores, podiam variar. Foi o código pioneiro neste tipo de sigularidades de ordem elevada. Com o surgimento deste código passou a ser possível a simulação dos efeitos viscosos através de um método iterativo: a cada iteração a geometria era modificada com o objectivo de se incluir a espessura de deslocamento da camada limite formada na superfície do corpo. Um ano volvido, a Boing desenvolveu um código para a NASA com o nome de PAN AIR [6]. Neste código o corpo era discretizado em painéis planos, cada qual dividido em cinco subpainéis nos quais era permitida a variação da intensidade da singularidade. Neste sentido era considerado um método de singularidade de ordem elevada. Além disso, o código era capaz de calcular escoamentos quer subsónicos quer supersónicos. Até ao início da década de 80, a maioria dos códigos era dedicada a empresas ligadas à indústria espacial. No entanto, a rápida evolução da tecnologia computacional permitiu às pequenas empresas ligadas a outras indústrias começarem a usar este tipo de códigos. O primeiro código comercial diponível às pequenas empresas surgiu em 1982 através de Maskew com o nome VSAERO [7, 8]. Utilizava uma formulação em que os painéis eram considerados planos e as intensidades das singularidades constantes. Este código possibilitava o acoplamento dos efeitos viscosos à solução inviscida através de uma velocidade de transpiração ao invés da tradicional alteração da geometria. Também foi adicionado ao código uma rotina para o cálculo do enrolamento da esteira. Em 1987 surgiu o PMARC [9], desenvolvido por Ashby. Trata-se de um código muito semelhante ao VSAERO mas capaz de proceder ao calculo de escoamentos não estacionários. Em 1988 Mark Drela desenvolveu um código denominado XFOIL [10], ainda hoje frequentemente utilizado por ser uma ferramenta fiável no que concerne à previsão de escoamentos invíscidos e viscosos em torno de perfis bidimensionais. O facto de ter sido implementado em linguagem FORTRAN facilita a interligação deste código com ferramentas de optimização. Nos anos seguintes os esforços foram direcionados na melhoria do pré e pós processamento (geração da malha e apresentação dos resultados). 3

19 Com o aparecimento de diferentes tipos de códigos, estes ficam sujeitos a comparações. Em [11], os autores efectuaram um estudo com o objectivo de compararem códigos que utilizam singularidades de baixa e elevada ordem. A conclusão foi a de que os códigos desenvolvidos com a utilização de singularidades de ordem elevada apresentam, para o mesmo número de painéis, um maior grau de precisão. Por outro lado, os códigos que utilizam as singularidades de baixa ordem revelaram-se, os mais rápidos na obtenção da solução. Uma vez alcançado um estado de maturidade no que diz respeito às questões teoricas do método dos painéis, os esforços começaram a concentrar-se na procura de formas que permitissem a sua integração em processos iterativos de acoplamento dos efeitos viscosos. Em 1997, Milewski [12] apresenta no seu trabalho um acoplamento de uma camada limite tridimensional ao método dos painéis 3D de baixa ordem, o qual como se verá é feito através de um esquema simultâneo. Cabeci e Besnard [13], em 1998, apresentam um método de acoplamento, conhecido como semiinverso, de uma camada limite tridimensional a uma solução obtida a partir do método dos painéis. Os resultados apresentados foram satisfatórios tanto para uma única asa imersa num escoamento assim como para um conjunto de asa e flap. Em 2000, Veldman et al., [14] apresentam um esquema de acoplamento, baseado no trabalho de Veldman [15], denominado por quasi-simultâneo, sendo considerado um dos melhores métodos na relação qualidade da solução/tempo computacional. Em 2003, André Deperrois [16] construiu um código, XFLR5, com uma interface gráfica user friendly, que calcula escoamentos bidimensionais e tridimensionais em torno de perfis e asas, respectivamente. No primeiro caso, o cálculo é feito com recurso ao código do XFOIL. No segundo, o utilizador pode escolher entre a teoria da linha sustentadora, método da málha de vórtices ou método dos painéis 3D. Neste código o acoplamento dos efeitos viscosos é efectuado através de uma análise bidimensional das secções ao longo da envergadura do corpo. Xwing [17], programa desenvolvido em MAT LAB e apresentado em 2008, possui a capacidade de cálculo de um escoamento potencial 3D com o acoplamento dos efeitos viscosos através da alteração da geometria do corpo com o objectivo de simular a espessura de deslocamento. Os autores assumiram que o desenvolvimento da camada limite tridimensional podia ser aproximado a diversas secções bidimensionais ao longo da envergadura. Para o cálculo dos parâmetros das camadas limites bidimensionais foi utilizado o programa XFOIL. 1.3 Estrutura da Dissertação A presente dissertação encontra-se dívida em seis capítulos. No capítulo 2 será feita uma explicação detalhada do método dos painéis 3D, desde a sua formulação teórica ao cálculo das forças aerodinâmicas geradas num corpo imerso num escoamento invíscido. No capítulo 3 será exposta a via que foi seguida para introduzir o efeito de uma superfície sólida na proximidade de um corpo sustentador. Este efeito é conhecido como efeito solo e, para a sua simulação, 4

20 utilizar-se-á o método das imagens. O capítulo 4 incidirá sobre o processo necessário para se conseguir acoplar os efeitos viscosos a um escoamento inviscido, utilizando uma velocidade de transpiração. O capítulo 5 será dedicado à validação dos resultados obtidos pelo método dos painéis 3D assim como o efeito solo e o acoplamento dos efeitos viscosos. No último capítulo serão apresentadas as conclusões dos resultados obtidos e fornecidas algumas sugestões para trabalhos futuros. 5

21 Capítulo 2 Método dos Painéis 3D O estudo de um escoamento de fluido real em torno de um corpo sólido pode ser aproximado a um escoamento de fluido perfeito caso a interacção viscosa/invíscida seja fraca. Para que tal aconteça, num escoamento de fluido real, as espessuras de deslocamento δ têm que ser pequenas comparativamente a uma dimensão característica do corpo [18]. Sendo o método dos painéis um método numérico puramente invíscido, este pode ser utilizado para prever o comportamento do escoamento exterior. Neste capítulo serão apresentadas todas as considerações tidas em conta para o cálculo de um escoamento inviscido em torno de um corpo sustentador pelo método dos painéis 3D. Para além da formulação teórica do método serão abordadas questões como o tipo de condição de fronteira utilizada, a modelação da esteira de vórtices libertada pelo sistema sustentador, discretização e, por fim, a forma de cálculo das forças aerodinâmicas resultantes no corpo. Nesta secção, o escoamento será considerado invíscido e, portanto, sem a presença da camada limite. Posteriormente, e como se verá no capítulo do Acopolamento dos Efeitos Viscosos, o efeito da espessura de deslocamento será tido em conta. 2.1 Formulação Teórica A explicação que se segue da formulação teórica do método dos painéis 3D terá como base as referências [5, 8, 9]. Considerando um corpo em que é conhecida a sua fronteira S B sujeito a um escoamento potencial, como mostra a Fig. 2.1, o escoamento exterior (região V) é incompressível, irrotacional e invíscido fazendo com que o potencial de velocidade Φ respeite a equação de Laplace 2 Φ = 0 (2.1) Este potencial Φ pode ser decomposto numa componente devido ao escoamento de aproximação, Φ, e num potencial de perturbação, Φ, devido ao corpo. Φ = Φ + Φ (2.2) 6

22 Figura 2.1: Escoamento potencial em torno de um corpo sólido. [5] A solução da Eq. 2.1 pode ser construida, segundo Green [5, 18], pela soma de singularidades do tipo fonte σ e dipolo µ com uma determinada distribuição continua ao longo da superfície S B : Φ (x, y, z) = 1 ˆ 4π S B [ σ ( ) 1 µn r ( )] 1 ds + Φ (2.3) r onde n é o vector unitário normal à superfície S B com a direcção para o interior do corpo, r a distância entre um ponto no espaço e o elemento ds e Φ o potencial de velocidade do escoamento de aproximação. Φ = U x + V y + W z (2.4) onde U, V e W são as componentes x,y e z da velocidade do escoamento de aproximação. Em princípio, e observando a Eq. 2.3, o escoamento em torno de um corpo sustentador pode ser construído a partir de um número infinito de combinações entre as distribuições de fontes e dipolos. De forma a tornar essa combinação única para um determinado tipo de problema, é necessário definir uma uma condição de fronteira que exija que a velocidade normal à superfície do corpo seja igual a zero Φ / n = 0, tornando-a impermeável. Porém, uma vez que a aplicação da condição de fronteira não é suficiente para a resolução de problemas de escoamentos tridimensionais em torno de corpos sustentadores, torna-se necessário introduzir condições adicionais que irão depender da física do problema. Estas condições estão relacionadas com a modelação da esteira de vórtices a jusante do corpo sustentador e a relação entre as intensidades dos dipolos na esteira com os que estão localizados na superfície do corpo (condição de Kutta). Tendo em conta que as fontes são usadas para simular o efeito da espessura do corpo e os dipolos para a geração de circulação no sistema sustentador, é natural que a esteira seja modelada apenas com dipolos uma vez que se considera que tem espessura desprezável. Assim, a Eq. 2.3 pode ser reescrita da seguinte forma: Φ (x, y, z) = 1 4π ˆ corpo+esteira µn ( ) 1 ds 1 r 4π ˆ corpo σ ( ) 1 ds + Φ (2.5) r 7

23 Note-se que a formulação na Eq. 2.5 também poderia ser feita sem atender à distribuição de dipolos. No entanto, tal impediria a simulação de um corpo sustentador. A primeira implementação numérica desta formulação, com verdadeiro sucesso, foi conseguida pelo matemático Hess e o aerodinamicista Smith [3]. No entanto, só em 1972, quando Hess [4] adicionou a distribuição de dipolos, é que se tornou possível calcular escoamentos em torno de corpos sustentadores. 2.2 Condições de Fronteira A condição de fronteira, que garante que o corpo no seio do escoamento seja impermeável, para a Eq.2.1 pode ser aplicada de duas formas diferentes. Por um lado, especificando a velocidade normal Φ / n = 0 à superfície S B igual a zero. Neste caso, onde a condição de fronteira é aplicada de forma directa, diz-se que se está perante um problema de Neumann. Na segunda forma, conhecida por problema de Dirichlet, o mesmo efeito é obtido por via da especificação de um potencial de velocidade na fronteira do corpo. A utilização desta condição de fronteira é mais vantajosa a nível computacional uma vez que se trabalha com uma quantidade escalar em vez de um vector velocidade. Este factor, aliado à maior simplicidade da implementação a nivel de programação, levou a que a condição de fronteira escolhida neste trabalho fosse a de Dirichlet Condição de Fronteira de Dirichlet O potencial de velocidade no interior da superfície S B também respeita a equação de Laplace [9] e portanto a solução para um ponto P qualquer no interior do corpo é igual à Eq A condição de que a velocidade normal à superfície do corpo tem que ser igual a zero em termos de potencial de velocidade (Φ i ) n = 0 resulta em Φ i = (Φ + Φ ) i = const. Isto significa que, para um corpo fechado, o potencial de velocidade no seu interior não se altera. Φ i (x, y, z) = 1 4π ˆ corpo+esteira µ n ( ) 1 ds 1 r 4π ˆ corpo A Eq. 2.6 é a base dos problemas resolvidos pela condição de fronteira Dirichlet. σ ( ) 1 ds + Φ = const (2.6) r Em [7], Maskew comparou os resultados das distribuições de pressões e coeficientes de sustentação e resistência, para um perfil simétrico NACA 0012 a um ângulo de 10 com o escoamento de aproximação, para dois valores diferentes do potencial de velocidade no interior do corpo. Considerou-o igual a zero e igual ao potencial de velocidade a infinito Φ. Para estes dois valores Maskew verificou que a diferença nas distribuições de pressões e coeficientes de sustentação e resistência não eram relevantes para uma distribuição simétrica (mesmo número de painéis no extradorso e intradorso) de 38 e 78 painéis. Por outro lado, para uma distribuição simétrica de apenas 8 painéis, os resultados obtidos com a constante igual ao potencial de velocidade a infinito Φ apresentam valores mais próximos dos resultados com 78 painéis. A utilização do potencial de velocidade no interior do corpo igual ao potencial a infinito também mostrou-se superior numa situação em que a distribuição de painéis não era simétrica. Isto 8

24 especialmente na zona do bordo de fuga. Subjacente a esta melhoria de comportamentos está o facto da solução (µ) ter uma intensidade menor quando comparada com a formulação que considera o potencial de velocidade no interior do corpo igual a zero e, portanto, acredita-se que numericamente é mais estável [8]. Neste trabalho foi utilizada a formulação que considera o potencial de velocidade no interior do corpo constante e igual ao potencial de velocidade do escoamento de aproximação Φ. A Eq. 2.6 pode ser reduzida para uma forma mais simples : 1 4π ˆ corpo+esteira µ n ( ) 1 ds 1 r 4π ˆ corpo σ ( ) 1 ds = 0 (2.7) r Neste tipo de formulação, para a Eq. 2.7 ser válida, a intensidade da fonte tem que ser igual à componente normal à superfície do vector velocidade do escoamento de aproximação Q [5]. σ = n Q (2.8) Assim, ao fixarem-se as intensidades das fontes, as incógnitas passam a ser as intensidades dos dipolos ao longo da superfície do corpo e esteira. 2.3 Forma e intensidade da esteira As hipóteses simplificativas adoptadas são semelhantes às que são feitas na teoria da linha sustentadora [lifting line theory] ou método da malha de vórtices [vortex lattice method] na modelação de um corpo sustentador. A esteira considera-se plana, indeformável e paralela ao escoamento de aproximação. Com esta simplificação lineariza-se um problema que é não linear, já que a forma da esteira depende do campo de velocidades induzido pelos vórtices arrastados e este campo de velocidades induzido depende da forma da esteira. Esta situação pode ser resolvida com a introdução de um processo iterativo onde os pontos que formam os painéis da esteira são ajustados tendo em conta a velocidade neles induzida pelos vórtices arrastados. Este procedimento é conhecido por relaxação da esteira [wake relaxation]. Ao longo das iterações a esteira vai-se tornando cada vez mais enrolada junto às extremidades uma vez que as velocidades induzidas nessas zonas são provocadas por vórtices de maior intensidade. Trata-se do fenómeno denominado por enrolamento da esteira [wake roll-up]. Em [19, 20, 21, 5] podem ser consultados cálculos de forma iterativa tendo em conta o enrolamento da esteira. Uma vez que este processo iterativo requer elevados recursos computacionais - de facto, a cada iteração é necessário fazer um novo cálculo de escoamento em torno do corpo e esteira, atendendo a que cada iteração apresenta-se com formato diferente - optou-se por não incluí-lo no presente trabalho. Por outro lado, e no que diz respeito às intensidades dos dipolos que modelam a esteira de vórtices libertada pelo corpo sustentador, as mesmas podem ser escritas em função das intensidades presentes no corpo, através da condição de Kutta aplicada ao longo do bordo de fuga. Esta condição indica que o escoamento deve deixar o bordo fuga suavemente. Por outras palavras, garante que as velocidades 9

25 Figura 2.2: Aplicação da condição de Kutta. [5] tanto para o intradorso como o extradorso, na zona do bordo de fuga, são iguais. A aplicação desta condição no bordo de fuga é representada pela seguinte expressão, µ U µ L µ W = 0 (2.9) onde µ U e µ L correspondem às intensidades dos dipolos no bordo de fuga, para o painel do extradorso e intradorso, respectivamente. Por exemplo, a especificação da condição de Kutta no bordo de fuga de uma asa, considerando as intensidades dos dipolos constantes ao longo do painel, pode ser visualizada na Fig Note-se que um painel a funcionar como um dipolo com intensidade µ é equivalente a este mesmo painel com quatro vórtices de intensidade Γ = µ em cada aresta, conhecido por anel de vórtice [vortex ring]. Na linha que define o bordo de fuga, e considerando que o sentido positivo do dipolo aponta para o interior do corpo, a aresta do painel superior tem intensidade Γ U, a aresta do painel inferior +Γ L e para o painel da esteira +Γ W. O balanço das intensidades dos vórtices na linha do bordo de fuga é então : ou, como na Eq. 2.9 Γ U + Γ L + Γ W = 0 (2.10) Γ W = Γ U Γ L (2.11) 2.4 Procedimento Numérico Para a aplicação numérica, a superfície S B é dividida em N painéis no corpo e em N w na esteira como mostra a Fig Cada painel que faça parte do corpo comporta-se como um dipolo com uma intensidade µ e uma fonte com intensidade σ. Diferentemente, um painel que pertença à esteira comporta-se só como um dipolo. A condição de fronteira é imposta no centro de cada painel, nos chamados pontos de controlo [control points]. A Eq. 2.7 para cada ponto de controlo toma a seguinte forma : 10

26 Figura 2.3: Discretização de um corpo em painéis. [5] N 1 4π k=1 ˆ P ainel corpo µn ( ) 1 ds r N 1 4π k=1 ˆ P ainel corpo σ N w 1 + 4π l=1 ( ) 1 ds+ r ˆ P ainel esteira µn ( ) 1 ds = 0. (2.12) r Para cada ponto de controlo são necessárias as influências de todos os k painéis do corpo e de todos os l painéis da esteira. A integração, ao contrário das secções anteriores em que era feita ao longo de toda a superfície do corpo é, agora, feita para cada painel individualmente e, considerando as intensidades das singularidades ( µ e σ ) unitárias, depende apenas da geometria do painel: C k = 1 4π B k = 1 4π ˆ P ainel corpo ˆ n P ainel corpo ( ) 1 ds, (2.13) r ( ) 1 ds. (2.14) r As Equações 2.13 e 2.14 representam os coeficientes de influência para o dipolo e fonte, respectivamente, e podem ser determinados se as coordenadas dos vértices do painel k e a distância r forem conhecidas. Estes coeficientes traduzem o modo como um determinado painel k influencia um ponto P a uma distancia r do seu centro, em termos de potencial de velocidade Φ. Por outras palavras, representa o potencial de velocidade induzido num ponto P a uma distância r do seu centro considerando a intensidade da singularidade igual a 1. Tendo em conta estes coeficientes de influência, que serão desenvolvidos numa secção posterior, a Eq pode ser escrita da seguinte forma: 11

27 Figura 2.4: Relação entre o painel da esteira e os dois painéis do bordo de fuga. [5] N N N w C k µ k + B k σ k + C l µ l = 0. (2.15) k=1 k=1 l=1 A aplicação da Eq no ponto de controlo de um determinado painel na superficie do corpo, garante que o somatório dos potenciais de velocidade induzidos por todos os painéis (dipolos e fontes) é igual a 0. Esta é a expressão numérica da aplicação da condição de fronteira. As intensidades das fontes σ k são obtidas pela Eq. 2.8 onde n, agora, é a normal ao painel k, σ k = n k Q, (2.16) e deste modo, o termo N B k σ k fica conhecido e pode passar para o lado direito da Eq k=1 As intensidades dos dipolos da esteira µ l podem ser relacionadas com as intensidades dos dipolos do corpo localizados no bordo de fuga pela condição de Kutta, como apresentado na secção anterior. Por exemplo, na Fig. 2.4 a intensidade do dipolo da esteira µ t pode ser expressa em função das duas intensidades µ r e µ s dos painéis que se encontram no bordo de fuga, µ t = µ r µ s. (2.17) O potencial de velocidade induzido pelo painel da esteira vem dado por C t µ t = C t (µ r µ s ). (2.18) Assim, é eliminada a incógnita da intensidade do painel da esteira µ t, bastando saber o coeficiente de influência do painel C t. Para a Eq este coeficiente é somado aos coeficientes de influência do bordo de fuga quando k = r, e subtraído quando k = s. Por exemplo, a aplicação da condição de fronteira, utilizando a Eq. 2.15, no ponto de controlo número 1 resulta na expressão: 12

28 N C 11 µ (C 1r + C 1t )µ r + (C 1s C 1t )µ s C 1N µ N + B k σ k = 0, (2.19) onde por exemplo C 1k µ k é potencial de velocidade induzido pelo painel k a funcionar como dipolo com uma intensidade µ k no ponto de controlo número 1. A Eq pode, assim, ser escrita numa forma ainda mais simples : N N A k µ k = B k σ k, (2.20) k=1 k=1 onde A k = C k se k não pertencer a um painel do bordo de fuga, ou A k = C k ± C t se k pertencer a um painel do bordo de fuga. A aplicação da Eq a todos os pontos de controlo de todos os painéis do corpo, de modo a que a condição de fronteira seja satisfeita em toda a superfície, resulta num sistema de N equações a N incógnitas (µ k ): k=1 a 11 a 12 a 1N a 21 a 22 a 2N µ 1 µ 2. = RHS 1 RHS 2., (2.21) a N1 a N2 a NN µ N RHS N onde os RHS k são os chamados termos do lado direito da equação [Right-Hand Side] e podem ser determinados uma vez que as intensidades das fontes para cada painel σ k são conhecidas: RHS 1 RHS 2. = b 11 b 12 b 1N b 21 b 22 b 2N σ 1 σ 2.. (2.22) RHS N b N1 b N2 b NN σ N As matrizes a ij e b ij contêm as influências de todos os painéis, a funcionarem como dipolos e fontes, respectivamente, em todos os pontos de controlo. São denominadas por matrizes dos coeficientes de influência [influence coefficient matrices]. As incógnitas (µ k ) são obtidas pela solução do sistema de equações lineares. Com esta solução, juntamente com as intensidades das fontes, garante-se que no interior do corpo o potencial de velocidade total é igual ao potencial de velocidade do escoamento de aproximação Discretização da superfície No presente trabalho, optou-se pela formulação mais básica relativamente à discretização da geometria e especificação da forma como as intensidades das singularidades variam em cada painel. Considerouse que as distribuições continuas das intensidades do dipolo e fonte ao longo da superfície do corpo podem ser aproximadas por uma distribuição de vários dipolos e fontes com intensidades constantes por painel. Ou seja, cada painel é considerado plano (sem curvatura) e as intensidades do seu dipolo e 13

29 Figura 2.5: Construção do painel plano fonte constantes. Métodos que utilizem este tipo de formulação são conhecidos como métodos de baixa ordem [low-order methods]. Uma formulação mais complexa, e que requer mais poder computacional, passa por admitir curvatura no painel e variação das intensidades das singularidades ao longo do painel. Métodos que utilizem esta formulação são conhecidos como métodos de elevada ordem [Highorder methods]. Em [11], os autores fazem uma comparação de resultados obtidos em cinco programas que utilizam o método dos painéis 3D, tanto de baixa como elevada ordem. Os cinco programas utilizados no estudo apresentam bons resultados quando comparados com dados experimentais. Embora a simulação de ordem elevada se tenha revelado superior em situações em que o número de painéis era o mesmo, tal apenas foi conseguido à custa de um elevado tempo e custo computacional. Na verdade, para o mesmo tempo de computação, o método de baixa ordem demonstrou ser superior. Tendo em conta o objectivo deste trabalho, o aumento da precisão da solução não compensaria o tempo de espera da mesma. Também, o poder computacional disponível por qualquer utilizador, hoje em dia, já permite a construção de uma malha relativamente refinada ao ponto de se obter soluções bastante satisfatórias com uma formulação de ordem inferior. Após a discretização da superfície do corpo em múltiplos pontos, torna-se necessário construir os painéis de modo a que se aproximem o mais possível da superfície inicial, uma vez que, raramente, os quatro pontos para a construção do painel fazem parte do mesmo plano. Assim, é necessário construir um painel que passe o mais próximo desses quatro pontos mantendo-se plano como mostra, por exemplo, a Fig O aparecimento de fugas [leakage] entre os painéis são inevitáveis e há que reduzi-las ao máximo com o método escolhido para a construção do painel. Estas fugas são apresentadas na Fig A metodologia utilizada para a construção do painel plano, inicialmente seguia a linha descrita em [4] mas, por apresentar maior simplicidade, optou-se pela descrita em [8]. A maior diferença entre estas duas reside na forma de cálculo do ponto de controlo e do referencial local ao painel. Enquanto que no primeiro o ponto de controlo é calculado no centróide do painel, no ultimo é obtido pela média dos quatro vértices do painel. 14

30 Figura 2.6: Aparecimento de fugas na construção dos painéis. [5] Figura 2.7: Painel a funcionar como a) fonte b) dipolo. [5] Os integrais dos coeficientes de influência nas equações 2.13 e 2.14, considerando painel plano e intensidade da singularidade constante (Fig. 2.7), são desenvolvidos em função dos pontos das extremidades do painel por Hess e Smith em [22] ou apresentados numa forma mais simples em [5]: o potencial de velocidade induzido num ponto qualquer P por um painel a trabalhar como fonte é assim dado por : Φ f = σ 4π {[aux aux aux aux1 41 ] + z [aux aux aux aux2 41 ]} (2.23) enquanto que para o dipolo : com, Φ d = µ 4π [aux aux aux aux2 41 ] (2.24) aux1 ij = (x x i) (y j y i ) (y y i ) (x j x i ) d ij ( ri + r j + d ij ln r i + r j d ij ), (2.25) 15

31 ( ) mij e i h i aux2 ij = arctan arctan zr i ( mij e j h j zr j ), (2.26) onde, d ij = (x j x i ) 2 + (y j y i ) 2, (2.27) m ij = y j y i x j x i, (2.28) e, r k = (x x k ) 2 + (y y k ) 2 + z 2, (2.29) e k = (x x k ) 2 + z 2, (2.30) h k = (x x k ) (y y k ), (2.31) em que k = 1, 2, 3 e 4. As equações 2.23 e 2.24 são utilizadas para o cálculo das matrizes dos coeficientes de influência a ij e b ij, contidas nas equações 2.21 e 2.22, onde o ponto P é substituido pelo ponto de controlo i no referencial local ao painel j. As construções destas matrizes fazem parte da fase mais pesada em termos computacionais do método dos painéis 3D. 2.5 Cálculo das Forças Aerodinâmicas Uma vez conhecidas as intensidades dos dipolos (µ k ), as velocidades nos referenciais locais aos painéis (l, m, n) podem ser obtidas por diferenciação. As velocidades tangentes à superfície são dadas por: q l = µ l, (2.32) e a componente normal, q m = µ m, (2.33) q n = σ. (2.34) Para as velocidades nas direcções tangenciais, os resultados podem variar consoante o modelo numérico escolhido para a diferenciação. Normalmente é escolhido o método das diferenças finitas 16

32 Figura 2.8: Esquema de painéis para o cálculo da velocidade no painel k. [8] Figura 2.9: Esquema de painéis numa extremidade para o cálculo da velocidade no painel k. [8] centrais. Por exemplo, para direcção l, temos q l = µ k+1 µ k 1, (2.35) l onde l é a distância entre os pontos de controlo dos painéis k + 1 e k 1. Neste estudo, o método de obtenção da velocidade é semelhante ao descrito em [23], onde é feita uma interpolação das intensidades dos dipolos numa curva de segunda ordem e a obtenção do declive no ponto desejado. Tal é possível com a função polyfit do MAT LAB que encontra os três coeficientes da função polinomial de segunda ordem. Se os dados de entrada para a função forem cuidadosamente inseridos de modo a que o referencial seja considerado no painel central (k), o declive neste painel (velocidade do escoamento no referencial local ao painel k) é igual ao segundo coeficiente obtido da função polyfit. Isto é feito na direcção l e m caso o painel k tenha um vizinho imediatamente à frente e atrás nestas duas direcções, como mostra a Fig

33 Nas situações em que seja necessário obter a velocidade do escoamento nas extremidades da asa ou no bordo de fuga, o facto do painel K só ter um painel vizinho numa das direcções implica que se tenha que arranjar um terceiro painel imediatamente depois desse vizinho, conforme descrito em [8] e ilustrado na Fig A velocidade total no painel k é então a soma da velocidade local, obtida pela diferenciação das intensidades dos dipolos, com a velocidade do escoamento de aproximação, Q k = (Q l, Q m, Q n ) k + (q l, q m, q n ) k. (2.36) Repare-se que a componente normal da velocidade ao painel Q n + q n é igual a zero. Depois de obtidas as velocidades, e como se trata de um escoamento invíscido, a passagem para coeficiente de pressão é imediata, Cp k = 1 Q2 k Q 2 (2.37) onde Q 2 k = ( ) Q 2 k l + Q 2 k m + Q 2 k n e Q 2 = ( ) Q 2 l + Q 2 m + Q 2 n. A contribuição de cada painel para a força aerodinâmica é dada por, ( ) 1 F k = Cp k 2 ρq2 S k n k. (2.38) onde ρ corresponde à densidade do fluido e S k a area do painel k. A força resultante do escoamento invíscido em torno do corpo é alcançada somando os F k para todos os painéis k (k = 1 N). Esta força resultante pode ser decomposta na direcção perpendicular ao escoamento de aproximação dando origem a um termo conhecido como sustentação, L. Na direcção do escoamento, também há uma componente da força resultante conhecida por resistência induzida, D ind. Esta resistência, que em 2D é igual a zero [24, 18, 5], está presente pelo facto de se tratar de um corpo tridimensional. Os vortices libertados pelas extremidades do sistema sustentador induzem velocidades descendentes (w) no escoamento de aproximação (Q ), e portanto, cada secção da asa fica a trabalhar num escoamento com uma velocidade efectiva igual à soma vectorial de Q com w, resultando numa alteração do ângulo de ataque de uma quantidade, ( ) w α i = arctan Q (2.39) designada por ângulo de ataque induzido [induced angle of attack]. Cada secção, com ângulo de ataque geométrico α relativamente ao escoamento de aproximação Q fica, na realidade, a operar a um ângulo de ataque inferior. O ângulo de ataque efectivo a que determinada secção transversal opera é definido como, α ef = α α i (2.40) e encontra-se representado na Fig É de notar que o ângulo de ataque induzido α i é tanto maior 18

34 Figura 2.10: Esquema do aparecimento da resistência induzida para uma secção transversal de uma asa tri-dimensional. [25] quanto mais próximo estiver das extremidades do corpo sustentador. Neste momento, considerando escoamento invíscido, os coeficientes de sustentação e de resistência podem ser obtidos por: C L = L (0.5ρQ 2 )S, (2.41) C D = D ind (0.5ρQ 2 )S (2.42) onde S é igual a uma área de referência, normalmente utiliza-se a área da asa com vista de topo. 19

35 Capítulo 3 Efeito Solo Um corpo sustentador a operar junto ao solo apresenta uma alteração nas características aerodinâmicas quando comparado com uma situação em que o solo não esteja presente. Na aproximação do corpo ao solo, as características aerodinâmicas são alteradas devido a dois fenómenos: o efeito solo e o efeito Venturi. Enquanto que no primeiro há um aumento da sustentação e diminuição da resistência, no segundo a sustentação diminui e a resistência aumenta significativamente [26, 27]. No efeito solo o aumento da sustentação e diminuição da resistência está relacionado com a alteração da distância horizontal entre os vortices libertados pelas extremidades da asa, o que que leva a uma diminuição da sua influência no escoamento de aproximação [27]. Traduzindo-se numa menor gama de ângulos induzidos nas secções transversais ao longo da envergadura da asa. Já no efeito Venturi, a proximidade do intradorso da asa com o solo é semelhante a uma passagem convergente-divergente de uma tubeira, o que conduz a que as velocidades na zona convergente sejam bastante elevadas, provocando uma força descendente superior à que se verifica quando o solo não está presente. Este efeito é bastante explorado em desportos motorizados como por exemplo na Formula 1 [26]. Uma vez que no presente trabalho a construção da ferramenta computacional é feita com a utilização do método dos painéis, a simulação do efeito de uma superfície sólida junto ao corpo passa pela utilização do método das imagens. É através deste método que, em fluido perfeito, se modela qualquer escoamento que se processe na presença de uma fronteira sólida, em que o escoamento de um dos lados da fronteira pode ser sempre interpretado como a imagem, nessa fronteira, do escoamento real ocorrendo do outro lado [18]. Com auxílio da Fig. 3.1 é possível concluir que os vórtices libertados pelas extremidades da imagem vão induzir ao escoamento de aproximação uma velocidade ascendente contrariando a velocidade descendente induzida pelos vórtices da asa, resultando num ângulo induzido inferior comparativamente a um caso em que o solo não esteja presente. 20

36 Figura 3.1: Esquema da velocidade induzida pelos vórtices das extremidades da imagem da asa 3.1 Aplicação do método das imagens Esta secção será dedicada à implementação do método das imagens no código do método dos painéis 3D. Através do método das imagens procedeu-se à simulação de um escoamento potencial em torno de um corpo a operar junto a uma superfície sólida sendo que, para a sua implementação, foi necessário começar por construir a imagem do respectivo corpo. A imagem é de construção simples na medida em que a diferença para corpo verifica-se apenas no sinal da componente perpendicular ao solo. O método dos painéis 3D descrito no capítulo anterior foi, nesta fase, aplicado ao corpo e imagem inseridos no mesmo escoamento e, portanto, a interacção entre estes teve que ser contabilizada. Na Fig. 3.2 apresenta-se uma asa com a sua imagem para a simulação de uma superficie na proximidade de uma das extremidades, onde também foi incluída a sequência, adoptada neste trabalho, de aplicação da condição de fronteira (Eq. 2.20) para cada ponto de controlo ao longo de todo o corpo e imagem, resultando na Eq Com a presença da imagem, as matrizes dos coeficientes de influência a ij e b ij passam a ter uma dimensão de 2N 2N, já que cada ponto de controlo vai ser induzido, em termos de potencial de velocidade, por todos os painéis do corpo e imagem. Porém, repare-se que, em qualquer ponto de controlo na superfície do corpo, o potencial de velocidade induzido por todos os painéis da imagem é o mesmo que numa situação inversa, ou seja, a imagem deste ponto de controlo induzido por todos os painéis do corpo. Por exemplo, ainda na Fig. 3.2, o potencial de velocidade induzido no painel número 2 é igual ao potencial induzido no painel número N + 2. Tendo em conta este factor, as construções das matrizes dos coeficientes de influência a ij e b ij podem ser executadas de forma relativamente simples e sem apresentarem um custo computacional acrescido, quando comparado com uma situação em que o solo não esteja presente, inerente à aplicação das 2N equações que satisfaçam a condição de fronteira ao longo da superfície do corpo e imagem. A matriz dos coeficientes de influência a ij, que contém a influência de todos os painéis a comportaremse como dipolos em todos os pontos de controlo, é apresentada da seguinte forma e com a respectiva simplificação, a ij = a asa asa a asa imagem a imagem asa a imagem imagem = a asa asa a asa imagem a asa imagem a asa asa (3.1) 21

37 Figura 3.2: Asa e imagem, com a representação da sequência da aplicação da condição de fronteira onde a asa asa e a imagem asa são as matrizes dos coeficientes de influência de todos os painéis da asa em todos os pontos de controlo da asa e imagem, respectivamente. Por sua vez, a asa imagem e a imagem imagem são as matrizes dos coeficientes de influência de todos os painéis da imagem em todos os pontos de controlo da asa e imagem, respectivamente. Cada uma destas matrizes tem uma dimensão N N. A construção da matriz dos coeficientes de influência b ij, em que neste caso os painéis comportamse como fontes, foi feita de forma análoga. Na capítulo de Validação e Discussão dos Resultados, e com objectivo de demonstrar os efeitos nas características aerodinâmicas de uma asa com a presença de uma superfície plana, serão comparados resultados obtidos pelo programa comercial STAR-CCM+ com os calculados pelo método dos painéis 3D. 3.2 Camada Limite Atmosférica Uma vez que o objectivo do presente trabalho passa pela previsão das características aerodinâmicas de uma vela rígida de um catamaran, seria interessante que a simulação fosse o mais próximo de uma situação real. Assim como o efeito solo foi introduzido para simular a superfície da água junto a uma 22

38 Descrição da superfície z 0 [mm] Mar calmo 0.20 Mar agitado 0.50 Tabela 3.1: Rugosidade da superfície das extremidades da vela, seria interessante simular também o efeito da camada limite atmosférica. Ou por outras palavras, a variação da velocidade do escoamento de aproximação. Uma forma de aproximar o perfil de velocidades da camada limite atmosférica passa pela utilização de uma função logarítmica [28]: u(z) = u(z r ) ln( z z 0 ) ln( zr z 0 ), (3.2) onde z r é uma altura de referência, u(z r ) velocidade de referência, z 0 a rugosidade da superfície e z a altura acima da linha média da superfície da água. A rugosidade da superfície z 0 varia com as condições do mar, e os valores típicos estão na Tab A altura de referência z r para uma velocidade de referência u(z r ) é tipicamente 10 metros [28]. A introdução do efeito da camada limite atmosférica no cálculo das características aerodinâmicas pelo método dos painéis 3D, é feita quando aplicada a Eq na obtenção das intensidades das fontes, e na Eq no cálculo da velocidade do escoamento num determinado painel. Para cada painel k, é calculada a altura z a que se encontra do solo e a velocidade u(z) correspondente a essa altura na camada limite atmosférica, Eq. 3.2, com a velocidade de referência u(z r ) igual à velocidade do escoamento de aproximação Q. Portanto, para ter em conta os efeitos da camada limite atmosférica a velocidade do escoamento de aproximação Q, utilizada nas equações 2.16 e 2.36, é substituída por u(z) onde varia de painel para painel consoante a sua altura ao solo. Os painéis mais próximos do solo estarão sujeitos a uma velocidade inferior à que se faz sentir a alturas superiores. Com efeito, as características aerodinâmicas da asa no interior da camada limite atmosférica são alteradas uma vez que a solução da Eq. 2.21, agora, tem em conta a variação da velocidade do escoamento de aproximação. Na Fig. 3.3 está representado esquematicamente o que foi descrito anteriormente. 23

39 Figura 3.3: Esquema de uma superfície sustentadora a operar próxima do solo com uma camada limite atmosférica 24

40 Capítulo 4 Acoplamento dos Efeitos Viscosos Perante um caso de escoamento de fluido real em torno de um corpo sólido, assiste-se à presença de duas regiões onde o fluido assume características diferentes. A primeira, formada em contacto com a superfície onde os gradientes de velocidade são bastante elevados e os efeitos viscosos não podem ser desprezados. Por outro lado, na segunda, os gradientes de velocidades são pequenos o suficiente para que os efeitos viscosos sejam desprezados aproximando-se portanto a um escoamento de fluido ideal. Até à presente secção assumiu-se que a primeira região era de pequena espessura podendo então ser desprezada. Na Fig. 4.1 estão representadas estas duas regiões. A primeira região, onde os efeitos viscosos não podem ser desprezados, é conhecida como camada limite. No seu interior, o perfil de velocidade varia de zero na superficie, devido à condição de não escorregamento, até a uma velocidade próxima da velocidade exterior (Fig. 4.2 a)). Esta variação da velocidade está relacionada com as tensões de corte que se fazem sentir entre os elementos de fluido. A espessura da camada limite δ é definida pela distância desde a superfície do corpo até a uma posição onde a velocidade seja igual a 99% da velocidade exterior. Considerando a Fig. 4.2, na qual está representada uma distribuição de velocidade, na proximidade de uma superfície, para os escoamentos real e invíscido, é possível retirar, sobretudo, duas conclusões. Por um lado, no escoamento real, a velocidade varia continuamente de 0 U(y = 0) = 0 até uma velocidade próxima da velocidade exterior U(y = δ) U e, enquanto que no invíscido a velocidade mantém-se constante. Por outro lado, ao considerar-se o fluido real, verifica-se um deficit de caudal associado à presença da camada limite. Sendo U dy o caudal volumétrico através de uma secção Figura 4.1: Decomposição do escoamento em duas regiões: Invíscida e Viscosa 25

41 Figura 4.2: Perfil de velocidade para um escoamento a) real e b) invíscido. Figura 4.3: Espessura de deslocamento dy 1, a diferença de caudais volumétricos escoados numa secção δ 1 para um escoamento de fluido perfeito e real é dada por : δ 0 U edy δ 0 Udy. Este deficit de caudal deve-se ao facto de se estar a considerar fluido real. Em fluido perfeito, é possivel simular o efeito da camada limite ao garantir-se que o caudal escoado é o mesmo que num caso de fluido real. Para o efeito, é necessário deslocar a superficie do corpo numa distância δ, como mostra a Fig. 4.3, de modo a que o caudal escoado a uma velocidade U e em condição de fluido perfeito seja o mesmo que num caso de escoamento real. Esta distância, designada por espessura de deslocamenteo [displacement thickness], é escrita do seguinte modo: δ U e = ˆ δ 0 (U e U) dy δ = ˆ δ 0 (1 UUe ) dy (4.1) Este parâmetro também pode ser interpretado como o deslocamento que as linhas de corrente sofrem de forma a que a conservação de massa seja satisfeita ao longo de um escoamento de fluido real[25]. De modo semelhante ao que foi efectuado anteriormente para o deficit de caudal volumétrico, também é possível para a quantidade de movimento. Portanto, o parâmetro ligado ao deficit de quantidade de movimento, associado ao facto de se considerar fluido real, é chamado de espessura de quantidade de movimento [momentum thickness] e é igual a : 26

42 ˆ δ θ = 0 U U e (1 UUe ) dy (4.2) 4.1 Introdução Considera-se que os efeitos viscosos manifestam-se só no interior da camada limite. Esta camada desenvolve-se na superficie do corpo desde o ponto de estagnação prolongando-se para jusante sob a forma de esteira. Em todo o restante campo o escoamento comporta-se como fluido perfeito e a solução pode ser obtida pelo método dos painéis. As equações da camada limite 2D são dadas por, U U x + V U x U x + V = 1 dp e ρ dx + ν 2 U y 2 y = 0 (4.3) sistema de duas equações a duas incógnias, onde U e V são as componentes horizontal e vertical, respectivamente, da velocidade do escoamento. Se se pretender obter informação apenas quanto aos efeitos globais, ao longo da superfície do corpo, produzidos por um escoamento de fluido real, é mais económica a utilização da equação integral de von-kárman, dθ dx + θ H + 2 U e du e dx = C f 2 (4.4) onde θ corresponde à espessura de quantidade de movimento, H = δ /θ o factor de forma [form factor], U e velocidade exterior e C f = τw /0.5ρU 2 e o coeficiente de tensão de corte superficial [skin friction coefficient]. O desenvolvimento da Eq. 4.3 até à Eq. 4.4 pode ser encontrado, por exemplo, em [18, 25]. De realçar que a Eq. 4.4 é o ponto de partida para os métodos simples como de Thwaites e Heads para escoamentos laminares e turbulentos, respectivamente. Estes métodos hoje em dia ainda são muito utilizados, já que apenas precisam das distribuições de velocidade ao longo da superficie do corpo, enquanto que a Eq. 4.3 para além da distribuição anterior ainda precisa da distribuição de velocidade na direcção prependicular à superfície. A resolução da Eq. 4.4 pressupõe que se conheça a distribuição de velocidades exteriores U e pelo que, antes de mais, é necessário que se faça uma análise invíscida para a obtenção desta distribuição. O cálculo da distribuição de velocidades irá, posteriormente, permitir avaliar o comportamento da camada limite ao longo da superfície do corpo. Uma vez que a camada limite interage com o escoamento exterior - atendendo a que, devido à condição de não escorregamento, as linhas de corrente são deslocadas em uma distancia δ - a distribuição de velocidades do escoamento invíscido sofrerá uma alteração relativamente à primeira solução obtida. Deste modo, uma vez conhecida a distribuição de δ ao longo da superfície do corpo é necessário fazer um novo cálculo de fluido perfeito mas, agora, em torno de um corpo fictício com a forma do corpo original mais a espessura do deslocamento (corpo sólido + δ ). Depois de calculada esta nova distribuição de velocidades U e (x) na superfície do corpo fictício procede-se ao cálculo de um novo comportamento da camada limite de onde se obtém um novo 27

43 Figura 4.4: Alteração nas linhas de corrente, com o objectivo de simular os efeitos viscosos, através de uma velocidade de transpiração. [29] δ [18]. Os passos anteriores são repetidos e estamos perante um processo iterativo. Repare-se que à medida que a espessura de deslocamento aumenta o corpo fictício fica a operar a um menor ângulo de ataque efectivo do que o corpo sólido original [17, 18]. Não é computacionalmente eficiente alterar a geometria do corpo sempre que se pretenda fazer uma nova análise invíscida depois de calculada a espessura de deslocamento. É mais económico utilizar, a cada iteração, a mesma geometria do corpo inicial e simular o efeito do deslocamento das linhas de corrente com uma velocidade de transpiração [transpiration velocity]. Esta velocidade pode ser simulada alterando a condição de fronteira na superfície do corpo, passando de superfície impermeável (V w = 0) a uma superfície com sopro (V w > 0), como ilustrado para um perfil 2D na Fig. 4.4, e com uma intensidade [18, 5]: V w = d dx (U eδ ) (4.5) O processo aqui descrito revela, num modo geral, o modo como se processa o acoplamento dos efeitos viscosos a um escoamento invíscido. Porém, a solução nem sempre converge, como sucede nos casos de escoamentos que apresentam separação da camada limite. Com efeito, e para a obtenção da solução desejada, foi necessário desenvolver algumas técnicas de acoplamento. De seguida são apresentados quatro esquemas básicos de interacção entre as regiões viscosa e invíscida. 4.2 Esquemas de acoplamento As próximas secções serão dedicadas à apresentação de quatro esquemas - os mais básicos -de interacção viscosa-invíscida, através dos quais é possível combinar, de forma iterativa, as soluções das equações, obtidas separadamente, que caracterizam o escoamento no interior e exterior à camada limite de forma a proporcionar uma solução global do escoamento. Matemáticamente a interacção entre a região invíscida e viscosa pode ser escrita da seguinte forma: 28

44 Figura 4.5: Método directo.[32] u e = E [δ ] u e = B [δ ] (4.6) representando um sistema não linear [30]. Na Eq. 4.6 u e é o vector velocidade no topo da camada limite, δ espessura de deslocamento, E e B o conjunto das equações para o escoamento externo e interno à camada limite, respectivamente Método Directo O esquema de interacção mais simples e intuitivo é o chamado método directo. A solução do escoamento invíscido é dada pela velocidade ao longo da superficie da asa. Esta velocidade é considerada a velocidade exterior à camada limite u e e portando, as equações que definem o escoamento interior à camada limite usam essa velocidade para o cálculo da espessura de deslocamento δ, entre outros parâmetros da camada limite. Posteriormente, esta espessura de deslocamento é utilizada para a construção de uma nova geometria (corpo + δ ), ou, mais facilmente, simulada com uma velocidade de transpiração. O método continua por iteração entre o código invíscido e o da camada limite [29, 31]. Este é o método mais simples porque a única alteração a ser feita é, a cada iteração, a alteração da geometria do corpo ou a implementação da velocidade de transpiração no método invíscido (neste caso, método dos painéis). No entanto, o método directo apresenta grandes limitações. Para escoamentos com uma grande interacção entre a parte inviscida e viscosa, como por exemplo em caso de separação, os resultados não convergem [14]. A expressão que descreve este método é a seguinte: u (n) e = E [ δ (n 1)] [ ] (4.7) δ (n) = B 1 u (n) onde n é o número da iteração. A Fig. 4.5 mostra graficamente o que está representado na Eq e Método Inverso Com o objectivo de contornar o problema de convergência no caso de separação da camada limite no esquema anterior, as equações que definem o escoamento exterior e interior à camada limite serão, agora, resolvidas de forma inversa [30, 32]. No entanto, com este esquema ainda não é possivel a resolução de escoamentos com separações de grandes dimensões e a convergência para a solução desejada pode ser lenta [14, 32]. A expressão matemática para o método inverso é a seguinte: 29

45 Figura 4.6: Método inverso.[32] [ δ (n) = E 1 u (n) u (n 1) e ] e = B [ δ (n)] (4.8) ou de forma gráfica na Fig O modo de utilização deste esquema e a forma de cálculo dos parâmetros da camada limite de forma inversa podem ser consultados, com maior detalhe, em [25, 33] Método Semi-Inverso Neste método, a solução do escoamento exterior é calculada de forma semelhante à apresentada no método directo, enquanto que a do escoamento interior continua a ser calculada como apresentada no método inverso, evitando a não convergência no caso de haver separação da camada limite. A expressão que descreve o presente método é a seguinte: u (n) e u (n) v = E [ δ (n 1)] = B [ δ (n 1)] δ (n) = δ (n 1) + ω ( u (n) v ) u (n) e (4.9) onde u e é a velocidade obtida da formulação do escoamento exterior, u v a velocidade na extremidade da camada limite obtida pelas equações da região viscosa e ω é o parâmetro de relaxação. A solução converge quando u e = u v. Este método é utilizado por Cabeci e Besnard em [13] para o cálculo do escoamento em torno de uma asa com a presença de um flap. Os resultados são bastante satisfatórios para casos bidimensionais, permitindo prever com precisão o ângulo para o coeficiente de sustentação máximo. Já para casos tridimensionais, os resultados são satisfatórios mas a previsão do ângulo para o coeficiente de sustentação máximo não é tão precisa como no caso bidimensional Método Simultâneo Este método baseia-se no facto de não considerar a hierarquia entre as soluções do escoamento exterior e interior à camada limite. As soluções desses dois conjuntos de equações, que caracterizam a zona viscosa e invíscida do escoamento, são obtidas em simultâneo (Fig. 4.7) pelo método iterativo de Newton. 30

46 Figura 4.7: Método simultâneo.[32] De entre os esquemas já apresentados, este é o mais robusto e o que apresenta melhores resultados em termos de convergência. Porém, apresenta também um maior custo computacional devido à inversão da matriz Jacobiana, necessária para a linearização do conjunto de equações não lineares [29, 30, 12]. Este é o esquema utilizado no software XFOIL [10] para o acoplamento dos efeitos viscosos à solução invíscida. 4.3 Interacção com o XFOIL O XFOIL é um programa que está disponível de forma gratuita em [34], desenvolvido por Mark Drela e que permite calcular as caracteristicas aerodinâmicas de um perfil bidimensional tanto para um escoamento invíscido como viscoso. Numa análise invíscida, o cálculo é realizado com recurso ao método dos painéis. Para tal, a superficie do perfil é discretizada em painéis planos com singularidades do tipo fonte e vórtice. A singularidade do tipo fonte tem uma intensidade constante por painel enquanto que a do tipo dipolo varia de forma linear. No caso de uma análise viscosa, Drela basiou-se no seu trabalho em [35] para o acoplamento das equações integrais da camada limite bidimensional com a formulação invíscida do método dos painéis. Este conjunto de equações que definem as duas regiões, viscosa e inviscida, são resolvidas em simultâneo pelo método de Newton. No final do cálculo, para além dos esforços a que o perfil fica sujeito, há um conjunto de parametros ligados à camada limite que ficam conhecidos (i.g. espessura da camada limite δ, espessura de deslocamento δ e factor de forma H). Uma descrição mais detalhada do modo de funcionamento do XFOIL pode ser encontrada em [10, 36]. O XFOIL é utilizado neste trabalho para o cálculo do parâmetro da camada limite δ, importante para o acoplamento dos efeitos viscosos à solução invíscida através da Eq Uma vez que o XFOIL é uma ferramenta de análise de perfis bidimensionais, e estando perante um escoamento tridimensional, assumiu-se que a camada limite desenvolvida na superficie do corpo pode ser aproximada por várias camadas limites bidimensionais ao longo da envergadura da asa, como nos trabalhos [37, 38, 17, 9, 8]. A asa é dividida em secções bidimensionais, como mostra a Fig. 4.8, as quais, posteriormente, serão analisadas de forma independente pelo XFOIL. Com recurso a uma função construida por Gus Brow [39], torna-se possível e simples a interacção entre MATLAB e XFOIL. 31

47 Figura 4.8: As duas primeiras secções para a análise viscosa Asa No caso em que só esteja presente uma asa no seio do escoamento, os dados necessários para uma análise viscosa pelo XFOIL, para cada secção, são os seguintes: Perfil Número de Reynolds Ângulo de ataque efectivo (α ef ) O perfil (representado a vermelho na Fig. 4.8) é construido com o conjunto de coordenadas dos pontos de controlo da respectiva secção. O número de Reynolds é calculado em relação à corda do perfil. E por fim, o ângulo de ataque efectivo é obtido através da soma do vector da velocidade do escoamento de aproximação com o vector da velocidade induzida, na respectiva secção, pelos vórtices que modelam a esteira. Uma vez que a análise invíscida já foi efectuada, as intensidades µ dos painéis da esteira são conhecidas e portanto a velocidade induzida por estes pode ser obtida através da derivada nas ( ) três direcções da Eq (Velocidade induzida = Φd x, Φ d y, Φ d z ). O resultado desta derivada, que corresponde à velocidade induzida por um painel a comportar-se como um dipolo, pode ser consultada em [5]. Depois de analisada a uma determinada secção, um dos outputs ligados à caracterização da camada limite devolvido pelo XFOIL - o parametro δ -, é utilizado para o cálculo da velocidade de transpiração pela Eq Na presença de malhas pouco refinadas na direcção da corda, os pontos de controlo para a construção do perfil podem ser de tal forma escassos que não permitam ao XFOIL a convergência dos seus resultados. Neste caso, para a secção em questão, os efeitos viscosos não são acoplados à solução invíscida. Outro parâmetro da camada limite que é obtido pela análise a cada secção da asa é o coeficiente de resistência devido à tensão de corte na superfície do corpo C Dτw. Este parâmetro é utilizado para o 32

48 Figura 4.9: Secção do Flap para análise no XFOIL cálculo da resistência total Asa com Flap Numa análise de um escoamento em torno de dois elementos, conjunto asa e flap, a metodologia utilizada para a análise da secção é ligeiramente alterada. A análise é realizada separadamente para cada elemento. Na análise da asa, o método é identico ao explicado na secção anterior. No que diz respeito à analise no flap, e tendo em conta a dificuldade na previsão do ângulo de ataque efectivo a que determinada secção deste elemento fica sujeito, a função de Gus Brow foi alterada de modo a que o input para o XFOIL seja o seguinte: Perfil Número de Reynolds Coeficiente de sustentação da secção (C l ) Neste caso, o XFOIL devolve os parâmetros de uma camada limite desenvolvida no perfil a um determinado número de Reynolds com um ângulo de ataque de modo a que produza um coeficiente de sustentação C l (Fig. 4.9). Ou seja, o XFOIL procura um ângulo de ataque que satisfaça o C l de entrada. Repare-se que tanto o ângulo efectivo α ef como o coeficiente de sustentação da secção do flap C l são obtidos a partir da solução do escoamento invíscido pelo que todo o processo iterativo, para o cálculo dos parâmetros da camada limite, fica a cargo do XFOIL. No próximo capítulo procurar-se-á explicar a forma através da qual a espessuras de deslocamento, obtidas para cada secção, são acopladas ao modelo invíscido através de uma velocidade de transpiração na superfície do corpo. 33

49 4.4 Procedimento Numérico Uma forma precisa para a representação do escoamento total, que tem em conta a influência da camada limite e a solução invíscida, é conseguida com um termo adicional nas intensidades das fontes [12, 37, 38]. Assim, a formulação apresentada no capítulo Método dos Painéis 3D é alterada para contemplar a influência deste termo. A Eq. 2.7 vem agora com σ = σ inv + σ vis, 1 4π ˆ corpo+esteira µ n ( ) 1 ds 1 r 4π ˆ corpo σ inv ( 1 r ) ds 1 4π ˆ corpo+esteira σ vis ( 1 r ) ds = 0 (4.10) onde σ vis é o novo termo da fonte para adicionar a espessura de deslocamento. Repare-se que este termo é adicionado na superfície do corpo e na esteira. Aplicou-se condição de fronteira (Eq. 4.10) a todos os pontos de controlo da superfície do corpo, como feito na secção Procedimento Numérico do capítulo Método dos Painéis 3D, resultando na seguinte equação, aµ = bσ inv b vis σ vis (4.11) onde a e b são as matrizes dos coeficientes de influência para os painéis a funcionarem como dipolos e fontes, respectivamente; b vis é a matriz dos coeficientes de influência dos painéis do corpo e da esteira nos pontos de controlo do corpo. Assim, a matriz b vis e o vector σ vis apresentam uma dimensão (N (N + N w )) e (N + N w ) 1, respectivamente. A solução do escoamento total pode ser considerada como um resultado da soma entre as soluções invíscida e viscosa, com, µ = µ inv + µ vis. (4.12) e, µ inv = a 1 ( bσ inv ) (4.13) onde o termo µ inv é obtido pela solução da Eq µ vis = a 1 ( b vis σ vis ) (4.14) Por exemplo, a expressão geral para a intensidade do dipolo no ponto de controlo do painel i é a seguinte: µ i = N j=1 a 1 ij ( N k=1 b jk σ inv k ) N+N w + l=1 N k=1 ( a 1 ik ( )) b vis kl σ vis l (4.15) 34

50 Figura 4.10: Deslocamento da linha de corrente através de uma velocidade normal à superficie onde o primeiro termo do segundo membro corresponde à solução invíscida, µ invi = N j=1 a 1 ij ( N k=1 b jk σ inv k ) (4.16) e o segundo termo corresponde à correcção viscosa, µ visi = N+N w l=1 N k=1 A Eq pode ser escrita da seguinte forma: ( a 1 ik l=1 ( )) b vis kl σ vis l. (4.17) N+N w µ i = µ invi + H il σl vis (4.18) A solução geral vem unicamente em função do novo termo adicionado às fontes σ vis e pode ser escrita da seguinte foma: µ = µ inv + Hσ vis (4.19) com H = a 1 ( b vis ). A única incógnita na Eq é o vector coluna σ vis. Este vector contém as intensidades de cada painel necessárias para o deslocamento das linhas de corrente de modo a simular a espessura de deslocamento (Fig. 4.10). Uma vez que, neste momento, já são conhecidas as evoluções das espessuras de deslocamento para cada secção da asa, a intensidade σ vis k k é determinada pela Eq para o painel Como já foi referido anteriormente, o XFOIL pode não conseguir devolver uma solução. Neste caso, os painéis que pertencem a esta secção vêm com σ vis = 0. Isto significa que, para a secção em que o XFOIL não forneça uma solução, aquela comporta-se como imersa num escoamento invíscido. 4.5 Cálculo das Forças Aerodinâmicas Depois de se adicionar o termo que simula o efeito da espessura de deslocamento σ visl, a solução final µ é alterada em relação à solução µ inv e portanto, a força resultante do corpo sustentador (Secção 35

51 2.5 do Capítulo 2), para além de contabilizar a resistência induzida, agora aparece um novo termo denominado por resistência de pressão. Esta resistência de pressão resulta da alteração do campo de pressões associada à alteração da forma do corpo real ao introduzir-se o efeito da espessura de deslocamento no corpo. A soma destes dois termos com a resistência de atrito, devido à tensão de corte τ w, resulta na componente total de força na direcção do escoamento de aproximação, D T = (D ind + D δ ) + D τw (4.20) onde D δ é a resistência devido à introdução da espessura de deslocamento δ e D τw a resistência devido à tensão de corte na superficie do corpo. 36

52 Capítulo 5 Validação e Discussão dos Resultados O objectivo desta secção passa pela validação do código desenvolvido. Para tal, primeiro, é apresentado um estudo de convergência onde pode-se perceber como é que a solução varia em função do número de painéis e, em segundo, os resultados obtidos pelo método dos painéis 3D são comparados com resultados experimentais para três asas de geometrias diferentes. A primeira comparação é feita para numa asa rectangular de geometria simples. De seguida, é realizada a comparação com uma asa onde as cordas nas extremidades são diferentes da corda na raiz e, com a introdução de um pequeno ângulo de diedro. Por último, a comparação de um conjunto asa e flap com afilamento e ângulo de flecha. 5.1 Estudo de Convergência Esta secção é dedicada ao estudo de convergência dos resultados obtidos pelo método dos painéis 3D. Para o efeito, analisou-se o modo como os coeficientes de pressão ao longo da corda e os coeficientes de sustentação e resistência variam em função do número de painéis. Num primeiro momento, procedeu-se à construção de quatro malhas com diferentes números de painéis para a modelação de uma asa rectangular com 1m de corda, 6m de envergadura e um perfil NACA0012. Enquanto que na direcção da envergadura o espaçamento é considerado constante, na direção da corda o mesmo varia segundo uma função conseno, de modo a permitir uma maior densidade de painéis na zona do bordo de ataque e fuga. A função que define a posição x dos pontos das extremidades dos painéis que modelam a asa é a seguinte : x i = c 2 (1 + cos β i), (5.1) π β i = i, i = 0, 1, 2...n div (5.2) n div 37

53 Figura 5.1: Quatro malhas para o estudo da convergência: a) M1=10x5, b) M2=20x11, c) M3=40x21, d) M4=80x41 onde c corresponde à corda do perfil e n div o número de divisões na direcção da corda, ou por outras palavras, o número de painéis. Na Fig. 5.1 a) está representada uma malha com 50 painéis com 10 na direcção da corda (5 extradorso + 5 intradorso) e 5 na envergadura. Fig. 5.1 b) 220 painéis, 20 na direcção da corda e 11 na envergadura. Fig. 5.1 c) 840 painéis, 40 na direcção da corda e 21 na envergadura. Fig. 5.1 d) 3280 painéis, 80 na direcção da corda e 41 na envergadura. A partir deste momento estas quatro malhas serão designadas por M1, M2, M3 e M4, respectivamente. As simulações das asas da Fig.5.1, imersas no seio de um escoamento invíscio, foram realizadas com recurso ao método dos painéis 3D desenvolvido neste trabalho para diferentes ângulos de ataque. Na Fig. 5.2 estão representados os coeficientes de pressão, a meia envergadura, em função da percentagem de corda do perfil a diferentes ângulos de ataque para as quatro malhas M1, M2, M3 e M4. As soluções obtidas com a malha menos refinada, M1, revelam-se adequadas para todos os ângulos de ataque para posições próximas do bordo de fuga. No que diz respeito aos coeficientes de pressão numa posição próxima do bordo de ataque estes demonstram-se imprecisos no que concerne à previsão do valor do pico de sucção e a sua posição. Para as malhas M2 e M3, os valores dos coeficientes de pressão são bastante similares aos obtidos pela malha M4, e apresentam uma boa previsão do valor do pico de sucção. No que diz respeito aos coeficientes de sustentação e resistência, os resultados para as quatro malhas são apresentados na Tab Os resultados obtidos com a malha M4 servem de referência para a comparação dos valores calculados pelas outras malhas. Na Fig. 5.3 a) e b) são apresentados os 38

54 Figura 5.2: Coeficientes de pressão Cp em função da percentagem de corda %c: a) α = 0, b) α = 5, c) α = 10, d) α = 15 α CL CD M1 M2 M3 M4 M1 M2 M3 M Tabela 5.1: Coeficiente de sustentação e resistência para as quatro malhas comportamentos dos erros relativos, para o coeficiente de sustentação e resistência respectivamente, em função do número de painéis. O erro relativo para o coeficiente de sustentação e resistência foi definido como : com i=1,2 e 3. ε CL = CL M4 CL Mi CL M4, (5.3) ε CD = CD M4 CD Mi CD M4. (5.4) Em relação aos erros relativos do coeficiente de sustentação, observa-se que para todos os ângulos de ataque há um decréscimo acentuado na passagem da malha M1 para M2. Para a malha M1, os erros relativos para os quatro ângulos de ataque apresentam-se numa gama entre aproximadamente 8% a 11%; Para a malha M2 situam-se entre 2.5% a 3% e, por fim, na malha M3, são próximos de 0.5%. Para o erro relativo do coeficiente de resistência, o comportamento é o mesmo que no coeficiente 39

55 Figura 5.3: a) erro relativo CL Vs Nº Painéis b) erro relativo CD Vs Nº Painéis c) Tempo Vs Nº Painéis de sustentação. Isto significa que há um descréscimo acentuado do erro relativo da malha M1 para a M2. Os resultados para os quatro ângulos de ataque passam de uma gama entre 95% a 115% para 15% a 25%. Para a malha M3 os resultados são inferiores a 10%. Na Fig. 5.3 c) apresenta-se o tempo em segundos para a obtenção de uma solução em função do número de painéis. O tempo computacional aumenta com a melhoria da precisão, que é conseguida com o aumento do número de painéis na malha. As malhas utilizadas nas próximas secções foram escolhidas de modo a que o número de elementos fique situado entre o número de elementos da malha M3 e M4, onde o coeficiente de sustentação e resistência apresentam valores bastante próximos dos resultados para uma malha bastante refinada. 5.2 Efeito Solo De modo a confirmar se os fenómenos apresentados no capítulo do Efeito solo foram simulados de forma correcta, os resultados obtidos pelo método dos painéis foram comparados com resultados do programa comercial STAR-CCM+. Os dados e os resultados do problema podem ser consultados em [26]. A simulação foi feita para uma asa rectangular com um perfil simétrico simples NACA0015, com aspect ratio de 6.6 e um número de Reynolds Para a simulação onde se utilizou o método dos painéis 3D, vários ângulos de ataque foram analisados para diferentes distâncias h do bordo de fuga ao solo, como é mostrado na Fig. 5.4 e com os respectivos resultados nas Figuras 5.5 e 5.6. Na primeira figura, está representada o esquema da asa com a sua imagem. Na segunda, Fig. 5.5, apresenta-se uma sobreposição dos resultados obtidos pelo método dos painéis e os do STAR-CCM+ onde o coeficiente de sustentação varia em função de h/c, 40

56 Figura 5.4: Representação da asa e imagem para simular o efeito solo pelo método dos painéis 3D com c igual à corda da asa. Na última figura (Fig. 5.6) o coeficiente de sustentação surge em função do ângulo de ataque α. Nas figuras 5.5 e 5.6 é possível observar que os resultados obtidos pelo método dos painéis seguem a mesma tendência que os obtidos pelo software STAR-CCM+. A maior diferença, no que diz respeito aos resultados do coeficiente de sustentação obtidos por ambos os metodos, ocorre quando a asa se encontra próxima do solo com um baixo ângulo de ataque. Isto deve-se ao facto da solução do método dos painéis, contrariamente à do STAR-CCM+, não contabilizar a viscosidade. Assim, as velocidades desenvolvidas entre o solo e o intradorso são bastante elevadas, originando um coeficiente de sustentação muito negativo (força descendente) como mostra a Fig. 5.5 para um ângulo de ataque igual a 0. Neste caso em específico o coeficiente de sustentação previsto pelo método dos painéis é de -3.3 enquanto que para o STAR-CCM+ é aproximadamente Na Fig. 5.7 apresentam-se as distribuições dos coeficientes de pressão a meia envergadura da asa para dois ângulos de ataque, α = 0 e α = 8, a duas distâncias do solo, h/c = 1 e h/c = 0.1. Na Fig. 5.7 a) os resultados são bastante próximos dos obtidos pelo STAR-CCM+, o que era de esperar uma vez que o efeito solo ainda não se faz sentir a um h/c = 1, e também porque para um ângulo de ataque α = 0 as espessuras de deslocamento δ ao longo da asa são pequenas fazendo com que os efeitos viscosos sejam quase inexistentes. Na Fig. 5.7 b), nota-se que a distribuição dos coeficientes de pressão no extradorso seguem os do STAR-CCM+, enquanto que no intradorso, onde ocorre o pico de sucção, os resultados não são próximos. Os coeficientes de pressão mínimos são aproximadamente -4 e -11 para o STAR-CCM+ e métodos dos painéis, respectivamente. E ocorrem na mesma zona, aproximadamente 30% da corda, o que já era espectável uma vez que é a posição da espessura máxima de um perfil NACA de 4 digitos e portanto, onde ocorre a distância minima entre o solo e a superfície da asa. Nas outras duas Figuras, 5.7 c) e 5.7 d), os resultados conseguidos pelo método dos painéis aproximam-se bem dos do STAR-CCM+. Com a aproximação ao solo observa-se um aumento da área entre as distribuições de pressões para o extradorso e intradorso. Traduzindo-se num aumento do coeficiente de sustentação. É de realçar que para esta asa com um perfil simétrico NACA0015, o efeito solo e o efeito Venturi podem ser observados dependendo do ângulo de ataque a que a asa se encontra. Para ângulos de 41

57 Figura 5.5: Comparação dos resultados obtidos pelo método dos painéis com resultados STAR-CCM+ ataque inferiores a 4 o efeito Venturi é dominante em relação ao efeito solo. Por outro lado, para ângulos superiores a 4, o coeficiente de sustentação aumenta à medida que a distância ao solo diminui, sendo o efeito solo o fenómeno dominante. Para um ângulo de ataque igual a 4 verifica-se que à medida que a asa se aproxima do solo os dois efeitos estão presentes. Até a um valor de h/c = 0.3 o coeficiente de sustentação aumenta ligeiramente, enquanto que a partir deste valor o efeito Venturi torna-se dominante e, consequentemente, o coeficiente de sustentação diminui. Na Fig. 5.6, para um h/c = 1 a variação do coeficiente de sustentação com o ângulo de ataque é de forma linear, semelhante a um caso onde o solo não está presente. Isto significa que a influência do solo na asa, para este h/c, não é significativa. No que diz respeito ao coeficiente de resistência, este diminui quando se está perante o fenómeno de efeito solo. Por outro lado, quando o efeito Venturi é o fenómeno dominante o coeficiente de resistência aumenta. Na Fig. 5.8 estão os gráficos CL Vs CD para os resultados obtidos pelo STAR- CCM+ e pelo método dos painéis. A diferença entre estes gráficos é significativa já que, pelo método dos painéis, a única resistência que é tida em conta é a induzida; no STAR-CCM+ para além da induzida é, ainda, contabilizada a resistência devida à tensão de corte que se desenvolve ao longo da superfície da asa e a resistência de pressão que está relacionada com a formação da espessura de deslocamento. Não obstante, os resultados do método dos painéis seguem a mesma tendência que os obtidos pelo STAR-CCM+. Por exemplo, para um ângulo de ataque igual a zero α = 0 e à medida que a asa se aproxima do solo, o coeficiente de resistência aumenta significativamente; para um ângulo de ataque mais elevado, onde se faça sentir o efeito solo, e.g. α = 8, o coeficiente de resistência diminui com a aproximação ao solo. 42

58 Figura 5.6: CL Vs α. a) STAR-CCM+, b) Método dos painéis 43

59 Figura 5.7: Distribuição do coeficiente de pressão a meia envergadura. a) α = 0 e h/c = 1 b) α = 0 e h/c = 0.1 c) α = 8 e h/c = 1 d)α = 8 e h/c =

60 Figura 5.8: CL Vs CD. a) STAR-CCM+, b) Método dos painéis 45

61 Figura 5.9: Asa na vertical Assim, o método das imagens, incorporado no código do método dos painéis 3D desenvolvido neste trabalho, simula com uma precisão adequada a alteração das características aerodinâmicas de uma asa devido à presença de uma superfície sólida. 5.3 Asa na Vertical De forma a perceber o modo como a água influencía as características aerodinâmicas de uma vela foi efectuada uma nova simulação mas, desta vez, com a asa colocada na vertical e com a superfície junto a uma das extremidades (Fig. 5.9). Analogamente ao que foi feito na secção anterior, executaram-se várias simulações para vários ângulos de ataque da asa e para diferentes alturas ao solo. Os resultados estão representados nos gráficos na Fig. 5.10, nos quais constam, também, os valores dos coeficientes de sustentação caso o solo não estivesse presente, dando uma boa noção do quão esta característica é alterada com a aproximação ao solo. Repare-se que apesar da diferença entre o coeficiente de sustentação com e sem presença do solo aumentar com o ângulo de ataque, em termos de ganho percentual é sempre o mesmo. Por exemplo, para um h/c = 0.1 e para um ângulo de ataque igual a 2, o ganho em termos de coeficiente de sustentação com a aproximação ao solo é de ( C L /C Lref )α=2 = / = E, para um ângulo de ataque igual a 6 e o mesmo h/c, ( C L /C Lref )α=6 = / = Onde C L ref é o coeficiente de sustentação para o caso em que o solo não está presente. Os resultados dos coeficientes de sustentação e resistência em relação às suas referencias, para os diferentes valores de h/c, estão tabelados em 5.2. Para esta asa, com a diminuição da distância ao solo, o coeficiente de sustentação pode aumentar até aproximadamente 9.5% enquanto que para o 46

62 Figura 5.10: CL Vs h/c, a) α = 2, b) α = 4, c) α = 6, d) α = 8 47

63 h/c C L /C Lref C Di /C Diref Tabela 5.2: Variação do coeficiente de sustentação e resistência para uma asa rectangular com uma superfície sólida junto a uma das extremidades coeficiente de resistência sofre um decréscimo de quase 15%. Conclui-se que mesmo com a asa na vertical a influência do solo continua a fazer-se sentir de forma significativa nos coeficientes de sustentação e resistência. 5.4 Asa com Flap Para demonstrar que o código desenvolvido é capaz simular um escoamento invíscido em torno de duas superficies sustentadoras, serão apresentados os resultados, para um conjunto asa e flap, de duas situações distintas. Na primeira, as superfícies foram colocadas a uma distância elevada entre si, enquanto que na segunda, o conjunto asa e flap operam próximos um do outro. Considerou-se duas asas rectangulares exactamente iguais com uma corda de 1m, envergadura 6m e um perfil NACA0012. Estas asas foram simuladas com duas configurações diferentes. Na primeira o flap foi colocado a uma distância de 50 cordas da asa, enquanto que na segunda, a distância foi de apenas 1 corda. Na Fig estão representados os coeficientes de pressão na asa e no flap para as duas configurações consideradas. Isto para um ângulo de ataque do escoamento de aproximação igual a 10. Como esperado, a uma distância de 50 cordas (Configuração 1 na Fig 5.11), a asa e o flap comportaramse como se estivessem a operar isoladamente no escoamento, uma vez que apresentam coeficientes de pressão idênticos. Estas superfícies foram colocadas a uma distância tão grande uma da outra que a influência dos painéis de um corpo não se faz sentir no outro. A distribuição do coeficiente de pressão para estas duas superficies é identica à distribuição apresentada no capitulo Estudo de Convergência (Fig. 5.2 c)) Na segunda configuração (Configuração 2 na Fig 5.11) o flap foi colocado a 1 corda de distância do bordo de ataque da asa, com um desvio de 0.2c na direcção vertical para que não houvesse a hipótese de intersecção com a esteira, como ilustrado na Fig No que diz respeito aos resultados, observase que a distribuição dos coeficientes de pressão na asa e flap são alterados significativamente para os dois casos considerados. Na asa, na secção a meia envergadura o pico de sucção tornou-se mais intenso passando de -4 para aproximadamente -6, enquanto que para o flap, de -4 para A distribuição do coeficiente de pressão para a asa e flap nas configurações 1 e 2 estão ilustradas 48

64 Figura 5.11: Coeficiente de pressão nas duas configurações para a) asa e b) flap Figura 5.12: Ilustração do conjunto asa e flap 49

65 Figura 5.13: Distribuição de Cp na asa e flap para a configuração 1 nas Figuras 5.13 e 5.14, respectivamente. Note-se que nestas figuras a distância do flap relativamente à asa não corresponde à real distância utilizada nas respectivas simulações, com isto se pretendendo uma melhor visualização. Fica assim demonstrado que o código desenvolvido contempla a interacção entre as duas superficies imersas num escoamento invíscido. 5.5 Comparação com Resultados Experimentais Nesta secção serão apresentadas algumas comparações de resultados experimentais com resultados obtidos pelo método dos paineis 3D com e sem acoplamento dos efeitos viscosos Asa Rectangular Procedeu-se à comparação de resultados experimentais com os numéricos para uma asa rectangular com 6 metros de envergadura, 1 metro de corda e com um perfil NACA 0012 (Fig. 5.15). A actividade experimental está descrita em [40] no qual consta a distribuição de pressões ao longo de várias estações na direcção da envergadura para uma gama de ângulos de ataque de 6 a 20 a um Reynolds igual a com base na corda da asa. O referido documento inclui, ainda, um gráfico do 50

66 Figura 5.14: Distribuição de Cp na asa e flap para a configuração 2 Figura 5.15: Perfil NACA0012 utilizado na construção da asa rectangular 51

67 Figura 5.16: Malha na asa rectangular α CL exp CL inv erro relativo [%] Tabela 5.3: Resultado do coeficiente de sustentação experimental e invíscido com o respectivo erro relativo para um Reynolds coeficiente de sustentação em função do ângulo de ataque, para vários números de Reynolds. Primeiramente compararam-se os resultados invíscidos dos coeficientes de pressões para uma secção a meio da envergadura e outra junto à extremidade, assumindo-se um ângulo de ataque igual 4.64 e outro a A malha utilizada, de onde se obteve a solução numérica pelo método dos painéis 3D, possui 60 painéis na direcção da corda e 20 na direcção da envergadura como mostra a Fig Note-se que os resultados obtidos com o método dos painéis no que diz respeito à distribuição de pressão, tanto a meia envergadura como junto a uma das extremidades, para os dois ângulos de ataque considerados, 4.64 e (Fig e 5.18), são bastante próximos dos resultados experimentais. Para os dois ângulos de ataque, os resultados obtidos para a secção a meia envergadura apresentam uma correspondência quase perfeita com os resultados experimentais. Permitindo prever, com um elevado grau de precisão, o valor e a posição do pico de sucção. Na secção mais próxima da extremidade da asa, para o ângulo de ataque igual a 10.97, o valor do pico de sucção continua a ser bem previsto. Por outro lado, para o ângulo de ataque de 4.64, os valores dos coeficientes de pressão na zona do bordo de ataque ficam aquém dos experimentais. Para valores próximos do bordo de fuga os resultados numéricos, tanto para como 4.64, afastam-se dos experimentais em termos de intensidade, mas no que diz respeito à evolução da distribuição de pressão demonstram ser muito semelhantes ao caso experimental. A Fig representa a evolução do coeficiente de sustentação em função do ângulo de ataque cujos valores, com o respetivo erro relativo, constam da Tab 5.3, de onde é possível observar que os valores comparados são bastante próximos. Por outro lado, verifica-se que os erros relativos aumentam à medida que o ângulo de ataque também aumenta, nunca ultrapassando os 9%. 52

68 Figura 5.17: Coeficientes de pressão para duas secções a um ângulo de ataque de 4.64º com Reynolds igual a Figura 5.18: Coeficientes de pressão para duas secções a um ângulo de ataque de 10.97º com Reynolds igual a

69 Figura 5.19: CL vs alpha para uma asa rectangular a um Reynolds igual a α CL exp CL inv erro[%] CL inv+vis erro[%] Tabela 5.4: Resultado experimental, invíscido e viscoso acoplado ao invíscido para um Reynolds A justificação para os baixos erros relativos assenta no facto de o resultados experimentais apresentarem uma evolução com o ângulo de ataque muito próxima da linearidade (Fig. 5.19) o que, por sua vez, deve-se ao elevado número de Reynolds. Na comparação dos resultados numéricos - onde são tidos em conta os efeitos viscosos - com os resultados experimentais considerou-se um número de Reynolds igual a do procedimento experimental. Tal escolha assentou no facto de ser o menor Reynolds da atividade experimental e, como tal, é o que se traduz em maior influência viscosa no escoamento. Os resultados, tanto numéricos como experimentais, encontram-se na Tab. 5.4 e ilustrados na Fig Numa primeira análise da Tab. 5.4, e comparando com o caso anterior, observa-se que o erro relativo aumentou numa comparação entre o escoamento inviscido e experimental. Este aumento deve-se ao facto da curva CLvsα da actividade experimental para este novo Reynolds ter diminuido de declive. O que assenta na circunstância de os efeitos viscosos serem mais intensos quando comparados com o escoamento a um Reynolds Nas duas últimas colunas os resultados para um escoamento viscoso calculado numericamente, onde os efeitos viscosos são acoplados à solução inviscida, mostram-se bastante próximos dos resultados da actividade experimental. Até ao ângulo da sustentação máxima, 18, os resultados apresentam um erro relativo máximo de 2%; depois deste ângulo, a diferença de resultados torna-se evidente. 54

70 Figura 5.20: CL vs alpha para uma asa rectangular a um Reynolds igual a Figura 5.21: Perfil NACA utilizado na construção da asa com afiamento Asa com Afilamento Nesta secção serão comparados os resultados obtidos numa actividade experimental, descrita em [41], com a solução obtida numericamente quer para um caso invíscido quer viscoso. Os dados da geometria da asa utilizada na actividade experimental e na simulação numérica podem ser consultados na Tab. 5.5 e ilustrados na Fig A asa foi modelada com uma malha com 60 painéis na direcção da corda e 20 na direcção da envergadura (Fig. 5.23). Os resultados do coeficiente de sustentação para a actividade experimental juntamente com a solução numérica para um escoamento invíscido e viscoso, com o respectivo erro em relação aos primeiros, são apresentados na Tab 5.6 e, em formato de gráfico na Fig a). No que diz respeito aos coeficientes de sustentação do escoamento invíscido verifica-se uma boa aproximação aos coeficientes de sustentação experimentais, com erros relativos, para ângulos de ata- Perfil NACA (Fig. 5.21) corda na raiz c r m corda na extremidade c t m razão de afilamento= ct c r 0.4 ângulo de diedro 0.3º Reynolds Tabela 5.5: Dados da asa com afilamento 55

71 Figura 5.22: Esquema da asa com afilamento Figura 5.23: Malha na asa com afilamento α CL exp CL inv erro relativo[%] CL inv+vis erro relativo[%] Tabela 5.6: Resultado experimental, invíscido e viscoso acoplado ao invíscido para um Reynolds

72 Figura 5.24: a) CL Vs alpha, b) CL Vs CD. Para asa com afilamento que até aproximadamente 13º, a não ultrapassarem os 15%. Para o ângulo de ataque 14, é visísvel que a asa já se encontra em perda, e portanto, o valor da solução invíscida encontra-se bastante afastada da experimental. Quando os efeitos viscosos são acoplados à solução inviscida os resultados melhoram consideravelmente até ao ângulo de sustentação máxima. Os erros relativos para os ângulos de ataque 2 e 6 passam de 14.91% e 14.72%, numa situação de escoamento inviscido, para 10.08% e 7.73%, respectivamente. Depois do ângulo de ataque igual a 6 e até aproximadamente 13, onde ocorre a separação do escoamento, os erros mantêm-se baixos não sendo superiores a 5%. Para ângulos de ataque superiores a 13 o coeficiente de sustentação diminui de forma acentuada para os resultados experimentais, representando a entrada em perda da asa, enquanto que o resultado numérico não consegue acompanhar esse descréscimo originando um erro relativamente elevado mas, bastante inferior que no caso invíscido. Na Fig b) estão ilustradas as evoluções do coeficiente de resistência para a actividade experimental, para o escoamento invíscido e para a solução viscosa acoplada ao escoamento invíscido. Repare-se que no cálculo do coeficiente de resistência para o escoamento invíscido, apenas é contabilizada a resistência induzida. Daí a sua anulação para uma situação em que a sustentação é proxima de zero, já que não há libertação de vórtices das extremidades da asa que são os responsáveis pela indução de velocidades descendentes no escoamento de aproximação. No escoamento em que são acoplados os efeitos viscosos as resistências devido ao facto de se considerar a espessura de deslocamento (D δ ) e a tensão de corte na superficie da asa (D τw ) são contabilizadas, resultando numa maior concordancia da curva CL Vs CD com a esperimetal Asa RAE com Flap A asa RAE testada em [42], é construida com um perfil com uma expessura máxima de 11.7% a uma posição de 37.5% e com uma curvatura máxima a ocorrer a 75%, percentagens em relação à corda. Os 57

73 Figura 5.25: Representação das variaveis que definem a distância do flap à asa.[42] g/c h/c Tabela 5.7: Parâmetros relativamente à distância do flap ao bordo de fuga da asa para dois ângulos de deflexão, 10 e 25 pontos utilizados para a construção deste perfil, assim como o do flap, estão disponíveis no documento da actividade experimental. A asa tem uma envergadura de 2.14 m com uma razão de afilamento de 0.35 e não possui ângulo de torção nem de diedro mas tem um ângulo de flecha de 28 com a linha que define 1/4 de corda. O flap apresenta uma corda de 34% da corda local da asa. A actividade experimental foi realizada a um Reynolds de definido em relação à corda média, 0.26 m. Os resultados experimentais com os quais vão ser comparados os resultados numéricos foram obtidos para duas situações: na primeira, o flap apresenta um ângulo de 10 e, na segunda, ângulo de 25. Para estes dois ângulos, o flap apresenta diferentes distâncias em relação ao bordo de fuga da asa. Na Fig estão representadas as variaveis que, em conjunto, vão definir a distância do flap ao bordo de fuga da asa para as duas situações, onde g é a distância do ponto mais alto do extradorso do flap ao bordo de fuga da asa e h do bordo de ataque do flap ao bordo de fuga da asa. Na Tab. 5.7 são apresentados estes valores para os dois ângulos, 10 e 25. Atendendo a que a asa é simétrica procedeu-se à simulação de apenas metade da geometria, sendo a outra metade simulada pelo método das imagens. Ou seja, é utilizado o mesmo método desenvolvido na secção do Efeito Solo mas, agora, com uma altura ao solo de h = 0, como ilustrado na Fig A malha utilizada na asa e flap é contruída com 100 painéis na direcção da corda (50 extradorso + 50 intradorso) e 20 na direcção da envergadura. Nesta simulação foi necessário uma malha com um maior número de painéis na direcção da corda do que o habitual. Na verdade, para uma malha menos refinada, o XFOIL não devolvia uma solução que tivesse convergido e portanto, o acoplamento dos efeitos viscosos à solução inviscida não podia ser realizada. Com o aumento do número de painéis na direcção da corda, o XFOIL recebe um maior número de pontos de controlo e consequentemente o perfil a ser analisado tem uma geometria mais suave. Este aumento de pontos para a construção do perfil traduz-se na obtenção de uma solução final convergente por parte do XFOIL. Por outro lado, repare-se que nas Fig e 5.27 está ilustrado o conjunto asa e flap com uma malha bastante inferior à utilizada na simulação numérica, com o que se pretendeu melhorar a visualização da geometria. Na Tab. 5.8 estão representados os resultados experimentais, inviscidos e viscosos para a situação 58

74 Figura 5.26: Conjunto asa flap para simulação, com a respectiva imagem Figura 5.27: Conjunto asa flap 59