Fundamentos de Programação. operações sobre grafos dirigidos.

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1 Licenciatura em Engenharia Informática e de omputadores Fundamentos de Programação Projecto - Terceira Parte 27 de bril de 2012 Operações sobre grafos dirigidos O objectivo deste projecto é o desenvolvimento de um programa capaz de efectuar determinadas operações sobre grafos dirigidos. 1 Ordens topológicas Uma ordem topológica de um grafo acíclico é uma sequência dos nós do grafo tal que para todo o arco m n pertencente ao grafo, o nó m ocorre na sequência antes do nó m. Se pensarmos nos nós de um grafo como representando tarefas, e no arco m n como indicando que a tarefa m deve ser realizada antes da tarefa n, uma ordem topológica é uma possível ordem pela qual as tarefas podem ser realizadas. O grafo da Figura 1 apenas tem uma ordem topológica, dada pela sequência <,,, >; o grafo da Figura 2 tem três ordens topológicas dadas pelas sequências <,,, >, <,,, > e <,,, >; finalmente, o grafo da Figura 3 não tem nenhuma ordem topológica, uma vez que contém um ciclo. 1.1 eterminação de uma ordem topológica de um grafo O algoritmo abaixo recebe um grafo dirigido e termina de uma de duas possíveis maneiras: Figura 1: Exemplo de grafo dirigido com uma ordem topológica.

2 Pág. 2 de 7 Figura 2: Exemplo de grafo dirigido com três ordens topológicas. Figura 3: Exemplo de grafo dirigido sem ordens topológicas. Se o grafo for acíclico devolve uma ordem topológica do grafo; em caso contrário devolve falso. O símbolo "<-" representa a operação de atribuição. ordem-topológica(grafo) ordem <- nova-lista() ENQUNTO existir pelo menos um nó sem sucessores no-sem-sucs <- um dos nós de grafo sem sucessores grafo <- remove-no(no-sem-sucs,grafo) ordem <- insere(no-sem-sucs,ordem) FIM ENQUNTO SE grafo não for vazio EVOLVE falso SENÃO EVOLVE ordem FIM SE

3 Pág. 3 de 7 everá desenvolver um procedimento (ordem-topologica grafo) que recebe um grafo dirigido, e devolve uma lista correspondente a uma ordem topológica de grafo se esta existir, isto é, se o grafo for acíclico, e devolve #f, em caso contrário. O seu procedimento não precisa de verificar se o argumento que recebe é um grafo. e aqui em diante, assume-se que grafo1, grafo2 e grafo3 são os grafos das Figuras 1, 2 e 3, respectivamente. O procedimento ordem-topologica deverá permitir obter a seguinte interacção: > (ordem-topologica grafo1) ( ) > (ordem-topologica grafo2) ( ) > (ordem-topologica grafo3) #f > (ordem-topologica (novo-grafo)) () Naturalmente que a avaliação da forma (ordem-topologica grafo2) poderia ter devolvido qualquer uma das outras duas ordens topológicas do grafo da Figura 2, isto é, ( ) ou ( ). 1.2 Ordens topológicas únicas ado um grafo dirigido acíclico e uma ordem topológica desse grafo, <n 1, n 2,..., n k >, a ordem é unica se e só se corresponder a um caminho no grafo. 1 everá desenvolver um procedimento (ordem-unica? ordem grafo) que recebe uma ordem topológica ordem de um grafo dirigido acíclico grafo, e devolve #t se ordem for a única ordem topológica de grafo e devolve #f, em caso contrário. O seu procedimento não precisa de verificar a validade dos argumentos que recebe. O procedimento ordem-unica? deverá permitir obter a seguinte interacção: > (ordem-unica? ( ) grafo1) #t > (ordem-unica? ( ) grafo2) #f > (ordem-unica? () (novo-grafo)) #t 1.3 eterminação de todas as ordens topológicas de um grafo everá desenvolver um procedimento (ordens-topologicas grafo) que recebe um grafo dirigido, e devolve uma lista cujos elementos são todas as possíveis ordens topológicas de grafo, não sendo a ordem relevante. O seu procedimento não precisa de verificar se o argumento que recebe é um grafo. 1 Recorda-se que a definição de caminho foi dada no enunciado da segunda parte do projecto.

4 Pág. 4 de 7 O procedimento ordens-topologicas deverá permitir obter a seguinte interacção: > (ordens-topologicas grafo1) (( )) > (ordens-topologicas grafo2) (( ) ( ) ( )) > (ordens-topologicas grafo3) () > (ordens-topologicas (novo-grafo)) (()) ordem pela qual aparecem as três ordens topológicas de grafo2 não tem de ser a que se mostra na interacção acima. 2 Grafos e árvores Uma árvore binária 2 pode ser considerada um grafo dirigido, se a cada ramo da árvore se fizer corresponder um arco com origem na raiz mãe e destino na raiz filha. Na Figura 4 mostra-se uma árvore binária e o grafo dirigido correspondente. No entanto, nem todos os grafos dirigidos se podem considerar árvores binárias. Por exemplo, nem o grafo da Figura 1, nem o grafo da Figura 3, correspondem a árvores binárias. Note que um grafo dirigido pode corresponder a mais do que uma árvore binária, uma vez que não há informação no grafo, correspondente à informação de qual é a árvore direita e a árvore esquerda. Por exemplo, o grafo da Figura 2 pode corresponder a qualquer uma das árvores da Figura 5. everá desenvolver um procedimento (grafo->arvore-binaria grafo) que recebe um grafo dirigido correspondente a uma ou mais árvores, e devolve uma das árvores binárias correspondentes ao seu argumento. O seu procedimento não precisa de verificar se o argumento que recebe é um grafo, nem se corresponde a uma árvore binária. avaliação da forma (grafo->arvore-binaria grafo2) deverá devolver uma das árvores da Figura 5. 3 lassificação nota da terceira parte do projecto será baseada nos seguintes aspectos: 1. Execução correcta (40%). (a) Procedimento ordem-topologica - 2 valores. (b) Procedimento ordem-unica? - 2 valores. (c) Procedimento ordens-topologicas - 2 valores. 2 O tipo abstracto árvore binária encontra-se definido na Secção 5.6 do livro.

5 Pág. 5 de 7 Figura 4: Exemplo de árvore binária e grafo dirigido correspondente.

6 Pág. 6 de 7 Figura 5: Árvores binárias correspondentes ao grafo da Figura 2. (d) Procedimento grafo->arvore-binaria - 2 valores. Esta parte da avaliação é feita recorrendo a um programa de avaliação automática. 2. Facilidade de leitura, nomeadamente abstracção procedimental, abstracção de dados, nomes bem escolhidos, paragrafação correcta, qualidade (e não quantidade) dos comentários 3 e tamanho dos procedimentos (25%). 3. Estilo de programação (5%). 4. Relatório (30%). Os pesos das notas das três partes na nota final do projecto são os seguintes: 1. Primeira parte - 10%. 2. Segunda parte - 30%. 3. Terceira parte - 60%. 3 Tal como na primeira parte do projecto, todos os comentários do seu programa devem ser feitos utilizando a opção omment Out with Semicolons". Programas que utilizem a opção omment Out with a ox serão penalizados com três valores.

7 Pág. 7 de 7 4 ondições de realização e prazos O ficheiro contendo o código deverá conter na primeira linha #lang scheme, na segunda linha (provide (all-defined-out)), na terceira linha (require "solucao-parte2.rkt"), na quarta linha (require "TI-lista.rkt"), na quinta linha (require "TI-arvore.rkt") 4 e, a partir da sexta linha, em comentário, os números e os nomes dos alunos do grupo, bem como o número do grupo. Naturalmente que pode importar outros módulos que considere necessário. O projecto deve ser realizado pelos mesmos grupos da primeira e segunda partes. terceira parte do projecto deve ser entregue até às 15:00 horas do dia 21 de Maio de 2012, na portaria do Tagus, e deverá constar de um relatório, incluindo uma listagem do código (numa fonte "monospace" como, por exemplo, a fonte "courier"). Um modelo de relatório, que podem/devem adaptar de acordo com as vossas necessidades, será disponibilizado no sistema Fénix. O relatório deve ser entregue dentro de uma capa Roma (à venda na Reprografia do EI), apresentando visivelmente o número do grupo e número e nome dos seus autores, na capa. Projectos que não sejam entregues nestas condições serão penalizados com três valores. Para além disto, a submissão do código por via electrónica, através do sistema Fénix, é obrigatória e deverá ser feita nos mesmos prazos que a entrega do relatório. Se o código e o relatório forem entregues em horas diferentes, o desconto será o correspondente ao da última entrega. O código do projecto deve estar contido num único ficheiro. Se durante o desenvolvimento usaram vários ficheiros devem, no final, antes de submeter o código, colocar todo o código num único ficheiro, chamado FP1112-2S-parte3-grupon.rkt, em que n é o número do grupo. Por exemplo, o ficheiro do grupo n o 5 deverá chamar-se FP1112-2S-parte3-grupo5.rkt. urante o desenvolvimento do programa é importante não se esquecer da Lei de Murphy: 1. Todos os problemas são mais difíceis do que parecem; 2. Tudo demora mais tempo do que nós pensamos; 3. Se alguma coisa puder correr mal, ela vai correr mal, na pior das alturas possíveis. Pode ou não haver uma discussão oral do trabalho e/ou uma demonstração do funcionamento do programa (será decidido caso a caso). Projectos iguais, ou muito semelhantes, serão considerados cópias. O corpo docente da cadeira será o único juiz do que se considera ou não copiar no projecto. 4 O seu código deve utilizar a implementação do tipo árvore do ficheiro TI-arvore.rkt, disponível na página da disciplina.